Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 4 4549 120747 118688 2026-10-08T02:59:31Z ディズティ先輩 44032 /* */ Perbaiki jika ada kesalahan nama jepang 120747 wikitext text/x-wiki [[Wikiboos:Nama pengguna|Nama pengguna]] yang telah Anda pilih bukanlah sesuatu yang diukir di atas batu. Jika diminta, [[Wikibooks:birokrat|birokrat]] dapat '''mengubah nama pengguna''', memindahkan semua pengaturan akun dan sumbangan suntingan ke nama baru tersebut. == Mengenai perubahan nama pengguna == Proses perubahan nama membebani server Wikimedia; karenanya sangat dianjurkan untuk menempuh alternatif-alternatif lain. * Tolong pertimbangkan untuk mengganti [[Bantuan:tanda tangan|tanda tangan]] Anda. Hal ini akan mengganti "tampilan publik" Anda di halaman-halaman pembicaraan tanpa membutuhkan modifikasi yang membebani basis data. Walaupun demikian, semua suntingan Anda akan tetap diberikan untuk akun yang sama. * Jika Anda memiliki jumlah suntingan yang sangat kecil, akan mudah untuk Anda jika Anda langsung membuat akun baru (walaupun nama yang terlalu mirip dengan nama yang telah ada akan secara otomatis diblokir untuk dibuat). Anda dapat menghentikan penggunaan akun lama. Akun ini tidak harus dihapus; akun yang tak digunakan tidak berbahaya dan dapat diabaikan dengan aman. Birokrat tidak dapat menggabungkan dua akun yang telah ada, atau untuk mengganti atribusi suntingan yang dibuat tanpa akun (kontribusi dari suatu alamat IP). Hanya akun terdaftar yang dapat diubah namanya, dan perubahan ini hanya dapat dilakukan ke nama pengguna baru yang belum digunakan. Ini berarti bahwa '''Anda hanya dapat merubah nama menjadi akun yang belum ada'''. Nama pengguna yang telah diminta dianggap "telah dipesan" sampai suatu permintaan diterima atau ditolak. Jika suatu akun dibuat dengan nama tersebut pada masa ini, akun tersebut akan dianggap sebagai upaya mengacaukan. Kadang seseorang akan meminta perubahan nama menjadi suatu akun yang telah ada tapi belum membuat suntingan apapun. Walaupun hal ini logis, tidak ada kebijakan yang mengatur hal ini dan biasanya permintaan semacam ini tetap akan ditolak. == Persyaratan dan prosedur == Harap ikuti prosedur berikut secara seksama atau permintaan Anda tidak akan dipenuhi. # Isi formulir '''[[Istimewa:GlobalRenameRequest|permintaan pengubahan nama pengguna]]''' dengan menggunakan format yang dijelaskan di sana. # Pastikan bahwa Anda masuk log dengan akun yang relevan. # Periksa bahwa nama baru yang Anda minta: #* tidak melanggar [[Wikibooks:Nama pengguna#Nama pengguna yang dilarang|kebijakan nama pengguna yang tidak layak]]; #* belum digunakan. Verifikasikan hal ini dengan melakukan pencarian di [[Istimewa:Listusers|daftar pengguna]]. Pastikan Anda memberikan huruf besar pada huruf pertama di nama pengguna. Jika Anda tidak melakukan hal ini, pencarian akan gagal; Wikipedia bahasa Indonesia tidak mengijinkan nama pengguna yang diawali dengan huruf kecil. CATATAN: Jangan menggunakan suatu nama yang telah ada. == Jika dipenuhi == # Akun lama Anda tidak akan ada di basis data. Semua suntingan dan data pengguna lain dari akun lama Anda, termasuk preferensi, daftar pantauan, dan kata sandi, akan diubah ke akun baru Anda. # Jika birokrat belum melakukan hal tersebut, silakan [[Bantuan:Pemindahan|pindahkan]] halaman pengguna dan pembicaraan pengguna Anda ke nama baru yang tepat. # Jika Anda ingin mencegah penggunaan nama lama Anda oleh orang lain. Buat ulang akun lama Anda dan mintalah pengurus untuk memblokir akun lama. Hal ini biasanya tidak diperlukan. # Implikasi kerahasiaan dari perubahan nama pengguna adalah: Permintaan Anda akan dipindahkan ke arsip Wikipedia dan perubahan nama itu sendiri akan tercatat di [[Istimewa:Log/renameuser|log perubahan nama]]. Hal ini dilakukan untuk transparansi sehingga semua Wikipedian mendapat informasi mengenai perubahan nama yang telah dilakukan. Tidak dimungkinkan untuk merubah nama akun tanpa dicatat dalam log. dvuqslja1p1n8zyszoxemdi9fvd8e53 0 23118 120748 117272 2026-10-08T03:54:37Z Akuindo 8654 120748 wikitext text/x-wiki == Rumus barisan dan deret geometri == <math> \begin{align} U_n &= ar^{n-1} \\ S_n &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \text{bila} r>1 \\ S_n &= \frac{a(1-r^n)}{1-r} \text{bila} r<1 \\ r &= \frac{U_n}{U_{n-1}} \\ U_n &= S_n-S_{n-1} \\ U_t &= \sqrt{U_1 U_n} \\ r &= \sqrt[n-k]{\frac{U_n}{U_k}} \\ \text{nb: n dan k adalah suku ke-n dan suku ke-k.} \\ \end{align} </math> keterangan: : a/U₁: suku pertama : n: banyaknya suku ke-n : r: rasio suku : Ut: suku tengah : Un: suku ke-n : Sn: jumlah suku ke-n ;rataan :<math>R = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n}</math> ;suku dan rasio baru *<math>n_b = n + (n-1)x</math> *<math>r_b = \sqrt[x+1]{r}</math> ; deret tak hingga *<math>S_\infty = \frac{a}{1-r} \text{ bila } -1<r<1 \text{ (deret konvergen) }</math> (konvergen: |r|<1) *<math>S_{\infty gj} = \frac{a}{1-r^2}</math> (suku ganjil) *<math>S_{\infty gnp} = \frac{ar}{1-r^2}</math> (suku genap) *<math>S_\infty = S_{\infty gj} + S_{\infty gnp}</math> ; barisan dan deret bertingkat ;cara 1 ;cara 2 *<math>a_n = a^{n^2} + b^n + c</math> (tingkat 2) *<math>a_n = a^{n^3} + b^{n^2} + c^n + d</math> (tingkat 3) == Tambahan == *Rumus banyak bakteri atau zat radioaktif: <math>a_n = a r^{n-1}</math> dimana <math>n-1 = \frac{\Delta t}{t}</math>. *Rumus panjang lintasan: <math>PL = 2S_\infty-a</math>. <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} S_{turun} &= \frac{a}{1-r} \\ S_{naik} &= \frac{ar}{1-r} \\ S_{total} &= \frac{a}{1-r} + \frac{ar}{1-r} \\ &= \frac{a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-a+ar}{1-r} \\ &= \frac{2a-(a-ar)}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a-ar}{1-r} \\ &= \frac{2a}{1-r}-\frac{a(1-r)}{1-r} \\ &= 2S_\infty-a \\ \end{align} </math> </div></div> *periode awal (0; S1) hingga terakhir (n-1; Sn) contoh soal # Tentukan jumlah deret tak terhingga sebagai berikut: : <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots</math> : <math>\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots</math> : <math>\frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots</math> : 1-2+3-4+…+99 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots \\ a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\ S_\infty &= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= 1 \\ * \text{cara 1} \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\ \text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &= x \\ \frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}+\frac{4}{32}+\frac{5}{64}+ \dots &= \frac{1}{2}x \\ \text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{2}x \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &= \frac{1}{2}x \\ a=\frac{1}{2}, r=\frac{1}{2} \\ S_\infty &= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= 1 \\ 1 &= \frac{1}{2}x \\ x &= 2 \\ \text{cara 2} \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots \\ \text{misalkan } \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots = x \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+ \dots &= x \\ 1+1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+ \dots &= 2x \\ \text{kurangkan } 2x \text{ dengan } x \\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+ \dots &= x \\ a=1, r=\frac{1}{2} \\ S_\infty &= \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{2}} \\ &= 2 \\ x &= 2 \\ * \text{cara 1} \\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\ \text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &= x \\ \frac{1}{5^2}+\frac{4}{5^3}+\frac{7}{5^4}+\frac{10}{5^5}+\frac{13}{5^6}+ \dots &= \frac{1}{5}x \\ \text{kurangkan } x \text{ dengan } \frac{1}{5}x \\ \frac{1}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+\frac{3}{5^5}+ \dots &= \frac{4}{5}x \\ \frac{1}{5}+3(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^5}+ \dots) &= \frac{4}{5}x \\ a=\frac{1}{5^2}, r=\frac{1}{5} \\ S_\infty &= \frac{\frac{1}{5^2}}{1-\frac{1}{5}} \\ &= \frac{\frac{1}{5^2}}{\frac{4}{5}} \\ &= \frac{1}{20} \\ \frac{1}{5}+3(\frac{1}{20}) &= \frac{4}{5}x \\ \frac{7}{20} &= \frac{4}{5}x \\ \frac{7}{4} &= 4x \\ x &= \frac{7}{16} \\ \text{cara 2} \\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots \\ \text{misalkan } \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots = x \\ \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\frac{10}{5^4}+\frac{13}{5^5}+ \dots &= x \\ 1+\frac{4}{5}+\frac{7}{5^2}+\frac{10}{5^3}+\frac{13}{5^4}+ \dots &= 5x \\ \text{kurangkan } 5x \text{ dengan } x \\ 1+\frac{3}{5}+\frac{3}{5^2}+\frac{3}{5^3}+\frac{3}{5^4}+ \dots &= 4x \\ 1+3(\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+ \dots) &= 4x \\ a=\frac{1}{5}, r=\frac{1}{5} \\ S_\infty &= \frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}} \\ &= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} \\ &= \frac{1}{4} \\ 1+3(\frac{1}{4}) &= 4x \\ x &= \frac{7}{16} \\ * 1-2+3-4+5-\dots-100 &= 1+3+5+\dots+99-(2+4+6+8+\dots+98) \\ \text{untuk } 1+3+5+\dots+99 \\ 99 &= 1+(n-1)2 \\ 98 &= 2(n-1) \\ 49 &= n-1 \\ n &= 50 \\ S_{50} &= \frac{50}{2}(1+99) \\ &= 25 \times 100 \\ &= 2.500 \\ \text{untuk } 2+4+6+8+\dots+98 \\ 98 &= 2+(n-1)2 \\ 96 &= 2(n-1) \\ 48 &= n-1 \\ n &= 49 \\ S_{49} &= \frac{49}{2}(2+98) \\ &= \frac{49}{2} \times 100 \\ &= 2.450 \\ 1-2+3-4+5-\dots-100 &= 2.500-2.450 \\ &= 50 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui deret geometri tak hingga <math>U_1+U_2+U_3+ \dots</math> jika rasio deret adalah r;-1<r<1, <math>U_1+U_2+U_3+ \dots = 5</math> dan <math>U_3+U_4+U_5+ \cdot = \frac{1}{5}</math>. Tentukan nilai r! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} U_1+U_2+U_3+ \dots &= 5 \\ S_\infty &= 5 \\ \frac{a}{1-r} &= 5 \\ a &= 5(1-r) \\ U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+ \dots &= 5 \\ U_1+U_2+(U_3+U_4+U_5+ \dots) &= 5 \\ a+ar+\frac{1}{5} &= 5 \\ a(1+r) &= 5-\frac{1}{5} \\ 5(1-r)(1+r) &= \frac{24}{5} \\ 1-r^2 &= \frac{24}{25} \\ r^2 &= \frac{1}{25} \\ r^2 &= (\frac{1}{5})^2 \\ r^2-(\frac{1}{5})^2 &= 0 \\ (r+\frac{1}{5})(r-\frac{1}{5}) &= 0 \\ r=-\frac{1}{5} &\text{ atau } r=\frac{1}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan nilai x agar deret geometri tak hingga bersifat konvergen sebagai berikut: *<math>\frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots</math> *rasionya ³log (2x-1) *jika jumlah deret tak hingga adalah 10 serta suku pertama adalah x <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga soal mempunyai syarat konvergen adalah } -1<r<1 (|r|<1) \\ * \frac{x-1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+ \dots \\ r &= \frac{1}{x-1} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{1}{x-1}<1 \\ \frac{1}{x-1}&>-1 \\ \frac{x}{x-1}&>0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ x&=0 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 0 \text{ atau } x > 1 \\ \frac{1}{x-1}&<1 \\ \frac{2-x}{x-1}&<0 \\ \text{harga nol pembilang } \\ 2-x&=0 \\ x&=2 \\ \text{harga nol penyebut } \\ x-1&=0 \\ x&=1 \\ \text{jadi } x < 1 \text{ atau } x > 2 \\ \text{kedua tergabung menjadi irisan yaitu } x<0 \text{ atau } x>2 \\ * -1<^3 log (2x-1)<1 \\ ^3 log 3^{-1}<^3 log (2x-1)<^3 log 3 \\ 3^{-1}<2x-1<3 \\ \frac{1}{3}<2x-1<3 \\ \frac{4}{3}<2x<4 \\ \frac{2}{3}<x<2 \\ * a=x \text{ dan } S_\infty = 10 \\ S_\infty &= 10 \\ \frac{x}{1-r} &= 10 \\ 1-r &= \frac{x}{10} \\ r &= \frac{10-x}{10} \\ -1<r<1 \\ -1<\frac{10-x}{10}<1 \\ -10<10-x<10 \\ -20<-x<0 \\ \text{langsung } \\ -20<-x<0 \\ 20>x>0 \\ 0<x<20 \\ \text{tidak langsung } \\ -20<-x \\ 20>x \\ x<20 \\ -x<0 \\ x>0 \\ \text{jadi } 0<x<20 \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah kawat dipotong menjadi 5 bagian, yang panjangnya membentuk barisan geometri. panjang kawat terpendek 81 cm dan terpanjang 256 cm maka berapa panjang kawat semula? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 5 \\ a &= 81 \\ U_n &= U_5 = 256 \\ r &= \sqrt[5-1]{\frac{256}{81}} \\ &= \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \\ &= \frac{4}{3} \\ S_5 &= \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ &= \frac{81((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{4}{3}-1} \\ &= \frac{3^4((\frac{4}{3})^5-1)}{\frac{1}{3}} \\ &= 3^5((\frac{4}{3})^5-1) \\ &= 3^5(\frac{4^5-1}{3^5}) \\ &= 4^5-1 \\ &= 1.023 \\ \text{jadi panjang kawat semula adalah 1.023 cm atau 10,23 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 40 m dan tinggi pantulannya adalah setengah kali tinggi sebelumnya. berapa tinggi bola pada pantulan keempat? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 40 \\ r &= \frac{1}{2} \\ \text{tinggi bola pada pantulan keempat berarti } U_5 \\ *\text{cara 1} \\ U_5 &= ar^{5-1} \\ &= 40(\frac{1}{2})^4 \\ &= 40(\frac{1}{16}) \\ &= \frac{5}{2} \\ &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ *\text{cara 2} \\ \text{awal = } U_1 &= 40 \\ \text{p1 = } U_2 &= 20 \\ \text{p2 = } U_3 &= 10 \\ \text{p3 = } U_4 &= 5 \\ \text{p4 = } U_5 &= 2,5 \\ \text{jadi tinggi bola pada pantulan keempat adalah 2,5 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti berapa jumlah seluruh lintasan bola? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 15 \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty-a \\ &= 2(\frac{a}{1-r})-a \\ &= 2(\frac{15}{1-\frac{2}{3}})-15 \\ &= 2(\frac{15}{\frac{1}{3}})-15 \\ &= 90-15 \\ &= 75 \\ \text{jadi jumlah seluruh lintasan bola adalah 75 m } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah bola jatuh dari ketinggian 15 m dan memantul kembali dengan ketinggian 2/3 kali tinggi sebelumnya. berapa panjang lintasan bola dari pantulan ketiga sampai berhenti? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{pantulan awal } &= 15 \\ \text{pantulan kesatu } &= 10 \\ \text{pantulan kedua } &= \frac{20}{3} \\ \text{pantulan ketiga } &= \frac{40}{9} \\ a &= \frac{40}{9} \\ r &= \frac{2}{3} \\ PL &= 2S_\infty \\ &= 2\frac{a}{1-r} \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{1-\frac{2}{3}}) \\ &= 2(\frac{\frac{40}{9}}{\frac{1}{3}}) \\ &= \frac{80}{3} \\ \text{jadi panjang lintasan bola pada pantulan ketiga sampai berhenti adalah } \frac{80}{3} m \\ \end{align} </math> </div></div> # Populasi kelinci berlipat tiga di sebuah pulau. jumlah populasi kelinci pada tahun semula 6 ekor maka berapa jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 6 \\ r &= 3 \\ n-1 &= 4 \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 6(3)^4 \\ &= 6(81) \\ &= 486 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 4 \\ n &= 5 \\ \text{jadi } \\ \text{0 } &= U_1 = 6 \\ \text{1 } &= U_2 = 18 \\ \text{2 } &= U_3 = 54 \\ \text{3 } &= U_4 = 162 \\ \text{4 } &= U_5 = 486 \\ \text{jadi jumlah populasi kelinci dalam 4 tahun adalah 486 ekor } \\ \end{align} </math> </div></div> # Suatu jenis hewan langka mengalami penurunan jumlah populasi 1/3 dari jumlah tahun sebelumnya. Pada tahun 2021 diperkirakan jumlah hewan langka di suatu provinsi 729 ekor, berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 729 \\ r &= \frac{1}{3} \\ n-1 &= 4 \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 729(\frac{1}{3})^4 \\ &= \frac{729}{81} \\ &= 9 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 4 \\ n &= 5 \\ \text{jadi } \\ \text{2021 } &= U_1 = 729 \\ \text{2022 } &= U_2 = 243 \\ \text{2023 } &= U_3 = 81 \\ \text{2024 } &= U_4 = 27 \\ \text{2025 } &= U_5 = 9 \\ \text{jadi perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2025 adalah 9 ekor } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah motor dibeli dengan harga Rp 60.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari tahun sebelumnya. berapa nilai jual dipakai 3 tahun? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 60.000.000 \\ r &= \frac{3}{4} \\ n-1 &= 3 \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 60.000.000(\frac{3}{4})^3 \\ &= \frac{720}{64} \\ &= 25.312.500 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{0 } &= U_1 = 60.000.000 \\ \text{1 } &= U_2 = 45.000.000 \\ \text{2 } &= U_3 = 33.750.000 \\ \text{3 } &= U_4 = 25.312.500 \\ \text{jadi nilai jual pada tahun 2025 adalah Rp. 25.312.500,00 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 15 menit. Jika mula-mula 30 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 2 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{15 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{15 \text{ menit }} \\ &= 8 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 30(2)^8 \\ &= 30(256) \\ &= 7.680 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 8 \\ n &= 9 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 30 \\ \text{15 mnt } &= U_2 = 60 \\ \text{30 mnt } &= U_3 = 120 \\ \text{45 mnt } &= U_4 = 240 \\ \text{60 mnt } &= U_5 = 480 \\ \text{75 mnt } &= U_6 = 960 \\ \text{90 mnt } &= U_7 = 1.920 \\ \text{105 mnt } &= U_8 = 3.840 \\ \text{120 mnt } &= U_9 = 7.680 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 2 jam adalah 7.680 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Setiap bakteri membelah dirinya menjadi dua bagian setiap 1/2 jam. Pada 2 jam akan mengalami 1/4 dari jumlah bakteri mati. Jika mula-mula 4 bakteri maka berapa jumlah bakteri selama 3 jam? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 30 \\ r &= 2 \\ n-1 &= \frac{2 \text{ jam }}{30 \text{ menit }} \\ &= \frac{120 \text{ menit }}{30 \text{ menit }} \\ &= 4 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 4(2)^4 \\ &= 4(16) \\ &= 64 \\ \text{ karena setiap dua jam akan mati jika 1/4 dari jumlah bakteri itu maka } \\ u_4 &= 64-\frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\ \text{anggapan 120 menit sebagai mula-mula maka 180 menit adalah 60 menit } \\ u_6 &= 48(2)^2 = 192 \\ \text{cara 2 } \\ \text{awal } &= U_1 = 4 \\ \text{30 mnt } &= U_2 = 8 \\ \text{60 mnt } &= U_3 = 16 \\ \text{90 mnt } &= U_4 = 32 \\ \text{120 mnt (dianggap awal)} &= U_5 = 64 - \frac{1}{4} \cdot 64 = 48 \\ \text{150 mnt (30 menit)} &= U_6 = 96 \\ \text{180 mnt (60 menit)} &= U_7 = 192 \\ \text{jadi jumlah bakteri selama 3 jam adalah 192 } \\ \end{align} </math> </div></div> # Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 3 jam. Jika pukul 05.00 massa zat tersebut 1.600 gram maka berapa massa zat yang tersisa pada pukul 14.00? <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} a &= 1.600 \\ r &= \frac{1}{2} \\ n-1 &= \frac{14.00-05.00}{3 \text{ jam }} \\ &= \frac{9 \text{ jam }}{3 \text{ jam }} \\ &= 3 \text{ (kali) } \\ \text{cara 1 } \\ u_n &= ar^{n-1} \\ &= 1.600(\frac{1}{2})^3 \\ &= 1.600(\frac{1}{8}) \\ &= 200 \\ \text{cara 2 } \\ n-1 &= 3 \\ n &= 4 \\ \text{jadi } \\ \text{awal } &= U_1 = 1.600 \\ \text{3 jam } &= U_2 = 800 \\ \text{6 jam } &= U_3 = 400 \\ \text{9 jam } &= U_4 = 200 \\ \text{jadi massa zat yang tersisa selama 9 jam adalah 200 gram } \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 0ph5cib648w24lrs3e27ctymvaulr3d 0 23146 120744 117325 2026-10-08T02:43:39Z Akuindo 8654 /* Shearing */ 120744 wikitext text/x-wiki == Transformasi == Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu: * Transformasi [[isometri]] Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran). * Transformasi nonisometri Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran). === Translasi === Rumus translasi adalah: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> Rumus arah translasi T(a,b) atau <math> T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Refleksi === Rumus refleksi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math><math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa) :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & -(\frac{1-m^2}{1+m^2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{1+m^2} \begin{bmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Rotasi === Rumus rotasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} & -(\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}) \\ \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} & \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{bmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Dilatasi === Rumus dilatasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Stretching === Rumus stretching adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Shearing === Rumus shearing adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : Rumus sederhana {| class="wikitable" |- ! Keterangan !! Posisi !! Hasil |- ! align="center" colspan=3| Translasi |- | penggeseran (a,b) || <math>(x,y)</math> || <math>(x + a, y + b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Refleksi |- | sumbu x [0°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, -y)</math> |- | sumbu y [90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, y)</math> |- | y=x [45°] || <math>(x,y)</math> || <math>(y, x)</math> |- | y=-x [135°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, -x)</math> |- | pusat (0,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(- x, -y)</math> |- | pusat (a,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, 2b-y)</math> |- | pusat (a,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, y)</math> |- | pusat (0,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, 2b-y)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,<math>\alpha</math>] |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, x)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, -y)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y, -x)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + y, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, x + k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),<math>\alpha</math>] |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y + a + b, x - a + b)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x + 2a, -y + 2b)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y - a + b, -x + a + b)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x + k \cdot (y - b)), y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y + k \cdot (x - a))</math> |} *keterangan: # berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif == Luas == misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3) ; cara 1 titik awal diubah menjadi titik bayangan. : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1' & x_2' & x_3' & x_1' \\ y_1' & y_2' & y_3' & y_1' \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\ \end{align}</math> ; cara 2 : Luas = | det M | x luas awal contoh # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}</math>? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x-y \\ 5x-3y \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\ \text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= -1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3x'-y' \\ 5x'-2y' \\ \end{bmatrix} \\ x &= 3x'-y' \\ y &= 5x'-2y' \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu <math>\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix}</math> lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 5+y \\ 2+x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\ \text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-2x-3 \\ x''-5 &= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\ x''-5 &= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\ x'' &= y''^2-6y''+10 \\ x &= y^2-6y+10 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-5x+6 jika ditransformasikan oleh refleksi persamaan y-x=3? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y-x &= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\ tan \, \alpha &= 1 \\ \alpha &= 45^\circ \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x+3 \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\ \text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-5x+6 \\ x'+3 &= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\ x'+3 &= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\ x' &= y'^2-11y''+27 \\ x &= y^2-11y+27 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y²+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ \text{dilatasi skala 4. } \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4y \\ 4x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\ \text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y''}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{y'}{4} \\ -\frac{x'}{4} \\ \end{bmatrix} \\ x &= \frac{y'}{4} \\ y &= -\frac{x'}{4} \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y'}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}</math>, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{menentukan titik bayangan A} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -7 \\ 13 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan B} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -16 \\ 14 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan C} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ \end{bmatrix} \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -7 & -16 & 1 & -7 \\ 13 & 14 & -5 & 13 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 154 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} L_a &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \\ L_b &= | \text{det M} | \cdot L_a \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot 7 \\ &= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\ &= (8+3) \cdot 7 \\ &= 11 \cdot 7 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ben6qul6tq8h7zmj63huta9t3uw6sr9 120745 120744 2026-10-08T02:44:32Z Akuindo 8654 /* Shearing */ 120745 wikitext text/x-wiki == Transformasi == Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu: * Transformasi [[isometri]] Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran). * Transformasi nonisometri Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran). === Translasi === Rumus translasi adalah: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> Rumus arah translasi T(a,b) atau <math> T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Refleksi === Rumus refleksi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math><math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa) :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & -(\frac{1-m^2}{1+m^2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{1+m^2} \begin{bmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Rotasi === Rumus rotasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} & -(\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}) \\ \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} & \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{bmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Dilatasi === Rumus dilatasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Stretching === Rumus stretching adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Shearing === Rumus shearing adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : Rumus sederhana {| class="wikitable" |- ! Keterangan !! Posisi !! Hasil |- ! align="center" colspan=3| Translasi |- | penggeseran (a,b) || <math>(x,y)</math> || <math>(x + a, y + b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Refleksi |- | sumbu x [0°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, -y)</math> |- | sumbu y [90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, y)</math> |- | y=x [45°] || <math>(x,y)</math> || <math>(y, x)</math> |- | y=-x [135°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, -x)</math> |- | pusat (0,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(- x, -y)</math> |- | pusat (a,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, 2b-y)</math> |- | pusat (a,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, y)</math> |- | pusat (0,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, 2b-y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,<math>\alpha</math>] |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, x)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, -y)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y, -x)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + y, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, x + k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),<math>\alpha</math>] |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y + a + b, x - a + b)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x + 2a, -y + 2b)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y - a + b, -x + a + b)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x + k \cdot (y - b)), y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y + k \cdot (x - a))</math> |} *keterangan: # berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif == Luas == misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3) ; cara 1 titik awal diubah menjadi titik bayangan. : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1' & x_2' & x_3' & x_1' \\ y_1' & y_2' & y_3' & y_1' \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\ \end{align}</math> ; cara 2 : Luas = | det M | x luas awal contoh # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}</math>? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x-y \\ 5x-3y \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\ \text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= -1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3x'-y' \\ 5x'-2y' \\ \end{bmatrix} \\ x &= 3x'-y' \\ y &= 5x'-2y' \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu <math>\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix}</math> lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 5+y \\ 2+x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\ \text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-2x-3 \\ x''-5 &= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\ x''-5 &= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\ x'' &= y''^2-6y''+10 \\ x &= y^2-6y+10 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-5x+6 jika ditransformasikan oleh refleksi persamaan y-x=3? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y-x &= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\ tan \, \alpha &= 1 \\ \alpha &= 45^\circ \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x+3 \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\ \text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-5x+6 \\ x'+3 &= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\ x'+3 &= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\ x' &= y'^2-11y''+27 \\ x &= y^2-11y+27 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y²+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ \text{dilatasi skala 4. } \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4y \\ 4x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\ \text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y''}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{y'}{4} \\ -\frac{x'}{4} \\ \end{bmatrix} \\ x &= \frac{y'}{4} \\ y &= -\frac{x'}{4} \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y'}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}</math>, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{menentukan titik bayangan A} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -7 \\ 13 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan B} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -16 \\ 14 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan C} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ \end{bmatrix} \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -7 & -16 & 1 & -7 \\ 13 & 14 & -5 & 13 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 154 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} L_a &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \\ L_b &= | \text{det M} | \cdot L_a \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot 7 \\ &= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\ &= (8+3) \cdot 7 \\ &= 11 \cdot 7 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2cevptgh0h2g1vxvodn1x2nnr79cfcs 120746 120745 2026-10-08T02:47:26Z Akuindo 8654 /* Shearing */ 120746 wikitext text/x-wiki == Transformasi == Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu: * Transformasi [[isometri]] Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran). * Transformasi nonisometri Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran). === Translasi === Rumus translasi adalah: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> Rumus arah translasi T(a,b) atau <math> T\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Refleksi === Rumus refleksi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math><math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> (untuk m bernilai hasil dari sudut istimewa) :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{1+m^2} \begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ cos \, 2\alpha = \frac{1-m^2}{1+m^2}, sin \, 2\alpha = \frac{2m}{1+m^2} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 2\alpha & sin \, 2\alpha \\ sin \, 2\alpha & -cos \, 2\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & -(\frac{1-m^2}{1+m^2}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{1+m^2} \begin{bmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & m^2-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Rotasi === Rumus rotasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : terhadap persamaan y=mx+c :: cari <math>\alpha</math> bergradien <math> tan \, \alpha = m</math> :: kemudian rumus berikut: <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> :: jika m merupakan bilangan real <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{pmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y-c \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix} </math> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Pembuktian</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} tan \, \alpha = m \text{ maka } sin \, \alpha = \frac{m}{\sqrt{1+m^2}}, cos \, \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, \alpha & -sin \, \alpha \\ sin \, \alpha & cos \, \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} & -(\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}) \\ \frac{m}{\sqrt{1+m^2}} & \frac{1}{\sqrt{1+m^2}}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{1+m^2}} \begin{bmatrix} 1 & -m \\ m & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y-c \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ c \end{bmatrix} \end{align} </math> </div></div> === Dilatasi === Rumus dilatasi adalah: : tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Stretching === Rumus stretching adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> === Shearing === Rumus shearing adalah: : sumbu x :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : sumbu y :: tanpa titik pusat <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} </math> : dengan titik pusat (a,b) <math> \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} </math> <math> \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} </math> + <math> \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} </math> : Rumus sederhana {| class="wikitable" |- ! Keterangan !! Posisi !! Hasil |- ! align="center" colspan=3| Translasi |- | penggeseran (a,b) || <math>(x,y)</math> || <math>(x + a, y + b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Refleksi |- | sumbu x [0°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, -y)</math> |- | sumbu y [90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, y)</math> |- | y=x [45°] || <math>(x,y)</math> || <math>(y, x)</math> |- | y=-x [135°] || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, -x)</math> |- | pusat (0,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(- x, -y)</math> |- | pusat (a,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, 2b-y)</math> |- | pusat (a,0) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(2a-x, y)</math> |- | pusat (0,b) [0° dan 90°] || <math>(x,y)</math> || <math>(x, 2b-y)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,<math>\alpha</math>] |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y, x)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x, -y)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y, -x)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (0,0) atau [O,k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + y, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, x + k \cdot y)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),<math>\alpha</math>] |- ! align="center" colspan=3| Rotasi |- | 0° || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y)</math> |- | 90° || <math>(x,y)</math> || <math>(-y + a + b, x - a + b)</math> |- | 180° || <math>(x,y)</math> || <math>(-x + 2a, -y + 2b)</math> |- | 270° atau -90° || <math>(x,y)</math> || <math>(y - a + b, -x + a + b)</math> |- | align="center" colspan=3| berpusat (a,b) atau [(a,b),k] |- ! align="center" colspan=3| Dilatasi |- | skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Stretching |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(k \cdot x + (1 - k) a, y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, k \cdot y + (1 - k) b)</math> |- ! align="center" colspan=3| Shearing |- | sumbu x dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x + k \cdot (y - b)), y)</math> |- | sumbu y dan skala k || <math>(x,y)</math> || <math>(x, y + k \cdot (x - a))</math> |} *keterangan: # berlawanan arah dengan jarum jam adalah sudut positif sedangkan searah jarum jam adalah sudut negatif == Luas == misalkan A (x1,y1), B (x2,y2) dan C (x3,y3) ; cara 1 titik awal diubah menjadi titik bayangan. : <math>\begin{align} L = \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} x_1' & x_2' & x_3' & x_1' \\ y_1' & y_2' & y_3' & y_1' \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ = \frac{1}{2} \cdot |x_1'y_2' + x_2'y_3' + x_3'y_1' - (x_2'y_1' + x_3'y_2' + x_1'y_3')| \\ \end{align}</math> ; cara 2 : Luas = | det M | x luas awal contoh # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan garis 2x−3y=5 jika ditransformasikan oleh matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}</math>? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2x-y \\ 5x-3y \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = 2x-y dan y' = 5x-3y } \\ \text{diubah jadi x = 3x'-y' dan y = 5x'-2y' } \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 5 & -3 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{2 \cdot (-3) - ((-1) \cdot 5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{-6 - (-5)} \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= -1 \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ -5 & 2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3x'-y' \\ 5x'-2y' \\ \end{bmatrix} \\ x &= 3x'-y' \\ y &= 5x'-2y' \\ 2x-3y &= 5 \\ 2(3x'-y')-3(5x'-2y') &= 5 \\ 6x'-2y'-15x'+6y' &= 5 \\ -9x'+4y' &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-2x-3 jika ditransformasikan oleh translasi berpusat (0,0) yaitu <math>\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix}</math> lalu oleh refleksi berpusat (0,0) yaitu y=x? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2+x \\ 5+y \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x'' \\ y'' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 5+y \\ 2+x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = 5+y dan y'' = 2+x } \\ \text{substitusi y = x''-5 dan x = y''-2 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-2x-3 \\ x''-5 &= (y''-2)^2-2(y''-2)-3 \\ x''-5 &= y''^2-4y''+4-2y''+4-3 \\ x'' &= y''^2-6y''+10 \\ x &= y^2-6y+10 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-6y+10 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola y=x²-5x+6 jika ditransformasikan oleh refleksi persamaan y-x=3? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} y-x &= 3 \text{ diubah menjadi } y = x+3 \\ tan \, \alpha &= 1 \\ \alpha &= 45^\circ \\ \text{refleksi berpusat (0,0) dan y=x berarti sudut 45 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & -cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y-3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} y-3 \\ x+3 \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x' = y-3 dan y' = x+3 } \\ \text{substitusi y = x'+3 dan x = y'-3 } \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ y &= x^2-5x+6 \\ x'+3 &= (y'-3)^2-5(y'-3)+6 \\ x'+3 &= y'^2-6y'+9-5y'+15+6 \\ x' &= y'^2-11y''+27 \\ x &= y^2-11y+27 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } x = y^2-11y+27 \\ \end{align} </math> </div></div> # Tentukan persamaan bayangan dari persamaan parabola x=y²+3y-4 jika ditransformasikan oleh rotasi berpusat (0,0) dan sumbu y lalu oleh dilatasi yaitu berpusat (0,0) dan skala 4? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rotasi sumbu y berarti sudut 90 derajat. } \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ \text{dilatasi skala 4. } \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -4y \\ 4x \\ \end{bmatrix} \\ \text{jadi x'' = -4y dan y'' = 4x } \\ \text{diubah jadi } y = \frac{-x''}{4} \text{dan } x = \frac{y''}{4} \\ \text{masukkan x dan y ke dalam persamaan } \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y''}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} cos \, 90^\circ & -sin \, 90^\circ \\ sin \, 90^\circ & cos \, 90^\circ \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -y \\ x \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 4 & 0 \\ \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 \cdot 0 - ((-4) \cdot 4)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{0 - (-16)} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \frac{1}{16} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \frac{y'}{4} \\ -\frac{x'}{4} \\ \end{bmatrix} \\ x &= \frac{y'}{4} \\ y &= -\frac{x'}{4} \\ x &= y^2+3y-4 \\ \frac{y'}{4} &= (\frac{-x''}{4})^2+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ \frac{y''}{4} &= \frac{x''^2}{16}+3(\frac{-x''}{4})-4 \\ 4y'' &= 16x''^2-12x''-64 \\ 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \text{jadi persamaan bayangan adalah } 4y &= 16x^2-12x-64 \\ \end{align} </math> </div></div> # Diketahui segitiga ABC dengan titik koordinat sudut-sudutnya yaitu A(1,3), B(-2,4), dan C(-1,-1). Jika segitiga ABC ditransformasikan oleh matriks yang bersesuaian dengan matriks <math>\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}</math>, maka tentukan luas bayangan segitiga ABC tersebut? ; cara 1 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{menentukan titik bayangan A} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -7 \\ 13 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan B} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -16 \\ 14 \\ \end{bmatrix} \\ ; \text{menentukan titik bayangan C} \\ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ -5 \\ \end{bmatrix} \\ L &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} -7 & -16 & 1 & -7 \\ 13 & 14 & -5 & 13 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |(-7) \cdot 14 + (-16) \cdot (-5) + 1 \cdot 13 - ((-7) \cdot (-5) + 1 \cdot 14 + (-16) \cdot 13)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-98+80+13 - (35+14-208)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |-5 - (-159)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 154 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> ; cara 2 <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} L_a &= \frac{1}{2} \cdot \begin{array}{rrr|r} 1 & -2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 3 \\ - & - + & - + & + \\ \end{array} \\ &= \frac{1}{2} \cdot |1 \cdot 4 + (-2) \cdot (-1) + (-1) \cdot 3 - (1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 4 + (-2) \cdot 3)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |4+2-3 - (-1-4-6)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot |3 - (-11)| \\ &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \\ L_b &= | \text{det M} | \cdot L_a \\ &= \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \cdot 7 \\ &= (2 \cdot 4 - (-3) \cdot 1) \cdot 7 \\ &= (8+3) \cdot 7 \\ &= 11 \cdot 7 \\ &= 77 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] s2ypeltnqqrl1spzexy39hxa4smv95k 0 28687 120749 120743 2026-10-08T09:35:28Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Kekurangan */ 120749 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: *# Pemutar game *# Pemutar film *# Pemutar musik *# Penampil foto *# Pembaca ebook * Game yang didukung: *# GB *# GBC *# MD *# FC *# GBA *# MAME *# SFC * Support 3 save state tiap game * Support micro-sd card * Kelengkapan: *# Kardus *# Konsol portabel X7 *# Kabel Audio/Video (A/V) *# Kabel charger *# Head phones *# Manual * Harga: Sekitar Rp345.000 == Menu == === Game di Menu Utama === # Knights of Valor (KOV) # Oriental Legend # Warriors of Fate (WOF) # Dynasty War # Final Fight # Street FIghter 2 # Captain Commando # Cadillacs and Dinosaurs # The Punisher # Raiden Trad # UN Squadron # Magic Sword === Layar 1 === # Permainan ## Disk lokal ### Classic ### GB ### GBC ### MD ### FC ### GBA ### MAME ### SFC ## Recent run list ## Disk yang dapat dilepas # Bioskop # Musik # Gambar === Layar 2 === # E-book # Browser # Pengaturan # Tema (ada 3 tema) == Kekurangan == * Tidak bisa untuk 2 pemain * Baterai drop setelah sekian lama dipakai * Tidak seperti Konsol Portabel X6, Konsol Portabel X7 ini tidak support game PS1 * Tidak ada pengaturan tombol, kecuali jika ada pada menu options game (pengaturan tombol lewat menu options game) [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] 4m15dq5paydwpo5oo338kjfzq8wj344