Wikibækur iswikibooks https://is.wikibooks.org/wiki/Fors%C3%AD%C3%B0a MediaWiki 1.47.0-wmf.19 first-letter Miðill Kerfissíða Spjall Notandi Notandaspjall Wikibækur Wikibækurspjall Mynd Myndaspjall Melding Meldingarspjall Snið Sniðaspjall Hjálp Hjálparspjall Flokkur Flokkaspjall Skjátexti Skjátextaspjall Module Module talk Event Event talk 10 3033 35217 32748 2026-09-13T03:25:25Z Minorax 3467 35217 wikitext text/x-wiki {| align=center style="background-color: #F7F7FF; border: 2px solid #CCCCFF;" !colspan=5 style="background-color: #DFEFFF; text-align: center;"|[[Help:Development stages|Vinnslustig fyrir wikibók]] |- |style="border-right: 1px solid #CCCCCC; padding: 0px 3px;"| Rétt að byrja [[Mynd:00%.svg]] |style="border-right: 1px solid #CCCCCC; padding: 0px 3px;"| Komið skammt áleiðis [[Mynd:25%.svg]] |style="border-right: 1px solid #CCCCCC; padding: 0px 3px;"| Miðar vel áfram [[Mynd:50%.svg]] |style="border-right: 1px solid #CCCCCC; padding: 0px 3px;"| Langt komið [[Mynd:75%.svg]] |style="padding: 0px 3px;"| Fullfrágengið: [[Mynd:100 percent.svg]] |} 7iarep1lkk60lccxbv9jfyjjanv1fu1 0 3911 35220 35053 2026-09-13T11:41:11Z Snævar 1466 /* Ítarefni */ 35220 wikitext text/x-wiki Höfundur Sigrún Eugenio Jónsdóttir Námsefni þetta er hægt að nýta sér í eldri bekkjum grunnskólans auk grunnáfanga framhaldsskóla í stærðfræði. Námsefni kennir helstu reglur sem gilda um forgangsröð aðgerða. == Forgangsröð aðgerða == <math>28-(10 \times 8)=\underline{\qquad}</math> Í þessari wikibók er ætlunin að skoða helstu reglur sem gilda í forgangsröðun aðgerða í algebru. Þessar aðgerðir gilda janfn um tölustafi og bókstafi.52 == Stærðartákn og stæða == Þegar tölur og/eða bókstafir eru tengdar með reikniaðgerðum (+,-,*,/) er talað um stærðartákn, sem oft er nefnt stæða (en. algebraic epression) '''Reglur''' 1. Fyrst er reiknað úr öllum svigum (ef þeir eru fyrir hendi). 2. Reikna síðan veldi og draga kvaðratrót (ef slíkt er fyrir hendi). 3. Margfalda og deila. 4. Leggja saman og draga frá. == Dæmi == {| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" |+ style="background-color:#cedff2;border:1px solid black;" | '''Forgangsröð aðgerða - Dæmi''' |- style="background:#ffdead;" ! Expression ! Jafna ! Reikniaðgerð |- | rowspan="3" | 4 &times; 2 + 1 | = '''4 &times; 2''' + 1 | Margföldun |- | = '''8 + 1''' | Samlagning |- | = '''9''' | |- | rowspan="3" | 12 - 9 &divide; 3 | = 12 - '''9 &divide; 3''' | Deiling |- | = '''12 - 3''' | Frádráttur |- | = '''9''' | |- | rowspan="4" | 3 + 12 &divide; (5 - 2) | = 3 + 12 &divide; '''(5 - 2)''' | Svigar |- | = 3 + '''12 &divide; 3''' | Deiling |- | = '''3 + 4''' | Samlagning |- | = '''7''' | |- | rowspan="5" | 7 &times; 10 - (2 &times; 4)² | = 7 &times; 10 - '''(2 &times; 4)'''² | Svigar |- | = 7 &times; 10 - '''8²''' | Veldi |- | = '''7 &times; 10''' - 64 | Margföldun |- | = '''70 - 64''' | Frádráttur |- | = '''6''' | |} ---- == Ítarefni == * [[w:en:b:Wikibooks:Mathematics_bookshelf|Wikibækur um stærðfræði (enskar wikibækur)]] [[Flokkur:Stærðfræði]] kuzpappnyzk5mgfgzchi90syz6csnt0 0 5363 35224 