Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.23 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 10583 121006 67693 2026-10-12T12:47:19Z ~2026-54784-63 44060 121006 wikitext text/x-wiki [[Berkas:Raphael School of Athens.jpg|400px|jmpl|pus|Para filsuf Yunani kuno]] Filsafat Yunani kuno didominasi oleh tiga orang terkenal, yaitu Sokrates, Plato, dan Aristoteles. Ketiganya pernah tinggal di Athena dalam waktu lama, dan mereka juga saling mengenal. Sokrates yang paling tua, dan Plato merupakan muridnya, sekitar 400 SM. Sokrates meninggal pada 399 SM, dan Plato memulai karyanya dengan menuliskan ajaran Sokrates, dan kemudian berlanjut dengan menuliskan gagasannay sendiri serta membuka sebuah sekolah. Aristoteles, yang lebih muda, belajar di sekolah Plato, dan akhirnya ia pun membuka sekolah sendiri. Pada masa setelah Plato dan Aristoteles meninggal, pada 200-an SM, tiga mazhab Filsafat terkenal muncul di sekolah-sekolah yang didirikan oleh Plato dan Aristoteles. Ketiga mazhab ini adalah Stoikisme, Skeptisime, dan Epikureanisme. Ketiganya terus bertahan bahkan hingga masa Kekaisaran Romawi, hingga akhirnya agama Kristen mulai mendominasi sekitar 300-an M, dan bahkan hingga setelah masa itu.. {{Yukun}} {{Yukun-Filsafat|state=show}} [[Kategori:Yunani Kuno]] ke5br2ofy8zag13mfd3s12bwhkcmij7 0 20764 121011 113911 2026-10-13T08:35:57Z Akuindo 8654 /* Modulus (mod) */ 121011 wikitext text/x-wiki ; Rumus: *<math>F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)</math> *<math>\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }</math> Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni: * Metode pembagian bersusun * Metode sintetik (horner) * Koefisien tak tentu 1. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x-4 || x²+3x-6 || x-7 |- | || x²-4x || |- | || 7x-6 || |- | || 7x-28 || |- | || 22 || |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Metode sintetik (horner) {| class="wikitable" |- | 4 || 1 || 3 || -6 |- | || 0 || 4 || 28 |- | || 1 || 7 || 22 |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 2 dan P(x) berderajat 1, maka : H(x) berderajat 2 – 1 = 1 : S(x) berderajat 1 – 1 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+3x-6 &= (x-4)(ax+b)+c \\ &= ax^2-4ax+bx-4b+c \\ &= ax^2+(-4a+b)x-(4b-c) \\ a &= 1 \\ -4a+b &= 3 \\ -4(1)+b &= 3 \\ -4+b &= 3 \\ b &= 7 \\ 6 &= 4b-c \\ &= 4(7)-c \\ &= 28-c \\ c &= -22 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 2. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>3x^3-10x^2-7x+80</math> dibagi <math>x^2-5x+6</math>! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x²-5x+6 || 3x³-10x²-7x+80 || 3x+5 |- | || 3x³-15x²+18x || |- | || 5x²-25x+80 || |- | || 5x²-25x+30 || |- | || 50 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 * Metode sintetik (horner) ; cara 1 : x²-5x+6 menjadi 5 dan -6 {| class="wikitable" |- | || 3 || -10 || -7 || 80 |- | 5 || 0 || 15 || 25 || 0 |- | -6 || 0 || 0 || -18 || -3@ |- | || 3 || 5 || 0 || 50 |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 ; cara 2 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 2 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 6 || -8 || -30 |- | 3 || 3 || -4 || -15 || 50 |- | || 0 || 9 || 15 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(2)+50 = 50 ; cara 3 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 3 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 9 || -3 || -30 |- | 2 || 3 || -1 || -10 || 50 |- | || 0 || 6 || 10 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(3)+50 = 50 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka : H(x) berderajat 3 – 2 = 1 : S(x) berderajat 2 – 2 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^3-10x^2-7x+80 &= (x^2-5x+6)(ax+b)+c \\ &= ax^3+bx^2-5ax^2-5bx+6ax+6b+c \\ &= ax^3+(b-5a)x^2+(-5+6a)x+6b+c \\ a &= 3 \\ b-5a &= -10 \\ b-5(3) &= -10 \\ b &= 5 \\ 6b+c &= 80 \\ 6(5)+c &= 80 \\ c &= 50 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 Dalam metode sintetik (horner) jika pembagi tidak dapat difaktorkan maka hanya lihat cara 1. Dalam metode sintetik (horner) jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut: ; I. posisi yang dibagi (YG) tidak berubah maka hasil bagi (HB) harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya dan sisa (S) tetap. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || -6 || -39 || 18 |- | 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1) |- | || 0 || 1 || 7 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x+3) \cdot 1+(-8) = x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || 1 || 10 || 43/2 |- | -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1) |- | || 0 || -6 || -42 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot 1+(-\frac{9}{2}) = x-\frac{10}{2} = x-5</math> ; II. posisi yang dibagi (YG) dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka hasil bagi (HB) tetap dan sisa (S) harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || -3 || -39/2 || 9 |- | 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1) |- | || 0 || 1/2 || 7/2 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} +(-4) = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4 = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || 1/2 || 5 || 43/4 |- | -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1) |- | || 0 || -3 || -21 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}+(-\frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{9}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{10}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> == Teorema == Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor. ; Teorema sisa : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>. 1. Berapa sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! : f(4) = 4²+3(4)-6 = 16+12-6 = 22 2. Berapa sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : F(x) = H(x) . P(x) + s : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (2x²+5x-3)+px+q : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q : F(-3)=2(-3)³+19(-3)²+33(-3)-26=-3p+q : F(-3)=-8=-3p+q : F(1/2)=2(1/2)³+19(1/2)²+33(1/2)-26=1/2p+q : F(1/2)=-18/4=1/2p+q : F(1/2)=-18=2p+4q kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5. 3. Jika f(x) = x³+ax²+(a+b)x+8b dibagi x-1 bersisa 18 dan dibagi x+1 bersisa 20 maka tentukan : nilai a dan b : nilai akar-akar persamaan itu <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * f(x) &= x^3+ax^2+(a+b)x+8b \\ f(1) &= 1+a+a+b+8b = 18 \\ &= 2a+9b = 17 \\ f(-1) &= -1+a-(a+b)+8b = 20 \\ &= 7b = 21 \\ &= b = 3 \\ 2a+9b &= 17 \\ 2a+9(3) &= 17 \\ 2a &= -10 \\ a &= -5 \\ * \text{diketahui persamaan } f(x) = x^3-5x^2-2x+24 \\ \text{menggunakan teorema faktor untuk mengetahui hasil akar-akarnya. lihat konstantanya 24 berarti mungkin } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8 \\ \text{uji selidiki } x=3 \text{ jadi } f(3) = 3^3-5(3)^2-2(3)+24 = 0 \\ \text{berarti benar. kita tinggal gunakan metode horner menghasilkan } x=-2 \text{ dan } x=4 \\ \end{align} </math> </div></div> 4. Jika f(x) = ax³+bx²+(a-b)x+a-3 habis dibagi x²+2 dan dibagi x-2 bersisa 6 maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+2 \text{ tidak dapat difaktorkan maka } \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= (x^2+2)(mx+n)+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n \\ a &= m \\ b &= n \\ a-b &= 2m \\ a-3 &= 2n \\ a &= 2n+3 \\ f(x) &= ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 \\ f(2) &= 8a+4b+2(a-b)+a-3 = 6 \\ &= 11a+2b = 9 \\ &= 11(2n+3)+2n = 9 \\ &= 22n+33+2n = 9 \\ &= 24n = -24 \\ &= n = -1 \\ b &= n \\ &= -1 \\ a &= 2(-1)+3 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> 5. Jika f(x) = ax³-2x²-(a+b)x+b habis dibagi x²+x-1 dan x-b maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+x-1 \text{ tidak dapat difaktorkan dam semisalkan k karena memiliki faktor bagian dari x-b maka } \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= k(x^2+x-1)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= (kx^2+kx-k)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-bkx^2+kx^2-bkx-kx+kb \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-(b-1)kx^2-(b+1)kx+kb \\ a &= k \\ 2 &= b-1 \\ a+b &= b+1 \\ b &= kb \\ 1 &= k \\ a &= k \\ &= 1 \\ 2 &= b-1 \\ b &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> 6. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2? : f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2</math> : f(1) = 2 : f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7</math> : f(2) = 7 : g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10</math> : g(1) = 10 : g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2</math> : g(2) = 2 Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut: : <math>h(x) = f(x) \cdot g(x)</math> : <math>h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q</math> Dengan fungsi di atas, maka berlaku: untuk x = 1, maka: : 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q : p + q = 20 .... (1) untuk x = 2, maka: : 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q : 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​ :Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26. :Jadi sisanya adalah -6x+26. 7. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1</math> : f(0) = 1 Bila x = 2 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5</math> : f(2) = 5 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2</math> : f(0) = 2 Bila x = 3 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17</math> : f(3) = 17 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b</math> : <math>17 = 0 + 3a + b</math> : <math>3a + b = 17</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b</math> : <math>5 = 0 + 2a + b</math> : <math>2a + b = 5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19. :Jadi sisanya adalah 12x-19. 8. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5</math> : f(1) = -5 Bila x = -2 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9</math> : f(-1) = -9 : <math>f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9</math> : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9</math> : f(-1) = -9 Bila x = -1 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10</math> : f(-2) = -10 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b</math> : <math>-10 = 0 - 2a + b</math> : <math>-2a + b = -10</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b</math> : <math>-5 = 0 + a + b</math> : <math>a + b = -5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3. :Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0. 9. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12? : Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9. 10. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61. 11. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74. ; Teorema faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0) Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x) Beberapa memungkinkan yang diketahui: * Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1. * Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1. * Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya: : untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2 : untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 1. Salah satu faktor dari <math>x^3+4x^2-11x-30</math> adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya? : dilihat -30 maka beberapa mungkin faktor sebagai berikut: <math>\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15 \text{ dan } \pm 30</math> {| class="wikitable" |- | 3 || 1 || 4 || -11 || -30 |- | || 0 || 3 || 21 || 30 |- | || 1 || 7 || 10 || 0 |} : x²+7x+10 = 0 : (x+2)(x+5) = 0 : x = -2 atau x = -5 2. Jika <math>\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}</math> dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya? : untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 : 1³+4(1)²+1+a = 0 : 6+a = 0 \\ : a = -6 \\ : untuk mencari akar-akar lainnya dari x³+4x²+x-6 : x-1 adalah {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || 4 || 1 || -6 |- | || 0 || 1 || 5 || 6 |- | || 1 || 5 || 6 || 0 |} : x²+5x+6 = 0 : (x+2)(x+3) = 0 : x = -2 atau x = -3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3-2x^2-5x+6=0</math>! apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math> :: Ya faktorkan tersebut {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || -2 || -5 || 6 |- | || 0 || 1 || -1 || -6 |- | || 1 || -1 || -6 || 0 |} : x³-2x²-5x+6 = 0 : (x-1)(x²-x-6) = 0 : (x-1)(x-3)(x+2) = 0 : x = 1, x = 3 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3} == Sifat akar (Teorema Vieta) == Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3</math> = c/a :Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + x_3 \cdot x_4</math> = c/a :Jumlah 3 akar: <math>x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4</math> = – d/a :Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …) ; tambahkan: : dua variabel :: <math>(x^2_1+x^2_2) = (x_1+x_2)(x_1+x_2)-2x_1x_2</math> :: <math>(x^3_1+x^3_2) = (x^2_1+x^2_2)(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^4_1+x^4_2) = (x^2_1+x^2_2)(x^2_1+x^2_2)-2x^2_1x^2_2</math> :: <math>(x^5_1+x^5_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^2_1+x^2_2)-x^2_1x^2_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^6_1+x^6_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^3_1+x^3_2)-2x^3_1x^3_2</math> dst : tiga variabel :: <math>x^2_1+x^2_2+x^2_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)²-2(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃) :: <math>x^3_1+x^3_2+x^3_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)³-3(x₁ + x₂ + x₃)(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)+3(x₁.x₂.x₃) Contoh: : Diberikan persamaan <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 </math> dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya! : <math>2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)</math> : <math>x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}</math> : <math>x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}</math> : <math>- x_1 = - \frac{-3}{1}</math> : <math> x_1 = -3</math> : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0</math> : <math>(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0</math> : <math>-27 - 27 + 30 + p = 0</math> : <math>p = 24</math> u : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || -3 || -10 || 24 |- | || 0 || -3 || 18 || -24 |- | || 1 || -6 || 8 || 0 |} : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> : <math>(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0</math> : <math>(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0</math> : <math>x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4</math> == Pembagian istimewa == Ada 3 jenis yaitu: * Jika n adalah bilangan asli maka: : <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math> * Jika 2n adalah bilangan genap maka: : <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math> * Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka: : <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math> == Modulus (mod) == ; Sifat modulus # (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n # ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n # a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n # a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n # Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10 # Teorema euler : <math>a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n</math> dengan syarat: :: Didahului sifat nomor 3 :: p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n :: <math>\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}</math> # Teorema wilson : (p - 1)! = -1 mod p : (p - 3)! = <math>\frac{p-1}{2}</math> mod p :: p adalah bilangan prima # Teorema kecil fermat contoh soal # Berapa hasil sisa dari ## 34 dibagi 5 ## 12³ dibagi 7 ## 200 dibagi 13 ## 19⁵ dibagi 9 :jawaban: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 34 \text{ mod } 5 &= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\ &= 4 \text{ mod } 5 \\ &= 4 \\ * 12^3 \text{ mod } 7 &= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 125 \text{ mod } 7 \\ &= 6 \\ * 200 \text{ mod } 13 &= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\ &= 5 \text{ mod } 13 \\ &= 5 \\ * 19^5 \text{ mod } 9 &= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> == Mencari bilangan == <math>\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}</math> ;Keterangan: :S = Hasil sisa :k = bilangan bulat :P = Pembagi [[Kategori:Matematika]] [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] iru1c7r3843vwumkbu61sdh9tucr367 121012 121011 2026-10-13T08:54:58Z Akuindo 8654 /* Modulus (mod) */ 121012 wikitext text/x-wiki ; Rumus: *<math>F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)</math> *<math>\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }</math> Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni: * Metode pembagian bersusun * Metode sintetik (horner) * Koefisien tak tentu 1. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x-4 || x²+3x-6 || x-7 |- | || x²-4x || |- | || 7x-6 || |- | || 7x-28 || |- | || 22 || |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Metode sintetik (horner) {| class="wikitable" |- | 4 || 1 || 3 || -6 |- | || 0 || 4 || 28 |- | || 1 || 7 || 22 |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 2 dan P(x) berderajat 1, maka : H(x) berderajat 2 – 1 = 1 : S(x) berderajat 1 – 1 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+3x-6 &= (x-4)(ax+b)+c \\ &= ax^2-4ax+bx-4b+c \\ &= ax^2+(-4a+b)x-(4b-c) \\ a &= 1 \\ -4a+b &= 3 \\ -4(1)+b &= 3 \\ -4+b &= 3 \\ b &= 7 \\ 6 &= 4b-c \\ &= 4(7)-c \\ &= 28-c \\ c &= -22 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 2. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>3x^3-10x^2-7x+80</math> dibagi <math>x^2-5x+6</math>! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x²-5x+6 || 3x³-10x²-7x+80 || 3x+5 |- | || 3x³-15x²+18x || |- | || 5x²-25x+80 || |- | || 5x²-25x+30 || |- | || 50 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 * Metode sintetik (horner) ; cara 1 : x²-5x+6 menjadi 5 dan -6 {| class="wikitable" |- | || 3 || -10 || -7 || 80 |- | 5 || 0 || 15 || 25 || 0 |- | -6 || 0 || 0 || -18 || -3@ |- | || 3 || 5 || 0 || 50 |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 ; cara 2 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 2 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 6 || -8 || -30 |- | 3 || 3 || -4 || -15 || 50 |- | || 0 || 9 || 15 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(2)+50 = 50 ; cara 3 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 3 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 9 || -3 || -30 |- | 2 || 3 || -1 || -10 || 50 |- | || 0 || 6 || 10 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(3)+50 = 50 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka : H(x) berderajat 3 – 2 = 1 : S(x) berderajat 2 – 2 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^3-10x^2-7x+80 &= (x^2-5x+6)(ax+b)+c \\ &= ax^3+bx^2-5ax^2-5bx+6ax+6b+c \\ &= ax^3+(b-5a)x^2+(-5+6a)x+6b+c \\ a &= 3 \\ b-5a &= -10 \\ b-5(3) &= -10 \\ b &= 5 \\ 6b+c &= 80 \\ 6(5)+c &= 80 \\ c &= 50 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 Dalam metode sintetik (horner) jika pembagi tidak dapat difaktorkan maka hanya lihat cara 1. Dalam metode sintetik (horner) jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut: ; I. posisi yang dibagi (YG) tidak berubah maka hasil bagi (HB) harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya dan sisa (S) tetap. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || -6 || -39 || 18 |- | 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1) |- | || 0 || 1 || 7 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x+3) \cdot 1+(-8) = x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || 1 || 10 || 43/2 |- | -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1) |- | || 0 || -6 || -42 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot 1+(-\frac{9}{2}) = x-\frac{10}{2} = x-5</math> ; II. posisi yang dibagi (YG) dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka hasil bagi (HB) tetap dan sisa (S) harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || -3 || -39/2 || 9 |- | 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1) |- | || 0 || 1/2 || 7/2 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} +(-4) = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4 = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || 1/2 || 5 || 43/4 |- | -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1) |- | || 0 || -3 || -21 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}+(-\frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{9}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{10}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> == Teorema == Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor. ; Teorema sisa : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>. 1. Berapa sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! : f(4) = 4²+3(4)-6 = 16+12-6 = 22 2. Berapa sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : F(x) = H(x) . P(x) + s : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (2x²+5x-3)+px+q : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q : F(-3)=2(-3)³+19(-3)²+33(-3)-26=-3p+q : F(-3)=-8=-3p+q : F(1/2)=2(1/2)³+19(1/2)²+33(1/2)-26=1/2p+q : F(1/2)=-18/4=1/2p+q : F(1/2)=-18=2p+4q kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5. 3. Jika f(x) = x³+ax²+(a+b)x+8b dibagi x-1 bersisa 18 dan dibagi x+1 bersisa 20 maka tentukan : nilai a dan b : nilai akar-akar persamaan itu <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * f(x) &= x^3+ax^2+(a+b)x+8b \\ f(1) &= 1+a+a+b+8b = 18 \\ &= 2a+9b = 17 \\ f(-1) &= -1+a-(a+b)+8b = 20 \\ &= 7b = 21 \\ &= b = 3 \\ 2a+9b &= 17 \\ 2a+9(3) &= 17 \\ 2a &= -10 \\ a &= -5 \\ * \text{diketahui persamaan } f(x) = x^3-5x^2-2x+24 \\ \text{menggunakan teorema faktor untuk mengetahui hasil akar-akarnya. lihat konstantanya 24 berarti mungkin } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8 \\ \text{uji selidiki } x=3 \text{ jadi } f(3) = 3^3-5(3)^2-2(3)+24 = 0 \\ \text{berarti benar. kita tinggal gunakan metode horner menghasilkan } x=-2 \text{ dan } x=4 \\ \end{align} </math> </div></div> 4. Jika f(x) = ax³+bx²+(a-b)x+a-3 habis dibagi x²+2 dan dibagi x-2 bersisa 6 maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+2 \text{ tidak dapat difaktorkan maka } \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= (x^2+2)(mx+n)+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n \\ a &= m \\ b &= n \\ a-b &= 2m \\ a-3 &= 2n \\ a &= 2n+3 \\ f(x) &= ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 \\ f(2) &= 8a+4b+2(a-b)+a-3 = 6 \\ &= 11a+2b = 9 \\ &= 11(2n+3)+2n = 9 \\ &= 22n+33+2n = 9 \\ &= 24n = -24 \\ &= n = -1 \\ b &= n \\ &= -1 \\ a &= 2(-1)+3 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> 5. Jika f(x) = ax³-2x²-(a+b)x+b habis dibagi x²+x-1 dan x-b maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+x-1 \text{ tidak dapat difaktorkan dam semisalkan k karena memiliki faktor bagian dari x-b maka } \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= k(x^2+x-1)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= (kx^2+kx-k)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-bkx^2+kx^2-bkx-kx+kb \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-(b-1)kx^2-(b+1)kx+kb \\ a &= k \\ 2 &= b-1 \\ a+b &= b+1 \\ b &= kb \\ 1 &= k \\ a &= k \\ &= 1 \\ 2 &= b-1 \\ b &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> 6. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2? : f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2</math> : f(1) = 2 : f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7</math> : f(2) = 7 : g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10</math> : g(1) = 10 : g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2</math> : g(2) = 2 Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut: : <math>h(x) = f(x) \cdot g(x)</math> : <math>h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q</math> Dengan fungsi di atas, maka berlaku: untuk x = 1, maka: : 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q : p + q = 20 .... (1) untuk x = 2, maka: : 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q : 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​ :Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26. :Jadi sisanya adalah -6x+26. 7. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1</math> : f(0) = 1 Bila x = 2 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5</math> : f(2) = 5 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2</math> : f(0) = 2 Bila x = 3 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17</math> : f(3) = 17 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b</math> : <math>17 = 0 + 3a + b</math> : <math>3a + b = 17</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b</math> : <math>5 = 0 + 2a + b</math> : <math>2a + b = 5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19. :Jadi sisanya adalah 12x-19. 8. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5</math> : f(1) = -5 Bila x = -2 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9</math> : f(-1) = -9 : <math>f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9</math> : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9</math> : f(-1) = -9 Bila x = -1 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10</math> : f(-2) = -10 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b</math> : <math>-10 = 0 - 2a + b</math> : <math>-2a + b = -10</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b</math> : <math>-5 = 0 + a + b</math> : <math>a + b = -5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3. :Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0. 9. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12? : Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9. 10. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61. 11. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74. ; Teorema faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0) Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x) Beberapa memungkinkan yang diketahui: * Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1. * Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1. * Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya: : untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2 : untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 1. Salah satu faktor dari <math>x^3+4x^2-11x-30</math> adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya? : dilihat -30 maka beberapa mungkin faktor sebagai berikut: <math>\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15 \text{ dan } \pm 30</math> {| class="wikitable" |- | 3 || 1 || 4 || -11 || -30 |- | || 0 || 3 || 21 || 30 |- | || 1 || 7 || 10 || 0 |} : x²+7x+10 = 0 : (x+2)(x+5) = 0 : x = -2 atau x = -5 2. Jika <math>\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}</math> dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya? : untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 : 1³+4(1)²+1+a = 0 : 6+a = 0 \\ : a = -6 \\ : untuk mencari akar-akar lainnya dari x³+4x²+x-6 : x-1 adalah {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || 4 || 1 || -6 |- | || 0 || 1 || 5 || 6 |- | || 1 || 5 || 6 || 0 |} : x²+5x+6 = 0 : (x+2)(x+3) = 0 : x = -2 atau x = -3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3-2x^2-5x+6=0</math>! apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math> :: Ya faktorkan tersebut {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || -2 || -5 || 6 |- | || 0 || 1 || -1 || -6 |- | || 1 || -1 || -6 || 0 |} : x³-2x²-5x+6 = 0 : (x-1)(x²-x-6) = 0 : (x-1)(x-3)(x+2) = 0 : x = 1, x = 3 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3} == Sifat akar (Teorema Vieta) == Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3</math> = c/a :Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + x_3 \cdot x_4</math> = c/a :Jumlah 3 akar: <math>x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4</math> = – d/a :Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …) ; tambahkan: : dua variabel :: <math>(x^2_1+x^2_2) = (x_1+x_2)(x_1+x_2)-2x_1x_2</math> :: <math>(x^3_1+x^3_2) = (x^2_1+x^2_2)(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^4_1+x^4_2) = (x^2_1+x^2_2)(x^2_1+x^2_2)-2x^2_1x^2_2</math> :: <math>(x^5_1+x^5_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^2_1+x^2_2)-x^2_1x^2_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^6_1+x^6_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^3_1+x^3_2)-2x^3_1x^3_2</math> dst : tiga variabel :: <math>x^2_1+x^2_2+x^2_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)²-2(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃) :: <math>x^3_1+x^3_2+x^3_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)³-3(x₁ + x₂ + x₃)(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)+3(x₁.x₂.x₃) Contoh: : Diberikan persamaan <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 </math> dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya! : <math>2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)</math> : <math>x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}</math> : <math>x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}</math> : <math>- x_1 = - \frac{-3}{1}</math> : <math> x_1 = -3</math> : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0</math> : <math>(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0</math> : <math>-27 - 27 + 30 + p = 0</math> : <math>p = 24</math> u : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || -3 || -10 || 24 |- | || 0 || -3 || 18 || -24 |- | || 1 || -6 || 8 || 0 |} : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> : <math>(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0</math> : <math>(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0</math> : <math>x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4</math> == Pembagian istimewa == Ada 3 jenis yaitu: * Jika n adalah bilangan asli maka: : <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math> * Jika 