Wikibuku idwikibooks https://id.wikibooks.org/wiki/Halaman_Utama MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Media Istimewa Pembicaraan Pengguna Pembicaraan Pengguna Wikibuku Pembicaraan Wikibuku Berkas Pembicaraan Berkas MediaWiki Pembicaraan MediaWiki Templat Pembicaraan Templat Bantuan Pembicaraan Bantuan Kategori Pembicaraan Kategori Resep Pembicaraan Resep Wisata Pembicaraan Wisata TimedText TimedText talk Modul Pembicaraan Modul Acara Pembicaraan Acara 0 5008 121402 65962 2026-10-20T07:42:01Z Antya Anantari 30065 dikota > di kota 121402 wikitext text/x-wiki {{Manajemen lalu lintas}} [[Berkas:ArlingtonTODimage3.jpg|thumb|300px|Pandangan ''aerial'' dari Koridor Rosslyn-Ballston di Arlington County, Virginia]].Transit oriented development atau disingkat menjadi TOD merupakan salah satu pendekatan pengembangan kota yang mengadopsi tata ruang campuran dan maksimalisasi penggunaan angkutan massal seperti Busway/BRT, Kereta api kota (MRT), Kereta api ringan (LRT), serta dilengkapi jaringan pejalan kaki/sepeda. Dengan demikian perjalanan/trip akan didominasi dengan menggunakan angkutan umum yang terhubungkan langsung dengan tujuan perjalanan. Tempat perhentian angkutan umum mempunyai kepadatan yang relatif tinggi dan biasanya dilengkapi dengan fasilitas parkir, khususnya parkir sepeda. Pengembangan TOD sangat maju dan telah menjadi tren di kota-kota besar khususnya di kawasan kota baru yang besar seperti Tokyo di Jepang, Seoul di Korea, Hongkong, Singapura, yang memanfaatkan kereta api kota serta beberapa kota di Amerika Serikat dan Eropah. ==Kaitan TOD dengan angkutan Massal== TOD harus ditempatkan<ref>City of San Diego, Transit Oriented Development Design Gidelines, San Diego, 1992</ref>: # Pada jaringan utama angkutan massal # Pada koridur jaringan bus/ BRT dengan frekuensi tinggi # Pada jaringan penmpan bus yang waktu tempuhnya kurang dari 10 menit dari jaringan utama angkutan massal. Kalau persyaratan diatas tidak dipenuhi oleh suatu kawasan maka perlu diambil langkah untuk menghubungkan dengan angkutan massal, disamping itu yang juga perlu menjadi pertimbangan adalah frekuensi angkutan umum yang tinggi. ==Ciri Tata Ruang TOD== Ada beberapa ciri tata ruang campuran yang bisa dicapai dengan mudah cukup berjalan kaki atau bersepeda. Beberapa ciri penting yang akan terjadi dalam pengembangan TOD<ref>Transit-Oriented Development Guidebook, Neighborhood Planning & Zoning Department, City of Austin, 2006</ref> yaitu: # Penggunaan ruang campuran yang terdiri dari pemukiman, perkantoran, serta fasilitas pendukung, # Kepadatan penduduk yang tinggi yang ditandai dengan bangunan apartemen, condominium # Tersedia fasilitas perbelanjaan # Fasilitas kesehatan, # Fasilitas pendidikan # Fasilitas hiburan # Fasilitas olahraga # Fasilitas Perbankan ==Pengurangan ketergantungan terhadap kendaraan pribadi== Ketergantungan terhadap kendaraan pribadi cenderung meningkat di kota-kota besar Indonesia, pilihan moda pribadi telah meningkat menjadi 80 persenan, yang kalau dilihat kembali kondisi tahun 1980an angkanya masih berkisar 50-50 di Jakarta. Hal ini akan berdampak negatif terhadap lingkungan. Berdasarkan penerapan TOD di beberapa kota besar menunjukkan penurunan ketergantungan terhadap kendaraan pribadi, karena adanya pilihan yang cepat, murah dan mudah mencapai tujuan hanya dengan berjalan kaki, menggunakan angkutan umum, Masyarakat tidak perlu repot mencari tempat parkir, membayar biaya parkir yang tinggi, biaya operasi yang tinggi pula. ==Penerapan TOD pada projek MRT Jakarta== Pada tahun 2015 Jakarta akan memiliki jalur MRT modern pertama yang akan menggunakan pendekatan memaksimalkan pemanfaatan lahan disekitar stasiun untuk pengembangan properti dengan kepadatan tinggi. Pemerintah provinsi DKI Jakarta<ref>[http://properti.kompas.com/read/2010/05/21/09193186/12.Stasiun.Bawah.Tanah.Gunakan.Konsep.TOD 12 Stasiun Bawah Tanah Gunakan Konsep TOD]</ref> akan mengedepankan konsep pengembangan berorientasi transit atau transit oriented development atau TOD. Terutama dalam pembangunan 12 stasiun KABT tahap pertama dengan rute Lebak Bulus–Dukuh Atas. Namun, klasifikasi 12 stasiun itu masing-masing tetap berbeda. Dari 12 stasiun itu, lima di antaranya akan dijadikan TOD maksimum, yakni Stasiun Lebak Bulus, Fatmawati, Cipete, Blok M dan Stasiun Dukuh Atas. Kemudian tiga stasiun, yakni Senayan, Istora dan Bendungan Hilir akan dikembangkan dengan pola TOD medium, yakni konsep pengembangan medium. Sedangkan empat stasiun lainnya, yakni Haji Nawi, Blok A, Sisinga Mangaraja dan Setiabudi akan dikembangkan dengan konsep TOD minimum. ==Referensi== {{Reflist}} 7wv9igci2bdb6fhk7y4zlblqrk1al6f 0 5655 121409 113034 2026-10-20T10:59:06Z ~2026-55886-03 44100 121409 wikitext text/x-wiki ASAL USUL SURABAYA Dahulu kala di sebelah utara Jawa Timur hiduplah seekor buaya raksasa yang ganas dan menyeramkan ,dia adalah penguasa sungai dan menjadi pemangsa yang sangat di takuti oleh semua binatang di hutan sepanjang tepian di sungai, nama buaya itu adalah '''Baya''', dia sangat pandai berburu sehingga membuat takut semua binatang di hutan. Sungai yang didiami '''Baya''' itu bermuara pada laut yang luas, di laut itu tinggallah seekor hiu ganas yang bernama '''Sura''', dialah penguasa laut yang di takuti semua ikan. Akan tetapi '''Sura''' merasa bosan hanya memakan ikan setiap hari. Suatu hari '''Sura''' pergi memburu di sungai dan menyantap anak kijang, '''Sura''' menjadi ketagihan, keesokan harinya ia berburu kembali di sungai itu dan mendapat banyak santapan. Semakin hari '''Baya''' menjadi curiga karena sulit untuk mencari mangsa, dia pun menyelidiki penyebabnya. Saat melihat '''Sura''' yang sedang menangkap seekor anak monyet berenang di sungai, '''Baya''' marah. "Hei '''Sura''' apa yang kau lakukan disini? Ini daerah kekuasaanku beraninya kamu merebut jatah makanan ku di sungai ini."ujar '''Baya''' yang marah kepada '''Sura''', '''Sura''' pun tidak takut sama sekali kepada baya dia malah menantang '''Baya''' "Terserah aku mau mencari makan dimana, ini kan bukan daerah kekuasaan mu, jadi semua binatang bebas mencari makanan di sini, di sungai ini." Akhirnya perkelahian pun tidak dapat di cegah keduanya saling bertarung karena sama-sama kuat. Pertarungan tersebut terus berlangsung berhari-hari lamanya sampai semua binatang di hutan pun ikut terganggu dengan perkelahian dua hewan buas tersebut, mereka tidak bisa tidur dan tak tenang. Akhirnya kedua binatang buas itu pun kelelahan tak ada yang menang dan tak ada yang kalah sebab keduanya sama sama kuat. "'''Sura''' sebaiknya kita sudahi saja perkelahian ini, aku sudah lelah." "Aku juga '''Baya'''." "Baiklah kita sudahi saja pertempuran ini." "Mulai sekarang kita batasi saja daerah perburuan kita. Muara itu adalah batasnya, jangan sampai kamu melanggar batasnya '''Sura''', karena kamu akan merasakan sendiri akibatnya." "Baiklah '''Baya''' aku terima perjanjian ini." '''Sura''' pun akhirnya pergi dari sungai itu dan kembali ke laut. Berbulan-bulan lamanya, hutan menjadi tenang kembali, tak ada perkelahian antara '''Sura''' dan '''Baya''' lagi, namun '''Sura''' merasa gelisah, dia rindu makan daging kijang seperti dulu. Ikan-ikan yang melimpah di laut tak bisa menyembuhkan rasa laparnya, dia tak mampu menahannya. Diam-diam dia berenang di muara, namun sayangnya tak ada mangsa yang mendekat ke muara '''Sura''' bosan menunggu, akhirnya dia berenang masuk ke dalam hutan. '''Sura''' senang bisa kembali ke hutan lagi, kali ini dia harus berhati-hati supaya tidak ketahuan oleh '''Baya'''. Berbulan-bulan lamanya '''Sura''' berburu di sungai tanpa ketahuan, lama-lama baya menjadi curiga, sebab lagi-lagi mangsanya berkurang meski dia tak melihat '''Sura''' di sungai ini, tapi dia yakin ini ulah '''Sura''', kemudian '''Baya''' menyiapkan rencana, '''Baya''' sengaja menangkap seekor kijang. Dia melukai kaki kijang itu agar tak bisa lari, kijang itu di letakkan di pinggir sungai, lalu '''Baya''' bersembunyi. '''Sura''' yang berenang di sungai melihat kijang yang terluka itu, hatinya gembira sebab kijang itu gemuk, ketika dia hendak membawa kijang itu ke laut tiba tiba-tiba '''Baya''' datang menghadangnya, "Hei, kamu ini memang bandar dan tak tahu malu '''Sura''', serakah sekali kamu, bayangkan ikan-ikan di lautmu melimpah tapi kamu malah berburu ditempat ku" ujar '''Baya''' yang mengetahui '''Sura''' yang mengambil seekor kijang tersebut. "Hei '''Baya''' kalau kau mau kau bisa saja berburu ikan di laut, aku tidak melarang mu.", "Halah, mana doyan aku dengan ikan, apalagi aku tak tahan dengan air laut." "Yasudah kalau kau tidak mau, yang penting aku sudah menawarkan kepadamu", '''Sura''' dengan enteng menjawab lalu bersiap menyeret kijang itu ke laut, '''Baya''' semakin marah lalu menyerang '''Sura'''. "Hei mau kau bawa kemana kijang itu?", "Ya ke laut lah, akan ku bakar disana", bawa kesini kijang nya, tadi aku menangkapnya hanya untuk menjebak mu.", "Enak saja, salah sendiri kamu tidak langsung memakan kijang nya." Karena tidak ada yang mau mengalah, maka pertempuran sengit antara Ikan Hiu '''Sura''' dan Buaya '''Baya''' terjadi lagi. Pertarungan kali ini semakin seru dan dahsyat. Saling menerjang dan menerkam, saling menggigit dan memukul. Dalam waktu sekejap, air disekitarnya menjadi merah oleh darah yang keluar dari luka-luka kedua binatang tersebut. Mereka terus bertarung mati-matian tanpa istirahat sama sekali. Dalam pertarungan dahsyat ini, '''Baya''' terkena gigitan '''Sura''' di pangkal ekornya sebelah kanan. Selanjutnya, ekor itu terpaksa selalu membengkok ke kiri. Sementara '''Sura''' juga tergigit ekornya hingga hampir putus, lalu '''Sura''' kembali ke lautan. '''Baya''' puas telah dapat mempertahankan daerahnya. prdd6f24jwm9ibb38hnxblgrxc7sxm5 10 5910 121405 100887 2026-10-20T08:44:17Z Bennylin 425 121405 wikitext text/x-wiki <noinclude>Anda dapat melihat daftar buku bagus di [[Wikibuku:Buku bagus]] </noinclude><includeonly>{{Buku bagus/{{select parameter|n={{{n}}}</includeonly> |100 Hari |12 Tugas |Agama Jermanik |Agama Mesir Kuno |Agama Romawi Kuno |Aku Ingin Menjadi yang Terbaik Untukmu, Bukan yang Tercantik Bagimu |Argonaut |Argos-Thebes |Armenia yang Terampas |Arsitektur Romawi |Arsitektur Yunani Kuno |Astronomi Yunani Kuno |Bahasa Indonesia |Bizantium |Cerita Dubes Morgenthau |Daniel cs |Dewa Britania |Dewa Galia |Dewa Iberia |Dewa Minor Yunani |Dewa Olimpus |Dukaku Tempat Kudus-Mu |Dunia Bawah |Ekonomi Yunani Kuno |Electric-Man |Filsafat Romawi |Filsafat Yunani Kuno |Gajah Kecil Mengunjungi Peternakan |Gajah Kecil Merayakan Natal |Gajah Kecil Pergi Berpiknik |Gereja-gereja Yunani dan Timur |Habis Gelap Terbitlah Terang |Herakles |Hiburan Romawi Kuno |IPTEK Abad Pertengahan |IPTEK Romawi |IPTEK Yunani Kuno |Jermanik Kuno |Kastil |Kentaur |Kisah Cinta Yunani |Kisah Hukuman Yunani |Kuda Putih |Kuliner Romawi |Lingkungan Mesir Kuno |Lukisan Yunani Kuno |Makhluk Mitologi Yunani |Manajemen Angkutan Sungai Danau dan Penyeberangan |Manajemen lalu lintas |Masyarakat Mesir Kuno |Masyarakat Romawi |Matematika Yunani Kuno |Mendapatkan-Mu Dalam Kehilanganku |Militer di Yunani Kuno |Mitologi Jermanik |Mitologi Etruska |Mitologi Romawi |Mitologi Thrakia |Mitologi Yunani |Moda Transportasi |Monster Nordik |Mengenal Psikologi Humanistik |Naga |Natal |Odisseya |Paskah |Patung Yunani Kuno |Pelayaran di Yunani Kuno |Pelayaran Sungai dan Danau |Pemerintahan Yunani Kuno |Perang Peloponnesos |Perang Salib |Perang Troya |Perang Yunani-Persia |Perburuan Babi Kalidon |Perseus |Perumpamaan Yesus |Petarung Perkasa |Profil Becak di Indonesia |Protogenoi |Raksasa Nordik |Rekayasa Lalu Lintas |Romawi Kuno |Sastra Jermanik |Sastra Romawi |Sastra Yunani Kuno |Sejarah Abad Pertengahan |Sejarah Abad Pertengahan Awal |Sejarah Abad Pertengahan Tinggi |Sejarah Abad Pertengahan Akhir |Sejarah Asia Tengah Pra-1500 |Sejarah India Kuno |Sejarah Islam Abad Pertengahan |Sejarah Jermanik |Sejarah Mesir Kuno |Sejarah Romawi |Seni Yunani Kuno |Tembikar Yunani Kuno |Theseus |Titan |Yunani Kuno <includeonly>}}}}</includeonly> mzm7joikndn5bx22s02d1h0va41g3c1 0 19819 121412 78205 2026-10-20T11:10:33Z ~2026-55886-03 44100 /* */ 121412 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == Dahulu kala di sebuah tempat berdirilah kerajaan Daha yang dipimpin oleh seorang raja. Ia memiliki seorang putri bernama Dewi Galuh Candra Kirana. Tutur katanya lemah-lembut, parasnya cantik jelita. Belum lama Candra Kirana dipertunangkan dengan Raden Inu Kertapati, putra mahkota Kerajaan Kahuripan. Inu Kertapati seorang pemuda tampan serta bijaksana. Cocok sebagai pasangan Candra Kirana. Kebanyakan orang ikut bergembira menyambut pertunangan langka tersebut. Namun, tidak demikian dengan Galuh Ajeng. Gadis yang juga berdarah biru serta mempunyai hubungan dekat dengan Candra Kirana itu merasa cemburu. Hal itu disebabkan karena ia juga bercita-cita menjadi istri dari Raden Inu Kertapati. Ia bergumam dalam hati bahwa ia harus berusaha menggagalkan pernikahan mereka. Guna mendukung rencana jahatnya tersebut, Galuh Ajeng lalu menemui seorang nenek sihir. Ia meminta agar ilmu sihirnya yang jahat dapat mencelakakan Dewi Candra Kirana. Di samping itu, Galuh Ajeng juga menyebarkan fitnah atas diri Candra Kirana. Konon, Baginda Raja Daha terkena pengaruh ulah keji Galuh Ajeng. Hingga akhirnya ia tidak segan-segan mengusir Candra Kirana dari istana. Bahwa Candra Kirana adalah anak kandungnya sendiri, nampaknya tidak lagi menjadi pertimbangan sang Raja. Sejak itu Dewi Candra Kirana hidup terlunta-lunta. Putri yang malang itu berjalan tak tentu arah tujuannya. Hingga pada suatu saat ia tiba di sebuah pantai. Di sini, oleh karena kutukan tukang sihir jahat, sang putri lalu berubah menjadi seekor keong dengan warna cangkang keemas-emasan. Lidah ombak yang menjilat pantai, kemudian menghanyutkan keong emas tersebut ke laut. Keong emas terbawa ombak, terombang-ambing, hingga akhirnya terdampar di sisi pantai yang lain. Sebuah pantai yang terletak tidak jauh dari sebuah desa yang dinamakan Dadapan. Di desa Dadapan tinggal seorang nenek pencari ikan. Pada suatu hari ketika si nenek melakukan pekerjaannya ia menemukan keong emas. Nenek tersebut tampak gembira dan berkata alangkah cantiknya keong temuannya itu sambil mengamati keong emas yang tergolek di atas hamparan pasir putih. Nenek tersebut berencana untuk membawanya pulang dan hendak dipeliharanya. Ia kemudian menyimpan keong aneh itu dalam sebuah tempayan. Beberapa hari berlalu. Suatu hari, seperti biasa, Nenek Dadapan berangkat ke pantai mencari ikan. Namun agaknya hari itu nasibnya sedang sial. Ia mengeluhkan diri karena tak satupun ikan yang berhasil didapatnya. Dengan tangan hampa, Nenek Dadapan pun pulang ke gubuknya yang reyot. Sesampainya di rumah, Nenek Dadapan merasa terheran-heran. Betapa tidak? Di atas balai-balai dilihatnya aneka makanan yang lezat-lezat. Nampaknya makanan itu belum lama dimasak. Karena perutnya sangat lapar, Nenek tidak berpikir lebih lama lagi. Langsung saja disikatnya makanan itu. Baru sesudah itu si Nenek termenung memikirkan peristiwa aneh yang dialaminya. Nennek tersebut kemudian memikirkan siapa yang telah menyiapkan semua masakan tadi. Namun Nenek Dadapan tetap tidak menemukan jawabannya. Pada hari-hari berikutnya, peristiwa itu berulang terus. Tentu saja Nenek menjadi semakin penasaran. Suatu hari ia berpura-pura berangkat ke pantai. Namun, sesudah menempuh beberapa langkah dari rumahnya, ia bergegas kembali. Dengan hati-hati, Nenek lalu bersembunyi. Mengintai ke dalam. Tetapi Nenek tersebut sungguh kaget dengan apa yang disaksikannya, ketika dilihatnya ada asap mengepul dari tempayan tempat keong emas dia simpan. Ia lebih tercengang lagi pada saat dilihatnya seorang putri jelita muncul dari balik asap tadi. Kemudian sang Putri nampak berjalan ke dapur. Di situ ia menghidupkan api, menanak nasi, dan memasak lauk-pauk. Nenek mengikuti gerak-gerik putri ajaib itu dengan cermat. la tidak mengerti bagaimana hal itu dapat terjadi. la juga tidak tahu dari mana bahan-bahan yang dimasak itu berasal. Lama kelamaan karena tak dapat menahan diri, Nenek pun menghambur keluar dari tempat persembunyiannya. Ia kemudian bertanya pada sosok putri tersebut. Putri itu, yang tak lain adalah Dewi Candra Kirana, menoleh terkejut. Ia kemudian memperkenalkan dirinya pada nenek tersebut. Ia juga menjelaskan kenapa dirinya menjadi seekor keong mas karena ulah saudaranya sendiri, yang merasa iri padanya. Saudaranya lalu meminta seorang tukang sihir agar mengutuk dirinya. Pengaruh kutukan ini baru akan hilang jika ia sudah bertemu dengan tunangannya. Setelah berkata demikian, tubuh Candra Kirana berubah menjadi kecil, semakin kecil, hingga akhirnya kembali menjadi keong emas. Nenek Dadapan termenung sesaat sambil bergumam bahwa rasa iri memang menyesatkan. Rasa iri juga bisa membuat orang lain menderita. Kemudian Nenek Dadapan berdoa pada dewata, memohon supaya kutukan yang diderita Dewi Candra Kirana segera berakhir. Sementara itu, Raden Inu Kertapati mendengar tentang nasib Dewi Galuh Candra Kirana. Tentu saja ia tidak tinggal diam. Raden Inu Kertapati lalu menemui Raja Daha guna mengusut perkara itu. Akhirnya ia dapat membuktikan perbuatan keji Galuh Ajeng. Galuh Ajeng dan tukang sihir jahat itu pun langsung dijatuhi hukuman. Kemudian Raden Inu Kertapati berangkat mencari tunangannya. Berbulan-bulan lamanya pemuda itu berkelana, hingga akhirnya ia tiba di desa Dadapan. Panas terik membuat Raden Inu Kertapati kehausan. Saat itu ia melihat sebuah gubuk. la menghampiri gubuk itu sekadar untuk meminta air minum. Pada saat itulah Raden Inu Kertapati melihat Dewi Candra Kirana. Dilihatnya tunangannya melongok keluar pintu gubuk. "Adinda Dewi!" teriak Raden Inu Kertapati dengan rasa girang yang meluap-luap. Rasa haus dan penat tak dirasakannya lagi. Pemuda itu langsung menghambur ke arah kekasihnya! "Oh, Kakanda!" balas Candra Kirana. Terjadilah sebuah perjumpaan yang mengharukan. Dan cinta yang suci di antara kedua insan itu serentak membatalkan kutukan nenek sihir jahat. Candra Kirana tak perlu berubah diri menjadi seekor keong lagi. Candra Kirana lalu mengajak tunangannya masuk ke rumah. Di situ keduanya mengobrol dan menceritakan pengalaman masing-masing. Tak lama kemudian Nenek Dadapan muncul. Candra Kirana memperkenalkan Raden Inu Kertapati kepada nenek yang baik hati itu. Tentu saja Nenek ikut merasa bahagia. Raden Inu Kertapati lalu memboyong tunangannya kembali ke istana. Nenek Dadapan diajaknya pula. Tak lama sesudah itu pernikahan yang langka dilakukan. Pengantinnya ialah Raden Inu Kertapati dan Dewi Candra Kirana. tbkhccuhk87w3hvx10cnofkjkiq2e3u 121413 121412 2026-10-20T11:10:53Z ~2026-55886-03 44100 121413 wikitext text/x-wiki Dahulu kala di sebuah tempat berdirilah kerajaan Daha yang dipimpin oleh seorang raja. Ia memiliki seorang putri bernama Dewi Galuh Candra Kirana. Tutur katanya lemah-lembut, parasnya cantik jelita. Belum lama Candra Kirana dipertunangkan dengan Raden Inu Kertapati, putra mahkota Kerajaan Kahuripan. Inu Kertapati seorang pemuda tampan serta bijaksana. Cocok sebagai pasangan Candra Kirana. Kebanyakan orang ikut bergembira menyambut pertunangan langka tersebut. Namun, tidak demikian dengan Galuh Ajeng. Gadis yang juga berdarah biru serta mempunyai hubungan dekat dengan Candra Kirana itu merasa cemburu. Hal itu disebabkan karena ia juga bercita-cita menjadi istri dari Raden Inu Kertapati. Ia bergumam dalam hati bahwa ia harus berusaha menggagalkan pernikahan mereka. Guna mendukung rencana jahatnya tersebut, Galuh Ajeng lalu menemui seorang nenek sihir. Ia meminta agar ilmu sihirnya yang jahat dapat mencelakakan Dewi Candra Kirana. Di samping itu, Galuh Ajeng juga menyebarkan fitnah atas diri Candra Kirana. Konon, Baginda Raja Daha terkena pengaruh ulah keji Galuh Ajeng. Hingga akhirnya ia tidak segan-segan mengusir Candra Kirana dari istana. Bahwa Candra Kirana adalah anak kandungnya sendiri, nampaknya tidak lagi menjadi pertimbangan sang Raja. Sejak itu Dewi Candra Kirana hidup terlunta-lunta. Putri yang malang itu berjalan tak tentu arah tujuannya. Hingga pada suatu saat ia tiba di sebuah pantai. Di sini, oleh karena kutukan tukang sihir jahat, sang putri lalu berubah menjadi seekor keong dengan warna cangkang keemas-emasan. Lidah ombak yang menjilat pantai, kemudian menghanyutkan keong emas tersebut ke laut. Keong emas terbawa ombak, terombang-ambing, hingga akhirnya terdampar di sisi pantai yang lain. Sebuah pantai yang terletak tidak jauh dari sebuah desa yang dinamakan Dadapan. Di desa Dadapan tinggal seorang nenek pencari ikan. Pada suatu hari ketika si nenek melakukan pekerjaannya ia menemukan keong emas. Nenek tersebut tampak gembira dan berkata alangkah cantiknya keong temuannya itu sambil mengamati keong emas yang tergolek di atas hamparan pasir putih. Nenek tersebut berencana untuk membawanya pulang dan hendak dipeliharanya. Ia kemudian menyimpan keong aneh itu dalam sebuah tempayan. Beberapa hari berlalu. Suatu hari, seperti biasa, Nenek Dadapan berangkat ke pantai mencari ikan. Namun agaknya hari itu nasibnya sedang sial. Ia mengeluhkan diri karena tak satupun ikan yang berhasil didapatnya. Dengan tangan hampa, Nenek Dadapan pun pulang ke gubuknya yang reyot. Sesampainya di rumah, Nenek Dadapan merasa terheran-heran. Betapa tidak? Di atas balai-balai dilihatnya aneka makanan yang lezat-lezat. Nampaknya makanan itu belum lama dimasak. Karena perutnya sangat lapar, Nenek tidak berpikir lebih lama lagi. Langsung saja disikatnya makanan itu. Baru sesudah itu si Nenek termenung memikirkan peristiwa aneh yang dialaminya. Nennek tersebut kemudian memikirkan siapa yang telah menyiapkan semua masakan tadi. Namun Nenek Dadapan tetap tidak menemukan jawabannya. Pada hari-hari berikutnya, peristiwa itu berulang terus. Tentu saja Nenek menjadi semakin penasaran. Suatu hari ia berpura-pura berangkat ke pantai. Namun, sesudah menempuh beberapa langkah dari rumahnya, ia bergegas kembali. Dengan hati-hati, Nenek lalu bersembunyi. Mengintai ke dalam. Tetapi Nenek tersebut sungguh kaget dengan apa yang disaksikannya, ketika dilihatnya ada asap mengepul dari tempayan tempat keong emas dia simpan. Ia lebih tercengang lagi pada saat dilihatnya seorang putri jelita muncul dari balik asap tadi. Kemudian sang Putri nampak berjalan ke dapur. Di situ ia menghidupkan api, menanak nasi, dan memasak lauk-pauk. Nenek mengikuti gerak-gerik putri ajaib itu dengan cermat. la tidak mengerti bagaimana hal itu dapat terjadi. la juga tidak tahu dari mana bahan-bahan yang dimasak itu berasal. Lama kelamaan karena tak dapat menahan diri, Nenek pun menghambur keluar dari tempat persembunyiannya. Ia kemudian bertanya pada sosok putri tersebut. Putri itu, yang tak lain adalah Dewi Candra Kirana, menoleh terkejut. Ia kemudian memperkenalkan dirinya pada nenek tersebut. Ia juga menjelaskan kenapa dirinya menjadi seekor keong mas karena ulah saudaranya sendiri, yang merasa iri padanya. Saudaranya lalu meminta seorang tukang sihir agar mengutuk dirinya. Pengaruh kutukan ini baru akan hilang jika ia sudah bertemu dengan tunangannya. Setelah berkata demikian, tubuh Candra Kirana berubah menjadi kecil, semakin kecil, hingga akhirnya kembali menjadi keong emas. Nenek Dadapan termenung sesaat sambil bergumam bahwa rasa iri memang menyesatkan. Rasa iri juga bisa membuat orang lain menderita. Kemudian Nenek Dadapan berdoa pada dewata, memohon supaya kutukan yang diderita Dewi Candra Kirana segera berakhir. Sementara itu, Raden Inu Kertapati mendengar tentang nasib Dewi Galuh Candra Kirana. Tentu saja ia tidak tinggal diam. Raden Inu Kertapati lalu menemui Raja Daha guna mengusut perkara itu. Akhirnya ia dapat membuktikan perbuatan keji Galuh Ajeng. Galuh Ajeng dan tukang sihir jahat itu pun langsung dijatuhi hukuman. Kemudian Raden Inu Kertapati berangkat mencari tunangannya. Berbulan-bulan lamanya pemuda itu berkelana, hingga akhirnya ia tiba di desa Dadapan. Panas terik membuat Raden Inu Kertapati kehausan. Saat itu ia melihat sebuah gubuk. la menghampiri gubuk itu sekadar untuk meminta air minum. Pada saat itulah Raden Inu Kertapati melihat Dewi Candra Kirana. Dilihatnya tunangannya melongok keluar pintu gubuk. "Adinda Dewi!" teriak Raden Inu Kertapati dengan rasa girang yang meluap-luap. Rasa haus dan penat tak dirasakannya lagi. Pemuda itu langsung menghambur ke arah kekasihnya! "Oh, Kakanda!" balas Candra Kirana. Terjadilah sebuah perjumpaan yang mengharukan. Dan cinta yang suci di antara kedua insan itu serentak membatalkan kutukan nenek sihir jahat. Candra Kirana tak perlu berubah diri menjadi seekor keong lagi. Candra Kirana lalu mengajak tunangannya masuk ke rumah. Di situ keduanya mengobrol dan menceritakan pengalaman masing-masing. Tak lama kemudian Nenek Dadapan muncul. Candra Kirana memperkenalkan Raden Inu Kertapati kepada nenek yang baik hati itu. Tentu saja Nenek ikut merasa bahagia. Raden Inu Kertapati lalu memboyong tunangannya kembali ke istana. Nenek Dadapan diajaknya pula. Tak lama sesudah itu pernikahan yang langka dilakukan. Pengantinnya ialah Raden Inu Kertapati dan Dewi Candra Kirana. 