Moda Transportasi/Sistem Multi Moda

<mediawiki xmlns="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" xsi:schemaLocation="http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11/ http://www.mediawiki.org/xml/export-0.11.xsd" version="0.11" xml:lang="id">
  <siteinfo>
    <sitename>Wikibuku</sitename>
    <dbname>idwikibooks</dbname>
    <base>https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama</base>
    <generator>MediaWiki 1.47.0-wmf.5</generator>
    <case>first-letter</case>
    <namespaces>
      <namespace key="-2" case="first-letter">Media</namespace>
      <namespace key="-1" case="first-letter">Istimewa</namespace>
      <namespace key="0" case="first-letter" />
      <namespace key="1" case="first-letter">Pembicaraan</namespace>
      <namespace key="2" case="first-letter">Pengguna</namespace>
      <namespace key="3" case="first-letter">Pembicaraan Pengguna</namespace>
      <namespace key="4" case="first-letter">Wikibuku</namespace>
      <namespace key="5" case="first-letter">Pembicaraan Wikibuku</namespace>
      <namespace key="6" case="first-letter">Berkas</namespace>
      <namespace key="7" case="first-letter">Pembicaraan Berkas</namespace>
      <namespace key="8" case="first-letter">MediaWiki</namespace>
      <namespace key="9" case="first-letter">Pembicaraan MediaWiki</namespace>
      <namespace key="10" case="first-letter">Templat</namespace>
      <namespace key="11" case="first-letter">Pembicaraan Templat</namespace>
      <namespace key="12" case="first-letter">Bantuan</namespace>
      <namespace key="13" case="first-letter">Pembicaraan Bantuan</namespace>
      <namespace key="14" case="first-letter">Kategori</namespace>
      <namespace key="15" case="first-letter">Pembicaraan Kategori</namespace>
      <namespace key="100" case="first-letter">Resep</namespace>
      <namespace key="101" case="first-letter">Pembicaraan Resep</namespace>
      <namespace key="102" case="first-letter">Wisata</namespace>
      <namespace key="103" case="first-letter">Pembicaraan Wisata</namespace>
      <namespace key="710" case="first-letter">TimedText</namespace>
      <namespace key="711" case="first-letter">TimedText talk</namespace>
      <namespace key="828" case="first-letter">Modul</namespace>
      <namespace key="829" case="first-letter">Pembicaraan Modul</namespace>
      <namespace key="1728" case="first-letter">Acara</namespace>
      <namespace key="1729" case="first-letter">Pembicaraan Acara</namespace>
    </namespaces>
  </siteinfo>
  <page>
    <title>Moda Transportasi/Sistem Multi Moda</title>
    <ns>0</ns>
    <id>5795</id>
    <revision>
      <id>116145</id>
      <parentid>99264</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T10:04:06Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adiadrn</username>
        <id>43318</id>
      </contributor>
      <comment>/* Berat */</comment>
      <origin>116145</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="16959" sha1="pg3rdmp4jkdz9chnhgjgidz4405fy0u" xml:space="preserve">{{Moda Transportasi}}
Untuk mendorong angkutan multimoda perlu didukung dengan perangkat prasarana yang tepat. Indonesia sebagai negara kepulauan terbesar di dunia yang mempunyai 17.508 pulau dengan luas daratan Indonesia adalah 1.922.570&amp;nbsp;km² dan luas perairannya yang jauh lebih besar lagi yaitu 3.257.483&amp;nbsp;km² dimana perairan laut Indonesia belum dimanfaatkan sebagai infrastruktur transportasi secara maksimal, masih banyak angkutan barang jarak jauh termasuk angkutan barang antar pulau yang menggunakan angkutan jalan raya, padahal kalau ditinjau dari sisi ilmu transportasi biaya angkut menggunakan laut merupakan pilihan yang paling murah bila mengangkut barang dalam jumlah dan jarak tertentu dibanding melalui kereta api ataupun jalan raya, dan ini menjadi lebih baik lagi bila menggunakan peti kemas.
==Pendekatan yang digunakan==
Pendekatan yang digunakan dalam transportasi dalam pengembangan angkutan multi moda adalah :
# Mengoptimalkan jaringan infrastruktur yang ada untuk meningkatkan efisiensi sistem transportasi; 
# Mengurangi perjalanan yang tidak perlu dengan membangun suatu sistem informasi angkutan barang;
# Menggeser muatan ke moda yang lebih efisien seperti kereta api dan moda angkutan laut;
# Pengembangan jalur utama dan hub atas dasar pendekatan keekonomian;
# Pengembangan sistem yang berwawasan lingkungan, dan berkeselamatan;
# Didukung dengan lingkungan kerja yang baik, tenaga profesional.
==Peti Kemas==
Mark Levinson &lt;ref&gt;&quot;Levinson, The Box, How the Shipping Container Made the World Smaller and the World Economy Bigger, Princeton University Press, New Jersey, 2006.&quot;&lt;/ref&gt;  dalam bukunya The Box mengatakan: ''the container made shipping cheap, and by doing so changed the shape of world economy'' atau kalau diterjemahkan bahwa penggunaan peti kemas mengakibatkan pengangkutan murah yang mengakibatkan perubahan ekonomi dunia. Pandangan ini juga harus dimanfaatkan di Indonesia untuk memenuhi kebutuhan angkutan barang dalam peti kemas dalam negeri.

Keunggulan peti kemas dalam sistem transportasi adalah intermodalitasnya yang sangat baik, karena bisa diangkut melalui jalan, kereta api maupun laut, karena memiliki dimensi yang baku, berat maksimal yang baku pula sehingga overloading seperti yang sering terjadi dijalan raya bisa dihindari, tidak memerlukan gudang karena bisa ditumpuk (sampai 7 lapis peti kemas) di lapangan terbuka, waktu bongkar muat yang singkat. Ssehingga angkutan barang dengan peti kemas dapat diangkut dengan berbagai moda dalam rangkaian pelayanan dari pintu ke pintu. Ini pulalah yang mengakibatkan tren angkutan peti kemas domestik sudah menunjukkan peningkatan yang cukup signifikan dari tahun ke tahun, di Pelindo III sebagai contoh mengalami pertumbuhan sebesar rata-rata 10,5 persen per tahun dalam 3 tahun belakangan ini. Tingginya pertumbuhan ini diakibatkan waktu yang lebih cepat serta biaya yang lebih rendah.

Peralihan ke peti kemas akan mendorong turunnya harga barang, seperti yang bisa kita saksikan terjadi di Maumere, NTB daerah yan g baru saja mengubah sebagian dari angkutan kargo umum (general cargo) ke angkutan peti kemas, hal ini menjadi perhatian para pedagang dan produsen barang untuk wilayah-wilayah lainnya yang mengharapkan kesiapan pelabuhan dalam menerima dan mengirim barang melalui peti kemas.
===Ukuran peti kemas===
Untuk meningkatkan fleksibilitas peti kemas berbagai bentuk atau ragam peti kemas dikembangkan seperti barang umum, curah cair atau gas, curah kering, berpendingin, berventilasi, dan berbagai variasinya. Ukuran yang paling banyak digunakan adalah yang 20 kaki dan 40 kaki, tetapi sekarang juga digunakan peti kemas yang panjangnya 45 kaki. Di daerah terpencil digunakan peti kemas militer yang panjangnya hanya 10 kaki.

Ukuran peti kemas standar yang digunakan ditampilkan dalam tabel berikut:

{| class=&quot;prettytable&quot; 
|-bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;
|colspan = &quot;2&quot; rowspan = &quot;2&quot;|
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 20 kaki
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 40 kaki
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 45 kaki
|-bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;
!imperial system|inggris
!metric system|metrik
!inggris
!metrik
!inggris
!metrik
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot; rowspan = &quot;3&quot; |dimensi luar
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|panjang
|align = &quot;right&quot;|19' 10½&quot;
|align = &quot;right&quot;|6.058 m
|align = &quot;right&quot;|40′ 0″
|align = &quot;right&quot;|12.192 m
|align = &quot;right&quot;|45′ 0″
|align = &quot;right&quot;|13.716 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|lebar
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|8′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.591 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.591 m
|align = &quot;right&quot;|9′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.896 m
|-
!rowspan = &quot;3&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|dimensi dalam
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|panjang
|align = &quot;right&quot;|18′ 10 &lt;sub&gt;5/16&lt;/sub&gt;&quot;
|align = &quot;right&quot;|5.758 m
|align = &quot;right&quot;|39′ 5 &lt;sub&gt;45/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|12.032 m
|align = &quot;right&quot;|44′ 4″
|align = &quot;right&quot;|13.556 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|lebar
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|7′ 9 &lt;sub&gt;57/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.385 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 9 &lt;sub&gt;57/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.385 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 9 &lt;sub&gt;15/16&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.698 m
|-
!rowspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|bukaan pintu
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|width
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;5&amp;nbsp;¾″
|align = &quot;right&quot;|2.280 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;5&amp;nbsp;¾″
|align = &quot;right&quot;|2.280 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 5 &lt;sub&gt;49/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.585 m
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|volume
|align = &quot;right&quot;|1,169&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|33.1 m³
|align = &quot;right&quot;|2,385&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|67.5 m³
|align = &quot;right&quot;|3,040&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|86.1 m³
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|berat kotor
|align = &quot;right&quot;|52,910&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|24,000&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|67,200&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|30,480&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|67,200&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|30,480&amp;nbsp;kg
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|berat kosong
|align = &quot;right&quot;|4,850&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|2,200&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|8,380&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|3,800&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|10,580&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|4,800&amp;nbsp;kg
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|muatan bersih
|align = &quot;right&quot;|48,060&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|21,800&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|58,820&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|26,680&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|56,620&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|25,680&amp;nbsp;kg
|}
=== Berat ===
 
Berat maksimum peti kemas muatan kering 20 kaki adalah 24,000&amp;nbsp;kg, dan untuk 40 kaki (termasuk ''[https://master-container.co.id/ '''container bekas''']''), adalah 30,480&amp;nbsp;kg. Sehingga berat muatan bersih/payload yang bisa diangkut adalah 21,800&amp;nbsp;kg untuk 20 kaki, 26,680&amp;nbsp;kg untuk 40 kaki.

=== Jenis Peti Kemas ===
[[Berkas:Railroad car with container loads.jpg|thumb|right|Kereta api yang sedang menarik peti kemas tangki 20 kaki yang berdampingan dengan petikemas barang umum]]
Berbagai variasi bentuk peti kemas digunakan untuk barang-barang yang spesifik namun menggunakan ukuran yang standar untuk mempermudah handling dan perpindahan moda angkutan.
 
