Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 23568 117921 117565 2026-08-10T07:14:03Z Akuindo 8654 117921 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Tentukan nilai dari a+b+c merupakan bilangan bulat positif jika ab = 2, bc = 3 dan ac = 6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab \cdot bc \cdot ac &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (abc)^2 &= 36 \\ abc &= \pm 6 \\ abc &= 6 \\ \frac{abc}{ab} &= c = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{abc}{bc} &= a = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{abc}{ac} &= b = \frac{6}{6} = 1 \\ a+b+c &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Tentukan nilai dari (a-c)^b jika <math>\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{bc}{b+c} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{ac}{a+c} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{ab}{a+b} &= \frac{1}{3} \\ \frac{a+b}{ab} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} &= 3 \\ \frac{bc}{b+c} &= \frac{1}{4} \\ \frac{b+c}{bc} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{b} &= 4 \\ \frac{ac}{a+c} &= \frac{1}{9} \\ \frac{a+c}{ac} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{c} + \frac{1}{a} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z} \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x+z &= 9 \\ x+y &= 3 \\ y+z &= 4 \\ x-z &= -1 \\ x-z &= -1 \\ x+z &= 9 \\ 2x &= 8 \\ x &= 4 \\ x-z &= -1 \\ 4-z &= -1 \\ z &= 5 \\ x+y &= 3 \\ 4+y &= 3 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{a} &= 4 \\ a &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{b} &= -1 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{c} &= 5 \\ c &= \frac{1}{5} \\ (a-c)^b &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Tentukan nilai dari a, b dan c jika <math>\frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5}</math> dan a+2b+3c=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{a+b}{2}=\frac{a+c}{4}=\frac{b+c}{5} &= k \\ a+b &= 2k \\ a+c &= 4k \\ b+c &= 5k \\ 2a+b+c &= 6k \\ 2a+5k &= 6k \\ k &= 2a \\ a &= \frac{k}{2} \\ b &= \frac{3k}{2} \\ c &= \frac{7k}{2} \\ a+2b+3c &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ a &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ b &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ c &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Tentukan nilai dari (b+c)^a jika <math>\frac{a+b+c}{2} = \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{a+b+c}{2} &= \sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c} \\ a+b+c &= 2(\sqrt{a-2}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c}) \\ a-2\sqrt{a-2}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c} &= 0 \\ a-2-2\sqrt{a-2}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2\sqrt{c}+1 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2+(\sqrt{b-1}-1)^2+(\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{a-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{a-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{a-2} &= 1 \\ a-2 &= 1 \\ a &= 3 \\ (\sqrt{b-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{b-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{b-1} &= 1 \\ b-1 &= 1 \\ b &= 1 \\ (\sqrt{c}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{c}-1 &= 0 \\ \sqrt{c} &= 1 \\ c &= 1 \\ (b+c)^a &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=95> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=96> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=97> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=98> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=102> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=103> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=104> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=105> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=106> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=107> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=109> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=110> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=111> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] so3m8z4o4bhqomdaomgav1uhh1z7ch7 2 26044 117920 112581 2026-08-10T04:55:13Z Kusuma Bintari 41716 /* Karya di Wikibuku Indonesia */ 117920 wikitext text/x-wiki Hallo! Terima kasih sudah berkenan untuk mampir di laman Kusuma Bintari! Perkenalkan '''Kusuma Bintari'''; seorang penyuka seni, pelaku Tsundoku profesional, pekerja alihbahasa profesional untuk permainan video, dan pembuat konten di waktu luang. Kusuma Bintari memiliki latar belakang pendidikan formal di bidang seni, jurusan Desain Komunikasi Visual; dan memiliki ketertarikan khusus mendalami lukisan dengan media tradisional cat air dan cat akrilik. Sekali lagi terima kasih sudah berkenan membaca perkenalan ini, semoga apa yang Kusuma Bintari hendak coba bagikan dapat sedikit berguna untuk menambah kepercayaan diri teman-teman semua dalam memulai suatu karya. == Karya di Wikibuku Indonesia == {{Peserta WikiLatih}}- [[Mahaguru Dunia Langit]] - [[Kuperkenalkan Dia Kepada Nyai]] - [[Para Penyambung Hidup yang Terisolasi]] 7czxv911msz2cllho448kyzinwmmh4e 0 27863 117919 2026-08-10T04:53:18Z Kusuma Bintari 41716 ←Membuat halaman berisi 'Suara kicau burung memanggilku untuk membuka mata. Hari baru sudah dimulai. Mungkin akan sama seperti kemarin, tapi tidak ada salahnya mengawali pagi dengan harapan akan ada sesuatu yang berbeda. Setelah membasuh muka dan menyikat gigi, kandang hewan adalah tujuanku berikutnya. Apa yang akan masuk ke perutku hari ini, sangat bergantung dari kesediaan para ayamku untuk berbagi, kuharap mereka memutuskan untuk bertelur pagi ini. Berikutnya kusikat setiap helai bu...' 117919 wikitext text/x-wiki Suara kicau burung memanggilku untuk membuka mata. Hari baru sudah dimulai. Mungkin akan sama seperti kemarin, tapi tidak ada salahnya mengawali pagi dengan harapan akan ada sesuatu yang berbeda. Setelah membasuh muka dan menyikat gigi, kandang hewan adalah tujuanku berikutnya. Apa yang akan masuk ke perutku hari ini, sangat bergantung dari kesediaan para ayamku untuk berbagi, kuharap mereka memutuskan untuk bertelur pagi ini. Berikutnya kusikat setiap helai bulu domba-domba kesayanganku; sweater rajut yang kukenakan pagi ini, adalah hadiah dari para domba yang kupelihara dengan baik; karena tanpa wol dari mereka, aku tak akan memiliki sumber bahan baju lagi. Ladang adalah tujuanku selanjutnya. Sebagai satu-satunya petani yang memiliki pertanian sendiri di desa ini, aku bertanggung jawab penuh mengenai kelangsungan hidup para penduduk lainnya. Dengan langkah cepat, kudaki bukit tempat tanah pertanianku terletak; sebidang area luas yang didedikasikan untuk menanam gandum, sayuran, dan beberapa jenis bunga; sekedar memastikan supaya flora alami sekitar tidak punah. Setelah memanen sebagian sayuran dan menebar pupuk, kusiapkan beberapa petak tanah untuk menanam tanaman baru. Matteo anak pemilik tempat makan kecil di ujung jalan memintaku untuk menyediakan satu bal gandum sebagai bahan utama baget mentega dalam menu sarapan kami sehari-hari, sementara Anna, anak perempuan yang biasa bermain di halaman rumahku; memintaku untuk mencarikan beberapa kuntum bunga Krisan dan Aster karena hendak berlatih seni merangkai bunga. Yah, tentu saja aku mendukung penuh semangatnya untuk belajar. Hanya saja, masalahnya tidak ada yang menjual bunga Krisan dan Aster di desa ini, jadi satu-satunya cara adalah aku harus menanamnya dulu dari benih yang kusimpan dengan baik. Tapi mengingat Anna masih berusia 6 tahun, sepertinya dia tidak akan keberatan menunggu sedikit lebih lama. Sementara untuk gandumnya; mungkin dalam beberapa minggu ke depan sudah ada yang bisa dipanen, Matteo toh tak bisa memaksa gandumnya untuk tumbuh lebih cepat. Sambil bersandar di pohon ceri, pandanganku mengarah pada dinding tebing raksasa yang mengisolasi desa. Sudah lima tahun berlalu sejak kami terakhir kali berurusan dengan dunia luar akibat gempa bumi dahsyat yang menggeser lempeng tanah sehingga dataran tempat area desa kami terletak; turun amblas dan terisolir tanpa ada jalan keluar. [[Berkas:Human Settlement Surrounded by Cliffs Gemini Generated.png]] Mungkin tidak ada lagi momen yang bisa benar-benar menggambarkan kata 'dunia runtuh' dalam kehidupan nyata. Kami yang saat itu berada di desa selamat, tapi entah dengan mereka yang tengah berada di luar. Ayah Matteo, ayah Anna, Jason si pemilik penginapan, kakak