Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.4 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 5293 498567 498550 2026-05-28T15:50:28Z Pasquale.Carelli 528 Pagina sostituita con '{{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. -->' 498567 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> tuui93lxh4l3awibnruo4zog86zitq7 0 8843 498553 498552 2026-05-28T13:01:35Z Pasquale.Carelli 528 ulteriori aggiustamenti 498553 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Moti relativi |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Moti_relativi |CapitoloSuccessivo=Dinamica del corpo rigido |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Dinamica_del_corpo_rigido }} {{fisica classica}} Dopo aver studiato la [[Fisica_classica/Dinamica|dinamica del punto materiale]], estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso. Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante <math>\vec{F}_i</math>. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli. == Forze esterne ed interne == [[File:ThirdNewtonsLaw.svg|thumb|left|200px|Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.]] Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (<math>\vec F_i</math>) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (<math>\vec F_i^{E}</math>) e quello dovuto alle forze interne <math>\vec F_i^{I}</math>: :<math>\vec F_i=\vec F_i^{E}+\vec F_i^{I}</math> Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione: :<math>\vec F_{ij}=-\vec F_{ji}</math> cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi: :<math>\vec R^I=\sum_{i=1}^{n}\vec F_i^{I}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\vec F_{ij}^{I}=0\qquad i\neq j</math> Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione. ==Grandezze del sistema== In un sistema costituito da <math>n</math> punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec{R}^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec{F}_i^{E}</math>|id=1}} La quantità di moto totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>\vec P=\sum_{i=1}^{n} \vec P_i=\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i</math>|id=2}} dove <math>m_i</math> è la massa dell’''i''-esima particella e <math>\vec{v}_i</math> la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto. L’energia cinetica totale del sistema è: {{Equazione|eq=<math>E_k=\sum_{i=1}^{n} E_{k,i}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}m_i v^2_i</math>|id=3}} Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math>|id=4}} dove <math>\vec{r}_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] == [[File:centro di massa.jpg|thumb|left|240px|Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa]] Si definisce centro di massa di un sistema di <math>n</math> punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{M} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}</math>|id=5}} dove <math>M = m_1 + m_2 + \cdots + m_n</math> è la massa totale del sistema e le quantità <math>\vec r_i</math> sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto. La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione. Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono: :<math>x_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{M}\qquad y_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{M}\qquad z_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i z_i}{M}</math> Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale. Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come: :<math>\vec v_{CM}=\frac {d \vec r_{CM}}{dt} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec r_i}{dt}}{\sum_{i=1}^{n} m_i} =\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i}{M} =\frac {\vec P}{M}</math> dove: {{Equazione|eq=<math>\vec P=M\vec v_{CM}</math>|id=6}} rappresenta la quantità di moto totale del sistema. La quantità di moto totale <math>\vec P</math> descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali. ===Prima equazione cardinale=== Le equazioni cardinali della dinamica descrivono il moto globale di un sistema di punti materiali e rappresentano l’estensione delle leggi di Newton ai sistemi estesi. L'accelerazione del centro di massa è definita come: :<math> \vec a_{CM}=\frac {d \vec v_{CM}}{dt}= \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \frac {d \vec v_i}{dt}}M=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i}M</math> Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i</math> dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne: :<math>\vec F_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Pertanto: :<math>m_i \vec a_i = \vec F_i^{E} + \vec F_i^{I}</math> Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene: :<math>\sum_{i=1}^{n} m_i \vec a_i=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}+\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I}</math> Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica, :<math>\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{I} = 0</math> e quindi: :<math>M \vec a_{CM}=\sum_{i=1}^{n} \vec F_i^{E}=\vec R^{E} </math> da cui segue: {{Equazione|eq=<math>M\vec a_{CM}=\vec R^E</math>|id=7}} Questa relazione è detta '''prima equazione cardinale della meccanica''' e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali. === Conservazione della quantità di moto === [[Immagine:Newtons cradle animation book.gif|thumb|right|200px|Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.]] Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla: :<math>\vec a_{CM}=0</math> Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}=\text{costante}</math> Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera. In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale. Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante. Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei [[w:Motore_a_reazione|mezzi a reazione]], richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo. Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata. == Momento angolare == Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Momento angolare|momento angolare]]. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi. Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec L_i=\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \vec v_i</math> dove <math>\vec r_i</math> è il vettore posizione dell’''i''-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e <math>m_i\vec v_i</math> è la sua quantità di moto. Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne: :<math>\vec \tau^{E}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{E}</math> e il momento totale delle forze interne: :<math>\vec \tau^{I}=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i \times \vec F_i^{I}</math> Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo: :<math>\vec \tau^{I}=0</math> Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente. ===Seconda equazione cardinale=== Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times m_i \frac {d \vec v_i}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{E}_i+\sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec F^{I}_i</math> L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} \frac{d \vec r_i}{dt} \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}</math> Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: <math>\frac{d \vec r_i}{dt} \equiv \vec v_i </math> e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità <math>\vec v_O </math> allora: :<math>\frac{d \vec r_i}{dt}=\vec v_i-\vec v_O </math> In tale caso: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\sum_{i=1}^{n} (\vec v_i-\vec v_O) \times m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}=-\vec v_O\times \sum_{i=1}^{n} m_i \vec v_i + \vec \tau^{E}= =-\vec v_O\times \vec P + \vec \tau^{E}=-M\vec v_O\times \vec v_{CM} + \vec \tau^{E}</math>|id=8}} questa è detta la '''seconda equazione cardinale'''. Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in: {{Equazione|eq=<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau^{E}</math>|id=9}} cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne. === [[w:Legge_di_conservazione_del_momento_angolare|Conservazione del momento angolare]] === [[File:BehoudImpulsmoment.ogv|frame|right|Esempio di conservazione del momento angolare]] Il momento angolare totale si conserva quando il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo considerato è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema. In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=0</math> Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto. Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del [[w:Perielio|perielio]] (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'[[w:Afelio|afelio]] (la massima distanza dal sole). === Relazione tra momento delle forze, energia e potenza === Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math>, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una [[w:Momento_meccanico#Coppia_di_forze|coppia di forze]] (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al [[w:Teorema_dell%27energia_cinetica|teorema dell'energia cinetica]] (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema: :<math>\Delta E_K = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta</math> La potenza <math>P</math> rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio: :<math>P = \vec \tau \cdot \vec {\omega}</math> Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio (<math>P = \vec F \cdot \vec v</math>). === Sistema di riferimento del centro di massa === Nella dinamica dei sistemi di punti materiali, si definisce '''sistema di riferimento del centro di massa''' un sistema di riferimento solidale con il centro di massa e avente le seguenti caratteristiche: * L'origine degli assi coincide in ogni istante con il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro di massa|centro di massa]] del sistema. * Gli assi mantengono l'orientazione spaziale sempre parallela a quella di un sistema di riferimento inerziale esterno. * Costituisce un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla (ovvero se il centro di massa non accelera). Il moto di questo sistema di riferimento rispetto a quello inerziale esterno è puramente traslatorio; se l'accelerazione del centro di massa è nulla, tale moto è rettilineo uniforme. Nello studio degli urti, poiché le forze impulsive interne sono di ordini di grandezza superiori rispetto alle forze esterne (che diventano così trascurabili nell'intervallo di tempo dell'impatto), il sistema del centro di massa può essere approssimato a un sistema inerziale per l'intera durata dell'evento. Indicando con un apice (') le grandezze relative al sistema del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, la posizione e la velocità del generico elemento i-esimo del sistema sono legate dalle [[w:Trasformazione_galileiana|trasformazioni di Galileo]]: :<math>\vec r_i = \vec r'_i + \vec r_{CM}</math> :<math>\vec v_i = \vec v'_i + \vec v_{CM}</math> Per definizione, nel proprio sistema di riferimento la posizione e la velocità del centro di massa sono nulle (<math>\vec r'_{CM} = 0</math> e <math>\vec v'_{CM} = 0</math>). Poiché l'espressione generale della velocità del centro di massa (valida in qualunque sistema) è pari a: :<math>\vec v'_{CM} = \frac{\sum m_i \vec v'_i}{\sum m_i} = 0</math> Si deduce immediatamente che: :<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math> Di conseguenza, la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa è sempre nulla (<math>\vec P' = 0</math>), anche se le quantità di moto dei singoli elementi <math>m_i \vec v'_i</math> sono in generale diverse da zero. Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto. Per quanto riguarda la dinamica rotazionale, la scelta del centro di massa come polo offre notevoli vantaggi matematici. Poiché le forze interne si annullano a coppie per il terzo principio della dinamica, solo le forze esterne contribuiscono al momento totale. Inoltre, anche se il sistema del centro di massa fosse non inerziale (cioè accelerato), la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della meccanica]] mantiene inalterata la sua forma standard senza richiedere l'introduzione di momenti delle forze apparenti: :<math>\frac{d\vec L'}{dt} = \vec \tau'^{E}</math> == Teoremi di König == teoremi di König permettono di separare, nel moto di un sistema di particelle, la parte dovuta al moto del centro di massa da quella relativa al moto interno rispetto al centro di massa. In particolare: * il primo teorema riguarda il momento angolare; * il secondo teorema riguarda l’energia cinetica. La parte del moto associata al centro di massa può essere modificata soltanto da forze e momenti esterni. ===Primo teorema di König=== Il primo teorema di König, dovuto a [[w:Johann Samuel König|J. S. König]], afferma che: Il momento angolare totale di un sistema è uguale alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare relativo al centro di massa. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per il momento angolare)| testo= Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali è: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} \vec r_{i} \times m_{i} \vec v_{i}</math> dove:<math>\vec r_i</math> è la posizione della particella <math>i</math>; <math>\vec v_i</math> è la sua velocità;<math>m_i</math> è la sua massa. Scriviamo posizione e velocità di ciascuna particella come somma del contributo del centro di massa e del contributo relativo: :<math>\vec r_{i} = \vec r_{CM} + \vec r'_{i}</math> :<math>\vec v_{i} = \vec v_{CM} + \vec v'_{i}</math> Sostituendo: :<math>\vec L = \sum\limits_{i} (\vec r_{CM} + \vec r'_{i}) \times m_{i} (\vec v_{CM} + \vec v'_{i})</math> Sviluppando: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +\left(\sum_i m_i \vec r'_i\right)\times \vec v_{CM} + \vec r_{CM}\times \left(\sum_i m_i \vec v'_i\right)+\sum_i \vec r_{CM}\times m_i \vec v_{CM}</math> Per definizione di centro di massa: :<math>\sum_i m_i \vec r'_i = 0</math> :<math>\sum_i m_i \vec v'_i = 0</math> quindi il secondo e il terzo termine si annullano. Rimane: :<math>\vec L =\sum_i \vec r'_i \times m_i \vec v'_i +M \vec r_{CM}\times \vec v_{CM}</math> dove <math>M=\sum_i m_i</math> è la massa totale del sistema. }} Possiamo quindi scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L' + \vec L_{CM}</math>|id=10}} dove: * <math>\vec L'</math> è il momento angolare rispetto al centro di massa; * <math>\vec L_{CM}</math> è il momento angolare dovuto al moto del centro di massa. === Secondo teorema di König === Il secondo teorema di König riguarda l’energia cinetica e afferma che: '''L’energia cinetica totale di un sistema è uguale alla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica relativa al centro di massa.''' Inoltre, l’energia cinetica misurata nel sistema del centro di massa è la minima possibile. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione (Teorema di König per l'energia cinetica)| testo= Consideriamo un sistema inerziale fisso e il sistema del centro di massa ad esso associato. L'energia cinetica totale E_k nel sistema inerziale è data da: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i v_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_i (\vec v'_i + \vec v_{CM})^2</math> Sviluppando il quadrato del binomio si ottiene: :<math>E_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2 + \frac{1}{2} v_{CM}^2 \sum m_i + \vec v_{CM} \cdot \left(\sum m_i \vec v'_i\right)</math> L'ultimo termine (il doppio prodotto) rappresenta il prodotto scalare tra la velocità del centro di massa e la quantità di moto totale del sistema nel riferimento del centro di massa stesso. Come dimostrato in precedenza, tale quantità di moto è nulla (<math>\sum m_i \vec v'_i = 0</math>), pertanto il terzo termine è nullo. L'espressione si riduce alla forma compatta del primo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> dove <math>E'_k = \frac{1}{2} \sum m_i {v'_i}^2</math> è l'energia cinetica relativa al centro di massa (detta anche energia cinetica interna) e <math>E_{k,CM} = \frac{1}{2} M v_{CM}^2</math> (con <math>M = \sum m_i</math>) è l'energia cinetica associata al moto di traslazione dell'intero sistema concentrato nel centro di massa. Isolando l'energia cinetica interna: :<math>E'_k = E_k - E_{k,CM}</math> Poiché la massa totale M e il quadrato della velocità v_{CM}^2 sono quantità intrinsecamente non negative (E_{k,CM} \ge 0), ne consegue che in qualunque altro sistema di riferimento l'energia cinetica sarà sempre maggiore o uguale a quella misurata nel sistema del centro di massa: :<math>E'_k \le E_k</math> come volevasi dimostrare. }} Possiamo scrivere in forma compatta: {{Equazione|eq=<math>E_k=E_{k,CM}+E_{k}^{\ '} \,\!</math>|id=11}} ovvero che '''l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso'''. ==Teorema dell’energia cinetica== Per un sistema di punti materiali, l’energia cinetica totale è pari alla somma delle energie cinetiche di tutte le particelle che compongono il sistema: :<math>E_k=\sum_i \frac12 m_i v_i^2</math> Nel caso di un singolo punto materiale, il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: :<math>W=\Delta E_k</math> Per un sistema di punti materiali, invece, occorre distinguere tra: * lavoro compiuto dalle forze esterne; * lavoro compiuto dalle forze interne. Le forze interne possono infatti compiere lavoro quando varia la posizione reciproca delle particelle del sistema. Il teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti assume quindi la forma generale: :<math>W^{E}+W^{I}=\Delta E_k</math> dove: * <math>W^{E}</math> è il lavoro delle forze esterne; * <math>W^{I}</math> è il lavoro delle forze interne; * <math>\Delta E_k</math> è la variazione dell’energia cinetica totale del sistema. ====Conservazione dell’energia meccanica==== Se tutte le forze agenti sul sistema, sia interne sia esterne, sono conservative, allora il lavoro totale può essere espresso tramite la variazione dell’energia potenziale. In questo caso l’energia meccanica totale del sistema si conserva: :<math>E_M = E_k + E_p = \text{costante}</math> oppure equivalentemente: :<math>\Delta(E_k+E_p)=0</math> dove: * <math>E_k</math> è l’energia cinetica totale; * <math>E_p</math> è l’energia potenziale totale; * <math>E_M</math> è l’energia meccanica del sistema. ====Presenza di forze non conservative==== Se nel sistema agiscono anche forze non conservative, il loro lavoro produce una variazione dell’energia meccanica: :<math>W_{nc}=\Delta E_M</math> dove: *<math>W_{nc}</math> rappresenta il lavoro delle forze non conservative; * <math>\Delta E_M</math> è la variazione dell’energia meccanica del sistema. In tal caso l’energia meccanica non si conserva, poiché parte dell’energia può trasformarsi, ad esempio, in energia termica o in altre forme di energia interna. ==Riepilogo del capitolo== * Quantità di moto: :<math>\vec P = M \vec v_{CM}</math> * Prima equazione cardinale: :<math>\vec R^{est} = M \vec a_{CM}</math> * Seconda equazione cardinale: :<math>\frac{d\vec L}{dt} = \vec \tau^{E}</math> * Primo teorema di König: :<math>\vec L = \vec L' + \vec L_{CM}</math> * Secondo teorema di König: :<math>E_k = E'_k + E_{k,CM}</math> * Teorema dell’energia cinetica: :<math>W^{est}+W^{int}=\Delta E_k</math> ==Bibliografia== * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} [[Fisica_classica/Dinamica_del_corpo_rigido| Argomento seguente: Dinamica del corpo rigido]] [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} hcxsrdacat6pxureyjm0yz96cfq12kh 0 9060 498554 498425 2026-05-28T13:18:39Z Pasquale.Carelli 528 cambiata leggenda di una figura 498554 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = Definizione di [[w:Corpo_rigido|corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti che mantengano fissa la loro distanza reciproca viene chiamato '''corpo rigido'''; ovviamente questa è sempre una semplificazione per permetterci di trattare alcune caratteristiche del moto di un corpo. In quanto la perfetta [[w:Deformazione|indeformabilità]] di un corpo non è possibile, sicuramente l'approssimazione è molto buona per alcuni tipi di oggetti compatti fatti di materiali come l'[[w:Acciaio|acciaio]], [[w:vetro|vetro]], l'[[w:Alluminio|alluminio]], ma anche il [[w:legno|legno]], non certamente oggetti in [[w:gomma|gomma]] o in metalli morbidi come l'[[w:indio|indio]] che non possono considerarsi rigidi. La descrizione completa della dinamica di un corpo rigido è possibile se si conosce la posizione nello spazio di un suo generico punto (in genere si sceglie il centro di massa) e di tre angoli come mostrato nella figura a fianco. La posizione del centro di massa, anche se il centro di massa è al di fuori del corpo, è immutabile nel tempo rispetto agli altri punti del corpo rigido, quindi in genere per determinare il moto di un corpo rigido si studia la traiettoria del centro di massa e di un asse di riferimento inerziale con origine sul centro di massa. Non variando le distanze tra i punti la risultante delle forze interne al sistema sono nulle come anche il loro momento, per cui le equazioni cardinali della meccanica si riducono a: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} Abbiamo omesso l'apice ext che è pleonastico poiché solo le forze e i momenti esterni possono variare lo stato di moto di un corpo rigido. Inoltre per quanto riguarda l'energia cinetica solo il lavoro <math>W\ </math> delle forze e dei momenti delle forze esterne può provocare una variazione della energia cinetica del corpo: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può essere molto complicato in quanto nel caso generale tutte e sei le grandezze fisiche che lo descrivono (la posizione del centro di massa e i tre angoli) possono variare nel tempo e nello spazio. Vi sono due casi particolari più semplici che è possibile considerare per semplificare la trattazione: il moto traslatorio ed il moto rotatorio. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslazionale di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto solo traslatorio. In questo caso tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie eguali come nella figura a fianco, quindi la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide istante per istante con la velocità del centro di massa. Il moto è descritto in maniera analoga a quanto avviene per un punto materiale. Le grandezze fisiche di maggiore interesse sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale del sistema. La dinamica del corpo è determinata da solamente la prima equazione cardinale della dinamica. :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> La quantità di moto totale del sistema <math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> e il momento angolare totale rispetto ad un polo che dista <math>\vec r_{CM}\ </math> dal centro di massa sono grandezze collegate. Infatti si mostra che dal [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]] il momento angolare rispetto a tale asse si riduce: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> Ma <math> \vec P </math> è la quantità di moto del sistema che dipende dalla sola [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale]] della meccanica. Quindi la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]]: :<math>\vec \tau=\frac{d\vec L}{dt}=\vec r_{CM} \times \frac {d\vec P}{dt}=\vec r_{CM}\times \vec R</math> non aggiunge alcuna informazione alla conoscenza della dinamica del corpo rigido, se il moto è puramente traslatorio. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo il caso di un moto rotatorio attorno ad un asse fisso. In questo caso tutte le parti del corpo compiono delle orbite circolari attorno all'asse di rotazione e quindi si muovono con velocità istantanea tanto maggiore quanto sono distanti dall'asse di rotazione. Nella figura a fianco muovendosi l'asta con velocità angolare <math>\vec \omega\ </math> (senso antiorario, verso uscente dal piano di rotazione), la velocità dei singoli punti distanti <math>\vec R\ </math> da O, valgono <math>\vec \omega \times \vec R\ </math>. Se la velocità angolare è costante il moto dei singolo punti è circolare uniforme. Se la velocità angolare varia nel tempo vi debbono essere momenti delle forze esterne che causano tale moto rotatorio vario e la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] è l'unica necessaria a descrivere il moto: :<math>\frac{d\vec L}{dt}=\vec \tau</math> Se il centro di massa si trova sull'asse di rotazione essendo nulla la accelerazione del centro di massa: :<math>\vec a_{CM}=0\ </math> la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale]] è identicamente nulla. Ma anche se il centro di massa non si trova sull'asse di rotazione, come nella figura, il suo moto sarà una orbita circolare esattamente con tutti gli altri elementi, e quindi in media la forza risultante sarà nulla, quindi la prima equazione cardinale non aggiunge nulla alle informazioni della seconda equazione cardinale. === Convenzioni nel moto rotatorio dei corpi rigidi === Se la rotazione avviene attorno ad un asse fisso del corpo rigido nell'intervallo di tempo <math>dt\ </math> si avrà una rotazione di un angolo <math>d\theta\ </math>: viene convenzionalmente definito un vettore <math>\vec d\theta\ </math>, che ha come modulo l'angolo e come direzione l'asse di rotazione (se il senso è antiorario). Quindi una regione del corpo rigido, identificata dal vettore <math>\vec r\ </math> che congiunge l'asse di rotazione e la regione, si sposta durante la rotazione di un arco <math>\vec ds\ </math>: :<math>\vec ds=\vec d\theta \times \vec r\ </math> Di conseguenza poiché la direzione dell'asse di rotazione non cambia nel tempo, anche la velocità istantanea del punto rimane tangente alla traiettoria circolare: :<math>\vec v=\frac {\vec ds}{dt}=\frac {\vec d\theta}{dt} \times \vec r=\vec \omega \times \vec r \ </math> Se la velocità angolare non è costante l'accelerazione tangenziale vale: :<math>\vec a_t=\frac {d\vec v}{dt}=\frac {d\vec \omega}{dt} \times \vec r=\vec \alpha \times \vec r\ </math> L'accelerazione centripeta a causa della rigidità del corpo non ha un ruolo nella dinamica del sistema. Notiamo come i tre vettori <math>\vec d\theta\ </math>, <math>\vec \omega\ </math> ed <math>\vec \alpha\ </math> siano paralleli all'asse di rotazione e concordi con esso se il moto è antiorario. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio una sfera su una superficie con A il punto di contatto. Il punto A ha una velocità molto inferiore alle altre e non è rappresentata.]] Il moto traslatorio ed il moto rotatorio attorno ad un asse fisso sono descrivibili in maniera semplice. Ma il caso più generale è quello di un moto in cui contemporaneamente vi sia traslazione e rotazione attorno ad un asse che cambia nel tempo. Questo è il caso più generale che senza perdere di generalità può essere descritto per spostamenti infinitesimi. In cui si ha contemporaneamente una traslazione infinitesima e un rotazione infinitesima caratterizzate da una velocità istantanea <math>\vec v\ </math> ed una velocità angolare istantanea <math>\vec\omega\ </math>. La descrizione di un generico moto di un sistema rigido non è univoca. La figura è un esempio. Potrebbe essere una boccia lanciata su una superficie nel moto iniziale. Il punto di contatto con il suolo A trasla e contemporaneamente a causa della forza di attrito la sfera ruota attorno al punto di contatto. Vedremo nel seguito che dopo un certo tempo aumenta la rotazione e diminuisce la traslazione ed il punto di contatto è istantanamente fermo questo è il [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]], che studieremo in seguito. Qui stiamo studiando un caso diverso in cui A si muove, ma le velocità dei due punti A,B,C,D,E sono diverse come appare dalla figura, ma concentriamo l'attenzione sulla velocità dei punti C e D rispetto ad A: :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> Sottraendo membro a membro le due espressioni precedenti si ha che: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_C+\vec \omega \times \overrightarrow{CD}\ </math> In questa maniera si è messo in relazione la velocità di D non più rispetto ad A, ma rispetto a C che è il nuovo polo. In questa operazione matematica appare evidente che, mentre la velocità istantanea del punto D dipende dal polo scelto per la rotazione, è infatti diversa da quella rispetto al punto A, il valore della velocità angolare istantanea non dipende dalla scelta fatta. Quindi nel caso generale del moto rototraslatorio mentre la parte traslazionale dipende dalla scelta del polo considerato per studiare la dinamica la velocità angolare non dipende da tale scelta. Quindi nella fotografia istantanea <math>\vec\omega\ </math> è definità in maniera univoca: ma nel caso generale può cambiare nel tempo di direzione e verso. = [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido = Un corpo rigido si rappresenta in maniera più semplice, non come un insieme di punti materiali come appare nella sua natura microscopica (essendo costituito da un insieme di [[w:atomo|atomi]]), ma come un mezzo continuo caratterizzato dalla sua [[w:Densità|densità]]: :<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math> Cioè la densità è il rapporto tra la massa infinitesima (dm) ed il volume (dV) da essa occupata. La densità è una grandezza che dipende dalla posizione e viene definita non solo per i corpi rigidi. La massa totale m di un corpo rigido di volume V vale: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità non varia all'interno del corpo, cioè <math>\rho(\vec r)=costante \ </math>, il corpo si dice omogeneo. In questo caso: :<math>M=\rho V\ </math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] la densità si misura in kg/m³, anche se è più comune l'uso nel linguaggio comune dell'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³. La definizione di densità vale sia per i solidi come i fluidi. La densità dell'acqua è alla temperatura di 4 ^oC circa 1 g/cm³ o 1000 kg/m³, tra gli elementi l'[[w:Osmio|Osmio]] (un metallo nobile simile al Platino) ha la massima densità 22.66 g/cm³. Nei corpi unidimensionali (corde, tubi) si introduce il concetto di [[w:Densità_lineare|densità lineare]] definita come: :<math>\lambda=\frac {dm}{dl}\ </math> dove dl è l'elemento infinitesimo di linea. Due esempi su corpi unidimensionali:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]] possono chiarire i concetti. Nei corpi bidimensionali (superfici) si definisce la densità superficiale come: :<math>\sigma=\frac {dm}{dS}\ </math> dove dS è l'elemento infinitesimo di superficie. Il centro di massa di un generico corpo rigido si ottiene per estensione della definizione data di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|centro di massa]] per un insieme discreto di punti: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> sostituendo alla sommatoria l'integrale: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente se vi è un asse (piano) di simmetria il centro di massa è sull'asse (piano) stesso. Il centro di massa coincide con il centro della forza peso: il '''baricentro'''. Il baricentro dipende dalla forza peso e quindi è definito per i corpi si trovano sulla superficie della terra. Alcuni esempi chiariscono meglio:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro| sfera con foro]] la posizione del centro di massa di oggetti non simmetrici. = Moto rotatorio = Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una semplice generalizzazione del moto di un punto materiale. Il moto rotatorio presenta delle peculiarità per quanto riguarda il momento angolare e l'evoluzione del moto. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme di punti materiali]] vale: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> La sua espressione nel caso continuo è: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Per studiare la dinamica, anche nel caso di semplice rotazione, bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: il momento di inerzia. Un caso semplice elementare serve da introduzione al problema. ===Esempio di un guscio cilindrico=== [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]] Consideriamo un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R (di spessore trascurabile rispetto ad R) che ruota con velocità angolare <math>\vec \omega \!</math> attorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del cilindro stesso. In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolare totale vale semplicemente: :<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math> Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> con una grandezza caratteristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = MR^2\!</math>. Un guscio sottile se l'altezza è trascurabile diventa un anello sottile (spesso il caso più elementare trattato è quello di un anello). == Momento di Inerzia == Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> non è una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dipende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione. Come estensione del caso precedente definiamo momento di inerzia di un corpo rigido la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>|id=6}} dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V. Il momento di inerzia in tutti i corpi rigidi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio. Il momento di inerzia è uno scalare, anche se dipende dall'asse attorno a cui viene calcolato. Essendo definito come integrale di grandezze scalari <math>r^2\!</math> e <math>dm\!</math> gode della proprietà di additività, se calcolato attorno lo stesso asse: cioè se ho un solido complesso posso calcolarmi il momento di inerzia separatamente per le varie parti del corpo rispetto allo stesso asse e poi sommare i vari termini. L'importanza del momento di inerzia appare nella dinamica del moto rotatorio come vedremo nel seguito. ==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria== Nel caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. La definizione di asse di simmetria da un punto di vista concettuale è data nel seguito. Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia sia una proprietà geometrica, essa dipende dall'asse di rotazione. ===Legge oraria=== Se <math>\vec \tau=0\ </math> si ha che: :<math>\alpha =0</math> Quindi, la velocità angolare è costante o nulla: :<math>\omega =\omega_o</math> Quindi il corpo rigido si muove di moto circolare uniforme attorno all'asse di rotazione: :<math>\theta =\theta_o+\omega_o t\ </math> Se <math>\vec \tau=costante\ </math> allora anche la accelerazione angolare è costante: :<math>\alpha =\alpha_o</math> :<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math> {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Se <math>\vec \tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio giratore == Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caratteristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè: :<math>I =Mr_g^2\,\!</math> di conseguenza: :<math>r_g=\sqrt{\frac IM}\,\!</math> Solo nel caso dell'anello o del guscio cilindrico il raggio giratore coincide con il raggio, negli altri casi il raggio giratore è più piccolo della maggiore dimensione. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} opfqyeikpcsvnkcxcif1tnn7runkb8k 498566 498554 2026-05-28T15:45:55Z Pasquale.Carelli 528 498566 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido si rappresenta in maniera più semplice, non come un insieme di punti materiali come appare nella sua natura microscopica (essendo costituito da un insieme di [[w:atomo|atomi]]), ma come un mezzo continuo caratterizzato dalla sua [[w:Densità|densità]]: :<math>\rho(\vec r)=\frac {dm}{dV}\ </math> Cioè la densità è il rapporto tra la massa infinitesima (<math>dm</math>) ed il volume (<math>dV</math>) da essa occupata. La densità è una grandezza che dipende dalla posizione e viene definita non solo per i corpi rigidi. La massa totale <math>m</math> di un corpo rigido di volume <math>V</math> vale: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità non varia all'interno del corpo, cioè <math>\rho(\vec r)=costante \ </math>, il corpo si dice omogeneo. In questo caso: :<math>M=\rho V\ </math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|sistema internazionale]] la densità si misura in kg/m³, anche se è più comune l'uso nel linguaggio comune dell'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema cgs]], cioè il g/cm³. La definizione di densità vale sia per i solidi come per i fluidi. La densità dell'acqua è alla temperatura di 4 ^oC circa 1 g/cm³ o 1000 kg/m³, tra gli elementi l'[[w:Osmio|Osmio]] (un metallo nobile simile al Platino) ha la massima densità tra gli elementi 22.66 g/cm³. Nei corpi unidimensionali (corde, tubi) si introduce il concetto di [[w:Densità_lineare|densità lineare]] definita come: :<math>\lambda=\frac {dm}{dl}\ </math> dove dl è l'elemento infinitesimo di linea. Due esempi su corpi unidimensionali:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]] possono chiarire i concetti. Nei corpi bidimensionali (superfici) si definisce la densità superficiale come: :<math>\sigma=\frac {dm}{dS}\ </math> dove dS è l'elemento infinitesimo di superficie. Il centro di massa di un generico corpo rigido si ottiene per estensione della definizione data di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|centro di massa]] per un insieme discreto di punti: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> sostituendo alla sommatoria l'integrale: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Nei corpi omogenei e dotati di simmetria attorno ad un punto, il centro di massa coincide con il punto stesso, analogamente se vi è un asse (piano) di simmetria il centro di massa è sull'asse (piano) stesso. Il centro di massa coincide con il centro della forza peso: il '''baricentro'''. Il baricentro dipende dalla forza peso e quindi è definito per i corpi si trovano sulla superficie della terra. Alcuni esempi chiariscono meglio:[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro| sfera con foro]] la posizione del centro di massa di oggetti non simmetrici. = Moto rotatorio = Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una semplice generalizzazione del moto di un punto materiale. Il moto rotatorio presenta delle peculiarità per quanto riguarda il momento angolare e l'evoluzione del moto. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme di punti materiali]] vale: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> La sua espressione nel caso continuo è: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Per studiare la dinamica, anche nel caso di semplice rotazione, bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: il momento di inerzia. Un caso semplice elementare serve da introduzione al problema. ===Esempio di un guscio cilindrico=== [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]] Consideriamo un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R (di spessore trascurabile rispetto ad R) che ruota con velocità angolare <math>\vec \omega \!</math> attorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del cilindro stesso. In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolare totale vale semplicemente: :<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math> Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> con una grandezza caratteristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = MR^2\!</math>. Un guscio sottile se l'altezza è trascurabile diventa un anello sottile (spesso il caso più elementare trattato è quello di un anello). == Momento di Inerzia == Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> non è una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dipende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione. Come estensione del caso precedente definiamo momento di inerzia di un corpo rigido la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>|id=6}} dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V. Il momento di inerzia in tutti i corpi rigidi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio. Il momento di inerzia è uno scalare, anche se dipende dall'asse attorno a cui viene calcolato. Essendo definito come integrale di grandezze scalari <math>r^2\!</math> e <math>dm\!</math> gode della proprietà di additività, se calcolato attorno lo stesso asse: cioè se ho un solido complesso posso calcolarmi il momento di inerzia separatamente per le varie parti del corpo rispetto allo stesso asse e poi sommare i vari termini. L'importanza del momento di inerzia appare nella dinamica del moto rotatorio come vedremo nel seguito. ==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria== Nel caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. La definizione di asse di simmetria da un punto di vista concettuale è data nel seguito. Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia sia una proprietà geometrica, essa dipende dall'asse di rotazione. ===Legge oraria=== Se <math>\vec \tau=0\ </math> si ha che: :<math>\alpha =0</math> Quindi, la velocità angolare è costante o nulla: :<math>\omega =\omega_o</math> Quindi il corpo rigido si muove di moto circolare uniforme attorno all'asse di rotazione: :<math>\theta =\theta_o+\omega_o t\ </math> Se <math>\vec \tau=costante\ </math> allora anche la accelerazione angolare è costante: :<math>\alpha =\alpha_o</math> :<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math> {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Se <math>\vec \tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio giratore == Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caratteristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè: :<math>I =Mr_g^2\,\!</math> di conseguenza: :<math>r_g=\sqrt{\frac IM}\,\!</math> Solo nel caso dell'anello o del guscio cilindrico il raggio giratore coincide con il raggio, negli altri casi il raggio giratore è più piccolo della maggiore dimensione. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} etr6bts13rttzaut6aexzzaajeh5y0w 498568 498566 2026-05-28T16:17:35Z Pasquale.Carelli 528 /* Centro di massa di un corpo rigido */ modificato per migliorarlo 498568 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente: Se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). Se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. = Moto rotatorio = Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una semplice generalizzazione del moto di un punto materiale. Il moto rotatorio presenta delle peculiarità per quanto riguarda il momento angolare e l'evoluzione del moto. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme di punti materiali]] vale: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> La sua espressione nel caso continuo è: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Per studiare la dinamica, anche nel caso di semplice rotazione, bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: il momento di inerzia. Un caso semplice elementare serve da introduzione al problema. ===Esempio di un guscio cilindrico=== [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb| Un cilindro sottile.]] Consideriamo un sottile guscio cilindrico di massa M e raggio R (di spessore trascurabile rispetto ad R) che ruota con velocità angolare <math>\vec \omega \!</math> attorno ad un asse passante per il centro e perpendicolare al piano del cilindro stesso. In questo caso è facile calcolare il momento angolare totale. Essendo tutti i punti del corpo rigido alla stessa distanza dal centro di rotazione, R, la loro velocità è pari in modulo a <math>v=\omega R\!</math>, quindi il momento angolare totale vale semplicemente: :<math>\vec L = MR^2\vec\omega \!</math> Cioè è proporzionale ad <math>\vec \omega \!</math> con una grandezza caratteristica del guscio stesso relativa all'asse di rotazione scelto, detto il momento di Inerzia <math>I = MR^2\!</math>. Un guscio sottile se l'altezza è trascurabile diventa un anello sottile (spesso il caso più elementare trattato è quello di un anello). == Momento di Inerzia == Dato un generico corpo rigido che ruota intorno ad un asse la relazione tra la velocità e la velocità angolare <math>v=\omega r\!</math> rimane valida, anche se <math>r\!</math> non è una costante, come nel caso del guscio cilindrico, ma dipende dalla distanza del generico elemento del corpo dall'asse di rotazione. Come estensione del caso precedente definiamo momento di inerzia di un corpo rigido la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_Vr^2 dm\!</math>|id=6}} dove r è la distanza dall'asse delle masse infinitesime dm di cui si compone il compone il corpo di volume V. Il momento di inerzia in tutti i corpi rigidi ha la dimensione di una massa per una distanza al quadrato, è una proprietà geometrica del corpo che dipende dall'asse attorno a cui avviene la rotazione, che nel caso della rotazione dei corpi rigidi ha una funzione simile alla massa nel caso di moto traslatorio. Il momento di inerzia è uno scalare, anche se dipende dall'asse attorno a cui viene calcolato. Essendo definito come integrale di grandezze scalari <math>r^2\!</math> e <math>dm\!</math> gode della proprietà di additività, se calcolato attorno lo stesso asse: cioè se ho un solido complesso posso calcolarmi il momento di inerzia separatamente per le varie parti del corpo rispetto allo stesso asse e poi sommare i vari termini. L'importanza del momento di inerzia appare nella dinamica del moto rotatorio come vedremo nel seguito. ==Moto rotatorio con asse fisso di simmetria== Nel caso particolare di <math>\vec L \ </math> parallelo a <math>\vec \omega \ </math>, cioè quando l'asse attorno a cui avviene la rotazione è un asse di simmetria del corpo. La definizione di asse di simmetria da un punto di vista concettuale è data nel seguito. Se è applicato un momento di una forza <math>\vec \tau \ </math> rispetto all'asse di rotazione il momento angolare <math>\vec L \ </math> varia e il collegamento tra variazione del momento angolare e momento della forza è dato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale]] della dinamica: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} Dove <math>\vec \alpha \ </math> è la derivata della velocità angolare anche essa parallela all'asse di rotazione. Vi è quindi una notevole analogia in questo caso tra la II equazione della dinamica (<math>\vec F=m \vec a</math> ), infatti la massa inerziale rappresenta la resistenza alla variazione della traslazione di un corpo, mentre il momento di inerzia è la resistenza alla variazione nel moto rotatorio. Ma bisogna aggiungere che, seppure il momento di inerzia sia una proprietà geometrica, essa dipende dall'asse di rotazione. ===Legge oraria=== Se <math>\vec \tau=0\ </math> si ha che: :<math>\alpha =0</math> Quindi, la velocità angolare è costante o nulla: :<math>\omega =\omega_o</math> Quindi il corpo rigido si muove di moto circolare uniforme attorno all'asse di rotazione: :<math>\theta =\theta_o+\omega_o t\ </math> Se <math>\vec \tau=costante\ </math> allora anche la accelerazione angolare è costante: :<math>\alpha =\alpha_o</math> :<math>\omega =\omega_o+\alpha_o t</math> {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Se <math>\vec \tau\ </math> è variabile, anche il moto circolare è variabile e la soluzione è diversa da questa. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio giratore == Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caratteristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè: :<math>I =Mr_g^2\,\!</math> di conseguenza: :<math>r_g=\sqrt{\frac IM}\,\!</math> Solo nel caso dell'anello o del guscio cilindrico il raggio giratore coincide con il raggio, negli altri casi il raggio giratore è più piccolo della maggiore dimensione. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} baa6uj2ou81xhcu7xn2emzqzqu5exym 498569 498568 2026-05-28T17:33:55Z Pasquale.Carelli 528 Migliorato ulteriormente sono a metà 498569 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio giratore == Il momento di inerzia ha le dimensioni di una massa per una lunghezza al quadrato, viene introdotta una lunghezza caratteristica chiamata raggio giratore <math>r_g</math> definito come quella lunghezza al quadrato che moltiplicato per la massa del corpo eguaglia il momento di inerzia cioè: :<math>I =Mr_g^2\,\!</math> di conseguenza: :<math>r_g=\sqrt{\frac IM}\,\!</math> Solo nel caso dell'anello o del guscio cilindrico il raggio giratore coincide con il raggio, negli altri casi il raggio giratore è più piccolo della maggiore dimensione. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} fraxiexpm9ao3g0pp7yzhyqm92wxkg6 498570 498569 2026-05-28T17:47:41Z Pasquale.Carelli 528 /* Raggio giratore */ cambiata la voce 498570 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza <math>d\ </math> dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 \,\!</math> Dove <math>I_c\!</math> è il momento di inerzia di un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine sia nel centro di massa in un sistema di coordinate cartesiane e che l'asse delle ''x'' sia sulla congiungente i due assi. In maniera che il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa sia: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) \, dm.</math> Mentre il momento di inerzia relativo all'asse ''z''', che è perpendicolare alla distanza d lungo l'asse ''x'' dal centro di massa, è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] \, dm</math> Sviluppando i vari termini: :<math>I = \int (x^2 + y^2) \, dm + d^2 \int dm - 2d\int x\, dm.</math> Il primo termine è <math>I_c\ </math>, il secondo termine è <math>Md^2\ </math> e l'ultimo termine è nullo in quanto l'origine coincide con il centro di massa (l'integrale è pari alla posizione del centro di massa per la massa totale). Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi come l'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} clrkixy2h2pskck86hvugrmisv8gb65 498592 498570 2026-05-29T09:24:53Z Pasquale.Carelli 528 /* Teorema di Huygens-Steiner */ migliorata la voce 498592 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. = Momento angolare nel caso generale= Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm\!</math> Senza perdere di generalità si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math> z \!</math> del sistema cartesiano di riferimento. Il momento può essere scomposto in una parte parallela all'asse di rotazione che vale per ogni tratto infinitesimo: :<math> (\vec r \times \vec v)_z dm=r^2dm \omega \!</math> e quindi, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione vale: :<math>L_z = I\omega\!</math> Viene normalmente chiamato momento angolare assiale. Questa componente del momento angolare è indipendente dalla posizione del polo sull'asse di rotazione. Vi è in genere una altra componente ortogonale all'asse di rotazione <math>L_{\bot}\!</math> che dipende dalla posizione del polo sull'asse e si annulla se l'asse di rotazione passa per il centro di massa ed è un asse di simmetria. La componente trasversa se presente ruota intorno all'asse di rotazione e può anche cambiare di ampiezza. A causa di questa componente in generale il momento angolare di un solido non è parallelo all'asse di rotazione quindi possiamo scomporre il momento angolare: {{Equazione|eq=<math>\vec L = L_z+L_{\bot}\!</math>|id=11}} Il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse per cui viene calcolato, dipende solo dalla forma del corpo e della posizione dell'asse rispetto al corpo. ==Assi di simmetria di un corpo rigido== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola]] Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria, cioè le masse sono disposte in maniera simmetrica attorno a tale asse, la componente ortogonale del momento angolare è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il centro di massa hanno particolare importanza i cosiddetti assi principali di inerzia. Gli assi principali di inerzia sono almeno tre, ma possono essere in numero superiore se il corpo è dotato di particolari simmetrie. Ad esempio nel caso di simmetria sferica qualsiasi diametro è un asse di simmetria. Nel caso di un cilindro l'asse del cilindro è un asse principale di inerzia assieme a qualsiasi asse ad esso perpendicolare. Una rotazione attorno ad un asse principale di inerzia gode della proprietà che il momento angolare del corpo rigido è parallelo all'asse di rotazione e quindi non vi sono sollecitazioni sull'asse di rotazione. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare dai momenti di inerzia attorno agli principali di inerzia detti momenti principali di inerzia i momenti di inerzia per qualsiasi asse attraverso la costruzione del cosiddetto ellissoide di inerzia. L'operazione di [[w:Equilibratura| equilibratura]], che viene fatta sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel rendere simmetrico l'asse attorno a cui avviene la rotazione un asse di simmetria, impedendo che sull'asse di rotazione, detto tecnicamente ([[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]), agiscano momenti usuranti. Infatti il fatto che negli elementi ruotanti l'asse di rotazione non coincida con l'asse di simmetria è sempre un qualcosa da evitare per evitare l'usura sui supporti dell'asse di rotazione. Se la componente normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio è sicuramente più complesso da studiare ed assume ad esempio la forma di un moto [[w:Precessione|precessione]]: il tipico moto di una [[w:Trottola|trottola]]. Nell'esempio in figura l'asse verticale è quello di rotazione, ma il momento angolare ha una componente lungo la direzione verticale ed una nella direzione ad essa perpendicolare che ruota attorno all'asse verticale. Il moto di precessione si ha anche in assenza di una coppia applicata al corpo. In una precessione senza coppia, come nel caso del moto di una trottola lasciata libera, il momento angolare per la seconda equazione cardinale è costante, ma le velocità angolare cambia di orientazione nel tempo. Se cambiano gli assi attorno a cui avviene la rotazione che sono combinazioni quadratiche degli assi principali di inerzia, il momento di inerzia rispetto ad ogni direzione delle coordinate cambia nel tempo, pur conservandosi costante nel tempo. Il risultato è che la componente della velocità angolare del corpo attorno ad ogni asse variererà inversamente con il momento di inerzia rispetto a quell'asse. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} 5tu2luve3a4qr4133x9mx1zv4drkftk 498593 498592 2026-05-29T10:06:56Z Pasquale.Carelli 528 /* Momento angolare nel caso generale */ migliorate due voci 498593 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=11}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante per garantire la conservazione dell'energia cinetica rotazionale: {{Equazione|eq=<math>E_c = \frac{1}{2}I_x\omega_x^2 + \frac{1}{2}I_y\omega_y^2 + \frac{1}{2}I_z\omega_z^2</math>|id=12}} = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} frjzm4h66z2soy7y9p8gk206bdg75mt 498594 498593 2026-05-29T10:12:58Z Pasquale.Carelli 528 /* Il moto di precessione */ tolta formula finale 498594 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=11}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} iptjrbk1hfu4ix81hgtojp4soncrndc 498595 498594 2026-05-29T10:20:33Z Pasquale.Carelli 528 /* Momento angolare nel caso generale */ corretto errore numerico 498595 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=10}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante. = Energia cinetica e lavoro= L'energia cinetica del corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm\!</math> Se il corpo è in rotazione attorno ad un asse fisso essendo <math>v=\omega r\!</math> si ha che; :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm=\frac 12 I\omega^2\!</math> Dove <math>I\ </math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione. Se però l'asse di rotazione del corpo di massa <math>M\!</math> è a distanza <math>d\!</math> dal centro di massa dal teorema di Huygens-Steiner si ha che: :<math>E_k = \frac 12 (I_c+Md^2)\omega^2=\frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 M\omega^2d^2\!</math> ma <math>\omega d\!</math> è la velocità del centro di massa <math>v_{CM}\!</math>: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2+\frac 12 Mv_{CM}^2\!</math>|id=11}} L'espressione appena data vale anche nel caso più generale del moto rototraslatorio. In cui si ha sia <math>v_{CM}\ne 0\!</math> che una rotazione attorno ad un asse istantaneo di rotazione. L'espressione separa l'energia cinetica in energia cinetica rotazionale e in energia cinetica dovuta al moto traslazionale del centro di massa. Abbiamo visto nella dinamica del punto che vi è un legame tra la variazione della [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|energia cinetica]] ed il lavoro: :<math>dW=dE_k \!</math> Quindi si ha che per quanto riguarda la parte rotazionale dell'energia cinetica: :<math>dW=d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right)=I_z\omega d\omega=I_z\frac {d\theta}{dt}\alpha dt= I_z\alpha d\theta=\tau_zd\theta \!</math> Dove <math>\vec \tau\!</math> è il momento delle forze esterne applicate al corpo rigido. Quindi il lavoro della componente del momento lungo l'asse di rotazione necessario per ruotare il corpo rigido, da un angolo <math>\theta_1\!</math> ad un angolo <math>\theta_2\!</math>, vale: :<math>W=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\tau_zd\theta=\frac 12I_z\omega_2^2-\frac 12I_z\omega_1^2 \!</math> Notiamo che se le forze sono conservative il lavoro può esprimersi come variazione della energia della energia potenziale: :<math>W=-\Delta E_p \!</math> L'energia totale, e qui teniamo conto anche dell'energia traslazionale del sistema, rimane costante cioè: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2+\frac 12I\omega^2+E_p=costante \!