Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.12 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 13323 117720 117469 2026-07-26T05:43:16Z ~2026-41577-51 43593 /* */ 117720 wikitext text/x-wiki * [[5 cm]] * [[Atheis]] * [[Azab dan Sengsara]] * [[Badai Pasti Berlalu]] * [[Belenggu]] * [[Ca-Bau-Kan: Hanya Sebuah Dosa]] * [[Cantik itu Luka]] * [https://www.google.com/search?smstk=ChhDMldFbGorNkEyYjlvZllJQ080a3FFMD0QAQ%3D%3D&smstidx=0&q=novel+cinta+naturalistik+1&udm=50&csuir=1&aep=34&kgs=ad529ba50a7fd463&shem=epsdc%2Crimspwouoe&shndl=37&shmd=H4sIAAAAAAAA_3XNMQrCMBTGcbtJF8HRqTgKJnZxEO8SXpOQPGxeQvJqO_ZYnsEbeBsVdBLXD37fv35U9Ybi1faNRmJoCHjI0GNhvDTt5uyZUzlJOY6jcIWBUQsdgywWsvb7lGOIEjCo4iFbxX4IHQH2IpHbrr_axeh6KwDlbjHNq7m6Le-V-veNAZwtsstABsl9tFMug0FLLNvpZ1MvTwayUe3xYNI7_wQexwNg3AAAAA&shmds=v1_ATWGeePBfaiTHb4ATfonnhruXbS5D8xAIbhkZ_hjlmhsKlig7w&source=sh%2Fx%2Faim%2Fm1%2F2&mtid=gjINaoTfNuaf4-EPo-GysQc Cinta Naturalistik Part.1] * [[CN1]] * [[Cinta Naturalistik Berkultur Modern Part.2]] * [[Di Bawah Lindungan Ka'bah]] * [[Edensor]] * [[Harimau! Harimau!]] * [[Hulubalang Raja]] * [[Jalan Raya Pos, Jalan Daendels]] * [[Jalan Tak Ada Ujung]] * [[Kubah]] * [[Kulturalisme Cinta Part.1]] * [[Larasati]] * [[Larung]] * [[Laskar Pelangi]] * [[Layar Terkembang]] * [[Madre]] * [[Maryamah Karpov]] * [[Misteri Rumah Kolonel]] * [[Mossak]] * [[Negeri 5 Menara]] * [[Obama Anak Menteng]] * [[Pertemuan Jodoh]] * [[Pintu Terlarang]] * [[Rahasia Meede]] * [[Ranah 3 Warna]] * [[Rara Mendut: Sebuah Trilogi]] * [[Ronggeng Dukuh Paruk]] * [[Salah Asuhan]] * [[Saman]] * [[Sang Pemimpi]] * [[Sengsara Membawa Nikmat]] * [[Sitti Nurbaya]] * [[Supernova]] * [[Surabaya]] * [[Takdir Yang Tak Berjodoh]] * [[Tenggelamnya Kapal Van der Wijck]] * [[The Adventures of Wanara]] * [[Tjerita Si Tjonat]] * [[Trust Me!!]] * [[Tuan Direktur]] == Daftar == * Daftar novel Indonesia * [[Daftar cerpen Indonesia]] * [[Daftar buku Indonesia]] * [[Daftar esai Indonesia]] * [[Daftar puisi Indonesia]] * [[Daftar terjemahan Indonesia]] == Pranala == * [[:w:Kategori:Novel Indonesia]] * [[:w:Daftar novel Indonesia]]<!-- * [[:w:en:Category:Indonesian novels]] * [[:w:en:List of Indonesian books]]--> == Lihat pula == * [[Daftar penulis Indonesia]] * [[Daftar penerbit Indonesia]] [[Kategori:Novel]] [[Kategori:Buku]] 4b9wnx6i0i3mslo37681rqwtbb0pyrd 117769 117720 2026-07-26T11:49:39Z ~2026-41681-22 43596 /* */ 117769 wikitext text/x-wiki * [[5 cm]] * [[Atheis]] * [[Azab dan Sengsara]] * [[Badai Pasti Berlalu]] * [[Belenggu]] * [[Ca-Bau-Kan: Hanya Sebuah Dosa]] * [[Cantik itu Luka]] * [https://www.google.com/search?smstk=ChhDMldFbGorNkEyYjlvZllJQ080a3FFMD0QAQ%3D%3D&smstidx=0&q=novel+cinta+naturalistik+1&udm=50&csuir=1&aep=34&kgs=ad529ba50a7fd463&shem=epsdc%2Crimspwouoe&shndl=37&shmd=H4sIAAAAAAAA_3XNMQrCMBTGcbtJF8HRqTgKJnZxEO8SXpOQPGxeQvJqO_ZYnsEbeBsVdBLXD37fv35U9Ybi1faNRmJoCHjI0GNhvDTt5uyZUzlJOY6jcIWBUQsdgywWsvb7lGOIEjCo4iFbxX4IHQH2IpHbrr_axeh6KwDlbjHNq7m6Le-V-veNAZwtsstABsl9tFMug0FLLNvpZ1MvTwayUe3xYNI7_wQexwNg3AAAAA&shmds=v1_ATWGeePBfaiTHb4ATfonnhruXbS5D8xAIbhkZ_hjlmhsKlig7w&source=sh%2Fx%2Faim%2Fm1%2F2&mtid=gjINaoTfNuaf4-EPo-GysQc Cinta Naturalistik Part.1] * [[Cinta Naturalistik Part.1]] * [[Cinta Naturalistik Berkultur Modern Part.2]] * [[Di Bawah Lindungan Ka'bah]] * [[Edensor]] * [[Harimau! Harimau!]] * [[Hulubalang Raja]] * [[Jalan Raya Pos, Jalan Daendels]] * [[Jalan Tak Ada Ujung]] * [[Kubah]] * [[Kulturalisme Cinta Part.1]] * [[Larasati]] * [[Larung]] * [[Laskar Pelangi]] * [[Layar Terkembang]] * [[Madre]] * [[Maryamah Karpov]] * [[Misteri Rumah Kolonel]] * [[Mossak]] * [[Negeri 5 Menara]] * [[Obama Anak Menteng]] * [[Pertemuan Jodoh]] * [[Pintu Terlarang]] * [[Rahasia Meede]] * [[Ranah 3 Warna]] * [[Rara Mendut: Sebuah Trilogi]] * [[Ronggeng Dukuh Paruk]] * [[Salah Asuhan]] * [[Saman]] * [[Sang Pemimpi]] * [[Sengsara Membawa Nikmat]] * [[Sitti Nurbaya]] * [[Supernova]] * [[Surabaya]] * [[Takdir Yang Tak Berjodoh]] * [[Tenggelamnya Kapal Van der Wijck]] * [[The Adventures of Wanara]] * [[Tjerita Si Tjonat]] * [[Trust Me!!]] * [[Tuan Direktur]] == Daftar == * Daftar novel Indonesia * [[Daftar cerpen Indonesia]] * [[Daftar buku Indonesia]] * [[Daftar esai Indonesia]] * [[Daftar puisi Indonesia]] * [[Daftar terjemahan Indonesia]] == Pranala == * [[:w:Kategori:Novel Indonesia]] * [[:w:Daftar novel Indonesia]]<!-- * [[:w:en:Category:Indonesian novels]] * [[:w:en:List of Indonesian books]]--> == Lihat pula == * [[Daftar penulis Indonesia]] * [[Daftar penerbit Indonesia]] [[Kategori:Novel]] [[Kategori:Buku]] mcczkx8y1nqrnrlwok0ixzzfyh4qlqf 117770 117769 2026-07-26T11:51:30Z ~2026-41681-22 43596 /* */ 117770 wikitext text/x-wiki * [[5 cm]] * [[Atheis]] * [[Azab dan Sengsara]] * [[Badai Pasti Berlalu]] * [[Belenggu]] * [[Ca-Bau-Kan: Hanya Sebuah Dosa]] * [[Cantik itu Luka]] * [[Cinta Naturalistik Part.1]] * [[Cinta Naturalistik Berkultur Modern Part.2]] * [[Di Bawah Lindungan Ka'bah]] * [[Edensor]] * [[Harimau! Harimau!]] * [[Hulubalang Raja]] * [[Jalan Raya Pos, Jalan Daendels]] * [[Jalan Tak Ada Ujung]] * [[Kubah]] * [[Kulturalisme Cinta Part.1]] * [[Larasati]] * [[Larung]] * [[Laskar Pelangi]] * [[Layar Terkembang]] * [[Madre]] * [[Maryamah Karpov]] * [[Misteri Rumah Kolonel]] * [[Mossak]] * [[Negeri 5 Menara]] * [[Obama Anak Menteng]] * [[Pertemuan Jodoh]] * [[Pintu Terlarang]] * [[Rahasia Meede]] * [[Ranah 3 Warna]] * [[Rara Mendut: Sebuah Trilogi]] * [[Ronggeng Dukuh Paruk]] * [[Salah Asuhan]] * [[Saman]] * [[Sang Pemimpi]] * [[Sengsara Membawa Nikmat]] * [[Sitti Nurbaya]] * [[Supernova]] * [[Surabaya]] * [[Takdir Yang Tak Berjodoh]] * [[Tenggelamnya Kapal Van der Wijck]] * [[The Adventures of Wanara]] * [[Tjerita Si Tjonat]] * [[Trust Me!!]] * [[Tuan Direktur]] == Daftar == * Daftar novel Indonesia * [[Daftar cerpen Indonesia]] * [[Daftar buku Indonesia]] * [[Daftar esai Indonesia]] * [[Daftar puisi Indonesia]] * [[Daftar terjemahan Indonesia]] == Pranala == * [[:w:Kategori:Novel Indonesia]] * [[:w:Daftar novel Indonesia]]<!-- * [[:w:en:Category:Indonesian novels]] * [[:w:en:List of Indonesian books]]--> == Lihat pula == * [[Daftar penulis Indonesia]] * [[Daftar penerbit Indonesia]] [[Kategori:Novel]] [[Kategori:Buku]] 7qte592uckovjwwklz8y2xc7j4aiadu 0 23139 117767 113638 2026-07-26T09:38:23Z Akuindo 8654 117767 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :<math>\left({cf}\right)' = cf'</math> :<math>\left({f + g}\right)' = f' + g'</math> :<math>\left({f - g}\right)' = f' - g'</math> ;[[Kaidah darab]] :<math>\left({fg}\right)' = f'g + fg'</math> ;[[Kaidah timbalbalik]] :<math>\left(\frac{1}{f}\right)' = \frac{-f'}{f^2}, \qquad f \ne 0</math> ;[[Kaidah hasil-bagi]] :<math>\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0</math> ;[[Kaidah rantai]] :<math>(f \circ g)' = (f' \circ g)g'</math> ;Turunan [[fungsi invers]] :<math>(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}</math> untuk setiap fungsi terdiferensialkan ''f'' dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada ;Kaidah pangkat umum :<math>(f^g)'=f^g \left( g'\ln f + \frac{g}{f} f' \right)</math> == Rumus sederhana == : <math>c' = 0 \, </math> : <math>x' = 1 \, </math> : <math>(cx)' = c \, </math> : <math>|x|' = {x \over |x|} = \sgn x, \qquad x \ne 0</math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y &= |x| \\ y^2 &= x^2 \\ 2y y' &= 2x \\ y' &= \frac{x}{y} \\ &= \frac{x}{|x|} \\ \end{align} </math> </div></div> : <math>(x^c)' = cx^{c-1} \qquad \mbox{baik } x^c \mbox{ maupun } cx^{c-1} \mbox { terdefinisi}</math> : <math>\left({1 \over x}\right)' = \left(x^{-1}\right)' = -x^{-2} = -{1 \over x^2}</math> : <math>\left({1 \over x^c}\right)' = \left(x^{-c}\right)' = -cx^{-(c+1)} = -{c \over x^{c+1}}</math> : <math>\left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1\over 2}\right)' = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0</math> : <math>\left(x^n\right)' = n \cdot x^{n-1}</math> : <math>\left(u^n\right)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}</math> ; Eksponen dan logaritma :<math> \left(c^x\right)' = c^x \ln c,\qquad c > 0</math> :<math> \left(e^x\right)' = e^x</math> :<math> \left(^c\log x\right)' = \frac{1}{x \ln c}, \qquad c > 0</math> :<math> \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}</math> ; Trigonometri {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math> (\sin x)' = \cos x \,</math> |width=50%|<math> (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}, x \neq \pm 1 \,</math> |- |<math> (\cos x)' = -\sin x \,</math> |<math> (\arccos x)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}, x \neq \pm 1 \,</math> |- |<math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math> |<math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math> |- |<math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math> |<math> (\arcsec x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}, x \neq {\pm 1, 0} \,</math> |- |<math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math> |<math> (\arccsc x)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}, x \neq {\pm 1, 0} \,</math> |- |<math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x) \,</math> |<math> (\arccot x)' = {-1 \over 1 + x^2} \,</math> |} * Tambahkan: ** <math> (\sin^n x)' = n \sin^{n-1} x cos \, x \,</math> ** <math> (\sin u)' = u' \cos \, u \,</math> ** <math> (\sin^n u)' = n u' \sin^{n-1} u cos \, u \,</math> ; Hiperbolik Perhatikan sebagai berikut : <math>sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> : <math>cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> {| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" |width=50%|<math>(\sinh x )'= \cosh x</math> |width=50%|<math>(\operatorname{arcsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> |- |<math>(\cosh x )'= \sinh x</math> |<math>(\operatorname{arccosh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}, x>1</math> |- |<math>(\tanh x )'= \operatorname{sech}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arctanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}, |x|<1</math> |- |<math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh\,x\,\operatorname{sech}\,x</math> |<math>(\operatorname{arcsech}\,x)' = {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}, 0<x<1</math> |- |<math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> |<math>(\operatorname{arccsch}\,x)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}, x \neq 0</math> |- |<math>(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> |<math>(\operatorname{arccoth}\,x)' = { 1 \over 1-x^2}, |x|>1</math> |} :: catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti trigonometri. ; Implisit *cara 1 : <math>ax + by = 1</math> : <math>a + b y' = 0</math> : <math>y' = -\frac{a}{b}</math> *cara 2 persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi <math>\frac{d_y}{d_x} = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}</math> Fungsi implisit dibagi 2 jenis yaitu: # eksplisit artinya fungsi implisit dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: x²y+7=8xy+5x, y²-8x=5-6y # in-eksplisit artinya fungsi implisit tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh: xy+8x=y³-11 == Laju perubahan (rata-rata) == Rumus laju perubahan f(x) pada interval x1 dan x2 adalah V(rata-rata) = <math>\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1}</math> == Nilai ekstrem, interval serta titik stasioner/diam == : Persamaan kuadrat :: Nilai minimum persamaan kuadrat adalah titik terendah (titik stasioner/diam) serta intervalnya turun-naik. :: Nilai maksimum persamaan kuadrat adalah titik tertinggi (titik stasioner/diam) serta intervalnya naik-turun. : Persamaan kubik Ada 4 kemungkinan yang berdasarkan interval sebagai berikut: :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik-turun-naik. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya turun secara monoton. :: Nilai minimum-maksimum dan intervalnya turun-naik-turun. :: Nilai maksimum-minimum dan intervalnya naik secara monoton. Untuk mengetahui nilainya harus turunan kedua (jika kuadrat berarti hasilnya konstanta sedangkan berpangkat lebih dari 2 berarti masukkan x dari hasil turunan pertama untuk memperoleh hasilnya). Jika konstanta > 0 maka itu berarti nilai minimum, konstanta < 0 maka itu berarti nilai maksimum serta konstanta = 0 itu berarti titik belok. Posisi gradien adalah turunan pertama bernilai nol untuk mencari nilai x tersebut. Titik belok berarti turunan kedua bernilai nol tapi turunan ketiga tidak boleh bernilai nol. == Persamaan garis singgung kurva == Gradien (m) pada Persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik A (a, f(a)) adalah m = f’(a) = <math>\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}</math> contoh: # Berapa laju perubahan f(x)=x²-4x+3 pada: ## x=5! ## interval 2<x<3! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= x^2-4x+3 \\ f'(x) &= 2x-4 \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(5)}{5} \\ &= \frac{2(5)-4}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2 \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(3)-f'(2)}{3-2} \\ &= \frac{2(3)-4-(2(2)-5)}{3-2} \\ &= \frac{3}{1} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> # Berapa laju perubahan f(x)=sin x-cos x pada: ## x=<math>\frac{\pi}{6}</math>! ## interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= sin x-cos x \\ f'(x) &= cos x+sin x \\ v &= \frac{f'(x)}{x} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{6}+sin \frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}} \\ &= \frac{\frac{\pi}{2} (\sqrt{3}+1)}{\frac{\pi}{6}} \\ &= 3 (\sqrt{3}+1) \\ v &= \frac{f'(x_2)-f'(x_1)}{x_2-x_1} \\ &= \frac{f'(\frac{\pi}{2})-f'(0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{cos \frac{\pi}{2}+sin \frac{\pi}{2}-(cos 0+sin 0)}{\frac{\pi}{2}-0} \\ &= \frac{(0+1)-(1+0)}{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{0}{\frac{\pi}{2}} \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-3x^2-16x+36 \\ f'(x) &= x^2-6x-16 \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ x^2-6x-16 &= 0 \\ (x+2)(x-8) &= 0 \\ x=-2 &\text{ atau } x=8 \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ f''(-2) &= 2(2)-6 = -2 < 0 \\ f''(8) &= 2(8)-6 = 10 > 0 \\ \text{f''(-2) negatif maka nilai maksimum sedangkan f''(8) positif maka nilai minimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(-2) &= \frac{(-2)^3}{3}-3(-2)^2-16(-2)+36 \\ &= \frac{160}{3} \\ f(8) &= \frac{8^3}{3}-3(8)^2-16(8)+36 \\ &= -\frac{1.386}{3} \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (-2,\frac{160}{3}) \text{ dan } (8,-\frac{1.386}{3}) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 2x-6 \\ 2x-6 &= 0 \\ x &= 3 \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(3) &= \frac{3^3}{3}-3(3)^2-16(3)+36 \\ f(3) &= -30 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (3, -30) \\ \text{untuk menentukan intervalnya, buatlah irisan pada titik stasionernya dengan bantuan x = (-4; 0; 9) maka naik jika } x<-2 \text{ atau } x>8 \text{ dan turun jika } -2<x<8 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai ekstrem, titik stasioner, titik belok serta interval dari <math>f(x)=1-2cos 2x</math> pada batas-batas interval <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math>! : jawaban <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= 1-2cos 2x \\ f'(x) &= 4sin 2x \\ \text{untuk menentukan nilai x ketika f'(x)=0 } \\ 4sin 2x &= 0 \\ 8sin x \cdot cos x &= 0 \\ (sin x)(cos x) &= 0 \\ x=0 &\text{ atau } x=\frac{\pi}{2} \\ \text{ menentukan nilai ekstrem } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ f''(0) &= 8cos 2(0) = 8 > 0 \\ f''(\frac{\pi}{2}) &= 8cos 2(\frac{\pi}{2}) = -8 < 0 \\ \text{f''(0) positif maka nilai minimum sedangkan } f''(\frac{\pi}{2}) \text{ negatif maka nilai maksimum } \\ \text{untuk menentukan titik stasionernya adalah } \\ f(0) &= 1-2cos 2(0) \\ &= -1 \\ f(\frac{\pi}{2}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{2}) \\ &= 3 \\ \text{jadi titik stasionernya adalah } (0,-1) \text{ dan } (\frac{\pi}{2},3) \\ \text{untuk menentukan titik beloknya ketika f''(x)=0 } \\ f''(x) &= 8cos 2x \\ 8cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= 0 \\ cos 2x &= cos \frac{\pi}{2} \\ 2x &= \frac{\pi}{2} \\ x &= \frac{\pi}{4} \\ \text{untuk menentukan titik beloknya adalah } \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1-2cos 2(\frac{\pi}{4}) \\ f(\frac{\pi}{4}) &= 1 \\ \text{jadi titik beloknya adalah } (\frac{\pi}{4}, 1) \\ \text{kondisi intervalnya pada batas-batas tersebut adalah naik } \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2-8x</math> pada: ## di titik (-3,-3)! ## berabsis 2! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= (-3)^2-2(3)-8 \\ f'(x) &= -5 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-3) &= -5 (x-(-3)) \\ y+3 &= -5x-15 \\ y &= -5x-18 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mengetahui y dari berabsis (x) 2 yaitu } \frac{2^3}{3}-2^2-8(2) = -\frac{52}{3} \\ f(x) &= \frac{x^3}{3}-x^2-8x \\ f'(x) &= x^2-2x-8 \\ f'(x) &= 2^2-2(2)-8 \\ f'(x) &= -8 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-(-\frac{52}{3}) &= -8 (x-2) \\ y+\frac{52}{3} &= -8x+16 \\ y &= -8x-\frac{4}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan garis singgung kurva <math>f(x)=3x^2-11x+10</math> dan: ## sejajar dengan 7x-y=21! ## tegak lurus dengan 5y-x=10! :jawaban ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7x-y &= 21 \\ y &= 7x-21 \\ m_1 &= 7 \\ \text{karena bergradien sejajar maka } m_2 = m_1 \\ m_2 &= m_1 \\ m_2 &= 7 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ 7 &= 6x-11 \\ 6x &= 18 \\ x &= 3 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 3 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(3)^2-11(3)+10 \\ &= 4 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-4 &= 7 (x-3) \\ y-4 &= 7x-21 \\ y &= 7x-17 \\ \end{align} </math> </div></div> ## <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 5y-x &= 10 \\ 5y &= x+10 \\ y &= \frac{x}{5}+2 \\ m_1 &= \frac{1}{5} \\ \text{karena bergradien tegak lurus maka } m_2 = -\frac{1}{m_1} \\ m_2 &= -\frac{1}{\frac{1}{5}} \\ m_2 &= -5 \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ f'(x) &= 6x-11 \\ -5 &= 6x-11 \\ 6x &= 6 \\ x &= 1 \\ \text{untuk mencari nilai y dari 1 } \\ f(x) &= 3x^2-11x+10 \\ &= 3(1)^2-11(1)+10 \\ &= 2 \\ (y-y_1) &= m (x-x_1) \\ y-2 &= -5 (x-1) \\ y-2 &= -5x+5 \\ y &= -5x+7 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal tinggi adalah x } \\ t = x, p &= 45-2x, l = 24-2x \\ v &= (45-2x) \cdot (24-2x) \cdot x \\ &= 4x^3-138x^2-1080x \\ \text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0} \\ v(x) &= 4x^3-138x^2-1080x \\ v'(x) &= 12x^2-376x-1080 \\ v'(x) &= 0 \\ 12x^2-376x-1080 &= 0 \\ 12(x^2-23x-90) &= 0 \\ x^2-23x-90 &= 0 \\ (x-18)(x-5) &= 0 \\ x = 18 &\text{ atau } x = 5 \\ \end{align} </math> jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm </div></div> # Sebuah kawat berbentuk persegipanjang dengan ukuran p x l cm. Lebar kawat ini akan dibuat kawat baru dengan cara memasangnya dengan cara setengah ukuran lebar masing-masing dari ujung ke ujung sehingga kelilingnya adalah 130 cm. Tentukan ukuran kawat agar luas maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal panjang adalah p dan lebar adalah l } \\ k &= 3p + 4l \\ 130 &= 3p + 4l \\ 4l &= 130 - 3p \\ l &= 32,5-0,75p \\ L(x) &= pl \\ &= p(32,5-0,75p) \\ &= 32,5p-0,75p^2 \\ \text{agar luas maksimum adalah L'(x) = 0} \\ L(x) &= 32,5p-0,75p^2 \\ L'(x) &= 32,5-1,5p \\ L'(x) &= 0 \\ 32,5-1,5p &= 0 \\ p(32,5-1,5p) &= 0 \\ p = 0 &\text{ atau } p = \frac{65}{3} \\ l &= 32,5-0,75(\frac{65}{3}) \\ &= 32,5-16,25 \\ &= 16,25 \\ \end{align} </math> jadi ukurannya adalah <math>\frac{65}{3}x\frac{65}{4}</math> cm </div></div> # Sebuah kerucut memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal jari-jari dan tinggi kerucut adalah R dan t } \\ \text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan h } \\ \frac{h}{t} &= \frac{R-r}{R} \\ h &= \frac{(R-r)t}{R} \\ \text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 } \\ V(r) &= \pi r^2 h \\ &= \pi r^2 \frac{(R-r)t}{R} \\ &= \pi r^2t-\pi \frac{r^3t}{R} \\ V'(r) &= 2 \pi rt-3 \pi \frac{r^2t}{R} \\ V'(r) &= 0 \\ 2 \pi rt-3 \pi \frac{r^2t}{R} &= 0 \\ 2 \pi rt-3 \pi \frac{r^2t}{R} &= 0 \\ \frac{3r}{R} &= 2 \\ r &= \frac{2R}{3} \\ h &= \frac{(R-\frac{2R}{3})t}{R} \\ &= \frac{Rt}{3R} \\ &= \frac{t}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola memiliki tabung yang berada di dalamnya. Tentukan jari-jari dan tinggi tabung agar volumenya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal jari-jari bola adalah R } \\ \text{Misal jari-jari dan tinggi tabung adalah r dan t } \\ t &= \sqrt{R^2-r^2} \\ \text{agar volume maksimum adalah V'(x) = 0 } \\ V(r) &= \pi r^2 t \\ &= \pi r^2 \sqrt{R^2-r^2} \\ V'(r) &= 2 \pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}} \\ V'(r) &= 0 \\ 2 \pi r\sqrt{R^2-r^2}-\frac{\pi r^3}{\sqrt{R^2-r^2}} &= 0 \\ 2 \sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} &= 0 \\ \frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}} &= 2 \sqrt{R^2-r^2} \\ r^2 &= 2(R^2-r^2) \\ r^2 &= 2R^2-2r^2 \\ 3r^2 &= 2R^2 \\ r &= \frac{R\sqrt{6}}{3} \\ t &= \sqrt{R^2-(\frac{R\sqrt{6}}{3})^2} \\ &= \sqrt{R^2-\frac{6R^2}{9}} \\ &= \sqrt{\frac{R^2}{3}} \\ &= \frac{R\sqrt{3}}{3} \\ \end{align} </math> </div></div> # Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y } \\ x + y &= 40 \\ y &= 40 - x \\ \text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0 } \\ h(x) &= x \cdot y \\ &= x \cdot (40 - x) \\ &= 40x - x^2 \\ h'(x) &= 40 - 2x \\ h'(x) &= 0 \\ 40 - 2x &= 0 \\ 2x &= 40 \\ x &= 20 \\ h(x) &= 20 \cdot (40 - 20) \\ &= 20 \cdot 20 \\ &= 400 \\ \end{align} </math> jadi hasil kalinya adalah 400 </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x^x! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y &= x^x \\ ln y &= ln x^x \\ ln y &= x ln x \\ \frac{1}{y} y' &= ln x + x \frac{1}{x} \\ y' &= y (ln x + 1) \\ &= x^x (ln x + 1) \\ \end{align} </math> </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ x^3-y^2 &= 15 \\ 3x^2-2yy' &= 0 \\ 2yy' &= 3x^2 \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3-y^2 &= 15 \\ x^3-y^2-15 &= 0 \\ y'(x) &= 3x^2 \\ y'(y) &= -2y \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{3x^2}{-2y} \\ &= \frac{3x^2}{2y} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ x^3-y^2 &= 15 \\ y^2 &= x^3-15 \\ y &= \sqrt{x^3-15} \\ y' &= \frac{3x^2}{2y} \\ &= \frac{3x^2}{2 \sqrt{x^3-15}} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2(x^3-15)} \\ &= \frac{3x^2 \sqrt{x^3-15}}{2x^3-30} \\ \end{align} </math> </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari 3x²y+7y=x³-2! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^2y+7y &= x^3-2 \\ y(3x^2+7) &= x^3-2 \\ y &= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\ y' &= \frac{3x^2(3x^2+7)-(x^3-2)6x}{(3x^2+7)^2} \\ &= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ &= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{untuk mencari nilai y maka } \\ 3x^2y+7y &= x^3-2 \\ (3x^2+7)y &= x^3-2 \\ y &= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\ 3x^2y+7y &= x^3-2 \\ 6xy+3x^2y'+7y' &= 3x^2 \\ 3x^2y'+7y' &= 3x^2-6xy \\ (3x^2+7)y' &= 3x^2-6xy \\ y' &= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\ &= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\ &= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\ &= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ &= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 3 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^2y+7y &= x^3-2 \\ 3x^2y+7y-x^3+2 &= 0 \\ y'(x) &= 6xy-3x^2 \\ y'(y) &= 3x^2+7 \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{6xy-3x^2}{3x^2+7} \\ &= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\ \text{untuk mencari nilai y maka } \\ 3x^2y+7y &= x^3-2 \\ (3x^2+7)y &= x^3-2 \\ y &= \frac{x^3-2}{3x^2+7} \\ y' &= \frac{3x^2-6xy}{3x^2+7} \\ &= \frac{3x^2-6x(\frac{x^3-2}{3x^2+7})}{3x^2+7} \\ &= \frac{3x^2(3x^2+7)-6x(x^3-2)}{(3x^2+7)^2} \\ &= \frac{9x^4+21x^2-6x^4+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ &= \frac{3x^4+21x^2+12x}{81x^8+756x^6+2.646x^4+4.116x^2+2.401} \\ \end{align} </math> </div></div> * Tentukan hasil turunan pertama dari x²y+xy²=x+2y! ;cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2y+xy^2 &= x+2y \\ 2xy+x^2y'+y^2+x2yy' &= 1+2y' \\ x^2y'+2xyy'-2y' &= 1-2xy-y^2 \\ (x^2+2xy-2)y' &= -y^2-2xy+1 \\ y' &= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\ \end{align} </math> </div></div> ;cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2y+xy^2 &= x+2y \\ x^2y+xy^2-x-2y &= 0 \\ y'(x) &= 2xy+y^2-1 \\ y'(y) &= x^2+x2y-2 \\ y' = \frac{dy}{dx} &= -\frac{y'(x)}{y'(y)} \\ &= -\frac{2xy+y^2-1}{x^2+x2y-2} \\ &= \frac{-y^2-2xy+1}{x^2+2xy-2} \\ \end{align} </math> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] r6sctw9nyspl9mscnrrdfo2mfsz843a 0 23140 117714 116284 2026-07-26T00:02:57Z Akuindo 8654 /* integral notasi */ 117714 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int f(x) \circ g(x) dx</math> = f’(g(x)) g’(x) :# <math>\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx</math> = f’(f^-1(x)) f^-1’(x) = 1 :# <math>\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}</math> == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> <math>\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C</math> <math>\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C</math> :<math>\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C</math> :<math>\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C</math> :<math>\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C</math> :<math>\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x + \tan \, x \right|} + C</math> :<math>\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C</math> :<math>\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C</math> :<math>\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : 1. <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx</math> : <math>= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : 1. <math>\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx</math> : <math>u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{\ln(x)}{x} dx \\ \int u du \\ \frac{1}{2} u^2 + C \\ \frac{1}{2} ln^2 x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4\,dx \\ \int (u+5)u^4\,du \\ \int (u^5+5u^4)\,du \\ \frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\ \frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\ \frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\ \frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\ \frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> : <math>u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \,dx \\ (x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\ -x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x\,dx</math> : <math>u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x\, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x\,dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial : <math>u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x\, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\ u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\ (\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\ e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\ e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin \, x</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos \, x</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin \, x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \, dx \\ (x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4 \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>(x-5)^4</math> |- | - || <math>1</math> || <math>\frac{1}{5}(x-5)^5</math> |- | + || <math>0</math> || <math>\frac{1}{30}(x-5)^6</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\ln \,x</math> || <math>x</math> |- | - || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>\frac{x^2}{2}</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x \, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x \, dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |- | - || <math>\cos \, x</math> || <math>e^x</math> |- | + || <math>-\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x \, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : 1. <math>\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\ =&\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> : 2. <math>\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx</math> : cara 1 Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\ &\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A = 1</math> dan <math display="inline">-6A + B = 5</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = 1</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 11</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : cara 2 Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\ =&\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\ &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\ =&\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : 3. <math>\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx</math> Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\ =&\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \end{aligned} </math> Kedua, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\ =&\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\ =&\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 7</math> dan <math display="inline">-3A - B = -3</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -2</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 9</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\ \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Substitusi Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sin \, \alpha </math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} tan \, \alpha</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sec \, \alpha</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\ =&\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA</math> : <math>t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C \end{aligned} </math> === integral mutlak === : <math>\int |f(x)| \,dA</math> buatlah <math>f(x) \ge 0</math> jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x) : <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. === integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap === : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx = \int_0^a (f(x)+f(-x)) \,dx</math> dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap maka berlaku untuk integral: : integral fungsi ganjil : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = 0 : integral fungsi genap : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = <math>2 \int_0^a f(x) \,dx</math> === integral notasi === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \frac{1}{k} \int_{a \cdot k}^{b \cdot k} f(x) \,dx</math> === integral terbalik === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx</math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> : atau juga <math>V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh # Tentukan hasil dari: * <math>\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx</math> * <math>\int x^2 cos 3x dx</math> * <math>\int sin^2 x cos x dx</math> * <math>\int cos^2 x sin x dx</math> * <math>\int sec x dx</math> * <math>\int csc x dx</math> * <math>\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx</math> * <math>\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx</math> * <math>\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{misalkan } u &= 5x^2-2x+7 \\ u &= 5x^2-2x+7 \\ du &= 10x-2 dx \\ &= 2(5x-1) dx \\ \frac{du}{2} &= (5x-1) dx \\ \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &= \int \frac{1}{2}u^4 du \\ &= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\ &= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{gunakan integral parsial } \\ \int x^2 cos 3x dx &= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\ &= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= sin x \\ u &= sin x \\ du &= cos x dx \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int u^2 du \\ &= \frac{u^3}{3}+C \\ &= \frac{sin^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\ &= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\ &= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int sin x sin x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\ &= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= cos x \\ u &= cos x \\ du &= -sin x dx \\ -du &= sin x dx \\ \int cos^2 x sin x dx &= -\int u^2 du \\ &= -\frac{u^3}{3}+C \\ &= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\ &= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int cos x cos x sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int sec x dx &= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ \text{misalkan } u &= sec x+tan x \\ u &= sec x+tan x \\ du &= sec xtan x+sec^2 x dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{1}{u}du \\ &= ln u+C \\ &= ln |sec x+tan x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int csc x dx &= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ \text{misalkan } u &= csc x+cot x \\ u &= csc x+cot x \\ du &= -csc xcot x-csc^2 x dx \\ -du &= csc xcot x+csc^2 x dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ &= -\int \frac{1}{u}du \\ &= -ln u+C \\ &= -ln |csc x+cot x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\ &= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\ \text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\ &= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\ &= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\ x &= \frac{5}{12} sin A \\ dx &= \frac{5}{12} cos A dA \\ \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\ &= A+C \\ A &= arc sin \frac{12x}{5} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\ x &= \frac{2}{5} tan A \\ dx &= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\ \int \frac{1}{12+75x^2} dx &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\ &= \int \frac{1}{30} dA \\ &= \frac{A}{30}+C \\ A &= arc tan \frac{5x}{2} \\ &= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\ x &= \frac{7}{11} sec A \\ dx &= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\ \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\ &= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\ A &= arc sec \frac{11x}{7} \\ &= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{1}{cos^2 x} \\ &= sec^2 x \\ \int sec^2 x dx &= tan x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{1}{sin^2 x} \\ &= csc^2 x \\ \int csc^2 x dx &= -cot x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\ a=sin x, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{sin x}{cos^2 x} \\ &= sec x \cdot tan x \\ \int sec x \cdot tan x dx &= sec x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\ a=cos x, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{cos x}{sin^2 x} \\ &= csc x \cdot cot x \\ \int csc x \cdot cot x dx &= -csc x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\ \text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y &= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y^2 &= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\ &= \frac{x}{y} \\ y^3 &= x \\ 3y^2 dy &= dx \\ \int y \cdot 3y^2 dy \\ \int 3y^3 dy \\ \frac{3y^4}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\ \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dlxmwo6rj6kcfv3ldqhv03jfskvg8uk 117715 117714 2026-07-26T00:04:49Z Akuindo 8654 /* integral notasi */ 117715 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int f(x) \circ g(x) dx</math> = f’(g(x)) g’(x) :# <math>\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx</math> = f’(f^-1(x)) f^-1’(x) = 1 :# <math>\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}</math> == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> <math>\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C</math> <math>\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C</math> :<math>\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C</math> :<math>\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C</math> :<math>\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C</math> :<math>\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x + \tan \, x \right|} + C</math> :<math>\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C</math> :<math>\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C</math> :<math>\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : 1. <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx</math> : <math>= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : 1. <math>\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx</math> : <math>u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{\ln(x)}{x} dx \\ \int u du \\ \frac{1}{2} u^2 + C \\ \frac{1}{2} ln^2 x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4\,dx \\ \int (u+5)u^4\,du \\ \int (u^5+5u^4)\,du \\ \frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\ \frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\ \frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\ \frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\ \frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> : <math>u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \,dx \\ (x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\ -x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x\,dx</math> : <math>u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x\, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x\,dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial : <math>u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x\, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\ u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\ (\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\ e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\ e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin \, x</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos \, x</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin \, x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \, dx \\ (x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4 \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>(x-5)^4</math> |- | - || <math>1</math> || <math>\frac{1}{5}(x-5)^5</math> |- | + || <math>0</math> || <math>\frac{1}{30}(x-5)^6</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\ln \,x</math> || <math>x</math> |- | - || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>\frac{x^2}{2}</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x \, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x \, dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |- | - || <math>\cos \, x</math> || <math>e^x</math> |- | + || <math>-\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x \, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : 1. <math>\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\ =&\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> : 2. <math>\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx</math> : cara 1 Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\ &\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A = 1</math> dan <math display="inline">-6A + B = 5</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = 1</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 11</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : cara 2 Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\ =&\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\ &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\ =&\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : 3. <math>\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx</math> Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\ =&\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \end{aligned} </math> Kedua, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\ =&\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\ =&\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 7</math> dan <math display="inline">-3A - B = -3</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -2</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 9</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\ \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Substitusi Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sin \, \alpha </math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} tan \, \alpha</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sec \, \alpha</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\ =&\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA</math> : <math>t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C \end{aligned} </math> === integral mutlak === : <math>\int |f(x)| \,dA</math> buatlah <math>f(x) \ge 0</math> jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x) : <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. === integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap === : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx = \int_0^a (f(x)+f(-x)) \,dx</math> dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap maka berlaku untuk integral: : integral fungsi ganjil : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = 0 : integral fungsi genap : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = <math>2 \int_0^a f(x) \,dx</math> === integral notasi === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(k \cdot x) \,dx = \frac{1}{k} \int_{a \cdot k}^{b \cdot k} f(x) \,dx</math> === integral terbalik === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx</math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> : atau juga <math>V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh # Tentukan hasil dari: * <math>\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx</math> * <math>\int x^2 cos 3x dx</math> * <math>\int sin^2 x cos x dx</math> * <math>\int cos^2 x sin x dx</math> * <math>\int sec x dx</math> * <math>\int csc x dx</math> * <math>\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx</math> * <math>\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx</math> * <math>\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{misalkan } u &= 5x^2-2x+7 \\ u &= 5x^2-2x+7 \\ du &= 10x-2 dx \\ &= 2(5x-1) dx \\ \frac{du}{2} &= (5x-1) dx \\ \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &= \int \frac{1}{2}u^4 du \\ &= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\ &= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{gunakan integral parsial } \\ \int x^2 cos 3x dx &= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\ &= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= sin x \\ u &= sin x \\ du &= cos x dx \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int u^2 du \\ &= \frac{u^3}{3}+C \\ &= \frac{sin^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\ &= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\ &= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int sin x sin x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\ &= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= cos x \\ u &= cos x \\ du &= -sin x dx \\ -du &= sin x dx \\ \int cos^2 x sin x dx &= -\int u^2 du \\ &= -\frac{u^3}{3}+C \\ &= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\ &= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int cos x cos x sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int sec x dx &= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ \text{misalkan } u &= sec x+tan x \\ u &= sec x+tan x \\ du &= sec xtan x+sec^2 x dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{1}{u}du \\ &= ln u+C \\ &= ln |sec x+tan x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int csc x dx &= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ \text{misalkan } u &= csc x+cot x \\ u &= csc x+cot x \\ du &= -csc xcot x-csc^2 x dx \\ -du &= csc xcot x+csc^2 x dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ &= -\int \frac{1}{u}du \\ &= -ln u+C \\ &= -ln |csc x+cot x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\ &= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\ \text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\ &= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\ &= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\ x &= \frac{5}{12} sin A \\ dx &= \frac{5}{12} cos A dA \\ \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\ &= A+C \\ A &= arc sin \frac{12x}{5} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\ x &= \frac{2}{5} tan A \\ dx &= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\ \int \frac{1}{12+75x^2} dx &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\ &= \int \frac{1}{30} dA \\ &= \frac{A}{30}+C \\ A &= arc tan \frac{5x}{2} \\ &= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\ x &= \frac{7}{11} sec A \\ dx &= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\ \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\ &= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\ A &= arc sec \frac{11x}{7} \\ &= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{1}{cos^2 x} \\ &= sec^2 x \\ \int sec^2 x dx &= tan x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{1}{sin^2 x} \\ &= csc^2 x \\ \int csc^2 x dx &= -cot x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\ a=sin x, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{sin x}{cos^2 x} \\ &= sec x \cdot tan x \\ \int sec x \cdot tan x dx &= sec x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\ a=cos x, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{cos x}{sin^2 x} \\ &= csc x \cdot cot x \\ \int csc x \cdot cot x dx &= -csc x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\ \text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y &= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y^2 &= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\ &= \frac{x}{y} \\ y^3 &= x \\ 3y^2 dy &= dx \\ \int y \cdot 3y^2 dy \\ \int 3y^3 dy \\ \frac{3y^4}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\ \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s3s0vfmos3q9mhxszextqqq2xhhfo32 117716 117715 2026-07-26T00:06:55Z Akuindo 8654 /* integral notasi */ 117716 wikitext text/x-wiki == Kaidah umum == :# <math>\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!</math> :# <math>\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int [f(x) - g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx</math> :# <math>\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx</math> :# <math>\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\! </math> :# <math>\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C </math> :# <math>\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C </math> :# <math>\int f(x) \, dx = F(x) + C</math> :# <math>\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)</math> :# <math>\int f(x) \circ g(x) dx</math> = f’(g(x)) g’(x) :# <math>\int f(x) \circ f^{-1}(x) dx</math> = f’(f^-1(x)) f^-1’(x) = 1 :# <math>\int f^{-1}(x) dx = \frac{1}{f'(f'(x))}</math> == rumus sederhana == :<math>\int \, dx = x + C</math> :<math>\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int (ax+b)^n\,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1</math> :<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C</math> <math>\int {dx \over \sqrt{a^2-b^2 x^2}} = \frac{1}{b} \arcsin \, {bx \over a} + C</math> :<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan \, {bx \over a} + C</math> <math>\int {dx \over x\sqrt{b^2x^2-a^2}} = {1 \over a}\arcsec \, {bx \over a} + C</math> ; Eksponen dan logaritma :<math>\int e^x\,dx = e^x + C</math> :<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C</math> :<math>\int \ln \, x\,dx = x \cdot \, \ln {x} - x + C</math> :<math>\int \, ^b\!\log \, x\,dx = x \cdot \, ^b\!\log \, x - x \cdot \,^b\!\log e + C</math> ; Trigonometri :<math>\int \sin \, x \, dx = -\cos \, x + C</math> :<math>\int \cos \, x \, dx = \sin \, x + C</math> :<math>\int \tan \, x \, dx = -\ln{\left| \cos \, x \right|} + C</math> :<math>\int \cot \, x \, dx = \ln{\left| \sin \, x \right|} + C</math> :<math>\int \sec \, x \, dx = \ln{\left| \sec \, x + \tan \, x \right|} + C</math> :<math>\int \csc \, x \, dx = -\ln{\left| \csc \, x + \cot \, x \right|} + C</math> ; Hiperbolik :<math>\int \sinh \, x \, dx = \cosh \, x + C</math> :<math>\int \cosh \, x \, dx = \sinh \, x + C</math> :<math>\int \tanh \, x \, dx = \ln{\left| \cosh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \coth \, x \, dx = \ln{\left| \sinh \, x \right|} + C</math> :<math>\int \mbox{sech} \, x \, dx = \arctan \,(\sinh \, x) + C</math> :<math>\int \mbox{csch} \, x \, dx = \ln{\left| \tanh \, {x \over 2} \right|} + C</math> == Jenis integral == === integral biasa === Berikut contoh penyelesaian cara biasa. : 1. <math>\int x^3 - cos 3x + e^{5x+2} - \frac{1}{2x+5}\,dx</math> : <math>= \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^4}{4} - \frac{sin 3x}{3} + \frac{e^{5x+2}}{5} - \frac{ln (2x+5)}{2} + C</math> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-4x^3(5)+6x^2(25)-4x(125)+625)\,dx</math> : <math>= \int x(x^4-20x^3+150x^2-500x+625)\,dx</math> : <math>= \int x^5-20x^4+150x^3-500x^2+625x\,dx</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{150x^4}{4}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> : <math>= \frac{x^6}{6}-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C</math> === integral substitusi === Berikut contoh penyelesaian cara substitusi. : 1. <math>\int \frac{\ln \, x}{x}\,dx</math> : <math>u = \ln \, x\, du = \frac{dx}{x}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{\ln(x)}{x} dx \\ \int u du \\ \frac{1}{2} u^2 + C \\ \frac{1}{2} ln^2 x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x-5,\, du = dx,\, x = u+5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4\,dx \\ \int (u+5)u^4\,du \\ \int (u^5+5u^4)\,du \\ \frac{1}{6} u^6+u^5 + C \\ \frac{1}{6} (x-5)^6+(x-5)^5 + C \\ \frac{1}{6} (x^6-6x^5(5)+15x^4(25)-20x^3(125)+15x^2(625)-6x(3125)+15625)+(x^5-5x^4(5)+10x^3(25)-10x^2(125)+5x(625)+3125) + C \\ \frac{1}{6}x^6-5x^5+\frac{125x^4}{2}-\frac{1250x^3}{3}+\frac{3125x^2}{2}-3125x+\frac{15625}{6}+x^5-25x^4+250x^3-1250x^2+3125x+3125 + C \\ \frac{1}{6}x^6-4x^5+\frac{75x^4}{2}-\frac{500x^3}{3}+\frac{625x^2}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral parsial === ;Cara 1: Rumus Integral parsial diselesaikan dengan rumus berikut. : <math>\int u\,dv = uv - \int v\,du </math> Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan rumus. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> : <math>u = x, du = 1 \, dx, dv = \sin \, x \, dx, v = -\cos \, x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \,dx \\ (x)(-\cos \, x) - \int (-\cos \, x)(1 dx) \\ -x \cos \, x + \int \cos \, x dx \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4\,dx</math> : <math>u = x,\, du = 1\,dx,\, dv = (x-5)^4\,dx,\, v = \frac{1}{5}(x-5)^5</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - \int (\frac{1}{5}(x-5)^5)(1\,dx) \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \int \frac{1}{5}(x-5)^5\,dx \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6\,dx \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x\,dx</math> : <math>u = \ln \,x,\, du = \frac{1}{x}\,dx,\, dv = x\,dx,\, v = \frac{x^2}{2}</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x\, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{x^2}{2})(\frac{1}{x}\,dx) \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x^2}{2}(\frac{1}{x})\,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \,dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x\,dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial : <math>u = \sin \,x,\, du = \cos \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x</math> Dengan menggunakan rumus di atas, : <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x\, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - \int (e^x)(\cos \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - \int e^x \cos \,x\,dx \\ u = \cos \,x,\, du = -\sin \,x\,dx,\, dv = e^x\,dx,\, v = e^x \\ (\cos \,x)(e^x) - \int (e^x)(-\sin \,x\,dx) \\ e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx \\ e^x \sin \,x - (e^x \cos \,x + \int e^x \sin \,x\,dx) \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x\,dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ;Cara 2: Tabel Untuk <math display="inline">\int u\,dv</math>, berlaku ketentuan sebagai berikut. {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>u</math> || <math>dv</math> |- | - || <math>\frac{du}{dx}</math> || <math>v</math> |- | + || <math>\frac{d^2u}{dx^2}</math> || <math>\int v\,dx</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara parsial dengan tabel. : 1. <math>\int x \sin \, x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>\sin \, x</math> |- | - || <math>1</math> || <math>-\cos \, x</math> |- | + || <math>0</math> || <math>-\sin \, x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \sin \, x \, dx \\ (x)(-\cos \, x) - (1)(-\sin \, x) + C \\ -x \cos \, x + \sin \, x + C \end{aligned} </math> </div></div> : 2. <math>\int x(x-5)^4 \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>x</math> || <math>(x-5)^4</math> |- | - || <math>1</math> || <math>\frac{1}{5}(x-5)^5</math> |- | + || <math>0</math> || <math>\frac{1}{30}(x-5)^6</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x(x-5)^4 \, dx \\ (x)(\frac{1}{5}(x-5)^5) - (1)(\frac{1}{30}(x-5)^6) + C \\ \frac{x}{5}(x-5)^5 - \frac{1}{30}(x-5)^6 + C \end{aligned} </math> </div></div> : 3. <math>\int x \ln \,x \, dx</math> {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\ln \,x</math> || <math>x</math> |- | - || <math>\frac{1}{x}</math> || <math>\frac{x^2}{2}</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int x \ln \,x \, dx \\ (\ln \,x)(\frac{x^2}{2}) - \int (\frac{1}{x})(\frac{x^2}{2}) \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \int \frac{x}{2} \, dx \\ \frac{x^2}{2} \ln \,x - \frac{x^2}{4} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> : 4. <math>\int e^x \sin \,x \, dx</math> ini terjadi dua kali integral parsial {| class="wikitable" |- ! Tanda !! Turunan !! Integral |- | + || <math>\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |- | - || <math>\cos \, x</math> || <math>e^x</math> |- | + || <math>-\sin \,x</math> || <math>e^x</math> |} Dengan tabel di atas, <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int e^x \sin \,x \, dx \\ (\sin \,x)(e^x) - (\cos \,x)(e^x) + \int (-\sin \,x)(e^x) \, dx \\ e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - \int e^x \sin \,x) \, dx \\ \text{misalkan } I = \int e^x \sin \,x \, dx \\ I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x - I \\ 2I &= e^x \sin \,x - e^x \cos \,x \\ I &= \frac{e^x \sin \,x - e^x \cos \,x}{2} \\ &= \frac{e^x \sin \,x}{2} - \frac{e^x \cos \,x}{2} + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> === integral pecahan parsial === Berikut contoh penyelesaian cara parsial untuk persamaan pecahan (rasional). : 1. <math>\int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx</math> Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{1}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{1}{(x + 2)(x - 2)} \\ =&\; \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} \\ =&\; \frac{A(x - 2) + B(x + 2)}{x^2 - 4} \\ =&\; \frac{(A + B)x - 2(A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 0</math> dan <math display="inline">A - B = -\frac{1}{2}</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -\frac{1}{4}</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = \frac{1}{4}</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{1}{x^2 - 4}\,dx \\ =&\; \int (-\frac{1}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})\,dx \\ =&\; \frac{1}{4} (\ln|x - 2| - \ln|x + 2|) + C \\ =&\; \frac{1}{4} \ln|\frac{x - 2}{x + 2}| + C \end{aligned}</math> : 2. <math>\int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx</math> : cara 1 Pertama, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{C}{(x - 3)^3} \\ &\; \text{untuk mencari C yaitu } (3)^2+5(3)+4=28 \\ =&\; \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x - 3)^2 + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{A(x^2 - 6x + 9) + B(x - 3)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 - 6Ax + 9A + Bx - 3B}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ =&\; \frac{Ax^2 + (- 6A + B)x +(9 - 3B)}{(x - 3)^3} + \frac{28}{(x - 3)^3} \\ \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A = 1</math> dan <math display="inline">-6A + B = 5</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = 1</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 11</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{11}{(x - 3)^2} + \frac{28}{(x - 3)^3})\,dx \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : cara 2 Pertama, ubah u=x-3 menjadi x=u+3 dan du=dx tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3} \\ =&\; \frac{(u+3)^2+5(u+3)+4}{u^3} \\ =&\; \frac{u^2+11u+28}{u^3} \\ &\; \int \frac{x^2+5x+4}{(x-3)^3}\,dx \\ =&\; \int \frac{u^2+11u+28}{u^3}\,du \\ =&\; \int (\frac{u^2}{u^3} + \frac{11u}{u^3} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \int (\frac{1}{u} + \frac{11}{u^2} + \frac{28}{u^3})\,du \\ =&\; \ln u + (-11 u^{-1}) + (-14 u^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| + (-11 (x - 3)^{-1}) + (-14 (x - 3)^{-2}) + C \\ =&\; \ln|x - 3| - \frac{11}{x - 3} - \frac{14}{(x - 3)^2} + C \end{aligned}</math> : 3. <math>\int \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3}\,dx</math> Pertama, penyelesaian dengan persamaan polinomial tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{x^4+2x^3-13x^2-7x+21}{x^2-4x+3} \\ =&\; x^2+6x+8 + \frac{7x-3}{x^2-4x+3} \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \end{aligned} </math> Kedua, pisahkan pecahan tersebut. : <math> \begin{aligned} =&\; \frac{7x - 3}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{7x - 3}{(x - 1)(x - 3)} \\ =&\; \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 3} \\ =&\; \frac{A(x - 3) + B(x - 1)}{x^2 - 4x + 3} \\ =&\; \frac{(A + B)x + (-3A - B)}{x^2 - 4} \end{aligned} </math> Kita tahu bahwa <math display="inline">A + B = 7</math> dan <math display="inline">-3A - B = -3</math> dapat diselesaikan, yaitu <math display="inline">A = -2</math> dan {{nowrap|<math display="inline">B = 9</math>.}} : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int \frac{7x-3}{x^2-4x+3}\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x+ \int (-\frac{2}{(x - 1)} + \frac{9}{x - 3})\,dx \\ =&\; \frac{1}{3}x^3+3x^2+8x- 2 \ln|x - 1| + 9 \ln|x - 3| \,dx + C \\ \end{aligned}</math> === integral substitusi trigonometri === {| class="wikitable" |- ! Bentuk !! Substitusi Trigonometri |- | <math>\sqrt{a^2 - b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sin \, \alpha </math> |- | <math>\sqrt{a^2 + b^2 x^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} tan \, \alpha</math> |- | <math>\sqrt{b^2 x^2 - a^2}</math> || <math>x = \frac{a}{b} sec \, \alpha</math> |} Berikut contoh penyelesaian cara substitusi trigonometri. : <math>\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 4}}</math> : <math>x = 2 \tan \, A, dx = 2 \sec^2 \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(2 \tan \, A)^2 \sqrt{4 + (2 \tan \, A)^2}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 + 4 \tan^2 \, A}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4(1 + \tan^2 \, A)}} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A \sqrt{4 \sec^2 \, A }} \\ =&\; \int \frac{2 \sec^2 \, A \,dA}{(4 \tan^2 \, A)(2 \sec \, A)} \\ =&\; \int \frac{\sec \, A \,dA}{4 \tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\sec \, A \,dA}{\tan^2 \, A} \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA \end{aligned} </math> Substitusi berikut dapat dibuat. : <math>\int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A} \,dA</math> : <math>t = \sin \, A, dt = \cos \, A \,dA</math> Dengan substitusi di atas, : <math> \begin{aligned} &\; \frac{1}{4} \int \frac{\cos \, A}{\sin^2 \, A}\,dA \\ =&\; \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2} \\ =&\; \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{t}\right) + C \\ =&\; -\frac{1}{4 t} + C \\ =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \end{aligned} </math> Ingat bahwa <math display="inline">\sin \, A = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}</math> berlaku. : <math> \begin{aligned} =&\; -\frac{1}{4 \sin \, A} + C \\ =&\; -\frac{\sqrt{x^2 + 4}}{4x} + C \end{aligned} </math> === integral mutlak === : <math>\int |f(x)| \,dA</math> buatlah <math>f(x) \ge 0</math> jika hasil x adalah lebih dari 0 maka f(x) sedangkan kurang dari 0 maka -f(x) : <math>\int_a^c |f(x)| \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c -f(x) \, dx = F(b) - F(a) - F(c) + F(b)</math> jika <math>|f(x)| = \begin{cases} f(x), & \mbox{jika } f(x) \ge b, \\ -f(x), & \mbox{jika } f(x) < b. \end{cases}</math>. sebelum membuat f(x) dan -f(x) menentukan nilai x sebagai f(x) ≥ 0 untuk batas-batas wilayah yang menempatkan hasil positif (f(x)) dan negatif (-(f(x)) serta hasil integral mutlak tidak mungkin negatif. === integral fungsi ganjil dan integral fungsi genap === : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx = \int_0^a (f(x)+f(-x)) \,dx</math> dengan mengingat fungsi ganjil dan fungsi genap yaitu f(-x)=-f(x) untuk fungsi ganjil dan f(-x)=f(x) untuk fungsi genap maka berlaku untuk integral: : integral fungsi ganjil : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = 0 : integral fungsi genap : <math>\int_{-a}^a f(x) \,dx</math> = <math>2 \int_0^a f(x) \,dx</math> === integral notasi === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = \int_{a-p}^{b-p} f(x) \,dx = \int_{a+p}^{b+p} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^c f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{b}^{c} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(x \pm k) \,dx = \int_{a \cdot k}^{b \cdot k} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(k \cdot x) \,dx = \frac{1}{k} \int_{a \pm k}^{b \pm k} f(x) \,dx</math> : <math>\int_a^b f(k \cdot x) \,dx = \frac{1}{k} \int_{a \cdot k}^{b \cdot k} f(x) \,dx</math> === integral terbalik === : <math>\int_a^b f(x) \,dx = -\int_b^a f(x) \,dx</math> == Jenis integral lainnya == === panjang busur === ; Sumbu ''x'' : <math>S = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>S = \int_{y_1}^{y_2} \sqrt{1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === luas daerah === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' : <math>L = \int_{x_1}^{x_2} (f(x_2) - f(x_1))\,dx</math> ; Sumbu ''y'' : <math>L = \int_{y_1}^{y_2} (f(y_2) - f(y_1))\,dy</math> : atau juga <math>L = \frac {D \sqrt{D}}{6 a^2}</math> === luas permukaan benda putar === ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{x_1}^{x_2} f(x)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(x))^2}\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>L_p = 2 \pi \int_{y_1}^{y_2} f(y)\,ds</math> dengan : <math>ds = \sqrt {1 + (f'(y))^2}\,dy</math> === volume benda putar === ; Satu kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} (f(y))^2\,dy</math> ; Dua kurva ; Sumbu ''x'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{x_1}^{x_2} ((f(x_2))^2 - (f(x_1))^2)\,dx</math> ; Sumbu ''y'' sebagai poros : <math>V = \pi \int_{y_1}^{y_2} ((f(y_2))^2 - (f(y_1))^2)\,dy</math> : atau juga <math>V = |\frac {D^2 \sqrt{D}}{30 a^3}|</math> == Integral lipat == Jenis integral lipat yaitu integral lipat dua dan integral lipat tiga. ;contoh # Tentukan hasil dari: * <math>\int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx</math> * <math>\int x^2 cos 3x dx</math> * <math>\int sin^2 x cos x dx</math> * <math>\int cos^2 x sin x dx</math> * <math>\int sec x dx</math> * <math>\int csc x dx</math> * <math>\int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx</math> * <math>\int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{{12+75x^2}} dx</math> * <math>\int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx</math> * <math>\int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx</math> * <math>\int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{misalkan } u &= 5x^2-2x+7 \\ u &= 5x^2-2x+7 \\ du &= 10x-2 dx \\ &= 2(5x-1) dx \\ \frac{du}{2} &= (5x-1) dx \\ \int (5x-1)(5x^2-2x+7)^4 dx &= \int \frac{1}{2}u^4 du \\ &= \frac{1}{2}\frac{1}{5}u^5 + C \\ &= \frac{1}{10}(5x^2-2x+7)^5 + C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{gunakan integral parsial } \\ \int x^2 cos 3x dx &= \frac{x^2}{3} sin 3x-\frac{2x}{9} (-cos 3x)+\frac{2}{27} (-sin 3x)+C \\ &= \frac{x^2}{3} sin 3x+\frac{2x}{9} cos 3x-\frac{2}{27} sin 3x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= sin x \\ u &= sin x \\ du &= cos x dx \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int u^2 du \\ &= \frac{u^3}{3}+C \\ &= \frac{sin^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int \frac{1-cos 2x}{2} cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (1-cos 2x) cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-cos 2x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}(cos 3x+cox x) dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x-\frac{1}{2}cos 3x-\frac{1}{2}cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}cos x-\frac{1}{2}cos 3x dx \\ &= \frac{1}{2} (\frac{1}{2}sin x-\frac{1}{6}sin 3x)+C \\ &= \frac{sin x}{4}-\frac{sin 3x}{12}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int sin^2 x cos x dx &= \int sin x sin x cos x dx \\ &= \frac{1}{2} \int sin x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int -(cos 3x-cos (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int -cos 3x+cos x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{sin 3x}{3}+sin x)+C \\ &= -\frac{sin 3x}{12}+\frac{sin x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} * \text{cara 1} \\ \text{misalkan } u &= cos x \\ u &= cos x \\ du &= -sin x dx \\ -du &= sin x dx \\ \int cos^2 x sin x dx &= -\int u^2 du \\ &= -\frac{u^3}{3}+C \\ &= -\frac{cos^3 x}{3}+C \\ * \text{cara 2} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int \frac{cos 2x+1}{2} sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int (cos 2x+1) sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos 2xsin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}(sin 3x-sin x)+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x-\frac{1}{2}sin x+sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{2}sin 3x+\frac{1}{2}sin x dx \\ &= \frac{1}{2} (-\frac{1}{6}cos 3x-\frac{1}{2}cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ * \text{cara 3} \\ \int cos^2 x sin x dx &= \int cos x cos x sin x dx \\ &= \frac{1}{2} \int cos x sin 2x dx \\ &= \frac{1}{4} \int (sin 3x-sin (-x)) dx \\ &= \frac{1}{4} \int sin 3x+sin x dx \\ &= \frac{1}{4} (-\frac{cos 3x}{3}-cos x)+C \\ &= -\frac{cos 3x}{12}-\frac{cos x}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int sec x dx &= \int sec x \frac{sec x+tan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ \text{misalkan } u &= sec x+tan x \\ u &= sec x+tan x \\ du &= sec xtan x+sec^2 x dx \\ &= \int \frac{sec^2 x+sec xtan x}{sec x+tan x}dx \\ &= \int \frac{1}{u}du \\ &= ln u+C \\ &= ln |sec x+tan x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int csc x dx &= \int csc x \frac{csc x+cot x}{csc x+cot x}dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ \text{misalkan } u &= csc x+cot x \\ u &= csc x+cot x \\ du &= -csc xcot x-csc^2 x dx \\ -du &= csc xcot x+csc^2 x dx \\ &= \int \frac{csc^2 x+csc xcot x}{csc x+cot x}dx \\ &= -\int \frac{1}{u}du \\ &= -ln u+C \\ &= -ln |csc x+cot x|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{2x^2-5x+3} dx &= \int \frac{1}{(2x-3)(x-1)} dx \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{A(x-1)+B(2x-3)}{(2x-3)(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{Ax-A+2Bx-3B}{2x^2-5x+3}) dx \\ &= \int (\frac{(A+2B)x+(-A-3B)}{2x^2-5x+3}) dx \\ \text{cari nilai A dan B dari 0=A+2B dan 1=-A-3B adalah 2 dan -1} \\ &= \int (\frac{A}{(2x-3)}+\frac{B}{(x-1)}) dx \\ &= \int (\frac{2}{(2x-3)}+\frac{-1}{(x-1)}) dx \\ &= ln |2x-3|-ln |x-1|+C \\ &= ln |\frac{2x-3}{x-1}|+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx \\ x &= \frac{5}{12} sin A \\ dx &= \frac{5}{12} cos A dA \\ \int \frac{1}{\sqrt{50-288x^2}} dx &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-288(\frac{5}{12} sin A)^2}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-\frac{288 \cdot 25}{144} sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50-50 sin^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50(1-sin^2 A)}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{\sqrt{50cos^2 A}} dA \\ &= \int \frac{\frac{5}{12} cos A}{5cos A \sqrt{2}} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{2}}{24} dA \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} \int dA \\ &= A+C \\ A &= arc sin \frac{12x}{5} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{24} arc sin \frac{12x}{5}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{12+75x^2} dx \\ x &= \frac{2}{5} tan A \\ dx &= \frac{2}{5} sec^2 A dA \\ \int \frac{1}{12+75x^2} dx &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+75(\frac{2}{5} tan A)^2} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+\frac{75 \cdot 4}{25} tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12+12 tan^2 A} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 (1+tan^2 A)} dA \\ &= \int \frac{\frac{2}{5} sec^2 A}{12 sec^2 A} dA \\ &= \int \frac{1}{30} dA \\ &= \frac{A}{30}+C \\ A &= arc tan \frac{5x}{2} \\ &= \frac{arc tan \frac{5x}{2}}{30}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx \\ x &= \frac{7}{11} sec A \\ dx &= \frac{7}{11} sec A tan A dA \\ \int \frac{1}{11x\sqrt{605x^2-245}} dx &= \int \frac{\frac{7}{11} sec A tan A}{11(\frac{7}{11} sec A)\sqrt{605(\frac{7}{11} sec A)^2-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A} {11 sec A\sqrt{\frac{605 \cdot 49}{121} sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245sec^2 A-245}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245(sec^2 A-1)}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{11 sec A\sqrt{245tan^2 A}} dA \\ &= \int \frac{sec A tan A}{77\sqrt{5} sec A tan A} dA \\ &= \int \frac{\sqrt{5}}{385} dA \\ &= \frac{A\sqrt{5}}{385}+C \\ A &= arc sec \frac{11x}{7} \\ &= \frac{\sqrt{5}arc sec \frac{11x}{7}}{385}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+sin^2 x+sin^4 x+sin^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{1}{cos^2 x} \\ &= sec^2 x \\ \int sec^2 x dx &= tan x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (1+cos^2 x+cos^4 x+cos^6 x+ \dots) dx \\ a=1, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{1}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{1}{sin^2 x} \\ &= csc^2 x \\ \int csc^2 x dx &= -cot x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (sin x+sin^3 x+sin^5 x+sin^7 x+ \dots) dx \\ a=sin x, r=sin^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{sin x}{1-sin^2 x} \\ &= \frac{sin x}{cos^2 x} \\ &= sec x \cdot tan x \\ \int sec x \cdot tan x dx &= sec x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int (cos x+cos^3 x+cos^5 x+cos^7 x+ \dots) dx \\ a=cos x, r=cos^2 x \\ S_{\infty} &= \frac{a}{1-r} \\ &= \frac{cos x}{1-cos^2 x} \\ &= \frac{cos x}{sin^2 x} \\ &= csc x \cdot cot x \\ \int csc x \cdot cot x dx &= -csc x+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} dx \\ \text{misalkan } y = \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y &= \sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}}} \\ y^2 &= \frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\sqrt{\frac{x}{\dots}}}}} \\ &= \frac{x}{y} \\ y^3 &= x \\ 3y^2 dy &= dx \\ \int y \cdot 3y^2 dy \\ \int 3y^3 dy \\ \frac{3y^4}{4}+C \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan hasil dari: * <math>\int_{1}^{5} 2x-3 dx</math> * <math>\int_{0}^{4} |x-2| dx</math> * <math>\int_{2}^{4} |3-x| dx</math> * <math>\int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx</math> * <math>\int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx</math> ; jawaban ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} 2x-3 dx &= \left. x^2 - 3x \right|_{1}^{5} \\ &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{0}^{4} |x-2| dx \\ \text{ tentukan nilai harga nol } \\ x-2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu kurang dari 2 bernilai - sedangkan minimal dari 2 bernilai + berarti } \\ |x-2| = \begin{cases} x-2, & \mbox{jika } x \ge 2, \\ -(x-2), & \mbox{jika } x < 2. \end{cases} \\ \int_{0}^{4} |x-2| dx &= \int_{2}^{4} x-2 dx + \int_{0}^{2} -(x-2) dx \\ &= \left. (\frac{x^2}{2}-2x) \right|_{2}^{4} + \left. (\frac{-x^2}{2}+2x) \right|_{0}^{2} \\ &= 0 - (-2) + 2 - 0 \\ &= 4 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{2}^{4} |3-x| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ 3-x &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ x &= 3 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu lebih dari 3 bernilai - sedangkan maksimal dari 3 bernilai + berarti } \\ |3-x| = \begin{cases} 3-x, & \mbox{jika } x \le 3, \\ -(3-x), & \mbox{jika } x > 3. \end{cases} \\ \int_{2}^{4} |3-x| dx &= \int_{2}^{3} 3-x dx + \int_{3}^{4} -(3-x) dx \\ &= \left. (3x-\frac{x^2}{2}) \right|_{2}^{3} + \left. (-3x+\frac{x^2}{2}) \right|_{3}^{4} \\ &= 4.5 - 4 - 4 - (-4.5) \\ &= 1 \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{1}^{5} x^2-6x+8 dx &= \left. \frac{x^3}{3}-3x^2+8x \right|_{1}^{5} \\ &= \frac{20}{3} - \frac{16}{3} \\ &= \frac{4}{3} \\ &= 1\frac{1}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> ** <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx \\ \text{ tentukan nilai syarat-syarat } \\ x^2-2x-8 &\ge 0 \\ \text{ harga nol } \\ (x+2)(x-4) &= 0 \\ x = -2 \text{ atau } x = 4 \\ \text{ buatlah batas-batas wilayah yaitu antara -2 dan 4 bernilai - sedangkan maksimal dari -2 dan minimal dari 4 bernilai + berarti } \\ |x^2-2x-8| = \begin{cases} x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \le -2, \\ -(x^2-2x-8), & \mbox{jika } -2 < x < 4, \\ x^2-2x-8, & \mbox{jika } x \ge 4 \end{cases} \\ \int_{-3}^{5} |x^2-2x-8| dx &= \int_{-3}^{-2} x^2-2x-8 dx + \int_{-2}^{4} -(x^2-2x-8) dx + \int_{4}^{5} x^2-2x-8 dx \\ &= \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{-3}^{-2} + \left. (\frac{-x^3}{3}+x^2+8x) \right|_{-2}^{4} + \left. (\frac{x^3}{3}-x^2-8x) \right|_{4}^{5} \\ &= \frac{28}{3} - 6 + \frac{80}{3} - (-\frac{28}{3}) - \frac{70}{3} - (-\frac{80}{3}) \\ &= \frac{128}{3} \\ &= 42\frac{2}{3} \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x\,dx \\ L &= \frac{1}{2} x^2 \\ L &= \frac{1}{2} xy \quad (y = x) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = x^2</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int x^2\,dx \\ L &= \frac{1}{3} x^3 \\ L &= \frac{1}{3} xy \quad (y = x^2) \end{aligned} </math> </div></div> # Tentukan luas (tak tentu) dengan persamaan garis <math>y = \sqrt{x}</math> dan batas-batas sumbu ''y'' dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} L &= \int \sqrt{x}\,dx \\ L &= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \\ L &= \frac{2}{3} xy \quad (y = \sqrt{x}) \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi <math>L = s^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = s \text{ dan titik (''s'', ''s''), } \\ L &= \int_{0}^{s} s\,dx \\ L &= sx |_{0}^{s} \\ L &= ss - 0 \\ L &= s^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas persegi panjang <math>L = pl</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = l \text{dan titik (''p'', ''l''), } \\ L &= \int_{0}^{p} l\,dx \\ L &= lx |_{0}^{p} \\ L &= pl - 0 \\ L &= pl \end{aligned} </math> </div></div> * Buktikan luas segitiga <math>L = \frac{at}{2}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{-tx}{a} + t \text { dan titik (''a'', ''t''), } \\ L &= \int_{0}^{a} \left (\frac{-tx}{a} + t \right) \,dx \\ L &= \left. \frac{-tx^2}{2a} + tx \right|_{0}^{a} \\ L &= \frac{-ta^2}{2a} + ta - 0 + 0 \\ L &= \frac{-ta}{2} + ta \\ L &= \frac{at}{2} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume tabung <math>V = \pi r^2t</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ Dengan posisi } y = r \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} r^2\,dx \\ V &= \pi \left. r^2x \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi r^2t - 0 \\ V &= \pi r^2t \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume kerucut <math>V = \frac{\pi r^2t}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \frac{rx}{t} \text{ dan titik (''t'', ''r''), } \\ V &= \pi \int_{0}^{t} \left (\frac{rx}{t} \right)^2 \,dx \\ V &= \pi \left. \frac{r^2 x^3}{3t^2} \right|_{0}^{t} \\ V &= \pi \frac{r^2 t^3}{3t^2} - 0 \\ V &= \frac{\pi r^2t}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan volume bola <math>V = \frac{4 \pi r^3}{3}</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), } \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} \left(\sqrt {r^2 - x^2}\right)^2\,dx \\ V &= \pi \int_{-r}^{r} r^2 - x^2 dx \\ V &= \pi \left. r^2x - \frac{x^3}{3} \right|_{-r}^{r} \\ V &= \pi \left (r^3 - \frac{r^3}{3} - \left (-r^3 + \frac{r^3}{3} \right) \right) \\ V &= \frac{4 \pi r^3}{3} \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas permukaan bola <math>L = 4 \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), Kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{selanjutnya } \\ ds &= \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ ds &= \sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \sqrt{\frac{r^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\ ds &= \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ \text{sehingga } \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ L &= 2 \pi \int_{-r}^{r} r\,dx \\ L &= 2 \pi rx|_{-r}^{r} \\ L &= 2 \pi (r r - r (-r)) \\ L &= 2 \pi (r^2 + r^2) \\ L &= 4 \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan keliling lingkaran <math>K = 2 \pi r</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0) } \\ \text{kita tahu bahwa turunannya adalah } \\ y' &= \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \\ \text{sehingga } \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}})^2}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{1 + (\frac{x^2}{r^2 - x^2})}\,dx \\ K &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt\frac{r^2}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \sqrt\frac{1}{r^2 - x^2}\,dx \\ K &= 4r \int_{0}^{r} \frac{1}{\sqrt{r^2 - x^2}}\,dx \\ K &= 4r \left. \arcsin \left (\frac{x}{r} \right) \right|_{0}^{r} \\ K &= 4r \left (\arcsin \left (\frac{r}{r}\right) - \arcsin \left (\frac{0}{r} \right) \right) \\ K &= 4r \left (\arcsin\left (1 \right) - \arcsin \left(0 \right) \right)) \\ K &= 4r \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ K &= 2 \pi r \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas lingkaran <math>L = \pi r^2</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \sqrt{r^2 - x^2} \text{ serta titik (-''r'', 0) dan (''r'', 0), dibuat trigonometri dan turunannya terlebih dahulu. } \\ \sin(\theta) &= \frac{x}{r} \\ x &= r \sin(\theta) \\ dx &= r \cos(\theta)\,d\theta \\ \text{dengan turunan di atas } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - (r \sin(\theta))^2}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - r^2 \sin^2(\theta)}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 (1 - \sin^2(\theta))}\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta)\,dx \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r \cos(\theta) (r \cos(\theta)\,d\theta) \\ L &= 4 \int_{0}^{r} r^2 \cos^2(\theta)\,d\theta \\ L &= 4r^2 \int_{0}^{r} \left(\frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\right)\,d\theta \\ L &= 2r^2 \int_{0}^{r} (1 + \cos(2\theta))\,d\theta \\ L &= 2r^2 \left (\theta + \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 (\theta + \sin(\theta) \cos(\theta))|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left (\frac{x}{r} \right) + \left (\frac{x}{r} \right) \left (\frac{r^2 - x^2}{r} \right) \right)|_{0}^{r} \\ L &= 2r^2 \left (\arcsin \left(\frac{r}{r} \right) + \left (\frac{r}{r} \right) \left (\frac {r^2 - r^2}{r} \right) \right) - \left(\arcsin \left (\frac{0}{r} \right) + \left (\frac{0}{r}\right) \left (\frac{r^2 - 0^2}{r} \right) \right) \\ L &= 2r^2 (\arcsin(1) + 0 - (\arcsin(0) + 0)) \\ L &= 2r^2 \left (\frac{\pi}{2} \right) \\ L &= \pi r^2 \end{aligned} </math> </div></div> # Buktikan luas elips <math>L = \pi ab</math> dengan cara integral! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{Dengan posisi } y = \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a} \text{ serta (-''a'', 0) dan (''a'', 0), } \\ L &= 4 \int_{0}^{r} \frac{b \sqrt{a^2 - x^2}}{a}\,dx \\ L &= \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx \\ \text{dengan anggapan bahwa lingkaran mempunyai memotong titik (-''a'', 0) dan (''a'', 0) serta pusatnya setitik dengan pusat elips, } \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx}{4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2}\,dx} \\ \frac{L_\text{elips}}{L_\text{ling}} &= \frac{b}{a} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} L_\text{ling} \\ L_\text{elips} &= \frac{b}{a} \pi a^2 \\ L_\text{elips} &= \pi ab \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa luas daerah yang dibatasi y=x²-2x dan y=4x+7! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ x^-2x &= 4x+7 \\ x^2-6x-7 &= 0 \\ (x+1)(x-7) &= 0 \\ x=-1 &\text{ atau } x=7 \\ y &= 4(-1)+7 = 3 \\ y &= 4(7)+7 = 35 \\ \text{jadi titik potong (-1,3) dan (7,35) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ L &= \int_{-1}^{7} 4x+7-(x^2-2x)\,dx \\ &= \int_{-1}^{7} -x^2+6x+7\,dx \\ &= -\frac{x^3}{3}+3x^2+7x|_{-1}^{7} \\ &= -\frac{7^3}{3}+3(7)^2+7(7)-(-\frac{(-1)^3}{3}+3(-1)^2+7(-1)) \\ &= \frac{245}{3}-(-\frac{13}{3}) \\ &= \frac{258}{3} \\ &= 86 \\ \end{aligned} </math> </div></div> # Berapa volume benda putar yang dibatasi y=6-1,5x, y=x-4 dan x=0 mengelilingi sumbu x sejauh 360°! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{aligned} \text{ cari titik potong dari kedua persamaan tersebut } \\ y_1 &= y_2 \\ 6-1,5x &= x-4 \\ 2,5x &= 10 \\ x &= 4 \\ y &= 4-4 = 0 \\ \text{jadi titik potong (4,0) kemudian buatlah gambar kedua persamaan tersebut } \\ \text{untuk x=0 } \\ y &= 6-1,5(0) = 6 \\ y &= 0-4 = -4 \\ L &= \pi \int_{0}^{4} ((6-1,5x)^2-(x-4)^2)\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (36-18x+2,25x^2-(x^2-8x+16))\,dx \\ &= \pi \int_{0}^{4} (1,25x^2-10x+20)\,dx \\ &= \pi (\frac{1,25x^3}{3}-5x^2+20x)|_{0}^{4} \\ &= \pi (\frac{1,25(4)^3}{3}-5(4)^2+20(4)-(\frac{1,25(0)^3}{3}-5(0)^2+20(0))) \\ &= \pi (\frac{30}{3}-0) \\ &= 10\pi \\ \end{aligned} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] asnck2xp47l704wxy3qogltz1glbpuw 0 23570 117710 117384 2026-07-25T23:46:33Z Akuindo 8654 117710 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?>/li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 3x+4y jika a²+b²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ ada beberapa kemungkinan jika } a^2+b^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 60 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 60 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=22> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=23> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=24> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=25> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=26> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 25j84f5ii7wkl3tnzpr7o3d9hzaciko 117711 117710 2026-07-25T23:51:03Z Akuindo 8654 117711 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?>/li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 3x+4y jika a²+b²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ ada beberapa kemungkinan jika } a^2+b^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 60 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 60 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=22> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=23> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=24> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=25> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=26> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pmvv3mcmc2jy518mo3mexu8vrmx2yr4 117712 117711 2026-07-25T23:52:54Z Akuindo 8654 117712 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?>/li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 3x+4y jika a²+b²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ ada beberapa kemungkinan jika } a^2+b^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 60 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 60 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=24> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=25> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=26> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=27> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=28> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] j5bfs376qvorp1om1lnmf7emk43bvut 117713 117712 2026-07-25T23:54:08Z Akuindo 8654 117713 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?>/li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 60 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 60 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=24> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=25> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=26> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=27> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=28> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 158d34kwemkvi4gs5ch17et7ucyzkjr 0 25102 117717 102454 2026-07-26T04:33:20Z Abdurrahman Mahmud (Awad) 40991 /* 6. Bagaimana Cara Menikmati Wisata Hiu Paus? */ 117717 wikitext text/x-wiki [[File:Whale Shark Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Penampakan Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] == 1. Apa Itu Wisata Hiu Paus Botubarani? == Di perairan jernih Teluk Tomini, Gorontalo, terdapat wisata unik yang semakin menarik perhatian wisatawan untuk bertemu langsung dengan hiu paus ''(Rhincodon typus)''. Hewan laut raksasa ini, meskipun memiliki ukuran tubuh yang bisa mencapai 12 meter, dikenal sebagai "raksasa lembut" yang tidak berbahaya bagi manusia. Wisata Hiu Paus Botubarani memungkinkan pengunjung untuk melihat dari dekat bahkan berenang bersama makhluk luar biasa ini di habitat aslinya (Adisubroto & Pardede, 2021). [[File:Lokasi Gorontalo Kabupaten Bone Bolango.svg|thumb|Lokasi Kabupaten Bone Bolango dalam Peta Provinsi Gorontalo]] == 2. Di Mana Lokasi Wisata Hiu Paus? == Desa Botubarani, yang terletak di Kabupaten Bone Bolango, hanya berjarak sekitar 30 menit dari pusat Kota Gorontalo. Lokasi ini berada di pesisir Teluk Tomini, salah satu perairan terkaya akan keanekaragaman hayati di Indonesia. Kejernihan air lautnya membuat pengamatan hiu paus menjadi pengalaman yang tak terlupakan (Wumu, 2024). == 3. Kapan Waktu Terbaik untuk Berkunjung? == [[File:Hiu Paus Botubarani Provinsi Gorontalo.jpg|thumb|Proses Memberi Makan Hiu Paus]] Hiu paus biasanya muncul di Botubarani antara Maret hingga Mei, saat suhu laut dan kandungan klorofil-a di perairan meningkat. Faktor-faktor ini memengaruhi jumlah plankton yang menjadi makanan utama hiu paus (Wumu, 2024). Pada bulan-bulan tersebut, peluang untuk melihat hiu paus dari dekat lebih tinggi, menjadikannya waktu ideal bagi wisatawan yang ingin menikmati pengalaman ini. == 4. Mengapa Wisata Ini Begitu Istimewa? == Selain kesempatan bertemu langsung dengan hiu paus, wisata di Botubarani juga mendukung ekowisata berkelanjutan. Menurut penelitian, potensi ekonomi wisata ini bisa mencapai Rp7,8 miliar per bulan pada musim puncak (Monoarfa et al., 2020). Selain itu, kehadiran wisatawan membantu meningkatkan pendapatan masyarakat lokal melalui penyewaan perahu, homestay, dan usaha kuliner. Namun, interaksi dengan hiu paus harus tetap mematuhi prinsip konservasi. Para wisatawan diimbau untuk tidak menyentuh atau memberi makan hiu paus, agar tidak mengganggu pola alami mereka (Rahman et al., 2017). == 5. Siapa yang Mengelola Wisata Ini? == Wisata ini dikelola oleh masyarakat lokal bersama pemerintah daerah dan kelompok konservasi. Mereka bertanggung jawab untuk menjaga keseimbangan antara kepentingan ekonomi dan pelestarian lingkungan. Pemberdayaan masyarakat dalam pengelolaan wisata juga menjadi aspek penting agar manfaatnya dapat dirasakan secara berkelanjutan (Sahria & Bawono, 2023). == 6. Bagaimana Cara Menikmati Wisata Hiu Paus? == Ada beberapa cara untuk menikmati wisata ini: * Snorkeling: Melihat langsung hiu paus dari permukaan air. * Diving: Menyelam lebih dalam untuk pengalaman yang lebih dekat. * Wisata perahu: Bagi yang tidak ingin basah, melihat dari atas perahu tetap memberikan pengalaman luar biasa. * Fotografi bawah air: Mengabadikan momen langka bersama hiu paus dengan kamera bawah air. [[File:Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] Biaya berwisata di Wisata Hiu Paus Botubarani relatif terjangkau dan dapat disesuaikan dengan aktivitas yang ingin dinikmati. Berdasarkan informasi terbaru per 10 Juni 2026, retribusi masuk sebesar Rp10.000 untuk dewasa dan Rp5.000 untuk anak-anak. Wisatawan yang ingin mendekati area kemunculan hiu paus dapat menyewa perahu dengan tarif sekitar Rp100.000, sedangkan aktivitas snorkeling dikenakan biaya sekitar Rp35.000 dan diving sekitar Rp60.000. Perlengkapan pendukung juga tersedia untuk disewa, seperti pelampung, masker snorkeling, dan fins masing-masing sekitar Rp25.000, serta wetsuit sekitar Rp50.000. Bagi wisatawan yang membutuhkan pendamping, tersedia jasa pemandu snorkeling dengan tarif sekitar Rp50.000. Biaya dapat bertambah apabila menggunakan layanan tambahan, seperti kamera underwater sekitar Rp250.000 atau drone sekitar Rp275.000–Rp550.000. Dengan pilihan aktivitas dan biaya yang fleksibel, Wisata Hiu Paus Botubarani menawarkan pengalaman wisata bahari yang unik sekaligus edukatif. Pengunjung dapat menyaksikan hiu paus dari dekat, menikmati keindahan laut Gorontalo, serta belajar menghargai pentingnya menjaga kelestarian satwa dan ekosistem laut. Dengan tetap mematuhi aturan interaksi dengan hiu paus, setiap kunjungan dapat menjadi bagian dari praktik wisata yang lebih bertanggung jawab dan berkelanjutan. == Referensi == 1. Adisubroto, & Pardede.(2021). Whale Shark in The Development of Geopark and Sustainable Tourism in Gorontalo, Indonesia. ''Jurnal perencanaan pembangunan the indonesian journal of development Planning, 5(3).'' https://doi:10.36574/jpp.v5i3.232 2. Monoarfa, et al. (2020). Nilai Ekonomi Wisata Ikan Hiu Paus di Desa Botubarani, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo. ''Jurnal ilmu dan teknologi kelautan tropis, 12(3)'' https://doi:10.29244/jitkt.v12i3.31166 3. Rahman, et al. (2017). Kajian Awal Kemunculan Hiu Paus (''Rhyncodon typus,'' Smith 1828) di Teluk Tomini Dihubungkan dengan Faktor Fisik dan Biologi Perairan. ''Akuatika indonesia,2(2).''https://doi:10.24198/jaki.v2i2.23425 4. Sahria, & Bawono.(2023). Pemberdayaan Masyarakat dalam Pemetaan dan Optimalisasi Potensi Desa Wisata Segajih Live dalam Pendidikan Kulon Progo. ''Jurnal pengabdian masyarakat multidisiplin,6(3).'' https://doi:10.36341/jpm.v6i3.3228 5. Wumu.(2024). Analisis Hubungan Kemunculan Hiu Paus (''Rhincodon typus'') dengan Suhu Permukaan Laut dan Klorofil-a Pada Perairan Botubarani Provinsi Gorontalo. ''Geoid, 19(2).'' https://doi:10.12962/geoid.v19i2.1202 rfhmqpwnppvtnp8vqkz09rzl4bd0jqi 117718 117717 2026-07-26T04:36:26Z Abdurrahman Mahmud (Awad) 40991 /* 4. Mengapa Wisata Ini Begitu Istimewa? */ 117718 wikitext text/x-wiki [[File:Whale Shark Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Penampakan Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] == 1. Apa Itu Wisata Hiu Paus Botubarani? == Di perairan jernih Teluk Tomini, Gorontalo, terdapat wisata unik yang semakin menarik perhatian wisatawan untuk bertemu langsung dengan hiu paus ''(Rhincodon typus)''. Hewan laut raksasa ini, meskipun memiliki ukuran tubuh yang bisa mencapai 12 meter, dikenal sebagai "raksasa lembut" yang tidak berbahaya bagi manusia. Wisata Hiu Paus Botubarani memungkinkan pengunjung untuk melihat dari dekat bahkan berenang bersama makhluk luar biasa ini di habitat aslinya (Adisubroto & Pardede, 2021). [[File:Lokasi Gorontalo Kabupaten Bone Bolango.svg|thumb|Lokasi Kabupaten Bone Bolango dalam Peta Provinsi Gorontalo]] == 2. Di Mana Lokasi Wisata Hiu Paus? == Desa Botubarani, yang terletak di Kabupaten Bone Bolango, hanya berjarak sekitar 30 menit dari pusat Kota Gorontalo. Lokasi ini berada di pesisir Teluk Tomini, salah satu perairan terkaya akan keanekaragaman hayati di Indonesia. Kejernihan air lautnya membuat pengamatan hiu paus menjadi pengalaman yang tak terlupakan (Wumu, 2024). == 3. Kapan Waktu Terbaik untuk Berkunjung? == [[File:Hiu Paus Botubarani Provinsi Gorontalo.jpg|thumb|Proses Memberi Makan Hiu Paus]] Hiu paus biasanya muncul di Botubarani antara Maret hingga Mei, saat suhu laut dan kandungan klorofil-a di perairan meningkat. Faktor-faktor ini memengaruhi jumlah plankton yang menjadi makanan utama hiu paus (Wumu, 2024). Pada bulan-bulan tersebut, peluang untuk melihat hiu paus dari dekat lebih tinggi, menjadikannya waktu ideal bagi wisatawan yang ingin menikmati pengalaman ini. == 4. Mengapa Wisata Ini Begitu Istimewa? == Wisata Hiu Paus Botubarani memberikan kesempatan langka bagi wisatawan untuk melihat hiu paus secara langsung di habitat alaminya sekaligus memiliki nilai penting dalam pengembangan ekowisata dan perekonomian masyarakat pesisir. Potensi ekonomi dari aktivitas wisata hiu paus di kawasan ini diperkirakan dapat mencapai Rp7,8 miliar per bulan pada musim puncak (Monoarfa et al., 2020). Kehadiran wisatawan turut membuka peluang ekonomi bagi masyarakat melalui berbagai layanan, seperti penyewaan perahu, jasa pemandu, penginapan, penyewaan perlengkapan, dan usaha kuliner lokal. Keberlanjutan Wisata Hiu Paus Botubarani sangat bergantung pada upaya menjaga kelestarian hiu paus dan ekosistem laut sebagai habitatnya. Interaksi wisatawan dengan hiu paus perlu dilakukan secara bertanggung jawab dengan menjaga jarak aman dan menghindari tindakan yang dapat mengganggu perilaku alaminya. Wisatawan diimbau untuk tidak menyentuh hiu paus serta menghindari pemberian pakan secara langsung karena interaksi yang tidak terkendali dapat memengaruhi perilaku alami satwa tersebut (Rahman et al., 2017). Penerapan prinsip konservasi menjadi bagian penting dalam menjaga Botubarani sebagai destinasi ekowisata yang memberikan manfaat ekonomi bagi masyarakat sekaligus mendukung kelestarian hiu paus di perairan Gorontalo. == 5. Siapa yang Mengelola Wisata Ini? == Wisata ini dikelola oleh masyarakat lokal bersama pemerintah daerah dan kelompok konservasi. Mereka bertanggung jawab untuk menjaga keseimbangan antara kepentingan ekonomi dan pelestarian lingkungan. Pemberdayaan masyarakat dalam pengelolaan wisata juga menjadi aspek penting agar manfaatnya dapat dirasakan secara berkelanjutan (Sahria & Bawono, 2023). == 6. Bagaimana Cara Menikmati Wisata Hiu Paus? == Ada beberapa cara untuk menikmati wisata ini: * Snorkeling: Melihat langsung hiu paus dari permukaan air. * Diving: Menyelam lebih dalam untuk pengalaman yang lebih dekat. * Wisata perahu: Bagi yang tidak ingin basah, melihat dari atas perahu tetap memberikan pengalaman luar biasa. * Fotografi bawah air: Mengabadikan momen langka bersama hiu paus dengan kamera bawah air. [[File:Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] Biaya berwisata di Wisata Hiu Paus Botubarani relatif terjangkau dan dapat disesuaikan dengan aktivitas yang ingin dinikmati. Berdasarkan informasi terbaru per 10 Juni 2026, retribusi masuk sebesar Rp10.000 untuk dewasa dan Rp5.000 untuk anak-anak. Wisatawan yang ingin mendekati area kemunculan hiu paus dapat menyewa perahu dengan tarif sekitar Rp100.000, sedangkan aktivitas snorkeling dikenakan biaya sekitar Rp35.000 dan diving sekitar Rp60.000. Perlengkapan pendukung juga tersedia untuk disewa, seperti pelampung, masker snorkeling, dan fins masing-masing sekitar Rp25.000, serta wetsuit sekitar Rp50.000. Bagi wisatawan yang membutuhkan pendamping, tersedia jasa pemandu snorkeling dengan tarif sekitar Rp50.000. Biaya dapat bertambah apabila menggunakan layanan tambahan, seperti kamera underwater sekitar Rp250.000 atau drone sekitar Rp275.000–Rp550.000. Dengan pilihan aktivitas dan biaya yang fleksibel, Wisata Hiu Paus Botubarani menawarkan pengalaman wisata bahari yang unik sekaligus edukatif. Pengunjung dapat menyaksikan hiu paus dari dekat, menikmati keindahan laut Gorontalo, serta belajar menghargai pentingnya menjaga kelestarian satwa dan ekosistem laut. Dengan tetap mematuhi aturan interaksi dengan hiu paus, setiap kunjungan dapat menjadi bagian dari praktik wisata yang lebih bertanggung jawab dan berkelanjutan. == Referensi == 1. Adisubroto, & Pardede.