Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.4 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 5293 498550 498301 2026-05-28T10:32:08Z Pasquale.Carelli 528 498550 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> L'energia cinetica totale valutata nel sistema di riferimento del centro di massa risulta essere la minima possibile rispetto a quella calcolata in qualsiasi altro sistema di riferimento traslante. Questo principio è formalizzato dal teorema di König. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per l'energia cinetica)| testo= Consideriamo un sistema inerziale fisso e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica totale E_k nel sistema inerziale è data da: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec v'_i + \vec v_{CM})^2</math> Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2 + \frac{1}{2} v_{CM}^2 \sum m_i + \vec v_{CM} \cdot \left(\sum m_i \vec v'_i\right)</math> L'ultimo termine (il doppio prodotto) rappresenta il prodotto scalare tra la velocità del centro di massa e la quantità di moto totale del sistema nel riferimento del centro di massa stesso. Come dimostrato in precedenza, tale quantità di moto è nulla (<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math>), pertanto il terzo termine è nullo. L'espressione si riduce alla forma compatta del primo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> dove <math>E'_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2</math> è l'energia cinetica relativa al centro di massa (detta anche energia cinetica interna) e <math>E_{k,CM} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2</math> (con <math>M = \sum m_i</math>) è l'energia cinetica associata al moto di traslazione dell'intero sistema concentrato nel centro di massa. Isolando l'energia cinetica interna: :<math>E'_k = E_k - E_{k,CM}</math> Poiché la massa totale M e il quadrato della velocità v_{CM}^2 sono quantità intrinsecamente non negative (E_{k,CM} \ge 0), ne consegue che in qualunque altro sistema di riferimento l'energia cinetica sarà sempre maggiore o uguale a quella misurata nel sistema del centro di massa: :<math>E'_k \le E_k</math> come volevasi dimostrare. }} g024pxfcxrapets9ddy0sj5phlp5quq 0 8843 498541 498539 2026-05-27T12:22:58Z Pasquale.Carelli 528 /* Conservazione del momento angolare */ migliorato un poco il testo 498541 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare di un sistema si conserva (rimane costante nel tempo) se il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Una forza esegue un lavoro spostando il suo punto di applicazione. In maniera analoga, se un momento di una forza fa eseguire a un punto materiale che compie una traiettoria circolare uno spostamento angolare portandolo da un angolo ''θ''₁ ad uno ''θ''₂, esegue un lavoro pari a: :<math> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} |\tau|\ \mathrm{d}\theta</math> attorno al centro di rotazione. La cosa appare chiara se il momento della forza che agisce è una coppia di forze, quindi con risultante nulla, e si ha una coppia di punti materiali ruotanti attorno ad un centro comune. Infatti è possibile dimostrare come l'aumento/diminuzione di energia cinetica sia proprio data da tale espressione. La potenza è il lavoro fatto nell'unità di tempo e quindi se il momento della forza agente rimane costante si ha che: :<math> P = \vec \tau \cdot \vec {\omega} \ </math> con una evidente analogia con la potenza di una forza. == Sistema di riferimento del centro di massa == Nella dinamica dei sistemi di punti materiali si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento con le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi si trova nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]]. * Gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale. * E' un sistema di riferimento inerziale solo se la risultante delle forze esterne è nulla. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. Se indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, avremo che per il generico elemento del sistema di punti materiali, la relazione tra le coordinate nel sistema inerziale e quella del centro di massa è data da: :<math>\vec r_i=\vec r'_i+\vec r_{CM}</math> Il pedice CM si riferisce al centro di massa. Ma anche: :<math>\vec v_i=\vec v'_i+\vec v_{CM}</math> Ovviamente <math>\vec r'_{CM}=0</math> e <math>\vec v'_{CM}=0</math> Quindi essendo l'espressione della velocità del centro di massa (l'espressione è valida in qualsiasi sistema di riferimento): :<math>\vec v'_{CM}=\frac {\sum m_i\vec v'_i}{\sum m_i}</math> Di conseguenza: :<math>\sum m_i\vec v'_i=0</math> Quindi la quantità di moto totale è nulla nel sistema di riferimento del centro di massa, anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i\vec v'_i</math> sono in generale diversi da 0. L'energia totale del sistema di riferimento del centro di massa sempre minore rispetto a quella di qualunque altro sistema di riferimento inerziale essendo <math>\vec v'_{CM}=0</math>. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione| testo= Consideriamo un sistema inerziale qualsiasi e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica nel sistema inerziale è dato da: :<math>E_k=\frac 12 \sum m_i(\vec v'_i+\vec v_{CM})^2=\frac 12 \sum m_i{v'_i}^2+\frac 12 v_{CM}^2\sum m_i+\vec v_{CM}\cdot \sum m_i\vec v'_i </math> L'ultimo termine è nullo essendo la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa. Quindi la relazione in forma più compatta è: :<math>E_k=E'_k+E_{kCM}</math> Avendo definito l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa <math>E_{kCM}=\frac 12 v_c^2\sum m_i</math>, . Quindi: :<math>E'_k=E_k-E_{kCM}</math> Essendo <math>E_{kCM}\ge 0</math> si ha che sempre <math>E'_k\le E_k</math> come si voleva dimostrare. }} Per quanto riguarda i momenti delle forze, solo le forze esterne danno un contributo al momento delle forze. Inoltre la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] diviene semplicemente: :<math>\frac{d\vec L'}{dt}=\vec \tau'^{est}</math> == Teoremi di König == Tali teoremi permettono di separare nel moto dei sistemi di particelle la parte del moto che è dovuta al movimento del centro di massa e quella rispetto al sistema di riferimento del centro di massa. La parte del moto dovuta al movimento del centro di massa può essere modificata solo da forze e momenti esterni. Il concetto di sistema di riferimento del centro di massa, in genere non inerziale, viene messo in relazione con un sistema di riferimento inerziale. Il primo di questi teoremi riguarda il momento angolare ed il secondo l'energia cinetica . === Primo teorema di König === Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che il momento angolare di un sistema '''qualsiasi''' è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare del sistema di riferimento del centro di massa. La dimostrazione parte dalla definizione di momento angolare totale di un sistema di punti, che è la somma dei momenti angolari di ogni suo componente: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> Poiché il vettore che descrive la posizione di ogni punto può essere scritto come la somma della posizione del centro di massa e la posizione del punto rispetto al centro di massa: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}</math> ed analogamente: :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i}</math> si ottiene: :<math>\bar L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})</math> Esplicitando la relazione: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \left(\sum\limits_{i} m_{i}\vec r^{\ '}_{i}\right) \times \vec v_{CM} + \vec r_{CM} \times \sum\limits_{i} m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \sum\limits_{i} \vec r_{CM} \times m_{i} \vec v_{CM}</math> Il secondo e il terzo termine sono entrambi nulli per definizione di centro di massa, cioè: :<math> \sum m_{i} \bar r^{\ '}_{i} = 0</math> :<math> \sum m_{i} \bar v^{\ '}_{i} = 0</math> Rimangono solo il primo termine che rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e il quarto che rappresenta il momento angolare del centro di massa: {{Equazione|eq=<math> \bar L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i}+M \vec r_{CM} \times \bar v_{CM}</math>|id=10}} Nel secondo termine al secondo membro la massa è pari a quella totale del sistema. '''Quindi il momento angolare totale di un sistema in un sistema di riferimento inerziale è pari alla somma del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e a quello dovuto al moto del centro di massa.'''. === Secondo teorema di König === Analogamente riprendendo l'espressione della velocità dei singoli punti: :<math>E_k=\sum\limits_{i}\frac 12m_iv_i^2=\sum\limits_{i}\frac 12m_i( \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})^2=\frac 12M v_{CM}^{2}+(\sum\limits_{i}m_i \vec v^{\ '}_{i})\cdot \vec v_{CM}+\sum\limits_{i}\frac 12 m_i {v^{\ '}_{i}}^2</math> Il secondo termine è nullo per cui se definiamo, l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa con: :<math>E_{k,CM}=\frac 12M\vec v_{CM}\!</math> l'energia cinetica dei vari elementi del sistema rispetto al centro di massa con: :<math>E_{k}^{\ '}=\sum\limits_{i}\frac 12m_i\vec {v^{\ '}_{i}}^2 \!</math> Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. == Energia cinetica == Come abbiamo visto in precedenza all'inizio del modulo l'energia cinetica è data dalla somma delle energie cinetiche dei punti costituenti il sistema. Sappiamo però che l'energia cinetica è legata al lavoro tramite la relazione <math>W=\Delta E_k\,\!</math> ma nel caso di più punti materiali il lavoro viene fatto dalle forze esterne ed anche da quelle interne se vi è una variazione delle posizioni reciproche dei corpi e quindi l'espressione generale diventa {{Equazione|eq=<math>W^{est}+W^{int}=\Delta E_k\,\!</math>|id=12}} dove <math>\Delta E_k\,\!</math> è l'energia cinetica totale. Vale anche per il sistema di punti che, nel caso le forze interne e le forze esterne siano conservative si ha una conservazione dell'energia cinetica totale con: :<math>W=\Delta (E_k+E_p)=\Delta E_M= costante\,\!</math>. Anche in questo caso se una delle due risultanti delle esterne od interne non è conservativa il lavoro è espresso dall'espressione: :<math>W_{nc}=\Delta E_m\,\!</math>. ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} r4k4oyu9kwt9p8q971c4az3eee5fr9q 498542 498541 2026-05-27T12:40:35Z Pasquale.Carelli 528 /* Relazione tra momento delle forze, energia e potenza */ migliorata la voce 498542 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare di un sistema si conserva (rimane costante nel tempo) se il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math>, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una [[w:Momento_meccanico#Coppia_di_forze|coppia di forze]] (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al [[w:Teorema_dell%27energia_cinetica|teorema dell'energia cinetica]] (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema: :<math>\Delta E_K = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> La potenza <math>P</math> rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio: :<math>P = \vec \tau \cdot \vec {\omega}</math> Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio (<math>P = \vec F \cdot \vec v</math>). == Sistema di riferimento del centro di massa == Nella dinamica dei sistemi di punti materiali si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento con le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi si trova nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]]. * Gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale. * E' un sistema di riferimento inerziale solo se la risultante delle forze esterne è nulla. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. Se indichiamo con un apice le grandezze relative al sistema di riferimento del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, avremo che per il generico elemento del sistema di punti materiali, la relazione tra le coordinate nel sistema inerziale e quella del centro di massa è data da: :<math>\vec r_i=\vec r'_i+\vec r_{CM}</math> Il pedice CM si riferisce al centro di massa. Ma anche: :<math>\vec v_i=\vec v'_i+\vec v_{CM}</math> Ovviamente <math>\vec r'_{CM}=0</math> e <math>\vec v'_{CM}=0</math> Quindi essendo l'espressione della velocità del centro di massa (l'espressione è valida in qualsiasi sistema di riferimento): :<math>\vec v'_{CM}=\frac {\sum m_i\vec v'_i}{\sum m_i}</math> Di conseguenza: :<math>\sum m_i\vec v'_i=0</math> Quindi la quantità di moto totale è nulla nel sistema di riferimento del centro di massa, anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i\vec v'_i</math> sono in generale diversi da 0. L'energia totale del sistema di riferimento del centro di massa sempre minore rispetto a quella di qualunque altro sistema di riferimento inerziale essendo <math>\vec v'_{CM}=0</math>. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione| testo= Consideriamo un sistema inerziale qualsiasi e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica nel sistema inerziale è dato da: :<math>E_k=\frac 12 \sum m_i(\vec v'_i+\vec v_{CM})^2=\frac 12 \sum m_i{v'_i}^2+\frac 12 v_{CM}^2\sum m_i+\vec v_{CM}\cdot \sum m_i\vec v'_i </math> L'ultimo termine è nullo essendo la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa. Quindi la relazione in forma più compatta è: :<math>E_k=E'_k+E_{kCM}</math> Avendo definito l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa <math>E_{kCM}=\frac 12 v_c^2\sum m_i</math>, . Quindi: :<math>E'_k=E_k-E_{kCM}</math> Essendo <math>E_{kCM}\ge 0</math> si ha che sempre <math>E'_k\le E_k</math> come si voleva dimostrare. }} Per quanto riguarda i momenti delle forze, solo le forze esterne danno un contributo al momento delle forze. Inoltre la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] diviene semplicemente: :<math>\frac{d\vec L'}{dt}=\vec \tau'^{est}</math> == Teoremi di König == Tali teoremi permettono di separare nel moto dei sistemi di particelle la parte del moto che è dovuta al movimento del centro di massa e quella rispetto al sistema di riferimento del centro di massa. La parte del moto dovuta al movimento del centro di massa può essere modificata solo da forze e momenti esterni. Il concetto di sistema di riferimento del centro di massa, in genere non inerziale, viene messo in relazione con un sistema di riferimento inerziale. Il primo di questi teoremi riguarda il momento angolare ed il secondo l'energia cinetica . === Primo teorema di König === Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che il momento angolare di un sistema '''qualsiasi''' è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare del sistema di riferimento del centro di massa. La dimostrazione parte dalla definizione di momento angolare totale di un sistema di punti, che è la somma dei momenti angolari di ogni suo componente: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> Poiché il vettore che descrive la posizione di ogni punto può essere scritto come la somma della posizione del centro di massa e la posizione del punto rispetto al centro di massa: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}</math> ed analogamente: :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i}</math> si ottiene: :<math>\bar L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})</math> Esplicitando la relazione: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \left(\sum\limits_{i} m_{i}\vec r^{\ '}_{i}\right) \times \vec v_{CM} + \vec r_{CM} \times \sum\limits_{i} m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \sum\limits_{i} \vec r_{CM} \times m_{i} \vec v_{CM}</math> Il secondo e il terzo termine sono entrambi nulli per definizione di centro di massa, cioè: :<math> \sum m_{i} \bar r^{\ '}_{i} = 0</math> :<math> \sum m_{i} \bar v^{\ '}_{i} = 0</math> Rimangono solo il primo termine che rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e il quarto che rappresenta il momento angolare del centro di massa: {{Equazione|eq=<math> \bar L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i}+M \vec r_{CM} \times \bar v_{CM}</math>|id=10}} Nel secondo termine al secondo membro la massa è pari a quella totale del sistema. '''Quindi il momento angolare totale di un sistema in un sistema di riferimento inerziale è pari alla somma del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e a quello dovuto al moto del centro di massa.'''. === Secondo teorema di König === Analogamente riprendendo l'espressione della velocità dei singoli punti: :<math>E_k=\sum\limits_{i}\frac 12m_iv_i^2=\sum\limits_{i}\frac 12m_i( \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})^2=\frac 12M v_{CM}^{2}+(\sum\limits_{i}m_i \vec v^{\ '}_{i})\cdot \vec v_{CM}+\sum\limits_{i}\frac 12 m_i {v^{\ '}_{i}}^2</math> Il secondo termine è nullo per cui se definiamo, l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa con: :<math>E_{k,CM}=\frac 12M\vec v_{CM}\!</math> l'energia cinetica dei vari elementi del sistema rispetto al centro di massa con: :<math>E_{k}^{\ '}=\sum\limits_{i}\frac 12m_i\vec {v^{\ '}_{i}}^2 \!</math> Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. == Energia cinetica == Come abbiamo visto in precedenza all'inizio del modulo l'energia cinetica è data dalla somma delle energie cinetiche dei punti costituenti il sistema. Sappiamo però che l'energia cinetica è legata al lavoro tramite la relazione <math>W=\Delta E_k\,\!