Jenis peti kemas

* Peti kemas barang umum untuk diisi kotak-kotak, karung, drum, palet dls, jenis yang paling banyak digunakan
* Peti kemas tabung gas
* Peti kemas tangki untuk curah cair 
* Peti kemas berventilasi untuk barang organik yang membutuhkan ventilasi
* Peti kemas Generator
* Peti kemas berpendingin / [https://tradecorpshippingcontainers.com/product-category/refrigerated-containers/ refrigerated containers]
* Peti kemas terbuka untuk pengakutan barang curah
* Peti kemas yang diperlengkapi dengan isolasi
* Peti kemas dengan pintu disamping
* Collapsible ISO

Jenis peti kemas Tabung gas, tangki, generator biasanya tidak dilengkapi dengan dinding samping, depan belakang dan atas.

==Prasarana pemadu moda==
Salah satu kelemahan dari moda angkutan perairan adalah tidak bisa dilaksanakan untuk angkutan dari pintu ke pintu sehingga harus diintegrasikan dengan moda lainnya untuk menjadi lebih fleksibel.
===Terminal petikemas===
Terminal peti kemas adalah terminal dimana dilakukan pengumpulan peti kemas dari hinterland ataupun pelabuhan lainnya untuk selanjutnya diangkut ke tempat tujuan ataupun terminal peti kemas (Unit Terminal Container disingkat secara umum &quot;UTC&quot;) yang lebih besar lagi.
[[Berkas:kegiatan bongkar muat.jpg|thumb|300px|Aktivitas di terminal peti kemas]]
Terminal Peti Kemas Terdiri:
* Dermaga untuk sandar.
* Lapangan penumpukan
* Kran dan perangkat untuk memindahkan petikemas
Terminal peti kemas yang berkembang dengan pesat dalam beberapa tahun belakangan ini adalah Terminal peti kemas JICT, KOJA di Jakarta,Bojonegara di Cilegon, TPS di Surabaya, TPK Semarang, TPK Belawan, dan TPK Palaran di Samarinda.

===Ro-Ro===
Pelaksanaan multimoda pada awalnya terkendala dengan pemindahan muatan dari moda yang satu dengan moda lainnya yang membutuhkan waktu bongkar muat yang lama, keadaan ini berubah dengan berkembangnya tehnologi kapal Ro-ro. Kapal Ro-ro pada awalnya dikembangkan oleh angkatan perang untuk memobilisasi kendaraan perang dengan menggunakan Landing Craft Tank (LCT).

Konsep ini yang kemudian dikembangkan untuk angkutan kendaraan yang menggelinding masuk dan menggelinding keluar dari kapal. Untuk mempermudah kendaraan measuk dan keluar kapal maka kapal diberi jembatan (moveble bridge) yang menghubungkan kapal ke dermaga.  Sistem ini sangat menguntungkan untuk perjalanan pendek, sedang untuk perjalanan panjang, masalah yang ditemukan adalah pemanfaatan ruang kapal tidak optimal karena seluruh mobil yang tidak perlu diangkut ikut dibawa dalam kapal sehingga kemudian langkah yang dikembangkan untuk perjalanan jarak jauh adalah dengan tidak membawa head trucknya, sehingga kapal hanya membawa trailer beserta muatannya. 
===Peti kemas===
Perkembangan yang kemudian berkembang adalah untuk perjalanan jarak jauh yang lebih efisien dalam penggunaan ruang kapal adalah Peti kemas / Container.

[[Berkas:Bab8.3.jpg]]

&lt;a href=&gt;[https://tokomesinku.com/2019/04/01/jual-water-tube-boiler/ jual water tube boiler] &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/27/jual-burner-riello-rl-solar/&gt; jual burner riello RL 70&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/24/jual-burner-second-di-jakrta/&gt;jual burner second bekas &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/23/sales-burner-riello-light-oil/&gt;agen burner riello jkarta &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/19/jual-steam-header-boiler/&gt;jual header steam boiler &lt;/a&gt;

===Peralatan bongkar muat peti kemas===
Perangkat bongkar muat peti kemas tergantung kepada berapa besar pergerakan peti kemas, pada saat arus masih kecil cukup digunakan kran/crane sederhana, dan semakin tinggi arus peti kemas harus digunakan perangkat dengan kapasitas lebih tinggi. Berikut ditunjukkan jenis-jenis pemindah peti kemas yang biasa digunakan di terminal peti kemas.

* '''Kran peti kemas''' dalam bahasa Inggris disebut ''Container Crane'' atau ''Portainer'' adalah kran yang digunakan untuk membongkar atau memuat peti kemas dari dan ke dermaga ke kapal peti kemas atau memindahkan peti kemas dari satu tempat ketempat lain di dalam terminal peti kemas.

:Peti kemas yang diangkat, dipindah adalah peti kemas ISO yang berukuran panjang 20, 40 dan 45 kaki yang dari truk chasis bergerak dibawah kran, kemudian diangkat keatas dan kemudian ke kapal dan sebaliknya. Kran bergerak diatas rel, sehingga posisi kran hanya bisa bergerak menelusuri dermaga.

* '''Rubber Tyred Gantry crane (derek RTG)''' adalah gantry mobile crane digunakan untuk penumpukan peti kemas dalam lapangan penumpukan terminal peti kemas. RTGS digunakan pada terminal peti kemas dan lapangan wadah penyimpanan yang bergerak mengangkangkan diatas jalur rel / jalan dan penyimpanan kontainer, atau ketika kepadatan maksimum penyimpanan dalam tumpukan peti kemas yang diinginkan.
* '''Reach stacker''' merupakan perangkat untuk memindahkan petikemas ke tuk ataupun untuk memindahpan petikemas dilapangan penumpukan peti kemas. Reach stacker berbentuk dan bekerja seperti forklift.
* '''Forklift peti kemas''' merupakan forklift yang digunakan untuk memindahkan peti kemas dilapangan penumpukan atau di gudang/pabrik.
* '''Mobil kran''' merupakan kran yang bisa berpindah, digunakan untuk memindahkan [https://kontainerindonesia.co.id/ peti kemas] di pelabuhan kecil atau di gudang/pabrik.
* '''Truk doli''' adalah truk yang dipergunakan di pelabuhan/terminal peti kemas untuk memindahkan peti kemas dari dan ke lapangan penumpukan ke Krane untuk dinaikkan atau diturunkan kekapal. Sangat efisien karena dapat menarik dan memindahkan sekaligus 4 peti kemas standar (20&amp;nbsp;ft) atau 2 peti kemas 40 kaki.

&lt;gallery&gt;
Berkas:Portainer (gantry crane).jpg|Kran peti kemas
Berkas:Kuantan Port Container Yard with Rubber Tyre Gantry.JPG|Rubber Tyred Gantry crane (derek RTG)
Berkas:CN Box Car Loader.JPG|Peti kemas yang sedang dimuat dengan Reachstacker ke atas truk
Berkas:containerforklift.jpg|Forklift yang digunakan untuk memindahkan peti kemas
Berkas:Mobil kran.JPG|mobil kran yang sedang memindahkan peti kemas ke truk peti kemas
Berkas:Trukdoli.jpg|Truk doli di TPS Surabaya
&lt;/gallery&gt;

==e-freight==
Dalam mempercepat proses angkutan barang khususnya yang terkait dengan dokumentasi dari barang yang diangkut maka dalam dekade belakangan ini dikembangkan aliran dukumen tanpa kertas (paperless document). Sehingga menjadi kerangka yang tepat untuk memungkinkan pelacakan barang secara real time, dan terbentuk suatu sistem transportasi angkutan bersih&lt;ref&gt;e-FREIGHT is an Integrated project within the EU's 7th Framework programme [http://www.efreightproject.eu/]&lt;/ref&gt;:

* Masukan dalam pengembangan konsep ''single window'' dan ''administrasi satu atap''; dengan menciptakan dan menjalankan dokumen angkutan tunggal dalam bentuk elektronik (waybill elektronik), dan menciptakan kerangka kerja yang tepat untuk penyebaran pelacakan dan tehnologi pelacakan.
* Mermastikan rezim multi moda dalam rangka memanfaatkan moda kereta api, air, dan transportasi jalan yang merupakan moda kombinasi yang umum digunakan pada saat barang harus dipindahkan melalui laut dari satu daerah/kawasan/negara ke daerah/kawasan/negara lain.

===Indonesian National Single Window===
Diatur dalam Peraturan Presiden Nomor 10 Tahun 2008&lt;ref&gt;Peraturan Presiden Republik Indonesia Nomor 10 Tahun 2008 Tentang Penggunaan Sistem Elektronik Dalam Kerangka Indonesia National Single Window&lt;/ref&gt;, yaitu Sistem nasional Indonesia yang memungkinkan dilakukannya suatu penyampaian data dan informasi secara tunggal (single submission of data and information), pemrosesan data dan informasi secara tunggal dan sinkron (single and synchronous processing of data and information), dan pembuatan keputusan secara tunggal untuk pemberian izin kepabeanan dan pengeluaran barang (single decision making for customs clearance and release of cargoes).

Portal INSW adalah sistem yang akan melakukan integrasi informasi berkaitan dengan proses penanganan dokumen kepabeanan dan pengeluaran barang, yang menjamin keamanan data dan informasi serta memadukan alur dan proses informasi antar sistem internal secara otomatis, yang meliputi sistem kepabeanan, perizinan, kepelabuhanan/kebandarudaraan, dan sistem lain yang terkait engan proses penanganan dokumen kepabeanan dan pengeluaran barang. Situs resmi dari Indonesian National Single Window dapat di akses pada alamat http://www.insw.go.id/index.jsp.

===ASEAN Single Window (ASW)=== &lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/26/jual-burner-riello-type-rls/&gt;Jual burner riello RLS Dual fuel &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/26/pengertian-thermal-oil-boiler/&gt;pengertian thermal oil boiler &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/23/jual-boiler-tabung-api-200-kg/&gt;jual boiler steam tabung 200 kg &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/23/jual-boiler-steam-untuk-industri/&gt; jual steam boiler industri&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/17/jual-burner-riello-heavy-oil/&gt; jual oil burner riello&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/17/jual-steam-boiler-uap/&gt; jual boiler steam uap&lt;/a&gt;
ASEAN Single Window (ASW) adalah suatu environment dimana sistem NSW dari negara anggota ASEAN dioperasikan dan di-integrasikan, sehingga mampu meningkatkan kinerja penanganan atas lalulintas barang antar negara Anggota ASEAN, utk mendorong percepatan proses customs clearance dan cargo release.