16068 2026-09-13T11:45:15Z Snævar 1466 /* Samlagning með almennum brotum */ 35224 wikitext text/x-wiki '''Samlagning''' er [[reikniaðgerð]] í [[stærðfræði]] þar sem tveir [[liður (stærðfræði)|liðir]] eru sameinaðir í einn en nafnið er komið af því ''að leggja saman''. Hún er skilgreind með merki sem kallast ''plús'', táknað með +, og er staðsett á milli liðanna þar sem framkvæma á aðgerðina. Þessi stærðfræðiaðgerð er ein af þeim fyrstu sem börn læra í [[skóli|grunnskóla]] en hún er mikilvægur grunnur að stærðfræðilegri þekkingu. Allar venjulegar tölur eru gerðar úr ákveðnum fjölda af einingum (t.d. er talan 1 notuð sem eining í [[rauntala|rauntölukerfinu]]) og þegar einhverjar tölur eru lagðar saman, þá er einingafjöldinn sameinaður og úr verður nýr fjöldi af einingum. Talan 2 hefur tvær einingar og talan 7 hefur sjö einingar og þegar tölurnar eru lagðar saman er tveim einingum bætt við töluna 7 (eða öfugt) og talið hve margar einingar verður út úr því. Hægt er að telja þetta í huganum og bætt 2 einingum við 7 með því að bæta við einni einingu í einu við 7 tvisvar sinnum og fá þannig út 9. Það er erfiðara að reikna þetta í huganum ef unnið er með stærri tölur en hægt er að stytta sér leið með því að taka 5, 10, 50, 100 eða fleiri þægilegri tölur í einu. Það fer síðan eftir æfingunni hve stórar tölur hægt er að taka með þessari aðferð en þegar tölurnar eru of flóknar eða of stórar, þá er hægt að nota [[reiknivél]] eða skrifa útreikninginn á [[pappír]]. ==Samlagning með almennum brotum== ''Sjá nánar [[Almenn brot]]'' ===Sömu nefnarar=== Þegar 2 almenn brot eru lögð saman og hafa sama nefnara, þá er nóg að leggja saman teljarana eins og í eftirfarandi dæmi: <math>\frac{3}{\color{Red}5} + \frac{1}{\color{Red}5} = \frac{3+1}{\color{Red}5} = \frac{4}{\color{Red}5} \!</math> ===Ólíkir nefnarar=== Nú vandast málin þegar 2 almenn brot eru lögð saman og hafa ólíka nefnara. Þegar það gerist, þá er fundinn [[minnsti samnefnari]] og brotin síðan stytt eða lengd eftir þörfum. Í dæminu er minnsti samnefnarinn 12. <math>\frac{1}{\color{Blue}4} + \frac{5}{\color{Green}6} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot {\color{Blue}4}} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot {\color{Green}6}} = \frac{3}{\color{Brown}12} + \frac{10}{\color{Brown}12} = \frac{3 + 10}{\color{Brown}12} = \frac{13}{\color{Brown}12} \!</math> [[Flokkur:Stærðfræði]] 39onkryusa9obz3cmu2f0imjua33mb7 0 5364 35223 16069 2026-09-13T11:44:56Z Snævar 1466 /* Frádráttur með almennum brotum */ 35223 wikitext text/x-wiki '''Frádráttur''' er [[reikniaðgerð]] í [[stærðfræði]] þar sem seinni liðurinn er ''dreginn frá'' liðinum á undan en nafnið er komið frá því. Hann er skilgreindur með merki sem kallast mínus, táknað með bandstriki –, og er staðsett á milli liðanna þar sem framkvæma á aðgerðina. Þessi stærðfræðiaðgerð er eitt af því fyrsta sem börn læra í [[skóli|grunnskóla]] en hún er mikilvægur grunnur að stærðfræðilegri þekkingu. Allar tölur eru gerðar úr ákveðnum fjölda af einingum (t.d. í [[rauntala|rauntölukerfinu]] er talan 1 notuð sem