</math> ma nel caso di più punti materiali il lavoro viene fatto dalle forze esterne ed anche da quelle interne se vi è una variazione delle posizioni reciproche dei corpi e quindi l'espressione generale diventa {{Equazione|eq=<math>W^{est}+W^{int}=\Delta E_k\,\!</math>|id=12}} dove <math>\Delta E_k\,\!</math> è l'energia cinetica totale. Vale anche per il sistema di punti che, nel caso le forze interne e le forze esterne siano conservative si ha una conservazione dell'energia cinetica totale con: :<math>W=\Delta (E_k+E_p)=\Delta E_M= costante\,\!</math>. Anche in questo caso se una delle due risultanti delle esterne od interne non è conservativa il lavoro è espresso dall'espressione: :<math>W_{nc}=\Delta E_m\,\!</math>. ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 97vejnf811dwgwip0ttkf2ex1mctl7g 498543 498542 2026-05-27T13:31:03Z Pasquale.Carelli 528 /* Sistema di riferimento del centro di massa */ migliorato il testo 498543 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare di un sistema si conserva (rimane costante nel tempo) se il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math>, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una [[w:Momento_meccanico#Coppia_di_forze|coppia di forze]] (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al [[w:Teorema_dell%27energia_cinetica|teorema dell'energia cinetica]] (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema: :<math>\Delta E_K = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> La potenza <math>P</math> rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio: :<math>P = \vec \tau \cdot \vec {\omega}</math> Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio (<math>P = \vec F \cdot \vec v</math>). === Sistema di riferimento del centro di massa === Nella dinamica dei sistemi di punti materiali, si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento solidale con il centro di massa e avente le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi coincide in ogni istante con il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]] del sistema. * Gli assi mantengono l'orientazione spaziale sempre parallela a quella di un sistema di riferimento inerziale esterno. * Costituisce un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla (ovvero se il centro di massa non accelera). Il moto di questo sistema di riferimento rispetto a quello inerziale esterno è puramente traslatorio; se l'accelerazione del centro di massa è nulla, tale moto è rettilineo uniforme. Nello studio degli urti, poiché le forze impulsive interne sono di ordini di grandezza superiori rispetto alle forze esterne (che diventano così trascurabili nell'intervallo di tempo dell'impatto), il sistema del centro di massa può essere approssimato a un sistema inerziale per l'intera durata dell'evento. Indicando con un apice (') le grandezze relative al sistema del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, la posizione e la velocità del generico elemento i-esimo del sistema sono legate dalle [[w:Trasformazione_galileiana|trasformazioni di Galileo]]: :<math>\vec r_i = \vec r'_i + \vec r_{CM}</math> :<math>\vec v_i = \vec v'_i + \vec v_{CM}</math> Per definizione, nel proprio sistema di riferimento la posizione e la velocità del centro di massa sono nulle (<math>\vec r'_{CM} = 0</math> e <math>\vec v'_{CM} = 0</math>). Poiché l'espressione generale della velocità del centro di massa (valida in qualunque sistema) è pari a: :<math>\vec v'_{CM} = \frac{\sum m_i \vec v'_i}{\sum m_i} = 0</math> Si deduce immediatamente che: :<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math> Di conseguenza, la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa è sempre nulla (<math>\vec P' = 0</math>), anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i \vec v'_i</math> sono in generale diverse da zero. L'energia cinetica totale valutata nel sistema di riferimento del centro di massa risulta essere la minima possibile rispetto a quella calcolata in qualsiasi altro sistema di riferimento traslante. Questo principio è formalizzato dal teorema di König. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per l'energia cinetica)| testo= Consideriamo un sistema inerziale fisso e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica totale E_k nel sistema inerziale è data da: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec v'_i + \vec v_{CM})^2</math> Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2 + \frac{1}{2} v_{CM}^2 \sum m_i + \vec v_{CM} \cdot \left(\sum m_i \vec v'_i\right)</math> L'ultimo termine (il doppio prodotto) rappresenta il prodotto scalare tra la velocità del centro di massa e la quantità di moto totale del sistema nel riferimento del centro di massa stesso. Come dimostrato in precedenza, tale quantità di moto è nulla (<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math>), pertanto il terzo termine è nullo. L'espressione si riduce alla forma compatta del primo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> dove <math>E'_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2</math> è l'energia cinetica relativa al centro di massa (detta anche energia cinetica interna) e <math>E_{k,CM} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2</math> (con <math>M = \sum m_i</math>) è l'energia cinetica associata al moto di traslazione dell'intero sistema concentrato nel centro di massa. Isolando l'energia cinetica interna: :<math>E'_k = E_k - E_{k,CM}</math> Poiché la massa totale M e il quadrato della velocità v_{CM}^2 sono quantità intrinsecamente non negative (E_{k,CM} \ge 0), ne consegue che in qualunque altro sistema di riferimento l'energia cinetica sarà sempre maggiore o uguale a quella misurata nel sistema del centro di massa: :<math>E'_k \le E_k</math> come volevasi dimostrare. }} Per quanto riguarda la dinamica rotazionale, la scelta del centro di massa come polo offre notevoli vantaggi matematici. Poiché le forze interne si annullano a coppie per il terzo principio della dinamica, solo le forze esterne contribuiscono al momento totale. Inoltre, anche se il sistema del centro di massa fosse non inerziale (cioè accelerato), la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della meccanica]] mantiene inalterata la sua forma standard senza richiedere l'introduzione di momenti delle forze apparenti: :<math>\frac{d\vec L'}{dt} = \vec \tau'^{E}</math> == Teoremi di König == Tali teoremi permettono di separare nel moto dei sistemi di particelle la parte del moto che è dovuta al movimento del centro di massa e quella rispetto al sistema di riferimento del centro di massa. La parte del moto dovuta al movimento del centro di massa può essere modificata solo da forze e momenti esterni. Il concetto di sistema di riferimento del centro di massa, in genere non inerziale, viene messo in relazione con un sistema di riferimento inerziale. Il primo di questi teoremi riguarda il momento angolare ed il secondo l'energia cinetica . === Primo teorema di König === Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che il momento angolare di un sistema '''qualsiasi''' è la somma del momento angolare dovuto al moto del centro di massa e del momento angolare del sistema di riferimento del centro di massa. La dimostrazione parte dalla definizione di momento angolare totale di un sistema di punti, che è la somma dei momenti angolari di ogni suo componente: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> Poiché il vettore che descrive la posizione di ogni punto può essere scritto come la somma della posizione del centro di massa e la posizione del punto rispetto al centro di massa: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}</math> ed analogamente: :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i}</math> si ottiene: :<math>\bar L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r^{\ '}_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})</math> Esplicitando la relazione: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \left(\sum\limits_{i} m_{i}\vec r^{\ '}_{i}\right) \times \vec v_{CM} + \vec r_{CM} \times \sum\limits_{i} m_{i} \vec v^{\ '}_{i} + \sum\limits_{i} \vec r_{CM} \times m_{i} \vec v_{CM}</math> Il secondo e il terzo termine sono entrambi nulli per definizione di centro di massa, cioè: :<math> \sum m_{i} \bar r^{\ '}_{i} = 0</math> :<math> \sum m_{i} \bar v^{\ '}_{i} = 0</math> Rimangono solo il primo termine che rappresenta il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e il quarto che rappresenta il momento angolare del centro di massa: {{Equazione|eq=<math> \bar L = \sum\limits_{i} \vec r^{\ '}_{i} \times m_{i} \vec v^{\ '}_{i}+M \vec r_{CM} \times \bar v_{CM}</math>|id=10}} Nel secondo termine al secondo membro la massa è pari a quella totale del sistema. '''Quindi il momento angolare totale di un sistema in un sistema di riferimento inerziale è pari alla somma del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa e a quello dovuto al moto del centro di massa.'''. === Secondo teorema di König === Analogamente riprendendo l'espressione della velocità dei singoli punti: :<math>E_k=\sum\limits_{i}\frac 12m_iv_i^2=\sum\limits_{i}\frac 12m_i( \vec v_{CM} + \vec v^{\ '}_{i})^2=\frac 12M v_{CM}^{2}+(\sum\limits_{i}m_i \vec v^{\ '}_{i})\cdot \vec v_{CM}+\sum\limits_{i}\frac 12 m_i {v^{\ '}_{i}}^2</math> Il secondo termine è nullo per cui se definiamo, l'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa con: :<math>E_{k,CM}=\frac 12M\vec v_{CM}\!</math> l'energia cinetica dei vari elementi del sistema rispetto al centro di massa con: :<math>E_{k}^{\ '}=\sum\limits_{i}\frac 12m_i\vec {v^{\ '}_{i}}^2 \!</math> Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. == Energia cinetica == Come abbiamo visto in precedenza all'inizio del modulo l'energia cinetica è data dalla somma delle energie cinetiche dei punti costituenti il sistema. Sappiamo però che l'energia cinetica è legata al lavoro tramite la relazione <math>W=\Delta E_k\,\!</math> ma nel caso di più punti materiali il lavoro viene fatto dalle forze esterne ed anche da quelle interne se vi è una variazione delle posizioni reciproche dei corpi e quindi l'espressione generale diventa {{Equazione|eq=<math>W^{est}+W^{int}=\Delta E_k\,\!</math>|id=12}} dove <math>\Delta E_k\,\!</math> è l'energia cinetica totale. Vale anche per il sistema di punti che, nel caso le forze interne e le forze esterne siano conservative si ha una conservazione dell'energia cinetica totale con: :<math>W=\Delta (E_k+E_p)=\Delta E_M= costante\,\!</math>. Anche in questo caso se una delle due risultanti delle esterne od interne non è conservativa il lavoro è espresso dall'espressione: :<math>W_{nc}=\Delta E_m\,\!</math>. ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 2yc0hsfc2a0rzn0gmm4qvlst8h9w955 498551 498543 2026-05-28T10:35:25Z Pasquale.Carelli 528 completato il miglioramento di questo capitolo 498551 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare di un sistema si conserva (rimane costante nel tempo) se il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math>, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una [[w:Momento_meccanico#Coppia_di_forze|coppia di forze]] (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al [[w:Teorema_dell%27energia_cinetica|teorema dell'energia cinetica]] (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema: :<math>\Delta E_K = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> La potenza <math>P</math> rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio: :<math>P = \vec \tau \cdot \vec {\omega}</math> Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio (<math>P = \vec F \cdot \vec v</math>). === Sistema di riferimento del centro di massa === Nella dinamica dei sistemi di punti materiali, si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento solidale con il centro di massa e avente le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi coincide in ogni istante con il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]] del sistema. * Gli assi mantengono l'orientazione spaziale sempre parallela a quella di un sistema di riferimento inerziale esterno. * Costituisce un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla (ovvero se il centro di massa non accelera). Il moto di questo sistema di riferimento rispetto a quello inerziale esterno è puramente traslatorio; se l'accelerazione del centro di massa è nulla, tale moto è rettilineo uniforme. Nello studio degli urti, poiché le forze impulsive interne sono di ordini di grandezza superiori rispetto alle forze esterne (che diventano così trascurabili nell'intervallo di tempo dell'impatto), il sistema del centro di massa può essere approssimato a un sistema inerziale per l'intera durata dell'evento. Indicando con un apice (') le grandezze relative al sistema del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, la posizione e la velocità del generico elemento i-esimo del sistema sono legate dalle [[w:Trasformazione_galileiana|trasformazioni di Galileo]]: :<math>\vec r_i = \vec r'_i + \vec r_{CM}</math> :<math>\vec v_i = \vec v'_i + \vec v_{CM}</math> Per definizione, nel proprio sistema di riferimento la posizione e la velocità del centro di massa sono nulle (<math>\vec r'_{CM} = 0</math> e <math>\vec v'_{CM} = 0</math>). Poiché l'espressione generale della velocità del centro di massa (valida in qualunque sistema) è pari a: :<math>\vec v'_{CM} = \frac{\sum m_i \vec v'_i}{\sum m_i} = 0</math> Si deduce immediatamente che: :<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math> Di conseguenza, la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa è sempre nulla (<math>\vec P' = 0</math>), anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i \vec v'_i</math> sono in generale diverse da zero. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. Per quanto riguarda la dinamica rotazionale, la scelta del centro di massa come polo offre notevoli vantaggi matematici. Poiché le forze interne si annullano a coppie per il terzo principio della dinamica, solo le forze esterne contribuiscono al momento totale. Inoltre, anche se il sistema del centro di massa fosse non inerziale (cioè accelerato), la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della meccanica]] mantiene inalterata la sua forma standard senza richiedere l'introduzione di momenti delle forze apparenti: :<math>\frac{d\vec L'}{dt} = \vec \tau'^{E}</math> == Teoremi di König == teoremi di König permettono di separare, nel moto di un sistema di particelle, la parte dovuta al moto del centro di massa da quella relativa al moto interno rispetto al centro di massa. In particolare: * il primo teorema riguarda il momento angolare; * il secondo teorema riguarda l’energia cinetica. La parte del moto associata al centro di massa può essere modificata soltanto da forze e momenti esterni. ===Primo teorema di König=== Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che: Il momento angolare totale di un sistema è uguale alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare relativo al centro di massa. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per il momento angolare)| testo= Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali è: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> dove:<math>\vec r_i</math> è la posizione della particella <math>i</math>; <math>\vec v_i</math> è la sua velocità;<math>m_i</math> è la sua massa. Scriviamo posizione e velocità di ciascuna particella come somma del contributo del centro di massa e del contributo relativo: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r'_{i}</math> :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v'_{i}</math> Sostituendo: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r'_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v'_{i})</math> Sviluppando: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +\left(\sum_i m_i \vec r'_i\right)\times \vec v_{CM} + \vec r_{CM}\times \left(\sum_i m_i \vec v'_i\right)+\sum_i \vec r_{CM}\times m_i \vec v_{CM}</math> Per definizione di centro di massa: :<math>\sum_i m_i \vec r'_i = 0</math> :<math>\sum_i m_i \vec v'_i = 0</math> quindi il secondo e il terzo termine si annullano. Rimane: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +M \vec r_{CM}\times \vec v_{CM}</math> dove <math>M=\sum_i m_i</math> è la massa totale del sistema. }} Possiamo quindi scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L' + \vec L_{CM}</math>|id=10}} dove: * <math>\vec L'</math> è il momento angolare rispetto al centro di massa; * <math>\vec L_{CM}</math> è il momento angolare dovuto al moto del centro di massa. === Secondo teorema di König === Il secondo teorema di König riguarda l’energia cinetica e afferma che: '''L’energia cinetica totale di un sistema è uguale alla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica relativa al centro di massa.''' Inoltre, l’energia cinetica misurata nel sistema del centro di massa è la minima possibile. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per l'energia cinetica)| testo= Consideriamo un sistema inerziale fisso e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica totale E_k nel sistema inerziale è data da: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec v'_i + \vec v_{CM})^2</math> Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2 + \frac{1}{2} v_{CM}^2 \sum m_i + \vec v_{CM} \cdot \left(\sum m_i \vec v'_i\right)</math> L'ultimo termine (il doppio prodotto) rappresenta il prodotto scalare tra la velocità del centro di massa e la quantità di moto totale del sistema nel riferimento del centro di massa stesso. Come dimostrato in precedenza, tale quantità di moto è nulla (<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math>), pertanto il terzo termine è nullo. L'espressione si riduce alla forma compatta del primo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> dove <math>E'_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2</math> è l'energia cinetica relativa al centro di massa (detta anche energia cinetica interna) e <math>E_{k,CM} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2</math> (con <math>M = \sum m_i</math>) è l'energia cinetica associata al moto di traslazione dell'intero sistema concentrato nel centro di massa. Isolando l'energia cinetica interna: :<math>E'_k = E_k - E_{k,CM}</math> Poiché la massa totale M e il quadrato della velocità v_{CM}^2 sono quantità intrinsecamente non negative (E_{k,CM} \ge 0), ne consegue che in qualunque altro sistema di riferimento l'energia cinetica sarà sempre maggiore o uguale a quella misurata nel sistema del centro di massa: :<math>E'_k \le E_k</math> come volevasi dimostrare. }} Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. ==Teorema dell’energia cinetica== Per un sistema di punti materiali, l’energia cinetica totale è pari alla somma delle energie cinetiche di tutte le particelle che compongono il sistema: :<math>E_k=\sum_i \frac12 m_i v_i^2</math> Nel caso di un singolo punto materiale, il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: :<math>W=\Delta E_k</math> Per un sistema di punti materiali, invece, occorre distinguere tra: * lavoro compiuto dalle forze esterne; * lavoro compiuto dalle forze interne. Le forze interne possono infatti compiere lavoro quando varia la posizione reciproca delle particelle del sistema. Il teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti assume quindi la forma generale: :<math>W^{E}+W^{I}=\Delta E_k</math> dove: * <math>W^{E}</math> è il lavoro delle forze esterne; * <math>W^{I}</math> è il lavoro delle forze interne; * <math>\Delta E_k</math> è la variazione dell’energia cinetica totale del sistema. ====Conservazione dell’energia meccanica==== Se tutte le forze agenti sul sistema, sia interne sia esterne, sono conservative, allora il lavoro totale può essere espresso tramite la variazione dell’energia potenziale. In questo caso l’energia meccanica totale del sistema si conserva: :<math>E_M = E_k + E_p = \text{costante}</math> oppure equivalentemente: :<math>\Delta(E_k+E_p)=0</math> dove: * <math>E_k</math> è l’energia cinetica totale; * <math>E_p</math> è l’energia potenziale totale; * <math>E_M</math> è l’energia meccanica del sistema. ====Presenza di forze non conservative==== Se nel sistema agiscono anche forze non conservative, il loro lavoro produce una variazione dell’energia meccanica: :<math>W_{nc}=\Delta E_M</math> dove: *<math>W_{nc}</math> rappresenta il lavoro delle forze non conservative; * <math>\Delta E_M</math> è la variazione dell’energia meccanica del sistema. In tal caso l’energia meccanica non si conserva, poiché parte dell’energia può trasformarsi, ad esempio, in energia termica o in altre forme di energia interna. ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} pa51y9pll9epxzly3ix5oq4r5h4d8ek 498552 498551 2026-05-28T10:50:31Z Pasquale.Carelli 528 aggiunto riepilogo 498552 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare di un sistema si conserva (rimane costante nel tempo) se il momento delle forze esterne agenti sul sistema è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math>, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una [[w:Momento_meccanico#Coppia_di_forze|coppia di forze]] (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al [[w:Teorema_dell%27energia_cinetica|teorema dell'energia cinetica]] (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema: :<math>\Delta E_K = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> La potenza <math>P</math> rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio: :<math>P = \vec \tau \cdot \vec {\omega}</math> Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio (<math>P = \vec F \cdot \vec v</math>). === Sistema di riferimento del centro di massa === Nella dinamica dei sistemi di punti materiali, si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento solidale con il centro di massa e avente le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi coincide in ogni istante con il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]] del sistema. * Gli assi mantengono l'orientazione spaziale sempre parallela a quella di un sistema di riferimento inerziale esterno. * Costituisce un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla (ovvero se il centro di massa non accelera). Il moto di questo sistema di riferimento rispetto a quello inerziale esterno è puramente traslatorio; se l'accelerazione del centro di massa è nulla, tale moto è rettilineo uniforme. Nello studio degli urti, poiché le forze impulsive interne sono di ordini di grandezza superiori rispetto alle forze esterne (che diventano così trascurabili nell'intervallo di tempo dell'impatto), il sistema del centro di massa può essere approssimato a un sistema inerziale per l'intera durata dell'evento. Indicando con un apice (') le grandezze relative al sistema del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, la posizione e la velocità del generico elemento i-esimo del sistema sono legate dalle [[w:Trasformazione_galileiana|trasformazioni di Galileo]]: :<math>\vec r_i = \vec r'_i + \vec r_{CM}</math> :<math>\vec v_i = \vec v'_i + \vec v_{CM}</math> Per definizione, nel proprio sistema di riferimento la posizione e la velocità del centro di massa sono nulle (<math>\vec r'_{CM} = 0</math> e <math>\vec v'_{CM} = 0</math>). Poiché l'espressione generale della velocità del centro di massa (valida in qualunque sistema) è pari a: :<math>\vec v'_{CM} = \frac{\sum m_i \vec v'_i}{\sum m_i} = 0</math> Si deduce immediatamente che: :<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math> Di conseguenza, la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa è sempre nulla (<math>\vec P' = 0</math>), anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i \vec v'_i</math> sono in generale diverse da zero. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. Per quanto riguarda la dinamica rotazionale, la scelta del centro di massa come polo offre notevoli vantaggi matematici. Poiché le forze interne si annullano a coppie per il terzo principio della dinamica, solo le forze esterne contribuiscono al momento totale. Inoltre, anche se il sistema del centro di massa fosse non inerziale (cioè accelerato), la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della meccanica]] mantiene inalterata la sua forma standard senza richiedere l'introduzione di momenti delle forze apparenti: :<math>\frac{d\vec L'}{dt} = \vec \tau'^{E}</math> == Teoremi di König == teoremi di König permettono di separare, nel moto di un sistema di particelle, la parte dovuta al moto del centro di massa da quella relativa al moto interno rispetto al centro di massa. In particolare: * il primo teorema riguarda il momento angolare; * il secondo teorema riguarda l’energia cinetica. La parte del moto associata al centro di massa può essere modificata soltanto da forze e momenti esterni. ===Primo teorema di König=== Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che: Il momento angolare totale di un sistema è uguale alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare relativo al centro di massa. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per il momento angolare)| testo= Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali è: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> dove:<math>\vec r_i</math> è la posizione della particella <math>i</math>; <math>\vec v_i</math> è la sua velocità;<math>m_i</math> è la sua massa. Scriviamo posizione e velocità di ciascuna particella come somma del contributo del centro di massa e del contributo relativo: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r'_{i}</math> :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v'_{i}</math> Sostituendo: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r'_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v'_{i})</math> Sviluppando: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +\left(\sum_i m_i \vec r'_i\right)\times \vec v_{CM} + \vec r_{CM}\times \left(\sum_i m_i \vec v'_i\right)+\sum_i \vec r_{CM}\times m_i \vec v_{CM}</math> Per definizione di centro di massa: :<math>\sum_i m_i \vec r'_i = 0</math> :<math>\sum_i m_i \vec v'_i = 0</math> quindi il secondo e il terzo termine si annullano. Rimane: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +M \vec r_{CM}\times \vec v_{CM}</math> dove <math>M=\sum_i m_i</math> è la massa totale del sistema. }} Possiamo quindi scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L' + \vec L_{CM}</math>|id=10}} dove: * <math>\vec L'</math> è il momento angolare rispetto al centro di massa; * <math>\vec L_{CM}</math> è il momento angolare dovuto al moto del centro di massa. === Secondo teorema di König === Il secondo teorema di König riguarda l’energia cinetica e afferma che: '''L’energia cinetica totale di un sistema è uguale alla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica relativa al centro di massa.''' Inoltre, l’energia cinetica misurata nel sistema del centro di massa è la minima possibile. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per l'energia cinetica)| testo= Consideriamo un sistema inerziale fisso e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica totale E_k nel sistema inerziale è data da: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec v'_i + \vec v_{CM})^2</math> Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2 + \frac{1}{2} v_{CM}^2 \sum m_i + \vec v_{CM} \cdot \left(\sum m_i \vec v'_i\right)</math> L'ultimo termine (il doppio prodotto) rappresenta il prodotto scalare tra la velocità del centro di massa e la quantità di moto totale del sistema nel riferimento del centro di massa stesso. Come dimostrato in precedenza, tale quantità di moto è nulla (<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math>), pertanto il terzo termine è nullo. L'espressione si riduce alla forma compatta del primo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> dove <math>E'_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2</math> è l'energia cinetica relativa al centro di massa (detta anche energia cinetica interna) e <math>E_{k,CM} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2</math> (con <math>M = \sum m_i</math>) è l'energia cinetica associata al moto di traslazione dell'intero sistema concentrato nel centro di massa. Isolando l'energia cinetica interna: :<math>E'_k = E_k - E_{k,CM}</math> Poiché la massa totale M e il quadrato della velocità v_{CM}^2 sono quantità intrinsecamente non negative (E_{k,CM} \ge 0), ne consegue che in qualunque altro sistema di riferimento l'energia cinetica sarà sempre maggiore o uguale a quella misurata nel sistema del centro di massa: :<math>E'_k \le E_k</math> come volevasi dimostrare. }} Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. ==Teorema dell’energia cinetica== Per un sistema di punti materiali, l’energia cinetica totale è pari alla somma delle energie cinetiche di tutte le particelle che compongono il sistema: :<math>E_k=\sum_i \frac12 m_i v_i^2</math> Nel caso di un singolo punto materiale, il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: :<math>W=\Delta E_k</math> Per un sistema di punti materiali, invece, occorre distinguere tra: * lavoro compiuto dalle forze esterne; * lavoro compiuto dalle forze interne. Le forze interne possono infatti compiere lavoro quando varia la posizione reciproca delle particelle del sistema. Il teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti assume quindi la forma generale: :<math>W^{E}+W^{I}=\Delta E_k</math> dove: * <math>W^{E}</math> è il lavoro delle forze esterne; * <math>W^{I}</math> è il lavoro delle forze interne; * <math>\Delta E_k</math> è la variazione dell’energia cinetica totale del sistema. ====Conservazione dell’energia meccanica==== Se tutte le forze agenti sul sistema, sia interne sia esterne, sono conservative, allora il lavoro totale può essere espresso tramite la variazione dell’energia potenziale. In questo caso l’energia meccanica totale del sistema si conserva: :<math>E_M = E_k + E_p = \text{costante}</math> oppure equivalentemente: :<math>\Delta(E_k+E_p)=0</math> dove: * <math>E_k</math> è l’energia cinetica totale; * <math>E_p</math> è l’energia potenziale totale; * <math>E_M</math> è l’energia meccanica del sistema. ====Presenza di forze non conservative==== Se nel sistema agiscono anche forze non conservative, il loro lavoro produce una variazione dell’energia meccanica: :<math>W_{nc}=\Delta E_M</math> dove: *<math>W_{nc}</math> rappresenta il lavoro delle forze non conservative; * <math>\Delta E_M</math> è la variazione dell’energia meccanica del sistema. In tal caso l’energia meccanica non si conserva, poiché parte dell’energia può trasformarsi, ad esempio, in energia termica o in altre forme di energia interna. ==Riepilogo del capitolo== * Quantità di moto: :<math>\vec P = M \vec v_{CM}</math> * Prima equazione cardinale: :<math>\vec R^{est} = M \vec a_{CM}</math> * Seconda equazione cardinale: :<math>\frac{d\vec L}{dt} = \vec \tau^{est}</math> * Primo teorema di König: :<math>\vec L = \vec L' + \vec L_{CM}</math> * Secondo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> * Teorema dell’energia cinetica: :<math>W^{est}+W^{int}=\Delta E_k</math> ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} eo2ao4n9qvaqnzxzaggfqg2amyz60xb 4 19157 498544 498196 2026-05-27T17:14:24Z MediaWiki message delivery 19950 /* Vota ora alle elezioni U4C del 2026 */ nuova sezione 498544 wikitext text/x-wiki {{Bar|discussioni_in_evidenza=}}{{Nascondi titolo}} <!--'''Ultima modifica''': {{#time:j F Y, H:i|{{REVISIONTIMESTAMP}} }} '''Utente''': {{REVISIONUSER}} --> == Teorema dei rapporti geometrici == Vorrei creare un libro su un teorema: R= proprietà interna i fratto dimensione esterna p. Per saperne di più scrivetemi [[Utente:Diego esposito67|Diego esposito67]] ([[Discussioni utente:Diego esposito67|disc.]]) 21:10, 11 gen 2026 (CET) :@[[Utente:Diego esposito67|Diego esposito67]] Ti ho risposto nella [[Discussioni utente:Diego esposito67|tua talk]]. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:26, 12 gen 2026 (CET) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. 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'''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 22:01, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Wikimedia Hackathon e Wikimania 2026: apertura borse di partecipazione di Wikimedia Italia == Siamo molto lieti di comunicarvi che Wikimedia Italia ha aperto le '''borse per sostenere i costi di partecipazione a [[:mw:Wikimedia Hackathon 2026|Wikimedia Hackathon 2026]] e [[:wmania:2026:Wikimania|Wikimania 2026]]'''. * Per Wikimedia Hackathon, che si terrà a Milano dal 1º al 3 maggio, vengono messe a disposizione 6 borse da 350 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro venerdì 6 febbraio 2026'''. * Per Wikimania, che si terrà a Parigi dal 21 al 25 luglio, vengono messe a disposizione 13 borse da 800 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro domenica 1º marzo 2026'''. Tutte le richieste pervenute saranno poi valutate da due commissioni appositamente costituite e gli esiti verranno comunicati entro l'11 febbraio per il Wikimedia Hackathon ed entro il 25 marzo per Wikimania. I bandi completi si trovano sul wiki di Wikimedia Italia: * Wikimedia Hackathon: [[:wmit:Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026|Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026]] * Wikimania: [[:wmit:Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026|Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026]] All'interno dei bandi si trovano i link ai form da compilare per la richiesta. Siete tutti invitati a partecipare! Per qualsiasi dubbio, non esitate a [https://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:InviaEmail?wpTarget=Dario_Crespi_(WMIT) scrivermi]. Buona giornata, --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 09:55, 28 gen 2026 (CET) == Sondaggio su microgrant e sportello volontari di Wikimedia Italia == Ciao. Nel corso degli ultimi anni [[:it:w:Wikipedia:Wikimedia Italia|Wikimedia Italia]] ha introdotto alcuni strumenti a sostegno delle attività promosse dai volontari dei progetti Wikimedia e OpenStreetMap. In particolare, dal 2017 con il programma '''microgrant''' finanzia progetti fino a 1000 euro, mentre dal 2021 è attivo lo '''sportello volontari''', che finanzia progetti per importi superiori. Vorremmo capire meglio quanto questi strumenti siano conosciuti e come siano percepiti, oltre a individuare possibili miglioramenti per rispondere sempre di più alle esigenze della comunità. Per questo ti chiediamo di dedicarci qualche minuto compilando un breve sondaggio: il tuo punto di vista per noi è davvero prezioso. Le risposte ci aiuteranno a individuare cosa funziona, cosa può essere migliorato e in che modo Wikimedia Italia può offrire un supporto più efficace. Il sondaggio è disponibile a questo link: https://survey.wikimedia.it/index.php/754139 Ti chiediamo per favore di rispondere entro le ore 23.59 di domenica 15 febbraio. Ti ringrazio e rimango a tua disposizione per qualsiasi informazione, [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 16:42, 9 feb 2026 (CET) == Attivazione sportello di supporto legale di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio che Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di supporto legale gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un avvocato in merito a questioni che riguardano la loro attività su Wikipedia e gli altri progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello si articola in due parti: * un documento con "risposte a domande frequenti" che affronta alcune casistiche di carattere generale più ricorrenti (e che potrà essere aggiornata e ampliata in futuro); * la possibilità di richiedere una consulenza legale con un avvocato per chiarimenti sui contenuti del documento o per questioni non trattate nelle FAQ. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello di supporto legale in questa pagina su Wikipedia in italiano: '''[[w:it:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale]]'''. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo di pingarmi) o tramite [[Special:EmailUser/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 17:17, 11 mar 2026 (CET) == <span lang="en" dir="ltr">Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="message"/> Hello everyone, We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''. This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities. The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list). We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. ''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.'' <section end="message"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|discussione]]) 19:22, 19 mar 2026 (CET)</bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Udehb-WMF@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&oldid=30284073 --> == Richiesta inserimento template "Simple Page Navigation" == Salve, vorrei sapere se si può inserire nella Wikibooks italiana il template "Simple Page Navigation" che potete visualizzare qui : https://en.wikibooks.org/wiki/Scientific_Calculations_with_Julia e che serve a navigare tra i moduli di un Wikibook . Grazie [[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] ([[Discussioni utente:Lovepeacejoy404|disc.]]) 15:59, 27 mar 2026 (CET) :@[[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] Ciao, su Wikibooks in italiano abbiamo {{tl|Capitolo}}, che è l'equivalente al template che citi. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:06, 27 mar 2026 (CET) ::Ok, grazie dell'informazione. Saluti [[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] ([[Discussioni utente:Lovepeacejoy404|disc.]]) 16:20, 27 mar 2026 (CET) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|disc.]]) 19:11, 3 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Save the Date: itWikiCon 2026 a Vezia (Lugano) – Vi aspettiamo! == Gli organizzatori sono entusiasti di invitarvi '''all’itWikiCon 2026 che si terrà a [[:w:it:Vezia|Vezia]] ([[:w:it:Lugano|Lugano]])'''! È la prima volta che il convegno annuale della comunità italofona dei progetti Wikimedia si terrà nella Svizzera italiana. Dal '''6 all’8 novembre 2026''' insieme a voi trasformeremo Vezia in un vivace punto d’incontro all’insegna della conoscenza libera, della condivisione e della comunità. La sede del convegno, [https://csvn.ch/ Il Centro Studi Villa Negroni], una struttura nota per aver ospitato persone di spicco della cultura italiana si trova molto vicino a Lugano. Non vediamo l'ora di condividere questo luogo con voi e di partecipare a workshop, discussioni e presentazioni stimolanti. L'organizzazione sta procedendo e nel corso delle prossime settimane, vi terremo aggiornati sui principali sviluppi, inclusi la creazione collaborativa del programma e il bando per le borse di partecipazione. Nelle prossime settimane saranno pubblicate ulteriori informazioni sulla [[:meta:ItWikiCon/2026|pagina principale dell’evento]]. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[:meta:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info(at)itwikicon.org. A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:cassinam|Cassinam]], [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:36, 7 apr 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|disc.]]) 02:57, 26 apr 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == WikiOscar 2026 == Ciao! Anche quest'anno nei '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Scherzi_e_STUBidaggini/Wikioscar/2026 Wikioscar]''' che si tengono su Wikipedia in lingua italiana è presente un [https://it.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Scherzi_e_STUBidaggini/Wikioscar/2026#Wikilibraio premio] per l'utente che ama i libri. Potete votare il vostro utente preferito dal 1° al 7 maggio! [[Utente:Atlante|Atlante]] ([[Discussioni utente:Atlante|disc.]]) 10:42, 1 mag 2026 (CEST) == Attivazione sportello counseling di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio di Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di counseling gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un counselor professionista per affrontare difficoltà relazionali, situazioni di tensione o conflitti legati all’attività sui progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello offre uno spazio sicuro di ascolto e confronto e prevede percorsi individuali gratuiti fino a un massimo di 5 colloqui online per persona. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello counseling in questa pagina: '''[[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Sportello counseling]]'''. Ne approfitto per ricordarvi che è sempre attivo anche lo [[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|sportello di supporto legale gratuito]]. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo cortesemente di pingarmi) o tramite [[Speciale:InviaEmail/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 15:00, 7 mag 2026 (CEST) == Apertura delle pre-iscrizioni itWikiCon 2026 == Come saprete già, dal '''6 all'8 novembre 2026''' a [[w:it:Vezia|Vezia]] ([[w:it:Lugano|Lugano]]) si apriranno le porte della [[w:it:Villa Negroni|Villa Negroni]] per '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]'''. Questo convegno unisce ispirazione, innovazione e scambio di idee in un evento di tre giorni. Le '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' sono disponibili da subito ed è il primo passo per manifestare il vostro interesse a partecipare. Inoltre, in questo modo darete un contributo fondamentale al team organizzativo nella pianificazione logistica dell’evento. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info@itwikicon.org. Non vediamo l'ora di accogliervi a Vezia! A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 08:30, 20 mag 2026 (CEST) == Vota ora alle elezioni U4C del 2026 == <section begin="announcement-content" /> Tutti coloro con diritto di voto sono invitati a partecipare alle elezioni 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comitato di coordinamento del codice universale di condotta]]. Maggiori informazioni, compreso il link al tool per verificare il diritto di voto, le informazioni sulle elezioni, sui candidati e il link per votare si trovano su Meta in questa pagina: [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Elezioni 2026 - informazioni]]. Il voto termina il 2 giugno alle [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Per favore, verifica se la tua utenza ha diritto di voto. I risultati staranno disponibili entro il 14 di giugno di 2026. -- In cooperazione con l'U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:14, 27 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> l7nrrdmwvsicpvqphqdnk7x716k1rvh 0 34638 498546 498521 2026-05-27T17:30:04Z VoceUmana7 51633 498546 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Le disposizioni foniche attualmente presenti in questo libro sono '''5012'''. == Per il lettore == Ciascun organo a canne è uno strumento a sé, con una propria dignità indissolubilmente legata alla sua unicità. Non troveremo mai un organo uguale ad un altro, neppure nei rarissimi casi di strumenti costruiti in serie: avranno sempre qualcosa che li distinguerà fra di loro. Come poter, dunque, descrivere uno strumento unico, in maniera tale che, senza suonarlo o ascoltarlo, sia possibile capire come è fatto? Grazie alla sua disposizione fonica: essa è l'elenco dei registri che compongono lo strumento, riportati in base alla loro appartenenza alle varie "divisioni" (manuale/i ed eventualmente pedale). Pertanto si tratta di un elemento fondamentale, l'unica vera grande ed esaustiva descrizione dello strumento, dal momento che un organo si differenzia da un altro fondamentalmente per i registri che ha. Questo wikilibro si prefigge il compito di racchiudere al suo interno le disposizioni foniche di organi del presente e del passato, raggruppate in base alla loro collocazione all'interno di edifici che, per sviluppi culturali ed esigenze liturgiche, sono per la maggior parte destinati al culto. La presente opera si rivolge, dunque, non solo allo studioso di organaria ed organologia, ma anche al curioso che vuol sapere come è fatto l'organo della chiesa tot, all'appassionato, all'organista che ha l'esigenza di conoscere le caratteristiche di un tal organo, a chiunque, in poche parole, sia interessato all'argomento. == Per il contributore == Chiunque voglia contribuire all'edificazione del presente wikilibro, è il benvenuto, ed è pregato di seguire, per amor di uniformità, lo schema che può vedere nelle pagine già presenti. Sono tuttavia doverose alcune raccomandazioni tecniche. Una volta inserite una o più disposizioni foniche, il contributore è pregato di aggiornare il numero all'inizio di questa pagina. === Dei titoli === I titoli delle singole pagine seguono sempre questo schema: Stato/Regione (o altra divisione amministrativa analoga)/Provincia (o altra divisione amministrativa analoga)/Comune/Località (che può essere anche il comune stesso, comunque si ripete) - Edificio Ad esempio: Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano/Milano - Cattedrale di Santa Maria Nascente Nei nomi delle chiese, si scrive solo: ''Chiesa di...'', oppure ''Santuario di...'', oppure ''Basilica di...'', ''Cattedrale di...'' o ''Cattedrale metropolitana di...'', non ''Basilica Cattedrale Primaziale Metropolitana Santuario Protoecclesia di...''. Sono altresì bandite le abbreviazioni (come ad esempio ''S.'' al posto di ''Santo/Santa/Sacro''). Se in un edificio ci sono più organi, vanno tutti nella stessa pagina. Le singole pagine non sono per organo, ma per edificio. === Delle tabelle riassuntive === Le tabelle riassuntive a inizio pagina, seguono questo schema: * '''Costruttore:''' [nome e] cognome del costruttore/ditta costruttrice con, in caso, tra parentesi e in corsivo, il numero d'opera * '''Anno:''' anno di costruzione (in caso, in nota, data dell'inaugurazione) * '''Restauri/modifiche:''' elenco: nome di chi ha fatto il restauro e, tra parentesi, anno e tipologia di intervento * '''Registri:''' numero dei registri (in caso di registri spezzati, ciascuno vale 1 e non 1/2) * '''Canne:''' numero di canne * '''Trasmissione:''' meccanica/pneumatico-tubolare/elettrica/elettronica/ecc. nel caso di mista, si scrive mista e poi si specifica tra parentesi * '''Consolle:''' tipologia della consolle (a finestra, mobile/fissa indipendente, appoggiata, rivolta, ecc.) e posizione (al centro del coro, al centro della parete anteriore della cassa, su apposita cantoria, ecc.) * '''Tastiere:''' n° di tastiere e di note ed estensione tra parentesi * '''Pedaliera:''' tipologia di pedaliera (a leggio, dritta, concava, concavo-radiale), n° di note ed estensione tra parentesi * '''Collocazione:''' n° dei corpi, posizione dei corpi. Esempio: * '''Costruttore:''' Pinco Pallino (''Opus 100'') * '''Anno:''' 2019-2020 * '''Restauri/modifiche:''' Tizio Caio (2102, restauro conservativo), Sempronio (2156, modifiche e ampliamento) * '''Registri:''' 36 * '''Canne:''' 3.562 * '''Trasmissione:''' mista (meccanica per i manuali e il pedale, elettronica per i registri) * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in due corpi contrapposti, sulla cantoria in controfacciata Nel caso di ottave scavezze: * '''Tastiera:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale Non sono ammesse abbreviazioni, come ad esempio i nomi degli organari. === Delle disposizioni foniche === * I nomi delle divisioni vengono scritti nel seguente modo: '''I - ''Grand'Organo'''''; quello del pedale così: '''Pedale'''; * il nome della seconda o terza tastiera si riporta semplicemente, dopo il numero ordinale romano, come '''''Espressivo''''' e non come Recitativo, essendo un'impropria italianizzazione del francese ''Récit''; * nel caso di aggettivi dopo il nome del manuale, essi sono riportati con la prima lettera minuscola (ad esempio: '''VI - ''Organo antico aperto'''''); * qualora i registri, sulla consolle, siano raggruppati per Concerto e Ripieno (ad esempio come avviene per la maggior parte degli organi ottocenteschi italiani), si segua questo schema ([[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Toscana/Provincia di Siena/Montalcino/Montisi - Chiesa delle Sante Flora e Lucilla|qui un esempio]]) e, nel caso di più manuali, si premetta sempre il numero e il nome (ad esempio: '''I - Organo eco ''Concerto'''''); * all'interno di ogni divisione vi sono due colonne, divise da doppia stanghetta verticale (<code><nowiki>||</nowiki></code>), che rispettivamente, da sinistra a destra, sono: 1) nome del registro con eventualmente indicato il numero di file, 2) altezza del registro in piedi con eventualmente specificata l'appartenenza ai soli Bassi o ai soli Soprani (esempio: <code><nowiki>Ripieno 5 file || 2' Soprani</nowiki></code>); * tutti i nomi registri sono scritti con la prima lettera maiuscola, mentre le parole seguenti devono iniziare con la minuscola (ad esempio: ''Ripieno acuto 5 file'' e '''non''' ''Ripieno Acuto 5 File''), ad eccezione delle disposizioni in tedesco o nelle lingue che richiedono la maiuscola anche per tutti i sostantivi - nel caso non sia possibile reperire l'altezza in piedi delle mutazioni composte, si sposta il numero di file nel campo dell'altezza in piedi (esempio: <code><nowiki>Ripieno || 5 file</nowiki></code>); * le mutazioni sono scritte con il numero intero separato da quello frazionario tramite un punto, così: ''5.1/3<nowiki>'</nowiki>''; qualora l'altezza sia solo frazionaria, si omette lo ''0.'' iniziale, così: ''1/4<nowiki>'</nowiki>'' e '''non''' ''0.1/4<nowiki>'</nowiki>''; * nel caso di mutazioni composte, l'altezza in piedi è riportata solo relativamente alla prima fila, ad eccezione di quelle a due file (per non occupare troppo spazio) - qualora le altezze delle file successive presentino delle anomalie, si inseriscono in nota. * i registri ad ancia sono scritti in rosso quando sono riportati così sulla consolle; * non si inserisce il numero ordinale davanti a ciascun registro; * non si riportano le unioni e gli accoppiamenti, né gli annullatori; * il Tremolo si riporta all'interno di ciascuna divisione; * gli accessori (ad esempio: Uccelliera, Zampogna ecc.) si riportano nel seguente modo prima della disposizione fonica: '''Accessori''': ''Uccelliera''; ''Zampogna''; * non sono ammesse abbreviazioni. Quindi, in poche parole, questa disposizione '''non''' va bene (mettiamo che sulla consolle i registri ad ancia siano scritti '''in nero'''): {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Prima tastiera - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno Acuto 3 File || 0.1/2' |- |Flauto a Camino || 8' |- |Sesquialtera 2 File || 2.2/3'-1.3/5' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' bassi</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' soprani</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Seconda tastiera - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di Gamba || 8' |- |Flauto a Cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.1/3' |- |Pienino 3 File || 1'-0.2/3'-0.1/2' |- |Voce Celeste 2 File || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Bassa</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} Questa, invece, va bene: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno acuto 3 file || 1/2' |- |Flauto a camino || 8' |- |Sesquialtera 2 file || 2.2/3'-1.3/5' |- |Tromba || 8' Bassi |- |Tromba || 8' Soprani |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di gamba || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Pienino 3 file || 1' |- |Voce celeste 2 file || 8' |- |Tromba armonica || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |Trombone || 16' |- |Tromba bassa || 8' |- |} |} == Libri correlati == * {{libro|Organo a