5qiapg6ibbyk3szqb339cs2tbp1k57m 0 19820 121392 111299 2026-10-20T04:43:45Z Kyokoto 44099 121392 wikitext text/x-wiki Pada suatu hari, tinggalah seorang wanita cantik bernama Dewi Candra Kirana. Ia memiliki suami seorang putra mahkota Kerajaan Jenggala, bernama Raden Putra. Raden Putra diusir dari Kerajaan Jenggala karena tidak ingin menggantikan ayahnya menjadi raja. Maka suatu ketika ia pergi tanpa mengajak istrinya. Sehingga istrinya tidak tahu suaminya akan pergi kemana. Suatu hari, Dewi Candra Kirana mencari keberadaan suaminya dengan menyamar menjadi perempuan desa biasa. Dalam perjalanannya, ia bertemu dengan seorang janda kaya. Namanya Mbok Randa Karangwulusan. Ia lalu mengangkat Dewi menjadi anak angkatnya. Si Mbok kemudian mengganti nama Dewi Candra Kirana dengan nama Kleting Kuning. Sebenarnya Si Mbok sudah memiliki tiga anak perempuan. Mereka adalah Kleting Abang, Kleting Wungu dan Kleting Biru. Lalu Dewi Candra Kirana atau Kleting Kuning ini dianggapnya sebagai anak bungsu. Ketiga anak Mbok Randa Karangwulusan tidak menyukai Kleting Kuning. Mereka selalu berperilaku jahat terhadapnya. Mereka iri dengan kecantikkan Kleting Kuning, bahkan mereka memaksa Kleting kuning untuk selalu menggunakan pakaian jelek agar terlihat lusuh seperti pembantu. Selain itu, Mereka selalu memerintahkan Kleting Kuning untuk melakukan pekerjaan rumah tangga seperti, mencuci pakaian, piring, dan membersihkan rumah. Terkadang, mereka meminta Kleting kuning untuk membersihkan hal-hal yang sulit dikerjakan. Tubuh Kleting Kuning menjadi berbau karena ia tidak memiliki kesempatan untuk mengurus dirinya sendiri. Namun Kleting Kuning tidak pernah mengeluhkan apa yang telah saudaranya perbuat. Ia selalu sabar dan ikhlas dan percaya bahwa kesabarannya ini akan membuahkan hasil dikemudian hari. Suatu hari tersiar kabar bahwa di desa Dadapan terdapat seorang pria tampan yang sedang mencari istri. Mbok Randa memerintahkan ketiga anaknya untuk menemui pemuda tampan tersebut. Sementara Kleting Kuning dimintanya agar tetap di rumah. Ketiga anak Mbok Randa kemudian pergi menuju desa Dadapan. Mereka mengenakan pakaian yang paling bagus yang mereka punya. Menuju desa Dadapan tidaklah mudah, Mereka harus melewati sungai luas terlebih dahulu. Tiba-tiba dari pinggir sungai munculah seekor kepiting raksasa, bernama Yayu Kangkang. Ia menawarkan bantuan dengan imbalan berupa permintaan agar ketiga putri Mbok Randa itu bersedia dicium dan mencium Yayu Kangkang. Mendengar hal tersebut, ketiga saudara itu bersedia menerima tawaran Yayu Kangkang, karena bagi mereka yang terpenting adalah dapat menyebrangi sungai lebar itu. Kabar tersiarnya pemuda tampan juga sampai kepada Kleting Kuning. Ia lalu meminta ijin kepada Mbok Randa Karangwulusan. Namun Mbok Randa berkata bahwa Kleting Kuning tidak pantas untuk menemui pemuda tampan tersebut. Bahkan Mbok Randa sempat memarahinya. Namun Kleting Kuning sama sekali tidak sakit hati dengan perkataan Mbok Randa. Ia tetap bersikeras untuk dapat menemui Ande-ande Lumut. Sampai akhirnya Mbok Randa mengijinkan Kleting Kuning pergi. Sama halnya dengan ketiga saudara angkatnya, Kleting Kuning pun ditawari menyebrangi sungai oleh Yayu Kangkang si Kepiting Besar. Kleting Kuning juga bersedia dengan persyaratan yang diberikan oleh Yayu Kangkang. Namun, Kleting Kuning tidaklah kehabisan akal. Sesampainya menyebrangi sungai, Kleting Kuning bergegas menempelkan kotoran ayam yang ia bawa ke pipinya. Hal ini berhasil membuat Yayu Kangkang tidak mau mencium Kleting Kuning karena baunya yang amat menyengat. Sesampainya di desa Dadapan, Kleting Kuning mendapati ketiga kakak angkatnya telah ditolak Ande-Ande lumut. Rupanya Ande-Ande Lumut menolak mereka karena mereka telah dicium oleh Yayu Kangkang. Kleting Kuning terus melanjutkan perjalanannya menuju Ande-ande lumut. Sesampainya di sana, Kleting melihat Ande-ande lumut. Tak disangka Ande-ande lumut menyambut kedatangan Kleting Kuning. Mbok Randa Dadapan sampai berkata bahwa betapa naifnya Ande-ande lumut karena menolak semua wanita cantik dan menerima Kleting Kuning yang kumal dan bau tersebut. Mendengar hal itu, Ande-ande Iumut segera menjawabnya. Ia berkata bahwa ia tidak boleh melihat dari luarnya. Karena Ande-ande lumut meyakini bahwa Kleting Kuning telah menjaga kehormatannya, tidak seperti gadis-gadis yang lain. Ketika itu Kleting Kuning pergi meminta izin untuk membersihkan diri. Betapa kagetnya Ande-ande Lumut ketika melihat Kleting Kuning yang sudah mengenakan pakaian yang layak. Ia menjadi wangi dan kecantikannya terpancar. Kecantikan yang terpancar itu rupanya tidak asing bagi Ande-ande Lumut. Ande-ande Lumut berkata bahwa ia adalah Raden Putra, suaminya Dewi Candra Kirana. Seketika itu semua orang yang melihat tercengang. Begitu juga ketiga saudara angkat Kleting Kuning. Mereka sangat kaget ketika mengetahui kalau Kleting Kuning adalah Dewi Candra Kirana dan Ande-ande Lumut adalah Raden Putra. Dewi Candra Kirana dan Raden Putra amat sangat senang. Mereka akhirnya bertemu satu sama lain. Keduanya lantas hidup sebagai suami istri kembali seperti yang mereka lakukan dahulu di istana Kerajaan Jenggala. ==Versi kedua== Di daerah Jawa Timur ada dua buah kerajaan kembar, yaitu Kerajaan Jenggala yang dipimpin oleh Raja Jayengnegara dan Kerajaan Kediri yang dipimpin oleh Raja Jayengrana. Sesuai dengan pesan Airlangga, Panji Asmarabangun (putra Jayengnegara) dinikahkan dengan Sekartaji (Putri Jayengrana) agar tidak terjadi peperangan di antara kerajaan tersebut. Suatu ketika, Kerajaan Jenggala diserang oleh kerajaan musuh. Putri Dewi Sekartaji melarikan diri ke sebuah desa dan menyamar sebagai gadis kampung. la mengabdi kepada seorang janda kaya bernama Nyai Intan. Nyai ini mempunyai tiga orang putrid, yaitu: Klenting Abang (sulung), Klenting ljo, dan Klenting Biru (bungsu). Oleh Nyai Intan, Dewi Sekartaji diangkat menjadi anak dan diberi nama Klenting Kuning. la diperlakukan tidak baik oleh ketiga kakak angkatnya. Sementara itu, di Kerajaan Jenggala, Panji Asmarabangun bersama pasukannya berhasil mengalahkan pasukan musuh. Setelah itu, sang pangeran berusaha untuk mencari istrinya. Sang pangeran pun memutuskan untuk menyamar menjadi seorang pangeran yang sedang mencari jodoh dengan sayembara. Keesokan harinya, sampailah Panji Asmarabangun dan beberapa pengawalnya di Desa Dadapan. la menyamar dengan nama Ande Ande Lumut dan tinggal di rumah seorang wanita tua bernama Mbok Randa. Ketiga saudara dan ibu angkat Klenting Kuning yang akan mengikuti sayembara sudah sampai di tepi sungai Bengawan Solo. Tidak lama kemudian, datanglah seekor kepiting raksasa yang bernama Yuyu Kangkang. Kepiting itu berjanji akan menyeberangkan dengan syarat: satu per satu dari mereka menciumnya. Persyaratan tersebut akhirnya diterima. Tidak lama kemudian, Klenting Kuning juga tiba di tepi sungai. Ketika Yuyu Kangkang mengajukan persyaratan yang sama, Klenting Kuning menolaknya. la memukulkan cambuknya ke sungai dan seketika itu pula air Sungai Bengawan Solo surut. Ketika sayembara dimulai, pangeran langsung menjatuhkan pilihan pada Klenting Kuning dengan alasan hanya dia yang menolak untuk mencium si Yuyu Kangkang. Saat itu juga, Ande Ande Lumut membongkar penyamarannya, ia adalah Panji Asmarabangun. Dengan cambuk saktinya, Klenting Kuning pun segera mengubah dirinya kembali menjadi Dewi Sekartaji. ==Referensi== * Versi pertama [https://books.google.co.id/books?id=DMn0DwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=id#v=onepage&q&f=false] * Versi kedua [https://books.google.co.id/books?id=cPJqcwuSOUkC&printsec=frontcover&hl=id#v=onepage&q&f=false] p5yv7vyinf9i1xviheawhl3dul7szob 121393 121392 2026-10-20T04:44:58Z Kyokoto 44099 121393 wikitext text/x-wiki Pada suatu hari, tinggalah seorang wanita cantik bernama Dewi Candra Kirana. Ia memiliki suami seorang putra mahkota Kerajaan Jenggala, bernama Raden Putra. Raden Putra diusir dari Kerajaan Jenggala karena tidak ingin menggantikan ayahnya menjadi raja. Maka suatu ketika ia pergi tanpa mengajak istrinya. Sehingga istrinya tidak tahu suaminya akan pergi kemana. Suatu hari, Dewi Candra Kirana mencari keberadaan suaminya dengan menyamar menjadi perempuan desa biasa. Dalam perjalanannya, ia bertemu dengan seorang janda kaya. Namanya Mbok Randa Karangwulusan. Ia lalu mengangkat Dewi menjadi anak angkatnya. Si Mbok kemudian mengganti nama Dewi Candra Kirana dengan nama Kleting Kuning. Sebenarnya Si Mbok sudah memiliki tiga anak perempuan. Mereka adalah Kleting Abang, Kleting Wungu dan Kleting Biru. Lalu Dewi Candra Kirana atau Kleting Kuning ini dianggapnya sebagai anak bungsu. Ketiga anak Mbok Randa Karangwulusan tidak menyukai Kleting Kuning. Mereka selalu berperilaku jahat terhadapnya. Mereka iri dengan kecantikkan Kleting Kuning, bahkan mereka memaksa Kleting kuning untuk selalu menggunakan pakaian jelek agar terlihat lusuh seperti pembantu. Selain itu, Mereka selalu memerintahkan Kleting Kuning untuk melakukan pekerjaan rumah tangga seperti, mencuci pakaian, piring, dan membersihkan rumah. Terkadang, mereka meminta Kleting kuning untuk membersihkan hal-hal yang sulit dikerjakan. Tubuh Kleting Kuning menjadi berbau karena ia tidak memiliki kesempatan untuk mengurus dirinya sendiri. Namun Kleting Kuning tidak pernah mengeluhkan apa yang telah saudaranya perbuat. Ia selalu sabar dan ikhlas dan percaya bahwa kesabarannya ini akan membuahkan hasil dikemudian hari. Suatu hari tersiar kabar bahwa di desa Dadapan terdapat seorang pria tampan yang sedang mencari istri. Mbok Randa memerintahkan ketiga anaknya untuk menemui pemuda tampan tersebut. Sementara Kleting Kuning dimintanya agar tetap di rumah. Ketiga anak Mbok Randa kemudian pergi menuju desa Dadapan. Mereka mengenakan pakaian yang paling bagus yang mereka punya. Menuju desa Dadapan tidaklah mudah, Mereka harus melewati sungai luas terlebih dahulu. Tiba-tiba dari pinggir sungai munculah seekor kepiting raksasa, bernama Yayu Kangkang. Ia menawarkan bantuan dengan imbalan berupa permintaan agar ketiga putri Mbok Randa itu bersedia dicium dan mencium Yayu Kangkang. Mendengar hal tersebut, ketiga saudara itu bersedia menerima tawaran Yayu Kangkang, karena bagi mereka yang terpenting adalah dapat menyebrangi sungai lebar itu. Kabar tersiarnya pemuda tampan juga sampai kepada Kleting Kuning. Ia lalu meminta ijin kepada Mbok Randa Karangwulusan. Namun Mbok Randa berkata bahwa Kleting Kuning tidak pantas untuk menemui pemuda tampan tersebut. Bahkan Mbok Randa sempat memarahinya. Namun Kleting Kuning sama sekali tidak sakit hati dengan perkataan Mbok Randa. Ia tetap bersikeras untuk dapat menemui Ande-ande Lumut. Sampai akhirnya Mbok Randa mengijinkan Kleting Kuning pergi. Sama halnya dengan ketiga saudara angkatnya, Kleting Kuning pun ditawari menyebrangi sungai oleh Yayu Kangkang si Kepiting Besar. Kleting Kuning juga bersedia dengan persyaratan yang diberikan oleh Yayu Kangkang. Namun, Kleting Kuning tidaklah kehabisan akal. Sesampainya menyebrangi sungai, Kleting Kuning bergegas menempelkan kotoran ayam yang ia bawa ke pipinya. Hal ini berhasil membuat Yayu Kangkang tidak mau mencium Kleting Kuning karena baunya yang amat menyengat. Sesampainya di desa Dadapan, Kleting Kuning mendapati ketiga kakak angkatnya telah ditolak Ande-Ande lumut. Rupanya Ande-Ande Lumut menolak mereka karena mereka telah dicium oleh Yayu Kangkang. Kleting Kuning terus melanjutkan perjalanannya menuju Ande-ande lumut. Sesampainya di sana, Kleting melihat Ande-ande lumut. Tak disangka Ande-ande lumut menyambut kedatangan Kleting Kuning. Mbok Randa Dadapan sampai berkata bahwa betapa naifnya Ande-ande lumut karena menolak semua wanita cantik dan menerima Kleting Kuning yang kumal dan bau tersebut. Mendengar hal itu, Ande-ande Iumut segera menjawabnya. Ia berkata bahwa ia tidak boleh melihat dari luarnya. Karena Ande-ande lumut meyakini bahwa Kleting Kuning telah menjaga kehormatannya, tidak seperti gadis-gadis yang lain. Ketika itu Kleting Kuning pergi meminta izin untuk membersihkan diri. Betapa kagetnya Ande-ande Lumut ketika melihat Kleting Kuning yang sudah mengenakan pakaian yang layak. Ia menjadi wangi dan kecantikannya terpancar. Kecantikan yang terpancar itu rupanya tidak asing bagi Ande-ande Lumut. Ande-ande Lumut berkata bahwa ia adalah Raden Putra, suaminya Dewi Candra Kirana. Seketika itu semua orang yang melihat tercengang. Begitu juga ketiga saudara angkat Kleting Kuning. Mereka sangat kaget ketika mengetahui kalau Kleting Kuning adalah Dewi Candra Kirana dan Ande-ande Lumut adalah Raden Putra. Dewi Candra Kirana dan Raden Putra amat sangat senang. Mereka akhirnya bertemu satu sama lain. Keduanya lantas hidup sebagai suami istri kembali seperti yang mereka lakukan dahulu di istana Kerajaan Jenggala. ==Referensi== * Versi pertama [https://books.google.co.id/books?id=DMn0DwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=id#v=onepage&q&f=false] * Versi kedua [https://books.google.co.id/books?id=cPJqcwuSOUkC&printsec=frontcover&hl=id#v=onepage&q&f=false] g3l3wlq27fuge287b806o0gddg8e467 121394 121393 2026-10-20T04:45:42Z Kyokoto 44099 121394 wikitext text/x-wiki Pada suatu hari, tinggalah seorang wanita cantik bernama Dewi Candra Kirana. Ia memiliki suami seorang putra mahkota Kerajaan Jenggala, bernama Raden Putra. Raden Putra diusir dari Kerajaan Jenggala karena tidak ingin menggantikan ayahnya menjadi raja. Maka suatu ketika ia pergi tanpa mengajak istrinya. Sehingga istrinya tidak tahu suaminya akan pergi kemana. Suatu hari, Dewi Candra Kirana mencari keberadaan suaminya dengan menyamar menjadi perempuan desa biasa. Dalam perjalanannya, ia bertemu dengan seorang janda kaya. Namanya Mbok Randa Karangwulusan. Ia lalu mengangkat Dewi menjadi anak angkatnya. Si Mbok kemudian mengganti nama Dewi Candra Kirana dengan nama Kleting Kuning. Sebenarnya Si Mbok sudah memiliki tiga anak perempuan. Mereka adalah Kleting Abang, Kleting Wungu dan Kleting Biru. Lalu Dewi Candra Kirana atau Kleting Kuning ini dianggapnya sebagai anak bungsu. Ketiga anak Mbok Randa Karangwulusan tidak menyukai Kleting Kuning. Mereka selalu berperilaku jahat terhadapnya. Mereka iri dengan kecantikkan Kleting Kuning, bahkan mereka memaksa Kleting kuning untuk selalu menggunakan pakaian jelek agar terlihat lusuh seperti pembantu. Selain itu, Mereka selalu memerintahkan Kleting Kuning untuk melakukan pekerjaan rumah tangga seperti, mencuci pakaian, piring, dan membersihkan rumah. Terkadang, mereka meminta Kleting kuning untuk membersihkan hal-hal yang sulit dikerjakan. Tubuh Kleting Kuning menjadi berbau karena ia tidak memiliki kesempatan untuk mengurus dirinya sendiri. Namun Kleting Kuning tidak pernah mengeluhkan apa yang telah saudaranya perbuat. Ia selalu sabar dan ikhlas dan percaya bahwa kesabarannya ini akan membuahkan hasil dikemudian hari. Suatu hari tersiar kabar bahwa di desa Dadapan terdapat seorang pria tampan yang sedang mencari istri. Mbok Randa memerintahkan ketiga anaknya untuk menemui pemuda tampan tersebut. Sementara Kleting Kuning dimintanya agar tetap di rumah. Ketiga anak Mbok Randa kemudian pergi menuju desa Dadapan. Mereka mengenakan pakaian yang paling bagus yang mereka punya. Menuju desa Dadapan tidaklah mudah, Mereka harus melewati sungai luas terlebih dahulu. Tiba-tiba dari pinggir sungai munculah seekor kepiting raksasa, bernama Yayu Kangkang. Ia menawarkan bantuan dengan imbalan berupa permintaan agar ketiga putri Mbok Randa itu bersedia dicium dan mencium Yayu Kangkang. Mendengar hal tersebut, ketiga saudara itu bersedia menerima tawaran Yayu Kangkang, karena bagi mereka yang terpenting adalah dapat menyebrangi sungai lebar itu. Kabar tersiarnya pemuda tampan juga sampai kepada Kleting Kuning. Ia lalu meminta ijin kepada Mbok Randa Karangwulusan. Namun Mbok Randa berkata bahwa Kleting Kuning tidak pantas untuk menemui pemuda tampan tersebut. Bahkan Mbok Randa sempat memarahinya. Namun Kleting Kuning sama sekali tidak sakit hati dengan perkataan Mbok Randa. Ia tetap bersikeras untuk dapat menemui Ande-ande Lumut. Sampai akhirnya Mbok Randa mengijinkan Kleting Kuning pergi. Sama halnya dengan ketiga saudara angkatnya, Kleting Kuning pun ditawari menyebrangi sungai oleh Yayu Kangkang si Kepiting Besar. Kleting Kuning juga bersedia dengan persyaratan yang diberikan oleh Yayu Kangkang. Namun, Kleting Kuning tidaklah kehabisan akal. Sesampainya menyebrangi sungai, Kleting Kuning bergegas menempelkan kotoran ayam yang ia bawa ke pipinya. Hal ini berhasil membuat Yayu Kangkang tidak mau mencium Kleting Kuning karena baunya yang amat menyengat. Sesampainya di desa Dadapan, Kleting Kuning mendapati ketiga kakak angkatnya telah ditolak Ande-Ande lumut. Rupanya Ande-Ande Lumut menolak mereka karena mereka telah dicium oleh Yayu Kangkang. Kleting Kuning terus melanjutkan perjalanannya menuju Ande-ande lumut. Sesampainya di sana, Kleting melihat Ande-ande lumut. Tak disangka Ande-ande lumut menyambut kedatangan Kleting Kuning. Mbok Randa Dadapan sampai berkata bahwa betapa naifnya Ande-ande lumut karena menolak semua wanita cantik dan menerima Kleting Kuning yang kumal dan bau tersebut. Mendengar hal itu, Ande-ande Iumut segera menjawabnya. Ia berkata bahwa ia tidak boleh melihat dari luarnya. Karena Ande-ande lumut meyakini bahwa Kleting Kuning telah menjaga kehormatannya, tidak seperti gadis-gadis yang lain. Ketika itu Kleting Kuning pergi meminta izin untuk membersihkan diri. Betapa kagetnya Ande-ande Lumut ketika melihat Kleting Kuning yang sudah mengenakan pakaian yang layak. Ia menjadi wangi dan kecantikannya terpancar. Kecantikan yang terpancar itu rupanya tidak asing bagi Ande-ande Lumut. Ande-ande Lumut berkata bahwa ia adalah Raden Putra, suaminya Dewi Candra Kirana. Seketika itu semua orang yang melihat tercengang. Begitu juga ketiga saudara angkat Kleting Kuning. Mereka sangat kaget ketika mengetahui kalau Kleting Kuning adalah Dewi Candra Kirana dan Ande-ande Lumut adalah Raden Putra. Dewi Candra Kirana dan Raden Putra amat sangat senang. Mereka akhirnya bertemu satu sama lain. Keduanya lantas hidup sebagai suami istri kembali seperti yang mereka lakukan dahulu di istana Kerajaan Jenggala. ouf4t69x559lwqzw4ooz0wnuleorawh 0 19821 121410 78211 2026-10-20T11:01:15Z ~2026-55886-03 44100 /* */ 121410 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == Raden Putra adalah raja Kerajaan Jenggala. Ia didampingi seorang permaisuri yang baik hati dan seorang selir yang cantik jelita. Tetapi, selir Raja Raden Putra memiliki sifat iri dan dengki terhadap sang permaisuri. Ia merencanakan suatu muslihat kepada permaisuri. Lalu selir baginda, berkomplot dengan seorang tabib istana. Ia kemudian berpura-pura sakit parah, sehingga harus segera memanggil tabib istana. Sang tabib mengatakan bahwa ada seseorang yang telah menaruh racun dalam minuman tuan putri dan menyangkal bahwa permaisurilah yang melakukannya. Baginda menjadi murka mendengar penjelasan tabib istana. la segera memerintahkan patihnya untuk membuang permaisuri ke hutan. Sang patih segera membawa permaisuri yang sedang mengandung itu ke hutan belantara. Tetapi, patih yang bijak itu tidak mau membunuhnya. Ia sudah mengetahui niat jahat selir baginda. Untuk menolong sang permaisuri, ia kemudian membuat berita palsu kepada baginda seolah-olah telah membunuh sang permaisuri. Untuk mengelabui raja, sang patih melumuri pedangnya dengan darah kelinci yang ditangkapnya. Raja kemudian merasa puas ketika sang patih melapor kalau ia sudah membunuh permaisuri. Setelah beberapa bulan berada di hutan, lahirlah anak sang permaisuri. Bayi itu diberinya nama Cindelaras. Cindelaras tumbuh menjadi seorang anak yang cerdas dan tampan. Sejak kecil ia sudah berteman dengan binatang-binatang hutan. Suatu hari, ketika sedang asyik bermain, seekor rajawali menjatuhkan sebutir telur, kemudian setelah tiga minggu, telur itu menetas. Rupanya telur tersebut menetaskan seekor anak ayam. Cindelaras memelihara anak ayamnya dengan rajin hingga tumbuh menjadi seekor ayam jantan yang elok dan kuat. Tetapi terdapat satu keanehan pada bunyi kokok ayam jantan tersebut; "Kukuruyuk... Tuanku Cindelaras, rumahnya di tengah rimba, atapnya daun kelapa, ayahnya Raden Putra..." Cindelaras sangat takjub mendengar kokok ayamnya dan segera memperlihatkan pada ibunya. Lalu, ibu Cindelaras menceritakan asal usul mengapa mereka sampai berada di hutan. Mendengar cerita ibundanya, Cindelaras bertekad untuk ke istana dan membeberkan kejahatan selir baginda. Setelah di izinkan ibundanya, Cindelaras pergi ke istana ditemani oleh ayam jantannya. Ketika dalam perjalanan ia bertemu dengan beberapa orang yang sedang menyabung ayam. Ia kemudian ditantang untuk menguji kebolehan ayam jantannya tersebut. Ketika diadu, ternyata ayam jantan Cindelaras bertarung dengan perkasa dan dalam waktu singkat, ia dapat mengalahkan lawannya. Setelah beberapa kali diadu, ayam Cindelaras tidak terkalahkan. Berita tentang kehebatan ayam Cindelaras tersebar dengan cepat hingga sampai ke telinga Raden Putra. Kemudian, Raden Putra menyuruh hulubalangnya untuk mengundang Cindelaras. Setelah itu, ayam jantan Cindelaras diadu dengan ayam Raden Putra dengan satu syarat, jika ayam Cindelaras kalah maka ia bersedia kepalanya dipancung, tetapi jika ayamnya menang maka setengah kekayaan Raden Putra menjadi milik Cindelaras. Dua ekor ayam itu bertarung dengan gagah berani. Tetapi dalam waktu singkat, ayam Cindelaras berhasil menaklukkan ayam sang Raja. Para penonton bersorak sorai mengelu-elukan Cindelaras dan ayamnya. Setelah Baginda mengaku kalah, ia segera menanyakan siapaka pemuda pemilik ayam tersebut. Cindelaras segera membungkuk seperti membisikkan sesuatu pada ayamnya. Tidak berapa lama kemudian ayamnya segera berbunyi. "Kukuruyuk... Tuanku Cindelaras, rumahnya di tengah rimba, atapnya daun kelapa, ayahnya Raden Putra...." ayam jantan tersebut berkokok berulang-ulang. Raden Putra terperanjat mendengar kokok ayam Cindelaras. Bersamaan dengan hal tersebut, sang patih segera menghadap dan menceritakan semua peristiwa yang sebenarnya telah terjadi pada permaisuri. Begitu mendengar cerita dari sang patih, Raja menjadi murka dan hendak memberi hukuman yang setimpal pada selirnya. Kemudian, selir Raden Putra pun di buang ke hutan. Raden Putra segera memeluk anaknya dan meminta maaf atas kesalahannya Setelah itu, Raden Putra dan hulubalang segera menjemput permaisuri ke hutan. Akhirnya Raden Putra, permaisuri dan Cindelaras dapat berkumpul kembali. Setelah Raden Putra meninggal dunia, Cindelaras menggantikan kedudukan ayahnya. Ia memerintah negerinya dengan adil dan bijaksana. a1tkuri7tfw6xqavldcw18pq6zzywwx 121411 121410 2026-10-20T11:02:13Z ~2026-55886-03 44100 121411 wikitext text/x-wiki Raden Putra adalah raja Kerajaan Jenggala. Ia didampingi seorang permaisuri yang baik hati dan seorang selir yang cantik jelita. Tetapi, selir Raja Raden Putra memiliki sifat iri dan dengki terhadap sang permaisuri. Ia merencanakan suatu muslihat kepada permaisuri. Lalu selir baginda, berkomplot dengan seorang tabib istana. Ia kemudian berpura-pura sakit parah, sehingga harus segera memanggil tabib istana. Sang tabib mengatakan bahwa ada seseorang yang telah menaruh racun dalam minuman tuan putri dan menyangkal bahwa permaisurilah yang melakukannya. Baginda menjadi murka mendengar penjelasan tabib istana. la segera memerintahkan patihnya untuk membuang permaisuri ke hutan. Sang patih segera membawa permaisuri yang sedang mengandung itu ke hutan belantara. Tetapi, patih yang bijak itu tidak mau membunuhnya. Ia sudah mengetahui niat jahat selir baginda. Untuk menolong sang permaisuri, ia kemudian membuat berita palsu kepada baginda seolah-olah telah membunuh sang permaisuri. Untuk mengelabui raja, sang patih melumuri pedangnya dengan darah kelinci yang ditangkapnya. Raja kemudian merasa puas ketika sang patih melapor kalau ia sudah membunuh permaisuri. Setelah beberapa bulan berada di hutan, lahirlah anak sang permaisuri. Bayi itu diberinya nama Cindelaras. Cindelaras tumbuh menjadi seorang anak yang cerdas dan tampan. Sejak kecil ia sudah berteman dengan binatang-binatang hutan. Suatu hari, ketika sedang asyik bermain, seekor rajawali menjatuhkan sebutir telur, kemudian setelah tiga minggu, telur itu menetas. Rupanya telur tersebut menetaskan seekor anak ayam. Cindelaras memelihara anak ayamnya dengan rajin hingga tumbuh menjadi seekor ayam jantan yang elok dan kuat. Tetapi terdapat satu keanehan pada bunyi kokok ayam jantan tersebut; "Kukuruyuk... Tuanku Cindelaras, rumahnya di tengah rimba, atapnya daun kelapa, ayahnya Raden Putra..." Cindelaras sangat takjub mendengar kokok ayamnya dan segera memperlihatkan pada ibunya. Lalu, ibu Cindelaras menceritakan asal usul mengapa mereka sampai berada di hutan. Mendengar cerita ibundanya, Cindelaras bertekad untuk ke istana dan membeberkan kejahatan selir baginda. Setelah di izinkan ibundanya, Cindelaras pergi ke istana ditemani oleh ayam jantannya. Ketika dalam perjalanan ia bertemu dengan beberapa orang yang sedang menyabung ayam. Ia kemudian ditantang untuk menguji kebolehan ayam jantannya tersebut. Ketika diadu, ternyata ayam jantan Cindelaras bertarung dengan perkasa dan dalam waktu singkat, ia dapat mengalahkan lawannya. Setelah beberapa kali diadu, ayam Cindelaras tidak terkalahkan. Berita tentang kehebatan ayam Cindelaras tersebar dengan cepat hingga sampai ke telinga Raden Putra. Kemudian, Raden Putra menyuruh hulubalangnya untuk mengundang Cindelaras. Setelah itu, ayam jantan Cindelaras diadu dengan ayam Raden Putra dengan satu syarat, jika ayam Cindelaras kalah maka ia bersedia kepalanya dipancung, tetapi jika ayamnya menang maka setengah kekayaan Raden Putra menjadi milik Cindelaras. Dua ekor ayam itu bertarung dengan gagah berani. Tetapi dalam waktu singkat, ayam Cindelaras berhasil menaklukkan ayam sang Raja. Para penonton bersorak sorai mengelu-elukan Cindelaras dan ayamnya. Setelah Baginda mengaku kalah, ia segera menanyakan siapaka pemuda pemilik ayam tersebut. Cindelaras segera membungkuk seperti membisikkan sesuatu pada ayamnya. Tidak berapa lama kemudian ayamnya segera berbunyi. "Kukuruyuk... Tuanku Cindelaras, rumahnya di tengah rimba, atapnya daun kelapa, ayahnya Raden Putra...." ayam jantan tersebut berkokok berulang-ulang. Raden Putra terperanjat mendengar kokok ayam Cindelaras. Bersamaan dengan hal tersebut, sang patih segera menghadap dan menceritakan semua peristiwa yang sebenarnya telah terjadi pada permaisuri. Begitu mendengar cerita dari sang patih, Raja menjadi murka dan hendak memberi hukuman yang setimpal pada selirnya. Kemudian, selir Raden Putra pun di buang ke hutan. Raden Putra segera memeluk anaknya dan meminta maaf atas kesalahannya Setelah itu, Raden Putra dan hulubalang segera menjemput permaisuri ke hutan. Akhirnya Raden Putra, permaisuri dan Cindelaras dapat berkumpul kembali. Setelah Raden Putra meninggal dunia, Cindelaras menggantikan kedudukan ayahnya. Ia memerintah negerinya dengan adil dan bijaksana. t844j5o4vmgct57q4gl8m3jht0teewf 0 20165 121386 92519 2026-10-20T02:38:17Z Bennylin 425 121386 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{header | title = Habis Gelap Terbitlah Terang | author = Kartini | translator = Empat Saudara (Bagindo Dahlan Abdullah, Zainudin Rasad, Sutan Muhammad Zain, dan Djamaloedin Rasad) | section = | previous = | next = [[/Permulaan kalam|Permulaan kalam]] | year = 1922 | notes = Didigitalisasikan oleh para penyunting [[:s:Habis Gelap Terbitlah Terang|Wikisumber Indonesia]]. Diperbarui ejaannya oleh para penyunting Wikibuku Indonesia. }}</noinclude> {{c|{{x-larger|'''HABIS GELAP TERBITLAH TERANG.'''