(2021). Whale Shark in The Development of Geopark and Sustainable Tourism in Gorontalo, Indonesia. ''Jurnal perencanaan pembangunan the indonesian journal of development Planning, 5(3).'' https://doi:10.36574/jpp.v5i3.232 2. Monoarfa, et al. (2020). Nilai Ekonomi Wisata Ikan Hiu Paus di Desa Botubarani, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo. ''Jurnal ilmu dan teknologi kelautan tropis, 12(3)'' https://doi:10.29244/jitkt.v12i3.31166 3. Rahman, et al. (2017). Kajian Awal Kemunculan Hiu Paus (''Rhyncodon typus,'' Smith 1828) di Teluk Tomini Dihubungkan dengan Faktor Fisik dan Biologi Perairan. ''Akuatika indonesia,2(2).''https://doi:10.24198/jaki.v2i2.23425 4. Sahria, & Bawono.(2023). Pemberdayaan Masyarakat dalam Pemetaan dan Optimalisasi Potensi Desa Wisata Segajih Live dalam Pendidikan Kulon Progo. ''Jurnal pengabdian masyarakat multidisiplin,6(3).'' https://doi:10.36341/jpm.v6i3.3228 5. Wumu.(2024). Analisis Hubungan Kemunculan Hiu Paus (''Rhincodon typus'') dengan Suhu Permukaan Laut dan Klorofil-a Pada Perairan Botubarani Provinsi Gorontalo. ''Geoid, 19(2).'' https://doi:10.12962/geoid.v19i2.1202 sdyohl7pxjeyn8q4x8iseg30r04frm5 117719 117718 2026-07-26T04:38:49Z Abdurrahman Mahmud (Awad) 40991 /* 3. Kapan Waktu Terbaik untuk Berkunjung? */ 117719 wikitext text/x-wiki [[File:Whale Shark Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Penampakan Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] == 1. Apa Itu Wisata Hiu Paus Botubarani? == Di perairan jernih Teluk Tomini, Gorontalo, terdapat wisata unik yang semakin menarik perhatian wisatawan untuk bertemu langsung dengan hiu paus ''(Rhincodon typus)''. Hewan laut raksasa ini, meskipun memiliki ukuran tubuh yang bisa mencapai 12 meter, dikenal sebagai "raksasa lembut" yang tidak berbahaya bagi manusia. Wisata Hiu Paus Botubarani memungkinkan pengunjung untuk melihat dari dekat bahkan berenang bersama makhluk luar biasa ini di habitat aslinya (Adisubroto & Pardede, 2021). [[File:Lokasi Gorontalo Kabupaten Bone Bolango.svg|thumb|Lokasi Kabupaten Bone Bolango dalam Peta Provinsi Gorontalo]] == 2. Di Mana Lokasi Wisata Hiu Paus? == Desa Botubarani, yang terletak di Kabupaten Bone Bolango, hanya berjarak sekitar 30 menit dari pusat Kota Gorontalo. Lokasi ini berada di pesisir Teluk Tomini, salah satu perairan terkaya akan keanekaragaman hayati di Indonesia. Kejernihan air lautnya membuat pengamatan hiu paus menjadi pengalaman yang tak terlupakan (Wumu, 2024). == 3. Kapan Waktu Terbaik untuk Berkunjung? == [[File:Hiu Paus Botubarani Provinsi Gorontalo.jpg|thumb|Proses Memberi Makan Hiu Paus]] Kemunculan hiu paus di perairan Botubarani umumnya lebih sering terjadi antara Maret hingga Mei. Periode tersebut berkaitan dengan kondisi lingkungan perairan yang mendukung keberadaan hiu paus di kawasan pesisir Botubarani. Kondisi suhu laut dan konsentrasi klorofil-a menjadi faktor lingkungan yang berkaitan dengan kemunculan hiu paus. Perubahan kedua faktor tersebut dapat memengaruhi produktivitas perairan dan ketersediaan plankton sebagai salah satu sumber makanan hiu paus (Wumu, 2024). Periode Maret hingga Mei dapat menjadi salah satu waktu yang potensial bagi wisatawan untuk menyaksikan hiu paus dari dekat di habitat alaminya. Kemunculan hiu paus tetap bersifat dinamis dan tidak selalu dapat dipastikan karena dipengaruhi oleh kondisi lingkungan, ketersediaan makanan, dan perubahan karakteristik perairan. == 4. Mengapa Wisata Ini Begitu Istimewa? == Wisata Hiu Paus Botubarani memberikan kesempatan langka bagi wisatawan untuk melihat hiu paus secara langsung di habitat alaminya sekaligus memiliki nilai penting dalam pengembangan ekowisata dan perekonomian masyarakat pesisir. Potensi ekonomi dari aktivitas wisata hiu paus di kawasan ini diperkirakan dapat mencapai Rp7,8 miliar per bulan pada musim puncak (Monoarfa et al., 2020). Kehadiran wisatawan turut membuka peluang ekonomi bagi masyarakat melalui berbagai layanan, seperti penyewaan perahu, jasa pemandu, penginapan, penyewaan perlengkapan, dan usaha kuliner lokal. Keberlanjutan Wisata Hiu Paus Botubarani sangat bergantung pada upaya menjaga kelestarian hiu paus dan ekosistem laut sebagai habitatnya. Interaksi wisatawan dengan hiu paus perlu dilakukan secara bertanggung jawab dengan menjaga jarak aman dan menghindari tindakan yang dapat mengganggu perilaku alaminya. Wisatawan diimbau untuk tidak menyentuh hiu paus serta menghindari pemberian pakan secara langsung karena interaksi yang tidak terkendali dapat memengaruhi perilaku alami satwa tersebut (Rahman et al., 2017). Penerapan prinsip konservasi menjadi bagian penting dalam menjaga Botubarani sebagai destinasi ekowisata yang memberikan manfaat ekonomi bagi masyarakat sekaligus mendukung kelestarian hiu paus di perairan Gorontalo. == 5. Siapa yang Mengelola Wisata Ini? == Wisata ini dikelola oleh masyarakat lokal bersama pemerintah daerah dan kelompok konservasi. Mereka bertanggung jawab untuk menjaga keseimbangan antara kepentingan ekonomi dan pelestarian lingkungan. Pemberdayaan masyarakat dalam pengelolaan wisata juga menjadi aspek penting agar manfaatnya dapat dirasakan secara berkelanjutan (Sahria & Bawono, 2023). == 6. Bagaimana Cara Menikmati Wisata Hiu Paus? == Ada beberapa cara untuk menikmati wisata ini: * Snorkeling: Melihat langsung hiu paus dari permukaan air. * Diving: Menyelam lebih dalam untuk pengalaman yang lebih dekat. * Wisata perahu: Bagi yang tidak ingin basah, melihat dari atas perahu tetap memberikan pengalaman luar biasa. * Fotografi bawah air: Mengabadikan momen langka bersama hiu paus dengan kamera bawah air. [[File:Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo.jpg|thumb|Wisata Perahu Hiu Paus Botubarani Gorontalo]] Biaya berwisata di Wisata Hiu Paus Botubarani relatif terjangkau dan dapat disesuaikan dengan aktivitas yang ingin dinikmati. Berdasarkan informasi terbaru per 10 Juni 2026, retribusi masuk sebesar Rp10.000 untuk dewasa dan Rp5.000 untuk anak-anak. Wisatawan yang ingin mendekati area kemunculan hiu paus dapat menyewa perahu dengan tarif sekitar Rp100.000, sedangkan aktivitas snorkeling dikenakan biaya sekitar Rp35.000 dan diving sekitar Rp60.000. Perlengkapan pendukung juga tersedia untuk disewa, seperti pelampung, masker snorkeling, dan fins masing-masing sekitar Rp25.000, serta wetsuit sekitar Rp50.000. Bagi wisatawan yang membutuhkan pendamping, tersedia jasa pemandu snorkeling dengan tarif sekitar Rp50.000. Biaya dapat bertambah apabila menggunakan layanan tambahan, seperti kamera underwater sekitar Rp250.000 atau drone sekitar Rp275.000–Rp550.000. Dengan pilihan aktivitas dan biaya yang fleksibel, Wisata Hiu Paus Botubarani menawarkan pengalaman wisata bahari yang unik sekaligus edukatif. Pengunjung dapat menyaksikan hiu paus dari dekat, menikmati keindahan laut Gorontalo, serta belajar menghargai pentingnya menjaga kelestarian satwa dan ekosistem laut. Dengan tetap mematuhi aturan interaksi dengan hiu paus, setiap kunjungan dapat menjadi bagian dari praktik wisata yang lebih bertanggung jawab dan berkelanjutan. == Referensi == 1. Adisubroto, & Pardede.(2021). Whale Shark in The Development of Geopark and Sustainable Tourism in Gorontalo, Indonesia. ''Jurnal perencanaan pembangunan the indonesian journal of development Planning, 5(3).'' https://doi:10.36574/jpp.v5i3.232 2. Monoarfa, et al. (2020). Nilai Ekonomi Wisata Ikan Hiu Paus di Desa Botubarani, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo. ''Jurnal ilmu dan teknologi kelautan tropis, 12(3)'' https://doi:10.29244/jitkt.v12i3.31166 3. Rahman, et al. (2017). Kajian Awal Kemunculan Hiu Paus (''Rhyncodon typus,'' Smith 1828) di Teluk Tomini Dihubungkan dengan Faktor Fisik dan Biologi Perairan. ''Akuatika indonesia,2(2).''https://doi:10.24198/jaki.v2i2.23425 4. Sahria, & Bawono.(2023). Pemberdayaan Masyarakat dalam Pemetaan dan Optimalisasi Potensi Desa Wisata Segajih Live dalam Pendidikan Kulon Progo. ''Jurnal pengabdian masyarakat multidisiplin,6(3).'' https://doi:10.36341/jpm.v6i3.3228 5. Wumu.(2024). Analisis Hubungan Kemunculan Hiu Paus (''Rhincodon typus'') dengan Suhu Permukaan Laut dan Klorofil-a Pada Perairan Botubarani Provinsi Gorontalo. ''Geoid, 19(2).'' https://doi:10.12962/geoid.v19i2.1202 ik4s1eypd1j3cmob8yar3m9okzgzioe 0 27356 117763 115557 2026-07-26T08:46:22Z Onyaso 27293 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117763 wikitext text/x-wiki Nan tuo dimuliokan, samo gedang saling menghormati. Yang kecil disantun, sanak ipar dibatas- batasi. Nan mudo disayangi. == Makna == Setiap orang yang ada dalam masyarakat harus tahu kedudukan dari masing-masing peran agar terjadi keharmonisan dalam bermasyarakat. [[Kategori:WikiSeloka]] clxq959yx5kw0eaaacd0vpl18b6902u 0 27365 117739 115583 2026-07-26T08:10:37Z Fuadi Zikri 36052 117739 wikitext text/x-wiki <poem>Lubuk pungguk tepian napal Tempat budak mencuci baju Anak biduk nak serempak kapal   Idaklah mungkin nyo samo laju</poem> == Makna == Pantun ini menggunakan pengandaian yang indah (biduk dan kapal) untuk menggambarkan perbedaan status, kemampuan, atau kekuatan. Pantun ini juga bermakna meskipun kita berjalan secara serentak, namun kita tetap memiliki kecepatannya masing-masing. 6i5c0vdq85mht8y1jpakwvinfk1jvqr 0 27367 117752 115591 2026-07-26T08:29:07Z Fuadi Zikri 36052 117752 wikitext text/x-wiki <poem>Kami ba umo di lereng bukit   Rebahlah padi digiling batang   Kami umpamo si burung pipit   Kemano terbang di halau urang</poem>  == Makna == Rasoi urang ketek nan hiduknyo susah. Bausaho siang malam baumua di lereng bukit, tapi nasibnya macam burung pipit indak ado tampek batinggai, ka mano se pai selalu dihalau, dipadang rendek dek urang. [[Kategori:WikiSeloka]] i6m7wy7cxyzch4tvxhhas1f3hd7jsh0 117753 117752 2026-07-26T08:31:00Z Fuadi Zikri 36052 117753 wikitext text/x-wiki <poem>Kami ba umo di lereng bukit   Rebahlah padi digiling batang   Kami umpamo si burung pipit   Kemano terbang di halau urang</poem> == Makna == Rasoi urang ketek nan hiduknyo susah. Bausaho siang malam baumua di lereng bukit, tapi nasibnya macam burung pipit indak ado tampek batinggai, ka mano se pai selalu dihalau, dipadang rendek dek urang. [[Kategori:WikiSeloka]] tfkcq9uxec8f5mgrzya9b8m4w854vma 0 27430 117709 115773 2026-07-25T14:02:45Z Muhamad Izzul Fiqih 36628 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117709 wikitext text/x-wiki Adat Bersendi Syarak Syarak Bersendi Kitabullah Syarak Mengato Adat Memakai Syarak nan Qawi Adat nan Lazim Haram Kato Syarak Dihukum Kato Adat Larang Kato Syarak Pantang Kato Adat Wajib Kato Syarak Perintah Kato Adat == Makna == Seloko ini menegaskan bahwa seluruh tatanan, hukum, dan norma adat harus sepenuhnya tunduk dan bersumber pada syariat Islam serta Al-Qur'an (Kitabullah). '''Adat bersendi syarak, syarak bersendi kitabullah''': Adat berlandaskan pada hukum Islam, dan hukum Islam berlandaskan pada Al-Qur'an. '''Syarak mengato, adat memakai''': Segala perintah dan hukum agama (syariat) yang menetapkan atau memutuskan sesuatu, maka adat yang melaksanakannya dalam kehidupan sehari-hari. '''Syarak nan qawi, adat nan lazim''': Hukum agama adalah sesuatu yang kuat dan mutlak (qawi), sementara adat adalah kebiasaan yang disepakati dan berlaku umum di masyarakat (lazim). '''Haram kato syarak dihukum kato adat''': Tidak boleh (haram) keputusan yang sudah ditetapkan oleh agama diubah atau diganti dengan aturan adat. Hukum agama berada di tingkat tertinggi. '''Larang kato syarak pantang kato adat''': Segala sesuatu yang dilarang oleh agama secara otomatis menjadi pantangan atau larangan dalam adat. '''Wajib kato syarak perintah kato adat''': Segala sesuatu yang diwajibkan oleh agama menjadi perintah dan kewajiban yang harus dijalankan bersama dalam adat. [[Kategori:WikiSeloka]] 4huhhzzcwzklp75vwgv3ayf1xq4gqwm 0 27433 117738 115777 2026-07-26T08:07:56Z Fuadi Zikri 36052 117738 wikitext text/x-wiki <poem>Kalo ado gelang di tangan Idak melurut cincin di jari   Kalo ado tunang awak nian Idak merebut si tunang kanti</poem> == Makna == Pantun seloko khas Jambi yang sarat akan nilai moral dan budaya, '''Kesetiaan dan Integritas''': Sebagaimana gelang dan cincin yang pas di tangan serta tidak akan mudah terlepas, seseorang yang sudah memiliki pasangan (tunangan sendiri) harus menjaga komitmen, setia, dan tidak akan berpaling. '''Menghargai Hubungan Orang Lain''': Pantun ini juga menjadi pengingat tegas untuk tidak merusak hubungan asmara orang lain, apalagi sampai merebut tunangan atau kekasih sahabat (kanti) kita sendiri. pp1nc2aj0ubfa2g6at6vn0b1e8ccnfl 0 27812 117721 2026-07-26T07:33:31Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Bilo ado ranting nan menculik dipatahkan Punggou nan manimpo ditebang Unak nan mengait diretas, dahan tepangung ditutuh Batang melintang digabung Disisik sampai ketunggul Disiang sampai kepelak supayo  Jangan ado adat sumbing limbago kupak Pasang badan, berhak berkato mengkheih, tegak dipintu mati == Penerjemahan == Jika ada ranting yang menghalangi atau menyimpang, patahkan. Pohon atau tunggul yang menimpa atau menghalangi ditebang. Dur...' 117721 wikitext text/x-wiki Bilo ado ranting nan menculik dipatahkan Punggou nan manimpo ditebang Unak nan mengait diretas, dahan tepangung ditutuh Batang melintang digabung Disisik sampai ketunggul Disiang sampai kepelak supayo  Jangan ado adat sumbing limbago kupak Pasang badan, berhak berkato mengkheih, tegak dipintu mati == Penerjemahan == Jika ada ranting yang menghalangi atau menyimpang, patahkan. Pohon atau tunggul yang menimpa atau menghalangi ditebang. Duri yang mengait dipotong, dahan yang menghalangi disingkirkan. Batang yang melintang disusun atau disingkirkan agar jalan kembali terbuka. Dibersihkan hingga ke tunggulnya. Dibersihkan hingga tuntas sampai ke akarnya. Jangan sampai adat menjadi cacat dan lembaga (aturan atau pemerintahan adat) menjadi rusak. Bersiap dan berani membela kebenaran, berhak menyampaikan pendapat dengan tegas, serta tetap teguh mempertahankan prinsip hingga akhir. == Makna == Ungkapan ini merupakan petuah adat yang bermakna bahwa setiap hambatan, penyimpangan, atau sesuatu yang merusak tatanan harus diselesaikan sampai tuntas. Tujuannya agar adat, aturan, dan kehidupan masyarakat tetap utuh, serta setiap orang memiliki keberanian untuk menegakkan kebenaran dan mempertahankan prinsip dengan penuh tanggung jawab. h1cno9uksio2gxo9rx94nl12cv4h0te 117722 117721 2026-07-26T07:34:40Z Elicefa 28258 added [[Category:Seloka Jambi]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117722 wikitext text/x-wiki Bilo ado ranting nan menculik dipatahkan Punggou nan manimpo ditebang Unak nan mengait diretas, dahan tepangung ditutuh Batang melintang digabung Disisik sampai ketunggul Disiang sampai kepelak supayo  Jangan ado adat sumbing limbago kupak Pasang badan, berhak berkato mengkheih, tegak dipintu mati == Penerjemahan == Jika ada ranting yang menghalangi atau menyimpang, patahkan. Pohon atau tunggul yang menimpa atau menghalangi ditebang. Duri yang mengait dipotong, dahan yang menghalangi disingkirkan. Batang yang melintang disusun atau disingkirkan agar jalan kembali terbuka. Dibersihkan hingga ke tunggulnya. Dibersihkan hingga tuntas sampai ke akarnya. Jangan sampai adat menjadi cacat dan lembaga (aturan atau pemerintahan adat) menjadi rusak. Bersiap dan berani membela kebenaran, berhak menyampaikan pendapat dengan tegas, serta tetap teguh mempertahankan prinsip hingga akhir. == Makna == Ungkapan ini merupakan petuah adat yang bermakna bahwa setiap hambatan, penyimpangan, atau sesuatu yang merusak tatanan harus diselesaikan sampai tuntas. Tujuannya agar adat, aturan, dan kehidupan masyarakat tetap utuh, serta setiap orang memiliki keberanian untuk menegakkan kebenaran dan mempertahankan prinsip dengan penuh tanggung jawab. [[Kategori:Seloka Jambi]] h5g3ikf7ztnbmbyd8buum1wccvwtsyt 117723 117722 2026-07-26T07:35:15Z Elicefa 28258 117723 wikitext text/x-wiki Bilo ado ranting nan menculik dipatahkan Punggou nan manimpo ditebang Unak nan mengait diretas, dahan tepangung ditutuh Batang melintang digabung Disisik sampai ketunggul Disiang sampai kepelak supayo  Jangan ado adat sumbing limbago kupak Pasang badan, berhak berkato mengkheih, tegak dipintu mati == Penerjemahan == Jika ada ranting yang menghalangi atau menyimpang, patahkan. Pohon atau tunggul yang menimpa atau menghalangi ditebang. Duri yang mengait dipotong, dahan yang menghalangi disingkirkan. Batang yang melintang disusun atau disingkirkan agar jalan kembali terbuka. Dibersihkan hingga ke tunggulnya. Dibersihkan hingga tuntas sampai ke akarnya. Jangan sampai adat menjadi cacat dan lembaga (aturan atau pemerintahan adat) menjadi rusak. Bersiap dan berani membela kebenaran, berhak menyampaikan pendapat dengan tegas, serta