canne}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne| ]] [[Categoria:Musica]] [[Categoria:Dewey 786]] {{alfabetico|D}} {{Avanzamento|0%|9 giugno 2020}} qt9m9z02zf9xu5rurycd220i6a5pyxr 0 59253 498548 498419 2026-05-28T07:57:25Z AGeremia 10319 /* Soluzioni agli esercizi */ 498548 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi su alcheni: struttura e ibridazione == === Struttura degli alcheni === ==== Esercizio 1 ==== Sebbene ci sia solo un alchene con la formula C₂H₄ (etene) e uno solo con la formula C₃H6 (propene), esistono diversi alcheni con la formula C₄H₈ (butene). Disegna tutte le possibili strutture lineari per alcheni con la formula C₄H₈, compresi tutti i possibili strutturali e stereoisomeri. ---- ==== Esercizio 2 ==== Un alchene ha formula molecolare C₅H₁₀. * Disegna tutte le sue possibili strutture lineari; * Per ciascuna di esse indica il nome IUPAC corretto; * Specifica in quale posizione si trova il doppio legame in ogni struttura. ---- ==== Esercizio 3 ==== Un alchene contiene 6 atomi di carbonio e il doppio legame tra il carbonio 2 e il carbonio 3. * Scrivi tutte le possibili strutture ramificate compatibili con queste informazioni; * Assegna il nome IUPAC corretto a ciascuna. ---- ==== Esercizio 4 ==== Disegna la struttura di Lewis (indicando anche la formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₅H₁₀ che: * abbiano una sola ramificazione; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascuno indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. ---- ==== Esercizio 5 ==== Considera il composto seguente: CH3-CH2-C(CH3)=CH-CH3 * Individua la catena principale; * Numera correttamente gli atomi di carbonio; * Scrivi il nome IUPAC; * Indica quanti legami σ e π sono presenti nella molecola. ---- ==== Esercizio 6 ==== Considera i seguenti composti: a) 2-metilciclopentene''';''' b) 2-metil-''cis''-3-pentene; c) trans-1-butene. Per ognuno di essi: * spiega perchè non è corretto il nome IUPAC indicato; * correggilo; * disegna la sua struttura lineare corretta. ---- ==== Esercizio 7 ==== Disegna la struttura di Lewis (con formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₆H₁₂ che: * abbiano una sola ramificazione metilica; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascun composto indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. ---- ==== Esercizio 8 ==== Disegna due cicloalcheni che abbiano gli stessi sostituenti ma in posizioni diverse, poi nominali. ---- ==== Esercizio 9 ==== Una molecola ha formula C₄H₆, è un cicloalchene e contiene due atomi di bromo. Disegna tutte le possibili varianti della molecola e dai un nome a ciascuna. ---- ==== Esercizio 10 ==== Disegna la struttura di Lewis (con formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₇H₁₄ che: * abbiano una sola ramificazione etilica; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascun composto indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. === Ibridazione degli alcheni === ==== Esercizio 11 ==== Per ciascun composto, indica quali carboni sono ibridati sp²: a) 1-butene b) 2-butene c) 2-metil-1,3-butadiene ---- ==== Esercizio 12 ==== Spiega perché nei doppi legami non esiste rotazione libera e fai un esempio di alchene in cui evidenzi gli orbitali ibridi che ne conferiscono la rigidità. ---- ==== Esercizio 13 ==== Disegna le strutture lineari dei seguenti alcheni e confrontali: * 1-butene * 2-butene Quale tra i due ha maggiore rigidità conformazionale? Perché? ---- ==== Esercizio 14 ==== Ordina per rigidità crescente i seguenti alcheni, motivando ogni molecola: * etene * propene * 2-butene * butano ---- ===== Esercizio 15 ===== Quanti legami σ e π sono presenti nel 2-metil-2-butene? Come sono ibridati i suoi atomi di carbonio? Disegna la sua struttura lineare. ---- ==== Esercizio 16 ==== Confronta i seguenti composti: * cicloesene * etene * 1,3-butadiene In quale caso la rigidità è massima e perché? ---- ==== Esercizio 17 ==== Un alchene ha struttura generale R-CH=CH-R’, dove R e R’ sono gruppi sostituenti voluminosi. Sulla base di queste informazioni, rispondi alle seguenti domande: * perché la rotazione è impedita? * cosa succede se si tenta di ruotare il doppio legame? * che tipo di tensione strutturale si genera? ---- ==== Esercizio 18 ==== Confronta i seguenti alcheni: * etene * cloroetene * 1,2-dicloroetene Indica quale molecola presenta maggiore rigidità e maggiore ingombro sterico. ---- ==== Esercizio 19 ==== Quanti legami σ e π sono presenti nel 3-clorocicloesene? Come sono ibridati i suoi atomi? Disegna la sua struttura lineare. ---- ==== Esercizio 20 ==== Confronta e ordina secondo la rigidità e l'ingombro sterico crescenti i seguenti alcheni: * cloroetene * brometene * 1,2-dibromoetene * cicloesene Motiva dettagliatamente la risposta considerando: * presenza del doppio legame; * sostituenti alogeni; * struttura ciclica; * limitazioni conformazionali. == Esercizi sulla nomenclatura degli alcheni == === Dalla formula al nome === ''Assegna un nome ai seguenti alcheni, avendo la loro formula razionale (ricorda che le parentesi indicano la presenza di una ramificazione!):'' ==== Esercizio 21 ==== Cl-CH=CH-Cl ---- ==== Esercizio 22 ==== CH₃–CH₂–C(CH₃)=CH–CH₂–CH₃ ---- ==== Esercizio 23 ==== CH₃–C(CH₃)=CH–CH₃ ---- ==== Esercizio 24 ==== CH₂=CH–CH(CH₃)–CH₂–CH(CH₃)–CH₃ ---- ==== Esercizio 25 ==== CH₃–CH=CH–CH(CH₃)–CH₂–CH₃ === Dal disegno al nome === ''Assegna un nome ai seguenti alcheni e cicloalcheni, avendo la loro struttura lineare:'' ==== Esercizio 26 ==== [[File:Dialchene.png|centro|senza_cornice|251x251px]] ---- ==== Esercizio 27 ==== [[File:Alchene iupac.png|centro|senza_cornice|273x273px]] ---- ==== Esercizio 28 ==== [[File:Alchene con fluoro.png|centro|senza_cornice|230x230px]] ---- ==== Esercizio 29 ==== [[File:Alchene scheletro.png|centro|senza_cornice|253x253px]] ---- ==== Esercizio 30 ==== [[File:Alchene con iodio.png|centro|senza_cornice|237x237px]] ---- ==== Esercizio 31 ==== [[File:Alchene.png|centro|senza_cornice|172x172px]] ---- ==== Esercizio 32 ==== [[File:Ciclopropilalchene.png|centro|senza_cornice|232x232px]] ---- ==== Esercizio 33 ==== [[File:Cicloesene.png|centro|senza_cornice|144x144px]] ---- ==== Esercizio 34 ==== [[File:Cicloesene con altro ciclo.png|centro|senza_cornice|176x176px]] ---- ==== Esercizio 35 ==== [[File:Cicloottene.png|centro|senza_cornice|205x205px]] === Dal nome al disegno === ''Disegna la struttura lineare dei seguenti alcheni, partendo dal loro nome secondo la nomenclatura IUPAC:'' ==== Esercizio 36 ==== 2,3-dimetil-2-pentene ---- ==== Esercizio 37 ==== (E)-3,5-dimetil-2-esene ---- ==== Esercizio 38 ==== 3,3,3-tricloropropene ---- ==== Esercizio 39 ==== 3-ciclopentil-1-pentene ---- ==== Esercizio 40 ==== 3-etenil-1,3,4,6-ettatetraene == Esercizi sulla isomeria degli alcheni e stabilità == '''41 - Il but-2-ene può esistere come due isomeri. Quali sono?''' '''42 - Nel cis-2-butene, i gruppi CH₃ sono:''' a) opposti b) dallo stesso lato '''43 - Disegna tutti gli isomeri geometrici possibili del 2-pentene e assegna il nome corretto a ciascuno.''' '''44''' '''- Completa:''' Un doppio legame può dare isomeria geometrica solo se ciascun carbonio del doppio legame è legato a ____________________. Poi verifica la regola sui seguenti composti: a) CH₂=CH₂ b) CH₃CH=CHCl c) CH₂=CBrCl '''45 -''' Osserva il composto CH₃CH=CHCH₂CH₃ e disegna: * l’isomero cis * l’isomero trans '''46 - Disegna tutte le configurazioni geometriche possibili di:''' CH₃CH=CHBr 1-bormo-1-propene '''47 - Indica se esiste isomeria geometrica e indica eventuali isomeri:''' CH₃–CH=CH–CH₃ '''48 - Quale è più stabile?''' a) cis-2-butene b) trans-2-butene '''49 - Perché l’isomero cis è meno stabile?''' '''50 - Quale è più stabile?''' a) 1-butene b) 2-butene '''51 - Ordina per stabilità crescente: etene, propene, 2-butene''' '''52 - Perché più sostituenti aumentano la stabilità?''' '''53 - Osserva il seguente alchene:''' (CH₃)₂C=C(CH₃)₂ 2,3-dimetilbut-2-ene. Rispondi: * può avere isomeria geometrica? * quanti sostituenti alchilici possiede? * è relativamente stabile o instabile? * quale fattore ne aumenta la stabilità? '''54 - Tra cis-2-butene e trans-2-butene, quale ha ΔH di idrogenazione maggiore?''' '''55 - Indica se le seguenti coppie rappresentano la stessa molecola oppure isomeri geometrici:''' a) due configurazioni del 1,2-dicloroetano b) cis-1,2-dicloroetene e trans-1,2-dicloroetene '''56 - Ordina i seguenti alcheni dal meno stabile al più stabile:''' * etene * propene * 2-metilpropene * 2,3-dimetil-2-butene '''57 - Considera i seguenti alcheni, ordinali dal meno stabile al più stabile:''' * cis-2-butene * trans-2-butene * 2-metilpropene '''58 - Per ciascun composto indica: se può esistere come isomero geometrico, quanti isomeri geometrici possiede, il nome degli eventuali isomeri''' a) CH₃CH=CHCH₃ b) CH₂=CHCH₃ c) CH₃CH=C(CH₃)₂ d) CHBr=CHCl e) CH₃CH=CHCl '''59 - Disegna tutte le possibili forme geometriche del composto:''' CH₃CH=CHCl e assegna correttamente i nomi cis/trans. '''60 - Per ciascuna coppia indica se rappresenta: la stessa molecola, isomeri geometrici, isomeri strutturali''' a) CH₃CH=CHCH₃ e CH₃CH=CHCH₃ (ruotato) b) cis-2-butene e trans-2-butene c) CH₂=CHCH₂CH₃ e CH₃CH=CHCH₃ == 6 - Esercizi sulle reazioni di addizione elettrofila e regola di Markovnikov == '''61 -''' Scrivi il prodotto principale della reazione tra propene e HBr. Indica anche quale carbonio riceve H e quale riceve Br secondo la regola di Markovnikov. '''62 -''' Disegna il prodotto dell’addizione elettrofila di HCl al but-2-ene e indica se si forma un solo prodotto o una miscela di isomeri. '''63 -''' Il 2-metilpropene reagisce con HBr. Scrivi: a) il carbocatione intermedio b) il prodotto finale '''64 -''' Completa la seguente reazione seguendo la regola di Markovnikov: CH2=CH-CH2-CH3 + HCl → ? '''65 -''' Tra etene, propene e 2-metilpropene, quale reagisce più velocemente con HBr? Ordinali in velocità crescente e spiega il motivo. '''66 -''' Disegna il meccanismo completo dell’addizione di HBr al propene, mostrando: a) attacco elettrofilo b) formazione del carbocatione c) attacco nucleofilo. '''67 -''' Determina il prodotto principale della reazione tra 1-metilcicloesene e HCl. '''68 -''' Un alchene A reagisce con HBr producendo esclusivamente 2-bromobutano. Qual è la struttura più probabile dell’alchene A? '''69 -''' Scrivi la legge cinetica dell’addizione elettrofila degli alcheni con HX e determina l’ordine totale della reazione. '''70 -''' Confronta la velocità delle reazioni seguenti e spiega usando la stabilità dei carbocationi: a) etene + HBr b) propene + HBr c) 2-metilpropene + HBr '''71 -''' Disegna tutti i possibili prodotti dell’addizione di HBr al but-1-ene e indica quale sarà il principale. '''72 -''' '''L’alchene CH3-CH=CH-CH2-CH3 reagisce con HCl.''' a) Scrivi i possibili prodotti b) individua il prodotto principale c) spiega la regioselettività. '''73 -''' Spiega perché HF reagisce molto più lentamente degli altri acidi alogenidrici nelle addizioni elettrofile agli alcheni. '''74 -''' '''Disegna il diagramma energetico qualitativo dell’addizione elettrofila di HBr a un alchene indicando:''' a) stati di transizione b) carbocatione intermedio c) stadio determinante della velocità. '''75 -''' '''Il propene reagisce con HI.''' a) Scrivi il prodotto principale b) indica il carbocatione formato c) spiega perché la reazione è regiospecifica. '''76 -''' '''Prevedi il prodotto della reazione:''' (CH3)2C=CH2 + HCl → ? '''Indica anche il nome IUPAC del prodotto.''' '''77 -''' Un alchene sconosciuto reagisce con HBr formando principalmente un bromuro terziario. Quale caratteristica strutturale deve avere l’alchene di partenza? '''78 -''' Disegna il meccanismo dell’addizione di HCl al 2-metilpropene e spiega perché si forma preferenzialmente un carbocatione terziario. '''79 -''' Per ciascuna delle seguenti reazioni indica se la reazione è non regioselettiva, regioselettiva, regiospecifica: # etene + HBr # propene + HBr # but-2-ene + HCl. '''80 -''' '''Un chimico confronta le seguenti reazioni:''' I) CH2=CH2 + HBr II) CH3-CH=CH2 + HBr III) (CH3)2C=CH2 + HBr a) Ordina le reazioni secondo velocità crescente b) indica il carbocatione formato in ogni caso c) spiega quale fattore controlla principalmente la velocità. [[File:Big_red_line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == === Struttura degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 1 ==== Ci sono '''tre possibili isomeri strutturali'''. In particolare, il '''2-butene''' può esistere come '''due stereoisomeri''' differenti.<gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:Isomero strutturale butene.png|isomero strutturale File:Isomero 2 strutturale butene.png|isomero strutturale (e '''stereoisomero''' 2-butene) File:Stereoisomero 2-butene.png|'''stereoisomero''' 2-butene File:Isomero 3 strutturale butene.png|isomero strutturale </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 2 ==== Le strutture lineari possibili del pentene sono '''tre''', considerando che il '''2-pentene''' si può presentare come '''due stereoisomeri''' diversi.<gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:1-pentene.svg|1-pentene File:2-pentene.png|2-pentene File:Cis-2-pentene.svg|cis-2-pentene File:Trans-2-pentene.svg|trans-2-pentene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 3 ==== <gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:4-metil-2-pentene.png|4-metil-2-pentene File:3-metil-2-pentene.png|3-metil-2-pentene File:2-metil-2-pentene.png|2-metil-2-pentene File:2,3-dimetil-2-butene.png|2,3-dimetil-2-butene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 4 ==== Esistono '''due''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:2-metil-but-1-ene.png|senza_cornice|225x225px]] * Formula condensata: CH2=C(CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''''2-metil-1-butene''''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → terziario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:3-metil-but-1-ene.png|senza_cornice|208x208px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH3)-CH3 * Nome IUPAC: '''''3-metil-1-butene''''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3'''→ terziario; '''C4''' → primario; '''C del metile''' → primario ---- ==== Soluzione esercizio 5 ==== CH3-CH2-C(CH3)=CH-CH3 * '''Catena principale:''' 5 atomi di carbonio (con un doppio legame) → '''pentene''' * '''Numerazione corretta:''' si numera dal carbonio terminale a '''destra''' per dare il numero minore al doppio legame (2). * '''Nome IUPAC:''' ''3-metil-2-pentene'' * '''Legami presenti:''' legame π → '''uno''' sul C2; legami σ → '''17''' ---- ==== Soluzione esercizio 6 ==== '''a)''' Nella nomenclatura dei cicloalcheni, il '''doppio legame''' deve sempre occupare le posizioni '''1 e 2'''. In questo caso, <u>il nome 2-metil-ciclopentene non specifica la posizione del doppio legame</u>, assumendo erroneamente che il metile sia sul C2 senza definire il C1. [[File:1-metil-ciclopentene.png|senza_cornice|149x149px]]Nome IUPAC corretto: '''1-metilciclopentene''' b) Per la regola di priorità in nomenclatura, la '''numerazione''' deve partire '''dall'estremità più vicina al doppio legame''' per dargli il '''numero più basso possibile'''. Inoltre, l''''isomeria''' deve essere sempre indicata '''all'inizio del nome''' della molecola. In questo caso, <u>il nome 2-metil-cis-3-pentene implica sia una numerazione errata sia il ''cis'' nel posto sbagliato</u>. [[File:Cis-4-metil-2-pentene.png|senza_cornice|161x161px]]Nome IUPAC corretto: '''cis-4-metil-2-pentene''' c) L'isomeria geometrica '''''cis-trans''''' richiede che '''ciascun carbonio del doppio legame''' '''sia''' '''legato a''' '''due gruppi diversi'''. In questo caso, <u>il nome trans-1-butene indica che l'atomo di carbonio è legato a due atomi di idrogeno identici</u>. [[File:Trans-but-2-ene.png|senza_cornice|178x178px]]Nome IUPAC corretto: '''trans-2-butene''' ---- ==== Soluzione esercizio 7 ==== Esistono '''tre''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:2-metil-1-pentene.png|senza_cornice|206x206px]] * Formula condensata: CH2=C(CH3)-CH2-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''2-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → terziario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:3-metil-1-pentene.png|senza_cornice|195x195px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''3-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → terziario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:4-metil-1-pentene.png|senza_cornice|205x205px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH2-CH(CH3)-CH3 * Nome IUPAC: '''4-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → terziario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario ---- ==== Soluzione esercizio 8 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="120"> File:3,4-dimetil-1-ciclopentene.png|3,4-dimetil-1-ciclopentene File:1,3-dimetil-1-ciclopentene.png|1,3-dimetil-1-ciclopentene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 9 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="120"> File:1,2-dibromo-1-ciclobutene.png|1,2-dibromo-1-ciclobutene File:1,3-dibromo-1-ciclobutene.png|1,3-dibromo-1-ciclobutene File:2,3-dibromo-1-ciclobutene.png|2,3-dibromo-1-ciclobutene File:3,3-dibromo-1-ciclobutene.png|3,3-dibromo-1-ciclobutene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 