</big>}}}} <br /> {{c|BUAH PIKIRAN}} <br /> {{C|{{larger|'''Radèn Ajeng KARTINI.'''}}}} <br /> {{c|Dimelayukan oléh}} <br /> {{c|{{larger|'''EMPAT SAUDARA'''}}}}<br /> {{c|<small>Dihiasi dengan 17 buah gambar.</small>}} <br /> {{c|DIKELUARKAN OLÉH}}<br /> {{c|{{larger|'''BALAI-PUSTAKA'''}}}}<br /> {{C|1922.}}<br /> {{c|DRUKKERIY VOLKSLECTUUR WELTEVREDEN.}} [[File:Potret kartini 8 1.jpg|frameless|center|500px]] [[File:Kartini signature 8-2.png|frameless|center|300px]] <noinclude> {| {{ts|mc|sc}} width="500px" |+{{xx-larger|ISI KITAB.}}<br />&nbsp; |-{{ts|sm}} |{{ts|ar}}|bab||{{t/c2}}{{ts|ar}}|laman |- | {{right|Muka.}}<br /> {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Permulaan kalam|Permulaan kalam]]|{{Scan page link 2|11|I.}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Pendahuluan|Pendahuluan]]|{{Scan page link 2|13|III.}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1899|Surat-surat dalam tahun 1899]]|{{Scan page link 2|19|1}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1900|Surat-surat dalam tahun 1900]]|{{Scan page link 2|49|26}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1901|Surat-surat dalam tahun 1901]]|{{Scan page link 2|126|99}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1902|Surat-surat dalam tahun 1902]]|{{Scan page link 2|207|174}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1903|Surat-surat dalam tahun 1903]]|{{Scan page link 2|371|326}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Surat-surat dalam tahun 1904|Surat-surat dalam tahun 1904]]|{{Scan page link 2|429|382}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Buah pikiran yang dipetik dari pada surat-suratnya yang tiada disiarkan|Buah pikiran yang dipetik dari pada surat-suratnya yang tiada disiarkan]]|{{Scan page link 2|442|395}}}} {{DaftarisiWS|[[Habis Gelap Terbitlah Terang/Berilah orang Jawa pendidikan!|Berilah orang Jawa pendidikan!]]|{{Scan page link 2|445|398}}}} |} </noinclude> {{c|{{rule|width=5em}}}} {{nop}} Angka-angka Romawi yang dicétak di belakang angka-angka tahun, menunjukkan nama-nama orang tempat R. A. Kartini berkirim surat; orang-orang itu ialah:<br /> {{Ordered list |list_style_type=upper-roman |Nona E. H. Zeehandelaar, sekarang Nyonya Hartshalt.<noinclude>20 Mei 1899 (I), 18 Augustus 1899. (I), 6 November 1899 (I), 12 Januari 1900 (I), 23 Augustus 1900 (I), 9 Januari 1901 (I), 20 Mei 1901 (I), 11 October 1901 (I), 15 Februari 1902 (I), 14 Maart 1902 (I), 17 Mei 1902 (I), 15 Augustus 1902 (I), 25 April 1903 (I) </ul></noinclude> |Nyonya M. C. E. Ovink-Sur. <noinclude>4 November 1899. (II), Permulaan 1900 (II), Augustus 1900 (II), Augustus 1900 (II), October 1900 (II), 2 November 1900 (II), 12 Juli 1902 (II), 18 Juli 1902 (II) </ul></noinclude> |Tuan dan Nyonya Prof. Dr. G. K. Anton di Jena *)<ref>*).Tuan Anton guru Sekolah Tinggi di Jena dan Nyonya Anton, bangsa Belanda, singgah pula ke Jepara, tatkala membuat perjalanan di pulau Jawa.</ref> (tanah jérman).<noinclude>10 Juni 1901 (III), 4 October 1902 (III), 10 April 1904 (III) </ul></noinclude> |Tuan Dr. N. Adriani.<noinclude>19 Maart 1901 (IV), 10 Augustus 1901 (IV), 24 September 1902 (IV), 27 Juni 1903 (IV) </ul></noinclude> |Nyonya H. G de Booiy-Boissevain.<noinclude>6 Juni 1901 (V), 19 Augustus 1901 (V), 21 Maart 1902 (V), 26 Mei 1902 (V), 17 Juni 1902 (V) </ul></noinclude> |Tuan H. H. van Kol.<noinclude>21 Juni 1902 (VI), 10 Augustus 1902 (VI), 5 Juli 1903 (VI) </ul></noinclude> |Nyonya N. van Kol.<noinclude>Augustus 1901 (VII), 27 April 1902 (VII), 21 Juli 1902 (VII), 20 Augustus 1902 (VII), 3 Januari 1903 (VII), 17 Januari 1903 (VII), 1 Augustus 1903 (VII) </ul></noinclude> |Nyonya R. M. Abendanon-Mandri.<noinclude>13 Augustus, 1900. (VIII), Augustus 1900 (VIII), 7 October 1900 (VIII), 1 November 1900 (VIII), 21 Januari 1901 (VIII), 31 Januari 1901 (VIII), 1 Augustus 1901 (VIII), 8—9 Augustus 1901 (VIII), 4 September 1901 (VIII), 30 September 1901 (VIII), 18 October 1901 (VIII), 20 November 1901 (VIII), 29 November 1901 (VIII), 31 December 1901 (VIII), 3 Januari 1902 (VIII), 18 Februari 1902 (VIII), 28 Februari 1902 (VIII), 5 Maart 1902 (VIII), 27 Maart 1902 (VIII), 8 April 1902 (VIII), 10 Juni 1902 (VIII), 15 Juli 1902 (VIII), 28 Juli 1902 (VIII), 2 September 1902 (VIII), 15 September 1902 (VIII), 22 September 1902 (VIII), 12 October 1902 (VIII), 27 October 1902 (VIII), 21 November 1902 (VIII), 12 December 1902 (VIII), 4 Maart 1903 (VIII), 9 Maart 1903 (VIII), 7 Juni 1903 (VIII), 4 Juli 1903 (VIII), 7 Juli 1903 (VIII), 24 Juli 1903 (VIII), 1 Augustus 1903 (VIII), 8 Augustus 1903 (VIII), 25 Augustus 1903 (VIII), 19 October 1903 (VIII), 3 November 1903 (VIII), 7 November 1903 (VIII), 11 Dec.1903 (VIII dan IX), 6 Maart 1904 (VIII), 8 Juni 1904 (VIII), 30 Juni 1904 (VIII), 17 Juli 1904 (VIII), 10 Augustus 1904 (VIII), 24 Augustus 1904 (VIII), 7 September 1904. (VIII) </ul></noinclude> |Tuan Mr. J. H. Abendanon.<noinclude>14 Januari 1903 (IX), 25 Januari 1903 (IX), 1 Februari 1903 (IX), 19 April 1903 (IX), 14 Mei 1903 (IX) </ul></noinclude> |Tuan E. C. Abendanon.<noinclude>8 Agustus 1902 (X), 15 Augustus 1902 (X), 17 Augustus 1902 (X), 21 November 1902 (X), 27 Januari 1903 (X), 31 Januari 1903 (X), 11 October 1902 (1) </ul></noinclude> }} lgy94yf1f9y06kbxpugmwi2xsjg7url 0 20235 121372 80178 2026-10-19T14:09:39Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Kekurangan */ 121372 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neogeo) | align="right" | 40 |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 |- | | Total | align="right" | 3404 |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] mjfituyo3pz8rtegt0xze60uh1nls6u 121373 121372 2026-10-19T14:09:58Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Kekurangan */ 121373 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neogeo) | align="right" | 40 |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 |- | | Total | align="right" | 3404 |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] 4stm8t63hsko9k18d2ojvey9u5o5kg4 121397 121373 2026-10-20T05:40:17Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Menu utama */ 121397 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Lampu Indikator == * Merah: Off * Merah & Biru: On == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neogeo) | align="right" | 40 |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 |- | | Total | align="right" | 3404 |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] eupsd9cj3frxeg0gkxqj8iv055rvafa 121398 121397 2026-10-20T06:27:36Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Deskripsi */ 121398 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** Microsd card 16 GB ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Lampu Indikator == * Merah: Off * Merah & Biru: On == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neogeo) | align="right" | 40 |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 |- | | Total | align="right" | 3404 |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] aug3sycpm6f4iym4jpmxyc1kmwq6cbf 121399 121398 2026-10-20T06:29:35Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Emulator */ 121399 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** Microsd card 16 GB ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Lampu Indikator == * Merah: Off * Merah & Biru: On == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game ! Ekstensi Berkas |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 | |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 | |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 | |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 | |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 | |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 | |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 | |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 | |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neo Geo) | align="right" | 40 | |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 | |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 | |- | | Total | align="right" | 3404 | |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] snblnlfcxnkx3jv74luuit7i4us2h57 121400 121399 2026-10-20T06:31:15Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Emulator */ 121400 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** Microsd card 16 GB ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Lampu Indikator == * Merah: Off * Merah & Biru: On == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game ! Ekstensi Berkas |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 | align="center" | zip |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 | align="center" | zip |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 | align="center" | |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 | align="center" | |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 | align="center" | |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 | align="center" | |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 | align="center" | |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 | align="center" | |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neo Geo) | align="right" | 40 | align="center" | |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 | align="center" | |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 | align="center" | |- | | Total | align="right" | 3404 | |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] a6kwnato5igo7vs0nr3f18yo1hkcw14 121401 121400 2026-10-20T06:34:06Z Abuhusainalbanjari 43686 /* Emulator */ 121401 wikitext text/x-wiki == Deskripsi == * Fungsi: ** Emulator game (front-end Retroarch) ** Pemutar film ** Pemutar musik ** Penjelajah berkas ** Penampil gambar * Mendukung keluaran HDMI * Mendukung microsd card * Mendukung 11 emulator * Save state game * Kelengkapan: ** Konsol ** Microsd card 16 GB ** 2 buah joystik USB model SFC ** Kabel Mini to HDMI ** Kabel power USB ** Brosur panduan berbahasa Inggris & China ** Kardus ukuran 21 x 18,5 x 9,5 cm * Harga baru: Rp449.000 ‒ 493.900 == Lampu Indikator == * Merah: Off * Merah & Biru: On == Menu utama == # Game # Movie # Music # Theme # History # File # Image # Settings == Emulator == {| {{Prettytable}} ! No. ! Menu ! Jumlah Game ! Ekstensi Berkas |- | align="right" | 1. | FBA Games (CPS) | align="right" | 92 | align="center" | zip |- | align="right" | 2. | PGM Game (FBA) | align="right" | 21 | align="center" | zip |- | align="right" | 3. | FC Game | align="right" | 698 | align="center" | nes |- | align="right" | 4. | GB Game | align="right" | 221 | align="center" | gb |- | align="right" | 5. | GBA Game | align="right" | 739 | align="center" | gba |- | align="right" | 6. | GBC Game | align="right" | 178 | align="center" | gbc |- | align="right" | 7. | GG Game | align="right" | 626 | align="center" | gg, sms |- | align="right" | 8. | MD Game | align="right" | 552 | align="center" | bin |- | align="right" | 9. | SNK Game (Neo Geo) | align="right" | 40 | align="center" | zip |- | align="right" | 10. | PS1 Game | align="right" | 3 | align="center" | img |- | align="right" | 11. | SFC Game | align="right" | 234 | align="center" | sfc, smc |- | | Total | align="right" | 3404 | |} == Kelebihan == * Booting relatif cepat == Kekurangan == * Tidak mendukung keluaran RCA * Tidak disertai kepala adaptor USB * Tidak semua game PS1 bisa berjalan lancar [[Kategori:Panduan Konsol|{{SUBPAGENAME}}]] kcfdliacca95avu0zjztjm9dgbuvq3p 0 23568 121403 121276 2026-10-20T08:29:08Z Akuindo 8654 121403 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{(^4log \, x)^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (^4log \, x)^2} = \frac{1}{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^4 log \, x &= \frac{^2log \, x}{2} \\ \frac{\sqrt{(\frac{^2log \, x}{2})^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (\frac{^2log \, x}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } y &= ^2log \, x \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{16-y-(\frac{y}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{12-(-4+y+(\frac{y}{2})^2)} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } a &= (\frac{y}{2})^2+y-4 \\ \frac{\sqrt{a}}{12-a} &= \frac{1}{4}, a \ge 0 \\ \text{misalkan } \sqrt{a} &= b, b \ge 0 \\ \frac{b}{12-b^2} &= \frac{1}{4} \\ 4b &= 12-b^2 \\ b^2+4b-12 &= 0 \\ (b-2)(b+6) &= 0 \\ b = 2 &\text{ atau } b = -6 (TM) \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \\ (\frac{y}{2})^2+y-4 &= 4 \\ \frac{y^2}{4}+y-8 &= 0 \\ y^2+4y-32 &= 0 \\ (y-4)(y+8) &= 0 \\ y = 4 &\text{ atau } y=-8 \\ ^2 log \, x &= 4 \\ x &= 16 \\ ^2 log \, x = -8 \\ x &= \frac{1}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>5x+\frac{1}{4x}</math> jika <math>25x^2+\frac{1}{16x^2}=\frac{13}{2}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (5x+\frac{1}{4x})^2 &= 25x^2+\frac{5}{2}+\frac{16}{x^2} \\ &= 25x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{5}{2} \\ &= \frac{13}{2}+\frac{5}{2} \\ &= 9 \\ &= \sqrt{9} \\ &= \pm 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= 1 \\ x-1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x+1)(x^2-x+1) &= (x+1)0 \\ x^3+1 &= 0 \\ x^3 &= -1 \\ x &= -1 \\ x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20} &= (-1)^{28}+(-1)^{25}+(-1)^{23}+(-1)^{20} \\ &= 1-1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=-1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= -1 \\ x+1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2-x+1) &= (x-1)0 \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20} &= x^{25}(x^{3}-1)+x^{20}(x^{3}-1) &= x^{25}(0)+x^{20}(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5}</math> jika <math>\frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5} &= 7 \\ \frac{2x-3+3}{2x-3}+\frac{2y-4+4}{2y-4}+\frac{2z-5+5}{2z-5} &= 7 \\ 1+\frac{3}{2x-3}+1+\frac{4}{2y-4}+1+\frac{5}{2z-5} &= 7 \\ \frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5} &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7}</math> jika <math>\frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7}=10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7} &= 10 \\ \frac{7+4x-4x}{4x-7}+\frac{7+5y-5y}{5y-7}+\frac{7+6z-6z}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x-(4x-7)}{4x-7}+\frac{5y-(5y-7)}{5y-7}+\frac{6z-(6z-7)}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}-1+\frac{5y}{5y-7}-1+\frac{6z}{6z-7}-1 &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7} &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ (x^3-2x+3)(x^2-3x+1 &= 0(x^3-2x+3) \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 0 \\ \text{cara 2} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2+3x^2-2x-9x+3 \\ &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2-2x+3x^2-9x+3 \\ &= x^3(x^2-3x+1)-2x(x^2-3x+1)+3(x^2-3x+1) \\ &= x^3(0)-2x(0)+3(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Berapakah nilai xyz dan <math>\frac{xy+xz}{yz}</math> dari x+y=14, x+z=13 dan y+z=3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga persamaan tersebut dijumlahkan menjadi } \\ 2x+2y+2z &= 30 \\ x+y+z &= 15 \\ \text{untuk mencari x, y dan z masing-masing } \\ z &= 1 \\ y &= 2 \\ x &= 12 \\ xyz &= 24 \\ \frac{xy+xz}{yz} &= \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 12}{2 \cdot 12} \\ &= \frac{14}{24} \\ &= \frac{7}{12} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Tentukan nilai dari x+y+z dan yz(xy-xz) merupakan bilangan bulat positif jika xy = 2, xz = 6 dan yz = 3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy \cdot yz \cdot xz &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (xyz)^2 &= 36 \\ xyz &= \pm 6 \\ xyz &= 6 \\ \frac{xyz}{xy} &= z = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{xyz}{yz} &= x = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{xyz}{xz} &= y = \frac{6}{6} = 1 \\ x+y+z &= 6 \\ yz(xy-xz) &= 3(2-6) = 3(-4) = -12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Tentukan nilai dari (x-z)^y jika <math>\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{xy}{x+y} &= \frac{1}{3} \\ \frac{x+y}{xy} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} &= 3 \\ \frac{yz}{y+z} &= \frac{1}{4} \\ \frac{y+z}{yz} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} &= 4 \\ \frac{xz}{x+z} &= \frac{1}{9} \\ \frac{x+z}{xz} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/x = a, 1/y = b dan 1/z = c} \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a+c &= 9 \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a-c &= -1 \\ a-c &= -1 \\ a+c &= 9 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a-c &= -1 \\ 4-c &= -1 \\ c &= 5 \\ a+b &= 3 \\ 4+b &= 3 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{x} &= 4 \\ x &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y} &= -1 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{z} &= 5 \\ z &= \frac{1}{5} \\ (x-z)^y &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Tentukan nilai dari x, y dan z jika <math>\frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5}</math> dan x+2y+3z=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5} &= k \\ x+y &= 2k \\ x+z &= 4k \\ y+z &= 5k \\ 2x+y+z &= 6k \\ 2x+5k &= 6k \\ k &= 2x \\ x &= \frac{k}{2} \\ y &= \frac{3k}{2} \\ z &= \frac{7k}{2} \\ x+2y+3z &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ x &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ y &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ z &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Tentukan nilai dari (y+z)^x jika <math>\frac{x+y+z}{2} = \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+y+z}{2} &= \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z} \\ x+y+z &= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}) \\ x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z} &= 0 \\ x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2\sqrt{z}+1 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{x-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{x-2} &= 1 \\ x-2 &= 1 \\ x &= 3 \\ (\sqrt{y-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{y-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{y-1} &= 1 \\ y-1 &= 1 \\ y &= 1 \\ (\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{z}-1 &= 0 \\ \sqrt{z} &= 1 \\ z &= 1 \\ (y+z)^x &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=95> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=96> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=97> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=98> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=102> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=103> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=104> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=105> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=106> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=107> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=109> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=110> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=111> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=112> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=113> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=114> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=115> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=116> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=117> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=118> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 31sr84jlca1m5khzmmkpc92r86q6pfe 121404 121403 2026-10-20T08:38:53Z Akuindo 8654 121404 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{(^4log \, x)^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (^4log \, x)^2} = \frac{1}{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^4 log \, x &= \frac{^2log \, x}{2} \\ \frac{\sqrt{(\frac{^2log \, x}{2})^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (\frac{^2log \, x}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } y &= ^2log \, x \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{16-y-(\frac{y}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{12-(-4+y+(\frac{y}{2})^2)} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } a &= (\frac{y}{2})^2+y-4 \\ \frac{\sqrt{a}}{12-a} &= \frac{1}{4}, a \ge 0 \\ \text{misalkan } \sqrt{a} &= b, b \ge 0 \\ \frac{b}{12-b^2} &= \frac{1}{4} \\ 4b &= 12-b^2 \\ b^2+4b-12 &= 0 \\ (b-2)(b+6) &= 0 \\ b = 2 &\text{ atau } b = -6 (TM) \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \\ (\frac{y}{2})^2+y-4 &= 4 \\ \frac{y^2}{4}+y-8 &= 0 \\ y^2+4y-32 &= 0 \\ (y-4)(y+8) &= 0 \\ y = 4 &\text{ atau } y=-8 \\ ^2 log \, x &= 4 \\ x &= 16 \\ ^2 log \, x = -8 \\ x &= \frac{1}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>5x+\frac{1}{4x}</math> jika <math>25x^2+\frac{1}{16x^2}=\frac{13}{2}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (5x+\frac{1}{4x})^2 &= 25x^2+\frac{5}{2}+\frac{16}{x^2} \\ &= 25x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{5}{2} \\ &= \frac{13}{2}+\frac{5}{2} \\ &= 9 \\ &= \sqrt{9} \\ &= \pm 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= 1 \\ x-1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x+1)(x^2-x+1) &= (x+1)0 \\ x^3+1 &= 0 \\ x^3 &= -1 \\ x &= -1 \\ x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20} &= (-1)^{28}+(-1)^{25}+(-1)^{23}+(-1)^{20} \\ &= 1-1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=-1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= -1 \\ x+1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2-x+1) &= (x-1)0 \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20} &= x^{25}(x^{3}-1)+x^{20}(x^{3}-1) &= x^{25}(0)+x^{20}(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5}</math> jika <math>\frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5} &= 7 \\ \frac{2x-3+3}{2x-3}+\frac{2y-4+4}{2y-4}+\frac{2z-5+5}{2z-5} &= 7 \\ 1+\frac{3}{2x-3}+1+\frac{4}{2y-4}+1+\frac{5}{2z-5} &= 7 \\ \frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5} &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7}</math> jika <math>\frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7}=10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7} &= 10 \\ \frac{7+4x-4x}{4x-7}+\frac{7+5y-5y}{5y-7}+\frac{7+6z-6z}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x-(4x-7)}{4x-7}+\frac{5y-(5y-7)}{5y-7}+\frac{6z-(6z-7)}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}-1+\frac{5y}{5y-7}-1+\frac{6z}{6z-7}-1 &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7} &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ (x^3-2x+3)(x^2-3x+1 &= 0(x^3-2x+3) \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 0 \\ \text{cara 2} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2+3x^2-2x-9x+3 \\ &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2-2x+3x^2-9x+3 \\ &= x^3(x^2-3x+1)-2x(x^2-3x+1)+3(x^2-3x+1) \\ &= x^3(0)-2x(0)+3(0) \\ &= 0 \\ \text{cara 3} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2 &= 3x-1 \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x (3x-1) \\ &= 3x^2-x x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(3x^2-x) \\ &= 3x^3-x^2 \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= x(3x^3-x^2) \\ &= 3x^4-x^3 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 3x^4-x^3-3(3x^3-x^2)-(3x^2-x)+9(3x-1)-11x+3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Berapakah nilai xyz dan <math>\frac{xy+xz}{yz}</math> dari x+y=14, x+z=13 dan y+z=3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga persamaan tersebut dijumlahkan menjadi } \\ 2x+2y+2z &= 30 \\ x+y+z &= 15 \\ \text{untuk mencari x, y dan z masing-masing } \\ z &= 1 \\ y &= 2 \\ x &= 12 \\ xyz &= 24 \\ \frac{xy+xz}{yz} &= \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 12}{2 \cdot 12} \\ &= \frac{14}{24} \\ &= \frac{7}{12} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Tentukan nilai dari x+y+z dan yz(xy-xz) merupakan bilangan bulat positif jika xy = 2, xz = 6 dan yz = 3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy \cdot yz \cdot xz &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (xyz)^2 &= 36 \\ xyz &= \pm 6 \\ xyz &= 6 \\ \frac{xyz}{xy} &= z = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{xyz}{yz} &= x = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{xyz}{xz} &= y = \frac{6}{6} = 1 \\ x+y+z &= 6 \\ yz(xy-xz) &= 3(2-6) = 3(-4) = -12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Tentukan nilai dari (x-z)^y jika <math>\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{xy}{x+y} &= \frac{1}{3} \\ \frac{x+y}{xy} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} &= 3 \\ \frac{yz}{y+z} &= \frac{1}{4} \\ \frac{y+z}{yz} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} &= 4 \\ \frac{xz}{x+z} &= \frac{1}{9} \\ \frac{x+z}{xz} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/x = a, 1/y = b dan 1/z = c} \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a+c &= 9 \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a-c &= -1 \\ a-c &= -1 \\ a+c &= 9 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a-c &= -1 \\ 4-c &= -1 \\ c &= 5 \\ a+b &= 3 \\ 4+b &= 3 