eining) og þegar einhver tala er dregin frá annarri, þá eru jafn margar einingar teknar í burtu frá fyrri tölunni og eru í þeirri seinni. Ef tekið er dæmi um að draga töluna 2 frá tölunni 7, þá eru teknar 2 einingar frá tölunni 7 og séð hve margar einingar eru eftir. Hægt er að reikna þetta í huganum og taka 2 einingar frá 7 með því að taka eina einingu í einu frá 7 tvisvar sinnum og fá þannig út 5. Það er erfiðara að reikna þetta í huganum ef unnið er með stærri tölur en hægt er að stytta sér leið með því að taka 5, 10, 50, 100 eða fleiri þægilegri tölur í einu. Það fer síðan eftir æfingunni hve stórar tölur hægt er að taka með þessari aðferð en þegar tölurnar eru of flóknar eða of stórar, þá er hægt að nota [[reiknivél]] eða skrifa útreikninginn á [[pappír]]. ==Frádráttur með almennum brotum== ''Sjá einnig: [[Almenn Brot]]'' ===Sömu nefnarar=== Þegar almennt brot er dregið frá öðru og hafa sama nefnara, þá er nóg að draga frá teljara seinna brotsins frá teljara þess fyrra eins og í eftirfarandi dæmi: <math>\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5} = \frac{2}{5} \!</math> ===Ólíkir nefnarar=== Nú vandast málin þegar almennt brot er dregið frá öðru og hafa ólíka nefnara. Þegar það gerist, þá er fundinn [[minnsti samnefnari]] og brotin síðan stytt eða lengd eftir þörfum. <math>\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12} \!</math> [[Flokkur:Stærðfræði]] oakboex1ocb17zb6lvm8yeur9zgm2gw 0 5366 35225 16073 2026-09-13T11:45:35Z Snævar 1466 /* Deiling með almennum brotum */ 35225 wikitext text/x-wiki [[Stærðfræði|Til Baka]] '''Deiling''' er sú reikniaðgerð í stærðfræði sem er andhverfa margföldunar. Hægt er að túlka deilingu sem ítrekaðan frádrátt (hversu oft er hægt að draga seinni þáttinn frá þeim fyrri áður en afgangurinn er minni en seinni þátturinn). Deiling er oft táknuð með skástriki og er staðsett á milli liðanna þar sem framkvæma á aðgerðina. Einnig getur deiling verið sett upp sem almennt brot. Deiling er eitt af því fyrsta sem börn læra í grunnskóla en hún er mikilvægur grunnur að stærðfræðilegri þekkingu. Margar leiðir eru til að reikna út deilingu og eru þær mismunandi flóknar. Ein þeirra er að finna út hve oft seinni talan gengur upp í þá fyrri. T.d. ef reiknað er <math>70/5</math>, þá er reiknað út hve oft talan 5 gengur upp í töluna 70, sem er 14 sinnum. Útkoman úr <math>70/5</math> er því 14. Málin flækjast all verulega ef fyrri talan gengur ekki upp í þá seinni, t.d. <math>10/3</math>. ==Deiling með almennum brotum== ''Sjá Einnig [[Almenn Brot]]'' Þegar almenn brot eru deild í önnur almenn brot, þá skal víxla teljaranum og nefnaranum í seinna brotinu og framkvæma síðan margföldun. Síðan á að margfalda teljarana og nefnarana saman í sitt hvoru lagi. T.d. <math>\frac{7}{3} / \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{63}{42} = \frac{63/21}{42/21} = \frac{3}{2} \!</math> en það er hægt að gera þetta á auðveldari hátt með því að stytta brotið áður. Það er gert með því stytta brotin eins og venjuleg almenn brot en það er gert með teljara í einu brotinu og nefnaranum í hinu brotinu og eftir það halda áfram með margföldunina. Eftirfarandi dæmi skýrir þetta skref fyrir skref: <math>\frac{7}{3} / \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \!</math> [[Flokkur:Stærðfræði]] 4p3du8sp0cxl0vul0wynl8hdbq41oju 0 5367 35222 16061 2026-09-13T11:42:03Z Snævar 1466 /* Ítarefni */ 35222 wikitext text/x-wiki '''Regla Pýþagórasar''' fjallar um, í evklíðskri rúmfræði, tengslin milli lengda hliðanna í rétthyrndum þríyrningi. Reglan er kennd við forngríska heimspekinginn, trúarleiðtogann og stærðfræðinginn Pýþagóras, þó að vitað sé að reglan hafi þekkst fyrir tíma hans bæði í Babýlóníu og Kína, en talið er að hann hafi verið fyrstur til að sanna að hún gilti fyrir alla rétthyrnda þríhyrninga. == Reglan == Reglan er þannig að ferningstölur skammhliðanna, lagðar saman, jafngilda ferningstölu [[langhlið|langhliðarinnar]]. Það væri líka hægt að segja að ef að búinn er til ferningur út frá hverri hlið, er samanlagt flatarmál minni ferninganna tveggja jafnt flatarmáli stærri ferningsins. [[Mynd:Pythagorean.svg|250px]] Jafna reglunnar er <math>a^2+b^2=c^2\,\!</math>, þar sem að '''a''' og '''b''' eru skammhliðar og '''c''' er langhlið. == Sönnun == Sjónræn sönnun á Pýþagórasarreglunni: [[Mynd:Pythagorean_proof.png|Sjónræn sönnun á Pýþagórasarreglunni]] == Ítarefni == Í bókinni ''Pythagorean Triangles'' (''Trójkaty pitagorejskie'') sýndi Waclaw Sierpinski fram á að til væru óendanlega margir þríhyrningar gerðir úr heiltölum. Þessir þríhyrningar eru kallaðir pýþagórískir þríhyrningar. Einnig er talað um pýþagórískar þrenndir, en þær eru talnaþrenndir, (a,b,c) þar sem a, b og c eru heilar og pósitífar tölur, sem uppfylla skilyrðið a² + b² = c². [[Flokkur:Stærðfræði]] qlis8wz7kxq0k7unx8wcvzdoc9pgijb 0 5370 35226 23637 2026-09-13T11:45:58Z Snævar 1466 /* Deiling með almennum brotum */ 35226 wikitext text/x-wiki [[stærðfræði|Til Baka]] '''Almenn brot''' eru gildi í stærðfræði samsett úr teljara sem er deildur með nefnara sem ekki má vera núll. Til eru ýmsir rithættir fyrir brot og eru algengustu eftirfarandi: :<math>\frac{3}{4} \!</math> eða 3 &divide; 4 eða <math>3/4 \!</math> Fyrstu tveir eru yfirleitt notaðir í skólakennslu en síðasti rithátturinn hefur náð miklum vinsældum innan vísindanna nema þegar nefnarinn eða teljarinn samanstendur úr mörgum þáttum, dæmi :<math>\frac{a + b + c + d + e + f + g}{h + i + j + k + l + m + n} \!</math> er mun skýrari en :<math>(a + b + c + d + e + f + g)/(h + i + j + k + l + m + n). \!</math> Hægt er að tákna allar ræðar tölur sem almennt brot. ==Aðgerðir með almennum brotum== ===Samlagning brota=== ====Sömu nefnarar==== Þegar 2 almenn brot eru lögð saman og hafa sama nefnara, þá er nóg að leggja saman teljarana eins og í eftirfarandi dæmi: <math>\frac{3}{\color{Red}5} + \frac{1}{\color{Red}5} = \frac{3+1}{\color{Red}5} = \frac{4}{\color{Red}5} \!