tetap teguh mempertahankan prinsip hingga akhir. == Makna == Ungkapan ini merupakan petuah adat yang bermakna bahwa setiap hambatan, penyimpangan, atau sesuatu yang merusak tatanan harus diselesaikan sampai tuntas. Tujuannya agar adat, aturan, dan kehidupan masyarakat tetap utuh, serta setiap orang memiliki keberanian untuk menegakkan kebenaran dan mempertahankan prinsip dengan penuh tanggung jawab. h1cno9uksio2gxo9rx94nl12cv4h0te 117724 117723 2026-07-26T07:35:55Z Elicefa 28258 117724 wikitext text/x-wiki Bilo ado ranting nan menculik dipatahkan Punggou nan manimpo ditebang Unak nan mengait diretas, dahan tepangung ditutuh Batang melintang digabung Disisik sampai ketunggul Disiang sampai kepelak supayo  Jangan ado adat sumbing limbago kupak Pasang badan, berhak berkato mengkheih, tegak dipintu mati == Penerjemahan == Jika ada ranting yang menghalangi atau menyimpang, patahkan. Pohon atau tunggul yang menimpa atau menghalangi ditebang. Duri yang mengait dipotong, dahan yang menghalangi disingkirkan. Batang yang melintang disusun atau disingkirkan agar jalan kembali terbuka. Dibersihkan hingga ke tunggulnya. Dibersihkan hingga tuntas sampai ke akarnya. Jangan sampai adat menjadi cacat dan lembaga (aturan atau pemerintahan adat) menjadi rusak. Bersiap dan berani membela kebenaran, berhak menyampaikan pendapat dengan tegas, serta tetap teguh mempertahankan prinsip hingga akhir. == Makna == Ungkapan ini merupakan petuah adat yang bermakna bahwa setiap hambatan, penyimpangan, atau sesuatu yang merusak tatanan harus diselesaikan sampai tuntas. Tujuannya agar adat, aturan, dan kehidupan masyarakat tetap utuh, serta setiap orang memiliki keberanian untuk menegakkan kebenaran dan mempertahankan prinsip dengan penuh tanggung jawab. [[Kategori:WikiSeloka]] b1y4wr6poa9m38f6mshfkgi3nr1k273 0 27813 117725 2026-07-26T07:39:23Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Keras ditakik lunak disudu Patah dikimpal sumbing dititip Kusut diusai keruh dijernih Bila keras idak tatakik lunak idak tasudu diantar ke arus nan badengung Kebungkal nan piawai, keteraju idak balingan Balik ke rajo batangan besi menegakkan hukum adat, Disitu tentu hitam putih, hitam tahan tepo putih tahan sesah. == Penerjemahan ==' 117725 wikitext text/x-wiki Keras ditakik lunak disudu Patah dikimpal sumbing dititip Kusut diusai keruh dijernih Bila keras idak tatakik lunak idak tasudu diantar ke arus nan badengung Kebungkal nan piawai, keteraju idak balingan Balik ke rajo batangan besi menegakkan hukum adat, Disitu tentu hitam putih, hitam tahan tepo putih tahan sesah. == Penerjemahan == 5ekln39p1gt3kisifwasvfg6o1uyngl 117726 117725 2026-07-26T07:44:33Z Elicefa 28258 /* Penerjemahan */ 117726 wikitext text/x-wiki Keras ditakik lunak disudu Patah dikimpal sumbing dititip Kusut diusai keruh dijernih Bila keras idak tatakik lunak idak tasudu diantar ke arus nan badengung Kebungkal nan piawai, keteraju idak balingan Balik ke rajo batangan besi menegakkan hukum adat, Disitu tentu hitam putih, hitam tahan tepo putih tahan sesah. == Penerjemahan == Yang keras diselesaikan dengan cara yang tegas, yang lunak diselesaikan dengan cara yang halus dan bijaksana. Yang patah diperbaiki, yang rusak dipulihkan. Masalah yang rumit diurai, persoalan yang tidak jelas dijernihkan. Jika persoalan tidak dapat diselesaikan dengan ketegasan maupun dengan kelembutan, Maka persoalan itu dibawa kepada tempat musyawarah atau kepada para pemimpin adat yang arif dan berpengalaman. Agar keputusan tidak menyimpang atau berubah-ubah. Pada akhirnya diserahkan kepada pemimpin atau lembaga adat yang berwenang untuk menegakkan hukum adat. Di sanalah akan ditentukan dengan jelas mana yang benar dan mana yang salah. Yang dinyatakan bersalah harus menerima akibat atau sanksinya, sedangkan yang dinyatakan benar akan tetap terbukti benar meskipun diuji. qpn9e4qonqrq9jbi3zkbkr1u5f9tjmm 117727 117726 2026-07-26T07:45:16Z Elicefa 28258 /* Penerjemahan */ 117727 wikitext text/x-wiki Keras ditakik lunak disudu Patah dikimpal sumbing dititip Kusut diusai keruh dijernih Bila keras idak tatakik lunak idak tasudu diantar ke arus nan badengung Kebungkal nan piawai, keteraju idak balingan Balik ke rajo batangan besi menegakkan hukum adat, Disitu tentu hitam putih, hitam tahan tepo putih tahan sesah. == Penerjemahan == Yang keras diselesaikan dengan cara yang tegas, yang lunak diselesaikan dengan cara yang halus dan bijaksana. Yang patah diperbaiki, yang rusak dipulihkan. Masalah yang rumit diurai, persoalan yang tidak jelas dijernihkan. Jika persoalan tidak dapat diselesaikan dengan ketegasan maupun dengan kelembutan, Maka persoalan itu dibawa kepada tempat musyawarah atau kepada para pemimpin adat yang arif dan berpengalaman. Agar keputusan tidak menyimpang atau berubah-ubah. Pada akhirnya diserahkan kepada pemimpin atau lembaga adat yang berwenang untuk menegakkan hukum adat. Di sanalah akan ditentukan dengan jelas mana yang benar dan mana yang salah. Yang dinyatakan bersalah harus menerima akibat atau sanksinya, sedangkan yang dinyatakan benar akan tetap terbukti benar meskipun diuji. == Pemaknaan == Pepatah ini mengajarkan bahwa setiap persoalan harus diselesaikan secara bertahap: mulai dari pendekatan yang bijaksana dan damai, kemudian diperbaiki jika terjadi kerusakan, diurai jika timbul kerumitan, dan dijernihkan bila terjadi kesalahpahaman. Apabila semua cara tersebut tidak berhasil, perkara diserahkan kepada pemimpin atau lembaga adat yang berwenang agar diputuskan secara adil berdasarkan hukum adat. Hasil keputusan itu harus diterima oleh semua pihak karena didasarkan pada kebenaran dan keadilan. lrj6udhumn0o9oupco3bttq6v4f6pq8 117728 117727 2026-07-26T07:45:43Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117728 wikitext text/x-wiki Keras ditakik lunak disudu Patah dikimpal sumbing dititip Kusut diusai keruh dijernih Bila keras idak tatakik lunak idak tasudu diantar ke arus nan badengung Kebungkal nan piawai, keteraju idak balingan Balik ke rajo batangan besi menegakkan hukum adat, Disitu tentu hitam putih, hitam tahan tepo putih tahan sesah. == Penerjemahan == Yang keras diselesaikan dengan cara yang tegas, yang lunak diselesaikan dengan cara yang halus dan bijaksana. Yang patah diperbaiki, yang rusak dipulihkan. Masalah yang rumit diurai, persoalan yang tidak jelas dijernihkan. Jika persoalan tidak dapat diselesaikan dengan ketegasan maupun dengan kelembutan, Maka persoalan itu dibawa kepada tempat musyawarah atau kepada para pemimpin adat yang arif dan berpengalaman. Agar keputusan tidak menyimpang atau berubah-ubah. Pada akhirnya diserahkan kepada pemimpin atau lembaga adat yang berwenang untuk menegakkan hukum adat. Di sanalah akan ditentukan dengan jelas mana yang benar dan mana yang salah. Yang dinyatakan bersalah harus menerima akibat atau sanksinya, sedangkan yang dinyatakan benar akan tetap terbukti benar meskipun diuji. == Pemaknaan == Pepatah ini mengajarkan bahwa setiap persoalan harus diselesaikan secara bertahap: mulai dari pendekatan yang bijaksana dan damai, kemudian diperbaiki jika terjadi kerusakan, diurai jika timbul kerumitan, dan dijernihkan bila terjadi kesalahpahaman. Apabila semua cara tersebut tidak berhasil, perkara diserahkan kepada pemimpin atau lembaga adat yang berwenang agar diputuskan secara adil berdasarkan hukum adat. Hasil keputusan itu harus diterima oleh semua pihak karena didasarkan pada kebenaran dan keadilan. [[Kategori:WikiSeloka]] mzgnfqz9qpmnrmnxiz6hk0xvmd4hvsl 0 27814 117729 2026-07-26T07:50:16Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Berjenjang naik betanggo turun, Turun dari takak nan di atas, Naik dari takak nan di bawah, Alam nan barajo pemerintah nan bermenteri, Rantau nan bejenang, negeri nan bebatin, kampung nan bertuo. Luak nan berpenghulu, rumah nan bertengganai.' 117729 wikitext text/x-wiki Berjenjang naik betanggo turun, Turun dari takak nan di atas, Naik dari takak nan di bawah, Alam nan barajo pemerintah nan bermenteri, Rantau nan bejenang, negeri nan bebatin, kampung nan bertuo. Luak nan berpenghulu, rumah nan bertengganai. hi70d3apjia16i0ut2r0tm14copzac1 117730 117729 2026-07-26T07:53:56Z Elicefa 28258 117730 wikitext text/x-wiki Berjenjang naik betanggo turun, Turun dari takak nan di atas, Naik dari takak nan di bawah, Alam nan barajo pemerintah nan bermenteri, Rantau nan bejenang, negeri nan bebatin, kampung nan bertuo. Luak nan berpenghulu, rumah nan bertengganai. == Penerjemahan == Segala urusan dilakukan menurut jenjang dan tata cara yang telah ditetapkan. Keputusan atau perintah berasal dari tingkatan yang lebih tinggi. Sementara itu, aspirasi, laporan, atau persoalan disampaikan mulai dari tingkatan yang lebih bawah. Dalam suatu negara ada raja (pemimpin), dan pemerintahan dijalankan bersama para menteri atau pembantunya. Di wilayah rantau ada jenang (pengelola atau pejabat adat), di negeri ada batin (pemimpin adat), dan di kampung ada tetua yang memimpin masyarakat. Di wilayah adat (luak) dipimpin oleh penghulu, sedangkan dalam setiap rumah atau kaum dipimpin oleh tengganai (kepala keluarga atau pemimpin kaum). plhyeu3d6ocdcz572gbft19z5a7x9ft 117731 117730 2026-07-26T07:54:09Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117731 wikitext text/x-wiki Berjenjang naik betanggo turun, Turun dari takak nan di atas, Naik dari takak nan di bawah, Alam nan barajo pemerintah nan bermenteri, Rantau nan bejenang, negeri nan bebatin, kampung nan bertuo. Luak nan berpenghulu, rumah nan bertengganai. == Penerjemahan == Segala urusan dilakukan menurut jenjang dan tata cara yang telah ditetapkan. Keputusan atau perintah berasal dari tingkatan yang lebih tinggi. Sementara itu, aspirasi, laporan, atau persoalan disampaikan mulai dari tingkatan yang lebih bawah. Dalam suatu negara ada raja (pemimpin), dan pemerintahan dijalankan bersama para menteri atau pembantunya. Di wilayah rantau ada jenang (pengelola atau pejabat adat), di negeri ada batin (pemimpin adat), dan di kampung ada tetua yang memimpin masyarakat. Di wilayah adat (luak) dipimpin oleh penghulu, sedangkan dalam setiap rumah atau kaum dipimpin oleh tengganai (kepala keluarga atau pemimpin kaum). [[Kategori:WikiSeloka]] p51z8ash2y35ngj9jacxv5az5ow1duk 117732 117731 2026-07-26T07:56:29Z Elicefa 28258 117732 wikitext text/x-wiki Berjenjang naik betanggo turun, Turun dari takak nan di atas, Naik dari takak nan di bawah, Alam nan barajo pemerintah nan bermenteri, Rantau nan bejenang, negeri nan bebatin, kampung nan bertuo. Luak nan berpenghulu, rumah nan bertengganai. == Penerjemahan == Segala urusan dilakukan menurut jenjang dan tata cara yang telah ditetapkan. Keputusan atau perintah berasal dari tingkatan yang lebih tinggi. Sementara itu, aspirasi, laporan, atau persoalan disampaikan mulai dari tingkatan yang lebih bawah. Dalam suatu negara ada raja (pemimpin), dan pemerintahan dijalankan bersama para menteri atau pembantunya. Di wilayah rantau ada jenang (pengelola atau pejabat adat), di negeri ada batin (pemimpin adat), dan di kampung ada tetua yang memimpin masyarakat. Di wilayah adat (luak) dipimpin oleh penghulu, sedangkan dalam setiap rumah atau kaum dipimpin oleh tengganai (kepala keluarga atau pemimpin kaum). == Pemaknaan == Pepatah ini menegaskan bahwa kehidupan masyarakat adat harus berjalan sesuai struktur kepemimpinan yang berjenjang. Setiap persoalan diselesaikan melalui tingkatan yang tepat: urusan dari bawah disampaikan secara bertahap ke atas, sedangkan keputusan dari atas dilaksanakan secara bertahap ke bawah. Dengan demikian, setiap tingkat kepemimpinan—mulai dari kepala keluarga, penghulu, tetua kampung, pemimpin negeri, hingga pemerintah—memiliki peran dan tanggung jawab masing-masing dalam menjaga ketertiban, keadilan, dan kelangsungan adat. [[Kategori:WikiSeloka]] nlrfi8htdcqzbkc6ftq6gxgbahb4x0m 0 27815 117733 2026-07-26T08:02:11Z Fuadi Zikri 36052 ←Membuat halaman berisi '<poem>Ulat bulu di batang pisang Kena bulunya terasa miang Nasehat guru dikenang-kenang Supaya hidup tiada terbuang</poem>' 117733 wikitext text/x-wiki <poem>Ulat bulu di batang pisang Kena bulunya terasa miang Nasehat guru dikenang-kenang Supaya hidup tiada terbuang</poem> agypwbg1njhg2xj9t1gzyg0p4xeyj2e 117735 117733 2026-07-26T08:04:51Z Fuadi Zikri 36052 117735 wikitext text/x-wiki <poem>Ulat bulu di batang pisang Kena bulunya terasa miang Nasehat guru dikenang-kenang Supaya hidup tiada terbuang</poem> == Makna == Pantun ini bermakna dalam perjalanan di kehidupan kita harus terus ingat selalu nasihat orang tua serta para guru-guru kita agar tetap bisa beradaptasi dengan berbagai lingkungan yang kita kunjungi atau tempati. ed5tmmp13h9obh28znci9vnpibo1vf1 0 27816 117734 2026-07-26T08:03:59Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Sudah dipapar segalo nan dapat, Sebaris idak lupo setitik idak ilang, Bilo kurang suko di tukuk, Bilo jarang suko disisip, Bilo bungkuk suko di lurus, Alam takembang menyudahi == Penerjemahan == Semua yang perlu telah disampaikan dan dijelaskan. Tidak ada satu baris pun yang terlupakan, tidak ada satu bagian pun yang terlewat. Jika masih ada yang kurang, silakan ditambahkan. Jika masih ada yang renggang atau belum lengkap, silakan dilengkapi atau dis...' 117734 wikitext text/x-wiki Sudah dipapar segalo nan dapat, Sebaris idak lupo setitik idak ilang, Bilo kurang suko di tukuk, Bilo jarang suko disisip, Bilo bungkuk suko di lurus, Alam takembang menyudahi == Penerjemahan == Semua yang perlu telah disampaikan dan dijelaskan. Tidak ada satu baris pun yang terlupakan, tidak ada satu bagian pun yang terlewat. Jika masih ada yang kurang, silakan ditambahkan. Jika masih ada yang renggang atau belum lengkap, silakan dilengkapi atau disisipkan. Jika masih ada yang keliru atau tidak tepat, silakan diperbaiki. Alam yang terbentang menjadi penutup atau penyempurna; biarlah pengalaman dan kenyataan menjadi pelengkap dari apa yang telah disampaikan. aio9m0m3vyvun0eoeg07o8r0a6kohv6 117736 117734 2026-07-26T08:05:47Z Elicefa 28258 /* Penerjemahan */ 117736 wikitext text/x-wiki Sudah dipapar segalo nan dapat, Sebaris idak lupo setitik idak ilang, Bilo kurang suko di tukuk, Bilo jarang suko disisip, Bilo bungkuk suko di lurus, Alam takembang menyudahi == Penerjemahan == Semua yang perlu telah disampaikan dan dijelaskan. Tidak ada satu baris pun yang terlupakan, tidak ada satu bagian pun yang terlewat. Jika masih ada yang kurang, silakan ditambahkan. Jika masih ada yang renggang atau belum lengkap, silakan dilengkapi atau disisipkan. Jika masih ada yang keliru atau tidak tepat, silakan diperbaiki. Alam yang terbentang menjadi penutup atau penyempurna; biarlah pengalaman dan kenyataan menjadi pelengkap dari apa yang telah disampaikan. == Pemaknaan == Pepatah ini mengandung sikap rendah hati, terbuka terhadap masukan, dan mengutamakan musyawarah. Pembicara menyatakan bahwa ia telah menyampaikan segala hal yang diketahuinya, tetapi tetap membuka kesempatan bagi orang lain untuk menambah, melengkapi, atau memperbaiki apabila masih terdapat kekurangan atau kekeliruan. Ungkapan "alam takembang menyudahi" bermakna bahwa pada akhirnya pengalaman, kenyataan, dan kebijaksanaan yang terdapat dalam kehidupan akan menjadi penyempurna dan penegas dari setiap pembahasan atau keputusan. 6q5z1oxjcqjp8o0rwafq1y4rppecd7j 117737 117736 2026-07-26T08:06:26Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117737 wikitext text/x-wiki Sudah dipapar segalo nan dapat, Sebaris idak lupo setitik idak ilang, Bilo kurang suko di tukuk, Bilo jarang suko disisip, Bilo bungkuk suko di lurus, Alam takembang menyudahi == Penerjemahan == Semua yang perlu telah disampaikan dan dijelaskan. Tidak ada satu baris pun yang terlupakan, tidak ada satu bagian pun yang terlewat. Jika masih ada yang kurang, silakan ditambahkan. Jika masih ada yang renggang atau belum lengkap, silakan dilengkapi atau disisipkan. Jika masih ada yang keliru atau tidak tepat, silakan diperbaiki. Alam yang terbentang menjadi penutup atau penyempurna; biarlah pengalaman dan kenyataan menjadi pelengkap dari apa yang telah disampaikan. == Pemaknaan == Pepatah ini mengandung sikap rendah hati, terbuka terhadap masukan, dan mengutamakan musyawarah. Pembicara menyatakan bahwa ia telah menyampaikan segala hal yang diketahuinya, tetapi tetap membuka kesempatan bagi orang lain untuk menambah, melengkapi, atau memperbaiki apabila masih terdapat kekurangan atau kekeliruan. Ungkapan "alam takembang menyudahi" bermakna bahwa pada akhirnya pengalaman, kenyataan, dan kebijaksanaan yang terdapat dalam kehidupan akan menjadi penyempurna dan penegas dari setiap pembahasan atau keputusan. [[Kategori:WikiSeloka]] ess7ko7eytupvmqswke8bvbrxeh5h7x 0 27817 117740 2026-07-26T08:13:30Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Tamat kaji kitab balingkup, Tamat gayung pedang di letak, Hikayat habis sengketo sudah, Sah samo balunjo, batal samo diampang, Taserah kepado ombak nan basabung, Angin nan bapuhun, yang tinggal untuk nan pandai.' 