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{x} &= 4 \\ x &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y} &= -1 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{z} &= 5 \\ z &= \frac{1}{5} \\ (x-z)^y &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Tentukan nilai dari x, y dan z jika <math>\frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5}</math> dan x+2y+3z=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5} &= k \\ x+y &= 2k \\ x+z &= 4k \\ y+z &= 5k \\ 2x+y+z &= 6k \\ 2x+5k &= 6k \\ k &= 2x \\ x &= \frac{k}{2} \\ y &= \frac{3k}{2} \\ z &= \frac{7k}{2} \\ x+2y+3z &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ x &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ y &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ z &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Tentukan nilai dari (y+z)^x jika <math>\frac{x+y+z}{2} = \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+y+z}{2} &= \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z} \\ x+y+z &= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}) \\ x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z} &= 0 \\ x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2\sqrt{z}+1 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{x-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{x-2} &= 1 \\ x-2 &= 1 \\ x &= 3 \\ (\sqrt{y-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{y-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{y-1} &= 1 \\ y-1 &= 1 \\ y &= 1 \\ (\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{z}-1 &= 0 \\ \sqrt{z} &= 1 \\ z &= 1 \\ (y+z)^x &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=95> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=96> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=97> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=98> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=102> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=103> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=104> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=105> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=106> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=107> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=109> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=110> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=111> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=112> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=113> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=114> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=115> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=116> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=117> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=118> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] h25o6tj9003ymezrr0f0knvhtgv7rl8 121406 121404 2026-10-20T08:53:32Z Akuindo 8654 121406 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{(^4log \, x)^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (^4log \, x)^2} = \frac{1}{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^4 log \, x &= \frac{^2log \, x}{2} \\ \frac{\sqrt{(\frac{^2log \, x}{2})^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (\frac{^2log \, x}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } y &= ^2log \, x \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{16-y-(\frac{y}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{12-(-4+y+(\frac{y}{2})^2)} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } a &= (\frac{y}{2})^2+y-4 \\ \frac{\sqrt{a}}{12-a} &= \frac{1}{4}, a \ge 0 \\ \text{misalkan } \sqrt{a} &= b, b \ge 0 \\ \frac{b}{12-b^2} &= \frac{1}{4} \\ 4b &= 12-b^2 \\ b^2+4b-12 &= 0 \\ (b-2)(b+6) &= 0 \\ b = 2 &\text{ atau } b = -6 (TM) \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \\ (\frac{y}{2})^2+y-4 &= 4 \\ \frac{y^2}{4}+y-8 &= 0 \\ y^2+4y-32 &= 0 \\ (y-4)(y+8) &= 0 \\ y = 4 &\text{ atau } y=-8 \\ ^2 log \, x &= 4 \\ x &= 16 \\ ^2 log \, x = -8 \\ x &= \frac{1}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>5x+\frac{1}{4x}</math> jika <math>25x^2+\frac{1}{16x^2}=\frac{13}{2}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (5x+\frac{1}{4x})^2 &= 25x^2+\frac{5}{2}+\frac{16}{x^2} \\ &= 25x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{5}{2} \\ &= \frac{13}{2}+\frac{5}{2} \\ &= 9 \\ &= \sqrt{9} \\ &= \pm 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= 1 \\ x-1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x+1)(x^2-x+1) &= (x+1)0 \\ x^3+1 &= 0 \\ x^3 &= -1 \\ x &= -1 \\ x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20} &= (-1)^{28}+(-1)^{25}+(-1)^{23}+(-1)^{20} \\ &= 1-1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=-1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= -1 \\ x+1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2-x+1) &= (x-1)0 \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20} &= x^{25}(x^{3}-1)+x^{20}(x^{3}-1) &= x^{25}(0)+x^{20}(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5}</math> jika <math>\frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5} &= 7 \\ \frac{2x-3+3}{2x-3}+\frac{2y-4+4}{2y-4}+\frac{2z-5+5}{2z-5} &= 7 \\ 1+\frac{3}{2x-3}+1+\frac{4}{2y-4}+1+\frac{5}{2z-5} &= 7 \\ \frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5} &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7}</math> jika <math>\frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7}=10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7} &= 10 \\ \frac{7+4x-4x}{4x-7}+\frac{7+5y-5y}{5y-7}+\frac{7+6z-6z}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x-(4x-7)}{4x-7}+\frac{5y-(5y-7)}{5y-7}+\frac{6z-(6z-7)}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}-1+\frac{5y}{5y-7}-1+\frac{6z}{6z-7}-1 &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7} &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ (x^3-2x+3)(x^2-3x+1 &= 0(x^3-2x+3) \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 0 \\ \text{cara 2} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2+3x^2-2x-9x+3 \\ &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2-2x+3x^2-9x+3 \\ &= x^3(x^2-3x+1)-2x(x^2-3x+1)+3(x^2-3x+1) \\ &= x^3(0)-2x(0)+3(0) \\ &= 0 \\ \text{cara 3} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2 &= 3x-1 \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x (3x-1) \\ &= 3x^2-x x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(3x^2-x) \\ &= 3x^3-x^2 \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= x(3x^3-x^2) \\ &= 3x^4-x^3 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 3x^4-x^3-3(3x^3-x^2)-(3x^2-x)+9(3x-1)-11x+3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{x-7}</math> jika x=<math>16+4\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= 16+4\sqrt{5} \\ x-7 &= 16-7+4\sqrt{5} \\ &= 9+4\sqrt{5} \\ &= (2+\sqrt{5})^2 \\ \sqrt{x-7} &= 2+\sqrt{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Berapakah nilai xyz dan <math>\frac{xy+xz}{yz}</math> dari x+y=14, x+z=13 dan y+z=3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga persamaan tersebut dijumlahkan menjadi } \\ 2x+2y+2z &= 30 \\ x+y+z &= 15 \\ \text{untuk mencari x, y dan z masing-masing } \\ z &= 1 \\ y &= 2 \\ x &= 12 \\ xyz &= 24 \\ \frac{xy+xz}{yz} &= \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 12}{2 \cdot 12} \\ &= \frac{14}{24} \\ &= \frac{7}{12} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Tentukan nilai dari x+y+z dan yz(xy-xz) merupakan bilangan bulat positif jika xy = 2, xz = 6 dan yz = 3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy \cdot yz \cdot xz &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (xyz)^2 &= 36 \\ xyz &= \pm 6 \\ xyz &= 6 \\ \frac{xyz}{xy} &= z = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{xyz}{yz} &= x = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{xyz}{xz} &= y = \frac{6}{6} = 1 \\ x+y+z &= 6 \\ yz(xy-xz) &= 3(2-6) = 3(-4) = -12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Tentukan nilai dari (x-z)^y jika <math>\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{xy}{x+y} &= \frac{1}{3} \\ \frac{x+y}{xy} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} &= 3 \\ \frac{yz}{y+z} &= \frac{1}{4} \\ \frac{y+z}{yz} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} &= 4 \\ \frac{xz}{x+z} &= \frac{1}{9} \\ \frac{x+z}{xz} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/x = a, 1/y = b dan 1/z = c} \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a+c &= 9 \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a-c &= -1 \\ a-c &= -1 \\ a+c &= 9 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a-c &= -1 \\ 4-c &= -1 \\ c &= 5 \\ a+b &= 3 \\ 4+b &= 3 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{x} &= 4 \\ x &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y} &= -1 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{z} &= 5 \\ z &= \frac{1}{5} \\ (x-z)^y &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Tentukan nilai dari x, y dan z jika <math>\frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5}</math> dan x+2y+3z=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5} &= k \\ x+y &= 2k \\ x+z &= 4k \\ y+z &= 5k \\ 2x+y+z &= 6k \\ 2x+5k &= 6k \\ k &= 2x \\ x &= \frac{k}{2} \\ y &= \frac{3k}{2} \\ z &= \frac{7k}{2} \\ x+2y+3z &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ x &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ y &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ z &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Tentukan nilai dari (y+z)^x jika <math>\frac{x+y+z}{2} = \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+y+z}{2} &= \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z} \\ x+y+z &= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}) \\ x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z} &= 0 \\ x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2\sqrt{z}+1 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{x-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{x-2} &= 1 \\ x-2 &= 1 \\ x &= 3 \\ (\sqrt{y-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{y-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{y-1} &= 1 \\ y-1 &= 1 \\ y &= 1 \\ (\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{z}-1 &= 0 \\ \sqrt{z} &= 1 \\ z &= 1 \\ (y+z)^x &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=95> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=96> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=97> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=98> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=102> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=103> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=104> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=105> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=106> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=107> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=109> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=110> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=111> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=112> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=113> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=114> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=115> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=116> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=117> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=118> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] bbnxd8agrv8hbjir8nhmcl6z4lh346q 121407 121406 2026-10-20T09:08:17Z Akuindo 8654 121407 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{(^4log \, x)^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (^4log \, x)^2} = \frac{1}{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^4 log \, x &= \frac{^2log \, x}{2} \\ \frac{\sqrt{(\frac{^2log \, x}{2})^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (\frac{^2log \, x}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } y &= ^2log \, x \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{16-y-(\frac{y}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{12-(-4+y+(\frac{y}{2})^2)} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } a &= (\frac{y}{2})^2+y-4 \\ \frac{\sqrt{a}}{12-a} &= \frac{1}{4}, a \ge 0 \\ \text{misalkan } \sqrt{a} &= b, b \ge 0 \\ \frac{b}{12-b^2} &= \frac{1}{4} \\ 4b &= 12-b^2 \\ b^2+4b-12 &= 0 \\ (b-2)(b+6) &= 0 \\ b = 2 &\text{ atau } b = -6 (TM) \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \\ (\frac{y}{2})^2+y-4 &= 4 \\ \frac{y^2}{4}+y-8 &= 0 \\ y^2+4y-32 &= 0 \\ (y-4)(y+8) &= 0 \\ y = 4 &\text{ atau } y=-8 \\ ^2 log \, x &= 4 \\ x &= 16 \\ ^2 log \, x = -8 \\ x &= \frac{1}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>5x+\frac{1}{4x}</math> jika <math>25x^2+\frac{1}{16x^2}=\frac{13}{2}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (5x+\frac{1}{4x})^2 &= 25x^2+\frac{5}{2}+\frac{16}{x^2} \\ &= 25x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{5}{2} \\ &= \frac{13}{2}+\frac{5}{2} \\ &= 9 \\ &= \sqrt{9} \\ &= \pm 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= 1 \\ x-1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x+1)(x^2-x+1) &= (x+1)0 \\ x^3+1 &= 0 \\ x^3 &= -1 \\ x &= -1 \\ x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20} &= (-1)^{28}+(-1)^{25}+(-1)^{23}+(-1)^{20} \\ &= 1-1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=-1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= -1 \\ x+1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2-x+1) &= (x-1)0 \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20} &= x^{25}(x^{3}-1)+x^{20}(x^{3}-1) &= x^{25}(0)+x^{20}(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5}</math> jika <math>\frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5} &= 7 \\ \frac{2x-3+3}{2x-3}+\frac{2y-4+4}{2y-4}+\frac{2z-5+5}{2z-5} &= 7 \\ 1+\frac{3}{2x-3}+1+\frac{4}{2y-4}+1+\frac{5}{2z-5} &= 7 \\ \frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5} &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7}</math> jika <math>\frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7}=10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7} &= 10 \\ \frac{7+4x-4x}{4x-7}+\frac{7+5y-5y}{5y-7}+\frac{7+6z-6z}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x-(4x-7)}{4x-7}+\frac{5y-(5y-7)}{5y-7}+\frac{6z-(6z-7)}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}-1+\frac{5y}{5y-7}-1+\frac{6z}{6z-7}-1 &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7} &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ (x^3-2x+3)(x^2-3x+1 &= 0(x^3-2x+3) \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 0 \\ \text{cara 2} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2+3x^2-2x-9x+3 \\ &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2-2x+3x^2-9x+3 \\ &= x^3(x^2-3x+1)-2x(x^2-3x+1)+3(x^2-3x+1) \\ &= x^3(0)-2x(0)+3(0) \\ &= 0 \\ \text{cara 3} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2 &= 3x-1 \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x (3x-1) \\ &= 3x^2-x x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(3x^2-x) \\ &= 3x^3-x^2 \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= x(3x^3-x^2) \\ &= 3x^4-x^3 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 3x^4-x^3-3(3x^3-x^2)-(3x^2-x)+9(3x-1)-11x+3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{x-7}</math> jika x=<math>16+4\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= 16+4\sqrt{5} \\ x-7 &= 16-7+4\sqrt{5} \\ &= 9+4\sqrt{5} \\ &= (2+\sqrt{5})^2 \\ \sqrt{x-7} &= 2+\sqrt{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Berapakah nilai xyz dan <math>\frac{xy+xz}{yz}</math> dari x+y=14, x+z=13 dan y+z=3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga persamaan tersebut dijumlahkan menjadi } \\ 2x+2y+2z &= 30 \\ x+y+z &= 15 \\ \text{untuk mencari x, y dan z masing-masing } \\ z &= 1 \\ y &= 2 \\ x &= 12 \\ xyz &= 24 \\ \frac{xy+xz}{yz} &= \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 12}{2 \cdot 12} \\ &= \frac{14}{24} \\ &= \frac{7}{12} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Tentukan nilai dari x+y+z dan yz(xy-xz) merupakan bilangan bulat positif jika xy = 2, xz = 6 dan yz = 3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy \cdot yz \cdot xz &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (xyz)^2 &= 36 \\ xyz &= \pm 6 \\ xyz &= 6 \\ \frac{xyz}{xy} &= z = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{xyz}{yz} &= x = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{xyz}{xz} &= y = \frac{6}{6} = 1 \\ x+y+z &= 6 \\ yz(xy-xz) &= 3(2-6) = 3(-4) = -12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Tentukan nilai dari (x-z)^y jika <math>\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{xy}{x+y} &= \frac{1}{3} \\ \frac{x+y}{xy} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} &= 3 \\ \frac{yz}{y+z} &= \frac{1}{4} \\ \frac{y+z}{yz} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} &= 4 \\ \frac{xz}{x+z} &= \frac{1}{9} \\ \frac{x+z}{xz} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/x = a, 1/y = b dan 1/z = c} \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a+c &= 9 \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a-c &= -1 \\ a-c &= -1 \\ a+c &= 9 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a-c &= -1 \\ 4-c &= -1 \\ c &= 5 \\ a+b &= 3 \\ 4+b &= 3 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{x} &= 4 \\ x &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y} &= -1 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{z} &= 5 \\ z &= \frac{1}{5} \\ (x-z)^y &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Tentukan nilai dari x, y dan z jika <math>\frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5}</math> dan x+2y+3z=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5} &= k \\ x+y &= 2k \\ x+z &= 4k \\ y+z &= 5k \\ 2x+y+z &= 6k \\ 2x+5k &= 6k \\ k &= 2x \\ x &= \frac{k}{2} \\ y &= \frac{3k}{2} \\ z &= \frac{7k}{2} \\ x+2y+3z &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ x &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ y &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ z &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Tentukan nilai dari (y+z)^x jika <math>\frac{x+y+z}{2} = \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+y+z}{2} &= \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z} \\ x+y+z &= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}) \\ x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z} &= 0 \\ x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2\sqrt{z}+1 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{x-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{x-2} &= 1 \\ x-2 &= 1 \\ x &= 3 \\ (\sqrt{y-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{y-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{y-1} &= 1 \\ y-1 &= 1 \\ y &= 1 \\ (\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{z}-1 &= 0 \\ \sqrt{z} &= 1 \\ z &= 1 \\ (y+z)^x &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=x> <li>x, y dan z merupakan bilangan tak nol. Jika x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x} maka berapa nilai xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{y} &= y+\frac{1}{z} \\ x-y &= \frac{1}{z}-\frac{1}{y} \\ &= \frac{y-z}{yz} \\ y+\frac{1}{z} &= z+\frac{1}{x} \\ y-z &= \frac{1}{x}-\frac{1}{z} \\ &= \frac{z-x}{xz} \\ z+\frac{1}{x} &= x+\frac{1}{y} \\ z-x &= \frac{1}{y}-\frac{1}{x} \\ &= \frac{x-y}{xy} \\ (x-y)(y-z)(z-x) &= (\frac{y-z}{yz}) \cdot (\frac{z-x}{xz}) \cdot (\frac{x-y}{xy}) \\ x^2y^2z^2 &= 1 \\ (xyz)^2 &= 1 \\ xyz &= \pm 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=95> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=96> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=97> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=98> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=102> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=103> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=104> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=105> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=106> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=107> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=109> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=110> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=111> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=112> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=113> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=114> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=115> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=116> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=117> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=118> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 271d548l61r4resglv6pia55gncico2 121408 121407 2026-10-20T09:15:47Z Akuindo 8654 121408 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan 2020 = p} \\ \sqrt{2015 \cdot 2017 \cdot 2023 \cdot 2025 + 64} &= \sqrt{(2020-5) \cdot (2020-3) \cdot (2020+3) \cdot (2020+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) \cdot (p+5) + 64} \\ &= \sqrt{(p-5) \cdot (p+5) \cdot (p-3) \cdot (p+3) + 64} \\ &= \sqrt{(p^2-25) \cdot (p^2-9) + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 225 + 64} \\ &= \sqrt{p^4-34p^2+ 289} \\ &= \sqrt{(p^2-17)^2} \\ &= p^2-17 \\ &= 2020^2-17 \\ &= (2000+20)^2-17 \\ &= 4.000.000+80.000+400-17 \\ &= 4.080.383 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} = \frac{9}{10}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}}}{\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}}} &= \frac{9}{10} \\ \text{misalkan untuk } \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} = p \\ \sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}}} &= p \\ x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{x^2-x-\sqrt{\dots}}} &= p^2 \\ x^2-x-p &= p^2 \\ x^2-2x+1+x-1 &= p^2+p \\ (x-1)^2+(x-1) &= p^2+p \\ x-1 &= p \\ \text{misalkan untuk } \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ \sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}}} &= q \\ x^2\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x^2 \dots}} &= q^3 \\ x^2 q &= q^3 \\ x^2 &= q^2 \\ x &= q \\ \frac{x-1}{x} &= \frac{9}{10} \\ x &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{x}{x+10})^{x+10}=\frac{1}{1024}</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{x+10}{x})^{-(x+10)} &= (1024)^{-1} \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 1024 \\ (\frac{x+10}{x})^{x+10} &= 2^{10} \\ (\frac{x+10}{x})^{\frac{x+10}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= 2 \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (\frac{1}{2})^{-1} \\ (1+\frac{10}{x})^{1+\frac{x}{10}} &= (1+(-\frac{1}{2}))^{(1+(-\frac{2}{1}))} \\ \frac{10}{x} &= -\frac{1}{2} \\ x &= -20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa nilai x dari <math>x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=4</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}} &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}})^2+2 \cdot \sqrt{x+\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2 \\ &= (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} &= 4 \\ x+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2} &= 4 \\ x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 4 \\ (\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2 &= 4 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2} &= 2 \\ \sqrt{x+\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \\ x+\frac{1}{4} &= \frac{9}{4} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8=0</math>?