</math> ====Ólíkir nefnarar==== Nú vandast málin þegar 2 almenn brot eru lögð saman og hafa ólíka nefnara. Þegar það gerist, þá er fundinn [[minnsti samnefnari]] og brotin síðan stytt eða lengd eftir þörfum. Í dæminu er minnsti samnefnarinn 12. <math>\frac{1}{\color{Blue}4} + \frac{5}{\color{Green}6} = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot {\color{Blue}4}} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot {\color{Green}6}} = \frac{3}{\color{Brown}12} + \frac{10}{\color{Brown}12} = \frac{3 + 10}{\color{Brown}12} = \frac{13}{\color{Brown}12} \!</math> -------------------------------- ===Frádráttur með almennum brotum=== ====Sömu nefnarar==== Þegar almennt brot er dregið frá öðru og hafa sama nefnara, þá er nóg að draga frá teljara seinna brotsins frá teljara þess fyrra eins og í eftirfarandi dæmi: <math>\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3-1}{5} = \frac{2}{5} \!</math> ====Ólíkir nefnarar==== Nú vandast málin þegar almennt brot er dregið frá öðru og hafa ólíka nefnara. Þegar það gerist, þá er fundinn [[minnsti samnefnari]] og brotin síðan stytt eða lengd eftir þörfum. <math>\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 6} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12} \!</math> ------------------- ===Margföldun með almennum brotum=== Þegar [[almenn brot]] eru margfölduð, þá skal margfalda teljarana og nefnarana saman í sitt hvoru lagi. T.d. <math>\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2} \!</math> en það er hægt að gera þetta á auðveldari hátt með því að stytta brotið áður. Það er gert með því stytta brotin eins og venjuleg almenn brot en það er gert með teljara í einu brotinu og nefnaranum í hinu brotinu og eftir það halda áfram með margföldunina. Eftirfarandi dæmi skýrir þetta skref fyrir skref: <math>\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \!</math> -------------------- ===Deiling með almennum brotum=== Þegar almenn brot eru deild í önnur almenn brot, þá skal víxla teljaranum og nefnaranum í seinna brotinu og framkvæma síðan margföldun. Síðan á að margfalda teljarana og nefnarana saman í sitt hvoru lagi. T.d. <math>\frac{7}{3} / \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{14} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} = \frac{63}{42} = \frac{63/21}{42/21} = \frac{3}{2} \!</math> en það er hægt að gera þetta á auðveldari hátt með því að stytta brotið áður. Það er gert með því stytta brotin eins og venjuleg almenn brot en það er gert með teljara í einu brotinu og nefnaranum í hinu brotinu og eftir það halda áfram með margföldunina. Eftirfarandi dæmi skýrir þetta skref fyrir skref: [[Flokkur:Stærðfræði]] sgc4amwn1g9645p62oz9srhkdtuvquc 14 7049 35219 24451 2026-09-13T11:38:27Z Snævar 1466 35219 wikitext text/x-wiki [[Flokkur:Stærðfræði]] lrg532tic71ht0xum8maesrhtpp1ppw 0 7885 35221 32838 2026-09-13T11:41:42Z Snævar 1466 /* Gagnlegir tenglar og myndbönd */ 35221 wikitext text/x-wiki Höfundur: Hulda Hvönn Kristinsdóttir Mengi (e. [[w:en:set_(mathematics)|set]]) eru stærðfræðileg fyrirbæri sem heyra undir mengjafræði (e. [[w:en:Set_theory|set theory]]). Mengi eru, samkvæmt skilgreiningu, vel skilgreint samansafn aðgreinanlegra hluta. Með aðgreinanlegra er meint að engir tveir hlutir í gefnu mengi eru eins. Mengi