10 ==== Esistono '''due''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:3-etil-1-esene.png|senza_cornice|207x207px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH2CH3)-CH2-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''3-etil-1-esene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → terziario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → secondario; '''C6''' → primario; '''C1''' '''dell'etile''' → primario; '''C2''' '''dell'etile''' → secondario [[File:4-etil-1-esene.png|senza_cornice|224x224px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH2-CH(CH2CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''4-etil-1-esene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → terziario; '''C5''' → secondario; '''C6''' → primario; '''C1''' '''dell'etile''' → primario; '''C2''' '''dell'etile''' → secondario === Ibridazione degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 11 ==== a) L' ''1-butene'' (CH2=CH–CH2–CH3) presenta due carboni ibridati '''sp²''', che sono quelli coinvolti nel doppio legame, cioè il '''C1''' e il '''C2'''. b) Il ''2-butene'' (CH3–CH=CH–CH3) presenta anche due carboni ibridati '''sp²''', sempre quelli coinvolti nel doppio legame, in questo caso il '''C2''' e il '''C3'''. c) Il ''2-metil-1,3-butadiene'' (CH2=C(CH3)2) presenta '''tutti e quattro i carboni della catena principale''' ibridati '''sp²''', poichè ognuno è coinvolto in uno dei due doppi legami del composto. ---- ==== Soluzione esercizio 12 ==== La rotazione attorno a un doppio legame non è possibile, perché il '''legame C=C''' è caratterizzato da due componenti: un legame sigma e un legame pi greco. Il '''legame sigma''' deriva dalla '''sovrapposizione frontale degli orbitali''' ed è '''stabile alla rotazione''', mentre il '''legame pi''' '''greco''' deriva dalla '''sovrapposizione laterale degli orbitali p''' '''non ibridi'''. Se si provasse a ruotare una delle due parti della molecola, <u>questa</u> <u>sovrapposizione laterale verrebbe distrutta</u> e il <u>legame pi</u> <u>greco si romperebbe</u>. Per questo motivo il doppio legame è rigido e blocca la rotazione. ---- ==== Soluzione esercizio 13 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="110"> File:1-Butene.svg|1-butene File:2-butene.png|2-butene </gallery>Se si confrontano 1-butene e 2-butene, si osserva che entrambi possiedono un doppio legame e quindi una certa rigidità intrinseca. Tuttavia, nell' '''1-butene''' il '''doppio legame''' è '''terminale''' e quindi <u>coinvolge meno gruppi alchilici</u>, mentre nel '''2-butene''' il '''doppio legame''' è '''interno''' e quindi <u>più sostituito</u>. Questo '''aumenta l’ingombro sterico attorno al doppio legame''' e rende la <u>struttura più “bloccata”</u>. Inoltre, i <u>gruppi metilici vicini al doppio legame nel 2-butene donano densità elettronica tramite '''iperconiugazione'''</u>, stabilizzando il legame π. Per questoi motivi il '''2-butene''' risulta '''più rigido''' rispetto all' 1-butene. ---- ==== Soluzione esercizio 14 ==== * '''Butano (CH3-CH2-CH2-CH3)''' ** solo legami singoli C–C ** rotazione libera attorno a tutti i legami sigma ** nessun vincolo strutturale ** '''è la molecola meno rigida''' * '''Etene (CH2=CH2)''' ** presenza di un doppio legame C=C ** atomi di carbonio sp² triangolari planari ** legame π impedisce la rotazione ** rigidità elevata nella zona del doppio legame * '''Propene (CH2=CH–CH3)''' ** un doppio legame C=C (rigido) ** una parte della molecola è flessibile (CH3) ** lieve aumento dell’ingombro rispetto all’etene ** rigidità simile all’etene, ma leggermente inferiore * '''2-butene (CH3–CH=CH–CH3)''' ** doppio legame interno ** entrambi i carboni sp² sostituiti ** forte ingombro sterico ** massima limitazione dei movimenti locali ** '''molecola più rigida del gruppo''' Ordine di rigidità crescente finale: '''''butano < propene < etene < 2-butene''''' ---- ==== Soluzione esercizio 15 ==== [[File:2-metil-but-2-ene.png|senza_cornice|188x188px]]''2-metil-2-butene'' * Legami σ: '''13''' (legami C-C e C-H); * Legami π: '''1''' (il doppio legame tra C2 e C3); * Ibridazione degli atomi di carbonio: '''C1'''→ sp³; '''C2''' → sp²; '''C3''' → sp²; '''C4''' → sp³; '''C del metile''' → sp³ ---- ==== Soluzione esecizio 16 ==== Il '''cicloesene''' è '''estremamente rigido''' perché il <u>doppio legame è inserito in un anello</u>, quindi oltre al vincolo del legame π si aggiunge anche il '''vincolo geometrico''' della struttura ciclica. L’'''etene''' è invece '''rigido solo localmente''', perché <u>non ha altri vincoli strutturali</u> oltre al doppio legame. L' '''1,3-butadiene''' è '''parzialmente rigido''' perché presenta '''coniugazione tra doppi legami''', che riduce la libertà di rotazione ma <u>non la elimina completamente</u>. Tra i tre, quindi, il '''cicloesene''' è quello con '''rigidità complessiva maggiore'''. ---- ==== Soluzione esercizio 17 ==== In una molecola del tipo '''R–CH=CH–R’''' la rotazione attorno al doppio legame non è possibile, perché richiederebbe la '''rottura del legame pi greco'''. Questo avviene poiché <u>il legame π deriva dalla sovrapposizione laterale degli orbitali p</u>, che <u>può esistere solo se questi orbitali restano paralleli</u>. Se si tenta di ruotare la molecola, questa sovrapposizione viene distrutta e '''il sistema perde stabilità energetica'''. Per questo motivo il doppio legame funziona come un '''vincolo rigido''' che impedisce la rotazione e <u>può dare origine a isomeria geometrica E/Z</u>. La rotazione forzata porterebbe a una '''configurazione instabile ad alta energia''', in cui il legame π è praticamente rotto. ---- ==== Soluzione esercizio 18 ==== * L’'''etene''' è la molecola più semplice, contiene un doppio legame tra due carboni sp² e '''non presenta sostituenti ingombranti'''. La rigidità è dovuta esclusivamente al legame π, che impedisce la rotazione attorno al doppio legame. * Nel '''cloroetene''' (CH₂=CHCl), il doppio legame continua a bloccare la rotazione, ma la presenza dell’'''atomo di cloro''' introduce '''maggiore ingombro sterico e maggiore polarità''' rispetto all’etene. La molecola risulta quindi leggermente più rigida e meno simmetrica. * Nell' '''1,2-dicloroetene''' (CHCl=CHCl), entrambi i carboni sp² portano un atomo di cloro. Questo '''aumenta ulteriormente l’ingombro sterico''' attorno al doppio legame e rende la '''struttura ancora più “bloccata”'''. Inoltre, la presenza di due atomi voluminosi accentua la rigidità geometrica della molecola. Di conseguenza la rigidità e l'ingombro sterico crescono secondo questo ordine: '''''etene < cloroetene < 1,2-dicloroetene''''' ---- ==== Soluzione esercizio 19 ==== ''[[File:3-clorocicloesene.png|senza_cornice|171x171px]]3-clorocicloesene'' * Legami σ: '''16''' (legami C-C, C-H e C-Cl); * Legami π: '''1''' (il doppio legame tra C1 e C2). * Ibridazione degli atomi di carbonio e del cloro: '''C1'''→ sp²; '''C2''' → sp²; '''C3''' → sp³; '''C4''' → sp³; '''C5''' → sp³; '''C6''' → sp³; '''Cl →''' sp³ ---- ==== Soluzione esercizio 20 ==== * Il '''cloroetene''' possiede un doppio legame rigido e '''un solo atomo di cloro'''. La rigidità deriva dal legame π, mentre l’ingombro sterico rimane relativamente contenuto. * Nel '''brometene''' il comportamento è simile, ma '''il bromo è più grande del cloro'''. Questo aumenta l’ingombro sterico e rende la molecola più pesante e leggermente più rigida dal punto di vista conformazionale. * Nel '''1,2-dibromoetene''' entrambi i carboni del doppio legame portano un atomo di bromo. L’ingombro sterico diventa molto maggiore, perché '''due atomi voluminosi sono vicini nella zona rigida della molecola'''. Il doppio legame rimane completamente bloccato e la rigidità aumenta notevolmente. * Il '''cicloesene''' presenta invece '''un doppio legame inserito in un anello'''. In questo caso la rigidità non dipende solo dal legame π, ma anche dal <u>vincolo ciclico che limita i movimenti dell’intera struttura</u>. Per questo motivo il cicloesene è la molecola complessivamente più rigida tra quelle considerate. a) L’ordine di rigidità crescente è: '''''cloroetene < brometene < 1,2-dibromoetene < cicloesene.''''' b) L’ordine di ingombro sterico crescente è: '''''cloroetene < brometene < cicloesene < 1,2-dibromoetene.''''' Nel <u>'''1,2-dibromoetene''' l’ingombro è massimo</u> perché <u>i due atomi di bromo sono entrambi direttamente legati ai carboni sp² del doppio legame</u>, creando forte affollamento sterico. === Nomenclatura degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 21 ==== cis-1,2-dicloroetene (o (Z)-1,2-dicloroetene) ---- ==== Soluzione esercizio 22 ==== 3-metiles-3-ene (o 3-metil-3-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 23 ==== 2-metilbut-2-ene (o 2-metil-2-butene) ---- ==== Soluzione esercizio 24 ==== 3,5-dimetiles-1-ene (o 3,5-dimetil-1-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 25 ==== 4-metiles-2-ene (o 4-metil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 26 ==== 4-etil-5-metiletta-2,4-diene (o 4-etil-5-metil-2,4-ettadiene) ---- ==== Soluzione esercizio 27 ==== 2-bromo-8-cloro-5-etilnona-2,5-diene (o 2-bromo-8-cloro-5-etil-2,5-nonadiene) ---- ==== Soluzione esercizio 28 ==== 5,5-difluoro-2-metiles-2-ene (o 5,5-difluoro-2-metil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 29 ==== 1-cloro-ett-3-ene (o 1-cloro-3-ettene) ---- ==== Soluzione esercizio 30 ==== trans-4,5-dimetil-6-iodio-3-secbutil-es-2-ene (o (E)-4,5-dimetil-6-iodio-3-secbutil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 31 ==== 3-prop-2-en-1-ilcicloes-1-ene (o 3-allilciclo-1-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 32 ==== 1-ciclopropil-4-metilpent-2-ene (o 1-ciclopropil-4-metil-2-pentene) ---- ==== Soluzione esercizio 33 ==== 3-etil-2-metil-cicloes-1-ene (o 3-etil-2-metil-1-cicloesene) ---- ==== Soluzione esercizio 34 ==== 1-etil-2-isopropil-cicloesene ---- ==== Soluzione esercizio 35 ==== 5,5-dicloro-2-vinil-cicloottatri-1,3,6-ene (o 5,5-dicloro-2-vinil-1,3,6-cicloottatriene) ---- ==== Soluzione esercizio 36 ==== [[File:Alchene di.png|sinistra|senza_cornice|195x195px]] ==== Soluzione esercizio 37 ==== [[File:(E)-3,5-dimetil-2-esene.png|sinistra|senza_cornice|214x214px]] ==== Soluzione esercizio 38 ==== [[File:Tricloropropene.png|sinistra|senza_cornice|182x182px]] ==== Soluzione esercizio 39 ==== [[File:3-ciclopentil-1-pentene.png|sinistra|senza_cornice|152x152px]] ==== Soluzione esercizio 40 ==== [[File:Alchene con etenile.png|sinistra|senza_cornice|250x250px]] === Soluzioni isomeria degli alcheni e stabilità === '''41 -''' cis-but-2-ene, trans-but-2-ene '''42 -''' b) dallo stesso lato [[File:Alchene 2-butene.png|103x103px]] '''43 -''' cis-2-pentene [[File:Alchene cis-2-pentene.png|114x114px]] trans-2-pentene [[File:Alchene trans-2-pentene.png|119x119px]] '''44 -''' 'due gruppi diversi' a) H2C = CH2 Nessuna isomeria geometrica. b) CH3-CH = CH-Cl Isomeria geometrica possibile. c) H2C = C(Br)Cl Nessuna isomeria geometrica. '''45 -''' cis-2-pentene [[File:Alchene cis-2-pentene.png|114x114px]] trans-2-pentene [[File:Alchene trans-2-pentene.png|119x119px]] '''46 -''' cis-1-bromo-1-propene [[File:Cis-1-bromo-1-propene.png|116x116px]] trans-1-bromo-1-propene [[File:Trans-1-bromo-1-propene.png|122x122px]] '''47 -''' Sì. cis-2-butene, trans-2-butene '''48 -''' trans-2-butene (minore tensione sterica) '''49 -''' L’isomero cis è meno stabile perché i gruppi ingombranti sono dallo stesso lato del doppio legame e si respingono, causando tensione sterica. '''50 -''' 2-butene (più sostituito e più stabile) '''51 -''' etene < propene < 2-butene '''52 -''' iperconiugazione e maggiore numero di legami sp²–sp³ '''53 -''' No isomeria geometrica, 4 sostituenti alchilici, molto stabile perchè è presente forte iperconiugazione e presenta molti sostituenti alchilici. [[File:2,3-dimetilbut-2-ene.png|101x101px]]      '''54 -''' cis-2-butene ha ΔH di idrogenazione maggiore '''55 -''' a) Stessa molecola b) Isomeri geometrici '''56 -''' etene < propene < 2-metilpropene < 2,3-dimetil-2-butene '''57 -''' cis-2-butene < trans-2-butene < 2-metilpropene '''58 -''' a) CH₃CH=CHCH₃ Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-2-butene e trans-2-butene b) CH₂=CHCH₃ Nessuna isomeria geometrica c) CH₃CH=C(CH₃)₂ Nessuna isomeria geometrica d) CHBr=CHCl Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-1-bromo-1-cloroetene e trans-1-bromo-1-cloroetene e) CH₃CH=CHCl Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-1-cloropropene e trans-1-cloropropene '''59 -''' cis [[File:Cis-1-cloropropene.png|95x95px]] trans [[File:Tran-1-cloropropene.png|94x94px]] '''60 -''' a) Stessa molecola b) Isomeri geometrici c) Isomeri strutturali === 6 — Soluzioni addizione elettrofila e regola di Markovnikov === '''61 -''' Il prodotto principale è 2-bromopropano. L’H si lega al carbonio meno sostituito del doppio legame e il Br al carbonio più sostituito secondo Markovnikov. '''62 -''' Il prodotto è 2-clorobutano. Poiché il but-2-ene è simmetrico, si ottiene un solo prodotto costituzionale. '''63 -''' a) Carbocatione terziario: (CH3)3C+ [[File:Carbocatione terziario.png|86x86px]] b) 2-bromo-2-metilpropano [[File:2-bromo-2-metilpropano.png|84x84px]] '''64 -''' CH2=CH-CH2-CH3 + HCl → CH3-CHCl-CH2-CH3, Prodotto: 2-clorobutano. '''65 -''' Velocità crescente: etene < propene < 2-metilpropene. Maggiore sostituzione alchilica → carbocatione più stabile → reazione più veloce. '''66 -''' Fase 1: il doppio legame attacca H dell’HBr rompendo il legame H-Br. CH2=CH-CH3 + H-Br Fase 2: si forma il carbocatione secondario sul carbonio centrale. CH3-CH+-CH3 Fase 3: Br− attacca il carbocatione formando 2-bromopropano. [[File:Reazione 2-bromopropano.png|113x113px]] '''67 -''' Il prodotto principale è 1-cloro-1-metilcicloesano. [[File:1-cloro-1-metilcicloesano.png|81x81px]] '''68 -''' L’alchene è probabilmente but-1-ene. '''69 -''' Legge cinetica: velocità = k[Alchene][HX] Ordine totale = 2. '''70 -''' Velocità crescente: etene < propene < 2-metilpropene. I carbocationi formati sono rispettivamente primario/non sostituito, secondario e terziario. I più stabili si formano più facilmente. '''71 -''' Possibili prodotti: 1-bromobutano CH2Br-CH2-CH2-CH3, 2-bromobutano CH3-CHBr-CH2-CH3. Prodotto principale: 2-bromobutano secondo Markovnikov. '''72 -''' a) Possibili prodotti: 2-cloropentano CH3-CHCl-CH2-CH2-CH3 e 3-cloropentano CH3-CH2-CHCl-CH2-CH3 b) Principale: 3-cloropentano c) Si forma il carbocatione più stabile. '''73 -''' HF reagisce più lentamente perché il legame H-F è molto forte e difficile da rompere. '''74 -''' Il diagramma mostra due picchi energetici separati da una valle. [[File:Diagramma energetico.png|151x151px]] Primo picco = formazione del carbocatione, Valle = carbocatione intermedio, Secondo picco = attacco dell’alogenuro. Il primo stadio è quello determinante della velocità. '''75 -''' a) 2-iodopropano CH3-CHI-CH3 b) Carbocatione secondario sul carbonio centrale CH3-CH(+)-CH3 c) Si forma un unico prodotto perché il carbocatione più stabile è favorito. '''76 -''' Prodotto: (CH3)3CCl, 2-cloro-2-metilpropano. [[File:2-cloro-2-metilpropano.png|91x91px]] '''77 -''' Deve poter formare un carbocatione terziario stabile durante il meccanismo. '''78 -''' Il doppio legame attacca HCl formando un carbocatione terziario. Successivamente Cl− attacca il carbocatione. Il carbocatione terziario è favorito perché stabilizzato dai gruppi alchilici. '''79 -''' # etene + HBr → non regioselettiva # propene + HBr → regiospecifica # but-2-ene + HCl → non regioselettiva. '''80 -''' {| class="wikitable" !Tipo di carbocatione !Struttura !Stabilità |- |'''Primario''' |CH3–CH2⁺ |meno stabile |- |'''Secondario''' |CH3–CH⁺–CH3 |intermedio |- |'''Terziario''' |(CH3)3C⁺ |più stabile |} a) Velocità crescente: I < II < III b) I → carbocatione primario/non sostituito II → carbocatione secondario III → carbocatione terziario c) La velocità dipende principalmente dalla stabilità del carbocatione intermedio formato durante il primo stadio della reazione. == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/7-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-7 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche 82bh95ed6sml61eqshuiez27eq5gdix 498549 498548 2026-05-28T08:23:08Z AGeremia 10319 /* Soluzione esercizio 3 */ 498549 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi su alcheni: struttura e ibridazione == === Struttura degli alcheni === ==== Esercizio 1 ==== Sebbene ci sia solo un alchene con la formula C₂H₄ (etene) e uno solo con la formula C₃H6 (propene), esistono diversi alcheni con la formula C₄H₈ (butene). Disegna tutte le possibili strutture lineari per alcheni con la formula C₄H₈, compresi tutti i possibili strutturali e stereoisomeri. ---- ==== Esercizio 2 ==== Un alchene ha formula molecolare C₅H₁₀. * Disegna tutte le sue possibili strutture lineari; * Per ciascuna di esse indica il nome IUPAC corretto; * Specifica in quale posizione si trova il doppio legame in ogni struttura. ---- ==== Esercizio 3 ==== Un alchene contiene 6 atomi di carbonio e il doppio legame tra il carbonio 2 e il carbonio 3. * Scrivi tutte le possibili strutture ramificate compatibili con queste informazioni; * Assegna il nome IUPAC corretto a ciascuna. ---- ==== Esercizio 4 ==== Disegna la struttura di Lewis (indicando anche la formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₅H₁₀ che: * abbiano una sola ramificazione; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascuno indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. ---- ==== Esercizio 5 ==== Considera il composto seguente: CH3-CH2-C(CH3)=CH-CH3 * Individua la catena principale; * Numera correttamente gli atomi di carbonio; * Scrivi il nome IUPAC; * Indica quanti legami σ e π sono presenti nella molecola. ---- ==== Esercizio 6 ==== Considera i seguenti composti: a) 2-metilciclopentene''';''' b) 2-metil-''cis''-3-pentene; c) trans-1-butene. Per ognuno di essi: * spiega perchè non è corretto il nome IUPAC indicato; * correggilo; * disegna la sua struttura lineare corretta. ---- ==== Esercizio 7 ==== Disegna la struttura di Lewis (con formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₆H₁₂ che: * abbiano una sola ramificazione metilica; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascun composto indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. ---- ==== Esercizio 8 ==== Disegna due cicloalcheni che abbiano gli stessi sostituenti ma in posizioni diverse, poi nominali. ---- ==== Esercizio 9 ==== Una molecola ha formula C₄H₆, è un cicloalchene e contiene due atomi di bromo. Disegna tutte le possibili varianti della molecola e dai un nome a ciascuna. ---- ==== Esercizio 10 ==== Disegna la struttura di Lewis (con formula condensata) di tutti gli alcheni con formula molecolare C₇H₁₄ che: * abbiano una sola ramificazione etilica; * possiedano un doppio legame terminale. Per ciascun composto indica il numero totale di atomi di carbonio primari, secondari e terziari. === Ibridazione degli alcheni === ==== Esercizio 11 ==== Per ciascun composto, indica quali carboni sono ibridati sp²: a) 1-butene b) 2-butene c) 2-metil-1,3-butadiene ---- ==== Esercizio 12 ==== Spiega perché nei doppi legami non esiste rotazione libera e fai un esempio di alchene in cui evidenzi gli orbitali ibridi che ne conferiscono la rigidità. ---- ==== Esercizio 13 ==== Disegna le strutture lineari dei seguenti alcheni e confrontali: * 1-butene * 2-butene Quale tra i due ha maggiore rigidità conformazionale? Perché? ---- ==== Esercizio 14 ==== Ordina per rigidità crescente i seguenti alcheni, motivando ogni molecola: * etene * propene * 2-butene * butano ---- ===== Esercizio 15 ===== Quanti legami σ e π sono presenti nel 2-metil-2-butene? Come sono ibridati i suoi atomi di carbonio? Disegna la sua struttura lineare. ---- ==== Esercizio 16 ==== Confronta i seguenti composti: * cicloesene * etene * 1,3-butadiene In quale caso la rigidità è massima e perché? ---- ==== Esercizio 17 ==== Un alchene ha struttura generale R-CH=CH-R’, dove R e R’ sono gruppi sostituenti voluminosi. Sulla base di queste informazioni, rispondi alle seguenti domande: * perché la rotazione è impedita? * cosa succede se si tenta di ruotare il doppio legame? * che tipo di tensione strutturale si genera? ---- ==== Esercizio 18 ==== Confronta i seguenti alcheni: * etene * cloroetene * 1,2-dicloroetene Indica quale molecola presenta maggiore rigidità e maggiore ingombro sterico. ---- ==== Esercizio 19 ==== Quanti legami σ e π sono presenti nel 3-clorocicloesene? Come sono ibridati i suoi atomi? Disegna la sua struttura lineare. ---- ==== Esercizio 20 ==== Confronta e ordina secondo la rigidità e l'ingombro sterico crescenti i seguenti alcheni: * cloroetene * brometene * 1,2-dibromoetene * cicloesene Motiva dettagliatamente la risposta considerando: * presenza del doppio legame; * sostituenti alogeni; * struttura ciclica; * limitazioni conformazionali. == Esercizi sulla nomenclatura degli alcheni == === Dalla formula al nome === ''Assegna un nome ai seguenti alcheni, avendo la loro formula razionale (ricorda che le parentesi indicano la presenza di una ramificazione!):'' ==== Esercizio 21 ==== Cl-CH=CH-Cl ---- ==== Esercizio 22 ==== CH₃–CH₂–C(CH₃)=CH–CH₂–CH₃ ---- ==== Esercizio 23 ==== CH₃–C(CH₃)=CH–CH₃ ---- ==== Esercizio 24 ==== CH₂=CH–CH(CH₃)–CH₂–CH(CH₃)–CH₃ ---- ==== Esercizio 25 ==== CH₃–CH=CH–CH(CH₃)–CH₂–CH₃ === Dal disegno al nome === ''Assegna un nome ai seguenti alcheni e cicloalcheni, avendo la loro struttura lineare:'' ==== Esercizio 26 ==== [[File:Dialchene.png|centro|senza_cornice|251x251px]] ---- ==== Esercizio 27 ==== [[File:Alchene iupac.png|centro|senza_cornice|273x273px]] ---- ==== Esercizio 28 ==== [[File:Alchene con fluoro.png|centro|senza_cornice|230x230px]] ---- ==== Esercizio 29 ==== [[File:Alchene scheletro.png|centro|senza_cornice|253x253px]] ---- ==== Esercizio 30 ==== [[File:Alchene con iodio.png|centro|senza_cornice|237x237px]] ---- ==== Esercizio 31 ==== [[File:Alchene.png|centro|senza_cornice|172x172px]] ---- ==== Esercizio 32 ==== [[File:Ciclopropilalchene.png|centro|senza_cornice|232x232px]] ---- ==== Esercizio 33 ==== [[File:Cicloesene.png|centro|senza_cornice|144x144px]] ---- ==== Esercizio 34 ==== [[File:Cicloesene con altro ciclo.png|centro|senza_cornice|176x176px]] ---- ==== Esercizio 35 ==== [[File:Cicloottene.png|centro|senza_cornice|205x205px]] === Dal nome al disegno === ''Disegna la struttura lineare dei seguenti alcheni, partendo dal loro nome secondo la nomenclatura IUPAC:'' ==== Esercizio 36 ==== 2,3-dimetil-2-pentene ---- ==== Esercizio 37 ==== (E)-3,5-dimetil-2-esene ---- ==== Esercizio 38 ==== 3,3,3-tricloropropene ---- ==== Esercizio 39 ==== 3-ciclopentil-1-pentene ---- ==== Esercizio 40 ==== 3-etenil-1,3,4,6-ettatetraene == Esercizi sulla isomeria degli alcheni e stabilità == '''41 - Il but-2-ene può esistere come due isomeri. Quali sono?''' '''42 - Nel cis-2-butene, i gruppi CH₃ sono:''' a) opposti b) dallo stesso lato '''43 - Disegna tutti gli isomeri geometrici possibili del 2-pentene e assegna il nome corretto a ciascuno.''' '''44''' '''- Completa:''' Un doppio legame può dare isomeria geometrica solo se ciascun carbonio del doppio legame è legato a ____________________. Poi verifica la regola sui seguenti composti: a) CH₂=CH₂ b) CH₃CH=CHCl c) CH₂=CBrCl '''45 -''' Osserva il composto CH₃CH=CHCH₂CH₃ e disegna: * l’isomero cis * l’isomero trans '''46 - Disegna tutte le configurazioni geometriche possibili di:''' CH₃CH=CHBr 1-bormo-1-propene '''47 - Indica se esiste isomeria geometrica e indica eventuali isomeri:''' CH₃–CH=CH–CH₃ '''48 - Quale è più stabile?''' a) cis-2-butene b) trans-2-butene '''49 - Perché l’isomero cis è meno stabile?''' '''50 - Quale è più stabile?''' a) 1-butene b) 2-butene '''51 - Ordina per stabilità crescente: etene, propene, 2-butene''' '''52 - Perché più sostituenti aumentano la stabilità?''' '''53 - Osserva il seguente alchene:''' (CH₃)₂C=C(CH₃)₂ 2,3-dimetilbut-2-ene. Rispondi: * può avere isomeria geometrica? * quanti sostituenti alchilici possiede? * è relativamente stabile o instabile? * quale fattore ne aumenta la stabilità? '''54 - Tra cis-2-butene e trans-2-butene, quale ha ΔH di idrogenazione maggiore?''' '''55 - Indica se le seguenti coppie rappresentano la stessa molecola oppure isomeri geometrici:''' a) due configurazioni del 1,2-dicloroetano b) cis-1,2-dicloroetene e trans-1,2-dicloroetene '''56 - Ordina i seguenti alcheni dal meno stabile al più stabile:''' * etene * propene * 2-metilpropene * 2,3-dimetil-2-butene '''57 - Considera i seguenti alcheni, ordinali dal meno stabile al più stabile:''' * cis-2-butene * trans-2-butene * 2-metilpropene '''58 - Per ciascun composto indica: se può esistere come isomero geometrico, quanti isomeri geometrici possiede, il nome degli eventuali isomeri''' a) CH₃CH=CHCH₃ b) CH₂=CHCH₃ c) CH₃CH=C(CH₃)₂ d) CHBr=CHCl e) CH₃CH=CHCl '''59 - Disegna tutte le possibili forme geometriche del composto:''' CH₃CH=CHCl e assegna correttamente i nomi cis/trans. '''60 - Per ciascuna coppia indica se rappresenta: la stessa molecola, isomeri geometrici, isomeri strutturali''' a) CH₃CH=CHCH₃ e CH₃CH=CHCH₃ (ruotato) b) cis-2-butene e trans-2-butene c) CH₂=CHCH₂CH₃ e CH₃CH=CHCH₃ == 6 - Esercizi sulle reazioni di addizione elettrofila e regola di Markovnikov == '''61 -''' Scrivi il prodotto principale della reazione tra propene e HBr. Indica anche quale carbonio riceve H e quale riceve Br secondo la regola di Markovnikov. '''62 -''' Disegna il prodotto dell’addizione elettrofila di HCl al but-2-ene e indica se si forma un solo prodotto o una miscela di isomeri. '''63 -''' Il 2-metilpropene reagisce con HBr. Scrivi: a) il carbocatione intermedio b) il prodotto finale '''64 -''' Completa la seguente reazione seguendo la regola di Markovnikov: CH2=CH-CH2-CH3 + HCl → ? '''65 -''' Tra etene, propene e 2-metilpropene, quale reagisce più velocemente con HBr? Ordinali in velocità crescente e spiega il motivo. '''66 -''' Disegna il meccanismo completo dell’addizione di HBr al propene, mostrando: a) attacco elettrofilo b) formazione del carbocatione c) attacco nucleofilo. '''67 -''' Determina il prodotto principale della reazione tra 1-metilcicloesene e HCl. '''68 -''' Un alchene A reagisce con HBr producendo esclusivamente 2-bromobutano. Qual è la struttura più probabile dell’alchene A? '''69 -''' Scrivi la legge cinetica dell’addizione elettrofila degli alcheni con HX e determina l’ordine totale della reazione. '''70 -''' Confronta la velocità delle reazioni seguenti e spiega usando la stabilità dei carbocationi: a) etene + HBr b) propene + HBr c) 2-metilpropene + HBr '''71 -''' Disegna tutti i possibili prodotti dell’addizione di HBr al but-1-ene e indica quale sarà il principale. '''72 -''' '''L’alchene CH3-CH=CH-CH2-CH3 reagisce con HCl.''' a) Scrivi i possibili prodotti b) individua il prodotto principale c) spiega la regioselettività. '''73 -''' Spiega perché HF reagisce molto più lentamente degli altri acidi alogenidrici nelle addizioni elettrofile agli alcheni. '''74 -''' '''Disegna il diagramma energetico qualitativo dell’addizione elettrofila di HBr a un alchene indicando:''' a) stati di transizione b) carbocatione intermedio c) stadio determinante della velocità. '''75 -''' '''Il propene reagisce con HI.''' a) Scrivi il prodotto principale b) indica il carbocatione formato c) spiega perché la reazione è regiospecifica. '''76 -''' '''Prevedi il prodotto della reazione:''' (CH3)2C=CH2 + HCl → ? '''Indica anche il nome IUPAC del prodotto.''' '''77 -''' Un alchene sconosciuto reagisce con HBr formando principalmente un bromuro terziario. Quale caratteristica strutturale deve avere l’alchene di partenza? '''78 -''' Disegna il meccanismo dell’addizione di HCl al 2-metilpropene e spiega perché si forma preferenzialmente un carbocatione terziario. '''79 -''' Per ciascuna delle seguenti reazioni indica se la reazione è non regioselettiva, regioselettiva, regiospecifica: # etene + HBr # propene + HBr # but-2-ene + HCl. '''80 -''' '''Un chimico confronta le seguenti reazioni:''' I) CH2=CH2 + HBr II) CH3-CH=CH2 + HBr III) (CH3)2C=CH2 + HBr a) Ordina le reazioni secondo velocità crescente b) indica il carbocatione formato in ogni caso c) spiega quale fattore controlla principalmente la velocità. [[File:Big_red_line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == === Struttura degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 1 ==== Ci sono '''tre possibili isomeri strutturali'''. In particolare, il '''2-butene''' può esistere come '''due stereoisomeri''' differenti.<gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:Isomero strutturale butene.png|isomero strutturale File:Isomero 2 strutturale butene.png|isomero strutturale (e '''stereoisomero''' 2-butene) File:Stereoisomero 2-butene.png|'''stereoisomero''' 2-butene File:Isomero 3 strutturale butene.png|isomero strutturale </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 2 ==== Le strutture lineari possibili del pentene sono '''tre''', considerando che il '''2-pentene''' si può presentare come '''due stereoisomeri''' diversi.<gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:1-pentene.svg|1-pentene File:2-pentene.png|2-pentene File:Cis-2-pentene.svg|cis-2-pentene File:Trans-2-pentene.svg|trans-2-pentene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 3 ==== <gallery mode="nolines" widths="155" heights="110"> File:4-metil-2-pentene.png|4-metil-2-pentene File:3-metil-2-pentene.png|3-metil-2-pentene File:2-metil-2-pentene.png|2-metil-2-pentene File:2,3-dimetil-2-butene.png|2,3-dimetil-2-butene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 4 ==== Esistono '''due''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:2-metil-but-1-ene.png|senza_cornice|225x225px]] * Formula condensata: CH2=C(CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''''2-metil-1-butene''''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → terziario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:3-metil-but-1-ene.png|senza_cornice|208x208px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH3)-CH3 * Nome IUPAC: '''''3-metil-1-butene''''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3'''→ terziario; '''C4''' → primario; '''C del metile''' → primario ---- ==== Soluzione esercizio 5 ==== CH3-CH2-C(CH3)=CH-CH3 * '''Catena principale:''' 5 atomi di carbonio (con un doppio legame) → '''pentene''' * '''Numerazione corretta:''' si numera dal carbonio terminale a '''destra''' per dare il numero minore al doppio legame (2). * '''Nome IUPAC:''' ''3-metil-2-pentene'' * '''Legami presenti:''' legame π → '''uno''' sul C2; legami σ → '''17''' ---- ==== Soluzione esercizio 6 ==== '''a)''' Nella nomenclatura dei cicloalcheni, il '''doppio legame''' deve sempre occupare le posizioni '''1 e 2'''. In questo caso, <u>il nome 2-metil-ciclopentene non specifica la posizione del doppio legame</u>, assumendo erroneamente che il metile sia sul C2 senza definire il C1. [[File:1-metil-ciclopentene.png|senza_cornice|149x149px]]Nome IUPAC corretto: '''1-metilciclopentene''' b) Per la regola di priorità in nomenclatura, la '''numerazione''' deve partire '''dall'estremità più vicina al doppio legame''' per dargli il '''numero più basso possibile'''. Inoltre, l''''isomeria''' deve essere sempre indicata '''all'inizio del nome''' della molecola. In questo caso, <u>il nome 2-metil-cis-3-pentene implica sia una numerazione errata sia il ''cis'' nel posto sbagliato</u>. [[File:Cis-4-metil-2-pentene.png|senza_cornice|161x161px]]Nome IUPAC corretto: '''cis-4-metil-2-pentene''' c) L'isomeria geometrica '''''cis-trans''''' richiede che '''ciascun carbonio del doppio legame''' '''sia''' '''legato a''' '''due gruppi diversi'''. In questo caso, <u>il nome trans-1-butene indica che l'atomo di carbonio è legato a due atomi di idrogeno identici</u>. [[File:Trans-but-2-ene.png|senza_cornice|178x178px]]Nome IUPAC corretto: '''trans-2-butene''' ---- ==== Soluzione esercizio 7 ==== Esistono '''tre''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:2-metil-1-pentene.png|senza_cornice|206x206px]] * Formula condensata: CH2=C(CH3)-CH2-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''2-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → terziario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:3-metil-1-pentene.png|senza_cornice|195x195px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''3-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → terziario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario [[File:4-metil-1-pentene.png|senza_cornice|205x205px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH2-CH(CH3)-CH3 * Nome IUPAC: '''4-metil-1-pentene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → terziario; '''C5''' → primario; '''C del metile''' → primario ---- ==== Soluzione esercizio 8 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="120"> File:3,4-dimetil-1-ciclopentene.png|3,4-dimetil-1-ciclopentene File:1,3-dimetil-1-ciclopentene.png|1,3-dimetil-1-ciclopentene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 9 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="120"> File:1,2-dibromo-1-ciclobutene.png|1,2-dibromo-1-ciclobutene File:1,3-dibromo-1-ciclobutene.png|1,3-dibromo-1-ciclobutene File:2,3-dibromo-1-ciclobutene.png|2,3-dibromo-1-ciclobutene File:3,3-dibromo-1-ciclobutene.png|3,3-dibromo-1-ciclobutene </gallery> ---- ==== Soluzione esercizio 10 ==== Esistono '''due''' possibili alcheni che soddisfano queste condizioni: [[File:3-etil-1-esene.png|senza_cornice|207x207px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH(CH2CH3)-CH2-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''3-etil-1-esene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → terziario; '''C4''' → secondario; '''C5''' → secondario; '''C6''' → primario; '''C1''' '''dell'etile''' → primario; '''C2''' '''dell'etile''' → secondario [[File:4-etil-1-esene.png|senza_cornice|224x224px]] * Formula condensata: CH2=CH-CH2-CH(CH2CH3)-CH2-CH3 * Nome IUPAC: '''4-etil-1-esene''' * Classificazione dei carboni: '''C1''' → primario; '''C2''' → secondario; '''C3''' → secondario; '''C4''' → terziario; '''C5''' → secondario; '''C6''' → primario; '''C1''' '''dell'etile''' → primario; '''C2''' '''dell'etile''' → secondario === Ibridazione degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 11 ==== a) L' ''1-butene'' (CH2=CH–CH2–CH3) presenta due carboni ibridati '''sp²''', che sono quelli coinvolti nel doppio legame, cioè il '''C1''' e il '''C2'''. b) Il ''2-butene'' (CH3–CH=CH–CH3) presenta anche due carboni ibridati '''sp²''', sempre quelli coinvolti nel doppio legame, in