Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.3 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 8783 498271 485971 2026-05-23T10:31:18Z Pasquale.Carelli 528 spostata figura 498271 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Indice |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica |CapitoloSuccessivo=Dinamica |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica }} {{fisica classica}} =[[w:Meccanica_(fisica)|Meccanica]]= La meccanica riguarda lo studio del moto dei corpi, all'aumentare del loro numero lo studio diventa molto complicato, per questa ragione in meccanica, come in molti rami della fisica, in genere si studiano prima i sistemi semplici e poi quelli via via più complessi. Quindi nel nostro studio considereremo inizialmente il moto di un solo semplice corpo. Il più semplice corpo materiale è in realtà il punto materiale e da tale semplice corpo incominceremo lo studio della meccanica classica. La meccanica classica odierna nasce con le osservazioni sperimentali di [[w:Galileo_Galilei|Galileo Galilei]] che incomincia a studiare sperimentalmente il moto dei corpi. Nasce così la prima branca della meccanica: la cinematica. ==Cinematica== La [[w:Cinematica|cinematica]] è quel ramo della Meccanica Classica che studia il moto dei corpi materiali dal punto di vista puramente geometrico, senza occuparsi di studiare le cause che hanno prodotto quel tipo particolare di moto. Di quest'ultimo aspetto si occupa la [[Fisica_classica/Dinamica|Dinamica]] che, in meccanica classica d'impostazione newtoniana, tratta le forze e i loro effetti sul moto. ==[[w:Tempo|Tempo]]== Uno dei punti di partenza della Meccanica Classica è il postulato sull'esistenza del tempo come grandezza continua e uniforme. Queste caratteristiche sono individuabili intuitivamente dal senso comune e possono essere così delineate con una discussione di tipo fenomenologico-metafisico: # ''Continuità del tempo'': il tempo fluisce in modo continuo e non a scatti (come la lancetta dei secondi ad esempio) ovvero osserviamo lo scorrere continuo del tempo come un fluido continuo ([[w:Eraclito_di_Efeso|Eraclito]]) e non fotogramma per fotogramma. # ''Uniformità del tempo'': il tempo fluisce in modo uniforme e sempre nello stesso verso, non si osservano infatti rapporti inversi di causa-effetto o fenomeni come il déjà-vu cari alla letteratura fantascientifica. Per riassumere rigorosamente queste caratteristiche i fisici e i matematici hanno coniato un postulato fondamentale di esistenza del tempo che si può enunciare come segue: :''"Esiste il tempo una variabile continua sempre crescente" Ma riprendendo Feynman<ref name=Feynmann> Feynman, Leighton, Sands, Lectures on Physics Vol.I cap. 5, Addison-Wesley 1963.</ref>, non ci interessa definirlo ma come misurarlo. Un modo naturale di misurarlo è di utilizzare un fenomeno che si ripete regolarmente che quindi definiamo periodico. Il giorno è stata probabilmente la prima misura periodica usata per caratterizzare il tempo. Attualmente gli astronomi usano calcolare il tempo con il [[w:Giorno_giuliano|giorno giuliano]] che è il numero di giorni passati dal mezzogiorno del lunedì 1º gennaio 4713 a.C. allo scopo di unificare differenti cronologie storiche. Per altri scopi il giorno non è una buona unità di misura in quanto la durata cambia nel corso dell'anno e inoltre è poco adatta a descrivere fenomeni veloci. [[File:ChipScaleClock2 HR.jpg|thumb|left|Un [[w:Orologio_atomico|orologio atomico]] su chip]] L'unità di misura del sistema internazionale è il secondo (indicato con s), unità che è in qualche maniera riconducibile a un fenomeno periodico: il battito del cuore. Gli strumenti che misurano il tempo, che si basano sempre su fenomeni periodici, vengono chiamati orologi e lo sviluppo della precisione nella misura del tempo è stato un fenomeno costante nello sviluppo della società. Attualmente gli strumenti che misurano con assoluta precisione il tempo sono gli [[w:Orologio_atomico|orologi atomici]], tali strumenti hanno una accuratezza di una parte su <math>10^{16}\ </math>: cioè l'errore nella misura del tempo accumulato in un giorno è di appena <math>10^{-11}\ s\ </math>. Il tempo è una delle grandezze fisiche misurabili con maggiore precisione. ===Tempi brevi=== In maniera artificiale sappiamo produrre segnali che hanno una durata molto breve; attualmente i [[w:Laser|laser]] sono gli oggetti artificiali che riescono a emettere impulsi cosi brevi come <math>1\ fs=10^{-15}\ s\ </math>. Mentre riusciamo a misurare eventi che hanno una durata temporale molto più breve, vi sono infatti delle [[w:Particella_elementare|particelle]] instabili che hanno una vita media inferiore a <math>10^{-24}\ s</math>. La fisica moderna pone un limite inferiore alla descrizione degli intervalli temporali nel [[w:Tempo_di_Planck|tempo di Planck]] <math>10^{-44}\ s</math>, per intervalli di tempo inferiore a tale tempo si dubita che il tempo conservi il suo carattere continuo. Ma tale tempo è molto lontano dai limiti sperimentali attuali. ===Tempi lunghi=== Il tempo più lungo immaginabile è di 13,8 miliardi di anni (<math>4\cdot 10^{17}\ s</math>): l'[[w:Et%C3%A0_dell%27Universo|età dell'Universo]]. Il nostro sistema solare esiste da 4,5 miliardi di anni(<math>1.4\cdot 10^{17}\ s</math>). Il primo uomo è comparso sulla Terra un milione di anni fa (<math>3\cdot 10^{13}\ s</math>) e così via fino a eventi di durata nota. ==Spazio== Allo stesso modo si individua una grandezza chiamato spazio che ha le proprietà di continuità (come il tempo) e [[w:Isotropia|isotropia]]. Per spiegare intuitivamente queste caratteristiche si può immaginare la continuità dello spazio come assenza di zone di inaccessibilità (a meno che non siano già occupate da un altro corpo). Possiamo spostare con continuità un oggetto mobile senza trovare dinanzi ostacoli inspiegabili e invisibili al suo moto. Ciò risulta possibile solo se lo spazio è dotato di continuità e non ha, per così dire, buchi. Ad esempio la materia di cui è composto un formaggio svizzero non è continua. Non possiamo spostarci in un formaggio svizzero mantenendoci sempre nel formaggio e senza cader in un buco. Se lo spazio reale avesse dei buchi, ovvero mancasse di continuità, potrebbero verificarsi brusche cadute (senza alcuna causa) oppure inspiegabili barriere trasparenti. Bisogna anche dire che in realtà, lontano dalla Terra e in prossimità dei [[w:buco_nero|buchi neri]], lo spazio, come lo percepiamo sperimentalmente, perde la sua continuità. In prossimità di un buco nero infatti le traiettorie della luce che utilizziamo per fare le nostre misurazioni vengono deviate e la misura perde di significato nell'accezione della [[w:Geometria_euclidea|geometria euclidea]]. In questo caso possiamo supporre una perdita della continuità e dell'uniformità dello spazio che circonda il buco nero che pertanto viene indicato anche come una [[w:Singolarità|singolarità]] dello spazio. L'isotropia è l'assenza di direzioni preferenziali nello spazio, ovvero lo spazio ci appare con le stesse proprietà geometriche in tutte le direzioni. Se un oggetto è rettilineo questo oggetto non appare curvo o di lunghezza diversa se viene spostato in un punto differente dello spazio. Anche questa accezione dello spazio (isotropia) è valida in Meccanica Classica ma non in generale in altre teorie fisiche più generali. In [[w:Cinematica|Cinematica]] ci si occupa solo di spazi che non creano troppi problemi, anzi più esattamente di spazi euclidei tridimensionali e quindi si assume come postulato lo spazio continuo, isotropo, euclideo, tridimensionale. Sussiste quindi, come per il tempo, il postulato seguente :''"Esiste lo spazio grandezza continua, isotropa ed euclidea" La distanza tra due punti dello spazio è una grandezza fisica chiamata lunghezza, l'unità di misura è il metro. In origine, durante la rivoluzione francese nel 1791, venne definito come 1/10 000 000 del meridiano terrestre fra il polo nord e l'equatore, cercando di rendere universale la grandezza. In realtà la misura non era precisa, e si preferì alla fine dell'ottocento utilizzare come campione la distanza tra due linee incise su una barra campione di platino-iridio conservata a Sèvres presso Parigi. Infine nel 1963, poiché la velocità della luce nel vuoto è una grandezza fondamentale della natura e poiché il tempo è misurabile con grandissima precisione, il metro viene definito come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a <math>\frac 1{299792458}\ s</math>, assumendo che la [[w:velocità della luce|velocità della luce]] nel vuoto, per definizione, è pari a <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math>. ==[[w:Grandezza_fisica|Grandezze fisiche]]== Si intende come grandezza fisica una proprietà del mondo reale che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente. La scelta del numero di grandezze fisiche da cui fare derivare tutte le altre è abbastanza arbitrario. Circa 50 anni fa la maggior parte degli stati ha stabilito il cosiddetto [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale di unità di misura]] abbreviato in '''SI''' nel quale si sono scelte sette grandezze fisiche come fondamentali (lunghezza, tempo, massa, corrente, temperatura, intensità luminosa, mole). A ciascuna di queste grandezze è associato un simbolo dimensionale: lunghezza (L), tempo (T), massa (M), corrente (I), Temperatura (Θ), intensità luminosa (J), quantità di materia (N), e una unità di misura, per la lunghezza il metro (abbreviato in m) e per il tempo il secondo (abbreviato in s). Ogni altra grandezza fisica è derivata dal prodotto/rapporto di potenze di grandezze fondamentali. Il prodotto delle grandezze fisiche fondamentali è detto dimensione: ad esempio una superficie ha le dimensioni di una [L²], mentre un volume di una [L³], una velocità di [LT^-1]. L'[[w:Analisi_dimensionale|analisi dimensionale]] è abitualmente usata per verificare la plausibilità di calcoli ed equazioni. Le altre grandezze fisiche fondamentali e quelle derivate verranno introdotte via via che serviranno. Gli argomenti di funzioni esponenziali, trigonometriche e logaritmiche devono essere adimensionali, cioè dei numeri puri. ==Punto Materiale== La modellazione matematica del moto passa per una idealizzazione dei corpi materiali come percepiti dall'esperienza comune. In [[w:Cinematica|cinematica]] infatti, i corpi materiali, estesi nello spazio tridimensionale per loro natura, sono idealizzati geometricamente come contratti in un solo punto geometrico (ente geometrico zero-dimensionale). Questa idealizzazione è alla base del concetto di [[w:Punto_materiale|punto materiale]] che costituisce quindi una forte semplificazione della realtà tridimensionale ed estesa dei corpi materiali. La dinamica del corpo rigido descrive la complessità degli oggetti estesi come sistemi di punti materiali vincolati rigidamente tra di loro, consentendo una trattazione fisica completa di tali corpi estesi. ===Traiettoria di un Punto Materiale=== Le posizioni successive occupate dal punto materiale nello spazio al variare del tempo costituisce un insieme continuo di punti che prende il nome di [[w:Traiettoria|traiettoria]] del punto materiale nello spazio. == Moto rettilineo == Cominciamo analizzando un semplice moto lungo la più semplice traiettoria: la retta, tale moto viene detto ''moto rettilineo''. In questo caso possiamo studiare il moto attraverso delle grandezze caratteristiche [[w:Grandezza_fisica_scalare|scalari]] la posizione, la velocità e l'accelerazione. ===Velocità=== La rapidità con cui avviene lo spostamento lungo la traiettoria nel tempo determina una grandezza detta '''velocità media''' data dalla seguente relazione <math>v_m=\frac{x - x_0}{t-t_0}=\frac{\Delta x}{\Delta t}</math>. Dove <math>x_0\ </math> è la posizione al tempo <math>t_0\ </math> e <math>x\ </math> è la posizione al tempo <math>t\ </math>. Le dimensioni della velocità sono [v]=[LT^-1]. La velocità nel sistema SI si misura in m/s, mentre nel linguaggio comune viene utilizzato km/h. Nel fare i calcoli bisogna fare attenzione a dividere le velocità espresse in km/h per 3,6 per ottenere la velocità in m/s. Esiste una massima velocità possibile: la velocità della luce (c) che vale per definizione <math>2,99792458\cdot 10^8\ m/s</math> Un semplice esempio può essere quello del moto di un'automobile che percorre 60 km in 30 minuti: essa avrà una velocità media di 120 km/h (quindi circa 33 m/s). Possiamo chiederci quale potrebbe essere la velocità in ogni istante e per fare questo dovremo considerare piccolissimi intervalli di tempo, in pratica dovremo far tendere <math>\Delta t\,\!</math> a zero; questa è velocità istantanea, definita come il valore a cui tende la velocità media quando l'intervallo di tempo diventa infinitamente piccolo: :<math>v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}</math> Questo limite è esattamente ciò che i matematici chiamano [[w:Derivata|derivata]] della posizione rispetto al tempo: :<math>v(t)=\frac{dx}{dt}</math> Se facciamo adesso il ragionamento inverso: vogliamo trovare lo spazio percorso dall'istante iniziale all'istante <math>t</math> conoscendo la velocità istantanea. Se consideriamo un intervallo di tempo piccolissimo <math>dt</math> (un istante infinitesimo), in quel brevissimo momento la velocità <math>v(t)</math> si può considerare quasi costante. Quindi lo spazio percorso <math>dx</math> è semplicemente dato da: :<math>dx = v(t) \cdot dt</math> Se viene disegnato un grafico con la velocità sull'asse <math>y</math> e il tempo sull'asse <math>x</math>. Il prodotto <math>v(t) \cdot dt</math> rappresenta l'area di un rettangolo sottilissimo, alto <math>v</math> e largo <math>dt</math>. Per trovare lo spazio totale tra l'istante iniziale e l'istante <math>t</math>, dobbiamo sommare tutti questi infinitesimi rettangolini. Graficamente, la somma di tutti questi rettangolini riempie la superficie tra la curva della velocità e l'asse del tempo. Lo spazio percorso è l'area sotto la curva della velocità. Ma questa in matematica è l'operazione di [[w:Integrale|integrazione]] che viene rappresentata con una ''S'' allungata con il simbolo <math>\textstyle \int</math>. Quindi invece di sommare a mano gli infinitisimi rettangolini, usiamo l'operazione di integrazione: :<math>x(t) = \int_{0}^{t} v(t') \, dt'</math> L'integrale non è altro che lo strumento matematico che somma tutti i contributi infinitesimi <math>v \cdot dt</math> per darci il risultato totale. Riepilogando i passaggi logici: :<math>dx = v(t)dt \Rightarrow \int_{x_0}^x dx' = \int_{t_0}^t v(t')dt' \Rightarrow x-x_0=\int_{t_0}^t v(t') dt'\Rightarrow x(t)=x_0+\int_{t_0}^t v(t') dt'</math> Questa è la regola generale che mette in relazione la velocità con lo spazio percorso. Notiamo come dalla conoscenza della [[w:Legge_oraria|legge oraria]] cioè x(t), lo spazio percorso in funzione del tempo, la determinazione della velocità istantanea è definita in maniera univoca. Mentre se conosciamo l'andamento della velocità in funzione del tempo la posizione la possiamo determinare in maniera relativa, in quanto qualsiasi posizione iniziale determina lo stesso andamento della velocità, quindi va specificata a un certo tempo quale sia la posizione per rimuovere tale relativismo. ===Moto rettilineo uniforme=== Questo è il caso più semplice in cui la '''velocità istantanea''' e la '''velocità media''' coincidono e valgono <math>v\ </math>, l'equazione del moto cioè la relazione tra la posizione istantanea <math>x(t)\ </math> e il tempo è: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v(t-t_0)\ </math>|id=1}} Questo moto si chiama '''moto rettilineo uniforme'''. <math>x_0\ </math> è la posizione all'istante iniziale, cioè quando <math>t=t_0\ </math>. ==Accelerazione== Lo stesso ragionamento può essere fatto con la velocità: infatti anch'essa potrebbe variare nel tempo e il tasso di variazione è dato da una grandezza chiamata '''accelerazione'''. La accelerazione ha le dimensioni di [LT^-2] e nel sistema SI si misura in ms^-2. Anche per l'accelerazione possiamo definire una '''accelerazione media''': :<math>a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}</math> e una '''accelerazione istantanea''': :<math>a(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}</math> Anche per l'accelerazione, integrando otteniamo la relazione che la lega alla velocità: :<math>dv = a(t)dt \Rightarrow \int_{v_0}^v dv' = \int_{t_0}^t a(t')dt' \Rightarrow v-v_0=\int_{t_0}^t a(t') dt'\Rightarrow v(t)=v_0+\int_{t_0}^t a(t') dt'</math> e anche in questo caso se <math>v_0=0\,\!</math>, <math>a=costante\,\!</math> e si partisse al tempo <math>t_0=0\,\!</math> avremmo la relazione <math>v=at\,\!</math> che definisce un '''moto uniformemente accelerato''' === Moto uniformemente accelerato === Combinando i risultati ottenuti e considerando <math>v\,\!</math> e <math>a\,\!</math> costanti possiamo ottenere la legge che definisce il '''moto uniformemente accelerato''' {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2</math>|id=2}} Qui <math>v_0\ </math> è la velocità all'istante iniziale. Se <math>t_0=0\,\!</math>, l'equazione diviene {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\ </math>|id=3}} La relazione tra la posizione spaziale e il tempo di cui abbiamo visto due semplici esempi è chiamata equazione oraria. Alcuni esempi possono essere di aiuto per comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#1. Fascio_catodico|Moto di un elettrone]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#2. Automobile|Automobile]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#3. Treno|Treno]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#4. Rally|Rally]]. ===Caduta verticale dei gravi=== Se viene trascurato l'[[w:Attrito|attrito]] dell'aria ogni corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione costante <math>g=9,8\ m/s^2</math>. La [[w:legge oraria|legge oraria]] che descrive la caduta dei gravi è quella tipica del moto uniformemente accelerato con <math>t_0=0\,\!</math>: {{Equazione|eq=<math>x(t)=x_{o} + v_{o}t - \frac{1}{2}gt^{2}</math>|id=4}} Assunto come positiva la verticale uscente dal suolo, quindi il segno negativo nella accelerazione è dovuto al fatto che il corpo si sta muovendo contrariamente al verso scelto come positivo nel [[w:sistema di riferimento|sistema di riferimento]]. Un esempio di questo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#9. Palla in alto|una palla]] lanciata verso l'alto, o la stima della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#14. Altezza di un pozzo|profondità di un pozzo]] facendo cadere un sasso. ===Moto armonico semplice=== [[File:Simple harmonic motion.svg|thumb|250px|Moto armonico]] Questo tipo di moto è molto comune in molti sistemi fisici e in genere prende il nome di oscillatore armonico. Da un punto di vista algebrico la sua legge oraria è descritta da: {{Equazione|eq=<math>x(t)=A \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math>|id=5}} Dove <math>A\,\!</math> è detta ampiezza del moto, <math>\omega\,\!</math> pulsazione e <math>\theta_0\,\!</math> la fase iniziale. A causa delle proprietà della funzione [[w:Seno_(matematica)|seno]] la posizione oscilla tra -A e A. All'istante iniziale la posizione è: :<math>x_{o}=A \cos(\theta_0)\,\!</math> Il moto è chiaramente periodico con periodo <math>T\,\!</math> cioè: :<math>\omega (t+T)+\theta_0=\omega (t)+\theta_0+2\pi\,\!</math> da cui: {{Equazione|eq=<math>T=\frac {2\pi}{\omega}\,\!</math>|id=6}} L'inverso del periodo si chiama [[w:Frequenza|frequenza]] ha le dimensioni di un <math>[T^{-1}]\,\!</math> e si misura in hertz (abbreviato in Hz): :<math>\nu =\frac {1}{T}</math> Derivando la legge del moto si ha l'equazione della velocità del punto: :<math>v(t)=\frac {dx}{dt}=A\omega \cos(\omega t+\theta_0)\,\!</math> La velocità ora è massima al centro di oscillazione, ed è nulla dove l'allontanamento dalla posizione centrale è massima. Derivando ulteriormente si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>a(t)=\frac {dv}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}=-A\omega^2 \sin(\omega t+\theta_0)\,\!</math> Confrontando l'ultima equazione e la prima segue che: {{Equazione|eq=<math>\frac {d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x\,\!</math>|id=7}} Cioè necessariamente nel moto armonico l'accelerazione è proporzionale alla posizione istantanea cambiata di segno e la costante di proporzionalità è il quadrato della pulsazione. L'ampiezza di oscillazione come la fase iniziale sono determinate dalle condizioni iniziali del moto. Due esempi possono servire a mettere in chiaro quanto detto: il primo caso è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#5. Moto armonico semplice|un semplice moto armonico]], il secondo è il calcolo [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#11._Ampiezza_moto_armonico| della ampiezza di oscillazione]] a partire da alcuni dati cinematici. == Moto nello spazio== La posizione di un oggetto nello spazio, come la sua velocità e accelerazione sono delle grandezze vettoriali, rappresentate come segmenti orientati. Nel caso della posizione si rappresenta con un segmento orientato con un estremo sull'origine e l'altro estremo sulla posizione istantanea del punto materiale nello spazio. L'algebra dei [[w:Vettore_(matematica)|vettori]] viene utilizzata per caratterizzare la dinamica nello spazio, e qui non vengono definiti gli elementi di tale algebra e saranno utilizzate come note la definizione di somma di vettori (regola del parallelogramma), la moltiplicazione per uno scalare, il [[w:Prodotto_scalare|prodotto scalare]] e quello [[w:Prodotto_vettoriale|vettoriale]]. Un vettore può essere espresso come somma di componenti lungo tre direzioni ortogonali (gli assi cartesiani). ===[[w:versore|Versore]]=== [[File:Unit_vector_derivative.JPG|thumb|300px|La variazione nel tempo di un versore in coordinate polari.]] Nel concetto di spazio vettoriale è essenziale il concetto di versore cioè un vettore unitario, un versore si indica con <math>\hat u</math>. Essendo unitario: <math>\hat u\cdot \hat u=1</math>. Ma notiamo come derivando l'espressione precedente si ha che: :<math>0=\frac {d(\hat u\cdot \hat u)}{dt}=2\hat u\cdot \frac {d( \hat u)}{dt}</math> Quindi la derivata di un versore è un vettore normale al versore originale o un vettore nullo. Solo se il versore non cambia di direzione nel tempo il valore della sua derivata è nullo, ma se il versore cambia di direzione la derivata può assumere un valore diverso da zero. La derivta di un versore non è in genere un versore. Che la derivata di un versore sia normale alla direzione del versore stesso, è anche evidente dalla figura a fianco in cui si precisa meglio il valore della derivata che è dato da: {{Equazione|eq=<math>\frac {d\hat u}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\hat u_{\varphi}</math>|id=8}} dove <math>\varphi\,\!</math> è l'angolo infinitesimo e <math>u_{\varphi}</math> è la componente normale alla direzione del versore. ===Vettore di posizione=== [[File:Kinematics.svg|thumb|300px|Quantità cinematiche di un punto materiale: massa ''m'', posizione '''r''', velocità '''v''', accelerazione '''a'''.]] Se <math>O</math> è la posizione dell'osservatore e <math>P</math> la generica posizione di un punto materiale nello spazio geometrico, si definisce vettore di posizione il vettore <math>\vec{r}</math> rappresentato dal segmento orientato <math>\vec{OP}</math>. Per indicare questa corrispondenza in questa trattazione si utilizzerà la scrittura <math>\vec{r}\sim\vec{OP}</math>. Il vettore di posizione dipende dalla scelta del punto di osservazione <math>O</math>, quindi è un segmento orientato, ma la sua definizione permette di costruire delle quantità che sono indipendenti dalla scelta del punto di osservazione. Queste quantità sono la velocità e l'accelerazione vettoriale. ==Posizione== Per definire la posizione di un corpo è necessario definire un [[w:Sistema_di_Riferimento|sistema di riferimento]], come ad esempio un sistema di due assi cartesiani la cui origine è scelta in maniera arbitraria. Si può definire lo spostamento in funzione del tempo facendo corrispondere a ogni t una posizione (x,y) nel piano: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}</math> Avendo indicato con <math>\hat {\imath}</math> e <math>\hat {\jmath}</math>, i versori degli assi x e y. ==Sistemi di coordinate== [[File:Coordonnees_polaires_plan.png|thumb|200px|Confronto tra coordinate cartesiane e polari nel piano.]] Il sistema di coordinate usato finora implicitamente è un [[w:Sistema_di_riferimento_cartesiano|sistema di assi cartesiani]] in due dimensioni. In alcuni casi dotati di particolari proprietà di simmetria è preferibile usare nel piano un sistema che identifica la distanza '''r''' del punto dall'origine degli assi chiamata '''raggio vettore''' e dall'angolo <math>\theta\,\!</math> formato con l'asse delle ascisse. Un sistema di questo genere si chiama sistema polare nel piano. La figura a fianco mette in evidenza la relazione tra coordinate cartesiane e polari nel piano. Di conseguenza le relazioni tra i due sistemi di coordinate sono le seguenti: :<math>x=r \cdot \cos \theta\ </math> :<math>y=r \cdot \sin \theta\ </math> :<math>r=\sqrt{x^2+y^2}\ </math> :<math>\theta =\arctan{ \frac{y}{x}}\ </math> ==Moto nel piano== Analizziamo ora la posizione di un punto che in un tempo ''t'' percorre un tratto di traiettoria. Le posizioni sono <math>\vec r(t)</math> e <math>\vec r(t+\Delta t)</math>; la distanza tra di essi è <math>\vec {\Delta r}=\vec r(t+\Delta t) - \vec r(t)</math>, di conseguenza la velocità media (diventata una grandezza vettoriale) è data da: :<math>\vec v_m=\frac {\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}</math> Notiamo che la distanza dei punti non coincide con la traiettoria percorsa, ma è solo la misura della distanza tra le due posizioni su un piano. Ma se noi facessimo tendere <math>\Delta t \to 0</math> avremmo che :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}</math> e il vettore <math>d\vec r</math> diventa tangente alla traiettoria e coincide in modulo con l'infinitesimo spostamento <math>ds\,\!</math>. Se ne ricava allora che <math>d\vec r=ds \cdot \hat u_T</math> dove <math>\hat u_T</math> non è altro che il '''versore''' (un vettore unitario) che dà la direzione dello spostamento. Ricaviamo così che <math>\vec v = \frac{ds}{dt}\cdot \hat u_T=v\cdot \hat u_T</math> e quindi possiamo dedurre che la velocità vettoriale individua in ogni istante la direzione e il verso del movimento e ci dà la velocità istantanea <math>v=\frac{ds}{dt}</math> con la quale è percorsa la traiettoria. ===Velocità in coordinate cartesiane=== Nelle coordinate cartesiane il vettore posizione: :<math>\vec r=x\vec i+y\vec j\ </math> Quindi: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\vec i+\frac {dy}{dt}\vec j= v_x\vec i+v_y\vec j</math> Quindi il modulo della velocità: :<math> v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}</math> Mentre l'angolo che la velocità ha con l'asse delle x vale: :<math> \theta=\arctan {v_y/v_x}</math> ===Velocità in coordinate polari=== Nelle coordinate polari il vettore posizione: :<math>\vec r=r\hat u_r\ </math> Dove <math>\hat u_r</math> è il versore radiale (normale al versore <math>\hat u_T</math> tangenziale). Quando andiamo a fare la derivata: :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\hat u_r}{dt}\ </math> La derivata del versore è nella direzione normale alla direzione radiale. Se la traiettoria cambia di direzione vi è oltre alla velocità trovata nel moto lineare, una componente non nulla della velocità nella direzione ortogonale al vettore posizione in definitiva: :<math>\vec v=\frac {dr}{dt}\hat u_r+r\frac {d\theta}{dt}\hat u_{\theta}=v_r\hat u_r+v_{\theta}\hat u_{\theta}\ </math> La velocità è tangente alla traiettoria e si compone di una parte radiale (<math>\frac {dr}{dt}\ </math>) e una trasversa (<math>r\frac {d\theta}{dt}\ </math>) e quindi il modulo della velocità vale: {{Equazione|eq=<math>v=\sqrt{\left(\frac {dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac {d\theta}{dt}\right)^2}\ </math>|id=9}} Analogamente a quanto detto per il moto rettilineo integrando l'espressione <math>\vec v=\frac{d\vec r}{dt}</math> otteniamo quella generale che collega posizione e velocità data da :<math>\vec r(t)=\vec r(t_0)+\int_{t_0}^t \vec v(t) dt</math> ==Accelerazione== [[File:Osculating circle.svg|thumb|left|250px|Esempio di costruzione del cerchio osculatore]] La derivata della velocità rispetto al tempo è la accelerazione nel moto piano: {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(v \vec u_T)=\frac{dv}{dt} \vec u_T + v \frac{d\vec u_T}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N</math>|id=10}} Il primo termine parallelo alla traiettoria è analogo a quello trovato nel moto rettilineo ed è una misura di quanto vari nel tempo il modulo della velocità. Il secondo termine è legato al cambiamento di direzione e quindi è tanto maggiore quanto più grande è l'allontanamento dal moto rettilineo. Il modo più idoneo per esprimere tale allontanamento è di approssimare localmente la traiettoria con una circonferenza e studiare il moto localmente come un moto circolare. Da un punto di vista analitico si approssima localmente la traiettoria con una circonferenza, detta cerchio osculatore. Ciò matematicamente è possibile in quanto per tre punti passa una unica circonferenza, cioè con raggio e centro definiti in maniera univoca, anche nel caso limite dei tre punti allineati ciò è possibile in quanto il cerchio osculatore ha un raggio infinito e centro all'infinito. La figura a fianco mostra un tipico cerchio osculatore. Quindi è opportuno prima considerare un particolare moto nel piano: quello circolare. Infatti le proprietà del moto circolare descrivono il moto più generale nel piano con cerchi osculatori che variano nel tempo. Un primo esempio di tale moto è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#12. Moto ellittico|il moto ellittico]] studiato in forma parametrica, un seconda traiettoria è [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Cinematica#13. Moto a spirale|una spirale piana]]. ==Moto circolare== [[File:Circular_motion.svg|thumb|200px|Moto circolare.]] Analizziamo un moto che si svolge su una traiettoria costituita da una circonferenza di raggio <math>R\ </math>. Introduciamo il concetto di velocità angolare <math>\omega\ </math>: si chiama velocità angolare la derivata nel tempo dell'angolo (quindi la rapidità di variazione dell'angolo): :<math>\omega=\frac {d\theta }{dt}\ </math> Notiamo che si usa un simbolo simile alla pulsazione, ma ha un significato fisico diverso, anche se ha le stesse dimensioni di fisiche cioè un <math>t^{-1}\ </math>. Il legame tra velocità angolare e velocità nel caso del moto circolare è chiaro, infatti a uno spostamento <math>ds=vdt\ </math> corrisponde un variazione angolare <math>d\theta=\omega dt\ </math>, ma in una circonferenza <math>ds=Rd\theta=R\omega dt=vdt\ </math>, quindi: :<math>v=\omega R\qquad \omega=\frac vR\ </math> Esaminiamo prima un caso più semplice il moto circolare uniforme, cioè un moto in cui <math>v\ </math> e di conseguenza <math>\omega\ </math> non variano nel tempo e il periodo, cioè il tempo necessario a compiere un giro vale: :<math>T=\frac {2\pi R}v=\frac {2\pi }{\omega}\ </math> La frequenza vale <math>\nu=1/T\ </math>. [[File:Uniform_circular_motion.svg|left|thumb|200px|velocità v e accelerazione a nel moto circolare uniforme con velocità angolare ω; la velocità è costante, ma la velocità è sempre tangente all'orbita: la accelerazione è costante in valore assoluto, ma punta sempre verso il centro di rotazione.]] Per quanto riguarda l'accelerazione la costanza della velocità fa sì che il termine dell'accelerazione tangenziale <math>\frac{dv}{dt}\ </math> sia nullo, cioè non varia in modulo la velocità, ma varia la sua direzione. In questo caso l'unica componente della accelerazione è la componente normale alla traiettoria diretta verso il centro della circonferenza: {{Equazione|eq=<math>|a|=\frac {v^2}R =\omega^2R\ </math>|id=11}} In questo caso il sistema di coordinate più naturale è quello polare in cui il centro della circonferenza è il centro delle coordinate. In tale sistema si ha che: :<math>\theta (t)=\omega t+ \theta_o\ </math> Dove <math>\theta_0\ </math> è l'angolo nell'istante iniziale (<math>t=0\ s</math>) con l'asse delle ascisse. Notiamo che la proiezione del moto circolare uniforme sui due assi cartesiani: :<math>x(t)=R\cos (\theta )=R\cos (\omega t+ \theta_o)\ </math> :<math>y(t)=R\sin (\theta )=R\sin (\omega t+ \theta_o)\ </math> siano due moti armonici di pari ampiezza e sfasati di un quarto di periodo. Se il moto è circolare, ma non uniforme, avremo che bisogna introdurre anche la accelerazione angolare cioè: :<math>\alpha=\frac {d\omega}{dt}=\frac 1R\frac {dv}{dt}\ </math> Quindi l'espressione generale dell'accelerazione nel moto piano {{Equazione|eq=<math>\vec a=\frac{dv}{dt}\vec u_T+v \frac{d \theta}{dt}\vec u_N= \alpha R \vec u_T+\omega^2 R\vec u_N</math>|id=12}} Dove il secondo termine è la accelerazione centripeta che abbiamo già visto nel moto circolare uniforme, mentre il primo termine lungo la traiettoria è l'accelerazione tangenziale. Un caso semplice che ricorda il moto uniformemente accelerato è il caso in cui <math>\alpha\ </math> è costante in tal caso avremo che l'equazione del moto per l'angolo è: {{Equazione|eq=<math>\theta=\theta_o+\omega_o t+ \frac 12 \alpha t^2</math>|id=13}} Dove <math>\theta_o\ </math> è l'angolo al tempo 0 e <math>\omega_o\ </math> è la velocità angolare al tempo 0. Quindi la velocità angolare: :<math>\omega=\omega_o + \ \alpha t</math> In questo caso la accelerazione tangenziale è costante e vale <math>\alpha R\ </math>, mentre quella centripeta vale <math>(\omega_o + \ \alpha t)^2 R\ </math>. ===Velocità angolare - Notazione vettoriale=== [[File:Vectors_of_circular_motion.png|thumb|200px|Velocità angolare.]] La velocità angolare può essere descritta da una quantità vettoriale che definisce il verso di percorrenza sulla circonferenza e il modulo. La direzione di questo vettore è perpendicolare al piano del moto e il verso è dato dalla [[w:Regola_della_mano_destra|regola della mano destra]], ovvero se il moto avviene nella direzione in cui si avvolgono le dita della mano destra la direzione <math>\omega\ </math> è il pollice della mano destra. {{Equazione|eq=<math>\vec v = \vec \omega \times \vec r</math>|id=14}} Se durante il moto la velocità angolare non cambia di direzione, la sua derivata rimane parallela alla direzione di <math>\vec \omega \ </math>. Questa relazione ci permette di ottenere l'accelerazione del moto circolare dalla velocità angolare e dall'accelerazione angolare tramite la seguente relazione derivando semplicemente tale prodotto vettoriale: :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec \omega \times \vec r)=\frac{d \vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d \vec r}{dt}</math> e quindi :<math>\vec a = \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v=\vec a_T + \vec a_N</math> Quindi con questa notazione che non aggiunge niente dal punto di vista fisico, appare chiaro come il primo termine rappresenti la accelerazione tangenziale (cioè parallela alla traiettoria) e il secondo termine sia la accelerazione centripeta cioè diretta verso il cento di rotazione. ===Moto parabolico === [[Image:Trajectory_for_changing_launch_angle.gif|right|thumb|330px|Moto parabolico da una altezza di <math>200\ m\ </math>, con stessa velocità iniziale <math>50 m/s\ </math> e con una accelerazione diretta verso il basso di <math>10 m/s^2\ </math> al variare dell'angolo rispetto alla direzione orizzontale]] Questa è l'estensione in due dimensioni del moto accelerato uniforme, ad esempio la caduta dei gravi; in questo caso la direzione della accelerazione non varia nel tempo oltre a essere costante in modulo. Il moto di questo tipo non riguarda solo la caduta dei gravi, ma tutte le situazioni dinamiche, come vedremo, in cui vi sia una forza costante in modulo e verso. In questo caso la scelta più naturale degli assi è quella degli assi cartesiani e si assume come asse delle <math>y\ </math> la direzione della accelerazione <math>a\ </math>. Se chiamiamo <math>\alpha\ </math> l'angolo che la velocità iniziale ha con la direzione orizzontale, le equazioni del moto sono in coordinate cartesiane: :<math>x(t) = (v_o\cos \alpha) t</math> :<math>y(t) =h+ (v_o\sin \alpha) t-\frac 12gt^2\ </math> scelta la posizione iniziale sull'asse delle <math>y\ </math> con altezza iniziale <math>h\ </math> (<math>200\ m\ </math> nella figura); <math>v_o\ </math> è il modulo della velocità iniziale (nell'esempio della figura vale <math>50 m/s\ </math>). Quindi in una direzione è un moto rettilineo uniforme, nella direzione verticale è un moto accelerato uniforme. La traiettoria viene ricavata eliminando il tempo dal sistema di due equazioni: {{Equazione|eq=<math>y(x) =h+ x\tan \alpha-\frac {gx^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}\ </math>|id=15}} la curva che descrive la traiettoria è quindi una [[w:Parabola_(geometria)|parabola]]. Si chiama gittata (x_G) la distanza tra la posizione iniziale e il punto in cui la traiettoria arriva a quota zero, cioè quando: :<math>h+ x_G\tan \alpha-\frac {gx_G^2}{2v_o^2\cos^2 \alpha}=0\ </math> Escludendo dal sistema di secondo grado la soluzione negativa (in quanto si suppone che prima di <math>t=0\ </math> non vi sia moto), si ha che: :<math>x_G=\frac {v_o \cos \alpha} {g}\left [ v_o \sin \alpha +\sqrt{v_o^2 \sin^2 \alpha + 2 g h} \right]\ </math> Con i dati in figura risulta (facendo il calcolo numerico) che la gittata massima è di <math>400\ m\ </math> (con un angolo di <math>33^o \ </math>). Notare come, in questo caso, la soluzione analitica non sia banale, la soluzione si è trovata analizzando quando si annula la derivata della gittata rispetto all'angolo. Un'altra informazione importante che si ricava dalla traiettoria è l'altezza massima che coincide ovviamente con <math>h\ </math> nel caso di angoli di lancio negativi. Se l'angolo è positivo e quindi la parabola ha il termine lineare positivo e quello quadratico negativo chiaramente la parabola ha un massimo che si ricava imponendo che la derivata di <math>y(x)\ </math> sia nulla: :<math>\frac {dy}{dx}=0\qquad \longrightarrow x_M-x_o=\frac {v_o^2}g\cos \alpha \sin \alpha \quad y_M=h+\frac 12\frac {v_o^2 \sin^2 \alpha}g\ </math> Indicando con x_M ed y_M le coordinate del massimo, che dipendono ovviamente dall'angolo di lancio. ==Moto nello spazio tridimensionale== [[File:Helix.svg|thumb|upright=1.1|Il moto elicoidale uniforme in un caso particolare <math> (\cos t, \sin t, t) </math> da <math> t = 0 </math> con le frecce che indicano la direzione in cui cresce <math> t </math>]] Questo caso generale è più difficile da trattare, in quanto la traiettoria non ha una espressione analitica semplice: una linea nello spazio tridimensionale nasce dall'intersezione di due superfici, quindi si esprime come un sistema di due equazioni in tre variabili. In coordinate cartesiane il vettore posizione in forma parametrica (con parametro il tempo) è: :<math>\vec r(t)=x(t)\hat {\imath}+y(t)\hat {\jmath}+z(t)\hat k</math> La velocità (che continua a essere parallela alla traiettoria): :<math>\vec v=\frac{d \vec r}{dt}=\frac {dx}{dt}\hat {\imath}+\frac {dy}{dt}\hat {\jmath}+\frac {dz}{dt}\hat k= v_x\hat {\imath}+v_y\hat {\jmath}+v_z\hat k</math> E infine l'accelerazione (la cui direzione nel caso generale ha tutte le componenti possibili): :<math>\vec a=\frac{d \vec v}{dt}=\frac {d^2x}{dt^2}\hat {\imath}+\frac {d^2y}{dt^2}\hat {\jmath}+\frac {d^2z}{dt^2}\hat k= a_x\hat {\imath}+a_y\hat {\jmath}+a_z\hat k</math> In genere il moto tridimensionale si tratta in alcuni casi specifici, che sono sono combinazioni di moti nel piano e semplici nelle direzione perpendicolare, ad esempio la combinazione del moto circolare uniforme in un piano e del moto rettilineo uniforme dà luogo al cosiddetto [[w:Moto_elicoidale_uniforme|moto elicoidale]]. ==Note== <references/> ==Bibliografia== * {{cita libro | cognome= Mazzoldi | nome= Paolo | autore2=Massimo Nigro | autore3=Cesare Voci | titolo= Fisica | volume= 1 | editore= Edises | città= | ed= 2 | anno= 2000 | id= ISBN 8879591371 | cid= Mazzoldi | url= http://books.google.it/books?id=O6s7AAAACAAJ}} [[Fisica_classica/Dinamica| Argomento seguente: Dinamica]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} pnc5ckdqzyza2jvvjqf7ii49un2k1vz 0 19617 498242 497245 2026-05-22T14:59:12Z Pasquale.Carelli 528 da completare la correzione 498242 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Leggi di Laplace |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Leggi_di_Laplace |CapitoloSuccessivo=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Magnetismo_della_materia }} {{fisica classica}} = Seconda equazione di Maxwell= L'assenza di Monopolo magnetico comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre linee chiuse. Di conseguenza, attraverso una qualsiasi superficie chiusa, il numero delle linee di campo entranti è eguale al numero delle linee uscenti. Il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa risulta quindi nullo. Consideriamo una superficie chiusa '''S''' che delimita un volume '''T'''. Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso tale superficie è dato da: :<math>\Phi(\vec B)=\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}</math> Poiché le linee del campo magnetico sono chiuse, si ha: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=0</math> Questa relazione costituisce la forma integrale della seconda equazione di Maxwell. Applicando il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] è possibile trasformare l'integrale esteso alla superficie chiusa in un integrale esteso al volume racchiuso: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau</math> e quindi: :<math>\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau =0</math> Poiché la scelta del volume '''T''' è completamente arbitraria, affinché tale relazione sia verificata per qualunque volume è necessario che l'integrando sia identicamente nullo in ogni punto dello spazio. Si ottiene quindi la forma differenziale della seconda equazione di Maxwell: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math> Questa equazione esprime matematicamente il fatto che il campo magnetico non possiede sorgenti né pozzi: non esistono cariche magnetiche isolate dalle quali le linee di campo possano avere origine o termine. È possibile ottenere lo stesso risultato anche sviluppando analiticamente la divergenza del campo magnetico generato da una distribuzione generica di corrente. Infatti, partendo dalla legge di Biot-Savart-Laplace: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> si può calcolare: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\vec \nabla \cdot \oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> Dopo opportuni passaggi matematici si trova che tale quantità è identicamente nulla, in accordo con la seconda equazione di Maxwell. Una dimostrazione dettagliata può essere trovata, ad esempio, nel testo di Mencuccini e Silvestrini.<ref>C. Mencuccini, V. Silvestrini, ''Fisica II'', Liguori Editore, 1998, pag. 252, ISBN 978-88-207-1633-2.</ref> == Teorema di Ampère in forma integrale == Nel caso dell’elettrostatica la [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss|legge di Gauss]] ha permesso di collegare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica elettrica contenuta al suo interno. Tale teorema risulta particolarmente utile sia dal punto di vista concettuale sia per il calcolo dei campi elettrici in situazioni dotate di elevata simmetria. In magnetostatica esiste una relazione analoga, nota come teorema della circuitazione o legge di [[w:André-Marie Ampère|Ampère]], che collega la circuitazione del campo magnetico alle correnti elettriche concatenate con una linea chiusa. Consideriamo quindi un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente <math>I</math>. Sia <math>\ell</math> una linea chiusa qualsiasi concatenata con il filo. Supponiamo inoltre che la corrente sia uscente dal piano del foglio. Il campo magnetico generato dal filo ha linee di forza circolari concentriche attorno al filo stesso, con verso determinato dalla regola della mano destra. La sua intensità vale: :<math>B=\frac{\mu_o I}{2\pi r}</math> dove <math>r</math> rappresenta la distanza dal filo. Calcoliamo ora la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa <math>\ell</math>, come nella figura accanto: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> [[Image:Ampere.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] Poiché il vettore <math>\vec B</math> è tangente alle circonferenze centrate sul filo, si può scrivere: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}</math> dove <math>\hat t</math> rappresenta il versore tangente alle linee di campo magnetico. Il prodotto scalare: :<math>\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> rappresenta l’elemento infinitesimo di arco della circonferenza centrata sul filo. Pertanto: :<math>\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}=d\theta</math> dove <math>d\theta</math> è l’angolo infinitesimo sotteso dall’elemento di percorso. Si ottiene quindi: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}d\theta</math> Se la linea chiusa circonda una sola volta il filo percorso da corrente, l’angolo totale descritto vale <math>2\pi</math>; pertanto: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\mu_o I</math> Questa relazione mostra che la circuitazione del campo magnetico dipende unicamente dalla corrente concatenata con il circuito di integrazione, e non dalla forma della linea scelta. Se invece la linea chiusa non è concatenata con il filo, gli angoli percorsi lungo il cammino si compensano algebricamente e si ottiene: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=0</math> Nel caso più generale, se la linea chiusa si concatena <math>N</math> volte con il filo percorso da corrente, si ha: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=N\mu_o I</math> Il numero intero <math>N</math> rappresenta il numero di concatenazioni orientate tra la linea chiusa e il circuito percorso da corrente. Se sono presenti più correnti concatenate con la linea di integrazione, per il principio di sovrapposizione dei campi magnetici si ottiene: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \mu_o \sum_i I_i</math> dove le correnti devono essere considerate con segno positivo o negativo a seconda del loro verso rispetto all’orientazione scelta per il cammino di integrazione. La relazione precedente costituisce la forma integrale della legge di Ampère: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\mu_o I_{conc}</math> dove <math>I_{conc}</math> rappresenta la corrente totale concatenata con la linea chiusa <math>\ell</math>. Il teorema di Ampère rappresenta, per la magnetostatica, l’analogo del teorema di Gauss dell’elettrostatica e costituisce una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico. == Il Teorema di Ampère in forma differenziale== Consideriamo una linea '''l''' che delimita una regione di spazio '''S'''. La corrente totale che attraversa tale regione di spazio vale: <math>\int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}=I\ </math> Quindi dalla legge di Ampère in forma integrale: <math>\oint_l\vec B \cdot \overrightarrow {dl}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math> Applicando il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Il_teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] al primo membro: :<math>\int_S\vec \nabla \times \vec B {dS}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math> Dall'eguaglianza degli integrali qualsiasi sia la superficie di integrazione segue che gli integrandi debbono essere eguali cioè: :<math>\vec \nabla \times \vec B =\mu_o \vec J\ </math> Tale espressione è la IV equazione di Maxwell (ma in realtà vale solo in condizioni di campi elettrici non variabili nel tempo) == Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère== === Campo di un filo di raggio non trascurabile=== [[Image:Filog.png|thumb|350px|left|Un cilindro di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r ]] Consideriamo un filo rettilineo di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente <math>I\ </math> come in figura. A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad r>R_1\ </math> Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio <math>r<R_1\ </math>, la densità di corrente elettrica vale: :<math>|J|=\frac I{\pi R_1^2}\ </math> Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che: :<math>|B|2\pi r=\mu_o |J|\pi r^2=\mu_o \frac I{\pi R_1^2}\pi r^2\qquad r<R_1\ </math> :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo. === Campo di un cavo coassiale=== [[Image:Coax.png|thumb|350px|left|Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I]] Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente <math>I\ </math> nel filo centrale di raggio <math>R_1\ </math> e da una corrente <math>-I\ </math> nel conduttore esterno di raggio <math>R_2\ </math> e spessore trascurabile. Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente: :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad R_1<r<R_2\ </math> ed infine: :<math>|B|=0\qquad r\ge R_2\ </math> In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio <math>r>R_2\ </math> è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo. === Campo di un solenoide ideale=== [[Image:Solen.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale]] Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio <math>R\ </math>, dal numero di spire per unità di lunghezza <math>n\ </math>. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile. Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di <math>\vec B\ </math> attraverso tale cammino. Essendo <math>\vec B\ </math> normale ai lati <math>2\ </math> e <math>4\ </math> il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi: :<math>\oint_l\vec B\cdot \vec {dl}=|B|l_1\ </math> ma la corrente all'interno di tale circuito vale: :<math> nl_1I\ </math> Quindi: :<math>|B|=\mu_o nI\ </math> Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica, in quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme. ==Potenziale vettore== In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore <math>\overrightarrow{A}\ </math> come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico: :<math>\vec B = \vec \nabla \times \vec A </math> Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria <math>f(\vec r)</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo: :<math>\vec \nabla \times \left[\vec A + \vec \nabla f\right] = \vec \nabla \times \vec A</math> In quanto per l'identità di [[w:Teorema_di_Schwarz|Schwarz]] si ha che: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla f=\vec i(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y})+ \vec j(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} -\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z})+ \vec k(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x})\equiv 0</math> Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = \vec \nabla \cdot \vec A + \vec \nabla \vec \nabla f = \vec \nabla \cdot \vec A + \nabla^2 f</math> ed è possibile scegliere un'opportuna funzione <math>f</math> in modo tale che: :<math>\nabla^2 f = -\vec \nabla \cdot \vec A</math> Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di ''gauge''. Fatta questa scelta la divergenza di <math>\vec A </math> è nulla: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = 0 </math> La legge di [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale|Legge di Ampère]] in forma differenziale diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A =\mu_o \vec J\ </math> Ma sviluppando l'espressione di sinistra: :<math> \vec \nabla \cdot(\vec \nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A=\mu_o \vec J\ </math> Per la trasformazione di ''gauge'' usata il primo termine è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa: :<math> \nabla^2 \vec A=-\mu_o \vec J\ </math> Nota che l'espressione esplicita di <math> \nabla^2 \vec A\ </math> in coordinate cartesiane è: <math> (\nabla^2 \vec A)_x=\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_y=\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_z=\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 z}</math> Le tre componenti di <math> \vec A\ </math> rispettano [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Le_equazioni_di_Poisson_e_Laplace|l'equazione di Poisson]] :<math>\begin{cases} \nabla^2 A_x = - \mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_y = - \mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_z = - \mu_0 J_z \end{cases}</math> La soluzione dell'equazione esiste ed è unica: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r')}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|} dV'</math> Avendo indicato con <math> \vec r\ </math> la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con <math> \overrightarrow {r'}\ </math> la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente <math> \vec J\ </math>. Se ho un conduttore filiforme <math> L'\ </math> il cui elemento infinitesimo <math> \overrightarrow {dl'}\ </math> è percorso una corrente I, si ha che: :<math>\vec JdV'=IS\overrightarrow {dl'}</math> Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I\oint_{L'} \frac {\overrightarrow {dl'}}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|}</math>. ==Note== {{references}} [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia| Argomento seguente: Magnetismo della Materia]] [[Categoria:Fisica_classica]] {{Avanzamento|100%}} 4o4b40y2za9r8g41r3v5t6nu0zi7y30 498247 498242 2026-05-22T16:29:42Z Pasquale.Carelli 528 Ritorno a questa versione che è più completa per quanto riguarda le figure 498247 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Leggi di Laplace |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Leggi_di_Laplace |CapitoloSuccessivo=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Magnetismo_della_materia }} {{fisica classica}} L'assenza di monopoli magnetici comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre delle linee chiuse. Quindi data una qualsiasi superficie chiusa il numero di linee entranti è eguale a quello di quelle uscenti. Quindi il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa (<math>S chiusa\ </math>) sarà nullo. == Seconda equazione di Maxwell== Consideriamo quindi una una qualsiasi superficie chiusa '''S''' che delimita un volume '''T'''. :<math>\int_S d\Phi (\vec B)=\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math> Applicando il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] possiamo riscrivere tale equazione come: :<math>\int_{T}\vec \nabla \cdot \vec B {d\tau }=0\ </math> Ma la scelta della superficie e di conseguenza del volume '''T''' (di cui <math>d\tau\ </math> rappresenta l'elemento infinitesimo di volume) è del tutto arbitraria, per cui valere tale identità è necessario che l'integrando sia nullo cioè si ha che: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0\ </math> Notiamo che da un punto di vista matematico si può ottenere lo stesso risultato in maniera analitica sviluppando analiticamente la divergenza del più generico campo di induzione magnetica che: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\nabla \cdot \oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}\ </math> Dopo una serie di passaggi matematici, si trova che tale quantità è identicamente eguale a 0, tale trattazione si può trovare ad esempio nel libro di Mencuccini-Silvestrini <ref>C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica II, Liguori editore 1998 pag.252 ISBN 978-88-207-1633-2 </ref>. == Teorema di Ampère in forma integrale == Dobbiamo quindi scrivere per il magnetismo l'equazione analoga al teorema di Gauss dell'elettrostatica, che ci ha permesso di rimuovere tra l'altro la singolarità del campo elettrico nell'origine delle coordinate dove sia presente una carica puntiforme. Infatti se alla carica puntiforme sostituiamo una nuvola sferica (o un'altra qualsiasi distribuzione di carica di dimensione misurabile) il campo elettrico non andrebbe all'infinito nell'origine, ma tende a un valore finito (nullo per la sfera uniformemente carica). Il teorema di Gauss ci ha permesso inoltre di calcolare il campo elettrico in situazioni dotate di particolare simmetria: il teorema di Ampère che viene dimostrato nel seguito in un caso particolare rappresenta nel magnetismo l'analogo del teorema di Gauss per l'elettrostatica. [[Image:Ampere.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] La figura a fianco mostra una linea qualsiasi <math>\ell\ </math> che racchiude un filo indefinito rettilineo percorso da una corrente <math>I\ </math>, tale filo attraversa in un punto qualsiasi l'interno dell'area delimitata da tale linea. Immaginiamo che la corrente del filo sia uscente dal piano del foglio, calcoliamo la circuitazione di <math> \overrightarrow{B}\ </math>: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} \frac {\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}r\ </math> Dove <math>\hat t\ </math> è il versore tangente alla circonferenza di raggio <math>r\ </math> (quindi rappresenta la direzione di <math>\overrightarrow{B}\ </math>), il prodotto scalare <math>\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}\ </math> rappresenta il tratto <math>d\ell_n\ </math> di circonferenza. Quindi: :<math>\frac {\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}r=\frac {d\ell_n}r=d\theta\ </math> [[Image:Ampere2.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] è pari all'angolo sotteso dall'elemento <math>\overrightarrow{d\ell}\ </math> della linea chiusa <math>\ell\ </math> si ha quindi che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=\mu_o I\ </math> Infatti gli estremi di integrazione sono compresi tra un angolo qualunque di partenza <math>\theta_o\ </math> e <math>\theta_o+2\pi\ </math>. Qualora la linea chiusa non sia concatenata con il filo, come nella figura a fianco. L'integrale di linea lungo <math>l_1\ </math> è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo <math>l_2\ </math>. Cioè algebricamnete si ha : :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \int_{\ell_1}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}+\int_{\ell_2}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\left( \int_{\ell_1}d\theta+ \int_{\ell_2} d\theta \right)=0\ </math> In termini più generali si può scrivere che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=N\mu_o I\ </math> [[Image:Ampere3.png|thumb|250px|left|Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno ad un filo percorso da corrente]] Dove <math>N\ </math> rappresenta il numero di volte per cui la linea <math>\ell\ </math> si concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è concatenata (<math>N=0\ </math>) la circuitazione di <math>\overrightarrow{B}\ </math> è nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista. Se la linea è concatenata come nell'esempio a fianco due volte <math>N=2\ </math> e così via. Osserviamo che la circuitazione non dipenda dalla forma della linea <math>\ell\ </math> scelta. Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso. Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> prodotto dipende principalmente da una porzione molto piccola del filo e che localmente può essere rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da corrente <math>I\ </math>. Se inoltre il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> viene generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di additività del campo di induzione magnetica si ha che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=\mu_o \sum I_i\ </math> Dove <math>\sum I_i\ </math> è la somma delle varie correnti <math>I_i\ </math> ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito <math>i\ </math>. Nella sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a seconda del loro verso. Il teorema della circuitazione nella sua forma completa è chiamata legge di Ampère e rappresenta per il magnetismo l'equivalente del teorema di Gauss dell'elettrostatica. == Il Teorema di Ampère in forma differenziale== Consideriamo una linea '''l''' che delimita una regione di spazio '''S'''. La corrente totale che attraversa tale regione di spazio vale: <math>\int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}=I\ </math> Quindi dalla legge di Ampère in forma integrale: <math>\oint_l\vec B \overrightarrow {dl}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math> Applicando il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Il_teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] al primo membro: :<math>\int_S\vec \nabla \times \vec B {dS}=\mu_o \int_S\vec J\cdot \overrightarrow {dS}\ </math> Dall'eguaglianza degli integrali qualsiasi sia la superficie di integrazione segue che gli integrandi debbono essere eguali cioè: :<math>\vec \nabla \times \vec B =\mu_o \vec J\ </math> Tale espressione è la IV equazione di Maxwell (ma in realtà vale solo in condizioni di campi elettrici non variabili nel tempo) == Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère== === Campo di un filo di raggio non trascurabile=== [[Image:Filog.png|thumb|350px|left|Un cilindro di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r ]] Consideriamo un filo rettilineo di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente <math>I\ </math> come in figura. A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad r>R_1\ </math> Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio <math>r<R_1\ </math>, la densità di corrente elettrica vale: :<math>|J|=\frac I{\pi R_1^2}\ </math> Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che: :<math>|B|2\pi r=\mu_o |J|\pi r^2=\mu_o \frac I{\pi R_1^2}\pi r^2\qquad r<R_1\ </math> :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo. === Campo di un cavo coassiale=== [[Image:Coax.png|thumb|350px|left|Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I]] Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente <math>I\ </math> nel filo centrale di raggio <math>R_1\ </math> e da una corrente <math>-I\ </math> nel conduttore esterno di raggio <math>R_2\ </math> e spessore trascurabile. Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente: :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad R_1<r<R_2\ </math> ed infine: :<math>|B|=0\qquad r\ge R_2\ </math> In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio <math>r>R_2\ </math> è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo. === Campo di un solenoide ideale=== [[Image:Solen.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale]] Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio <math>R\ </math>, dal numero di spire per unità di lunghezza <math>n\ </math>. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile. Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di <math>\vec B\ </math> attraverso tale cammino. Essendo <math>\vec B\ </math> normale ai lati <math>2\ </math> e <math>4\ </math> il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi: :<math>\oint_l\vec B\cdot \vec {dl}=|B|l_1\ </math> ma la corrente all'interno di tale circuito vale: :<math> nl_1I\ </math> Quindi: :<math>|B|=\mu_o nI\ </math> Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica, in quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme. ==Potenziale vettore== In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore <math>\overrightarrow{A}\ </math> come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico: :<math>\vec B = \vec \nabla \times \vec A </math> Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria <math>f(\vec r)</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo: :<math>\vec \nabla \times \left[\vec A + \vec \nabla f\right] = \vec \nabla \times \vec A</math> In quanto per l'identità di [[w:Teorema_di_Schwarz|Schwarz]] si ha che: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla f=\vec i(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y})+ \vec j(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} -\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z})+ \vec k(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x})\equiv 0</math> Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = \vec \nabla \cdot \vec A + \vec \nabla \vec \nabla f = \vec \nabla \cdot \vec A + \nabla^2 f</math> ed è possibile scegliere un'opportuna funzione <math>f</math> in modo tale che: :<math>\nabla^2 f = -\vec \nabla \cdot \vec A</math> Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di ''gauge''. Fatta questa scelta la divergenza di <math>\vec A </math> è nulla: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = 0 </math> La legge di [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale|Legge di Ampère]] in forma differenziale diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A =\mu_o \vec J\ </math> Ma sviluppando l'espressione di sinistra: :<math> \vec \nabla \cdot(\vec \nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A=\mu_o \vec J\ </math> Per la trasformazione di ''gauge'' usata il primo termine è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa: :<math> \nabla^2 \vec A=-\mu_o \vec J\ </math> Nota che l'espressione esplicita di <math> \nabla^2 \vec A\ </math> in coordinate cartesiane è: <math> (\nabla^2 \vec A)_x=\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_y=\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_z=\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 z}</math> Le tre componenti di <math> \vec A\ </math> rispettano [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Le_equazioni_di_Poisson_e_Laplace|l'equazione di Poisson]] :<math>\begin{cases} \nabla^2 A_x = - \mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_y = - \mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_z = - \mu_0 J_z \end{cases}</math> La soluzione dell'equazione esiste ed è unica: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r')}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|} dV'</math> Avendo indicato con <math> \vec r\ </math> la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con <math> \overrightarrow {r'}\ </math> la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente <math> \vec J\ </math>. Se ho un conduttore filiforme <math> L'\ </math> il cui elemento infinitesimo <math> \overrightarrow {dl'}\ </math> è percorso una corrente I, si ha che: :<math>\vec JdV'=IS\overrightarrow {dl'}</math> Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I\oint_{L'} \frac {\overrightarrow {dl'}}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|}</math>. ==Note== {{references}} [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia| Argomento seguente: Magnetismo della Materia]] [[Categoria:Fisica_classica]] {{Avanzamento|100%}} gqj13oozeayl12r0tz0h13bvw69neoj 498251 498247 2026-05-22T17:23:21Z Pasquale.Carelli 528 migliorata la voce da completare 498251 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Leggi di Laplace |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Leggi_di_Laplace |CapitoloSuccessivo=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Magnetismo_della_materia }} {{fisica classica}} == Seconda equazione di Maxwell== L'assenza di Monopolo magnetico comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre linee chiuse. Di conseguenza, attraverso una qualsiasi superficie chiusa, il numero delle linee di campo entranti è eguale al numero delle linee uscenti. Il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa risulta quindi nullo. Q Consideriamo una superficie chiusa '''S''' che delimita un volume '''T'''. Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso tale superficie è dato da: :<math>\Phi(\vec B)=\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}</math> Poiché le linee del campo magnetico sono chiuse, si ha: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=0</math> Questa relazione costituisce la forma integrale della seconda equazione di Maxwell. Applicando il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] è possibile trasformare l'integrale esteso alla superficie chiusa in un integrale esteso al volume racchiuso: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau</math> e quindi: :<math>\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau =0</math> Poiché la scelta del volume '''T''' è completamente arbitraria, affinché tale relazione sia verificata per qualunque volume è necessario che l'integrando sia identicamente nullo in ogni punto dello spazio. Si ottiene quindi la forma differenziale della seconda equazione di Maxwell: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math> Questa equazione esprime matematicamente il fatto che il campo magnetico non possiede sorgenti né pozzi: non esistono cariche magnetiche isolate dalle quali le linee di campo possano avere origine o termine. È possibile ottenere lo stesso risultato anche sviluppando analiticamente la divergenza del campo magnetico generato da una distribuzione generica di corrente. Infatti, partendo dalla legge di Biot-Savart-Laplace: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> si può calcolare: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\vec \nabla \cdot \oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> Dopo opportuni passaggi matematici si trova che tale quantità è identicamente nulla, in accordo con la seconda equazione di Maxwell. Una dimostrazione dettagliata può essere trovata, ad esempio, nel testo di Mencuccini e Silvestrini.<ref>C. Mencuccini, V. Silvestrini, ''Fisica II'', Liguori Editore, 1998, pag. 252, ISBN 978-88-207-1633-2.</ref> == Teorema di Ampère in forma integrale == Nel caso dell’elettrostatica la [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss|legge di Gauss]] ha permesso di collegare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica elettrica contenuta al suo interno. Tale legge risulta particolarmente utile sia dal punto di vista concettuale sia per il calcolo dei campi elettrici in situazioni dotate di elevata simmetria. In magnetostatica esiste una relazione analoga, nota come teorema della circuitazione o legge di [[w:André-Marie Ampère|Ampère]], che collega la circuitazione del campo magnetico alle correnti elettriche concatenate con una linea chiusa. Consideriamo quindi un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente <math>I</math>. Sia <math>\ell</math> una linea chiusa qualsiasi concatenata con il filo. Supponiamo inoltre che la corrente sia uscente dal piano del foglio. Il campo magnetico generato dal filo ha linee di forza circolari concentriche attorno al filo stesso, con verso determinato dalla regola della mano destra. La sua intensità vale: :<math>B=\frac{\mu_o I}{2\pi r}</math> dove <math>r</math> rappresenta la distanza dal filo. [[Image:Ampere.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] Calcoliamo ora la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa <math>\ell</math>, come in figura: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> Poiché il vettore <math>\vec B</math> è tangente alle circonferenze centrate sul filo, si può scrivere: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}</math> dove <math>\hat t</math> rappresenta il versore tangente alle linee di campo magnetico. Il prodotto scalare: :<math>\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> rappresenta l’elemento infinitesimo di arco della circonferenza centrata sul filo. Pertanto: :<math>\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}=d\theta</math> dove <math>d\theta</math> è l’angolo infinitesimo sotteso dall’elemento di percorso. Si ottiene quindi: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}d\theta</math> Se la linea chiusa circonda una sola volta il filo percorso da corrente, l’angolo totale descritto vale <math>2\pi</math>; pertanto: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\mu_o I</math> Questa relazione mostra che la circuitazione del campo magnetico dipende unicamente dalla corrente concatenata con il circuito di integrazione, e non dalla forma della linea scelta. [[Image:Ampere2.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] Se invece la linea chiusa non è concatenata con il filo,come nella figura a fianco, gli angoli percorsi lungo il cammino si compensano algebricamente. Si ha che l'integrale di linea lungo <math>l_1\ </math> è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo <math>l_2\ </math>. Cioè algebricamnete si ha : :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \int_{\ell_1}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}+\int_{\ell_2}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\left( \int_{\ell_1}d\theta+ \int_{\ell_2} d\theta \right)=0\ </math> In termini più generali si può scrivere che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=N\mu_o I\ </math> [[Image:Ampere3.png|thumb|250px|left|Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno ad un filo percorso da corrente]] Dove <math>N\ </math> rappresenta il numero di volte per cui la linea <math>\ell\ </math> si concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è concatenata (<math>N=0\ </math>) la circuitazione di <math>\overrightarrow{B}\ </math> è nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista. Se la linea è concatenata come nell'esempio a fianco due volte <math>N=2\ </math> e così via. Osserviamo che la circuitazione non dipenda dalla forma della linea <math>\ell\ </math> scelta. Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso. Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> prodotto dipende principalmente da una porzione molto piccola del filo e che localmente può essere rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da corrente <math>I\ </math>. Se inoltre il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> viene generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di additività del campo di induzione magnetica si ha che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=\mu_o \sum I_i\ </math> Dove <math>\sum I_i\ </math> è la somma delle varie correnti <math>I_i\ </math> ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito <math>i\ </math>. Nella sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a seconda del loro verso. La legge di Ampère rappresenta, per la magnetostatica, l’analogo della legge di Gauss dell’elettrostatica e costituisce una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico. == La legge di Ampère in forma differenziale== Consideriamo una linea chiusa '''l''' che delimita una superficie orientata '''S'''. Sia <math>\vec J</math> la densità di corrente elettrica presente nella regione considerata. La corrente totale che attraversa la superficie vale: :<math>I=\int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Dalla legge di Ampère in forma integrale si ha: :<math>\oint_l \vec B \cdot \overrightarrow{dl}= \mu_o \int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Applicando al primo membro il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Il_teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]], la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa può essere trasformata in un integrale esteso alla superficie delimitata dalla linea stessa: :<math>\oint_l \vec B \cdot \overrightarrow{dl}= \int_S (\vec \nabla \times \vec B)\cdot \overrightarrow{dS}</math> Si ottiene quindi: :<math>\int_S (\vec \nabla \times \vec B)\cdot \overrightarrow{dS}= \mu_o \int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Poiché tale relazione deve valere qualunque sia la superficie di integrazione scelta, segue che gli integrandi devono coincidere punto per punto. Si ottiene pertanto: :<math>\vec \nabla \times \vec B=\mu_o \vec J</math> Questa relazione costituisce la forma differenziale della legge di Ampère. Dal punto di vista fisico essa mostra che le correnti elettriche costituiscono la sorgente del rotore del campo magnetico. In altre parole, il campo magnetico tende a circolare attorno alle correnti elettriche che lo generano. L’equazione precedente rappresenta una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico ed è nota come quarta equazione di James Clerk Maxwell nella sua forma magnetostatica. È importante osservare che tale relazione vale rigorosamente soltanto nel caso di campi elettrici costanti nel tempo. Quando i campi elettrici variano temporalmente, l’equazione deve essere modificata introducendo il termine di [[w:Corrente_di_spostamento|corrente di spostamento]] introdotto da Maxwell. In tal caso la forma completa diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec B= \mu_o \vec J+\mu_o \epsilon_o \frac{\partial \vec E}{\partial t}</math> dove il termine: :<math>\mu_o \epsilon_o \frac{\partial \vec E}{\partial t}</math> rappresenta la corrente di spostamento. Tale contributo permette di descrivere correttamente i fenomeni elettromagnetici variabili nel tempo e conduce alla formulazione completa delle equazioni di Maxwell. == Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère== === Campo di un filo di raggio non trascurabile=== [[Image:Filog.png|thumb|350px|left|Un cilindro di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r ]] Consideriamo un filo rettilineo di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente <math>I\ </math> come in figura. A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad r>R_1\ </math> Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio <math>r<R_1\ </math>, la densità di corrente elettrica vale: :<math>|J|=\frac I{\pi R_1^2}\ </math> Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che: :<math>|B|2\pi r=\mu_o |J|\pi r^2=\mu_o \frac I{\pi R_1^2}\pi r^2\qquad r<R_1\ </math> :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo. === Campo di un cavo coassiale=== [[Image:Coax.png|thumb|350px|left|Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I]] Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente <math>I\ </math> nel filo centrale di raggio <math>R_1\ </math> e da una corrente <math>-I\ </math> nel conduttore esterno di raggio <math>R_2\ </math> e spessore trascurabile. Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente: :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad R_1<r<R_2\ </math> ed infine: :<math>|B|=0\qquad r\ge R_2\ </math> In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio <math>r>R_2\ </math> è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo. === Campo di un solenoide ideale=== [[Image:Solen.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale]] Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio <math>R\ </math>, dal numero di spire per unità di lunghezza <math>n\ </math>. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile. Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di <math>\vec B\ </math> attraverso tale cammino. Essendo <math>\vec B\ </math> normale ai lati <math>2\ </math> e <math>4\ </math> il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi: :<math>\oint_l\vec B\cdot \vec {dl}=|B|l_1\ </math> ma la corrente all'interno di tale circuito vale: :<math> nl_1I\ </math> Quindi: :<math>|B|=\mu_o nI\ </math> Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica, in quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme. ==Potenziale vettore== In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore <math>\overrightarrow{A}\ </math> come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico: :<math>\vec B = \vec \nabla \times \vec A </math> Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria <math>f(\vec r)</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo: :<math>\vec \nabla \times \left[\vec A + \vec \nabla f\right] = \vec \nabla \times \vec A</math> In quanto per l'identità di [[w:Teorema_di_Schwarz|Schwarz]] si ha che: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla f=\vec i(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y})+ \vec j(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} -\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z})+ \vec k(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x})\equiv 0</math> Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = \vec \nabla \cdot \vec A + \vec \nabla \vec \nabla f = \vec \nabla \cdot \vec A + \nabla^2 f</math> ed è possibile scegliere un'opportuna funzione <math>f</math> in modo tale che: :<math>\nabla^2 f = -\vec \nabla \cdot \vec A</math> Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di ''gauge''. Fatta questa scelta la divergenza di <math>\vec A </math> è nulla: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = 0 </math> La legge di [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale|Legge di Ampère]] in forma differenziale diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A =\mu_o \vec J\ </math> Ma sviluppando l'espressione di sinistra: :<math> \vec \nabla \cdot(\vec \nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A=\mu_o \vec J\ </math> Per la trasformazione di ''gauge'' usata il primo termine è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa: :<math> \nabla^2 \vec A=-\mu_o \vec J\ </math> Nota che l'espressione esplicita di <math> \nabla^2 \vec A\ </math> in coordinate cartesiane è: <math> (\nabla^2 \vec A)_x=\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_y=\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_z=\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 z}</math> Le tre componenti di <math> \vec A\ </math> rispettano [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Le_equazioni_di_Poisson_e_Laplace|l'equazione di Poisson]] :<math>\begin{cases} \nabla^2 A_x = - \mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_y = - \mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_z = - \mu_0 J_z \end{cases}</math> La soluzione dell'equazione esiste ed è unica: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r')}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|} dV'</math> Avendo indicato con <math> \vec r\ </math> la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con <math> \overrightarrow {r'}\ </math> la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente <math> \vec J\ </math>. Se ho un conduttore filiforme <math> L'\ </math> il cui elemento infinitesimo <math> \overrightarrow {dl'}\ </math> è percorso una corrente I, si ha che: :<math>\vec JdV'=IS\overrightarrow {dl'}</math> Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I\oint_{L'} \frac {\overrightarrow {dl'}}{|\vec r-\overrightarrow {r'}|}</math>. ==Note== {{references}} [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia| Argomento seguente: Magnetismo della Materia]] [[Categoria:Fisica_classica]] {{Avanzamento|100%}} dkr9o6e6867yz1xmh1ariry9tdv12kh 498254 498251 2026-05-23T07:09:02Z Pasquale.Carelli 528 /* Potenziale vettore */ simbolo di vettore reso idoneo 498254 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Leggi di Laplace |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Leggi_di_Laplace |CapitoloSuccessivo=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Magnetismo_della_materia }} {{fisica classica}} == Seconda equazione di Maxwell== L'assenza di Monopolo magnetico comporta che le linee del vettore induzione magnetica siano sempre linee chiuse. Di conseguenza, attraverso una qualsiasi superficie chiusa, il numero delle linee di campo entranti è eguale al numero delle linee uscenti. Il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa risulta quindi nullo. Q Consideriamo una superficie chiusa '''S''' che delimita un volume '''T'''. Il flusso del campo di induzione magnetica attraverso tale superficie è dato da: :<math>\Phi(\vec B)=\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}</math> Poiché le linee del campo magnetico sono chiuse, si ha: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=0</math> Questa relazione costituisce la forma integrale della seconda equazione di Maxwell. Applicando il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] è possibile trasformare l'integrale esteso alla superficie chiusa in un integrale esteso al volume racchiuso: :<math>\oint_S \vec B \cdot \overrightarrow{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau</math> e quindi: :<math>\int_T \vec \nabla \cdot \vec B \ d\tau =0</math> Poiché la scelta del volume '''T''' è completamente arbitraria, affinché tale relazione sia verificata per qualunque volume è necessario che l'integrando sia identicamente nullo in ogni punto dello spazio. Si ottiene quindi la forma differenziale della seconda equazione di Maxwell: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B =0</math> Questa equazione esprime matematicamente il fatto che il campo magnetico non possiede sorgenti né pozzi: non esistono cariche magnetiche isolate dalle quali le linee di campo possano avere origine o termine. È possibile ottenere lo stesso risultato anche sviluppando analiticamente la divergenza del campo magnetico generato da una distribuzione generica di corrente. Infatti, partendo dalla legge di Biot-Savart-Laplace: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> si può calcolare: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\vec \nabla \cdot \oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}</math> Dopo opportuni passaggi matematici si trova che tale quantità è identicamente nulla, in accordo con la seconda equazione di Maxwell. Una dimostrazione dettagliata può essere trovata, ad esempio, nel testo di Mencuccini e Silvestrini.<ref>C. Mencuccini, V. Silvestrini, ''Fisica II'', Liguori Editore, 1998, pag. 252, ISBN 978-88-207-1633-2.</ref> == Teorema di Ampère in forma integrale == Nel caso dell’elettrostatica la [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss|legge di Gauss]] ha permesso di collegare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa alla carica elettrica contenuta al suo interno. Tale legge risulta particolarmente utile sia dal punto di vista concettuale sia per il calcolo dei campi elettrici in situazioni dotate di elevata simmetria. In magnetostatica esiste una relazione analoga, nota come teorema della circuitazione o legge di [[w:André-Marie Ampère|Ampère]], che collega la circuitazione del campo magnetico alle correnti elettriche concatenate con una linea chiusa. Consideriamo quindi un filo rettilineo indefinito percorso da una corrente <math>I</math>. Sia <math>\ell</math> una linea chiusa qualsiasi concatenata con il filo. Supponiamo inoltre che la corrente sia uscente dal piano del foglio. Il campo magnetico generato dal filo ha linee di forza circolari concentriche attorno al filo stesso, con verso determinato dalla regola della mano destra. La sua intensità vale: :<math>B=\frac{\mu_o I}{2\pi r}</math> dove <math>r</math> rappresenta la distanza dal filo. [[Image:Ampere.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno ad un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] Calcoliamo ora la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa <math>\ell</math>, come in figura: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> Poiché il vettore <math>\vec B</math> è tangente alle circonferenze centrate sul filo, si può scrivere: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}</math> dove <math>\hat t</math> rappresenta il versore tangente alle linee di campo magnetico. Il prodotto scalare: :<math>\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}</math> rappresenta l’elemento infinitesimo di arco della circonferenza centrata sul filo. Pertanto: :<math>\frac{\hat t \cdot \overrightarrow{d\ell}}{r}=d\theta</math> dove <math>d\theta</math> è l’angolo infinitesimo sotteso dall’elemento di percorso. Si ottiene quindi: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \frac{\mu_o I}{2\pi}\oint_{\ell}d\theta</math> Se la linea chiusa circonda una sola volta il filo percorso da corrente, l’angolo totale descritto vale <math>2\pi</math>; pertanto: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\mu_o I</math> Questa relazione mostra che la circuitazione del campo magnetico dipende unicamente dalla corrente concatenata con il circuito di integrazione, e non dalla forma della linea scelta. [[Image:Ampere2.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione all'esterno di un filo rettilineo indefinto percorso da una corrente I]] Se invece la linea chiusa non è concatenata con il filo,come nella figura a fianco, gli angoli percorsi lungo il cammino si compensano algebricamente. Si ha che l'integrale di linea lungo <math>l_1\ </math> è eguale ad un angolo eguale ed opposto a quello lungo <math>l_2\ </math>. Cioè algebricamnete si ha : :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}= \int_{\ell_1}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}+\int_{\ell_2}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\left( \int_{\ell_1}d\theta+ \int_{\ell_2} d\theta \right)=0\ </math> In termini più generali si può scrivere che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=N\mu_o I\ </math> [[Image:Ampere3.png|thumb|250px|left|Cammino di integrazione che si concatena 2 volte attorno ad un filo percorso da corrente]] Dove <math>N\ </math> rappresenta il numero di volte per cui la linea <math>\ell\ </math> si concatena col filo percorso da corrente. Se la corrente non è concatenata (<math>N=0\ </math>) la circuitazione di <math>\overrightarrow{B}\ </math> è nulla; se la linea è concatenata una volta solo allora si ha la prima equazione vista. Se la linea è concatenata come nell'esempio a fianco due volte <math>N=2\ </math> e così via. Osserviamo che la circuitazione non dipenda dalla forma della linea <math>\ell\ </math> scelta. Ma solo dal grado di concatenazione con il filo scelto; in particolare si ottiene lo stesso risultato anche integrando su una linea chiusa che giri intorno al filo molto vicino al filo stesso. Poiché razionalmente quando andiamo molto vicino al filo il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> prodotto dipende principalmente da una porzione molto piccola del filo e che localmente può essere rappresentata come rettilinea, ci aspettiamo, che la relazione valga in un caso generale, qualunque sia la forma del filo percorso da corrente <math>I\ </math>. Se inoltre il campo <math>\overrightarrow{B}\ </math> viene generato da più circuiti tenendo conto della proprietà di additività del campo di induzione magnetica si ha che: :<math>\oint_{\ell}\vec B \cdot \overrightarrow{d\ell}=\frac {\mu_o I}{2\pi }\oint_{\ell} d\theta=\mu_o \sum I_i\ </math> Dove <math>\sum I_i\ </math> è la somma delle varie correnti <math>I_i\ </math> ciascuna concatenata in maniera diversa con il circuito <math>i\ </math>. Nella sommatoria le correnti vanno prese col segno positivo o negativo a seconda del loro verso. La legge di Ampère rappresenta, per la magnetostatica, l’analogo della legge di Gauss dell’elettrostatica e costituisce una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico. == La legge di Ampère in forma differenziale== Consideriamo una linea chiusa '''l''' che delimita una superficie orientata '''S'''. Sia <math>\vec J</math> la densità di corrente elettrica presente nella regione considerata. La corrente totale che attraversa la superficie vale: :<math>I=\int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Dalla legge di Ampère in forma integrale si ha: :<math>\oint_l \vec B \cdot \overrightarrow{dl}= \mu_o \int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Applicando al primo membro il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Il_teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]], la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa può essere trasformata in un integrale esteso alla superficie delimitata dalla linea stessa: :<math>\oint_l \vec B \cdot \overrightarrow{dl}= \int_S (\vec \nabla \times \vec B)\cdot \overrightarrow{dS}</math> Si ottiene quindi: :<math>\int_S (\vec \nabla \times \vec B)\cdot \overrightarrow{dS}= \mu_o \int_S \vec J \cdot \overrightarrow{dS}</math> Poiché tale relazione deve valere qualunque sia la superficie di integrazione scelta, segue che gli integrandi devono coincidere punto per punto. Si ottiene pertanto: :<math>\vec \nabla \times \vec B=\mu_o \vec J</math> Questa relazione costituisce la forma differenziale della legge di Ampère. Dal punto di vista fisico essa mostra che le correnti elettriche costituiscono la sorgente del rotore del campo magnetico. In altre parole, il campo magnetico tende a circolare attorno alle correnti elettriche che lo generano. L’equazione precedente rappresenta una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo classico ed è nota come quarta equazione di James Clerk Maxwell nella sua forma magnetostatica. È importante osservare che tale relazione vale rigorosamente soltanto nel caso di campi elettrici costanti nel tempo. Quando i campi elettrici variano temporalmente, l’equazione deve essere modificata introducendo il termine di [[w:Corrente_di_spostamento|corrente di spostamento]] introdotto da Maxwell. In tal caso la forma completa diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec B= \mu_o \vec J+\mu_o \epsilon_o \frac{\partial \vec E}{\partial t}</math> dove il termine: :<math>\mu_o \epsilon_o \frac{\partial \vec E}{\partial t}</math> rappresenta la corrente di spostamento. Tale contributo permette di descrivere correttamente i fenomeni elettromagnetici variabili nel tempo e conduce alla formulazione completa delle equazioni di Maxwell. == Alcuni esempi di applicazione della legge di Ampère== === Campo di un filo di raggio non trascurabile=== [[Image:Filog.png|thumb|350px|left|Un cilindro di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente uniforme ed un cammino circolare coassiale di raggio r ]] Consideriamo un filo rettilineo di raggio <math>R_1\ </math> percorso da una corrente <math>I\ </math> come in figura. A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad r>R_1\ </math> Consideriamo una circonferenza concentrica al filo, tratteggiata nella figura, ma di raggio <math>r<R_1\ </math>, la densità di corrente elettrica vale: :<math>|J|=\frac I{\pi R_1^2}\ </math> Quindi l'applicazione del teorema di Ampere a questo circuito chiuso comporta che: :<math>|B|2\pi r=\mu_o |J|\pi r^2=\mu_o \frac I{\pi R_1^2}\pi r^2\qquad r<R_1\ </math> :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> Cioè il campo di induzione magnetica non diverge, ma si annulla al centro del filo. === Campo di un cavo coassiale=== [[Image:Coax.png|thumb|350px|left|Un cavo coassiale percorso al centro da una corrente I e sulla guaina esterna da una corrente -I]] Analogamente dato un cavo coassiale percorso da una corrente <math>I\ </math> nel filo centrale di raggio <math>R_1\ </math> e da una corrente <math>-I\ </math> nel conduttore esterno di raggio <math>R_2\ </math> e spessore trascurabile. Applicando il teorema di Ampere avrò rispettivamente: :<math>|B|=\mu_o \frac {Ir}{ 2\pi R_1^2}\qquad r<R_1\ </math> A distanza <math>r>R_1\ </math> abbiamo già visto l'espressione del campo di induzione magnetica (è tangente alle circonferenze coassiali con il filo e ha una direzione data dalla regola della mano destra) ed ha una intensità pari a: :<math>|B|=\frac {\mu_{\circ}I}{2\pi r}\qquad R_1<r<R_2\ </math> ed infine: :<math>|B|=0\qquad r\ge R_2\ </math> In quanto la corrente totale all'interno di una circonferenza di raggio <math>r>R_2\ </math> è nulla infatti ho al suo interno sia l'andata della corrente su filo interno che il ritorno sul filo esterno. Un cavo coassiale oltre a concentrare nel suo interno le linee del campo elettrico, concentra anche le linee del campo magnetico, delimitando al suo interno al regione di spazio in cui è presente il campo. === Campo di un solenoide ideale=== [[Image:Solen.png|thumb|350px|left|Cammino di integrazione attorno alle spire di un solenoide ideale]] Un solenoide è caratterizzato oltre che dal suo raggio <math>R\ </math>, dal numero di spire per unità di lunghezza <math>n\ </math>. Il caso ideale qui considerato prevede che la lunghezza del solenoide è molto grande rispetto al raggio e che le spire siano molto fitte, si può verificare anche sperimentalmente che, il campo magnetico generato all'esterno è molto debole, rispetto a quello interno, tanto da poterlo considerare nullo. Inoltre la componente del campo nella direzione perpendicolare all'asse è trascurabile. Consideriamo un rettangolo come quello rappresentato in figura che attraversi il lato del solenoide e eseguiamo la circuitazione di <math>\vec B\ </math> attraverso tale cammino. Essendo <math>\vec B\ </math> normale ai lati <math>2\ </math> e <math>4\ </math> il suo contributo alla circuitazione è nullo. Il campo è trascurabile quindi nullo all'esterno del solenoide quindi: :<math>\oint_l\vec B\cdot \vec {dl}=|B|l_1\ </math> ma la corrente all'interno di tale circuito vale: :<math> nl_1I\ </math> Quindi: :<math>|B|=\mu_o nI\ </math> Tale risultato riproduce quanto ricavato, in maniera più generale, sovrapponendo il campo di molte spire circolari. Il solenoide rappresenta nel magnetismo l'analogo del condensatore a facce piane e parallele dell'elettrostatica, in quanto genera in una vasta regione di spazio un campo uniforme. ==Potenziale vettore== In assenza di sorgenti che variano nel tempo, si definisce il potenziale vettore <math>\vec{A}\ </math> come il campo vettoriale il cui rotore è il campo magnetico: :<math>\vec B = \vec \nabla \times \vec A </math> Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione scalare arbitraria <math>f(\vec r)</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo: :<math>\vec \nabla \times \left[\vec A + \vec \nabla f\right] = \vec \nabla \times \vec A</math> In quanto per l'identità di [[w:Teorema_di_Schwarz|Schwarz]] si ha che: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla f=\vec i(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial z} -\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial y})+ \vec j(\frac{\partial^2 f}{\partial z \partial x} -\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z})+ \vec k(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x})\equiv 0</math> Sfruttando questo fatto se ne calcola la divergenza: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = \vec \nabla \cdot \vec A + \vec \nabla \vec \nabla f = \vec \nabla \cdot \vec A + \nabla^2 f</math> ed è possibile scegliere un'opportuna funzione <math>f</math> in modo tale che: :<math>\nabla^2 f = -\vec \nabla \cdot \vec A</math> Questa operazione che elimina gradi di libertà arbitrari viene chiamata trasformazione di ''gauge''. Fatta questa scelta la divergenza di <math>\vec A </math> è nulla: :<math>\vec \nabla \cdot (\vec A + \vec \nabla f) = 0 </math> La legge di [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale|Legge di Ampère]] in forma differenziale diventa: :<math>\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A =\mu_o \vec J\ </math> Ma sviluppando l'espressione di sinistra: :<math> \vec \nabla \cdot(\vec \nabla \cdot \vec A)-\nabla^2 \vec A=\mu_o \vec J\ </math> Per la trasformazione di ''gauge'' usata il primo termine è identicamente nullo e quindi la legge di Ampère diventa: :<math> \nabla^2 \vec A=-\mu_o \vec J\ </math> Nota che l'espressione esplicita di <math> \nabla^2 \vec A\ </math> in coordinate cartesiane è: <math> (\nabla^2 \vec A)_x=\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_x}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_y=\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_y}{\partial^2 z}</math> <math> (\nabla^2 \vec A)_z=\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 x}+ \frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 A_z}{\partial^2 z}</math> Le tre componenti di <math> \vec A\ </math> rispettano [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Le_equazioni_di_Poisson_e_Laplace|l'equazione di Poisson]] :<math>\begin{cases} \nabla^2 A_x = - \mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_y = - \mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_z = - \mu_0 J_z \end{cases}</math> La soluzione dell'equazione esiste ed è unica: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec {r'}|} dV'</math> Avendo indicato con <math> \vec r\ </math> la posizione dello spazio dove si ha il potenziale vettore, e con <math> \vec {r'}\ </math> la posizione del generico elemento di volume percorso dalla densità di corrente <math> \vec J\ </math>. Se ho un conduttore filiforme <math> L'\ </math> il cui elemento infinitesimo <math> \overrightarrow {dl'}\ </math> è percorso una corrente I, si ha che: :<math>\vec JdV'=IS\overrightarrow {dl'}</math> Quindi l'integrale di volume si trasforma in un integrale di linea: :<math>\vec A (\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I\oint_{L'} \frac {\overrightarrow {dl'}}{|\vec r-\vec {r'}|}</math>. ==Note== {{references}} [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia| Argomento seguente: Magnetismo della Materia]] [[Categoria:Fisica_classica]] {{Avanzamento|100%}} gq4at0wl1961npqplibw780yukhimis 0 19911 498268 479738 2026-05-23T09:10:32Z Pasquale.Carelli 528 possibili uleriori miglioramento 498268 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Legge di Ampère |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Legge_di_Ampère |CapitoloSuccessivo=Induzione e legge di Faraday |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Induzione_e_legge_di_Faraday }} {{fisica classica}} Le equazioni studiate finora descrivono il campo magnetico nel vuoto. La presenza della materia, nella maggior parte dei casi, modifica solo debolmente il campo di induzione magnetica. Fanno eccezione alcune sostanze particolari, come i materiali [[w:Ferromagnetismo|ferromagnetici]] e i [[w:Superconduttore|superconduttori]], nei quali gli effetti magnetici risultano molto intensi. Un’osservazione sperimentale significativa si ottiene considerando campi magnetici non uniformi, caratterizzati cioè da forti gradienti spaziali. In tali condizioni alcune sostanze, dette paramagnetiche, vengono attratte verso le regioni in cui il campo magnetico è più intenso. Questo comportamento è particolarmente evidente nei materiali ferromagnetici, che rappresentano un caso estremo di paramagnetismo. Altre sostanze, dette diamagnetiche, vengono invece respinte dalle regioni in cui il campo è maggiore. I superconduttori mostrano una repulsione molto intensa del campo magnetico e vengono perciò spesso descritti come diamagneti perfetti. Questo comportamento differisce profondamente da quanto avviene in elettrostatica. In presenza di un campo elettrico non uniforme, infatti, qualunque sostanza — sia essa conduttrice o isolante — tende generalmente a spostarsi verso le regioni in cui il campo elettrico è più intenso. L’origine del paramagnetismo può essere compresa osservando che una spira percorsa da corrente possiede un momento di dipolo magnetico <math>\vec m</math>. Se tale dipolo è immerso in un campo di induzione magnetica esterno, esso tende ad orientarsi parallelamente alle linee del campo, analogamente a quanto avviene per un dipolo elettrico in un campo elettrico. Tuttavia esiste una differenza fondamentale tra i due casi. Nel dipolo elettrico il campo generato dal dipolo si oppone parzialmente al campo esterno, riducendone l’intensità all’interno del materiale. Nel caso magnetico, invece, il dipolo allineato produce un campo che si somma a quello esterno, rafforzandolo. Il comportamento paramagnetico — e in misura ancora maggiore quello ferromagnetico — si spiega con l’esistenza di momenti magnetici microscopici associati agli atomi e alle molecole. Tali momenti derivano sia dal moto orbitale degli elettroni attorno al nucleo sia dal loro momento angolare intrinseco, detto [[w:Spin|spin]]. La spiegazione del diamagnetismo è più delicata e coinvolge la cosiddetta [[w:Frequenza_di_Larmor|precessione di Larmor]] Anche negli atomi privi di momento magnetico permanente, gli elettroni in moto orbitale generano piccoli momenti magnetici. Quando un atomo viene immerso in un campo magnetico esterno, tali momenti subiscono una [[w:Precessione|precessione]] attorno alla direzione del campo applicato. La precessione è un moto caratteristico dei sistemi rotanti: oltre alla rotazione attorno a un asse, anche l’asse stesso ruota lentamente nello spazio. Un esempio classico è il moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso degli elettroni, la precessione genera un ulteriore momento magnetico indotto che, secondo la legge di Lenz, si oppone al campo magnetico esterno. Il risultato complessivo è quindi una debole diminuzione del campo all’interno della sostanza: questo fenomeno prende il nome di diamagnetismo. Il diamagnetismo è presente, almeno in misura molto piccola, in tutta la materia. Poiché esso dipende principalmente dal numero di elettroni e non dalla temperatura, mentre gli effetti paramagnetici diminuiscono all’aumentare della temperatura a causa dell’agitazione termica, a temperature sufficientemente elevate tutte le sostanze tendono a manifestare prevalentemente un comportamento diamagnetico. ==Il vettore magnetizzazione== L’effetto di un campo di induzione magnetica sulla materia è quello di indurre o orientare dei momenti magnetici elementari <math>\vec m_i\ </math>. Considerando un elemento di volume <math>d\tau\ </math> sufficientemente piccolo, ma contenente ancora un numero molto elevato di dipoli magnetici, si può definire, in analogia con il vettore di polarizzazione elettrica, il campo vettoriale macroscopico: :<math>\vec M=\lim_{d\tau \to 0}\frac{\sum_{i=1}^{N}\vec m_i}{d\tau}\ </math> Il limite va inteso in senso fisico e non puramente matematico: il volume <math>d\tau\ </math> deve infatti essere abbastanza piccolo da consentire una descrizione locale del materiale, ma sufficientemente grande da contenere molti dipoli magnetici elementari, così da rendere significativa una media statistica. Il vettore <math>\vec M\ </math> prende il nome di '''vettore magnetizzazione''' e rappresenta il momento magnetico per unità di volume della materia. Nel vuoto si ha: :<math>\vec M = 0\ </math> Nei materiali paramagnetici e diamagnetici, per campi non troppo intensi, la magnetizzazione risulta generalmente proporzionale al campo magnetico applicato. Nei materiali paramagnetici il verso di <math>\vec M\ </math> coincide con quello di <math>\vec B\ </math>, mentre nei materiali diamagnetici esso è opposto. [[Immagine:Polarization_and_magnetization.svg|thumb|250px|left|Analogia tra polarizzazione elettrica in un campo elettrico uniforme e magnetizzazione in un campo di induzione magnetica uniforme]] Poiché il momento magnetico ha le dimensioni di una corrente per una superficie, il vettore magnetizzazione ha le dimensioni di una corrente per unità di lunghezza. Le sue dimensioni coincidono quindi con quelle del vettore <math>\vec H\ </math>, che verrà introdotto in seguito. Dal punto di vista fisico, la magnetizzazione della materia equivale alla presenza di correnti microscopiche dette '''correnti di magnetizzazione'''. Se <math>\vec M\ </math> è uniforme nel materiale, le correnti interne si compensano reciprocamente e l’unico effetto netto si manifesta sulla superficie del corpo magnetizzato, analogamente a quanto accade per le cariche di polarizzazione nei dielettrici uniformemente polarizzati. La figura a fianco dovrebbe dare una idea dell'analogia. Per comprendere questo risultato, consideriamo una sottile fetta cilindrica di spessore <math>dl\ </math> e sezione <math>A\ </math>, uniformemente magnetizzata. Indichiamo con <math>\hat n\ </math> il versore normale alla superficie della fetta. Il momento magnetico associato alla fetta vale: :<math>\vec m = Adl\vec M\ </math> Lo stesso momento magnetico può essere prodotto da una corrente equivalente che percorra il contorno della fetta. Indicando con <math>dI_c\ </math> tale corrente, si ha: :<math>dI_cA = Adl\vec M\cdot\hat n\ </math> da cui: :<math>dI_c = dl\vec M\cdot\hat n\ </math> La corrente di magnetizzazione superficiale per unità di lunghezza risulta quindi: :<math>\vec J_{ml} = \vec M \times \hat n\ </math> Il vettore <math>\vec J_{ml}\ </math> rappresenta una densità superficiale di corrente e scorre tangenzialmente alla superficie del materiale magnetizzato. Se la magnetizzazione non è uniforme, le correnti di magnetizzazione non si limitano più alla superficie, ma compaiono anche all’interno del materiale. In tal caso si definisce la densità volumica di corrente di magnetizzazione: :<math>\vec J_{mv} = \vec \nabla \times \vec M\ </math> Questa relazione mostra che le correnti interne di magnetizzazione sono associate alla non uniformità spaziale del vettore <math>\vec M\ </math>. Le dimensioni di <math>\vec J_{mv}\ </math> sono quelle di una densità di corrente, cioè corrente per unità di superficie, mentre <math>\vec J_{ml}\ </math> ha dimensioni di corrente per unità di lunghezza. ==Equazioni della magnetostatica in presenza di materia== Consideriamo un mezzo materiale magnetizzato descritto come continuo. In corrispondenza della superficie di separazione tra due mezzi differenti, i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec M\ </math> possono presentare discontinuità; in tali regioni occorre quindi utilizzare le condizioni al contorno. All’interno di un mezzo continuo e omogeneo, invece, è possibile formulare le equazioni locali della magnetostatica. La [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Seconda_equazione_di_Maxwell|seconda equazione di Maxwell]] mantiene la stessa forma valida nel vuoto: :<math>\vec \nabla \cdot \vec B = 0\ </math> Essa esprime il fatto sperimentale che non esistono cariche magnetiche isolate e che le linee del campo di induzione magnetica sono sempre chiuse. La [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Il_Teorema_di_Amp.C3.A8re_in_forma_differenziale|legge di Ampère in forma differenziale]], invece, deve tenere conto sia delle correnti impresse sia delle correnti di magnetizzazione. Indicando con <math>\vec J_i\ </math> la densità di corrente impressa, dovuta al moto macroscopico di cariche elettriche, e con <math>\vec J_{mv}\ </math> la densità volumica di corrente di magnetizzazione, si ha: :<math>\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 (\vec J_i + \vec J_{mv})\ </math> Poiché: :<math>\vec J_{mv} = \vec \nabla \times \vec M\ </math> segue: :<math>\vec \nabla \times \vec B = \mu_0 \vec J_i + \mu_0 \vec \nabla \times \vec M\ </math> e quindi: :<math>\vec \nabla \times \left( \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M \right) = \vec J_i\ </math> Si introduce allora il vettore: :<math>\vec H = \frac{\vec B}{\mu_0} - \vec M\ </math> detto '''campo magnetico''' oppure '''campo magnetizzante'''. La legge di Ampère assume così la forma: :<math>\vec \nabla \times \vec H = \vec J_i\ </math> Il vettore <math>\vec H\ </math> dipende esclusivamente dalle correnti impresse e non direttamente dalle correnti di magnetizzazione. Esso svolge quindi, nel magnetismo della materia, un ruolo analogo a quello del vettore spostamento elettrico <math>\vec D\ </math> nei dielettrici. Nei materiali isotropi e lineari, cioè nei mezzi paramagnetici e diamagnetici per campi non troppo intensi, si osserva sperimentalmente una proporzionalità tra <math>\vec B\ </math> e <math>\vec H\ </math>. Si introduce allora la permeabilità magnetica relativa <math>\mu_r\ </math>, definita dalla relazione: :<math>\vec B = \mu_0 \mu_r \vec H\ </math> Nel caso di un solenoide ideale molto lungo, avente <math>n\ </math> spire per unità di lunghezza e percorso da corrente <math>I\ </math>, il modulo del campo di induzione magnetica all’interno del materiale vale: :<math>|\vec B| = \mu_0 \mu_r n I\ </math> Per la maggior parte delle sostanze la permeabilità relativa differisce molto poco da 1. I materiali per cui: :<math>\mu_r > 1\ </math> sono detti paramagnetici, mentre quelli per cui: :<math>\mu_r < 1\ </math> sono detti diamagnetici. A differenza dei campi elettrici, che possono essere fortemente schermati dalla materia, i campi magnetici vengono generalmente modificati solo debolmente dai materiali ordinari. Dalle definizioni precedenti si ricava inoltre la relazione tra magnetizzazione e campo magnetico: :<math>\vec M = (\mu_r -1)\vec H\ </math> Si definisce quindi la [[w:Suscettività_magnetica|suscettività magnetica]]: :<math>\chi_m = \mu_r -1\ </math> così che: :<math>\vec M = \chi_m \vec H\ </math> La suscettività magnetica misura la capacità del materiale di magnetizzarsi in presenza di un campo magnetico applicato. Dalla legge di Ampère segue infine che il campo <math>\vec H\ </math> all’interno di un solenoide ideale molto lungo dipende soltanto dalla corrente libera circolante e dalla geometria del solenoide, indipendentemente dal materiale contenuto al suo interno: :<math>|\vec H| = nI\ </math> mentre il campo di induzione magnetica <math>\vec B\ </math> dipende anche dalle proprietà magnetiche del mezzo attraverso la permeabilità magnetica relativa <math>\mu_r\ </math>. ==Passaggio da un mezzo ad un altro== Quando il mezzo materiale non è continuo, i vettori <math>\vec B\ </math> e <math>\vec H\ </math> possono presentare discontinuità sulla superficie di separazione tra due materiali differenti. In tali condizioni le equazioni differenziali della magnetostatica non sono direttamente applicabili sull’interfaccia, mentre restano sempre valide le corrispondenti formulazioni integrali. La prima equazione integrale della magnetostatica è: :<math>\int_{S\ chiusa}\vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math> Essa esprime il fatto che il flusso totale del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. Per studiare il comportamento di <math>\vec B\ </math> all’interfaccia tra due mezzi, consideriamo una superficie gaussiana cilindrica infinitesima che attraversi la superficie di separazione. Le due basi del cilindro sono parallele all’interfaccia e appartengono rispettivamente ai due mezzi; l’altezza del cilindro è infinitesima rispetto alle dimensioni lineari delle basi. Nel limite in cui il cilindro diventa infinitesimo, il contributo al flusso attraverso la superficie laterale può essere trascurato rispetto a quello attraverso le basi. Poiché il flusso totale deve essere nullo, segue che i flussi attraverso le due basi devono compensarsi: :<math>B_{n1}=B_{n2}\ </math> dove <math>B_{n1}\ </math> e <math>B_{n2}\ </math> rappresentano le componenti normali del campo di induzione magnetica nei due mezzi. La componente normale di <math>\vec B\ </math> risulta quindi continua attraverso la superficie di separazione, in analogia con quanto avviene per il vettore spostamento elettrico <math>\vec D\ </math> nei dielettrici in assenza di cariche superficiali libere. La seconda equazione integrale della magnetostatica riguarda invece il vettore campo magnetico <math>\vec H\ </math>: :<math>\oint_{\ell}\vec H\cdot \overrightarrow{d\ell}= \sum I_i\ </math> dove <math>I_i\ </math> rappresentano esclusivamente le correnti impresse concatenate con il cammino chiuso <math>\ell\ </math>. Consideriamo ora un percorso rettangolare infinitesimo che attraversi la superficie di separazione tra i due mezzi. Due lati del rettangolo sono paralleli all’interfaccia, mentre gli altri due sono perpendicolari ad essa. Se non sono presenti correnti superficiali impresse sull’interfaccia, si ha: :<math>\oint_{\ell}\vec H\cdot \overrightarrow{d\ell}=0\ </math> Nel limite infinitesimo, i contributi dei lati perpendicolari alla superficie diventano trascurabili. Affinché l’integrale circuitale sia nullo, è necessario che le componenti tangenziali di <math>\vec H\ </math> nei due mezzi coincidano: :<math>H_{t1}=H_{t2}\ </math> Si conclude quindi che, in assenza di correnti superficiali impresse: * la componente normale di <math>\vec B\ </math> è continua attraverso l’interfaccia; * la componente tangenziale di <math>\vec H\ </math> è continua attraverso l’interfaccia. Queste relazioni costituiscono le principali condizioni al contorno della magnetostatica in presenza di materia. == I materiali [[w:Ferromagnetismo|ferromagnetici]] == {| class="prettytable" style="float:right; margin:0 0 1em 1em; width: 300px" |+Materiali ferromagnetici cristallini e corrispondenti [[w:Punto di Curie|temperature di Curie]] in K<ref>{{en}} Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996)</ref> |- ! Materiale ! temp. Curie (K) |- | [[w:Cobalto|Co]] | 1388 |- | [[w:Ferro|Fe]] | 1043 |- | [[w:Magnetite|FeOFe₂O₃]]^* | 858 |- | [[w:Nichel|Ni]]O[[w:Ferro|Fe]]₂O₃^* | 858 |- | [[w:Rame|Cu]]O[[w:Ferro|Fe]]₂O₃^* | 728 |- | [[w:Magnesio|Mg]]O[[w:Ferro|Fe]]₂O₃^* | 713 |- | [[w:Manganese|Mn]][[w:Bismuto|Bi]] | 630 |- | [[w:Nichel|Ni]] | 627 |- | [[w:Manganese|Mn]][[w:Antimonio|Sb]] | 587 |- | [[w:Manganese|Mn]]O[[w:Ferro|Fe]]₂O₃^* | 573 |- | [[w:Ittrio|Y₃Fe₅O₁₂]]^* | 560 |- | [[w:Cromo|Cr]]O₂ | 386 |- | [[w:Manganese|Mn]][[w:Arsenico|As]] | 318 |} Le sostanze ferromagnetiche presentano proprietà magnetiche profondamente differenti rispetto ai materiali diamagnetici e paramagnetici. Le definizioni dei vettori <math>\vec B\ </math>, <math>\vec H\ </math> e <math>\vec M\ </math> restano valide anche in questi materiali, così come rimane valida la relazione: :<math>\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)\ </math> Tuttavia, nei materiali ferromagnetici il legame tra tali grandezze è molto più complesso. In generale i vettori <math>\vec B\ </math>, <math>\vec H\ </math> e <math>\vec M\ </math> non sono semplicemente proporzionali e possono anche non risultare paralleli tra loro. Le equazioni di Maxwell e le condizioni al contorno della magnetostatica mantengono comunque la loro validità formale. Nei ferromagneti la suscettività magnetica non è costante, ma dipende dal valore locale del campo magnetico e dalla storia precedente del materiale. Essa può assumere valori enormi, anche dell’ordine di: :<math>\chi_m \sim 10^6\ </math> per alcune leghe ferromagnetiche. Sono materiali ferromagnetici il [[w:Ferro|ferro]], il [[w:Cobalto|cobalto]], il [[w:Nichel|nichel]], numerosi [[w:Metallo_di_transizione|metalli di transizione]] e molte loro leghe e composti intermetallici. L’ordinamento ferromagnetico esiste soltanto al di sotto di una temperatura caratteristica detta [[w:Punto di Curie|temperatura di Curie]]. Al di sopra di tale temperatura l’agitazione termica distrugge l’allineamento spontaneo dei momenti magnetici microscopici e il materiale perde il comportamento ferromagnetico, assumendo generalmente proprietà paramagnetiche. La temperatura di Curie dipende dal materiale e raramente supera qualche migliaio di kelvin, come mostrato nella tabella precedente. I materiali ferromagnetici non presentano una relazione lineare tra magnetizzazione e campo magnetico applicato. Il loro comportamento è descritto dal cosiddetto '''ciclo di isteresi''', che rappresenta una delle proprietà fondamentali del ferromagnetismo. [[Immagine:Magnetic_hysteresis.png|thumb|350px|left|Curva di isteresi di un tipico materiale ferromagnetico.]] Nel ciclo di isteresi si riporta generalmente sull’asse orizzontale il campo magnetizzante applicato <math>\vec H\ </math> e sull’asse verticale l’induzione magnetica <math>\vec B\ </math> oppure la magnetizzazione <math>\vec M\ </math>. Supponiamo di partire da un campione inizialmente smagnetizzato e a temperatura superiore alla temperatura di Curie. Raffreddando il materiale e applicando un campo magnetico esterno crescente, si osserva inizialmente una regione quasi lineare in cui: :<math>\vec B \propto \vec H\ </math> Se il campo viene annullato in questa regione, il materiale ritorna praticamente nello stato iniziale. Aumentando ulteriormente il campo, la magnetizzazione cresce rapidamente fino a raggiungere una situazione di quasi completo allineamento dei dipoli magnetici microscopici. Si parla allora di '''saturazione magnetica'''. In questa regione la curva tende a diventare quasi orizzontale. Quando il campo applicato viene riportato a zero, il materiale conserva una magnetizzazione residua. Il valore corrispondente dell’induzione magnetica prende il nome di '''induzione residua''': :<math>B_r\ </math> Per annullare tale magnetizzazione residua è necessario applicare un campo magnetico opposto, detto [[w:Coercitività|campo coercitivo]]: :<math>H_c\ </math> Se il campo inverso continua ad aumentare, il materiale raggiunge una nuova saturazione con verso opposto, completando così il ciclo di isteresi. [[Immagine:B-H_loop.png|thumb|300px|right|Possibili cicli di isteresi di materiali ferromagnetici.]] La presenza dell’isteresi mostra che la magnetizzazione non dipende soltanto dal valore istantaneo del campo applicato, ma anche dalla storia magnetica del materiale. Questo comportamento è analogo, dal punto di vista qualitativo, ai fenomeni di isteresi meccanica osservati nella deformazione plastica dei materiali. I materiali ferromagnetici hanno un’enorme importanza tecnologica. I [[w:Magnete_permanente|magneti permanenti]] sono costituiti da materiali con un ciclo di isteresi molto ampio: una volta magnetizzati, risultano difficili da smagnetizzare mediante campi esterni. Le memorie magnetiche, come gli [[w:Hard_disk|hard disk]], sfruttano invece l’inversione locale della magnetizzazione per immagazzinare informazioni. In questi dispositivi il ciclo di isteresi deve essere sufficientemente ampio da garantire stabilità ai dati, ma non troppo grande, in modo da permettere la scrittura delle informazioni mediante campi magnetici relativamente modesti. Esistono infine i cosiddetti '''materiali ferromagnetici dolci''', caratterizzati da un ciclo di isteresi molto stretto. In essi piccole variazioni del campo magnetizzante producono grandi variazioni dell’induzione magnetica. Tali materiali vengono utilizzati negli [[w:Elettromagnete|elettromagneti]], nei nuclei dei [[w:Trasformatore|trasformatori]] e in numerosi dispositivi elettrici ed elettronici. === I circuiti magnetici === [[Immagine:Fields_bar_magnet_correct.png|thumb|300px|left|Visualizzazione delle linee del campo di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> di una sbarretta magnetizzata con <math>\vec M\ </math> uniforme nel suo interno.]] Nei magneti permanenti la magnetizzazione esiste indipendentemente dal campo magnetico <math>\vec H\ </math> esterno. Cioè una volta magnetizzato in qualche maniera rimane una Magnetizzazione residua. L'esempio in figura chiarisce quanto sia complicato il comportamento di un semplice magnete cioè una barretta di materiale ferromagnetico magnetizzato in maniera permanente. Immaginiamo di avere un magnete permanente con forma di sbarretta e in figura è mostrata la sezione. La magnetizzazione supposta uniforme è disegnata in blu. Le linee del campo di <math>\vec B\ </math> (in rosso) sono continue, formano spire chiuse che circondano il magnete e sono simili a quelle prodotte da un solenoide equivalente disegnato sul bordo. Mentre le linee del campo di <math>\vec H\ </math> (in verde) hanno il comportamento simile al campo elettrico prodotto da un dipolo elettrico (agli estremi del magnete) si invertono di direzione passando per le basi del magnete e sono discontinue. Notiamo che mentre i campi <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli nel vuoto, all'interno del magnete sono antiparalleli, infatti deve essere verificata da una parte la condizione che non essendoci correnti impresse: :<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= 0\ </math> Per questa ragione la direzione di <math>\vec H\ </math> cambia andando da fuori a dentro il magnete dalle basi. In ogni caso il campo <math>\vec B\ </math> ha un comportamento molto simile a quello di un solenoide di stessa lunghezza e stesso momento di dipolo. Sulle basi vale la condizione di continuità: :<math>B_{n,ferromagnete}=B_{n,vuoto}\ </math> [[Immagine:Flux_circular_core.svg|thumb|300px|right|Anello ferromagnetico.]] In realtà è più facile studiare un più semplice circuito magnetico come quello rappresentato in figura: un [[w:Toro_(geometria)|toro]] o se si vuole un anello pieno di materiale ferromagnetico su cui sono avvolte N spire e in cui scorre una corrente <math>I\ </math> costante. Chiamiamo <math>\ell\ </math> la lunghezza media del perimetro del toro ed <math>S\ </math> la sua sezione. La prima osservazione che in questo caso le direzioni di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono dovunque le stesse e entrambi i campi sono confinati all'interno del ferromagnete. Possiamo considerare una linea chiusa all'interno dell'anello (rappresentata dalle linee rosse in figura) facendo la circuitazione del campo magnetico su tale si ha che: :<math>\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= NI\ </math> ma anche per una qualsiasi superficie chiusa che tagli l'anello: :<math>\int_{Schiusa} \vec B\cdot \overrightarrow{dS}=0\ </math> Poiché il flusso sulla superficie esterna di tale superficie è nullo, si ha che il flusso magnetico è eguale in tutte le sezioni dell'anello. Il comportamento del flusso magnetico è analogo al comportamento della corrente elettrica nei rami dei circuiti. Infatti se l'anello non fosse a sezione costante, mentre il campo sarebbe più intenso nelle strozzature, il flusso di B conserverebbe lo stesso valore. Quindi possiamo esplicitare la circuitazione di <math>\vec H\ </math>: :<math>NI=\oint_{\ell}\vec H \cdot \overrightarrow{d\ell}= \oint_{\ell}\frac {\vec B}{\mu_o \mu_r}\cdot \overrightarrow{d\ell}= \Phi \oint_{\ell}\frac {d\ell}{\mu_o \mu_rS}=\ </math> La <math>\mu_r\ </math> rappresenta la costante di proporzionalità tra i due vettori <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math>, non è in genere una costante in quanto dipende a causa della istericità della relazione tra <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> anche dalla storia del materiale: ma in ogni caso all'interno <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono paralleli e quindi i vettori sono proporzionali. In ogni caso per i materiali ferromagnetici <math>\mu_r\ </math> è molto maggiore dell'unità. In questo