leyfa, með öðrum orðum, ekki endurtekningar. Mengi eru jafn mismunandi og þau eru mörg. Mengið ℝ er mengi allra rauntalna, mengið spendýr er mengi allra dýra sem fæða afkvæmi sín mjólk úr spena, mengið Alþingi er mengi allra þeirra sem sinna starfi þingmanns á Íslandi. Því eru engar skorður settar hversu stór mengi eru eða af hverju þau standa. [[File:Set of all states of the European Union.svg|thumb|left|Mengi af fánum ríkja ESB]] ==Framsetning== Mengi eru oftast táknuð með slaufusvigum, það er <math> \{ ... \} </math> og stök aðgreind með kommum. Þá er mengið A sem samanstendur af tölunum 1 og 2 sett fram sem <math> A=\{1,2\} </math> . Tölurnar <math> 1 </math> og <math> 2 </math> eru kölluð stök mengisins <math> A </math>. Þá má skrifa að skrifað <math> 1 \in A </math> sem lesið er „1 stak í <math> A </math>“. Sagt er að mengið <math> A </math> hafi fjöldatölu 2 þar sem það inniheldur 2 stök. Almennt gildir að fjöldatala segir til um fjölda staka í mengi. Innihaldi mengi óendanlega mörg stök hefur það fjöldatöluna <math> \infty </math>. Önnur framsetning á mengjum er með því að nota svokallaðar Venn myndir. Venn myndir eru myndræn framsetning á mengjum og eru nefndar eftir enska stærðfræðingnum John Venn. Mengi á Venn myndum eru almennt sett fram með hringjum og stök þeirra rituð innan þeirra. [[File:Venn-diagram-association-fallacy-01.svg|thumb|right|Venn mynd þar sem A er hlutmengi í B og C]] ==Hlutmengi== Hlutmengi er hluti af stökum annars mengis. Hlutmengi er mengi í eigin rétti og fylgir sömu lögum og lofum og mengi almennt gera. Ef við lítum til að mynda á mengið <math> B=\{1,2,5\} </math> þá er það hlutmengi í menginu <math> A=\{1,2,3,4,5,6\} </math> en mengið <math> C=\{1\} </math> er hlutmengi í <math>B</math>. Þá er ritað að <math>B \subseteq A</math>. Sérhvert mengi er hlutmengi í sjálfu sér og er þá kallað eiginlegt hlutmengi og tómamengið <math> \varnothing </math>, sem inniheldur engin stök, er hlutmengi í sérhverju mengi. Stundum er sagt að mengi <math> A </math> umlykji mengi <math> B </math> ef <math> B </math> er hlutmengi í <math> A </math> eða að <math> B </math> sé innihaldið í <math> A </math>. Hafa skal hugfast að stakið 1 og mengið <math> \{1\} </math> eru ekki sami hluturinn. Stakið 1 er tala en mengi eru ekki tölur, þó svo þau geti innihaldið tölur. Því er ekki rétt að skrifa að <math> \{1\} \in \mathbb{R} </math> eða að <math> 1 \subseteq \mathbb{R} </math>. Rétt væri hins vegar að halda því fram að <math> \{1\} \subseteq \mathbb{R} </math> og að <math> 1 \in \mathbb{R} </math>. ==Sammengi og sniðmengi== Sammengi er mengi sem inniheldur öll stök tveggja eða fleiri mengja. Ef gefin eru mengin <math> A=\{1,2,3\} </math> og <math> B=\{3,5,7\} </math> þá er sammengi þeirra mengið <math> \{1,2,3,5,7\}</math> . Þá er skrifað að <math> A \cup B = \{1,2,3,5,7\} </math>. Sniðmengi, á hinn veginn, er mengi sem inniheldur þau stök sem eru sameiginleg tveimur eða fleiri mengjum. Því er sniðmengi mengjanna <math>A</math> og <math>B</math> mengið <math> \{3\} </math> þar sem <math> 3 </math> er eina