117740 wikitext text/x-wiki Tamat kaji kitab balingkup, Tamat gayung pedang di letak, Hikayat habis sengketo sudah, Sah samo balunjo, batal samo diampang, Taserah kepado ombak nan basabung, Angin nan bapuhun, yang tinggal untuk nan pandai. sakne4jg4f0roiicl9wt3vp0xqqx40l 117746 117740 2026-07-26T08:21:43Z Elicefa 28258 117746 wikitext text/x-wiki Tamat kaji kitab balingkup, Tamat gayung pedang di letak, Hikayat habis sengketo sudah, Sah samo balunjo, batal samo diampang, Taserah kepado ombak nan basabung, Angin nan bapuhun, yang tinggal untuk nan pandai. == Penerjemahan == Kajian dan pembahasan telah selesai seluruhnya. Perdebatan atau perselisihan telah diakhiri; segala upaya telah dilakukan sehingga senjata (lambang pertentangan) pun diletakkan. Uraian telah selesai, sengketa pun telah berakhir. Apa yang disepakati bersama dinyatakan sah, dan apa yang dibatalkan bersama-sama diterima sebagai batal. Selanjutnya persoalan diserahkan kepada ketentuan yang berlaku serta kebijaksanaan para pemimpin yang berwenang. Selebihnya diserahkan kepada orang-orang yang arif dan bijaksana untuk mempertimbangkan serta mengambil keputusan. p12t6qn108haq31asygcxb1e1wlrydn 117748 117746 2026-07-26T08:23:24Z Elicefa 28258 /* Penerjemahan */ 117748 wikitext text/x-wiki Tamat kaji kitab balingkup, Tamat gayung pedang di letak, Hikayat habis sengketo sudah, Sah samo balunjo, batal samo diampang, Taserah kepado ombak nan basabung, Angin nan bapuhun, yang tinggal untuk nan pandai. == Penerjemahan == Kajian dan pembahasan telah selesai seluruhnya. Perdebatan atau perselisihan telah diakhiri; segala upaya telah dilakukan sehingga senjata (lambang pertentangan) pun diletakkan. Uraian telah selesai, sengketa pun telah berakhir. Apa yang disepakati bersama dinyatakan sah, dan apa yang dibatalkan bersama-sama diterima sebagai batal. Selanjutnya persoalan diserahkan kepada ketentuan yang berlaku serta kebijaksanaan para pemimpin yang berwenang. Selebihnya diserahkan kepada orang-orang yang arif dan bijaksana untuk mempertimbangkan serta mengambil keputusan. == Pemaknaan == Pepatah ini merupakan ungkapan penutup dalam musyawarah adat. Maknanya adalah bahwa seluruh pembahasan telah selesai dilakukan, perselisihan telah diselesaikan melalui musyawarah, dan keputusan yang telah disepakati harus dihormati bersama. Jika masih ada hal yang memerlukan pertimbangan lebih lanjut, penyelesaiannya diserahkan kepada para pemimpin adat atau orang-orang yang memiliki kebijaksanaan dan kewenangan untuk mengambil keputusan yang adil. 0a9myi4rf1bbjvv92f6wqz1bt0q9lff 117749 117748 2026-07-26T08:23:42Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117749 wikitext text/x-wiki Tamat kaji kitab balingkup, Tamat gayung pedang di letak, Hikayat habis sengketo sudah, Sah samo balunjo, batal samo diampang, Taserah kepado ombak nan basabung, Angin nan bapuhun, yang tinggal untuk nan pandai. == Penerjemahan == Kajian dan pembahasan telah selesai seluruhnya. Perdebatan atau perselisihan telah diakhiri; segala upaya telah dilakukan sehingga senjata (lambang pertentangan) pun diletakkan. Uraian telah selesai, sengketa pun telah berakhir. Apa yang disepakati bersama dinyatakan sah, dan apa yang dibatalkan bersama-sama diterima sebagai batal. Selanjutnya persoalan diserahkan kepada ketentuan yang berlaku serta kebijaksanaan para pemimpin yang berwenang. Selebihnya diserahkan kepada orang-orang yang arif dan bijaksana untuk mempertimbangkan serta mengambil keputusan. == Pemaknaan == Pepatah ini merupakan ungkapan penutup dalam musyawarah adat. Maknanya adalah bahwa seluruh pembahasan telah selesai dilakukan, perselisihan telah diselesaikan melalui musyawarah, dan keputusan yang telah disepakati harus dihormati bersama. Jika masih ada hal yang memerlukan pertimbangan lebih lanjut, penyelesaiannya diserahkan kepada para pemimpin adat atau orang-orang yang memiliki kebijaksanaan dan kewenangan untuk mengambil keputusan yang adil. [[Kategori:WikiSeloka]] 18f0t0pwlhmrdcdg9v3neyrxjpkh3wf 0 27818 117741 2026-07-26T08:15:39Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Ambil benih campaklah sarap == Makna == Ambillah sesuatu yang baik dan bermanfaat kemudian buanglah sesuatu yang tidak baik.' 117741 wikitext text/x-wiki Ambil benih campaklah sarap == Makna == Ambillah sesuatu yang baik dan bermanfaat kemudian buanglah sesuatu yang tidak baik. 101pz90pzcmte71qfrinb83w37x82d2 117742 117741 2026-07-26T08:15:51Z Onyaso 27293 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117742 wikitext text/x-wiki Ambil benih campaklah sarap == Makna == Ambillah sesuatu yang baik dan bermanfaat kemudian buanglah sesuatu yang tidak baik. [[Kategori:WikiSeloka]] 4p7dcjumlindvrklafawaeqgcihp7dt 0 27819 117743 2026-07-26T08:17:53Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Dikit menjadi pembasuh banyak menjadi musuh. == Makna == Segala sesuatu tidak boleh berlebihan.' 117743 wikitext text/x-wiki Dikit menjadi pembasuh banyak menjadi musuh. == Makna == Segala sesuatu tidak boleh berlebihan. rf7arpqhzyg47jg4z2vmwjrma3lb5iw 117744 117743 2026-07-26T08:18:08Z Onyaso 27293 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117744 wikitext text/x-wiki Dikit menjadi pembasuh banyak menjadi musuh. == Makna == Segala sesuatu tidak boleh berlebihan. [[Kategori:WikiSeloka]] 8ta06cyp847kj46fr02oylatlriprlz 0 27820 117745 2026-07-26T08:20:09Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Dianjak layu, dianggu mati == Makna == Suatu kebenaran yang tidak boleh diubah lagi, yang harus dipakai terus.' 117745 wikitext text/x-wiki Dianjak layu, dianggu mati == Makna == Suatu kebenaran yang tidak boleh diubah lagi, yang harus dipakai terus. mnl89200tc9xr1678dsb6xg5nojjbqk 0 27821 117747 2026-07-26T08:22:27Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Nan idak lapuk keno hujan, nan idak lekang keno panas == Makna == Berpegang pada prinsip kebenaran yang absolut dan tidak akan berubah walau apapun keadaannya.' 117747 wikitext text/x-wiki Nan idak lapuk keno hujan, nan idak lekang keno panas == Makna == Berpegang pada prinsip kebenaran yang absolut dan tidak akan berubah walau apapun keadaannya. drawvsj0o8w0m4fmh05l6w2o5056y6n 0 27822 117750 2026-07-26T08:24:26Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Lantak nan idak goyah == Makna == Dalam menentukan hukum dan melaksanakannya orang yang berwenang harus memiliki tekad yang teguh, sekaligus keadilan bagi semua orang dapat ditegakkan.' 117750 wikitext text/x-wiki Lantak nan idak goyah == Makna == Dalam menentukan hukum dan melaksanakannya orang yang berwenang harus memiliki tekad yang teguh, sekaligus keadilan bagi semua orang dapat ditegakkan. 3hwcn858cdwjffivy5x1ryfscjlclqe 0 27823 117751 2026-07-26T08:25:42Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Cermin nan idak kabur == Makna == Cermin berarti tempat merujuk, melihat dan pandangan dalam hidup, nak idak kabur artinya tidak using dan juga tidak akan rusak karena berlandaskan pada kebenaran dan kebaikan.' 117751 wikitext text/x-wiki Cermin nan idak kabur == Makna == Cermin berarti tempat merujuk, melihat dan pandangan dalam hidup, nak idak kabur artinya tidak using dan juga tidak akan rusak karena berlandaskan pada kebenaran dan kebaikan. lr48ibfmewl9cjvhezhkfl4haurwsxl 0 27824 117754 2026-07-26T08:34:22Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Sawah dalam ado mutlaknyo, ladang panjang ado batasnyo.' 117754 wikitext text/x-wiki Sawah dalam ado mutlaknyo, ladang panjang ado batasnyo. rs5ke45numxtz7cs88xfddie2sffbjk 117755 117754 2026-07-26T08:34:33Z Onyaso 27293 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117755 wikitext text/x-wiki Sawah dalam ado mutlaknyo, ladang panjang ado batasnyo. [[Kategori:WikiSeloka]] gglmwkknpghcmcavssd7w34nwpei6to 0 27825 117756 2026-07-26T08:36:08Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi '"Mudik setanjung ilir serantau". == Penerjemahan == === Terjemahan harfiah === * Mudik setanjung = Ke hulu menuju satu tanjung (tujuan yang sama). * Ilir serantau = Ke hilir menuju satu rantau (wilayah yang sama). '''Terjemahan maknawi''' "Baik ketika menuju ke hulu maupun ke hilir, tetap berjalan bersama menuju tujuan yang sama." == Pemaknaan == Pepatah ini mengajarkan bahwa anggota masyarakat atau kaum harus tetap bersatu dan kompak, baik dalam keadaan se...' 117756 wikitext text/x-wiki "Mudik setanjung ilir serantau". == Penerjemahan == === Terjemahan harfiah === * Mudik setanjung = Ke hulu menuju satu tanjung (tujuan yang sama). * Ilir serantau = Ke hilir menuju satu rantau (wilayah yang sama). '''Terjemahan maknawi''' "Baik ketika menuju ke hulu maupun ke hilir, tetap berjalan bersama menuju tujuan yang sama." == Pemaknaan == Pepatah ini mengajarkan bahwa anggota masyarakat atau kaum harus tetap bersatu dan kompak, baik dalam keadaan senang maupun sulit, dekat maupun jauh. Perbedaan tempat atau arah perjalanan tidak boleh memecah persatuan. Dalam konteks adat, ungkapan ini juga menekankan pentingnya keselarasan langkah, gotong royong, dan kebersamaan dalam menjalani kehidupan bermasyarakat serta dalam mengambil keputusan adat. n4ly0lxcp4eknjeijvetafzexqrkacw 117757 117756 2026-07-26T08:36:36Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117757 wikitext text/x-wiki "Mudik setanjung ilir serantau". == Penerjemahan == === Terjemahan harfiah === * Mudik setanjung = Ke hulu menuju satu tanjung (tujuan yang sama). * Ilir serantau = Ke hilir menuju satu rantau (wilayah yang sama). '''Terjemahan maknawi''' "Baik ketika menuju ke hulu maupun ke hilir, tetap berjalan bersama menuju tujuan yang sama." == Pemaknaan == Pepatah ini mengajarkan bahwa anggota masyarakat atau kaum harus tetap bersatu dan kompak, baik dalam keadaan senang maupun sulit, dekat maupun jauh. Perbedaan tempat atau arah perjalanan tidak boleh memecah persatuan. Dalam konteks adat, ungkapan ini juga menekankan pentingnya keselarasan langkah, gotong royong, dan kebersamaan dalam menjalani kehidupan bermasyarakat serta dalam mengambil keputusan adat. [[Kategori:WikiSeloka]] gyumoklu0nwvqdmh2j5i1ktg8nzmhj6 0 27826 117758 2026-07-26T08:37:31Z Fuadi Zikri 36052 ←Membuat halaman berisi '<poem>Hidup api pangganglah kuau Kuau dipanggang si abang kaki Maksud hati nak meraih pulau Pulau dijago sinago sakti</poem> [[Kategori:WikiSeloka]]' 117758 wikitext text/x-wiki <poem>Hidup api pangganglah kuau Kuau dipanggang si abang kaki Maksud hati nak meraih pulau Pulau dijago sinago sakti</poem> [[Kategori:WikiSeloka]] ku2i0imop7dgvyr7gzp95d86dgf6c7r 0 27827 117759 2026-07-26T08:39:59Z Onyaso 27293 ←Membuat halaman berisi 'Mengail di tanjung menjala di pantai. Bila mendapat makan beramai. Keadilan dijunjung kebenaran di pakai. Dunia akhirat aman dan damai.' 117759 wikitext text/x-wiki Mengail di tanjung menjala di pantai. Bila mendapat makan beramai. Keadilan dijunjung kebenaran di pakai. Dunia akhirat aman dan damai. tk6rz635kmqsqrsplw3opvsuxkewsar 117760 117759 2026-07-26T08:40:08Z Onyaso 27293 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117760 wikitext text/x-wiki Mengail di tanjung menjala di pantai. Bila mendapat makan beramai. Keadilan dijunjung kebenaran di pakai. Dunia akhirat aman dan damai. [[Kategori:WikiSeloka]] a0y29syi4513xjzxezw0pxeajxt7frs 0 27828 117761 2026-07-26T08:43:08Z Fuadi Zikri 36052 ←Membuat halaman berisi 'Kampung bepagar adat, tepian bepagar bahaso == Makna == Kampung yang patuh pada dan berjunjung tinggi adat isiadat khusus adat itu sendiri, tetap menjadi khas bahasa. [[Kategori:WikiSeloka]]' 117761 wikitext text/x-wiki Kampung bepagar adat, tepian bepagar bahaso == Makna == Kampung yang patuh pada dan berjunjung tinggi adat isiadat khusus adat itu sendiri, tetap menjadi khas bahasa. [[Kategori:WikiSeloka]] bch36vafd0822dnys4pjo7umzzw9gdm 0 27829 117762 2026-07-26T08:45:41Z Elicefa 28258 ←Membuat halaman berisi 'Nyanyur keladi ayut, dimakan budak pondok diumo, Biak sepantun kecabang ayut, musin pengundang baru beguno. == Penerjemahan ==' 117762 wikitext text/x-wiki Nyanyur keladi ayut, dimakan budak pondok diumo, Biak sepantun kecabang ayut, musin pengundang baru beguno. == Penerjemahan == eizqwp1k9goukxknmjh0uibgg300kno 117764 117762 2026-07-26T08:51:32Z Elicefa 28258 /* Penerjemahan */ 117764 wikitext text/x-wiki Nyanyur keladi ayut, dimakan budak pondok diumo, Biak sepantun kecabang ayut, musin pengundang baru beguno. == Penerjemahan == Menyiangi (atau membersihkan) keladi ayut. Dimakan oleh anak-anak yang berada di pondok di ladang. Berkembang atau bercabang seperti tanaman ayut. Pada musim mengundang (mengadakan hajatan atau pertemuan), barulah semuanya menjadi berguna. == Pemaknaan == 54q84lav2fwh8lemqd1lp02wpfjp1zo 117765 117764 2026-07-26T08:54:51Z Elicefa 28258 /* Pemaknaan */ 117765 wikitext text/x-wiki Nyanyur keladi ayut, dimakan budak pondok diumo, Biak sepantun kecabang ayut, musin pengundang baru beguno. == Penerjemahan == Menyiangi (atau membersihkan) keladi ayut. Dimakan oleh anak-anak yang berada di pondok di ladang. Berkembang atau bercabang seperti tanaman ayut. Pada musim mengundang (mengadakan hajatan atau pertemuan), barulah semuanya menjadi berguna. == Pemaknaan == Pantun ini biasanya digunakan sebagai pantun pembuka dalam pidato adat atau acara musyawarah. Isinya bukan membahas keladi atau ladang secara harfiah, melainkan sebagai perumpamaan bahwa: * setiap orang memiliki peran dan manfaatnya; * segala sesuatu akan berguna apabila digunakan pada saat yang tepat; * pembicaraan yang akan disampaikan diharapkan membawa manfaat bagi semua yang hadir. Dalam tradisi Minangkabau, penggunaan pantun seperti ini juga berfungsi untuk membuka pembicaraan dengan bahasa yang indah, sopan, dan penuh kearifan sebelum masuk ke pokok persoalan kh20owiqhzs7ylzy1a2zlsxn4580h0j 117766 117765 2026-07-26T08:55:08Z Elicefa 28258 added [[Category:WikiSeloka]] using [[Help:Gadget-HotCat|HotCat]] 117766 wikitext text/x-wiki Nyanyur keladi ayut, dimakan budak pondok diumo, Biak sepantun kecabang ayut, musin pengundang baru beguno. == Penerjemahan == Menyiangi (atau membersihkan) keladi ayut. Dimakan oleh anak-anak yang berada di pondok di ladang. Berkembang atau bercabang seperti tanaman ayut. Pada musim mengundang (mengadakan hajatan atau pertemuan), barulah semuanya menjadi berguna. == Pemaknaan == Pantun ini biasanya digunakan sebagai pantun pembuka dalam pidato adat atau acara musyawarah. Isinya bukan membahas keladi atau ladang secara harfiah, melainkan sebagai perumpamaan bahwa: * setiap orang memiliki peran dan manfaatnya; * segala sesuatu akan berguna apabila digunakan pada saat yang tepat; * pembicaraan yang akan disampaikan diharapkan membawa manfaat bagi semua yang hadir. Dalam tradisi Minangkabau, penggunaan pantun seperti ini juga berfungsi untuk membuka pembicaraan dengan bahasa yang indah, sopan, dan penuh kearifan sebelum masuk ke pokok persoalan [[Kategori:WikiSeloka]] 437ycsjwhvjaex6gvo66xuvw1l4j57r 0 27830 117768 2026-07-26T11:47:55Z ~2026-41681-22 43596 ←Membuat halaman berisi '{{Header |title=Cinta Naturalistik Part.1 |author=Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung |year=2018 |section= |previous= |next= |notes= '''Novel Cinta Naturalistik Part.1 ''(Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami)''''' Novel Indonesia yang DITULIS pada tanggal : 05-08-2018 oleh seorang penulis Indonesia dan novelis yang bernama lengkap '''Dieky Armando Tanjung''' (dikenal dengan nama pena '''Dq K3w0y''')<ref>https://www.google.com/search?q=novel+kulturalism...' 117768 wikitext text/x-wiki {{Header |title=Cinta Naturalistik Part.1 |author=Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung |year=2018 |section= |previous= |next= |notes= '''Novel Cinta Naturalistik Part.1 ''(Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami)''''' Novel Indonesia yang DITULIS pada tanggal : 05-08-2018 oleh seorang penulis Indonesia dan novelis yang bernama lengkap '''Dieky Armando Tanjung''' (dikenal dengan nama pena '''Dq K3w0y''')<ref>https://www.google.com/search?q=novel+kulturalisme+cinta+part.1&sa=X&sca_esv=8b26332a4a3db4ef&sxsrf=ANbL-n6HaJ1fYI7x3Ae1ZvcBoI9tHtqiyA%3A1769740996398&udm=50&source=lnms&fbs=ADc_l-bOR8FJO-k0AFH1QATPtR8ssiLfcj6QZRW0z16r9BDTj5RRYC-0PWu4BNSk3y3XwLA8ezPYUF2fJ6pJitOMUDb0SrCJogV7uTSF3HORewz2HnDAked4KL3Rhb6I7hM7yOpJu1NgzGdLK6_bODjDLjSLZwb8Om3vQbLpY58OcbZz3GR3TgMyANSEcQQqQvuw4KIOfw4PQyViVGyuScW3MM4r9EqZ8c5uUr_ru6EP6dr2dp1DNgA&aep=1&ntc=1&ved=2ahUKEwjD4bz7nrKSAxUcR2wGHSFyELYQ2J8OegQIDhAE&biw=360&bih=560&dpr=2&aic=0&</ref> yang berbasis di kawasan kelurahan '''Suka Karya''' kecamatan '''Kota Baru, Jambi'''. Novel Cinta Naturalistik Part. 1 (Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami) Ditulis: 05 Agustus 2018 ISBN : 978-623-251-432-4 Guepedia & Kiraya SINOPSIS : (Mas Boy) Boy...! Si Lelaki Klinis yang Humoris sedang mencari arti dan makna cinta Secara NATURALISTIK dari kekasihnya Si Winda melalui album petualangannya, yang akhirnya menemui jawabannya. Namun Boy menemukan jawabannya bukan dengan Winda, akan tetapi dengan Indah sang pilot wanita. Jalinan Cinta yang dilalui Boy pun cukup membingungkan. Semula Boy Menjalin Asmara dengan Winda sekretarisnya, setelah berpetualang. Jalinan cintanya tertukar menjadi Boy menjalin asmara dengan Indah, sementara Winda menjalin asmara dengan Bos si Indah, Yang sudah merupakan jodoh dan ketentuan dari Allah Yang Maha Kuasa. Alasan lain Boy memilih Indah karena isi dari tanggapan Winda dan Indah yg tertulis pada album petualangan Boy, tentang Arti dan Makna Cinta Secara NATURALISTIK. yang selengkapnya nanti ada pada novel kelanjutannya yaitu "Cinta Naturalistik Part.2" PENULIS: Dq K3w0y HAK CIPTA: ©Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung, S.Kom BERSERTIFIKAT, RESMI, BERLEGALITAS Versi CETAK, E-BOOK, DIGITAL Dapatkan Buku/Novel 💙 Di - WhatsApp: 62895347886146 - Guepedia Grup (Bukupedia) - Google Play Book - Google MAP - Google Bisnis - Bukalapak - Tokopedia - Instagram - Tiktok - YouTube }} q5ecaye77h71rph70rpqgs65uyi40xe 0 27831 117771 2026-07-26T11:54:48Z ~2026-41681-22 43596 ←Membuat halaman berisi '{{Header |title=Cinta Naturalistik Part.1 |author=Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung |year=2018 |section= |previous= |next= |notes= '''Novel Cinta Naturalistik Part.1 ''(Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami)''''' Novel Indonesia yang DITULIS pada tanggal : 05-08-2018 oleh seorang penulis Indonesia dan novelis yang bernama lengkap '''Dieky Armando Tanjung''' (dikenal dengan nama pena '''Dq K3w0y''')<ref>https://www.google.com/search?q=novel+kulturalism...' 117771 wikitext text/x-wiki {{Header |title=Cinta Naturalistik Part.1 |author=Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung |year=2018 |section= |previous= |next= |notes= '''Novel Cinta Naturalistik Part.1 ''(Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami)''''' Novel Indonesia yang DITULIS pada tanggal : 05-08-2018 oleh seorang penulis Indonesia dan novelis yang bernama lengkap '''Dieky Armando Tanjung''' (dikenal dengan nama pena '''Dq K3w0y''')<ref>https://www.google.com/search?q=novel+kulturalisme+cinta+part.1&sa=X&sca_esv=8b26332a4a3db4ef&sxsrf=ANbL-n6HaJ1fYI7x3Ae1ZvcBoI9tHtqiyA%3A1769740996398&udm=50&source=lnms&fbs=ADc_l-bOR8FJO-k0AFH1QATPtR8ssiLfcj6QZRW0z16r9BDTj5RRYC-0PWu4BNSk3y3XwLA8ezPYUF2fJ6pJitOMUDb0SrCJogV7uTSF3HORewz2HnDAked4KL3Rhb6I7hM7yOpJu1NgzGdLK6_bODjDLjSLZwb8Om3vQbLpY58OcbZz3GR3TgMyANSEcQQqQvuw4KIOfw4PQyViVGyuScW3MM4r9EqZ8c5uUr_ru6EP6dr2dp1DNgA&aep=1&ntc=1&ved=2ahUKEwjD4bz7nrKSAxUcR2wGHSFyELYQ2J8OegQIDhAE&biw=360&bih=560&dpr=2&aic=0&</ref> yang berbasis di kawasan kelurahan '''Suka Karya''' kecamatan '''Kota Baru, Jambi'''. Novel Cinta Naturalistik Part. 1 (Petualangan Mencari Arti & Makna Cinta Secara Alami) Ditulis: 05 Agustus 2018 ISBN : 978-623-251-432-4 Guepedia & Kiraya SINOPSIS : (Mas Boy) Boy...! Si Lelaki Klinis yang Humoris sedang mencari arti dan makna cinta Secara NATURALISTIK dari kekasihnya Si Winda melalui album petualangannya, yang akhirnya menemui jawabannya. Namun Boy menemukan jawabannya bukan dengan Winda, akan tetapi dengan Indah sang pilot wanita. Jalinan Cinta yang dilalui Boy pun cukup membingungkan. Semula Boy Menjalin Asmara dengan Winda sekretarisnya, setelah berpetualang. Jalinan cintanya tertukar menjadi Boy menjalin asmara dengan Indah, sementara Winda menjalin asmara dengan Bos si Indah, Yang sudah merupakan jodoh dan ketentuan dari Allah Yang Maha Kuasa. Alasan lain Boy memilih Indah karena isi dari tanggapan Winda dan Indah yg tertulis pada album petualangan Boy, tentang Arti dan Makna Cinta Secara NATURALISTIK. yang selengkapnya nanti ada pada novel kelanjutannya yaitu "Cinta Naturalistik Part.2" PENULIS: Dq K3w0y HAK CIPTA: ©Dq K3w0y-Dieky Armando Tanjung, S.Kom BERSERTIFIKAT, RESMI, BERLEGALITAS Versi CETAK, E-BOOK, DIGITAL Dapatkan Buku/Novel 💙 Di - WhatsApp 62895347886146 - Guepedia Grup (Bukupedia) - Google Play Book - Google MAP - Google Bisnis - Bukalapak - Tokopedia - Instagram - Tiktok - YouTube }} s0pkc0c0lmg4g68wq9jcabop2n13ntf