</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} 6hs7j41pyawtlc0lyytwji3xu3qte4v 498605 498595 2026-05-29T10:45:05Z Pasquale.Carelli 528 /* Energia cinetica e lavoro */ migliorata la voce 498605 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Dinamica dei sistemi di punti materiali |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali |CapitoloSuccessivo=Urti |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica classica/Urti }} {{fisica classica}} = [[w:Corpo_rigido|Corpo rigido]] = [[File:Flight dynamics with text.svg|left|thumb|Una rappresentazione grafica dei tre assi di rotazione che caratterizzano un corpo rigido]] Un sistema di punti materiali che mantiene costante nel tempo la distanza reciproca tra ogni coppia di punti viene detto '''corpo rigido'''. Si tratta naturalmente di una idealizzazione fisica, poiché un corpo perfettamente [[w:Deformazione|indeformabilità]] non esiste in natura. Tuttavia tale approssimazione risulta molto accurata nello studio del moto di numerosi corpi macroscopici costituiti da materiali poco deformabili, come l'[[w:Acciaio|acciaio]], il [[w:Alluminio|alluminio]], il [[w:vetro|vetro]] o il [[w:legno|legno]]. L’approssimazione di corpo rigido è invece poco adatta a materiali fortemente deformabili, come la [[w:gomma|gomma]], oppure a metalli molto duttili come l'[[w:indio|indio]]. La configurazione di un corpo rigido nello spazio è completamente determinata conoscendo: * la posizione di un suo punto, generalmente il centro di massa; * l’orientazione del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In tre dimensioni l’orientazione può essere descritta mediante tre angoli indipendenti. Di conseguenza, un corpo rigido possiede complessivamente sei gradi di libertà: * tre associati alla traslazione del centro di massa; * tre associati alla rotazione del corpo (vedi figura in alto) La posizione del centro di massa rispetto agli altri punti del corpo rimane costante nel tempo; per questo motivo lo studio del moto di un corpo rigido viene generalmente ricondotto: * allo studio del moto del centro di massa; * allo studio della rotazione del corpo attorno al centro di massa. Poiché in un corpo rigido le distanze reciproche tra i punti non variano, le forze interne si compensano a coppie. Assumendo inoltre che tali forze siano centrali, anche il loro momento totale risulta nullo. Le equazioni cardinali della dinamica per un corpo rigido assumono quindi la forma: {{Equazione|eq=<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math>|id=1}} {{Equazione|eq=<math>\vec \tau=\frac{d \vec L}{dt}\ </math>|id=2}} dove: * <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne; * <math>M</math> è la massa totale del corpo; * <math>\vec a_{CM}</math> è l’accelerazione del centro di massa; * <math>\vec \tau</math> è il momento risultante delle forze esterne; * <math>\vec L</math> è il momento angolare totale del corpo. L’apice ''E'' è stato omesso poiché, per un corpo rigido, soltanto le forze e i momenti esterni possono modificare lo stato di moto del sistema. Anche il teorema dell’energia cinetica assume una forma semplificata: la variazione dell’energia cinetica del corpo è uguale al lavoro compiuto dalle forze esterne: {{Equazione|eq=<math>\Delta E_k =W\ </math>|id=3}} Il moto di un corpo rigido può risultare molto complesso, poiché nel caso generale possono variare nel tempo sia la posizione del centro di massa sia l’orientazione del corpo nello spazio. Esistono tuttavia due casi particolari di grande importanza: * il '''moto traslatorio''', nel quale l’orientazione del corpo rimane costante; * il '''moto rotatorio''', nel quale il corpo ruota attorno a un asse o a un punto fisso. == Moto traslatorio == [[File:Translation_of_Itokawa.svg|left|thumb|Movimento puramente traslatorio di un corpo rigido]] Esaminiamo il caso di un moto puramente traslatorio. In questa condizione, tutti i punti del corpo rigido descrivono traiettorie identiche (come illustrato nella figura a fianco); di conseguenza, la velocità di ogni singolo punto del corpo coincide, istante per istante, con la velocità del centro di massa. Il moto può quindi essere descritto in maniera del tutto analoga a quella di un punto materiale in cui sia concentrata l'intera massa del corpo. Le grandezze fisiche fondamentali per la descrizione del sistema sono l'energia cinetica e la quantità di moto totale. La dinamica del corpo è interamente determinata dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec R=M\vec a_{CM}\ </math> dove <math>\vec R</math> è la risultante delle forze esterne applicate e <math>\vec a_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa. La quantità di moto totale del sistema è espressa da: :<math>\vec P=M\vec v_{CM}\ </math> Il momento angolare totale <math>\vec L</math>, calcolato rispetto a un polo generico O, si lega alla quantità di moto tramite il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Teoremi di König|primo teorema di König]]. Poiché nel moto traslatorio la velocità di ciascun punto rispetto al centro di massa è nulla, il momento angolare rispetto al centro di massa stesso si annulla. Pertanto, il momento angolare totale rispetto al polo O si riduce semplicemente a: :<math> \bar L = \vec r_{CM} \times \vec P\ </math> dove <math>\vec r_{CM}</math> è il vettore posizione del centro di massa rispetto al polo O. Poiché la variazione di \vec P dipende esclusivamente dalla prima equazione cardinale, la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt} = \frac{d\vec r_{CM}}{dt} \times \vec P + \vec r_{CM} \times \frac{d\vec P}{dt} = \vec v_{CM} \times (M\vec v_{CM}) + \vec r_{CM} \times \vec R = \vec r_{CM} \times \vec R</math> non aggiunge alcuna nuova informazione sulla dinamica del sistema. Di conseguenza, per un moto puramente traslatorio, lo studio delle forze e dell'accelerazione del centro di massa è sufficiente a determinare completamente l'evoluzione del corpo rigido. == Moto rotatorio == [[File:Rotation_barre_triangle_vitesses.svg|left|250px|thumb|Movimento puramente rotatorio di un'asta attorno al punto O ]] Esaminiamo ora il caso di un moto rotatorio attorno a un asse fisso. In questo tipo di moto, tutti i punti del corpo rigido descrivono orbite circolari i cui centri giacciono sull'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità istantanea di ciascun punto aumenta linearmente con la distanza dall'asse stesso. === Cinematica e convenzioni del moto rotatorio === Per descrivere la posizione di un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, è sufficiente conoscere l'angolo di rotazione <math>\theta(t)</math> (detto anche posizione angolare) che una retta solidale al corpo forma rispetto a una direzione di riferimento fissa. La funzione <math>\theta(t)</math> rappresenta l'equazione oraria del moto rotatorio. Se la rotazione avviene attorno a un asse fisso, durante un intervallo di tempo infinitesimo <math>dt</math> il corpo compie una rotazione angolare <math>d\theta</math>. Per descrivere matematicamente questo spostamento, si definisce convenzionalmente il vettore spostamento angolare infinitesimo <math>d\vec{\theta}</math>: esso ha modulo pari a <math>d\theta</math>, direzione coincidente con l'asse di rotazione e verso determinato dalla regola della mano destra (positivo se il senso è antiorario rispetto all'osservatore). Un generico punto del corpo rigido, individuato dal vettore posizione <math>\vec r</math> rispetto a un'origine sull'asse, compie uno spostamento infinitesimo <math>d\vec s dat</math>o da: :<math>d\vec s = d\vec \theta \times \vec r</math> Dividendo per l'intervallo di tempo <math>dt</math>, si ottiene la velocità lineare del punto: :<math>\vec v = \frac {d\vec s}{dt} = \frac {d\vec \theta}{dt} \times \vec r = \vec \omega \times \vec r</math> dove <math>\vec \omega = \frac{d\vec \theta}{dt}</math> è il vettore velocità angolare. Come mostrato nella figura a fianco, se l'asta ruota in senso antiorario nel piano della pagina, <math>\vec \omega</math> è un vettore uscente dal piano. Se la velocità angolare varia nel tempo, derivando ulteriormente rispetto al tempo si ottiene l'accelerazione del punto: :<math>\vec a = \frac{d\vec v}{dt} = \frac{d\vec \omega}{dt} \times \vec r + \vec \omega \times \frac{d\vec r}{dt} = \vec \alpha \times \vec r + \vec \omega \times \vec v</math> Il termine <math>\vec a_t = \vec \alpha \times \vec r</math> rappresenta l'accelerazione tangenziale (dove <math>\vec \alpha = \frac{d\vec \omega}{dt}</math> è l'accelerazione angolare), mentre il termine <math>\vec a_c = \vec \omega \times \vec v</math> rappresenta l'accelerazione centripeta. I tre vettori <math>d\vec \theta</math>, <math>\vec \omega</math> e <math>\vec \alpha</math> sono sempre paralleli all'asse di rotazione. === Dinamica del moto rotatorio === Mentre nel moto traslatorio le forze interne si compensavano cinematicamente, nel moto rotatorio l'accelerazione centripeta dei singoli punti è sostenuta dalle forze di coesione interna che garantiscono la rigidità del corpo. Dal punto di vista della dinamica globale, l'evoluzione della rotazione è governata esclusivamente dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: :<math>\vec \tau = \frac{d\vec L}{dt}</math> dove <math>\vec \tau</math> è il momento delle forze esterne calcolato rispetto a un polo sull'asse e <math>\vec L</math> è il momento angolare totale. Se vi è una variazione della velocità angolare (<math>\vec \alpha \neq 0</math>), deve necessariamente esistere un momento delle forze esterne non nullo. Per quanto riguarda la [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]] (<math>\vec R = M\vec a_{CM}</math>), si possono verificare due scenari: * L'asse di rotazione passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa è fermo, per cui la sua accelerazione è nulla (<math>\vec a_{CM} = 0</math>). Di conseguenza, la risultante delle forze esterne è nulla (<math>\vec R = 0</math>). * L'asse di rotazione non passa per il centro di massa: in questo caso il centro di massa compie un'orbita circolare attorno all'asse. Pertanto, esso subisce un'accelerazione (quantomeno centripeta, ed eventualmente tangenziale). La prima equazione cardinale non è nulla e non è superflua: essa serve a determinare la forza risultante che l'asse di rotazione deve esercitare sul corpo (le cosiddette reazioni vincolari) per mantenerlo in moto rotatorio ed evitare che si sposti. Tuttavia, ai fini del calcolo del solo moto di rotazione pura (ovvero per trovare la funzione <math>\theta(t)</math>), la seconda equazione cardinale è l'unica stringente e autosufficiente. == Moto rototraslatorio == [[File:RollendWiel.png|left|250px|thumb|Esempio di moto rototraslatorio di una ruota/sfera. Le velocità dei diversi punti combinano gli effetti della traslazione e della rotazione.]] I moti di pura traslazione e di pura rotazione attorno a un asse fisso sono casi particolari. Il moto più generale di un corpo rigido è il moto rototraslatorio, in cui il corpo traspone nello spazio e, contemporaneamente, ruota attorno a un asse la cui direzione e posizione possono variare nel tempo. Qualsiasi spostamento rigido finito può essere scomposto, per intervalli infinitesimi, nella combinazione di una traslazione di un punto di riferimento (polo) e di una rotazione infinitesima attorno a un asse passante per quel polo. Il moto è quindi caratterizzato, istante per istante, da un vettore velocità angolare istantanea <math>\vec\omega</math> e dalla velocità lineare del polo scelto. === La formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi === A differenza del moto traslatorio, in un moto rototraslatorio la velocità cambia da punto a punto del corpo. Consideriamo due generici punti appartenenti al corpo rigido, C e D, e un terzo punto A scelto come polo di riferimento originario. La velocità dei punti C e D rispetto al sistema di riferimento fisso può essere espressa in funzione della velocità del polo A attraverso le relazioni: :<math>\vec v_C=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AC}\ </math> :<math>\vec v_D=\vec v_A+\vec \omega \times \overrightarrow{AD}\ </math> Sottraendo membro a membro le due equazioni, otteniamo: :<math>\vec v_D-\vec v_C=\vec \omega \times (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})\ </math> Poiché per la scomposizione vettoriale si ha <math>\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CD}</math>, la relazione si semplifica in: :<math>\vec v_D = \vec v_C + \vec \omega \times \overrightarrow{CD}</math> Quest'ultima è la '''formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi'''. === Invarianza della velocità angolare === Dall'operazione matematica precedente emerge una proprietà fondamentale dei corpi rigidi: mentre la velocità lineare di un punto dipende intrinsecamente dal polo scelto (la velocità di D si calcola diversamente a seconda che si usi come riferimento A o C), il vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math> è lo stesso per qualunque polo scelto. In altri termini, la velocità angolare <math>\vec \omega</math> è una proprietà globale del corpo rigido in quel preciso istante, non del singolo asse o del singolo punto. Di conseguenza, in un moto rototraslatorio: La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente traslazionale è relativa alla scelta del polo (spesso, per convenienza dinamica, si sceglie il centro di massa). * La descrizione della componente rotazionale (<math>\vec \omega</math>) è assoluta e univoca per l'intero corpo in ogni istante, anche se nel tempo <math>\vec \omega</math> può variare sia in modulo che in direzione (es. nei moti di [[w:Precessione|precessione]]). Un'applicazione fondamentale di questo formalismo cinematica è lo studio del [[w:Moto_di_puro_rotolamento|moto di puro rotolamento]] (come nel caso di ruote, cilindri o sfere che avanzano senza slittare), un caso particolare di moto rototraslatorio che verrà analizzato in dettaglio nel seguito di questo capitolo. == [[w:Centro_di_massa|Centro di massa]] di un corpo rigido == Un corpo rigido, pur essendo costituito a livello microscopico da un insieme discreto di [[w:atomo|atomi]], viene descritto macroscopicamente in modo più semplice come un mezzo continuo. Per fare ciò, si introduce il concetto di densità volumica <math>\rho(\vec r</math>), definita come il rapporto tra la massa infinitesima dm e il volume infinitesimo <math>dV</math> da essa occupato: :<math>\rho(\vec r) = \frac {dm}{dV}</math> La densità è una grandezza locale che, in generale, può variare da punto a punto del corpo. La massa totale M di un corpo rigido che occupa un volume V si ottiene integrando la densità su tutto il volume: {{Equazione|eq=<math>M=\int_V\rho(\vec r) dV\ </math>|id=4}} Se la densità è uniforme in ogni punto del corpo (<math>\rho(\vec r) = \text{costante}</math>), il corpo si dice omogeneo. In questo caso, la massa totale si riduce semplicemente a: :<math>M = \rho V</math> Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale (SI)]] la densità si misura in <math>\text{kg/m}^3</math>, sebbene nella pratica sia ancora molto diffusa l'unità di misura del [[w:sistema CGS|sistema CGS]], ovvero il <math>\text{g/cm}^3</math> (con la relazione <math>1 \text{ g/cm}^3 = 1000 \text{ kg/m}^3</math>). A titolo di esempio, l'acqua a <math>4 \text{ }^\circ\text{C}</math> ha una densità di circa <math>1 \text{ g/cm}^3</math>, mentre l'[[w:Osmio|osmio]] è l'elemento chimico naturale più denso noto, con un valore di <math>22.66 \text{ g/cm}^3</math>. === Densità per sistemi a dimensionalità ridotta === A seconda della geometria del corpo rigido, può essere conveniente approssimare la distribuzione di massa lungo una o due dimensioni stimate trascurabili: * Corpi unidimensionali (fili, corde, anelli sottili): si definisce la densità lineare \lambda come la massa per unità di lunghezza dl: :<math>\lambda = \frac {dm}{dl}</math> (Si vedano ad esempio i calcoli per il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#3._Mezzo_anello|mezzo anello]] e il [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#4._Quarto_di_anello|quarto di anello]]) * Corpi bidimensionali (lastre, superfici sottili): si definisce la densità superficiale <math>\sigma</math> come la massa per unità di superficie <math>dS</math>: :<math>\sigma = \frac {dm}{dS}</math> === Determinazione del Centro di Massa === Il centro di massa di un corpo rigido continuo si ottiene per estensione della definizione data per un insieme discreto di [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#centro di massa|punti materiali]]: :<math>\vec r_{CM} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i \vec r_i}m</math> Sostituendo la sommatoria con l'integrale esteso al volume del continuo e ricordando che <math>dm = \rho(\vec r) dV</math>, si ottiene: {{Equazione|eq=<math>\vec r_{CM}=\frac {\int_V\vec r\rho(\vec r)dV}m\!</math>|id=5}} Se il corpo è omogeneo e possiede delle simmetrie geometriche, il calcolo si semplifica notevolmente, in particolare: * se il corpo ha un centro di simmetria, il centro di massa coincide con esso (es. il centro di una sfera o di un cubo omogenei). * se il corpo ammette un asse o un piano di simmetria, il centro di massa deve necessariamente giacere su quell'asse o su quel piano. Nota sul Baricentro: Il centro di massa viene spesso confuso con il baricentro (o centro di gravità), che rappresenta il punto di applicazione della forza peso risultante. Le due posizioni coincidono perfettamente solo se il corpo è immerso in un campo gravitazionale uniforme (condizione ampiamente verificata per oggetti di dimensioni ordinarie sulla superficie terrestre). In caso di campi gravitazionali non uniformi (es. strutture di proporzioni planetarie), il baricentro e il centro di massa possono non coincidere. Per comprendere l'applicazione pratica di questi integrali in geometrie non totalmente simmetriche, si rimanda agli esempi svolti del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#5._Mezzo_disco_e_mezza_sfera|mezzo disco e mezza sfera]], del [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#6._Quarto_di_disco|quarto di disco]] e della [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#7._Sfera_con_foro|sfera con foro]]. == Moto rotatorio e Momento di Inerzia == Mentre il moto traslatorio di un corpo rigido è una diretta generalizzazione del moto di un punto materiale, il moto rotatorio presenta delle peculiarità sostanziali per quanto riguarda il calcolo del momento angolare e l'evoluzione della dinamica. Il [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Grandezze del sistema|momento angolare di un insieme discreto di punti materiali]] rispetto a un polo è definito come: :<math>\vec L = \sum_{i=1}^{n} \vec r_i \times \vec m_i \vec v_i</math> Nel caso di un corpo rigido continuo, la sommatoria si estende a un integrale sulla massa del corpo: :<math>\vec L = \int_M \vec r \times \vec v dm</math> Per studiare la dinamica di questa rotazione è necessario introdurre una nuova grandezza fisica che descriva l'opposizione del corpo alle variazioni del suo moto rotatorio: il momento di inerzia. Un esempio elementare e altamente simmetrico serve da introduzione ideale al concetto. === Un caso ideale: il guscio cilindrico sottile === [[File:Moment_of_inertia_thin_cylinder.png|200px|right|thumb|Un guscio cilindrico sottile in rotazione attorno al suo asse di simmetria.]] Consideriamo un guscio cilindrico sottile di massa totale <math>M</math> e raggio <math>R</math> (il cui spessore sia trascurabile rispetto a <math>R</math>), in rotazione con velocità angolare \vec \omega attorno al suo asse di simmetria longitudinale. Se l'altezza del cilindro è anch'essa trascurabile, il sistema si riduce a un semplice anello sottile. In questa particolare geometria, ogni elemento di massa dm del corpo si trova esattamente alla stessa distanza R dall'asse di rotazione. Di conseguenza, la velocità lineare di ogni punto ha lo stesso modulo <math>v = \omega R</math> ed è costantemente perpendicolare al vettore posizione radiante. Il modulo del momento angolare infinitesimo di ciascun elemento rispetto a un punto sull'asse vale <math>dL = R \cdot v</math> , <math>dm = R^2 \omega </math>, <math>dm</math>. Poiché tutti i contributi vettoriali d\vec L sono paralleli tra loro e diretti lungo l'asse di rotazione (concordi a <math>\vec \omega</math>), possiamo integrare direttamente i moduli: :<math>\vec L = \left( \int_M R^2 dm \right) \vec \omega = R^2 \left( \int_M dm \right) \vec \omega = MR^2 \vec \omega</math> Il momento angolare totale risulta quindi direttamente proporzionale alla velocità angolare <math>\vec \omega</math> tramite una costante geometrica propria del guscio (e dell'asse scelto), che definiamo momento di inerzia: :<math>I = MR^2</math> :<math>\vec L = I \vec \omega</math> == Il Momento di Inerzia per un corpo generico == In un corpo rigido di forma generica che ruota attorno a un asse fisso, la relazione cinematica <math>v = \omega r</math> rimane valida per ogni singolo punto. Tuttavia, a differenza del guscio sottile, la distanza <math>r</math> dall'asse di rotazione non è più costante, ma varia da punto a punto. Estendendo l'analisi precedente, definiamo il momento di inerzia <math>I</math> di un generico corpo rigido come la grandezza scalare: {{Equazione|eq=<math>I=\int_M r^2 dm = \int_V r^2 \rho(\vec r) dV\!</math>|id=6}} dove <math>r</math> rappresenta la distanza ortogonale dall'asse di rotazione dell'elemento di massa infinitesimo dm situato nel volume <math>dV</math>. === Proprietà fondamentali del momento di inerzia === * Significato fisico (Analogia con la massa): Nel moto traslatorio, la massa <math>M</math> rappresenta l'inerzia del corpo, ovvero la sua resistenza a essere accelerato linearmente. Nel moto rotatorio, il momento di inerzia <math>I</math> gioca esattamente lo stesso ruolo: esprime la resistenza del corpo a subire un'accelerazione angolare. Più la massa è distribuita lontano dall'asse di rotazione, più il valore di <math>I</math> aumenta, rendendo il corpo più difficile da accelerare o frenare nella sua rotazione. * Dimensioni e natura geometrica: Nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|Sistema Internazionale]], il momento di inerzia si misura in <math>\text{kg} \cdot \text{m}^2</math>. Sebbene sia una grandezza scalare, esso non è una proprietà assoluta del corpo come la massa, poiché il suo valore dipende intrinsecamente dall'asse di rotazione scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, presenterà momenti di inerzia differenti. * Proprietà di additività: Essendo definito tramite un integrale, il momento di inerzia gode della proprietà additiva. Se un corpo rigido complesso può essere scomposto in più parti elementari, il suo momento di inerzia totale rispetto a un determinato asse è semplicemente pari alla somma dei momenti di inerzia delle singole parti calcolati rispetto al medesimo asse: :<math>I_{\text{tot}} = I_1 + I_2 + \dots + I_n</math> Questa proprietà è di fondamentale importanza pratica, poiché permette di calcolare agevolmente il momento di inerzia di strutture complesse combinando i risultati di forme geometriche standard (dischi, barre, sfere), come vedremo nei prossimi paragrafi. == Moto rotatorio attorno a un asse fisso di simmetria == Consideriamo il caso particolare in cui l'asse fisso di rotazione coincida con un asse di simmetria geometrica del corpo rigido (la cui definizione formale verrà approfondita nei prossimi paragrafi). In questa specifica condizione, il vettore momento angolare \vec L risulta costantemente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega, c</math>onsentendo di scrivere la relazione lineare <math>\vec L = I \vec \omega</math>. Se al sistema viene applicato un momento delle forze esterne <math>\vec \tau</math> rispetto a un polo situato sull'asse, il momento angolare varia nel tempo. Il legame tra la causa del moto (il momento) e l'effetto dinamico (la variazione di <math>\vec L</math>) è governato dalla [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale|seconda equazione cardinale della dinamica]]: {{Equazione|eq=<math>\vec \tau = \frac {d\vec L}{dt}=I\frac {d\vec \omega}{dt}=I\vec\alpha </math>|id=7}} dove <math>\vec \alpha</math> è l'accelerazione angolare, anch'essa diretta lungo l'asse di rotazione. Scegliendo l'asse di rotazione come asse <math>z</math> di un sistema di riferimento, possiamo proiettare l'equazione vettoriale lungo tale asse, esprimendola in forma scalare tramite le rispettive componenti (<math>\tau_z</math>, <math>\omega_z</math>, <math>\alpha_z</math>): :<math>\tau_z = I \alpha_z = I \frac{d\omega_z}{dt} = I \frac{d^2\theta}{dt^2}</math> Esiste una profonda analogia formale tra questa equazione e la seconda legge di Newton per il moto traslatorio (<math>F = m a</math>): la forza è sostituita dal momento della forza, l'accelerazione lineare dall'accelerazione angolare, e la massa dal momento di inerzia. È fondamentale ribadire che, mentre la massa rappresenta una proprietà intrinseca e invariabile del corpo, il momento di inerzia <math>I</math>, pur essendo una proprietà geometrica, dipende strettamente dallo specifico asse di rotazione scelto. === Leggi orarie del moto rotatorio === A seconda della natura del momento delle forze esterne agenti lungo l'asse, si possono determinare le leggi orarie integrando l'equazione differenziale del moto. * Rotazione uniforme (<math>\tau_z = 0</math>): se il momento risultante delle forze esterne lungo l'asse è nullo, l'accelerazione angolare è nulla: :<math>\alpha_z = 0</math> :Di conseguenza, la velocità angolare rimane costante nel tempo (<math>\omega_z = \omega_0</math>). Il corpo rigido si muove di moto rotatorio uniforme attorno all'asse, e l'equazione oraria per la posizione angolare <math>\theta(t)</math> è: :<math>\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t</math> * Rotazione uniformemente accelerata (<math>\tau_z = \text{costante}</math>): se il momento delle forze esterne è costante nel tempo, anche l'accelerazione angolare è costante (<math>\alpha_z = \alpha_0</math>). La velocità angolare varia linearmente: :<math>\omega_z(t) = \omega_0 + \alpha_0 t</math> :Integrando ulteriormente rispetto al tempo, si ottiene la legge oraria della posizione angolare per un moto rotatorio uniformemente accelerato: {{Equazione|eq=<math>\theta =\theta_o+\omega_o t+\frac 12\alpha_o t^2</math>|id=8}} Nel caso in cui il momento delle forze esterne <math>\tau_z</math> sia variabile (ovvero dipenda esplicitamente dal tempo, dalla posizione angolare o dalla velocità angolare), l'accelerazione non sarà costante e la legge oraria dovrà essere ricavata risolvendo l'equazione differenziale specifica di volta in volta. == [[w:Momento_di_inerzia|Momenti di inerzia]] == ===Asta rigida=== [[Immagine:moment of inertia rod center.png|200px|left|thumb| Un'asta rigida con un asse passante per il centro.]] Un caso molto semplice è quello di Asta di lunghezza ''L'' e massa ''M'' attorno ad un asse passante per il suo centro di massa e perpendicolare alla direzione dell'asta, è facile mostrare come utilizzando la densità lineare: :<math>\lambda=\frac ML \!</math> Estendendo la definizione di momento di inerzia (il fatto di potere fare una integrazione presuppone l'additività del momento di inerzia): :<math>I_c=\int_{-L/2}^{L/2}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{-L/2}^{L/2}\!</math> [[File:Moment_of_inertia_rod_end.png|200px|right|thumb|Un'asta rigida con un asse passante per estremo.]] Da cui si ha che il momento di inerzia vale: :<math>I_{C} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math> Se invece come nella figura a destra l'asse passa per un estremo si ha che: :<math>I_e=\int_{0}^{L}r^2\lambda dr=\lambda\left[\frac {r^3}3\right]_{0}^{L}\!</math> :<math>I_e = \frac{M L^2}{3} \,\!</math> ===Disco sottile=== [[File:Moment_of_inertia_disc.svg|200px|right|thumb|Disco sottile.]] Un disco sottile omogeneo di raggio ''r'' e massa ''m'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{\pi r^2} \!</math> nel calcolo del momento di inerzia si può considerarlo come è un insieme di anelli di raggio <math>0\le R \le r\!</math> e quindi di superficie <math>dS=2\pi R dR\!</math>, la cui massa vale : <math>dm=\sigma 2\pi R dR\!</math>. Quindi il momento di inerzia per l'asse di simmetria (come in figura) vale: :<math>I= \int_0^rR^2\sigma 2\pi R dR=2\pi \sigma \int_0^rR^3dR=\pi \sigma \frac {r^4}2 \!</math> :<math>I=\frac 12 Mr^2 \!</math> ===Guscio sferico=== [[File:Moment_of_inertia_hollow_sphere.svg|200px|right|thumb|Guscio sferico]] Un guscio omogeneo di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità superficiale di: :<math>\sigma=\frac M{4\pi r^2} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \ </math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un anello di raggio <math> R \!</math>, che dipende dall'angolo <math> \theta \ </math> tra <math> r \ </math> e <math> z \!</math>: :<math>R=r\sin \theta \qquad con\ 0 \le \theta \le \pi \!</math> La cui superficie vale: :<math>dS=2\pi Rrd\theta=2\pi r^2\sin \theta d\theta\!</math> Quindi la cui massa vale: :<math>dm=2\pi r^2\sin \theta d\theta \sigma=\frac M2\sin \theta d\theta\!</math> :<math>dI_z=\frac M2\sin \theta d\theta R^2=\frac M2 r^2 \sin^3 \theta d\theta\!</math> :<math>I_z=\frac M2 r^2\int_{0}^{\pi}\sin^3 \theta d\theta=\frac M2 r^2\left[ -\cos \theta+\cos^3 \theta/3\right]_{0}^{\pi}=\frac 23 Mr^2\!</math> ===Sfera=== [[File:Sfera.svg|120px|thumb|Sfera]] Una sfera omogenea di raggio ''r'' e massa ''M'' ha una densità di: :<math>\rho=\frac {3M}{4\pi r^3} \!</math> A causa della simmetria sferica ogni asse passante per il centro è equivalente. Quindi scegliamo un asse qualunque passante per il centro come asse <math> z \!</math> attorno a cui vogliamo calcolare il momento di inerzia. Possiamo ridurre il singolo elemento infinitesimo ad un guscio sferico <math> 0\le R \le r\!</math> e spessore <math> dR\!</math> il cui volume vale: :<math>dV=4\pi R^2dR\!</math> Quindi di massa: :<math>dm=\rho dV=\frac {3M}{4\pi r^3}4\pi R^2dR=\frac {3M}{ r^3} R^2dR\!</math> Quindi utilizzando la formula del guscio sferico, ha un momento di inerzia (infinitesimo) pari a: :<math>dI_z=\frac 23 dmR^2=\frac 23\frac {3M}{ r^3} R^4dR=\frac {2M}{ r^3} R^4dR\!</math> Quindi il momento d'inerzia totale di una sfera piena vale: :<math>I_z=\int_0^rdI_z=\frac {2M}{ r^3} \int_0^rR^4dR=\frac 25Mr^2\!</math> ===Alcuni momenti di inerzia=== Per tutte le figure semplici è possibile calcolare il momento di inerzia. La tabella seguente riassume il valore di alcuni momenti di inerzia per alcuni solidi. {|class="wikitable" |- ! Descrizione || Figura || Momenti di inerzia |- | Due punti materiali ''M'' e ''m'', con massa ridotta ''μ'' e a distanza, ''x''. |align="center"| | <math> I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2</math> |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse ad un estremo . | align="center"|[[File:moment of inertia rod end.