stakið sem er bæði í <math> A </math> og <math> B </math>. Þá er ritað að <math> A \cap B = \{3\} </math>. Á vennmyndum eru sammengi sameining þeirra hringja sem vísa til tilsvarandi mengja sammengisins en sniðmengi á vennmyndum svæðið sem verður til þegar hringirnir skarast. Á myndinni hér að ofan er sammengið allur litaði flöturinn en sniðmengið er blágræna svæðið. Þar er mengið <math> A </math> hlutmengi í sniðmenginu, þ.e. <math> A \subseteq B \cap C </math>. ==Fyllimengi og mengjamismunur== Fyllimengi mengis eru öll stök utan mengisins. Almennt, þegar talað er um fyllimengi, er svokallað almengi tiltekið. Almengi eru allar þær tölur sem við tökum til greina í útreikningunum hvert sinn og er oft táknað með <math> G </math>. Á vennmyndum eru þau gjarnar táknuð með rétthyrningum í stað hringja. Ef <math> G=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} </math> og <math> A=\{1,4,9\} </math>. Fyllimengi <math> A </math> í <math> G </math> eru því öll stök <math> G </math> sem ekki eru í <math> A </math>, þau eru <math> \{2,3,5,6,7,8,10\} </math>. Þá er ritað að <math> \bar{A} = \{2,3,5,6,7,8,10\} </math>. Ef <math> A = \{4,5,6,7\} </math> og <math> B = \{6,7,8,9,10\} </math> þá er mengjamismunur <math> B </math> við <math> A </math> mengið <math> \{8,9,10\} </math>, táknað með <math> B \setminus A = \{8,9,10\} </math>, þ.e. öll stök <math> B </math> sem ekki eru í <math> A </math>. ==Ýmis þekkt mengi== Sum mengi eru meira notuð en önnur. Þegar hefur verið nefnt mengi rauntalna. Skoðum þau helstu. *<math>\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}</math> er mengi náttúrulegra talna (e. ''natural numbers''). *<math>\mathbb{N}_{0}=\{0,1,2,3,\dots\}</math> er mengi náttúrulegra talna að viðbættri tölunni 0. *<math>\mathbb{Z}=\{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\} </math> er mengi heilla talna (e. ''integers''). Það inniheldur mengi náttúrulegra talna auk neikvæðra, heilla talna og 0. *<math>\mathbb{Q}</math> er mengi allra ræðra talna (e. ''rational numbers''), það er talna sem skrifa má sem almennt brot. Í því eru því allar heilar tölur sem og allar tölur sem skrifa má á forminu <math>\frac{a}{b}</math> þar sem <math>a,b\in \mathbb{Z} </math>. Athugið sérstaklega að í þessu felast einnig öll endanlega löng tugabrot, eins og <math>1,5</math> og <math>1,456</math> og öll lotubundin tugabrot, eins og <math>0,\overline{3}</math> og <math>1,\overline{21}</math>. * <math>\mathbb{R}</math> er mengi rauntalna (e. ''real numbers'') og inniheldur öll áðurnefnd mengi sem og óræðar tölur á borð við <math>\pi</math>, <math>e</math> og <math>\sqrt{2}</math>. [[File:Real numbers.svg|500px|none|Talnamengin]] Ef gefið er mengi sem hefur plús í fótskrift táknar það mengi allra jákvæðra talna í gefnu mengi, t.a.m. <math>\mathbb{Z}_{+}</math> sem táknar allar jákvæðar, heilar tölur. Sambærileg skilgreining fæst fyrir mínus í fótskrift, sem táknar þá mengi allra neikvæðra talna í gefnu mengi. Athugið að 0 er hvorki jákvæð né neikvæð tala og er því aldrei hluti af mengi með plús eða mínus í