==Referensi==
{{Reflist}}

[[Irfan, Muhammad.Kategori:Moda Transportasi]]</text>
      <sha1>pg3rdmp4jkdz9chnhgjgidz4405fy0u</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116146</id>
      <parentid>116145</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T10:05:48Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Adiadrn</username>
        <id>43318</id>
      </contributor>
      <comment>/* Jenis Peti Kemas */</comment>
      <origin>116146</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="17047" sha1="oxaceom1ax66r4303r5z6i9pc81ykpo" xml:space="preserve">{{Moda Transportasi}}
Untuk mendorong angkutan multimoda perlu didukung dengan perangkat prasarana yang tepat. Indonesia sebagai negara kepulauan terbesar di dunia yang mempunyai 17.508 pulau dengan luas daratan Indonesia adalah 1.922.570&amp;nbsp;km² dan luas perairannya yang jauh lebih besar lagi yaitu 3.257.483&amp;nbsp;km² dimana perairan laut Indonesia belum dimanfaatkan sebagai infrastruktur transportasi secara maksimal, masih banyak angkutan barang jarak jauh termasuk angkutan barang antar pulau yang menggunakan angkutan jalan raya, padahal kalau ditinjau dari sisi ilmu transportasi biaya angkut menggunakan laut merupakan pilihan yang paling murah bila mengangkut barang dalam jumlah dan jarak tertentu dibanding melalui kereta api ataupun jalan raya, dan ini menjadi lebih baik lagi bila menggunakan peti kemas.
==Pendekatan yang digunakan==
Pendekatan yang digunakan dalam transportasi dalam pengembangan angkutan multi moda adalah :
# Mengoptimalkan jaringan infrastruktur yang ada untuk meningkatkan efisiensi sistem transportasi; 
# Mengurangi perjalanan yang tidak perlu dengan membangun suatu sistem informasi angkutan barang;
# Menggeser muatan ke moda yang lebih efisien seperti kereta api dan moda angkutan laut;
# Pengembangan jalur utama dan hub atas dasar pendekatan keekonomian;
# Pengembangan sistem yang berwawasan lingkungan, dan berkeselamatan;
# Didukung dengan lingkungan kerja yang baik, tenaga profesional.
==Peti Kemas==
Mark Levinson &lt;ref&gt;&quot;Levinson, The Box, How the Shipping Container Made the World Smaller and the World Economy Bigger, Princeton University Press, New Jersey, 2006.&quot;&lt;/ref&gt;  dalam bukunya The Box mengatakan: ''the container made shipping cheap, and by doing so changed the shape of world economy'' atau kalau diterjemahkan bahwa penggunaan peti kemas mengakibatkan pengangkutan murah yang mengakibatkan perubahan ekonomi dunia. Pandangan ini juga harus dimanfaatkan di Indonesia untuk memenuhi kebutuhan angkutan barang dalam peti kemas dalam negeri.

Keunggulan peti kemas dalam sistem transportasi adalah intermodalitasnya yang sangat baik, karena bisa diangkut melalui jalan, kereta api maupun laut, karena memiliki dimensi yang baku, berat maksimal yang baku pula sehingga overloading seperti yang sering terjadi dijalan raya bisa dihindari, tidak memerlukan gudang karena bisa ditumpuk (sampai 7 lapis peti kemas) di lapangan terbuka, waktu bongkar muat yang singkat. Ssehingga angkutan barang dengan peti kemas dapat diangkut dengan berbagai moda dalam rangkaian pelayanan dari pintu ke pintu. Ini pulalah yang mengakibatkan tren angkutan peti kemas domestik sudah menunjukkan peningkatan yang cukup signifikan dari tahun ke tahun, di Pelindo III sebagai contoh mengalami pertumbuhan sebesar rata-rata 10,5 persen per tahun dalam 3 tahun belakangan ini. Tingginya pertumbuhan ini diakibatkan waktu yang lebih cepat serta biaya yang lebih rendah.

Peralihan ke peti kemas akan mendorong turunnya harga barang, seperti yang bisa kita saksikan terjadi di Maumere, NTB daerah yan g baru saja mengubah sebagian dari angkutan kargo umum (general cargo) ke angkutan peti kemas, hal ini menjadi perhatian para pedagang dan produsen barang untuk wilayah-wilayah lainnya yang mengharapkan kesiapan pelabuhan dalam menerima dan mengirim barang melalui peti kemas.
===Ukuran peti kemas===
Untuk meningkatkan fleksibilitas peti kemas berbagai bentuk atau ragam peti kemas dikembangkan seperti barang umum, curah cair atau gas, curah kering, berpendingin, berventilasi, dan berbagai variasinya. Ukuran yang paling banyak digunakan adalah yang 20 kaki dan 40 kaki, tetapi sekarang juga digunakan peti kemas yang panjangnya 45 kaki. Di daerah terpencil digunakan peti kemas militer yang panjangnya hanya 10 kaki.

Ukuran peti kemas standar yang digunakan ditampilkan dalam tabel berikut:

{| class=&quot;prettytable&quot; 
|-bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;
|colspan = &quot;2&quot; rowspan = &quot;2&quot;|
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 20 kaki
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 40 kaki
!colspan = &quot;2&quot;| Peti kemas 45 kaki
|-bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;
!imperial system|inggris
!metric system|metrik
!inggris
!metrik
!inggris
!metrik
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot; rowspan = &quot;3&quot; |dimensi luar
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|panjang
|align = &quot;right&quot;|19' 10½&quot;
|align = &quot;right&quot;|6.058 m
|align = &quot;right&quot;|40′ 0″
|align = &quot;right&quot;|12.192 m
|align = &quot;right&quot;|45′ 0″
|align = &quot;right&quot;|13.716 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|lebar
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 0″
|align = &quot;right&quot;|2.438 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|8′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.591 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.591 m
|align = &quot;right&quot;|9′ 6″
|align = &quot;right&quot;|2.896 m
|-
!rowspan = &quot;3&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|dimensi dalam
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|panjang
|align = &quot;right&quot;|18′ 10 &lt;sub&gt;5/16&lt;/sub&gt;&quot;
|align = &quot;right&quot;|5.758 m
|align = &quot;right&quot;|39′ 5 &lt;sub&gt;45/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|12.032 m
|align = &quot;right&quot;|44′ 4″
|align = &quot;right&quot;|13.556 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|lebar
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 8 &lt;sub&gt;19/32&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.352 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|7′ 9 &lt;sub&gt;57/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.385 m
|align = &quot;right&quot;|7′ 9 &lt;sub&gt;57/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.385 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 9 &lt;sub&gt;15/16&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.698 m
|-
!rowspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|bukaan pintu
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|width
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;8&amp;nbsp;⅛″
|align = &quot;right&quot;|2.343 m
|-
!bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|tinggi
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;5&amp;nbsp;¾″
|align = &quot;right&quot;|2.280 m
|align = &quot;right&quot;|7′&amp;nbsp;5&amp;nbsp;¾″
|align = &quot;right&quot;|2.280 m
|align = &quot;right&quot;|8′ 5 &lt;sub&gt;49/64&lt;/sub&gt;″
|align = &quot;right&quot;|2.585 m
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|volume
|align = &quot;right&quot;|1,169&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|33.1 m³
|align = &quot;right&quot;|2,385&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|67.5 m³
|align = &quot;right&quot;|3,040&amp;nbsp;ft³
|align = &quot;right&quot;|86.1 m³
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|berat kotor
|align = &quot;right&quot;|52,910&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|24,000&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|67,200&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|30,480&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|67,200&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|30,480&amp;nbsp;kg
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|berat kosong
|align = &quot;right&quot;|4,850&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|2,200&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|8,380&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|3,800&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|10,580&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|4,800&amp;nbsp;kg
|-
!colspan = &quot;2&quot; bgcolor=&quot;#dfdfdf&quot;|muatan bersih
|align = &quot;right&quot;|48,060&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|21,800&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|58,820&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|26,680&amp;nbsp;kg
|align = &quot;right&quot;|56,620&amp;nbsp;lb
|align = &quot;right&quot;|25,680&amp;nbsp;kg
|}
=== Berat ===
 
Berat maksimum peti kemas muatan kering 20 kaki adalah 24,000&amp;nbsp;kg, dan untuk 40 kaki (termasuk ''[https://master-container.co.id/ '''container bekas''']''), adalah 30,480&amp;nbsp;kg. Sehingga berat muatan bersih/payload yang bisa diangkut adalah 21,800&amp;nbsp;kg untuk 20 kaki, 26,680&amp;nbsp;kg untuk 40 kaki.

=== Jenis Peti Kemas ===
[[Berkas:Railroad car with container loads.jpg|thumb|right|Kereta api yang sedang menarik peti kemas tangki 20 kaki yang berdampingan dengan petikemas barang umum]]
Berbagai variasi bentuk peti kemas digunakan untuk barang-barang yang spesifik namun menggunakan ukuran yang standar untuk mempermudah handling dan perpindahan moda angkutan.
 
Jenis peti kemas

* Peti kemas barang umum untuk diisi kotak-kotak, karung, drum, palet dls, jenis yang paling banyak digunakan
* Peti kemas tabung gas
* Peti kemas tangki untuk curah cair 
* Peti kemas berventilasi untuk barang organik yang membutuhkan ventilasi
* Peti kemas Generator
* Peti kemas berpendingin / [https://tradecorpshippingcontainers.com/product-category/refrigerated-containers/ refrigerated containers]
* Peti kemas portabel untuk kantor / [https://master-container.co.id/ office container]
* Peti kemas terbuka untuk pengakutan barang curah
* Peti kemas yang diperlengkapi dengan isolasi
* Peti kemas dengan pintu disamping
* Collapsible ISO

Jenis peti kemas Tabung gas, tangki, generator biasanya tidak dilengkapi dengan dinding samping, depan belakang dan atas.

==Prasarana pemadu moda==
Salah satu kelemahan dari moda angkutan perairan adalah tidak bisa dilaksanakan untuk angkutan dari pintu ke pintu sehingga harus diintegrasikan dengan moda lainnya untuk menjadi lebih fleksibel.
===Terminal petikemas===
Terminal peti kemas adalah terminal dimana dilakukan pengumpulan peti kemas dari hinterland ataupun pelabuhan lainnya untuk selanjutnya diangkut ke tempat tujuan ataupun terminal peti kemas (Unit Terminal Container disingkat secara umum &quot;UTC&quot;) yang lebih besar lagi.
[[Berkas:kegiatan bongkar muat.jpg|thumb|300px|Aktivitas di terminal peti kemas]]
Terminal Peti Kemas Terdiri:
* Dermaga untuk sandar.
* Lapangan penumpukan
* Kran dan perangkat untuk memindahkan petikemas
Terminal peti kemas yang berkembang dengan pesat dalam beberapa tahun belakangan ini adalah Terminal peti kemas JICT, KOJA di Jakarta,Bojonegara di Cilegon, TPS di Surabaya, TPK Semarang, TPK Belawan, dan TPK Palaran di Samarinda.

===Ro-Ro===
Pelaksanaan multimoda pada awalnya terkendala dengan pemindahan muatan dari moda yang satu dengan moda lainnya yang membutuhkan waktu bongkar muat yang lama, keadaan ini berubah dengan berkembangnya tehnologi kapal Ro-ro. Kapal Ro-ro pada awalnya dikembangkan oleh angkatan perang untuk memobilisasi kendaraan perang dengan menggunakan Landing Craft Tank (LCT).