2n adalah bilangan genap maka: : <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math> * Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka: : <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math> == Modulus (mod) == ; Sifat modulus # (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n # ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n # a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n # a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n # Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10 # Teorema euler : <math>a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n</math> dengan syarat: :: Didahului sifat nomor 3 :: p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n :: <math>\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}</math> # Teorema wilson : (p - 1)! = -1 mod p : (p - 3)! = <math>\frac{p-1}{2}</math> mod p :: p adalah bilangan prima # Teorema kecil fermat : rumus: <math>a^(p-1) = 1 (mod p)</math> : p adalah bilangan prima contoh soal # Berapa hasil sisa dari ## 34 dibagi 5 ## 12³ dibagi 7 ## 200 dibagi 13 ## 19⁵ dibagi 9 :jawaban: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 34 \text{ mod } 5 &= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\ &= 4 \text{ mod } 5 \\ &= 4 \\ * 12^3 \text{ mod } 7 &= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 125 \text{ mod } 7 \\ &= 6 \\ * 200 \text{ mod } 13 &= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\ &= 5 \text{ mod } 13 \\ &= 5 \\ * 19^5 \text{ mod } 9 &= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> == Mencari bilangan == <math>\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}</math> ;Keterangan: :S = Hasil sisa :k = bilangan bulat :P = Pembagi [[Kategori:Matematika]] [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ox7faktgyojznwgbhzoetj86kp8rfav 121013 121012 2026-10-13T08:55:33Z Akuindo 8654 /* Modulus (mod) */ 121013 wikitext text/x-wiki ; Rumus: *<math>F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)</math> *<math>\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }</math> Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni: * Metode pembagian bersusun * Metode sintetik (horner) * Koefisien tak tentu 1. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x-4 || x²+3x-6 || x-7 |- | || x²-4x || |- | || 7x-6 || |- | || 7x-28 || |- | || 22 || |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Metode sintetik (horner) {| class="wikitable" |- | 4 || 1 || 3 || -6 |- | || 0 || 4 || 28 |- | || 1 || 7 || 22 |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 2 dan P(x) berderajat 1, maka : H(x) berderajat 2 – 1 = 1 : S(x) berderajat 1 – 1 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+3x-6 &= (x-4)(ax+b)+c \\ &= ax^2-4ax+bx-4b+c \\ &= ax^2+(-4a+b)x-(4b-c) \\ a &= 1 \\ -4a+b &= 3 \\ -4(1)+b &= 3 \\ -4+b &= 3 \\ b &= 7 \\ 6 &= 4b-c \\ &= 4(7)-c \\ &= 28-c \\ c &= -22 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 2. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>3x^3-10x^2-7x+80</math> dibagi <math>x^2-5x+6</math>! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x²-5x+6 || 3x³-10x²-7x+80 || 3x+5 |- | || 3x³-15x²+18x || |- | || 5x²-25x+80 || |- | || 5x²-25x+30 || |- | || 50 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 * Metode sintetik (horner) ; cara 1 : x²-5x+6 menjadi 5 dan -6 {| class="wikitable" |- | || 3 || -10 || -7 || 80 |- | 5 || 0 || 15 || 25 || 0 |- | -6 || 0 || 0 || -18 || -3@ |- | || 3 || 5 || 0 || 50 |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 ; cara 2 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 2 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 6 || -8 || -30 |- | 3 || 3 || -4 || -15 || 50 |- | || 0 || 9 || 15 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(2)+50 = 50 ; cara 3 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 3 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 9 || -3 || -30 |- | 2 || 3 || -1 || -10 || 50 |- | || 0 || 6 || 10 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(3)+50 = 50 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka : H(x) berderajat 3 – 2 = 1 : S(x) berderajat 2 – 2 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^3-10x^2-7x+80 &= (x^2-5x+6)(ax+b)+c \\ &= ax^3+bx^2-5ax^2-5bx+6ax+6b+c \\ &= ax^3+(b-5a)x^2+(-5+6a)x+6b+c \\ a &= 3 \\ b-5a &= -10 \\ b-5(3) &= -10 \\ b &= 5 \\ 6b+c &= 80 \\ 6(5)+c &= 80 \\ c &= 50 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 Dalam metode sintetik (horner) jika pembagi tidak dapat difaktorkan maka hanya lihat cara 1. Dalam metode sintetik (horner) jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut: ; I. posisi yang dibagi (YG) tidak berubah maka hasil bagi (HB) harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya dan sisa (S) tetap. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || -6 || -39 || 18 |- | 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1) |- | || 0 || 1 || 7 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x+3) \cdot 1+(-8) = x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || 1 || 10 || 43/2 |- | -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1) |- | || 0 || -6 || -42 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot 1+(-\frac{9}{2}) = x-\frac{10}{2} = x-5</math> ; II. posisi yang dibagi (YG) dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka hasil bagi (HB) tetap dan sisa (S) harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || -3 || -39/2 || 9 |- | 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1) |- | || 0 || 1/2 || 7/2 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} +(-4) = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4 = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || 1/2 || 5 || 43/4 |- | -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1) |- | || 0 || -3 || -21 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}+(-\frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{9}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{10}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> == Teorema == Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor. ; Teorema sisa : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>. 1. Berapa sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! : f(4) = 4²+3(4)-6 = 16+12-6 = 22 2. Berapa sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : F(x) = H(x) . P(x) + s : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (2x²+5x-3)+px+q : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q : F(-3)=2(-3)³+19(-3)²+33(-3)-26=-3p+q : F(-3)=-8=-3p+q : F(1/2)=2(1/2)³+19(1/2)²+33(1/2)-26=1/2p+q : F(1/2)=-18/4=1/2p+q : F(1/2)=-18=2p+4q kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5. 3. Jika f(x) = x³+ax²+(a+b)x+8b dibagi x-1 bersisa 18 dan dibagi x+1 bersisa 20 maka tentukan : nilai a dan b : nilai akar-akar persamaan itu <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * f(x) &= x^3+ax^2+(a+b)x+8b \\ f(1) &= 1+a+a+b+8b = 18 \\ &= 2a+9b = 17 \\ f(-1) &= -1+a-(a+b)+8b = 20 \\ &= 7b = 21 \\ &= b = 3 \\ 2a+9b &= 17 \\ 2a+9(3) &= 17 \\ 2a &= -10 \\ a &= -5 \\ * \text{diketahui persamaan } f(x) = x^3-5x^2-2x+24 \\ \text{menggunakan teorema faktor untuk mengetahui hasil akar-akarnya. lihat konstantanya 24 berarti mungkin } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8 \\ \text{uji selidiki } x=3 \text{ jadi } f(3) = 3^3-5(3)^2-2(3)+24 = 0 \\ \text{berarti benar. kita tinggal gunakan metode horner menghasilkan } x=-2 \text{ dan } x=4 \\ \end{align} </math> </div></div> 4. Jika f(x) = ax³+bx²+(a-b)x+a-3 habis dibagi x²+2 dan dibagi x-2 bersisa 6 maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+2 \text{ tidak dapat difaktorkan maka } \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= (x^2+2)(mx+n)+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n \\ a &= m \\ b &= n \\ a-b &= 2m \\ a-3 &= 2n \\ a &= 2n+3 \\ f(x) &= ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 \\ f(2) &= 8a+4b+2(a-b)+a-3 = 6 \\ &= 11a+2b = 9 \\ &= 11(2n+3)+2n = 9 \\ &= 22n+33+2n = 9 \\ &= 24n = -24 \\ &= n = -1 \\ b &= n \\ &= -1 \\ a &= 2(-1)+3 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> 5. Jika f(x) = ax³-2x²-(a+b)x+b habis dibagi x²+x-1 dan x-b maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+x-1 \text{ tidak dapat difaktorkan dam semisalkan k karena memiliki faktor bagian dari x-b maka } \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= k(x^2+x-1)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= (kx^2+kx-k)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-bkx^2+kx^2-bkx-kx+kb \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-(b-1)kx^2-(b+1)kx+kb \\ a &= k \\ 2 &= b-1 \\ a+b &= b+1 \\ b &= kb \\ 1 &= k \\ a &= k \\ &= 1 \\ 2 &= b-1 \\ b &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> 6. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2? : f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2</math> : f(1) = 2 : f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7</math> : f(2) = 7 : g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10</math> : g(1) = 10 : g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2</math> : g(2) = 2 Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut: : <math>h(x) = f(x) \cdot g(x)</math> : <math>h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q</math> Dengan fungsi di atas, maka berlaku: untuk x = 1, maka: : 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q : p + q = 20 .... (1) untuk x = 2, maka: : 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q : 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​ :Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26. :Jadi sisanya adalah -6x+26. 7. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1</math> : f(0) = 1 Bila x = 2 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5</math> : f(2) = 5 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2</math> : f(0) = 2 Bila x = 3 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17</math> : f(3) = 17 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b</math> : <math>17 = 0 + 3a + b</math> : <math>3a + b = 17</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b</math> : <math>5 = 0 + 2a + b</math> : <math>2a + b = 5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19. :Jadi sisanya adalah 12x-19. 8. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5</math> : f(1) = -5 Bila x = -2 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9</math> : f(-1) = -9 : <math>f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9</math> : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9</math> : f(-1) = -9 Bila x = -1 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10</math> : f(-2) = -10 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b</math> : <math>-10 = 0 - 2a + b</math> : <math>-2a + b = -10</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b</math> : <math>-5 = 0 + a + b</math> : <math>a + b = -5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3. :Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0. 9. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12? : Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9. 10. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61. 11. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74. ; Teorema faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0) Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x) Beberapa memungkinkan yang diketahui: * Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1. * Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1. * Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya: : untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2 : untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 1. Salah satu faktor dari <math>x^3+4x^2-11x-30</math> adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya? : dilihat -30 maka beberapa mungkin faktor sebagai berikut: <math>\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15 \text{ dan } \pm 30</math> {| class="wikitable" |- | 3 || 1 || 4 || -11 || -30 |- | || 0 || 3 || 21 || 30 |- | || 1 || 7 || 10 || 0 |} : x²+7x+10 = 0 : (x+2)(x+5) = 0 : x = -2 atau x = -5 2. Jika <math>\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}</math> dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya? : untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 : 1³+4(1)²+1+a = 0 : 6+a = 0 \\ : a = -6 \\ : untuk mencari akar-akar lainnya dari x³+4x²+x-6 : x-1 adalah {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || 4 || 1 || -6 |- | || 0 || 1 || 5 || 6 |- | || 1 || 5 || 6 || 0 |} : x²+5x+6 = 0 : (x+2)(x+3) = 0 : x = -2 atau x = -3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3-2x^2-5x+6=0</math>! apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math> :: Ya faktorkan tersebut {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || -2 || -5 || 6 |- | || 0 || 1 || -1 || -6 |- | || 1 || -1 || -6 || 0 |} : x³-2x²-5x+6 = 0 : (x-1)(x²-x-6) = 0 : (x-1)(x-3)(x+2) = 0 : x = 1, x = 3 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3} == Sifat akar (Teorema Vieta) == Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3</math> = c/a :Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + x_3 \cdot x_4</math> = c/a :Jumlah 3 akar: <math>x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4</math> = – d/a :Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …) ; tambahkan: : dua variabel :: <math>(x^2_1+x^2_2) = (x_1+x_2)(x_1+x_2)-2x_1x_2</math> :: <math>(x^3_1+x^3_2) = (x^2_1+x^2_2)(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^4_1+x^4_2) = (x^2_1+x^2_2)(x^2_1+x^2_2)-2x^2_1x^2_2</math> :: <math>(x^5_1+x^5_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^2_1+x^2_2)-x^2_1x^2_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^6_1+x^6_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^3_1+x^3_2)-2x^3_1x^3_2</math> dst : tiga variabel :: <math>x^2_1+x^2_2+x^2_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)²-2(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃) :: <math>x^3_1+x^3_2+x^3_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)³-3(x₁ + x₂ + x₃)(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)+3(x₁.x₂.x₃) Contoh: : Diberikan persamaan <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 </math> dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya! : <math>2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)</math> : <math>x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}</math> : <math>x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}</math> : <math>- x_1 = - \frac{-3}{1}</math> : <math> x_1 = -3</math> : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0</math> : <math>(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0</math> : <math>-27 - 27 + 30 + p = 0</math> : <math>p = 24</math> u : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || -3 || -10 || 24 |- | || 0 || -3 || 18 || -24 |- | || 1 || -6 || 8 || 0 |} : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> : <math>(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0</math> : <math>(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0</math> : <math>x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4</math> == Pembagian istimewa == Ada 3 jenis yaitu: * Jika n adalah bilangan asli maka: : <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math> * Jika 2n adalah bilangan genap maka: : <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math> * Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka: : <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math> == Modulus (mod) == ; Sifat modulus # (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n # ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n # a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n # a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n # Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10 # Teorema euler : <math>a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n</math> dengan syarat: :: Didahului sifat nomor 3 :: p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n :: <math>\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}</math> # Teorema wilson : (p - 1)! = -1 mod p : (p - 3)! = <math>\frac{p-1}{2}</math> mod p :: p adalah bilangan prima # Teorema kecil fermat : rumus: <math>a^{p-1} = 1 (mod p)</math> : p adalah bilangan prima contoh soal # Berapa hasil sisa dari ## 34 dibagi 5 ## 12³ dibagi 7 ## 200 dibagi 13 ## 19⁵ dibagi 9 :jawaban: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 34 \text{ mod } 5 &= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\ &= 4 \text{ mod } 5 \\ &= 4 \\ * 12^3 \text{ mod } 7 &= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 125 \text{ mod } 7 \\ &= 6 \\ * 200 \text{ mod } 13 &= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\ &= 5 \text{ mod } 13 \\ &= 5 \\ * 19^5 \text{ mod } 9 &= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> == Mencari bilangan == <math>\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}</math> ;Keterangan: :S = Hasil sisa :k = bilangan bulat :P = Pembagi [[Kategori:Matematika]] [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 1890mpq5qjlc408wec7whrxt37uc8y3 121014 121013 2026-10-13T08:56:06Z Akuindo 8654 /* Modulus (mod) */ 121014 wikitext text/x-wiki ; Rumus: *<math>F(x) = H(x) \cdot P(x) + s(x)</math> *<math>\text{ Yang dibagi (YD) = Hasil bagi (HB) x Pembagi (P) + Sisa (S) }</math> Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni: * Metode pembagian bersusun * Metode sintetik (horner) * Koefisien tak tentu 1. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x-4 || x²+3x-6 || x-7 |- | || x²-4x || |- | || 7x-6 || |- | || 7x-28 || |- | || 22 || |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Metode sintetik (horner) {| class="wikitable" |- | 4 || 1 || 3 || -6 |- | || 0 || 4 || 28 |- | || 1 || 7 || 22 |} Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 2 dan P(x) berderajat 1, maka : H(x) berderajat 2 – 1 = 1 : S(x) berderajat 1 – 1 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+3x-6 &= (x-4)(ax+b)+c \\ &= ax^2-4ax+bx-4b+c \\ &= ax^2+(-4a+b)x-(4b-c) \\ a &= 1 \\ -4a+b &= 3 \\ -4(1)+b &= 3 \\ -4+b &= 3 \\ b &= 7 \\ 6 &= 4b-c \\ &= 4(7)-c \\ &= 28-c \\ c &= -22 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah x+7 dan sisa 22 2. Berapa hasil bagi dan sisa dari <math>3x^3-10x^2-7x+80</math> dibagi <math>x^2-5x+6</math>! * Metode pembagian bersusun {| class="wikitable" |- | x²-5x+6 || 3x³-10x²-7x+80 || 3x+5 |- | || 3x³-15x²+18x || |- | || 5x²-25x+80 || |- | || 5x²-25x+30 || |- | || 50 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 * Metode sintetik (horner) ; cara 1 : x²-5x+6 menjadi 5 dan -6 {| class="wikitable" |- | || 3 || -10 || -7 || 80 |- | 5 || 0 || 15 || 25 || 0 |- | -6 || 0 || 0 || -18 || -3@ |- | || 3 || 5 || 0 || 50 |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 ; cara 2 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 2 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 6 || -8 || -30 |- | 3 || 3 || -4 || -15 || 50 |- | || 0 || 9 || 15 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(2)+50 = 50 ; cara 3 : x²-5x+6 = (x-2)(x-3) {| class="wikitable" |- | 3 || 3 || -10 || -7 || 80 |- | || 0 || 9 || -3 || -30 |- | 2 || 3 || -1 || -10 || 50 |- | || 0 || 6 || 10 || 50 |- | || 3 || 5 || 0 || |} Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 0(3)+50 = 50 * Koefisien tak tentu Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka : H(x) berderajat 3 – 2 = 1 : S(x) berderajat 2 – 2 = 0 Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x^3-10x^2-7x+80 &= (x^2-5x+6)(ax+b)+c \\ &= ax^3+bx^2-5ax^2-5bx+6ax+6b+c \\ &= ax^3+(b-5a)x^2+(-5+6a)x+6b+c \\ a &= 3 \\ b-5a &= -10 \\ b-5(3) &= -10 \\ b &= 5 \\ 6b+c &= 80 \\ 6(5)+c &= 80 \\ c &= 50 \\ \end{align} </math> </div></div> Jadi hasil bagi adalah 3x+5 dan sisa 50 Dalam metode sintetik (horner) jika pembagi tidak dapat difaktorkan maka hanya lihat cara 1. Dalam metode sintetik (horner) jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut: ; I. posisi yang dibagi (YG) tidak berubah maka hasil bagi (HB) harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya dan sisa (S) tetap. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || -6 || -39 || 18 |- | 1/2 || 2 || 13 || -6 || -8 (S1) |- | || 0 || 1 || 7 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x+3) \cdot 1+(-8) = x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 2 || 19 || 33 || -26 |- | || 0 || 1 || 10 || 43/2 |- | -3 || 2 || 20 || 43 || -9/2 (S1) |- | || 0 || -6 || -42 || |- | || 2 || 14 || 1 (S2) || |} : H(x) = <math>2x+14</math> harus bagi 1/2 menjadi <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot 1+(-\frac{9}{2}) = x-\frac{10}{2} = x-5</math> ; II. posisi yang dibagi (YG) dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka hasil bagi (HB) tetap dan sisa (S) harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh: : Berapa hasil dan sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : Pilihan A misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> : P2: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || -3 || -39/2 || 9 |- | 1/2 || 1 || 13/2 || -3 || -4 (S1) |- | || 0 || 1/2 || 7/2 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x + 3) \cdot \frac{1}{2} +(-4) = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-4 = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> : Pilihan B misalkan P: <math>2x^2+5x-3 = (x+3)(2x-1)</math> maka: : P1: <math>2x-1 = 0 -> x = \frac{1}{2}</math> : P2: <math>x+3 = 0 -> x = -3</math> <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi 1/2 menjadi <math>x^3+\frac{19}{2}x^2+\frac{33}{2}x-13</math> {| class="wikitable" |- | 1/2 || 1 || 19/2 || 33/2 || -13 |- | || 0 || 1/2 || 5 || 43/4 |- | -3 || 1 || 10 || 43/2 || -9/4 (S1) |- | || 0 || -3 || -21 || |- | || 1 || 7 || 1/2 (S2) || |} : H(x) = <math>x+7</math> : S(x) = P1.S2 + S1 = <math>(x-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2}+(-\frac{9}{4}) = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}-\frac{9}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{10}{4} = \frac{1}{2}x-\frac{5}{2}</math> harus kali 2 menjadi <math>x-5</math> == Teorema == Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor. ; Teorema sisa : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a). : Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah <math>\frac{F(a) - F(b)}{a - b} x + \frac{a F(b) - b F(a)}{a -b}</math>. 1. Berapa sisa dari <math>x^2+3x-6</math> dibagi x-4! : f(4) = 4²+3(4)-6 = 16+12-6 = 22 2. Berapa sisa dari F(x): <math>2x^3+19x^2+33x-26</math> dibagi dengan P(x): <math>2x^2+5x-3</math>? : F(x) = H(x) . P(x) + s : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (2x²+5x-3)+px+q : 2x³+19x²+33x-26 = H(x) . (x+3)(2x-1)+px+q : F(-3)=2(-3)³+19(-3)²+33(-3)-26=-3p+q : F(-3)=-8=-3p+q : F(1/2)=2(1/2)³+19(1/2)²+33(1/2)-26=1/2p+q : F(1/2)=-18/4=1/2p+q : F(1/2)=-18=2p+4q kedua persamaan melalui metode eliminasi dan hasilnya adalah p=1 dan q=-5. jadi sisanya x-5. 3. Jika f(x) = x³+ax²+(a+b)x+8b dibagi x-1 bersisa 18 dan dibagi x+1 bersisa 20 maka tentukan : nilai a dan b : nilai akar-akar persamaan itu <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * f(x) &= x^3+ax^2+(a+b)x+8b \\ f(1) &= 1+a+a+b+8b = 18 \\ &= 2a+9b = 17 \\ f(-1) &= -1+a-(a+b)+8b = 20 \\ &= 7b = 21 \\ &= b = 3 \\ 2a+9b &= 17 \\ 2a+9(3) &= 17 \\ 2a &= -10 \\ a &= -5 \\ * \text{diketahui persamaan } f(x) = x^3-5x^2-2x+24 \\ \text{menggunakan teorema faktor untuk mengetahui hasil akar-akarnya. lihat konstantanya 24 berarti mungkin } \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8 \\ \text{uji selidiki } x=3 \text{ jadi } f(3) = 3^3-5(3)^2-2(3)+24 = 0 \\ \text{berarti benar. kita tinggal gunakan metode horner menghasilkan } x=-2 \text{ dan } x=4 \\ \end{align} </math> </div></div> 4. Jika f(x) = ax³+bx²+(a-b)x+a-3 habis dibagi x²+2 dan dibagi x-2 bersisa 6 maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+2 \text{ tidak dapat difaktorkan maka } \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= (x^2+2)(mx+n)+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n+0 \\ ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 &= mx^3+nx^2+2mx+2n \\ a &= m \\ b &= n \\ a-b &= 2m \\ a-3 &= 2n \\ a &= 2n+3 \\ f(x) &= ax^3+bx^2+(a-b)x+a-3 \\ f(2) &= 8a+4b+2(a-b)+a-3 = 6 \\ &= 11a+2b = 9 \\ &= 11(2n+3)+2n = 9 \\ &= 22n+33+2n = 9 \\ &= 24n = -24 \\ &= n = -1 \\ b &= n \\ &= -1 \\ a &= 2(-1)+3 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> 5. Jika f(x) = ax³-2x²-(a+b)x+b habis dibagi x²+x-1 dan x-b maka tentukan nilai a dan b! <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{karena } x^2+x-1 \text{ tidak dapat difaktorkan dam semisalkan k karena memiliki faktor bagian dari x-b maka } \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= k(x^2+x-1)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= (kx^2+kx-k)(x-b)+0 \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-bkx^2+kx^2-bkx-kx+kb \\ ax^3-2x^2-(a+b)x+b &= kx^3-(b-1)kx^2-(b+1)kx+kb \\ a &= k \\ 2 &= b-1 \\ a+b &= b+1 \\ b &= kb \\ 1 &= k \\ a &= k \\ &= 1 \\ 2 &= b-1 \\ b &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> 6. Suku banyak f(x) dibagi x−1 sisa 2, dibagi x−2 sisa 7. Suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 10, dibagi x-2 sisa 2. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x) maka berapa sisa pembagian h(x) oleh x²-3x+2? : f(x) dibagi (x-1) sisa 2, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-1) + 2</math> : f(1) = 2 : f(x) dibagi (x-2) sisa 7, maka: : <math>f(x) = H(x) \cdot (x-2) + 7</math> : f(2) = 7 : g(x) dibagi (x-1) sisa 10, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-1) +10</math> : g(1) = 10 : g(x) dibagi (x-2) sisa 2, maka: : <math>g(x) = H(x) \cdot (x-2) + 2</math> : g(2) = 2 Sehingga, akan ditentukan persamaan dari fungsi h(x) untuk menentukan nilai p dan q sebagai berikut: : <math>h(x) = f(x) \cdot g(x)</math> : <math>h(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x^2-3x+2) + px+q</math> : <math>f(x) \cdot g(x) = H(x) \cdot (x-1)(x-2) + px+q</math> Dengan fungsi di atas, maka berlaku: untuk x = 1, maka: : 2 ▪︎ 10 = 0 + p + q : p + q = 20 .... (1) untuk x = 2, maka: : 7 ▪︎ 2 = 0 + 2p + q : 2p + q = 14 .... (2) ​​​​​​​ :Dari persamaan 1 dan 2 adalah p = -6 dan q = 26. :Jadi sisanya adalah -6x+26. 7. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-5x+6) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-2x) + 2x+1</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-2) + 1</math> : f(0) = 1 Bila x = 2 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-2) + 2x+1</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 2(0) + 5</math> : f(2) = 5 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2-3x) + 5x+2</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(0) = P(x) \cdot 0(-3) + 2</math> : f(0) = 2 Bila x = 3 maka : <math>f(x) = P(x) \cdot x(x-3) + 5x+2</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 3(0) + 17</math> : f(3) = 17 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot (3-2)(3-3) + 3a + b</math> : <math>f(3) = P(x) \cdot 1(0) + 3a + b</math> : <math>17 = 0 + 3a + b</math> : <math>3a + b = 17</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x-2)(x-3) + ax + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot (2-2)(2-3) + 2a + b</math> : <math>f(2) = P(x) \cdot 0(-1) + 2a + b</math> : <math>5 = 0 + 2a + b</math> : <math>2a + b = 5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19. :Jadi sisanya adalah 12x-19. 8. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)? : <math>f(x) = P(x) \cdot H(x) + s(x)</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x^2+x-2) + ax + b</math> : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot (x^2+2x) + 2x-5</math> : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 0(2) - 5</math> : f(1) = -5 Bila x = -2 maka : <math>f(x+1) = P(x) \cdot x(x+2) + 2x-5</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot -2(0) - 9</math> : f(-1) = -9 : <math>f(x-1) = P(x) \cdot (x^2+x) + x-9</math> : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> Bila x = 0 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x+1) + x-9</math> : <math>f(-1) = P(x) \cdot 0(1) - 9</math> : f(-1) = -9 Bila x = -1 maka : <math>f(x-1) = P(x) \cdot x(x-1) + x-9</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot -1(0) - 10</math> : f(-2) = -10 : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot (-2+2)(-2-1) - 2a + b</math> : <math>f(-2) = P(x) \cdot 0(-3) - 2a + b</math> : <math>-10 = 0 - 2a + b</math> : <math>-2a + b = -10</math> .... (1) : <math>f(x) = P(x) \cdot (x+2)(x-1) + ax + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot (1+2)(1-1) + a + b</math> : <math>f(1) = P(x) \cdot 3(0) + a + b</math> : <math>-5 = 0 + a + b</math> : <math>a + b = -5</math> .... (2) :Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3. :Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0. 9. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12? : Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9. 10. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61. 11. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut? : Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74. ; Teorema faktor Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0) Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x) Beberapa memungkinkan yang diketahui: * Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1. * Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1. * Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya: : untuk <math>x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2 : untuk <math>4x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0</math>, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 1. Salah satu faktor dari <math>x^3+4x^2-11x-30</math> adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya? : dilihat -30 maka beberapa mungkin faktor sebagai berikut: <math>\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 15 \text{ dan } \pm 30</math> {| class="wikitable" |- | 3 || 1 || 4 || -11 || -30 |- | || 0 || 3 || 21 || 30 |- | || 1 || 7 || 10 || 0 |} : x²+7x+10 = 0 : (x+2)(x+5) = 0 : x = -2 atau x = -5 2. Jika <math>\frac{x^3+4x^2+x+a}{x-1}</math> dapat disederhanakan maka berapa hasil a serta akar-akar lainnya? : untuk mencari a gunakan teorema faktor karena dapat disederhanakan berarti sisa nol yaitu f(x) = 0 : 1³+4(1)²+1+a = 0 : 6+a = 0 \\ : a = -6 \\ : untuk mencari akar-akar lainnya dari x³+4x²+x-6 : x-1 adalah {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || 4 || 1 || -6 |- | || 0 || 1 || 5 || 6 |- | || 1 || 5 || 6 || 0 |} : x²+5x+6 = 0 : (x+2)(x+3) = 0 : x = -2 atau x = -3 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari <math>x^3-2x^2-5x+6=0</math>! apakah salah satu akarnya adalah 1? <math>(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0</math> :: Ya faktorkan tersebut {| class="wikitable" |- | 1 || 1 || -2 || -5 || 6 |- | || 0 || 1 || -1 || -6 |- | || 1 || -1 || -6 || 0 |} : x³-2x²-5x+6 = 0 : (x-1)(x²-x-6) = 0 : (x-1)(x-3)(x+2) = 0 : x = 1, x = 3 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3} == Sifat akar (Teorema Vieta) == Pada persamaan berderajat 3: ax³ + bx² + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3</math> = c/a :Hasil kali 3 akar: x₁.x₂.x₃ = – d/a Pada persamaan berderajat 4: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4 dengan sifat-sifat: :Jumlah 1 akar: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = – b/a :Jumlah 2 akar: <math>x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_4 + x_3 \cdot x_4</math> = c/a :Jumlah 3 akar: <math>x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4</math> = – d/a :Hasil kali 4 akar: x₁.x₂.x₃.x₄ = e/a Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …) ; tambahkan: : dua variabel :: <math>(x^2_1+x^2_2) = (x_1+x_2)(x_1+x_2)-2x_1x_2</math> :: <math>(x^3_1+x^3_2) = (x^2_1+x^2_2)(x_1+x_2)-x_1x_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^4_1+x^4_2) = (x^2_1+x^2_2)(x^2_1+x^2_2)-2x^2_1x^2_2</math> :: <math>(x^5_1+x^5_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^2_1+x^2_2)-x^2_1x^2_2(x_1+x_2)</math> :: <math>(x^6_1+x^6_2) = (x^3_1+x^3_2)(x^3_1+x^3_2)-2x^3_1x^3_2</math> dst : tiga variabel :: <math>x^2_1+x^2_2+x^2_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)²-2(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃) :: <math>x^3_1+x^3_2+x^3_3</math> = (x₁ + x₂ + x₃)³-3(x₁ + x₂ + x₃)(x₁.x₂ + x₁.x₃+x₂.x₃)+3(x₁.x₂.x₃) Contoh: : Diberikan persamaan <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0 </math> dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya! : <math>2x_1 = -x_2-x_3 = -(x_2+x_3)</math> : <math>x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{b}{a}</math> : <math>x_1 - 2x_1 = - \frac{b}{a}</math> : <math>- x_1 = - \frac{-3}{1}</math> : <math> x_1 = -3</math> : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + p = 0</math> : <math>(-3)^3 - 3(-3)^2 - 10(-3) + p = 0</math> : <math>-27 - 27 + 30 + p = 0</math> : <math>p = 24</math> u : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> {| class="wikitable" |- | -3 || 1 || -3 || -10 || 24 |- | || 0 || -3 || 18 || -24 |- | || 1 || -6 || 8 || 0 |} : <math>x^3 - 3x^2 - 10x + 24 = 0</math> : <math>(x + 3)(x^2 - 6x + 8) = 0</math> : <math>(x + 3)(x - 2)(x - 4) = 0</math> : <math>x_1 = -3 \lor x_2 = 2 \lor x_3 = 4</math> == Pembagian istimewa == Ada 3 jenis yaitu: * Jika n adalah bilangan asli maka: : <math>\frac{a^n - b^n}{a - b} = a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + .... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1}</math> * Jika 2n adalah bilangan genap maka: : <math>\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a + b} = a^{2n-1} - a^{2n-2}b + a^{2n-3}b^2 - .... - a^2b^{2n-3} + ab^{2n-2} - b^{2n-1}</math> * Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka: : <math>\frac{a^{2n + 1} + b^{2n + 1}}{a + b} = a^{2n} - a^{2n-1}b + a^{2n-2}b^2 - .... + a^2b^{2n-2} - ab^{2n-1} + b^{2n}</math> == Modulus (mod) == ; Sifat modulus # (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n # ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n # a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n # a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n # Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10 # Teorema euler : <math>a^b \text{ mod } n = a^{b \text{ mod } \pi(n)} \text{ mod } n</math> dengan syarat: :: Didahului sifat nomor 3 :: p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n :: <math>\pi(n) = n \times \frac{p_1-1}{p_1} \times \frac{p_2-1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_k-1}{p_k}</math> # Teorema wilson : (p - 1)! = -1 mod p : (p - 3)! = <math>\frac{p-1}{2}</math> mod p :: p adalah bilangan prima # Teorema kecil fermat : rumus: <math>a^{p-1} = 1 (mod \, p)</math> : p adalah bilangan prima contoh soal # Berapa hasil sisa dari ## 34 dibagi 5 ## 12³ dibagi 7 ## 200 dibagi 13 ## 19⁵ dibagi 9 :jawaban: <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} * 34 \text{ mod } 5 &= (5 \times 6 + 4) \text{ mod } 5 \\ &= 4 \text{ mod } 5 \\ &= 4 \\ * 12^3 \text{ mod } 7 &= (12 \text{ mod } 7)^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } \pi(7))} \text{ mod } 7 \\ &= 5^{(3 \text { mod } 6)} \text{ mod } 7 \\ &= 5^3 \text{ mod } 7 \\ &= 125 \text{ mod } 7 \\ &= 6 \\ * 200 \text{ mod } 13 &= (13 \times 15 + 5) \text{ mod } 13 \\ &= 5 \text{ mod } 13 \\ &= 5 \\ * 19^5 \text{ mod } 9 &= (19 \text{ mod } 9)^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } \pi(9))} \text{ mod } 9 \\ &= 1^{(5 \text { mod } 6)} \text{ mod } 9 \\ &= 1^5 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \text{ mod } 9 \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> == Mencari bilangan == <math>\frac{S (k \cdot P + 1)}{P} = k \cdot S + \frac{S}{P}</math> ;Keterangan: :S = Hasil sisa :k = bilangan bulat :P = Pembagi [[Kategori:Matematika]] [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] pdpqspqn67s5auh2po3qqlb1epla91t 0 27145 121009 114722 2026-10-12T20:07:11Z ~2026-54791-01 44062 /* */ 121009 wikitext text/x-wiki Penggunaan bibit berkualitas menjadi kunci utama dalam menghasilkan tanaman unggul dan produktif. Para ahli pertanian menegaskan bahwa keberhasilan budidaya tanaman sangat ditentukan sejak tahap awal, yakni pemilihan benih atau bibit yang tepat. Bibit yang baik tidak hanya memengaruhi pertumbuhan tanaman, tetapi juga berdampak langsung pada hasil panen, ketahanan terhadap hama, hingga kualitas produksi secara keseluruhan. Bibit Berkualitas Jadi Penentu Utama Keberhasilan Tanaman Dalam praktik pertanian modern, bibit sering disebut sebagai “pondasi utama” dalam proses budidaya. Tanpa bibit unggul, upaya pemupukan, pengairan, hingga perawatan tidak akan memberikan hasil maksimal. Kementerian Pertanian menegaskan bahwa penggunaan benih unggul bersertifikat merupakan salah satu cara meningkatkan produktivitas tanaman secara signifikan. Kualitas benih menjadi faktor penting yang menentukan keberhasilan hasil pertanian. Selain itu, benih berkualitas mampu menghasilkan tanaman yang tumbuh lebih cepat, seragam, serta memiliki daya tahan terhadap penyakit dan kondisi lingkungan tertentu. Ciri-Ciri Bibit Tanaman yang Bagus Agar tanaman dapat tumbuh optimal, petani atau masyarakat perlu memahami kriteria bibit yang baik. Berikut beberapa ciri utama bibit unggul: 1. Daya Tumbuh Tinggi Bibit yang baik memiliki tingkat perkecambahan minimal 80 persen. Artinya, sebagian besar benih mampu tumbuh dengan baik setelah ditanam. 2. Sehat dan Bebas Hama Bibit unggul harus bebas dari penyakit, jamur, maupun hama. Bibit yang sehat akan menghasilkan tanaman yang kuat dan produktif. 3. Seragam dan Berkualitas Secara Fisik Bibit berkualitas memiliki ukuran yang seragam, tidak cacat, serta bersih dari kotoran atau campuran varietas lain. 4. Asal Usul Jelas dan Bersertifikat Bibit unggul berasal dari indukan yang jelas dan telah melalui proses sertifikasi. Hal ini menjamin mutu genetik serta kualitas produksi tanaman. 5. Tahan terhadap Lingkungan dan Penyakit Bibit unggul umumnya lebih adaptif terhadap kondisi lingkungan serta memiliki ketahanan terhadap penyakit tertentu, sehingga risiko gagal panen lebih kecil. Pentingnya Memilih Bibit dari Sumber Terpercaya Selain memperhatikan ciri fisik dan kualitas, pemilihan sumber bibit juga tidak kalah penting. Bibit sebaiknya dibeli dari produsen atau penjual terpercaya yang memiliki reputasi baik dalam menyediakan benih unggulan. Bibit yang tidak jelas asal-usulnya berisiko rendah daya tumbuh, mudah terserang penyakit, bahkan dapat menyebabkan kerugian bagi petani. Dampak Penggunaan Bibit Unggul Penggunaan bibit unggul terbukti memberikan banyak keuntungan, antara lain: Meningkatkan hasil panen hingga lebih optimal Mengurangi risiko serangan hama dan penyakit Mempercepat masa panen Menghasilkan tanaman yang seragam dan berkualitas tinggi Dengan demikian, penggunaan bibit yang bagus bukan sekadar pilihan, melainkan kebutuhan utama dalam budidaya tanaman modern. Kesimpulan Agar tanaman unggul dan produktif, penggunaan bibit berkualitas adalah langkah pertama yang tidak boleh diabaikan. Bibit yang baik akan menentukan keberhasilan seluruh proses budidaya, mulai dari pertumbuhan hingga hasil panen. Petani dan masyarakat diimbau untuk lebih selektif dalam memilih bibit, serta memastikan benih yang digunakan telah memenuhi standar mutu dan berasal dari sumber terpercaya. qqufflszj4zwgyvzarwy9ow9gv8ornf 121010 121009 2026-10-12T20:09:44Z ~2026-54791-01 44062 121010 wikitext text/x-wiki Penggunaan bibit berkualitas menjadi kunci utama dalam menghasilkan tanaman unggul dan produktif. Para ahli pertanian menegaskan bahwa keberhasilan budidaya tanaman sangat ditentukan sejak tahap awal, yakni pemilihan benih atau bibit yang tepat. Bibit yang baik tidak hanya memengaruhi pertumbuhan tanaman, tetapi juga berdampak langsung pada hasil panen, ketahanan terhadap hama, hingga kualitas produksi secara keseluruhan. Bibit Berkualitas Jadi Penentu Utama Keberhasilan Tanaman Dalam praktik pertanian modern, bibit sering disebut sebagai “pondasi utama” dalam proses budidaya. Tanpa bibit unggul, upaya pemupukan, pengairan, hingga perawatan tidak akan memberikan hasil maksimal. Kementerian Pertanian menegaskan bahwa penggunaan benih unggul bersertifikat merupakan salah satu cara meningkatkan produktivitas tanaman secara signifikan. Kualitas benih menjadi faktor penting yang menentukan keberhasilan hasil pertanian. Selain itu, benih berkualitas mampu menghasilkan tanaman yang tumbuh lebih cepat, seragam, serta memiliki daya tahan terhadap penyakit dan kondisi lingkungan tertentu. Ciri-Ciri Bibit Tanaman yang Bagus Agar tanaman dapat tumbuh optimal, petani atau masyarakat perlu memahami kriteria bibit yang baik. Berikut beberapa ciri utama bibit unggul: 1. Daya Tumbuh Tinggi Bibit yang baik memiliki tingkat perkecambahan minimal 80 persen. Artinya, sebagian besar benih mampu tumbuh dengan baik setelah ditanam. 