Jenny putri pemilik peternakan, semoga mereka baik-baik saja di balik dinding lembah. Dan sejak saat itu pula kami bertahan hidup dengan menggunakan segala sumber daya alam yang ikut terjebak dalam lembah ini. Sebagai satu-satunya petani, aku bertanggung jawab untuk penyediaan bahan pangan seluruh penduduk. Matteo dan ibunya membantu mengolah semua bahan yang kutanam dan kuberikan pada mereka, dan kami seluruh penduduk desa akan menikmati santapan bersama dalam satu meja setiap harinya. Jenny dan ayahnya memiliki peternakan kecil, mereka membantuku memastikan suplai protein hewani untuk penduduk. Sesekali mereka meminta bantuanku untuk mencarikan beberapa jenis material atau kayu, dengan imbalan satu jerigen susu karena aku tak memiliki sapi. Di desa ini, mata uang tidak lagi berlaku karena ekonomi tidak berputar. Kami kembali ke era bertukar barang. Jika boleh sedikit berbangga, desa ini bisa dibilang menerapkan konsep ramah lingkungan secara optimal. Karena tidak ada suplai baru, kami mendaur ulang segalanya atau menggunakan bahan yang disediakan alam sekitar. Saat membuat pakaian, kami memintal benang wol dari domba yang kupelihara. Sisa pembuangan kandang hewan kembali ke bumi dalam bentuk kompos, semua serpihan kayu dan bunga kami olah untuk membuat hio; sebagai alternatif pengharum yang sudah sama sekali tidak tersisa di desa ini. Untuk kebutuhan pangan, kami bahu membahu saling memastikan tidak ada seorang pun yang tidur dengan perut lapar. Dan setiap pagi, Matteo dan ibunya akan mengantarkan sisa biji dari sayur atau buah yang mereka olah kepadaku, untuk ditanam kembali di kebun milikku yang terletak di bukit tertinggi di area ini. Dari atas bukit ini aku dapat menebarkan pandangan ke seluruh desa kecil, yang kubangun dengan kedua tanganku sendiri. Ya, semua bangunan baik kandang hewan, gudang, dan rumah, semua menggunakan bahan yang berasal dari kayu pohon yang kutanam, kurawat dan kutebang sendiri, pondasinya menggunakan material dari batu yang kugali dari salah satu sisi tebing, dan kupanggul sendiri setiap bongkahan bebatuannya dari sisi gunung ke desa. Pengerjaan pertukangan pun semua kukerjakan, dengan sedikit bantuan dari beberapa laki-laki dewasa yang ikut terisolir bersama. Oh, tentu saja bangunan yang sedang tidak ada pemiliknya dengan sangat menyesal tidak menjadi prioritas untuk dibangun ulang. Sampai saat ini reruntuhan bangunan penginapan milik Jason belum tersentuh sama sekali dan masih menjadi tumpukan kayu tak bertuan. Baiklah, ternak dan kebun sudah selesai dikerjakan, matahari baru naik setinggi tombak, masih ada banyak hal yang harus dilakukan. Mungkin aku akan menanam beberapa pohon lagi di area sekitar danau kecil tempat kami memelihara ikan, yang hanya boleh dipancing saat ada perayaan seperti ulang tahun atau tahun baru. Atau melakukan inspeksi di beberapa bangunan, karena memang kami tidak bisa berharap banyak pada kualitas pekerjaan pertukangan yang dilakukan oleh petani, bukan tukang kayu profesional. Meski masih berharap untuk diberi kesempatan untuk melihat kembali dunia luar dan bertemu dengan keluarga yang terpisah, kami sudah menerima jika memang harus hidup seperti ini sampai akhir cerita. Tidak ada wabah penyakit baru, tidak ada predator hewan buas, tidak ada konflik, dan tidak ada kesenjangan sama sekali. Mungkin nanti baru akan ada kepusingan lagi saat tiba waktunya untuk memastikan keberadaan generasi penerus; hanya ada dua laki-laki muda di desa ini; aku dan Matteo, sementara satu-satunya gadis muda hanyalah Jenny. Yah, mari pikirkan hal itu di keesokan hari saja. Untuk saat ini, mari bersyukur dulu karena masih bisa melanjutkan hidup, semoga besok ada yang berbeda dari hari ini dan kemarin. --- <nowiki>[[Kategori: Fiksi]]</nowiki> <nowiki>[[Kategori: Fiksi Mini]]</nowiki> ds8cmklssz1vdpzo65mweyxr1cebxe4 0 27864 117922 2026-08-10T07:43:19Z Pidopram 40151 ←Membuat halaman berisi '== Pengertian Penginderaan Jauh ==' 117922 wikitext text/x-wiki == Pengertian Penginderaan Jauh == 98dbal8twxqzups87mvoqqcs96wtgmb 117923 117922 2026-08-10T07:47:49Z Pidopram 40151 117923 wikitext text/x-wiki == Pengertian Penginderaan Jauh == == Sejarah Perkembangan Penginderaan Jauh == c8ul3erxml11fdqvd8hdr47iiiv233b