Konsep ini yang kemudian dikembangkan untuk angkutan kendaraan yang menggelinding masuk dan menggelinding keluar dari kapal. Untuk mempermudah kendaraan measuk dan keluar kapal maka kapal diberi jembatan (moveble bridge) yang menghubungkan kapal ke dermaga.  Sistem ini sangat menguntungkan untuk perjalanan pendek, sedang untuk perjalanan panjang, masalah yang ditemukan adalah pemanfaatan ruang kapal tidak optimal karena seluruh mobil yang tidak perlu diangkut ikut dibawa dalam kapal sehingga kemudian langkah yang dikembangkan untuk perjalanan jarak jauh adalah dengan tidak membawa head trucknya, sehingga kapal hanya membawa trailer beserta muatannya. 
===Peti kemas===
Perkembangan yang kemudian berkembang adalah untuk perjalanan jarak jauh yang lebih efisien dalam penggunaan ruang kapal adalah Peti kemas / Container.

[[Berkas:Bab8.3.jpg]]

&lt;a href=&gt;[https://tokomesinku.com/2019/04/01/jual-water-tube-boiler/ jual water tube boiler] &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/27/jual-burner-riello-rl-solar/&gt; jual burner riello RL 70&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/24/jual-burner-second-di-jakrta/&gt;jual burner second bekas &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/23/sales-burner-riello-light-oil/&gt;agen burner riello jkarta &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2019/03/19/jual-steam-header-boiler/&gt;jual header steam boiler &lt;/a&gt;

===Peralatan bongkar muat peti kemas===
Perangkat bongkar muat peti kemas tergantung kepada berapa besar pergerakan peti kemas, pada saat arus masih kecil cukup digunakan kran/crane sederhana, dan semakin tinggi arus peti kemas harus digunakan perangkat dengan kapasitas lebih tinggi. Berikut ditunjukkan jenis-jenis pemindah peti kemas yang biasa digunakan di terminal peti kemas.

* '''Kran peti kemas''' dalam bahasa Inggris disebut ''Container Crane'' atau ''Portainer'' adalah kran yang digunakan untuk membongkar atau memuat peti kemas dari dan ke dermaga ke kapal peti kemas atau memindahkan peti kemas dari satu tempat ketempat lain di dalam terminal peti kemas.

:Peti kemas yang diangkat, dipindah adalah peti kemas ISO yang berukuran panjang 20, 40 dan 45 kaki yang dari truk chasis bergerak dibawah kran, kemudian diangkat keatas dan kemudian ke kapal dan sebaliknya. Kran bergerak diatas rel, sehingga posisi kran hanya bisa bergerak menelusuri dermaga.

* '''Rubber Tyred Gantry crane (derek RTG)''' adalah gantry mobile crane digunakan untuk penumpukan peti kemas dalam lapangan penumpukan terminal peti kemas. RTGS digunakan pada terminal peti kemas dan lapangan wadah penyimpanan yang bergerak mengangkangkan diatas jalur rel / jalan dan penyimpanan kontainer, atau ketika kepadatan maksimum penyimpanan dalam tumpukan peti kemas yang diinginkan.
* '''Reach stacker''' merupakan perangkat untuk memindahkan petikemas ke tuk ataupun untuk memindahpan petikemas dilapangan penumpukan peti kemas. Reach stacker berbentuk dan bekerja seperti forklift.
* '''Forklift peti kemas''' merupakan forklift yang digunakan untuk memindahkan peti kemas dilapangan penumpukan atau di gudang/pabrik.
* '''Mobil kran''' merupakan kran yang bisa berpindah, digunakan untuk memindahkan [https://kontainerindonesia.co.id/ peti kemas] di pelabuhan kecil atau di gudang/pabrik.
* '''Truk doli''' adalah truk yang dipergunakan di pelabuhan/terminal peti kemas untuk memindahkan peti kemas dari dan ke lapangan penumpukan ke Krane untuk dinaikkan atau diturunkan kekapal. Sangat efisien karena dapat menarik dan memindahkan sekaligus 4 peti kemas standar (20&amp;nbsp;ft) atau 2 peti kemas 40 kaki.

&lt;gallery&gt;
Berkas:Portainer (gantry crane).jpg|Kran peti kemas
Berkas:Kuantan Port Container Yard with Rubber Tyre Gantry.JPG|Rubber Tyred Gantry crane (derek RTG)
Berkas:CN Box Car Loader.JPG|Peti kemas yang sedang dimuat dengan Reachstacker ke atas truk
Berkas:containerforklift.jpg|Forklift yang digunakan untuk memindahkan peti kemas
Berkas:Mobil kran.JPG|mobil kran yang sedang memindahkan peti kemas ke truk peti kemas
Berkas:Trukdoli.jpg|Truk doli di TPS Surabaya
&lt;/gallery&gt;

==e-freight==
Dalam mempercepat proses angkutan barang khususnya yang terkait dengan dokumentasi dari barang yang diangkut maka dalam dekade belakangan ini dikembangkan aliran dukumen tanpa kertas (paperless document). Sehingga menjadi kerangka yang tepat untuk memungkinkan pelacakan barang secara real time, dan terbentuk suatu sistem transportasi angkutan bersih&lt;ref&gt;e-FREIGHT is an Integrated project within the EU's 7th Framework programme [http://www.efreightproject.eu/]&lt;/ref&gt;:

* Masukan dalam pengembangan konsep ''single window'' dan ''administrasi satu atap''; dengan menciptakan dan menjalankan dokumen angkutan tunggal dalam bentuk elektronik (waybill elektronik), dan menciptakan kerangka kerja yang tepat untuk penyebaran pelacakan dan tehnologi pelacakan.
* Mermastikan rezim multi moda dalam rangka memanfaatkan moda kereta api, air, dan transportasi jalan yang merupakan moda kombinasi yang umum digunakan pada saat barang harus dipindahkan melalui laut dari satu daerah/kawasan/negara ke daerah/kawasan/negara lain.

===Indonesian National Single Window===
Diatur dalam Peraturan Presiden Nomor 10 Tahun 2008&lt;ref&gt;Peraturan Presiden Republik Indonesia Nomor 10 Tahun 2008 Tentang Penggunaan Sistem Elektronik Dalam Kerangka Indonesia National Single Window&lt;/ref&gt;, yaitu Sistem nasional Indonesia yang memungkinkan dilakukannya suatu penyampaian data dan informasi secara tunggal (single submission of data and information), pemrosesan data dan informasi secara tunggal dan sinkron (single and synchronous processing of data and information), dan pembuatan keputusan secara tunggal untuk pemberian izin kepabeanan dan pengeluaran barang (single decision making for customs clearance and release of cargoes).

Portal INSW adalah sistem yang akan melakukan integrasi informasi berkaitan dengan proses penanganan dokumen kepabeanan dan pengeluaran barang, yang menjamin keamanan data dan informasi serta memadukan alur dan proses informasi antar sistem internal secara otomatis, yang meliputi sistem kepabeanan, perizinan, kepelabuhanan/kebandarudaraan, dan sistem lain yang terkait engan proses penanganan dokumen kepabeanan dan pengeluaran barang. Situs resmi dari Indonesian National Single Window dapat di akses pada alamat http://www.insw.go.id/index.jsp.

===ASEAN Single Window (ASW)=== &lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/26/jual-burner-riello-type-rls/&gt;Jual burner riello RLS Dual fuel &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/26/pengertian-thermal-oil-boiler/&gt;pengertian thermal oil boiler &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/23/jual-boiler-tabung-api-200-kg/&gt;jual boiler steam tabung 200 kg &lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/23/jual-boiler-steam-untuk-industri/&gt; jual steam boiler industri&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/17/jual-burner-riello-heavy-oil/&gt; jual oil burner riello&lt;/a&gt;
&lt;a href=https://tokomesinku.com/2020/01/17/jual-steam-boiler-uap/&gt; jual boiler steam uap&lt;/a&gt;
ASEAN Single Window (ASW) adalah suatu environment dimana sistem NSW dari negara anggota ASEAN dioperasikan dan di-integrasikan, sehingga mampu meningkatkan kinerja penanganan atas lalulintas barang antar negara Anggota ASEAN, utk mendorong percepatan proses customs clearance dan cargo release.

==Referensi==
{{Reflist}}

[[Irfan, Muhammad.Kategori:Moda Transportasi]]</text>
      <sha1>oxaceom1ax66r4303r5z6i9pc81ykpo</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Soal-Soal Matematika/Matriks transformasi</title>
    <ns>0</ns>
    <id>23146</id>
    <revision>
      <id>116124</id>
      <parentid>115251</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:40:43Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116124</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21247" sha1="6vx18ln9w39nr0f6x5107lowebdnd10" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \,alpha = m maka sin \,alpha = \frac{1}{sqrt{1+m^2}}, cos \,alpha = \frac{m}{sqrt{1+m^2}} \\
cos \,alpha = \sqrt}1-m^2}{1+m^2}, sin \,alpha = \sqrt{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} = \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>6vx18ln9w39nr0f6x5107lowebdnd10</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116125</id>
      <parentid>116124</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:43:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116125</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21248" sha1="t5qy6mdfhwm5g9jnz4x9tdis5wjxbnr" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \,alpha = m maka sin \,alpha = \frac{1}{sqrt{1+m^2}}, cos \,alpha = \frac{m}{sqrt{1+m^2}} \\
cos \,alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \,alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>t5qy6mdfhwm5g9jnz4x9tdis5wjxbnr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116126</id>
      <parentid>116125</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:44:54Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116126</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21257" sha1="0birfta65rpzdr4gnm3vq4gfr8e25nq" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \,alpha = m \text{ maka } sin \,alpha = \frac{1}{sqrt{1+m^2}}, cos \,alpha = \frac{m}{sqrt{1+m^2}} \\
cos \,alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \,alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>0birfta65rpzdr4gnm3vq4gfr8e25nq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116127</id>
      <parentid>116126</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:45:50Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116127</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21259" sha1="jcj4fy49wdmlxnd1soki1ir1yyltne1" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \,alpha = m \text{ maka } sin \,alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \,alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \,alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \,alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp;m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>jcj4fy49wdmlxnd1soki1ir1yyltne1</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116128</id>
      <parentid>116127</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:52:38Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>116128</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21261" sha1="gc37dn0wz64y9vhcoh6gq48f34glpxa" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \,alpha = m \text{ maka } sin \,alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \,alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \,alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \,alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>gc37dn0wz64y9vhcoh6gq48f34glpxa</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116131</id>
      <parentid>116128</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:56:05Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>116131</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21273" sha1="ldi0r4p2avblnp6irsk4n0ei16c2djf" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ldi0r4p2avblnp6irsk4n0ei16c2djf</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116133</id>
      <parentid>116131</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:58:37Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116133</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21272" sha1="iivcqkd9brkdvtsmbd3r5ito2hzp14a" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>iivcqkd9brkdvtsmbd3r5ito2hzp14a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116134</id>
      <parentid>116133</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:59:36Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116134</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21278" sha1="e3mio8f5r51w8iu0qc3a82g0hj70rzr" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>e3mio8f5r51w8iu0qc3a82g0hj70rzr</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116135</id>
      <parentid>116134</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:08:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116135</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21272" sha1="iivcqkd9brkdvtsmbd3r5ito2hzp14a" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>iivcqkd9brkdvtsmbd3r5ito2hzp14a</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116136</id>
      <parentid>116135</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:13:07Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116136</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21513" sha1="htsf6pe7gcg9uu78vhgr5ias4o4s21t" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} &amp;= 
&amp;= \begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -\frac{1-m^2}{1+m^2}
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>htsf6pe7gcg9uu78vhgr5ias4o4s21t</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116137</id>
      <parentid>116136</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:14:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116137</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21510" sha1="nik43me54pusj0myp3igmw3p2b6n5wj" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{align}
 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -\frac{1-m^2}{1+m^2}
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>nik43me54pusj0myp3igmw3p2b6n5wj</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116138</id>
      <parentid>116137</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:26:17Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116138</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21510" sha1="1h8rfq135nvzqx6cv6pg5qxx9wknm81" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