caso specifico: :<math>NI=\Phi \frac{\ell}{\mu_o \mu_rS}\ </math> La costante di proporzionalità tra flusso e NI è detta riluttanza, molto simile alla resistenza elettrica: :<math>\R=\frac{\ell}{\mu_o \mu_rS}\ </math> Notiamo che se la sezione non fosse costante avremmo sempre una relazione di proporzionalità tra flusso e NI ma le riluttanza sarebbe: :<math>\R=\oint_{\ell}\frac {d\ell}{\mu_o \mu_r(l)S(l)}\ </math> Tale legge che afferma la proporzionalità tra flusso e NI è simile alla legge di Ohm generalizzata e viene detta [[w:Circuito_magnetico#Legge_di_Hopkinson|legge di Hopkinson]]. In tale legge <math>NI\ </math> è l'equivalente ad un generatore di f.e.m., mentre <math>\Phi\ </math> è l'equivalente della corrente nella legge di Ohm generalizzata. [[Immagine:Electromagnet_with_air_gap_and_magnetic_circuit_equivalent.png|thumb|400px|right|Elettromagnete con un traferro e circuito elettrico equivalente.]] La riluttanza ha le stesse proprietà della resistenza per cui riluttanze in serie si ha che la riluttanza equivalente vale: :<math>\R_{S}=\sum \R_{i}\ </math> Mentre per quelle in parallelo: :<math>\frac 1{\R_{p}}=\frac 1{\sum \R_{i}}\ </math> Anche l'aria se limitata allo spazio di un traferro (G), piccola interruzione in aria del circuito magnetico, come mostrato nella figura accanto ha la sua riluttanza (molto elevata) ma pari a: :<math>\R_{G}=\frac{d}{\mu_o S}\ </math> Quindi aprire uno piccolo taglio in un circuito magnetico corrisponde ad aumentare di molto la riluttanza, riducendo grandemente il campo magnetico prodotto. Nella figura accanto è mostrato anche il circuito equivalente elettrico del circuito magnetico. Essendoci due traferri ciascuno è indicato con il suo <math>\R_{G}\ </math>, mentre la riluttanza totale del circuito ferromagnetico vale <math>\R_{c}\ </math>, mentre è stato indicato con <math>F\ </math> il generatore di f.e.m. equivalente: NI. La riluttanza ha le dimensioni di un inverso di una [[Fisica_classica/Induzione_e_legge_di_Faraday#Induttanza|induttanza]] (che viene introdotta in seguito) e infatti si misura in <math>H^{-1}\ </math>. Ma se conosciamo la riluttanza di un circuito magnetico in cui sono avvolte N spire il legame tra induttanza e riluttanza è: :<math>L=\frac {N^2}{\R_{G}}\ </math> ==Diamagnetismo== Si chiama diamagnetismo la proprietà di alcune sostanze di essere respinte dal campo magnetico. Il fatto che vengono respinte dipende dal fatto che la magnetizzazione <math>\vec M\ </math> che si crea all'interno del materiale si oppone al vettore campo magnetico <math>\vec H\ </math> applicato dall'esterno. In ogni caso suscettività, <math>\chi\ </math> è molto piccola, il massimo valore si ha nel [[w:Bismuto|Bismuto]] in cui <math>\chi_{Bi}=-0.00017\ </math>. {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width:200px;text-align: center;float:right;" |+Alcune sostanze diamagnetiche |- ! Sostanza ! Suscettività <math>\chi\ </math> |- | Idrogeno | <math>-2.3\cdot 10^{-9} \ </math> |- | Acqua | <math>-9.1\cdot 10^{-6} \ </math> |- | [[w:Rame|Rame]] | <math>-9.7\cdot 10^{-6} \ </math> |- | [[w:Piombo|Piombo]] | <math>-1.6\cdot 10^{-5} \ </math> |- | [[w:Mercurio|Mercurio]] | <math>-2.1\cdot 10^{-5} \ </math> |- | [[w:Bismuto|Bismuto]] | <math>-1.7\cdot 10^{-4} \ </math> |- |} [[File:Präzession2.png|thumb|170px|Moto di precessione di un elettrone. La freccia più grande indica il campo magnetico esterno, mentre il la freccia piccola è la normale al piano.]] Una spiegazione classica, è che l'applicazione del campo <math>\vec B\ </math> fa sì che sugli elettroni del materiale, che si muovono da un punto di vista classico in orbite circolari intorno al nucleo, agisca un momento della forza che determina una [[w:Precessione|precessione]] del piano (freccia piccola della figura) del loro moto di rotazione intorno alla direzione del campo (freccia grande della figura). Un elettrone in moto nella sua orbita equivale ad una corrente media di valore: :<math>I=\frac {e\omega_o}{2\pi}\ </math> in verso contrario al moto (l'elettrone ha una carica negativa), avendo indicato con <math>\omega_o\ </math> la velocità angolare. Il momento di dipolo magnetico di questa spira di corrente è: :<math>\vec m=-\frac {e}{2\pi}\pi r^2\omega_o\hat n=-\frac {er^2}{2}\omega_o\hat n=-\frac {e}{2m_e}\vec L\ </math> Dove <math>\vec L\ </math> è il momento angolare dell'elettrone. Il [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Azione_del_campo_magnetico_su_circuiti_percorsi_da_corrente|momento della forza]] che agisce su un momento di dipolo magnetico (si usa il simbolo <math>\vec \tau\ </math> per il momento della forza per evitare confusione) vale: :<math>\vec \tau=\vec m \times \vec B\ </math> Quindi applicando la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]] della meccanica: :<math>\vec \tau=\frac {d\vec L}{dt}=\vec m \times \vec B=\frac {e}{2m_e}\vec B \times \vec L \ </math> Questa equazione descrive quello che si chiama un moto di [[w:Precessione|precessione]], che formalmente non differisce molto da quanto descritto dsl moto di un vettore in [[Fisica_classica/Cinematica#Velocit.C3.A0_angolare_-_Notazione_vettoriale|notazione vettoriale]]: :<math>\frac {d\vec r}{dt} = \vec \omega \times \vec r</math> Questa equazione descrive in effetti la rotazione di <math>\vec L\ </math> attorno a <math>\vec B\ </math> alla [[w:Precessione_di_Larmor|frequenza di Larmor]]: :<math>\omega_L=\frac {e}{2m_e}|\vec B| \ </math> Per valori del campo possibili da raggiungere sulla terra si ha che <math>\omega_L\ll \omega_o \ </math>. Il fenomeno della precessione è del tutto generale e quindi tutte le sostanze in qualche misura sono diamagnetiche. Normalmente gli atomi hanno orientamento casuale e quindi il loro momento magnetico è nullo. Se però si applica un campo esterno tutti gli elettroni orbitanti, indipendentemente dal loro momento magnetico, compiono lo stesso moto di precessione da cui deriva la magnetizzazione che riduce il campo all'interno del materiale. Il fenomeno non dipende dalla temperatura. Non esiste un equivalente elettrostatico al diamagnetismo. Per spiegare in maniera rigorosa il fenomeno bisogna fare ricorso alla meccanica quantistica. ==Paramagnetismo== [[Image:Paramagnetic probe without magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in maniera casuale.]] [[Image:Paramagnetic probe with weak magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in debole campo magnetico.]] {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width:250px;text-align: left;float:left;" |+Alcune sostanze paramagnetiche |- ! Sostanza ! Suscettività <math>\chi\ </math> |- | Ossigeno liquido | <math>3.46\cdot 10^{-3} \ </math> |- | [[w:Palladio|Palladio]] | <math>8\cdot 10^{-4} \ </math> |- | [[w:Platino|Rame]] | <math>2.1\cdot 10^{-5} \ </math> |- | Aria | <math>4\cdot 10^{-7} \ </math> |- |} [[Image:Paramagnetic probe with strong magnetic field.svg|thumb|Semplice illustrazione di un materiale paramagnetico fatto di minuscoli magneti permanenti orientati in forte campo magnetico.]] Il paramagnetismo è l'equivalente magnetostatico della [[Fisica_classica/Dielettrici#Polarizzazione_per_orientamento|polarizzazione per orientamento]]. Poiché la differenza di energia tra un dipolo magnetico allineato o in direzione opposta ad un campo magnetico è pari a: :<math>\Delta E=2|\vec m||\vec B|\ </math> Tale energia anche se <math>|\vec m|\ </math> ha un valore, relativamente grande (molti magnetoni di Bohr), e <math>|\vec B|\ </math> è molto intenso (qualche Tesla) è di gran lunga inferiore alla energia dovuta alla agitazione termica <math>k_BT\ </math> (a temperatura ambiente). Via via che diminuisce la temperatura cresce il potere allineante dei campi esterni ed a temperature molto basse si può avere che un numero significativo di dipoli è orientato nella direzione del campo, quasi indipendentemente dalla sua intensità, si raggiunge cioè una specie di saturazione. Tale saturazione non si trova nelle sostanze dielettriche che anche se hanno un momento di dipolo elettrico intrinseco elevato, la differenza di energia tra un dipolo elettrico allineato o in direzione opposta ad un campo elettrico vale <math>\Delta E=2|\vec p||\vec E|\ </math> ed in genere molto inferiore a quella dei dipoli magnetici a temperatura ambiente, per cui i materiali dielettrici non presentano a bassa temperatura il fenomeno della saturazione. In genere la suscettività magnetica è dell'ordine di 10⁻³ a 10⁻⁵ per la maggior parte delle sostanze paramagnetiche come appare dalla tabella, ma può essere anche 10⁻¹ per sostanze paramagnetiche sintetiche come i [[w:Ferrofluido|ferrofluidi]]. Molti atomi hanno un numero dispari di elettroni e importanti asimmetrie nella struttura elettronica. Poiché ad un orbitale da un punto di vista classico corrisponde una corrente circolante e quindi un momento magnetico. Se un atomo ha un numero dispari di elettroni ha un momento magnetico orbitale. La cosa è più complicata in quanto oltre al momento orbitale, vi è momento magnetico intrinseco associato all'elettrone stesso dovuto alla quantizzazione del momento angolare ([[w:Spin|spin]]). Il momento magnetico degli atomi dovuto al momento angolare orbitale o allo spin degli elettroni sono trattati nella meccanica quantistica: ma vale la pena di accennare che il loro ordine di grandezza è dell'ordine del cosiddetto [[w:Magnetone_di_Bohr|magnetone di Bohr]] :<math>\mu_B=\frac {eh}{4\pi m_e}\approx 9.27\cdot 10^{-24}\ J/T \ </math> che è definito a partire da grandezze fondamentali (massa e carica dell'elettrone, costante di Planck). Il magnetone di Bohr dà l'ordine di grandezza dei momenti magnetici orbitali o intrinseci degli elettroni. Quindi gli atomi, che non hanno mai un dipolo elettrico, possono avere un dipolo magnetico <math>n_B\mu_B \ </math>, introducendo una grandezza adimensionale <math>n_B \ </math> che rappresenta il numero di magnetoni di Bohr dell'atomo considerato; un numero che si discosta di poco dall'unità, infatti <math>n_B \ </math> al massimo vale 10.5 per un metallo delle terre rare il [[w:Disprosio|Disprosio]]. Se non vi è nessun campo magnetico i singoli dipoli sono orientati casualmente e il momento totale del sistema macroscopico è nullo. Se è presente un campo magnetico esterno, i momenti di dipolo magnetico si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero come mostrato nella figura. Se l'intensità del campo magnetico è bassa la differenza di energia tra un dipolo orientato nella direzione del campo magnetico o nella direzione opposta <math>DU=2n_B\mu_B|B| \ </math> è molto più bassa alla energia media termica <math>k_BT\ </math>. Il momento di dipolo medio dipende dall'intensità del campo, ma solo una piccola percentuale si orienta nella direzione del campo (come mostrato nella seconda figura). Ma aumentando il campo sempre più dipoli si allineeranno con il campo, ma il numero disposti casualmente continua a rimanere molto elevato. Il calcolo analitico va fatto considerando la [[w:Distribuzione di Boltzmann|distribuzione di Boltzmann]], ed è un tipico calcolo di [[w:Meccanica_statistica|meccanica statistica]] con tale calcolo si dimostra che: :<math>\langle \vec m \rangle = n_B^2\frac {\mu_{B}^{2} \vec B} {3k_BT}\ </math> dove <math>k_B\ </math> è la [[w:costante di Boltzmann|costante di Boltzmann]], <math>T\ </math> è la temperatura assoluta. Ma mentre un dipolo elettrico orientandosi nel campo elettrico ne riduce l'intensità, un dipolo magnetico, non essendo costituito da due monopoli magnetici, aumenta l'intensità del campo magnetico per questo la suscettività magnetica dei materiali paramagnetici è maggiore di 1. Poiché la magnetizzazione è proporzionale alla densità del materiale e al momento di dipolo magnetico medio dei singolo atomi segue che la suscettività magnetica della sostanze paramagnetiche è una funzione della temperatura: :<math>\chi = \frac {C}T\ </math> Questa legge viene detta [[w:Legge_di_Curie| di Curie]]. La costante <math>C=nn_B^2\mu_B^2/(3k_B)\ </math> è detta costante di Curie, ( <math>n\ </math> è il numero di atomi paramagnetici per unità di volume). Ma al contrario della polarizzabilità, la magnetizzazione di sostanze paramagnetiche può manifestare fenomeni di saturazione quando, come succede a bassa temperatura, <math>n_B\mu_B|B|\ </math> (energia necessaria ad allineare i dipoli magnetici) diventa dello stesso ordine di grandezza di <math>k_BT \ </math> (l'energia media termica). Cioè avviene un fenomeno simile a quanto mostrato nell'ultima figura. La Magnetizzazione raggiunge un valore di saturazione non è più linearmente dipendente dal campo magnetico. Questo effetto viene utilizzato per raggiungere temperature molto basse con criostati a [[w:Demagnetizzazione_adiabatica|demagnetizzazione adiabatica]]. == I [[w:Superconduttore|superconduttori]] == I superconduttori, sono dei solidi che in genere funzionano a temperature molto basse, oltre ad avere una resistenza elettrica nulla, godono della proprietà di essere dei diamagneti perfetti cioè <math>\vec B=0\ </math> al loro interno (i superconduttori sono per il campo magnetico l'analogo dei conduttori per il campo elettrico): con essi si realizzano degli schermi magnetici perfetti (con una forte analogia con le gabbie di Faraday per quanto riguarda i campi elettrici). La spiegazione del loro comportamento è troppo complicata per descriverli in un corso di fisica classica. == Riepilogo proprietà elettriche e magnetiche == {| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;width: auto;text-align: center;" |+Riepilogo corrispondenze (differenze e analogie) elettrostatica e magnetostatica |- ! Elettrostatica ! Magnetostatica |- | Campo elettrico <math>\vec E\ </math> | Induzione magnetica <math>\vec B\ </math> |- | costante dielettrica del vuoto <math>\varepsilon_o\ </math> | permeabilità del vuoto <math>\mu_o\ </math> |- | Dipolo elettrico <math>\vec p\ </math> | Dipolo magnetico <math>\vec m\ </math> |- | Densità di carica volumetrica <math>\rho\ </math> | Densità di corrente <math>\vec J\ </math> |- | <math>\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math> | <math>\vec \nabla \times \vec B=\mu_o\vec J\ </math> |- | <math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math> | <math>\vec \nabla \cdot \vec B=0\ </math> |- | Densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math> | Densità di corrente per unità di lunghezza <math>\vec J_l\ </math> |- | Campo elettrico in un condensatore a facce piane e parallele <math>\vec E=\frac {\sigma}{\varepsilon_o}\hat n\ </math> | Campo di induzione magnetica in un solenoide ideale <math>\vec B=\mu_o\hat r \times \vec J_l\ </math> |- | costante dielettrica relativa: <math>\varepsilon_r\ </math> | permeabilità relativa: <math>\mu_r\ </math> |- | Polarizzazione: <math>\vec P\ </math> | Magnetizzazione: <math>\vec M\ </math> |- | Densità volumetrica di polarizzazione: <math>\rho_{pol}=-\vec \nabla \cdot \vec P\ </math>, | Densità di corrente di magnetizzazione: <math>\vec J_{mv}=\vec \nabla \times \vec M </math> |- | Spostamento elettrico <math>\vec D\ </math>; <math>\vec D=\varepsilon_o\vec E+\vec P\ </math> | Campo magnetico: <math>\vec H=\frac {\vec B}{\mu_o}-\vec M\ </math> |- | Suscettività elettrica <math>\chi=\varepsilon_r-1\ </math>, <math>\vec P=\varepsilon_o\chi \vec E\ </math> | Suscettività magnetica <math>\chi=\mu_r-1\ </math>, <math>\vec M=\chi \vec H\ </math> |- | <math>\vec \nabla \cdot \vec D=\rho_{lib}\ </math> | <math>\vec \nabla \times \vec H=\vec J_i\ </math> |- | Densità superficiale di polarizzazione <math>\sigma_{pol}\ </math> | Densità lineare di corrente di magnetizzazione <math>\vec J_{ml}\ </math> |- | passaggio tra due dielettrici <math>E_{t1}=E_{t2}\ </math>, <math>D_{n1}=D_{n2}\ </math> | passaggio tra due materiali magnetici <math>H_{t1}=H_{t2}\ </math>, <math>B_{n1}=B_{n2}\ </math> |- | Resistenza <math>R= \int_L\frac {\rho(\ell) d\ell}{S(\ell)}\ </math> | Riluttanza <math>\R=\int_L\frac {d\ell}{\mu_o \mu_r (\ell) S(\ell)}\ </math> |- | Legge di Ohm generalizzata <math>f.e.m=IR\ </math> | Legge di Hopkins <math>NI=\Phi \R \ </math> |- |} ==Note== <references /> == Bibliografia == * {{cita libro | cognome= Mencuccini| nome= Corrado |autore2=Vittorio Silvestrini | titolo= Fisica II| editore= Liguori Editore | città= Napoli| anno=2010 |cid= mencuccini |isbn= 978-88-207-1633-2}} [[Fisica_classica/Induzione e legge di Faraday| Argomento seguente: Induzione e legge di Faraday]] [[Categoria:Fisica classica|Magnetismo della materia]] {{Avanzamento|100%|23 novembre 2015}} 1mis83jhc9kbqityfh64zniiwqsl145 0 20010 498269 439156 2026-05-23T09:37:35Z Pasquale.Carelli 528 Posizione di due figure iniziali 498269 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Magnetismo_della_materia |CapitoloSuccessivo=Correnti alternate |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Correnti_alternate }} {{fisica classica}} Questa legge ha rappresentato la vera svolta dell'elettromagnetismo nello sviluppo della società industriale e indica il legame forte esistente tra campi elettrici e magnetici. Per descriverla con compiutezza bisogna fare delle premesse basate su quanto già detto in precedenza. Il flusso di induzione magnetica attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre eguale a zero, in quanto non vi sono monopoli magnetici. Possiamo quindi considerare una qualsiasi linea chiusa dello spazio e associare ad essa una superficie che abbia tale linea come contorno, il flusso attraverso tale superficie è lo stesso qualsiasi superficie si consideri. Un circuito composto da <math>N\ </math> spire ha come contorno una linea chiusa dello spazio, ma in realtà il flusso del campo di induzione magnetica è <math>N\ </math> volte il flusso associato alla linea chiusa considerato: tale flusso viene chiamato flusso concatenato al circuito considerato. Si deve a [[w:Michael_Faraday|Faraday]] nel 1831 la scoperta che se si ha una variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con un circuito <math> \Phi_B\ </math> si ha una f.e.m. secondo la relazione algebrica: :<math> f.e.m. = - {{d\Phi_B} \over dt}</math>. Nel seguito precisiamo il significato di questa legge di valore fondamentale. Il segno meno il cui significato è spiegato nella cosiddetta legge di Lenz verrà precisato nel seguito. Vari esempi possono essere dati per illustrare quando si verifica una condizione di questo tipo. Tradizionalmente si possono raggruppare i vari casi possibili in varie categorie: ===Due circuiti accoppiati senza parti in movimento=== [[Immagine:Faraday_emf_experiment.svg|thumb|300px|left| Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati senza parti in movimento]] Viene riprodotto uno degli esperimenti originali di Faraday in forma schematica, una batteria alimenta il circuito di sinistra generando una corrente variabile nel tempo. Il circuito di destra ben accoppiato, avvolto sullo stesso toro magnetico, è attraversato da una corrente elettrica, che viene misurata dal [[w:galvanometro|galvanometro]], un strumento che misura la corrente elettrica. Quando nel circuito di sinistra la corrente diviene stazionaria, nessuna corrente viene più misurata dal galvanometro. La corrente circolante nel circuito di destra dipende dalla variazione della corrente in quello di sinistra, cioè tende a contrastare o l'aumento del flusso magnetico concatenato o la diminuzione, questo è evidenziato dal segno della corrente misurata nel galvanometro. In questo che in questo caso non si abbia niente in moto e quindi la legge di Faraday rappresenta una assoluta novità, rispetto a leggi precedenti. Nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#7._Spira_dentro_solenoide|un solenoide con una spira]] viene chiarito questo caso generale. ===Un circuito fisso in un campo magnetico in moto=== [[Immagine:Induction_experiment.png|thumb|400px|left| Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati con una corrente stazionaria nella bobina A (in moto) accoppiata ad una bobina più grande B (fissa) che ha in serie un galvanometro G, a sinistra]] Immaginiamo di avere una piccola bobina A alimentata da un generatore di f.e.m. e accoppiata ad una bobina maggiore B che ha in serie un galavanometro G. Se il circuito A è fermo nessuna corrente viene misurata dal galavanometro. Mentre se viene mosso come mostrato in figura si genera una f.e.m. misurata dal galvanometro, con un verso tale da contrastare la variazione del flusso concatenato. Il caso più banale è quello che la bobine siano solenoidali. Quando il bordo del solenoide A attraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B aumenta e viene indotta una corrente nel solenoide B che contrasta l'aumento del campo. L'ampiezza della corrente indotta dipende dalla velocità e dalla posizione relativa. Infine quando il bordo riattraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B diminuisce e si genera una corrente di segno opposto al caso precedente nel solenoide B per contrastare tale variazione del flusso. La stessa cosa si ottiene con un magnete permanente, che genera un campo non uniforme, che si muova rispetto ad una bobina. Il fatto che il moto sia rettilineo non ha nessuna rilevanza, infatti la stessa cosa l'avremmo anche nel caso di sorgente in moto rotatorio, anzi in questo caso anche una sorgente che sia uniforme spazialmente genererà nella bobina una f.e.m. indotta. L' esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#8._Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira in un campo magnetico ruotante]] chiarisce quanto detto. ===Un circuito in moto in un campo magnetico fisso=== Immaginiamo di avere una sorgente fissa di campo magnetico ed un circuito che si muova rispetto al campo non uniforme. Il moto del circuito lo supponiamo per semplificare la cosa, rettilineo e uniforme. Come si vede è il caso simmetrico rispetto a quello indicato prima: ma dal punto di vista della meccanica classica del tutto equivalente. Infatti entrambi i sistemi sono inerziali e chi si muove rispetto all'altro non cambia. In ogni caso in questo caso la forza di Lorentz giustifica l'apparire di una f.e.m. Supponiamo il circuito quadrato di lato <math>a\ </math> ed il campo perpendicolare al piano del circuito in moto con due lati paralleli alla direzione del moto. Nei due lati perpendicolari alla direzione del moto si genererà una f.e.m. opposta ma non eguale, a causa della uniformità del campo di induzione magnetica. Tale differenza è la causa della f.e.m. indotta. Analogamente, nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Magnetismo#15. Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira in un campo magnetico ruotante]] se facciamo ruotare la spira invece del campo, le equazioni rimangono le stesse come il risultato finale, solo che in questo caso la legge di Faraday si identifica con la Forza di Lorentz. In realtà che un circuito si muova in un campo fisso, o il circuito si muova in un campo fisso rappresentano lo stesso fenomeno ed è la causa di un fenomeno vistoso. ====[[w:Corrente_parassita|Correnti parassite]]==== [[Image:Eddy currents due to magnet.svg|thumb|200px|Correnti parassite ''(<span style="color:red;">I, rosso</span>)'' indotte in una piastra metallica ''(C)'' in movimento verso destra sotto un magnete stazionario ''(N)''. Il campo magnetico ''(<span style="color:green;">B, verde</span>)'' è diretto verso il basso. Le correnti indotte generano un campo magnetico ''(<span style="color:blue;">frecce blu</span>)'' che produce una forza di resistenza che si oppone al moto.]] Le correnti parassite sono causate dal movimento di un conduttore in un campo magnetico. Il moto relativo genera nel conduttore una corrente che può essere anche molto intensa, e quindi produce a sua volta un campo magnetico che tende come vedremo a rallentare la variazione del campo magnetico . La corrente che si sviluppa nel conduttore ha una forma vorticosa perché gli elettroni sono soggetti alla Forza di Lorentz che è perpendicolare alla direzione degli elettroni stessi in movimento. Quindi, essi ruotano alla loro destra, o sinistra, a seconda del senso del campo applicato e della variazione del campo in aumento o in diminuzione. La resistività del conduttore smorza queste correnti. Le correnti parassite generano perdite di energia riscaldando il conduttore per effetto Joule. I [[w:forno a induzione|forni ad induzione]] e i [[w:Freni_magnetici|freni magnetici]] (quelli usati nei treni, sono un esempio dell'applicazioni di tale effetto. Questo fenomeno in molte applicazioni risulta negativo ad esempio nei [[w:Trasformatore|trasformatori]] e nei [[w:Motore elettrico|motori elettrici]] determina una diminuzione dell'efficienza. Le perdite avvengono nei nuclei che in questi dispositivi sono conduttori. Si possono attenuare queste perdite scegliendo un nucleo magnetico che abbia una bassa conducibilità elettrica (ad esempio: [[w:Ferrite|ferriti]], [[w:acciaio al silicio|acciaio al silicio]]) o suddividendo il nucleo magnetico in sottili strati, elettricamente isolati. ===Un circuito di dimensioni variabili in un campo magnetico=== A causa del fatto che uno o più lati del circuito si muovano, si ha che sulle cariche libere di tali lati agisce la forza di Lorentz mutuamente perpendicolare sia al campo che alla direzione del moto; tale forza genera una f.e.m.. Quindi anche in questo caso la legge di Faraday non aggiunge niente rispetto alle leggi del magnetismo. Ma è più facile anche in questo caso trattare il problema, senza fare distinzioni, mediante la legge di Faraday. Questo approccio è seguito nell'esercizio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#1._Una_sbarretta_metallica|una sbarretta metallica]]. ==Legge di [[w:Heinrich_Lenz|Lenz]]== Il verso delle correnti indotte è tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito. Tale legge giustifica fisicamente il segno meno che compare nella legge di Faraday. Infatti la f.e.m. indotta dalla variazione del flusso concatenato è tale da opporsi alla causa che lo ha generato, in maniera che se il flusso magnetico esterno aumenta la corrente circolante tende a rallentare tale incremento, mentre se diminuisce la corrente circolante tende a lasciare immutato il campo magnetico iniziale. La legge è ovviamente in accordo con la conservazione dell'energia, se infatti la legge fosse per assurdo di segno opposto, una piccola variazione del flusso concatenato produrrebbe una maggiore variazione con un effetto moltiplicativo che violerebbe la conservazione dell'energia. ==L'[[w:Alternatore|alternatore]]== Questa è la più importante applicazione della legge di Faraday per lo sviluppo della società industriale . Supponiamo di avere una bobina quadrata realizzata con <math>N\ </math> spire (i ragionamenti in realtà non dipendono dalla forma, ma per semplificazione usiamo la forma quadrata) ed un campo magnetico ruotante (rotore) come in figura. [[File:Alternator_1.svg|thumb|250px|right|Schema di un semplice alternatore con un campo magnetico ruotante (rotore) e una spira fissa (statore), viene anche mostrato la corrente indotta nello statore dal campo magnetico ruotante del rotore.]] A causa della rotazione del campo magnetico il flusso attraverso la bobina varierà in funzione del tempo. Quindi ai capi della bobina si genererà una f.e.m. Se l'area della bobina è <math>S\ </math>, e <math>\theta\ </math> l'angolo compreso tra la normale (<math>\vec n\ </math>) alla bobina e la direzione del campo di induzione magnetica (<math>\vec B\ </math>), il flusso di induzione magnetica concatenato con le <math>N\ </math> spire della bobina vale: :<math>\Phi_c(B)=N\vec B\cdot \vec S=N|B|S\cos \theta\ </math> Se mediante un qualsiasi mezzo propulsivo il rotore viene mantenuto in rotazione con velocità angolare <math>\omega\ </math> costante allora: :<math>\theta=\omega t\ </math> Applicando la legge di Faraday: :<math>f.e.m=N|B|S\omega \sin \omega t\ </math> Cioè ai capi della bobina vi è una d.d.p. che varia con legge sinusoidale nel tempo: questo dispositivo si chiama alternatore o generatore di corrente alternata. Se l'attrito è trascurabile l'energia meccanica utilizzata per mantenere in rotazione a velocità angolare fissa viene integralmente trasformata in energia elettrica dissipata dal carico (un eventuale elemento dissipativo posto ai suoi estremi). Quindi l'alternatore rappresenta il metodo più usato per trasformare energia meccanica in energia elettrica, in corrente alternata, che è comoda da trasportare su grandi distanze. La corrente che circola nel carico (immaginando che sia una semplice resistenza <math>R\ </math>) è semplicemente eguale a: :<math>I=\frac {N|B|S\omega }R\sin \omega t\ </math> [[File:Jeep_2.5_liter_4-cylinder_engine_chromed_e.jpg|thumb|250px|right|L'alternatore di una automobile con la cinghia metallica trascina il rotore]] Nel fare tale ragionamento si è trascurata una proprietà della bobina che viene definita nel seguito: la sua induttanza. Studiamo il bilancio energetico di un sistema di questo genera che produce istantaneamente una potenza elettrica pari a: :<math>P_e=f.e.m.I=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2 \sin^2 \omega t\ </math> Dal punto di vista [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente|meccanico]] sulla spira a causa del fatto che la spira è un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico: :<math>|\vec m|=NIS\ </math> Su di esso agisce una coppia di momento pari a: :<math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math> Che in questo caso specifico, proiettandolo sull'asse <math>z\ </math> di rotazione, vale: :<math>M_z=NIBS\sin \omega t\ </math> La potenza meccanica necessaria a mantenere in rotazione a velocità angolare costante un corpo rigido su cui agisce una coppia è pari secondo la meccanica dei corpi rigidi: :<math>P_m=M_z\omega\ </math> Sostituendo l'espressione di <math>I\ </math> in <math>M_z\ </math> segue che: :<math>P_m=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2\sin^2 \omega t\ </math> Cioè in assenza di attrito tutta l'energia meccanica viene trasferita in energia elettrica. Le centrali elettriche ma anche semplicemente i generatori interni delle automobili producono energia elettrica mediante tale meccanismo di conversione diretta di energia meccanica in energia elettrica. La figura invece mostra l'alternatore tipico di una automobile che trasforma l'energia meccanica in tutta l'utenza elettrica di una automobile, ricaricando le batterie. ==Induttanza== Il flusso concatenato con un circuito e la corrente che in esso circola sono direttamente proporzionali: la costante di proporzionalità viene chiamata induttanza del circuito: <math>L=\frac {\Phi_c(B)}I \ </math> [[Immagine:Simbindu.png|thumb|200px|right| Il simbolo di una induttanza]] 'E una grandezza puramente geometrica connessa con l'area racchiusa da un circuito ed il campo magnetico generato nel complesso quando in detto circuito scorre una corrente elettrica. Il simbolo dell'induttanza è mostrato di lato. Le dimensioni fisiche dell'induttanza sono quelle del rapporto tra un flusso magnetico e una corrente, nel SI si misura in Henry (<math>H\ </math>) <math>[L]=\frac {[B][l^2]}{[I]}=[T][m]^2[A]^{-1}=[H]\ </math> Il simbolo ricorda vagamente la forma di un solenoide, e in particolare nel caso di solenoidi sufficientemente lunghi e compatti, è facile calcolare l'induttanza. Infatti essendo il flusso concatenato di un solenoide di lunghezza <math>l\ </math>, di raggio <math>r\ </math> e con <math>N\ </math> spire, in cui scorre una corrente <math>I\ </math>: <math> \Phi_c(B)=N\mu_{\circ} \frac NlI\pi r^2 \ </math> quindi: <math>L_{solenoide}=\mu_{\circ}\frac {N^2}l\pi r^2\ </math> Il calcolo dell'induttanza per circuiti abbastanza semplici non è in genere facile. Come regola generale se il circuito è fatto di <math>N\ </math> spire che si sovrappongono bene l'induttanza cresce con <math>N^2\ </math>. Quindi per bobine semplici di superficie <math>S\ </math> semplice l'induttanza è circa eguale a: <math>L\approx \mu_{\circ}N^2\sqrt S\ </math> La presenza di materiali ferromagnetici aumenta l'induttanza di molti ordini di grandezza: è facile costruire induttanze di molti Henry. A partire da queste considerazioni, la permeabilità magnetica del vuoto, di cui avevamo dato le dimensioni fisiche a partire dalla formula del campo di induzione magnetica prodotta da un filo rettilineo, può esprimersi in funzione della unità scelta per la induttanza .nel sistema SI divengono adesso: :<math>\mu_{\circ}=4\pi \times 10^{-7}\ H/m\ </math> Per geometrie semplici l'induttanza cresce linearmente con le dimensioni lineari e per spire estremamente vicine con il quadrato del numero delle spire. ==Mutua induttanza== [[File:Mutually_inducting_inductors.PNG|thumb|300px|Simbolo della mutua induttanza di due circuiti, n ed m sono il numero di spire del primario e secondario, mentre i punti indicano che le bobine sono avvolte in maniera concorde ]] Dati due circuiti chiaramente il flusso magnetico dell'uno si concatenerà con l'altro. Il rapporto tra il flusso concatenato su di uno e la corrente che scorre sull'altro viene chiamata mutua induzione. :<math>M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\ </math> Notiamo come la mutua induzione gode della proprietà di reciprocità, cioè la mutua induzione di un primo circuito rispetto ad un secondo è pari alla mutua induzione del secondo sul primo. La dimostrazione si può fare in maniera rigorosa ma richiede di richiamare il collegamento con il [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Potenziale_vettore|potenziale vettore]]: <math>M_{12}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec B_1\cdot \overrightarrow {dS_2}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}\ </math> Per il teorema di Stokes, definendo con <math>l_{2}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{2}\ </math>: <math>\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}=\oint_{l_2}\vec A_1\cdot \overrightarrow {dl_2} </math> Quindi: <math>M_{12}=\frac 1{I_1}\oint_{l_2}\overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dl_2} \ </math> Se chiamiamo <math>l_{1}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{1}\ </math>: <math>\overrightarrow {A_1}=\frac {\mu_o}{4\pi}I_1\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {dl_1}}{|r_{12}|}\ </math> Quindi: <math>M_{12}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_2}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{12}|} \ </math> Ripetendo l'analogo ragionamento per <math>M_{21}\ </math>: <math>M_{21}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_2}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_2}\cdot \overrightarrow {dl_1}}{|r_{21}|} \ </math> Poiché il prodotto scalare come l'integrale di linea non dipendono dall'ordine dei fattori, la mutua induzione tra due circuiti è una grandezza geemetrica unica. Numericamente il calcolo della mutua induzione viene fatto utilizzando la formula data per calcolare la reciprocità tra <math>M_{12}\ </math> ed <math>M_{21}\ </math> Ma anche l'induttanza di un circuito è calcolabile numericamente con una espressione simile: <math>L=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{21}|} \ </math> A causa quindi della reciprocità si ha che: <math>M=M_{12}=M_{21}\ </math> A partire dalla definizione analitica si ha anche che: <math>M=k\sqrt{L_1L_2}\ </math> Definendo <math>0\le k\le 1\ </math> la costante di accoppiamento tra i due circuiti. Due esempi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#2._Mutua_induzione_tra_spire_quadrate|Mutua induzione tra due spire quadrate]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#6._Due_spire|Due spire]] possono aiutare a capire i concetti espressi. ==Cenno sui [[w:Trasformatore|trasformatori]]== [[File:Single-phase transformer.svg|thumb|left|300px|Schema di principio di un toro di materiale ferromagnetico con due avvolgimenti: un tipico trasformatore]] [[File:Transformer Iron Core.svg|thumb|150px|Simbolo circuitale del trasformatore]] In un toro di materiale ferromagnetico di sezione costante <math>S\ </math> e lunghezza media <math>l\ </math> con permeabilità magnetica <math>\mu_r\ </math> su cui sono avvolte <math>N\ </math> spire tutto il flusso rimane confinato nell'interno del toro ed utilizzando il teorema della circuitazione di Ampere, si trova che il campo di induzione magnetica vale all'interno del toro: <math>B=\mu_o\mu_r \frac {NI}l\ </math> e di conseguenza l'induttanza vale: <math>L=\mu_o \mu_r N^2 \frac Sl\ </math> Se i circuiti avvolti sono due con <math>N_1\ </math> ed <math>N_2\ </math> spire, l'accoppiamento tra i circuiti è il massimo possibile e di conseguenza la mutua induzione vale: <math>M=\mu_o \mu_r N_1N_2 \frac Sl\ </math> I circuiti di questo tipo sono alla base di quelli che vengono chiamati i trasformatori. Il trasformatore ha un interesse importante in e per questa ragione vengono descritti con [[Fisica_classica/Correnti_alternate#Il_trasformatore|maggiore dettaglio]] nel prossimo capitolo ==Transitori induttivi== [[Immagine:Transitorio_induttivo_a.png|thumb|300px|right| Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza]] L'introduzione dell'induttanza ci permette di calcolare la f.e.m. indotta da variazioni di flusso concatenate con circuiti percorsi da corrente elettrica variabile nel tempo. Immaginiamo di avere un generatore di f.e.m che viene connesso ad una resistenza in serie con una induttanza mediante l'interruttore mostrato in figura. La legge di Faraday si riduce nel caso di una induttanza all'espressione: <math>f_a=-\frac {d\Phi_c(B)}{dt}=-L\frac {dI}{dt}\ </math> Dove il pedice <math>a\ </math> sta a indicare che si tratta di forza elettromotrice autoindotta che tende a impedire le variazioni di correnti al suo interno. Nel caso specifico abbiamo introdotto una resistenza <math>R\ </math> in serie che tiene conto della eventuale resistenza interna del generatore, dell'induttanza (sono entrambe in serie) o una resistenza esterna. L'equazione della maglia nel tempo del circuito deve tenere conto che agisce non solo il generatore di forza elettromotrice <math>f\ </math>, ma anche la forza elettromotrice autoindotta <math>f_a\ </math>: <math>f+f_a=RI\ </math> Sostituendo i vari termini: <math>RI=f-L\frac {dI}{dt}\ </math> da cui separando le variabili <math>\frac {dI}{I-f/R}=-\frac RL dt\ </math> definendo <math>\tau=L/R\ </math>, e integrando tra il tempo <math>t=0\ </math> in cui la corrente è nulla ed il tempo generico segue che: <math>\ln \frac {I(t)-f/R}{-f/R}=-\frac t{\tau}\ </math> che diventa: <math>I=\frac fR(1-e^{-t/\tau})\ </math> [[Immagine:Transitorio_induttivo_b.png|thumb|300px|right| Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza con in parallelo una resistenza grande]] Il significato della equazione è che a causa della <math>f_a\ </math> in un circuito la corrente non raggiunge istantaneamente il valore <math>f/R\ </math>, ma si avvicina asintoticamente con una costante di tempo <math>L/R\ </math>. Il termine <math>-L\frac {dI}{dt}\ </math> dovuto alla legge di Faraday, viene nella maggior parte dei casi considerato una ulteriore d.d.p. e quindi aggiunta con il segno opposto dall'altro lato della equazione. Questo approccio verrà seguito nel seguito, anche se porta a qualche contraddizione. Per far vedere il caso opposto, e rendere l'esempio fisicamente credibile dobbiamo considerare un caso sostanzialmente simile a quello descritto illustrato nella figura a fianco. Immaginiamo grande la resistenza in parallelo all'induttanza (questo significa <math>\alpha\gg 1</math>. Secondo questa ipotesi il sistema non è molto differente dal precedente, infatti ai capi dell'induttanza il circuito è equivalente utilizzando il [[Fisica_classica/Elettrodinamica#Teorema_di_Thevenin|Teorema di Thevenin]], e considerando che <math>\alpha\gg 1</math> a: <math>R_{th}=R\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx R\ </math> <math>f_{th}=f\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx f\ </math> Quindi se partiamo dalla condizione iniziale illustrata con l'interruttore chiuso (avendo aspettato un tempo sufficientemente lungo), la corrente che inizialmente scorre nell'induttanza diviene: <math>I_o\approx \frac fR\ </math> Mentre la d.d.p. ai capi di <math>\alpha R\ </math> sarà nulla. Se a questo punto apriamo l'interruttore avremo la seguente equazione che descrive la maglia: <math>-L\frac {dI}{dt}=\alpha RI\ </math> da cui separando le variabili <math>\frac {dI}{I}=-\frac {\alpha R}L dt\ </math> Se ora definiamo <math>\tau =\frac L{\alpha R}\ </math> ed integriamo (cambiando il nome delle variabili): <math>\int_{I_o}^I\frac {dI'}{I'}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau}\ </math> Da cui: <math>I(t)=I_oe^{-t/\tau }\ </math> La tensione ai capi della resistenza (di polarità opposta a quando è collegato al generatore di f.e.m. diventa: <math>V(t)=I_o\alpha R e^{-t/\tau }\approx \alpha fe^{-t/\tau }\ </math> Alcuni esempi permettono di comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#3._Induttanza_con_2_resistenze|induttanza e due resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#4._Induttanza_con_3_resistenze|induttanza e tre resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#5._Spira_e_solenoide|spira tonda e solenoide]] ==Energia magnetica== Il fenomeno della iniezione di corrente su una induttanza con una resistenza in serie da parte di un generatore di f.e.m. possiamo esaminarlo dal punto di vista del generatore riscrivendo l'equazione del transitori vista precedentemente come: :<math>f=RI+L\frac {dI}{dt}\ </math> Moltiplicando tutti i termini per la corrente che istantaneamente scorre nella maglia: :<math>fI=RI^2+LI\frac {dI}{dt}\ </math> Quindi integrando nel tempo i vari termini: :<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+\int_0^tLI\frac {dI}{dt}dt'\ </math> :<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+L\int_0^ILI'dI'\ </math> abbiamo da una parte l'energia totale formata dal generatore e dall'altra due termini, il primo l'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza e il secondo: :<math>E_L=L\int_0^ILI'dI'=\frac 12 LI^2\ </math> è un termine che qui viene definito per la prima volta l'energia immagazzinata nell'induttanza. Tale energia viene accumulata sotto forma di energia magnetica, come si può far vedere nel caso più generale. Consideriamo due casi: un solenoide ideale, un toro di materiale ferromagnetico ===Solenoide=== In un solenoide molto lungo e compatto l'induttanza vale: :<math>L=N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l </math> Dove <math>N\ </math> è il numero di spire, <math>r\ </math> il raggio, ed <math>l\ </math> la lunghezza. :<math>E_L=\frac 12 N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l I^2\ </math> Ma in un solenoide: :<math>B=\mu_o \frac {N}l I </math> Per cui si può riscrivere l'equazione precedente come: :<math>E_L=\frac 1{2 \mu_o}B^2l\pi r^2\ </math> Ma <math>l\pi r^2\ </math> è il volume racchiuso dal solenoide in cui il campo magnetico è costante, quindi l'energia immagazzinata nel campo magnetico per unità di volume vale: :<math>u_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\ </math> ===Un toro ferromagnetico=== Una induttanza costituita N spire e in cui scorre una corrente <math>I\ </math> avvolte su un toro ferromagnetico di sezione costante il più semplice [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia#I_circuiti_magnetici|circuito magnetico]]. Chiamiamo <math>\ell\ </math> la lunghezza media del perimetro del toro ed <math>S\ </math> la sua sezione. Le direzioni di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono dovunque le stesse e quindi possiamo definire una permeaibilità relativa <math>\mu_r\ </math>, che dipenderà dalla corrente <math>I\ </math> e dalla storia del materiale ma che possiamo definire dalla relazione: :<math>\vec B=\mu_0\mu_r\vec H\ </math> L'induttanza della bobina in questo caso è: :<math>L=\mu_0\mu_r\frac {N^2S}{\ell}\ </math> Ma anche: :<math>|H|=\frac {NI}{\ell}\qquad |B|=\mu_0\mu_r\frac {NI}{\ell}\ </math> Quindi l'energia magnetica: :<math>E_L=\frac 12\mu_0\mu_r\frac {N^2S}{\ell}I^2=\frac 12\frac {NI}{\ell}\mu_0\mu_r\frac {NI}{\ell}S\ell =\frac 12|H||B|S\ell\ </math> L'energia immagazzinata nel campo magnetico per unità di volume vale quindi: :<math>u_M=\frac 1{2 }HB\ </math> == Pressione magnetica== L'energia per unità di volume del campo magnetico è eguale alla pressione che tende a deformare le strutture che generano i campi magnetici. In quanto campi magnetici molto intensi tendono a fare esplodere i magneti e l'effetto è molto importante per i grandi magneti. Notiamo che vi è una differenza sostanziale con i campi elettrici che al contrario tendono a fare implodere le strutture, in quanto cariche di segno opposto come quelle tra le armature di un condensatore tendono ad attrarsi. Nel caso dei magneti si ha esattamente l'effetto opposto in quanto i lati paralleli di una bobina essendo percorsi da corrente di segno opposto si respingono. La pressione magnetica è pari a: :<math>P_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\ </math> Esempio: Quindi se vogliamo fare un campo di induzione magnetica di 10 T è necessario impedire la esplosione della bobina che lo genera in quanto la pressione che deve sopportare la struttura è di: <math>P_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\approx 8\cdot 10^7\ Pa\ </math> cioè circa 800 Atmosfere. Tanto per fare un confronto anche tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele vi è una pressione (che però tende a fare implodere la struttura), ma anche se ho campo elettrico molto intenso ad esempio di 10⁷ V/m la pressione tra le armature è di solo <math>P_E=\frac {\varepsilon_o}2E^2\approx 4.4\cdot 10^2\ Pa\ </math> cioè 200 volte meno della pressione atmosferica. [[Fisica_classica/Correnti alternate| Argomento seguente: Correnti alternate]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 6lb7wlnx32hbfm4amcy75evuqfqeo0i 498270 498269 2026-05-23T09:47:45Z Pasquale.Carelli 528 /* Legge di Lenz */ cambiato link 498270 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Magnetismo della materia |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Magnetismo_della_materia |CapitoloSuccessivo=Correnti alternate |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Correnti_alternate }} {{fisica classica}} Questa legge ha rappresentato la vera svolta dell'elettromagnetismo nello sviluppo della società industriale e indica il legame forte esistente tra campi elettrici e magnetici. Per descriverla con compiutezza bisogna fare delle premesse basate su quanto già detto in precedenza. Il flusso di induzione magnetica attraverso una qualsiasi superficie chiusa è sempre eguale a zero, in quanto non vi sono monopoli magnetici. Possiamo quindi considerare una qualsiasi linea chiusa dello spazio e associare ad essa una superficie che abbia tale linea come contorno, il flusso attraverso tale superficie è lo stesso qualsiasi superficie si consideri. Un circuito composto da <math>N\ </math> spire ha come contorno una linea chiusa dello spazio, ma in realtà il flusso del campo di induzione magnetica è <math>N\ </math> volte il flusso associato alla linea chiusa considerato: tale flusso viene chiamato flusso concatenato al circuito considerato. Si deve a [[w:Michael_Faraday|Faraday]] nel 1831 la scoperta che se si ha una variazione nel tempo del flusso magnetico concatenato con un circuito <math> \Phi_B\ </math> si ha una f.e.m. secondo la relazione algebrica: :<math> f.e.m. = - {{d\Phi_B} \over dt}</math>. Nel seguito precisiamo il significato di questa legge di valore fondamentale. Il segno meno il cui significato è spiegato nella cosiddetta legge di Lenz verrà precisato nel seguito. Vari esempi possono essere dati per illustrare quando si verifica una condizione di questo tipo. Tradizionalmente si possono raggruppare i vari casi possibili in varie categorie: ===Due circuiti accoppiati senza parti in movimento=== [[Immagine:Faraday_emf_experiment.svg|thumb|300px|left| Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati senza parti in movimento]] Viene riprodotto uno degli esperimenti originali di Faraday in forma schematica, una batteria alimenta il circuito di sinistra generando una corrente variabile nel tempo. Il circuito di destra ben accoppiato, avvolto sullo stesso toro magnetico, è attraversato da una corrente elettrica, che viene misurata dal [[w:galvanometro|galvanometro]], un strumento che misura la corrente elettrica. Quando nel circuito di sinistra la corrente diviene stazionaria, nessuna corrente viene più misurata dal galvanometro. La corrente circolante nel circuito di destra dipende dalla variazione della corrente in quello di sinistra, cioè tende a contrastare o l'aumento del flusso magnetico concatenato o la diminuzione, questo è evidenziato dal segno della corrente misurata nel galvanometro. In questo che in questo caso non si abbia niente in moto e quindi la legge di Faraday rappresenta una assoluta novità, rispetto a leggi precedenti. Nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#7._Spira_dentro_solenoide|un solenoide con una spira]] viene chiarito questo caso generale. ===Un circuito fisso in un campo magnetico in moto=== [[Immagine:Induction_experiment.png|thumb|400px|left| Esperimento di Faraday con due circuiti accoppiati con una corrente stazionaria nella bobina A (in moto) accoppiata ad una bobina più grande B (fissa) che ha in serie un galvanometro G, a sinistra]] Immaginiamo di avere una piccola bobina A alimentata da un generatore di f.e.m. e accoppiata ad una bobina maggiore B che ha in serie un galavanometro G. Se il circuito A è fermo nessuna corrente viene misurata dal galavanometro. Mentre se viene mosso come mostrato in figura si genera una f.e.m. misurata dal galvanometro, con un verso tale da contrastare la variazione del flusso concatenato. Il caso più banale è quello che la bobine siano solenoidali. Quando il bordo del solenoide A attraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B aumenta e viene indotta una corrente nel solenoide B che contrasta l'aumento del campo. L'ampiezza della corrente indotta dipende dalla velocità e dalla posizione relativa. Infine quando il bordo riattraversa la sezione del solenoide B il flusso concatenato nel solenoide B diminuisce e si genera una corrente di segno opposto al caso precedente nel solenoide B per contrastare tale variazione del flusso. La stessa cosa si ottiene con un magnete permanente, che genera un campo non uniforme, che si muova rispetto ad una bobina. Il fatto che il moto sia rettilineo non ha nessuna rilevanza, infatti la stessa cosa l'avremmo anche nel caso di sorgente in moto rotatorio, anzi in questo caso anche una sorgente che sia uniforme spazialmente genererà nella bobina una f.e.m. indotta. L' esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#8._Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira in un campo magnetico ruotante]] chiarisce quanto detto. ===Un circuito in moto in un campo magnetico fisso=== Immaginiamo di avere una sorgente fissa di campo magnetico ed un circuito che si muova rispetto al campo non uniforme. Il moto del circuito lo supponiamo per semplificare la cosa, rettilineo e uniforme. Come si vede è il caso simmetrico rispetto a quello indicato prima: ma dal punto di vista della meccanica classica del tutto equivalente. Infatti entrambi i sistemi sono inerziali e chi si muove rispetto all'altro non cambia. In ogni caso in questo caso la forza di Lorentz giustifica l'apparire di una f.e.m. Supponiamo il circuito quadrato di lato <math>a\ </math> ed il campo perpendicolare al piano del circuito in moto con due lati paralleli alla direzione del moto. Nei due lati perpendicolari alla direzione del moto si genererà una f.e.m. opposta ma non eguale, a causa della uniformità del campo di induzione magnetica. Tale differenza è la causa della f.e.m. indotta. Analogamente, nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Magnetismo#15. Spira_in_un_campo_magnetico_ruotante|una spira in un campo magnetico ruotante]] se facciamo ruotare la spira invece del campo, le equazioni rimangono le stesse come il risultato finale, solo che in questo caso la legge di Faraday si identifica con la Forza di Lorentz. In realtà che un circuito si muova in un campo fisso, o il circuito si muova in un campo fisso rappresentano lo stesso fenomeno ed è la causa di un fenomeno vistoso. ====[[w:Corrente_parassita|Correnti parassite]]==== [[Image:Eddy currents due to magnet.svg|thumb|200px|Correnti parassite ''(<span style="color:red;">I, rosso</span>)'' indotte in una piastra metallica ''(C)'' in movimento verso destra sotto un magnete stazionario ''(N)''. Il campo magnetico ''(<span style="color:green;">B, verde</span>)'' è diretto verso il basso. Le correnti indotte generano un campo magnetico ''(<span style="color:blue;">frecce blu</span>)'' che produce una forza di resistenza che si oppone al moto.]] Le correnti parassite sono causate dal movimento di un conduttore in un campo magnetico. Il moto relativo genera nel conduttore una corrente che può essere anche molto intensa, e quindi produce a sua volta un campo magnetico che tende come vedremo a rallentare la variazione del campo magnetico . La corrente che si sviluppa nel conduttore ha una forma vorticosa perché gli elettroni sono soggetti alla Forza di Lorentz che è perpendicolare alla direzione degli elettroni stessi in movimento. Quindi, essi ruotano alla loro destra, o sinistra, a seconda del senso del campo applicato e della variazione del campo in aumento o in diminuzione. La resistività del conduttore smorza queste correnti. Le correnti parassite generano perdite di energia riscaldando il conduttore per effetto Joule. I [[w:forno a induzione|forni ad induzione]] e i [[w:Freni_magnetici|freni magnetici]] (quelli usati nei treni, sono un esempio dell'applicazioni di tale effetto. Questo fenomeno in molte applicazioni risulta negativo ad esempio nei [[w:Trasformatore|trasformatori]] e nei [[w:Motore elettrico|motori elettrici]] determina una diminuzione dell'efficienza. Le perdite avvengono nei nuclei che in questi dispositivi sono conduttori. Si possono attenuare queste perdite scegliendo un nucleo magnetico che abbia una bassa conducibilità elettrica (ad esempio: [[w:Ferrite|ferriti]], [[w:acciaio al silicio|acciaio al silicio]]) o suddividendo il nucleo magnetico in sottili strati, elettricamente isolati. ===Un circuito di dimensioni variabili in un campo magnetico=== A causa del fatto che uno o più lati del circuito si muovano, si ha che sulle cariche libere di tali lati agisce la forza di Lorentz mutuamente perpendicolare sia al campo che alla direzione del moto; tale forza genera una f.e.m.. Quindi anche in questo caso la legge di Faraday non aggiunge niente rispetto alle leggi del magnetismo. Ma è più facile anche in questo caso trattare il problema, senza fare distinzioni, mediante la legge di Faraday. Questo approccio è seguito nell'esercizio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#1._Una_sbarretta_metallica|una sbarretta metallica]]. ==La [[w:Legge di Lenz|legge di Lenz]]== Il verso delle correnti indotte è tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione del flusso del campo magnetico concatenato con il circuito. Tale legge giustifica fisicamente il segno meno che compare nella legge di Faraday. Infatti la f.e.m. indotta dalla variazione del flusso concatenato è tale da opporsi alla causa che lo ha generato, in maniera che se il flusso magnetico esterno aumenta la corrente circolante tende a rallentare tale incremento, mentre se diminuisce la corrente circolante tende a lasciare immutato il campo magnetico iniziale. La legge è ovviamente in accordo con la conservazione dell'energia, se infatti la legge fosse per assurdo di segno opposto, una piccola variazione del flusso concatenato produrrebbe una maggiore variazione con un effetto moltiplicativo che violerebbe la conservazione dell'energia. ==L'[[w:Alternatore|alternatore]]== Questa è la più importante applicazione della legge di Faraday per lo sviluppo della società industriale . Supponiamo di avere una bobina quadrata realizzata con <math>N\ </math> spire (i ragionamenti in realtà non dipendono dalla forma, ma per semplificazione usiamo la forma quadrata) ed un campo magnetico ruotante (rotore) come in figura. [[File:Alternator_1.svg|thumb|250px|right|Schema di un semplice alternatore con un campo magnetico ruotante (rotore) e una spira fissa (statore), viene anche mostrato la corrente indotta nello statore dal campo magnetico ruotante del rotore.]] A causa della rotazione del campo magnetico il flusso attraverso la bobina varierà in funzione del tempo. Quindi ai capi della bobina si genererà una f.e.m. Se l'area della bobina è <math>S\ </math>, e <math>\theta\ </math> l'angolo compreso tra la normale (<math>\vec n\ </math>) alla bobina e la direzione del campo di induzione magnetica (<math>\vec B\ </math>), il flusso di induzione magnetica concatenato con le <math>N\ </math> spire della bobina vale: :<math>\Phi_c(B)=N\vec B\cdot \vec S=N|B|S\cos \theta\ </math> Se mediante un qualsiasi mezzo propulsivo il rotore viene mantenuto in rotazione con velocità angolare <math>\omega\ </math> costante allora: :<math>\theta=\omega t\ </math> Applicando la legge di Faraday: :<math>f.e.m=N|B|S\omega \sin \omega t\ </math> Cioè ai capi della bobina vi è una d.d.p. che varia con legge sinusoidale nel tempo: questo dispositivo si chiama alternatore o generatore di corrente alternata. Se l'attrito è trascurabile l'energia meccanica utilizzata per mantenere in rotazione a velocità angolare fissa viene integralmente trasformata in energia elettrica dissipata dal carico (un eventuale elemento dissipativo posto ai suoi estremi). Quindi l'alternatore rappresenta il metodo più usato per trasformare energia meccanica in energia elettrica, in corrente alternata, che è comoda da trasportare su grandi distanze. La corrente che circola nel carico (immaginando che sia una semplice resistenza <math>R\ </math>) è semplicemente eguale a: :<math>I=\frac {N|B|S\omega }R\sin \omega t\ </math> [[File:Jeep_2.5_liter_4-cylinder_engine_chromed_e.jpg|thumb|250px|right|L'alternatore di una automobile con la cinghia metallica trascina il rotore]] Nel fare tale ragionamento si è trascurata una proprietà della bobina che viene definita nel seguito: la sua induttanza. Studiamo il bilancio energetico di un sistema di questo genera che produce istantaneamente una potenza elettrica pari a: :<math>P_e=f.e.m.I=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2 \sin^2 \omega t\ </math> Dal punto di vista [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente|meccanico]] sulla spira a causa del fatto che la spira è un dipolo magnetico immerso in un campo magnetico: :<math>|\vec m|=NIS\ </math> Su di esso agisce una coppia di momento pari a: :<math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math> Che in questo caso specifico, proiettandolo sull'asse <math>z\ </math> di rotazione, vale: :<math>M_z=NIBS\sin \omega t\ </math> La potenza meccanica necessaria a mantenere in rotazione a velocità angolare costante un corpo rigido su cui agisce una coppia è pari secondo la meccanica dei corpi rigidi: :<math>P_m=M_z\omega\ </math> Sostituendo l'espressione di <math>I\ </math> in <math>M_z\ </math> segue che: :<math>P_m=\frac {N^2B^2S^2}R\omega^2\sin^2 \omega t\ </math> Cioè in assenza di attrito tutta l'energia meccanica viene trasferita in energia elettrica. Le centrali elettriche ma anche semplicemente i generatori interni delle automobili producono energia elettrica mediante tale meccanismo di conversione diretta di energia meccanica in energia elettrica. La figura invece mostra l'alternatore tipico di una automobile che trasforma l'energia meccanica in tutta l'utenza elettrica di una automobile, ricaricando le batterie. ==Induttanza== Il flusso concatenato con un circuito e la corrente che in esso circola sono direttamente proporzionali: la costante di proporzionalità viene chiamata induttanza del circuito: <math>L=\frac {\Phi_c(B)}I \ </math> [[Immagine:Simbindu.png|thumb|200px|right| Il simbolo di una induttanza]] 'E una grandezza puramente geometrica connessa con l'area racchiusa da un circuito ed il campo magnetico generato nel complesso quando in detto circuito scorre una corrente elettrica. Il simbolo dell'induttanza è mostrato di lato. Le dimensioni fisiche dell'induttanza sono quelle del rapporto tra un flusso magnetico e una corrente, nel SI si misura in Henry (<math>H\ </math>) <math>[L]=\frac {[B][l^2]}{[I]}=[T][m]^2[A]^{-1}=[H]\ </math> Il simbolo ricorda vagamente la forma di un solenoide, e in particolare nel caso di solenoidi sufficientemente lunghi e compatti, è facile calcolare l'induttanza. Infatti essendo il flusso concatenato di un solenoide di lunghezza <math>l\ </math>, di raggio <math>r\ </math> e con <math>N\ </math> spire, in cui scorre una corrente <math>I\ </math>: <math> \Phi_c(B)=N\mu_{\circ} \frac NlI\pi r^2 \ </math> quindi: <math>L_{solenoide}=\mu_{\circ}\frac {N^2}l\pi r^2\ </math> Il calcolo dell'induttanza per circuiti abbastanza semplici non è in genere facile. Come regola generale se il circuito è fatto di <math>N\ </math> spire che si sovrappongono bene l'induttanza cresce con <math>N^2\ </math>. Quindi per bobine semplici di superficie <math>S\ </math> semplice l'induttanza è circa eguale a: <math>L\approx \mu_{\circ}N^2\sqrt S\ </math> La presenza di materiali ferromagnetici aumenta l'induttanza di molti ordini di grandezza: è facile costruire induttanze di molti Henry. A partire da queste considerazioni, la permeabilità magnetica del vuoto, di cui avevamo dato le dimensioni fisiche a partire dalla formula del campo di induzione magnetica prodotta da un filo rettilineo, può esprimersi in funzione della unità scelta per la induttanza .nel sistema SI divengono adesso: :<math>\mu_{\circ}=4\pi \times 10^{-7}\ H/m\ </math> Per geometrie semplici l'induttanza cresce linearmente con le dimensioni lineari e per spire estremamente vicine con il quadrato del numero delle spire. ==Mutua induttanza== [[File:Mutually_inducting_inductors.PNG|thumb|300px|Simbolo della mutua induttanza di due circuiti, n ed m sono il numero di spire del primario e secondario, mentre i punti indicano che le bobine sono avvolte in maniera concorde ]] Dati due circuiti chiaramente il flusso magnetico dell'uno si concatenerà con l'altro. Il rapporto tra il flusso concatenato su di uno e la corrente che scorre sull'altro viene chiamata mutua induzione. :<math>M=M_{12}=\frac {\Phi_{c1}}{I_2}=M_{21}=\frac {\Phi_{c2}}{I_1}\ </math> Notiamo come la mutua induzione gode della proprietà di reciprocità, cioè la mutua induzione di un primo circuito rispetto ad un secondo è pari alla mutua induzione del secondo sul primo. La dimostrazione si può fare in maniera rigorosa ma richiede di richiamare il collegamento con il [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Potenziale_vettore|potenziale vettore]]: <math>M_{12}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec B_1\cdot \overrightarrow {dS_2}=\frac 1{I_1}\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}\ </math> Per il teorema di Stokes, definendo con <math>l_{2}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{2}\ </math>: <math>\int_{S2}\vec \nabla \times \overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dS_2}=\oint_{l_2}\vec A_1\cdot \overrightarrow {dl_2} </math> Quindi: <math>M_{12}=\frac 1{I_1}\oint_{l_2}\overrightarrow {A_1}\cdot \overrightarrow {dl_2} \ </math> Se chiamiamo <math>l_{1}\ </math> la linea che costituisce il contorno di <math>S_{1}\ </math>: <math>\overrightarrow {A_1}=\frac {\mu_o}{4\pi}I_1\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {dl_1}}{|r_{12}|}\ </math> Quindi: <math>M_{12}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_2}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{12}|} \ </math> Ripetendo l'analogo ragionamento per <math>M_{21}\ </math>: <math>M_{21}=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_2}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_2}\cdot \overrightarrow {dl_1}}{|r_{21}|} \ </math> Poiché il prodotto scalare come l'integrale di linea non dipendono dall'ordine dei fattori, la mutua induzione tra due circuiti è una grandezza geemetrica unica. Numericamente il calcolo della mutua induzione viene fatto utilizzando la formula data per calcolare la reciprocità tra <math>M_{12}\ </math> ed <math>M_{21}\ </math> Ma anche l'induttanza di un circuito è calcolabile numericamente con una espressione simile: <math>L=\frac {\mu_o}{4\pi}\oint_{l_1}\oint_{l_1}\frac {\overrightarrow {d1_1}\cdot \overrightarrow {dl_2}}{|r_{21}|} \ </math> A causa quindi della reciprocità si ha che: <math>M=M_{12}=M_{21}\ </math> A partire dalla definizione analitica si ha anche che: <math>M=k\sqrt{L_1L_2}\ </math> Definendo <math>0\le k\le 1\ </math> la costante di accoppiamento tra i due circuiti. Due esempi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#2._Mutua_induzione_tra_spire_quadrate|Mutua induzione tra due spire quadrate]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#6._Due_spire|Due spire]] possono aiutare a capire i concetti espressi. ==Cenno sui [[w:Trasformatore|trasformatori]]== [[File:Single-phase transformer.svg|thumb|left|300px|Schema di principio di un toro di materiale ferromagnetico con due avvolgimenti: un tipico trasformatore]] [[File:Transformer Iron Core.svg|thumb|150px|Simbolo circuitale del trasformatore]] In un toro di materiale ferromagnetico di sezione costante <math>S\ </math> e lunghezza media <math>l\ </math> con permeabilità magnetica <math>\mu_r\ </math> su cui sono avvolte <math>N\ </math> spire tutto il flusso rimane confinato nell'interno del toro ed utilizzando il teorema della circuitazione di Ampere, si trova che il campo di induzione magnetica vale all'interno del toro: <math>B=\mu_o\mu_r \frac {NI}l\ </math> e di conseguenza l'induttanza vale: <math>L=\mu_o \mu_r N^2 \frac Sl\ </math> Se i circuiti avvolti sono due con <math>N_1\ </math> ed <math>N_2\ </math> spire, l'accoppiamento tra i circuiti è il massimo possibile e di conseguenza la mutua induzione vale: <math>M=\mu_o \mu_r N_1N_2 \frac Sl\ </math> I circuiti di questo tipo sono alla base di quelli che vengono chiamati i trasformatori. Il trasformatore ha un interesse importante in e per questa ragione vengono descritti con [[Fisica_classica/Correnti_alternate#Il_trasformatore|maggiore dettaglio]] nel prossimo capitolo ==Transitori induttivi== [[Immagine:Transitorio_induttivo_a.png|thumb|300px|right| Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza]] L'introduzione dell'induttanza ci permette di calcolare la f.e.m. indotta da variazioni di flusso concatenate con circuiti percorsi da corrente elettrica variabile nel tempo. Immaginiamo di avere un generatore di f.e.m che viene connesso ad una resistenza in serie con una induttanza mediante l'interruttore mostrato in figura. La legge di Faraday si riduce nel caso di una induttanza all'espressione: <math>f_a=-\frac {d\Phi_c(B)}{dt}=-L\frac {dI}{dt}\ </math> Dove il pedice <math>a\ </math> sta a indicare che si tratta di forza elettromotrice autoindotta che tende a impedire le variazioni di correnti al suo interno. Nel caso specifico abbiamo introdotto una resistenza <math>R\ </math> in serie che tiene conto della eventuale resistenza interna del generatore, dell'induttanza (sono entrambe in serie) o una resistenza esterna. L'equazione della maglia nel tempo del circuito deve tenere conto che agisce non solo il generatore di forza elettromotrice <math>f\ </math>, ma anche la forza elettromotrice autoindotta <math>f_a\ </math>: <math>f+f_a=RI\ </math> Sostituendo i vari termini: <math>RI=f-L\frac {dI}{dt}\ </math> da cui separando le variabili <math>\frac {dI}{I-f/R}=-\frac RL dt\ </math> definendo <math>\tau=L/R\ </math>, e integrando tra il tempo <math>t=0\ </math> in cui la corrente è nulla ed il tempo generico segue che: <math>\ln \frac {I(t)-f/R}{-f/R}=-\frac t{\tau}\ </math> che diventa: <math>I=\frac fR(1-e^{-t/\tau})\ </math> [[Immagine:Transitorio_induttivo_b.png|thumb|300px|right| Iniezione di corrente da un generatore di f.e.m. su una induttanza con in parallelo una resistenza grande]] Il significato della equazione è che a causa della <math>f_a\ </math> in un circuito la corrente non raggiunge istantaneamente il valore <math>f/R\ </math>, ma si avvicina asintoticamente con una costante di tempo <math>L/R\ </math>. Il termine <math>-L\frac {dI}{dt}\ </math> dovuto alla legge di Faraday, viene nella maggior parte dei casi considerato una ulteriore d.d.p. e quindi aggiunta con il segno opposto dall'altro lato della equazione. Questo approccio verrà seguito nel seguito, anche se porta a qualche contraddizione. Per far vedere il caso opposto, e rendere l'esempio fisicamente credibile dobbiamo considerare un caso sostanzialmente simile a quello descritto illustrato nella figura a fianco. Immaginiamo grande la resistenza in parallelo all'induttanza (questo significa <math>\alpha\gg 1</math>. Secondo questa ipotesi il sistema non è molto differente dal precedente, infatti ai capi dell'induttanza il circuito è equivalente utilizzando il [[Fisica_classica/Elettrodinamica#Teorema_di_Thevenin|Teorema di Thevenin]], e considerando che <math>\alpha\gg 1</math> a: <math>R_{th}=R\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx R\ </math> <math>f_{th}=f\frac {\alpha}{\alpha +1}\approx f\ </math> Quindi se partiamo dalla condizione iniziale illustrata con l'interruttore chiuso (avendo aspettato un tempo sufficientemente lungo), la corrente che inizialmente scorre nell'induttanza diviene: <math>I_o\approx \frac fR\ </math> Mentre la d.d.p. ai capi di <math>\alpha R\ </math> sarà nulla. Se a questo punto apriamo l'interruttore avremo la seguente equazione che descrive la maglia: <math>-L\frac {dI}{dt}=\alpha RI\ </math> da cui separando le variabili <math>\frac {dI}{I}=-\frac {\alpha R}L dt\ </math> Se ora definiamo <math>\tau =\frac L{\alpha R}\ </math> ed integriamo (cambiando il nome delle variabili): <math>\int_{I_o}^I\frac {dI'}{I'}=-\int_0^t\frac {dt'}{\tau}\ </math> Da cui: <math>I(t)=I_oe^{-t/\tau }\ </math> La tensione ai capi della resistenza (di polarità opposta a quando è collegato al generatore di f.e.m. diventa: <math>V(t)=I_o\alpha R e^{-t/\tau }\approx \alpha fe^{-t/\tau }\ </math> Alcuni esempi permettono di comprendere quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#3._Induttanza_con_2_resistenze|induttanza e due resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#4._Induttanza_con_3_resistenze|induttanza e tre resistenze]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Induzione#5._Spira_e_solenoide|spira tonda e solenoide]] ==Energia magnetica== Il fenomeno della iniezione di corrente su una induttanza con una resistenza in serie da parte di un generatore di f.e.m. possiamo esaminarlo dal punto di vista del generatore riscrivendo l'equazione del transitori vista precedentemente come: :<math>f=RI+L\frac {dI}{dt}\ </math> Moltiplicando tutti i termini per la corrente che istantaneamente scorre nella maglia: :<math>fI=RI^2+LI\frac {dI}{dt}\ </math> Quindi integrando nel tempo i vari termini: :<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+\int_0^tLI\frac {dI}{dt}dt'\ </math> :<math>\int_0^tfIdt'=\int_0^tRI^2dt'+L\int_0^ILI'dI'\ </math> abbiamo da una parte l'energia totale formata dal generatore e dall'altra due termini, il primo l'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza e il secondo: :<math>E_L=L\int_0^ILI'dI'=\frac 12 LI^2\ </math> è un termine che qui viene definito per la prima volta l'energia immagazzinata nell'induttanza. Tale energia viene accumulata sotto forma di energia magnetica, come si può far vedere nel caso più generale. Consideriamo due casi: un solenoide ideale, un toro di materiale ferromagnetico ===Solenoide=== In un solenoide molto lungo e compatto l'induttanza vale: :<math>L=N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l </math> Dove <math>N\ </math> è il numero di spire, <math>r\ </math> il raggio, ed <math>l\ </math> la lunghezza. :<math>E_L=\frac 12 N^2\mu_o \frac {\pi r^2}l I^2\ </math> Ma in un solenoide: :<math>B=\mu_o \frac {N}l I </math> Per cui si può riscrivere l'equazione precedente come: :<math>E_L=\frac 1{2 \mu_o}B^2l\pi r^2\ </math> Ma <math>l\pi r^2\ </math> è il volume racchiuso dal solenoide in cui il campo magnetico è costante, quindi l'energia immagazzinata nel campo magnetico per unità di volume vale: :<math>u_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\ </math> ===Un toro ferromagnetico=== Una induttanza costituita N spire e in cui scorre una corrente <math>I\ </math> avvolte su un toro ferromagnetico di sezione costante il più semplice [[Fisica_classica/Magnetismo_della_materia#I_circuiti_magnetici|circuito magnetico]]. Chiamiamo <math>\ell\ </math> la lunghezza media del perimetro del toro ed <math>S\ </math> la sua sezione. Le direzioni di <math>\vec H\ </math> e <math>\vec B\ </math> sono dovunque le stesse e quindi possiamo definire una permeaibilità relativa <math>\mu_r\ </math>, che dipenderà dalla corrente <math>I\ </math> e dalla storia del materiale ma che possiamo definire dalla relazione: :<math>\vec B=\mu_0\mu_r\vec H\ </math> L'induttanza della bobina in questo caso è: :<math>L=\mu_0\mu_r\frac {N^2S}{\ell}\ </math> Ma anche: :<math>|H|=\frac {NI}{\ell}\qquad |B|=\mu_0\mu_r\frac {NI}{\ell}\ </math> Quindi l'energia magnetica: :<math>E_L=\frac 12\mu_0\mu_r\frac {N^2S}{\ell}I^2=\frac 12\frac {NI}{\ell}\mu_0\mu_r\frac {NI}{\ell}S\ell =\frac 12|H||B|S\ell\ </math> L'energia immagazzinata nel campo magnetico per unità di volume vale quindi: :<math>u_M=\frac 1{2 }HB\ </math> == Pressione magnetica== L'energia per unità di volume del campo magnetico è eguale alla pressione che tende a deformare le strutture che generano i campi magnetici. In quanto campi magnetici molto intensi tendono a fare esplodere i magneti e l'effetto è molto importante per i grandi magneti. Notiamo che vi è una differenza sostanziale con i campi elettrici che al contrario tendono a fare implodere le strutture, in quanto cariche di segno opposto come quelle tra le armature di un condensatore tendono ad attrarsi. Nel caso dei magneti si ha esattamente l'effetto opposto in quanto i lati paralleli di una bobina essendo percorsi da corrente di segno opposto si respingono. La pressione magnetica è pari a: :<math>P_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\ </math> Esempio: Quindi se vogliamo fare un campo di induzione magnetica di 10 T è necessario impedire la esplosione della bobina che lo genera in quanto la pressione che deve sopportare la struttura è di: <math>P_M=\frac 1{2 \mu_o}B^2\approx 8\cdot 10^7\ Pa\ </math> cioè circa 800 Atmosfere. Tanto per fare un confronto anche tra le armature di un condensatore a facce piane e parallele vi è una pressione (che però tende a fare implodere la struttura), ma anche se ho campo elettrico molto intenso ad esempio di 10⁷ V/m la pressione tra le armature è di solo <math>P_E=\frac {\varepsilon_o}2E^2\approx 4.4\cdot 10^2\ Pa\ </math> cioè 200 volte meno della pressione atmosferica. [[Fisica_classica/Correnti alternate| Argomento seguente: Correnti alternate]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} ovfoog44am31muo7a5ooyy27nevskdd 0 20035 498239 446797 2026-05-22T13:58:41Z Pasquale.Carelli 528 migliorato il testo 498239 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Campi magnetici |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Campi_magnetici |CapitoloSuccessivo=Legge di Ampère |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Legge_di_Ampère }} {{fisica classica}} ==La seconda legge di Laplace== [[Immagine:FILO.png|thumb|350px|left|Un filo percorso da una corrente I in un campo magnetico entrante nel piano del foglio]] Nel 1802 [[w:Gian_Domenico_Romagnosi|Gian Domenico Romagnosi]] osservò sperimentalmente che una corrente elettrica può interagire con un ago magnetico. La scoperta passò quasi inosservata, ma venne successivamente confermata da [[w:Hans_Christian_Ørsted|Ørsted]] nel 1820. Consideriamo un campo di induzione magnetica entrante nel foglio (per convenzione le croci indicano tale fatto: richiamano infatti la coda di una freccia) Consideriamo un filo percorso da una corrente <math>I\ </math> lungo <math>\overrightarrow{dl}\ </math> come in figura: se la direzione del filo è ortogonale alla direzione del campo magnetico sperimentalmente si trova che la forza che agisce su di esso sarà mutuamente perpendicolare sia alla direzione del campo magnetico che alla direzione del filo e proporzionale all'intensità della corrente ed alla lunghezza del filo. In figura è mostrato un generatore di f.e.m. che fa scorrere la corrente nel circuito indicato. Nel piano normale al filo vi è un campo magnetico di intensità <math>|B|\ </math> (entrante nel foglio, per questo indicato con le x). Una parte del circuito di lunghezza <math>dl\ </math> è mobile e trattenuto da delle molle: si misura una forza nella direzione indicata. Si può quindi definire il campo di induzione magnetica, a partire da tale forza <math>\vec {F}\ </math> misurabile, come: :<math>|B|=\frac {|F|}{I |dl|}\ </math> quindi nel sistema MKSA il campo di induzione magnetica si misura in Tesla definito come: :<math>[B]=\frac {[N]}{[A][m]}=[T]\ </math> Se il filo è parallelo alle linee del campo su di esso in generale non agisce nessuna forza. L'espressione matematica della forza di un campo magnetico su un filo percorso da corrente viene detta seconda legge di Laplace: :<math>\overrightarrow{dF}=I\overrightarrow{dl}\times \vec {B}\ </math> La così detta '''regola della mano destra''' può essere di aiuto nel calcolo della direzione della forza agente. Infatti, se la direzione della corrente è quella dell'indice della mano destra e quella del campo magnetico è il medio, la direzione della forza è data dalla direzione del pollice. Il campo magnetico terrestre può dare un'idea dell'intensità tipiche: alla nostra latitudine (<math>42^o\ </math>) vale circa <math>6\times 10^{-5}\ T</math>. Il campo magnetico prodotto da un magnete permanente tradizionale difficilmente supera il valore di <math>1\ T\ </math>. Campi magnetici più intensi si raggiungono mediante magneti superconduttori, ma difficilmente in condizioni statiche si riescono ad avere intensità maggiori di <math>25\ T</math>. Esistono delle stelle di neutroni dette [[w:Magnetar|magnetar]] con campi magnetici particolarmente intensi superiori a {{M|10¹¹||T}}. ===[[w:Motore_lineare|Il motore lineare]]=== [[Immagine:MOTOLIN.png|thumb|350px|left|Schema di un motore lineare]] L'applicazione più semplice della II seconda equazione di Laplace è il motore lineare. Cioè due rotaie percorse da una corrente <math>I\ </math> come in figura, in cui il vagone conduttore chiude la corrente circolante. Un campo magnetico uniforme viene applicato nella direzione normale al piano delle rotaie. Sul vagone agisce una forza di trascinamento proporzionale all'intensità del campo, alla corrente ed alla distanza tra le rotaie. Questa tecnica è impiegata in sistemi di trasporto a levitazione magnetica, come i treni [[w:maglev|maglev]] installati a Shanghai (il primo nato), a Vancouver e Toronto in Canada, all'[[w:Aeroporto Internazionale John F. Kennedy|aeroporto JFK]] di New York e a Kuala Lampur in Malesia. Il sistema è usato anche in alcune [[w:Montagne russe|montagne russe]] ed è stato proposto in esecuzione verticale come ascensore per i pozzi delle miniere. I motori elettrici in generale, che funzionano sull'estensione a geometrie più complesse dei principi di funzionamento del motore lineare, sono basati sulla conversione della energia prodotta dai generatori di f.e.m. in energia meccanica: si noti che il campo magnetico non compie lavoro, ma è solo il generatore di f.e.m. a farlo. ===[[w:Forza_di_Lorentz|Forza di Lorentz]]=== La forza magnetica su un filo percorso da corrente può essere interpretata microscopicamente come l’azione del campo magnetico sulle cariche elettriche in moto all’interno del conduttore. Dal modello microscopico sappiamo che il prodotto di una corrente elettrica per il tratto di filo elementare <math>\overrightarrow{dl}\ </math> in cui scorre, può essere scritta come: :<math>I\overrightarrow{dl}=\vec {J}\cdot \vec S {dl}=nq\vec{v} |S||dl| = \Delta Nq\vec{v} \ </math> dove <math>\vec{J}\ </math> è la densità di corrente, <math>\vec{S}\ </math> è un vettore normale alla sezione del filo di modulo pari alla sezione stessa, <math>n\ </math> è il numero dei portatori di carica per unità di volume, <math>\vec{v}\ </math> la loro velocità, <math>q\ </math> la loro carica ed infine <math>\Delta N=nSdl\ </math> il loro numero nel volume <math>Sdl\ </math>. Sostituendo questa equazione nella seconda legge di Laplace, troviamo che la forza che agisce su una singola carica <math>q\ </math> che si muova con velocità <math>\vec{v}\ </math> in un campo di induzione magnetica <math>\overrightarrow{B}\ </math> sia: :<math>\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}\ </math> In generale se quindi la particella carica si muove in un campo elettrico <math>\vec{ E}\ </math> e magnetico <math>\vec{B}\ </math> l'espressione generale della forza, detta di Lorentz, che agisce su di essa, vale: :<math>\vec{F}=q(\vec{E}+\vec v\times \vec{B})\ </math> ===Moto di cariche in campi magnetici=== [[Immagine:Parcar.png|thumb|350px|left|Moto di una carica in un campo magnetico]] Supponiamo di avere una regione di spazio, dove <math>\vec{B}\ </math> è costante. In essa si trova una particella di massa <math>m\ </math>, carica <math>q\ </math> (positiva) e con velocità <math>v\ </math> normale alla direzione di <math>\vec {B}\ </math> (entrante nel piano della figura). A causa della forza di Lorentz agirà su di essa una forza normale alla traiettoria (che non compie lavoro in quanto centripeta). In condizioni di equilibrio dinamico, essendo l'accelerazione centripeta costante il moto nel piano normale al campo sarà un moto circolare uniforme con raggio di curvatura <math>R\ </math> facilmente ricavabile dalla relazione: :<math>qvB=\frac {mv^2}R\ </math> da cui: :<math>R=\frac {mv}{qB}\ </math> la velocità angolare è quindi pari a: :<math>\omega=\frac {v}R=\frac {qB}m</math> Al cambiare di segno della carica il raggio di curvatura cambia di segno e il moto, se era anti orario, diventa orario. Anche al cambiare del segno di <math>\vec {B}\ </math> il verso del moto si inverte. La velocità angolare del moto non dipende dalla velocità della particella e la frequenza associata prende il nome di frequenza di ciclotrone. Gran parte delle conoscenze sulle particelle elementari dipende dallo studio del loro moto in presenza di campi elettrici e magnetici. I raggi cosmici non raggiungono alle nostre latitudini la superficie della terra grazie all'esistenza del campo magnetico terrestre che ne incurva la traiettoria. Nei televisori a tubi catodici, oramai superati tecnologicamente, la deflessione del fascio di elettroni che produce la scansione dell'immagine secondo righe e colonne viene fatta utilizzando dei campi magnetici perpendicolari alla traiettoria iniziale degli elettroni. Se la velocità iniziale della particella ha una componente nella direzione di <math>\vec B\ </math> solo sulla componente di <math>\vec v\ </math> perpendicolare a <math>\vec B\ </math> agisce la forza di Lorentz, l'altra componente è non modificata, per cui il moto all'equilibrio diventa un moto elicoidale con asse la direzione di <math>\vec B\ </math>. La forza di Lorentz può essere nulla se: :<math>\vec E+\vec v\times \vec B=0\ </math> Cioè se <math>\vec E\ </math> è normale alla direzione di <math>\vec v\ </math> e di <math>\vec B\ </math> e inoltre in modulo: :<math>v=\frac {|E|}{|B|}\ </math> Basato su questo principio si riescono a selezionare con [[w:Spettrometro_di_massa|estrema precisione ioni]] di massa qualsiasi in funzione della loro velocità. Infatti solo gli ioni che viaggiano su una traiettoria rettilinea riescono ad attraversare delle strette fenditure allineate. L'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#1._Un_elettrone_in_un_campo_magnetico|un elettrone in moto]] dentro un campo magnetico chiarisce meglio quanto detto. ===Azione del campo magnetico su circuiti percorsi da corrente=== [[Image:Spiracampo.png|thumb|350px|left|Schema di una spira rettangolare libera di ruotare all'interno di un campo magnetico uniforme]] I [[w:Motore_in_corrente_continua|motori elettrici in corrente continua]] utilizzano in pratica quanto viene descritto nel seguito. Consideriamo il caso particolare, mostrato in figura, di una spira rettangolare di lato <math>L_x\ </math> ed <math>L_y\ </math> (non indicato nella figura per evitare confusione), percorsa da corrente <math>I\ </math> (circolante in senso antiorario) e con i lati paralleli agli assi <math>x\ </math> ed <math>y\ </math>. Immaginiamo che sia presente un campo magnetico <math>\vec {B}\ </math> diretto secondo l'asse <math>x\ </math>. Assumiamo la spira rigida e libera di ruotare intorno all'asse <math>y\ </math> della figura. Concentriamo la nostra attenzione sulla interazione tra spira e campo. Sui due lati della spira di lunghezza <math>L_x\ </math> non agisce nessuna forza essendo paralleli al campo magnetico. Viceversa sugli altri due lati agiscono due forze eguali e contrarie dirette lungo l'asse <math>z\ </math> sul lato in alto: :<math>F_z=IBL_y\ </math> sul lato opposto agisce una forza pari a: :<math>F_z=-IBL_y\ </math> Quindi, la risultante è nulla, ma sul centro del sistema rigido agisce una coppia di momento: :<math>M_y=IBL_y\frac {L_x}2 +IBL_y\frac {L_x}2=IL_xL_yB\ </math> Tale momento fa ruotare il sistema intorno all'asse <math>y\ </math>. Se la spira aveva una orientazione diversa dobbiamo considerare l'angolo <math>\theta\ </math> che la normale al piano della spira forma con la direzione del campo magnetico. L'espressione del momento della forza diviene (il braccio diminuisce via via che la spira ruota e l'asse della spira si allinea con il campo magnetico): :<math>|M|= I|B|L_xL_y\sin \theta\ </math> Notiamo come sui lati diretti in direzione perpendicolare alla direzione dell'asse di rotazione, la forza che agisce è nulla solo quando tali assi sono paralleli al campo. La forza risultante che si ha su detti lati è nella direzione del piano della spira: se la spira è rigida non hanno alcun effetto sulla dinamica. Se si definisce momento di dipolo di una spira percorsa dalla corrente <math>I\ </math> il vettore: :<math>\vec m=IL_xL_y\vec n=IS \vec n\ </math> Dove <math>S\ </math> è la superficie della spira ed <math>\vec n\ </math> è la normale ad essa. La regola della mano destra ci può aiutare nel definire la direzione del dipolo magnetico. Se infatti la corrente elettrica si avvolge come fanno le dita della mano destra, la direzione di <math>\vec m\ </math> è quella del pollice della mano stessa. Ovviamente se il verso è opposto opposta sarà la direzione del dipolo magnetico. Le dimensioni del momento di dipolo magnetico sono quindi quelle di: :<math>[corrente][superficie]\ </math> quindi nel sistema SI: :<math>[A]\cdot [m]^2\ </math> La coppia di forze che agisce su una spira rettangolare è quindi esprimibile come, il prodotto vettoriale di <math>\vec m\ </math> con il vettore induzione magnetica <math>\vec B\ </math>: :<math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math> L'effetto di un campo magnetico su un dipolo magnetico permanente è analogo a quello provocato su una spira percorsa da corrente. Tale equivalenza di comportamento risulta valida anche per i campi magnetici generati dai dipoli magnetici, cosa che vedremo nel seguito: tale equivalenza prende nome di teorema di equivalenza di Ampère. Una spira di momento di dipolo magnetico <math>\vec m\ </math>, immersa in un campo magnetico uniforme <math>\vec B\ </math> è quindi soggetta ad una coppia di forze di momento <math>\vec M=\vec m \times \vec B\ </math>. ===[[w:Macchina_in_corrente_continua|Motore in corrente continua]]=== L'applicazione più importante di tale proprietà è il motore in corrente continua, che permette di trasformare l'energia elettrica in energia meccanica. [[Immagine:Schema_macchina_elettrica.png|thumb|150px|left|Principio di funzionamento di un motore in corrente continua]] La corrente elettrica passa in un avvolgimento di spire che si trova nel [[w:Rotore_(elettrotecnica)|rotore]]. Si definisce rotore l'insieme delle parti rotanti, libere di ruotare attorno ad un asse comune, il rotore comprende una bobina di fili conduttori detta comunemente avvolgimento. Una corrente elettrica continua alimenta l'avvolgimento. Il rotore è immerso in un campo magnetico creato dallo [[w:Statore|statore]]: l'insieme delle parti fisse. Lo statore contiene le espansioni polari o di un magnete permanente con due o più poli o una elettromagnete. [[Immagine:Electric motor cycle 3.png|thumb|right|150px|Un motore elettrico in corrente continua]] Se il momento magnetico dell'avvolgimento del rotore non è diretto inizialmente nella direzione del campo magnetico dello statore, su di esso agirà una coppia di forze tale da farlo ruotare nel verso che corrisponde all'allineamento del momento magnetico dell'avvolgimento con il campo magnetico dello statore. Grazie alle spazzole o una commutazione elettronica ad ogni mezzo giro il verso della corrente circolante nell'avvolgimento cambia di verso, e quindi si ha continuità nella rotazione. In un motore a spazzole, il contatto meccanico delle spazzole con il collettore rotante sull'asse del rotore chiude il circuito elettrico tra l'alimentazione e gli avvolgimenti sul rotore invertendo periodicamente il verso di circolazione della corrente nelle spire e realizzando così l'inversione delle forze elettrodinamiche che agiscono sulle spire degli avvolgimenti rotorici. Nei [[w:Motore_brushless|motori senza spazzole]] la commutazione della corrente circolante negli avvolgimenti dello statore, e quindi la variazione dell'orientamento del campo magnetico da essi generato, avviene elettronicamente. La coppia agente sul rotore dipende dalla sua posizione angolare, il momento di inerzia del rotore media in qualche maniera il momento motore variabile. Un motore in corrente continua non può iniziare a ruotare se l'avvolgimento del rotore si trova in una posizione angolare non opportuna (punto morto). Ma vi sono accorgimenti tecnici per ovviare a tale inconveniente. Il prodotto della tensione di alimentazione per la corrente che circola rappresenta la potenza assorbita per [[w:effetto Joule|effetto Joule]], ma in parte l'energia elettrica viene dissipata in calore e in parte è trasformata in energia meccanica. Un motore elettrico in corrente continua fa muovere l'albero motore di [[w:moto circolare|moto rotatorio]]. === [[w:Effetto_Hall|Effetto Hall]]=== [[Immagine:Hall.png|thumb|350px|left|Schema della misura mediante l'effetto Hall.]] Sperimentalmente si ha che in una lastra di metallo o meglio di un [[w:Semiconduttore|semiconduttore]] immersa in un campo magnetico, se viene percorsa da una corrente nella direzione perpendicolare al campo magnetico, sulla faccia perpendicolare alla direzione sia della corrente che del campo magnetico si sviluppa una differenza di potenziale. La forza di Lorentz spiega in maniera semplice tale effetto. Per semplicità consideriamo una caso di facile studio, una lastrina di metallo o semiconduttore di spessore <math>h\ </math>, larghezza <math>w\ </math> e lunghezza <math>l\ </math> (la lunghezza non è mostrata nella figura a fianco) attraversata nella direzione <math>x\ </math> da una corrente elettrica (caratterizzata per quanto abbiamo visto in elettrodinamica da una velocità di drift <math>\vec v_d\ </math>). Se nella direzione dello spessore della lastra applichiamo un campo magnetico, questo tende a deviare la traiettoria degli elettroni aumentando la loro densità nella direzione della lastrina non visibile in figura. Tale processo di accumulo di cariche genera nella direzione <math>y\ </math> un campo elettrico che si oppone alla forza di Lorentz; si raggiunge la condizione di equilibrio dinamico quando: :<math>E_y-v_dB_z=0\ </math> Il segno <math>-\ </math> in <math>\vec v_d\ </math> tiene conto del fatto che gli elettroni essendo di carica negativa hanno una velocità di drift opposta alla direzione della corrente elettrica. Sostituendo l'espressione della densità di corrente: :<math>E_y=\frac {J_xB_z}{ne}\ </math> Tale campo elettrico è costante nella direzione <math>y\ </math> e quindi integrandolo si ha che tra la faccia posteriore e anteriore della lastra si sviluppa una d.d.p. pari a: :<math>V_y=-\frac {J_xB_zw}{ne}\ </math> Ma la densità di corrente è pari a: <math>J_x=I/(wh)\ </math>. Quindi: :<math>V_y=-\frac {IB_z}{h ne}\ </math> Dalla conoscenza del campo magnetico, dalla misura della differenza di potenziale e dalla corrente che scorre all'interno della piastrina è possibile misurare la quantità microscopica <math>1/(ne)\ </math>. Tale quantità viene chiamata costante di Hall <math>R_H\ </math> ed in algebricamente è pari a: :<math>R_H=\frac {V_yh}{IB_z}=-\frac 1{ne}\ </math> La costante di Hall dipende dal segno dei portatori di carica e nel caso dei semiconduttori l'effetto Hall, a causa del numero ridotto di portatori di carica, è particolarmente vistoso: cioè con correnti relativamente piccole e in presenza di campi magnetici abbastanza deboli le differenze di potenziale che si sviluppano possono essere facilmente misurate. Al contrario nei metalli l'effetto è poco visibile, anche se storicamente a metà dell'800 è stato trovato in lastre sottilissime di oro. L'effetto Hall oltre ad essere una misura di routine per determinare il [[w:drogaggio|drogaggio]] dei semiconduttori, viene usato per fabbricare semplici ed economici magnetometri che prendono il nome di [[w:Magnetometro#Sonda_di_Hall|sonde di Hall]]. ==La prima legge di Laplace== [[Immagine:Laplace_magnetic.png|thumb|300px|left|La prima legge di Laplace]] [[w:Pierre_Simon_Laplace|Laplace]] riformulò e generalizzò matematicamente i risultati sperimentali ottenuti da [[w:Jean-Baptiste_Biot|Biot]] e [[w:Félix_Savart|Savart]]: un filo rettilineo percorso da corrente <math>i\ </math> genera nello spazio circostante un campo magnetico. Le linee del campo sono delle circonferenze concentriche al filo e la loro intensità diminuisce linearmente con la distanza <math>r\ </math> dal filo. A partire da questa osservazione sperimentale si ha una legge di valore più generale che lega la corrente <math>i\ </math> che scorre in un tratto infinitesimo <math>\overrightarrow{ds}\ </math> di circuito elettrico al campo di induzione magnetica <math>\vec {dB}\ </math> in un punto a distanza <math>\vec r\ </math> dal filo: :<math>\vec {dB}=\frac {\mu_{\circ}i}{4\pi } \frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}=\frac {\mu_{\circ}i}{4\pi } \frac {\overrightarrow{ds} \times \hat u_r}{r^2} \ </math> Tale legge prende il nome di I legge di Laplace, chiamata anche legge di Biot-Savart, ed evidenzia come il campo di induzione magnetica varii con il quadrato dell'inverso della distanza, come la legge di Coulomb, ma con un carattere vettoriale molto differente. Infatti le componenti del campo di induzione magnetica sono nulle nella direzione radiale. Le linee del campo sono delle circonferenze concentriche alla direzione del filo. La quantità <math>\mu_{\circ}\ </math> è chiamata permeabilità magnetica del vuoto le sue dimensioni sono: :<math>\frac {[B][Lunghezza]}{[Corrente]}\ </math> nel sistema SI <math>\mu_{\circ}\ </math> vale: :<math>\mu_{\circ}=4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac {T\cdot m}A\ </math> Ma si ha anche: :<math>c=\frac 1{\sqrt{\epsilon_o\mu_{\circ}}} \ </math> dove <math>c\ </math> è la velocità della luce nel vuoto. Siccome nel Sistema Internazionale la velocità della luce è una grandezza definita a priori in maniera esatta (<math>c=299792458\ ms^{-1}\ </math>), possiamo anche esprimere la permeabilità magnetica nel vuoto come: :<math>\mu_{\circ}=\frac 1{ \epsilon_o c^2}\ T\cdot m/A\ </math> Il legame tra <math>c\ </math> e <math>\epsilon_o\ </math>, <math>\mu_{\circ}\ </math> non è casuale, ma implica il forte legame tra elettromagnetismo e teoria della relatività ristretta come appare più palese nell'ultima parte di questo capitolo. ===Campo di induzione magnetica di un circuito elettrico=== Il campo di induzione magnetica prodotta da un circuito filiforme <math>L\ </math>, tale cioè che la densità di corrente si possa considerare costante sulla sua sezione, può essere ottenuto integrando la I formula di Laplace lungo <math>L\ </math>. Infatti se definiamo <math>I\ </math> la corrente che circola nel circuito segue che: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3}\ </math> Tale espressione è una generalizzazione della I legge di Laplace e prende il nome di equazione di Biot-Savart (dal punto di vista storico è stata derivata per prima). === Campo di induzione magnetica di un filo rettilineo=== [[Immagine:FILOR.png|thumb|300px|right|Un filo rettilineo percorso da corrente]] Un'applicazione classica della legge di Biot-Savart è il calcolo del campo prodotto da un filo rettilineo. Sia dato un filo rettilineo, come in figura, nel quale scorra una corrente <math>I\ </math>. Si voglia calcolare l'induzione magnetica in un qualsiasi punto <math>P\ </math> dello spazio a distanza <math>R\ </math> dal filo. Scegliamo come asse <math>z\ </math> (con versore <math>\vec{k}\ </math>) il filo stesso e come origine l'intersezione del filo con la normale passante per <math>P\ </math>. Se come asse <math>x\ </math> scegliamo la normale al filo passante per il punto <math>P\ </math> avremo che: :<math>\vec r=(R,0,z)\qquad \overrightarrow{ds}=(0,0,dz)\qquad \overrightarrow{ds} \times \vec r=Rdz\vec j\ </math> Il campo di induzione magnetica prodotto sarà quindi, applicando la equazione di Biot-Savart: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\oint_L\frac {\overrightarrow{ds} \times \vec r}{r^3} = \frac { \mu_{ \circ } } {4\pi} I\int_{-\infty}^{\infty} \frac {Rdz\vec j }{\left( R^2+z^2 \right)^{3/2}}\ </math> Sostituendo la espressione analitica dell'integrale precedente: :<math>\vec{B} =\frac{\mu _{\circ }I\vec{j}}{4\pi R}\left[ \frac z{\sqrt{ R^2+z^2}}\right] _{-\infty}^{\infty}= \frac{\mu _{\circ }I}{2\pi R}\vec{j}=\frac{\mu _{\circ }I}{2\pi R} \vec k\times \vec i\ </math> Quindi il campo di induzione magnetica prodotto da un filo molto lungo e rettilineo genera un campo magnetico diretto secondo circonferenze concentriche al filo. Tale campo diminuisce linearmente con la distanza dal filo stesso. La regola della mano destra, anche in questo caso, può essere di aiuto; infatti se la corrente è indicata dal pollice della mano destra le linee del campo sono rappresentate dalle altre dita della stessa mano. In genere per un qualsiasi circuito filiforme, per punti estremamente vicini al filo, il campo di induzione magnetica è approssimabile con quello di un filo infinitamente lungo. In realtà vi è da aggiungere che sperimentalmente Biot e Savart trovarono che il campo magnetico di un filo rettilineo è l'espressione qui data e in seguito fu derivata la prima equazione di Laplace. ===Campo sull'asse di una spira circolare=== [[Immagine:spiram.png|thumb|300px|right|Una spira circolare percorsa da corrente, l'elemento di filo è stato definito come dl]] Consideriamo una spira di raggio <math>R\ </math> con asse <math>z\ </math> coincidente con l'asse della spira e con origine nel centro della spira stessa. L'elemento <math>d\vec l\ </math> genera un campo: :<math>d\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {\overrightarrow{dl} \times \vec r}{r^3}\ </math> Infatti <math>d\vec l\ </math> è sempre ortogonale a <math>\vec r\ </math>; ma, sull'asse di simmetria, per ogni elemento <math>d\vec l\ </math> ne esiste uno diametralmente opposto che dà un contributo a <math>d \vec B\ </math> eguale in modulo al precedente, ma con componente ortogonale a <math>z\ </math> opposta. Pertanto il campo <math>\vec B\ </math> risultante sarà diretto secondo l'asse delle <math>z\ </math> ed il suo valore sarà pari alla somma delle componenti <math>dB_z\ </math>. Essendo: :<math>dB_z=|d\vec B|\sin \alpha=|dB|\frac Rr\ </math> Quindi, in totale: :<math>B_z=\oint dB_z= \oint \frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {|dl|}{r^2}\frac Rr = \frac {\mu_{\circ}}{4\pi}I\frac {R}{r^3} 2\pi R\ </math> Considerando un punto sull'asse, a distanza <math>z\ </math> dall'origine, si ottiene: [[Immagine:Magnetic_ring_dipole_field_lines_rotated.svg|thumb|300px|left|Le linee del campo di induzione magnetica di una spira percorsa da corrente]] :<math>r^2=R^2+z^2\ </math> :<math>B_z=\frac {\mu_{\circ}}{2\pi(R^2+z^2)^{3/2}}\pi IR^2\ </math> Che con la definizione data di <math>\vec m=I\pi R^2\hat n\ </math> si può anche scrivere: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}\vec m}{2\pi(R^2+z^2)^{3/2}} \ </math> L'espressione a grande distanza è formalmente eguale a quella di un dipolo elettrico. Si può dimostrare con un conto numerico che in generale, un spira percorsa da corrente o un dipolo magnetico con momento magnetico <math>\vec m\ </math>, a distanza grande rispetto alle dimensioni fisiche dell'oggetto generano un campo di induzione magnetica pari a: :<math>\vec B=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi r^5}[3(\vec m\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec m]\ </math> Si noti la perfetta analogia con il campo elettrico generato da un dipolo elettrico. A piccola distanza vi è una differenza sostanziale tra i campi prodotti dai dipoli elettrici e quelli magnetica, infatti, mentre il campo elettrico nello spazio tra le cariche generanti il campo dipolare si inverte, nel caso del campo magnetico, non esistendo i monopoli magnetici le linee del campo sono continue senza invertirsi. Alcuni esercizi [[Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#2._Spira_circolare|es. Spira]], [[Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#3._Un_dipolo_ruotante|es. Dipolo ruotante]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#5._Una_spira_quadrata|es. spira quadrata]], [[Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#6._Un_disco_ruotante|es. disco conduttore ruotante]], [[Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#7._Spira_filo|es. Spira con un filo]], [[Esercizi di fisica con soluzioni/Leggi_di_Laplace_e_Ampère#8._Dipolo_magnetico_e_spira|es. Dipolo magnetico e spira]], precisano meglio quanto detto. ===Campo di un solenoide=== [[Immagine:Solenoid-1_(vertical).png|thumb|100px|right|Un solenoide]] [[Immagine:VFPt Solenoid correct.svg|thumb|300px|right|Linee del campo di un solenoide]] Un solenoide può essere visto come un insieme di molte spire circolari ravvicinate. Il campo all'interno di un solenoide può essere calcolato generalizzando quanto detto per una spira circolare. Un solenoide è la figura a spirale di raggio <math>R\ </math> indicata in figura composta da <math>N\ </math> spire su una lunghezza <math>L\ </math> percorse dalla stessa corrente <math>I\ </math>. Se la lunghezza fosse nulla il campo prodotto sarebbe <math>N\ </math> volte quello di una singola spira. Immaginando il solenoide avvolto in maniera uniforme. Definisco il numero di spire per unità di lunghezza come: :<math>n=\frac NL\ </math> In un tratto <math>dz'\ </math> vi sono <math>dN=ndz'\ </math> spire che generano una corrente <math>dI=nIdz'\ </math>. Poniamo l'origine delle coordinate al centro del solenoide. Il generico punto sul suo asse è <math>z\ </math> mentre il generico elemento del solenoide si trova nel punto di coordinate <math>z'\ </math> Quindi utilizzando l'espressione trovata per [[Fisica_classica/Leggi_di_Laplace#Campo_di_una_spira_circolare|una spira circolare]]: :<math>dB_z=\frac 12\mu_oR^2\frac {dI}{[R^2+(z'-z)^2]^{3/2}}=\frac 12\mu_oIR^2\frac {ndz'}{[R^2+(z'-z)^2]^{3/2}}\ </math> Integrando: :<math>B_z=\frac 12\mu_oInR^2\int_{-L/2}^{L/2}\frac {dz'}{[R^2+(z'-z)^2]^{3/2}}\ </math> Sostituendo a <math>z'-z=y\ </math>, <math>dz'=dy\ </math>: :<math>B_z=\frac 12\mu_oInR^2\int_{-L/2-z}^{L/2-z}\frac {dy}{[R^2+y^2]^{3/2}} = \frac 12\mu_oInR^2\left[ \frac y{R^2\sqrt{R^2+y^2}}\right]_{-L/2-z}^{L/2-z} \ </math> :<math>B_z=\frac 12\mu_oIn\left[ \frac {L/2-z}{\sqrt{R^2+(L/2-z)^2}}+\frac {L/2+z}{\sqrt{R^2+(z+L/2)^2}}\right]\ </math> Se <math>z\ll L\ </math> l'espressione si approssima con: :<math>B_z=\mu_oIn \frac {L}{\sqrt{4R^2+L^2}}\ </math> che nel caso di <math>L\gg R\ </math> diventa: :<math>B_z=\mu_onI\ </math> Mentre a grande distanza <math>z\gg R,L\ </math> il solenoide si comporta come un dipolo magnetico di momento: :<math>\vec m=NI\pi R^2 \hat k\ </math> Un solenoide ideale ha una lunghezza molto maggiore del suo diametro e le spire sono disposte in maniera compatta cioè con distanza trascurabile. In tale caso il campo è lo stesso in qualsiasi punto della sezione. Un solenoide ideale rappresenta l'equivalente magnetico del condensatore a facce piane e parallele per il campo elettrico, in quanto nel suo volume il campo magnetico è uniforme. ===Azioni tra fili paralleli percorsi da corrente=== Consideriamo due fili molto lunghi percorsi da correnti concordi <math>I_1\ </math> ed <math>I_2\ </math> posti a distanza <math>r\ </math>. Assumiamo come asse delle <math>z\ </math> la direzione dei due fili e come asse delle <math>x\ </math> la congiungente i due fili ed origine sul primo filo. Il primo genererà un campo pari: :<math>\vec B=\frac {\mu_o}{2\pi r}I_1\hat j\ </math> Quindi (usando la regola della mano destra) sul tratto <math>l\ </math> del secondo filo agirà una forza: :<math>\vec F=I_2l\hat k \times \vec B=I_2l\frac {\mu_o}{2\pi r}I_1\hat k\times \hat j= -I_2l\frac {\mu_o}{2\pi r}I_1\hat i\ </math> Attrattiva nella direzione della congiungente avendo assunto che le correnti nei fili sono concordi (cioè nella stessa direzione), mentre sarà repulsiva se le correnti sono discordi. Notiamo che al contrario della legge di Coulomb, in cui cariche eguali si respingono, qui correnti nella stessa direzione si attraggono fili sono discordi (in poche parole va in maniera opposta alla forza elettrostatica di Coulomb. Come viene mostrato alla fine di questo capitolo l'effetto è spiegato dalla relatività ristretta. La definizione di ampere è basata su tale espressione. Infatti si definisce <math>1\ A</math> quella corrente che circolando su due fili rettilinei distanti <math>r=1\ m</math> dà luogo ad una forza di <math>2\cdot 10^{-7}\ N</math> per metro. Più in generale la forza che si esercita tra due circuiti (1 e 2), di lunghezza <math>L_1\ </math> e <math>L_2\ </math> vale: :<math>\overrightarrow {F_{12}}=\frac {\mu_oI_1I_2}{4\pi }\int_{L_1}\int_{L_2} \overrightarrow {dl_1}\times \left(\frac {\overrightarrow {dl_1}\times \overrightarrow {r_{12}}}{r_{12}^3}\right)\ </math> === Campo di una carica in moto === Se consideriamo che vale l'identità: :<math>I\overrightarrow{dl}=\vec{J}d\tau \ </math> Dove <math>d\tau\ </math> è il volume infinitesimo di dimensione longitudinale <math>dl\ </math>. La I equazione di Laplace può anche essere scritta: :<math>\vec {dB}=\frac {\mu_{\circ}}{4\pi } \frac {\vec{J} \times \vec r}{r^3}d\tau =\frac {\mu_{\circ}nq}{4\pi } \frac {\vec{v} \times \vec r}{r^3}d\tau \ </math> Dove <math>n\ </math> è il numero di cariche per unità di volume e quindi <math>dN=nd\tau\ </math> è il loro numero nel volume infinitesimo. Sostituendo anche a <math>\mu_{\circ}\ </math> la sua espressione in funzione di <math>c\ </math> si ha che il campo di induzione magnetica generato da una singola carica (dividendo per <math>dN\ </math>) vale: :<math>\vec{B} =\frac 1{4\pi \epsilon_oc^2}q\frac {\vec v\times \vec r}{r^3}\ </math> Ma il campo elettrico generato da una carica puntiforme in un punto a distanza <math>r\ </math> da essa vale: :<math>\vec{E}=\frac 1{4\pi \epsilon_o }\frac {q \vec r}{r^3}\ </math> Quindi possiamo scrivere che: :<math>\vec{B} =\frac 1{c^2}\vec v\times \vec E\ </math> In questa espressione si vede come il massimo campo che può essere generato da una carica in moto è per una carica che si muova alla velocità della luce. In ogni caso l'intensità del campo magnetico è proporzionale al rapporto <math>v/c^2\ </math>. === Interpretazione relativistica=== Se ho due cariche eguali, in moto parallelo con velocità eguale <math>v\ </math> a distanza <math>r\ </math> la forza elettrica vale: :<math>\vec{F_E}=\frac {q^2}{4\pi \epsilon_o }\frac {\vec r}{r^3}\ </math> Mentre per quanto riguarda la forza dovuta al campo magnetico generato dalla prima carica sulla seconda: :<math>\vec {F_B}=q\vec v\times \left(\frac 1{4\pi \epsilon_oc^2}q\frac {\vec v\times \vec r}{r^3}\right)=-\frac {q^2}{4\pi \epsilon_o }\frac { \vec r}{r^3}\frac {v^2}{c^2}\ </math> Quindi la forza totale vale: :<math>\vec{F}=\frac {q^2}{4\pi \epsilon_o }\frac { \vec r}{r^3}\left( 1-\frac {v^2}{c^2}\right)\ </math> L'interpretazione secondo la [[w:Relatività_ristretta|relatività ristretta]] è logica: se mi muovo con velocità eguale a quella delle cariche, in tale sistema di riferimento le cariche sono ferme ed ho solo il campo elettrico e la forza repulsiva è quella dovuta alla forza di Coulomb; invece, in un sistema di riferimento in cui le cariche sono in moto il campo elettrico, che si propaga con la velocità della luce, parte da una carica e deve arrivare sull'altra, quindi dovendo fare un percorso maggiore arriva ridotto (rispetto al caso in cui le cariche sono ferme); al limite, in un sistema di riferimento in cui le cariche si muovono alla velocità della luce, nessuna forza elettrica arriva sull'altra, in quanto la velocità del campo elettrico è eguale a quella delle cariche. Quindi il campo magnetico è una manifestazione di un effetto puramente relativistico. Un filo percorso da corrente non genera un campo elettrico in quanto il numero della cariche negative che si muovono è pari a quello delle cariche positive; tuttavia, il moto delle cariche genera un campo magnetico (l'effetto relativistico) che invece, a causa del numero molto elevato dei portatori di carica, genera effetti macroscopici. Il campo magnetico è in realtà un effetto relativistico che dipende sia dal sistema di riferimento che dalla limitazione della velocità della luce. Cioè se la velocità della luce fosse infinita non avrei il campo magnetico e se le cariche nel mio sistema di riferimento sono ferme non ho effetti magnetici. [[Fisica_classica/Legge di Ampère| Argomento seguente: Legge di Ampère]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} fguu40ty9xomafl1jtxppbv1xa1pwwe 10 31506 498233 498227 2026-05-22T13:22:51Z Galati Antonello 3277 + nuovo capitolo 498233 wikitext text/x-wiki {{Sommario V |titolo=Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica |contenuto= #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Sistema binario, operazioni di base, materiale propedeutico}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Memoria di massa}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Rappresentazione delle informazioni mediante pattern di bit}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Rappresentazione dei numeri interi}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Rappresentazione dei numeri frazionari}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica/Compressione dei dati}} #{{Modulo|Fondamenti di informatica - 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Roosevelt (''Opus 39'') * '''Anno:''' 1878 * '''Restauri/modifiche:''' sì: ampliamento, elettrificazione e sostituzione consolle (1979) * '''Registri:''' 31 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nei pressi del presbiterio * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento a ridosso della parete di fondo * '''Note:''' trasferito dalla [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lazio/Città metropolitana di Roma/Roma/Roma - Chiesa episcopale di San Paolo entro le mura|chiesa episcopale di San Paolo entro le mura]] in Roma (per la quale era stato costruito) nel 1962 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Choir'''''<ref>espressivo.</ref> ---- |- |Diapason || 8' |- |Bourdon || 8' |- |Quintaton || 8' |- |Dolce || 8' |- |Salicional || 8' |- |Flute || 4' |- |Flageolette || 2' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Great Organ''''' ---- |- |Double diapason || 16' |- |Diapason || 8' |- |Gamba || 8' |- |Doppel Flöte || 8' |- |Flauto dolce || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Flûte harmonique || 4' |- |Principal || 4' |- |Twelfth || 2.2/3' |- |Mixture || 4 ranks |- |Trumpet || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Swell''''' ---- |- |Bourdon || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Flute || 8' |- |Gamba || 8' |- |Aeolina || 8' |- |Principal || 4' |- |Vox coelestis || 8' |- |Trumpet || 8' |- |Oboe || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedal''' ---- |- |Double open diapason || 16' |- |Bourdon || 16' |- |Gamba ||16' |- |Echobass || 16' |- |Cello || 8' |- |Bombarda || 16' |- |} |} ; Disposizione fonica originaria {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Great Organ''''' ---- |- |Open diapason || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Gamba || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Stop diapason || 8' |- |Quint || 6' |- |Principal || 4' |- |Harmonic flute || 4' |- |Twelfth || 3' |- |Mixture || 4 ranks |- |Trumpet || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Swell''''' ---- |- |Bourdon || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Stop diapason || 8' |- |Salicional || 8' |- |Dolce || 8' |- |Wald flute || 4' |- |Principal || 4' |- |Fifteenth || 3' |- |Cornet || 3 ranks |- |Oboe || 8' |- |Tremulant |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedal''' ---- |- |Double open || 16' |- |Bourdon || 16' |- |Double gamba ||16' |- |Violoncello || 8' |- |Trombone || 16' |- |} |} == Note == <references/> == Bibliografia == * {{cita libro|autore=Graziano Fronzuto|titolo=Organi di Roma. Guida pratica orientativa agli organi storici e moderni|editore=Leo S. Olschki Editore|città=Firenze|anno=2007|isbn=978-88-222-5674-4|cid=G. Fronzuto|pp=133-134}} == Altri progetti == {{ip|commons=Category:Gesù Bambino a Sacco Pastore - Pipe organ|commons_preposizione=sull'|commons_etichetta=organo a canne}} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://pipeorgandatabase.org/OrganDetails.php?OrganID=57870|titolo=Hilborne L. Roosevelt No. 39 (1878)|sito=pipeorgansdatabase.org|accesso=9 aprile 2020|lingua=en}} {{Avanzamento|100%|27 marzo 2019}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 9e6rk7ywrx7rzexr8vgrf4amc8ln9b2 498253 498252 2026-05-22T21:35:03Z Pufui PcPifpef 7952 /* Altri progetti */ 498253 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} {{doppia immagine|center|Roma, chiesa di Gesù Bambino a Sacco Pastore - Organo a canne 1.jpg|416|Roma, chiesa di Gesù Bambino a Sacco Pastore - Organo a canne, consolle.jpg|160| }} * '''Costruttore:''' Hilborne L. Roosevelt (''Opus 39'') * '''Anno:''' 1878 * '''Restauri/modifiche:''' sì: ampliamento, elettrificazione e sostituzione consolle (1979) * '''Registri:''' 31 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nei pressi del presbiterio * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento a ridosso della parete di fondo * '''Note:''' trasferito dalla [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lazio/Città metropolitana di Roma/Roma/Roma - Chiesa episcopale di San Paolo entro le mura|chiesa episcopale di San Paolo entro le mura]] in Roma (per la quale era stato costruito) nel 1962 {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Choir'''''<ref>espressivo.</ref> ---- |- |Diapason || 8' |- |Bourdon || 8' |- |Quintaton || 8' |- |Dolce || 8' |- |Salicional || 8' |- |Flute || 4' |- |Flageolette || 2' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Great Organ''''' ---- |- |Double diapason || 16' |- |Diapason || 8' |- |Gamba || 8' |- |Doppel Flöte || 8' |- |Flauto dolce || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Flûte harmonique || 4' |- |Principal || 4' |- |Twelfth || 2.2/3' |- |Mixture || 4 ranks |- |Trumpet || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Swell''''' ---- |- |Bourdon || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Flute || 8' |- |Gamba || 8' |- |Aeolina || 8' |- |Principal || 4' |- |Vox coelestis || 8' |- |Trumpet || 8' |- |Oboe || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedal''' ---- |- |Double open diapason || 16' |- |Bourdon || 16' |- |Gamba ||16' |- |Echobass || 16' |- |Cello || 8' |- |Bombarda || 16' |- |} |} ; Disposizione fonica originaria {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Great Organ''''' ---- |- |Open diapason || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Gamba || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Stop diapason || 8' |- |Quint || 6' |- |Principal || 4' |- |Harmonic flute || 4' |- |Twelfth || 3' |- |Mixture || 4 ranks |- |Trumpet || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Swell''''' ---- |- |Bourdon || 16' |- |Open diapason || 8' |- |Stop diapason || 8' |- |Salicional || 8' |- |Dolce || 8' |- |Wald flute || 4' |- |Principal || 4' |- |Fifteenth || 3' |- |Cornet || 3 ranks |- |Oboe || 8' |- |Tremulant |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedal''' ---- |- |Double open || 16' |- |Bourdon || 16' |- |Double gamba ||16' |- |Violoncello || 8' |- |Trombone || 16' |- |} |} == Note == <references/> == Bibliografia == * {{cita libro|autore=Graziano Fronzuto|titolo=Organi di Roma. 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Le molecole di solvente circondano le molecole di soluto grazie alle attrazioni intermolecolari tra di essi, in un processo chiamato [[w:Solvatazione|solvatazione]]. Quando il solvente coinvolto è l'acqua, la solvatazione assume il nome di [[w:Idratazione_(chimica)|idratazione.]] Fattori come la temperatura, la pressione e l'agitazione possono influenzare la velocità di formazione di una soluzione. Le soluzioni possono essere solide, come la maggior parte delle [[w:Lega_(metallurgia)|leghe metalliche]], liquide, come le [[w:Bevanda_alcolica|bevande alcoliche,]] o aeriformi, come l'[[w:Aria|aria]]. == Gli elettroliti == Gli [[w:Elettrolita|elettroliti]] sono composti che in acqua formano ioni e rendono <u>elettricamente conduttrice</u> la soluzione, solitamente acquosa, in cui sono disciolti. Questo può avvenire tramite due processi: la ionizzazione e la dissociazione. ==== Ionizzazione ==== * La ionizzazione è uno dei due processi con cui si possono creare soluzioni elettrolitiche. Avviene unendo composti molecolari ionizzabili e acqua. ''Nel caso sottostante viene messo acido cloridrico in acqua. Il dipolo dell’acqua riesce a rompere il legame covalente tra l’idrogeno e il cloro. Di conseguenza si formano ioni che rendono la soluzione in grado di condurre elettricità.'' <chem>HCl{(g)} ->[H2O] H^+{(aq)} + Cl^- {(aq)}</chem> ==== Dissociazione ==== * Si chiama dissociazione e non ionizzazione perché in questo caso gli ioni sono già presenti (i sali infatti sono composti ionici), vengono semplicemente separati tra loro. La dissociazione avviene unendo un composto ionico all'acqua. Anche questo processo, come la ionizzazione, porta alla creazione di soluzioni elettrolitiche. ''Se si mette NaCl in acqua, le molecole d’acqua separano gli ioni di carica opposta presenti nel sale. Attraverso questo processo si creano ioni che permettono la conduzione elettrica.'' <chem> NaCl{(g)} ->[H2O] Na^+{(aq)} + Cl^- {(aq)} </chem> == Le soluzioni elettrolitiche == Gli elettroliti possono essere acidi o basi. Gli acidi sono elettroliti che in acqua formano una soluzione elettrolitica liberando ioni H+, mentre le basi invece liberano ioni OH‐. Sia le soluzioni acide che quelle basiche conducono la corrente elettrica. ''L'acido nitrico (acido) in acqua forma una soluzione acida.'' <chem> HNO3{(l)} ->[H2O] H^+{(aq)} + NO3^- {(aq)} </chem> ''L'idrossido di sodio (base) in acqua forma una soluzione basica.'' <chem> NaOH{(s)} ->[H2O] Na^+{(aq)} + OH^- {(aq)} </chem> == pH == [[File:PH Scale.png|miniatura|317x317px|Scala pH.]] Il [[w:PH|pH,]] è una grandezza fisica che indica l'acidità (e quindi la basicità) in soluzioni gassose e liquide. Il valore dipende dalla quantità di ioni H+ presenti nella soluzione. Maggiore è la concentrazione degli ioni, più basso è il valore del pH, è quindi più acida è la soluzione. Invece meno protoni sono presenti, più la soluzione è basica. La soluzione è neutra se il valore del pH è pari a 7, e questo valore corrisponde alla quantità di ioni presenti in acqua pura a 25°C. == La solubilità == La [[w:Solubilità|solubilità]] rappresenta la massima quantità di soluto che può essere sciolta in un solvente. È quindi la '''massima concentrazione possibile''' (ad una certa temperatura). È in genere riferito a soluzioni liquide. Quando invece tentiamo di sciogliere più soluto in un solvente di quanto indicato dalla solubilità, il soluto non si scioglie più. In questo caso si parla di una '''soluzione satura'''. === Solubilità e temperatura === [[File:Solubilità diretta e inversa.jpg|miniatura|281x281px|Grafico solubilità in funzione della temperatura.]] La solubilità di una determinata sostanza dipende dalla '''temperatura'''. Nella maggior parte delle volte, soprattutto per i soluti solidi, aumenta in modo proporzionale ad essa. Le soluzioni che si comportano in questo modo sono dette endotermiche o a solubilità diretta. Le soluzioni che quando vengono scaldate diminuiscono la loro solubilità si chiamano esotermiche o a solubilità inversa (per esempio soluzioni gassose come NH₃). === Solubilità e pressione === A differenza di solidi e liquidi, la solubilità dei gas dipende anche dalla '''pressione'''. Aumentando la pressione di un gas sopra una soluzione liquida, in genere aumenta la solubilità del gas nella soluzione. Questo principio è noto come [[w:Legge_di_Henry|legge di Henry.]] La legge di Henry afferma quindi che, a temperatura costante, la quantità di gas dissolto in una soluzione è direttamente proporzionale alla pressione parziale del gas sopra la soluzione. Quindi, se aumenti la pressione sopra una soluzione liquida, la quantità di gas che può essere dissolta in quella soluzione aumenterà di conseguenza. <math>\operatorname C=kP</math> ''dove P è la pressione del gas sulla soluzione, C è la concentrazione del gas nella soluzione e k è una costante tipica di ciascun gas che correla la pressione del gas sulla soluzione e la sua concentrazione.'' == Le concentrazioni di soluzioni == La concentrazione di una soluzione esprime la quantità relativa dei soluti rispetto al solvente. Può essere espressa mediante diverse unità di misura: percentuale in massa, percentuale massa su volume, percentuale in volume, parte per milioni in massa e parti per milioni in volume. Misurare la concentrazione in funzione della massa e del volume {| class="wikitable" |+Tabella delle unità di misura per esprimere la concentrazione in funzione della massa e del volume !'''CONCENTRAZIONE''' !FORMULA |- |'''percentuale in massa''' |'''''%m/m='''''<math>{m. soluto(g) \over m.soluzione(g)}\times 100</math> |- |'''percentuale massa su volume''' |'''''%m/V='''''<math>{m. soluto (g) \over V soluzione(mL)}\times100</math> |- |'''percentuale in volume''' |'''''%V/V='''''<math>{V soluto (mL) \over Vsoluzione(mL)}\times 100</math> |- |'''ppm in massa''' |'''''ppm='''''<math>{ m. soluto(mg)\over m. soluzione(Kg)}</math> |- |'''ppm in volume''' |'''''ppm='''''<math>{Vsoluto(\mu L)\over Vsoluzione(L)}</math> |} In generale, una soluzione si dice concentrata se è presente una grande quantità di soluto in un certo volume di solvente. Nella situazione opposta si parla di soluzione diluita. E' anche possibile esprimere la concentrazione in funzione della mole utilizzando: [[w:Concentrazione_di_quantità_di_sostanza|molarità (o concentrazione di quantità di sostanza)]], [[w:Molalità|molalità]] e [[w:Frazione_molare|frazione molare]]. * La molarità (M) è il rapporto tra il numero di moli del soluto e il volume della soluzione. Essa dipende dalla temperatura, essendo infatti dipendente a sua volta dal volume della soluzione. * La molalità (m) è il rapporto tra il numero di moli del soluto e la massa del solvente. A differenza della molarità, la molalità non dipende dalla temperatura perché non varia al variare del volume. * La frazione molare (X) è il rapporto tra il numero di moli di un componente e quello di tutti i componenti della soluzione. È adimensionale, poiché deriva dal rapporto di grandezze uguali. {| class="wikitable" |+Tabella riassuntiva delle modalità per esprimere la concentrazione in funzione del numero di moli !CONCENTRAZIONE !FORMULA |- |'''molarità''' |'''M='''<math>{n. soluto (mol) \over V soluzione (L )}</math> |- |'''molalità''' |'''m='''<math>{n.soluto(mol) \over m. solvente (Kg)}</math> |- |'''frazione molare''' |'''X(a)='''<math>{n(a) \over n. totali}</math> |} == Esercizi sulle concentrazioni == '''Esempio di esercizio svolto:''' Determina la molarità di una soluzione che ha come soluto 40g di NaOH e come volume della soluzione 3L. Per determinare il numero di moli del soluto bisogna applicare la formula: <math>n={m(g) \over Massa Molare(g/mol)}</math> Per prima cosa trova la massa molare del soluto sommando le singole masse molari di NaOH: Massa molare= 23+16+1=40 g/mol Le moli di soluto sono: n = m(soluto) /MM= 40/40= 1 mol Ora abbiamo tutti i dati per calcolare la molarità attraverso la seguente formula: <math>Molar.