questo caso il '''C2''' e il '''C3'''. c) Il ''2-metil-1,3-butadiene'' (CH2=C(CH3)2) presenta '''tutti e quattro i carboni della catena principale''' ibridati '''sp²''', poichè ognuno è coinvolto in uno dei due doppi legami del composto. ---- ==== Soluzione esercizio 12 ==== La rotazione attorno a un doppio legame non è possibile, perché il '''legame C=C''' è caratterizzato da due componenti: un legame sigma e un legame pi greco. Il '''legame sigma''' deriva dalla '''sovrapposizione frontale degli orbitali''' ed è '''stabile alla rotazione''', mentre il '''legame pi''' '''greco''' deriva dalla '''sovrapposizione laterale degli orbitali p''' '''non ibridi'''. Se si provasse a ruotare una delle due parti della molecola, <u>questa</u> <u>sovrapposizione laterale verrebbe distrutta</u> e il <u>legame pi</u> <u>greco si romperebbe</u>. Per questo motivo il doppio legame è rigido e blocca la rotazione. ---- ==== Soluzione esercizio 13 ==== <gallery mode="nolines" widths="180" heights="110"> File:1-Butene.svg|1-butene File:2-butene.png|2-butene </gallery>Se si confrontano 1-butene e 2-butene, si osserva che entrambi possiedono un doppio legame e quindi una certa rigidità intrinseca. Tuttavia, nell' '''1-butene''' il '''doppio legame''' è '''terminale''' e quindi <u>coinvolge meno gruppi alchilici</u>, mentre nel '''2-butene''' il '''doppio legame''' è '''interno''' e quindi <u>più sostituito</u>. Questo '''aumenta l’ingombro sterico attorno al doppio legame''' e rende la <u>struttura più “bloccata”</u>. Inoltre, i <u>gruppi metilici vicini al doppio legame nel 2-butene donano densità elettronica tramite '''iperconiugazione'''</u>, stabilizzando il legame π. Per questoi motivi il '''2-butene''' risulta '''più rigido''' rispetto all' 1-butene. ---- ==== Soluzione esercizio 14 ==== * '''Butano (CH3-CH2-CH2-CH3)''' ** solo legami singoli C–C ** rotazione libera attorno a tutti i legami sigma ** nessun vincolo strutturale ** '''è la molecola meno rigida''' * '''Etene (CH2=CH2)''' ** presenza di un doppio legame C=C ** atomi di carbonio sp² triangolari planari ** legame π impedisce la rotazione ** rigidità elevata nella zona del doppio legame * '''Propene (CH2=CH–CH3)''' ** un doppio legame C=C (rigido) ** una parte della molecola è flessibile (CH3) ** lieve aumento dell’ingombro rispetto all’etene ** rigidità simile all’etene, ma leggermente inferiore * '''2-butene (CH3–CH=CH–CH3)''' ** doppio legame interno ** entrambi i carboni sp² sostituiti ** forte ingombro sterico ** massima limitazione dei movimenti locali ** '''molecola più rigida del gruppo''' Ordine di rigidità crescente finale: '''''butano < propene < etene < 2-butene''''' ---- ==== Soluzione esercizio 15 ==== [[File:2-metil-but-2-ene.png|senza_cornice|188x188px]]''2-metil-2-butene'' * Legami σ: '''13''' (legami C-C e C-H); * Legami π: '''1''' (il doppio legame tra C2 e C3); * Ibridazione degli atomi di carbonio: '''C1'''→ sp³; '''C2''' → sp²; '''C3''' → sp²; '''C4''' → sp³; '''C del metile''' → sp³ ---- ==== Soluzione esecizio 16 ==== Il '''cicloesene''' è '''estremamente rigido''' perché il <u>doppio legame è inserito in un anello</u>, quindi oltre al vincolo del legame π si aggiunge anche il '''vincolo geometrico''' della struttura ciclica. L’'''etene''' è invece '''rigido solo localmente''', perché <u>non ha altri vincoli strutturali</u> oltre al doppio legame. L' '''1,3-butadiene''' è '''parzialmente rigido''' perché presenta '''coniugazione tra doppi legami''', che riduce la libertà di rotazione ma <u>non la elimina completamente</u>. Tra i tre, quindi, il '''cicloesene''' è quello con '''rigidità complessiva maggiore'''. ---- ==== Soluzione esercizio 17 ==== In una molecola del tipo '''R–CH=CH–R’''' la rotazione attorno al doppio legame non è possibile, perché richiederebbe la '''rottura del legame pi greco'''. Questo avviene poiché <u>il legame π deriva dalla sovrapposizione laterale degli orbitali p</u>, che <u>può esistere solo se questi orbitali restano paralleli</u>. Se si tenta di ruotare la molecola, questa sovrapposizione viene distrutta e '''il sistema perde stabilità energetica'''. Per questo motivo il doppio legame funziona come un '''vincolo rigido''' che impedisce la rotazione e <u>può dare origine a isomeria geometrica E/Z</u>. La rotazione forzata porterebbe a una '''configurazione instabile ad alta energia''', in cui il legame π è praticamente rotto. ---- ==== Soluzione esercizio 18 ==== * L’'''etene''' è la molecola più semplice, contiene un doppio legame tra due carboni sp² e '''non presenta sostituenti ingombranti'''. La rigidità è dovuta esclusivamente al legame π, che impedisce la rotazione attorno al doppio legame. * Nel '''cloroetene''' (CH₂=CHCl), il doppio legame continua a bloccare la rotazione, ma la presenza dell’'''atomo di cloro''' introduce '''maggiore ingombro sterico e maggiore polarità''' rispetto all’etene. La molecola risulta quindi leggermente più rigida e meno simmetrica. * Nell' '''1,2-dicloroetene''' (CHCl=CHCl), entrambi i carboni sp² portano un atomo di cloro. Questo '''aumenta ulteriormente l’ingombro sterico''' attorno al doppio legame e rende la '''struttura ancora più “bloccata”'''. Inoltre, la presenza di due atomi voluminosi accentua la rigidità geometrica della molecola. Di conseguenza la rigidità e l'ingombro sterico crescono secondo questo ordine: '''''etene < cloroetene < 1,2-dicloroetene''''' ---- ==== Soluzione esercizio 19 ==== ''[[File:3-clorocicloesene.png|senza_cornice|171x171px]]3-clorocicloesene'' * Legami σ: '''16''' (legami C-C, C-H e C-Cl); * Legami π: '''1''' (il doppio legame tra C1 e C2). * Ibridazione degli atomi di carbonio e del cloro: '''C1'''→ sp²; '''C2''' → sp²; '''C3''' → sp³; '''C4''' → sp³; '''C5''' → sp³; '''C6''' → sp³; '''Cl →''' sp³ ---- ==== Soluzione esercizio 20 ==== * Il '''cloroetene''' possiede un doppio legame rigido e '''un solo atomo di cloro'''. La rigidità deriva dal legame π, mentre l’ingombro sterico rimane relativamente contenuto. * Nel '''brometene''' il comportamento è simile, ma '''il bromo è più grande del cloro'''. Questo aumenta l’ingombro sterico e rende la molecola più pesante e leggermente più rigida dal punto di vista conformazionale. * Nel '''1,2-dibromoetene''' entrambi i carboni del doppio legame portano un atomo di bromo. L’ingombro sterico diventa molto maggiore, perché '''due atomi voluminosi sono vicini nella zona rigida della molecola'''. Il doppio legame rimane completamente bloccato e la rigidità aumenta notevolmente. * Il '''cicloesene''' presenta invece '''un doppio legame inserito in un anello'''. In questo caso la rigidità non dipende solo dal legame π, ma anche dal <u>vincolo ciclico che limita i movimenti dell’intera struttura</u>. Per questo motivo il cicloesene è la molecola complessivamente più rigida tra quelle considerate. a) L’ordine di rigidità crescente è: '''''cloroetene < brometene < 1,2-dibromoetene < cicloesene.''''' b) L’ordine di ingombro sterico crescente è: '''''cloroetene < brometene < cicloesene < 1,2-dibromoetene.''''' Nel <u>'''1,2-dibromoetene''' l’ingombro è massimo</u> perché <u>i due atomi di bromo sono entrambi direttamente legati ai carboni sp² del doppio legame</u>, creando forte affollamento sterico. === Nomenclatura degli alcheni === ==== Soluzione esercizio 21 ==== cis-1,2-dicloroetene (o (Z)-1,2-dicloroetene) ---- ==== Soluzione esercizio 22 ==== 3-metiles-3-ene (o 3-metil-3-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 23 ==== 2-metilbut-2-ene (o 2-metil-2-butene) ---- ==== Soluzione esercizio 24 ==== 3,5-dimetiles-1-ene (o 3,5-dimetil-1-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 25 ==== 4-metiles-2-ene (o 4-metil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 26 ==== 4-etil-5-metiletta-2,4-diene (o 4-etil-5-metil-2,4-ettadiene) ---- ==== Soluzione esercizio 27 ==== 2-bromo-8-cloro-5-etilnona-2,5-diene (o 2-bromo-8-cloro-5-etil-2,5-nonadiene) ---- ==== Soluzione esercizio 28 ==== 5,5-difluoro-2-metiles-2-ene (o 5,5-difluoro-2-metil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 29 ==== 1-cloro-ett-3-ene (o 1-cloro-3-ettene) ---- ==== Soluzione esercizio 30 ==== trans-4,5-dimetil-6-iodio-3-secbutil-es-2-ene (o (E)-4,5-dimetil-6-iodio-3-secbutil-2-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 31 ==== 3-prop-2-en-1-ilcicloes-1-ene (o 3-allilciclo-1-esene) ---- ==== Soluzione esercizio 32 ==== 1-ciclopropil-4-metilpent-2-ene (o 1-ciclopropil-4-metil-2-pentene) ---- ==== Soluzione esercizio 33 ==== 3-etil-2-metil-cicloes-1-ene (o 3-etil-2-metil-1-cicloesene) ---- ==== Soluzione esercizio 34 ==== 1-etil-2-isopropil-cicloesene ---- ==== Soluzione esercizio 35 ==== 5,5-dicloro-2-vinil-cicloottatri-1,3,6-ene (o 5,5-dicloro-2-vinil-1,3,6-cicloottatriene) ---- ==== Soluzione esercizio 36 ==== [[File:Alchene di.png|sinistra|senza_cornice|195x195px]] ==== Soluzione esercizio 37 ==== [[File:(E)-3,5-dimetil-2-esene.png|sinistra|senza_cornice|214x214px]] ==== Soluzione esercizio 38 ==== [[File:Tricloropropene.png|sinistra|senza_cornice|182x182px]] ==== Soluzione esercizio 39 ==== [[File:3-ciclopentil-1-pentene.png|sinistra|senza_cornice|152x152px]] ==== Soluzione esercizio 40 ==== [[File:Alchene con etenile.png|sinistra|senza_cornice|250x250px]] === Soluzioni isomeria degli alcheni e stabilità === '''41 -''' cis-but-2-ene, trans-but-2-ene '''42 -''' b) dallo stesso lato [[File:Alchene 2-butene.png|103x103px]] '''43 -''' cis-2-pentene [[File:Alchene cis-2-pentene.png|114x114px]] trans-2-pentene [[File:Alchene trans-2-pentene.png|119x119px]] '''44 -''' 'due gruppi diversi' a) H2C = CH2 Nessuna isomeria geometrica. b) CH3-CH = CH-Cl Isomeria geometrica possibile. c) H2C = C(Br)Cl Nessuna isomeria geometrica. '''45 -''' cis-2-pentene [[File:Alchene cis-2-pentene.png|114x114px]] trans-2-pentene [[File:Alchene trans-2-pentene.png|119x119px]] '''46 -''' cis-1-bromo-1-propene [[File:Cis-1-bromo-1-propene.png|116x116px]] trans-1-bromo-1-propene [[File:Trans-1-bromo-1-propene.png|122x122px]] '''47 -''' Sì. cis-2-butene, trans-2-butene '''48 -''' trans-2-butene (minore tensione sterica) '''49 -''' L’isomero cis è meno stabile perché i gruppi ingombranti sono dallo stesso lato del doppio legame e si respingono, causando tensione sterica. '''50 -''' 2-butene (più sostituito e più stabile) '''51 -''' etene < propene < 2-butene '''52 -''' iperconiugazione e maggiore numero di legami sp²–sp³ '''53 -''' No isomeria geometrica, 4 sostituenti alchilici, molto stabile perchè è presente forte iperconiugazione e presenta molti sostituenti alchilici. [[File:2,3-dimetilbut-2-ene.png|101x101px]]      '''54 -''' cis-2-butene ha ΔH di idrogenazione maggiore '''55 -''' a) Stessa molecola b) Isomeri geometrici '''56 -''' etene < propene < 2-metilpropene < 2,3-dimetil-2-butene '''57 -''' cis-2-butene < trans-2-butene < 2-metilpropene '''58 -''' a) CH₃CH=CHCH₃ Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-2-butene e trans-2-butene b) CH₂=CHCH₃ Nessuna isomeria geometrica c) CH₃CH=C(CH₃)₂ Nessuna isomeria geometrica d) CHBr=CHCl Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-1-bromo-1-cloroetene e trans-1-bromo-1-cloroetene e) CH₃CH=CHCl Isomeria geometrica possibile, 2 isomeri: cis-1-cloropropene e trans-1-cloropropene '''59 -''' cis [[File:Cis-1-cloropropene.png|95x95px]] trans [[File:Tran-1-cloropropene.png|94x94px]] '''60 -''' a) Stessa molecola b) Isomeri geometrici c) Isomeri strutturali === 6 — Soluzioni addizione elettrofila e regola di Markovnikov === '''61 -''' Il prodotto principale è 2-bromopropano. L’H si lega al carbonio meno sostituito del doppio legame e il Br al carbonio più sostituito secondo Markovnikov. '''62 -''' Il prodotto è 2-clorobutano. Poiché il but-2-ene è simmetrico, si ottiene un solo prodotto costituzionale. '''63 -''' a) Carbocatione terziario: (CH3)3C+ [[File:Carbocatione terziario.png|86x86px]] b) 2-bromo-2-metilpropano [[File:2-bromo-2-metilpropano.png|84x84px]] '''64 -''' CH2=CH-CH2-CH3 + HCl → CH3-CHCl-CH2-CH3, Prodotto: 2-clorobutano. '''65 -''' Velocità crescente: etene < propene < 2-metilpropene. Maggiore sostituzione alchilica → carbocatione più stabile → reazione più veloce. '''66 -''' Fase 1: il doppio legame attacca H dell’HBr rompendo il legame H-Br. CH2=CH-CH3 + H-Br Fase 2: si forma il carbocatione secondario sul carbonio centrale. CH3-CH+-CH3 Fase 3: Br− attacca il carbocatione formando 2-bromopropano. [[File:Reazione 2-bromopropano.png|113x113px]] '''67 -''' Il prodotto principale è 1-cloro-1-metilcicloesano. [[File:1-cloro-1-metilcicloesano.png|81x81px]] '''68 -''' L’alchene è probabilmente but-1-ene. '''69 -''' Legge cinetica: velocità = k[Alchene][HX] Ordine totale = 2. '''70 -''' Velocità crescente: etene < propene < 2-metilpropene. I carbocationi formati sono rispettivamente primario/non sostituito, secondario e terziario. I più stabili si formano più facilmente. '''71 -''' Possibili prodotti: 1-bromobutano CH2Br-CH2-CH2-CH3, 2-bromobutano CH3-CHBr-CH2-CH3. Prodotto principale: 2-bromobutano secondo Markovnikov. '''72 -''' a) Possibili prodotti: 2-cloropentano CH3-CHCl-CH2-CH2-CH3 e 3-cloropentano CH3-CH2-CHCl-CH2-CH3 b) Principale: 3-cloropentano c) Si forma il carbocatione più stabile. '''73 -''' HF reagisce più lentamente perché il legame H-F è molto forte e difficile da rompere. '''74 -''' Il diagramma mostra due picchi energetici separati da una valle. [[File:Diagramma energetico.png|151x151px]] Primo picco = formazione del carbocatione, Valle = carbocatione intermedio, Secondo picco = attacco dell’alogenuro. Il primo stadio è quello determinante della velocità. '''75 -''' a) 2-iodopropano CH3-CHI-CH3 b) Carbocatione secondario sul carbonio centrale CH3-CH(+)-CH3 c) Si forma un unico prodotto perché il carbocatione più stabile è favorito. '''76 -''' Prodotto: (CH3)3CCl, 2-cloro-2-metilpropano. [[File:2-cloro-2-metilpropano.png|91x91px]] '''77 -''' Deve poter formare un carbocatione terziario stabile durante il meccanismo. '''78 -''' Il doppio legame attacca HCl formando un carbocatione terziario. Successivamente Cl− attacca il carbocatione. Il carbocatione terziario è favorito perché stabilizzato dai gruppi alchilici. '''79 -''' # etene + HBr → non regioselettiva # propene + HBr → regiospecifica # but-2-ene + HCl → non regioselettiva. '''80 -''' {| class="wikitable" !Tipo di carbocatione !Struttura !Stabilità |- |'''Primario''' |CH3–CH2⁺ |meno stabile |- |'''Secondario''' |CH3–CH⁺–CH3 |intermedio |- |'''Terziario''' |(CH3)3C⁺ |più stabile |} a) Velocità crescente: I < II < III b) I → carbocatione primario/non sostituito II → carbocatione secondario III → carbocatione terziario c) La velocità dipende principalmente dalla stabilità del carbocatione intermedio formato durante il primo stadio della reazione. == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/7-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-7 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche 92rv3norb3ed9kcx6fh6jz95n84uklq 0 60423 498547 498022 2026-05-27T17:56:36Z VoceUmana7 51633 498547 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni (''Opus 1113'') * '''Anno:''' 1991 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 17 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' indipendente fissa e rivolta verso la navata, sotto il somiere del Grand'Organo * '''Tastiere:''' 2 di 56 note (''Do¹''-''Sol⁵'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' a pavimento, in abside {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Ottava || 2' |- |Mistura |- |Cimbalo |- |Flauto a camino || 8' |- |Quinta ||2.2/3' |- |Terza ||1.3/5' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Positivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Principale || 2' |- |Sesquialtera || 2 file |- |Cromorno || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbasso || 16' |- |Ottava || 8' |- |Tromba || 8' |- |} |} {{Avanzamento|100%|27 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] mmq8dsou7m4n7p4z30e6870rcp5fz50 0 60485 498545 2026-05-27T17:29:42Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Giuseppe Bernasconi * '''Anno:''' 1848 * '''Restauri/modifiche:''' Piccinelli (restauro, 1994) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' dritta di 24 note (''Do¹''-''Si²'') * '''Accessori:''' 3 pedaletti e 2 staffe laterali per Combinazi... 498545 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Giuseppe Bernasconi * '''Anno:''' 1848 * '''Restauri/modifiche:''' Piccinelli (restauro, 1994) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' dritta di 24 note (''Do¹''-''Si²'') * '''Accessori:''' 3 pedaletti e 2 staffe laterali per Combinazione libera e Ripieno * '''Collocazione:''' sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di sinistra - ''Concerto''''' ---- |- |Flauto traverso |- |Trombe || Soprani |- |Fagotto || Bassi |- |Viola || Soprani |- |Flauto in VIII || Soprani |- |Voce Umana |- |Terza mano |- |Contrabbassi |- |Bassi d'armonia |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna di destra - ''Ripieno''''' ---- |- |Principale || 8' Bassi |- |Principale|| 8' Soprani |- |Ottava || Bassi |- |Ottava || Soprani |- |Quinta decima |- |Decima nona |- |Vigesima seconda |- |Vigesima sesta & nona |- |Unione Tasto-Pedale |- |} |} {{Avanzamento|100%|27 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] adlmy0hfol5yfndc645ct81ji25tvk3