 \begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -\frac{1-m^2}{1+m^2}
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>1h8rfq135nvzqx6cv6pg5qxx9wknm81</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116139</id>
      <parentid>116138</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:28:40Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116139</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21706" sha1="njkxy11afvlux9f8zttuzg25p1a4kdm" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -\frac{1-m^2}{1+m^2}
  \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>njkxy11afvlux9f8zttuzg25p1a4kdm</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116140</id>
      <parentid>116139</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:30:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116140</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21706" sha1="7wxz0ol4lkwe91qxmjl6izsoj21lloz" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -\frac{1-m^2}{1+m^2}
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>7wxz0ol4lkwe91qxmjl6izsoj21lloz</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116141</id>
      <parentid>116140</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:31:35Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116141</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21708" sha1="ekx4u8ngdgijtzlbijrj2uviaa9pfdx" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; \frac{-(1-m^2)}{1+m^2}
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>ekx4u8ngdgijtzlbijrj2uviaa9pfdx</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116142</id>
      <parentid>116141</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:32:21Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <comment>/* Refleksi */</comment>
      <origin>116142</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="21708" sha1="14655miufyxi0g4yyzhe82sojbbs8aw" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -(\frac{1-m^2}{1+m^2})
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>14655miufyxi0g4yyzhe82sojbbs8aw</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116143</id>
      <parentid>116142</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T01:38:29Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Akuindo</username>
        <id>8654</id>
      </contributor>
      <origin>116143</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="23072" sha1="rtotipt9w1rt5strrlemjusbastu16p" xml:space="preserve">== Transformasi ==
Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:
* Transformasi [[isometri]]
Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).
* Transformasi nonisometri
Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

=== Translasi ===
Rumus translasi adalah:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

Rumus arah translasi T(a,b) atau &lt;math&gt;
T\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;

=== Refleksi ===
Rumus refleksi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt; (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa)
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{1+m^2}
\begin{pmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\
cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, 2\alpha &amp; sin \, 2\alpha \\
    sin \, 2\alpha &amp; -cos \, 2\alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1-m^2}{1+m^2} &amp; \frac{2m}{1+m^2} \\
    \frac{2m}{1+m^2} &amp; -(\frac{1-m^2}{1+m^2})
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{1+m^2}
\begin{bmatrix}
    1-m^2 &amp; 2m \\
    2m &amp; m^2-1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Rotasi ===
Rumus rotasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: terhadap persamaan y=mx+c
:: cari &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; bergradien &lt;math&gt; tan \, \alpha = m&lt;/math&gt;
:: kemudian rumus berikut:
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

:: jika m merupakan bilangan real
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; = &lt;math&gt; \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}
\begin{pmatrix}
    1 &amp; -m \\
    m &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    0 \\
    c
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Pembuktian&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\

\begin{bmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    cos \, \alpha &amp; -sin \, \alpha \\
    sin \, \alpha &amp; cos \, \alpha
  \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= 
\begin{bmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} &amp; -(\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}) \\
    \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} &amp; \frac{1}{\sqrt{1+m^2}})
  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix} &amp;= \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}
\begin{bmatrix}
    1 &amp; -m \\
    m &amp; 1
  \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
    x \\
    y-c
  \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
    0 \\
    c
  \end{bmatrix}
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

=== Dilatasi ===
Rumus dilatasi adalah:
: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Stretching ===
Rumus stretching adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    k &amp; 0 \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    0 &amp; k
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

=== Shearing ===
Rumus shearing adalah:
: sumbu x
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; k \\
    0 &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: sumbu y
:: tanpa titik pusat
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x \\
    y
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: dengan titik pusat (a,b)
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x' \\
    y'
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; =
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    1 &amp; 0 \\
    k &amp; 1
  \end{pmatrix} 
&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    x-a \\
    y-b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt; +
&lt;math&gt;
\begin{pmatrix}
    a \\
    b
  \end{pmatrix}
&lt;/math&gt;

: Rumus sederhana
{| class=&quot;wikitable&quot; 
|-
! Keterangan !! Posisi !! Hasil
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Translasi
|-
| penggeseran (a,b) || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + a, y + b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Refleksi
|-
| sumbu x [0°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y [90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| y=x [45°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, x)&lt;/math&gt;
|-
| y=-x [135°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(- x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (a,0) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(2a-x, y)&lt;/math&gt;
|-
| pusat (0,b) [0° dan 90°] || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, 2b-y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y, x)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y, -x)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x, -y)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + y, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, x + k \cdot y)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Rotasi
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;]
|-
| 90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-y + a + b, x - a + b)&lt;/math&gt;
|-
| -90° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(y - a + b, -x + a + b)&lt;/math&gt;
|-
| 180° || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(-x + 2a, -y + 2b)&lt;/math&gt;
|-
| align=&quot;center&quot; colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k]
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Dilatasi
|-
| skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Stretching
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(k \cdot x + (1 - k) a, y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, k \cdot y + (1 - k) b)&lt;/math&gt;
|-
! align=&quot;center&quot; colspan=3| Shearing
|-
| sumbu x dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x + k \cdot (y - b)), y)&lt;/math&gt;
|-
| sumbu y dan skala k || &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;(x, y + k \cdot (x - a))&lt;/math&gt;
|}

*keterangan:
# berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif

== Luas ==
misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3)
; cara 1
titik awal diubah menjadi titik bayangan.
: &lt;math&gt;\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 x_1' &amp; x_2' &amp; x_3' &amp; x_1' \\
 y_1' &amp; y_2' &amp; y_3' &amp; y_1' \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\
\end{align}&lt;/math&gt;

; cara 2
: Luas = | det M | x luas awal

contoh
# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2x-y \\
  5x-3y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\
\text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\
 
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

  &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -1 \\
  5 &amp; -3 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= -1 \cdot \begin{bmatrix}
  -3 &amp; 1 \\
  -5 &amp; 2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3 &amp; -1 \\
  5 &amp; -2 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  3x'-y' \\
  5x'-2y' \\
 \end{bmatrix} \\
 
 x &amp;= 3x'-y' \\
 y &amp;= 5x'-2y' \\
 2x-3y &amp;= 5 \\
 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &amp;= 5 \\
 6x'-2y'-15x'+6y' &amp;= 5 \\
 -9x'+4y' &amp;= 5 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 \\
  5 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  2+x \\
  5+y \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x'' \\
  y'' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  5+y \\
  2+x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\
\text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-2x-3 \\
x''-5 &amp;= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\
x''-5 &amp;= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\
x'' &amp;= y''^2-6y''+10 \\
x &amp;= y^2-6y+10 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-5x+6 jika ditransformasikan oleh  refleksi persamaan y-x=3?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

y-x &amp;= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\
tan \, \alpha &amp;= 1 \\
\alpha &amp;= 45^\circ \\

\text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\
\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; -cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; 1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y-3 \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x \\
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
  0 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  y-3 \\
  x+3 \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\
\text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

y &amp;= x^2-5x+6 \\
x'+3 &amp;= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\
x'+3 &amp;= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\
x' &amp;= y'^2-11y''+27 \\
x &amp;= y^2-11y+27 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

\text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{dilatasi skala 4. } \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  -4y \\
  4x \\
 \end{bmatrix} \\

\text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\
\text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\
\text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}

 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  cos \, 90^\circ &amp; -sin \, 90^\circ \\
  sin \, 90^\circ &amp; cos \, 90^\circ \\
 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 
 &amp;= \begin{bmatrix}
  4 &amp; 0 \\
  0 &amp; 4 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; -1 \\
  1 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\ 
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -y \\
  x \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; -4 \\
  4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

&amp;= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix}
  0 &amp; 4 \\
  -4 &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  0 &amp; \frac{1}{4} \\
  -\frac{1}{4} &amp; 0 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} \\

 &amp;= \begin{bmatrix}
  \frac{y'}{4} \\
  -\frac{x'}{4} \\
 \end{bmatrix} \\

x &amp;= \frac{y'}{4} \\
y &amp;= -\frac{x'}{4} \\

x &amp;= y^2+3y-4 \\
\frac{y'}{4} &amp;= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
\frac{y''}{4} &amp;= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\
4y'' &amp;= 16x''^2-12x''-64 \\
4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\

\text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &amp;= 16x^2-12x-64 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

# Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut?

; cara 1
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
; \text{menentukan titik bayangan A} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 \\
  3 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -7 \\
  13 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan B} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -2 \\
  4 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  -16 \\
  14 \\
 \end{bmatrix} \\

; \text{menentukan titik bayangan C} \\
 \begin{bmatrix}
  x' \\
  y' \\
 \end{bmatrix} &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  x \\
  y \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  -1 \\
  -1 \\
 \end{bmatrix} \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  1 \\
  -5 \\
 \end{bmatrix} \\

 L &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 -7 &amp; -16 &amp; 1 &amp; -7 \\
 13 &amp; 14 &amp; -5 &amp; 13 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 154 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

; cara 2
&lt;div class=&quot;toccolours mw-collapsible mw-collapsed&quot; style=&quot;width:550px&quot;&gt;&lt;div style=&quot;font-weight:bold;line-height:1.6;&quot;&gt;Jawaban&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;mw-collapsible-content&quot;&gt;
&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
\begin{align}
 L_a &amp;= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r}
 1 &amp; -2 &amp; -1 &amp; 1 \\
 3 &amp; 4 &amp; -1 &amp; 3 \\
 - &amp; - + &amp; - + &amp; + \\
 \end{array} \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\
 &amp;= \frac{1}{2} \cdot 14 \\
 &amp;= 7 \\
 L_b &amp;= | \text{det M} | \cdot L_a \\
 &amp;= \begin{bmatrix}
  2 &amp; -3 \\
  1 &amp; 4 \\
 \end{bmatrix} \cdot 7 \\
 &amp;= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\
 &amp;= (8+3) \cdot 7 \\
 &amp;= 11 \cdot 7 \\
 &amp;= 77 \\
\end{align}
&lt;/math&gt;
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