= {n(soluto) \over V (soluzione)}</math> = 1 / 3 = 0.33 mol/L '''Ora prova tu:'''<quiz> {Una soluzione formata da cloruro di sodio (NaCl) e acqua (H2O). Sciogliendo 124 g del sale in acqua, il volume della soluzione è pari a 2L. Calcola la concentrazione %m/V. |type="()"} + 6,4 %m/V. - 4,6 %m/V. - 7,1 %m/V. - 6,9 %m/V. {Il volume del soluto é 25 mL, mentre quello della soluzione é 250 cm3. Calcola la concentrazione %V/V. |type="()"} - 11 %V/V. + 10 %V/V. - 8,1 %V/V. - 6,9 %V/V. {In una soluzione la massa del soluto è pari a 620 g, mentre la massa del solvente é 1Kg. Calcola la percentuale massa su massa. |type="()"} - 31,11 %m/m. - 28,3 %m/m. - 41,11 %m/m. + 38,3 %m/m. {Data come molaritá 4 mol/L, determina il numero di moli di NaCl in usa soluzione di 300mL. |type="()"} - 2,6 mol. - 2,2 mol. + 1,2 mol. - 0,5 mol. {Calcola la molalitá di una soluzione composta da 2 moli di soluto in 500 g di solvente. |type="()"} - 2,6 mol/kg. - 2,2 mol/kg. + 4 mol/kg. - 0,5 mol/kg. {Avendo 2 g di NaOH, in 100mL di soluzione, trova la molaritá. |type="()"} + 0,5 mol/L. - 0,05 mol/L. - 5 mol/L. - 5,5 mol/L. = Esercizi sulle soluzioni e le diverse modalità di esprimerle (M, m, X) = </quiz> == Le proprietà colligative == Nelle [[w:Soluzione_(chimica)|soluzioni]], i legami fra particelle di solvente e soluto modificano alcune proprietà della soluzione rispetto al solvente puro, come ad esempio [[w:Pressione_di_vapore|tensione di vapore]] (ossia la pressione esercitata in un sistema chiuso ed equilibrio termodinamico dal vapore sul liquido da cui si è formato), punto di ebollizione e punto di fusione. Tali proprietà sono dette “[[w:Proprietà_colligative|proprietà colligative]]” e sono caratteristiche delle soluzioni che '''dipendono unicamente dal numero di particelle presenti e dalla concentrazione del soluto, e non dalla loro natura chimica specifica'''. == L'abbassamento della tensione di vapore == Dato che le molecole di solvente sono attratte con più forza dalle molecole di soluto che da altre molecole di solvente, hanno bisogno di più energia per sfuggire alla soluzione e diventare vapore: la [[w:Pressione_di_vapore|tensione di vapore]] di una soluzione dal soluto non volatile (cioè che non passa allo stato di vapore) sarà quindi più bassa rispetto al solvente puro, il punto di ebollizione sarà più alto e il punto di congelamento più basso, perché le molecole di soluto ostacolano quelle di solvente. Queste considerazioni sono valide per le cosiddette “soluzioni ideali”, ossia con una molarità inferiore a 0,1. Secondo la [[w:Legge_di_Raoult|legge di Raoult]] la tensione di vapore di una soluzione il cui soluto non è volatile è direttamente proporzionale alla frazione molare e la tensione di vapore del solvente. <chem>Psolvente * Xsolvente = Psoluzione</chem> == Esercizi sulle proprietà colligative e l'abbassamento della tensione di vapore == Una soluzione è ottenuta sciogliendo 5,00g di saccarosio, <chem>C12H22O11</chem>, in 100,0g di acqua. Calcola la sua tensione di vapore a 20°C, sapendo che, alla stessa temperatura, la tensione di vapore del solvente è pari a 17,54mmHg: # determina la massa molare dei due componenti # la loro quantità chimica in moli # la frazione molare del solvente. E se invece fossero 5,00g di cloruro di sodio <chem>NaCl</chem>? == L'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico == In breve, l'innalzamento ebullioscopico è l'aumento del punto di ebollizione del solvente quando vi si scioglie un soluto. L'abbassamento crioscopico, dall'altra parte, è l'abbassamento del punto di congelamento di un solvente quando vi si scioglie un soluto. [[w:Innalzamento_ebullioscopico|L'innalzamento ebullioscopico]] è, quindi, la differenza tra le [[w:Punto_di_ebollizione|temperature di ebollizione]] di un solvente puro e quella di una soluzione in cui è presente il solvente puro. Ciò significa che per fare in modo che la soluzione bolla, deve raggiungere una temperatura superiore a quella richiesta per il [[w:Solvente|solvente]] puro. Allo stesso modo durante il raffreddamento a causa del soluto, la solidificazione viene ostacolata abbassando il punto di congelamento. L'innalzamento della temperatura di ebollizione è in genere piccolo, mentre la diminuzione del punto di congelamento è più grande. A parità di concentrazione di una [[w:Soluzione_acquosa|soluzione acquosa]] [[w:Abbassamento_crioscopico|l'abbassamento crioscopico]] è circa 4 volte più grande dell'innalzamento ebullioscopico. L'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico sono descritti da due equazioni. '''Innalzamento ebullioscopico''' <math>t_{eb.soluzione}-t_{eb.solvente}=\Delta t_{eb}=k_{eb}mi</math> '''Abbassamento crioscopico''' <math>t_{cong.soluzione}-t_{cong.solvente}=\Delta t_{c}=-k_{c}mi</math> <math>\Delta t_{eb}</math>= variazione del punto di ebollizione <math>\Delta t_{c}</math>= variazione del punto di conge12lamento <math>k_{eb}</math>= costante ebullioscopica <math>k_{c}</math>= costante crioscopica <math>i</math>= [[w:Coefficiente_di_van_'t_Hoff|coefficiente di van't Hoff]] <math>m</math>= [[w:Molalità|molalità]] della soluzione La differenza di temperatura può essere espressa sia in gradi Celsius che [[w:Kelvin|Kelvin]]. Le costanti crioscopica ed ebullioscopica sono caratteristiche del solvente. Il coefficiente di van't Hoff indica il numero totale di moli di particelle che si liberano da una mole di soluto {| class="wikitable" |+Tabella con le costanti ebullioscopiche e crioscopiche di alcuni solventi !Sostanza !costante crioscopica (°C kg/mol) !costante ebulloscopica (°C kg/mol) |- |acqua (<chem>H2O</chem>) |1,86 |0,51 |- |acido acetico (<chem>C2H4O2</chem>) |3,90 |3,07 |- |cloroformio (<chem>CHCl3</chem>) |4,67 |3,63 |- |benzene (<chem>C6H6</chem>) |5,12 |2,53 |- |nitrobenzene (<chem>C6H5NO2</chem>) |6,89 | - |- |fenolo (<chem>C6H5OH</chem>) |7,27 |3,04 |- |canfora (<chem>C10H16O</chem>) |39,7 |5,61 |} == L'osmosi e la pressione osmotica == Anche l[[w:Osmosi|'osmosi]] è una [[w:Proprietà_colligative|proprietà colligativa]]. Indica la diffusione del solvente e di alcuni [[w:Soluto|soluti]] attraverso una membrana semipermeabile. La membrana separa due soluzioni di diversa concentrazione. La [[w:Pressione_osmotica|pressione osmotica]] rappresenta la [[w:Pressione_idrostatica|pressione idrostatica]] che bisogna esercitare su una soluzione, separata da un'altra soluzione per mezzo di una [[w:Membrana_semipermeabile|membrana semipermeabile]], perché in essa non entri altro solvente. [[File:Pressione osmotica.jpg|miniatura|Effetto della pressione osmotica]] Le soluzioni che hanno uguale [[w:Concentrazione_(chimica)|concentrazione]] e pressione osmotica si dicono [[w:Pressione_osmotica#Soluzioni_ipotoniche,_isotoniche_e_ipertoniche|isotoniche]]. Quando due soluzioni hanno concentrazione e pressione osmotica diverse, quella con concentrazione maggiore si dice ipertonica e quella con concentrazione minore si dice ipotonica. Esiste anche un processo chiamato [[w:Osmosi_inversa|osmosi inversa]] che viene utilizzato principalmente per ricavare acqua dolce dal mare e per rimuovere le sostanze inquinanti. Se alla soluzione più concentrata si applica una pressione maggiore della pressione osmotica, le molecole del solvente passano dalla soluzione più concentrata a quella meno concentrata. La pressione osmotica si misura in [[w:Atmosfera_(unità_di_misura)|atmosfere]] (<math>atm</math>). Nelle soluzioni ideali, la pressione osmotica è proporzionale alla concentrazione di particelle e alla [[w:Temperatura_assoluta|temperatura assoluta]]. La relazione che lega queste grandezze si chiama equazione di van't Hoff. Equazione di van't Hoff <math>\Pi V=nRTi</math> Per le soluzioni ideali: <math>\Pi =MRTi</math> <math>\Pi</math>= pressione osmotica <math>V</math>= volume <math>M</math>= molarità <math>n</math>= numero di moli <math>R</math>= [[w:Costante_dei_gas|costante universale dei gas]] <math>T</math>= temperatura assoluta <math>i</math>= coefficiente di van't Hoff == Esercizi sull'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico == <quiz display=simple> { Rispondi alle seguenti domande |type="{}"} Determina il punto di congelamento di una soluzione acquosa al 21% m/m di NaCl. { -17°C } { &nbsp; |type="{}"} La canfora congela a 178.4° C e la sua costante crioscopica vale KCr = 40.0° C Kg/mole. Si prepara una soluzione sciogliendo 1.50 grammi di un soluto non elettrolita poco volatile in 35 grammi di canfora. La soluzione congela a 164.7° C. Calcolare la massa molare del soluto. { 125 u.m.a. } { &nbsp; |type="{}"} Si calcoli l'innalzamento ebullioscopico di una soluzione acquosa ottenuta sciogliendo 10 g NaCl (MM = 58,44 g/mol) in 500 g di acqua, essendo noto che per l'acqua Keb = 0,515 (°C · kg) / mol. { 0,35 } </quiz> == Esercizi sulla pressione osmotica == <quiz display=simple> { Rispondi alle seguenti domande |type="{}"} La pressione osmotica di 500 mL di una soluzione acquosa che contiene 4,05 g di un composto incognito non elettrolita è di 2,33 atm a 30°C. Determina la massa molare del soluto. { 83,5 g/mol } { &nbsp; |type="{}"} Calcola la pressione osmotica di 2,00 L di soluzione contenente 18 g di glucosio a 25°C. { 1,224 atm } { &nbsp; |type="{}"} Una soluzione acquosa di acido benzoico (C6H5COOH) ha una concentrazione del 10% in massa e una densità di 1,050 g/cm3. Calcolare il valore della pressione osmotica della soluzione alla temperatura di 295 K. { 20,8 } atm </quiz> == Fonti == * Libro "Chimica: concetti e modelli." * https://chemhacks.home.blog/le-concentrazioni-percentuali-esercizi/ [[Categoria:Chimica per il liceo|soluzioni]] 4wkm4myv5pu68bqcjuavhdl452ls4zc 498257 498256 2026-05-23T07:17:54Z AnnaRotras 54220 /* Esercizi sulle concentrazioni */ 498257 wikitext text/x-wiki {{Chimica per il liceo 2}} {{avanzamento|100%}} == Le soluzioni == [[File:SaltInWaterSolutionLiquid.jpg|miniatura|239x239px|Esempio di una soluzione (NaCl è il soluto, l'acqua è il solvente).]] In chimica una soluzione si definisce come un '''miscuglio omogeneo''' composto da due o più sostanze che si mescolano uniformemente tra loro. Una soluzione si forma quando le particelle di soluto e solvente si mescolano a livello molecolare per creare un'unica fase omogenea. Il '''solvente''' è il componente presente in quantità maggiore, il '''soluto''' (o i soluti) è quello presente in quantità minore. Possono esserci più soluti, ma un solo solvente. Le molecole di solvente circondano le molecole di soluto grazie alle attrazioni intermolecolari tra di essi, in un processo chiamato [[w:Solvatazione|solvatazione]]. Quando il solvente coinvolto è l'acqua, la solvatazione assume il nome di [[w:Idratazione_(chimica)|idratazione.]] Fattori come la temperatura, la pressione e l'agitazione possono influenzare la velocità di formazione di una soluzione. Le soluzioni possono essere solide, come la maggior parte delle [[w:Lega_(metallurgia)|leghe metalliche]], liquide, come le [[w:Bevanda_alcolica|bevande alcoliche,]] o aeriformi, come l'[[w:Aria|aria]]. == Gli elettroliti == Gli [[w:Elettrolita|elettroliti]] sono composti che in acqua formano ioni e rendono <u>elettricamente conduttrice</u> la soluzione, solitamente acquosa, in cui sono disciolti. Questo può avvenire tramite due processi: la ionizzazione e la dissociazione. ==== Ionizzazione ==== * La ionizzazione è uno dei due processi con cui si possono creare soluzioni elettrolitiche. Avviene unendo composti molecolari ionizzabili e acqua. ''Nel caso sottostante viene messo acido cloridrico in acqua. Il dipolo dell’acqua riesce a rompere il legame covalente tra l’idrogeno e il cloro. Di conseguenza si formano ioni che rendono la soluzione in grado di condurre elettricità.'' <chem>HCl{(g)} ->[H2O] H^+{(aq)} + Cl^- {(aq)}</chem> ==== Dissociazione ==== * Si chiama dissociazione e non ionizzazione perché in questo caso gli ioni sono già presenti (i sali infatti sono composti ionici), vengono semplicemente separati tra loro. La dissociazione avviene unendo un composto ionico all'acqua. Anche questo processo, come la ionizzazione, porta alla creazione di soluzioni elettrolitiche. ''Se si mette NaCl in acqua, le molecole d’acqua separano gli ioni di carica opposta presenti nel sale. Attraverso questo processo si creano ioni che permettono la conduzione elettrica.'' <chem> NaCl{(g)} ->[H2O] Na^+{(aq)} + Cl^- {(aq)} </chem> == Le soluzioni elettrolitiche == Gli elettroliti possono essere acidi o basi. Gli acidi sono elettroliti che in acqua formano una soluzione elettrolitica liberando ioni H+, mentre le basi invece liberano ioni OH‐. Sia le soluzioni acide che quelle basiche conducono la corrente elettrica. ''L'acido nitrico (acido) in acqua forma una soluzione acida.'' <chem> HNO3{(l)} ->[H2O] H^+{(aq)} + NO3^- {(aq)} </chem> ''L'idrossido di sodio (base) in acqua forma una soluzione basica.'' <chem> NaOH{(s)} ->[H2O] Na^+{(aq)} + OH^- {(aq)} </chem> == pH == [[File:PH Scale.png|miniatura|317x317px|Scala pH.]] Il [[w:PH|pH,]] è una grandezza fisica che indica l'acidità (e quindi la basicità) in soluzioni gassose e liquide. Il valore dipende dalla quantità di ioni H+ presenti nella soluzione. Maggiore è la concentrazione degli ioni, più basso è il valore del pH, è quindi più acida è la soluzione. Invece meno protoni sono presenti, più la soluzione è basica. La soluzione è neutra se il valore del pH è pari a 7, e questo valore corrisponde alla quantità di ioni presenti in acqua pura a 25°C. == La solubilità == La [[w:Solubilità|solubilità]] rappresenta la massima quantità di soluto che può essere sciolta in un solvente. È quindi la '''massima concentrazione possibile''' (ad una certa temperatura). È in genere riferito a soluzioni liquide. Quando invece tentiamo di sciogliere più soluto in un solvente di quanto indicato dalla solubilità, il soluto non si scioglie più. In questo caso si parla di una '''soluzione satura'''. === Solubilità e temperatura === [[File:Solubilità diretta e inversa.jpg|miniatura|281x281px|Grafico solubilità in funzione della temperatura.]] La solubilità di una determinata sostanza dipende dalla '''temperatura'''. Nella maggior parte delle volte, soprattutto per i soluti solidi, aumenta in modo proporzionale ad essa. Le soluzioni che si comportano in questo modo sono dette endotermiche o a solubilità diretta. Le soluzioni che quando vengono scaldate diminuiscono la loro solubilità si chiamano esotermiche o a solubilità inversa (per esempio soluzioni gassose come NH₃). === Solubilità e pressione === A differenza di solidi e liquidi, la solubilità dei gas dipende anche dalla '''pressione'''. Aumentando la pressione di un gas sopra una soluzione liquida, in genere aumenta la solubilità del gas nella soluzione. Questo principio è noto come [[w:Legge_di_Henry|legge di Henry.]] La legge di Henry afferma quindi che, a temperatura costante, la quantità di gas dissolto in una soluzione è direttamente proporzionale alla pressione parziale del gas sopra la soluzione. Quindi, se aumenti la pressione sopra una soluzione liquida, la quantità di gas che può essere dissolta in quella soluzione aumenterà di conseguenza. <math>\operatorname C=kP</math> ''dove P è la pressione del gas sulla soluzione, C è la concentrazione del gas nella soluzione e k è una costante tipica di ciascun gas che correla la pressione del gas sulla soluzione e la sua concentrazione.'' == Le concentrazioni di soluzioni == La concentrazione di una soluzione esprime la quantità relativa dei soluti rispetto al solvente. Può essere espressa mediante diverse unità di misura: percentuale in massa, percentuale massa su volume, percentuale in volume, parte per milioni in massa e parti per milioni in volume. Misurare la concentrazione in funzione della massa e del volume {| class="wikitable" |+Tabella delle unità di misura per esprimere la concentrazione in funzione della massa e del volume !'''CONCENTRAZIONE''' !FORMULA |- |'''percentuale in massa''' |'''''%m/m='''''<math>{m. soluto(g) \over m.soluzione(g)}\times 100</math> |- |'''percentuale massa su volume''' |'''''%m/V='''''<math>{m. soluto (g) \over V soluzione(mL)}\times100</math> |- |'''percentuale in volume''' |'''''%V/V='''''<math>{V soluto (mL) \over Vsoluzione(mL)}\times 100</math> |- |'''ppm in massa''' |'''''ppm='''''<math>{ m. soluto(mg)\over m. soluzione(Kg)}</math> |- |'''ppm in volume''' |'''''ppm='''''<math>{Vsoluto(\mu L)\over Vsoluzione(L)}</math> |} In generale, una soluzione si dice concentrata se è presente una grande quantità di soluto in un certo volume di solvente. Nella situazione opposta si parla di soluzione diluita. E' anche possibile esprimere la concentrazione in funzione della mole utilizzando: [[w:Concentrazione_di_quantità_di_sostanza|molarità (o concentrazione di quantità di sostanza)]], [[w:Molalità|molalità]] e [[w:Frazione_molare|frazione molare]]. * La molarità (M) è il rapporto tra il numero di moli del soluto e il volume della soluzione. Essa dipende dalla temperatura, essendo infatti dipendente a sua volta dal volume della soluzione. * La molalità (m) è il rapporto tra il numero di moli del soluto e la massa del solvente. A differenza della molarità, la molalità non dipende dalla temperatura perché non varia al variare del volume. * La frazione molare (X) è il rapporto tra il numero di moli di un componente e quello di tutti i componenti della soluzione. È adimensionale, poiché deriva dal rapporto di grandezze uguali. {| class="wikitable" |+Tabella riassuntiva delle modalità per esprimere la concentrazione in funzione del numero di moli !CONCENTRAZIONE !FORMULA |- |'''molarità''' |'''M='''<math>{n. soluto (mol) \over V soluzione (L )}</math> |- |'''molalità''' |'''m='''<math>{n.soluto(mol) \over m. solvente (Kg)}</math> |- |'''frazione molare''' |'''X(a)='''<math>{n(a) \over n. totali}</math> |} == Esercizi sulle concentrazioni == '''Esempio di esercizio svolto:''' Determina la molarità di una soluzione che ha come soluto 40g di NaOH e come volume della soluzione 3L. Per determinare il numero di moli del soluto bisogna applicare la formula: <math>n={m(g) \over Massa Molare(g/mol)}</math> Per prima cosa trova la massa molare del soluto sommando le singole masse molari di NaOH: Massa molare= 23+16+1=40 g/mol Le moli di soluto sono: n = m(soluto) /MM= 40/40= 1 mol Ora abbiamo tutti i dati per calcolare la molarità attraverso la seguente formula: <math>Molar.= {n(soluto) \over V (soluzione)}</math> = 1 / 3 = 0.33 mol/L '''Ora prova tu:'''<quiz> {Una soluzione formata da cloruro di sodio (NaCl) e acqua (H2O). Sciogliendo 124 g del sale in acqua, il volume della soluzione è pari a 2L. Calcola la concentrazione %m/V. |type="()"} + 6,4 %m/V. - 4,6 %m/V. - 7,1 %m/V. - 6,9 %m/V. {Il volume del soluto é 25 mL, mentre quello della soluzione é 250 cm3. Calcola la concentrazione %V/V. |type="()"} - 11 %V/V. + 10 %V/V. - 8,1 %V/V. - 6,9 %V/V. {In una soluzione la massa del soluto è pari a 620 g, mentre la massa del solvente é 1Kg. Calcola la percentuale massa su massa. |type="()"} - 31,11 %m/m. - 28,3 %m/m. - 41,11 %m/m. + 38,3 %m/m. {Data come molaritá 4 mol/L, determina il numero di moli di NaCl in usa soluzione di 300mL. |type="()"} - 2,6 mol. - 2,2 mol. + 1,2 mol. - 0,5 mol. {Calcola la molalitá di una soluzione composta da 2 moli di soluto in 500 g di solvente. |type="()"} - 2,6 mol/kg. - 2,2 mol/kg. + 4 mol/kg. - 0,5 mol/kg. {Avendo 2 g di NaOH, in 100mL di soluzione, trova la molaritá. |type="()"} + 0,5 mol/L. - 0,05 mol/L. - 5 mol/L. - 5,5 mol/L. </quiz> == Le proprietà colligative == Nelle [[w:Soluzione_(chimica)|soluzioni]], i legami fra particelle di solvente e soluto modificano alcune proprietà della soluzione rispetto al solvente puro, come ad esempio [[w:Pressione_di_vapore|tensione di vapore]] (ossia la pressione esercitata in un sistema chiuso ed equilibrio termodinamico dal vapore sul liquido da cui si è formato), punto di ebollizione e punto di fusione. Tali proprietà sono dette “[[w:Proprietà_colligative|proprietà colligative]]” e sono caratteristiche delle soluzioni che '''dipendono unicamente dal numero di particelle presenti e dalla concentrazione del soluto, e non dalla loro natura chimica specifica'''. == L'abbassamento della tensione di vapore == Dato che le molecole di solvente sono attratte con più forza dalle molecole di soluto che da altre molecole di solvente, hanno bisogno di più energia per sfuggire alla soluzione e diventare vapore: la [[w:Pressione_di_vapore|tensione di vapore]] di una soluzione dal soluto non volatile (cioè che non passa allo stato di vapore) sarà quindi più bassa rispetto al solvente puro, il punto di ebollizione sarà più alto e il punto di congelamento più basso, perché le molecole di soluto ostacolano quelle di solvente. Queste considerazioni sono valide per le cosiddette “soluzioni ideali”, ossia con una molarità inferiore a 0,1. Secondo la [[w:Legge_di_Raoult|legge di Raoult]] la tensione di vapore di una soluzione il cui soluto non è volatile è direttamente proporzionale alla frazione molare e la tensione di vapore del solvente. <chem>Psolvente * Xsolvente = Psoluzione</chem> == Esercizi sulle proprietà colligative e l'abbassamento della tensione di vapore == Una soluzione è ottenuta sciogliendo 5,00g di saccarosio, <chem>C12H22O11</chem>, in 100,0g di acqua. Calcola la sua tensione di vapore a 20°C, sapendo che, alla stessa temperatura, la tensione di vapore del solvente è pari a 17,54mmHg: # determina la massa molare dei due componenti # la loro quantità chimica in moli # la frazione molare del solvente. E se invece fossero 5,00g di cloruro di sodio <chem>NaCl</chem>? == L'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico == In breve, l'innalzamento ebullioscopico è l'aumento del punto di ebollizione del solvente quando vi si scioglie un soluto. L'abbassamento crioscopico, dall'altra parte, è l'abbassamento del punto di congelamento di un solvente quando vi si scioglie un soluto. [[w:Innalzamento_ebullioscopico|L'innalzamento ebullioscopico]] è, quindi, la differenza tra le [[w:Punto_di_ebollizione|temperature di ebollizione]] di un solvente puro e quella di una soluzione in cui è presente il solvente puro. Ciò significa che per fare in modo che la soluzione bolla, deve raggiungere una temperatura superiore a quella richiesta per il [[w:Solvente|solvente]] puro. Allo stesso modo durante il raffreddamento a causa del soluto, la solidificazione viene ostacolata abbassando il punto di congelamento. L'innalzamento della temperatura di ebollizione è in genere piccolo, mentre la diminuzione del punto di congelamento è più grande. A parità di concentrazione di una [[w:Soluzione_acquosa|soluzione acquosa]] [[w:Abbassamento_crioscopico|l'abbassamento crioscopico]] è circa 4 volte più grande dell'innalzamento ebullioscopico. L'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico sono descritti da due equazioni. '''Innalzamento ebullioscopico''' <math>t_{eb.soluzione}-t_{eb.solvente}=\Delta t_{eb}=k_{eb}mi</math> '''Abbassamento crioscopico''' <math>t_{cong.soluzione}-t_{cong.solvente}=\Delta t_{c}=-k_{c}mi</math> <math>\Delta t_{eb}</math>= variazione del punto di ebollizione <math>\Delta t_{c}</math>= variazione del punto di conge12lamento <math>k_{eb}</math>= costante ebullioscopica <math>k_{c}</math>= costante crioscopica <math>i</math>= [[w:Coefficiente_di_van_'t_Hoff|coefficiente di van't Hoff]] <math>m</math>= [[w:Molalità|molalità]] della soluzione La differenza di temperatura può essere espressa sia in gradi Celsius che [[w:Kelvin|Kelvin]]. Le costanti crioscopica ed ebullioscopica sono caratteristiche del solvente. Il coefficiente di van't Hoff indica il numero totale di moli di particelle che si liberano da una mole di soluto {| class="wikitable" |+Tabella con le costanti ebullioscopiche e crioscopiche di alcuni solventi !Sostanza !costante crioscopica (°C kg/mol) !costante ebulloscopica (°C kg/mol) |- |acqua (<chem>H2O</chem>) |1,86 |0,51 |- |acido acetico (<chem>C2H4O2</chem>) |3,90 |3,07 |- |cloroformio (<chem>CHCl3</chem>) |4,67 |3,63 |- |benzene (<chem>C6H6</chem>) |5,12 |2,53 |- |nitrobenzene (<chem>C6H5NO2</chem>) |6,89 | - |- |fenolo (<chem>C6H5OH</chem>) |7,27 |3,04 |- |canfora (<chem>C10H16O</chem>) |39,7 |5,61 |} == L'osmosi e la pressione osmotica == Anche l[[w:Osmosi|'osmosi]] è una [[w:Proprietà_colligative|proprietà colligativa]]. Indica la diffusione del solvente e di alcuni [[w:Soluto|soluti]] attraverso una membrana semipermeabile. La membrana separa due soluzioni di diversa concentrazione. La [[w:Pressione_osmotica|pressione osmotica]] rappresenta la [[w:Pressione_idrostatica|pressione idrostatica]] che bisogna esercitare su una soluzione, separata da un'altra soluzione per mezzo di una [[w:Membrana_semipermeabile|membrana semipermeabile]], perché in essa non entri altro solvente. [[File:Pressione osmotica.jpg|miniatura|Effetto della pressione osmotica]] Le soluzioni che hanno uguale [[w:Concentrazione_(chimica)|concentrazione]] e pressione osmotica si dicono [[w:Pressione_osmotica#Soluzioni_ipotoniche,_isotoniche_e_ipertoniche|isotoniche]]. Quando due soluzioni hanno concentrazione e pressione osmotica diverse, quella con concentrazione maggiore si dice ipertonica e quella con concentrazione minore si dice ipotonica. Esiste anche un processo chiamato [[w:Osmosi_inversa|osmosi inversa]] che viene utilizzato principalmente per ricavare acqua dolce dal mare e per rimuovere le sostanze inquinanti. Se alla soluzione più concentrata si applica una pressione maggiore della pressione osmotica, le molecole del solvente passano dalla soluzione più concentrata a quella meno concentrata. La pressione osmotica si misura in [[w:Atmosfera_(unità_di_misura)|atmosfere]] (<math>atm</math>). Nelle soluzioni ideali, la pressione osmotica è proporzionale alla concentrazione di particelle e alla [[w:Temperatura_assoluta|temperatura assoluta]]. La relazione che lega queste grandezze si chiama equazione di van't Hoff. Equazione di van't Hoff <math>\Pi V=nRTi</math> Per le soluzioni ideali: <math>\Pi =MRTi</math> <math>\Pi</math>= pressione osmotica <math>V</math>= volume <math>M</math>= molarità <math>n</math>= numero di moli <math>R</math>= [[w:Costante_dei_gas|costante universale dei gas]] <math>T</math>= temperatura assoluta <math>i</math>= coefficiente di van't Hoff == Esercizi sull'innalzamento ebullioscopico e l'abbassamento crioscopico == <quiz display=simple> { Rispondi alle seguenti domande |type="{}"} Determina il punto di congelamento di una soluzione acquosa al 21% m/m di NaCl. { -17°C } { &nbsp; |type="{}"} La canfora congela a 178.4° C e la sua costante crioscopica vale KCr = 40.0° C Kg/mole. Si prepara una soluzione sciogliendo 1.50 grammi di un soluto non elettrolita poco volatile in 35 grammi di canfora. La soluzione congela a 164.7° C. Calcolare la massa molare del soluto. { 125 u.m.a. } { &nbsp; |type="{}"} Si calcoli l'innalzamento ebullioscopico di una soluzione acquosa ottenuta sciogliendo 10 g NaCl (MM = 58,44 g/mol) in 500 g di acqua, essendo noto che per l'acqua Keb = 0,515 (°C · kg) / mol. { 0,35 } </quiz> == Esercizi sulla pressione osmotica == <quiz display=simple> { Rispondi alle seguenti domande |type="{}"} La pressione osmotica di 500 mL di una soluzione acquosa che contiene 4,05 g di un composto incognito non elettrolita è di 2,33 atm a 30°C. Determina la massa molare del soluto. { 83,5 g/mol } { &nbsp; |type="{}"} Calcola la pressione osmotica di 2,00 L di soluzione contenente 18 g di glucosio a 25°C. { 1,224 atm } { &nbsp; |type="{}"} Una soluzione acquosa di acido benzoico (C6H5COOH) ha una concentrazione del 10% in massa e una densità di 1,050 g/cm3. Calcolare il valore della pressione osmotica della soluzione alla temperatura di 295 K. { 20,8 } atm </quiz> == Fonti == * Libro "Chimica: concetti e modelli." * https://chemhacks.home.blog/le-concentrazioni-percentuali-esercizi/ [[Categoria:Chimica per il liceo|soluzioni]] 9l09vkgq67ay0jopr1m2ycumsw039ew 2 57470 498245 496843 2026-05-22T15:51:53Z Francescaa07 52477 498245 wikitext text/x-wiki == 8.1: Preparazione degli alcheni - Un'anteprima delle reazioni di eliminazione == === Addizione elettrofila === Gli alcheni sono presenti in natura. Costituiscono la base di molti prodotti naturali, come i terpeni, che svolgono una varietà di ruoli nella vita di piante e insetti. I legami C=C degli alcheni sono molto diversi dai legami C=O, anch'essi comuni in natura. I legami C=C degli alcheni sono elettron-ricchi e nucleofili, a differenza dei legami C=O elettron-poveri degli alcheni, carboidrati, acidi grassi e proteine. Questa differenza gioca un ruolo nel modo in cui i terpeni si formano in natura. Anche gli alcheni, o olefine, sono un prodotto importante dell'industria petrolifera. Le reazioni degli alcheni costituiscono la base di una parte significativa della nostra economia manifatturiera. Le materie plastiche di uso comune come polietilene, polipropilene e polistirene si formano tutte attraverso le reazioni degli alcheni. Questi materiali continuano a trovare impiego nella nostra società grazie alle loro preziose proprietà, come elevata resistenza, flessibilità e leggerezza. Gli alcheni subiscono reazioni di addizione come vedrai anche i carbonili fanno lo stesso. Più comunemente aggiungono un protone a un'estremità del doppio legame e un altro gruppo all'altra estremità. Queste reazioni avvengono, tuttavia, in modi leggermente diversi. [[File:Addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane 8.1.svg|centro|miniatura|399x399px]] Gli alcheni sono reattivi perché hanno una coppia di elettroni di legame π ad alta energia. Questi elettroni sono trattenuti debolmente, essendo ad alta energia rispetto ai legami σ. Il fatto che non si trovino tra i nuclei di carbonio, ma si trovino sopra e sotto il piano del carbonio...doppio legame, rende anche questi elettroni più accessibili. [[File:Mechanism for addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane with orbitals 8.1.svg|centro|miniatura|495x495px]] Gli alcheni possono cedere i loro elettroni anche a elettrofili forti diversi dai protoni. A volte il loro schema di reattività è leggermente diverso dalla semplice addizione attraverso l'doppio legame, ma è proprio su questo schema semplice che ci concentreremo in questo capitolo. === Reazioni di eliminazione === Reazioni di eliminazione sono possibili mediante l'astrazione di un protone in posizioni prossime a un potenziale gruppo in uscita. Questo tipo di eliminazione può essere descritto da due meccanismi modello: può verificarsi in un singolo passaggio concertato (l'astrazione del protone in C α che si verifica contemporaneamente alla scissione del legame C β -X) o in due passaggi (la scissione del legame C β -X si verifica prima per formare un carbocatione intermedio, che viene poi "spento" mediante l'astrazione dei protoni al carbonio alfa). [[File:Mechanism of concerted (E2) and carbocation (E1) elimination reactions to covert alkyl halides to alkenes 8.1.svg|centro|miniatura|486x486px]] Le più comuni reazioni di eliminazione sono della idroalogenazione e disidratazione nel meccanismo sopra, X potrebbe essere Cl, Br o I per la deidroalogenazione dove c'è una perdita di HX da un alogenuro alchilico. Per disidratazione, X sarebbe un gruppo OH nel caso sopra meccanismo dove la perdita complessiva è acqua da un alcol. Questi meccanismi, denominati rispettivamente E2 ed E1, sono importanti in laboratorio chimica organica, ma sono meno comuni nella chimica biologica. Come spiegato di seguito, che meccanismo ciò che avviene effettivamente in una reazione di laboratorio dipenderà dall'identità dei gruppi R (ad esempio, se l'alogenuro alchili cioè primaria, secondaria, terziaria, ecc.) nonché dalle caratteristiche della base. Esercizio 8.1.1​ Nelle reazioni di eliminazione tende ad esserci una miscela di prodotti. Quali sono le due possibili alchene prodotti per la reazione del 2-bromo-2-metilpentano con NaOH? Risposta​ I due alcheni possibili dalla reazione di 2-bromo-2-metilpentano con NaOH sono: # 2-metilpent-2-ene (prodotto maggiore) # 2-metilpent-1-ene (prodotto minore) Il maggiore è più stabile (Zaitsev). == 8.2: Alogenazione degli alcheni - Addizione di X₂ == Gli alogeni possono agire come elettrofili e possono essere attaccati da un legame π da un alchene I legami π rappresentano una regione di densità elettronica e quindi funzionano come nucleofili . Come è possibile che un alogeno ottenga una carica positiva per essere un elettrofilo? === Introduzione === Una molecola di alogeno, ad esempio Br₂ , si avvicina a un doppio legame dell'alchene: gli elettroni del doppio legame respingono quelli della molecola di bromo, causando la polarizzazione del legame alogeno-alogeno. Questo crea un momento di dipolo nel legame alogeno-alogeno. Si verifica la scissione eterolitica del legame e uno degli alogeni ottiene una carica positiva e reagisce come elettrofilo. La reazione di addizione non è regioselettiva, ma stereoselettiva. La stereochimica di questa addizione può essere spiegata dal meccanismo della reazione. Nel primo passaggio, l'alogeno elettrofilo (con carica positiva) si avvicina al legame π e agli orbitali 2p del legame alogeno con due atomi di carbonio, creando uno ione ciclico con un alogeno come intermedio. Nel secondo passaggio, lo ione alogenuro rimanente (alogeno con carica negativa) attacca uno dei due atomi di carbonio nello ione ciclico dal lato posteriore del ciclo, come nella reazione S₂N₂ . Pertanto la stereochimica del prodotto è anti-addizione di '''dialogenuri vicinali''' . R₂C = C₂R + X₂ → R₂CX - CR₂X '''Fase 1:''' Nella prima fase dell'addizione il legame Br-Br si polarizza, si verifica una scissione eterolitica e Br con carica positiva forma un intermedio ciclico con i due atomi di carbonio dell'alchene. [[File:Mechanism_for_first_step_of_halogenation_of_alkene_3B_bromonium_ion_formation.svg|centro|miniatura|388x388px|Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation]] '''Fase 2:''' Nella seconda fase, l'anione bromuro attacca uno dei due atomi di carbonio dello ione bromonio a ponte dalla parte posteriore dell'anello. L'atomo di bromo nello ione bromonio agisce in un certo senso da scudo, costringendo l'anione bromonio ad attaccare dal lato opposto. Il risultato è l'apertura dell'anello con i due alogeni su lati opposti. Questa è '''anti''' -stereochimica, definita come i due atomi di bromo provengono da facce opposte del doppio legame. Il risultato è che i bromi si aggiungono in posizione trans l'uno all'altro. [[File:Mechanism_for_attack_of_bromide_ion_on_bromonium_ion_to_give_anti_vicinal_dihalide_8.2.svg|centro|miniatura|337x337px|molecola organica]] Gli alogeni comunemente utilizzati in questo tipo di reazione sono: Br e Cl. In termini termodinamici I è troppo lento per questa reazione a causa delle dimensioni del suo atomo, ed F è troppo vigoroso ed esplosivo. Poiché lo ione alogenuro può attaccare qualsiasi carbonio dal lato opposto dell'anello, crea una miscela di prodotti sterici. Un materiale di partenza otticamente inattivo produce prodotti achirali otticamente inattivi o una miscela racemica . === Addizione elettrofila è costituito da due fasi. === Prima di costruire il meccanismo riassumiamo le condizioni per questa reazione. Useremo Br2 nel nostro esempio per la alogenazione di etilene. {| class="wikitable" |'''Nucleofilo''' |'''In''' |- |Elettrofilo |Br 2 , Cl 2 |- |Chimica '''regionale''' |non pertinente |- |Chimica '''stereo''' |'''ANTI''' |} ===== Esercizio ===== Che cosa è il meccanismo di aggiungere Cl2 al cicloesene? [[File:Chem3.jpg|centro|miniatura]] ; Risposta ; [[File:Choloro_problem_2.jpg|centro|miniatura]] ; : ===== Esercizio ===== Una reazione di Br 2 molecola in un solvente inerte con alchene segue? # aggiunta sin # anti-addizione # Regola di Morkovnikov ; Risposta : B ; ; ; == 8.3: Aloidrine da alcheni - Aggiunta di HOX == ; Il protone non è l'unica specie elettrofila che inizia reazioni di addizione al doppio legame degli alcheni. Gli acidi di Lewis come gli alogeni, gli idruri di boro e alcuni ioni di metalli di transizione sono in grado di legarsi agli alchene elettroni pi-elettrici, e i complessi risultanti si riorganizzano o vengono attaccati dai nucleofili per dare prodotti di addizione. Il carattere elettrofilo degli alogeni è ben noto come discusso nella sezione precedente. Il cloro (Cl ) reagisce selettivamente con ) e bromo (Br₂ ) doppio legame degli alcheni, e queste reazioni sono ciò su cui ci concentreremo. Il fluoro si addiziona in modo incontrollato agli alcheni e l'aggiunta di iodio è sfavorevole, quindi questi non sono metodi preparativi utili. L'aggiunta di cloro e bromo agli alcheni, come mostrato di seguito, procede tramite un attacco elettrofilo iniziale sugli elettroni pi-greci dell' doppio legame(Sezione 8.2). I dialogeni in cui gli alogeni sono legati ai carboni adiacenti sono chiamati vicinale, dal latino ''vicinalis'' , che significa vicino. R₂ C=CR₂ + X₂ —— > ₂ C X -CR₂ XR Un'altra aggiunta elettrofila a un alchene è la reazione di un alchene con gli altri reagenti contenenti alogeni come gli acidi ipoalogenati, HOX, per formare aloidrine. Tuttavia, le aloidrine non si formano aggiungendo direttamente un acido ipoalogenato, invece alchene viene fatto reagire con Br ), quindi la loro addizione a doppi legami asimmetrici può in linea di principio avvenire in due modi. In pratica, questi o Cl₂ in presenza di acqua. Questi reagenti sono asimmetrici (a differenza di Br₂ o Cl₂ ) reazioni di addizione sono regioselettivi, con uno dei due possibili prodotti costituzionalmente isomerici favorito. La frazione elettrofila in entrambi questi reagenti è l'alogeno. (CH 3 ) 2 C=CH 2 + HOBr —— > (CH 3 ) 2 C OH -CH 2 Br La regioselettività delle reazioni di cui sopra può essere spiegata dallo stesso meccanismo abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov. Quindi, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale di quelli più stabili (più sostituiti) carbocatione, e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. La regioselettività delle reazioni sopra descritte può essere spiegata con lo stesso meccanismo che abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov . Pertanto, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale del carbocatione più stabile (più altamente sostituito), e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. [[File:Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation.svg|centro|miniatura|358x358px]] Il primo passaggio è identico all'alogenazione degli alcheni. L'alogeno, in questo caso il bromo, reagisce con l'alchene per formare uno ione bromonio ciclico. Il secondo passaggio non prevede l'attacco dello ione bromo, ma l'acqua agisce da nucleofilo. L'acqua è disponibile a una concentrazione maggiore rispetto allo ione bromo, quindi è più probabile che sia disponibile nell'orientamento corretto per l'attacco nucleofilo. L'acqua è anche un nucleofilo migliore dello ione bromo. Migliore è il nucleofilo, maggiore è la probabilità che attacchi. Si può notare che, quando l'ossigeno crea un legame, acquisisce una carica formale positiva al completamento di questo passaggio. Il terzo passaggio è un passaggio acido-base finale, in cui si verifica la perdita di un protone dall'ossigeno al solvente (acqua) per formare l'aloidrina neutra. In questo caso, il prodotto della reazione di addizione è una bromidrina. [[File:General_mechanism_for_reaction_of_a_terminal_alkene_with_an_electrophile_to_generate_a_secondary_carbocation,_which_reacts_with_nucleophile_to_give_the_product_8.3.svg|centro|miniatura|444x444px|molecola organica]] [[File:Table_of_common_reagents_that_react_with_alkenes%25_2C_broken_into_electrophilic_and_nucleophilic_moieties_8.33.svg|miniatura|353x353px|molecola organica]] Per applicare questo meccanismo dobbiamo determinare la frazione elettrofila in ciascuno dei reagenti. Utilizzando le differenze di elettronegatività possiamo scomporre i comuni reagenti di addizione in frazioni elettrofile e nucleofile, '''come mostrato a destra''' . Nel caso degli acidi ipocloroso e ipobromoso (HOX), questi acidi di Brønsted deboli (pKa ~ 8) non reagiscono come donatori di protoni; e poiché l'ossigeno è più elettronegativo del cloro o del bromo, l'elettrofilo sarà un catione alogenuro. La specie nucleofila che si lega al carbocatione intermedio è quindi lo ione idrossido, o più probabilmente l'acqua (il solvente usuale per questi reagenti), e i prodotti sono chiamati aloidrine. I cloruri di solfenile si addizionano in modo opposto perché l'elettrofilo è un catione zolfo, RS(+), mentre la frazione nucleofila è l'anione cloruro (il cloro è più elettronegativo dello zolfo). Di seguito sono riportati alcuni esempi che illustrano l'addizione di vari reagenti alogeni elettrofili ai gruppi alchenici. Si noti la regiochimica specifica dei prodotti, come spiegato sopra. [[File:Examples_of_reactions_of_alkenes_with_various_electrophilic_halogen_reagents_8.3.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] ===== Esercizio ===== Quando il butene viene trattato con NBS in presenza di acqua, il prodotto mostra che il bromo si trova sul carbonio meno sostituito: si tratta di Markovnikov o anti-Markovnikov? ; Risposta : Poiché il bromo è la prima aggiunta al alchene, questa aggiunta sarebbe un'aggiunta anti-Markovnikov. == 8.4: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per ossimercurazione == === Che cos'è l'idratazione elettrofila? === L'idratazione elettrofila consiste nell'aggiungere un idrogeno elettrofilo da un acido forte non nucleofilo (un catalizzatore riutilizzabile, tra cui l'acido solforico e l'acido fosforico) e applicare temperature appropriate per rompere il doppio legame dell'alchene. Dopo la formazione di un carbocatione , l'acqua si lega al carbocatione formando un alcol 1°, 2° o 3° sull'alcano. L'idratazione elettrofila è la disidratazione inversa degli alcoli e ha applicazioni pratiche nella produzione di alcoli per combustibili e reagenti per altre reazioni. La reazione fondamentale a determinate temperature (riportate di seguito) è la seguente: [[File:Generic_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|403x403px|molecola organica]] Un idrogeno elettrofilo è essenzialmente un protone: un atomo di idrogeno privato del suo elettrone. Un idrogeno elettrofilo è comunemente usato per aiutare a rompere i doppi legami o a ripristinare i catalizzatori (vedi S N 2 per maggiori dettagli). === Meccanismo di formazione di un alcol 3° (i meccanismi 1° e 2° sono simili) === L'idratazione è il processo in cui l'acqua viene aggiunta a un alchene per produrre un alcol. L'idratazione acido-catalizzata avviene quando un acido forte viene utilizzato come catalizzatore per avviare la reazione, ma diamo un'occhiata al meccanismo qui sotto e analizziamo i passaggi. [[File:Mechanism_for_an_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|468x468px|molecola organica]] Fase 1: Un atomo di idrogeno dell'acido viene attaccato dagli elettroni nucleofili Pi presenti nel doppio legame. Questo processo è simile alle altre reazioni degli alcheni che abbiamo visto finora. In questo processo, si forma un nuovo legame CH nella posizione che crea il carbocatione più stabile. Fase 2: Un'acqua nucleofila attacca o dona una coppia solitaria all'intermedio carbocationeico creato nella prima fase. Si forma un nuovo legame CO con l'ossigeno avente carica formale +1. Il prodotto è un alcol protonato. Fase 3: Per ottenere il prodotto alcolico neutro, il passaggio finale consiste nel deprotonare l'atomo di ossigeno con carica formale +1 utilizzando la base coniugata del catalizzatore acido. Questo passaggio finale rigenera il catalizzatore acido e produce il prodotto alcolico neutro. Il calore viene utilizzato per catalizzare l'idratazione elettrofila; poiché la reazione è in equilibrio con la disidratazione di un alcol, che richiede temperature più elevate per formare un alchene, sono necessarie temperature più basse per formare un alcol. ''Le temperature esatte utilizzate sono molto variabili e dipendono dal prodotto che si sta formando.'' === Cosa è la regiochimica e come si applica? === La regiochimica si occupa di dove si formano i legami sostituenti sul prodotto. Le regole di '''Zaitsev''' e '''Markovnikov''' riguardano la regiochimica, ma la regola di Zaitsev si applica alla sintesi di un alchene, mentre la regola di Markovnikov descrive dove si forma il legame sostituente nel prodotto di un'addizione elettrofila. Nel caso dell'idratazione elettrofila, la regola di Markovnikov è l'unica regola ''direttamente'' applicabile. Per una spiegazione approfondita della regiochimica, si veda quanto segue: Spiegazione di Markovnikov: Addizioni radicaliche - Formazione di prodotti anti-Markovnikov. Nel meccanismo di formazione di un alcol 3° mostrato sopra, l'idrogeno viene aggiunto al carbonio meno sostituito nel doppio legame nucleofilo (ha meno atomi di carbonio legati). Ciò significa che il carbocatione e si forma sul carbonio 3°, rendendolo più stabilizzato dall'iperconiugazione '': gli'' elettroni nei legami sigma (singoli) vicini contribuiscono a riempire l'orbitale p vuoto del carbocatione, il che riduce la carica positiva. Una maggiore sostituzione su un carbonio significa che più legami sigma sono disponibili per "aiutare" (utilizzando la sovrapposizione) la carica positiva, il che crea una maggiore ''stabilità del carbocatione'' . In altre parole, '''i carbocationei si formano sul carbonio più sostituito''' nel doppio legame. Se il carbocatione si forma originariamente sulla parte meno sostituita dell'alchene, si verificano riarrangiamenti del carbocatione per formare prodotti più sostituiti: * '''Spostamenti di idruro:''' un atomo di idrogeno legato a un atomo di carbonio vicino al carbocatione abbandona quel carbonio per legarsi al carbocatione (dopo che l'idrogeno ha preso entrambi gli elettroni dal legame singolo, è noto come idruro). Questo trasforma il carbonio precedentemente vicino in un carbocatione, e il precedente carbocatione diventa un atomo di carbonio vicino. [[File:Mechanism_for_hydride_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|391x391px|molecola organica]] * '''Spostamenti alchilici:''' se non sono disponibili atomi di idrogeno per uno spostamento di idruro, un intero gruppo metilico esegue lo stesso spostamento. [[File:Mechanism_for_methyl_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] Il nucleofilo attacca la carica positiva formata sul carbonio più sostituito connesso al doppio legame, poiché il nucleofilo sta cercando quella carica positiva. Nel meccanismo per un alcol 3° mostrato sopra, l'acqua è il nucleofilo. Dopo che un atomo di H è stato rimosso dalla molecola d'acqua, l'alcol si lega al carbonio più sostituito. Pertanto, '''l'idratazione elettrofila segue la regola di Markovnikov.''' === Che cosa è la stereochimica e come si applica? === '''La stereochimica si occupa di come i legami sostituenti sul prodotto si direzionalizzano''' . Trattini e cunei indicano la stereochimica, indicando se la molecola o l'atomo sta entrando o uscendo dal piano della tavola. Ogni volta che il legame è una semplice linea retta, la molecola legata ha la stessa probabilità di trovarsi verso l'interno del piano della tavola come fuori da esso. Ciò indica che '''il prodotto è una miscela racemica''' . L'idratazione elettrofila adotta una stereochimica in cui il sostituente ha la stessa probabilità di legarsi sia verso l'interno che verso l'esterno del piano della lastra. Il prodotto alcolico 3° della seguente reazione potrebbe apparire come uno dei seguenti prodotti: [[File:Acid-catalyzed_hydration_of_2-methylbutene_to_give_a_mixture_of_enantiomers_of_2-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|378x378px|molecola organica]] Non vi è alcun controllo stereochimico nelle reazioni di idratazione acido-catalizzate. Ciò è dovuto alla natura trigonale planare, sp2, dell'intermedio carbocationeico. L'acqua può agire da nucleofilo formando un legame con entrambe le facce del carbocatione, dando origine a una miscela di risultati stereochimici. [[File:Orbital_depiction_of_nucleophilic_attack_on_carbocation_intermediate_8.4.svg|centro|miniatura|421x421px|molecola organica]] Nota: ogni volta che si utilizza una linea retta insieme a trattini e spicchi sulla stessa molecola, potrebbe indicare che il legame rettilineo si trova sullo stesso piano della tavola. Esercitarsi con un kit di modelli molecolari e risolvere gli esercizi alla fine può aiutare a eliminare qualsiasi ambiguità. ===== Si tratta di una sintesi reversibile? ===== Elettrofilo idratazione è reversibile perché un alchene in acqua è in equilibrio con il prodotto alcolico. Per modificare l'equilibrio in un senso o nell'altro, si può modificare la temperatura o la concentrazione dell'acido forte non nucleofilo. Per esempio: * Una minore quantità di acido solforico o fosforico e un eccesso di acqua aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. * Temperature più basse aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. === Esiste un modo migliore per aggiungere acqua per sintetizzare un alcol da un Alchene? === Esiste un percorso più efficiente: '''Ossimercurazione''' '''- Demercurazione''' , un tipo speciale di addizione elettrofila. Ossimercurazione non consente riarrangiamenti, ma richiede l'uso di mercurio, che è altamente tossico. Svantaggi dell'uso di una reazione di idratazione elettrofila per produrre alcoli include: * Tenendo conto di carbocatione riarrangiamenti * Scarse rese dovute all'equilibrio tra reagenti e prodotti * Consentire miscele di prodotti (ad esempio (''R'' * Utilizzando acido solforico o fosforico Ossimercurazione è una speciale addizione elettrofila. È anti-stereospecifico e regioselettivo. La regioselettività è un processo in cui il sostituente sceglie una direzione in cui preferisce essere legato rispetto a tutte le altre possibili direzioni. Il vantaggio di questa reazione è che non c'è riarrangiamento dovuto alla stabilizzazione del reattivo intermedio. Una stabilizzazione simile si osserva anche in uno dei maggiori vantaggi di ossimercurazione, che è quello carbocatione e i riarrangiamenti non possono verificarsi in queste condizioni (Hg(OAc)O). Il riarrangiamento del carbocatione è un processo in cui il carbocatione intermedio può subire uno spostamento metilico o alchilico per formare uno ione più stabile. A causa di un possibile riarrangiamento, la reazione sottostante non genererebbe il prodotto mostrato in alte rese. Al contrario, la reazione di ossimercurazione procederebbe per formare il prodotto desiderato. [[File:Electrophilic_hydration_of_3-methyl-1-butene_with_H2SO4_and_H2O_does_not_produce_3-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|412x412px|molecola organica]] [[File:Oxymercuration-demercuration_of_3-methyl-1-butene_with_Hg(OAc)2,_H2O_followed_by_NaBH4,NaOH,H2O_produces_3-methyl-2-butanol.svg_8.42.svg|centro|miniatura|420x420px|molecola organica]] Questa reazione coinvolge il mercurio che agisce come reagente attaccando l'alchene doppio legame per formare unUn'acqua molecola attaccherà quindi il carbonio più sostituito per aprire il ponte ionico del mercurio, seguito dal trasferimento protonico all'acqua solvente molecola. [[File:Mechanism_for_oxymercuration-demercuration_of_an_alkene_revision=3_8.4.png|centro|miniatura|434x434px|molecola organica]] L'intermedio organomercuriale viene quindi ridotto con boroidruro di sodio: il meccanismo di questo passaggio finale esula dallo scopo della nostra discussione. Si noti che, nel complesso, il meccanismo di ossimercurazione-demercurazione segue la regioselettività di Markovnikov, con il gruppo OH legato al carbonio più sostituito e l'H legato al carbonio meno sostituito. La reazione è utile, tuttavia, perché non sono richiesti acidi forti e si evitano riarrangiamenti di carbocationi poiché non si forma alcun intermedio carbocationico discreto. È importante notare che, per il meccanismo mostrato sopra, si forma anche l'enantiomero del prodotto mostrato. Questo è il risultato della formazione dello ione mercurio sotto l'alchene nel primo passaggio. ====== Esercizi: ====== Quali sono i prodotti finali di questi reagenti? [[File:8-4_Question.jpg|centro|miniatura|408x408px|molecola organica]] ====== Risposta: ====== [[File:8-4_Answer.jpg|centro|miniatura|334x334px|molecola organica]] == 8.5: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per idroborazione == Idroborazione-ossidazione è un percorso in due fasi utilizzato per produrre alcoli. La reazione procede in modo anti-Markovnikov, dove l'idrogeno (da BH 3 o BHR 2 ) si attacca al carbonio più sostituito e il boro si attacca al carbonio meno sostituito nell'alchene doppio legame. Inoltre, il borano agisce come un acido di Lewis accettando due elettroni nell'orbitale p vuoto da un alchene che è ricco di elettroni. Questo processo permette al boro di avere un ottetto di elettroni. Una caratteristica molto interessante di questo processo è che non richiede alcuna attivazione da parte di un catalizzatore. Il meccanismo dell'idrobazione ha gli elementi sia dell'idrogenazione che dell'addizione elettrofila ed è un stereospecifico ( '''''addizione sin),''''' il che significa che l'idroborazione si svolge sulla stessa faccia del doppio legame, questo porta '''''cis''''' stereochimica. === Introduzione === L'idroborazione-ossidazione degli alcheni si è rivelata un metodo di laboratorio molto prezioso per la stereoselettività e la regioselettività degli alcheni. Un'ulteriore caratteristica di questa reazione è che avviene senza riarrangiamento.Innanzitutto è molto importante capire un po' la struttura e le proprietà della molecola '''borano.''' Il borano esiste in natura come gas molto tossico ed esiste come dimero di formula generale B₂H₄ ( diborano ). Inoltre, il dimero B₂H₄ si infiamma spontaneamente in aria. Il borano è disponibile in commercio in etere e tetraidrofurano (THF ) ; in queste soluzioni il borano può esistere come acido di Lewis complesso di base, che consente al boro di avere un ottetto di elettroni. [[File:2_molecules_of_tetrahydrofuran_(THF)_react_with_B2H6_to_produce_2_molecules_of_BH3-THF..svg_8.5.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] === Il meccanismo === === Passo 1 === * Parte 1: Idroborazione dell'alchene In questa prima fase l'aggiunta del borano all'alchene è avviato e procede come un reazione concertata perché la rottura e la formazione del legame avvengono contemporaneamente. Questa parte è costituita dall'orbitale 2p vacante del boro elettrofilo appaiamento con la coppia di elettroni del legame pi greco del nucleofilo. [[File:Concerted_addition_of_BH3_to_alkene.svg_8.51.svg|centro|miniatura|135x135px|molecola organica]] '''Stato di transizione''' [[File:Transition_state_for_addition_of_BH3_to_an_alkene.svg_8.52.svg|centro|miniatura|168x168px|molecola organica]] '''* Nota che un carbocatione non si forma. Pertanto, non avviene alcun riarrangiamento.''' * Parte 2: L'addizione anti-Markovnikov del boro. Il boro si aggiunge al carbonio meno sostituito dell'alchene, che poi posiziona l'idrogeno sul carbonio più sostituito. Sia il boro che l'idrogeno si aggiungono simultaneamente sulla stessa faccia del doppio legame (addizione sin.). [[File:Anti-markovnikov_product_of_BH3_addition_to_alkene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|151x151px|molecola organica]] === Ossidazione del trialchilborano mediante perossido di idrogeno === === Passo 2 === * Parte 1: La prima parte di questo meccanismo si occupa della donazione di una coppia di elettroni dallo ione perossido di idrogeno. il perossido di idrogeno è l'nucleofilo in questa reazione perché è il donatore di elettroni al trialchilborano appena formato che è risultato da idroborazione. [[File:Mechanism_for_acid_base_reaction_of_hydrogen_peroxide_with_hydroxide_to_give_hydrogen_peroxide_ion_and_water.svg_8.5.svg|centro|miniatura|373x373px|molecola organica]] [[File:Mechanism_for_hydrogen_peroxide_ion_addition_to_trialkylborane.svg_8.5.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] * Parte 2: In questa seconda parte del meccanismo, una riorganizzazione di un gruppo R con la sua coppia di elettroni leganti a un ossigeno adiacente provoca la rimozione di uno ione idrossido. [[File:Mechanism_for_alkyl_migration_in_oxidation_step_of_hydroboration_oxidation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|366x366px|molecola organica]] '''Si verificheranno altre due di queste reazioni con l'idroperossido per dare un trialchilborato''' [[File:Trialkylborate_formation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|376x376px|molecola organica]] * Parte 3: Questa è la parte finale del ossidazione processo. In questa parte il trialchilborato reagisce con NaOH acquoso per dare alcol e borato di sodio. [[File:Trialkylborate_reacts_with_3_NaOH_to_give_3_alcohols_and_sodium_borate.svg_8.5.svg|centro|miniatura|442x442px|molecola organica]] === Stereochimica di idroborazione === La reazione di idroborazione è tra le poche semplici reazioni di addizione che procedono in modo pulito e ''sinergico'' . Come notato sopra, questa è una reazione in un unico passaggio. Poiché il legame del doppio legame carboni a boro e idrogeno è concertata, ne consegue che la geometria di questa addizione deve essere sin. Inoltre, i riarrangiamenti sono improbabili in quanto un discreto carbocatione intermedio non si forma mai. Queste caratteristiche sono illustrate per l'idroborazione di α-pinene. [[File:Mechanism_of_hydroboration%25_3Aoxidation_of_alpha-pinene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|568x568px|molecola organica]] Dal momento che la procedura idroborazione è più comunemente utilizzata per idratare gli alcheni in modo anti-Markovnikov, dobbiamo anche conoscere la stereoselettività della seconda reazione ossidazione , che sostituisce un gruppo ossidrilico all'atomo di boro. Uno studio indipendente ha dimostrato che questa reazione avviene con ritenzione di configurazione quindi anche l'aggiunta complessiva di acqua è sin. L'idroborazione dell'α-pinene fornisce anche un buon esempio di controllo dell'ingombro sterico in una reazione chimica. Negli alcheni meno complessi utilizzati negli esempi precedenti, il piano del doppio legame era spesso un piano di simmetria, e i reagenti di addizione potrebbero avvicinarsi con la stessa facilità da entrambi i lati. In questo caso, uno dei gruppi metilici legati al C-6 (colorato in viola nell'equazione) copre una faccia del doppio legame, bloccando qualsiasi avvicinamento da quel lato. Tutti i reagenti che si aggiungono a questo doppio legame deve quindi avvicinarsi dal lato opposto a questo metile. Esercizi alla pagina: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.)