</li> </ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}}+x^2-8 &= 0 \\ \frac{x^3}{\sqrt{8-x^2}} &= 8-x^2 \\ x^3 &= (8-x^2)^{\frac{3}{2}} \\ x &= (8-x^2)^{\frac{1}{2}} \\ x^2 &= 8-x^2 \\ 2x^2-8 &= 0 \\ x^2-4 &= 0 \\ (x-2)(x+2) &= 0 \\ \text{membuktikan } \\ x=2 \text{ maka hasilnya 0 } \\ x=-2 \text{ maka hasilnya -8 } \\ \text{jadi } x=2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{2x-4}{3}+2x-6 = \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{3}{2x-4}+\frac{1}{2x-6} \\ \frac{2x-4}{3}+2x-6 &= \frac{1}{\frac{2x-4}{3}}+\frac{1}{2x-6} \\ \text{misalkan } \frac{2x-4}{3} = y \text{ dan } 2x-6 = z \\ y+z &= \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \\ y+z &= \frac{y+z}{yz} \\ y+z-\frac{y+z}{yz} &= 0 \\ (y+z)(1-\frac{1}{yz}) &= 0 \\ *y+z=0 \\ y+z &= 0 \\ y &= -z \\ \frac{2x-4}{3} &= -(2x-6) \\ \frac{2(x-2)}{3} &= -2(x-3) \\ \frac{x-2}{3} &= -x+3 \\ x-2 &= -3x+9 \\ 4x &= 11 \\ x &= \frac{11}{4} \\ *1-\frac{1}{yz}=0 \\ 1-\frac{1}{yz} &= 0 \\ yz-1 &= 0 \\ yz &= 1 \\ (\frac{2x-4}{3})(2x-6) &= 1 \\ \frac{4x^2-20x+24}{3} &= 1 \\ 4x^2-20x+24 &= 3 \\ 4x^2-20x+21 &= 0 \\ (2x-7)(2x-3) &= 0 \\ x = \frac{7}{2} &\text{ atau } x = \frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} = 5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[5]{\frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31}} &= 5 \\ \frac{x^{50}+x^{60}+x^{70}}{31} &= 5^5 \\ x^{50}+x^{60}+x^{70} &= 5^5 \cdot 31 \\ x^{50}(1+x^{10}+x^{20}) &= 5^5 \cdot 31 \\ (x^{10})^5(1+x^{10}+(x^{10})^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ \text{ misalkan } x^{10} = y \\ y^5(1+y+y^2) &= 5^5 \cdot 31 \\ y &= 5 \\ x^{10} &= 5 \\ x &= ^5log \, 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{3x+5+\sqrt{4x+5}} &= x \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \text{misalkan } \sqrt{4x+5}=y \text{ dan } 4x+5=y^2 \\ \sqrt{4x+5+\sqrt{4x+5}-x} &= x \\ \sqrt{y^2+y-x} &= x \\ y^2+y &= x^2+x \\ y=x \\ 4x+5 &= y^2 \\ 4x+5 &= x^2 \\ x^2-4x-5 &= 0 \\ (x-5)(x+1) &= 0 \\ x=5 &\text{ atau } x=-1 \text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{1+\sqrt{1+x}} = \sqrt[3]{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{1+\sqrt{1+x}} &= \sqrt[3]{x} \\ \sqrt[3]{x} &= n \\ x &= n^3 \\ \sqrt{1+\sqrt{1+n^3}} &= n \\ 1+\sqrt{1+n^3} &= n^2 \\ \sqrt{1+n^3} &= n^2-1 \\ 1+n^3 &= n^4-2n^2+1 \\ n^4-n^3-2n^2 &= 0 \\ n^2(n^2-n-2) &= 0 \\ n^2(n-2)(n+1) &= 0 \\ n=0, n=2 \text{ atau } n=-1 \\ n &= 0 \\ x &= 0^3 \\ &= 0 \\ n &= 2 \\ x &= 2^3 \\ &= 8 \\ n &= -1 \\ x &= (-1)^3 \\ &= -1 \\ \text{yang paling mungkin untuk nilai x adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{(^4log \, x)^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (^4log \, x)^2} = \frac{1}{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^4 log \, x &= \frac{^2log \, x}{2} \\ \frac{\sqrt{(\frac{^2log \, x}{2})^2+ ^2log \, x-4}}{16- ^2log \, x- (\frac{^2log \, x}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } y &= ^2log \, x \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{16-y-(\frac{y}{2})^2} &= \frac{1}{4} \\ \frac{\sqrt{(\frac{y}{2})^2+y-4}}{12-(-4+y+(\frac{y}{2})^2)} &= \frac{1}{4} \\ \text{misalkan } a &= (\frac{y}{2})^2+y-4 \\ \frac{\sqrt{a}}{12-a} &= \frac{1}{4}, a \ge 0 \\ \text{misalkan } \sqrt{a} &= b, b \ge 0 \\ \frac{b}{12-b^2} &= \frac{1}{4} \\ 4b &= 12-b^2 \\ b^2+4b-12 &= 0 \\ (b-2)(b+6) &= 0 \\ b = 2 &\text{ atau } b = -6 (TM) \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \\ (\frac{y}{2})^2+y-4 &= 4 \\ \frac{y^2}{4}+y-8 &= 0 \\ y^2+4y-32 &= 0 \\ (y-4)(y+8) &= 0 \\ y = 4 &\text{ atau } y=-8 \\ ^2 log \, x &= 4 \\ x &= 16 \\ ^2 log \, x = -8 \\ x &= \frac{1}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}} &= \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}} \\ \sqrt{x}(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}) &= (\sqrt{1+x}-\sqrt{x})\sqrt{1+x} \\ \sqrt{x(1+x)}+x &= 1+x-\sqrt{x(1+x)} \\ 2\sqrt{x(1+x)} &= 1 \\ \sqrt{x(1+x)} &= \frac{1}{2} \\ x(1+x) &= \frac{1}{4} \\ x^2+x &= \frac{1}{4} \\ 4x^2+4x &= 1 \\ 4x^2+4x-1 &= 0 \\ x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} \\ &= \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2} \\ \text{karena akar x harus minimal nol jadi } x = \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}}=\frac{11}{19}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-\sqrt{x+1}}{x+\sqrt{x+1}} &= \frac{11}{19} \\ \text{misalkan } \sqrt{x+1}=y \text{ dan } x=y^2-1 \\ \frac{y^2-1-y}{y^2-1+y} &= \frac{11}{19} \\ 19(y^2-y-1) &= 11(y^2+y-1) \\ 19y^2-19y-19 &= 11y^2+11y-11 \\ 8y^2-30y-8 &= 0 \\ 4y^2-15y-4 &= 0 \\ (4y+1)(y-4) &= 0 \\ y=-\frac{1}{4} \text{ (TM) atau } & y=4 \\ x &= 4^2-1 \\ &= 15 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa nilai x dari <math>\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}=98</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}} &= 98 \\ \text{misalkan } \sqrt{x^2-1}=y \\ \frac{x+y}{x-y}+\frac{x-y}{x+y} &= 98 \\ \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} &= 98 \\ \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} &= 98 \\ \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} &= 49 \\ x^2+y^2 &= 49(x^2-y^2) \\ x^2+y^2 &= 49x^2-49y^2 \\ 48x^2 &= 50y^2 \\ 24x^2 &= 25y^2 \\ 24x^2 &= 25(\sqrt{x^2-1})^2 \\ 24x^2 &= 25(x^2-1) \\ 24x^2 &= 25x^2-25 \\ x^2 &= 25 \\ x &= \pm 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \sqrt{x}=y \text{ dan } x=y^2 \\ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\sqrt{\frac{y^2}{y^2+y}} \\ \sqrt{y^2+y}-\sqrt{y^2-y} &= \frac{5}{4}\frac{y}{\sqrt{y^2+y}} \\ y^2+y-\sqrt{(y^2+y)(y^2-y)} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^4-y^2} &= \frac{5}{4}y \\ y^2+y-\sqrt{y^2(y^2-1)} &= \frac{5}{4}y \\ y(y+1)-y\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4}y \\ y+1-\sqrt{y^2-1} &= \frac{5}{4} \\ -\sqrt{y^2-1} &= \frac{1}{4}-y \\ y^2-1 &= (\frac{1}{4}-y)^2 \\ y^2-1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y+y^2 \\ -1 &= \frac{1}{16}-\frac{1}{2}y \\ \frac{1}{2}y &= \frac{1}{16}+1 \\ \frac{1}{2}y &= \frac{17}{16} \\ y &= \frac{17}{8} \\ x &= (\frac{17}{8})^2 \\ &= \frac{289}{64} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[4]{62+x}+\sqrt[4]{275-x}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ misalkan } \sqrt[4]{62+x}=a, 62+x=a^4, \sqrt[4]{275-x}=b \text{ dan } 275-x=b^4 \\ a+b &= 7 \\ (a+b)^2 &= 49 \\ a^2+b^2+2ab &= 49 \\ a^2+b^2 &= 49-2ab \\ a^4+b^4 &= 62+x+275-x \\ (a^2+b^2)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ (49-2ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2401-196ab+4(ab)^2-2(ab)^2 &= 337 \\ 2(ab)^2-196ab+2064 &= 0 \\ (ab)^2-98ab+1032 &= 0 \\ (ab-12)(ab-86) &= 0 \\ ab = 12 \text{ atau } & ab = 86 \text{ (TM) karena hasil kali maksimum yaitu 12 } \\ ab =12 \text{ dan } a+b=7 \\ a+b &= 7 \\ b &= 7-a \\ ab &= 12 \\ a(7-a) &= 12 \\ -a^2+7a &= 12 \\ a^2-7a+12 &= 0 \\ (a-3)(a-4) &= 0 \\ a=3 \text{ atau } & a=4 \\ a=3, b=4 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (3)^4 \\ 62+x &= 81 \\ x &= 19 \\ a=4, b=3 \\ 62+x &= a^4 \\ 62+x &= (4)^4 \\ 62+x &= 256 \\ x &= 194 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{(8+x)^2}-\sqrt[3]{(8+x)(27-x)}+\sqrt[3]{(27-x)^2} &= 7 \\ (\sqrt[3]{8+x})^2-\sqrt[3]{8+x} \sqrt[3]{27-x}+(\sqrt[3]{27-x})^2 &= 7 \\ \text{misalkan } \sqrt[3]{8+x}=a, 8+x=a^3, \sqrt[3]{27-x}=b \text{ dan } 27-x=b^3 \\ a^2-ab+b^2 &= 7 \\ a^3+b^3 &= 8+x+27-x \\ &= 35 \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ 35 &= (a+b)(7) \\ a+b &= 5 \\ b &= 5-a \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ 5^3 &= 35+3ab(5) \\ 125 &= 35+15ab \\ 80 &= 15ab \\ ab &= 6 \\ a(5-a) &= 6 \\ 5a-a^2 &= 6 \\ a^2-5a+6 &= 6 \\ (a-2)(a-3) &= 6 \\ a=2 &\text{ atau } a=3 \\ a=2, b=3 \text{ dan } a=3,b=2 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 2^3 \\ &= 8 \\ x &= 0 \\ 8+x &= a^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ x &= 19 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa nilai x dari 4 . 9^x+3 . 16^x = 7 . 12^x?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kemungkinan 1} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 +3 \cdot ((\frac{4}{3})^x)^2 &= 7 \cdot (\frac{4}{3})^x \\ \text{misalkan } (\frac{4}{3})^x = y \\ 4 +3y^2 &= 7y \\ 3y^2-7y+4 &= 0 \\ (3y-4)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{4}{3} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{4}{3} \\ (\frac{4}{3})^x &= \frac{4}{3} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{4}{3})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \text{kemungkinan 2} \\ 4 \cdot 9^x+3 \cdot 16^x &= 7 \cdot 12^x \\ 4 \cdot (3^2)^x+3 \cdot (4^2)^x &= 7 \cdot (4 \cdot 3)^x \\ 4 \cdot 3^{2x}+3 \cdot 4^{2x} &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot (3^x)^2+3 \cdot (4^x)^2 &= 7 \cdot 4^x \cdot 3^x \\ 4 \cdot ((\frac{3}{4})^x)^2 +3 &= 7 \cdot (\frac{3}{4})^x \\ \text{misalkan } (\frac{3}{4})^x = y \\ 4y^2 +3 &= 7y \\ 4y^2-7y+3 &= 0 \\ (4y-3)(y-1) &= 0 \\ y_1 = \frac{3}{4} &\text{ atau } y_2 = 1 \\ *y_1 = \frac{3}{4} \\ (\frac{3}{4})^x &= \frac{3}{4} \\ x &= 1 \\ *y_2 = 1 \\ (\frac{3}{4})^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa nilai x dari <math>3^x+5^x-9^x+15^x-25^x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3^x+5^x-9^x+15^x-25^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^2)^x+(3 \cdot 5)^x-(5^2)^x &= 1 \\ 3^x+5^x-(3^x)^2+(3^x \cdot 5^x)-(5^x)^2 &= 1 \\ \text{misalkan } 3^x=a \text{ dan } 5^x=b \\ a+b-a^2+ab-b^2 &= 1 \\ a^2-ab+b^2-a-b+1 &= 0 \\ 2a^2-2ab+2b^2-2a-2b+2 &= 0 \\ a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1 &= 0 \\ (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2 &= 0 \\ a-b=0; a-1=0; b-1 &= 0 \\ a=b &= 1 \\ 3^x &= 1 \\ x &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa nilai x dari <math>^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ \text{misalkan } 6x=a \text{ maka } x=\frac{a}{6} \\ ^6log \, x^2+^{6x}log \, \frac{6}{x} &= 1 \\ ^6log \, (\frac{a}{6})^2+^{6 \frac{a}{6}}log \, \frac{6}{\frac{a}{6}} &= 1 \\ ^6log \, \frac{a^2}{6^2}+^alog \, \frac{6^2}{a} &= 1 \\ ^6log \, a^2-^6log \, 6^2+^alog \, 6^2-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2 ^6log \, 6+2 ^alog \, 6-^alog \, a &= 1 \\ 2 ^6log \, a-2+2 \frac{1}{^6log \, a}-1 &= 1 \\ 2 ^6log \, a+2 \frac{1}{^6log \, a}-4 &= 0 \\ 2 ^6log^2 \, a-4 ^6log \, a+2 &= 0 \\ ^6log^2 \, a-2 ^6log \, a+1 &= 0 \\ (^6log \, a-1)^2 &= 0 \\ ^6log \, a &= 1 \\ a &= 6 \\ x &= \frac{a}{6} \\ &= \frac{6}{6} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa nilai x dari (x+500)³+x=20?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+500)^3+x &= 20 \\ \text{misalkan } a=x+500 \text{ maka } x=a-500 \\ a^3+a-500 &= 20 \\ a^3+a &= 520 \\ a(a^2+1) &= 8 \cdot 65 \\ a(a^2+1) &= 8(64+1) \\ a(a^2+1) &= 8(8^2+1) \\ a &= 8 \\ x &= 8-500 \\ &= -492 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}}-\frac{1}{2} &= 0 \\ \sqrt[n]{\frac{x^n+4^n}{x^n+16^n}} &= \frac{1}{2} \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= (\frac{1}{2})^n \\ \frac{x^n+4^n}{x^n+16^n} &= \frac{1}{2^n} \\ 2^n(x^n+4^n) &= x^n+16^n \\ 2^n(x^n+2^{2n}) &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n+2^{3n} &= x^n+2^{4n} \\ 2^n \cdot x^n-x^n &= 2^{4n}-2^{3n} \\ x^n(2^n-1) &= 2^{3n}(2^n-1) \\ x^n &= 2^{3n} \\ x^n &= (2^3)^n \\ x^n &= 8^n \\ x &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ x &= \frac{\sqrt{30}+\sqrt{25}+\sqrt{24}+\sqrt{20}}{\sqrt{20}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5 \cdot 6}+\sqrt{5 \cdot 5}+\sqrt{6 \cdot 4}+\sqrt{5 \cdot 4}}{\sqrt{5 \cdot 4}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{6}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{6} \cdot \sqrt{4}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{4}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{\sqrt{6}(\sqrt{5}+\sqrt{4})+\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ &= \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}} \\ \frac{1}{x} &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})}+\frac{\sqrt{5}+\sqrt{4}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{4})} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{5-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6-5} \\ &= \frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{1}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{1} \\ &= \sqrt{5}-\sqrt{4}+\sqrt{6}-\sqrt{5} \\ &= \sqrt{6}-\sqrt{4} \\ &= \sqrt{6}-2 \\ x &= \frac{1}{\sqrt{6}-2} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{6-4} \\ &= \frac{\sqrt{6}+2}{2} \\ &= 1+\frac{\sqrt{6}}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil dari <math>(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}})^5 \\ \text{misalkan } x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ x &= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{32}} \\ &= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}+1}{4} \\ 4x &= \sqrt{3}+1 \\ 4x-1 &= \sqrt{3} \\ (4x-1)^2 &= 3 \\ 16x^2-8x+1 &= 3 \\ 16x^2 &= 8x+2 \\ 8x^2 &= 4x+1 \\ x^2 &= \frac{4x+1}{8} \\ *cara 1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(\frac{4x+1}{8}) \\ &= \frac{4x^2+x}{8} \\ &= \frac{4x^2}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4(\frac{4x+1}{8})}{8}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{16x+4}{64}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1}{16}+\frac{x}{8} \\ &= \frac{4x+1+2x}{16} \\ &= \frac{6x+1}{16} \\ x^5 &= x^2 \cdot x^3 \\ &= (\frac{4x+1}{8})(\frac{6x+1}{16}) \\ &= \frac{24x^2+10x+1}{128} \\ &= \frac{24x^2}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{24(\frac{4x+1}{8})}{128}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24}{1024}+\frac{10x+1}{128} \\ &= \frac{96x+24+80x+8}{1024} \\ &= \frac{176x+32}{1024} \\ &= \frac{176x}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{176}{1024}(\frac{\sqrt{3}+1}{4})+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44(\sqrt{3}+1)}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{44\sqrt{3}+44}{1024}+\frac{32}{1024} \\ &= \frac{76+44\sqrt{3}}{1024} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ *cara 2 \\ x^4 &= (x^2)^2 \\ &= (\frac{4x+1}{8})^2 \\ &= \frac{16x^2+8x+1}{64} \\ &= \frac{16x^2}{64}+\frac{8x}{64}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{\frac{4x+1}{8}}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{4x}{32}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{8}+\frac{1}{32}+\frac{x}{8}+\frac{1}{64} \\ &= \frac{x}{4}+\frac{3}{64} \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{x}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{4}}{4}+\frac{3}{64}) \\ &= (\frac{\sqrt{3}+1}{4})(\frac{\sqrt{3}+1}{16}+\frac{3}{64}) \\ &= \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{64}+(\frac{\sqrt{3}+1}{4})\frac{3}{64} \\ &= \frac{3+2\sqrt{3}+1}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{4+2\sqrt{3}}{64}+\frac{3(\sqrt{3}+1)}{256} \\ &= \frac{16+8\sqrt{3}}{256}+\frac{3\sqrt{3}+3}{256} \\ &= \frac{19+11\sqrt{3}}{256} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{1}{4}+\frac{5}{16}+\frac{9}{64}+\frac{13}{256}+\dots \\ \frac{x}{4} &= \frac{1}{16}+\frac{5}{64}+\frac{9}{256}+\frac{13}{1.024}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+\frac{4}{16}+\frac{4}{64}+\frac{4}{256}+\dots \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots) \\ \frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\dots &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \\ \frac{3x}{4} &= \frac{1}{4}+4(\frac{4}{3}) \\ &= \frac{1}{4}+\frac{16}{3} \\ &= \frac{67}{12} \\ x &= \frac{67}{9} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa nilai y-x jika <math>\frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} = \frac{x}{y}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1+2+3+4+ \dots + 106}{4+5+6+7+ \dots + 109} &= \frac{x}{y} \\ \frac{\frac{106 \times 107}{2}}{\frac{106}{2}(4+109)} &= \frac{x}{y} \\ \frac{53 \times 107}{53 \times 113} &= \frac{x}{y} \\ y-x &= 113-107 = 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan angka satuannya} \\ 17^1 &= 7 \\ 17^2 &= 9 \\ 17^3 &= 3 \\ 17^4 &= 1 \\ 17^5 &= 7 \\ 17^6 &= 9 \\ 17^7 &= 3 \\ 17^8 &= 1 \\ \text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1} \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ 1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024! &= 1 + (1x2) + (1x2x3) + (1x2x3x4) + \dots + 2024! \\ &= 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 + \dots + 2024! \\ \text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka } 1+2+6+24 = 33 \text{ jadi angka satuannya adalah } 3 \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{Perhatikan} \\ \frac{1! + 2! + 3! + 4! + \dots + 2024!}{12} &= \frac{1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + \dots + 2024!}{12} \\ &= \frac{1 + 2 + 6 + 24 + \dots + 2024!}{12} \\ \text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi } 1+2+6 = 9 \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Penjumlahan bilangan 1 masing-masing seperti 1+1+1+1+… sebanyak 88 buah ditambah x dan y maka hasilnya A dan perkalian bilangan 1 masing-masing 1x1x1x… sebanyak 88 buah dikali x dan y maka hasilnya A maka berapa nilai A?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{penjumlahan} \\ 1+1+1+1+ \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }+x+y &= A \\ 88+x+y &= A \\ \text{perkalian} \\ 1 \times 1 \times 1 \times \dots \text{ (sebanyak 88 buah) }\times x \times y &= A \\ x \times y &= A \\ 88+x+y &= xy \\ xy-y &= 88+x \\ y(x-1) &= 88+x \\ y &= \frac{88+x}{x-1} \\ \text{uji selidiki untuk x=2} \\ y &= \frac{88+2}{2-1} \\ &= 90 \\ \text{buktikan} \\ 88+x+y &= xy \\ 88+2+90 &= 2(90) \\ 180 &= 180 \\ \text{terbukti} \\ \text{nilai A adalah } 180 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapakah nilai x, y dan z dari <math>x+y-z=1, x^2+y^2-z^2=-5 \text{ dan } x^3+y^3-z^3=-53</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+y-z &= 1 \\ x+y &= z+1 \\ x^2+2xy+y^2 &= z^2+2z+1 \\ x^2+y^2-z^2 &= 2z+1-2xy \\ -5 &= 2z+1-2xy \\ 2xy &= 2z+6 \\ xy &= z+3 \\ x^2+y^2-z^2 &= -5 \\ x^2+y^2 &= z^2-5 \\ x^3+y^3-z^3 &= -53 \\ (x+y)(x^2-xy+y^2)-z^3+53 &= 0 \\ (x+y)(x^2+y^2-xy)-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-5-(z+3))-z^3+53 &= 0 \\ (z+1)(z^2-z-8)-z^3+53 &= 0 \\ z^3-z^2-8z+z^2-z-8-z^3+53 &= 0 \\ -9z+45 &= 0 \\ -9z &= -45 \\ z &= 5 \\ x+y &= 5+1 \\ x+y &= 6 \\ x &= 6-y \\ xy &= 5+3 \\ xy &= 8 \\ (6-y)y &= 8 \\ 6y-y^2 &= 8 \\ y^2-6y+8 &= 0 \\ (y-4)(y-2) &= 0 \\ y=4 \text{ atau } y=2 \\ \text{jika } y=4 \\ x+y &= z+1 \\ x+4 &= 5+1 \\ x &= 2 \\ \text{jika } y=2 \\ x+y &= z+1 \\ x+2 &= 5+1 \\ x &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=31> <li>Berapakah nilai titik koordinat (x,y) dari <math>\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{432x}{13y}}</math> dan <math>\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=\sqrt{\frac{52y}{3x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} &= \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ (\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y})(\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}) &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \cdot \sqrt{\frac{52y}{3x}} \\ x+y-x+y &= \sqrt{\frac{432x \cdot 52y}{13y \cdot 3x}} \\ 2y &= \sqrt{144 \cdot 4} \\ 2y &= \sqrt{576} \\ 2y &= 24 \\ y &= 12 \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13y}} \\ \sqrt{x+12}+\sqrt{x-12} &= \sqrt{\frac{432x}{13(12)}} \\ x+12+x-12+2 \cdot \sqrt{x+12} \cdot \sqrt{x-12} &= \frac{36x}{13} \\ 2x+2 \sqrt{x^2-144} &= \frac{36x}{13} \\ 2(x+\sqrt{x^2-144}) &= \frac{36x}{13} \\ x+\sqrt{x^2-144} &= \frac{18x}{13} \\ \sqrt{x^2-144} &= \frac{5x}{13} \\ x^2-144 &= \frac{25x^2}{169} \\ \frac{144x^2}{169}-144 &= 0 \\ \frac{x^2}{169}-1 &= 0 \\ x^2-169 &= 0 \\ (x-13)(x+13) &= 0 \\ x_1=13 &\text{ atau } x_2=-13 \text{ (TM) karena } x>y \\ \end{align} </math> jadi titik koordinat (13,12) </div></div> <ol start=32> <li>Berapakah nilai dari <math>x^2-7x</math> jika <math>(x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} = 11</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x-2)^2+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11 \\ (x-2)^2-2(x-2)\frac{1}{(x-2)}+\frac{1}{(x-2)^2} &= 11-2 \\ (x-2-\frac{1}{x-2})^2 &= 9 \\ x-2-\frac{1}{x-2} &= 3 \\ (x-2)^2-1 &= 3(x-2) \\ x^2-4x+4-1 &= 3x-6 \\ x^2-7x &= -9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=33> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(x+y)^2(x+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}</math> jika xy+yz+xz=1?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy+yz+xz &= 1 \\ x^2+xy+yz+xz &= x^2+1 \\ x(x+y)+z(x+y) &= x^2+1 \\ (x+y)(x+z) &= x^2+1 \\ \text{dengan pola yang sama } \\ (y+x)(y+z) &= y^2+1 \\ (x+z)(y+z) &= z^2+1 \\ \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)} &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(x+z)(y+z)} \\ &= \frac{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2}{(x+y)^2(y+z)^2(x+z)^2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapakah nilai dari w+x+y+z jika w+5=x+4=y+3=z+2=w+x+y+z+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} w+5 &= w+x+y+z+5 \\ x+4 &= w+x+y+z+5 \\ y+3 &= w+x+y+z+5 \\ z+2 &= w+x+y+z+5 \\ \text{jumlahkan keempat persamaan } \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z+5) \\ w+x+y+z+14 &= 4(w+x+y+z)+20 \\ 3(w+x+y+z) &= -6 \\ w+x+y+z &= -2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2}</math> jika <math>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3</math> dan x+y+z=xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2}{x^2y^2z^2} &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \\ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}) \\ 3^2 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{z+x+y}{xyz}) \\ 9 &= \frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2(\frac{xyz}{xyz}) \\ &= \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2 \\ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} &= 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z}</math> jika <math>x^2+y^2+z^2 = -2(ab+bc+ac)</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+z^2 &= -2(xy+yz+xz) \\ x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz) &= 0 \\ (x+y+z)^2 &= 0 \\ x+y+z &= 0 \\ x+y &= -z \\ x+z &= -y \\ y+z &= -x \\ \frac{2z}{x+y}-\frac{5y}{x+z}-\frac{7x}{y+z} &= \frac{2z}{-z}-\frac{5y}{-y}-\frac{7x}{-x} \\ &= -2-(-5)-(-7) \\ &= 10 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{20xyz}{xy+yz+xz}</math> jika <math>16^x = 256^y = 625^z = 40</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 16^x = 256^y = 625^z &= 40 \\ 2^{4x} = 4^{4y} = 5^{4z} &= 40 \\ 2^{4x} &= 40 \\ 2 &= 40^{\frac{1}{4x}} \\ 4^{4y} &= 40 \\ 4 &= 40^{\frac{1}{4y}} \\ 5^{4z} &= 40 \\ 5 &= 40^{\frac{1}{4z}} \\ 2 \cdot 4 \cdot 5 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x}} \cdot 40^{\frac{1}{4y}} \cdot 40^{\frac{1}{4z}} \\ 40 &= 40^{\frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z}} \\ 1 &= \frac{1}{4x} + \frac{1}{4y} + \frac{1}{4z} \\ 4 &= \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \\ \frac{20xyz}{xy+yz+xz} &= 20 \cdot \frac{xyz}{xy+yz+xz} \\ &= 20 \cdot (\frac{xy+yz+xz}{xyz})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})^{-1} \\ &= 20 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})^{-1} \\ &= 20 \cdot (4)^{-1} \\ &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=38> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+3x^2+1}</math> jika <math>6x^2+25x+6=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 6x^2+25x+6 &= 0 \\ 6x+25+\frac{6}{x} &= 0 \\ 6(x+\frac{1}{x}) &= -25 \\ x+\frac{1}{x} &= \frac{-25}{6} \\ (c+\frac{1}{x})^2 &= (\frac{-25}{6})^2 \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36} \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{625}{36}-2 \\ x^2+\frac{1}{x^2} &= \frac{553}{36} \\ \frac{x^2}{x^4+3x^2+1} &= \frac{1}{x^2+3+\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{1}{a^2+\frac{1}{x^2}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{553}{36}+3} \\ &= \frac{1}{\frac{661}{36}} \\ &= \frac{36}{661} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=39> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{(9+4\sqrt{5})^{1013}}{(38+17\sqrt{5})^{675}}+6-\sqrt{5} &= \frac{(9+2\sqrt{20})^{1013}}{((2)^3+3(2)^2(\sqrt{5})+3(2)(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{((2+\sqrt{5})^2)^{1013}}{((2+\sqrt{5})^3)^{675}}+6-\sqrt{5} \\ &= \frac{(2+\sqrt{5})^{2026}}{(2+\sqrt{5})^{2025}}+6-\sqrt{5} \\ &= 2+\sqrt{5}+6-\sqrt{5} \\ &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=40> <li>Berapakah nilai dari <math>27x^3+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>3x+\frac{2}{x}=6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 3x+\frac{2}{x} &= 6 \\ (3x+\frac{2}{x})^3 &= 6^3 \\ 27x^3+3(3x)(\frac{2}{x})(3x+\frac{2}{x})+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+18(6)+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+108+\frac{8}{x^3} &= 216 \\ 27x^3+\frac{8}{x^3} &= 108 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=41> <li>Berapakah nilai dari <math>x^6+\frac{8}{x^3}</math> jika <math>x^3+\frac{1}{x^3}=8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^3+\frac{1}{x^3} &= 8 \\ x^3 &= 8-\frac{1}{x^3} \\ x^6 &= 8x^3-1 \\ x^6+\frac{8}{x^3} &= 8x^3-1+\frac{8}{x^3} \\ &= 8x^3+\frac{8}{x^3}-1 \\ &= 8(x^3+\frac{1}{x^3})-1 \\ &= 8(8)-1 \\ &= 63 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=42> <li>Berapakah nilai dari <math>4x+\frac{25}{x}</math> jika <math>2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}}=4x-\frac{25}{x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= 4x-\frac{25}{x} \\ 2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}} &= (2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt{x}})(2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}}) \\ 1 &= 2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}} \\ 1^2 &= (2\sqrt{x}-\frac{5}{\sqrt{x}})^2 \\ 1 &= 4x-20+\frac{25}{x} \\ 4x+\frac{25}{x} &= 21 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=43> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{5}{6}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x^2+1-x}{x^2+1+x} &= \frac{5}{6} \\ \frac{x+\frac{1}{x}-1}{x+\frac{1}{x}+1} &= \frac{5}{6} \\ \text{ misalkan } x+\frac{1}{x} &= y \\ \frac{y-1}{y+1} &= \frac{5}{6} \\ 6(y-1) &= 5(y+1) \\ 6y-6 &= 5y+5 \\ y &= 11 \\ x+\frac{1}{x} &= 11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=44> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt{x}+x=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{x}+x &= 1 \\ x-1 &= -\sqrt{x} \\ (x-1)^2 &= (-\sqrt{x})^2 \\ x^2-2x+1 &= x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x-3+\frac{1}{x} &= 0 \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=45> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{1}{x}</math> jika <math>\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36} &= 3 \\ (\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36})^3 &= 3^3 \\ x-(x-36)-3 \sqrt[3]{x(x-36)}(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x-36}) &= 27 \\ 36-3 \sqrt[3]{x(x-36)}3 &= 27 \\ -9 \sqrt[3]{x(x-36)} &= -9 \\ \sqrt[3]{x(x-36)} &= 1 \\ x(x-36) &= 1 \\ x^2-36x-1 &= 0 \\ x-36-\frac{1}{x} &= 0 \\ x-\frac{1}{x} &= 36 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=46> <li>Berapakah nilai dari <math>x+\frac{16}{x}</math> jika <math>x-3\sqrt{x}=4</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x-3\sqrt{x} &= 4 \\ x-4 &= 3\sqrt{x} \\ x^2-8x+16 &= 9x \\ x^2-17x+16 &= 0 \\ x-17+\frac{16}{x} &= 0 \\ x+\frac{16}{x} &= 17 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=47> <li>Berapakah nilai dari <math>5x+\frac{1}{4x}</math> jika <math>25x^2+\frac{1}{16x^2}=\frac{13}{2}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (5x+\frac{1}{4x})^2 &= 25x^2+\frac{5}{2}+\frac{16}{x^2} \\ &= 25x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{5}{2} \\ &= \frac{13}{2}+\frac{5}{2} \\ &= 9 \\ &= \sqrt{9} \\ &= \pm 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=48> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= 1 \\ x-1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x+1)(x^2-x+1) &= (x+1)0 \\ x^3+1 &= 0 \\ x^3 &= -1 \\ x &= -1 \\ x^{28}+x^{25}+x^{23}+x^{20} &= (-1)^{28}+(-1)^{25}+(-1)^{23}+(-1)^{20} \\ &= 1-1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=49> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20}</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=-1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= -1 \\ x+1+\frac{1}{x} &= 0 \\ x^2-x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2-x+1) &= (x-1)0 \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{28}-x^{25}+x^{23}-x^{20} &= x^{25}(x^{3}-1)+x^{20}(x^{3}-1) &= x^{25}(0)+x^{20}(0) \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=50> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5}</math> jika <math>\frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5}=7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2x}{2x-3}+\frac{2y}{2y-4}+\frac{2z}{2z-5} &= 7 \\ \frac{2x-3+3}{2x-3}+\frac{2y-4+4}{2y-4}+\frac{2z-5+5}{2z-5} &= 7 \\ 1+\frac{3}{2x-3}+1+\frac{4}{2y-4}+1+\frac{5}{2z-5} &= 7 \\ \frac{3}{2x-3}+\frac{4}{2y-4}+\frac{5}{2z-5} &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=51> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7}</math> jika <math>\frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7}=10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7}{4x-7}+\frac{7}{5y-7}+\frac{7}{6z-7} &= 10 \\ \frac{7+4x-4x}{4x-7}+\frac{7+5y-5y}{5y-7}+\frac{7+6z-6z}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x-(4x-7)}{4x-7}+\frac{5y-(5y-7)}{5y-7}+\frac{6z-(6z-7)}{6z-7} &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}-1+\frac{5y}{5y-7}-1+\frac{6z}{6z-7}-1 &= 10 \\ \frac{4x}{4x-7}+\frac{5y}{5y-7}+\frac{6z}{6z-7} &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=52> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^2}{x^4+4}</math> jika <math>x^2-7x+2=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-7x+2 &= 0 \\ x^2+2 &= 7x \\ x+\frac{2}{x} &= 7 \\ x^2+4+\frac{4}{x^2} &= 49 \\ x^2+\frac{4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^4+4}{x^2} &= 45 \\ \frac{x^2}{x^4+4} &= \frac{1}{45} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=53> <li>Berapakah nilai dari <math>x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1}</math> jika <math>x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{1}{2}}+2+x^{-\frac{1}{2}} &= 25 \\ x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} &= 23 \\ x+2+x^{-1} &= 529 \\ x+x^{-1} &= 527 \\ x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}} &= 5 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}})+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+3(5)+x^{-\frac{3}{4}} &= 125 \\ x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} &= 110 \\ x+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}}+x^{-1} &= x+x^{-1}+x^{\frac{3}{4}}+x^{-\frac{3}{4}} \\ &= 527+110 \\ &= 637 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=54> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1}</math> jika <math>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5}=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x^5} &= 0 \\ \frac{x^2+x+1}{x^5} &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x+1 &= 0 \\ (x-1)(x^2+x+1) &= 0(x-1) \\ x^3-1 &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ \sqrt{8x^6+x^5+x^4+5x^3+1} &= \sqrt{(2x^3)^2+x^3x^2+x^3x+5x^3+1} \\ &= \sqrt{(2(1))^2+(1)x^2+(1)x+5(1)+1} \\ &= \sqrt{(2)^2+x^2+x+5+1} \\ &= \sqrt{4+x^2+x+1+5} \\ &= \sqrt{4+0+5} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=55> <li>Berapakah nilai dari <math>f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(99)</math> jika <math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \\ &= \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{x+1-x} \\ &= \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \\ f(1)+f(2)+f(3)+ \dots + f(98)+f(99) &= \sqrt{1+1}-\sqrt{1}+\sqrt{2+1}-\sqrt{2}+\sqrt{3+1}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{98+1}-\sqrt{98}+\sqrt{99+1}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+ \cdot + \sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99} \\ &= \sqrt{100}-\sqrt{1} \\ &= 10-1 \\ &= 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=56> <li>Berapakah nilai dari <math>5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots + \frac{2024}{2025})</math> jika <math>h(x)=\frac{3}{3+9^x}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} h(x) &= \frac{3}{3+9^x} \\ h(1-x) &= \frac{3}{3+9^{1-x}} \\ &= \frac{3}{3+\frac{9}{9^x}} \\ &= \frac{9^x}{3+9^x} \\ h(x)+h(1-x) &= \frac{3}{3+9^x}+\frac{9^x}{3+9^x} \\ &= \frac{3+9^x}{3+9^x} \\ &= 1 \\ & 5(\frac{1}{2025}+\frac{2}{2025}+\frac{3}{2025}+ \dots +(1-\frac{2}{2025})+(1-\frac{1}{2025})) \\ & 5(1+1+1+ \dots +1+1) \text{ sebanyak 1012 kali } \\ & 5(1012) \\ & 5060 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=57> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{7^{2025} - 7^{2023} + 432}{7^{2024} + 7^{2023} + 72}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72} &= \frac{7^{2023}7^{2}-7^{2023} + 48 \times 9}{7^{2023}7^1+7^{2023}+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(7^{2}-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7^1+1)+8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023}(49-1)+48 \times 9}{7^{2023}(7+1) + 8 \times 9} \\ &= \frac{7^{2023} \times 48+48 \times 9}{7^{2023} \times 8+8 \times 9} \\ &= \frac{48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)} \\ &= \frac{48}{8} \\ &= 6 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=58> <li>Berapakah nilai dari <math>tan \, (x+\frac{\pi}{4})</math> jika <math>\frac{1}{cos \, x}-tan \, x = \frac{4}{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{cos \, x}-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec \, x-tan \, x &= \frac{4}{5} \\ sec^2 \, x-tan^2 \, x &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)(sec \, x-tan \, x) &= 1 \\ (sec \, x+tan \, x)\frac{4}{5} &= 1 \\ sec \, x+tan \, x &= \frac{5}{4} \\ \text{kedua persamaan dengan cara metode eliminasi } \\ 2 tan \, x &= \frac{5}{4}-\frac{4}{5} \\ 2 tan \, x &= \frac{9}{20} \\ tan \, x &= \frac{9}{40} \\ tan \, (x+\frac{\pi}{4}) &= \frac{tan \, x+tan \, \frac{\pi}{4}}{1-tan \, x \cdot tan \, \frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\frac{9}{40}+1}{1-\frac{9}{40} \cdot 1} \\ &= \frac{\frac{49}{40}}{\frac{31}{40}} \\ &= \frac{49}{31} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=59> <li>Berapakah nilai dari <math>sin^3 \, x+csc^3 \, x</math> jika <math>sin \, x-csc \, x = 8</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ Dengan menggunakan rumus: } (a-b)^3 &= a^3-b^3-3ab(a-b) \\ (sin \, x-csc \, x)^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x csc \, x(sin \, x-csc \, x) \\ 8^3 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-3 sin \, x (\frac{1}{sin \, x})(8) \\ 512 &= sin^3 \, x-csc^3 \, x-24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 512+24 \\ sin^3 \, x-csc^3 \, x &= 536 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=60> <li>Berapakah nilai dari <math>(sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2</math> jika <math>\frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{sin \, x}+\frac{1}{cos \, x} &= 10 \\ \frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 x} &= 100 \\ (sin \, x+\frac{1}{cos \, x})^2+(cos \, x+\frac{1}{sin \, x})^2 &= sin^2 \, x+\frac{2 sin \, x}{cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x}+cos^2 \, x+\frac{2cos \, x}{sin \, x}+\frac{1}{sin^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2(sin^2 \, x+cos^2 \, x)}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+\frac{1}{sin^2 \, x}+\frac{2}{sin \, x \cdot cos \, x}+\frac{1}{cos^2 \, x} \\ &= 1+100 \\ &= 101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=61> <li>Berapakah nilai dari (x-1)⁶ jika <math>x=\frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} sin \, 80^\circ &= cos \, 10^\circ \\ sin \, 80^\circ-cos \, 10^\circ &= 0 \\ x &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+sin \, 40^\circ}{sin \, 80^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+2 sin \, 20^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= \frac{4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ cos \, 10^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 10^\circ cos \, 20^\circ}{cos \, 10^\circ} \\ &= 4 cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+4 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ \\ &= 2(2 \, cos \, 55^\circ cos \, 25^\circ+2 sin \, 10^\circ cos \, 20^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ+sin \, (-10)^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ-sin \, 10^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, 10^\circ+cos \, 30^\circ+sin \, 30^\circ) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-sin \, (90^\circ-80^\circ)+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(cos \, 80^\circ-cos \, 80^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= 2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}) \\ &= \sqrt{3}+1 \\ x-1 &= \sqrt{3} \\ (x-1)^6 &= (\sqrt{3})^6 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=62> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>x=\frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \frac{x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ}{2 sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ} \\ 2x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= x sin \, 20^\circ-x^2 sin \, 10^\circ \\ x^2 sin \, 10^\circ+x sin \, 20^\circ-x sin \, 40^\circ &= 0 \\ x(x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ) &= 0 \\ x = 0 &\text{ atau } x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40^\circ = 0 \\ x sin \, 10^\circ+sin \, 20^\circ-sin \, 40 ^\circ &= 0 \\ x sin \, 10^\circ &= sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ \\ x &= \frac{sin \, 40^\circ-sin \, 20^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= \frac{2 cos \, 30 ^\circ sin \, 10^\circ}{sin \, 10^\circ} \\ &= 2 cos \, 30 ^\circ \\ &= \frac{2 \sqrt{3}}{2} \\ &= \sqrt{3} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=63> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x^2}{x^2-16y^2} = \frac{625}{49}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x^2}{x^2-16y^2} &= \frac{625}{49} \\ \frac{x^2-16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \text{ (terbalik posisinya)} \\ 1-\frac{16y^2}{x^2} &= \frac{49}{625} \\ \frac{16y^2}{x^2} &= 1 - \frac{49}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= \frac{576}{625} \\ (\frac{4y}{x})^2 &= (\frac{24}{25})^2 \\ \frac{4y}{x} &= \frac{24}{25} \\ \frac{y}{x} &= \frac{6}{25} \\ \frac{x}{y} &= \frac{25}{6} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=64> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x}{y}</math> jika <math>\frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} = 2</math> serta bilangan real untuk x dan y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y}+\frac{x+10y}{y+10x} &= 2 \\ \frac{x}{y}+\frac{\frac{x}{y}+10}{1+10\frac{x}{y}} &= 2 \\ \text{misalkan } \frac{x}{y} = a \\ a+\frac{a+10}{1+10a} &= 2 \\ a(1+10a)+a+10 &= 2(1+10a) \\ 10a^2+a+a+10 &= 2+20a \\ 10a^2-18a+8 &= 0 \\ 5a^2-9a+4 &= 0 \\ (5a-4)(a-1) &= 0 \\ a = \frac{4}{5} &\text{ atau } a = 1 \\ \text{jadi } \frac{x}{y} = {\frac{4}{5}, 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=65> <li>Berapakah nilai dari xy jika <math>x^4+y^4+x^2y^2=15 \text{ dan } x^2+y^2+xy=5</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+y^2+xy &= 5 \\ x^2+y^2 &= 5-xy \\ x^4+y^4+x^2y^2 &= 15 \\ (x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2 &= 15 \\ (5-xy)^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy+x^2y^2-x^2y^2 &= 15 \\ 25-10xy &= 15 \\ 10xy &= 10 \\ xy &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=66> <li>Berapakah nilai dari x jika <math>4^x = 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 4^x &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)+1 \\ 4^x-1 &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{4^3-1} \\ &= 63(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \frac{4^3-1}{63} \\ &= (4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1)(4^3-1) \\ &= (4^3-1)(4^3+1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^6-1)(4^6+1)(4^{12}+1) \\ &= (4^{12}-1)(4^{12}+1) \\ &= 4^{24}-1 \\ 4^x &= 4^{24} \\ x &= 24 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=67> <li>Berapakah nilai dari <math>\frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1}</math> jika <math>x=\sqrt{9+4\sqrt{5}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= \sqrt{9+4\sqrt{5}} \\ x &= 2+\sqrt{5} \\ x^2 &= 9+4\sqrt{5} \\ x^2-4x &= 9+4\sqrt{5}-4(2+\sqrt{5}) \\ x^2-4x &= 1 \\ x^2 &= 4x+1 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x(4x+1) \\ &= 4x^2+x \\ &= 4(4x+1)+x \\ &= 16x+4+x \\ &= 17x+4 \\ x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(17x+4) \\ &= 17x^2+4x \\ &= 17(4x+1)+4x \\ &= 68x+17+4x \\ &= 72x+17 \\ \frac{x^4-5x^3+2x^2+5x+3}{x^2-4x+1} &= \frac{72x+17-5(17x+4)+2(4x+1)+5x+3}{1+1} \\ &= \frac{72x+17-85x-20+8x+2+5x+3}{2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=68> <li>Berapakah nilai dari <math>x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ (x^3-2x+3)(x^2-3x+1 &= 0(x^3-2x+3) \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 0 \\ \text{cara 2} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2+3x^2-2x-9x+3 \\ &= x^5-3x^4+x^3-2x^3+6x^2-2x+3x^2-9x+3 \\ &= x^3(x^2-3x+1)-2x(x^2-3x+1)+3(x^2-3x+1) \\ &= x^3(0)-2x(0)+3(0) \\ &= 0 \\ \text{cara 3} x+\frac{1}{x} &= 3 \\ x^2+1 &= 3x \\ x^2 &= 3x-1 \\ x^2-3x+1 &= 0 \\ x^3 &= x \cdot x^2 \\ &= x (3x-1) \\ &= 3x^2-x x^4 &= x \cdot x^3 \\ &= x(3x^2-x) \\ &= 3x^3-x^2 \\ x^5 &= x \cdot x^4 \\ &= x(3x^3-x^2) \\ &= 3x^4-x^3 \\ x^5-3x^4-x^3+9x^2-11x+3 &= 3x^4-x^3-3(3x^3-x^2)-(3x^2-x)+9(3x-1)-11x+3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=69> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{x-7}</math> jika x=<math>16+4\sqrt{5}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x &= 16+4\sqrt{5} \\ x-7 &= 16-7+4\sqrt{5} \\ &= 9+4\sqrt{5} \\ &= (2+\sqrt{5})^2 \\ \sqrt{x-7} &= 2+\sqrt{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=70> <li>Berapakah nilai dari <math>\sqrt{\frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2}}</math> jika 2x-1=<math>\sqrt{61}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} = p \\ p &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-x^3+x^2} \\ &= \frac{x^3+1}{x^5-x^4-(x^3-x^2)} \\ &= \frac{x^3+1}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^4(x-1)-x^2(x-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^4-x^2)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x^2-1)} \\ &= \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)x^2(x-1)(x+1)} \\ &= \frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2-x+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ 2x-1 &= \sqrt{61} \\ x &= \frac{\sqrt{61}+1}{2} \\ x-1 &= \frac{\sqrt{61}-1}{2} \\ x(x-1) &= (\frac{\sqrt{61}+1}{2})(\frac{\sqrt{61}-1}{2}) \\ &= \frac{61-1}{4} \\ &= \frac{60}{4} \\ &= 15 \\ p &= \frac{x(x-1)+1}{(x(x-1))^2} \\ &= \frac{15+1}{15^2} \\ &= \frac{16}{15^2} \\ \sqrt{p} &= \sqrt{\frac{16}{15^2}} \\ &= \frac{4}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=71> <li>Berapakah nilai dari <math>(\frac{x-3}{x})^{25}</math> jika <math>x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2}=1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{2} &= 1+\sqrt[5]{16}+\sqrt[5]{4} \\ x+(\sqrt[5]{2})^3+\sqrt[5]{2} &= 1+(\sqrt[5]{2})^4+(\sqrt[5]{2})^2 \\ x &= (\sqrt[5]{2})^4-(\sqrt[5]{2})^3+(\sqrt[5]{2})^2-\sqrt[5]{2}+1 \\ \text{misalkan } \sqrt[5]{2} = p \\ x &= p^4-p^3+p^2-p+1 \\ x &= \frac{p^5+1}{p+1} \\ (\frac{x-3}{x})^{25} &= (1-\frac{3}{x})^{25} \\ &= (1-\frac{3}{\frac{p^5+1}{p+1}})^{25} \\ &= (1-\frac{3(p+1)}{p^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{3(\sqrt[5]{2}+1)}{(\sqrt[5]{2})^5+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{2+1})^{25} \\ &= (1-\frac{(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-(3\sqrt[5]{2}+3)}{3})^{25} \\ &= (\frac{3-3\sqrt[5]{2}-3)}{3})^{25} \\ &= (-\sqrt[5]{2})^{25} \\ &= (-2)^5 \\ &= -32 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=72> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46}</math> jika <math>x^2+x+1=0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2+x+1 &= 0 \\ x^2+x &= -1 \\ \frac{x^3-1}{x-1} &= 0 \\ x^3 &= 1 \\ x &= 1 \\ x^{50}+x^{49}+x^{48}+x^{47}+x^{46} &= x^{48}(x^2+x+1)+x^{45}(x^2+x) \\ &= x^{48}(0)+(x^3)^{15}(-1) \\ &= 0+(1)^{15}(-1) \\ &= -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=73> <li>Berapakah 2²⁴ dari <math>8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1=A</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= A \\ 8(8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1) &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8 &= 8A \\ 8^8+8^7+8^6+8^5+8^4+8^3+8^2+8+1 &= 8A+1 \\ 8^8+A &= 8A+1 \\ 8^8 &= 7A+1 \\ (2^3)^8 &= 7A+1 \\ 2^{24} &= 7A+1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=74> <li>Berapakah nilai dari <math>x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1</math> jika <math>x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{x} &= \sqrt{3} \\ x^2+2+\frac{1}{x^2} &= 3 \\ x^2-1+\frac{1}{x^2} &= 0 \\ x^2(x^2-1+\frac{1}{x^2}) &= x^2(0) \\ x^4-x^2+1 &= 0 \\ (x^2+1)(x^4-x^2+1) &= (x^2+1)0 \\ x^6-x^4+x^2+x^4-x^2+1 &= 0 \\ x^6+1 &= 0 \\ x^6 &= -1 \\ x^{42}+x^{36}+x^{30}+x^{24}+x^{18}+x^{12}+x^6+1 &= {x^6}^7+{x^6}^6+{x^6}^5+{x^6}^4+{x^6}^3+{x^6}^2+x^6+1 \\ &= (-1)^7+(-1)^6+(-1)^5+(-1)^4+(-1)^3+(-1)^2-1+1 \\ &= -1+1-1+1-1+1-1+1 \\ &= 0 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=75> <li>Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari <math>\frac{c-b}{a-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= ax^2+bx+c \\ f(2) &= a(2)^2+2b+c = 4 \\ &= 4a+2b+c = 4 \\ f(7) &= a(7)^2+7b+c = 49 \\ &= 49a+7b+c = 49 \\ 49a+7b+c &= 49 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 45a+5b &= 45 \text{ (f(7) dikurangi f(2)) } \\ 9a+b &= 9 \\ b &= -9a+9 \\ 4a+2b+c &= 4 \\ 4a+2(-9a+9)+c &= 4 \\ 4a-18a+18+c &= 4 \\ -14a+18+c &= 4 \\ c &= 14a-14 \\ \frac{c-b}{a-1} &= \frac{14a-14-(-9a+9)}{a-1} \\ &= \frac{14(a-1)+9(a-1)}{a-1} \\ &= \frac{(14+9)(a-1)}{a-1} \\ &= 23 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=76> <li>Jika x³+y³ = 242 dan x+y = 11 maka berapa hasil dari (x-y)²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} (x+y)^3 &= x^3+y^3+3xy(x+y) \\ 11^3 &= 242+3xy(11) \text{ (dibagi 11)} \\ 11^2 &= 22+3xy \\ 121 &= 22+3xy \\ 99 &= 3xy \\ xy &= 33 \\ (x-y)^2 &= x^2+y^2-2xy \\ &= ((x+y)^2-2xy)-2xy \\ &= (x+y)^2-4xy \\ &= 11^2-4(33) \\ &= 121-132 \\ &= -11 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=77> <li>Berapa f(1)+f(-1) jika <math>f(\frac{ax-b}{bx-a})</math>=x²-5x+6?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ jika} f(1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ 1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ bx-a &= ax-b \\ (b-a)x &= -b+a \\ &= -(b-a) \\ &= -1 \\ f(1) &= x^2-5x+6 \\ &= (-1)^2-5(-1)+6 \\ &= 12 \\ \text{ jika} f(-1) = f(\frac{ax-b}{bx-a}) \\ -1 &= \frac{ax-b}{bx-a} \\ -(bx-a) &= ax-b \\ -bx+a &= ax-b \\ (-b-a)x &= -b-a \\ &= 1 \\ f(-1) &= x^2-5x+6 \\ &= (1)^2-5(1)+6 \\ &= 2 \\ f(1)+f(-1) &= 12+2 \\ &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=78> <li>berapa f(200) jika f(0)=1 serta f(x)-x=f(x-1)?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)-x &= f(x-1) \\ f(x)-f(x-1) &= x \\ x=1 ; f(1)-f(0) &= 1 \\ x=2 ; f(2)-f(1) &= 2 \\ x=3 ; f(3)-f(2) &= 3 \\ x=4 ; f(4)-f(3) &= 4 \\ \dots \\ x=200 ; f(200)-f(199) &= 200 \\ \text{ jumlahkan tersebut menjadi } \\ f(200)-f(0) &= 1+2+3+4+\dots+200 \\ &= \frac{200 \cdot 201}{2} \\ &= 20.100 \\ f(200)-1 &= 20.100 \\ &= 20.101 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=79> <li>Misalkan f(x) adalah fungsi rekursif yang berlaku ∀x ∈ R sebagai berikut: : f(x)+f(15-x) = 2024 : f(15+x) = f(x)+2020 maka tentukan nilai dari 2f(2025)+2f(-2025)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x)+f(15-x) &= 2024 \\ f(15+x) &= f(x)+2020 \\ *cara 1 \\ \text{ganti x dengan 15+x } \\ f(15+x)+f(-x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ *cara 2 \\ \text{ganti x dengan -x } \\ f(-x)+f(15+x) &= 2024 \\ f(15+x)-f(x) &= 2020 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ f(x)+f(-x) &= 4 \\ \text{lalu dikalikan 2 masing-masing menjadi } \\ 2f(x)+2f(-x) &= 8 \\ \text{maka } 2f(2025)+2f(-2025) &= 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=80> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>2f(\frac{2002}{x}) + f(x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 2f(\frac{2002}{x}) + f(x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 2 } \\ 2f(\frac{2002}{2}) + f(2) &= 3(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ \text{ganti x dengan 1001 } \\ 2f(\frac{2002}{1001}) + f(1001) &= 3(1001) \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ 2f(2) + f(1001) &= 3003 \\ f(1001) &= 3003 - 2f(2) \\ 2f(1001) + f(2) &= 6 \\ 2(3003 - 2f(2)) + f(2) &= 6 \\ 6006 - 4f(2) + f(2) &= 6 \\ 3f(2) &= 6000 \\ f(2) &= 2000 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=81> <li>Misalkan f suatu fungsi rekursif yang memenuhi <math>f(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x}f(-x) = 3x</math> untuk setiap bilangan riil x ≠ 0. Tentukan nilai f(3)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}f(-x) &= 3x \\ \text{ganti x dengan 1/3 } \\ f(3)+3f(-\frac{1}{3}) &= 1 \\ \text{ganti x dengan -3 } \\ f(-\frac{1}{3}) - \frac{1}{3}f(3) &= -9 \\ \text{dikalikan 3 } \\ 3f(-\frac{1}{3})-f(3) &= -27 \\ \text{persamaan 1 dan 2 dihasilkan sebagai berikut } \\ 2f(3) &= 28 \\ f(3) &= 14 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=82> <li>Diketahui polinom <math>f(7^b-1)=7^{3b}-10</math>. tentukan nilai f(5)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(5) &= f(7^b-1) \\ 5 &= 7^b-1 \\ 7^b &= 6 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(6-1) &= 6^3-10 \\ f(5) &= 216-10 \\ &= 206 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 7^b-1=a \text{ maka } 7^b=a+1 \\ f(7^b-1) &= 7^{3b}-10 \\ &= (7^b)^3-10 \\ f(a) &= (a+1)^3-10 \\ f(5) &= (5+1)^3-10 \\ &= 6^3-10 \\ &= 216-10 \\ &= 206 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=83> <li>Diketahui polinom <math>f(6^b-7)=6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4</math>. tentukan nilai f(-2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} *cara 1 \\ f(-2) &= f(6^b-7) \\ -2 &= 6^b-7 \\ 6^b &= 5 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(5-7) &= 5^3-2 \cdot 5^2-4 \\ f(-2) &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ *cara 2 \\ \text{misalkan } 6^b-7=a \text{ maka } 6^b=a+7 \\ f(6^b-7) &= 6^{3b}-2 \cdot 6^{2b}-4 \\ &= (6^b)^3-2 \cdot (6^b)^2-4 \\ f(a) &= (a+7)^3-2(a+7)^2-4 \\ f(-2) &= (-2+7)^3-2(-2+7)^2-4 \\ &= 5^3-2(5)^2-4 \\ &= 125-50-4 \\ &= 71 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=84> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x)}{y}</math> dengan y ≠ 0 serta f(10)=7 maka tentukan nilai f(2)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(10) &= 7 \\ f(2 \cdot 5) &= 7 \\ f(xy) &= \frac{f(x)}{y} \\ f(2 \cdot 5) &= \frac{f(2)}{5} \\ 7 &= \frac{f(2)}{5} \\ f(2) &= 35 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=85> <li>Jika <math>f(xy)=\frac{f(x+y)}{xy}</math> dengan f(xy) ≠ 0 serta f(15)=16 maka tentukan nilai f(8)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(15) &= 16 \\ f(3 \cdot 5) &= 16 \\ f(xy) &= \frac{f(x+y)}{xy} \\ f(3 \cdot 5) &= \frac{f(3+5)}{3 \cdot 5} \\ f(15) &= \frac{f(8)}{15} \\ 16 &= \frac{f(8)}{15} \\ f(8) &= 240 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=86> <li>Jika <math>f(x+\frac{1}{x}+6)=x^2+\frac{1}{x^2}+15</math> maka tentukan nilai f(16)!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x+\frac{1}{x}+6) &= x^2+\frac{1}{x^2}+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2-2+15 \\ &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ \text{misalkan } x+\frac{1}{x} &= p \\ f(x+\frac{1}{x}+6) &= (x+\frac{1}{x})^2+13 \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ \text{jika f(16) maka p adalah 10 sebelum ditambahkan 6 } \\ f(p+6) &= p^2+13 \\ f(10+6) &= 10^2+13 \\ f(16) &= 100+13 \\ &= 113 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=87> <li>Tentukan nilai x jika <math>f(x)=\frac{4}{4-x}</math> dan <math>f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}}=256</math>!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{4}{4-x} \\ f(4x) &= \frac{4}{4-4x} \\ \frac{f(4x)}{f(x)} &= \frac{\frac{4}{4-4x}}{\frac{4}{4-x}} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ f(x \cdot f(x)) &= f(x(\frac{4}{4-x})) \\ &= f(\frac{4x}{4-x}) \\ &= \frac{4}{4-(\frac{4x}{4-x})} \\ &= \frac{4}{\frac{16-4x-4x}{4-x}} \\ &= \frac{4}{\frac{16-8x}{4-x}} \\ &= \frac{4(4-x)}{4(4-4x)} \\ &= \frac{4-x}{4-4x} \\ \text{misalkan } \frac{4-x}{4-4x} &= a \\ f(x \cdot f(x))^{\frac{f(4x)}{f(x)}} &= 256 \\ a^a &= 256 \\ a^a &= 4^4 \\ a &= 4 \\ \frac{4-x}{4-4x} &= 4 \\ 4-x &= 16-16x \\ 15x &= 12 \\ x &= \frac{4}{5} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=88> <li>Fungsi <math>f(x) = \frac{kx}{2x+1} \text{dengan } x \neq -\frac{1}{2}</math>. Dengan f(f(x)) = x maka tentukan nilai k!</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(x) &= \frac{kx}{2x+1} \\ f(f(x)) &= x \\ f(\frac{kx}{2x+1}) &= x \\ \frac{k(\frac{kx}{2x+1})}{2(\frac{kx}{2x+1})+1} &= x \\ \frac{\frac{k^2x}{2x+1}}{\frac{2kx+2x+1}{2x+1}} &= x \\ \frac{k^2x}{2kx+2x+1} &= x \\ \frac{k^2}{2kx+2x+1} &= 1 \\ k^2 &= 2kx+2x+1 \\ k^2-2kx &= 2x+1 \\ k^2-2kx+x^2 &= x^2+2x+1 \\ (k-x)^2 &= (x+1)^2 \\ (k-x)^2-(x+1)^2 &= 0 \\ (k-x+x+1)(k-x-(x+1)) &= 0 \\ k=-1 &\text{ atau } k=2x+1 &\text{ (TM) } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=89> <li>Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari <math>\sqrt{2n-1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} n &= 2023^2+2024^2 \\ &= 2023^2+(2023+1)^2 \\ \text{misalkan 2023 = p} \\ n &= p^2+(p+1)^2 \\ &= p^2+p^2+2p+1 \\ &= 2p^2+2p+1 \\ \sqrt{2n-1} &= \sqrt{2(2p^2+2p+1)-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+2-1} \\ &= \sqrt{4p^2+4p+1} \\ &= \sqrt{(2p+1)^2} \\ &= 2p+1 \\ &= 2(2023)+1 \\ &= 4046+1 \\ &= 4047 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=90> <li>Berapakah nilai xyz dan <math>\frac{xy+xz}{yz}</math> dari x+y=14, x+z=13 dan y+z=3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{ketiga persamaan tersebut dijumlahkan menjadi } \\ 2x+2y+2z &= 30 \\ x+y+z &= 15 \\ \text{untuk mencari x, y dan z masing-masing } \\ z &= 1 \\ y &= 2 \\ x &= 12 \\ xyz &= 24 \\ \frac{xy+xz}{yz} &= \frac{1 \cdot 2 + 1 \cdot 12}{2 \cdot 12} \\ &= \frac{14}{24} \\ &= \frac{7}{12} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=91> <li>Tentukan nilai dari x+y+z dan yz(xy-xz) merupakan bilangan bulat positif jika xy = 2, xz = 6 dan yz = 3?