[[Kategori:Soal-Soal Matematika]]</text>
      <sha1>rtotipt9w1rt5strrlemjusbastu16p</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Pengguna:Sikurakurasi</title>
    <ns>2</ns>
    <id>27236</id>
    <revision>
      <id>116121</id>
      <parentid>115162</parentid>
      <timestamp>2026-06-06T16:16:08Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sikurakurasi</username>
        <id>42826</id>
      </contributor>
      <origin>116121</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="505" sha1="avsssnx9y0ok7lt7j5lull29kc2wpa2" xml:space="preserve">{{Infobox pengguna
|nama=Sikurakurasi
|pekerjaan=Penjual Buku, Peneliti Independen, Home Brewer
|tanggal lahir=2 Desember 2023
|tempat lahir=Internet
|negara=Indonesia
|hobi=Kurasi Arsip, Membaca Buku, Menonton Anime
|ideologi=Sikurakuraisme
|religion=Rawonisme
|image=The Natural History of Selborne, and the Naturalist's Calendar - The Tortoise.png
}}

Saya adalah Sikurakurasi dan kini berdomisili di planet Bumi. Saya memiliki minat pada topik sejarah, budaya, ekologi, dan gastronomi--khususnya kopi.</text>
      <sha1>avsssnx9y0ok7lt7j5lull29kc2wpa2</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116122</id>
      <parentid>116121</parentid>
      <timestamp>2026-06-06T16:20:04Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sikurakurasi</username>
        <id>42826</id>
      </contributor>
      <origin>116122</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="629" sha1="p3cpwx94slx0gc8etgab6d9ckp4zgta" xml:space="preserve">{{Infobox pengguna
|nama=Sikurakurasi
|pekerjaan=Penjual Buku, Peneliti Independen, Home Brewer
|tanggal lahir=2 Desember 2023
|tempat lahir=Internet
|hobi=Kurasi Arsip, Membaca Buku, Menonton Anime
|ideologi=Sikurakuraisme
|religion=Rawonisme
|image=The Natural History of Selborne, and the Naturalist's Calendar - The Tortoise.png
|nationality=Konohagakure}}

'''Sikurakurasi''' wujud internet dari ''[[w:Manusia|Homo sapiens]]'' penyuka rawon dan kini berdomisili di planet Bumi. Dia memiliki minat pada topik [[w:Sejarah|sejarah]], [[w:Budaya|budaya]], [[w:Ekologi|ekologi]], dan [[w:Gastronomi|gastronomi]]—khususnya kopi.</text>
      <sha1>p3cpwx94slx0gc8etgab6d9ckp4zgta</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Denyut Selatan</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27489</id>
    <revision>
      <id>116129</id>
      <parentid>115977</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:54:39Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Astari28</username>
        <id>36197</id>
      </contributor>
      <origin>116129</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="982" sha1="h695eag2wzouv886uehm4tvqk756plt" xml:space="preserve">[[Berkas:Deburan ombak Papuma.jpg|jmpl|Papuma]]Aku datang dengan dada yang penuh sesak,

kau sambut dengan ombak.

Tak ada basa-basi di sini, tak ada pura-pura,

hanya laut dan langit yang saling bicara.

Karang-karang itu berdiri sejak entah kapan,

tak pernah meminta, tak pernah mengeluh kepada Tuhan.

Diterjang gelombang ribuan kali tanpa jeda,

namun tetap tegak, mengajarkan kita tentang setia.

Buih putih itu, lihat ia datang dan pergi,

seperti manusia yang singgah lalu meninggalkan sepi.

Tapi laut tak pernah berduka terlalu lama,

ia kembali biru, kembali tenang, kembali sempurna.
Di sinilah Papuma berbicara tanpa suara, 

lewat debur ombak yang menampar jiwa-jiwa lara.

Bahwa hidup memang seperti laut selatan ini,

kadang ganas, kadang damai, tapi selalu berarti.

Maka berdiri saja di tepi, rasakan dalam-dalam,

biarkan angin asin menyapu semua yang kelam.

Biarkan ombak mencuci penat yang tak tertanggung,

Papuma memelukmu, dalam diam yang tak pernah bohong.</text>
      <sha1>h695eag2wzouv886uehm4tvqk756plt</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116130</id>
      <parentid>116129</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:55:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Astari28</username>
        <id>36197</id>
      </contributor>
      <origin>116130</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="989" sha1="ghwkn1m9kcwo16elen1hdudr14ovq2x" xml:space="preserve">[[Berkas:Deburan ombak Papuma.jpg|jmpl|Pantai Papuma]]Aku datang dengan dada yang penuh sesak,

kau sambut dengan ombak.

Tak ada basa-basi di sini, tak ada pura-pura,

hanya laut dan langit yang saling bicara.

Karang-karang itu berdiri sejak entah kapan,

tak pernah meminta, tak pernah mengeluh kepada Tuhan.

Diterjang gelombang ribuan kali tanpa jeda,

namun tetap tegak, mengajarkan kita tentang setia.

Buih putih itu, lihat ia datang dan pergi,

seperti manusia yang singgah lalu meninggalkan sepi.

Tapi laut tak pernah berduka terlalu lama,

ia kembali biru, kembali tenang, kembali sempurna.
Di sinilah Papuma berbicara tanpa suara, 

lewat debur ombak yang menampar jiwa-jiwa lara.

Bahwa hidup memang seperti laut selatan ini,

kadang ganas, kadang damai, tapi selalu berarti.

Maka berdiri saja di tepi, rasakan dalam-dalam,

biarkan angin asin menyapu semua yang kelam.

Biarkan ombak mencuci penat yang tak tertanggung,

Papuma memelukmu, dalam diam yang tak pernah bohong.</text>
      <sha1>ghwkn1m9kcwo16elen1hdudr14ovq2x</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>116132</id>
      <parentid>116130</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T00:58:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Astari28</username>
        <id>36197</id>
      </contributor>
      <origin>116132</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="1025" sha1="hr6iyqefolr0rd1srq3oio8dyum47oe" xml:space="preserve">[[Berkas:Deburan ombak Papuma.jpg|jmpl|Pantai Papuma]]Aku datang dengan dada yang penuh sesak,

kau sambut dengan ombak.

Tak ada basa-basi di sini, tak ada pura-pura,

hanya laut dan langit yang saling bicara.

Karang-karang itu berdiri sejak entah kapan,

tak pernah meminta, tak pernah mengeluh kepada Tuhan.

Diterjang gelombang ribuan kali tanpa jeda,

namun tetap tegak, mengajarkan kita tentang setia.

Buih putih itu, lihat ia datang dan pergi,

seperti manusia yang singgah lalu meninggalkan sepi.

Tapi laut tak pernah berduka terlalu lama,

ia kembali biru, kembali tenang, kembali sempurna.
Di sinilah Papuma berbicara tanpa suara, 

lewat debur ombak yang menampar jiwa-jiwa lara.

Bahwa hidup memang seperti laut selatan ini,

kadang ganas, kadang damai, tapi selalu berarti.

Maka berdiri saja di tepi, rasakan dalam-dalam,

biarkan angin asin menyapu semua yang kelam.

Biarkan ombak mencuci penat yang tak tertanggung,

Papuma memelukmu, dalam diam yang tak pernah bohong.


[[Kategori:Etno Digital Jember]]</text>
      <sha1>hr6iyqefolr0rd1srq3oio8dyum47oe</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Liberia, Warna Amerika Serikat di Benua Afrika</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27531</id>
    <revision>
      <id>116123</id>
      <timestamp>2026-06-06T17:10:13Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Sikurakurasi</username>
        <id>42826</id>
      </contributor>
      <comment>Membuat tulisan sejarah Liberia</comment>
      <origin>116123</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="8258" sha1="t18osrpp1mycpo2fuqpw4mtu2glbr6n" xml:space="preserve">[[Berkas:Africa Map in Ottoman Turkish.jpg|jmpl|313x313px|Peta Afrika Masa Turki Ottoman]]
Afrika merupakan benua  terbesar kedua di dunia  setelah Asia. Benua ini berbatasan dengan Laut Mediterania di utara, Samudera Atlantik di sebelah barat, Laut Merah dan Samudera Hindia di timur, serta di selatan gabungan Samudera Atlantik dan  Hindia.  Afrika  sendiri  masih  berhubungan  dengan  Asia  sebelum dibangun  Terusan  Suez pada  pertengahan  abad  ke-19 M yang  akhirnya  memisahkan kedua daratan tersebut.  Afrika juga berdekatan dengan benua Eropa yang hanya dibatasi  Laut  Mediterania.  Melihat  kondisi  geografinya,  benua  ini mendapat pengaruh dari peradaban yang meliputi dinamikanya di Asia dan Eropa. 

Berbicara  Afrika,  tentunya  berkaitan  dengan  gerak  bangsa  Eropa  yang notabene melakukan kolonisasi secara sistematik di benua tersebut sejak abad 15. Namun dalam sejarahnya, Amerika (merujuk pada Amerika Serikat saat ini) juga memiliki jejak kolonialisasi di benua Afrika. Kolonialisasi yang dilakukan tentu berbeda periode dengan bangsa-bangsa Eropa. Karena Amerika pada rentang abad ke-15  hingga  17 M  masih  seperti  Afrika  yang  merupakan  wilayah  eksplorasi  serta kolonisasi Eropa. Kolonisasi oleh Amerika di Afrika terjadi pasca revolusi yang terjadi di wilayah koloni Inggris pada akhir abad ke-18 M.

== Perbudakan di Amerika Utara ==
Afrika dan Amerika sejak lama memiliki relasi yang dihubungkan oleh kolonialisasi Eropa. Hubungan tersebut bernama perbudakan. Perdagangan budak sendiri telah dimulai sejak pertengahan abad ke-14 di Eropa Selatan. Pekerja Afrika ini dibutuhkan pasca ''Black Death'' yang menjangkit wilayah Eropa serta sistem perbudakan juga sudah dikenal sejak masa Romawi.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;Ilifee, John. (2007). ''African: The History of A Continent Second Edition''. Cambridge University Press.&lt;/ref&gt; Budak-budak Afrika di Eropa ini bekerja di sektor agraria khususnya gula. 

Budak Afrika yang hanya dikirim ke wilayah Eropa, seperti Portugis yang mengirim budak Afrika Barat ke wilayahnya. Berkembang ke pengiriman ke “Dunia Baru” yakni Amerika. Pengiriman budak Afrika dilakukan dengan alasan memiliki imunitas unik untuk hidup di Amerika yang saat itu terjadi kasus penyakit menular. Penyakit ini dibawa oleh orang-orang Eropa ke Amerika yang pada akhirnya menjangkit kedua pihak (Eropa dan penduduk asli Amerika). Perbudakan yang dilakukan oleh Portugis ini condong ke sektor agraria yakni gula, yang kebanyakan dikirim ke wilayah Brazil. Pada akhirnya bangsa-bangsa Eropa lainnya melakukan pengiriman budak dari Afrika Barat ke masing-masing wilayah koloninya di Amerika.