/08%3A_Alkenes-_Reactions_and_Synthesis/8.05%3A_Hydration_of_Alkenes_-_Addition_of_HO_by_Hydroboration == 8.6: Riduzione degli alcheni - Idrogenazione == L'addizione di idrogeno a un doppio legame carbonio-carbonio è chiamata idrogenazione . L'effetto complessivo di tale addizione è la rimozione riduttiva del gruppo funzionale del doppio legame. La regioselettività non è un problema, poiché lo stesso gruppo (un atomo di idrogeno) è legato a ciascuno degli atomi di carbonio del doppio legame. La fonte più semplice di due atomi di idrogeno è l'idrogeno molecolare (H₂ ) , ma la miscelazione di alcheni con idrogeno non provoca alcuna reazione discernibile. Sebbene la reazione di idrogenazione complessiva sia esotermica, un'elevata energia di attivazione ne impedisce il verificarsi in condizioni normali. Questa restrizione può essere aggirata mediante l'uso di un catalizzatore, come mostrato nel diagramma delle coordinate di reazione sottostante. Un esempio di reazione di addizione di un alchene è un processo chiamato idrogenazione. In una reazione di idrogenazione, due atomi di idrogeno vengono aggiunti al doppio legame di un alchene , dando origine a un alcano saturo . L'idrogenazione di un doppio legame è una reazione termodinamicamente favorevole perché forma un prodotto più stabile (a minore energia). In altre parole, l'energia del prodotto è inferiore a quella del reagente; quindi è esotermica (viene rilasciato calore). Il calore rilasciato è chiamato calore di idrogenazione, che è un indicatore della stabilità di una molecola. [[File:Hydrogenation_of_ethene_into_ethane,_and_cyclohexene_into_cyclohexane_by_using_H2_and_Pd_C.svg_8.6.svg|centro|miniatura|511x511px|molecola organica]] I catalizzatori sono sostanze che modificano la velocità di una reazione chimica senza essere consumate o apparire come parte del prodotto. I catalizzatori agiscono riducendo la energia di attivazione delle reazioni, ma non modificano l'energia potenziale relativa dei reagenti e dei prodotti. I metalli finemente suddivisi, come platino, palladio e nichel, sono tra i catalizzatori di idrogenazione più utilizzati. L'idrogenazione catalitica avviene in almeno due fasi, come illustrato nel diagramma. Innanzitutto, alchene deve essere adsorbito sulla superficie del catalizzatore insieme ad una parte dell'idrogeno. Successivamente, due idrogeni si spostano dalla superficie del metallo ai carboni del doppio legame, e il risultante saturato l'idrocarburo, che viene adsorbito più debolmente, lascia il catalizzatore superficie. La natura e la tempistica esatte degli ultimi eventi non sono ben comprese. [[File:Hydrogenation_Reaction_Energy_Diagram.jpg_8.6.jpg|centro|miniatura|388x388px|molecola organica]] Come mostrato nel diagramma energetico, l'idrogenazione degli alcheni è esotermico, e il calore viene rilasciato corrispondente al ΔH nel diagramma. Questo calore di reazione può essere utilizzato per valutare la stabilità termodinamica degli alcheni aventi un numero diverso di sostituenti alchilici sulla doppio legame. Ad esempio, la tabella seguente elenca i calori di idrogenazione per tre alcheni C che danno lo stesso prodotto alcano (2-metilbutano). Poiché un alcheni C₃H₂O che danno calore di reazione indica un reagente ad energia più elevata, questi calori sono inversamente proporzionali alla stabilità del alchene isomeri. Con una certa approssimazione, vediamo che ogni sostituente alchilico su un doppio legame stabilizza questo funzionale gruppo di poco più di 1 kcal/mole. {| class="wikitable" |- align="center" valign="top" !Isomero di alchene |(CH 3 ) 2 CHCH=CH 2 3-metil-1-butene |CH 2 = C(CH 3 )CH 2 CH 3 2-metil-1-butene |(CH 3 ) 2 C=CHCH 3 2-metil-2-butene |- align="center" !Calore di reazione (ΔHº) |–30,3 kcal/mole |–28,5 kcal/mole |–26,9 kcal/mole |} '''Meccanismo''' '''Idrogenazione catalitica''' [[File:Catalytic_hydrogenation_mechanism.svg_8.6.svg|centro|miniatura|583x583px|molecola organica]] Come dal meccanismo mostrato qui, ci si aspetterebbe che l'aggiunta di idrogeno avvenga con sin-stereoselettività. Questo è spesso vero, ma i catalizzatori di idrogenazione possono anche causare l'isomerizzazione del doppio legame prima dell'aggiunta di idrogeno, nel qual caso la stereoselettività potrebbe essere incerta. [[File:Hydrogenation_of_12C2-dimethylcyclopentane.svg_8.6.svg|centro|miniatura|molecola organica]] ====== Esercizio ====== Nella reazione [[File:Ethene_catalytic_hydration_with_platinum_oxide.svg_8.6_es.svg|centro|miniatura|501x501px|molecola organica]] # 0,500 moli di etene reagiscono con _______ mol di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con una _______ di idrogeno. # l'etene viene _______; mentre _______ viene ossidato. # IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è _______; nell'etano è _______. ; Risposta :# 0,500 moli di etene reagiscono con 0,500 moli di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con un equivalente di idrogeno. :# l'etene viene ridotto , mentre l'idrogeno viene ossidato. :# IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è −2 ; nell'etano è −3 . === Esercizi sulle Proprietà di Alcoli e Fenoli === '''1.''' Confronta l'etere dimetilico (CH<small>₃</small>OCH₃) e l'etanolo (CH₃CH₂OH). Entrambi hanno la stessa formula molecolare (C₂H₆O), ma uno dei due ha un punto di ebollizione molto più alto (circa 78° C contro -24° C). '''2.''' Perché il metanolo e l'etanolo sono completamente miscibili in acqua, mentre l'1-butanolo ha una solubilità limitata (circa 7.3 g/100 mL) e l'1-ottanolo è quasi insolubile? '''3.'''Classifica i seguenti alcoli come primari, secondari o terziari: a) 2-propanolo b) 2-metil-2-butanolo c) 1-pentanolo d) Etanolo '''4.''' Ordina in senso decrescente di acidità (dal più acido al meno acido) le seguenti specie: ione idronio (H₃O⁺), acqua (H_{2<big>O</big>}), etanolo (CH₃CH₂OH). Giustifica brevemente la posizione dell'etanolo rispetto all'acqua. '''5.''' Confronta l'etanolo (CH₃CH₂OH) e il 2,2,2-trifluoroetanolo (CF₃CH₂OH). Quale dei due composti è più acido? Quale effetto elettronico spiega questa differenza? '''6.''' Il fenolo ha un pK_a di circa 10, mentre l'etanolo ha un pK_a di circa 16. a) Quale dei due è più acido? b) Spiega perché lo ione fenossido è più stabile dello ione etossido facendo riferimento alla delocalizzazione elettronica. '''7.'''Scrivi la reazione bilanciata tra il metanolo (CH₃OH) e il sodio metallico (Na). Come si chiama il prodotto organico che si forma? '''8.'''Prevedi il prodotto principale dell'ossidazione moderata (es. con PCC) e dell'ossidazione energica (es. con KMnO₄) del seguente alcol: '''1-propanolo'''. '''9.''' In presenza di acido solforico caldo (H₂SO₄), l'etanolo subisce una reazione di disidratazione. a) Che tipo di composto organico si forma? b) Qual è il nome IUPAC del prodotto? '''10.''' Gli alcoli possono comportarsi sia da acidi che da basi. Scrivi la formula del prodotto che si ottiene quando l'etanolo agisce come base di Lewis reagendo con un acido forte (H⁺). Come viene chiamato questo ione? '''11.''' Confronta il punto di ebollizione dell'1-butanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​OH) e dell'1-pentanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​CH2​OH). Quale dei due ha il valore più alto e quale forza intermolecolare, oltre al legame a idrogeno, giustifica questa differenza? '''12.''' Perché il p-nitrofenolo (un fenolo con un gruppo −NO2​ in posizione para) è significativamente più acido del fenolo semplice? Fai riferimento agli effetti elettronici sul gruppo nitro. '''13.''' Classifica i seguenti composti in ordine di solubilità decrescente in acqua: a) Metanolo (CH3​OH) b) Cicloesanolo (C6​H11​OH) c) Glicole etilenico (HOCH2​CH2​OH) '''14.''' Cosa accade quando il fenolo reagisce con una soluzione di '''idrossido di sodio (NaOH)'''? Scrivi la reazione e spiega perché l'etanolo non reagisce allo stesso modo con questa base. '''15.''' Il '''2-cloroetanolo''' (Cl−CH2​CH2​OH) ha un pKa​ di circa 14.3, mentre l'etanolo ha un pKa​ di circa 16. Spiega questa differenza di acidità basandoti sulla stabilità della base coniugata. '''16.''' Perché l'<nowiki/>'''1,2-etandiolo''' (glicole etilenico) ha un punto di ebollizione molto più elevato (197° C) rispetto all''''etanolo'''(78° C), nonostante la differenza di massa molecolare non sia così estrema? '''17.''' Confronta il fenolo con il '''p-metilfenolo''' (p-cresolo). Quale dei due composti è meno acido? Quale effetto elettronico del gruppo metilico spiega questa variazione? '''18.''' Spiega perché il '''terz-butanolo''' (2-metil-2-propanolo) è completamente miscibile in acqua, mentre l''''1-butanolo''' ha una solubilità limitata, nonostante abbiano la stessa formula molecolare (C4​H10​O). '''19.''' Ordina i seguenti composti in base alla loro '''acidità crescente''' (dal meno acido al più acido): a) Cicloesanolo b) Fenolo c) 2,4,6-trinitrofenolo (acido picrico) '''20.''' Cosa succede alla solubilità in acqua di un fenolo se viene trattato con una base forte come '''KOH'''? Descrivi la trasformazione chimica e l'effetto sulla miscibilità. ---- === Soluzioni Commentate === # '''Soluzione:''' L'etanolo può formare '''legami a idrogeno''' intermolecolari grazie al gruppo -OH. L'etere dimetilico, pur essendo polare, non ha idrogeni legati direttamente all'ossigeno e non può formare legami a idrogeno tra le proprie molecole. Le forze di attrazione nell'etanolo sono molto più intense e richiedono più energia (calore) per essere vinte. # '''Soluzione:''' La solubilità dipende dall'equilibrio tra la testa idrofila (-OH) e la coda idrofobica (catena alchilica). Negli alcoli a catena corta, il gruppo -OH prevale. Man mano che la catena carboniosa si allunga, la porzione non polare diventa dominante, impedendo alla molecola di sciogliersi efficacemente tra le molecole d'acqua. # '''Soluzione:''' a) Secondario (OH legato a un carbonio unito ad altri 2 C). b) Terziario (OH legato a un carbonio unito ad altri 3 C). c) Primario (OH legato a un carbonio terminale). d) Primario (Eccezione/Classico: carbonio legato a un solo altro C). # '''Soluzione:''' H₃O⁺ > H₂O > CH₃CH₂OH. L'etanolo è meno acido dell'acqua perché il gruppo alchilico (CH₃CH₂) è debolmente '''elettron-donatore''' (effetto induttivo +I), il che destabilizza la carica negativa sull'ossigeno dello ione alcossido rispetto allo ione idrossido. # '''Soluzione:''' Il '''2,2,2-trifluoroetanolo''' è più acido. Gli atomi di fluoro sono fortemente elettronegativi e attirano densità elettronica (effetto induttivo -I), stabilizzando la carica negativa dello ione alcossido dopo la perdita del protone. # '''Soluzione:''' a) Il fenolo è più acido (più basso è il pK_a, maggiore è l'acidità). b) La carica negativa dello ione fenossido è '''delocalizzata per risonanza''' all'interno dell'anello aromatico (posizioni orto e para). Nello ione etossido, la carica è localizzata esclusivamente sull'ossigeno. # '''Soluzione:''' 2CH₃OH + 2Na --> 2CH₃ONa + H₂. Il prodotto si chiama '''metossido di sodio'''. # '''Soluzione:''' - Ossidazione moderata: '''Propanale''' (un'aldeide). #* Ossidazione energica: '''Acido propanoico''' (un acido carbossilico). # '''Soluzione:''' a) Si forma un '''alchene'''. b) '''Etene''' (comunemente chiamato etilene). # '''Soluzione:''' CH₃CH₂OH₂⁺. Viene chiamato '''ione alcossonio''' (nello specifico, ione etilossonio). Questa reazione dimostra la basicità dell'ossigeno che usa uno dei suoi doppietti solitari per legare il protone. # '''Soluzione:''' L''''1-pentanolo''' ha un punto di ebollizione più alto. Entrambi possono formare legami a idrogeno, ma l'1-pentanolo ha una catena carboniosa più lunga. Questo aumenta la superficie di contatto tra le molecole, rendendo più intense le '''forze di dispersione di London''' (interazioni dipolo indotto-dipolo indotto). Più grande è la molecola, maggiore è l'energia necessaria per separarla dalle vicine. # '''Soluzione:''' Il gruppo nitro (−NO2​) è un forte '''elettron-attrattore''' (sia per effetto induttivo che mesomerico −M).Quando il p-nitrofenolo perde un protone, la carica negativa sullo ione fenossido viene ulteriormente delocalizzata non solo sull'anello aromatico, ma anche sugli atomi di ossigeno del gruppo nitro. Questa maggiore stabilizzazione della base coniugata rende il p-nitrofenolo molto più propenso a cedere il protone rispetto al fenolo. # '''Soluzione:''' '''Glicole etilenico > Metanolo > Cicloesanolo'''. Il glicole etilenico ha due gruppi −OH per soli due atomi di carbonio, permettendo moltissimi legami a idrogeno con l'acqua. Il metanolo è molto solubile ma ha un solo −OH. Il cicloesanolo ha una "coda" idrofobica ingombrante (l'anello a 6 carboni) che scherma l'idrofilia del gruppo ossidrile, rendendolo molto meno solubile dei primi due. # '''Soluzione:''' C6​H5​OH+NaOH→C6​H5​ONa+H2​O. Si forma il '''fenossido di sodio'''. Il fenolo è abbastanza acido (pKa​≈10) da essere deprotonato dallo ione idrossido (OH−). L'etanolo invece è un acido molto più debole (pKa​≈16) dell'acqua (pKa​≈15.7); di conseguenza, l'equilibrio della reazione tra etanolo e NaOH è fortemente spostato verso i reagenti e non avviene in modo significativo. # '''Soluzione:''' Il '''2-cloroetanolo''' è più acido a causa dell''''effetto induttivo attrattore (−I)''' del cloro. L'atomo di cloro è molto elettronegativo. Attraverso i legami sigma, "tira" a sé la densità elettronica, aiutando a disperdere e stabilizzare la carica negativa che si forma sull'ossigeno dopo la perdita del protone. Una base coniugata più stabile deriva sempre da un acido più forte. # '''Soluzione:''' Il glicole etilenico possiede '''due gruppi ossidrilici (-OH)''' per molecola. La presenza di due gruppi -OH raddoppia la capacità della molecola di formare legami a idrogeno intermolecolari rispetto all'etanolo. Questo crea una rete di attrazione molto più robusta nel liquido, richiedendo un'energia termica significativamente superiore per il passaggio allo stato gassoso. # '''Soluzione:''' Il '''p-metilfenolo''' è meno acido del fenolo. Il gruppo metilico (−CH3​) è un gruppo '''elettron-donatore''' per effetto induttivo (+I). Donando densità elettronica verso l'anello, destabilizza la carica negativa dello ione fenossido che si forma dopo la perdita del protone. Una base coniugata meno stabile rende l'acido di partenza meno forte. # '''Soluzione:''' La forma '''sferica/compatta''' del terz-butanolo riduce la superficie della parte idrofobica. L'1-butanolo ha una catena alchilica lineare (lunga e "ingombrante" per l'acqua) che interferisce maggiormente con i legami a idrogeno del solvente. Il terz-butanolo, essendo più compatto e "tondeggiante", espone meno superficie non polare all'acqua, facilitando la sua integrazione nel reticolo del solvente. # '''Soluzione:''' '''Cicloesanolo < Fenolo < 2,4,6-trinitrofenolo'''. Il cicloesanolo è un alcol normale (carica localizzata). Il fenolo stabilizza la carica per risonanza nell'anello. Il 2,4,6-trinitrofenolo ha tre gruppi nitro (−NO2​) fortemente elettron-attrattori che delocalizzano la carica negativa in modo eccezionale, rendendolo quasi forte quanto un acido minerale. # '''Soluzione:''' La solubilità '''aumenta drasticamente''' perché il fenolo si trasforma in un sale (fenossido di potassio).Il fenolo di per sé è poco solubile in acqua. Reagendo con KOH, si trasforma in '''fenossido di potassio''', un composto ionico. Essendo un sale, le interazioni ione-dipolo con l'acqua sono molto più forti dei semplici legami a idrogeno, rendendo il composto estremamente solubile. === '''Esercizi sulla preparazione di alcoli''' === # Qual è il prodotto dell'idratazione acido-catalizzata del '''2-metil-2-butene'''? # Quale alcol si ottiene riducendo il '''propanale''' con NaBH4​? # Se facciamo reagire il '''bromuro di metilmagnesio''' (CH3​MgBr) con la '''formaldeide''' (HCHO), che alcol otteniamo dopo l'idrolisi? # Prevedi il prodotto della reazione di idroborazione-ossidazione dell''''1-metilcicloene'''. # Quale reagente è necessario per convertire il '''cicloesanone''' in '''cicloesanolo'''? # Cosa si ottiene dalla reazione tra '''acetone''' (CH3​COCH3​) e '''bromuro di etilmagnesio''' (CH3​CH2​MgBr)? # L'idratazione dell''''etene''' in ambiente acido produce...? # Quale alchene genera l''''1-metilcicloesanolo''' tramite idratazione secondo Markovnikov? # La riduzione del '''benzaldeide''' con LiAlH4​ porta alla formazione di...? # Quale alcol si forma dalla reazione del '''bromuro di fenilmagnesio''' con l''''acetaldeide'''? # Prevedi il prodotto dell'ossimercuriazione-demercuriazione dell''''1-pentene'''. # Cosa si ottiene riducendo l''''acido butanoico''' con un eccesso di LiAlH4​? # Quale combinazione di Grignard e composto carbonilico useresti per sintetizzare il '''tripolifenilmetanolo'''? # Riducendo il '''2-pentanone''' con NaBH4​, si ottiene un alcol chirale. Qual è il suo nome? # L'idratazione del '''3,3-dimetil-1-butene''' in acido subisce trasposizione? Se sì, quale alcol si forma? # Quale alcol si ottiene trattando l''''ossido di etilene''' (epossido) con il '''reattivo di Grignard''' CH3​MgBr? # Prevedi il prodotto della riduzione dell''''acetofenone'''. # L'idroborazione-ossidazione dello '''stirene''' (C6​H5​CH=CH2​) produce un alcol primario o secondario? # Quale alcol si ottiene dalla reazione tra '''acetato di etile''' (un estere) ed eccesso di CH3​MgBr? # Riducendo il '''butanale''' otteniamo l'1-butanolo. '''1.''' Prevedi il prodotto principale della reazione tra il propeno (CH3​−CH=CH2​) e l'acqua in presenza di un catalizzatore acido (come H2​SO4​). '''2.''' Quale prodotto si ottiene trattando il 2-butanolo con una soluzione di dicromato di potassio (K2​Cr2​O7​) in ambiente acido? '''3.''' Identifica la struttura del reagente di partenza (un alchene) che, per idratazione catalizzata da acidi, produce il 2-metil-2-propanolo come unico prodotto principale. '''4.''' Un alcol incognito di formula molecolare C4​H10​O viene trattato con piridinio clorocromato (PCC) in diclorometano, formando un'aldeide (il butanale). Qual era la struttura dell'alcol di partenza? Classificalo inoltre come primario, secondario o terziario. '''5.''' Descrivi il prodotto biologico e la reazione chimica che avviene quando l'etanolo viene metabolizzato nel fegato umano dall'enzima alcol deidrogenasi (un'ossidazione biologica). '''6.''' Prevedi il prodotto principale della reazione di riduzione del propanale (CH3​CH2​CHO) utilizzando il boroidruro di sodio (NaBH4​) seguito da idrolisi acida. '''7.''' Cosa succede se si tenta di ossidare il 2-metil-2-propanolo con una soluzione di permanganato di potassio (KMnO4​) a caldo? '''8.''' Quale alcol si ottiene dalla reazione di idroborazione-ossidazione dell'1-butene (CH3​CH2​CH=CH2​)? Ricorda la regioselettività di questa specifica reazione. '''9.''' Se si fa reagire il cicloesanone (un chetone ciclico) con il litio alluminio idruro (LiAlH4​) e successivamente si idrolizza con acqua, quale alcol si ottiene? Classificalo come primario, secondario o terziario. '''10.''' Un chimico vuole convertire l'1-propanolo in acido propanoico. Quale tra i seguenti reattivi è il più adatto per questa trasformazione e perché? a) PCC in CH2​Cl2​ b) Reattivo di Jones (CrO3​ in H2​SO4​ acquoso) '''11.''' Partendo dall''''acetofanone''' (un chetone dove il gruppo carbonilico è legato a un anello benzenico e a un gruppo metilico), quale prodotto si ottiene dopo il trattamento con LiAlH4​ e successiva idrolisi? '''12.''' Un chimico aggiunge il reattivo di Jones a una provetta contenente '''3-pentanolo'''. Descrivi il cambiamento visivo della soluzione (da arancio a verde/blu) e scrivi la formula del prodotto organico ottenuto. '''13.''' Quale alchene utilizzeresti per ottenere il '''cicloesanolo''' come unico prodotto principale attraverso una reazione di idratazione acido-catalizzata? '''14.''' Considera la reazione tra l''''1-metilcicloene''' e il reattivo di idroborazione (BH3​⋅THF), seguita da ossidazione con H2​O2​/NaOH. Qual è il nome IUPAC del prodotto principale? (Attenzione alla stereochimica e alla regioselettività). '''15.''' Immagina di voler sintetizzare il '''2-metil-1-propanolo''' partendo dal corrispettivo composto carbonilico (un'aldeide). Quale reagente riducente sceglieresti e qual è il nome dell'aldeide di partenza? === Soluzioni Commentate === '''1. Soluzione:''' Si ottiene il '''2-propanolo'''. La reazione è un'idratazione elettrofila di un alchene che segue la regola di Markovnikov. L'idrogeno si addiziona al carbonio del doppio legame che ha già più idrogeni (il carbonio terminale), formando il carbocatione secondario più stabile. Successivamente, l'acqua attacca il carbocatione portando alla formazione del 2-propanolo (un alcol secondario). '''2. Soluzione:''' Si ottiene il '''2-butanone''' (un chetone). Il 2-butanolo è un alcol secondario. L'ossidazione di un alcol secondario con un forte ossidante come il dicromato di potassio rimuove l'idrogeno legato al carbonio portatore del gruppo ossidrilico (-OH), convertendo il gruppo alcolico in un gruppo carbonilico (C=O). I chetoni non possono essere ulteriormente ossidati in queste condizioni. '''3. Soluzione:''' Il reagente di partenza è il '''2-metilpropene''' (noto anche come isobutene). Per ottenere un alcol terziario come il 2-metil-2-propanolo tramite idratazione secondo Markovnikov, l'alchene di partenza deve presentare un carbonio del doppio legame già legato a due gruppi metilici. L'attacco dell'elettrofilo (H+) sul carbonio CH2​ terminale genera un carbocatione terziario stabilizzato, che viene poi attaccato dall'acqua. '''4. Soluzione:''' L'alcol di partenza è l''''1-butanolo''', ed è un '''alcol primario'''. Il PCC (piridinio clorocromato) è un ossidante blando che ha la particolarità di fermare l'ossidazione degli alcoli primari allo stadio di aldeide, senza proseguire fino ad acido carbossilico. Poiché il prodotto è il butanale (una catena lineare di 4 carboni con il gruppo aldeidico sul carbonio 1), l'alcol di partenza doveva avere il gruppo -OH sul carbonio terminale. '''5. Soluzione:''' Si ottiene l''''acetaldeide''' (etanale). L'etanolo è un alcol primario. Nel nostro organismo, l'enzima alcol deidrogenasi agisce come catalizzatore d'ossidazione rimuovendo due atomi di idrogeno (sotto forma di ione idruro trasferito al coenzima NAD+), trasformando l'etanolo nella tossica acetaldeide, che viene poi ulteriormente trasformata in acido acetico. '''6. Soluzione:''' Si ottiene l''''1-propanolo'''. Questa è una reazione di preparazione di alcoli tramite riduzione di composti carbonilici. Il boroidruro di sodio (NaBH4​) fornisce uno ione idruro (H−) che attacca il carbonio elettrofilo del gruppo aldeidico. La successiva protonazione dell'ossigeno produce un alcol primario. '''7. Soluzione:''' '''Non avviene nessuna reazione''' (il colore viola del permanganato rimane inalterato). Il 2-metil-2-propanolo è un alcol terziario. Gli alcoli terziari non hanno atomi di idrogeno legati al carbonio che porta il gruppo -OH (il carbonio carbinolico). Di conseguenza, non possono essere ossidati a meno di non rompere i legami carbonio-carbonio della catena, cosa che non avviene in condizioni normali di ossidazione. '''8. Soluzione:''' Si ottiene l''''1-butanolo'''. L'idroborazione-ossidazione è un metodo di idratazione degli alcheni che porta a una regioselettività complessiva di tipo '''anti-Markovnikov'''. Il gruppo -OH si lega al carbonio meno sostituito del doppio legame (quello con più idrogeni), permettendo di sintetizzare un alcol primario a partire da un alchene terminale. '''9. Soluzione:''' Si ottiene il '''cicloesanolo''', classificato come '''alcol secondario'''. Il litio alluminio idruro (LiAlH4​) è un potente agente riducente capace di ridurre i chetoni ad alcoli secondari. Il carbonio del chetone fa parte di un anello ed è legato ad altri due carboni; dopo l'addizione di idruro e la protonazione, l'alcol risultante mantiene questa connettività, confermando la natura secondaria dell'alcol. '''10. Soluzione:''' Il reattivo più adatto è il '''b) Reattivo di Jones'''. L'1-propanolo è un alcol primario. Se vogliamo ossidarlo completamente fino ad acido propanoico (acido carbossilico), abbiamo bisogno di un forte agente ossidante in soluzione acquosa come il reattivo di Jones. Il PCC (opzione a), al contrario, si fermerebbe al primo stadio di ossidazione producendo l'aldeide (propanale). '''11. Soluzione:''' Si ottiene l''''1-feniletanolo'''. Questa è una '''riduzione''' di un chetone aromatico. Il litio alluminio idruro riduce il gruppo C=O a un gruppo alcolico CH−OH. Poiché il carbonio carbonilico era legato a due gruppi (fenile e metile), l'alcol risultante è un '''alcol secondario'''. '''12. Soluzione:''' La soluzione diventa verde/blu e si ottiene il '''3-pentanone'''. Il 3-pentanolo è un alcol secondario. L'ossidazione degli alcoli secondari con cromo (VI) — che è arancione — produce un chetone e riduce il cromo a cromo (III), che ha una colorazione tipica verde-azzurra. Anche se il reattivo di Jones è forte, l'ossidazione si ferma al chetone perché non ci sono idrogeni "carbinolici" residui da strappare. '''13. Soluzione:''' Il '''cicloesene'''. Questa è una '''preparazione''' di alcoli. L'idratazione acido-catalizzata rompe il doppio legame del cicloesene; trattandosi di una molecola simmetrica, l'aggiunta di −H e −OH porta inevitabilmente alla formazione del cicloesanolo senza problemi di regioselettività (regola di Markovnikov). '''14. Soluzione:''' Il '''trans-2-metilcicloesanolo'''. Questa è una preparazione tramite '''idroborazione-ossidazione'''. La reazione è anti-Markovnikov (il gruppo −OH va sul carbonio meno sostituito, ovvero il C2) e segue una geometria '''syn-addition'''. Di conseguenza, l'idrogeno e il gruppo ossidrile entrano dallo stesso lato, spingendo il gruppo metile pre-esistente in posizione ''trans'' rispetto all'ossidrile. '''15. Soluzione:''' Reagente: '''NaBH4'''​ (o LiAlH4​); Aldeide: '''2-metilpropanale'''. Per preparare un alcol primario tramite riduzione, dobbiamo partire da un'aldeide con lo stesso scheletro carbonioso. Il boroidruro di sodio (NaBH4​) è il reagente più comune e sicuro per trasformare il gruppo aldeidico terminale (−CHO) in un gruppo alcolico primario (−CH2​OH). : 33hlik0bnuqdz5d9y61y4i3eiotuf5j 498248 498245 2026-05-22T16:31:04Z Francescaa07 52477 498248 wikitext text/x-wiki == 8.1: Preparazione degli alcheni - Un'anteprima delle reazioni di eliminazione == === Addizione elettrofila === Gli alcheni sono presenti in natura. Costituiscono la base di molti prodotti naturali, come i terpeni, che svolgono una varietà di ruoli nella vita di piante e insetti. I legami C=C degli alcheni sono molto diversi dai legami C=O, anch'essi comuni in natura. I legami C=C degli alcheni sono elettron-ricchi e nucleofili, a differenza dei legami C=O elettron-poveri degli alcheni, carboidrati, acidi grassi e proteine. Questa differenza gioca un ruolo nel modo in cui i terpeni si formano in natura. Anche gli alcheni, o olefine, sono un prodotto importante dell'industria petrolifera. Le reazioni degli alcheni costituiscono la base di una parte significativa della nostra economia manifatturiera. Le materie plastiche di uso comune come polietilene, polipropilene e polistirene si formano tutte attraverso le reazioni degli alcheni. Questi materiali continuano a trovare impiego nella nostra società grazie alle loro preziose proprietà, come elevata resistenza, flessibilità e leggerezza. Gli alcheni subiscono reazioni di addizione come vedrai anche i carbonili fanno lo stesso. Più comunemente aggiungono un protone a un'estremità del doppio legame e un altro gruppo all'altra estremità. Queste reazioni avvengono, tuttavia, in modi leggermente diversi. [[File:Addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane 8.1.svg|centro|miniatura|399x399px]] Gli alcheni sono reattivi perché hanno una coppia di elettroni di legame π ad alta energia. Questi elettroni sono trattenuti debolmente, essendo ad alta energia rispetto ai legami σ. Il fatto che non si trovino tra i nuclei di carbonio, ma si trovino sopra e sotto il piano del carbonio...doppio legame, rende anche questi elettroni più accessibili. [[File:Mechanism for addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane with orbitals 8.1.svg|centro|miniatura|495x495px]] Gli alcheni possono cedere i loro elettroni anche a elettrofili forti diversi dai protoni. A volte il loro schema di reattività è leggermente diverso dalla semplice addizione attraverso l'doppio legame, ma è proprio su questo schema semplice che ci concentreremo in questo capitolo. === Reazioni di eliminazione === Reazioni di eliminazione sono possibili mediante l'astrazione di un protone in posizioni prossime a un potenziale gruppo in uscita. Questo tipo di eliminazione può essere descritto da due meccanismi modello: può verificarsi in un singolo passaggio concertato (l'astrazione del protone in C α che si verifica contemporaneamente alla scissione del legame C β -X) o in due passaggi (la scissione del legame C β -X si verifica prima per formare un carbocatione intermedio, che viene poi "spento" mediante l'astrazione dei protoni al carbonio alfa). [[File:Mechanism of concerted (E2) and carbocation (E1) elimination reactions to covert alkyl halides to alkenes 8.1.svg|centro|miniatura|486x486px]] Le più comuni reazioni di eliminazione sono della idroalogenazione e disidratazione nel meccanismo sopra, X potrebbe essere Cl, Br o I per la deidroalogenazione dove c'è una perdita di HX da un alogenuro alchilico. Per disidratazione, X sarebbe un gruppo OH nel caso sopra meccanismo dove la perdita complessiva è acqua da un alcol. Questi meccanismi, denominati rispettivamente E2 ed E1, sono importanti in laboratorio chimica organica, ma sono meno comuni nella chimica biologica. Come spiegato di seguito, che meccanismo ciò che avviene effettivamente in una reazione di laboratorio dipenderà dall'identità dei gruppi R (ad esempio, se l'alogenuro alchili cioè primaria, secondaria, terziaria, ecc.) nonché dalle caratteristiche della base. Esercizio 8.1.1​ Nelle reazioni di eliminazione tende ad esserci una miscela di prodotti. Quali sono le due possibili alchene prodotti per la reazione del 2-bromo-2-metilpentano con NaOH? Risposta​ I due alcheni possibili dalla reazione di 2-bromo-2-metilpentano con NaOH sono: # 2-metilpent-2-ene (prodotto maggiore) # 2-metilpent-1-ene (prodotto minore) Il maggiore è più stabile (Zaitsev). == 8.2: Alogenazione degli alcheni - Addizione di X₂ == Gli alogeni possono agire come elettrofili e possono essere attaccati da un legame π da un alchene I legami π rappresentano una regione di densità elettronica e quindi funzionano come nucleofili . Come è possibile che un alogeno ottenga una carica positiva per essere un elettrofilo? === Introduzione === Una molecola di alogeno, ad esempio Br₂ , si avvicina a un doppio legame dell'alchene: gli elettroni del doppio legame respingono quelli della molecola di bromo, causando la polarizzazione del legame alogeno-alogeno. Questo crea un momento di dipolo nel legame alogeno-alogeno. Si verifica la scissione eterolitica del legame e uno degli alogeni ottiene una carica positiva e reagisce come elettrofilo. La reazione di addizione non è regioselettiva, ma stereoselettiva. La stereochimica di questa addizione può essere spiegata dal meccanismo della reazione. Nel primo passaggio, l'alogeno elettrofilo (con carica positiva) si avvicina al legame π e agli orbitali 2p del legame alogeno con due atomi di carbonio, creando uno ione ciclico con un alogeno come intermedio. Nel secondo passaggio, lo ione alogenuro rimanente (alogeno con carica negativa) attacca uno dei due atomi di carbonio nello ione ciclico dal lato posteriore del ciclo, come nella reazione S₂N₂ . Pertanto la stereochimica del prodotto è anti-addizione di '''dialogenuri vicinali''' . R₂C = C₂R + X₂ → R₂CX - CR₂X '''Fase 1:''' Nella prima fase dell'addizione il legame Br-Br si polarizza, si verifica una scissione eterolitica e Br con carica positiva forma un intermedio ciclico con i due atomi di carbonio dell'alchene. [[File:Mechanism_for_first_step_of_halogenation_of_alkene_3B_bromonium_ion_formation.svg|centro|miniatura|388x388px|Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation]] '''Fase 2:''' Nella seconda fase, l'anione bromuro attacca uno dei due atomi di carbonio dello ione bromonio a ponte dalla parte posteriore dell'anello. L'atomo di bromo nello ione bromonio agisce in un certo senso da scudo, costringendo l'anione bromonio ad attaccare dal lato opposto. Il risultato è l'apertura dell'anello con i due alogeni su lati opposti. Questa è '''anti''' -stereochimica, definita come i due atomi di bromo provengono da facce opposte del doppio legame. Il risultato è che i bromi si aggiungono in posizione trans l'uno all'altro. [[File:Mechanism_for_attack_of_bromide_ion_on_bromonium_ion_to_give_anti_vicinal_dihalide_8.2.svg|centro|miniatura|337x337px|molecola organica]] Gli alogeni comunemente utilizzati in questo tipo di reazione sono: Br e Cl. In termini termodinamici I è troppo lento per questa reazione a causa delle dimensioni del suo atomo, ed F è troppo vigoroso ed esplosivo. Poiché lo ione alogenuro può attaccare qualsiasi carbonio dal lato opposto dell'anello, crea una miscela di prodotti sterici. Un materiale di partenza otticamente inattivo produce prodotti achirali otticamente inattivi o una miscela racemica . === Addizione elettrofila è costituito da due fasi. === Prima di costruire il meccanismo riassumiamo le condizioni per questa reazione. Useremo Br2 nel nostro esempio per la alogenazione di etilene. {| class="wikitable" |'''Nucleofilo''' |'''In''' |- |Elettrofilo |Br 2 , Cl 2 |- |Chimica '''regionale''' |non pertinente |- |Chimica '''stereo''' |'''ANTI''' |} ===== Esercizio ===== Che cosa è il meccanismo di aggiungere Cl2 al cicloesene? [[File:Chem3.jpg|centro|miniatura]] ; Risposta ; [[File:Choloro_problem_2.jpg|centro|miniatura]] ; : ===== Esercizio ===== Una reazione di Br 2 molecola in un solvente inerte con alchene segue? # aggiunta sin # anti-addizione # Regola di Morkovnikov ; Risposta : B ; ; ; == 8.3: Aloidrine da alcheni - Aggiunta di HOX == ; Il protone non è l'unica specie elettrofila che inizia reazioni di addizione al doppio legame degli alcheni. Gli acidi di Lewis come gli alogeni, gli idruri di boro e alcuni ioni di metalli di transizione sono in grado di legarsi agli alchene elettroni pi-elettrici, e i complessi risultanti si riorganizzano o vengono attaccati dai nucleofili per dare prodotti di addizione. Il carattere elettrofilo degli alogeni è ben noto come discusso nella sezione precedente. Il cloro (Cl ) reagisce selettivamente con ) e bromo (Br₂ ) doppio legame degli alcheni, e queste reazioni sono ciò su cui ci concentreremo. Il fluoro si addiziona in modo incontrollato agli alcheni e l'aggiunta di iodio è sfavorevole, quindi questi non sono metodi preparativi utili. L'aggiunta di cloro e bromo agli alcheni, come mostrato di seguito, procede tramite un attacco elettrofilo iniziale sugli elettroni pi-greci dell' doppio legame(Sezione 8.2). I dialogeni in cui gli alogeni sono legati ai carboni adiacenti sono chiamati vicinale, dal latino ''vicinalis'' , che significa vicino. R₂ C=CR₂ + X₂ —— > ₂ C X -CR₂ XR Un'altra aggiunta elettrofila a un alchene è la reazione di un alchene con gli altri reagenti contenenti alogeni come gli acidi ipoalogenati, HOX, per formare aloidrine. Tuttavia, le aloidrine non si formano aggiungendo direttamente un acido ipoalogenato, invece alchene viene fatto reagire con Br ), quindi la loro addizione a doppi legami asimmetrici può in linea di principio avvenire in due modi. In pratica, questi o Cl₂ in presenza di acqua. Questi reagenti sono asimmetrici (a differenza di Br₂ o Cl₂ ) reazioni di addizione sono regioselettivi, con uno dei due possibili prodotti costituzionalmente isomerici favorito. La frazione elettrofila in entrambi questi reagenti è l'alogeno. (CH 3 ) 2 C=CH 2 + HOBr —— > (CH 3 ) 2 C OH -CH 2 Br La regioselettività delle reazioni di cui sopra può essere spiegata dallo stesso meccanismo abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov. Quindi, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale di quelli più stabili (più sostituiti) carbocatione, e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. La regioselettività delle reazioni sopra descritte può essere spiegata con lo stesso meccanismo che abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov . Pertanto, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale del carbocatione più stabile (più altamente sostituito), e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. [[File:Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation.svg|centro|miniatura|358x358px]] Il primo passaggio è identico all'alogenazione degli alcheni. L'alogeno, in questo caso il bromo, reagisce con l'alchene per formare uno ione bromonio ciclico. Il secondo passaggio non prevede l'attacco dello ione bromo, ma l'acqua agisce da nucleofilo. L'acqua è disponibile a una concentrazione maggiore rispetto allo ione bromo, quindi è più probabile che sia disponibile nell'orientamento corretto per l'attacco nucleofilo. L'acqua è anche un nucleofilo migliore dello ione bromo. Migliore è il nucleofilo, maggiore è la probabilità che attacchi. Si può notare che, quando l'ossigeno crea un legame, acquisisce una carica formale positiva al completamento di questo passaggio. Il terzo passaggio è un passaggio acido-base finale, in cui si verifica la perdita di un protone dall'ossigeno al solvente (acqua) per formare l'aloidrina neutra. In questo caso, il prodotto della reazione di addizione è una bromidrina. [[File:General_mechanism_for_reaction_of_a_terminal_alkene_with_an_electrophile_to_generate_a_secondary_carbocation,_which_reacts_with_nucleophile_to_give_the_product_8.3.svg|centro|miniatura|444x444px|molecola organica]] [[File:Table_of_common_reagents_that_react_with_alkenes%25_2C_broken_into_electrophilic_and_nucleophilic_moieties_8.33.svg|miniatura|353x353px|molecola organica]] Per applicare questo meccanismo dobbiamo determinare la frazione elettrofila in ciascuno dei reagenti. Utilizzando le differenze di elettronegatività possiamo scomporre i comuni reagenti di addizione in frazioni elettrofile e nucleofile, '''come mostrato a destra''' . Nel caso degli acidi ipocloroso e ipobromoso (HOX), questi acidi di Brønsted deboli (pKa ~ 8) non reagiscono come donatori di protoni; e poiché l'ossigeno è più elettronegativo del cloro o del bromo, l'elettrofilo sarà un catione alogenuro. La specie nucleofila che si lega al carbocatione intermedio è quindi lo ione idrossido, o più probabilmente l'acqua (il solvente usuale per questi reagenti), e i prodotti sono chiamati aloidrine. I cloruri di solfenile si addizionano in modo opposto perché l'elettrofilo è un catione zolfo, RS(+), mentre la frazione nucleofila è l'anione cloruro (il cloro è più elettronegativo dello zolfo). Di seguito sono riportati alcuni esempi che illustrano l'addizione di vari reagenti alogeni elettrofili ai gruppi alchenici. Si noti la regiochimica specifica dei prodotti, come spiegato sopra. [[File:Examples_of_reactions_of_alkenes_with_various_electrophilic_halogen_reagents_8.3.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] ===== Esercizio ===== Quando il butene viene trattato con NBS in presenza di acqua, il prodotto mostra che il bromo si trova sul carbonio meno sostituito: si tratta di Markovnikov o anti-Markovnikov? ; Risposta : Poiché il bromo è la prima aggiunta al alchene, questa aggiunta sarebbe un'aggiunta anti-Markovnikov. == 8.4: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per ossimercurazione == === Che cos'è l'idratazione elettrofila? === L'idratazione elettrofila consiste nell'aggiungere un idrogeno elettrofilo da un acido forte non nucleofilo (un catalizzatore riutilizzabile, tra cui l'acido solforico e l'acido fosforico) e applicare temperature appropriate per rompere il doppio legame dell'alchene. Dopo la formazione di un carbocatione , l'acqua si lega al carbocatione formando un alcol 1°, 2° o 3° sull'alcano. L'idratazione elettrofila è la disidratazione inversa degli alcoli e ha applicazioni pratiche nella produzione di alcoli per combustibili e reagenti per altre reazioni. La reazione fondamentale a determinate temperature (riportate di seguito) è la seguente: [[File:Generic_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|403x403px|molecola organica]] Un idrogeno elettrofilo è essenzialmente un protone: un atomo di idrogeno privato del suo elettrone. Un idrogeno elettrofilo è comunemente usato per aiutare a rompere i doppi legami o a ripristinare i catalizzatori (vedi S N 2 per maggiori dettagli). === Meccanismo di formazione di un alcol 3° (i meccanismi 1° e 2° sono simili) === L'idratazione è il processo in cui l'acqua viene aggiunta a un alchene per produrre un alcol. L'idratazione acido-catalizzata avviene quando un acido forte viene utilizzato come catalizzatore per avviare la reazione, ma diamo un'occhiata al meccanismo qui sotto e analizziamo i passaggi. [[File:Mechanism_for_an_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|468x468px|molecola organica]] Fase 1: Un atomo di idrogeno dell'acido viene attaccato dagli elettroni nucleofili Pi presenti nel doppio legame. Questo processo è simile alle altre reazioni degli alcheni che abbiamo visto finora. In questo processo, si forma un nuovo legame CH nella posizione che crea il carbocatione più stabile. Fase 2: Un'acqua nucleofila attacca o dona una coppia solitaria all'intermedio carbocationeico creato nella prima fase. Si forma un nuovo legame CO con l'ossigeno avente carica formale +1. Il prodotto è un alcol protonato. Fase 3: Per ottenere il prodotto alcolico neutro, il passaggio finale consiste nel deprotonare l'atomo di ossigeno con carica formale +1 utilizzando la base coniugata del catalizzatore acido. Questo passaggio finale rigenera il catalizzatore acido e produce il prodotto alcolico neutro. Il calore viene utilizzato per catalizzare l'idratazione elettrofila; poiché la reazione è in equilibrio con la disidratazione di un alcol, che richiede temperature più elevate per formare un alchene, sono necessarie temperature più basse per formare un alcol. ''Le temperature esatte utilizzate sono molto variabili e dipendono dal prodotto che si sta formando.'' === Cosa è la regiochimica e come si applica? === La regiochimica si occupa di dove si formano i legami sostituenti sul prodotto. Le regole di '''Zaitsev''' e '''Markovnikov''' riguardano la regiochimica, ma la regola di Zaitsev si applica alla sintesi di un alchene, mentre la regola di Markovnikov descrive dove si forma il legame sostituente nel prodotto di un'addizione elettrofila. Nel caso dell'idratazione elettrofila, la regola di Markovnikov è l'unica regola ''direttamente'' applicabile. Per una spiegazione approfondita della regiochimica, si veda quanto segue: Spiegazione di Markovnikov: Addizioni radicaliche - Formazione di prodotti anti-Markovnikov. Nel meccanismo di formazione di un alcol 3° mostrato sopra, l'idrogeno viene aggiunto al carbonio meno sostituito nel doppio legame nucleofilo (ha meno atomi di carbonio legati). Ciò significa che il carbocatione e si forma sul carbonio 3°, rendendolo più stabilizzato dall'iperconiugazione '': gli'' elettroni nei legami sigma (singoli) vicini contribuiscono a riempire l'orbitale p vuoto del carbocatione, il che riduce la carica positiva. Una maggiore sostituzione su un carbonio significa che più legami sigma sono disponibili per "aiutare" (utilizzando la sovrapposizione) la carica positiva, il che crea una maggiore ''stabilità del carbocatione'' . In altre parole, '''i carbocationei si formano sul carbonio più sostituito''' nel doppio legame. Se il carbocatione si forma originariamente sulla parte meno sostituita dell'alchene, si verificano riarrangiamenti del carbocatione per formare prodotti più sostituiti: * '''Spostamenti di idruro:''' un atomo di idrogeno legato a un atomo di carbonio vicino al carbocatione abbandona quel carbonio per legarsi al carbocatione (dopo che l'idrogeno ha preso entrambi gli elettroni dal legame singolo, è noto come idruro). Questo trasforma il carbonio precedentemente vicino in un carbocatione, e il precedente carbocatione diventa un atomo di carbonio vicino. [[File:Mechanism_for_hydride_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|391x391px|molecola organica]] * '''Spostamenti alchilici:''' se non sono disponibili atomi di idrogeno per uno spostamento di idruro, un intero gruppo metilico esegue lo stesso spostamento. [[File:Mechanism_for_methyl_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] Il nucleofilo attacca la carica positiva formata sul carbonio più sostituito connesso al doppio legame, poiché il nucleofilo sta cercando quella carica positiva. Nel meccanismo per un alcol 3° mostrato sopra, l'acqua è il nucleofilo. Dopo che un atomo di H è stato rimosso dalla molecola d'acqua, l'alcol si lega al carbonio più sostituito. Pertanto, '''l'idratazione elettrofila segue la regola di Markovnikov.''' === Che cosa è la stereochimica e come si applica? === '''La stereochimica si occupa di come i legami sostituenti sul prodotto si direzionalizzano''' . Trattini e cunei indicano la stereochimica, indicando se la molecola o l'atomo sta entrando o uscendo dal piano della tavola. Ogni volta che il legame è una semplice linea retta, la molecola legata ha la stessa probabilità di trovarsi verso l'interno del piano della tavola come fuori da esso. Ciò indica che '''il prodotto è una miscela racemica''' . L'idratazione elettrofila adotta una stereochimica in cui il sostituente ha la stessa probabilità di legarsi sia verso l'interno che verso l'esterno del piano della lastra. Il prodotto alcolico 3° della seguente reazione potrebbe apparire come uno dei seguenti prodotti: [[File:Acid-catalyzed_hydration_of_2-methylbutene_to_give_a_mixture_of_enantiomers_of_2-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|378x378px|molecola organica]] Non vi è alcun controllo stereochimico nelle reazioni di idratazione acido-catalizzate. Ciò è dovuto alla natura trigonale planare, sp2, dell'intermedio carbocationeico. L'acqua può agire da nucleofilo formando un legame con entrambe le facce del carbocatione, dando origine a una miscela di risultati stereochimici. [[File:Orbital_depiction_of_nucleophilic_attack_on_carbocation_intermediate_8.4.svg|centro|miniatura|421x421px|molecola organica]] Nota: ogni volta che si utilizza una linea retta insieme a trattini e spicchi sulla stessa molecola, potrebbe indicare che il legame rettilineo si trova sullo stesso piano della tavola. Esercitarsi con un kit di modelli molecolari e risolvere gli esercizi alla fine può aiutare a eliminare qualsiasi ambiguità. ===== Si tratta di una sintesi reversibile? ===== Elettrofilo idratazione è reversibile perché un alchene in acqua è in equilibrio con il prodotto alcolico. Per modificare l'equilibrio in un senso o nell'altro, si può modificare la temperatura o la concentrazione dell'acido forte non nucleofilo. Per esempio: * Una minore quantità di acido solforico o fosforico e un eccesso di acqua aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. * Temperature più basse aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. === Esiste un modo migliore per aggiungere acqua per sintetizzare un alcol da un Alchene? === Esiste un percorso più efficiente: '''Ossimercurazione''' '''- Demercurazione''' , un tipo speciale di addizione elettrofila. Ossimercurazione non consente riarrangiamenti, ma richiede l'uso di mercurio, che è altamente tossico. Svantaggi dell'uso di una reazione di idratazione elettrofila per produrre alcoli include: * Tenendo conto di carbocatione riarrangiamenti * Scarse rese dovute all'equilibrio tra reagenti e prodotti * Consentire miscele di prodotti (ad esempio (''R'' * Utilizzando acido solforico o fosforico Ossimercurazione è una speciale addizione elettrofila. È anti-stereospecifico e regioselettivo. La regioselettività è un processo in cui il sostituente sceglie una direzione in cui preferisce essere legato rispetto a tutte le altre possibili direzioni. Il vantaggio di questa reazione è che non c'è riarrangiamento dovuto alla stabilizzazione del reattivo intermedio. Una stabilizzazione simile si osserva anche in uno dei maggiori vantaggi di ossimercurazione, che è quello carbocatione e i riarrangiamenti non possono verificarsi in queste condizioni (Hg(OAc)O). Il riarrangiamento del carbocatione è un processo in cui il carbocatione intermedio può subire uno spostamento metilico o alchilico per formare uno ione più stabile. A causa di un possibile riarrangiamento, la reazione sottostante non genererebbe il prodotto mostrato in alte rese. Al contrario, la reazione di ossimercurazione procederebbe per formare il prodotto desiderato. [[File:Electrophilic_hydration_of_3-methyl-1-butene_with_H2SO4_and_H2O_does_not_produce_3-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|412x412px|molecola organica]] [[File:Oxymercuration-demercuration_of_3-methyl-1-butene_with_Hg(OAc)2,_H2O_followed_by_NaBH4,NaOH,H2O_produces_3-methyl-2-butanol.svg_8.42.svg|centro|miniatura|420x420px|molecola organica]] Questa reazione coinvolge il mercurio che agisce come reagente attaccando l'alchene doppio legame per formare unUn'acqua molecola attaccherà quindi il carbonio più sostituito per aprire il ponte ionico del mercurio, seguito dal trasferimento protonico all'acqua solvente molecola. [[File:Mechanism_for_oxymercuration-demercuration_of_an_alkene_revision=3_8.4.png|centro|miniatura|434x434px|molecola organica]] L'intermedio organomercuriale viene quindi ridotto con boroidruro di sodio: il meccanismo di questo passaggio finale esula dallo scopo della nostra discussione. Si noti che, nel complesso, il meccanismo di ossimercurazione-demercurazione segue la regioselettività di Markovnikov, con il gruppo OH legato al carbonio più sostituito e l'H legato al carbonio meno sostituito. La reazione è utile, tuttavia, perché non sono richiesti acidi forti e si evitano riarrangiamenti di carbocationi poiché non si forma alcun intermedio carbocationico discreto. È importante notare che, per il meccanismo mostrato sopra, si forma anche l'enantiomero del prodotto mostrato. Questo è il risultato della formazione dello ione mercurio sotto l'alchene nel primo passaggio. ====== Esercizi: ====== Quali sono i prodotti finali di questi reagenti? [[File:8-4_Question.jpg|centro|miniatura|408x408px|molecola organica]] ====== Risposta: ====== [[File:8-4_Answer.jpg|centro|miniatura|334x334px|molecola organica]] == 8.5: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per idroborazione == Idroborazione-ossidazione è un percorso in due fasi utilizzato per produrre alcoli. La reazione procede in modo anti-Markovnikov, dove l'idrogeno (da BH 3 o BHR 2 ) si attacca al carbonio più sostituito e il boro si attacca al carbonio meno sostituito nell'alchene doppio legame. Inoltre, il borano agisce come un acido di Lewis accettando due elettroni nell'orbitale p vuoto da un alchene che è ricco di elettroni. Questo processo permette al boro di avere un ottetto di elettroni. Una caratteristica molto interessante di questo processo è che non richiede alcuna attivazione da parte di un catalizzatore. Il meccanismo dell'idrobazione ha gli elementi sia dell'idrogenazione che dell'addizione elettrofila ed è un stereospecifico ( '''''addizione sin),''''' il che significa che l'idroborazione si svolge sulla stessa faccia del doppio legame, questo porta '''''cis''''' stereochimica. === Introduzione === L'idroborazione-ossidazione degli alcheni si è rivelata un metodo di laboratorio molto prezioso per la stereoselettività e la regioselettività degli alcheni. Un'ulteriore caratteristica di questa reazione è che avviene senza riarrangiamento.Innanzitutto è molto importante capire un po' la struttura e le proprietà della molecola '''borano.''' Il borano esiste in natura come gas molto tossico ed esiste come dimero di formula generale B₂H₄ ( diborano ). Inoltre, il dimero B₂H₄ si infiamma spontaneamente in aria. Il borano è disponibile in commercio in etere e tetraidrofurano (THF ) ; in queste soluzioni il borano può esistere come acido di Lewis complesso di base, che consente al boro di avere un ottetto di elettroni. [[File:2_molecules_of_tetrahydrofuran_(THF)_react_with_B2H6_to_produce_2_molecules_of_BH3-THF..svg_8.5.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] === Il meccanismo === === Passo 1 === * Parte 1: Idroborazione dell'alchene In questa prima fase l'aggiunta del borano all'alchene è avviato e procede come un reazione concertata perché la rottura e la formazione del legame avvengono contemporaneamente. Questa parte è costituita dall'orbitale 2p vacante del boro elettrofilo appaiamento con la coppia di elettroni del legame pi greco del nucleofilo. [[File:Concerted_addition_of_BH3_to_alkene.svg_8.51.svg|centro|miniatura|135x135px|molecola organica]] '''Stato di transizione''' [[File:Transition_state_for_addition_of_BH3_to_an_alkene.svg_8.52.svg|centro|miniatura|168x168px|molecola organica]] '''* Nota che un carbocatione non si forma. Pertanto, non avviene alcun riarrangiamento.''' * Parte 2: L'addizione anti-Markovnikov del boro. Il boro si aggiunge al carbonio meno sostituito dell'alchene, che poi posiziona l'idrogeno sul carbonio più sostituito. Sia il boro che l'idrogeno si aggiungono simultaneamente sulla stessa faccia del doppio legame (addizione sin.). [[File:Anti-markovnikov_product_of_BH3_addition_to_alkene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|151x151px|molecola organica]] === Ossidazione del trialchilborano mediante perossido di idrogeno === === Passo 2 === * Parte 1: La prima parte di questo meccanismo si occupa della donazione di una coppia di elettroni dallo ione perossido di idrogeno. il perossido di idrogeno è l'nucleofilo in questa reazione perché è il donatore di elettroni al trialchilborano appena formato che è risultato da idroborazione. [[File:Mechanism_for_acid_base_reaction_of_hydrogen_peroxide_with_hydroxide_to_give_hydrogen_peroxide_ion_and_water.svg_8.5.svg|centro|miniatura|373x373px|molecola organica]] [[File:Mechanism_for_hydrogen_peroxide_ion_addition_to_trialkylborane.svg_8.5.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] * Parte 2: In questa seconda parte del meccanismo, una riorganizzazione di un gruppo R con la sua coppia di elettroni leganti a un ossigeno adiacente provoca la rimozione di uno ione idrossido. [[File:Mechanism_for_alkyl_migration_in_oxidation_step_of_hydroboration_oxidation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|366x366px|molecola organica]] '''Si verificheranno altre due di queste reazioni con l'idroperossido per dare un trialchilborato''' [[File:Trialkylborate_formation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|376x376px|molecola organica]] * Parte 3: Questa è la parte finale del ossidazione processo. In questa parte il trialchilborato reagisce con NaOH acquoso per dare alcol e borato di sodio. [[File:Trialkylborate_reacts_with_3_NaOH_to_give_3_alcohols_and_sodium_borate.svg_8.5.svg|centro|miniatura|442x442px|molecola organica]] === Stereochimica di idroborazione === La reazione di idroborazione è tra le poche semplici reazioni di addizione che procedono in modo pulito e ''sinergico'' . Come notato sopra, questa è una reazione in un unico passaggio. Poiché il legame del doppio legame carboni a boro e idrogeno è concertata, ne consegue che la geometria di questa addizione deve essere sin. Inoltre, i riarrangiamenti sono improbabili in quanto un discreto carbocatione intermedio non si forma mai. Queste caratteristiche sono illustrate per l'idroborazione di α-pinene. [[File:Mechanism_of_hydroboration%25_3Aoxidation_of_alpha-pinene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|568x568px|molecola organica]] Dal momento che la procedura idroborazione è più comunemente utilizzata per idratare gli alcheni in modo anti-Markovnikov, dobbiamo anche conoscere la stereoselettività della seconda reazione ossidazione , che sostituisce un gruppo ossidrilico all'atomo di boro. Uno studio indipendente ha dimostrato che questa reazione avviene con ritenzione di configurazione quindi anche l'aggiunta complessiva di acqua è sin. L'idroborazione dell'α-pinene fornisce anche un buon esempio di controllo dell'ingombro sterico in una reazione chimica. Negli alcheni meno complessi utilizzati negli esempi precedenti, il piano del doppio legame era spesso un piano di simmetria, e i reagenti di addizione potrebbero avvicinarsi con la stessa facilità da entrambi i lati. In questo caso, uno dei gruppi metilici legati al C-6 (colorato in viola nell'equazione) copre una faccia del doppio legame, bloccando qualsiasi avvicinamento da quel lato. Tutti i reagenti che si aggiungono a questo doppio legame deve quindi avvicinarsi dal lato opposto a questo metile. Esercizi alla pagina: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.)/08%3A_Alkenes-_Reactions_and_Synthesis/8.05%3A_Hydration_of_Alkenes_-_Addition_of_HO_by_Hydroboration == 8.6: Riduzione degli alcheni - Idrogenazione == L'addizione di idrogeno a un doppio legame carbonio-carbonio è chiamata idrogenazione . L'effetto complessivo di tale addizione è la rimozione riduttiva del gruppo funzionale del doppio legame. La regioselettività non è un problema, poiché lo stesso gruppo (un atomo di idrogeno) è legato a ciascuno degli atomi di carbonio del doppio legame. La fonte più semplice di due atomi di idrogeno è l'idrogeno molecolare (H₂ ) , ma la miscelazione di alcheni con idrogeno non provoca alcuna reazione discernibile. Sebbene la reazione di idrogenazione complessiva sia esotermica, un'elevata energia di attivazione ne impedisce il verificarsi in condizioni normali. Questa restrizione può essere aggirata mediante l'uso di un catalizzatore, come mostrato nel diagramma delle coordinate di reazione sottostante. Un esempio di reazione di addizione di un alchene è un processo chiamato idrogenazione. In una reazione di idrogenazione, due atomi di idrogeno vengono aggiunti al doppio legame di un alchene , dando origine a un alcano saturo . L'idrogenazione di un doppio legame è una reazione termodinamicamente favorevole perché forma un prodotto più stabile (a minore energia). In altre parole, l'energia del prodotto è inferiore a quella del reagente; quindi è esotermica (viene rilasciato calore). Il calore rilasciato è chiamato calore di idrogenazione, che è un indicatore della stabilità di una molecola. [[File:Hydrogenation_of_ethene_into_ethane,_and_cyclohexene_into_cyclohexane_by_using_H2_and_Pd_C.svg_8.6.svg|centro|miniatura|511x511px|molecola organica]] I catalizzatori sono sostanze che modificano la velocità di una reazione chimica senza essere consumate o apparire come parte del prodotto. I catalizzatori agiscono riducendo la energia di attivazione delle reazioni, ma non modificano l'energia potenziale relativa dei reagenti e dei prodotti. I metalli finemente suddivisi, come platino, palladio e nichel, sono tra i catalizzatori di idrogenazione più utilizzati. L'idrogenazione catalitica avviene in almeno due fasi, come illustrato nel diagramma. Innanzitutto, alchene deve essere adsorbito sulla superficie del catalizzatore insieme ad una parte dell'idrogeno. Successivamente, due idrogeni si spostano dalla superficie del metallo ai carboni del doppio legame, e il risultante saturato l'idrocarburo, che viene adsorbito più debolmente, lascia il catalizzatore superficie. La natura e la tempistica esatte degli ultimi eventi non sono ben comprese. [[File:Hydrogenation_Reaction_Energy_Diagram.jpg_8.6.jpg|centro|miniatura|388x388px|molecola organica]] Come mostrato nel diagramma energetico, l'idrogenazione degli alcheni è esotermico, e il calore viene rilasciato corrispondente al ΔH nel diagramma. Questo calore di reazione può essere utilizzato per valutare la stabilità termodinamica degli alcheni aventi un numero diverso di sostituenti alchilici sulla doppio legame. Ad esempio, la tabella seguente elenca i calori di idrogenazione per tre alcheni C che danno lo stesso prodotto alcano (2-metilbutano). Poiché un alcheni C₃H₂O che danno calore di reazione indica un reagente ad energia più elevata, questi calori sono inversamente proporzionali alla stabilità del alchene isomeri. Con una certa approssimazione, vediamo che ogni sostituente alchilico su un doppio legame stabilizza questo funzionale gruppo di poco più di 1 kcal/mole. {| class="wikitable" |- align="center" valign="top" !Isomero di alchene |(CH 3 ) 2 CHCH=CH 2 3-metil-1-butene |CH 2 = C(CH 3 )CH 2 CH 3 2-metil-1-butene |(CH 3 ) 2 C=CHCH 3 2-metil-2-butene |- align="center" !Calore di reazione (ΔHº) |–30,3 kcal/mole |–28,5 kcal/mole |–26,9 kcal/mole |} '''Meccanismo''' '''Idrogenazione catalitica''' [[File:Catalytic_hydrogenation_mechanism.svg_8.6.svg|centro|miniatura|583x583px|molecola organica]] Come dal meccanismo mostrato qui, ci si aspetterebbe che l'aggiunta di idrogeno avvenga con sin-stereoselettività. Questo è spesso vero, ma i catalizzatori di idrogenazione possono anche causare l'isomerizzazione del doppio legame prima dell'aggiunta di idrogeno, nel qual caso la stereoselettività potrebbe essere incerta. [[File:Hydrogenation_of_12C2-dimethylcyclopentane.svg_8.6.svg|centro|miniatura|molecola organica]] ====== Esercizio ====== Nella reazione [[File:Ethene_catalytic_hydration_with_platinum_oxide.svg_8.6_es.svg|centro|miniatura|501x501px|molecola organica]] # 0,500 moli di etene reagiscono con _______ mol di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con una _______ di idrogeno. # l'etene viene _______; mentre _______ viene ossidato. # IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è _______; nell'etano è _______. ; Risposta :# 0,500 moli di etene reagiscono con 0,500 moli di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con un equivalente di idrogeno. :# l'etene viene ridotto , mentre l'idrogeno viene ossidato. :# IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è −2 ; nell'etano è −3 . === Esercizi sulle Proprietà di Alcoli e Fenoli === '''1.''' Confronta l'etere dimetilico (CH<small>₃</small>OCH₃) e l'etanolo (CH₃CH₂OH). Entrambi hanno la stessa formula molecolare (C₂H₆O), ma uno dei due ha un punto di ebollizione molto più alto (circa 78° C contro -24° C). '''2.''' Perché il metanolo e l'etanolo sono completamente miscibili in acqua, mentre l'1-butanolo ha una solubilità limitata (circa 7.3 g/100 mL) e l'1-ottanolo è quasi insolubile? '''3.'''Classifica i seguenti alcoli come primari, secondari o terziari: a) 2-propanolo b) 2-metil-2-butanolo c) 1-pentanolo d) Etanolo '''4.''' Ordina in senso decrescente di acidità (dal più acido al meno acido) le seguenti specie: ione idronio (H₃O⁺), acqua (H_{2<big>O</big>}), etanolo (CH₃CH₂OH). Giustifica brevemente la posizione dell'etanolo rispetto all'acqua. '''5.''' Confronta l'etanolo (CH₃CH₂OH) e il 2,2,2-trifluoroetanolo (CF₃CH₂OH). Quale dei due composti è più acido? Quale effetto elettronico spiega questa differenza? '''6.''' Il fenolo ha un pK_a di circa 10, mentre l'etanolo ha un pK_a di circa 16. a) Quale dei due è più acido? b) Spiega perché lo ione fenossido è più stabile dello ione etossido facendo riferimento alla delocalizzazione elettronica. '''7.'''Scrivi la reazione bilanciata tra il metanolo (CH₃OH) e il sodio metallico (Na). Come si chiama il prodotto organico che si forma? '''8.'''Prevedi il prodotto principale dell'ossidazione moderata (es. con PCC) e dell'ossidazione energica (es. con KMnO₄) del seguente alcol: '''1-propanolo'''. '''9.''' In presenza di acido solforico caldo (H₂SO₄), l'etanolo subisce una reazione di disidratazione. a) Che tipo di composto organico si forma? b) Qual è il nome IUPAC del prodotto? '''10.''' Gli alcoli possono comportarsi sia da acidi che da basi. Scrivi la formula del prodotto che si ottiene quando l'etanolo agisce come base di Lewis reagendo con un acido forte (H⁺). Come viene chiamato questo ione? '''11.''' Confronta il punto di ebollizione dell'1-butanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​OH) e dell'1-pentanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​CH2​OH). Quale dei due ha il valore più alto e quale forza intermolecolare, oltre al legame a idrogeno, giustifica questa differenza? '''12.''' Perché il p-nitrofenolo (un fenolo con un gruppo −NO2​ in posizione para) è significativamente più acido del fenolo semplice? Fai riferimento agli effetti elettronici sul gruppo nitro. '''13.''' Classifica i seguenti composti in ordine di solubilità decrescente in acqua: a) Metanolo (CH3​OH) b) Cicloesanolo (C6​H11​OH) c) Glicole etilenico (HOCH2​CH2​OH) '''14.''' Cosa accade quando il fenolo reagisce con una soluzione di '''idrossido di sodio (NaOH)'''? Scrivi la reazione e spiega perché l'etanolo non reagisce allo stesso modo con questa base. '''15.''' Il '''2-cloroetanolo''' (Cl−CH2​CH2​OH) ha un pKa​ di circa 14.3, mentre l'etanolo ha un pKa​ di circa 16. Spiega questa differenza di acidità basandoti sulla stabilità della base coniugata. '''16.''' Perché l'<nowiki/>'''1,2-etandiolo''' (glicole etilenico) ha un punto di ebollizione molto più elevato (197° C) rispetto all''''etanolo'''(78° C), nonostante la differenza di massa molecolare non sia così estrema? '''17.''' Confronta il fenolo con il '''p-metilfenolo''' (p-cresolo). Quale dei due composti è meno acido? Quale effetto elettronico del gruppo metilico spiega questa variazione? '''18.''' Spiega perché il '''terz-butanolo''' (2-metil-2-propanolo) è completamente miscibile in acqua, mentre l''''1-butanolo''' ha una solubilità limitata, nonostante abbiano la stessa formula molecolare (C4​H10​O). '''19.''' Ordina i seguenti composti in base alla loro '''acidità crescente''' (dal meno acido al più acido): a) Cicloesanolo b) Fenolo c) 2,4,6-trinitrofenolo (acido picrico) '''20.''' Cosa succede alla solubilità in acqua di un fenolo se viene trattato con una base forte come '''KOH'''? Descrivi la trasformazione chimica e l'effetto sulla miscibilità. ---- === Soluzioni: === # '''Soluzione:''' L'etanolo può formare '''legami a idrogeno''' intermolecolari grazie al gruppo -OH. L'etere dimetilico, pur essendo polare, non ha idrogeni legati direttamente all'ossigeno e non può formare legami a idrogeno tra le proprie molecole. Le forze di attrazione nell'etanolo sono molto più intense e richiedono più energia (calore) per essere vinte. # '''Soluzione:''' La solubilità dipende dall'equilibrio tra la testa idrofila (-OH) e la coda idrofobica (catena alchilica). Negli alcoli a catena corta, il gruppo -OH prevale. Man mano che la catena carboniosa si allunga, la porzione non polare diventa dominante, impedendo alla molecola di sciogliersi efficacemente tra le molecole d'acqua. # '''Soluzione:''' a) Secondario (OH legato a un carbonio unito ad altri 2 C). b) Terziario (OH legato a un carbonio unito ad altri 3 C). c) Primario (OH legato a un carbonio terminale). d) Primario (Eccezione/Classico: carbonio legato a un solo altro C). # '''Soluzione:''' H₃O⁺ > H₂O > CH₃CH₂OH. L'etanolo è meno acido dell'acqua perché il gruppo alchilico (CH₃CH₂) è debolmente '''elettron-donatore''' (effetto induttivo +I), il che destabilizza la carica negativa sull'ossigeno dello ione alcossido rispetto allo ione idrossido. # '''Soluzione:''' Il '''2,2,2-trifluoroetanolo''' è più acido. Gli atomi di fluoro sono fortemente elettronegativi e attirano densità elettronica (effetto induttivo -I), stabilizzando la carica negativa dello ione alcossido dopo la perdita del protone. # '''Soluzione:''' a) Il fenolo è più acido (più basso è il pK_a, maggiore è l'acidità). b) La carica negativa dello ione fenossido è '''delocalizzata per risonanza''' all'interno dell'anello aromatico (posizioni orto e para). Nello ione etossido, la