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy \cdot yz \cdot xz &= 2 \cdot 3 \cdot 6 \\ (xyz)^2 &= 36 \\ xyz &= \pm 6 \\ xyz &= 6 \\ \frac{xyz}{xy} &= z = \frac{6}{2} = 3 \\ \frac{xyz}{yz} &= x = \frac{6}{3} = 2 \\ \frac{xyz}{xz} &= y = \frac{6}{6} = 1 \\ x+y+z &= 6 \\ yz(xy-xz) &= 3(2-6) = 3(-4) = -12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=92> <li>Tentukan nilai dari (x-z)^y jika <math>\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{3}</math>, <math>\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}</math> dan <math>\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{9}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{xy}{x+y} &= \frac{1}{3} \\ \frac{x+y}{xy} &= 3 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x} &= 3 \\ \frac{yz}{y+z} &= \frac{1}{4} \\ \frac{y+z}{yz} &= 4 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} &= 4 \\ \frac{xz}{x+z} &= \frac{1}{9} \\ \frac{x+z}{xz} &= 9 \text{ (terbalik posisinya)} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} &= 9 \\ \text{Misalkan 1/x = a, 1/y = b dan 1/z = c} \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a+c &= 9 \\ a+b &= 3 \\ b+c &= 4 \\ a-c &= -1 \\ a-c &= -1 \\ a+c &= 9 \\ 2a &= 8 \\ a &= 4 \\ a-c &= -1 \\ 4-c &= -1 \\ c &= 5 \\ a+b &= 3 \\ 4+b &= 3 \\ b &= -1 \\ \frac{1}{x} &= 4 \\ x &= \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y} &= -1 \\ y &= -1 \\ \frac{1}{z} &= 5 \\ z &= \frac{1}{5} \\ (x-z)^y &= (\frac{1}{4} - \frac{1}{5})^{-1} \\ &= (\frac{5-4}{20})^{-1} \\ &= (\frac{1}{20})^{-1} \\ &= 20 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=93> <li>Tentukan nilai dari x, y dan z jika <math>\frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5}</math> dan x+2y+3z=28?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan k untuk semua ketiga persamaan tersebut } \\ \frac{x+y}{2}=\frac{x+z}{4}=\frac{y+z}{5} &= k \\ x+y &= 2k \\ x+z &= 4k \\ y+z &= 5k \\ 2x+y+z &= 6k \\ 2x+5k &= 6k \\ k &= 2x \\ x &= \frac{k}{2} \\ y &= \frac{3k}{2} \\ z &= \frac{7k}{2} \\ x+2y+3z &= 28 \\ \frac{k}{2}+2(\frac{3k}{2})+3(\frac{7k}{2}) &= 28 \\ k+6k+21k &= 56 \\ 28k &= 56 \\ k &= 2 \\ x &= \frac{k}{2} \\ &= \frac{2}{2} = 1 \\ y &= \frac{3k}{2} \\ &= \frac{3(2)}{2} = 3 \\ z &= \frac{7k}{2} \\ &= \frac{7(2)}{2} = 7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=94> <li>Tentukan nilai dari (y+z)^x jika <math>\frac{x+y+z}{2} = \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x+y+z}{2} &= \sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z} \\ x+y+z &= 2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z}) \\ x-2\sqrt{x-2}+y-2\sqrt{y-1}+z-2\sqrt{z} &= 0 \\ x-2-2\sqrt{x-2}+1+y-1-2\sqrt{y-1}+1+z-2\sqrt{z}+1 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ (\sqrt{x-2}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{x-2}-1 &= 0 \\ \sqrt{x-2} &= 1 \\ x-2 &= 1 \\ x &= 3 \\ (\sqrt{y-1}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{y-1}-1 &= 0 \\ \sqrt{y-1} &= 1 \\ y-1 &= 1 \\ y &= 1 \\ (\sqrt{z}-1)^2 &= 0 \\ \sqrt{z}-1 &= 0 \\ \sqrt{z} &= 1 \\ z &= 1 \\ (y+z)^x &= (2+1)^3 \\ &= 3^3 \\ &= 27 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=95> <li>x dan y merupakan bilangan tak nol. Jika xy = <math>\frac{x}{y}</math> = x-y maka berapa nilai x+y?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xy &= \frac{x}{y} \\ y^2 &= 1 \\ y^2 - 1 &= 0 \\ (y-1)(y+1) &= 0 \\ y = 1 &\text{ atau } y = -1 \\ \frac{x}{y} &= x-y \\ x &= xy-y^2 \\ x-xy &= -y^2 \\ x(1-y) &= -y^2 \\ x &= \frac{-y^2}{1-y} \\ \text{cek y=1 } \\ x &= \frac{-1^2}{1-1} \\ \text{tidak memenuhi syarat } \\ \text{cek y=-1 } \\ x &= \frac{-(-1)^2}{1-(-1)} \\ &= \frac{-1}{2} \\ x+y &= -1-\frac{1}{2} \\ &= -\frac{3}{2} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=96> <li>x, y dan z merupakan bilangan tak nol. Jika <math>x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}</math> maka berapa nilai xyz?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x+\frac{1}{y} &= y+\frac{1}{z} \\ x-y &= \frac{1}{z}-\frac{1}{y} \\ &= \frac{y-z}{yz} \\ y+\frac{1}{z} &= z+\frac{1}{x} \\ y-z &= \frac{1}{x}-\frac{1}{z} \\ &= \frac{z-x}{xz} \\ z+\frac{1}{x} &= x+\frac{1}{y} \\ z-x &= \frac{1}{y}-\frac{1}{x} \\ &= \frac{x-y}{xy} \\ (x-y)(y-z)(z-x) &= (\frac{y-z}{yz}) \cdot (\frac{z-x}{xz}) \cdot (\frac{x-y}{xy}) \\ x^2y^2z^2 &= 1 \\ (xyz)^2 &= 1 \\ xyz &= \pm 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=97> <li>Berapa nilai x dari <math>(\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 = 2\sqrt{x}</math> jika <math>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} &= \frac{1}{a+b} \\ \frac{a+b}{ab} &= \frac{1}{a+b} \\ (a+b)^2 &= ab \\ a^2+2ab+b^2 &= ab \\ a^2+b^2 &= -ab \\ \text{misalkan } \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = n \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ \frac{a^2+b^2}{ab} &= n \\ a^2+b^2 &= nab \\ n &= -1 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} &= n \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3+3n &= n^3 \\ (\frac{a}{b})^3+(\frac{b}{a})^3 &= n^3-3n \\ &= (-1)^3-3(-1) \\ &= 2 \\ 2\sqrt{x} &= 2 \\ \sqrt{x} &= 1 \\ x &= 1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=98> <li>Berapa nilai m dari <math>x^2-mx-1=0</math> jika <math>\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}=1</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt[3]{x_1} &= a \\ x_1 &= a^3 \\ \sqrt[3]{x_2} &= b \\ x_2 &= b^3 \\ \sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2} &= 1 \\ a+b &= 1 \\ x^2-mx-1 &= 0 \\ x_1+x_2 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ x_1+x_2 &= m \\ a^3+b^3 &= m \\ x_1 \cdot x_2 &= -1 \\ a^3 \cdot b^3 &= -1 \\ (ab)^2 &= (-1)^3 \\ ab &= -1 \\ (a+b)^3 &= a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (1)^3 &= m+3(-1)(1) \\ 1 &= m-3 \\ m &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=99> <li>Berapa nilai <math>\frac{x_1}{x_2}</math> dari <math>ax^2-18x-b=0</math> jika <math>ab=45</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ab &= 45 \\ b &= \frac{45}{a} \\ ax^2-18x-b &= 0 \\ ax^2-18x-\frac{45}{a} &= 0 \\ a^2x^2-18ax-45 &= 0 \\ (ax-3)(ax-15) &= 0 \\ ax-3 &= 0 \\ x &= \frac{3}{a} \\ ax-15 &= 0 \\ x &= \frac{15}{a} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{3}{a}}{\frac{15}{a}} \\ &= \frac{3}{15} \\ &= \frac{1}{5} \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{\frac{15}{a}}{\frac{3}{a}} \\ &= \frac{15}{3} \\ &= 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=100> <li>Jika <math>\frac{u_3}{u_1+u_2} = \frac{7}{8}</math> merupakan barisan aritmetika maka berapa dari <math>\frac{u_2+u_3}{u_1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{u_3}{u_1+u_2} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{a+a+b} &= \frac{7}{8} \\ \frac{a+2b}{2a+b} &= \frac{7}{8} \\ 8(a+2b) &= 7(2a+b) \\ 8a+16b &= 14a+7b \\ 9b &= 6a \\ b &= \frac{2a}{3} \\ \frac{u_2+u_3}{u_1} &= \frac{a+b+a+2b}{a} \\ &= \frac{2a+3b}{a} \\ &= \frac{2a+3(\frac{2a}{3})}{a} \\ &= \frac{2a+2a}{a} \\ &= \frac{4a}{a} \\ &= 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=101> <li>Jika 2p+q, 7p+q, 17p+q membentuk barisan geometri maka berapa rasionya?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{17p+q}{7p+q} \\ (7p+q)^2 &= (17p+q)(2p+q) \\ 49p^2+14pq+q^2 &= 34p^2+19pq+q^2 \\ 15p^2 &= 5pq \\ 3p &= q \\ \frac{7p+q}{2p+q} &= \frac{7p+3p}{2p+3p} \\ &= \frac{10p}{5p} \\ &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=102> <li>Rataan geometris a dan b adalah kurangnya 24 dari b serta rataan aritmatik a dan b adalah lebihnya 15 dari a maka berapa nilai a+b?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rataan geometris } \\ \sqrt{a \cdot b} &= b-24 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ \text{rataan aritmatik } \\ \frac{a+b}{2} &= a+15 \\ a+b &= 2(a+15) \\ a+b &= 2a+30 \\ a &= b-30 \\ a \cdot b &= (b-24)^2 \\ (b-30)b &= (b-24)^2 \\ b^2-30b &= b^2-48b+576 \\ 18b &= 576 \\ b &= 32 \\ a &= b-30 \\ &= 32-30 \\ &= 2 \\ a+b &= 32+2 \\ &= 34 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=103> <li>Segitiga lancip ABC dengan <math>\frac{a^4+b^4+c^4+a^2b^2}{c^2(a^2+b^2)}=2</math>. tentukan nilai sudut C?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{syarat segitiga lancip semua sudut masing-masing kurang dari } 90^\circ \\ c^2 &= a^2+b^2-2ab cos C \\ cos C &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ a^4+b^4+c^4+a^2b^2 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ a^4+b^4+a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2+c^4 &= 2c^2(a^2+b^2) \\ (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+(c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= a^2b^2 \\ (a^2+b^2-c^2)^2 &= (ab)^2 \\ a^2+b^2-c^2 &= \pm ab \\ cos C &= \pm \frac{ab}{2ab} \\ &= \pm \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \text{ (karena sudut harus kurang dari } 90^\circ) \\ C &= 60^\circ \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=104> <li>Segitiga siku-siku CAB titik D diantara C dan A dan titik E diantara B dan A. Panjang CD adalah 9 cm, panjang BE 5 cm serta panjang DA = EA. Berapakah panjang BC jika luasnya 45 cm²?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan panjang DA dan EA } = x \text{ dan panjang AB } = y \\ \text{luas segitiga CAB } &= \frac{CA \cdot AB}{2} \\ 45 &= \frac{(x+9)(x+5)}{2} \\ 90 &= x^2+14x+45 \\ x^2+14x &= 45 \\ y^2 &= (x+9)^2+(x+5)^2 \\ &= x^2+18x+81+x^2+10x+25 \\ &= 2x^2+28x+106 \\ &= 2(x^2+14x)+106 \\ &= 2(45)+106 \\ &= 196 \\ y &= 14 \\ \end{align} </math> jadi panjang BC adalah 14 cm </div></div> <ol start=105> <li>Persegi panjang ABCD memiliki AD 15 cm dan DC 12 cm. E dan F merupakan perpanjangan DC yaitu CE 6 cm serta EF = DC. G merupakan titik potong antara BC dan AE maka berapa luas daerah BFEG?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{kita cari ukuran GC yaitu } \\ \frac{GC}{AD} &= \frac{CE}{DE} \\ \frac{GC}{15} &= \frac{6}{18} \\ GC &= 5 \\ \text{luas BEFG = luas segitiga BFC - luas segitiga GEC } \\ &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF - \frac{1}{2} \cdot GC \cdot CE \\ &= \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \\ &= 135 - 15 \\ &= 120 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah BFEG adalah 120 cm² </div></div> <ol start=106> <li>Dua buah persegi masing-masing yaitu ABCD dan EFGH. persegi ABCD berhimpit dengan EFGH. I terletak antara A dengan F. Sisi persegi ABCD 4 cm dan EFGH 6 cm. Perbandingan AI:AF adalah 1:5 maka berapa luas daerah segitiga IGD?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ AI &= \frac{1}{5} AF \\ &= \frac{1}{5} 10 \\ &= 2 \\ IF &= AF-AI \\ &= 10-2 \\ &= 8 \\ \text{luas trapesium AFGD } &= \frac{(AD+EF) \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(4+6)10}{2} \\ &= 50 \\ \text{luas segitiga AID } &= \frac{AI \cdot AF}{2} \\ &= \frac{(2)4}{2} \\ &= 4 \\ \text{luas segitiga IFG } &= \frac{IF \cdot FG}{2} \\ &= \frac{(8)6}{2} \\ &= 24 \\ \text{luas daerah segitiga IGD } &= \text{luas trapesium AFGD-luas segitiga AI—luas segitiga IFG } \\ &= 50-4-24 \\ &= 22 \\ \end{align} </math> jadi luas daerah segitiga IGD adalah 22 cm² </div></div> <ol start=107> <li>Sebuah balok tertutup memiliki alas yang berbentuk persegi dengan tinggi 12 cm. Di dalam balok terdapat kerucut yang alasnya menempel serta titik tinggi tepat di atas baloknya dimana tingginya sama dengan tinggi balok. Volume antara luar kerucut dan dalam balok adalah 100(3-<math>\pi</math>) cm³ maka berapa luas permukaan kerucut tersebut?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \\ \text{volume balok} \\ V_b &= x^2(12) \\ \text{volume kerucut} \\ V_b &= \frac{1}{3}\pi x^2(12) \\ &= 4\pi x^2 \\ V_{b-k} &= Vb-Vk \\ 100(3-\pi) &= 12x^2-4\pi x^2 \\ 100(3-\pi) &= 4x^2(3-\pi) \\ x^2 &= 25 \\ x &= 5 \\ s &= \sqrt{12^2+5^2} \\ &= \sqrt{144+25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \\ \text{luas permukaan kerucut } &= \pi r(r+s) \\ &= \pi(5)(5+13) \\ &= 90\pi \\ \end{align} </math> jadi luas daerah permukaan kerucut adalah 90<math>\pi</math> cm² </div></div> <ol start=108> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 3 bersisa 1 dan 2 maka berapa sisa pembagian A(A+1)+3B dibagi 9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 3a+1 \\ B &= 3b+2 \\ A(A+1)+3B \\ (3a+1)(3a+1+1)+3(3b+2) \\ (3a+1)(3a+2)+9b+6 \\ 9a^2+9a+2+9b+6 \\ 9a^2+9a+9b+8 \\ 9(a^2+a+b)+8 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=108> <li>Suatu bilangan bulat positif A dan B masing-masing dibagi 9 bersisa 7 dan 8 maka berapa sisa pembagian A(A-5)+9B dibagi 81?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A &= 9a+7 \\ B &= 9b+8 \\ A(A-5)+9B \\ (9a+7)(9a+7-5)+9(9b+8) \\ (9a+7)(9a+2)+81b+72 \\ 81a^2+81a+14+81b+72 \\ 81a^2+81a+81b+86 \\ 81a^2+81a+81b+81+5 \\ 81(a^2+a+b+1)+5 \\ \text{sisa pembagiannya adalah } 5 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=110> <li>Jika <math>\begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix}</math> maka berapa hasil dari A²¹+A²⁵+A⁴⁶?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} A^2 &= A \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \\ A^3 &= A^2 \cdot A \\ &= \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ -1 & -3 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ -1 & -2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= -I \\ A^{21}+A^{25}+A^{46} &= A^{21} \cdot (I+A^4+A^{25}) \\ &= A^{21} \cdot (I+A^3 \cdot A +A^{24} \cdot A) \\ &= (A^3)^7 \cdot (I+A^3 \cdot A +(A^3)^8 \cdot A) \\ &= (-I)^7 \cdot (I-I \cdot A +(-I)^8 \cdot A) \\ &= -I \cdot (I-A+A) \\ &= -I \cdot I \\ &= -I \\ &= -\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=111> <li>Ida menuliskan 8 buah bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari 16 sehingga tidak ada jumlah 2 bilangan dari 8 bilangan yang jumlahnya 16. Bilangan berapa yang pasti ditulis Ida?</li></ol> : bilangan yang kurang dari 16 yaitu 1,2,3,4,5,6, … , 15 : ditulis 7 buah bilangan berbeda yang jumlahnya 8 yaitu (1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9). : ditulis 8 buah bilangan sama yang jumlahnya 8 yaitu (8,8) : maka Ida menulis bilangan 8. <ol start=112> <li>Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?</li></ol> : Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu. : untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja. : untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja. : Jadi banyaknya bilangan mungkin 2. <ol start=113> <li>Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!</li></ol> ;cara 1 # 8¹ = 1 # 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1) # 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1) # 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2) # 8⁵ = 1 # 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli ;cara 2 # 8ⁿ = b mod 7 # 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil) # (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya) # 8ⁿ = 1ⁿ mod 7 # 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1) Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli <ol start=114> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?</li></ol> ;cara 1 # 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0 # 7¹ = 7 (sisa 1) # 7² = 49 (sisa 2) # 7³ = 343 (sisa 3) # 7⁴ = 2,401 (sisa 0) # 7⁵ = 16,807 # 7⁶ = 117,649 nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3 ;cara 2 :17¹ = 2 :17² = 4 :17³ = 3 :17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 4 x 24 + 3 :17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³ Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3 ;cara 3 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴ ::17⁴ = 1 mod 5 ::(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5 ::17⁹⁶ = 1 mod 5 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17³ mod 5 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5 ::17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5 ::17⁹⁹ = 8 mod 5 ::17⁹⁹ = 3 mod 5 Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3 <ol start=115> <li>Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?</li></ol> ;cara 1 :17¹ = 3 :17² = 2 :17³ = 6 :17⁴ = 4 :17⁵ = 5 :17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas) Bahwa 99 = 6 x 16 + 3 :17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³ Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 ;cara 2 :Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶ ::17⁶ = 1 mod 7 ::(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7 ::17⁹⁶ = 1 mod 7 ::17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17³ mod 7 ::17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7 ::17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7 ::17⁹⁹ = 27 mod 7 ::17⁹⁹ = 6 mod 7 Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6 <ol start=116> <li>Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 41^{2024} &= 41^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= (33 \times 3 + 2)^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2024} \text{ mod } 33 \\ &= 2^{2020} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (2^5)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (33 - 1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= (-1)^{404} 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 2^4 \text{ mod } 33 \\ &= 16 \text{ mod } 33 \\ \text{Jadi hasil sisa adalah } 16 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=117> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 99^{99} &= (3^2 \times 11)^{99} \\ &= 3^{198} \times 11^{99} \\ 243^n &= (3^5)^n \\ &= 3^{5n} \\ \text{agar bisa membagi, maka} \\ 5n &= 198 \\ n &= 39.6 \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 39 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=118> <li>Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?</lu></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 88^{88} &= (8 \times 11)^{88} \\ &= 8^{88} \times 11^{88} \\ &= 8^{87} \times 8 \times 11^{88} \\ &= (8^3)^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ &= 512^{29} \times 8 \times 11^{88} \\ 512^n &= 512^{29} \\ \text{jadi bilangan n terbesar adalah } 29 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=119> <li>Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!</li></ol> ; cara 1 : KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105. : N dibagi 3 sisa 1 : N dibagi 5 sisa 2 : N dibagi 7 sisa 6 FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a : KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70 : KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21 : KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15 Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97 ; cara 2 : Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35 : kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK. : KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, <b>97</b> : KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, <b>97</b> : KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, <b>97</b> Jadi bilangan bulat positif adalah 97 :: NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202 <ol start=120> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 1 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |- | 4 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 1 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |} nah ada ember A berisi 1 liter. <ol start=121> <li>Ada dua ember berisi 5 liter dan 3 liter. Tanpa menggunakan alat-alat lain bagaimana mengisi 4 liter untuk satu ember?</li></ol> ; cara 1 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (5 l) !! Ember B (3 l) !! Keterangan |- | 5 || 0 || Isikan 5 l ke ember A |- | 2 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 2 |- | 2 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 2 || Tuangkan sisa ember A ke B |- | 5 || 2 || Isikan 5 l ke ember A |- | 4 || 3 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 4 |} nah ada ember A berisi 4 liter. ; cara 2 {| class="wikitable" |+ |- ! Ember A (3 l) !! Ember B (5 l) !! Keterangan |- | 3 || 0 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 3 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 3 || Isikan 3 l ke ember A |- | 1 || 5 || Tuangkan 2 l dari ember A ke B sehingga ember A tersisa 1 |- | 1 || 0 || Semua isi ember B dibuang |- | 0 || 1 || Tuangkan 1 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |- | 3 || 1 || Isikan 3 l ke ember A |- | 0 || 4 || Tuangkan 3 l dari ember A ke B sehingga ember A kosong |} nah ada ember B berisi 4 liter. [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 29xzxmet5yauh3ueno7y1ugc3mz8k68 0 23570 121374 119392 2026-10-19T23:13:26Z Akuindo 8654 121374 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+\frac{1}{x+7}+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x^2+\frac{1}{x^2+4}+7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 86z95lfs0pckhcumxl2hqwcfj48akza 121375 121374 2026-10-19T23:15:08Z Akuindo 8654 121375 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x^2+<math>\frac{1}{x^2+4}</math>+7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] av3jy8sby3rdqm0nu269har6h7n5v9m 121376 121375 2026-10-19T23:16:16Z Akuindo 8654 121376 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 45mpip8pmpjo8szs292aww7tifqiapq 121377 121376 2026-10-20T00:37:41Z Akuindo 8654 121377 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ f(x) &= x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9 ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dibd0lyf39affuzctayah0yirpoukxn 121378 121377 2026-10-20T00:45:51Z Akuindo 8654 121378 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+7)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+7)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+7)^2} &= 1 \\ (x+7)^2 &= 1 \\ x+7 &= \pm 1 \\ x_1 = -6 &\text{ atau } x_2 = -8 \\ f(-6) &= -6+\frac{1}{-6+7}+9 \\ &= 4 \\ f(-8) &= -8+\frac{1}{-8+7}+9 \\ &= 0 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} ; \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ ; \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] nh1uakxabbnq8jsbktgj8gszzf2i8h1 121379 121378 2026-10-20T00:55:55Z Akuindo 8654 121379 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+7)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+7)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+7)^2} &= 1 \\ (x+7)^2 &= 1 \\ x+7 &= \pm 1 \\ x_1 = -6 &\text{ atau } x_2 = -8 \\ f(-6) &= -6+\frac{1}{-6+7}+9 \\ &= 4 \\ f(-8) &= -8+\frac{1}{-8+7}+9 \\ &= 0 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ &= x+7+\frac{1}{x+7} \\ \text{misalkan} a=x+7 \text{ dan } b=\frac{1}{b+7} \\ x+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{(x+7) \cdot \frac{1}{x+7}} \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 0 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] ahsz2c8bzxcrkakdnk8oz4gjrhedzam 121380 121379 2026-10-20T01:00:58Z Akuindo 8654 121380 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+7)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+7)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+7)^2} &= 1 \\ (x+7)^2 &= 1 \\ x+7 &= \pm 1 \\ x_1 = -6 &\text{ atau } x_2 = -8 \\ f(-6) &= -6+\frac{1}{-6+7}+9 \\ &= 4 \\ f(-8) &= -8+\frac{1}{-8+7}+9 \\ &= 0 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ &= x+7+\frac{1}{x+7}+2 \\ \text{misalkan} a=x+7 \text{ dan } b=\frac{1}{b+7} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{(x+7) \cdot (\frac{1}{x+7})} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{1} \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] dnc5u4gmt243gsgz6br94tirxoaes6f 121381 121380 2026-10-20T01:03:59Z Akuindo 8654 121381 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+7}</math>+9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+7)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+7)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+7)^2} &= 1 \\ (x+7)^2 &= 1 \\ x+7 &= \pm 1 \\ x_1 = -6 &\text{ atau } x_2 = -8 \\ f(-6) &= -6+\frac{1}{-6+7}+9 \\ &= 4 \\ f(-8) &= -8+\frac{1}{-8+7}+9 \\ &= 0 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ &= x+7+\frac{1}{x+7}+2 \\ \text{misalkan} a=x+7 \text{ dan } b=\frac{1}{b+7} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{(x+7) \cdot (\frac{1}{x+7})} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{1} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= \pm 2 \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 2+2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 4 \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= -2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= -2+2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 0 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] lydvrt6x3sjkt5pfbsvktwxf6xshdvc 121382 121381 2026-10-20T01:27:39Z Akuindo 8654 121382 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+7}+9 \\ &= x+7+\frac{1}{x+7}+2 \\ \text{misalkan} a=x+7 \text{ dan } b=\frac{1}{b+7} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{(x+7) \cdot (\frac{1}{x+7})} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \sqrt{1} \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= \pm 2 \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= 2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 2+2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 4 \\ x+7+\frac{1}{x+7} &= -2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= -2+2 \\ x+7+\frac{1}{x+7}+2 &= 0 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 2adw1rx68wtsh2xkgxdqb3z0qtqws60 121383 121382 2026-10-20T01:49:08Z Akuindo 8654 121383 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+3 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+1 \\ \text{misalkan} a=x+2 \text{ dan } b=\frac{1}{x+2} \\ x+2+\frac{1}{x+2} &= 2 \sqrt{(x+2) \cdot (\frac{1}{x+2})} \\ x+2+\frac{1}{x+2} &= 2 \sqrt{1} \\ x+2+\frac{1}{x+2} &= \pm 2 \\ x+2+\frac{1}{x+2} &= 2 \\ x+2+\frac{1}{x+2}+1 &= 2+1 \\ x+2+\frac{1}{x+2}+1 &= 3 \\ x+2+\frac{1}{x+2} &= -2 \\ x+2+\frac{1}{x+2}+1 &= -2+1 \\ x+2+\frac{1}{x+2}+1 &= -1 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 0 serta maksimum adalah 4} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] svhbf19lel952rlayup3j9kddyrndxg 121384 121383 2026-10-20T02:06:41Z Akuindo 8654 121384 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan} t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan} a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan} t = -k \text{misalkan} a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ -k+\frac{1}{-k} &= 2 \sqrt{-k \cdot (\frac{1}{-k})} \\ -k+\frac{1}{-k} &= 2 \sqrt{1} \\ -k+\frac{1}{-k} &= 2 \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 5 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] g6om245dck97j3e5nij3j1uua14ava8 121385 121384 2026-10-20T02:20:24Z Akuindo 8654 121385 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \le 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan } t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \\ t+\frac{1}{t} &= 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 &= 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan } t = -k \\ f(t) &= t+\frac{1}{t}+3 \\ f(k) &= -k+\frac{1}{-k}+3 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ \text{karena } k+\frac{1}{k} = t+\frac{1}{t} = 2 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ &= 3-2 \\ &= 1 \\ t &= -1 \\ x &= -1-2 \\ &= -3 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] bbpxa4qgs2fowgoq9ul4we3wu60fijz 121388 121385 2026-10-20T02:49:21Z Akuindo 8654 121388 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan } t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan } t = -k \\ f(t) &= t+\frac{1}{t}+3 \\ f(k) &= -k+\frac{1}{-k}+3 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ \text{karena } k+\frac{1}{k} = t+\frac{1}{t} = 2 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ &= 3-2 \\ &= 1 \\ t &= -1 \\ x &= -1-2 \\ &= -3 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+4}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] icjo2xtt52iv851pua4qcuqkmsm0j6i 121389 121388 2026-10-20T02:56:20Z Akuindo 8654 121389 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan } t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan } t = -k \\ f(t) &= t+\frac{1}{t}+3 \\ f(k) &= -k+\frac{1}{-k}+3 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ \text{karena } k+\frac{1}{k} = t+\frac{1}{t} = 2 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ &= 3-2 \\ &= 1 \\ t &= -1 \\ x &= -1-2 \\ &= -3 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+1}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x^2+\frac{1}{x^2+1}+7 \\ &= x^2+1+\frac{1}{x^2+1}+6 \\ \text{misalkan } t=x^2+1 \\ &= t+\frac{1}{t}+6 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 2+6 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=29> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=30> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=31> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=32> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=33> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=34> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=35> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] skfc19e436v8jfv6degui0ybu19tzna 121390 121389 2026-10-20T03:00:15Z Akuindo 8654 121390 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan } t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan } t = -k \\ f(t) &= t+\frac{1}{t}+3 \\ f(k) &= -k+\frac{1}{-k}+3 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ \text{karena } k+\frac{1}{k} = t+\frac{1}{t} = 2 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ &= 3-2 \\ &= 1 \\ t &= -1 \\ x &= -1-2 \\ &= -3 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+1}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x^2+\frac{1}{x^2+1}+7 \\ &= x^2+1+\frac{1}{x^2+1}+6 \\ \text{misalkan } t=x^2+1 \\ &= t+\frac{1}{t}+6 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 2+6 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=31> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=32> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=33> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=34> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=35> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] factte6n5pxk5eb66b2d0p0repaxhry 121391 121390 2026-10-20T03:53:15Z Akuindo 8654 121391 wikitext text/x-wiki contoh soal <ol start=1> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{200 \cdot 201 \cdot 202 \cdot 203)+1} &= \sqrt{200(200+1)(200+2)(200+3)+1} \\ \text{misalkan 200=x } \\ &= \sqrt{x(x+1)(x+2)(x+3)+1} \\ &= \sqrt{x(x+3)(x+1)(x+2)+1} \\ &= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1} \\ \text{misalkan } x^2+3x=n \\ &= \sqrt{n(n+2)+1} \\ &= \sqrt{n^2+2n+1} \\ &= \sqrt{(n+1)^2} \\ &= n+1 \\ &= x^2+3x+1 \\ &= 200^2+3(200)+1 \\ &= 40.000+600+1 \\ &= 40.601 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=2> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1 } \\ \text{Perhatian } \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}) \\ &= 1 - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024}{2024} - \frac{1}{2024} \\ &= \frac{2024-1}{2024} \\ &= \frac{2023}{2024} \\ \text {cara 2 } \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{n \times (n+1)} &= \frac{n}{n+1} \\ \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2023 \times 2024} &= \frac{2023}{2024} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=3> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{misalkan } S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ S &= \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \frac{1}{11 \times 14} + \dots + \frac{1}{62 \times 65} \\ 3S &= \frac{3}{5 \times 8} + \frac{3}{8 \times 11} + \frac{3}{11 \times 14} + \dots + \frac{3}{62 \times 65} \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{8} + (\frac{1}{8}-\frac{1}{11}) + (\frac{1}{11}-\frac{1}{14}) + \dots + (\frac{1}{62}-\frac{1}{65}) \\ &= \frac{1}{5}-\frac{1}{65} \\ &= \frac{12}{65} \\ S &= \frac{1}{3} \times \frac{12}{65} \\ &= \frac{4}{65} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=4> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}} &= x \\ (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}})^2 &= x^2 \\ 6 + (\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}) &= x^2 \\ 6 + x &= x^2 \\ x^2 - x - 6 &= 0 \\ (x-3)(x-2) &= 0 \\ x = 3 &\text{ atau } x = -2 \\ \text { jadi x adalah } 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=5> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{20 - \sqrt{20 + \sqrt{20 - \dots}}} &= x \\ (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}})^2 &= x^2 \\ 20 - (\sqrt{20 - \sqrt{20 - \dots}}) &= x^2 \\ 20 - x &= x^2 \\ x^2 + x - 20 &= 0 \\ (x-4)(x+5) &= 0 \\ x = 4 &\text{ atau } x = -5 \\ \text { jadi x adalah } 4 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=6> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}} &= x \\ 2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}} &= x^2 \\ \text {maka menjadi } \frac{x^2}{x} &= \frac{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}{\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2 \dots}}}} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=7> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}}} &= x \\ \frac{8}{\sqrt{\frac{8}{\sqrt{\frac{8}{ \dots}}}}} &= x^2 \\ \frac{8}{x} &= x^2 \\ x^3 &= 8 \\ x &= \sqrt[3]{8} \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=8> <li>Berapa hasil dari <math>\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{1}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3^{\frac{3}{2}}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3 \times 3^{\frac{3}{4}}}} \\ &= \sqrt{3\sqrt{3^{\frac{7}{4}}}} \\ &= \sqrt{3 \times 3^{\frac{7}{8}}} \\ &= \sqrt{3^{\frac{15}{8}}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \text{cara 2} \\ \text{Gunakan rumus } a^{\frac{2^n-1}{2^n}} \text{ n adalah banyaknya akar } \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}} &= 3^{\frac{2^4-1}{2^4}} \\ &= 3^{\frac{16-1}{16}} \\ &= 3^{\frac{15}{16}} \\ &= \sqrt[16]{3^{15}} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=9> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}} &= 9 \\ (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}})^2 &= (9)^2 \\ 4x + (\sqrt{4x + \sqrt{4x + \dots}}) &= 81 \\ 4x + 9 &= 81 \\ 4x &= 72 \\ x &= 13 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=10> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} = 12</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}} &= 12 \\ (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}})^2 &= (12)^2 \\ 7x+2 - (\sqrt{7x+2 - \sqrt{7x+2 - \dots}}) &= 144 \\ 7x+2 - 12 &= 144 \\ 7x &= 154 \\ x &= 22 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=11> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{72 - \sqrt{72 + \sqrt{72 + \dots + \sqrt{x}}}} = 9</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 9 \\ (\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= 9^2 \\ 72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 81 \\ \sqrt{72 - \sqrt{72 - \dots - \sqrt{x}}} &= 9 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 9 \\ x &= 81 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=12> <li>Berapa nilai x dari <math>\sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} = 10</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \sqrt{121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}} &= 10 \\ (\sqrt{12- - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}}})^2 &= {10}^2 \\ 121 - \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 100 \\ \sqrt{121 - \sqrt{121 - \dots - \sqrt{x}}} &= 21 \\ \text{ karena terus berulang maka } \\ \sqrt{x} &= 21 \\ x &= 441 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=13> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}}} = \\ \text{Misalkan } \frac{1}{2 + 3 \frac{1}{2 + 3 \dots}} &= x \\ \frac{1}{2 + 3x} &= x \\ 1 &= x(2 + 3x) \\ 1 &= 2x + 3x^2 \\ 3x^2 + 2x - 1 &= 0 \\ (3x - 1)(x + 1) &= 0 \\ x = \frac{1}{3} &\text{ atau } x = -1 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=14> <li>Berapa hasil dari <math>7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 7 + \frac{16}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \frac{56}{1 + \dots}}}} = \\ \text{Misalkan } 1 + \frac{56}{1 + \dots} &= x \\ 1 + \frac{56}{x} &= x \\ x + 56 &= x^2 \\ x^2 - x - 56 &= 0 \\ (x-8)(x+7) &= 0 \\ x = 8 &\text{ atau } x = -7 \\ \text{Karena hasilnya selalu bilangan positif jadi } x = 8 \\ 7 + \frac{16}{8} &= 7 + 2 = 9 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=15> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+6}</math> dari <math>\frac{1}{x+4} = 7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{1}{x+4} &= 7 \\ x+4 &= \frac{1}{7} \\ x+4+2 &= \frac{1}{7}+2 \\ x+6 &= \frac{15}{7} \\ \frac{1}{x+6} &= \frac{7}{15} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=16> <li>Berapa hasil <math>\frac{1}{x+10}</math> dari <math>\frac{3}{x+5} = x</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{3}{x+5} &= x \\ \frac{x+5}{3} &= \frac{1}{x} \\ x+5 &= \frac{3}{x} \\ x+5+5 &= \frac{3}{x}+5 \\ x+10 &= \frac{3+5x}{x} \\ \frac{1}{x+10} &= \frac{x}{3+5x} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=17> <li>Berapa hasil x+y, x-y, xy serta <math>\frac{x}{y}</math> dari 3<x<7 dan 1<y<9?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{jumlahkan } 4<x+y<16 \\ \text{batas bawah } 3-9 = -6 \\ \text{batas atas } 7-1 = 6 \\ \text{jadi } -6<x-y<6 \\ \text{hasil kali } 3<x+y<63 \\ \text{batas bawah } \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \\ \text{batas atas } \frac{7}{1} = 7 \\ \text{jadi } \frac{1}{3}<\frac{x}{y}<7 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=18> <li>Berapa hasil dari <math>x^2-3xy+y^2</math> jika x+y = 7 dan xy = -4?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} x^2-3xy+y^2 &= x^2+2xy+y^2-5xy \\ &= (x+y)^2-5xy \\ &= 7^2-5(-4) \\ &= 49+20 \\ &= 69 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=19> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}</math> jika x+y+z = 2961 dan <math>\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} = \frac{1}{7}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} &= \frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{x+z}+1+\frac{z}{x+y}+1-3 \\ &= \frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}-3 \\ &= (x+y+z)(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y})-3 \\ &= 2961(\frac{1}{7})-3 \\ &= 423-3 \\ &= 420 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=20> <li>Berapa hasil dari <math>\frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)}</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{2027 \times (2025^2-9) \times 2023}{2028 \times (2025^2-4)} \\ \text{misalkan x=2025 } \\ \frac{(x+2) \times (x^2-9) \times (x-2)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ \frac{(x-3) \times (x+3) \times (x^2-4)}{(x+3) \times (x^2-4)} \\ x-3 \\ 2025-3 \\ 2022 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=21> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 3 \\ \frac{x-10}{2023} + \frac{x-9}{2024} + \frac{x-8}{2025} &= 1+1+1 \\ \frac{x-10}{2023} - 1 + \frac{x-9}{2024} - 1 + \frac{x-8}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-10-2023}{2023} + \frac{x-9-2024}{2024} + \frac{x-8-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2033}{2023} + \frac{x-2033}{2024} + \frac{x-2033}{2025} &= 0 \\ (x-2033)(\frac{1}{2023} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2033 &= 0 \\ x &= 2033 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=22> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} = 3</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 3 \\ \frac{x-17}{2026} + \frac{x-19}{2024} + \frac{x-21}{2022} &= 1+1+1 \\ \frac{x-17}{2026} - 1 + \frac{x-19}{2024} - 1 + \frac{x-21}{2022} - 1 &= 0 \\ \frac{x-17-2026}{2026} + \frac{x-19-2024}{2024} + \frac{x-21-2022}{2022} &= 0 \\ \frac{x-2043}{2026} + \frac{x-2043}{2024} + \frac{x-2043}{2022} &= 0 \\ (x-2043)(\frac{1}{2026} + \frac{1}{2024} + \frac{1}{2022}) &= 0 \\ x-2043 &= 0 \\ x &= 2043 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=23> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} = 6</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 6 \\ \frac{x-4}{674} + \frac{x-4}{1011} + \frac{x-1}{2025} &= 3+2+1 \\ \frac{x-4}{674} - 3 + \frac{x-4}{1011} - 2 + \frac{x-1}{2025} - 1 &= 0 \\ \frac{x-4-2022}{674} + \frac{x-4-2022}{1011} + \frac{x-1-2025}{2025} &= 0 \\ \frac{x-2026}{674} + \frac{x-2026}{1011} + \frac{x-2026}{2025} &= 0 \\ (x-2026)(\frac{1}{674} + \frac{1}{1011} + \frac{1}{2025}) &= 0 \\ x-2026 &= 0 \\ x &= 2026 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=24> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{x-1}{2024} + \frac{x-2}{2023} + \frac{x-3}{2022} + \frac{x-2040}{5} &= 0 \\ \frac{x-1}{2024}-1 + \frac{x-2}{2023}-1 + \frac{x-3}{2022}-1 + \frac{x-2040}{5}+3 &= 0 \\ \frac{x-1-2024}{2024} + \frac{x-2-2023}{2023} + \frac{x-3-2022}{2022} + \frac{x-2040+15}{5} &= 0 \\ \frac{x-2025}{2024} + \frac{x-2025}{2023} + \frac{x-2025}{2022} + \frac{x-2025}{5} &= 0 \\ (x-2025)(\frac{1}{2024} + \frac{1}{2023} + \frac{1}{2022} + \frac{1}{5}) &= 0 \\ x-2025 &= 0 \\ x &= 2025 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=25> <li>Berapa hasil x dari <math>\frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} = 0</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \frac{11-x}{2029} + \frac{10-x}{2030} + \frac{9-x}{2031} + \frac{2070-x}{10} &= 0 \\ \frac{11-x}{2029}+1 + \frac{10-x}{2030}+1 + \frac{9-x}{2031}+1 + \frac{2070-x}{10}-3 = 0 \\ \frac{11-x+2029}{2029} + \frac{10-x+2030}{2030} + \frac{9-x+2031}{2031} + \frac{2070-x-30}{10} = 0 \\ \frac{2040-x}{2029} + \frac{2040-x}{2030} + \frac{2040-x}{2031} + \frac{2040-x}{10} = 0 \\ (2040-x)(\frac{1}{2029} + \frac{1}{2030} + \frac{1}{2031} + \frac{1}{10}) &= 0 \\ 2040-x &= 0 \\ x &= 2040 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=26> <li>Berapa nilai minimum dan maksimum x+<math>\frac{1}{x+2}</math>+5?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ f'(x) &= 1-\frac{1}{(x+2)^2} \\ f'(x) &= 0 \\ 1-\frac{1}{(x+2)^2} &= 0 \\ \frac{1}{(x+2)^2} &= 1 \\ (x+2)^2 &= 1 \\ x+2 &= \pm 1 \\ x_1 = -1 &\text{ atau } x_2 = -3 \\ f(-1) &= -1+\frac{1}{-1+2}+5 \\ &= 5 \\ f(-3) &= -3+\frac{1}{-3+2}+5 \\ &= 1 \\ \text{jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \text{cara 2} \\ \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x+\frac{1}{x+2}+5 \\ &= x+2+\frac{1}{x+2}+3 \\ \text{misalkan } t=x+2 \\ &= t+\frac{1}{t}+3 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 2+3 \\ t+\frac{1}{t}+3 \ge 5 \\ x &= 5-2 \\ &= 3 \\ \text{jika } t < 0 \\ \text{misalkan } t = -k \\ f(t) &= t+\frac{1}{t}+3 \\ f(k) &= -k+\frac{1}{-k}+3 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ \text{karena } k+\frac{1}{k} = t+\frac{1}{t} = 2 \\ &= 3-(k+\frac{1}{k}) \\ &= 3-2 \\ &= 1 \\ t &= -1 \\ x &= -1-2 \\ &= -3 \\ \text{ jadi nilai minimum adalah 5 serta maksimum adalah 1} \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=27> <li>Berapa nilai minimum <math>x^2+\frac{1}{x^2+1}+7</math>?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{rumus} \\ a+b \ge 2 \sqrt{ab} \\ f(x) &= x^2+\frac{1}{x^2+1}+7 \\ &= x^2+1+\frac{1}{x^2+1}+6 \\ \text{misalkan } t=x^2+1 \\ &= t+\frac{1}{t}+6 \\ \text{jika } t > 0 \\ \text{misalkan } a=t \text{ dan } b=\frac{1}{t} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{t \cdot (\frac{1}{t})} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \sqrt{1} \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t} \ge 2 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 2+6 \\ t+\frac{1}{t}+6 \ge 8 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=28> <li>Berapa nilai maksimum 3x+4y jika x²+y²=100 serta x dan y adalah bilangan bulat positif?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} \text{cara 1} \\ \text{ ada beberapa kemungkinan jika } x^2+y^2 = 100 \text{ yaitu } (0,10), (6,8) \\ \text {coba-coba untuk mengetahui hasilnya } \\ 3(0)+4(10) &= 40 \\ 3(10)+4(0) &= 30 \\ 3(6)+4(8) &= 50 \\ 3(8)+4(6) &= 48 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 2} \\ x^2+y^2 &= 100 \\ (10 cos \, a)^2 + (10 sin \, a)^2 &= 100 \\ 3x+4y &= 3(10 cos \, a) + 4(10 sin \, a) \\ &= 30 cos \, a + 40 sin \, a \\ &= 50(\frac{3}{5} cos \, a + \frac{4}{5} sin \, a) \\ &= 50(sin \, b \cdot cos \, a + cos \, b \cdot sin \, a) \\ &= 50 sin \, (b+a) \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \text{cara 3} \\ \text{rumus} \\ (ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2) \\ -\sqrt{ (a^2+b^2)(x^2+y^2)} \le ax+by \le \sqrt{(a^2+b^2)(x^2+y^2)} \\ -(3^2+4^2)(100) \le (3x+4y)^2 \le (3^2+4^2)(100) \\ -(25)(100) \le (3x+4y)^2 \le (25)(100) \\ -2.500 \le (3x+4y)^2 \le 2.500 \\ -\sqrt{2.500} \le 3x+4y \le 50 \\ \text{ jadi nilai maksimum adalah 50 } \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=29> <li>Berapa nilai minimum x+y+z jika xyz=64?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} xyz &= 64 \\ \sqrt[3]{xyz} &= \sqrt[3]{64} \\ \sqrt[3]{xyz} &= 4 \\ \text{ dengan mengingat rumus rataan geometri dan rataan aritmatika } \\ \sqrt[3]{xyz} &= \frac{x+y+z}{3} \\ 4 &= \frac{x+y+z}{3} \\ x+y+z &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=30> <li>Berapa banyaknya bilangan kurang dari atau sama dengan 50 yang memiliki 6 faktor?</li></ol> : menggunakan pola bilangan prima seperti mencari kpk dan fpb. : kemungkinan pertama: p⁵ maka hanya 2⁵ = 32 saja : kemungkinan kedua: p²q maka beberapa kemungkinan sebagai berikut: :: 2²3 = 12, 2²5 = 20, 2²7 = 28, 2²11 = 44 :: 3²2 = 18, 3²5 = 45 :: 5²2 = 50 : jadi banyaknya adalah 8. <ol start=31> <li>Dua dadu dilempar bersama-sama satu kali. Berapa peluang bahwa dua dadu yang muncul berangka sama?</li></ol> * jumlah seluruh dadu (s) yaitu 6x6 = 36 * dua dadu yang sama angkanya (a) yakni {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} jadi ada 6 * maka peluangnya adalah <math>P (a) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}</math> <ol start=32> <li>Jumlah kedua bilangan adalah 30 maka berapa nilai maksimum dari hasil kali kedua bilangan?>/li></ol> * Jumlah kedua bilangan yang menghasilkan 30 yang mungkin adalah (0,30), (1,29), (2,28), (3,27), …., (15,15) * Hasil kali kedua bilangan masing-masing yakni 0, 29, 56, 81, 104, 125, …., 225 * Jadi hasil kali yang paling maksimum adalah 225 <ol start=33> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/7?</li></ol> * Hasil dari 1/7 adalah 0,142857142857… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 7. <ol start=34> <li>Berapa angka desimal ke 2024 jika hasil dari 1/13?</li></ol> * Hasil dari 1/13 adalah 0,076923076923… * Karena berulang-ulang keenam angka yang sama maka sisa dari 2024 dibagi 6 yaitu 0. angka 0 berarti 3. <ol start=35> <li>Dua persamaan yaitu 43a+20b-10c=36 dan 2a-2b+19c=-9 maka berapa hasil dari 5a+2b+c?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} 43a+20b-10c &= 36 \\ 2a-2b+19c &= -9 \\ 45a+18b+9c &= 27 \text{ (persamaan (1) ditambahkan (2))} \\ 5a+2b+c &= 3 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=36> <li>Berapa hasil f(16)-f(7) dari f(3x-2)=4x-7?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} f(16) &= f(3x-2) \\ 16 &= 3x-2 \\ 3x &= 18 \\ x &= 6 \\ f(16) &= 4(6)-7 \\ &= 17 \\ f(7) &= f(3x-2) \\ 7 &= 3x-2 \\ 3x &= 9 \\ x &= 3 \\ f(7) &= 4(3)-7 \\ &= 5 \\ f(16) - f(7) &= 17-5 \\ &= 12 \\ \end{align} </math> </div></div> <ol start=37> <li>Sebuah persegi memiliki dua persegi panjang secara sembarangan baik vertikal atau horisontal. jika keliling kedua persegi panjang adalah 102 meter maka berapa luas persegi?</li></ol> <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:550px"><div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Jawaban</div> <div class="mw-collapsible-content"> <math display="block"> \begin{align} b &= a+c \\ k &= 2(a+b)+2(b+c) \\ 102 &= 2a+4b+2c \\ 51 &= a+2b+c \\ 51 &= b+2b \\ 51 &= 3b \\ b &= 17 \\ l &= b^2 \\ &= {17}^2 \\ &= 289 m^2 \\ \end{align} </math> </div></div> [[Kategori:Soal-Soal Matematika]] 60uepdzz995imw4up8arjs2qjipi549 10 28875 121387 2026-10-20T02:42:35Z Bennylin 425 ←Membuat halaman berisi '{{Bb|edit={{{edit|}}}|box={{{box|}}} |title=Habis Gelap Terbitlah Terang |showntitle=Habis Gelap Terbitlah Terang |cover=Northern Italian School - Woman at a Window - NG2146 - National Gallery - before.jpg |desc= Habis Gelap Terbitlah Terang bukan sekadar kumpulan surat Kartini, melainkan jendela ke dalam pergulatan batin seorang perempuan muda yang berani mempertanyakan batas-batas zamannya. Melalui surat-surat yang ditulis antara tahun 1899 hingga 1904 kepa...' 121387 wikitext text/x-wiki {{Bb|edit={{{edit|}}}|box={{{box|}}} |title=Habis Gelap Terbitlah Terang |showntitle=Habis Gelap Terbitlah Terang |cover=Northern Italian School - Woman at a Window - NG2146 - National Gallery - before.jpg |desc= Habis Gelap Terbitlah Terang bukan sekadar kumpulan surat Kartini, melainkan jendela ke dalam pergulatan batin seorang perempuan muda yang berani mempertanyakan batas-batas zamannya. Melalui surat-surat yang ditulis antara tahun 1899 hingga 1904 kepada sahabat, pendidik, dan tokoh-tokoh di Eropa, Kartini mengungkapkan pemikirannya tentang pendidikan, kebebasan, martabat manusia, tradisi, dan harapannya akan masa depan yang lebih cerah bagi bangsanya. Dengan bahasa yang tulus, cerdas, dan tetap relevan hingga hari ini, buku ini mengajak pembaca menyelami perjalanan seorang pribadi yang berusaha menemukan cahaya di tengah berbagai keterbatasan. Habis Gelap Terbitlah Terang bukan hanya kisah tentang emansipasi perempuan, tetapi juga tentang keberanian berpikir, pencarian makna hidup, dan keyakinan bahwa perubahan besar dapat berawal dari sebuah gagasan. '''([[Habis Gelap Terbitlah Terang|Selengkapnya...]])'''}} 1f7xugkva9p0kicnx01n3txeh6oee7n 3 28876 121395 2026-10-20T04:57:06Z Bennylin 425 ←Membuat halaman berisi '==Halo== Terkait dengan konten-konten berbahasa Banjar, apa tidak sebaiknya di Wikibuku Bahasa Banjar? ~~~~' 121395 wikitext text/x-wiki ==Halo== Terkait dengan konten-konten berbahasa Banjar, apa tidak sebaiknya di Wikibuku Bahasa Banjar? <span style="text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;">[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]</span> ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 20 Oktober 2026 04.57 (UTC) ogiwsye9vlqm0mo5a4moft19kbq1d7w 121396 121395 2026-10-20T05:02:38Z Wadaihangit 36203 /* Halo */ Balas 121396 wikitext text/x-wiki ==Halo== Terkait dengan konten-konten berbahasa Banjar, apa tidak sebaiknya di Wikibuku Bahasa Banjar? <span style="text-shadow: 5px 3px 1px gray; font-color:black;">[[Pengguna:Bennylin|Bennylin]]</span> ([[Pembicaraan Pengguna:Bennylin|Bicara]]) 20 Oktober 2026 04.57 (UTC) :Halo, karena saat ini Wikibuku bahasa Banjar belum ada, saya dan yang lain berencana untuk meletakkannya terlebih dahulu di Wikibuku bahasa Indonesia, sambil menyiapkan inkubator Wikibuku bahasa Banjar. Begitu inkubator sudah berjalan, konten akan kami pindahkan kesana. [[Pengguna:Wadaihangit|Wadaihangit]] ([[Pembicaraan Pengguna:Wadaihangit|bicara]]) 20 Oktober 2026 05.02 (UTC) r8dp1mkb0dqw557silba420o8efjkjo