Pada koloni Inggris di Amerika Utara sekitar Virginia, perbudakan terjadi pada tahun 1619. Sekitar 20 budak dari Afrika Barat dibawa oleh Portugis dan dibeli oleh koloni Inggris. Pada awalnya pekerja yang dipakai dalam pembangunan wilayah koloni Inggris di Virginia adalah orang-orang Eropa yang menjadi pekerja kontrak serta budak Pribumi Amerika.&lt;ref&gt;Pekerja kontrak tersebut merupakan orang-orang Eropa yang miskin.&lt;/ref&gt; Transisi pekerja pada orang-orang Afrika, masif pada akhir abad 17 bersamaan dengan apa yang disebut ''The Atlantic slave trade.'' Orang-orang Afrika dipilih karena harganya lebih murah dibanding pekerja Eropa. 

Budak-budak Afrika ini ditaruh pada sektor perkebunan dengan komoditi tembakau, kapas, beras, serta gula. Jumlah budak Afrika di koloni Inggris sendiri tidak sebesar koloni lain di Amerika. Salah satunya ialah Brazil yang merupakan koloni Portugis. Perbedaan tersebut dikarenakan pengiriman awal budak dari Afrika Barat pada akhir abad 16, 80 persennya menuju wilayah Brazil.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; Perkembangan pesat demografi budak Afrika di koloni Inggris ialah pada 1850 yang tercatat sekitar 3.204.313 jiwa yang jumlahnya terpaut beberapa ribu lebih sedikit ketimbang Brazil.&lt;ref&gt;H. B. Alexander, ''“Brazilian and United States Slavery Compared''”, The Journal of Negro History, Vol. 7 No.4, October 1922.&lt;/ref&gt; Perkembangan budak di koloni Inggris selain ekspor dari benua Afrika itu sendiri. Diiringi pula dengan sistem kerja yang terikat seumur hidup. Sehingga keturunan dari tiap budak Afrika juga meneruskan hidup sebagai budak di bawah tuan-tuan yang kebanyakan orang Eropa atau Inggris. Perbudakan yang terjadi juga berdampak pada munculnya segregasi ras. Sebuah sekat yang memosisikan orang-orang Afrika di bawah.&lt;ref&gt;Muncul Undang-undang yang melarang pernikahan antar ras utamanya antar kulit putih dan hitam. Kebijakan ini muncul tidak lama setelah kedatangan budak Afrika Barat di koloni Inggris.&lt;/ref&gt;

== Liberia yang ''Liberty'' ==
Perbudakan orang-orang Afrika beserta keturunannya mengalami penyusutan dalam hal pengekangan yang diperolehnya seiring revolusi yang bergejolak di Amerika. Dimulai dengan deklarasi kemerdekaan Amerika Serikat atas Britania Raya pada tanggal 4 Juli 1776. Deklarasi tersebut berujung pada Perang Revolusi Amerika. Deklarasi kemerdekaan ini juga berdampak pada mulai ditiadakannya sistem perbudakan di Amerika Utara. 

Walau peniadaan tersebut tidak menyeluruh, namun banyak budak-budak Afrika yang akhirnya bebas karena tidak mempunyai tuan atau dibebaskan. Kebebasan ini juga berbanding terbalik dengan segregasi yang tetap kentara antara kulit hitam dan putih. Walau kebebasan yang diterima oleh mantan budak sebuah hal baik, namun pihak pemerintah Amerika Serikat saat itu tidak pada lajur yang sama. Ada ketakutan akan gangguan seperti yang disebabkan oleh budak-budak yang bebas tersebut. Salah satu gangguan yang ditakutkan juga pernah terjadi pada 1831, yakni pembunuhan 55 orang kulit putih oleh kelompok kulit hitam.&lt;ref&gt;History.com Editors, “Slavery in America”, diakses dari https://www.history.com/topics/black-history/slavery.&lt;/ref&gt;

Gangguan-gangguan tersebut pada akhirnya memunculkan ide untuk mengembalikan budak-budak ke asalnya, yakni Afrika. Melalui ''American Colonization Society'' yang berdiri pada 1817, dijadikan pihak yang bertugas mengirim orang Afrika-Amerika kembali (emigrasi). Proses pengiriman ini dimulai pada 1820, dengan pelayaran ke Afrika Barat oleh 88 orang Afrika-Amerika dan perwakilan ACS. 

Tujuan dari pelayaran ini tentu saja, mencari wilayah yang cocok untuk dihuni dan dipakai sebagai koloni. Pada tahun 1822, kelompok Afrika-Amerika ini tiba di pantai barat Afrika. Pengiriman dilakukan bertahap hingga pada 1847 didirikan koloni yang memproklamasikan sebagai Republik Liberia. Selama masa ''Civil War'' yang merupakan perpecahan kelompok terkait ide perbudakan, terdapat sekitar 15.000 Afrika-Amerika yang melakukan emigrasi ke Liberia.&lt;ref&gt;Olivia B. Waxman, “200 Years Before the 'Send Her Back' Chants, This U.S.-Backed Effort Tried to Send Free Black Americans 'Back'”, diakses dari https://time.com/5629991/american-history-liberia-return.&lt;/ref&gt; 

Berdirinya Republik Liberia merupakan upaya yang dilakukan ''American Colonization Society'' agar kelompok Afrika-Amerika ini tidak terlalu bergantung pada organisasi tersebut. Kemerdekaan Liberia sendiri baru diakui oleh Amerika Serikat pada 1862. Sebagai negara yang lahir dari kolonisasi Amerika Serikat, maka terbentuk pula konstitusi yang merujuk pada Amerika Serikat seperti adanya lembaga eksekutif, legislatif dan yudikatif.&lt;ref&gt;J. H. T. McPherson, ''History of Liberia'', (Baltimore: Johns Hopkins Press,1891). &lt;/ref&gt; Pasca pengakuan kedaulatan tahun 1862, Amerika Serikat pada akhirnya menjalin hubungan diplomatik dengan Liberia hingga 1990an.

== Catatan Akhir ==
&lt;references /&gt;

== Daftar Pustaka ==

* Alexander, H. B. (1922). Brazilian and United States Slavery Compared. ''The Journal of Negro History'', ''7''(4), 349-364. 
* History.com Editors. (2009). Slavery in America. Diakses dari https://www.history.com/topics/black-history/slavery.
* Ilifee, John. (2007). ''African: The History Of A Continent Second Edition''. Cambridge University Press.
* McPherson, J. H. T. (1891). ''History of Liberia'' (No. 10). Baltimore, Md.: Johns Hopkins Press.
* Waxman, O.B. (2019). 200 Years Before the 'Send Her Back' Chants, This U.S.-Backed Effort Tried to Send Free Black Americans 'Back'. Diakses pada dari https://time.com/5629991/american-history-liberia-return.</text>
      <sha1>t18osrpp1mycpo2fuqpw4mtu2glbr6n</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Menulis Cerpen Bahasa Bakumpai</title>
    <ns>0</ns>
    <id>27532</id>
    <revision>
      <id>116144</id>
      <timestamp>2026-06-07T03:41:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Raihankakicak</username>
        <id>41526</id>
      </contributor>
      <comment>←Membuat halaman berisi ''''Menulis Cerpen Bahasa Bakumpai'''  Pengumuman lomba itu muncul sewaktu ia sedang duduk di ruang baca jurusan, sedari menunggu giliran pergantian jam mata kuliah. Seharusnya sedang mencari referensi untuk tugas kuliah, tetapi jemarinya malah membuka media sosial. Di sana, di antara unggahan foto minuman manis dan potongan video konser, matanya tertumbuk pada sebuah poster berwarna cerah.  Tulisan di bagian atas poster itu langsung menarik perhatian rakyat kecil...'</comment>
      <origin>116144</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="11631" sha1="l98gqyyv64rhvxshc32afrw84dnon3p" xml:space="preserve">'''Menulis Cerpen Bahasa Bakumpai'''

Pengumuman lomba itu muncul sewaktu ia sedang duduk di ruang baca jurusan, sedari menunggu giliran pergantian jam mata kuliah. Seharusnya sedang mencari referensi untuk tugas kuliah, tetapi jemarinya malah membuka media sosial. Di sana, di antara unggahan foto minuman manis dan potongan video konser, matanya tertumbuk pada sebuah poster berwarna cerah.

Tulisan di bagian atas poster itu langsung menarik perhatian rakyat kecil seperti dia. Lomba menulis cerpen [[w:Bahasa_Bakumpai|bahasa Bakumpai]] terbuka untuk seluruh masyarakat [[w:Kalimantan_Selatan|Kalimantan Selatan]] dan Tengah. Gambar rumah adat di tengah dengan ulekan air sungai menghiasi, sementara deretan hadiah uang tunai dan sertifikat tercetak jelas di bawahnya. Ia membaca semua detailnya dengan teliti sampai pandangannya berhenti pada satu syarat yang dicetak tebal. Cerpen harus ditulis dalam bahasa Bakumpai. ''Behhhh.''

Ia mengulang membaca kalimat itu seolah berharap menemukan pengecualian kecil yang bisa memberinya alasan untuk ikut tanpa harus mempelajari bahasa baru. Tetapi tidak ada, Bahasa Bakumpai adalah syarat mutlak.

Sejak kecil ia hidup dalam lingkungan bahasa Banjar. Itu bahasa yang digunakan di rumah, di pasar, di sekolah, bahkan di obrolan santai dengan teman-teman. Bahasa Bakumpai hanya hadir sesekali di telinganya, biasanya ketika bertemu pedagang dari desa tertentu atau saat menghadiri acara keluarga yang mengundang kerabat jauh. Suaranya khas seperti ada alunan tertentu di setiap suku kata, tetapi artinya selalu menguap sebelum bisa ditangkap.

Logikanya tidak ada alasan untuk mengikuti lomba ini. Bagaimana mungkin menulis cerita utuh dalam bahasa yang tidak dikuasai. Eh tapiiii, justru alasan itu rasa ingin tahu menyelinap. Bagaimana jika?

Ia memandangi layar ponsel cukup lama sebelum akhirnya menyimpan poster itu ke galeri. Kalender digital dibuka lalu sebuah tanda diberikan pada tanggal tenggat pengumpulan. Tidak ada rencana besar di kepalanya hanya niat sederhana untuk ikut.

Malam itu di kamar kos yang sempit ia membayangkan dirinya duduk di panggung sebuah festival sastra. Cerpennya dibacakan di hadapan juri. Penonton menatap penuh rasa ingin tahu. Ia tidak yakin apakah itu akan menjadi momen kemenangan atau bahan tertawaan tetapi bayangan itu membuatnya tersenyum kecil. Bukan hadiah yang dikejar melainkan pengalaman menantang diri sendiri.