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{end}} = \frac{M L^2}{3} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Asta rigida di lunghezza ''L'', massa ''M'', spessore trascurabile, con asse al centro . | align="center"|[[File:moment of inertia rod center.svg|170px]] | <math>I_{\mathrm{center}} = \frac{M L^2}{12} \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Anello di raggio ''r'' e massa ''M'' di spessore trascurabile. | align="center"|[[File:moment of inertia hoop.svg|170px]] | <math>I_z = M r^2\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{2}\,\!</math> |- | Disco di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia disc.svg|170px]] | <math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math><br><math>I_x = I_y = \frac{M r^2}{4}\,\!</math> |- | Guscio cilindrico di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thin cylinder.png]] | <math>I = M r^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cilindro di raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid cylinder.svg|170px]] |<math>I_z = \frac{M r^2}{2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left(3r^2+h^2\right)</math> |- | Tubo di raggio interno ''r''₁, esterno radius ''r''₂, lunghezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia thick cylinder h.svg]] | <math>I_z = \frac{1}{2} M\left(r_1^2 + r_2^2\right) = M r_2^2 \left(1-t+\frac{1}{2}{t}^2\right)</math>&nbsp;&nbsp; <br> dove ''t''&nbsp;=&nbsp;(''r₂&ndash;r₁'')/''r₂'' è il rapporto normalizzato dei raggi; <br> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} M\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math> |- | [[w:Tetraedro|Tetraedo]] di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Tetraaxial.gif|170px]] | <math>I_{solid} = \frac{M s^2}{20}\,\!</math> <math>I_{hollow} = \frac{M s^2}{12}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (vuoto) di spigolo ''s'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{5M s^2}{9}\,\!</math> |- | [[w:Ottaedro|Ottaedro]] (pieno) di spigolo ''s'' e massa ''M'' |align="center"| [[File:Octahedral axis.gif|170px]] | <math>I_z=I_x=I_y = \frac{M s^2}{5}\,\!</math> |- | Guscio sferico sottile di raggio ''r'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia hollow sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{3}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Sfera piena di raggio ''r'' e massa ''M''.. |align="center"| [[File:moment of inertia solid sphere.svg|170px]] |<math>I = \frac{2 M r^2}{5}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Guscio sferico di raggio esterno ''r''₂, interno ''r''₂ e massa ''M''. |align="center"| [[File:Spherical shell moment of inertia.png|170px]] |<math>I = \frac{2 M}{5}\left[\frac{{r_2}^5-{r_1}^5}{{r_2}^3-{r_1}^3}\right]\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Cono retto con raggio ''r'', altezza ''h'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia cone.svg|120px]] |<math>I_z = \frac{3}{10}Mr^2 \,\!</math>&nbsp;&nbsp;<br/><math>I_x = I_y = \frac{3}{5}M\left(\frac{r^2}{4}+h^2\right) \,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Toro_(geometria)|Toro]] di raggio ''a'', raggio della sezione ''b'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Torus cycles.svg|122px]] | <math>\frac{1}{8}\left(4a^2 + 5b^2\right)M</math>&nbsp;&nbsp; |- | [[w:Ellissoide|Ellissoide]] di semiassi ''a'', ''b'', e ''c'' con massa ''M''. | [[File:Ellipsoid 321.png|170px]] |<math>I_a = \frac{M (b^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_b = \frac{M (a^2+c^2)}{5}\,\!</math><br /><br /><math>I_c = \frac{M (a^2+b^2)}{5}\,\!</math> |- | Una sottile piatto lastra di altezza ''h'', larghezza ''w'' e massa ''M''. |align="center"| [[File:Recplane.svg|170px]] |<math>I_c = \frac {M(h^2 + w^2)}{12}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; |- | Parallelepipedo di altezza ''h'', larghezza ''w'', spessore ''d'', e massa ''M''. |align="center"| [[File:moment of inertia solid rectangular prism.png]] |<math>I_h = \frac{1}{12} M\left(w^2+d^2\right)</math><br><math>I_w = \frac{1}{12} M\left(h^2+d^2\right)</math><br><math>I_d = \frac{1}{12} M\left(h^2+w^2\right)</math> |- | Parallelepipedo di altezza ''D'', larghezza ''W'', lunghezza ''L'', e massa ''M'' con la diagonale maggiore come asse. |align="center"| [[File:Moment of Inertia Cuboid.svg|140px]] |<math>I = \frac{M\left(W^2D^2+L^2D^2+L^2W^2\right)}{6\left(L^2+W^2+D^2\right)}</math> |} == Raggio di girazione (o raggio giratore) == Poiché il momento di inerzia ha le dimensioni fisiche di una massa per una lunghezza al quadrato ([\text{M}][\text{L}]^2), è possibile introdurre una lunghezza caratteristica del corpo rigido chiamata raggio di girazione (o raggio giratore), indicata comunemente con r_g (o k). Il raggio di girazione è definito come la distanza dall'asse di rotazione alla quale si dovrebbe concentrare l'intera massa M del corpo per ottenere, attorno allo stesso asse, lo stesso momento di inerzia I del corpo reale. In termini matematici: :<math>I = M r_g^2</math> Da cui si ricava immediatamente l'espressione per il raggio di girazione: :<math>r_g = \sqrt{\frac{I}{M}}</math> === Considerazioni geometriche === Il raggio di girazione fornisce una misura intuitiva di quanto la massa di un corpo sia geometricamente "distante" dall'asse attorno a cui ruota: * Nel caso di un anello sottile o di un guscio cilindrico (ruotanti attorno al proprio asse di simmetria), tutta la massa si trova esattamente alla stessa distanza R. In questo caso specifico, e solo in questo, il raggio di girazione coincide con il raggio geometrico del corpo (r_g = R). *Per un cilindro o un disco pieno omogeneo di raggio <math>R</math> (il cui momento di inerzia è <math>I = \frac{1}{2}MR^2</math>), il raggio di girazione vale: *:<math> r_g = \frac{R}{\sqrt{2}} \approx 0.707 , R</math> *Per una sfera piena omogenea di raggio <math>R</math> (con <math>I = \frac{2}{5}MR^2</math>), si ha: *:<math> r_g = \sqrt{\frac{2}{5}} R \approx 0.632 , R</math> In generale, per i solidi continui e omogenei in cui la massa è distribuita all'interno del volume, il raggio di girazione risulta inferiore alla dimensione massima del corpo, poiché la presenza di massa vicino all'asse di rotazione "abbassa" il valore medio quadratico della distanza. == Teorema di Huygens-Steiner == [[File:Steiner.png|thumb|right|Il momento di inerzia di un corpo attorno ad un asse calcolato a partire da quello di un asse passante per il centro di massa e ad esso parallelo.]] Quando l'asse di rotazione non passa dal centro di massa del corpo, il calcolo del momento d'inerzia potrebbe essere complicato in quanto vengono meno le condizioni di simmetria. Ci viene in aiuto il teorema di Huygens-Steiner che ci dice che il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un asse parallelo che si trova ad una distanza d\ dal centro di massa è dato da: :<math>I = I_c + M d^2 </math> Dove <math>I_c</math> è il momento di inerzia rispetto a un asse parallelo al primo ma passante per il centro di massa. La dimostrazione viene fatta assumendo, senza perdita di generalità, che l'origine di un sistema di coordinate cartesiane sia nel centro di massa e che l'asse delle <math>x</math> si trovi sulla congiungente i due assi. In questo modo, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per il centro di massa è: :<math>I_c = \int (x^2 + y^2) dm</math> Mentre il momento di inerzia relativo al nuovo asse (parallelo all'asse <math>z</math> e che interseca l'asse <math>x</math> a una distanza <math>d</math> dall'origine) è: :<math>I = \int \left[(x - d)^2 + y^2\right] dm</math> Sviluppando il quadrato del binomio e separando i vari termini si ottiene: :<math>I = \int (x^2 + y^2) dm + d^2 \int dm - 2d\int x dm</math> Analizzando i tre integrali: * Il primo termine è proprio <math>I_c</math>; * Il secondo termine è <math>Md^2</math> (poiché l'integrale di <math>dm</math> è la massa totale <math>M</math> del corpo); * L'ultimo termine è nullo. Infatti, l'integrale <math>\int x dm</math> rappresenta la coordinata <math>x</math> del centro di massa moltiplicata per la massa totale (<math>M \cdot x_{cm}</math>). Poiché l'origine coincide con il centro di massa, si ha <math>x_{cm} = 0</math>. Quindi, l'equazione diventa come si voleva dimostrare: {{Equazione|eq=<math> I = I_c + Md^2\ </math>|id=9}} Il teorema di Huygens-Steiner è particolarmente utile per determinare il momento di inerzia di sistemi complessi, come nell'esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#1._Due_sfere_unite|due sfere unite]]. == Momento angolare nel caso generale== Ritorniamo all'espressione generale del momento angolare per un corpo continuo: :<math>\vec L = \int \vec r \times \vec v dm</math> Senza perdere di generalità, si assume che l'asse attorno a cui avviene la rotazione sia parallelo all'asse <math>z</math> del sistema di riferimento cartesiano. Il momento angolare può essere scomposto in due componenti. La componente parallela all'asse di rotazione vale, per ogni elemento infinitesimo di massa: :<math>(\vec r \times \vec v)_z dm = (x^2 + y^2) \omega dm</math> dove <math>(x^2 + y^2)</math> rappresenta il quadrato della distanza dell'elemento <math>dm</math> dall'asse di rotazione <math>z</math>. Integrando su tutto il corpo, la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione risulta: :<math>L_z = I_z \omega</math> Questa componente viene normalmente chiamata '''momento angolare assiale'''. Essa ha la proprietà fondamentale di essere indipendente dalla scelta della posizione del polo, purché quest'ultimo si trovi sull'asse di rotazione. In generale, vi è anche una componente ortogonale all'asse di rotazione, <math>\vec L_{\bot}</math>, che invece dipende esplicitamente dalla posizione del polo sull'asse. Tale componente si annulla se l'asse di rotazione è sia un asse di simmetria geometrica del corpo, sia passante per il suo centro di massa (asse principale d'inerzia). Se presente, la componente trasversale ruota solidalmente con il corpo attorno all'asse di rotazione e può anche variare in ampiezza nel tempo se la rotazione non è uniforme. A causa di questa componente ortogonale, nel caso generale il vettore momento angolare di un solido non è parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Possiamo quindi scomporre il momento angolare complessivo nella somma vettoriale: {{Equazione|eq=<math>\vec L = \vec L_z+\vec L_{\bot}\!</math>|id=10}} In conclusione, il momento angolare assiale, essendo proporzionale al momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione, dipende unicamente dalla distribuzione di massa del solido e dalla posizione geometrica dell'asse rispetto ad esso. == Assi di simmetria di un corpo rigido == Se l'asse attorno a cui avviene la rotazione rappresenta un asse di simmetria materiale del corpo (ovvero le masse sono distribuite in modo simmetrico attorno ad esso), la componente ortogonale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> è nulla. Tra gli infiniti assi di rotazione di un corpo rigido passanti per il suo centro di massa, hanno particolare importanza i cosiddetti '''assi principali di inerzia'''. Gli assi principali di inerzia passanti per un punto sono sempre almeno tre e sono mutuamente perpendicolari; il loro numero può essere superiore se il corpo è dotato di simmetrie geometriche particolari. * Nel caso di un corpo a '''simmetria sferica''', qualsiasi diametro è un asse principale di inerzia. * Nel caso di un '''cilindro''', l'asse geometrico del cilindro è un asse principale di inerzia, insieme a qualsiasi asse a esso perpendicolare passante per il centro di massa. Una rotazione attorno a un asse principale di inerzia gode della fondamentale proprietà per cui il vettore momento angolare <math>\vec L</math> del corpo rigido è perfettamente parallelo al vettore velocità angolare <math>\vec \omega</math>. Di conseguenza, durante la rotazione non nascono forze o momenti d'inerzia d'esoscheletro (sollecitazioni dinamiche) sui supporti dell'asse. La [[w:Costruzione_di_Poinsot|costruzione di Poinsot]] permette di ricavare, a partire dai tre momenti d'inerzia calcolati rispetto agli assi principali (detti '''momenti principali di inerzia'''), il momento di inerzia relativo a qualsiasi altro asse passante per il medesimo punto, attraverso la visualizzazione geometrica del cosiddetto '''ellissoide di inerzia'''. L'operazione di [[w:Equilibratura|equilibratura]], eseguita comunemente sulle ruote delle automobili, consiste proprio nel far coincidere l'asse di rotazione meccanico (il [[w:Mozzo_(meccanica)|mozzo]]) con uno degli assi principali di inerzia della ruota. Se l'asse di rotazione non coincidesse con un asse principale, la presenza di una componente trasversale del momento angolare <math>\vec L_{\bot}</math> (che ruota solidalmente con la ruota) genererebbe continue forze sussultorie e momenti d'inerzia variabili, responsabili di forti vibrazioni e della rapida usura dei supporti meccanici. ===Il moto di precessione=== [[Immagine:Precessing-top.gif|thumb|La precessione di una trottola dovuta alla coppia generata dalla forza di gravità.]] Se la componente del momento angolare normale all'asse di rotazione non è nulla, il moto rotatorio del corpo rigido diventa decisamente più complesso e può assumere, ad esempio, la forma di un moto di '''precessione''', il cui esempio classico è il movimento di una [[w:Trottola|trottola]]. Nel caso della trottola soggetta a gravità (figura a lato), l'asse di simmetria del corpo non è verticale; la forza peso genera una coppia di forze rispetto al punto di appoggio che fa ruotare (precedere) l'asse della trottola attorno alla verticale. Esiste tuttavia anche la cosiddetta '''precessione libera''' (o in assenza di coppie), come nel caso di un corpo rigido asimmetrico lanciato nello spazio. In questo scenario, per la seconda equazione cardinale della dinamica, il vettore momento angolare <math>\vec L</math> rimane rigorosamente costante nello spazio sia in modulo che in direzione. Poiché il corpo ruota continuamente cambiando orientazione rispetto a <math>\vec L</math>, i momenti di inerzia rispetto alle direzioni fisse dello spazio variano nel tempo. Il risultato è che la velocità angolare <math>\vec \omega</math> non rimane costante, ma cambia continuamente direzione nel tempo, muovendosi attorno al vettore <math>\vec L</math> fisso, con componenti lungo gli assi principali che variano istante per istante. == Energia cinetica e lavoro == L'energia cinetica di un corpo rigido si ricava per estensione di quella di un sistema di particelle: :<math>E_k = \frac 12 \int v^2 dm</math> Se il corpo è in rotazione attorno a un asse fisso, poiché la velocità di ogni elemento di massa vale <math>v = \omega r</math> (dove <math>r</math> è la distanza dall'asse), si ha che: :<math>E_k = \frac 12 \int \omega^2 r^2 dm = \frac 12 I \omega^2</math> Dove <math>I</math> è il momento di inerzia attorno all'asse di rotazione fisso. Se l'asse di rotazione del corpo si trova a una distanza d dal centro di massa, applicando il teorema di Huygens-Steiner l'espressione diventa: :<math>E_k = \frac 12 (I_c + Md^2)\omega^2 = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 M\omega^2d^2</math> Poiché la velocità del centro di massa in questo caso è data da <math>v_{CM} = \omega d</math>, possiamo scrivere: {{Equazione|eq=<math>E_k = \frac 12 I_c\omega^2 + \frac 12 Mv_{CM}^2</math>|id=11}} Questa espressione (vista nel capitolo precedente [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Secondo teorema di König|secondo teorema di König]]) ha una validità generale che va oltre il caso dell'asse fisso: essa vale infatti per un qualsiasi moto rototraslatorio, in cui si ha sia un moto del centro di massa (<math>v_{CM} \neq 0</math>), sia una rotazione attorno a un asse istantaneo passante per esso. L'espressione separa nettamente l'energia cinetica in due contributi: l'energia cinetica rotazionale relativa al centro di massa e l'energia cinetica traslazionale del centro di massa stesso. ===Il teorema dell'energia cinetica e il lavoro=== Come già visto nella dinamica del punto materiale, il [[Fisica_classica/Energia_e_lavoro#Energia Cinetica|teorema dell'energia cinetica]] stabilisce un legame tra la variazione dell'energia cinetica e il lavoro compiuto dalle forze esterne: :<math>dW = dE_k</math> Per quanto riguarda la parte puramente rotazionale, differenziando l'energia cinetica rispetto al tempo (o usando i differenziali relativi), il lavoro infinitesimo dW compiuto per una rotazione infinitesima <math>d\theta</math> risulta: :<math>dW = d\left(\frac 12 I_z\omega^2\right) = I_z \omega d\omega = I_z \frac{d\theta}{dt} d\omega = I_z \frac{d\omega}{dt} d\theta = I_z \alpha d\theta</math> Essendo <math>I_z \alpha = \tau_z</math> per la legge fondamentale della dinamica rotazionale, dove <math>\tau_z</math> è la componente lungo l'asse del momento delle forze esterne applicate, si ottiene: :<math>dW = \tau_z d\theta</math> Di conseguenza, il lavoro totale compiuto dal momento delle forze per ruotare il corpo rigido da un angolo iniziale <math>\theta_1</math> a un angolo finale <math>\theta_2</math> è pari alla variazione della sua energia cinetica rotazionale: :<math>W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau_z d\theta = \frac 12 I_z\omega_2^2 - \frac 12 I_z\omega_1^2</math> Se le forze agenti sul sistema sono conservative, il lavoro totale può essere espresso anche come la variazione negativa dell'energia potenziale del sistema: :<math>W = -\Delta E_p</math> In questo caso, l'energia meccanica totale del corpo rigido — che include sia il contributo traslazionale che quello rotazionale — si conserva costante nel tempo: :<math>\frac 12 Mv_{CM}^2 + \frac 12 I_c\omega^2 + E_p = \text{costante}</math> = [[w:Moto_di_puro_rotolamento|Moto di puro rotolamento]] = [[File:Moglfm2207_rodadura.jpg|right|250px|thumb|Esempio di moto di puro rotolamento di una ruota. Il punto O di contatto istantaneo ha velocità nulla.]] In fisica classica il '''moto di puro rotolamento''' è quello in cui un corpo rigido rotola su una superficie ma la velocità istantanea del punto di contatto è nulla. Il corpo ruota così attorno al punto di contatto (che rimane fermo) con il piano. La ruota che ha avuto una importanza fondamentale nello sviluppo della società moderna in condizioni normali di lavoro è ben descritta da questo tipo di moto. La forza di attrito statico è quella che garantisce l'immobilità del punto di contatto, notiamo che dopo un tempo <math>dt</math> il punto di contatto diventa un punto infinitesimo vicino e via di seguito. La sezione del corpo rigido deve essere un cerchio di raggio <math>R</math> (cioè può essere una ruota, un cilindro, una sfera eccetera). Indichiamo con <math>\vec R</math> il vettore che ha origine nel [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Centro_di_massa|centro di massa]] del corpo rigido C e l'altro estremo sul punto istantaneo di contatto O con il piano di appoggio. La velocità angolare <math>\vec \omega</math> è un vettore normale al piano contenente la sezione del cerchio, con origine nel centro di massa. Nel moto dei corpi rigidi è sempre possibile descrivere il moto di una qualsiasi punto come la combinazione del moto traslatorio del centro di massa e la rotazione attorno ad un asse passante per il centro di massa. In particolare quindi la velocità del punto di contatto è descritta dalla relazione: :<math>\vec v_O=\vec v_{C}+\vec \omega \times \vec R</math> Imponendo che tale velocità sia nulla si ha che: :<math>\vec v_{C}=-\vec \omega \times \vec R</math> Quindi se il corpo si muove verso destra, come nella figura, la rotazione avviene in senso orario. In modulo quindi :<math>v_{C}=\omega R</math> cioè nel moto di puro rotolamento esiste una relazione ben precisa tra la velocità del centro di massa e la velocità angolare (che non dipende dalla scelta del polo). Se quindi la velocità del centro di massa cambia nel tempo, cioè il moto è accelerato, la stessa cosa deve fare la velocità angolare per cui anche: :<math>|a_{CM}|=|\alpha|\ R</math> avendo indicato con <math>a_{CM}</math> la accelerazione del centro di massa e con <math>\alpha </math> la accelerazione angolare Vale la pena di studiare alcuni casi particolari: [[File:RuotaF.png|thumb|350px|Una ruota soggetta all'azione di una forza F applicata sul centro di massa.]] Immaginiamo di avere un corpo rigido a sezione circolare di raggio <math>R</math> e massa <math>M </math> come mostrato in figura su cui agisce una forza motrice sul centro di massa parallela al piano di appoggio orizzontale (questo è il caso delle ruote non motrici di una automobile). La figura mette in evidenza le varie forze agenti sul corpo: la <math>F</math> parallela al piano applicata sul centro di massa; <math>f</math> la forza di attrito statico; la forza peso <math>M g</math>, la reazione vincolare <math>N</math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso (se la superficie fosse un piano inclinato l'equazioni sarebbero diverse): :<math>N=Mg</math> Mentre per quanto riguarda la direzione orizzontale, l'equazione oraria ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Prima_equazione_cardinale|prima equazione cardinale]]) è: :<math>F-f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac {F-f}M</math> Per quanto riguarda il momento angolare ( [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda_equazione_cardinale|seconda equazione cardinale]]), definendo con <math>I</math> il momento di inerzia rispetto all'asse di rotazione del corpo e scelto il centro di massa come polo: :<math>Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {R^2 f}I </math> Eguagliando le due espressioni cioè imponendo che il moto sia di puro rotolamento: :<math>\frac {F-f}M=\frac {R^2 f}I</math> L'unica incognita diventa la forza di attrito <math>f</math> che vale: :<math>f=\frac F{1+MR^2/I}\ </math> Quindi la forza di attrito in modulo è sempre inferiore al valore della forza trainante. Ma in ogni caso deve anche valere la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> Questo impone che per garantire un moto di puro rotolamento la forza da applicare al centro di massa deve essere inferiore ad un certo valore massimo: :<math>F_{max}\le \mu_s Mg(1+MR^2/I)\ </math> Notare che se venisse applicata una forza maggiore di <math>F_{max}</math>, il punto di contatto striscerebbe, in quanto la forza di attrito statico non sarebbe più sufficiente a bloccarlo sul piano di appoggio, si avrebbe quindi che il moto non sarebbe di puro rotolameneto in quanto: :<math>|\vec v_{C}|>|\vec \omega \times \vec R|</math> Via via che crescesse la forza applicata il moto traslatorio prevalerebbe sul moto rotatorio. La funzione dell'attrito statico è essenziale nel moto di puro rotolamento, in quanto causa un momento di una forza (fR) che fa ruotare il corpo, e quindi il corpo trasla (per effetto della forza F applicata) e contemporaneamente ruota a causa dell'attrito. Se non ci fosse attrito il corpo semplicemente traslerebbe. Notare che se la sezione del corpo ruotante non è perfettamente circolare il moto diventerebbe in quei punti di contatto prevalentemente traslatorio e la forza di attrito svolgerebbe anche un'azione frenante; l'esempio più chiaro è il caso delle ruote delle automobili non motrici sgonfie. Se la forza fosse stata frenante, quindi con direzione opposta alla direzione del moto, anche la forza di attrito avrebbe avuto direzione opposta, matematicamente tutte le equazioni sarebbero rimaste eguali, <math>F_{max} </math> sarebbe la forza frenante massima applicabile. == Moto di puro rotolamento con solo momento applicato sull'asse == [[File:RuotaM.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) soggetta ad un momento <math>\tau\ </math> applicato all'asse di rotazione.]] Immaginamo di avere una ruota sul cui asse è applicato un momento motore <math>\tau\ </math>. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile. Nella figura sono mostrate le forze ed il momento. Immaginiamo che il moto si svolga su un piano orizzontale. Notare che il verso della forza di attrito è opposto al caso precedente. La reazione vincolare bilancia esattamente la forza peso come nel caso precedente. Ma per quanto riguarda la componente orizzontale si ha: :<math>f=Ma_{CM}\rightarrow a_{CM}=\frac fM\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare, tenendo presente che se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Eguagliando le due espressioni (condizione necessaria per avere moto di puro rotolamento): :<math>\frac fM=\frac {\tau R-R^2f}I</math> Da cui si ricava che <math>f</math> vale: :<math>f=\frac {\tau}{R(1+I/MR^2)}\ </math> la forza d'attrito è la forza motrice che causa il moto traslatorio, ma anche in questo caso si ha la condizione che: :<math>f\le\mu_s N=\mu_sMg\ </math> e quindi: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR(1+I/MR^2)\ </math> Se il momento applicato è maggiore di <math>\tau_{max}</math> il moto rotatorio è prevalente sul moto traslatorio. Questo è il caso delle ruote motrici di una automobile quando su di esse viene applicato un momento maggiore di quello che permette la trazione e le ruote slittano. La forza di attrito è la forza che causa il moto traslatorio, la ragione per cui gli pneumatici delle automobili sono fatti di gomma è per avere un elevato attrito statico con il fondo stradale. Notiamo che se ci fosse stato un momento frenante la forza di attrito avrebbe avuto verso opposto, ed avrebbe quindi l'effetto di rallentare il moto. Ma l'espressione del momento massimo applicabile sarebbe stata la stessa. == Moto di puro rotolamento con un momento ed una forza applicata == [[File:RuotaMF.png|thumb|350px|Ruota di massa m (nel testo M) che sale su un piano inclinato spinta da un momento <math>\tau\ </math> che agisce sul suo asse.]] Immaginiamo che il moto si svolga su un piano inclinato in salita con inclinazione <math>\theta</math>, sul corpo agisce un momento motore <math>\tau\ </math>. La forza peso ha una componente tangenziale al piano <math>Mg\sin \theta\ </math> e una normale <math>Mg\cos \theta\ </math>. La reazione vincolare bilancia esattamente la componente della forza peso perpendicolare al piano: :<math>N=Mg\cos \theta\ </math> Mentre la legge del moto nella direzione del piano di appoggio è: :<math>Ma_{CM}=f-Mg\sin \theta\rightarrow a_{CM}=\frac fM -g\sin \theta\ </math> Per quanto riguarda il momento angolare tenendo presente che, se il momento fa ruotare il corpo in senso orario, la forza di attrito esercita un momento in direzione opposta: :<math>\tau-Rf=I\alpha\rightarrow \alpha R=\frac {\tau R-R^2f}I\ </math> Dalla condizione che il moto sia di puro rotolamento segue che: :<math>f=\frac {\tau/(R)+Ig\sin \theta/(R^2)}{1+I/(MR^2)}\ </math> Imponendo la condizione che: :<math>f\le \mu_s N=\mu_sMg\cos \theta\ </math> Si ha che per avere moto di puro rotolamento: :<math>\tau_{max}\le\mu_s MgR\cos \theta(1+I/MR^2)-\frac {Ig}R\sin \theta\ </math> Vi è anche una inclinazione massima del piano inclinato al di sopra della quale qualsiasi moto di puro rotolamento non è possibile (quando è nullo <math>\tau_{max}</math>) cioè se si ha che <math>\theta \ge arctg \left[\mu_s\left(MR^2/I+1\right)\right]\ </math>. In discesa <math>\theta<0\ </math> è possibile un moto di puro rotolamento anche in assenza di attrito per un opportuno momento motore. Se in discesa <math>\tau/(MR)<-Ig\sin \theta/(R^2)\ </math> la forza di attrito cambia segno rispetto a quanto indicato nella figura. ==[[w:Attrito_volvente#Attrito_volvente|Attrito volvente]]== Nel moto di puro rotolamento la forza di attrito statico non esercita nessun lavoro in quanto il punto di applicazione non cambia. Bisogna aggiungere che pure nei corpi che rotolano senza strisciare si nota che si fermano dopo un certo tempo o se si vuole un piano inclinato inferiore ad una certa pendenza non riesce a fare rotolare oggetti di sezione circolare. La giustificazione che viene data è che esiste un attrito dovuto alla deformazione locale del piano di appoggio (il corpo rigido è indeformabile per definizione, ma nella pratica è deformabile anche esso). Il coefficiente di attrito volvente produce un momento frenante pari a : :<math>\tau_f=hN \,\!</math> con <math>h\ </math> coefficiente di attrito volvente, che ha le dimensioni di una lunghezza (la massima deformazione), <math>N\ </math> la reazione vincolare. In genere l'attrito volvente esercita una azione trascurabile. Ma sicuramente una automobile con gli pneumatici sgonfi si arresta molto prima, una volta spento il motore. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#11._Attrito_volvente|Esempio di attrito volvente]]. = [[w:Pendolo_composto|Pendolo composto]] = [[File:Physical-Pendulum-Labeled-Diagram.png|200px|right|thumb|Un pendolo composto ]] Chiamiamo pendolo composto o fisico un corpo rigido che oscilla attorno ad un asse orizzontale non passante per il centro di massa. Spostando il pendolo composto dalla posizione di equilibrio di un angolo <math>\theta \ </math>, il momento della forza peso tende a riportare il pendolo verso la posizione di equilibrio. Il momento della forza peso, che agisce come un momento di richiamo verso la posizione di equilibrio, è parallelo all'asse di rotazione e vale :<math>{M} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> dove <math>L\ </math> è la distanza tra il centro di rotazione ed il centro di massa (non è il momento angolare). Supponendo trascurabile l'attrito nella rotazione attorno all'asse e supponendo che eventuali momenti dovuti alle reazioni dei supporti risultano ortogonali all'asse stesso, l'equazione [[Fisica_classica/Dinamica_dei_sistemi_di_punti_materiali#Seconda equazione cardinale| seconda equazione cardinale]] diventa: : <math> \frac{dL_z}{dt} = {I}\alpha = {I}\frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} = {-{MgL}}\sin{\theta}</math> Indicando con <math>I\ </math> è il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione orizzontale ''z'' passante per la posizione di equilibrio. Quindi: : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\sin{\theta}}{I} = 0 </math> Se l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, usando lo [[w:sviluppo di Taylor|sviluppo di Taylor]], si può approssimare <math>\sin \theta \ </math> con <math>\theta \ </math>, ottenendo : <math> \frac{\mathrm{d}^2{\theta}}{\mathrm{d}t^2} + \frac{{{MgL}}\theta}{I_z} = 0 </math> che è l'equazione del [[w:moto armonico|moto armonico]] la cui equazione oraria è: : <math> \theta = {\theta_0}\sin\left(\Omega t + \varphi_0\right)</math> La [[w:Velocità angolare|pulsazione]] è : <math> \Omega = \sqrt{\frac{MgL}{I_z}} </math> e il periodo vale : <math> T = \frac{2 \pi}{\Omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{I_z}{MgL}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math> dove <math>l=I_z/ML\ </math> rappresenta la '''lunghezza ridotta del pendolo composto''' e corrisponde alla lunghezza del filo di un [[w:pendolo semplice|pendolo semplice]] che oscilla con lo stesso periodo. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è grande il pendolo si muove ancora di moto periodico, ma non più armonico. [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Dinamica_dei_corpi_rigidi#2._Pendolo_fisico|Esempio sul pendolo fisico]]. = Impulso angolare= Nel caso di un momento applicato <math>\vec \tau\ </math> ad un corpo rigido che agisce per un limitato intervallo <math>\Delta t\ </math> di tempo la grandezza: : <math> \vec J_{\tau}=\vec \tau \Delta t\ </math> viene chiamata impulso angolare. La sua azione su un corpo rigido e quella provocare una variazione del momento angolare, cioè: : <math> \vec J_{\tau}=\Delta \vec L\ </math> cioè la sua azione è simile a quello che avviene per la variazione della quantità di moto per forze impulsive. Anche in questo caso se la durata del momento impulsivo è breve, tutte gli altri momenti agenti possono trascurarsi. Esempio: Immaginiamo di avere una sbarretta di lunghezza <math>\ell=42\ cm</math> e massa <math>M=2.05\ kg</math> incernierata ad un estremo ad un perno fisso orizzontale che può muoversi liberamente in un piano verticale se viene applicato un impulso angolare di <math>\vec J_{\tau}=1\ kg m s</math> poiché il suo momento di inerzia rispetto ad un estremo è <math>I_c=M\ell/3=0.12\ kg m^2</math> acquisterà una velocità angolare: <math>\omega=J_{\tau}/I_c=8.3\ rad/s</math> e quindi una energia cinetica rotazionale di <math>E_k=\frac 12I_c\omega^2=4.15\ J</math> che diventa energia potenziale nel punto più alto <math>E_p=Mgh=E_k\ </math>, cioè <math>h=E_k/(Mg)=0.21\ m</math> (cioè compie un quarto di giro) = Statica= La condizione necessaria affinché un corpo rigido sia in equilibrio statico è che contemporaneamente: :<math>\vec R=0\ </math> :<math>\vec \tau=0\ </math> e che né si muova il centro di massa e né ruoti attorno a qualsiasi polo Alcuni esempi chiariscono meglio la statica dei corpi rigidi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#1._Scala|scala con una persona]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Statica_dei_corpi_rigidi#2._Asta|asta orizzontale con un carico]]. =Bibliografia= * {{cita libro||P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci|Elementi di Fisica (Meccanica e Termodinamica)|2007|Edises|ISBN 978-88-7959-418-9|ed=2}} ==Altri progetti== {{interprogetto|preposizione=sulla}} [[Categoria:Fisica classica]] [[Fisica_classica/Urti| Argomento seguente: Urti]] {{Avanzamento|100%}} 82ryty3b35du76ooyz45tgd4540hjsn 0 17305 498602 210601 2026-05-29T10:43:27Z Avemundi 6028 refuso 498602 wikitext text/x-wiki {{kdenlive}} È possibile utilizzare il video non compresso...se si possiede MOLTO, veramente TANTO spazio su disco! Ecco il perché del fatto che il video digitale viene quasi sempre compresso in qualche modo. Più che semplicemente compresso, il video viene in realtà ''codificato'' da un '''codec''' e poi salvato in un ''file'' di un certo '''formato'''. =Codec e Formati= '''Codec''' significa "'''co'''dificatore/'''dec'''odificatore". È un software che comprime il video a scopo di immagazzinamento con un certo algoritmo e in certi casi (non sempre) può anche decomprimerlo per la visualizzazione. Molto spesso si confonde il codec con il formato del file video. È vero che alcuni formati di file richiedono uno specifico standard di decodifica ma questo non significa che sia necessario utilizzare specificatamente proprio quel programma di codifica/decodifica. Per esempio esistono molti software (N.d.T.: ... e anche hardware) per la codifica dei file video MPEG 1. Inoltre alcuni formati di file sono in grado di "contenere" video compressi secondo standard differenti. Il formato AVI, che è molto diffuso, ne è un chiaro esempio. Esso può contenere video non compresso o indifferentemente video compresso in standard MPEG 4 creati da codec come XviD, DivX o altri ancora. Molti usano espressioni errate tipo "questo è un video DivX" o simili. In effetti un video compresso con il codec DivX è in realtà un file in standard MPEG4 che a sua volta può essere visualizzato tramite un altro decoder MPEG 4 come XviD. Qualche problema, però, deriva dal fatto che il formato AVI utilizza una stringa di identificazione, chiamata '''FourCC''', per dichiarare quale codec è stato utilizzato per la compressione del video. Alcune applicazioni sviluppate per un certo standard di compressione possono rifiutarsi di lavorare con un codice FourCC diverso da quello che si aspettano anche se il metodo di compressione è lo stesso (N.d.T.: ... e quindi, almeno potenzialmente, potrebbero funzionare egregiamente con quel tipo di combinazione di file/standard di compressione). Molta gente considera quindi erroneamente le informazioni FourCC come il "formato" del video. Chiariamo quindi il concetto una volta per tutte: il codec è il software che comprime il video e possono esserci molti codec differenti in grado di generare file secondo lo stesso formato standard. =Tipici metodi di compressione video e codec= * [[w:Digital Video | DV]]: usato dalla maggioranza delle telecamere digitali. * [[w:MPEG-2 | MPEG-2]]: usato per i DVD e dalle trasmissioni DT e SAT. * [[w:MPEG-1| MPEG-1]]: usato per i VideoCD. * [[w:H.264 | H.264 ]] o [[w:MPEG-4 | MPEG-4]]: codec video avanzato standard ISO/IEC. * [[w:DivX | DivX]]: il codec video più famoso. * [[w:XviD | XviD]]: codec MPEG-4 compatibile Open Source. * [[w:Theora | theora]]: codec Open Source a grandi prestazioni. =Tipici formati di file video= * [[w:DVD-Video#Specifiche_tecniche| MPEG-PS e VOB]]: formati usati nello standard DVD. * [[:w:en:MPEG transport stream|MPEG-TS]]: usato nelle trasmissioni in streaming. * [[w:Quicktime |Quicktime mov ]] (formato contenitore): usato spesso nei CD/DVD multimediali e su Internet. * [[w:Windows Media Video | WMV]]: standard commerciale Microsoft. * [[w:Audio Video Interleave | AVI ]] e [[w:Advanced Streaming Format | ASF]] (formati contenitori): standard commerciali Microsoft. * [[w:Ogg| Ogg]] (formato contenitore): Open-Source. * [[w:Matroska| Matroska]]: Open Source. [[Categoria:Kdenlive|Codec video]] [[de:Kdenlive/ Kompressionsverfahren und Dateiformate]] [[en:Kdenlive/Video codecs]] {{Avanzamento|100%}} 9ww87aa4915bfy1ofi7t3kcayphn8ea 0 20753 498598 469759 2026-05-29T10:40:55Z Avemundi 6028 refuso 498598 wikitext text/x-wiki {{Forze armate mondiali}} ==Bombe guidate== Le bombe guidate sono state studiate essenzialmente dopo la seconda guerra mondiale. Basandosi su disegni tedeschi come le Fritz-X vennero estrapolati ordigni come i '''RAZON''' e '''TARZON''', utilizzate in Corea da 3 bombardieri B-29 per distruggere ponti e altri obiettivi. Non va peraltro dimenticato nemmeno il 'BAT', una bomba guidata dalle caratteristiche molto particolari. In origine si cominciò a pensare alle bombe guidate verso la fine della I GM, per esempio per lanciarle dai bombardieri pesanti o dai dirigibili Zeppelin. I tedeschi realizzarono armi come le Hs-293 e le Fritz-X, entrambi costruite attorno al corpo bomba di ordigni già esistenti: le armi da 500 kg d'impiego generale e quelle semiperforanti da 1.400 kg con appena 300 kg di esplosivo e una robusta struttura anteriore per sfondare qualunque cosa incontrassero nel loro cammino. Ma gli Americani andarono anche oltre: mentre gli ordigni tedeschi erano radioguidati e quindi teoricamente vulnerabili (e anche in pratica..) ai disturbi dei tipi più semplici, gli Americani sperimentarono le bombe plananti ASM-1 Pelican, da 907 kg, con guida radar semiattiva, che era un fatto davvero notevole per l'epoca (a dire il vero, era difficile anche vedere radar in giro, data l'epoca ancora pionieristica). Poi però decisero di continuare con le ASM-2 Bat, che ancora più straordinariamente avevano un vero radar di ricerca attiva della Bell Telephonics, nel musetto di materiale dielettrico di forma piuttosto tozza. L'aspetto, con tanto di coda doppia, era quello di un piccolo aereo tipo l'Hs-162 tedesco. Pesavano circa 850 kg di cui 450 della testata, che era quindi la metà di quella del Pelican. Ne vennero prodotte quasi 3.000 ma solo 3 squadroni di Liberator navalizzati l'ebbero in servizio. Sganciabile tra i 4.000 e gli 8.000 m, tra 260 e 390 km/h, copriva anche i 32 km se 'mollata' da 7,6 km di quota. Ma non era molto precisa, affidabile e soprattutto si dimostrava vulnerabile ai disturbi, anche accidentali. Non ebbe quindi molta fortuna nonostante qualche successo in azione e una versione speciale capace di attaccare anche i ponti. Certo che un'arma autoguidata nella II GM era una vera rarità, una sorta di Harpoon o di JDAM d'annata. Ma forse i tempi erano men che maturi: nella Guerra di Corea gli USA ricorsero a più normali aerei F-6F carichi di 3 bombe da 454 kg senza governali e radioguidati dagli F7F, abbastanza veloci e disponibili anche in modelli biposto. Anche questo è un fatto poco noto, ma gli USA avevano impiegato dei drones da bombardamento anche durante la guerra. Gli Hellcat furono più figli loro che dei Bat (e antenati di UAV come i Predator armati), ma in ogni caso di missili veri e propri di tipo aria superficie, non se ne sarebbero rivisti per molto tempo. Addirittura si pensò di usare la 'guida organica'. Che cos'era? L'idea di usare un piccione, opportunamente addestrato, a riconoscere un bersaglio 'beccando' la finestrella dove questo appariva, il che avrebbe permesso di trasmettere un segnale di guida al missile dov'era sistemato. Idea poco 'animalista' (ma non peggiore di quanto sarebbe successo con altri esperimenti, per non parlare della vivisezione), era un sistema capace di realizzare un velivolo kamikaze 'non umano'. Ma la soluzione sarebbe stata un'altra, quella dell'Intelligenza Artificiale, più facile da programmare (e da 'convincere') per missioni del genere. [[Immagine:AGM-62 Walleye on a A-7C Corsair II of VX-5 at the White Sands Missile Range, 1 December 1978 (6413520).jpg|250px|left|thumb|]] Passarono quindi parecchi anni prima che a questi primordiali ordigni radioguidati ne seguissero altri, a cominciare dal Bullpup e dalla '''Walleye'''. Quest'arma, designata AGM-62 era il frutto delle ricerche del Naval Weapons Center di China Lake. Essa era in sostanza un ordigno tozzo, con 4 sole superfici di controllo, con una poderosa testata bellica.La guida, elemento fondamentale, era di tipo TV, quindi una sorta di antenato dei Maverick. Le consegne vennero fatte dalla Hughes nel 1966 e nel 1967 dalla Martin Marietta. Questi missili erano per la Marina USA. L'AGM-62A Walleye I e venne prodotta in ben 4.531 esemplari. Poteva essere lanciata fino a quote di 10.670 m e trasportata fino a mach 1,9 e usata nella guerra in Vietnam. Essa era indicata contro obiettivi 'duri' come ponti, ma mentre contro le strutture tipo ponti in legno era efficace, contro obiettivi in cemento era meno potente. Ovviamente gli ineffabili tecnici americani arrivarono rapidamente a fornire il prodotto adatto anche per questa missione di distruzione: così vennero ricostruite 1481 Walleye I e costruite ex-novo altre 529 Walleye come Walleye II, da parte della Martin Marietta. Queste nuove bombe avevano una capacità di esplosivo più che doppia, e come se non bastasse, la loro poderosa testata era a carica cava,anche se è strano che si utilizzi un tale sistema per distruggere una struttura di cemento. Certo, con una tale potenza la Walleye è forse l'unica arma capace di distruggere qualunque carro armato, anche i più moderni, e a dire il vero ha almeno un precedente: la colossale testata da 1.8 t del Mistel, capace di perforare circa 20 m di terreno e 3 m di cemento. Infine apparve l'Extender Range Data-Link: con i primi modelli quando il pilota lancia l'arma ne perde il contatto, ma con questo sistema l'arma è ancora puntabile dal pilota in quanto gli trasmette quello che la sua telecamera vede. La produzione iniziò nel 1972 e in questo modo vennero trasformate 1.400 Walleye I e poi prodotte altre 2400 Walleye II, non chiaro se anche per trasformazione delle precedenti. Questo consente ad un aereo di lanciare l'ordigno senza vedere affatto (né lui né la telecamera della bomba) l'obiettivo, ma un secondo aereo con pod data-link può intervenire, vedere sullo schermo TV quanto gli invia la bomba, e guidarla verso un obiettivo designato dal pilota. Quest'arma venne utilizzata in 3 esemplari nel '72 colpendo il bersaglio, senza essere in nessun caso visibile al pilota dell'aereo lanciatore. Pensata per essere utilizzata principalmente dagli A-7, in questo modo può essere utilizzata al meglio della sua gittata senza esporre il velivolo lanciatore. Naturalmente il data-link può teoricamente essere disturbato o l'aereo che guida l'ordigno può essere abbattuto. Tra il 1970 e il 1979 un'ulteriore versione della Walleye ha trovato impiego: quella nucleare con testata W72 da 150 kT, trasformandola in ordigno d'attacco nucleare strategico, ad alta precisione. Anche Israele ha utilizzato la Walleye, e probabilmente da questa ha ricavato l'esperienza per il missile Popeye. La Walleye, potente arma d'attacco a bersagli essenzialmente stazionari, è rimasta in servizio fino a non molti anni fa. Il suo successore diretto è stato lo SLAM, ovvero la versione (praticamente con lo stesso tipo di guida) dell'Harpoon, che nonostante una testata minore da 227 kg ha un turbogetto che lo rende più costoso ma capace di oltre 90 km di gittata utile, e anch'esso debuttò nel 1991 quando la Walleye venne usata forse per l'ultima volta. Ecco i dati dell'ordigno in parola: *Tipo: bomba planante a guida TV: *Dimensioni: Walleye I, lunghezza 3.54 m, apertura alare 1.156 m, diametro 31.8 cm. Walleye II, rispettivamente 4.04 m, 1.295 m, 45.7 cm *Prestazioni: raggio Walleye I tra 1.8 e 29.6 km (a 10.600 m), Walleye II tra 1.8 e 45 km. La versione ERDL con data-link, circa il 30% in più. *Peso: Walleye I 512.6 kg, Walleye II 1061.4 kg. Testata rispettivamente HE da 374.2 kg e HE-HEAT da (ben) 861.8 kg, oppure W71 all'idrogeno da 150 kT. [[Immagine:Paveway II p1230135.jpg|250px|left|thumb|Una Paveway I]] La grande famiglia di bombe guidate '''Paveway''' è una vera dinastia della Texas Instruments, con ben 3 generazioni sempre più precise e con alette di planata e di controllo più grandi, specie per permettere un raggio d'azione rilevante per il lancio a bassa quota. Si tratta essenzialmente di un kit di modifica, e la bomba LGB che ne deriva, come dice la sigla, è per l'appunto guidata da un laser designatore, percepito da un sensore a ricerca semiattiva nel muso, ed è basata essenzialmente sul corpo di bombe della serie Mk 80, come quelle da 227 kg Mk 82 (500 libbre nominali), Mk 83 da 454 kg (1000 lbs) ma soprattutto, le micidiali Mk 84 da 907 kg (2000 libbre), ampiamente usate, anche per valorizzare meglio gli effetti di un kit che costa circa 100.000 dollari contro 1.000-2.000 per la bomba vera e propria. La Mk 84 ha bassa resistenza aerodinamica e una carico di circa 400 kg di esplosivo, relativamente basso per il peso (in effetti, la sua forma affusolata non è affatto l'ideale per massimizzare il contenuto in esplosivo: si vedano a tal proposito i 'cookie' inglesi da 1.800-3.600 kg 'blockbuster', di triste memoria bellica), ma capace di scavare crateri di circa 8 x 10 metri (già la Mk 82 riece a crearne di 3 metri di profondità per 8 di diametro). La loro storia iniziò negli anni '60 quando rapidamente si comprese la potenzialità di utilizzare i raggi laser come sistemi di guida: piuttosto che affidarsi al 'raggio della morte' come fonte diretta di distruzione venne utilizzato come indicatore per armi convenzionali, come le bombe guidate. La T.I. a metà anni '60 iniziò a sviluppare bombe a guida laser, che cambiarono il modo di intendere la guerra aerea. Eppure non era da allora che venivano usate armi intelligenti: i primi esempi di ordigni aria-superficie guidati risalgono addirittura alla I G.M., e l'uso pratico data dalla II. Ironicamente, il programma iniziò nel 1965, quando la guerra in Vietnam era appena cominciata. Eppure, la prima bomba nel SE asiatico non venne usata fino al 12 maggio 1968 non fu prima del 1971 con l'operazione 'Steel Tiger' sul Laos che vennero utilizzate dai Phantom D, quando oramai la guerra in Vietnam era chiaramente persa. Vennero poi utilizzati nel marzo 1972 per colpire i cannoni M46 utilizzati dai nordvietnamiti nella Piana delle Giare, e poi contro le forze vietnamite che irruppero quell'anno durante l'Invasione di Pasqua. Queste bombe vennero utilizzate per distruggere postazioni d'artiglieria, per eliminare anche carri armati grazie alla collaborazione con gli OV-10 Bronco del programma 'Pave Nail'. A parte questo, il loro impiego divenne presto strategico. Il principale utente era il 4 TFW, già noto come 'Branco di lupi distruttori di MiG' avendone abbattuti, durante la campagna Rolling Thunder, più di ogni altra unità dell'USAF, e da allora noto piuttosto come 'Distruttori di ponti'. Il Thanh Hoa, ovvero le 'fauci del Drago', era un ponte strategico in cemento, destinato al traffico su rotaia. Esso era stato attaccato con quasi 1.000 sortite da caccia americani negli anni precedenti, durante la campagna Rolling Thunder. Missili Bullpup e bombe da 340 kg vennero ampiamente utilizzate, ma causarono solo danni superficiali. Non era facile abbattere un ponte dalla bassa struttura, che si ergeva sopra un fiume, era lungo 165 m e largo 17, con piloni di cemento di dodici metri di diametro. Era chiaramente un osso duro, e per danneggiarlo durante la campagna di cui sopra, arrestatasi dopo il '68 (di fatto, nonostante la guerra in Vietnam durò ufficialmente 10 anni, i combattimenti più accaniti si verificarono nel periodo 1965-68, fino a che con l'invasione del Tet gli americani cominciarono a considerare di non poter vincere la guerra e iniziarono il disimpegno), andarono persi 84 aerei. [[Immagine:Paveway ILA06.JPG|250px|left|thumb|]] Stavolta con le LGB e EOGB le cose andarono diversamente: i vietnamiti erano armati pesantemente, ma i Phantom stettero a distanza: un primo attacco con 8 aerei e altri 4 che stesero in avanti una cortina di chaff per limitare la pericolosità dei SAM si risolse con gravi danni il 27 aprile, pur dovendo usare solo le EOGB ovvero le armi a guida TV, simili alle Walleye perché la nuvolosità impediva la designazione continua con i laser. Per causare danni irreversibili un altro attacco venne portato il 13 maggio e distrusse la campata occidentale del ponte, utilizzando anche diverse LGB da 1.361 kg. Nessun aereo dei 14 partecipanti venne danneggiato, in grande contrasto con quello che avveniva in precedenza. Altre decine di ponti sarebbero stati distrutti o danneggiati in seguito, nell'arco dell'operazione Linebacker I.In tutto le 25.000 bombe 'Paveway' in vari formati che vennero lanciate distrussero o colpirono, pare, ben 18.000 obiettivi. Benché il costo fosse decine di volte superiore a quello di una bomba normale, una LGB aveva un'efficacia molto superiore e rendeva possibile attacchi di precisione da quote e distanze prima impossibili. Un obiettivo tipico richiedeva mediamente 209 bombe aeree sganciate manualmente, oppure 40 con l'ausilio del computer balistico. Ma appena 1,4 se queste erano a guida laser. Come si vede, c'è di che discutere su questi dati: se le bombe tirate da piattaforme non sofisticate erano 'no match', il costo delle armi guidate era tale da superare i benefici quando c'era il confronto con le munizioni non guidate, ma tirate da piattaforme capaci. In altri termini, il rapporto era di circa 25:1 anziché 50-100, come necessario per accordarsi con la differenza di costo tra una normale bomba serie 80 e un derivato laser. Ma i rischi corsi erano molto minori e salvare un aereo e il suo equipaggio valeva molto di più del costo teorico delle armi usate. Ovviamente c'erano dei limiti: le LGB erano utili quando le difese erano pericolose, e-o gli obiettivi richiedevano colpi in pieno. Altrimenti, le normali armi aria-superficie erano più che sufficienti per la maggior parte dei casi. Le Paveway utilizzate inizialmente dovevano essere utilizzate ad alta quota, il che non era sempre tatticamente consigliabile. I kit Paveway vennero prodotti, nella sola versione I, in ben 56.501 esemplari, con le versioni GBU-12, 10 e 11 per armi rispettivamente da 240, 907 e 1.361 kg. Questa modifica di bombe non guidate costava 6.000 dollari al kit (poco con l'ottica odierna, ma non erano così allora, quando un caccia Phantom costava a sua volta un paio di milioni di dollari, qualche centinaio di volte tanto: come se adesso una bomba laser costasse diciamo 200.000$). Il lancio avveniva secondo una tecnica precisa, ma non sempre usata in tale forma: picchiare leggermente a 30° di inclinazione, rilascio da 5.000 m di quota e 5 km dalla verticale dell'obiettivo 'vittima' (è il caso di dirlo, data la percentuale di colpi a segno). L'illuminazione era fondamentale per far capire alla bomba (che non vedeva direttamente il bersaglio, ma solo la luce laser riflessa) dove colpire, differentemente dalle EOGB che invece sono armi a guida ottica e con acquisizione del bersaglio autonoma. Il pod usato per la designazione era l'AVQ-9 Pave Spike della Martin Marietta, installato su di un altro aereo o sullo stesso che tirava le bombe. I kit erano, per la famiglia Paveway I, il KMU-342/B per la bomba M117 da 340 kg, KMU-351A/B per la Mk 84, KMU-370B/B per la M118E1 da 1361 kg, KMU-338A/B per la Mk 82 da 227 kg, KMU-420/B per le bombe Mk 20 Rockeye del Mod. 2, con 358 granate da 0.5 kg, e da un altro kit per CBU chiamato KMU-412/B ovvero per le Pave Storm da ben 907 kg, ovvero i distributori SUU-54 con le loro 1800 bombe da 0,5 kg a frammentazione/controcarri. In seguito le cose sono cambiate, con l'esclusione dei kit 342 e 420, mentre il -421 è stato destinato alle bombe Mk 83. Questa la prima generazione, precisa ma dalla portata limitata, date le piccole alette retrattili sugli impennaggi posteriori, mentre anteriormente vi è una caratteristica ogiva su cui sta appeso, in un collegamento mobile cardanico, il sensore laser con una aletta di stabilizzazione a cerchio, e 4 alette di controllo dietro, sempre parte della parte anteriore della bomba, quella aggiunta con il kit di guida. Il sistema era quindi costituito dal CCG (Computer Control Group) anteriore, quella intermedia che ha la aderenza con la bomba o AFG (Airfoil Group Components) con le 4 alette canard anteririori di controllo azionati da 4 pistoni con gas come mezzo di funzionamento, regolato da valvole a solenoide. Segue la bomba, e poi il sistema AFG che è la coda dell'arma per la stabilizzazione dell'arma, con alette fisse, poi estensibili nella Paveway e infine alette fisse di grandi dimensioni nel caso della Paveway III. Il sistema di visione ha 4 cellule al silicio. Dopo una produzione di decine di migliaia di esemplari (pare che ne vennero tirate 25.000 esemplari) si passò ad una diversa generazione. La Paveway poteva essere migliorata e allora nel '73 arrivò la versione II, che consentiva di aumentare la portata utile grazie ad alette di coda più grandi. Ne vennero prodotti qualcosa come 93.500 pezzi e per ben 15 aviazioni militari, conquistando una solida leadership nel settore, mai messa in discussione da allora La nuova bomba apparve nel 1975, ed entrò in servizio nel '77, con elettronica allo stato solido e altre innovazioni, in particolare con ottica e carenatura in materiale plastico, quindi alleggerito, e campo visivo maggiore, con 60° di visuale, minore tempo di preparazione al lancio, frequenza laser variabile (PRF) in maniera che fosse possibile sintonizzare ogni bomba con un fascio laser specifico, attaccando così bersagli vicini ma ciascuno con la sua arma, senza confusione, inoltre il sensore era incernierato nel muso con un caratteristico anello aerodinamico, seeker collegato alle alette canard e suddivisione della direzione in 4 quadranti, per cui l'ordigno poteva andare diritto sul bersaglio quando riceveva uguale energia da tutti i quadranti. Il costo era non irrilevante, già questa bomba costava quanto 40 ordigni da 454 kg, ma la Paveway III costava due volte e mezzo la II. Causa gli incrementi di costi, e nonostante la capacità di essere lanciata a bassa quota, la nuova bomba era destinata a vita travagliata, nonostante lo sviluppo iniziato nel 1980, ancora a metà del decennio non v'era stata l'autorizzazione a sviluppare appieno la nuova generazione, che introduceva parecchi miglioramenti in generale. Tant'é che solo negli anni '90 l'arma, approntata nel 1983, divenne disponibile, come LLGB, dove LL sta per Low Level, autopilota, sistema altimetrico, modalità d'attacco in picchiata, cabrata, livellato. Nel 1984 si pensò, da parte della Marina, di dare un motore a razzo alla bomba LGB con ordigno Mk 83, e in seguito quest'arma divenne lo AGM-123A Skipper II, rapidamente sviluppato ma prodotto in piccola quantità. Esso si basa su di un motore Shrike, ovvero di un vecchio missile ARM che era in fase di rimpiazzo con l'HARM, che ha una portata di circa 25 km anche da bassa quota. Da qui la bomba dell'USAF AGM-130, su corpo Mk 84 che è lo sviluppo della GBU-15 con motore a razzo ausiliario. Non meno di 19 nazioni già nel 1987 utilizzavano queste bombe laser, alle volte adattate a bombe nazionali similari come quelle francesi da 250 kg, che pure hanno anche disponibili sistemi nazionali. Tra gli utilizzatori, USA, Israele, Taiwan, Olanda, Spagna, UK mentre non è chiaro se sono mai state utilizzate dall'Iran. L'Italia si aggiunse alla lista, potenziando i suoi deboli arsenali d'armamento (nonostante la presenza di una consistente flotta di Tornado) solo negli anni '90, a guerra del Golfo finita. Le designazioni sono varie: *le GBU-10/B Paveway I o II, è il kit KMU-251 con la Mk 84 e peso complessivo di 931-934 kg *GBU-11/B Paveway I con il KMU-370 con la bomba M1118 da 1391 kg di peso totale *GBU-12/B Paveway II con il kit KMU-388 con Mk.82 e peso di 295 kg *GBU-16/B Paveway II ha la Mk 83 e pesa circa 512 kg. *GBU-17/B Paveway II ha la bomba HSM *GBU-21 Paveway III, bomba da penetrazione speciale *GBU-22 Paveway III con l'Mk 82 *GBU-23 con la Mk.83 *GBU-24 con la Mk.84 o con la BLU 116 da penetrazione *GBU-27 con la BLU-109/B da penetrazione La storia delle Paveway ha continuato ad arricchirsi. Si è detto sopra delle designazioni principali delle Paveway, che tra l'altro non comprendono vari sottotipi siglati in genere /B, B/B, C/B. Le bombe da penetrazione hanno corpo in acciaio anziché in ghisa, e la GBU-27, vista in Desert Storm, è stata sviluppata per l'uso dagli F-117 con alette rimpicciolite e materiali RAM. E', come la GBU-24, capace di perforare 76 mm di acciaio o 1,83 m di cemento. La GBU-28 è stata invece sviluppata in 18 giorni con l'adattamento dei cannoni di vecchio tipo di navi da battaglia, riempiti con esplosivo e con il kit GBU-27, per un totale di 2.132 kg di cui 295 di HE. Ne vennero prodotte 30, e nei test dimostrarono di perforare 6,7 m di cemento oppure di 30 m di terra, con un extra potenziale di penetrazione. Questa specie di Fritz-X moderna durante il test contro i 6,7 m di cemento li perforò e poi continuò per altri 800 m. In seguito sono comparse anche le EGBU, E sta per Enhanced, con guia GPS in aggiunta a quella laser, per usarle anche in azioni ognitempo e per ovviare al problema dell'esplosione degli altri ordigni precedenti, in caso di attacchi multipli, che 'acceca' per circa 20 secondi i sensori. Vennero sperimentate dal 2000, e nell'operazione TELIC (GB in Iraq, 2003), i Tornado ne hanno tirate circa 500. Anche la GBU-28 è stata modificata, nel frattempo di questa speciale bomba anti-bunker ne sono stati prodotti ex-novo alcuni esemplari (i primi due vennero usati, a sorpresa, in Iraq nel 1991, da parte degli F-111F), che nel 2004 erano circa 240 e hanno ricevuto anch'esse il sistema GPS aggiuntivo; per ora sono usate dai B-2 e dal 2008, dagli F-15E. La Paveway IV è nata grazie alla richiesta britannica del giugno 2003 per la specifica PGM. Il programma è stato affidato alla Raytheon, già autrice della EOGU, per un valore di 175 milioni di dollari. Se la Paveway III era migliorata nelle prestazioni di planata a bassa