2. Sehat dan Bebas Hama Bibit unggul harus bebas dari penyakit, jamur, maupun hama. Bibit yang sehat akan menghasilkan tanaman yang kuat dan produktif. 3. Seragam dan Berkualitas Secara Fisik Bibit berkualitas memiliki ukuran yang seragam, tidak cacat, serta bersih dari kotoran atau campuran varietas lain. 4. Asal Usul Jelas dan Bersertifikat Bibit unggul berasal dari indukan yang jelas dan telah melalui proses sertifikasi. Hal ini menjamin mutu genetik serta kualitas produksi tanaman. 5. Tahan terhadap Lingkungan dan Penyakit Bibit unggul umumnya lebih adaptif terhadap kondisi lingkungan serta memiliki ketahanan terhadap penyakit tertentu, sehingga risiko gagal panen lebih kecil. Pentingnya Memilih Bibit dari Sumber Terpercaya Selain memperhatikan ciri fisik dan kualitas, pemilihan sumber bibit juga tidak kalah penting. Bibit sebaiknya dibeli dari produsen atau penjual terpercaya yang memiliki reputasi baik dalam menyediakan benih unggulan. Bibit yang tidak jelas asal-usulnya berisiko rendah daya tumbuh, mudah terserang penyakit, bahkan dapat menyebabkan kerugian bagi petani. Dampak Penggunaan Bibit Unggul Penggunaan bibit unggul terbukti memberikan banyak keuntungan, antara lain: Meningkatkan hasil panen hingga lebih optimal Mengurangi risiko serangan hama dan penyakit Mempercepat masa panen Menghasilkan tanaman yang seragam dan berkualitas tinggi Dengan demikian, penggunaan bibit yang bagus bukan sekadar pilihan, melainkan kebutuhan utama dalam budidaya tanaman modern. Kesimpulan Agar tanaman unggul dan produktif, penggunaan bibit berkualitas adalah langkah pertama yang tidak boleh diabaikan. Bibit yang baik akan menentukan keberhasilan seluruh proses budidaya, mulai dari pertumbuhan hingga hasil panen. Petani dan masyarakat diimbau untuk lebih selektif dalam memilih bibit, serta memastikan benih yang digunakan telah memenuhi standar mutu dan berasal dari sumber terpercaya. [https://bungko.id Bungko News] 5ty64egs5cxjbi6132fobryidrph8ek 0 27146 121007 114724 2026-10-12T19:34:55Z ~2026-54791-01 44062 /* Referensi: */ Perbaikan URL 121007 wikitext text/x-wiki === Sejarah : === Desa Bungko didirikan pada tahun 1911 sebagai sebuah perdukuhan. Wilayah awalnya terdiri dari lahan yang berbukit-bukit. Penduduk dari perdukuhan lain kemudian menambah jumlah penduduk di Dukuh Bungko. Mereka berasal dari Dukuh Tabang, Dukuh Kopandakan dan Dukuh Matali. Setelah itu, Desa Bungko mulai dibentuk dengan sangadi pertama bernama Babuyongki Makalalag. Ia menerintah sejak tahun 1911 hingga tahun 1914. Nama Desa Bungko berarti bukit dalam bahasa Mongondow. Pembentukan Desa Bungko secara resmi diadakan pada tahun 2011. Luas wilayah Desa Bungko dalam wilayah Indonesia ketika dibentuk adalah 7,25 km2. Sebuah tugu dibangun dekat lapangan sepak bola untuk memperingati seabad pembentukan Desa Bungko. === Penduduk : === Pada tahun 2011, jumlah penduduk Desa Bungko sebanyak 1.506 jiwa. Sebanyak 681 jiwa adalah laki-laki dan sebanyak 825 jiwa adalah perempuan. === Pemerintahan: === Sejak Desa Bungko didirikan, terdapat 33 kepala desa atau sangadi yang memerintah. Nama-namanya yakni: {| class="wikitable sortable" |- ! No !! Nama !! Jabatan !! Periode !! Status Desa |- | 1 || Babuyongki Makalalag || Sangadi || 1911–1914 || Definitif |- | 2 || Uyun Tungkagi || Sangadi || 1914–1918 || Definitif |- | 3 || Pajwa Hasan || Sangadi || 1918–1922 || Definitif |- | 4 || Djuani Mokoagow || Sangadi || 1922–1925 || Definitif |- | 5 || Sai Paputungan || Sangadi || 1925–1929 || Definitif |- | 6 || Tompujud Paputungan || Sangadi || 1929–1932 || Definitif |- | 7 || Antena Mamonto || Sangadi || 1932–1938 || Definitif |- | 8 || Losik Lobud || Sangadi || 1938–1940 || Definitif |- | 9 || Paka Sugeha || Sangadi || 1940–1942 || Definitif |- | 10 || Hein Mangkat || Sangadi || 1942–1944 || Definitif |- | 11 || Arsyad Damopolii || Sangadi || 1944–1946 || Definitif |- | 12 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1946–1948 || Definitif |- | 13 || Simong Paputungan || Sangadi || 1948–1949 || Definitif |- | 14 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1949–1951 || Definitif |- | 15 || Andup T. Mokolindat || Sangadi || 1951–1953 || Definitif |- | 16 || Paulus Balompampung || Sangadi || 1953–1956 || Definitif |- | 17 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1956–1958 || Definitif |- | 18 || Laute Linu || Sangadi || 1958–1959 || Definitif |- | 19 || Karel B. Dandi || Sangadi || 1959–1961 || Definitif |- | 20 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1961–1977 || Definitif |- | 21 || Awad Tungkagi || Sangadi || 1977–1996 || Definitif |- | 22 || Djana Paputungan || Sangadi || 1996–1999 || Definitif |- | 23 || Awad Tungkagi || Sangadi || 1999–2007 || Definitif |- | 24 || Syawal K. Dandi || Sangadi || 2007–2008 || Penjabat |- | 25 || Asral Impe || Sangadi || 2008–2009 || Penjabat |- | 26 || Saprudin Paputungan || Sangadi || 2009–2015 || Definitif |- | 27 || Drs. Gunawan Ponamon || Sangadi || 2015–2015 || Plh |- | 28 || Syawal K. Dandi || Sangadi || 2015–2019 || Definitif |- | 29 || Fikky Agustian Potabuga || Sangadi || 2019–2019 || Plh |- | 30 || Hi. Halid Makalalag || Sangadi || 2019–2019 || Penjabat |- | 31 || Kautsar Muri Gonibala, SE || Sangadi || 2020–2021 || Definitif |- | 32 || Saprudin Paputungan, S.Pd || Sangadi || 2022–2022 || Penjabat |- | 33 || Aminulah Paputungan || Sangadi || 2022–Sekarang || Definitif |} === Referensi: === * [https://desa.bungko.id/sejarah/ Profil Sejarah Desa Bungko - Bungko.id] a65vnebjzi3l8bq33o37q7knuuyo4be 121008 121007 2026-10-12T19:39:08Z ~2026-54791-01 44062 /* Referensi: */ Penambahan official website 121008 wikitext text/x-wiki === Sejarah : === Desa Bungko didirikan pada tahun 1911 sebagai sebuah perdukuhan. Wilayah awalnya terdiri dari lahan yang berbukit-bukit. Penduduk dari perdukuhan lain kemudian menambah jumlah penduduk di Dukuh Bungko. Mereka berasal dari Dukuh Tabang, Dukuh Kopandakan dan Dukuh Matali. Setelah itu, Desa Bungko mulai dibentuk dengan sangadi pertama bernama Babuyongki Makalalag. Ia menerintah sejak tahun 1911 hingga tahun 1914. Nama Desa Bungko berarti bukit dalam bahasa Mongondow. Pembentukan Desa Bungko secara resmi diadakan pada tahun 2011. Luas wilayah Desa Bungko dalam wilayah Indonesia ketika dibentuk adalah 7,25 km2. Sebuah tugu dibangun dekat lapangan sepak bola untuk memperingati seabad pembentukan Desa Bungko. === Penduduk : === Pada tahun 2011, jumlah penduduk Desa Bungko sebanyak 1.506 jiwa. Sebanyak 681 jiwa adalah laki-laki dan sebanyak 825 jiwa adalah perempuan. === Pemerintahan: === Sejak Desa Bungko didirikan, terdapat 33 kepala desa atau sangadi yang memerintah. Nama-namanya yakni: {| class="wikitable sortable" |- ! No !! Nama !! Jabatan !! Periode !! Status Desa |- | 1 || Babuyongki Makalalag || Sangadi || 1911–1914 || Definitif |- | 2 || Uyun Tungkagi || Sangadi || 1914–1918 || Definitif |- | 3 || Pajwa Hasan || Sangadi || 1918–1922 || Definitif |- | 4 || Djuani Mokoagow || Sangadi || 1922–1925 || Definitif |- | 5 || Sai Paputungan || Sangadi || 1925–1929 || Definitif |- | 6 || Tompujud Paputungan || Sangadi || 1929–1932 || Definitif |- | 7 || Antena Mamonto || Sangadi || 1932–1938 || Definitif |- | 8 || Losik Lobud || Sangadi || 1938–1940 || Definitif |- | 9 || Paka Sugeha || Sangadi || 1940–1942 || Definitif |- | 10 || Hein Mangkat || Sangadi || 1942–1944 || Definitif |- | 11 || Arsyad Damopolii || Sangadi || 1944–1946 || Definitif |- | 12 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1946–1948 || Definitif |- | 13 || Simong Paputungan || Sangadi || 1948–1949 || Definitif |- | 14 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1949–1951 || Definitif |- | 15 || Andup T. Mokolindat || Sangadi || 1951–1953 || Definitif |- | 16 || Paulus Balompampung || Sangadi || 1953–1956 || Definitif |- | 17 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1956–1958 || Definitif |- | 18 || Laute Linu || Sangadi || 1958–1959 || Definitif |- | 19 || Karel B. Dandi || Sangadi || 1959–1961 || Definitif |- | 20 || Hi. Tome Gonibala || Sangadi || 1961–1977 || Definitif |- | 21 || Awad Tungkagi || Sangadi || 1977–1996 || Definitif |- | 22 || Djana Paputungan || Sangadi || 1996–1999 || Definitif |- | 23 || Awad Tungkagi || Sangadi || 1999–2007 || Definitif |- | 24 || Syawal K. Dandi || Sangadi || 2007–2008 || Penjabat |- | 25 || Asral Impe || Sangadi || 2008–2009 || Penjabat |- | 26 || Saprudin Paputungan || Sangadi || 2009–2015 || Definitif |- | 27 || Drs. Gunawan Ponamon || Sangadi || 2015–2015 || Plh |- | 28 || Syawal K. Dandi || Sangadi || 2015–2019 || Definitif |- | 29 || Fikky Agustian Potabuga || Sangadi || 2019–2019 || Plh |- | 30 || Hi. Halid Makalalag || Sangadi || 2019–2019 || Penjabat |- | 31 || Kautsar Muri Gonibala, SE || Sangadi || 2020–2021 || Definitif |- | 32 || Saprudin Paputungan, S.Pd || Sangadi || 2022–2022 || Penjabat |- | 33 || Aminulah Paputungan || Sangadi || 2022–Sekarang || Definitif |} === Referensi: === * [https://desa.bungko.id/sejarah/ Profil Sejarah Desa Bungko - Bungko.id] * [https://desa.bungko.id/ Website Resmi Desa Bungko] i41jpidiq5tf00yn5jzcyex3riadmpb