Langkah pertama yang terpikirkan mencari kamus bahasa Bakumpai di internet. Hasil pencarian muncul dalam hitungan detik. Ada beberapa artikel blog dan dipilihnya satu laman yang terlihat paling rapi. Dua kolom berdampingan. Satu berisi daftar kata Bakumpai, satu lagi terjemahan bahasa Indonesia.

Matanya menelusuri setiap baris dengan hati hati. Ada kata yang pendek dan terdengar akrab di telinga, tetapi banyak yang bunyinya asing dan membuat lidahnya ingin tergulung-guling saat mencoba mengucapkannya. Mulai lah menyalin beberapa kata yang menurutnya menarik ke buku catatan. Begitu mencoba menyusunnya menjadi kalimat, semuanya terasa aneh. Susunannya kaku, maknanya terputus putus. Prasangkanya. Seperti mencoba menyatukan potongan ''puzzle'' dari gambar yang berbeda.

Hari berikutnya dihabiskan untuk mencari sumber lain. Ia menonton video orang berbicara dalam bahasa Bakumpai. Ada satu video yang diputar berulang kali, menampilkan seorang berbicara dengan nada cepat dan mengalun. Setiap kata yang diucapkan terdengar seperti aliran air yang melewati bebatuan, indah namun sulit ditangkap maknanya. Ia mencoba menirukan pengucapannya, tetapi selalu berhenti di tengah karena ragu. Lagian sok-sokan, ngerti katanya saja tidak.

Setiap kali menemukan kata baru, ia memotret dan mencatatnya di ponsel. Beberapa kali ada dorongan untuk bertanya kepada orang di sekitarnya, namun rasa malu membuat langkahnya surut. Seperti, ''kamu itu orang sini kalau mau bahasa itu ya ke orang situ'', begitulah.

Sementara waktu terus berjalan. Tenggat lomba kian dekat, tetapi halaman dokumen cerpennya masih lebih banyak kosong daripada isinya. Paragraf pembuka sudah lumayan rapi, tetapi bagian inti cerita terasa hambar. Ia ragu apakah kosakata yang dipakai benar, atau justru akan membuat pembaca asli bahasa itu tertawa karena keliru.

Suatu siang, di koridor kampus yang sepi, ia baru dapat informasi kalau ada seorang teman sekelas yang logatnya berbeda. Ingatannya terpicu. Pernah mendengar teman itu mengatakan bahwa keluarganya berasal dari daerah yang menggunakan bahasa Bakumpai. Tanpa banyak pikir, ia menghampiri.

“Kau orang Bakumpai ya?” tanyanya.

“Iya, kenapa?”  jawab teman itu sambil menoleh.

Ia menceritakan rencananya mengikuti lomba. Temannya tersenyum kecil, lalu bertanya

“Memangnya berapa hari lagi tenggatnya.?”

“Besok!” jawabnya singkat.

Keduanya tertawa pendek. Teman itu sedang terburu-buru sehingga mereka hanya berbicara sebentar. Dari sekian banyak kata yang ingin ditanyakan, hanya satu yang sempat ia minta untuk diterjemahkan. ‘Coba lagi’. Temannya meraih selembar kertas dan menulisnya.

''‘Sinde hindai’''

Dua kata itu kini berada di tangannya. Ia menatapnya lama. Bunyi yang sederhana, tetapi ada sesuatu di dalamnya yang membuatnya ingin terus mengulang. Ia belum tahu akan meletakkannya di bagian mana, tetapi ia yakin kata itu akan menjadi pusat cerita.

Malam terakhir sebelum batas pengumpulan, kamarnya hanya diterangi cahaya lampu meja yang meredup. Lingkar cahaya kuning itu jatuh di permukaan meja yang penuh tumpukan kertas, buku catatan terbuka, dan ponsel dengan layar yang terus menyala menampilkan kamus daringnya. Di sisi kanan, segelas merk kopi datu sudah dingin sejak beberapa jam lalu.

Layar laptop memperlihatkan dokumen cerpen yang belum selesai. Paragraf awal sudah tertulis rapi, memperkenalkan tokoh dan latar, tetapi bagian tengah dan akhir masih kosong. Ia memandangi kursor yang berkedip seolah mengejek. Tenggat pengumpulan hanya tinggal beberapa jam lagi.

Dua kata yang didapat siang itu terngiang di kepala. ''Sinde hindai.'' Ia mengucapkannya pelan, mencoba merasakan setiap suku kata di lidah. Ada getaran aneh, seperti dorongan untuk terus melangkah meskipun langkah sebelumnya goyah. Kata itu seperti bisikan yang membuatnya ingin mencoba lagi, meski tahu usahanya mungkin sia-sia.

Jemarinya mulai mengetik. Ia membiarkan kalimat mengalir tanpa terlalu memikirkan tata bahasa atau ketepatan kosakata. Ia menulis adegan seseorang berdiri di tepi aliran air, menatap riak yang tak pernah sama, merasakan ragu, lalu mendengar suara samar yang membisikkan kata itu. ''Sinde hindai.''

Sesekali ia berhenti untuk mencari kata baru di kamus daring. Sering kali hasil pencarian justru mengarah ke kosakata yang tak relevan dengan cerita. Ada kata yang artinya membuatnya tersenyum sendiri, ada pula yang membuatnya mengernyit karena artinya jauh dari dugaan awal. Namanya waktu tak memberi kesempatan untuk terlalu lama menimbang.

Jam dinding menunjukkan lewat tengah malam. Matanya berat, punggungnya pegal, dan konsentrasi mulai terpecah. Namun di tengah rasa lelah itu, ada bagian dari dirinya yang tak mau berhenti. Setiap kali rasa ragu muncul, ''sinde hindai'' kembali terucap, mengusir niat untuk menutup laptop.

Kalimat demi kalimat terbentuk, meski tidak semua memuaskan. Ia tahu cerita ini belum sempurna. Tetapi semakin ia mengetik, semakin ia merasa bahwa menyelesaikannya lebih penting daripada menunggu momen inspirasi yang mungkin tak akan datang.

Di halaman terakhir, ia menuliskan kata itu sekali lagi. ''Sinde hindai.'' Tidak ia beri terjemahan, tidak ia jelaskan. Biarlah pembaca menebak, atau membiarkan artinya menggantung di kepala mereka.

Fajar belum benar benar datang ketika ia mengetik kalimat terakhirnya. Di luar, suara langkah orang yang hendak berangkat kerja terdengar samar bercampur dengan kokok ayam yang bersahutan. Angin dini hari masuk lewat jendela yang setengah terbuka membawa aroma tanah basah sisa hujan semalam.

Ia membaca kembali cerpennya dari awal. Ada bagian yang membuatnya tersenyum karena berhasil menghadirkan suasana yang diinginkan, tetapi ada pula bagian yang terasa canggung. Kosakata bahasa Bakumpai yang digunakan bisa dihitung dengan jari, sisanya adalah bahasa Indonesia yang diselipi beberapa terjemahan seadanya. Namun di bagian penutup, ''sinde hindai'' berdiri sendiri, dibiarkan tanpa penjelasan, seperti rahasia kecil yang hanya akan dimengerti oleh sebagian orang.

Tangannya sempat ragu di atas keyboard. Ia tahu karya itu jauh dari sempurna. Namun ia juga tahu, jika terlalu lama menunda, ia akan kehilangan keberanian untuk mengirimkannya. Lomba ini bukan tentang menampilkan kemampuan terbaik dalam bahasa Bakumpai, melainkan tentang berani mencoba menulis di luar bahasa ibu yang sudah menjadi zona nyaman.

Situs pengumpulan karya dibuka. Dokumen itu diunggah, judul diisi, formulir dilengkapi, lalu tombol kirim ditekan. Layar menampilkan pesan singkat bahwa karyanya telah diterima. Tidak ada tepuk tangan, tidak ada rasa lega berlebihan, hanya detak jantung yang perlahan kembali normal.

Selesai tidak selesai, kumpul saja, pikirnya. Terserah penilai nanti.

Ia mematikan laptop dan bersandar di kursi. Di meja, kertas kecil dengan tulisan ''sinde hindai'' masih tergeletak. Ia meraihnya dan menempelkannya di dinding tepat di depan meja belajar. Dua kata itu kini menjadi pengingat bahwa setiap kegagalan hanyalah ajakan untuk mencoba lagi.

Beberapa hari kemudian, ia mendengar kabar bahwa lomba itu mendapatkan banyak peserta dari berbagai daerah. Sebagian besar adalah penutur asli bahasa Bakumpai. Ia tidak menaruh harapan besar pada hasilnya. Yang lebih penting adalah perjalanan yang sudah dilewati. Malam malam panjang, pencarian kata, rasa ragu, hingga tawa kecil ketika menemukan kosakata yang tak disangka artinya. Semua itu menjadi cerita tersendiri.

Entah nanti karyanya dibaca oleh juri dengan penuh apresiasi atau hanya sekilas dilirik sebelum dipinggirkan, ia tetap merasa bahwa langkah yang diambil sudah tepat. Sebab di luar semua penilaian, ada kepuasan pribadi yang tidak bisa diukur. Kepuasan karena telah melampaui batas yang sebelumnya ia buat sendiri.

Dan jika suatu hari nanti ada lomba serupa, ia tahu apa yang akan dilakukan. Mengingat kembali dua kata yang sederhana itu, lalu memulai lagi dari awal. ''Sinde hindai.''

Beberapa minggu kemudian, pesan singkat masuk ke ponselnya. Pengumuman pemenang lomba. Ia membukanya tanpa ekspetasi, hanya ingin tahu siapa yang berhasil membawa pulang hadiah. Namun matanya membesar ketika melihat namanya tercantum di urutan pertama.

Ia membacanya berkali kali memastikan tidak salah lihat. Rasa heran bercampur geli memenuhi pikirannya. Dalam hati ia membayangkan para juri yang mungkin kebingungan menilai tumpukan naskah yang sama-sama tidak sempurna. Rupanya jumlah peserta tidak banyak, dan sebagian besar mengalami kesulitan yang sama, bahkan ada yang mengaku menyerah sebelum cerita selesai.

Ia menertawakan nasib baik yang datang tak terduga. Menjadi juara bukan karena mahir, melainkan karena mau mencoba sampai tuntas. Kemenangan itu tidak membuatnya merasa paling hebat, tapi justru semakin mengingatkan bahwa setiap langkah, sekecil apapun, bisa membawanya pada hasil yang tak pernah dibayangkan.

Di dinding kamarnya, kertas kecil bertuliskan ''sinde hindai'' tetap menempel, kini dengan makna yang lebih dalam. Dua kata itu bukan hanya pengingat untuk mencoba lagi, tetapi juga tanda bahwa keberanian kadang menjadi kunci utama untuk menang. 

Banjarmasin, Agustus 2025
[[Kategori:Cerpen]]
[[Kategori:Fiksi]]
[[Kategori:Bahan ajar]]
[[Kategori:Cerita pendek]]</text>
      <sha1>l98gqyyv64rhvxshc32afrw84dnon3p</sha1>
    </revision>
  </page>
</mediawiki>