carica è localizzata esclusivamente sull'ossigeno. # '''Soluzione:''' 2CH₃OH + 2Na --> 2CH₃ONa + H₂. Il prodotto si chiama '''metossido di sodio'''. # '''Soluzione:''' - Ossidazione moderata: '''Propanale''' (un'aldeide). #* Ossidazione energica: '''Acido propanoico''' (un acido carbossilico). # '''Soluzione:''' a) Si forma un '''alchene'''. b) '''Etene''' (comunemente chiamato etilene). # '''Soluzione:''' CH₃CH₂OH₂⁺. Viene chiamato '''ione alcossonio''' (nello specifico, ione etilossonio). Questa reazione dimostra la basicità dell'ossigeno che usa uno dei suoi doppietti solitari per legare il protone. # '''Soluzione:''' L''''1-pentanolo''' ha un punto di ebollizione più alto. Entrambi possono formare legami a idrogeno, ma l'1-pentanolo ha una catena carboniosa più lunga. Questo aumenta la superficie di contatto tra le molecole, rendendo più intense le '''forze di dispersione di London''' (interazioni dipolo indotto-dipolo indotto). Più grande è la molecola, maggiore è l'energia necessaria per separarla dalle vicine. # '''Soluzione:''' Il gruppo nitro (−NO2​) è un forte '''elettron-attrattore''' (sia per effetto induttivo che mesomerico −M).Quando il p-nitrofenolo perde un protone, la carica negativa sullo ione fenossido viene ulteriormente delocalizzata non solo sull'anello aromatico, ma anche sugli atomi di ossigeno del gruppo nitro. Questa maggiore stabilizzazione della base coniugata rende il p-nitrofenolo molto più propenso a cedere il protone rispetto al fenolo. # '''Soluzione:''' '''Glicole etilenico > Metanolo > Cicloesanolo'''. Il glicole etilenico ha due gruppi −OH per soli due atomi di carbonio, permettendo moltissimi legami a idrogeno con l'acqua. Il metanolo è molto solubile ma ha un solo −OH. Il cicloesanolo ha una "coda" idrofobica ingombrante (l'anello a 6 carboni) che scherma l'idrofilia del gruppo ossidrile, rendendolo molto meno solubile dei primi due. # '''Soluzione:''' C6​H5​OH+NaOH→C6​H5​ONa+H2​O. Si forma il '''fenossido di sodio'''. Il fenolo è abbastanza acido (pKa​≈10) da essere deprotonato dallo ione idrossido (OH−). L'etanolo invece è un acido molto più debole (pKa​≈16) dell'acqua (pKa​≈15.7); di conseguenza, l'equilibrio della reazione tra etanolo e NaOH è fortemente spostato verso i reagenti e non avviene in modo significativo. # '''Soluzione:''' Il '''2-cloroetanolo''' è più acido a causa dell''''effetto induttivo attrattore (−I)''' del cloro. L'atomo di cloro è molto elettronegativo. Attraverso i legami sigma, "tira" a sé la densità elettronica, aiutando a disperdere e stabilizzare la carica negativa che si forma sull'ossigeno dopo la perdita del protone. Una base coniugata più stabile deriva sempre da un acido più forte. # '''Soluzione:''' Il glicole etilenico possiede '''due gruppi ossidrilici (-OH)''' per molecola. La presenza di due gruppi -OH raddoppia la capacità della molecola di formare legami a idrogeno intermolecolari rispetto all'etanolo. Questo crea una rete di attrazione molto più robusta nel liquido, richiedendo un'energia termica significativamente superiore per il passaggio allo stato gassoso. # '''Soluzione:''' Il '''p-metilfenolo''' è meno acido del fenolo. Il gruppo metilico (−CH3​) è un gruppo '''elettron-donatore''' per effetto induttivo (+I). Donando densità elettronica verso l'anello, destabilizza la carica negativa dello ione fenossido che si forma dopo la perdita del protone. Una base coniugata meno stabile rende l'acido di partenza meno forte. # '''Soluzione:''' La forma '''sferica/compatta''' del terz-butanolo riduce la superficie della parte idrofobica. L'1-butanolo ha una catena alchilica lineare (lunga e "ingombrante" per l'acqua) che interferisce maggiormente con i legami a idrogeno del solvente. Il terz-butanolo, essendo più compatto e "tondeggiante", espone meno superficie non polare all'acqua, facilitando la sua integrazione nel reticolo del solvente. # '''Soluzione:''' '''Cicloesanolo < Fenolo < 2,4,6-trinitrofenolo'''. Il cicloesanolo è un alcol normale (carica localizzata). Il fenolo stabilizza la carica per risonanza nell'anello. Il 2,4,6-trinitrofenolo ha tre gruppi nitro (−NO2​) fortemente elettron-attrattori che delocalizzano la carica negativa in modo eccezionale, rendendolo quasi forte quanto un acido minerale. # '''Soluzione:''' La solubilità '''aumenta drasticamente''' perché il fenolo si trasforma in un sale (fenossido di potassio).Il fenolo di per sé è poco solubile in acqua. Reagendo con KOH, si trasforma in '''fenossido di potassio''', un composto ionico. Essendo un sale, le interazioni ione-dipolo con l'acqua sono molto più forti dei semplici legami a idrogeno, rendendo il composto estremamente solubile. === '''Esercizi sulla preparazione di alcoli''' === # Qual è il prodotto dell'idratazione acido-catalizzata del '''2-metil-2-butene'''? # Quale alcol si ottiene riducendo il '''propanale''' con NaBH4​? # Se facciamo reagire il '''bromuro di metilmagnesio''' (CH3​MgBr) con la '''formaldeide''' (HCHO), che alcol otteniamo dopo l'idrolisi? # Prevedi il prodotto della reazione di idroborazione-ossidazione dell''''1-metilcicloene'''. # Quale reagente è necessario per convertire il '''cicloesanone''' in '''cicloesanolo'''? # Cosa si ottiene dalla reazione tra '''acetone''' (CH3​COCH3​) e '''bromuro di etilmagnesio''' (CH3​CH2​MgBr)? # L'idratazione dell''''etene''' in ambiente acido produce...? # Quale alchene genera l''''1-metilcicloesanolo''' tramite idratazione secondo Markovnikov? # La riduzione del '''benzaldeide''' con LiAlH4​ porta alla formazione di...? # Quale alcol si forma dalla reazione del '''bromuro di fenilmagnesio''' con l''''acetaldeide'''? # Prevedi il prodotto dell'ossimercuriazione-demercuriazione dell''''1-pentene'''. # Cosa si ottiene riducendo l''''acido butanoico''' con un eccesso di LiAlH4​? # Quale combinazione di Grignard e composto carbonilico useresti per sintetizzare il '''tripolifenilmetanolo'''? # Riducendo il '''2-pentanone''' con NaBH4​, si ottiene un alcol chirale. Qual è il suo nome? # L'idratazione del '''3,3-dimetil-1-butene''' in acido subisce trasposizione? Se sì, quale alcol si forma? # Quale alcol si ottiene trattando l''''ossido di etilene''' (epossido) con il '''reattivo di Grignard''' CH3​MgBr? # Prevedi il prodotto della riduzione dell''''acetofenone'''. # L'idroborazione-ossidazione dello '''stirene''' (C6​H5​CH=CH2​) produce un alcol primario o secondario? # Quale alcol si ottiene dalla reazione tra '''acetato di etile''' (un estere) ed eccesso di CH3​MgBr? # Riducendo il '''butanale''' otteniamo l'1-butanolo. === Soluzioni: === # '''2-metil-2-butanolo''': L'idratazione segue Markovnikov, il gruppo -OH va sul carbonio più sostituito (terziario). # '''1-propanolo''': La riduzione di un'aldeide genera sempre un alcol primario. # '''Etanolo''': Il reattivo di Grignard aggiunge un carbonio alla formaldeide, formando un alcol primario. # '''trans-2-metilcicloesanolo''': Reazione anti-Markovnikov e addizione ''syn''. # '''NaBH4​ o LiAlH4'''​: Entrambi i riducenti convertono il chetone ciclico in alcol secondario. # '''2-metil-2-butanolo''': Un chetone + Grignard = Alcol terziario. # '''Etanolo''': La più semplice sintesi industriale di alcol da alchene. # '''1-metilcicloesene''': Il protone va sul CH dell'alchene, l'acqua sul carbonio terziario. # '''Alcol benzylico''': La riduzione dell'aldeide aromatica non intacca l'anello. # '''1-feniletanolo''': Grignard su acetaldeide produce un alcol secondario con un centro chirale. # '''2-pentanolo''': L'ossimercuriazione è un metodo Markovnikov che evita le trasposizioni dei carbocationi. # '''1-butanolo''': Attenzione: solo LiAlH4​ può ridurre gli acidi carbossilici; NaBH4​ non è abbastanza forte. # '''Benzofenone + Bromuro di fenilmagnesio''': Tre anelli benzenici legati allo stesso carbonio alcolico. # '''2-pentanolo''': Si ottiene una miscela racemica di enantiomeri (R) e (S). # '''2,3-dimetil-2-butanolo''': Avviene trasposizione di idruro/metile per formare il carbocatione terziario più stabile. # '''1-propanolo''': Il reattivo di Grignard attacca il carbonio meno ingombrato dell'epossido, aprendo l'anello. # '''1-feniletanolo''': Riduzione del chetone fenilico. # '''2-feniletanolo (Primario)''': L'idroborazione mette l'OH sul carbonio meno sostituito (terminale). # '''2-metil-2-propanolo''': Gli esteri reagiscono con due equivalenti di Grignard per dare alcoli terziari. # '''No, si ottiene il 2-buten-1-olo''': NaBH4​ è selettivo per il gruppo carbonilico e non riduce i doppi legami isolati o coniugati. br5n4dmqa8pcj537hxwobu6nmx056ib 498250 498248 2026-05-22T16:51:54Z Francescaa07 52477 498250 wikitext text/x-wiki == 8.1: Preparazione degli alcheni - Un'anteprima delle reazioni di eliminazione == === Addizione elettrofila === Gli alcheni sono presenti in natura. Costituiscono la base di molti prodotti naturali, come i terpeni, che svolgono una varietà di ruoli nella vita di piante e insetti. I legami C=C degli alcheni sono molto diversi dai legami C=O, anch'essi comuni in natura. I legami C=C degli alcheni sono elettron-ricchi e nucleofili, a differenza dei legami C=O elettron-poveri degli alcheni, carboidrati, acidi grassi e proteine. Questa differenza gioca un ruolo nel modo in cui i terpeni si formano in natura. Anche gli alcheni, o olefine, sono un prodotto importante dell'industria petrolifera. Le reazioni degli alcheni costituiscono la base di una parte significativa della nostra economia manifatturiera. Le materie plastiche di uso comune come polietilene, polipropilene e polistirene si formano tutte attraverso le reazioni degli alcheni. Questi materiali continuano a trovare impiego nella nostra società grazie alle loro preziose proprietà, come elevata resistenza, flessibilità e leggerezza. Gli alcheni subiscono reazioni di addizione come vedrai anche i carbonili fanno lo stesso. Più comunemente aggiungono un protone a un'estremità del doppio legame e un altro gruppo all'altra estremità. Queste reazioni avvengono, tuttavia, in modi leggermente diversi. [[File:Addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane 8.1.svg|centro|miniatura|399x399px]] Gli alcheni sono reattivi perché hanno una coppia di elettroni di legame π ad alta energia. Questi elettroni sono trattenuti debolmente, essendo ad alta energia rispetto ai legami σ. Il fatto che non si trovino tra i nuclei di carbonio, ma si trovino sopra e sotto il piano del carbonio...doppio legame, rende anche questi elettroni più accessibili. [[File:Mechanism for addition of HBr to 2-methyl-1-propene to give 2-bromo-2-methylpropane with orbitals 8.1.svg|centro|miniatura|495x495px]] Gli alcheni possono cedere i loro elettroni anche a elettrofili forti diversi dai protoni. A volte il loro schema di reattività è leggermente diverso dalla semplice addizione attraverso l'doppio legame, ma è proprio su questo schema semplice che ci concentreremo in questo capitolo. === Reazioni di eliminazione === Reazioni di eliminazione sono possibili mediante l'astrazione di un protone in posizioni prossime a un potenziale gruppo in uscita. Questo tipo di eliminazione può essere descritto da due meccanismi modello: può verificarsi in un singolo passaggio concertato (l'astrazione del protone in C α che si verifica contemporaneamente alla scissione del legame C β -X) o in due passaggi (la scissione del legame C β -X si verifica prima per formare un carbocatione intermedio, che viene poi "spento" mediante l'astrazione dei protoni al carbonio alfa). [[File:Mechanism of concerted (E2) and carbocation (E1) elimination reactions to covert alkyl halides to alkenes 8.1.svg|centro|miniatura|486x486px]] Le più comuni reazioni di eliminazione sono della idroalogenazione e disidratazione nel meccanismo sopra, X potrebbe essere Cl, Br o I per la deidroalogenazione dove c'è una perdita di HX da un alogenuro alchilico. Per disidratazione, X sarebbe un gruppo OH nel caso sopra meccanismo dove la perdita complessiva è acqua da un alcol. Questi meccanismi, denominati rispettivamente E2 ed E1, sono importanti in laboratorio chimica organica, ma sono meno comuni nella chimica biologica. Come spiegato di seguito, che meccanismo ciò che avviene effettivamente in una reazione di laboratorio dipenderà dall'identità dei gruppi R (ad esempio, se l'alogenuro alchili cioè primaria, secondaria, terziaria, ecc.) nonché dalle caratteristiche della base. Esercizio 8.1.1​ Nelle reazioni di eliminazione tende ad esserci una miscela di prodotti. Quali sono le due possibili alchene prodotti per la reazione del 2-bromo-2-metilpentano con NaOH? Risposta​ I due alcheni possibili dalla reazione di 2-bromo-2-metilpentano con NaOH sono: # 2-metilpent-2-ene (prodotto maggiore) # 2-metilpent-1-ene (prodotto minore) Il maggiore è più stabile (Zaitsev). == 8.2: Alogenazione degli alcheni - Addizione di X₂ == Gli alogeni possono agire come elettrofili e possono essere attaccati da un legame π da un alchene I legami π rappresentano una regione di densità elettronica e quindi funzionano come nucleofili . Come è possibile che un alogeno ottenga una carica positiva per essere un elettrofilo? === Introduzione === Una molecola di alogeno, ad esempio Br₂ , si avvicina a un doppio legame dell'alchene: gli elettroni del doppio legame respingono quelli della molecola di bromo, causando la polarizzazione del legame alogeno-alogeno. Questo crea un momento di dipolo nel legame alogeno-alogeno. Si verifica la scissione eterolitica del legame e uno degli alogeni ottiene una carica positiva e reagisce come elettrofilo. La reazione di addizione non è regioselettiva, ma stereoselettiva. La stereochimica di questa addizione può essere spiegata dal meccanismo della reazione. Nel primo passaggio, l'alogeno elettrofilo (con carica positiva) si avvicina al legame π e agli orbitali 2p del legame alogeno con due atomi di carbonio, creando uno ione ciclico con un alogeno come intermedio. Nel secondo passaggio, lo ione alogenuro rimanente (alogeno con carica negativa) attacca uno dei due atomi di carbonio nello ione ciclico dal lato posteriore del ciclo, come nella reazione S₂N₂ . Pertanto la stereochimica del prodotto è anti-addizione di '''dialogenuri vicinali''' . R₂C = C₂R + X₂ → R₂CX - CR₂X '''Fase 1:''' Nella prima fase dell'addizione il legame Br-Br si polarizza, si verifica una scissione eterolitica e Br con carica positiva forma un intermedio ciclico con i due atomi di carbonio dell'alchene. [[File:Mechanism_for_first_step_of_halogenation_of_alkene_3B_bromonium_ion_formation.svg|centro|miniatura|388x388px|Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation]] '''Fase 2:''' Nella seconda fase, l'anione bromuro attacca uno dei due atomi di carbonio dello ione bromonio a ponte dalla parte posteriore dell'anello. L'atomo di bromo nello ione bromonio agisce in un certo senso da scudo, costringendo l'anione bromonio ad attaccare dal lato opposto. Il risultato è l'apertura dell'anello con i due alogeni su lati opposti. Questa è '''anti''' -stereochimica, definita come i due atomi di bromo provengono da facce opposte del doppio legame. Il risultato è che i bromi si aggiungono in posizione trans l'uno all'altro. [[File:Mechanism_for_attack_of_bromide_ion_on_bromonium_ion_to_give_anti_vicinal_dihalide_8.2.svg|centro|miniatura|337x337px|molecola organica]] Gli alogeni comunemente utilizzati in questo tipo di reazione sono: Br e Cl. In termini termodinamici I è troppo lento per questa reazione a causa delle dimensioni del suo atomo, ed F è troppo vigoroso ed esplosivo. Poiché lo ione alogenuro può attaccare qualsiasi carbonio dal lato opposto dell'anello, crea una miscela di prodotti sterici. Un materiale di partenza otticamente inattivo produce prodotti achirali otticamente inattivi o una miscela racemica . === Addizione elettrofila è costituito da due fasi. === Prima di costruire il meccanismo riassumiamo le condizioni per questa reazione. Useremo Br2 nel nostro esempio per la alogenazione di etilene. {| class="wikitable" |'''Nucleofilo''' |'''In''' |- |Elettrofilo |Br 2 , Cl 2 |- |Chimica '''regionale''' |non pertinente |- |Chimica '''stereo''' |'''ANTI''' |} ===== Esercizio ===== Che cosa è il meccanismo di aggiungere Cl2 al cicloesene? [[File:Chem3.jpg|centro|miniatura]] ; Risposta ; [[File:Choloro_problem_2.jpg|centro|miniatura]] ; : ===== Esercizio ===== Una reazione di Br 2 molecola in un solvente inerte con alchene segue? # aggiunta sin # anti-addizione # Regola di Morkovnikov ; Risposta : B ; ; ; == 8.3: Aloidrine da alcheni - Aggiunta di HOX == ; Il protone non è l'unica specie elettrofila che inizia reazioni di addizione al doppio legame degli alcheni. Gli acidi di Lewis come gli alogeni, gli idruri di boro e alcuni ioni di metalli di transizione sono in grado di legarsi agli alchene elettroni pi-elettrici, e i complessi risultanti si riorganizzano o vengono attaccati dai nucleofili per dare prodotti di addizione. Il carattere elettrofilo degli alogeni è ben noto come discusso nella sezione precedente. Il cloro (Cl ) reagisce selettivamente con ) e bromo (Br₂ ) doppio legame degli alcheni, e queste reazioni sono ciò su cui ci concentreremo. Il fluoro si addiziona in modo incontrollato agli alcheni e l'aggiunta di iodio è sfavorevole, quindi questi non sono metodi preparativi utili. L'aggiunta di cloro e bromo agli alcheni, come mostrato di seguito, procede tramite un attacco elettrofilo iniziale sugli elettroni pi-greci dell' doppio legame(Sezione 8.2). I dialogeni in cui gli alogeni sono legati ai carboni adiacenti sono chiamati vicinale, dal latino ''vicinalis'' , che significa vicino. R₂ C=CR₂ + X₂ —— > ₂ C X -CR₂ XR Un'altra aggiunta elettrofila a un alchene è la reazione di un alchene con gli altri reagenti contenenti alogeni come gli acidi ipoalogenati, HOX, per formare aloidrine. Tuttavia, le aloidrine non si formano aggiungendo direttamente un acido ipoalogenato, invece alchene viene fatto reagire con Br ), quindi la loro addizione a doppi legami asimmetrici può in linea di principio avvenire in due modi. In pratica, questi o Cl₂ in presenza di acqua. Questi reagenti sono asimmetrici (a differenza di Br₂ o Cl₂ ) reazioni di addizione sono regioselettivi, con uno dei due possibili prodotti costituzionalmente isomerici favorito. La frazione elettrofila in entrambi questi reagenti è l'alogeno. (CH 3 ) 2 C=CH 2 + HOBr —— > (CH 3 ) 2 C OH -CH 2 Br La regioselettività delle reazioni di cui sopra può essere spiegata dallo stesso meccanismo abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov. Quindi, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale di quelli più stabili (più sostituiti) carbocatione, e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. La regioselettività delle reazioni sopra descritte può essere spiegata con lo stesso meccanismo che abbiamo usato per razionalizzare la regola di Markovnikov . Pertanto, il legame di una specie elettrofila al doppio legame di un alchene dovrebbe portare alla formazione preferenziale del carbocatione più stabile (più altamente sostituito), e questo intermedio dovrebbe quindi combinarsi rapidamente con una specie nucleofila per produrre il prodotto di addizione. [[File:Mechanism for first step of halogenation of alkene 3B bromonium ion formation.svg|centro|miniatura|358x358px]] Il primo passaggio è identico all'alogenazione degli alcheni. L'alogeno, in questo caso il bromo, reagisce con l'alchene per formare uno ione bromonio ciclico. Il secondo passaggio non prevede l'attacco dello ione bromo, ma l'acqua agisce da nucleofilo. L'acqua è disponibile a una concentrazione maggiore rispetto allo ione bromo, quindi è più probabile che sia disponibile nell'orientamento corretto per l'attacco nucleofilo. L'acqua è anche un nucleofilo migliore dello ione bromo. Migliore è il nucleofilo, maggiore è la probabilità che attacchi. Si può notare che, quando l'ossigeno crea un legame, acquisisce una carica formale positiva al completamento di questo passaggio. Il terzo passaggio è un passaggio acido-base finale, in cui si verifica la perdita di un protone dall'ossigeno al solvente (acqua) per formare l'aloidrina neutra. In questo caso, il prodotto della reazione di addizione è una bromidrina. [[File:General_mechanism_for_reaction_of_a_terminal_alkene_with_an_electrophile_to_generate_a_secondary_carbocation,_which_reacts_with_nucleophile_to_give_the_product_8.3.svg|centro|miniatura|444x444px|molecola organica]] [[File:Table_of_common_reagents_that_react_with_alkenes%25_2C_broken_into_electrophilic_and_nucleophilic_moieties_8.33.svg|miniatura|353x353px|molecola organica]] Per applicare questo meccanismo dobbiamo determinare la frazione elettrofila in ciascuno dei reagenti. Utilizzando le differenze di elettronegatività possiamo scomporre i comuni reagenti di addizione in frazioni elettrofile e nucleofile, '''come mostrato a destra''' . Nel caso degli acidi ipocloroso e ipobromoso (HOX), questi acidi di Brønsted deboli (pKa ~ 8) non reagiscono come donatori di protoni; e poiché l'ossigeno è più elettronegativo del cloro o del bromo, l'elettrofilo sarà un catione alogenuro. La specie nucleofila che si lega al carbocatione intermedio è quindi lo ione idrossido, o più probabilmente l'acqua (il solvente usuale per questi reagenti), e i prodotti sono chiamati aloidrine. I cloruri di solfenile si addizionano in modo opposto perché l'elettrofilo è un catione zolfo, RS(+), mentre la frazione nucleofila è l'anione cloruro (il cloro è più elettronegativo dello zolfo). Di seguito sono riportati alcuni esempi che illustrano l'addizione di vari reagenti alogeni elettrofili ai gruppi alchenici. Si noti la regiochimica specifica dei prodotti, come spiegato sopra. [[File:Examples_of_reactions_of_alkenes_with_various_electrophilic_halogen_reagents_8.3.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] ===== Esercizio ===== Quando il butene viene trattato con NBS in presenza di acqua, il prodotto mostra che il bromo si trova sul carbonio meno sostituito: si tratta di Markovnikov o anti-Markovnikov? ; Risposta : Poiché il bromo è la prima aggiunta al alchene, questa aggiunta sarebbe un'aggiunta anti-Markovnikov. == 8.4: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per ossimercurazione == === Che cos'è l'idratazione elettrofila? === L'idratazione elettrofila consiste nell'aggiungere un idrogeno elettrofilo da un acido forte non nucleofilo (un catalizzatore riutilizzabile, tra cui l'acido solforico e l'acido fosforico) e applicare temperature appropriate per rompere il doppio legame dell'alchene. Dopo la formazione di un carbocatione , l'acqua si lega al carbocatione formando un alcol 1°, 2° o 3° sull'alcano. L'idratazione elettrofila è la disidratazione inversa degli alcoli e ha applicazioni pratiche nella produzione di alcoli per combustibili e reagenti per altre reazioni. La reazione fondamentale a determinate temperature (riportate di seguito) è la seguente: [[File:Generic_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|403x403px|molecola organica]] Un idrogeno elettrofilo è essenzialmente un protone: un atomo di idrogeno privato del suo elettrone. Un idrogeno elettrofilo è comunemente usato per aiutare a rompere i doppi legami o a ripristinare i catalizzatori (vedi S N 2 per maggiori dettagli). === Meccanismo di formazione di un alcol 3° (i meccanismi 1° e 2° sono simili) === L'idratazione è il processo in cui l'acqua viene aggiunta a un alchene per produrre un alcol. L'idratazione acido-catalizzata avviene quando un acido forte viene utilizzato come catalizzatore per avviare la reazione, ma diamo un'occhiata al meccanismo qui sotto e analizziamo i passaggi. [[File:Mechanism_for_an_acid-catalyzed_electrophilic_hydration_of_an_alkene_reaction_8.4.svg|centro|miniatura|468x468px|molecola organica]] Fase 1: Un atomo di idrogeno dell'acido viene attaccato dagli elettroni nucleofili Pi presenti nel doppio legame. Questo processo è simile alle altre reazioni degli alcheni che abbiamo visto finora. In questo processo, si forma un nuovo legame CH nella posizione che crea il carbocatione più stabile. Fase 2: Un'acqua nucleofila attacca o dona una coppia solitaria all'intermedio carbocationeico creato nella prima fase. Si forma un nuovo legame CO con l'ossigeno avente carica formale +1. Il prodotto è un alcol protonato. Fase 3: Per ottenere il prodotto alcolico neutro, il passaggio finale consiste nel deprotonare l'atomo di ossigeno con carica formale +1 utilizzando la base coniugata del catalizzatore acido. Questo passaggio finale rigenera il catalizzatore acido e produce il prodotto alcolico neutro. Il calore viene utilizzato per catalizzare l'idratazione elettrofila; poiché la reazione è in equilibrio con la disidratazione di un alcol, che richiede temperature più elevate per formare un alchene, sono necessarie temperature più basse per formare un alcol. ''Le temperature esatte utilizzate sono molto variabili e dipendono dal prodotto che si sta formando.'' === Cosa è la regiochimica e come si applica? === La regiochimica si occupa di dove si formano i legami sostituenti sul prodotto. Le regole di '''Zaitsev''' e '''Markovnikov''' riguardano la regiochimica, ma la regola di Zaitsev si applica alla sintesi di un alchene, mentre la regola di Markovnikov descrive dove si forma il legame sostituente nel prodotto di un'addizione elettrofila. Nel caso dell'idratazione elettrofila, la regola di Markovnikov è l'unica regola ''direttamente'' applicabile. Per una spiegazione approfondita della regiochimica, si veda quanto segue: Spiegazione di Markovnikov: Addizioni radicaliche - Formazione di prodotti anti-Markovnikov. Nel meccanismo di formazione di un alcol 3° mostrato sopra, l'idrogeno viene aggiunto al carbonio meno sostituito nel doppio legame nucleofilo (ha meno atomi di carbonio legati). Ciò significa che il carbocatione e si forma sul carbonio 3°, rendendolo più stabilizzato dall'iperconiugazione '': gli'' elettroni nei legami sigma (singoli) vicini contribuiscono a riempire l'orbitale p vuoto del carbocatione, il che riduce la carica positiva. Una maggiore sostituzione su un carbonio significa che più legami sigma sono disponibili per "aiutare" (utilizzando la sovrapposizione) la carica positiva, il che crea una maggiore ''stabilità del carbocatione'' . In altre parole, '''i carbocationei si formano sul carbonio più sostituito''' nel doppio legame. Se il carbocatione si forma originariamente sulla parte meno sostituita dell'alchene, si verificano riarrangiamenti del carbocatione per formare prodotti più sostituiti: * '''Spostamenti di idruro:''' un atomo di idrogeno legato a un atomo di carbonio vicino al carbocatione abbandona quel carbonio per legarsi al carbocatione (dopo che l'idrogeno ha preso entrambi gli elettroni dal legame singolo, è noto come idruro). Questo trasforma il carbonio precedentemente vicino in un carbocatione, e il precedente carbocatione diventa un atomo di carbonio vicino. [[File:Mechanism_for_hydride_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|391x391px|molecola organica]] * '''Spostamenti alchilici:''' se non sono disponibili atomi di idrogeno per uno spostamento di idruro, un intero gruppo metilico esegue lo stesso spostamento. [[File:Mechanism_for_methyl_shift_to_generate_a_tertiary_carbocation_from_a_secondary_carbocation.svg_8.4.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] Il nucleofilo attacca la carica positiva formata sul carbonio più sostituito connesso al doppio legame, poiché il nucleofilo sta cercando quella carica positiva. Nel meccanismo per un alcol 3° mostrato sopra, l'acqua è il nucleofilo. Dopo che un atomo di H è stato rimosso dalla molecola d'acqua, l'alcol si lega al carbonio più sostituito. Pertanto, '''l'idratazione elettrofila segue la regola di Markovnikov.''' === Che cosa è la stereochimica e come si applica? === '''La stereochimica si occupa di come i legami sostituenti sul prodotto si direzionalizzano''' . Trattini e cunei indicano la stereochimica, indicando se la molecola o l'atomo sta entrando o uscendo dal piano della tavola. Ogni volta che il legame è una semplice linea retta, la molecola legata ha la stessa probabilità di trovarsi verso l'interno del piano della tavola come fuori da esso. Ciò indica che '''il prodotto è una miscela racemica''' . L'idratazione elettrofila adotta una stereochimica in cui il sostituente ha la stessa probabilità di legarsi sia verso l'interno che verso l'esterno del piano della lastra. Il prodotto alcolico 3° della seguente reazione potrebbe apparire come uno dei seguenti prodotti: [[File:Acid-catalyzed_hydration_of_2-methylbutene_to_give_a_mixture_of_enantiomers_of_2-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|378x378px|molecola organica]] Non vi è alcun controllo stereochimico nelle reazioni di idratazione acido-catalizzate. Ciò è dovuto alla natura trigonale planare, sp2, dell'intermedio carbocationeico. L'acqua può agire da nucleofilo formando un legame con entrambe le facce del carbocatione, dando origine a una miscela di risultati stereochimici. [[File:Orbital_depiction_of_nucleophilic_attack_on_carbocation_intermediate_8.4.svg|centro|miniatura|421x421px|molecola organica]] Nota: ogni volta che si utilizza una linea retta insieme a trattini e spicchi sulla stessa molecola, potrebbe indicare che il legame rettilineo si trova sullo stesso piano della tavola. Esercitarsi con un kit di modelli molecolari e risolvere gli esercizi alla fine può aiutare a eliminare qualsiasi ambiguità. ===== Si tratta di una sintesi reversibile? ===== Elettrofilo idratazione è reversibile perché un alchene in acqua è in equilibrio con il prodotto alcolico. Per modificare l'equilibrio in un senso o nell'altro, si può modificare la temperatura o la concentrazione dell'acido forte non nucleofilo. Per esempio: * Una minore quantità di acido solforico o fosforico e un eccesso di acqua aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. * Temperature più basse aiutano a sintetizzare una maggiore quantità di prodotto alcolico. === Esiste un modo migliore per aggiungere acqua per sintetizzare un alcol da un Alchene? === Esiste un percorso più efficiente: '''Ossimercurazione''' '''- Demercurazione''' , un tipo speciale di addizione elettrofila. Ossimercurazione non consente riarrangiamenti, ma richiede l'uso di mercurio, che è altamente tossico. Svantaggi dell'uso di una reazione di idratazione elettrofila per produrre alcoli include: * Tenendo conto di carbocatione riarrangiamenti * Scarse rese dovute all'equilibrio tra reagenti e prodotti * Consentire miscele di prodotti (ad esempio (''R'' * Utilizzando acido solforico o fosforico Ossimercurazione è una speciale addizione elettrofila. È anti-stereospecifico e regioselettivo. La regioselettività è un processo in cui il sostituente sceglie una direzione in cui preferisce essere legato rispetto a tutte le altre possibili direzioni. Il vantaggio di questa reazione è che non c'è riarrangiamento dovuto alla stabilizzazione del reattivo intermedio. Una stabilizzazione simile si osserva anche in uno dei maggiori vantaggi di ossimercurazione, che è quello carbocatione e i riarrangiamenti non possono verificarsi in queste condizioni (Hg(OAc)O). Il riarrangiamento del carbocatione è un processo in cui il carbocatione intermedio può subire uno spostamento metilico o alchilico per formare uno ione più stabile. A causa di un possibile riarrangiamento, la reazione sottostante non genererebbe il prodotto mostrato in alte rese. Al contrario, la reazione di ossimercurazione procederebbe per formare il prodotto desiderato. [[File:Electrophilic_hydration_of_3-methyl-1-butene_with_H2SO4_and_H2O_does_not_produce_3-methyl-2-butanol_8.4.svg|centro|miniatura|412x412px|molecola organica]] [[File:Oxymercuration-demercuration_of_3-methyl-1-butene_with_Hg(OAc)2,_H2O_followed_by_NaBH4,NaOH,H2O_produces_3-methyl-2-butanol.svg_8.42.svg|centro|miniatura|420x420px|molecola organica]] Questa reazione coinvolge il mercurio che agisce come reagente attaccando l'alchene doppio legame per formare unUn'acqua molecola attaccherà quindi il carbonio più sostituito per aprire il ponte ionico del mercurio, seguito dal trasferimento protonico all'acqua solvente molecola. [[File:Mechanism_for_oxymercuration-demercuration_of_an_alkene_revision=3_8.4.png|centro|miniatura|434x434px|molecola organica]] L'intermedio organomercuriale viene quindi ridotto con boroidruro di sodio: il meccanismo di questo passaggio finale esula dallo scopo della nostra discussione. Si noti che, nel complesso, il meccanismo di ossimercurazione-demercurazione segue la regioselettività di Markovnikov, con il gruppo OH legato al carbonio più sostituito e l'H legato al carbonio meno sostituito. La reazione è utile, tuttavia, perché non sono richiesti acidi forti e si evitano riarrangiamenti di carbocationi poiché non si forma alcun intermedio carbocationico discreto. È importante notare che, per il meccanismo mostrato sopra, si forma anche l'enantiomero del prodotto mostrato. Questo è il risultato della formazione dello ione mercurio sotto l'alchene nel primo passaggio. ====== Esercizi: ====== Quali sono i prodotti finali di questi reagenti? [[File:8-4_Question.jpg|centro|miniatura|408x408px|molecola organica]] ====== Risposta: ====== [[File:8-4_Answer.jpg|centro|miniatura|334x334px|molecola organica]] == 8.5: Idratazione degli alcheni - Aggiunta di H₂O per idroborazione == Idroborazione-ossidazione è un percorso in due fasi utilizzato per produrre alcoli. La reazione procede in modo anti-Markovnikov, dove l'idrogeno (da BH 3 o BHR 2 ) si attacca al carbonio più sostituito e il boro si attacca al carbonio meno sostituito nell'alchene doppio legame. Inoltre, il borano agisce come un acido di Lewis accettando due elettroni nell'orbitale p vuoto da un alchene che è ricco di elettroni. Questo processo permette al boro di avere un ottetto di elettroni. Una caratteristica molto interessante di questo processo è che non richiede alcuna attivazione da parte di un catalizzatore. Il meccanismo dell'idrobazione ha gli elementi sia dell'idrogenazione che dell'addizione elettrofila ed è un stereospecifico ( '''''addizione sin),''''' il che significa che l'idroborazione si svolge sulla stessa faccia del doppio legame, questo porta '''''cis''''' stereochimica. === Introduzione === L'idroborazione-ossidazione degli alcheni si è rivelata un metodo di laboratorio molto prezioso per la stereoselettività e la regioselettività degli alcheni. Un'ulteriore caratteristica di questa reazione è che avviene senza riarrangiamento.Innanzitutto è molto importante capire un po' la struttura e le proprietà della molecola '''borano.''' Il borano esiste in natura come gas molto tossico ed esiste come dimero di formula generale B₂H₄ ( diborano ). Inoltre, il dimero B₂H₄ si infiamma spontaneamente in aria. Il borano è disponibile in commercio in etere e tetraidrofurano (THF ) ; in queste soluzioni il borano può esistere come acido di Lewis complesso di base, che consente al boro di avere un ottetto di elettroni. [[File:2_molecules_of_tetrahydrofuran_(THF)_react_with_B2H6_to_produce_2_molecules_of_BH3-THF..svg_8.5.svg|centro|miniatura|392x392px|molecola organica]] === Il meccanismo === === Passo 1 === * Parte 1: Idroborazione dell'alchene In questa prima fase l'aggiunta del borano all'alchene è avviato e procede come un reazione concertata perché la rottura e la formazione del legame avvengono contemporaneamente. Questa parte è costituita dall'orbitale 2p vacante del boro elettrofilo appaiamento con la coppia di elettroni del legame pi greco del nucleofilo. [[File:Concerted_addition_of_BH3_to_alkene.svg_8.51.svg|centro|miniatura|135x135px|molecola organica]] '''Stato di transizione''' [[File:Transition_state_for_addition_of_BH3_to_an_alkene.svg_8.52.svg|centro|miniatura|168x168px|molecola organica]] '''* Nota che un carbocatione non si forma. Pertanto, non avviene alcun riarrangiamento.''' * Parte 2: L'addizione anti-Markovnikov del boro. Il boro si aggiunge al carbonio meno sostituito dell'alchene, che poi posiziona l'idrogeno sul carbonio più sostituito. Sia il boro che l'idrogeno si aggiungono simultaneamente sulla stessa faccia del doppio legame (addizione sin.). [[File:Anti-markovnikov_product_of_BH3_addition_to_alkene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|151x151px|molecola organica]] === Ossidazione del trialchilborano mediante perossido di idrogeno === === Passo 2 === * Parte 1: La prima parte di questo meccanismo si occupa della donazione di una coppia di elettroni dallo ione perossido di idrogeno. il perossido di idrogeno è l'nucleofilo in questa reazione perché è il donatore di elettroni al trialchilborano appena formato che è risultato da idroborazione. [[File:Mechanism_for_acid_base_reaction_of_hydrogen_peroxide_with_hydroxide_to_give_hydrogen_peroxide_ion_and_water.svg_8.5.svg|centro|miniatura|373x373px|molecola organica]] [[File:Mechanism_for_hydrogen_peroxide_ion_addition_to_trialkylborane.svg_8.5.svg|centro|miniatura|377x377px|molecola organica]] * Parte 2: In questa seconda parte del meccanismo, una riorganizzazione di un gruppo R con la sua coppia di elettroni leganti a un ossigeno adiacente provoca la rimozione di uno ione idrossido. [[File:Mechanism_for_alkyl_migration_in_oxidation_step_of_hydroboration_oxidation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|366x366px|molecola organica]] '''Si verificheranno altre due di queste reazioni con l'idroperossido per dare un trialchilborato''' [[File:Trialkylborate_formation.svg_8.5.svg|centro|miniatura|376x376px|molecola organica]] * Parte 3: Questa è la parte finale del ossidazione processo. In questa parte il trialchilborato reagisce con NaOH acquoso per dare alcol e borato di sodio. [[File:Trialkylborate_reacts_with_3_NaOH_to_give_3_alcohols_and_sodium_borate.svg_8.5.svg|centro|miniatura|442x442px|molecola organica]] === Stereochimica di idroborazione === La reazione di idroborazione è tra le poche semplici reazioni di addizione che procedono in modo pulito e ''sinergico'' . Come notato sopra, questa è una reazione in un unico passaggio. Poiché il legame del doppio legame carboni a boro e idrogeno è concertata, ne consegue che la geometria di questa addizione deve essere sin. Inoltre, i riarrangiamenti sono improbabili in quanto un discreto carbocatione intermedio non si forma mai. Queste caratteristiche sono illustrate per l'idroborazione di α-pinene. [[File:Mechanism_of_hydroboration%25_3Aoxidation_of_alpha-pinene.svg_8.5.svg|centro|miniatura|568x568px|molecola organica]] Dal momento che la procedura idroborazione è più comunemente utilizzata per idratare gli alcheni in modo anti-Markovnikov, dobbiamo anche conoscere la stereoselettività della seconda reazione ossidazione , che sostituisce un gruppo ossidrilico all'atomo di boro. Uno studio indipendente ha dimostrato che questa reazione avviene con ritenzione di configurazione quindi anche l'aggiunta complessiva di acqua è sin. L'idroborazione dell'α-pinene fornisce anche un buon esempio di controllo dell'ingombro sterico in una reazione chimica. Negli alcheni meno complessi utilizzati negli esempi precedenti, il piano del doppio legame era spesso un piano di simmetria, e i reagenti di addizione potrebbero avvicinarsi con la stessa facilità da entrambi i lati. In questo caso, uno dei gruppi metilici legati al C-6 (colorato in viola nell'equazione) copre una faccia del doppio legame, bloccando qualsiasi avvicinamento da quel lato. Tutti i reagenti che si aggiungono a questo doppio legame deve quindi avvicinarsi dal lato opposto a questo metile. Esercizi alla pagina: https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.)/08%3A_Alkenes-_Reactions_and_Synthesis/8.05%3A_Hydration_of_Alkenes_-_Addition_of_HO_by_Hydroboration == 8.6: Riduzione degli alcheni - Idrogenazione == L'addizione di idrogeno a un doppio legame carbonio-carbonio è chiamata idrogenazione . L'effetto complessivo di tale addizione è la rimozione riduttiva del gruppo funzionale del doppio legame. La regioselettività non è un problema, poiché lo stesso gruppo (un atomo di idrogeno) è legato a ciascuno degli atomi di carbonio del doppio legame. La fonte più semplice di due atomi di idrogeno è l'idrogeno molecolare (H₂ ) , ma la miscelazione di alcheni con idrogeno non provoca alcuna reazione discernibile. Sebbene la reazione di idrogenazione complessiva sia esotermica, un'elevata energia di attivazione ne impedisce il verificarsi in condizioni normali. Questa restrizione può essere aggirata mediante l'uso di un catalizzatore, come mostrato nel diagramma delle coordinate di reazione sottostante. Un esempio di reazione di addizione di un alchene è un processo chiamato idrogenazione. In una reazione di idrogenazione, due atomi di idrogeno vengono aggiunti al doppio legame di un alchene , dando origine a un alcano saturo . L'idrogenazione di un doppio legame è una reazione termodinamicamente favorevole perché forma un prodotto più stabile (a minore energia). In altre parole, l'energia del prodotto è inferiore a quella del reagente; quindi è esotermica (viene rilasciato calore). Il calore rilasciato è chiamato calore di idrogenazione, che è un indicatore della stabilità di una molecola. [[File:Hydrogenation_of_ethene_into_ethane,_and_cyclohexene_into_cyclohexane_by_using_H2_and_Pd_C.svg_8.6.svg|centro|miniatura|511x511px|molecola organica]] I catalizzatori sono sostanze che modificano la velocità di una reazione chimica senza essere consumate o apparire come parte del prodotto. I catalizzatori agiscono riducendo la energia di attivazione delle reazioni, ma non modificano l'energia potenziale relativa dei reagenti e dei prodotti. I metalli finemente suddivisi, come platino, palladio e nichel, sono tra i catalizzatori di idrogenazione più utilizzati. L'idrogenazione catalitica avviene in almeno due fasi, come illustrato nel diagramma. Innanzitutto, alchene deve essere adsorbito sulla superficie del catalizzatore insieme ad una parte dell'idrogeno. Successivamente, due idrogeni si spostano dalla superficie del metallo ai carboni del doppio legame, e il risultante saturato l'idrocarburo, che viene adsorbito più debolmente, lascia il catalizzatore superficie. La natura e la tempistica esatte degli ultimi eventi non sono ben comprese. [[File:Hydrogenation_Reaction_Energy_Diagram.jpg_8.6.jpg|centro|miniatura|388x388px|molecola organica]] Come mostrato nel diagramma energetico, l'idrogenazione degli alcheni è esotermico, e il calore viene rilasciato corrispondente al ΔH nel diagramma. Questo calore di reazione può essere utilizzato per valutare la stabilità termodinamica degli alcheni aventi un numero diverso di sostituenti alchilici sulla doppio legame. Ad esempio, la tabella seguente elenca i calori di idrogenazione per tre alcheni C che danno lo stesso prodotto alcano (2-metilbutano). Poiché un alcheni C₃H₂O che danno calore di reazione indica un reagente ad energia più elevata, questi calori sono inversamente proporzionali alla stabilità del alchene isomeri. Con una certa approssimazione, vediamo che ogni sostituente alchilico su un doppio legame stabilizza questo funzionale gruppo di poco più di 1 kcal/mole. {| class="wikitable" |- align="center" valign="top" !Isomero di alchene |(CH 3 ) 2 CHCH=CH 2 3-metil-1-butene |CH 2 = C(CH 3 )CH 2 CH 3 2-metil-1-butene |(CH 3 ) 2 C=CHCH 3 2-metil-2-butene |- align="center" !Calore di reazione (ΔHº) |–30,3 kcal/mole |–28,5 kcal/mole |–26,9 kcal/mole |} '''Meccanismo''' '''Idrogenazione catalitica''' [[File:Catalytic_hydrogenation_mechanism.svg_8.6.svg|centro|miniatura|583x583px|molecola organica]] Come dal meccanismo mostrato qui, ci si aspetterebbe che l'aggiunta di idrogeno avvenga con sin-stereoselettività. Questo è spesso vero, ma i catalizzatori di idrogenazione possono anche causare l'isomerizzazione del doppio legame prima dell'aggiunta di idrogeno, nel qual caso la stereoselettività potrebbe essere incerta. [[File:Hydrogenation_of_12C2-dimethylcyclopentane.svg_8.6.svg|centro|miniatura|molecola organica]] ====== Esercizio ====== Nella reazione [[File:Ethene_catalytic_hydration_with_platinum_oxide.svg_8.6_es.svg|centro|miniatura|501x501px|molecola organica]] # 0,500 moli di etene reagiscono con _______ mol di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con una _______ di idrogeno. # l'etene viene _______; mentre _______ viene ossidato. # IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è _______; nell'etano è _______. ; Risposta :# 0,500 moli di etene reagiscono con 0,500 moli di idrogeno. Quindi un chimico potrebbe dire che l'etene reagisce con un equivalente di idrogeno. :# l'etene viene ridotto , mentre l'idrogeno viene ossidato. :# IL ossidazione il numero di atomi di carbonio nell'etene è −2 ; nell'etano è −3 . === Esercizi sulle Proprietà di Alcoli e Fenoli === '''1.''' Confronta l'etere dimetilico (CH<small>₃</small>OCH₃) e l'etanolo (CH₃CH₂OH). Entrambi hanno la stessa formula molecolare (C₂H₆O), ma uno dei due ha un punto di ebollizione molto più alto (circa 78° C contro -24° C). '''2.''' Perché il metanolo e l'etanolo sono completamente miscibili in acqua, mentre l'1-butanolo ha una solubilità limitata (circa 7.3 g/100 mL) e l'1-ottanolo è quasi insolubile? '''3.'''Classifica i seguenti alcoli come primari, secondari o terziari: a) 2-propanolo b) 2-metil-2-butanolo c) 1-pentanolo d) Etanolo '''4.''' Ordina in senso decrescente di acidità (dal più acido al meno acido) le seguenti specie: ione idronio (H₃O⁺), acqua (H_{2<big>O</big>}), etanolo (CH₃CH₂OH). Giustifica brevemente la posizione dell'etanolo rispetto all'acqua. '''5.''' Confronta l'etanolo (CH₃CH₂OH) e il 2,2,2-trifluoroetanolo (CF₃CH₂OH). Quale dei due composti è più acido? Quale effetto elettronico spiega questa differenza? '''6.''' Il fenolo ha un pK_a di circa 10, mentre l'etanolo ha un pK_a di circa 16. a) Quale dei due è più acido? b) Spiega perché lo ione fenossido è più stabile dello ione etossido facendo riferimento alla delocalizzazione elettronica. '''7.'''Scrivi la reazione bilanciata tra il metanolo (CH₃OH) e il sodio metallico (Na). Come si chiama il prodotto organico che si forma? '''8.'''Prevedi il prodotto principale dell'ossidazione moderata (es. con PCC) e dell'ossidazione energica (es. con KMnO₄) del seguente alcol: '''1-propanolo'''. '''9.''' In presenza di acido solforico caldo (H₂SO₄), l'etanolo subisce una reazione di disidratazione. a) Che tipo di composto organico si forma? b) Qual è il nome IUPAC del prodotto? '''10.''' Gli alcoli possono comportarsi sia da acidi che da basi. Scrivi la formula del prodotto che si ottiene quando l'etanolo agisce come base di Lewis reagendo con un acido forte (H⁺). Come viene chiamato questo ione? '''11.''' Confronta il punto di ebollizione dell'1-butanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​OH) e dell'1-pentanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​CH2​OH). Quale dei due ha il valore più alto e quale forza intermolecolare, oltre al legame a idrogeno, giustifica questa differenza? '''12.''' Perché il p-nitrofenolo (un fenolo con un gruppo −NO2​ in posizione para) è significativamente più acido del fenolo semplice? Fai riferimento agli effetti elettronici sul gruppo nitro. '''13.''' Classifica i seguenti composti in ordine di solubilità decrescente in acqua: a) Metanolo (CH3​OH) b) Cicloesanolo (C6​H11​OH) c) Glicole etilenico (HOCH2​CH2​OH) '''14.''' Cosa accade quando il fenolo reagisce con una soluzione di '''idrossido di sodio (NaOH)'''? Scrivi la reazione e spiega perché l'etanolo non reagisce allo stesso modo con questa base. '''15.''' Il '''2-cloroetanolo''' (Cl−CH2​CH2​OH) ha un pKa​ di circa 14.3, mentre l'etanolo ha un pKa​ di circa 16. Spiega questa differenza di acidità basandoti sulla stabilità della base coniugata. '''16.''' Perché l'<nowiki/>'''1,2-etandiolo''' (glicole etilenico) ha un punto di ebollizione molto più elevato (197° C) rispetto all''''etanolo'''(78° C), nonostante la differenza di massa molecolare non sia così estrema? '''17.''' Confronta il fenolo con il '''p-metilfenolo''' (p-cresolo). Quale dei due composti è meno acido? Quale effetto elettronico del gruppo metilico spiega questa variazione? '''18.''' Spiega perché il '''terz-butanolo''' (2-metil-2-propanolo) è completamente miscibile in acqua, mentre l''''1-butanolo''' ha una solubilità limitata, nonostante abbiano la stessa formula molecolare (C4​H10​O). '''19.''' Ordina i seguenti composti in base alla loro '''acidità crescente''' (dal meno acido al più acido): a) Cicloesanolo b) Fenolo c) 2,4,6-trinitrofenolo (acido picrico) '''20.''' Cosa succede alla solubilità in acqua di un fenolo se viene trattato con una base forte come '''KOH'''? Descrivi la trasformazione chimica e l'effetto sulla miscibilità. ---- === Soluzioni: === # '''Soluzione:''' L'etanolo può formare '''legami a idrogeno''' intermolecolari grazie al gruppo -OH. L'etere dimetilico, pur essendo polare, non ha idrogeni legati direttamente all'ossigeno e non può formare legami a idrogeno tra le proprie molecole. Le forze di attrazione nell'etanolo sono molto più intense e richiedono più energia (calore) per essere vinte. # '''Soluzione:''' La solubilità dipende dall'equilibrio tra la testa idrofila (-OH) e la coda idrofobica (catena alchilica). Negli alcoli a catena corta, il gruppo -OH prevale. Man mano che la catena carboniosa si allunga, la porzione non polare diventa dominante, impedendo alla molecola di sciogliersi efficacemente tra le molecole d'acqua. # '''Soluzione:''' a) Secondario (OH legato a un carbonio unito ad altri 2 C). b) Terziario (OH legato a un carbonio unito ad altri 3 C). c) Primario (OH legato a un carbonio terminale). d) Primario (Eccezione/Classico: carbonio legato a un solo altro C). # '''Soluzione:''' H₃O⁺ > H₂O > CH₃CH₂OH. L'etanolo è meno acido dell'acqua perché il gruppo alchilico (CH₃CH₂) è debolmente '''elettron-donatore''' (effetto induttivo +I), il che destabilizza la carica negativa sull'ossigeno dello ione alcossido rispetto allo ione idrossido. # '''Soluzione:''' Il '''2,2,2-trifluoroetanolo''' è più acido. Gli atomi di fluoro sono fortemente elettronegativi e attirano densità elettronica (effetto induttivo -I), stabilizzando la carica negativa dello ione alcossido dopo la perdita del protone. # '''Soluzione:''' a) Il fenolo è più acido (più basso è il pK_a, maggiore è l'acidità). b) La carica negativa dello ione fenossido è '''delocalizzata per risonanza''' all'interno dell'anello aromatico (posizioni orto e para). Nello ione etossido, la carica è localizzata esclusivamente sull'ossigeno. # '''Soluzione:''' 2CH₃OH + 2Na --> 2CH₃ONa + H₂. Il prodotto si chiama '''metossido di sodio'''. # '''Soluzione:''' - Ossidazione moderata: '''Propanale''' (un'aldeide). #* Ossidazione energica: '''Acido propanoico''' (un acido carbossilico). # '''Soluzione:''' a) Si forma un '''alchene'''. b) '''Etene''' (comunemente chiamato etilene). # '''Soluzione:''' CH₃CH₂OH₂⁺. Viene chiamato '''ione alcossonio''' (nello specifico, ione etilossonio). Questa reazione dimostra la basicità dell'ossigeno che usa uno dei suoi doppietti solitari per legare il protone. # '''Soluzione:''' L''''1-pentanolo''' ha un punto di ebollizione più alto. Entrambi possono formare legami a idrogeno, ma l'1-pentanolo ha una catena carboniosa più lunga. Questo aumenta la superficie di contatto tra le molecole, rendendo più intense le '''forze di dispersione di London''' (interazioni dipolo indotto-dipolo indotto). Più grande è la molecola, maggiore è l'energia necessaria per separarla dalle vicine. # '''Soluzione:''' Il gruppo nitro (−NO2​) è un forte '''elettron-attrattore''' (sia per effetto induttivo che mesomerico −M).Quando il p-nitrofenolo perde un protone, la carica negativa sullo ione fenossido viene ulteriormente delocalizzata non solo sull'anello aromatico, ma anche sugli atomi di ossigeno del gruppo nitro. Questa maggiore stabilizzazione della base coniugata rende il p-nitrofenolo molto più propenso a cedere il protone rispetto al fenolo. # '''Soluzione:''' '''Glicole etilenico > Metanolo > Cicloesanolo'''. Il glicole etilenico ha due gruppi −OH per soli due atomi di carbonio, permettendo moltissimi legami a idrogeno con l'acqua. Il metanolo è molto solubile ma ha un solo −OH. Il cicloesanolo ha una "coda" idrofobica ingombrante (l'anello a 6 carboni) che scherma l'idrofilia del gruppo ossidrile, rendendolo molto meno solubile dei primi due. # '''Soluzione:''' C6​H5​OH+NaOH→C6​H5​ONa+H2​O. Si forma il '''fenossido di sodio'''. Il fenolo è abbastanza acido (pKa​≈10) da essere deprotonato dallo ione idrossido (OH−). L'etanolo invece è un acido molto più debole (pKa​≈16) dell'acqua (pKa​≈15.7); di conseguenza, l'equilibrio della reazione tra etanolo e NaOH è fortemente spostato verso i reagenti e non avviene in modo significativo. # '''Soluzione:''' Il '''2-cloroetanolo''' è più acido a causa dell''''effetto induttivo attrattore (−I)''' del cloro. L'atomo di cloro è molto elettronegativo. Attraverso i legami sigma, "tira" a sé la densità elettronica, aiutando a disperdere e stabilizzare la carica negativa che si forma sull'ossigeno dopo la perdita del protone. Una base coniugata più stabile deriva sempre da un acido più forte. # '''Soluzione:''' Il glicole etilenico possiede '''due gruppi ossidrilici (-OH)''' per molecola. La presenza di due gruppi -OH raddoppia la capacità della molecola di formare legami a idrogeno intermolecolari rispetto all'etanolo. Questo crea una rete di attrazione molto più robusta nel liquido, richiedendo un'energia termica significativamente superiore per il passaggio allo stato gassoso. # '''Soluzione:''' Il '''p-metilfenolo''' è meno acido del fenolo. Il gruppo metilico (−CH3​) è un gruppo '''elettron-donatore''' per effetto induttivo (+I). Donando densità elettronica verso l'anello, destabilizza la carica negativa dello ione fenossido che si forma dopo la perdita del protone. Una base coniugata meno stabile rende l'acido di partenza meno forte. # '''Soluzione:''' La forma '''sferica/compatta''' del terz-butanolo riduce la superficie della parte idrofobica. L'1-butanolo ha una catena alchilica lineare (lunga e "ingombrante" per l'acqua) che interferisce maggiormente con i legami a idrogeno del solvente. Il terz-butanolo, essendo più compatto e "tondeggiante", espone meno superficie non polare all'acqua, facilitando la sua integrazione nel reticolo del solvente. # '''Soluzione:''' '''Cicloesanolo < Fenolo < 2,4,6-trinitrofenolo'''. Il cicloesanolo è un alcol normale (carica localizzata). Il fenolo stabilizza la carica per risonanza nell'anello. Il 2,4,6-trinitrofenolo ha tre gruppi nitro (−NO2​) fortemente elettron-attrattori che delocalizzano la carica negativa in modo eccezionale, rendendolo quasi forte quanto un acido minerale. # '''Soluzione:''' La solubilità '''aumenta drasticamente''' perché il fenolo si trasforma in un sale (fenossido di potassio).Il fenolo di per sé è poco solubile in acqua. Reagendo con KOH, si trasforma in '''fenossido di potassio''', un composto ionico. Essendo un sale, le interazioni ione-dipolo con l'acqua sono molto più forti dei semplici legami a idrogeno, rendendo il composto estremamente solubile. === '''Esercizi sulla preparazione di alcoli''' === # Qual è il prodotto dell'idratazione acido-catalizzata del '''2-metil-2-butene'''? # Quale alcol si ottiene riducendo il '''propanale''' con NaBH4​? # Se facciamo reagire il '''bromuro di metilmagnesio''' (CH3​MgBr) con la '''formaldeide''' (HCHO), che alcol otteniamo dopo l'idrolisi? # Prevedi il prodotto della reazione di idroborazione-ossidazione dell''''1-metilcicloene'''. # Quale reagente è necessario per convertire il '''cicloesanone''' in '''cicloesanolo'''? # Cosa si ottiene dalla reazione tra '''acetone''' (CH3​COCH3​) e '''bromuro di etilmagnesio''' (CH3​CH2​MgBr)? # L'idratazione dell''''etene''' in ambiente acido produce...? # Quale alchene genera l''''1-metilcicloesanolo''' tramite idratazione secondo Markovnikov? # La riduzione del '''benzaldeide''' con LiAlH4​ porta alla formazione di...? # Quale alcol si forma dalla reazione del '''bromuro di fenilmagnesio''' con l''''acetaldeide'''? # Prevedi il prodotto dell'ossimercuriazione-demercuriazione dell''''1-pentene'''. # Cosa si ottiene riducendo l''''acido butanoico''' con un eccesso di LiAlH4​? # Quale combinazione di Grignard e composto carbonilico useresti per sintetizzare il '''tripolifenilmetanolo'''? # Riducendo il '''2-pentanone''' con NaBH4​, si ottiene un alcol chirale. Qual è il suo nome? # L'idratazione del '''3,3-dimetil-1-butene''' in acido subisce trasposizione? Se sì, quale alcol si forma? # Quale alcol si ottiene trattando l''''ossido di etilene''' (epossido) con il '''reattivo di Grignard''' CH3​MgBr? # Prevedi il prodotto della riduzione dell''''acetofenone'''. # L'idroborazione-ossidazione dello '''stirene''' (C6​H5​CH=CH2​) produce un alcol primario o secondario? # Quale alcol si ottiene dalla reazione tra '''acetato di etile''' (un estere) ed eccesso di CH3​MgBr? # Riducendo il '''butanale''' otteniamo l'1-butanolo. === Soluzioni: === # '''2-metil-2-butanolo''': L'idratazione segue Markovnikov, il gruppo -OH va sul carbonio più sostituito (terziario). [[File:2-metil-2-butanolo.jpg|senza_cornice]] # '''1-propanolo''': La riduzione di un'aldeide genera sempre un alcol primario.[[File:1-propanolo.jpg|senza_cornice]] # '''Etanolo''': Il reattivo di Grignard aggiunge un carbonio alla formaldeide, formando un alcol primario.[[File:Etanolo1.jpg|senza_cornice]] # '''trans-2-metilcicloesanolo''': Reazione anti-Markovnikov e addizione ''syn''. # '''NaBH4​ o LiAlH4'''​: Entrambi i riducenti convertono il chetone ciclico in alcol secondario. # '''2-metil-2-butanolo''': Un chetone + Grignard = Alcol terziario.[[File:2-metil-2-butanolo..jpg|senza_cornice]] # '''Etanolo''': La più semplice sintesi industriale di alcol da alchene. # '''1-metilcicloesene''': Il protone va sul CH dell'alchene, l'acqua sul carbonio terziario. # '''Alcol benzylico''': La riduzione dell'aldeide aromatica non intacca l'anello. # '''1-feniletanolo''': Grignard su acetaldeide produce un alcol secondario con un centro chirale. # '''2-pentanolo''': L'ossimercuriazione è un metodo Markovnikov che evita le trasposizioni dei carbocationi.[[File:2-pentanolo.jpg|senza_cornice]] # '''1-butanolo''': Attenzione: solo LiAlH4​ può ridurre gli acidi carbossilici; NaBH4​ non è abbastanza forte.[[File:1-butanolo.jpg|senza_cornice]] # '''Benzofenone + Bromuro di fenilmagnesio''': Tre anelli benzenici legati allo stesso carbonio alcolico. # '''2-pentanolo''': Si ottiene una miscela racemica di enantiomeri (R) e (S). # '''2,3-dimetil-2-butanolo''': Avviene trasposizione di idruro/metile per formare il carbocatione terziario più stabile. # '''1-propanolo''': Il reattivo di Grignard attacca il carbonio meno ingombrato dell'epossido, aprendo l'anello. # '''1-feniletanolo''': Riduzione del chetone fenilico. # '''2-feniletanolo (Primario)''': L'idroborazione mette l'OH sul carbonio meno sostituito (terminale). # '''2-metil-2-propanolo''': Gli esteri reagiscono con due equivalenti di Grignard per dare alcoli terziari.[[File:2-metil-2-propanolo.jpg|senza_cornice]] # '''No, si ottiene il 2-buten-1-olo''': NaBH4​ è selettivo per il gruppo carbonilico e non riduce i doppi legami isolati o coniugati. 