quota, per ottenere una maggiore gittata anche se tirata da aerei in volo radente, la IV ha un GPS di seconda generazione e una testata da 500 libbre, ed è un programma con molti partner sia britannici che statunitensi tra i partecipanti. Anche le classiche Paveway sono ancora in produzione con un portafoglio ordini che era per le ditte Lockheed-Martin e Raytheon, di 2 mld di dollari previsti tra il 2003 e il 2010, e la produzione dopo l'11 settembre è aumentata con impianti più razionali e organizzati. Quanto alle dimensioni, vale la pena di ricordare che la Paveway II del tipo EGBU-10 è lunga 432 cm per 170 di apertura alare e 954 kg di peso, su bomba Mk-84, mentre la EGBU-12 da 284,65 kg ha dimensioni d 333 x 132 cm circa<ref>Gianvanni P ''Paveway'', RID apr 2005</ref>. ---- A parte questo arrivò la bomba HOming BOmb System o '''HOBOS''' per l'USAF, con un sistema modulare basato su un sensore elettro-ottico TV, poi sostituito da un sistema IR per l'impiego notturno. Prima era il KMU-353A/B e KMU-390/B per la guida TV, poi il KMU-359/B con sistema IR. Sono utilizzati sia cone le bombe M1118 che con le armi ben più frequenti Mk 84. Il GBU-15 è la sua versione planante, subito mandato anche agli 'amici' d'Israele, con modulo anteriore cruciforme, modulo controllo e di stabilizzazione posteriore nonché uno per la trasmissione dati. Era in sostanza la versione per l'USAF della Walleye anche se solo in termini filosofici, visto che le tecnologie erano diverse. Essa è armata con bomba Mk 84 o distributore SUU-54 con le sue 1.800 bombette BLU-63 o 66. La GBU-15 è per bombe Mk-84 o dispenser SUU-54, con guida IIR o TV per i tipi /2B o /1B; il tipo dispenser è stato accantonato, mentre altre sono state usate con testate semi-perforanti. La guida era possibile con un datalink Hughes, con uno schermo di presentazione delle immagini viste dal missile nel cruscotto e i comandi di volo trasmessi dall'aereo per guidare l'arma a grandi distanze (decine di km) oppure lasciare che viaggiasse autonomamente dopo avere acquisito il bersaglio; senza il pod di trasmissione dati è invece necessario l'aggancio prima del lancio; l'arma della Rockwell (capocommessa) era già stata prodotta in oltre 3.000 esemplari al 1995. Esse pesano 1.140 kg e hanno gittate tra 13 e 25 km a seconda della quota di lancio. Infatti quest'arma ha un motore a razzo aggiuntivo, come la Walleye, il Bullpup (inizio anni '60 e fine anni '50) e la AGM-123 Skipper II sviluppata al China Lake Naval Weapons Center con finalità orientate all'attacco antinave, entrata in servizio nel 1985 e azionata da un sistema laser Paveway (è la GBU-16) e dal motore a razzo Aerojet del missile TI AGM-45 Shrike. La AGM-130 è un altro tipo ancora, la GBU-15 con motore a razzo sotto la testata bellica, con una portata accresciuta a livelli che oramai sono da missile ASM e di quelli 'grossi': peso 1.323 kg, gittata 25-70 km a seconda della quota, con testata Mk 84 o BLU-109/B; è stata ordinata nel 1990, con una produzione iniziale di 397 esemplari, di cui il tipo prodotto a metà anni '90 con un sensore migliorato IIR con una matrice di 256x256 elementi su piano focale, o un sistema CCD (Charge Coupled Device); in seguito è arrivato anche un sistema INS/GPS e la precisione aumentata a circa 1 m; i programmi erano di sostituire il motore a razzo con quello a turbina del Northrop AGM-137 TSSAM. La versione a razzo della GBU-15 è l'AGM-130. Questo cambio di designazione indica chiaramente che viene considerata come un missile. Insomma, presa una bomba munendola di 'intelligenza', le si diede anche il motore e a quel punto divenne in sostanza un missile tattico a breve raggio, con un CEP di circa 6 m e raggio di 24 km a bassa quota. Uno degli utilizzatori di quest'arma è l'F-111. L'F-111C australiano le ha avuote, ma anche gli F-111F dell'USAF l'avevano: di fatto le bombe laser erano le loro uniche munizioni guidate anche se non vennero utilizzate per l'incursione su Tripoli dell'86. Sarebbero invece state ampiamente utilizzate nel '91 in Iraq, dove vennero impiegati gli Aaadwark. In totale vennero utilizzati non meno di 10 EF-111A del 366th TFW e 66th TFW, 22 F-111E del 20th TFW, e soprattutto i 46 F-111F del 48th TFW che lanciarono 5500 bombe di cui ben 4660 guidate (fino a 4 per missione) con 2200 bombe stimate a segno nell'arco di 2500 missioni belliche. Distrussero o colpirono 920 mezzi corazzati, 245 shelters, 113 postazioni fortificate, 252 pezzi d'artiglieria, 13 piste e 64 ponti. Nell'occasione vennero anche utilizzate 2 GBU-28 'Joe Louis', bombe speciali da penetrazione ricavate provvisoriamente niente di meno che dai cannoni degli incrociatori 'Salem' da 203 mm, segati e riempiti d'esplosivo per un totale di 2130 kg sul centro di comando della base di Al Thaj. In seguito arrivarono bombe di tipo meno improvvisato, sempre pensate per penetrare anche di 30 metri nel terreno (la prima di queste sperimentata a Eglin, penetrò tanto nel terreno che non si riuscì a recuperarne i resti..). Per il futuro si pensava già a sistemi di tipo anche più autonomo, con la sperimentazione, negli anni '80, di kit inerziali di tipo miniaturizzato, con la Northrop e la Boeing che svilupparono diversi tipi di armi IAM (Inertially Aided Munition) come dimostratori tecnologici. Da qui anche i dispenser WCMD, pensati con un distributore SUU-65 e gittata di 13 km da 7,6 km. Ma per attacchi maggiormente precisi si pensava anche alla guida GPS; la Northrop aveva proposto le GAM abbinate al sistema GATS del B-2 e B-1, mentre Boeing e Rockwell avevano proposto le GAM-15, bombe plananti GBU-15 con un sistema di guida MITGTS, ovvero GPE e INS integrati, della Rockwell. Ma erano già allora, causa l'elevato costo, delle soluzioni provvisorie, in attesa delle famose JDAM, per le armi Mk-83, 84 e dispenser BLU-109, i cui contratti di sviluppo vennero passati alla Martin-Marietta e MDD nell'aprile del '94 (Fase I), poi nella Fase II si voleva integrare la spoletta elettronica Motorola e la capacità di stoccare l'arma senza manutenzione per 10 anni. Infine la Fase III già allora prevedeva un sensore IIR per aumentare la precisione, o anche un radar MMW per dare un CEP di 10 m. I lanci delle armi eran previsti dal 1996 con gli F-16. [[Immagine:AGM-130.jpg|300px|left|thumb|Una AGM-130]] Quanto ai costi e numeri vari, da considerare che le bombe dei kit T.I. sono state costruite già all'inizio dell'87 in qualcosa come 145.000 pezzi. Le GBU-24 dell'USAF erano state ordinate in ben 4.000 esemplari, e altri 1429 per altri operatori. Il costo dei una GBU-16/B alla fine degli anni '70 era di 10.270 dollari, anche se col tempo si è praticamente decuplicato. Infine i mezzi e i sensori: gli aerei sono praticamente tutti quelli tattici americani, dagli F-4D e F-111F agli F-5E opportunamente aggiornati. I pod di designazione sono sistemi come i Pave Tack, i Lantirn, il Pave Spike per rispettivamente gli F-111 e F-4, F-15 e 16, F-4. I sistemi LGB possono essere anche aiutati da 'marcatori' basati a terra, con illuminatori portatili tipo il MULE ovvero Modular Universal Laser Equipment. Infine gli aerei come gli A-10, privi di illuminatore laser hanno almeno un ricevitore di scoperta laser come il Pave Penny che indica al pilota dove i designatori laser sono puntati per lanciare la bomba. Anche gli inglesi con gli Harrier, Jaguar e Tornado avevano un sistema simile, come l'LRMS, visto che sulle loro bombe Mk13 da 454 kg montavano il kit Paveway. [[Immagine:GBU-31 xxl.jpg|320px|left|thumb|]] Le Joint Direct Attack Munition ('''JDAM''') sono munizioni guidate che utilizzano una piattaforma inerziale e il GPS per avere una precisione elevata sul bersaglio senza la necessità di avere costosi - e disturbabili - sensori per 'vederlo'. Le munizioni sono più economiche rispetto alle bombe LGB (kit di guida circa 20.000 dollari contro i 100.000 delle LGB). Sommando la semplicità di costruzione con tanto di kit (prodotti oltretutto da una fabbrica molto piccola, con solo alcune decine di dipendenti), capacità ognitempo, elevata precisione, potenza distruttiva. Ecco come la cosa funziona<ref>Nativi, Andrea: ''JDAM: l'arma ch ha rivoluzionato la guerra aerea'', RID novembre 2002 p.41-48</ref>: prendiamo un caccia come l'F-111 con 4 bombe LGB, da piazzare tutte su altrettanti bersagli. Arriva a bassa quota, lancia le armi (se non ci sono designatori esterni) a qualche km di distanza dall'obiettivo, piuttosto alla mercé della difesa antiaerea. Oppure rischia e vola a media-alta quota, il che significa necessariamente esporsi molto di più alla difesa antiaerea. Le bombe laser hanno una gittata di una decina di km dalla sorgente del laser designatore, e se c'è cattivo tempo è anche più difficile raggiungere tale risultato, vuoi per i sistemi di guida della bomba che per quelli elettro-ottici di visione dell'aereo. Ora, nel caso si ritenga che sia meglio utilizzare la maggiore quota e gittata di queste armi bisogna considerare i rischi connessi: se la minaccia è solo a bassa quota, e a media-alta è irrilevante, allora è senz'altro verosimile utilizzare un profilo di volo medio-alto. Ma per questo è necessario volare con una forte scorta oppure affrontare una minaccia ridotta, tipo i soliti MiG-21 o 23 e i missili SA-2 e SA-3. Ma che succede se si tratta di un sistema missilistico Patriot o SA-10 e c'è un reparto da caccia con F-15 o MiG-29? la cosa diventa certo più difficile e i numerosi minuti di tempo necessari per guidare tutti questi ordigni non saranno trascurabili. In molti casi pratici le LGB sarebbero quasi inutizzabili, detto in altri termini. Molto meglio una EOGB o un missile Maverick che è quasi la stessa cosa, solo che ha un motore di accelerazione. Ma ancora resterebbe la limitazione del numero di armi utilizzabili in contemporanea e dei tempi d'ingaggio. Inoltre sono armi costose, circa 100 mila dollari. Ora ripetendo la stessa azione con un F-15 con le JDAM, la cosa non suona allo stesso modo. Arriva, sale in una veloce cabrata, lancia le armi da una decina o più di km e se ne va. Poi queste sapranno dove andare. Chi glielo dice? L'INS, che già garantisce una precisione di qualche decina di metri, e la correlazione con i dati del GPS, che riduce l'errore di qualche metro. Entro un minuto le bombe arrivano e colpiscono tutti i bersagli, mentre l'aereo è già in fuga, al sicuro. Come se tutto questo non bastasse, i kit costano meno di 20.000 dollari l'uno. Ecco perché si tratta di un 'uovo di Colombo'. Non ci sono grosse spese di acquisto, non ci sono problemi di ingaggi meteo perché il GPS e l'INS non sono influenzabili significativamente dalle condizioni meteo; non ci sono problemi ad ingaggiare anche bersagli multipli in simultanea; non ci sono che impatti marginali sulla piattaforma di lancio perché non c'è bisogno di una sofisticatissima e costosa piattaforma laser-IR per la designazione; non c'è nemmeno bisogno di un addestramento particolarmente curato, perché si tratta di armi 'indipendenti'. In pratica con le JDAM c'è bisogno di due cose soltanto: trovare il bersaglio e disporre di una piattaforma di lancio (sempre di non usare direttamente i missili lanciati da navi o da terra). Differentemente anche dai più sofisticati sistemi INS il GPS garantisce sempre la stessa precisione, che si voli da 10 o da 1.000 km non fa differenza. Inoltre c'è un doppio sistema che garantisce ridondanza: se il sistema laser non funziona o la 'laserazione' dell'obiettivo non è eseguita correttamente, è LGB commettono errori anche di molti km, molto di più delle bombe stupide. Le EOGB e le armi ad autoguida in generale sono immuni (largamente) da questo problema, ma hanno la necessità di una 'maggiore intelligenza' installata, più costosa: devono cioè 'vedere' il bersaglio con sensori propri e poi 'agganciarlo' qualunque cosa succeda e volargli diritto contro, come una falena con il faro di un'auto. Mentre una LGB è più semplice perché la rotta, anzi il punto d'impatto glielo indica il sistema di base dell'aeroplano, che ovviamente non è 'usa e getta' e quindi, per quanto sofisticato, è 'ammortizzabile' per dozzine di lanci. Ma nondimeno, esiste il problema dell'errore di ingaggio e di identificazione e le bombe, come successe nel 1986 in Libia, possono anche andare disperse di km andando magari a colpire, 'casualmente'(?) le ambasciate di varie nazioni neutrali. Le JDAM non hanno questo problema a meno che non si voglia davvero colpire un certo target: con un sistema satellitare e INS doppi non è pensabile ad un errore totale, mentre la precisione è appena inferiore rispetto a quella di una LGB, comunque dell'ordine dei metri. Questa rivoluzione copernicana praticamente mette ogni possibile bersaglio nella seguente situazione: o viene distrutto oppure non si fa localizzare, vuoi per la dissimulazione o vuoi per la mobilità. Certo che con la guerra networkcentrica globale e la tecnologia moderna, il mondo diventa sempre più 'piccolo' e nascondersi (dagli USA) sempre più difficile. Tutto questo ha rappresentato una rivoluzione copernicana, ma come per i cellulari delle varie generazioni, le JDAM e in generale il GPS sono possibili solo grazie ad una tecnologia molto sofisticata e costosissima. In pratica, prima di pensare a queste armi c'è voluto di mandare in orbita e far restare operativo il GPS/NAVSTAR, sicuramente un sistema pagante (specie con i sistemi militari che sono più precisi di quelli commerciali, proprio per evitare l'uso di questi ultimi come arma 'di precisione' per malintenzionati, lavorando su lunghezze d'onda diverse) ma costoso e difficile. In concreto s'é trattato di mandare nel cielo una costellazione di satelliti che hanno implementato due vecchi e ben conosciuti principi: quello della navigazione con le stelle, che sono punti fissi e quindi riconoscibili e di riferimento, ma non sono 'attive' nel senso più elettrotecnico del termine, ergo emissioni radar. Detto in altri termini, di giorno le stelle non sono visibili se non in volo ad alta quota, e infatti sistemi di misurazione precisi hanno consentito di usare, anche a bordo di missili, sistemi di navigazione 'stellari', con apparati sensibili alle stelle di seconda grandezza (probabilmente non molte per garantire una sufficiente precisione). Dall'altro lato vi sono i sistemi di navigazione radio terrestri. I radiogoniometri servono per l'appunto per questo: con i radiofari in posizioni note si possono ricavare la propria posizione con buona precisione. Il guaio è che questi sistemi non sono dappertutto e non funzionano sempre. Con i satelliti emettitori di impulsi attivi è possibile avere una costellazione che fornisce dati ognitempo e ogni-condizione. Il GPS è stato seguito dal GLONASS, il cui principale problema è l'insufficiente numero di satelliti mantenuti in orbita, ma per il resto non dissimile dal sistema americano; dai sistemi come il Galileo europeo, e da apparati similari cinesi e anche di altre nazioni, ma non ancora operativi. Il guaio, al solito, è che mentre le stazioni radio-faro sono distribuite in molte nazioni, e le stelle non sono 'spegnibili', il GPS è teoricamente disturbabile e al contempo, soprattutto, gli USA hanno 'le chiavi' e possono negarne l'uso in certe aree della Terra a utenti non graditi (di fatto è un'opzione impraticabile visto che poi anche loro resterebbero senza GPS). Di sicuro un sistema GPS è più 'dipendente' dagli USA di quanto non lo sia un INS. Solo contando su quest'ultimo comunque è possibile dire che le JDAM hanno rivoluzionato il mondo della guerra aerea, visto che comunque garantiscono una notevole precisione anche così degradate. È possibile disturbare il GPS, ma non è facile riuscirvi nella pratica, giusto come del resto non è facile disturbare un AWACS in volo, che pure non è che un sistema radar. I problemi sono quindi diretti e indiretti. Tra questi ultimi la tentazione sempre più in auge di risolvere a 'colpi di armi intelligenti' con attacchi chirurgici questioni che dovrebbero essere campo della politica e dei negoziati tra le parti invece che sede per la prova di nuove generazioni d'armamenti. Ma questo non è il campo che viene descritto qui, in questo tomo. Resta il fatto che il raggio letale delle bombe JDAM da 1 t è esattamente uguale a quello di una bomba Mk 84 'stupida' e questo comporta, specie per gli impieghi in aree urbane, rischi inaccettabili per la popolazione. Anche per questo sono in fase di sviluppo o di impiego le 'Small diameter bombs' che riducono i danni 'collaterali', ma nondimeno sono pur sempre bombe ad alto potenziale. Tornando alla JDAM, l'idea nacque nel 1991, certo ispirata dalla resa dell'allora piuttosto misconosciuto GPS. All'epoca le armi usate contro l'Iraq erano solo per il 9% di tipo guidato e di queste la metà almeno erano a guida laser. Gli inglesi fecero di meglio con 1000 bombe su 6000 di tipo guidato. In seguito, soprattutto nell'ex-Jugoslavia la percentuale di bombe 'intelligenti' usate per ridurre le perdite tra i civili ha assunto percentuali record, ma anche i costi non sono stati trascurabili. I team concorrenti per la nuova idea lanciata dal Pentagono erano vari, tra cui la Northrop, la Rockwell e la MDD. I contratti, nell'aprile 1994, per la dimostrazione e sviluppo da 18 mesi vennero stipulati con la Martin Marietta e la MDD per i kit di guida bombe, che avessero pesi di 1000 o 2000 lbs e CEP di 13 m (almeno la metà doveva cadere entro i 13 m di diametro). Alla fine vinse la MDD ed ebbe la responsabilità di una ricerca di pieno sviluppo nell'ottobre 1995. Da allora le cose son andate in crescendo: il primo contratto già si riferiva ad una serie di 4.635 kit. Dal 1996 ne vennero tirate 53 con una percentuale di successo del 95%, e poi (o compresi nel totale?) 22 lanci pre-operativi che videro un CEP di 10,3 m. La produzione a basso ritmo vide un Lot 1 di 937 bombe GBU-32 da 907 kg, ordinate nel giugno 1997, e il mese dopo venne acquisita l'operatività con i bombardieri B-2, che da allora hanno queste armi tra le loro principali, se non addirittura le principali risorse. Nel dicembre 1998 arrivò anche l'abilitazione con il B-52H, ma la consegna di un esemplare di serie non avvenne prima del giugno 1998. Aprile 1999, proprio durante la guerra sulla Ex-Jugoslavia vennero ordinati 2.527 JDAM per oltre 50 mln di dollari. Febbraio 2000, altro contratto per ben 162 mln di dollari e 7.427 JDAM, oltre a 916 per l'US Navy. In tutto sono stati ordinati in 4 lotti circa 15.000 ordigni, e inizialmente si parlava di 87.000 'pezzi', che da soli danno l'idea della dimensione che questi nuovi armamenti avrebbero finito per assumere negli arsenali USA, una volta che i 12 lotti ordinati fossero stati consegnati in toto. Poi nell'aprile del 2001 sono arrivati ordini per altre 11.054 bombe e finalmente il passaggio alla produzioen di massa, che nel settembre 2002 ha visto altre 18.840 bombe per 378 mln di dollari, che come si vede sono solo circa 20.000 per arma, di cui poche centinaia per la bomba vera e propria. In tutto le JDAM erano da comprarsi fino all'FY2007, ma gli impegni bellici 'dal vivo' non hanno purtroppo fatto scemare l'entità degli ordini che, lotto dopo lotto, sono arrivati all'incredibile cifra (n.b. al 2002) provvisoria di 236.000 'pezzi' pari a circa 200.000 t di armi: più del doppio di tutte quelle usate contro l'Iraq nel 1991. Non bastasse questo flusso d'armamenti verso gli arsenali USA, sono inevitabilmente giunte richieste da Paesi 'amici': il primo a muoversi è stato Israele con 700 pezzi, la seconda è stata l'Italia con 900 per Tornado e AMX, forse anche per gli AV-8B. 3.000 ordigni, con un requisito finale massimo di 14.000, erano in finale per la Gran Bretagna contro una bomba GPS Paveway della Raytheon, mentre altri concorrenti per questa nuova bomba, eliminati, sono stati tra l'altro la Elbit, la Sagem e la vecchia e gloriosa Frazer-Nash, quella che costruiva le torrette difensive dei bombardieri britannici con mitragliatrici da 7,7 mm. Davvero i tempi sono cambiati. Quanto al kit, prodotto in una fabbrica con poche decine di dipendenti, per esempio alla Boeing, che è la capocommissione del programma, a Saint Charles, Missuori. Questo stabilimento ha una forza di poche decine di impiegati ma è molto organizzato, ha prodotto nel passato i missili Harpoon e CALCM nonché gli SLAM. Era uno stabilimento con scorte 'just in time' per appena due giorni d'attività, che non hanno mancato di stupire, come in generale l'efficienza e le piccole dimensioni dell'impianto, l'inviato speciale di RID (A.Nativi). Inizialmente si pensava, nel '98, di produrre 1.000 esemplari al mese, ma con impianti dimensionati per 1.500, nel caso la 'pax clintoniana' avesse problemi, e ancora nel 2000 la produzione non oltrepassava le 700 bombe, anzi kit, mensili. L'efficienza era notevole, ma ancora non si vedeva come arrivare alle 2.800 bombe al mese chieste dai militari. I box di assemblaggio delle bombe sono concepiti per garantire una vita di 20 anni senza controlli di sorta, sono sottovuoto e antiurto. Da questa tranquilla fabbrica uscivano gli ordigni che stavano dando, dal 1999 sulla Serbia, la supremazia ognitempo agli USA. La volontà di produrre gli impennaggi di coda delle JDAM per l'AM da parte della MBDA era piuttosto curiosa vista l'efficienza dell'impianto americano e la bassa tecnologia e costo della produzione da fare in Italia. La bomba di per sé è semplice: il corpo bomba che può essere di vario genere, per lo più un ordigno della serie 80, un modulo costituito da piccole pinne stabilizzatrici attorno alla bomba, dal modulo GCU posteriore con l'unità di guida, antenna caudale GPS, attuatori di coda per i movimenti della bomba. Le batterie funzionano per 100 secondi massimo, ma in genere ne bastano 30-60, il CEP dopo 100 secondi (oltre 20 km) è di 28 m con impatto a 60 gradi, 13 m dopo 30 secondi, 15 dopo 55 secondi. Ma la qualità dei nuovi ricevitori e la designazione dei bersagli su coordinate note hanno fatto aumentare la precisione al punto che, sganciata da 10.500 m a 0,95 mach, la JDAM può colpire con appena 3-5 m di scarto un'area ellissoidale di 27 x 20 km. I dati di lancio sono scaricati tramite il databus Mil 1554, e quando sull'HUD compare la LAR, area utile per il rilascio calcolata dal computer (la JDAM è comunque un ordigno planante) si attiva lo sgancio a discrezione del pilota, quando questo accade si accende la batteria termica e si sbloccano gli attuatori. La JDAM è anche programmabile per direzione, velocità, angolo e punto d'impatto. Ovviamente hanno pensato anche a costruire JDAM migliorate, ce ne sono di tutti i tipi: la GBU-32 3B ha la bomba da perforazione BLU-109, la GBU-31 pesa 1000 libbre, ma è possibile anche una bomba da 227 kg richiesta per compiti CAS dai Marines. Questo è il GBU-38 e un B-2 ne può portare 80 esemplari, anche se è un ordigno visto più che altro come arma da parte degli aerei dei Marines per compiti tattici. Altri miglioramenti sono stati la sostituzione, già all'inizio degli anni '2000 del GPS a 5 canali superato da quello a 12 e migliorando con questi molteplici 'punti' di mira la precisione del 25%., mentre per non farsi mancare nulla è stato messo a punto il sistema SASSM anti-disturbo. Nel frattempo il costo, da 53.000 dollari iniziali, si è ridotto ad un terzo per ciascun kit prodotto. Nel frattempo sono continuate le migliorie. Lo JDAM ha avuto il sensore IIR Damask, ricavato niente di meno che da un sensore antifurto delle Cadillac. un semplice sistema IR non raffreddato e senza parti in movimento: sul computer della bomba viene caricata una immagine IR del bersaglio e questo si regola sulla 'foto' per colpire cosa gli è stato ordinato, ottenendo con questo semplice occhio elettronico una precisione anche di 1 m, con attivazione del sensore a 1,6 km e a 1,1. Visto che si vuole un'arma assoluta ed economica non si è mancato di installare un datalink a basso costo sulla bomba con il sistema AMSTE per colpire bersagli fino a 100 km/h, aggiornandone la posizione. Per evitare di volare troppo dentro le difese nemiche si è messo a punto anche il kit DIAMONDBACK della MBDA, che permette alla JDAM-ER (Extended Range) di arrivare anche a più di 60 km, per esempio 38 km da 6.100 m di quota anziché 12,8. La cosa non è stata difficile: non si tratta di un motore ma di semplici ali estensibili, che aiutano molto di più la portanza rispetto a quelle normali, che servono più che altro per equilibrare l'ordigno e farlo planare ad angoli bassi. Nel frattempo non sono mancati i programmi per bombe 'indurite' con capacità di perforazione aumentata del 25% con il corpo bomba BLU-113 (ovvero una GBU-28 migliorata), bomba perforante 'intelligente' con spoletta capace di riconoscere (si tratta della HTSF) se perfora cemento o roccia o terreno, e decidere a 'che piano' esplodere di eventuali bunker sotterranei di cui si conosca la planimetria. Le JDAM hanno fornito prestazioni eccellenti anche in affidabilità fin dal debutto in Kosovo nel 1999, nel corso della discussa guerra contro la Serbia. Erano usate solo dal B-2, ma poi si è diffusa a macchia d'olio con altre macchine tattiche. In ogni caso, i B-2 usarono anche le GAM, ovvero le bombe progenitrici delle JDAM e che erano specifiche per il B-2 e il suo sistema di navigazione, ma costavano 100.000 dollari l'una e furono prodotte come GBU-36 e 37 in 128 e 100 pezzi, usati assieme a 656 JDAM in un totale di 45 missioni, che tra l'altro distrussero, oltre ad aeroporti, anche bersagli molto difficili come i ponti: quello di Novi Sad fu centrato da 4 armi sullo stesso punto, e per quanto le JDAM non fossero precise quanto le LGB anche contro edifici: l'ambasciata cinese fu colpita accidentalmente (?) da una di queste armi. Un B-2 con 8 armi ha colpito con due ciascuno di 4 bersagli militari in una missione, si trattava di depositi. L'80% dei bersagli è stato colpito e le bombe hanno dimostrato CEP di 6 m lanciate dal B-2 e una percentuale di funzionamento del 96%. Poi è toccato all'Iraq essere 'poligono' per le bombe di questo tipo, già sganciate in centinaia di esemplari prima dell'invasione del 2003. Nel frattempo almeno 4.600 bombe sono state tirate sull'Afghanistan solo considerando la prima fase. Di fatto le scorte delle JDAM, che sull'Afghanistan sono state per lo più da 1000 kg circa erano depauperate e forse non si è voluto attaccare l'Iraq fino a ricostituirle, visto che il ritmo produttivo non era ancora pari alle pretese delle F.A. americane. *Anno di commissione: 1992 *Entrato in servizio: 1999 *Costo unitario: 21 000 $ (2004) *Dimensioni e peso: 225 - 900 kg, lunghezza 3,0 - 3,9 m, apertura alare 483 - 635 mm *Raggio d'azione: 28 km *Tangenza: 13.700 m Paesi utilizzatori: USA, Israele, Danimarca, Italia, Australia, Norvegia, Olanda, Singapore, Cile, Arabia Saudita, Corea del Sud Ecco una descrizione più dettagliata della questione. Immaginiamo l'uso delle bombe a guida laser: furono un successo formidabile pur costando molti soldi e pur necessitando di precisi sistemi di guida. Per esempio c'era bisogno di un pod di designazione complesso e costoso a bordo degli aerei, che fosse capace di tenere sotto tiro un punto determinato senza essere influenzato dal movimento relativo dell'apparecchio lanciatore. Oppure c'era bisogno di un designatore laser a terra, ma a patto che l'aereo avesse un sistema passivo come l'LMRS che rendesse evidente se e dove vi fosse il fascio del laser per la guida finale dell'ordigno, su cui la bomba si dirigeva. In genere era possibile colpire un solo bersaglio per volta e le bombe laser tendono ad essere piuttosto ingombranti. Inoltre i problemi meteo non sono del tutto superabili con i designatori elettro-ottici e i fasci laser (più con i primi che con i secondi). Per tutto questo e altro ancora si cominciò a pensare seriamente che il sistema di direzione e orientamento GPS. Perché? Perché si tratta di un sistema ognitempo, che una volta completato ha reso possibile completare una rete che la quale con un minimo di tre satelliti rende possibile una 'triangolazione' tale che la precisione sia di pochi metri. Questo significherebbe già molto, ma va di pari passo ad un complesso integrato con l'INS, ovvero il Sistema di Navigazione Inerziale. [[Immagine:AGM-154 JSOW 01.jpg|200px|left|thumb|]] Infine da non dimenticare lo '''JSOW''', ovvero un nuovo missile cruise tattico-strategico che grossomodo è una sorta di dispenser, con caratteristiche tipiche di un mezzo stealth, necessarie per ridurre il rischio di essere abbattuto nel volo verso l'obiettivo, dopo che è stato rilasciato da alta quota e ha dispiegato le alette superiori.