fótskrift. == Spurningar == # Nefndu nokkur dæmi um mengi sem við notum dagsdaglega. # Hvað eru Venn myndir? Útskýrðu hvenær þú heldur að þær geti komið að gagni. # Búðu til mengin A, B og C sem innihalda einhverjar heiltölur á bilinu 1-20. Finndu <math> A \cap B </math>, <math> A \cup B \cup C </math> og <math> G \setminus A </math>. Er eitthvert mengjanna hlutmengi í öðru? # Hver heldurðu að fjöldatala mengis allra náttúrulegra talna sé? == Krossapróf == <quiz display=simple> {Gefin eru mengin <math> A= \{50,100,150,200,250,300\} </math> og <math> B = \{25,50,75,100,125,150,175,200, 225, 250\} </math>. Hvað er <math> A \cap B </math>. |type="()"} - <math> A \cap B = \{25,50,75,100,125,150,175,225,200,250,300\} </math> + <math> A \cap B = \{50,100,150,200,250\} </math> - <math> A \cap B = \{50,100\} </math> - <math> \varnothing </math> {Í Staðarholtsskóla eru tvær nefndir, skemmtinefnd og ferðanefnd. Látum mengi þeirra sem eru í skemmtinefndinni vera táknað með S og ferðanefndinni F. Þá er <math> F=\{Anna, Jonni, Sveinn, Ragnar, Loftur, Halla, Danni \} </math> og <math> S=\{Frikki, Jonni, Lea, Ragnar, Andri, Magnea, Fanney \} </math>. Finndu mengi allra þeirra sem eru í ferðanefndinni en ekki í skemmtinefndinni og tjáðu með stærðfræðilegum táknum. |type="()"} + <math> F \setminus S = \{Anna, Sveinn, Loftur, Halla, Danni \} </math> - <math> S \setminus F = \{Anna, Sveinn, Loftur, Halla, Danni \} </math> - <math> F \cup S = \{Anna, Sveinn, Loftur, Halla, Danni, Magnea \} </math> - <math> F \cap S = \{Anna, Sveinn, Halla, Danni, Fanney \} </math> {Hver er fjöldatala mengisins <math> A= \{7, 9, 4, 3, 2, 19, 21, 34, 99\} </math>? |type="()"} - 34 - 8 - 99 + 9 {Hvert af eftirtöldu er ekki mengi? |type="()"} - Sjávardýr - Nemendur í Háteigsskóla - Harry Potter bækurnar + Þetta eru allt mengi. {Gefið er mengið <math> A=\{7,14,21,28,35,42,49\} </math> og <math> B=\{14,28,42\} </math>. Merktu við rétta fullyrðingu. |type="()"} - <math> A\subseteq B </math> + <math> B\subseteq A </math> - <math> \bar{A} = B </math> - <math> B \subseteq \varnothing </math> {Merktu við réttan kross. |type="()"} - <math> \mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Z} </math> - <math> \mathbb{Z}_0\subseteq \mathbb{Z} </math> - <math> \mathbb{R} \subseteq \mathbb{Q} </math> + <math> \mathbb{N} \subseteq \mathbb{R} </math> </quiz> == Heimildir == * Brian Duignan. Sótt af: https://www.britannica.com/biography/John-Venn == Tengt efni == * [[w:Mengi|Íslenska Wikipedia síðan um mengi]] == Gagnlegir tenglar og myndbönd == * [https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library/basic-set-ops/v/intersection-and-union-of-sets: Video Khan Academy um mengi] * [https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html: Inngangur að mengjum] * [https://www.mathsisfun.com/sets/symbols.html: Ýmis mengjatákn] [[Flokkur:Stærðfræði]] 03abe7lm2ddi6yzz043ynqynnnsdkoh 14 8055 35218 2026-09-13T11:38:21Z Snævar 1466 Bjó til síðu með „[[Flokkur:Raungreinar]]“ 35218 wikitext text/x-wiki [[Flokkur:Raungreinar]] gm8k16b11mdqa2b5ycgjkfqbp7z21u7