9j8tzh6o3piodddnt90lof2lkf8i91r 0 59241 498241 498216 2026-05-22T14:54:48Z ~2026-30719-01 54398 /* Soluzioni agli esercizi */ 498241 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|50%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla rappresentazione delle strutture chimiche == === Esercizio 1 === Disegna la struttura scheletrica del '''2-metilbutano''', la cui formula condensata è (CH₃)₂CH–CH₂–CH₃. === Esercizio 2 === [[File:Cyclopentane v2.svg|centro|senza_cornice|97x97px]] Osserva la struttura scheletrica del '''ciclopentano''' . Quanti atomi di carbonio e di idrogeno sono presenti? Scrivi la formula molecolare. === Esercizio 3 === Partendo dalla formula condensata dell''''etanolo''' (CH₃–CH₂–OH), disegna la sua struttura di Kekulé mostrando tutti i legami e le coppie elettroniche libere. === Esercizio 4 === Analizzando la struttura della '''caffeina''', determina quanti carboni ha. [[File:Koffein - Caffeine.svg|centro|senza_cornice]] === Esercizio 5 === [[File:Vitamin A2.svg|centro|senza_cornice]] Data la struttura scheletrica della '''vitamina A2''', individua e disegna esplicitamente tutti gli atomi di idrogeno legati ai carboni per completare la loro tetravalenza. === Esercizio 6 === Prendi la formula condensata dell'isobutanolo, (''CH''<small>3</small>​)<small>2</small>​''CHCH''<small>2</small>​''OH''. Convertila in una struttura scheletrica, ricordando che i gruppi identici tra parentesi sono legati allo stesso atomo di carbonio e che l'ossigeno deve mostrare il legame con l'idrogeno. === Esercizio 7 === [[File:CH3-NH2.svg|centro|senza_cornice|120x120px]] Partendo dalla struttura scheletrica della '''metilammina,''' convertila in una struttura di Kekulé. Mostra esplicitamente tutti gli atomi di carbonio, tutti i legami carbonio-idrogeno e il doppietto elettronico libero sull'azoto necessario per completare l'ottetto. === Esercizio 8 === Disegna la struttura di Kekulé della '''trimetilammina''', partendo dalla sua rappresentazione scheletrica a forma di "Y" con un azoto al centro. === Esercizio 9 === Data la formula condensata ''ClCH''2​''CH''2​''CH''(''OCH''3​)''CH''3​, convertila prima in una struttura di Kekulé completa (mostrando ogni legame) e successivamente in una struttura scheletrica. Fai attenzione a come rappresentare il gruppo metossilico (−''OCH''3​) che non fa parte della catena principale. === Esercizio 10 === Converti la formula condensata ClCH₂–CH₂–CH(OCH₃)–CH₃ in una struttura scheletrica, prestando attenzione al gruppo in parentesi. === Esercizio 11 === [[File:Isoprene Structural Formulae V.1.svg|senza_cornice|211x211px]] Data la struttura scheletrica dell''''isoprene''' (C₅H₈), identifica quanti atomi di carbonio formano la catena principale e quanti sono nelle ramificazioni. === Esercizio 12 === Disegna la struttura scheletrica del '''propanale''' (CH₃–CH₂–CHO). Perché l'idrogeno del gruppo –CHO viene solitamente mantenuto nel disegno? === Esercizio 13 === [[File:Methylcyclohexane.svg|centro|senza_cornice|128x128px]] Nel '''metilcicloesano''', quanti idrogeni sono legati al carbonio dell'anello che porta il gruppo metilico? === Esercizio 14 === Scrivi la formula molecolare per una molecola ciclica a 5 carboni che presenta un ossigeno a doppio legame (C=O) e due doppi legami nel ciclo (C=C). === Esercizio 15 === Proponi una struttura scheletrica per la formula molecolare '''C₂H₇N'''. === Esercizio 16 === [[File:Skeletal structure of propanone (acetone).svg|centro|senza_cornice|97x97px]] Converti la struttura di Kekulé dell''''acetone''' in formula condensata. === Esercizio 17 === Disegna la struttura scheletrica del '''fenolo''' (C₆H₅–OH), assicurandoti di mostrare correttamente l'anello aromatico e il gruppo funzionale. === Esercizio 18 === In una struttura scheletrica, come identifichi graficamente un atomo di carbonio che non ha alcun idrogeno legato? === Esercizio 19 === Proponi due strutture scheletriche diverse per la formula '''C₃H₆O.''' === Esercizio 20 === Converti la formula condensata del '''propanale''' (''CH''3​''CH''2​''CHO'') in una struttura scheletrica. Durante la conversione, spiega perché l'idrogeno legato al gruppo aldeidico viene mantenuto nel disegno scheletrico a differenza degli altri idrogeni legati ai carboni. == Esercizi sui gruppi funzionali == === Esercizio 21 === Dai la definizione di gruppo funzionale. === '''Esercizio 22''' === Individua il nome dei seguenti gruppi funzionali: - OH - CO - SH === Esercizio 23 === Quale gruppo funzionale condividono gli alcoli e i fenoli? -NO₂ -OH -NH₂ === Esercizio 24 === Quale gruppo funzionale caratterizza le ammine? -COOH -NH₂ -CO === Esercizio 25 === Il gruppo ammidico caratterizza quale delle seguenti serie omologhe? - ammidi - ammine - aldeidi - nitrili === Esercizio 26 === Gli eteri sono caratterizzati da quale dei seguenti gruppi funzionali? -NO₂ -O- -COO- === Esercizio 27 === Individua la struttura del gruppo nitrile -SH -SO₃H -C≡N === Esercizio 28 === Qual è il nome alternativo del gruppo -SO₃H? - idrossisolfato -idrossisolfanile -idrossisolfonile -idronitrile === Esercizio 29 === Individua il gruppo ammidico tra i seguenti -COOH -COO- -CO-NH- === Esercizio 30 === Dai la definizione di gruppo polifunzionale. Qual è la differenza tra gruppo monofunzionale e polifunzionale? === Esercizio 31 === Un alcano che presenta due gruppi ossidrili (-OH) assume il nome di: -dialcanidrile -diolo -biossidril-alcano === Esercizio 32 === Disegna la molecola dell'acido 2-cicloesencarbossilico specificando a quale gruppo appartiene e quale gruppo funzionale la caratterizza === Esercizio 33 === Illustra le differenze tra aldeidi e chetoni, considerando che condividono lo stesso gruppo funzionale. Specifica di quale gruppo si tratta e disegna due esempi. === Esercizio 34 === Considera il gruppo amminico. Spiega le differenze tra gruppo amminico primario, secondario e terziario, disegnando un esempio per ognuno. === Esercizio 35 === Gli esteri sono composti organici che derivano dagli acidi carbossilici, la cui formula generale è -RCOOR-. Spiega come si vanno a formare tali composti. === Esercizio 36 === Considerando l'acido acetico, di formula CH₃ COOH, individua il gruppo funzionale caratterizzante e il nome IUPAC. Quale, secondo te, potrebbe essere la fonte di tale acido? === Esercizio 37 === Quale, tra i seguenti elementi, non costituisce un gruppo funzionale degli alogenuri alchilici? -F -Br -Cl -OH -N -I === Esercizio 38 === Data la molecola 5,5-dimetil-2-esanolo, individua il gruppo funzionale che caratterizza la molecola e inseriscila nella corretta categoria: -chetoni -nitroderivati -esteri -alcoli === Esercizio 39 === Nella denominazione IUPAC, quale gruppo funzionale caratterizza le molecole il cui nome è preceduto dal prefisso "idrossi-"? === Esercizio 40... === [[File:Urea Structural Formula V2.svg|nessuno|miniatura|Urea]] L'immagine sopra raffigura un'importante molecola utilizzata in campo agricolo. Individua a quale categoria appartiene e se è un derivato di altre categorie. == Esercizi sull'isomeria == === Esercizio 41 === Quale tra le seguenti coppie di composti rappresenta un esempio di isomeria di catena? * a) n-pentano e isopentano * b) 1-butanolo e 2-butanolo * c) Etanolo e dimetiletere * d) cis-2-butene e trans-2-butene === Esercizio 42 === Quanti isomeri di struttura (costituzionali) esistono per la formula molecolare C4H10? * a) 2 * b) 3 * c) 4 * d) 5 === Esercizio 43 === Il propanale (un'aldeide) e il propanone (un chetone) hanno la stessa formula molecolare C3H6O. Di quale tipo di isomeria si tratta? * a) Di catena * b) Di posizione * c) Di funzione * d) Ottica === Esercizio 44 === Quale delle seguenti condizioni è necessaria affinché un alchene presenti isomeria geometrica (cis-trans)? * a) La presenza di un legame triplo. * b) Che ogni carbonio del doppio legame sia legato a due gruppi diversi tra loro. * c) Che la molecola sia ciclica e satura. * d) Che ci sia almeno un carbonio asimmetrico. === Esercizio 45 === Cosa definisce due molecole come "enantiomeri"? * a) Hanno formula bruta diversa. * b) Sono immagini speculari l'una dell'altra e sono sovrapponibili. * c) Sono immagini speculari l'una dell'altra ma non sono sovrapponibili. * d) Differiscono solo per la posizione di un atomo di cloro. === Esercizio 46 === Quale tra queste molecole possiede almeno un centro stereogenico (carbonio chirale)? * a) Propano * b) 2-butanolo * c) 1-propanolo * d) 2,2-dimetilpropano === Esercizio 47 === Una miscela racemica è definita come: * a) Una soluzione contenente solo l'isomero destrogiro. * b) Una miscela 50:50 di due enantiomeri, otticamente inattiva. * c) Una miscela di isomeri di catena. * d) Un composto meso purificato. === Esercizio 48 === Qual è la differenza principale tra enantiomeri e diastereoisomeri? * a) Gli enantiomeri sono speculari, i diastereoisomeri no. * b) I diastereoisomeri hanno sempre la stessa rotazione ottica. * c) Gli enantiomeri hanno punti di ebollizione molto diversi tra loro. * d) Non c'è differenza, sono sinonimi. === Esercizio 49 === Quale coppia di composti mostra isomeria di posizione? * a) 1-cloropropano e 2-cloropropano * b) Butano e isobutano * c) Acido propanoico e acetato di metile * d) Etene ed etino === Esercizio 50 === Nel composto 3-cloro-1-butene, quale atomo di carbonio è il centro chirale? * a) C1 * b) C2 * c) C3 * d) C4 === Esercizio 51 === Che tipo di isomeri sono il 2-metilpropano e il n-butano? A) Isomeri di posizione B) Isomeri di catena C) Isomeri di funzione D) Enantiomeri === Esercizio 52 === Identifica la relazione tra le seguenti due molecole: 1-propanoloCH3CH2CH2OH e 2-propanolo CH3CH(OH)CH3. === Esercizio 53 === Che tipo di isomeri sono il propanale e il propanone? A) Isomeri di catena B) Isomeri di posizione C) Isomeri di funzione D) Diastereoisomeri === Esercizio 54 === Osserva le seguenti coppie di molecole cicliche. Che relazione intercorre tra il cis-1,2-dimetilcicloesano e il trans-1,2-dimetilcicloesano? A) Isomeri costituzionali B) Isomeri conformazionali C) Stereoisomeri (geometrici) D) Stessa molecola === Esercizio 55 === Qual è la relazione tra il (R)-2-clorobutano e il (S)-2-clorobutano? A) Enantiomeri B) Diastereoisomeri C) Isomeri di posizione D) Composto meso == Esercizi su acidi e basi organiche == === Esercizio 61 === Trasforma i seguenti acidi in basi: [[File:Esercizio basi-1.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 62 === Trasforma i seguenti acidi in basi: [[File:Esercizio basi-2.jpg|senza_cornice|250x250px]] === Esercizio 63 === Trasforma i seguenti acidi in basi: [[File:Esercizio basi-3.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 64 === Trasforma i seguenti acidi in basi: [[File:Esercizio basi-4.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 65 === Trasforma le seguenti basi in acidi: [[File:Trasforma le seguenti basi in acidi.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 66 === Trasforma le seguenti basi in acidi: [[File:Trasforma le seguenti basi in acidi2.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 67 === Trasforma le seguenti basi in acidi: [[File:Trasforma le seguenti basi in acidi3.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 68 === Trasforma le seguenti basi in acidi: [[File:Trasforma le seguenti basi in acidi4.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 69 === Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato: [[File:Come avviene la reazione es.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 70 === Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato: [[File:Come avviene la reazione es2.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 71 === Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato: [[File:Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato-4.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 72 === Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato: [[File:Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato-5.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 73 === Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato: [[File:Disegna come avviene la reazione e individua la base, l'acido, la base coniugata e l'acido coniugato-6.jpg|senza_cornice]] === Esercizio 74 === Quale tra i seguenti fattori è il più diretto responsabile dell'elevata acidità del gruppo carbossilico rispetto ad un alcol semplice? a. La presenza di due legami C = 0 nel gruppo carbossilico b. La possibilità di delocalizzare la carica negativa per risonanza sull'anione carbossilato c. La maggiore massa molecolare degli acidi carbossilici d. La maggiore elettronegatività dell'ossigeno rispetto al carbonio === Esercizio 75 === Considerai seguenti acidi: CH₃COOH, CF₃COOH, CH₃CH₂COOH. Qual è il più acido e perché? === Esercizio 76 === È più acido l'etanolo o il fenolo? Perché? === Esercizio 77 === È più acido il fenolo o l'acido acetico? Perché? === Esercizio 78 === È più acido l'etanolo o il 2‑metil‑2‑propanolo? Perché? === Esercizio 79 === È più acido il fenolo o l'acido benzoico? Perché? === Esercizio 80 === È più acido l'etanolo o l'acqua? Perché? = Ossidazione e riduzione = === Esercizio 81 === Determina lo stato di ossidazione del carbonio nel metano (CH₄). === Esercizio 82 === Calcola lo stato di ossidazione del carbonio nel tetracloruro di carbonio (CCl₄). === Esercizio 83 === Determina lo stato di ossidazione del carbonio centrale nella formaldeide (H₂C=O). === Esercizio 84 === Nell'etanolo (CH₃CH₂OH), qual è lo stato di ossidazione del carbonio legato al gruppo ossidrilico (-OH)? === Esercizio 85 === Calcola lo stato di ossidazione del carbonio nell'acido metanoico (HCOOH). === Esercizio 86 === Determina lo stato di ossidazione di entrambi i carboni nell'etano (CH₃CH₃). === Esercizio 87 === Calcola lo stato di ossidazione del carbonio nel cianuro di idrogeno (HCN). === Esercizio 88 === Determina lo stato di ossidazione del carbonio nell'idrogeno metanimina (CH₂NH). === Esercizio 89 === La conversione di un alcol secondario in un chetone è un'ossidazione o una riduzione? === Esercizio 90 === La trasformazione di un alchene in un alcano è classificata come...? === Esercizio 91 === Se un chetone viene trasformato in un alcol, la reazione richiede un agente ossidante o riducente? === Esercizio 92 === La bromurazione radicalica del metano per dare bromometano è una reazione redox? Se sì, di che tipo? === Esercizio 93 === L'addizione elettrofila di Br₂ a un alchene per formare un 1,2-dibromuro è un'ossidazione o una riduzione? === Esercizio 94 === L'addizione elettrofila di HBr a un alchene è considerata una reazione redox? Motiva brevemente. === Esercizio 95 === La conversione di un tioestere in un'aldeide è un'ossidazione o una riduzione? === Esercizio 96 === Se un'aldeide viene convertita in un alcol, come cambia il numero di legami con l'idrogeno? Si tratta di ossidazione o riduzione? === Esercizio 97 === Una reazione di trasferimento di acile (es. conversione di un fosfato di acile in un'ammide) è una reazione redox? Perché? === Esercizio 98 === Ordina i seguenti composti dal più ridotto al più ossidato: Metanolo, Metano, Anidride Carbonica (CO₂). === Esercizio 99 === Tra un alcano e un alchene, quale si trova a un livello di ossidazione più alto? === Esercizio 100 === Qual è il livello di ossidazione massimo che può raggiungere un atomo di carbonio in una molecola organica? Fornisci un esempio. [[File:Big_red_line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == # [[File:Isopentane-2D-skeletal.svg|centro|senza_cornice|127x127px]] # 5 Carboni e 10 Idrogeni. Formula: C₅H₁₀ # [[File:Etanolo kekule.png|centro|senza_cornice]] # 8 atomi di carbonio. # Ogni carbonio deve avere 4 legami; si aggiungono idrogeni dove mancano (1 H sui C dei doppi legami, 2 H o 3 H sui C saturi). # [[File:Isobutanol.png|centro|senza_cornice]] # La formula di Kekulé mostra un atomo di '''N''' centrale con un doppietto solitario sopra di esso. L'azoto è legato a un atomo di '''C,''' a sua volta legato a '''1 atomo di idrogeno''' per soddisfare la tetravalenza. # L'atomo di N centrale legato a tre carboni, ciascuno con tre idrogeni; l'azoto ha una coppia solitaria. # Un esagono con un cerchio (benzene) con un legame verso '''–NH₂''' da un lato e uno verso il gruppo –COOH dall'altro. # Catena di 5 carboni: Cl sul C1 e un ramo –O–CH₃ sul C3. # 4 carboni nella catena principale e 1 carbonio nella ramificazione metilica. # Catena a zig-zag di 3 C con =O e -H finale. L'idrogeno si indica perché fa parte del gruppo funzionale aldeidico. # '''1 idrogeno''' (il carbonio ha già tre legami: due con l'anello e uno con il metile). # '''C₅H₄O'''. # Ad esempio, l'etilammina CH₃–CH₂–NH₂) o la dimetilammina ((CH₃)₂NH). # '''CH₃–CO–CH₃''' o '''(CH₃)₂CO''' # Un esagono con tre doppi legami alternati e un gruppo -OH attaccato. # Si trova in un''''intersezione a quattro vie''' (quattro linee che si incontrano in un punto). # Propanale (aldeide) e acetone (chetone). # La struttura scheletrica consiste in una linea a zig-zag con due segmenti (3 carboni). L'ultimo carbonio ha un doppio legame verso un ossigeno (=''O'') e un legame singolo verso un idrogeno (−''H''). L'idrogeno viene mantenuto perché è parte integrante del gruppo funzionale aldeidico, rendendo la struttura più chiara. #-Atomi o gruppi di atomi che conferiscono particolari proprietà fisico-chimiche ai composti di cui fanno parte #-OH: gr. idrossilico; -CO: gr. carbossilico; -SH: gr. solfidrico. #-OH #-NH₂ #-Gli amminidi #-O- #-C≡N #- Idrossisolfonile #-CO-NH #-Molecole organiche con 2 o più gruppi funzionali. La differenza è che il primo ha un solo gruppo funzionale, il secondo ne ha 2 o più. #-Diolo #-Acido carbossilico; COOH. #-La differenza sta nella posizione del carbonile: negli alcani è a una delle estremità, nei chetoni è nel mezzo della catena di carboni. #-Primario: 1 gr. amminico; secondario: 2 gruppi amminici; terziario: 3 gruppi amminici. #- Il composto si forma dall'unione di un acido con un alcol; il primo perde -OH, il secondo cede -H. Dalla reazione viene liberata una molecola di H₂O. #-Acido etanoico; COOH; Dall'aceto. #-OH; -N. #-OH; Alcoli. #-idrossi. #- I fenoli. #- Appartiene agli ammidi, derivati degli acidi carbossilici. #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #- #[[File:Soluzioni es61.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es62.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es63.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es64.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es65.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es66.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es67.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es68.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es69.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es70.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es72.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es71.jpg|senza_cornice]] #[[File:Soluzioni es73.jpg|senza_cornice]] #b. Negli acidi carbossilici, una volta che il protone H⁺ è stato perso, l'anione carbossilato risultante presenta due strutture di risonanza equivalenti in cui la carica negativa è distribuita sui due atomi di ossigeno. Questa delocalizzazione stabilizza moltissimo la base coniugata, rendendo più favorevole la dissociazione del protone. Negli alcoli, invece, la carica negativa dell'alcossido è localizzata su un solo ossigeno e non può essere delocalizzata in modo analogo, rendendo l'alcossido meno stabile e quindi l'alcol meno acido. L'elevata stabilizzazione per risonanza è dunque il fattore chiave che spiega la maggiore acidità degli acidi carbossilici rispetto agli alcoli. #CF₃COOH, perché il gruppo CF₃ esercita un forte effetto induttivo elettron-attrattore. Il gruppo trifluorometile, grazie alla presenza di tre atomi di fluoro molto elettronegativi, sottrae densità elettronica al gruppo carbossilico sia nella forma neutra sia, soprattutto, nella base coniugata. Questa sottrazione di densità elettronica rende la carica negativa dell'anione più diffusa e meno concentrata, stabilizzandolo. La maggiore stabilità della base coniugata fa sì che l'equilibrio di dissociazione del protone sia spostato verso destra, quindi CF₃COO H è molto più acido rispetto agli analoghi con sostituenti alchilici, nonostante abbia catena più corta. #È più acido il fenolo, perché quando l’etanolo perde H⁺ la carica negativa è tutta concentrata su un solo ossigeno, quindi è instabile; mentre quando il fenolo perde H⁺ si forma il fenossido: la carica negativa è delocalizzata sull’intero anello aromatico (strutture di risonanza), quindi la base coniugata è molto più stabile. #È più acido l'acido acetico, perché nel fenolo la carica negativa è delocalizzata sull’anello, ma resta legata a un solo legame C–O; mentre in un acido carbossilico la base coniugata ha due atomi di ossigeno equivalenti tra cui si divide la carica (risonanza tra i due ossigeni), e poi c’è anche il gruppo C=O che stabilizza la carica. #È più acido l'etanolo, perché i gruppi CH₃ sono elettron‑donatori: più gruppi alchilici legati al carbonio vicino all’ossigeno, più elettroni vengono “spinti” verso l’ossigeno, mentre nell’alcol terziario ci sono tre gruppi CH₃ sull’atomo di carbonio attaccato all’−OH, quindi l’ossigeno è più “carico” e “tiene” più forte il protone (è più difficile perdere H⁺). #È più acido l'acido benzoico, perché in entrambi c’è un anello aromatico, ma nel fenolo il protone esce direttamente dall’−OH legato all’anello: la base coniugata è stabilizzata solo dalla risonanza dell’anello, mentre nell'acido benzoico il protone esce dal gruppo COOH: la base coniugata del carbossilato è stabilizzata da risonanza tra due ossigeni e dall’anello aromatico, quindi il rafforzamento è maggiore. #È più acida l'acqua, perché quando l’etanolo perde H⁺, la carica negativa è su CH₃CH₂O, che ha un gruppo alchilico CH₃ che “spinge” elettroni verso l’ossigeno, rendendo la carica meno stabile, mentre quando l’acqua perde H⁺, la carica è su OH: non c’è nessun gruppo alchilico elettron‑donatore, quindi l’ossigeno sopporta meglio la carica. # -4: 4 legami C-H (4 x -1). # +4: 4 legami C-Cl (4 x +1). # 0: 2 legami C-H (-2) e 2 legami (doppio) con l'ossigeno (+2). # -1: 2 legami C-H (-2), 1 legame C-O (+1) e 1 legame C-C (0). # +2: 1 legame C-H (-1) e 3 legami con l'ossigeno (+3). # -3 per ciascuno: 3 legami C-H (-3) e 1 legame C-C (0). # +2: 1 legame C-H (-1) e 3 legami (triplo) con l'azoto (+3). # 0: 2 legami C-H (-2) e 2 legami (doppio) con l'azoto (+2). # Ossidazione: il carbonio passa dallo stato 0 a +2. # Riduzione: il numero di legami C-H aumenta, diminuendo lo stato di ossidazione. # Agente riducente: la conversione da chetone (+2) ad alcol (0) è una riduzione. # Ossidazione: il carbonio passa da -4 a -3 acquisendo un legame con un eteroatomo (Br). # Ossidazione: entrambi i carboni passano da -2 a -1. # No (Non Redox): il cambiamento complessivo si annulla (un C si ossida, l'altro si riduce). # Riduzione: si perde un legame con un eteroatomo (S) e si acquista un legame con l'idrogeno. # Riduzione: acquista legami con l'idrogeno, scendendo nella scala di ossidazione. # No: lo stato di ossidazione non cambia perché un legame con un eteroatomo (O) viene scambiato con un altro (N). # Metano (-4) < Metanolo (-2) < Anidride Carbonica (+4). # Alchene: ha meno legami con l'idrogeno rispetto all'alcano corrispondente. # +4: l'esempio tipico è l'anidride carbonica (CO₂). == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/1-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/2-additional-problems esercizi2] e [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-1 soluzioni1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-2 soluzioni2] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche i55wrm8f5achfphtpeil971m7hrk2bj 0 59244 498238 491430 2026-05-22T13:54:09Z Leonardo.ambrozzo 51043 /* Esercizio 498238 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sui tipi di reazioni organiche == === Esercizio 1 === testo === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... fino al 10° === == Esercizi sui vari meccanismi di reazioni organiche (ioniche e radicaliche) == '''esercizio 1. Addizione elettrofila agli alcheni''' L’etene reagisce con HBr. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo completo. * Indica l’elettrofilo. * Spiega come si rompe il doppio legame. '''esercizio 2. Regola di Markovnikov''' Il propene reagisce con HCl. '''Richieste:''' * Scrivi il prodotto principale. * Disegna il carbocatione intermedio. * Spiega perché si forma quel prodotto. '''esercizio 3. Sostituzione nucleofila SN1''' Il terz-butilcloruro reagisce con acqua. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo SN1 completo. * Indica il passaggio lento. * Spiega perché il substrato favorisce SN1. '''esercizio4. Sostituzione nucleofila SN2''' Il bromometano reagisce con OH⁻. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo. * Indica cosa succede al carbonio centrale. * Spiega perché la reazione avviene in un solo stadio. '''esercizio 5. Eliminazione E1''' Il 2-bromo-2-metilpropano viene riscaldato in soluzione alcolica. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo E1. * Individua l’alchene formato. * Spiega il ruolo del calore. '''PARTE B — Reazioni radicaliche''' '''esercizio 6. Clorurazione radicalica del metano''' Il metano reagisce con Cl₂ in presenza di luce UV. '''Richieste:''' * Scrivi le tre fasi della reazione: ** iniziazione ** propagazione ** terminazione * Indica quali specie sono radicali. '''esercizio 7. Bromurazione radicalica dell’etano''' L’etano reagisce con Br₂ e luce UV. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo radicalico. * Spiega perché la luce è necessaria. * Scrivi il prodotto organico finale. '''esercizio 8. Stabilità dei radicali''' Considera i seguenti radicali: * CH₃• * CH₃CH₂• * (CH₃)₃C• '''Richieste:''' * Ordinali per stabilità crescente. * Spiega il motivo della diversa stabilità. '''esercizio 9. Polimerizzazione radicalica''' Il monomero etene forma polietilene. '''Richieste:''' * Scrivi l’equazione generale. * Descrivi: ** iniziazione ** propagazione ** terminazione * Indica quale legame si rompe durante la reazione. '''esercizio 10. Confronto tra meccanismi ionici e radicalici''' Confronta: * addizione di HBr al propene (meccanismo ionico) * clorurazione del metano (meccanismo radicalico) '''Richieste:''' Compila una tabella indicando: * specie reattive coinvolte * condizioni di reazione * tipo di rottura dei legami * intermedi formati * velocità e selettività * [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * Esercizio 1: * Esercizio 2: * Ecc. ecc. * Esercizio 21 == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/6-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-6 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche db1f83c9lgahx1kab8hczhxjczfwgj6 0 59254 498240 491432 2026-05-22T14:01:29Z Leonardo.ambrozzo 51043 /* Esercizi sulla preparazione di alcheni: l'eliminazione */ 498240 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla preparazione di alcheni: l'eliminazione == '''esercizio 1. Eliminazione da un alogenuro alchilico''' Il 2-bromobutano reagisce con KOH in soluzione alcolica e a caldo. '''Richieste:''' * Scrivi la reazione completa. * Individua il prodotto principale. * Indica il tipo di eliminazione coinvolta. '''esercizio 2. Regola di Saytzev''' Dal 2-cloropentano si ottengono diversi alcheni per eliminazione. '''Richieste:''' * Scrivi tutti i possibili alcheni ottenibili. * Indica quale si forma in quantità maggiore. * Spiega la regola di Saytzev. '''esercizio 3. Eliminazione E2''' Il bromuro di etile reagisce con etossido di sodio (NaOEt). '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo E2. * Indica quale legame si rompe. * Spiega perché la reazione avviene in un solo stadio. '''esercizio 4. Eliminazione E1''' Il terz-butilcloruro viene riscaldato in soluzione alcolica. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo E1. * Disegna il carbocatione intermedio. * Indica il prodotto finale. '''esercizio5. Disidratazione di un alcol''' L’etanolo viene trattato con H₂SO₄ concentrato a caldo. '''Richieste:''' * Scrivi la reazione. * Spiega il ruolo dell’acido solforico. * Indica il nome dell’alchene ottenuto. '''esercizio 6. Disidratazione del 2-butanolo''' Il 2-butanolo viene riscaldato con H₂SO₄ concentrato. '''Richieste:''' * Scrivi i possibili prodotti. * Indica il prodotto prevalente. * Spiega perché è favorito. '''esercizio 7. Confronto tra SN ed eliminazione''' Il 2-bromopropano può reagire con: * KOH acquoso * KOH alcolico '''Richieste:''' * Scrivi le due reazioni. * Indica quale porta a sostituzione e quale a eliminazione. * Spiega il ruolo del solvente. '''esercizio 8. Individuazione del carbonio β''' Considera il composto 2-bromopentano. '''Richieste:''' * Individua il carbonio α e i carboni β. * Indica quali idrogeni possono essere eliminati. * Scrivi l’alchene ottenuto. '''esercizio 9. Eliminazione e stabilità degli alcheni''' Dal 2-bromo-2-metilbutano si possono ottenere più alcheni. '''Richieste:''' * Scrivi le strutture dei possibili prodotti. * Indica quale alchene è più stabile. * Spiega il motivo della maggiore stabilità. '''esercizio 10. Schema riassuntivo E1 vs E2''' Completa una tabella comparando E1 ed E2 nei seguenti aspetti: * numero di stadi * intermedi presenti * velocità di reazione * tipo di substrato favorito * forza della base * dipendenza dalla concentrazione == Esercizi sull'alogenazione degli alcheni == === Esercizio 21 === testo ... == Esercizi sull'idroalogenazione degli alcheni == === Esercizio 41 === testo ... == Esercizi sull'idratazione degli alcheni == === Esercizio 61 === testo ... == Esercizi sull'idrogenazione degli alcheni == === Esercizio 81 === testo ...[[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * Esercizio 1: * Esercizio 2: * Ecc. ecc. * Esercizio 21 == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/8-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-8 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche 4qsgarixyn955topu3unsgc5vnrhk50 0 59737 498249 491438 2026-05-22T16:33:42Z Francescaa07 52477 498249 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla nomenclatura di alcoli e fenoli == === Esercizio 1 === testo === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... === == Esercizi sulle proprietà di alcoli e fenoli == '''1.''' Confronta l'etere dimetilico (CH<small>₃</small>OCH₃) e l'etanolo (CH₃CH₂OH). Entrambi hanno la stessa formula molecolare (C₂H₆O), ma uno dei due ha un punto di ebollizione molto più alto (circa 78° C contro -24° C). '''2.''' Perché il metanolo e l'etanolo sono completamente miscibili in acqua, mentre l'1-butanolo ha una solubilità limitata (circa 7.3 g/100 mL) e l'1-ottanolo è quasi insolubile? '''3.'''Classifica i seguenti alcoli come primari, secondari o terziari: a) 2-propanolo b) 2-metil-2-butanolo c) 1-pentanolo d) Etanolo '''4.''' Ordina in senso decrescente di acidità (dal più acido al meno acido) le seguenti specie: ione idronio (H₃O⁺), acqua (H_{2<big>O</big>}), etanolo (CH₃CH₂OH). Giustifica brevemente la posizione dell'etanolo rispetto all'acqua. '''5.''' Confronta l'etanolo (CH₃CH₂OH) e il 2,2,2-trifluoroetanolo (CF₃CH₂OH). Quale dei due composti è più acido? Quale effetto elettronico spiega questa differenza? '''6.''' Il fenolo ha un pK_a di circa 10, mentre l'etanolo ha un pK_a di circa 16. a) Quale dei due è più acido? b) Spiega perché lo ione fenossido è più stabile dello ione etossido facendo riferimento alla delocalizzazione elettronica. '''7.'''Scrivi la reazione bilanciata tra il metanolo (CH₃OH) e il sodio metallico (Na). Come si chiama il prodotto organico che si forma? '''8.'''Prevedi il prodotto principale dell'ossidazione moderata (es. con PCC) e dell'ossidazione energica (es. con KMnO₄) del seguente alcol: '''1-propanolo'''. '''9.''' In presenza di acido solforico caldo (H₂SO₄), l'etanolo subisce una reazione di disidratazione. a) Che tipo di composto organico si forma? b) Qual è il nome IUPAC del prodotto? '''10.''' Gli alcoli possono comportarsi sia da acidi che da basi. Scrivi la formula del prodotto che si ottiene quando l'etanolo agisce come base di Lewis reagendo con un acido forte (H⁺). Come viene chiamato questo ione? '''11.''' Confronta il punto di ebollizione dell'1-butanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​OH) e dell'1-pentanolo (CH3​CH2​CH2​CH2​CH2​OH). Quale dei due ha il valore più alto e quale forza intermolecolare, oltre al legame a idrogeno, giustifica questa differenza? '''12.''' Perché il p-nitrofenolo (un fenolo con un gruppo −NO2​ in posizione para) è significativamente più acido del fenolo semplice? Fai riferimento agli effetti elettronici sul gruppo nitro. '''13.''' Classifica i seguenti composti in ordine di solubilità decrescente in acqua: a) Metanolo (CH3​OH) b) Cicloesanolo (C6​H11​OH) c) Glicole etilenico (HOCH2​CH2​OH) '''14.''' Cosa accade quando il fenolo reagisce con una soluzione di '''idrossido di sodio (NaOH)'''? Scrivi la reazione e spiega perché l'etanolo non reagisce allo stesso modo con questa base. '''15.''' Il '''2-cloroetanolo''' (Cl−CH2​CH2​OH) ha un pKa​ di circa 14.3, mentre l'etanolo ha un pKa​ di circa 16. Spiega questa differenza di acidità basandoti sulla stabilità della base coniugata. '''16.''' Perché l'<nowiki/>'''1,2-etandiolo''' (glicole etilenico) ha un punto di ebollizione molto più elevato (197° C) rispetto all''''etanolo'''(78° C), nonostante la differenza di massa molecolare non sia così estrema? '''17.''' Confronta il fenolo con il '''p-metilfenolo''' (p-cresolo). Quale dei due composti è meno acido? Quale effetto elettronico del gruppo metilico spiega questa variazione? '''18.''' Spiega perché il '''terz-butanolo''' (2-metil-2-propanolo) è completamente miscibile in acqua, mentre l''''1-butanolo''' ha una solubilità limitata, nonostante abbiano la stessa formula molecolare (C4​H10​O). '''19.''' Ordina i seguenti composti in base alla loro '''acidità crescente''' (dal meno acido al più acido): a) Cicloesanolo b) Fenolo c) 2,4,6-trinitrofenolo (acido picrico) '''20.''' Cosa succede alla solubilità in acqua di un fenolo se viene trattato con una base forte come '''KOH'''? Descrivi la trasformazione chimica e l'effetto sulla miscibilità. ---- === Soluzioni: === # '''Soluzione:''' L'etanolo può formare '''legami a idrogeno''' intermolecolari grazie al gruppo -OH. L'etere dimetilico, pur essendo polare, non ha idrogeni legati direttamente all'ossigeno e non può formare legami a idrogeno tra le proprie molecole. Le forze di attrazione nell'etanolo sono molto più intense e richiedono più energia (calore) per essere vinte. # '''Soluzione:''' La solubilità dipende dall'equilibrio tra la testa idrofila (-OH) e la coda idrofobica (catena alchilica). Negli alcoli a catena corta, il gruppo -OH prevale. Man mano che la catena carboniosa si allunga, la porzione non polare diventa dominante, impedendo alla molecola di sciogliersi efficacemente tra le molecole d'acqua. # '''Soluzione:''' a) Secondario (OH legato a un carbonio unito ad altri 2 C). b) Terziario (OH legato a un carbonio unito ad altri 3 C). c) Primario (OH legato a un carbonio terminale). d) Primario (Eccezione/Classico: carbonio legato a un solo altro C). # '''Soluzione:''' H₃O⁺ > H₂O > CH₃CH₂OH. L'etanolo è meno acido dell'acqua perché il gruppo alchilico (CH₃CH₂) è debolmente '''elettron-donatore'''(effetto induttivo +I), il che destabilizza la carica negativa sull'ossigeno dello ione alcossido rispetto allo ione idrossido. # '''Soluzione:''' Il '''2,2,2-trifluoroetanolo''' è più acido. Gli atomi di fluoro sono fortemente elettronegativi e attirano densità elettronica (effetto induttivo -I), stabilizzando la carica negativa dello ione alcossido dopo la perdita del protone. # '''Soluzione:''' a) Il fenolo è più acido (più basso è il pK_a, maggiore è l'acidità). b) La carica negativa dello ione fenossido è '''delocalizzata per risonanza'''all'interno dell'anello aromatico (posizioni orto e para). Nello ione etossido, la carica è localizzata esclusivamente sull'ossigeno. # '''Soluzione:''' 2CH₃OH + 2Na --> 2CH₃ONa + H₂. Il prodotto si chiama '''metossido di sodio'''. # '''Soluzione:''' - Ossidazione moderata: '''Propanale''' (un'aldeide). #* Ossidazione energica: '''Acido propanoico''' (un acido carbossilico). # '''Soluzione:''' a) Si forma un '''alchene'''. b) '''Etene''' (comunemente chiamato etilene). # '''Soluzione:''' CH₃CH₂OH₂⁺. Viene chiamato '''ione alcossonio''' (nello specifico, ione etilossonio). Questa reazione dimostra la basicità dell'ossigeno che usa uno dei suoi doppietti solitari per legare il protone. # '''Soluzione:''' L''''1-pentanolo''' ha un punto di ebollizione più alto. Entrambi possono formare legami a idrogeno, ma l'1-pentanolo ha una catena carboniosa più lunga. Questo aumenta la superficie di contatto tra le molecole, rendendo più intense le '''forze di dispersione di London'''(interazioni dipolo indotto-dipolo indotto). Più grande è la molecola, maggiore è l'energia necessaria per separarla dalle vicine. # '''Soluzione:''' Il gruppo nitro (−NO2​) è un forte '''elettron-attrattore''' (sia per effetto induttivo che mesomerico −M).Quando il p-nitrofenolo perde un protone, la carica negativa sullo ione fenossido viene ulteriormente delocalizzata non solo sull'anello aromatico, ma anche sugli atomi di ossigeno del gruppo nitro. Questa maggiore stabilizzazione della base coniugata rende il p-nitrofenolo molto più propenso a cedere il protone rispetto al fenolo. # '''Soluzione:''' '''Glicole etilenico > Metanolo > Cicloesanolo'''. Il glicole etilenico ha due gruppi −OH per soli due atomi di carbonio, permettendo moltissimi legami a idrogeno con l'acqua. Il metanolo è molto solubile ma ha un solo −OH. Il cicloesanolo ha una "coda" idrofobica ingombrante (l'anello a 6 carboni) che scherma l'idrofilia del gruppo ossidrile, rendendolo molto meno solubile dei primi due. # '''Soluzione:''' C6​H5​OH+NaOH→C6​H5​ONa+H2​O. Si forma il '''fenossido di sodio'''. Il fenolo è abbastanza acido (pKa​≈10) da essere deprotonato dallo ione idrossido (OH−). L'etanolo invece è un acido molto più debole (pKa​≈16) dell'acqua (pKa​≈15.7); di conseguenza, l'equilibrio della reazione tra etanolo e NaOH è fortemente spostato verso i reagenti e non avviene in modo significativo. # '''Soluzione:''' Il '''2-cloroetanolo''' è più acido a causa dell''''effetto induttivo attrattore (−I)''' del cloro. L'atomo di cloro è molto elettronegativo. Attraverso i legami sigma, "tira" a sé la densità elettronica, aiutando a disperdere e stabilizzare la carica negativa che si forma sull'ossigeno dopo la perdita del protone. Una base coniugata più stabile deriva sempre da un acido più forte. # '''Soluzione:''' Il glicole etilenico possiede '''due gruppi ossidrilici (-OH)''' per molecola. La presenza di due gruppi -OH raddoppia la capacità della molecola di formare legami a idrogeno intermolecolari rispetto all'etanolo. Questo crea una rete di attrazione molto più robusta nel liquido, richiedendo un'energia termica significativamente superiore per il passaggio allo stato gassoso. # '''Soluzione:''' Il '''p-metilfenolo''' è meno acido del fenolo. Il gruppo metilico (−CH3​) è un gruppo '''elettron-donatore''' per effetto induttivo (+I). Donando densità elettronica verso l'anello, destabilizza la carica negativa dello ione fenossido che si forma dopo la perdita del protone. Una base coniugata meno stabile rende l'acido di partenza meno forte. # '''Soluzione:''' La forma '''sferica/compatta''' del terz-butanolo riduce la superficie della parte idrofobica. L'1-butanolo ha una catena alchilica lineare (lunga e "ingombrante" per l'acqua) che interferisce maggiormente con i legami a idrogeno del solvente. Il terz-butanolo, essendo più compatto e "tondeggiante", espone meno superficie non polare all'acqua, facilitando la sua integrazione nel reticolo del solvente. # '''Soluzione:''' '''Cicloesanolo < Fenolo < 2,4,6-trinitrofenolo'''. Il cicloesanolo è un alcol normale (carica localizzata). Il fenolo stabilizza la carica per risonanza nell'anello. Il 2,4,6-trinitrofenolo ha tre gruppi nitro (−NO2​) fortemente elettron-attrattori che delocalizzano la carica negativa in modo eccezionale, rendendolo quasi forte quanto un acido minerale. # '''Soluzione:''' La solubilità '''aumenta drasticamente''' perché il fenolo si trasforma in un sale (fenossido di potassio).Il fenolo di per sé è poco solubile in acqua. Reagendo con KOH, si trasforma in '''fenossido di potassio''', un composto ionico. Essendo un sale, le interazioni ione-dipolo con l'acqua sono molto più forti dei semplici legami a idrogeno, rendendo il composto estremamente solubile. == Esercizi sulla preparazione di alcoli == === Esercizio 41 === testo ... ... == Esercizi sulle reazioni di alcoli == === Esercizio 61 === testo ... ... == Esercizi sulla ossidazione di alcoli == === Esercizio 81 === testo ... ...[[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == ... == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: Organic Chemistry (Morsch et al.) - [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.)/17%3A_Alcohols_and_Phenols Alcoli e fenoli] * [https://openstax.org/details/books/organic-chemistry Openstax] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche 2lxnx2pnau13qd8skysxocecnecuwd8 0 59790 498263 498017 2026-05-23T07:46:42Z Giorgia.borsato 54232 /* Esercizi su acidi e basi secondo Lewis */ 498263 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: HClO4, H2S, PH4+,HCO3- === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display=simple> { '''Esercizio 1''' . |type="{}"} '''Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?'''. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display=simple> { '''Esercizio 2''' . |type="{}"} '''Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?'''. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 1''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Soluzione ==== # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. ==== Esercizio 2 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === testo ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 5vrbbpckl806noiqkvlmw1p665uhtdb 498267 498263 2026-05-23T07:55:05Z ~2026-30810-44 54402 /* Esercizio 61 */ 498267 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: HClO4, H2S, PH4+,HCO3- === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display=simple> { '''Esercizio 1''' . |type="{}"} '''Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?'''. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display=simple> { '''Esercizio 2''' . |type="{}"} '''Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?'''. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 1''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Soluzione ==== # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. ==== Esercizio 2 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === A 25°C, il valore di Kw​ è <math>1.0*10^{-14}</math>. Se [H+]=<math>1.0*10^{-7}</math> M, quanto vale [OH−]? ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': * '''Esercizio 61''': <math>1.0*10^{-7}</math> == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 7ilhr1nykqi60wwq6i82ogqa2p4zc0y 2 60055 498261 492050 2026-05-23T07:19:54Z Iris Selvestrel 54230 498261 wikitext text/x-wiki == Le proprietà colligative (Raoul, Press osm) == 5pwjkpon5ff59nge563tpy4qp8ygxtg 2 60062 498264 498114 2026-05-23T07:53:02Z LuciaMartini01 54215 /* Esercizio 2 */ 498264 wikitext text/x-wiki == Esercizi sull' equilibrio chimico == === Esercizio 1 === Consideriamo la relazione: <chem>FeO(s) + CO(g)<=> Fe(l) + CO2(g)</chem> * a) Alla temperatura di 1000°C la concentrazione all'equilibrio di <chem>CO2</chem> è 6,2·10 -4 M e quella di <chem>CO</chem> è 0,68·10 -4 M. Qual è il valore di K? * b) Quale concentrazione di <chem>CO2</chem> è in equilibrio con <chem>CO</chem> di concentrazione 2,1·10^-4 M alla stessa temperatura? === Esercizio 2 === Abbiamo la reazione: <chem>N2O4(g)<=>2NO2(g)</chem> Sono presenti 15,28 g di <chem>N2O4</chem> e 3,12 g di <chem>NO2</chem>. Qual è il valore della costante di equilibrio Keq? === Esercizio 3 === Vengono introdotte 3 moli di <chem>COCl2</chem>e 1 mole di <chem>Cl2</chem> . La reazione è la seguente: <chem>COCL2(g)<=> CO(g) + CL2(g)</chem> Determinare il valore della Kp sapendo che, raggiunto l'equilibrio, la pressione totale è 121,7 atm e il numero di moli totali è 4,824. === Esercizio 4: === === Esercizio 5: === === Esercizio 6: === === Esercizio 7: === === Esercizio 8: === === Esercizio 9: === === Esercizio 10: === === Soluzioni degli esercizi: === '''Esercizio 1''': Keq = 9,11 ; [ <chem>CO2</chem>] = 1,91 ·10^-3 mol/l '''Esercizio 2:''' Keq = 0,58 · 10^-2 '''Esercizio 3:''' Kp = 17,43 atm '''Esercizio 4:''' '''Esercizio 5:''' '''Esercizio 6:''' '''Esercizio 7:''' '''Esercizio 8:''' '''Esercizio 9:''' '''Esercizio 10:''' 0i1uza0s5854wdxyqrhhmz5lw47kpos 2 60063 498265 492065 2026-05-23T07:53:58Z AnnaRotras 54220 498265 wikitext text/x-wiki = Esercizi sulle soluzioni e le diverse modalità di esprimerle (M, m, X) = === esercizio 1 === scrivi la definizione di: a) molalità b) molarità c) frazione morale d) percentuale morale === esercizio 2 === Enuncia la differenza tra molarità e molalità? === esercizio 3 === Una soluzione acquosa di solfato di sodio ( Na₂SO₄) ha una concentrazione pari a 0,500 m. Calcola la frazione molare del soluto (Na₂SO₄) nella soluzione? === esercizio 4 === Calcola i grammi di soluto necessari per preparare 500mL di una soluzione di cloruro di bario (BaCl₂) 0,150 M. === esercizio 5 === Calcola i grammi di soluto necessari per preparare ognuna delle seguenti soluzioni: a) 300 mL di KBr (bromuro di potassio) 0,400 M b) 150 mL di C₁₂H₂₂O₁₁ (saccarosio) 0,250 M === esercizio 6 === Calcola la molarità di una soluzione preparata sciogliendo 8,00 g di idrossido di potassio (KOH) in 200,0 mL di soluzione === esercizio 7 === Una soluzione di etanolo, CH₃CH₂OH, in acqua ha concentrazione 1,25 m. Calcola quanti grammi di soluto sono presenti in 100g di solvente. === esercizio 8 === come varia la molalità di una soluzione in funzione della temperatura? come varia invece la molalità? === esercizio 9 === Calcola la molalità di NaCl in una soluzione 3,000 M, la cuidensità è pari a 1,07 g mL ^-1 === esercizio 10 === Una miscela di gas inerti utilizzata in particolari tecniche di saldatura è composta da elio (X_He = 0,750 ) e argon. Calcola le moli di argon se le moli totali della miscela sono 0,340. === esercizio 11 === In 750 mL di vino (d= 0,982 g/mL) sono presenti 93 mL di etanolo (MM =46,05 g/mol ; d= 0,792 g/ mL ). Calcolare la molarità, frazione molare e molalità dell'etanolo nella soluzione. Si consideri il vino formato unicamente da acqua e etanolo. 5orugfzmh35lw9pgmmsyo9p2661zwm1 2 60071 498266 492086 2026-05-23T07:54:14Z MartinaAgostinetto 54227 498266 wikitext text/x-wiki = Esercizi su acidi e basi secondo Arrhenius = === Esercizio 1 === poiuloilouloilioliluoil9oluoilolololololliloiloilthrtroi n2c6gdbo1ayrw7c80mxm9909h9jtzce 0 60172 498258 495473 2026-05-23T07:18:36Z ~2026-30957-95 54401 /* Titolazione acido base */ 498258 wikitext text/x-wiki {{a|28 aprile 2026}} Esempio di fonte su [https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/14-4-hydrolysis-of-salts Openstax] == Idrolisi dei sali e relativo pH == xxxx == Acidi poliprotici == xxxx == Soluzioni tampone == xxxx == Titolazione acido base == xxxx ci8ao kcegzcgkhb35ij96n8ulqwo9q98i68m 498259 498258 2026-05-23T07:18:55Z ~2026-30957-95 54401 /* Titolazione acido base */ 498259 wikitext text/x-wiki {{a|28 aprile 2026}} Esempio di fonte su [https://openstax.org/books/chemistry-2e/pages/14-4-hydrolysis-of-salts Openstax] == Idrolisi dei sali e relativo pH == xxxx == Acidi poliprotici == xxxx == Soluzioni tampone == xxxx == Titolazione acido base == xxxx kc5eb84avvy2solxptt22bvq0qo694k 0 60459 498234 2026-05-22T13:32:07Z Galati Antonello 3277 + nuovo capitolo 498234 wikitext text/x-wiki I '''circuiti sequenziali''' e le '''macchine a stati finiti''', mostrando come un sistema digitale possa produrre uscite che dipendono non solo dagli ingressi correnti, ma anche dallo '''stato interno precedente'''. Nei circuiti sequenziali, il tempo è considerato discreto: lo stato del sistema cambia a intervalli successivi. Per rappresentare la memoria del passato si introduce il '''ritardo unitario''', un dispositivo che riceve un bit a un certo istante e lo restituisce all’istante successivo. Questo permette a un circuito di “ricordare” informazioni precedenti. Un primo esempio è il '''sommatore seriale''', che somma due numeri binari ricevendo una coppia di bit alla volta. Il circuito usa un sommatore full adder e un circuito di ritardo unitario per conservare il '''riporto''' prodotto al passo precedente. In questo modo, a ogni istante vengono sommati i due bit correnti più l’eventuale riporto precedente, producendo il bit di somma e un nuovo riporto. == La macchina a stati finiti == Una '''macchina a stati finiti''' è definita da: * un insieme finito di simboli di input * un insieme finito di simboli di output * un insieme finito di stati * una funzione che determina lo stato successivo * una funzione che determina l’output e uno stato iniziale. Questo modello rappresenta una macchina con una memoria interna limitata. Le macchine a stati finiti possono essere descritte tramite una '''tabella''' oppure tramite un '''diagramma di transizione'''. Nel diagramma, i vertici rappresentano gli stati, mentre gli archi indicano come la macchina cambia stato in base all’input ricevuto. Ogni arco è etichettato con la forma <code>input/output</code>, cioè indica quale simbolo in ingresso causa quella transizione e quale simbolo viene prodotto. == Il circuito Flip-Flop == Il circuito '''flip-flop SR''' che abbiamo già visto a inizio libro un componente fondamentale dei circuiti digitali perché funziona come una memoria a un bit. Il flip-flop SR “ricorda” se l’ultimo valore attivo è stato quello di set oppure quello di reset. Anche questo dispositivo può essere modellato come una macchina a stati finiti con due stati, corrispondenti al fatto che sia stato attivato più recentemente <code>S</code> oppure <code>R</code>. 6hpqmoerayydwreswsq5w1j7dfjz9xt 498235 498234 2026-05-22T13:35:48Z Galati Antonello 3277 /* La macchina a stati finiti */ + aggiunta 498235 wikitext text/x-wiki I '''circuiti sequenziali''' e le '''macchine a stati finiti''', mostrando come un sistema digitale possa produrre uscite che dipendono non solo dagli ingressi correnti, ma anche dallo '''stato interno precedente'''. Nei circuiti sequenziali, il tempo è considerato discreto: lo stato del sistema cambia a intervalli successivi. Per rappresentare la memoria del passato si introduce il '''ritardo unitario''', un dispositivo che riceve un bit a un certo istante e lo restituisce all’istante successivo. Questo permette a un circuito di “ricordare” informazioni precedenti. Un primo esempio è il '''sommatore seriale''', che somma due numeri binari ricevendo una coppia di bit alla volta. Il circuito usa un sommatore full adder e un circuito di ritardo unitario per conservare il '''riporto''' prodotto al passo precedente. In questo modo, a ogni istante vengono sommati i due bit correnti più l’eventuale riporto precedente, producendo il bit di somma e un nuovo riporto. == La macchina a stati finiti == Una '''macchina a stati finiti''' è definita da: * un insieme finito di simboli di input * un insieme finito di simboli di output * un insieme finito di stati * una funzione che determina lo stato successivo * una funzione che determina l’output e uno stato iniziale. Questo modello rappresenta una macchina con una memoria interna limitata. Le macchine a stati finiti possono essere descritte tramite una '''tabella''' oppure tramite un '''diagramma di transizione'''. Nel diagramma, i vertici rappresentano gli stati, mentre gli archi indicano come la macchina cambia stato in base all’input ricevuto. Ogni arco è etichettato con la forma <code>input/output</code>, cioè indica quale simbolo in ingresso causa quella transizione e quale simbolo viene prodotto. Un esempio di tabella di transizione di stato per una macchina '''M''' e del corrispondente diagramma di stato è il seguente: {| | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ '''Tabella di transizione di stato''' ! Stato\Input ! 1 ! 0 |- ! S₁ | S₁ | S₂ |- ! S₂ | S₂ | S₁ |} | &nbsp; | '''Diagramma di stato''' <br /> [[Image:DFAexample.svg|DFAexample.svg]] |} Tutti i possibili input in ingresso alla macchina sono nelle colonne della tabella. Tutti i possibili stati sono nelle righe. È possibile vedere che se la macchina è nello stato '''S₁''' (la prima riga), e l'input successivo è il carattere '''1''', allora la macchina rimarrà nello stato '''S₁'''. Se l'input è un carattere '''0''', la macchina eseguirà una transizione verso lo stato '''S₂''', come può essere visto nella seconda colonna. Nel diagramma, lo stesso comportamento può essere osservato con la freccia diretta da '''S₁''' verso '''S₂''', etichettata con un carattere '''0'''. == Il circuito Flip-Flop == Il circuito '''flip-flop SR''' che abbiamo già visto a inizio libro un componente fondamentale dei circuiti digitali perché funziona come una memoria a un bit. Il flip-flop SR “ricorda” se l’ultimo valore attivo è stato quello di set oppure quello di reset. Anche questo dispositivo può essere modellato come una macchina a stati finiti con due stati, corrispondenti al fatto che sia stato attivato più recentemente <code>S</code> oppure <code>R</code>. kcvkn4890ropjpu6rgavyc8spwbcay1 498236 498235 2026-05-22T13:37:29Z Galati Antonello 3277 + categoria 498236 wikitext text/x-wiki {{Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica}} [[Categoria:Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica |Circuiti sequenziali e macchine a stati finiti]] {{avanzamento|100%}} I '''circuiti sequenziali''' e le '''macchine a stati finiti''', mostrando come un sistema digitale possa produrre uscite che dipendono non solo dagli ingressi correnti, ma anche dallo '''stato interno precedente'''. Nei circuiti sequenziali, il tempo è considerato discreto: lo stato del sistema cambia a intervalli successivi. Per rappresentare la memoria del passato si introduce il '''ritardo unitario''', un dispositivo che riceve un bit a un certo istante e lo restituisce all’istante successivo. Questo permette a un circuito di “ricordare” informazioni precedenti. Un primo esempio è il '''sommatore seriale''', che somma due numeri binari ricevendo una coppia di bit alla volta. Il circuito usa un sommatore full adder e un circuito di ritardo unitario per conservare il '''riporto''' prodotto al passo precedente. In questo modo, a ogni istante vengono sommati i due bit correnti più l’eventuale riporto precedente, producendo il bit di somma e un nuovo riporto. == La macchina a stati finiti == Una '''macchina a stati finiti''' è definita da: * un insieme finito di simboli di input * un insieme finito di simboli di output * un insieme finito di stati * una funzione che determina lo stato successivo * una funzione che determina l’output e uno stato iniziale. Questo modello rappresenta una macchina con una memoria interna limitata. Le macchine a stati finiti possono essere descritte tramite una '''tabella''' oppure tramite un '''diagramma di transizione'''. Nel diagramma, i vertici rappresentano gli stati, mentre gli archi indicano come la macchina cambia stato in base all’input ricevuto. Ogni arco è etichettato con la forma <code>input/output</code>, cioè indica quale simbolo in ingresso causa quella transizione e quale simbolo viene prodotto. Un esempio di tabella di transizione di stato per una macchina '''M''' e del corrispondente diagramma di stato è il seguente: {| | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ '''Tabella di transizione di stato''' ! Stato\Input ! 1 ! 0 |- ! S₁ | S₁ | S₂ |- ! S₂ | S₂ | S₁ |} | &nbsp; | '''Diagramma di stato''' <br /> [[Image:DFAexample.svg|DFAexample.svg]] |} Tutti i possibili input in ingresso alla macchina sono nelle colonne della tabella. Tutti i possibili stati sono nelle righe. È possibile vedere che se la macchina è nello stato '''S₁''' (la prima riga), e l'input successivo è il carattere '''1''', allora la macchina rimarrà nello stato '''S₁'''. Se l'input è un carattere '''0''', la macchina eseguirà una transizione verso lo stato '''S₂''', come può essere visto nella seconda colonna. Nel diagramma, lo stesso comportamento può essere osservato con la freccia diretta da '''S₁''' verso '''S₂''', etichettata con un carattere '''0'''. == Il circuito Flip-Flop == Il circuito '''flip-flop SR''' che abbiamo già visto a inizio libro un componente fondamentale dei circuiti digitali perché funziona come una memoria a un bit. Il flip-flop SR “ricorda” se l’ultimo valore attivo è stato quello di set oppure quello di reset. Anche questo dispositivo può essere modellato come una macchina a stati finiti con due stati, corrispondenti al fatto che sia stato attivato più recentemente <code>S</code> oppure <code>R</code>. aw2nuqqx0fuuwd82nljtslr1l0lfpra 498237 498236 2026-05-22T13:38:07Z Galati Antonello 3277 /* Il circuito Flip-Flop */ ortografia 498237 wikitext text/x-wiki {{Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica}} [[Categoria:Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica |Circuiti sequenziali e macchine a stati finiti]] {{avanzamento|100%}} I '''circuiti sequenziali''' e le '''macchine a stati finiti''', mostrando come un sistema digitale possa produrre uscite che dipendono non solo dagli ingressi correnti, ma anche dallo '''stato interno precedente'''. Nei circuiti sequenziali, il tempo è considerato discreto: lo stato del sistema cambia a intervalli successivi. Per rappresentare la memoria del passato si introduce il '''ritardo unitario''', un dispositivo che riceve un bit a un certo istante e lo restituisce all’istante successivo. Questo permette a un circuito di “ricordare” informazioni precedenti. Un primo esempio è il '''sommatore seriale''', che somma due numeri binari ricevendo una coppia di bit alla volta. Il circuito usa un sommatore full adder e un circuito di ritardo unitario per conservare il '''riporto''' prodotto al passo precedente. In questo modo, a ogni istante vengono sommati i due bit correnti più l’eventuale riporto precedente, producendo il bit di somma e un nuovo riporto. == La macchina a stati finiti == Una '''macchina a stati finiti''' è definita da: * un insieme finito di simboli di input * un insieme finito di simboli di output * un insieme finito di stati * una funzione che determina lo stato successivo * una funzione che determina l’output e uno stato iniziale. Questo modello rappresenta una macchina con una memoria interna limitata. Le macchine a stati finiti possono essere descritte tramite una '''tabella''' oppure tramite un '''diagramma di transizione'''. Nel diagramma, i vertici rappresentano gli stati, mentre gli archi indicano come la macchina cambia stato in base all’input ricevuto. Ogni arco è etichettato con la forma <code>input/output</code>, cioè indica quale simbolo in ingresso causa quella transizione e quale simbolo viene prodotto. Un esempio di tabella di transizione di stato per una macchina '''M''' e del corrispondente diagramma di stato è il seguente: {| | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ '''Tabella di transizione di stato''' ! Stato\Input ! 1 ! 0 |- ! S₁ | S₁ | S₂ |- ! S₂ | S₂ | S₁ |} | &nbsp; | '''Diagramma di stato''' <br /> [[Image:DFAexample.svg|DFAexample.svg]] |} Tutti i possibili input in ingresso alla macchina sono nelle colonne della tabella. Tutti i possibili stati sono nelle righe. È possibile vedere che se la macchina è nello stato '''S₁''' (la prima riga), e l'input successivo è il carattere '''1''', allora la macchina rimarrà nello stato '''S₁'''. Se l'input è un carattere '''0''', la macchina eseguirà una transizione verso lo stato '''S₂''', come può essere visto nella seconda colonna. Nel diagramma, lo stesso comportamento può essere osservato con la freccia diretta da '''S₁''' verso '''S₂''', etichettata con un carattere '''0'''. == Il circuito Flip-Flop == Il circuito '''flip-flop SR''' che abbiamo già visto a inizio libro è un componente fondamentale dei circuiti digitali perché funziona come una memoria a un bit. Il flip-flop SR “ricorda” se l’ultimo valore attivo è stato quello di set oppure quello di reset. Anche questo dispositivo può essere modellato come una macchina a stati finiti con due stati, corrispondenti al fatto che sia stato attivato più recentemente <code>S</code> oppure <code>R</code>. r33n490m1omx27n92b79rvl49k8bnui 0 60460 498244 2026-05-22T15:39:15Z Galati Antonello 3277 + nuovo capitolo 498244 wikitext text/x-wiki L' '''automa a stati finiti''' (''finite-state automata'') è un tipo particolare di macchina a stati finiti usato per riconoscere stringhe e linguaggi. Un '''automa a stati finiti''' è una macchina con un numero finito di stati. A differenza di una macchina a stati finiti generica, il suo output è solo '''0 o 1''': gli stati associati all’output 1 sono detti '''stati accettanti'''. Se, dopo aver letto una stringa, l’automa termina in uno stato accettante, allora la stringa viene '''accettata'''; altrimenti viene '''rifiutata'''. Il capitolo spiega che un automa può essere rappresentato con un '''diagramma di transizione'''. In questi diagrammi: * gli stati sono rappresentati da cerchi; * lo stato iniziale è indicato da una freccia entrante; * gli stati accettanti sono rappresentati con '''doppi cerchi'''; * le frecce indicano come l’automa cambia stato quando legge un simbolo di input. Riprendendo l'esempio del precedente capitolo: {| | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ '''Tabella di transizione di stato''' ! Stato\Input ! 1 ! 0 |- ! S₁ | S₁ | S₂ |- ! S₂ | S₂ | S₁ |} | &nbsp; | '''Diagramma di stato''' <br /> [[Image:DFAexample.svg|DFAexample.svg]] |} * S1 è l'unico stato accettante ed è anche lo stato iniziale. * Se è dato come input 1 lo stato S1 si conserva ed è (accettato) * se allo stato S1 si da input 0 lo stato passa ad S2 (non accettato) * Se allo stato S2 si da input 1 lo stato permane S2 (non accettato) * Se allo stato S2 si da input 0 lo stato passa ad S1 (accettato) * La macchina accetta quindi solo la sequenza 10 Un automa a stati finiti può essere descritto formalmente tramite: * un insieme finito di simboli di input; * un insieme finito di stati; * una funzione che stabilisce il prossimo stato; * un insieme di stati accettanti; * uno stato iniziale. Quando si inserisce una stringa nell’automa, esso parte dallo stato iniziale e legge i simboli uno alla volta. Ogni simbolo determina una transizione verso un nuovo stato. Il percorso seguito dall’automa è detto '''percorso rappresentante la stringa'''. La stringa viene accettata se il percorso termina in uno stato accettante. Un automa a stati finiti può essere visto anche come un '''algoritmo''': dato un input, l’automa decide in modo meccanico se accettarlo o rifiutarlo. Per esempio, un algoritmo può controllare se una stringa contiene un numero dispari di lettere <code>a</code>, aggiornando lo stato ogni volta che incontra quel simbolo. Gli automi sono '''equivalenti''' se accettano esattamente lo stesso insieme di stringhe. In altre parole, anche se hanno diagrammi o numeri di stati diversi, sono equivalenti se riconoscono lo stesso linguaggio. o04g3jpt63ofl0m7igwoexpsz2wu7sc 498246 498244 2026-05-22T16:00:56Z Galati Antonello 3277 + categoria 498246 wikitext text/x-wiki {{Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica}} [[Categoria:Fondamenti di informatica - Laurea triennale Informatica |Automi a stati finiti]] {{avanzamento|100%}} L' '''automa a stati finiti''' (''finite-state automata'') è un tipo particolare di macchina a stati finiti usato per riconoscere stringhe e linguaggi. Un '''automa a stati finiti''' è una macchina con un numero finito di stati. A differenza di una macchina a stati finiti generica, il suo output è solo '''0 o 1''': gli stati associati all’output 1 sono detti '''stati accettanti'''. Se, dopo aver letto una stringa, l’automa termina in uno stato accettante, allora la stringa viene '''accettata'''; altrimenti viene '''rifiutata'''. Il capitolo spiega che un automa può essere rappresentato con un '''diagramma di transizione'''. In questi diagrammi: * gli stati sono rappresentati da cerchi; * lo stato iniziale è indicato da una freccia entrante; * gli stati accettanti sono rappresentati con '''doppi cerchi'''; * le frecce indicano come l’automa cambia stato quando legge un simbolo di input. Riprendendo l'esempio del precedente capitolo: {| | {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ '''Tabella di transizione di stato''' ! Stato\Input ! 1 ! 0 |- ! S₁ | S₁ | S₂ |- ! S₂ | S₂ | S₁ |} | &nbsp; | '''Diagramma di stato''' <br /> [[Image:DFAexample.svg|DFAexample.svg]] |} * S1 è l'unico stato accettante ed è anche lo stato iniziale. * Se è dato come input 1 lo stato S1 si conserva ed è (accettato) * se allo stato S1 si da input 0 lo stato passa ad S2 (non accettato) * Se allo stato S2 si da input 1 lo stato permane S2 (non accettato) * Se allo stato S2 si da input 0 lo stato passa ad S1 (accettato) * La macchina accetta quindi solo la sequenza 10 Un automa a stati finiti può essere descritto formalmente tramite: * un insieme finito di simboli di input; * un insieme finito di stati; * una funzione che stabilisce il prossimo stato; * un insieme di stati accettanti; * uno stato iniziale. Quando si inserisce una stringa nell’automa, esso parte dallo stato iniziale e legge i simboli uno alla volta. Ogni simbolo determina una transizione verso un nuovo stato. Il percorso seguito dall’automa è detto '''percorso rappresentante la stringa'''. La stringa viene accettata se il percorso termina in uno stato accettante. Un automa a stati finiti può essere visto anche come un '''algoritmo''': dato un input, l’automa decide in modo meccanico se accettarlo o rifiutarlo. Per esempio, un algoritmo può controllare se una stringa contiene un numero dispari di lettere <code>a</code>, aggiornando lo stato ogni volta che incontra quel simbolo. Gli automi sono '''equivalenti''' se accettano esattamente lo stesso insieme di stringhe. In altre parole, anche se hanno diagrammi o numeri di stati diversi, sono equivalenti se riconoscono lo stesso linguaggio. k2vz2vpxsa22nin0kdnxsn9afer5p6s 2 60461 498255 2026-05-23T07:10:17Z Emma.borto 54400 Nuova pagina: fbv 498255 wikitext text/x-wiki fbv by9zp7qud08xvetj67efdgz6coc51mk 2 60462 498260 2026-05-23T07:19:23Z Albertobus 54328 Nuova pagina: ciao 498260 wikitext text/x-wiki ciao 3jg24cxb2axj60i4j7s7k06atyt946p 498262 498260 2026-05-23T07:20:27Z Albertobus 54328 poco 498262 wikitext text/x-wiki == ciao == pèloimkjo ge2maslzdop5apvfrouj5p439k3nt5y