<ref>Lanzara, Leonardo: ''L'AGM-154 JSOW'', RID Marzo 2008 p. 26-32</ref> Il JSOW è una specie di intermezzo tra armi tipo lo SLAM e il JSSAM da un lato, e le bombe JDAM dall'altro. Di fatto è un dispenser planante con guida GPS, con una gittata praticamente da missile tattico. Il programma è iniziato attorno al 1986 come AIWS come arma guidata stand-off per dare successione alle Paveway e Walleye, per non parlare delle CBU Rockeye e APAM, i missili AGM-123 e AGM-65E (a guida laser). All'epoca le possibilità di guida tramite GPS, ognitempo e precise cominciavano ad essere valutate come economica via per la guida di armi in ogni parte del mondo e in ogni ora del giorno. I programmi per questi sistemi di nuova generazione richiesti erano la ABF-Advanced Bomb Family-, la Advanced Strike Weapon e l'AIWS, che poi sarebbero diventate poi la JDAM, il TSSAM (Tri-Service Stand-Off Attack Missile) e poi il JASSM (Joint Air Surface Stand-off Missile), e per l'appunto l'AGM-154 JSOW. La tempistica della gara vide la vittoria, dicembre 1991, della Texas Instruments, già artefice delle Paveway, che poi sarebbe stata 'mangiata' dalla Raytheon (quella dello Sparrow). Il contratto venne siglato a giugno del '92. L'USAF aveva il TSSAM, che era costruito dalla Northrop e forse chiese a sua volta la partecipazione dell'USN. Ma poi successe che il TSSAM venne cancellato dopo problemi risultati fatali per la riuscita del programma, e l'USN non ebbe patemi a portare avanti il suo ben più semplice SLAM, ovvero l'Harpoon modificato come arma d'attacco terrestre. Differentemente dall'ambizioso programma americano, l'USN non si fissò su programmi troppo costosi e sofisticati ma andò dritta verso un'arma semplice ed economica, che era la caratteristica tipica delle armi GPS, visto che sarebbe stato incongruo disporre di un sistema elettronico di supporto costosissimo (la costellazione GPS-Navstar) e una munizione correlata a sua volta molto costosa. Bastava una gittata a bassa quota di 9 km, capacità di aggancio bersaglio dopo il lancio e con costo basso, oltre che con architettura modulare, con un peso abbastanza ridotto da consentirne l'uso da aerei di piccole dimensioni. Insomma, la soluzione TI è stata quella di una bomba planante con guida GPS e INS, praticamente come una JDAM; i test dell'USN iniziarono al NAWC di China Lake e poi a Point Mogu, California. Su 11 lanci 10 ebbero successo, iniziando dal dicembre 1995; l'USAF seguì nel marzo 1996 con i test con gli F-16 di Eglin. Oramai il programma era chiamato JSOW e in particolare AGM-154A o JSOW 'Baseline'. Seguì rapido il modello 'B' con le submunizioni BLU-108/B controcarri guidate, con sviluppo iniziato all'inizio del 1996 e test con gli F-16D USAF (che era interessata al tipo) iniziati a luglio. Nel frattempo la TI venne comprata dalla Raytheon, compera storica formalizzata il 6 gennaio 1997. Il mese dopo l'OPEVAL dell'USN da parte di aerei della USS Nimitz e Eisenhower permise di appurare l'affidabilità formidabile di quest'arma: 42 successi su 44 lanci: il 95,5%. Non stupì pertanto che quest'ordigno venisse consegnato ai reparti operativi nel 1998, a luglio e con una cerimonia ufficiale, in cui si cercò di sottolineare la comunanza tra USAF e USN per quest'arma modulare. Infatti c'erano le JSOW sia sotto le ali di un F-16 e sotto un F-18, ma la cerimonia venne tenuta nella NAS di Forth Worth, che forse non era casuale visto come poi le cose si sarebbero evolute. La IOC, capacità operativa iniziale venne ottenuta nel 1999 con il modello A mentre la produzione a pieno iniziò nel 2000 dopo circa due anni dall'accordo per la piena produzione in grande serie. Subito dopo cominciarono le lamentele da parte dell'USAF perché le superfici di coda subivano a bassa quota e velocità vibrazioni eccessive con danni piuttosto significativi e la riprogettazione richiese oltre un anno. Terminò il tutto con 3 lanci da parte di F-16 e F-18, nel febbraio 2003, giusto all'alba dell'attacco all'Iraq. Solo nel maggio successivo vennero implementate nella produzione. Ma poi, nel febbraio 1999, anche la versione B venne autorizzata per la produzione, solo per essere 'segata' dalla perdita d'interesse dell'USAF. Sempre in quell'anno venne iniziata la versione C della bomba, che aveva una nuova testata perforante di tipo speciale, con inizio della produzione a basso ritmo dal luglio 2003, OPEVAL nel 2004 contro bersagli vari (anche grotte) e fornitura alla Marina dal novembre 2004. La IOC è stato l'ultimo passo da compiere prima della piena operatività e venne fatto nel febbraio 2005. Detto della genesi delle varie versioni dello JSOW, la sua tecnica è la seguente. Tutti i tipi hanno lunghezza di 4,05 m, apertura alare di 2,69 m, peso di 474 kg, 470 kg e 468 kg per le tre versioni A, B e C. Prima di parlare delle testate, bisogna dire cos'é di speciale lo JSOW. Per essere un sistema economico, uno dei segreti è quello di usare un sistema planante. È lanciabile da un aereo e questo rende possibile un raggio d'azione limitato, senonché la sua finezza con rapporto portanza-resistenza di 12: 1, quindi la gittata, una volta sganciati dai piloni BRU-55/A o -57/A, è di circa 130 km ma solo se lanciata nelle migliori condizioni, comunque si tratta di una portata tale da rendere possibile un tiro fuori tiro delle difese nemiche. A maggior ragione se ci sono in giro EA-6B con i sistemi ECM e missili HARM di bordo. I parametri sono, per il lancio, di 75-12.000 m e 0,6-0,95 mach (progettualmente era chiesta una velocità minima di 0,5 mach, ma in ogni caso quest'arma non era destinata a nessun elicottero). Da 150 m di quota è possibile lanciare ancora con una planata di 22 km, quasi 100 da 7.600 m e 130 km alla massima quota. È possibile lanciare anche verso bersagli alle spalle dell'aereo, per esempio fino a circa 40 km da 7,6 km e 75 km da 12.000 m, oppure sui lati, rispettivamente a 65 e 90 km di distanza. In ogni caso, si parla di una virata massima di 90 gradi e 1,3 g di accelerazione laterale dopo lo sgancio, quando le alette si aprono. Il sistema di controllo è dato da un apparato INS e GPS a prua, mentre le batterie sono a poppa, dove vi sono anche le 4 alette di controllo, mentre le ali di sostentamento sono a mezza fusoliera, sopra la fusoliera e la testata. Questa è data da 145 CBU-97/B Combined Effect Bomb (in sigla, CEB), che sono diffuse su di una superficie di circa un ettaro da un generatore di gas che fa praticamente scoppiare la zona della testata. Le submunizioni hanno paracadute, pesano 1,5 kg per una lunghezza di 16,9 cm prima e 35,6 cm dopo l'espulsione, con esplosivo Cyclotol poi sostituito dal PBXN-107 per venire incontro alle esigenze di sicurezza dell'USN. Con l'esplosione segue la frammentazione in oltre 300 schegge ed effetti incendiari grazie ad un anello di zirconio tutt'intorno alla testata. Questo problema non riguarda la DATM-154A inerte da addestramento. La versione B ha submunizioni Skeet: questi aggeggi infernali sono contenuti in sei BLU 108/B della Textron Systems, nati come sistemi SFW (Sensor Fused Weapon) che l'USAF voleva per distruggere i carri sovietici in attacco sull'Europa. Pesano 29 kg l'una per 13,3 cm di diametro e 79 cm di lunghezza, con 4 munizioni, radar altimetro e motore a razzo di piccole dimensioni. Quindi succede questo, nient'affatto scontato, tipo di sequenza: espulsione dal corpo missile, stabilizzazione-rallentamento da parte del paracadute, poi il motore a razzo s'accende e fa salire di quota fino a quanto prestabilito prima del lancio. Poi libera le 4 submunizioni. Queste sono pesanti ciascuna solo 3,4 kg e in questo peso vi è: un sensore IR passivo bicolore, fatto in maniera tale da essere capace di distinguere, per esempio, tra veicoli in fiamme o ancora intatti. Poi subentra, in caso di acquisizione di bersaglio valido, un laser che traccia il profilo del mezzo e ne consente il riconoscimento della zona più vulnerabile (il tetto ma soprattutto il vano motore) e ad una certa altezza l'esplosivo Octol (poi sostituito da un altro tipo) fa esplodere la testata da appena mezzo kg che scaglia un disco di rame 'forgiato' in proiettile dallo scoppio, come una sorta d'evoluzione rispetto al 'jet' della carica cava, con maggiore raggio d'azione anche se meno distruttivo: nondimeno, è abbastanza per penetrare, pur con materiale necessariamente malleabile, centimetri d'acciaio. Insomma, un solo JSOW può colpire fino a 24 veicoli, e a differenza delle CBU normali tipo Rockeye, se l'ordigno skeet, che viene espulso (e quindi plana nell'arco di secondi verso terra) non trova niente allora si autodistrugge ad una certa quota, o quantomeno si inattiva dopo la caduta a terra. È una differenza colossale rispetto a quella data dalle normali CBU, che tendono ad essere molto pericolose rispetto a chi poi sarà in zona dopo il loro uso. Ma all'USAF quest'ordigno non è piaciuto e ha deciso di sostituirlo con la WCMD, Wind Corrected Munition Dispenser, una specie di bomba CBU-105/B dotata di ali e che ha 10 BLU-108- Per uscire dal programma, nel dicembre 2003, l'USAF non ha esitato a pagare 100 mln di dollari di penale e così la versione B non è stata adottata anche se è possibile fornirla a clienti esteri. Quanto alla versione C, essa è capace di attaccare bersagli puntiformi altamente protetti con un grado d'intelligenza artificiale degno di nota. In sostanza, ha un sistema ATA (Automatic Target Acquisition) come nell'AGM-84H e K SLAM-ER, al posto del data-link bidirezionale che consentiva di guidare l'arma sul bersaglio con un operatore. Tutto superato: l'ATA e il sensore IIR permettono di riconoscere e attaccare bersagli 'caricati' nel calcolatore di bordo. E dire che il sensore è di tipo non raffreddato, addirittura di derivazione commerciale. La precisione è di un metro anziché 3 come nel tipo A e B. E una volta sul bersaglio, a bordo c'è la testata più adatta per colpire oggetti molto 'duri', impossibili da annientare con le altre testate viste prima. Essa è duale: la BROACH britannica è acronimo di Bomb Royal Ordnance Augmenting Charge, costruita da BAe Systems che in origine nacque per il CASOM (che per onore della storia significa Conventionally Armed Stand Off Missile), progenitore dello Storm Shadow. Significa in soldoni la presenza di una carica cava da ben 100 kg capace di fare un grosso foro dentro il cemento armato, che apre la strada alla Follow Trough Bomb da 146 kg, che scoppia dentro lo stesso, sia pure con esplosivi insensibili PBXN-109 e 110. Arma davvero micidiale, non è tuttavia l'unica con testata unitaria: nel 2004 l'USN ha richiesto il JSOW Block II che costa oltre il 25% in meno grazie ad una realizzazione curata con parti più economiche. Nondimeno il GPS è di nuovo tipo, il RAPTOR GPS con modalità speciali anti-disturbo. Inoltre da ricordare il 'cervello' elettronico della bomba, che a quanto pare nei primi tipi era niente di meno che il 486, ovvero il processore antecedente al Pentium. Qui è stato sostituito con un tipo nuovo (Pentium?) e le prove in volo sono iniziate il 12 ottobre 2006 mentre le consegne sono iniziate nel maggio 2007. L'economizzazione (non disprezzabile, dopotutto i costi del programma sono di 421 milioni) comprende anche la testata di tipo unitario, che è praticamente la BLU-111 della comune bomba Mk 82. L'export è stato autorizzato dal 2006, ma certo, occorre dire che le logiche da 'Guerra fredda' sono oramai tramontate: submunizioni, come anche testate ad autoguida sono ben poco necessarie per i compiti degli aerei moderni, specie negli oramai endemici 'conflitti a bassa intensità'. Trasportabile dagli F-15E in 5 esemplari, 12 da B-1, 16 da B-2, 12 da B-52H, 4 da F-16 e F-18, ma anche da F-35 (ancora da realizzare l'integrazione), P-3, e altri tipi di aerei, l'AGM-154A è un'arma molto insidiosa. L'unico punto debole è che l'aereo lanciatore per colpire da distanza deve salire di quota e questo potrebbe renderlo vulnerabile alle difese nemiche. Il suo battesimo del fuoco è avvenuto con un programma 'crash' contro la pericolosa antiaerea irachena. Dalla CVN-70 'Carl Vinson' vennero inviati degli F-18 i cui equipaggi avevano avuto appena 2 giorni per familiarizzare con le nuove armi. 3 JSOW distrussero altrettanti siti SAM suscitando l'interesse generale visto che con aerei normalmente armati ci sarebbero voluti almeno 25-30 velivoli. Era il 25 gennaio 1999, poco dopo Desert Fox e ancora prima della IOC. Dopo di allora altri ordigni vennero lanciati, ma non molti: prima dell'invasione del 2003 circa 87 ordigni di questo tipo che sostanzialmente è una JDAM planante. Le capacità d'attacco ognitempo e di precisione vennero apprezzate anche durante l'attacco alla Serbia del '99, sempre ufficialmente prima della IOC, e in Afghanistan, poi contro l'Iraq nel 2003 altre 300 armi vennero tirate contro bersagli individuati dalla ricognizione. Nell'insieme circa 3.000 ordigni sono stati costruiti dal '97, pochi se si considerano i faraonici quantitativi richiesti delle JDAM. I piani dell'USN prevedono 2.800 A e 7.000 C ma con comodo, entro il FY 2019, mentre l'USAF ne ha circa 500 ma ha smesso di comprarli nel 2005. La Polonia ha ordinato, con consegna dal 2008, i tipi C per i suoi F-16. Era il 2003 e questo fu il primo dei non moltissimi successi commerciali. Un altro è stato quello turco per circa 50 Block II e 50 A-1 (quello con la testata dell'Mk 82), infine sono seguite Grecia e Singapore. Ma nell'insieme è difficile non vedere la concorrenza con la più economica JDAM. Gli sviluppi futuri sono relativi all'adozione delle micidiali submunizioni a guida acustica-IR BAT, altra eredità della Guerra fredda, adesso note come Viper Strike, e soprattutto alla motorizzazione. Questa opportunità era già stata studiata nel 1994 con il programma inglese CASOM con il JSOW offerto con motore e i vari tipi di testate semiperforanti richieste. Si è arrivati anche ad un test: il 29 settembre 1995 un prototipo venne provato con un turbogetto Williams WJ24-8 che consentì 120 km di autonomia con solo i due terzi del carburante. Questa versione ovviamente pesava di pù 657 kg ma non era molto più grande e con una gittata stimata di 193 km. Altri tipi sono per esempio, il AGM-154C Block III con capacità d'attacco bersagli in movimento e il JSOW-ER con turbogetto Hamilton Sundstrad per una gittata di 550 km e maggiore carico utile. Intanto il Block III dovrebbe essere disponibile dal 2009. Chiaramente nel programma JSOW si vedono molte delle linee evolutive della tecnologia americana e della filosofia costruttiva. Oramai la tecnica consente di mettere 'in rete' il Mondo, di guidare armi con precisione mai immaginata prima e colpire ogni bersaglio localizzato. Le munizioni d'artiglieria navale e terrestre come l'Excalibur e il Vulcano sono un altro esempio, come le bombe JDAM che costano molto meno di quelle laser. Certo che però più tecnologia significa anche più dipendenza dalla volontà politica di 'Zio Sam' e da quello che è disposto a vendere, come dai satelliti GPS di cui ha il controllo. Del resto anche il solo sistema INS è sufficiente per una buona precisione d'attacco specie da distanza non grandissima. Se non altro la rinuncia sempre maggiore alle testate CBU è un fatto positivo per le popolazioni civili specialmente, ma questo non significa che avere mezzi tecnicamente superiori sia sufficiente se non si ha la volontà e l'intelligenza politica di comporre conflitti che stanno diventando sempre più endemici specie in Africa e nel Mondo arabo. Certo che se si pensa a come i razzi MLRS non guidati fossero una furia 'cieca', e come adesso i tipi guidati GPS stiano dimostrando una micidiale precisione d'intervento (e pure raddoppiando la gittata) si capisce come i metodi di guerriglia tradizionale siano sempre più in difficoltà. Anche le difese fisse: lo JSOW è un'arma d'attacco di precisione, ma anche 'stealth': segnatura IR quasi inesistente, acustica zero, ma anche radar, essendo quest'arma di forma idonea a disperdere l'eco e a farne quindi un aggeggio che ,specie se nell'aria ci sono opportuni 'disturbi' può colpire facilmente un obiettivo anche se difeso, come gli iracheni hanno imparato a loro spese nel 1999-2003. Chiaramente, l'efficacia dell'attacco convenzionale di precisione attualmente impone un ripensamento complessivo di tutta la strategia militare, forse almeno pari a quanto accadde con l'avvento delle atomiche. Ora che qualunque aereo può recapitare bombe GPS ad alta precisione (per le armi laser c'era bisogno di molto di più che di un MIL-1553 o 1760 e di appositi agganci) chi controlla il cielo è davvero in vantaggio sui difensori di terra. Ma tutta questa tecnologia sarà compensata da pari saggezza, o è solo un'abdicazione della politica alle proprie responsabilità ? Le recenti guerre regionali e la loro (mancanza di) soluzione politica non paiono deporre bene. Invece le aree di tensione attuali sono sfruttate più che altro come palestra per sperimentare nuove tecnologie belliche e per passare i relativi contratti ai fornitori. Nonostante il bilancio di 500 mld di dollari l’anno il Pentagono non ha ottenuto stabilità e sicurezza nelle zone di guerra in cui le F.A. americane hanno operato e il mondo adesso non è liberato dal terrorismo post-11 settembre, nemmeno dopo quasi 7 anni di guerra. Addirittura in Afghanistan i Talebani sono in offensiva e la NATO lamenta la scarsità di truppe ed elicotteri tanto che l’US Army ha noleggiato pure 4 Mi-8 Hip da operatori civili. Decisamente la vittoria in guerra, ma soprattutto in pace, non ha surrogati tecnologici alla capacità e volontà dei politici. Il mondo post-11 settembre ha visto l’Occidente concentrarsi più su come far cadere le bombe dritte sul bersaglio che sul come risolvere i problemi politici ed economici di miliardi di persone. Attualmente la spesa militare è in fase di esplosione con 1.200 mld di dollari l’anno, eppure il mondo è nient’affatto più sicuro o equo. È una questione che la politica demanda a strumenti che non possono supplire la sua assenza. Se si spendono 1.200 mld di dollari e poi non si trovano 11 milioni per soccorrere la popolazione del Niger attanagliata da una carestia la tecnologia GPS non serve a molto. ==Bombe 'stupide'== Le F.A. americane hanno introdotto nel tempo una incredibile varietà di bombe normali o 'iron bombs', ma soprattutto di bombe a grappolo -CBU- di triste attualità data la tendenza delle loro submunizioni a non esplodere all'impatto, creando dei micidiali e forse non del tutto involontari campi minati. Infatti, sia che si tratti di bombardare un territorio nemico da non occupare direttamente, che di contrastare le avanzate del Patto di Varsavia, questi 'errori' tornano tutto sommato utili, nella tragica logica bellica che non tiene certo in conto i civili e talvolta nemmeno le proprie forze armate. Un esempio di come nemmeno l'introduzione (ancora troppo recente, apparentemente) di submunizioni con spoletta di autodistruzione a tempo abbia cambiato tanto le cose lo dà il Libano, dove si stimano in oltre 100.000 le bomblets lasciate inesplose dai tremendi bombardamenti israeliani, sia con artiglieria che con aerei del 2006. Quanto alle bombe, le prime erano ordigni di tipo bellico, che però avevano una eccessiva resistenza aerodinamica per i moderni jets: siccome l'attrito aumenta al quadrato con la velocità, quello che a 500 km/h non è un problema grave lo diventa eccome a 800, e a questo si aggiunga pure che i caccia a reazione erano già di loro a corta autonomia rispetto ai loro predecessori. Inoltre una forma aerodinamica non consona alterava la traiettorie delle bombe, rendendole meno precise nonostante la grande stabilità come piattaforma di tiro che i jet dimostravano d'essere. Per stabilizzarle ci volevano impennaggi rilevanti, ma questi per l'appunto avevano elevata resistenza aerodinamica. [[Immagine:M117 bomb.jpg|250px|left|thumb|M117]] Uno dei prodotti moderni fu la bomba '''M117''', ancora piuttosto corpulenta, da 750 lbs ovvero 340 kg nominali, in pratica attorno ai 363. Essa venne impiegata soprattutto dai B-52 sul Vietnam. La precisione era buona, e in ogni caso con i bombardamenti a tappeto non v'era molto da stare a disquisire. Ampiamente diffusa anche all'estero (per esempio, noto è che l'F-104S porta fino a 7 bombe M117), era un'arma a involucro sottile, con una forte carica di esplosivo, ovvero un'arma da demolizione. Un'altra bomba da demolizione, sempre ad involucro sottile e quindi con una grossa quantità di esplosivo, era la poderosa M118 da ben 1361 kg, anch'essa destinata, seppure con scarsa diffusione, ai kit Paveway. Ma negli anni '60 per i cacciabombardieri ad alte prestazioni erano oramai prodotte le bombe della serie Mk 80. [[Immagine:MK-84veMK-82ler.JPG|250px|left|thumb|Mk 82 e Mk 84]] Già alla fine della Seconda guerra mondiale venne chiesto al Bureau of Aeronautics di riesaminare le bombe per dargli una minore resistenza aerodinamica ma questo prese troppo tempo, allora si adottarono quelle studiate dalla Douglas con il progetto Aero 1A, che erano caratterizzate dal rapporto diametro-lunghezza di 1:8,3, ritenuto ottimale per coniugare l'aerodinamica al carico utile: la '''Mk 81''' da 113 kg (250 lbs), Mk 82, 83 e 84, ognuna di peso doppio rispetto all'altra. La loro forma era altamente aerodinamica, il che si sposava bene con i computer balistici, visto che la traiettoria era altamente prevedibile pur con piccole superfici di coda. Ma il contenuto di esplosivo era di appena il 45% nei tipi più grandi, anche per questo la Mk 81 non ha avuto molta fortuna, e se è per questo, nemmeno la Mk 83 (quando invece la RAF usa quasi esclusivamente bombe da 1000 lbs). L'effetto frammentazione è elevato e letale, data l'abbondanza dell'involucro. La bomba Mk 84 ha un raggio letale per la sola esplosione di almeno 90-120 m, con le schegge arriva anche a 360 m, mentre alcune di queste schegge possono arrivare a migliaia di metri,costituendo ancora un pericolo seppure marginale (ma un conto sono le singole persone, un conto bersagli grandi e fragili come un aereo). Le bombe della serie M e Mk sono state utilizzate in milioni di esemplari nella sola guerra in Vietnam, con costi di poche centinaia, al massimo 2000 dollari al pezzo. Si consideri solo che vi sono statistiche che parlano di 6.3 milioni di tonnellate di ordigni sganciati in tutto il conflitto. A parte l'uso come armi a caduta libera, hanno trovato grande uso anche come LGB, EOGB (bombe con sensore elettro-ottico) e di recente, come armi JDAM, quelle 'definitive' per attacchi fire and forget e ognitempo, dati da un sistema INS e GPS combinati, il tutto a costo molto minore delle LGB. Di fatto gli arsenali di chi si può permettere tali sistemi si stanno svuotando delle bombe normali e riempiendo di JDAM, finalmente armi abbastanza economiche e che non richiedono particolari attrezzature per il velivolo lanciatore: ci pensa il GPS e le coordinate caricate in memoria a fare 'il lavoro'. Di recente sono stati avviati anche programmi per le 'Small Diameter Bombs', con peso ridotto, per esempio 113 kg, e involucro di materiali sintetici con bassa produzione di schegge pesanti, e quindi la capacità di utilizzare tali armi anche in ambito urbano con pochi 'effetti collaterali', specie se abbinate a sistemi di guida di vario genere. A parte questo, vi sono le bombe a grappolo, '''CBU''', Cluste Bombs Units, che non sono un'invenzione recente (anche durante la II GM vennero utilizzate ampiamente). I modelli in uso sono tantissimi, e le submunizioni sono altrettanto numerose, essenzialmente o antipersonale o anticorazzati-antipersonale. Tra le forze armate americane, la Marina trascurò inizialmente il loro sviluppo, mentre l'Aeronautica, forse memore dei bombardamenti a tappeto, le sviluppò alacremente. Nondimeno, è stata proprio un'arma della Marina americana ad avere successo e notorietà: la Mk 20 '''Rockeye''', ovvero un'arma che venne utilizzata da Israele nella guerra del Kippur. Essa tuttavia pare non essere molto adatta per le bassissime quote, dove nazioni che possono scegliere, tipo l'AMI italiana, preferiscono le BL-755. Compariamo le due: la BL-755 ha un peso di 272 kg, e contiene 147 submunizioni che vengono espulse da 7 sezioni della bomba, ciascuna da oltre 1 kg e capace di perforare oltre 30 cm d'acciaio, per giunta maggiore nella versione Mk II. La bomba ha avuto vasta diffusione e impiego. La Rockeye, invece, è diversa: pesa appena 227 kg, ma si apre a conchiglia disseminando ben 247 submunizioni, esattamente 100 in più pur pesando di meno. La capacità distruttiva di queste munizioni è ovviamente minore, con una capacità di perforazione dell'ordine dei 20 cm d'acciaio, ma è ancora più che sufficiente per perforare il tetto dei carri armati e di qualunque mezzo corazzato leggero non dotato di piastrelle ERA, e con una diffusione maggiore sul terreno, saturandolo. Altre CBU americane contengono munizioni antipersonale APAM, grosse come palle da tennis e con capacità di frammentazione, spesso usate come la migliore arma contro barchini veloci e imbarcazioni leggere. Le CBU americane dell'USAF hanno per esempio tra di loro le CBU-87/B con 202 submunizioni SUU-64/B a doppio effetto, anzi triplo: frammentazione, HEAT controcarro, incendiario. Molte le CBU utilizzate per la guerra in Vietnam come le CBU-19A/B e le CBU-30/A, ma questo conflitto è stato più famoso per i bombardamenti a tappeto, ma anche per il lancio dei terribili ordigni incendiari. Questi ultimi sono stati essenzialmente quelli al fosforo, incendiari ma con scarsa persistenza, utilizzati in realtà anche come armi fumogene o per marcare obiettivi, e quelle al napalm che è benzina gelatinizzata. Da notare che, a parte l'orrendo effetto antipersonale di cui sono capaci, queste armi sono state utilizzate molto (in Corea, per esempio) contro veicoli, anche contro carri armati, e dimostrandosi efficace, sebbene possa sembrare strano che un carro possa prendere fuoco. Certo che comunque i carristi erano ben più protetti dei fanti da tali armi. Per potenziare il napalm e farlo bruciare anche sott'acqua, visto che c'era il pericolo che qualcuno si gettasse in acqua per non bruciare, venne aggiunto anche fosforo o altri additivi al napalm. Tuttavia non tutte erano armi tanto letali: le bombe CBU 19 e 30 erano per esempio caricate con submunizioni caricate con gas CS lacrimogeno, con lo scopo di stanare i guerriglieri dalle foreste. Le CBU-52 erano invece con bombette a frammentazione anche contro le difese antiaeree, di cui queste armi sono i principali nemici. Le CBU sono diventate anche LGB: per esempio, il distributore SUU-54 con 1800 bombette BLU-63 e/o BLU-86 controcarri e a frammentazione, integrati nel GBU-15 che è una nuova bomba guidata con sistema televisivo ma con capacità notturne. A parte questo, sono da segnalare altre tipologie di armi: una è quella delle bombe ritardate, ovvero con ausili per consentirne lo sgancio a bassa quota senza pericoli per l'aereo lanciatore. Non era tanto difficile, a dire il vero, semplicemente utilizzare spolette a scoppio ritardato, cosa già utilizzata, per esempio, dai Mosquito inglesi nell'operazione Gerico. Ma con il rischio che le bombe si piantassero nel suolo senza causare grandi danni ad obiettivi campali, è stato ritenuto meglio dotare le bombe di accorgimenti diversi. Uno è il 'ballute' ovvero una sorta di paracadute 'a palla', dato da una sorta di sacco che si gonfia subito dopo lo sgancio, meno efficiente ma più sicuro dei paracadute normali che rischiano, a quelle velocità, di rompersi. Un altro tipo sono i kit 'Snakeye', ovvero 4 robusti petali che si aprono dietro la bomba, in metallo, orientati contro il movimento. Entrambi i tipi sono soprattutto per le bombe da 227 kg, e comportano un certo aggravio dei pesi, per esempio la Mk 82 Snakeye pesa 249 kg, tra l'altro più resistente all'aria. Altre armi sono quelle per interdizione d'aerea, con mine di ogni sorta per arrestare l'avanzata prevista delle orde di carri del Patto di Varsavia. Tra questi sistemi, negli anni '80 era presente il Gator, dotato di mine magnetiche Honeywell BLU-91/B anticarro e le Aereojet BLU-92/B antiuomo a frammentazione. Tutte hanno tempi di autodistruzione programmabili in tre valori differenti. I contenitori che le trasportano sono i CBU-78/ e 84/B con entrambi i tipi, 82/B e 85/B con le BLU-91, e 83/B e 86/B con le BLU-92/B. Ben più sofisticate sono le mine del sistema ERAM, formidabile sistema di tecnologie avanzate per gli anni '80. In sostanza, era previsto allora di utilizzare contenitori SUU-65/B con le CBU-92/B. Che cosa è questo tipo di mina? Niente di meno che un sistema di ricerca e distruzione di carri a distanza. Ogni contenitore ne porta nove. Scendendo col paracadute, come se fossero una sorta di sonda spaziale aliena, aprono 4 gambe telescopiche di stabilizzazione, poi dispiegano tre antenne acustiche e azionano un apparato miniaturizzato di ricerca infrarossa, poi puntano con la loro torretta mobile verso il veicolo e il calcolatore stima la distanza e prevede la posizione futura. Poi spara una delle due submunizioni Skeet, che sono dotate di un sensore IR che 'sente' quando si trova sopra il veicolo dal suo calore. Allora esplode sopra di questo, a diversi metri di distanza, e l'esplosione della carica HEAT non lo colpisce direttamente, ma deforma il disco di rame che ha di fronte trasformandolo in un proiettile che, nonostante sia fatto di materiale relativamente soffice, perfora diversi cm di acciaio, sul tetto, dove anche un carro armato è vulnerabile, e in genere sul comparto motore da dove arriva più calore. Per quanto incredibile, questi letali arnesi, così complessi e dai principi di funzionamento tutt'altro che semplici ed economici, vennero sperimentati già con le tecnologie disponibili negli anni '80. Un altro tipo di bombe sono quelle '''FAE''', ovvero Fuel, Air Explosive. Sono poco utilizzate, e quando lo sono, per impieghi tipo eliminare campi minati o aprire varchi nella foresta per elisbarchi. Ve ne sono di vari tipi, caricati con polvere d'alluminio o altri combustibili: hanno il vantaggio di costare poco e non portando con sé l'ossigeno (che nel TNT conta per il 42% del peso) possono emettere una energia molto superiore rispetto ai normali edifici. Il principio è quello che viene applicato quando una casa satura di gas salta in aria. Lo svantaggio è la necessità di un innesco che accende la nube di combustibile al momento giusto, e del fatto che v'è bisogno di aria per l'esplosione, oltre questo la pressione massima non è molto alta: non si possono distruggere obiettivi duri con cariche di questo tipo, come per esempio i carri armati. [[Immagine:MOABAFAM.JPG|250px|left|thumb|]] Le bombe più grandi sono le mostruose 'Daisy Cutter' da 6 t sganciate da C-130, ma di recente è stata sviluppata la '''MOAB''' da ben 9 t ancora più micidiale. Da non dimenticare le superbombe convenzionali 'Gland Slam' americane, simili a quelle inglesi e quindi pensate come queste armi del '45 per penetrare nel terreno prima di esplodere, facendo un effetto terremoto capace di far crollare strutture in cemento armato. Le armi inglesi erano da 9979 kg, quelle americane, portabili in un paio di esemplari dai B-36, erano da ben 18 t. ==Atomiche== Da qui si arriva alle bombe nucleari. Vi sarebbe da parlare qui dell'intero programma nucleare americano, ma davvero sarebbe un compito improbo. Dalle bombe nucleari primigenie, che spianarono Hiroshima e Nagasaki la tecnologia nucleare non si distaccò molto per i primi anni. Poi si riuscì a produrre armi nucleari compatte, grazie ad una migliore progettazione e all'uso di isotopi di trizio nel processo di fissione per potenziarla. La rivoluzione furono le bombe H, che potenzialmente non hanno limiti in termini di MT, quantomeno fino al livello, potenzialmente, di supernova. Sono state realizzate numerose armi nucleari di ogni genere, da quelle per cacciabombardieri tattici a quelle per i bombardieri strategici. Vi sono armi come le '''B-28''', '''B-43''' pesanti (anche 25 MT), come quelle leggere come le '''B-61''' e '''B-83'''. Ecco una lista di armi nucleari americane a caduta libera: [[Immagine:Fat Man (replica of nuclear bomb).jpg|250px|right|thumb|La 'Fatman']] *'''Mark 1''': "Little Boy", la bomba di Hiroshima (13-16 Kt, 1945-1950) *'''Mark 2''': "Thin Man", una differente progettazione, che non ebbe seguito *'''Mark 3''': "Fat Man" (21 Kt, 1945-1950) la bomba di Nagasaki, al plutonio. *'''Mark 4''': "Fat Man" riprogettata nel dopoguerra (1949-1953)Era sempre un'arma di grosse dimensioni, da oltre 4.5 t e con 1.52 m di diamerto e circa 3 di lunghezza. Venne prodotta i 550 esemplari, con potenza variabili di 1,3,4,8,14,21,22 e 31 kt *'''Mark 5''' – Bomba migliorata e più piccola (1-120 Kt, 1952-1963). La Mk.5 era la prima ad essere molto più piccola di 1,52 m o 60 pollici in diametro. Aveva una testata W5 e venne tenuta in servizio nel 1952-63, con un diametro di 1 m, lunghezza di circa 2 m, peso dell'ordine della tonnellata, aveva potenza nondimeno molto maggiore con versioni da 6, 16, 55, 60, 100, and 120 kT. *'''Mark 6''' – Miglioramento dell'Mk-4. (8-160 Kt, 1951-1962). L'Mk 6 era basata sull'Mk 4 ed era ancora del tipo Fatman, prodotta nondimeno in qualcosa come 1100 unità e tenuta in servizio fino al 1962. Con una massa di circa 3600 kg poteva sviluppare tra gli 8 e i 160 kT. Era sempre una bomba ad implosione con un sistema a 32 punti, come la Mk3. *'''Mark 7''' – La prima bomba nucleare tattica (8-61 Kt, 1952-1967). La Mk.7 Thor era una bomba nucleare tattica capace di essere utilizzata anche in azioni di bombardamento a bassa quota, con tanto di pinne di coda retrattili per facilitare l'uso su cacciabombardieri. Era un'arma prodotta in ben 1700-1800 unità in servizio già dal 1952 fino al '68, un periodo molto lungo per un'arma nucleare di prima generazione. Dimensioni 4.6 x 0.8 m, peso 764 kg. potenza 8-61 kT. [[Immagine:Mk 8 nuclear bomb.jpg|200px|right|thumb]] *'''Mark 8''' – Bomba per la penetrazione di bersagli duri, a scoppio nel terreno (25-30 Kt, 1951-1957). La Mk 8 venne sviluppata nei tardi anni '40 e poi messa in servizio contemporaneamente alla precedente. Essa venne ritirata dal servizio dopo appena 5 anni di servizio, nel 1957. Era una bomba 'a cannone' con materiale fissile bersaglio, e possedeva la capacità di penetrare il terreno prima di esplodere anche per 6.7 m nel calcestruzzo, 27 m nella sabbia dura, 37 m di terreno o 13 cm di acciaio. Pesava circa 1400 kg per quasi 3 metri e esprimeva 25-30 kT. Ne vennero prodotte solo 40. *'''Mark 10''' – miglioramento della Mk-8 (12-15 Kt, cancellata nel 1952). *'''Mark 11''' – seconda riprogettazione dell'Mk-8(8-30 Kt). La Mk 11 era anch'essa uno sviluppo della Mk 8 con capacità di penetrare il terreno, per compiti di 'distruzione di bunker'. Era dotata di uranio arricchito in configurazione cannone', prodotta anch'essa in pochi esemplari, 40, giusto per rimpiazzare le Mk 8. 356 mm di diametro, circa 3.8 m di lunghezza, peso oltre 1400 kg per potenza di 8, 25 o 30 kT. *'''Mark 12''' – Bomba per cacciabombardieri, alleggerita rispetto alle altre(12-14 Kt). La Mk 12 era una bomba leggera costruita dal 1954 e in servizio fino al 1962. Era piccola, molto di più di quanto non fossero le altre armi dell'epoca: appena 55 cm di diametro. Era ad implosione con 92 punti e pesava circa al massimo 544 kg. Potenza 12-14 kT. *Mark 13 – Mk6 migliorata, ma cancellata nel 1954.L'Mk 13 era solo un'arma prototipale. Basata sull'Mk 6, ovvero il miglioramento della Mk 4 Fat Man non introduceva miniaturizzazioni, anzi era circa 155 cm di diametro e 320 di lunghezza per 3.300 kg, ma aveva una potenza di 32 kT. Venne testata il 19 maggio '53. Di fatto, venne resa obsoleta dall'avanzamento dei lavori sulle bombe H e così venne cancellata nel settembre 1953.La sua versione migliorata, tuttavia, meritava un cenno: era dotata di 60 kg di uranio altamente arricchito, e sviluppava ben 500 kt. Venne anche testata in poligono, e prodotta in 90 esemplari nel 1953-56. *TX/'''Mark 14''' – Bomba termonucleare, sperimentata con l'esperimento Castle Union. Prodotte 5. (5 Mt) . La Mk 14 era una bomba H, disegno sperimentale che venne prodotta in 5 esemplari nel 1954. Venne testata nell'aprile '54 nell'esperimento Castle Union con una potenza di 6.9 MT. Era un'arma speciale, sostanzialmente sperimentale pertanto non venne realmente intesa per operazioni. Della sua potenza, ben 5 MT erano dati dalla fissione, rendendola particolarmente 'sporca' ie. radioattiva. Pesava circa 13 t con un diametro di 155 cm e lunghezza di 5.64 m. e venne sganciata con un paracadute ritardante. *'''Mark 15''' – Naturalmente non passò molto tempo prima di ottenere una H di piccole dimensioni (1,7-3,8 Mt, 1955-1965). La Mk 15 era un'altra arma H degli anni '50, ma stavolta da soli 3.450 kg, più che sufficienti per darle una potenza distruttiva enorme. Ne vennero prodotte qualcosa come 1200 unità nel 1955-57 in tre modelli, rimasti in servizio fino al 1965. Essa era ancora un disegno di transizione verso le H moderne, e infatti generava per la maggior parte della sua potenza energia dal nucleo di uranio altamente arricchito o HEU. Questo la rendeva altamente radioattiva, e una di queste armi, sganciata in emergenza da un B-47 è ancora considerata persa in mare, vicino alla costa dopo 50 anni di ricerche. Il Mod. 1 era un'arma da 1.69 MT, il 2 aveva ben 3.8 MT e il 3 lo stesso valore, ma un qualche miglioramento generale. La bomba venne utilizzata anche come testata per il missile Snark come W15, ma poi si scelse la W39. La W39 e la B39 utilizzano comunque una struttura base derivata dalla Mk 15. *TX/'''Mark 16''' – Una bomba H criogenica, solo 5 prodotte(6-8 Mt) *'''Mark 17''' – La più pesante bomba americana, seconda solo alla Mk-24(10-15 Mt). La Mk 16 era una bomba di grande potenza distruttutiva, una H con deuterio liquido, dunque una bomba criogenica. Era un'arma sperimentale con peso di circa 18 t e 6-8 MT di potenza, costruita in sole 5 unità. Ancora, non può non colpire la rapidità con cui nei primi anni '50 vennero prodotte tante di queste armi nucleari, quasi che la loro produzione fosse ordinaria amministrazione per l'industria americana, mentre ancora oggi molti Paesi non sono capaci di fare altrettanto. Vennero prodotte queste armi speciali nel gennaio '54 e ritirate già ad aprile. D'altro canto vi era un solo B-36 modificato capace di portarle. La Mk 17 e la derivata Mk 24 erano le prime H prodotte in quantità, pesanti comunque qualcosa come 21 tonnellate e capaci di ben 15 MT. Nonostante la loro immensa potenza e la massa gigantesca, ne vennero prodotte 200 nella sola versione Mk 17 e 105 nella Mk 24, tutte tra ottobre 1954 e novembre 1955, praticamente una al giorno. La Mk 17 venne testata nell'esperimento Castle Romeo del '54. Tutte queste enormi bombe vennero ritirate in pochi anni: ottobre '56 per le Mk 24, mentre le Mk17 curiosamente resistettero fino all'agosto successivo. La Mk 24 era un'altra H, basata sul terzo test H, Castle Yankee. Era una immensa bomba, la più pesante mai schierata dagli USA assieme alla Mk 17, capace nel test di cui sopra di esprimerer 13.5 MT, mentre nella versione 'operativa' esprimeva 10-15 MT: certamente, scampare al suo lancio da parte dei lenti B-36 era molto, molto difficile da credere, almeno in una condizione operativa reale. *'''Mark 18''' – Arma nucleare sperimentale a grande potenza (Ivy King). L'Mk 18 era una bomba di modici 500 kT, a fissione, con sistema ad implosione a 92 punti, derivato da quello della Mk 13. Aveva uranio HEU, e poteva dare luogo ad esplosioni accidentali, anche quando non settata, di diversi kT. 90 prodotte, radiate senza rimpianti nel '56. *'''Mark 20''' – Miglioramento della Mark 13 ,cancellata nel 1954. La Mk 20 era una versione aggiornata dell'Mk 13 ma cancellata nell'agosto '54. Era grossomodo della stessa stazza della Mk 13, con 155 cm di diametro, e pesava 'solo' 2900 kg circa. *'''Mark 21''' – versione ridesignata dell'arma del test Castle Bravo *'''Mark 22''' – Disegno per un'arma H senza esito(Castle Koon, cancellata nel 1954). La Mk 22 era sviluppata come arma H, sperimentale e sviluppata dall'Università della California, ovvero dai laboratori Livermoore. *'''Mark 26''' – Simile alla Mk 21 ma cancellata nel 1956. L'Mk 26 era un'arma sperimentale, chiamata come altre armi del genere, TX-26 sviluppata già nel '54. Ma lo sviluppo di quest'altro mostro terminò nel '57 quando la sua versione Mk 21 venne abbandonata. *'''Mark 27''' –Arma per la Marina(1958-1965). La Mark 27 era figlia dei laboratori Livermore, anch'essa prodotta ma stavolta solo dal 1958. Non c'è dubbio che l'esistenza del SAC, con i suoi migliaia di bombardieri con capacità nucleari ponesse l'esigenza di equipaggiarli, e questa fosse presa molto sul serio dall'industria americana. Venne prodotta con potenza di 2 MT, peso di circa 1450 kg e lunghezza di 0.76 m x 3.6 m di diametro. 20 vennero prodotte come testate W27 per la testata del missile Regulus. Ne sarebbero state prodotte 700. [[Immagine:B28RE bomb.jpg|200px|right|thumb]] *'''B28''': o Mark 28, (1958-1991). La B28 era un'arma H tattica-strategica utilizzata anche dalla NATO, per esempio dai caccia CF-104, e dai Valiant inglesi. Prodotta dal 1958 al '66, era munita della stessa testata reperibile su missili come i Mace e gli Hound Dog. Ne sono state prodotte qualcosa come 20 versioni, con so senza paracadute, diametro tipico 58 cm, lunghezza variante tra 2.44 e 4.32 m, peso tra 771 e 1053 kg, potenza che poteva essere scaricata in aria o con impatto a terra, variabile da 1.1 MT nel Mod.1, 350 kt nel Mod.2, 70 nel Mod.3, 1.45 per il Mod.5. Come facilmente intuibile, il numero prodotto non era in economia: 4.500 bombe, l'ultima ritirata nel 1991. *'''Mark 36''' – Bomba strategica (1956 - 1961) 9-10 Mt *'''B39'''(Mark 39), 1957-1966. La Mark 39, poi B39 erano armi H con servizio 1957-66, potenza di 3.8 MT, derivanti dal miglioramento della Mark 15. Era la prima H 'leggera', ma certo non economizzava in potenza, venne utilizzata con la sua testata anche sui missili Redstone, Snark, e i pod dell'B-58. La testata W39 pesava fino a 2900 kg, con diametro di 89 cm e lunghezza di 2.8 m. La bomba B39 insieme era pesante fino a 3450 kg con diametro di 89 cm e lunghezza di 3.56 m. [[Immagine:B41 nuclear bomb.jpg|250px|right|thumb]] *'''B41'''(Mark 41), 1960-1976. La B41 è stata una bomba anche più drammaticamente massiva e potente. Era tipica per i bombardieri del SAC, ed è stata, notare bene, la bomba con il più alto rapporto potenza.peso mai costruita. E dal momento che la sua massa era di 4850 kg, questo significa che la sua potenza raggiungeva qualcosa come 25MT. Era stata prodotta con sviluppo dal 1955 e una versione per missili ICBM venne cancellata nel 1957. Era un'arma tristadio, con deuterio-trizio come primario, sviluppata come versione Y1 con nucleo 'sporco' in U238 e quella Y2 pulita, per modo di dire, con una diversa struttura. Nel 1963, per aggiungere follia a follia, gli USA dichiararono che potevano trarne una versione da 35MT e sistemarla nella testata di un missile Titan capace di portare un carico di 3700 kg, quasi raddoppiando il già straordinario rapporto potenza-peso. La sua struttura era di 3.76 m per 1.32 m di diametro, e poteva essere fatta esplodere in aria o a contatto, con paracadute o senza (molto sconsigliabile..). Ne vennero prodotte qualcosa come 500 pezzi, tra il settembre 1960 e il giugno 1962, con servizio dal 1961. Eppure, già nel 1963 questa iper-bomba venne ritirata gradualmente vista la disponibilità della B53. La radiazione finale arrivò tuttavia solo nel 1976. da notare che a differenza delle altre iperbombe H, queste erano abbastanza leggere per essere portata in più esemplari, fino diciamo a 4, da un singolo bombardiere strategico B-52 e forse due armi per un B-47. *'''B43'''(Mark 43), 1961-1991. Il B43 era un armamento per caccia tattici, sviluppato dal 1956 e in produzione nel 1959. Tuttavia il servizio venne raggiunto solo nel 1961. Era un'arma prodotta fino al 1965 in ben 2000 esemplari, con due versioni e 5 potenze selezionabili. Erano di 45 cm di diametro, lunghezza tra 3.81 e 4.15 m e peso tra 935 e 960 kg, sganciabile anche da appena 90 m di quota, con selezionabilità del tipo di esplosione desiderata. Carica da 70 kT a 1 MT. Portata da molti tipi di aerei imbarcati e non, dai bombardieri inglesi, venne ritirata negli anni '80. *'''B46'''(Mark 46); Arma sperimentale, cancellata nel '58. La B46 è una bomba testata ma mai messa in servizio. Era un'arma, tanto per cambiare, nata nel decennio atomico ovvero gli anni '50, pesava circa 3700 kg e sviluppava 9 MT.Il suo disegno base venne sviluppato nella B53 e nella testata W53. 50 sono ancora in riserva. *'''B53''' (1962-1997). Le B53 sono state sviluppate dal 1955 dai laboratori Los Alamos, basate sulle Mk 21 e Mk 46. Erano intese per rimpiazare le Mk 41, e entrarono in produzione nel 1962 con la costruzione di 340 bombe terminata nel 1965. Aveva la potenza formidabile di 8.9 MT in base al test del 1958. Lunga 3.8 m e diametro 1.27 m, da 4.015 kg incluso il paracadute da 400 kg, costituito da 5 diverse unità. Prodotta in 2 versioni, sporca e pulita, aveva sistema di implosione con RDX e TNT, nucleo basato su uranio, e poteva essere utilizzata anche per attacco contro bersagli sotterranei, ma pur sempre con impatto al suolo per causare un effetto terremoto. 50 armi sono ancora in servizio, anche se come riserve. La W53 è un'arma per il Titan II, con massa ridotta a 3.690 kg, ed è la testata più potente mai portata da un ICBM americano, costruita in 60 esemplari nel 1962-63. Una venne coinvolta nell'esplosione di un silos Titan, ma per fortuna non esplose o si danneggiò. Ritirate nel 1988. Per fortuna, perché in caso di totale esplosione la palla di fuoco arriverebbe a 1-1,6 km per circa 12 secondi, uccidendo con il calore chiunque allo scoperto entro 29 km, e distruggere la maggior parte delle abitazioni e strutture entro 15 km, distruggendole totalmente entro i 5.7 km, radiazioni sufficienti per uccidere (senza considerare l'esplosione ) il 90 % delle persone entro i 4.7 km di distanza, come si vede, crescendo la potenza delle armi nucleari l'effetto del calore e onda d'urto aumenta rispetto a quella della radioattività *'''B57'''(1963-1993). La B57 è un'arma tattica, ovviamente H, in servizio dal 1963. Essa ha 3 m di lunghezza, diametro 37,5 cm, peso di appena 227 kg. È dotata di paracadute, e può essere utilizzata con molti tipi di spolette, anche come bomba di profondità. Infatti non è molto potente, a seconda dei Mod. si arriva, tra lo '0' e il '4', a 5, 10, 10, 15, 15, 20 kT.Ritirata nel 1993, ma nell'insieme prodotta in qualcosa come 3100 esemplari. Largamente impiegata da aerei e elicotteri ASW. [[Immagine:B-61 bomb (DOE).jpg|250px|right|thumb]] *'''B61''' (1966-oggi). La B61 è un'arma nucleare moderna, disegnata nel 1963 dai laboratori Los Alamos, la produzione a massa iniziò nel 1968.Era un'arma tattico-strategica, una H con peso ridotto. Ne vennero prodotte 3155, che ancora nel 2002 erano in servizio in circa 1265. Ne sono state prodotte 9 versioni, l'ultima delle quali è la Mod.11 del 1997, che serve per penetrare il terreno con funzioni anti-bunker. Prodotta per essere utilizzata dai più disparati aerei, dai vecchi F-100 ai minuscoli A-4, agli F-4 e F-111, F-15, F-16, A-6 e persino S-3 Viking, nonché i Tornado italiani e tedeschi, mentre quelli inglesi avevano la WE177. Difficile dire quante ne sono state prodotte, ma si dice che a tutt'oggi ne siano in servizio no meno di 480. È un'arma moderna, a testata selezionabile in potenza, diametro di 33 cm, lunghezza 3.58 m, peso appena 320 kg, variabile a seconda delle versioni. La sua utilizzazione riguarda anche gli attuali B-2 Spirit. [[Immagine:B-61 bomb rack.jpg|250px|right|thumb]] La versione anti-bunker pesa 540 kg, sviluppata dal 1994 e entrata in servizio 3 anni dopo in 50 esemplari. In genere vi è un paracadute da 7,3 m in nylon. A parte questo, l'arma, rilasciabile fino a mach 2, ha una testata regolabile per esplosioni aeree, a contatto al suolo, paracadutata. Se necessario può essere rilasciata ad appena 15 m, con spoletta radar per l'esplosione. Il sistema di attivazione può essere settato, nelle versioni tattiche, a 0.3, 1.5, 5, 10, 60, 80, or 170 kilotoni . La Mod.11 ha forse una potenza di 10 kT, mentre la Mod. 7 strategica arriva a 340 kT. Attualmente sono attivi i Mod. 3, 4 tattici, il 7 strategico, il 11 antibunker. *'''B77''' (cancellata 1977). La B77 ha avuto origine per il B-1A, e rimpiazza la Mk 28 e la Mk 43. Pensata per essere sganciata a mach 2 e a quote anche di 18.000 m, era dotata di un paracadute per assicurare, anche da 30 m, anche la salvezza del bombardiere lanciatore. Venne cancellata nel 1977 come il B-1A. [[Immagine:B-83 nuclear weapon.jpg|240px|right|thumb|La B-83 fa outing]] *B83(1983-oggi) La B-83 è una arma per certi aspetti derivata dalla precedente, con capacità di variare la potenza esplosiva, entrata in servizio nel 1983. Sviluppata dai Livermore labs, ha esplosivo 'insensibile' per evitare scoppi accidentali, è lanciabile da mach 2, a qualunque altezza, ha un paracadute da 14 m in kevlar, pesa 1089 kg, lunghezza di 3.67 m, diametro di 45,7 cm, potenza realmente variabile, da 1 kT a 1.2 MT. È stata realizzata anche come bomba 'da penetrazione', o almeno considerata in tal impiego, e persino considerata come arma per bombardare eventuali asteroidi che minaccino la Terra. *'''B90''' (cancellata 1991) La B90 è l'ultima delle armi nucleari di questa genia, disegnata nei tardi anni '80 ma senza entrare in servizio. Era un'arma navale, per impieghi come le cariche di profondità nucleari, peso di 360 kg, potenza 200 kT, lunga circa 2,8 m e diametro di circa 35 cm. Era prevista anche come W89 e W91 come arma per lo SRAM II e SRAM T. In tutto, solo considerando le bombe a caduta libera, gli USA hanno prodotto (calcolo del tutto parziale) oltre 18.000 ordigni. Solo le B41 disponevano di una potenza di 12.500 MT, le B53 aggiungevano altri 2900 MT e via così. Solo le B41 erano capaci di esprimere l'energia della bomba di Hiroshima moltiplicata di '''un milione di volte'''. Tanto per capire la follia (MAD, Mutual Assure Destruction, ma solo quando l'URSS, alla fine degli anni '60 raggiunse la parità nucleare con gli States) della corsa al nucleare di quegli anni, nemmeno lontanamente avvicinata dagli attuali programmi nucleari, e senza nemmeno prendere in considerazione le altre cariche nucleari, dagli ICBM ai cannoni SR da 120 mm 'Davy Crockett'.. Un B-1B può portare 12 -24 H, mentre un B-52 può portare non meno di 8 bombe H, per un totale di decine di MT disponibili, giusto 10.000 volte Nagasaki. Ben presto le armi nucleari si diffusero presso i reparti aerei di tutti i generi, con gli A-4 Skyhawk, gli F-84, 86, 100, 105, A-3, A-5 etc. etc. ottimizzati per il loro impiego. D'altro canto non deve stupire dato che persino cannoni SR da 120 erano utilizzati per lanciare granate nucleari tattiche, per non dire dei missili Falcon: praticamente qualunque cosa potesse ospitare poche decine di kg era idoneo a portare, potenzialmente cariche nucleari, anche le valigette di team speciali con cariche da demolizione o mine predisposte. Certamente vi era stato un notevole progresso rispetto alle bombe da 4 t dei primordi. Forse il decennio 1955-65 fu quello in cui davvero qualche incosciente ai reparti più bassi poteva dare il via ad una guerra nucleare. Non mancavano nemmeno le cariche nucleari di profondità, che gli elicotteri e aerei NATO hanno continuato a portare a lungo assieme a quelle convenzionali, sempre più rare (da circa 161 kg), e ai siluri ASW. [[Immagine:Castle Romeo.jpg|250px|left|thumb|]] Per fortuna i politici vigilavano: pare che McArthur sia stato silurato per avere proposto di usare le atomiche contro i comunisti in Corea. Ai tempi della Crisi dei Missili gli intercettori erano realmente armati di missili nucleari: bastava un caccia cubano a bassa quota per rischiare di spianare qualche decina di kmq di territorio. Un esempio impressionante di come le cose che 'tecnicamente' si possono fare non siano necessariamente lecite. Attualmente il presidente G.W. Bush si è speso molto per premere per la realizzazione di mini-armi nucleari da usare contro 'bunker profondi'. Se la tecnologia era già tanto progredita 50 anni fa, potrebbero anche riuscirci, ma certo,non sarebbe un bel giorno per il mondo quello salutato dal loro impiego, o anche dalla minaccia del loro utilizzo: si è sempre lavorato per ridurre l'abissale differenza tra le bombe convenzionali e quelle nucleari, e forse tecnicamente ci si potrebbe anche riuscire. ===La 'Bomba' e i cacciabombardieri<ref>''Un aereo, una bomba, una città distrutta'' Sgarlato N, Aerei Mar 1992</ref>=== Inizialmente le bombe atomiche, almeno un pregio ce l'avevano: la Little Boy pesava 4 t e aveva un diametro di 71 cm per una lunghezza di 3,2 m, il tutto per una potenza di 15 kT. Sebbene fosse potente come 33.300 bombe M65 da 450 kg, ovvero il carico di 1.600 B-29 (dato controverso, visto che parte del peso delle M65 non era relativo all'esplosivo, per cui quest'ultimo doveva essere più potente del tritolo), era davvero troppo grande per essere portata da altro che non fossero i potenti e rari Superfortress, e solo unendo i due vani trasporto bombe, quello anteriore e quello posteriore. In seguito venne accorciata e quindi resa compatibile con la stiva anteriore senza modifiche. Ma ancora, si trattava dell'arma assoluta e probabilmente non era ancora nemmeno concepita la follia di replicarla all'infinito, con dimensioni sempre più ridotte e fino a renderla addirittura portatile! Nel dopoguerra il nuovo Strategic Air Command aveva solo quattro bombe di questo tipo, ed erano assegnate al 393rd Bob Squadron, che era basato a Roswell Field (un nome .. ben noto), in New Mexico, da dove misero in azione una sorta di primordiale servizio d'allarme nucleare. Nel '47 venne fuori la storia di uno strano 'crash', e un inesperto PAO (Public Affairs Officer) se ne uscì dicendo che era caduto un 'disco volante'. Così la più segreta delle basi aeree divenne d'un tratto la più nota, perché nel dopoguerra, e nel '47 in particolare, c'era stata una vera ondata d'avvistamenti. Forse si sarà pensato che era meglio così, invece di andare ad ammettere l'esistenza di programmi come i palloni sonda per spiare l'URSS, ma in realtà si dimostrò un formidabile boomerang, che ha attirato curiosità e critiche sull'USAF. Questa, riguardo alle armi nucleari, aveva la filosofia di 'un aereo, una bomba, una città distrutta', un po' come sul Giappone. Con il B-29 in volo era difficile fermarlo prima che fosse sul bersaglio, ma certo l'URSS non era il Giappone del '45. Ad ogni modo, le bombe nucleari erano state maggiormente sviluppate dalla Fatman al plutonio, più potente anche se più pesante. Da questa venne fuori la Mk.III, a forma di uovo o di una sorta di 'dirigibile', considerando anche i piani di coda: lunghezza 3,25 m, diametro circa 1,5, peso 4.675 kg e 21 KT. Dato il diametro delle semisfere di plutonio, la sua forma non era particolarmente aerodinamica e l'errore medio nei lanci di prova era di 283 m. Non era pochissimo, ma nemmeno tanto se si trattava di colpire un bersaglio non protetto (sotterraneo), come una città, con un raggio di distruzione 10 volte maggiore. Del resto, i bombardamenti su Bikini dimostrarono che le navi erano ben più difficili da distruggere al di fuori di poche centinaia di metri, specie se l'esplosione avveniva in aria (perché l'onda d'urto era ben più pericolosa per le loro strutture quando era subacquea, sebbene l'onda di calore fosse molto più pericolosa per gli esseri umani nel raggio di chilometri). Per caricare quest'ordigno era necessario scavare una buca e poi farvi passare sopra un B-29, come del resto si faceva per gli aerei sperimentali X-1 e X-2, o anche il sollevamento del muso degli stessi aerei. Inoltre l'inserimento del 'core' per attivare l'ordigno richiedeva molto lavoro e 90 minuti di tempo. Peggio che mai, gli XB-35, per quanto sembrassero avanzati, non potevano ospitare queste armi nei loro vani bombe e anche per questo, vennero abbandonati. Presto le Mk.III divennero una realtà operativa di tutto rispetto, malgrado tutto questo: la produzione arrivò a ben 120 ordigni, anche se le radiò già entro il 1950. Per i successivi bombardieri, l'USAF volle una stiva cilindrica con diametro sufficiente per un 'carico speciale' fino a 1,55 m di diametro e lunghezza di 4,6, peso di almeno 4,55 t. Anzi, già si pensava a bombe da 21 t e 7,5 m. Con questi criteri più o meno rispettati nacquero i vari AJ Savage, A3D Skywarrior, i B-47 e i successivi dell'USAF, il B-45 dovette essere modificato nella struttura alare perché questa, in origine, era un cassone unico che attraversava anche il vano portabombe. B-47 e 52 invece avevano stive più che sufficienti per il compito. Ma la Mk.III non era certo l'ultimo grido della tecnologia, e venne presto adottata la Mk.IV, uguali dimensioni ma peso di 4,9 t. Poteva essere portata anche dai vecchi B-29 nonché da tutti gli altri aerei, tra cui, ovviamente, il mostruoso B-36. I problemi con i servizi su allarme però non finivano qui. Anche la Mk.IV, come la precedente, una volta attivata restava operativa appena tre giorni, poi bisognava ricaricare la batteria; dopo due ricariche, bisognava anche sostituirla per sicurezza. In ogni modo, era più affidabile, l'armamento era attivabile in 'soli' 31 minuti, e la precisione era adesso di 162 metri dal punto di mira, almeno in un lancio ideale. La Mk.5 fu il passo successivo, ed entrò in servizio già nel maggio 1952, per restarvi fino al gennaio del '63. Questa aveva sempre la struttura a 'Uovo di Pasqua', ma era lunga 3,35 m e con diametro di 1,11 m, per un peso di appena 1.440 kg. Nata per il fallito bombardiere strategico XB-55 (progettato nel '49, simile al successivo Tu-95 russo), mai costruito. La sua bomba, però, ebbe molto più successo perché finalmente diventata un mezzo di dimensioni e pesi decentemente limitati, sufficiente per essere portata anche dai B-45, 51 e 66B, nonché di Savage e Skywarrior dell'USN. Era armabile in volo, in appena otto minuti. Date le sue dimensioni ridotte, si pensò anche di usarla per i caccia da 'penetrazione', per esempio con pod ventrali abbinati agli F-101, simili in concezione a quello del B-58; esso fu sperimentato nel marzo del '54 usando un B-47, nel luglio del '55 andò sullo stesso F-101A. Il potenziale era di 30-60 KT: così, pesava circa un terzo dei primi modelli, era più precisa e rapida, inoltre la sua potenza era circa 2-4 volte maggiore. Un progresso molto apprezzabile, dunque. Ma era pur sempre un'arma a fissione, mentre nel frattempo un nuovo demone venne evocato dalla tecnologia bellica: l'arma 'solare', ovvero la bomba H. Così l'F-101 ebbe la Mk.28EX. Ma questo non accadde immediatamente. Jack Northrop, che aveva visto rifiutare i suoi bombardieri tutt'ala, ebbe l'incarico di progettare le bombe di nuova generazione, sempre a fissione, e partendo dalla 'Fat Man'. Prima venne fuori la Mk.6, antenata delle Mk.13, 18 e 20, che peraltro non ebbero successo o vennero prodotte in pochi esemplari. La Mk.6 pesava ben 3.850 kg, successivamente 'limati' a 3.450; nocciolo di vario tipo per potenze tra 30 e 60 KT, armamento sullo Skywarrior in 14 minuti, a 6.100 m (chissà perché viene fornita anche notizia della quota di armamento, già apparsa in altre armi citate). Nel periodo 1951-55 venne prodotta in ben 1.100 esemplari, sufficienti per assicurarsi una netta superiorità contro la meno avanzata tecnologia sovietica. Ma non era certo finita qui, anzi questo era solo l'inizio. Si cominciò a pensare d'usare anche i cacciabombardieri, e i primi furono gli F-84E. Questi ebbero la Mk.7 Thor, più aerodinamica per essere portata sotto ali o fusoliera, e quindi subire alte velocità da parte del loro vettore. Pesava solo 760 kg ed esprimeva 31 KT, oppure a seconda dei noccioli inseribili, 10 o 60. Ma non era perfetta. Sebbene studiata praticamente per tutti i tipi di aerei tattici USA, tra cui gli F2H-2 Banshee dell'USN, gli AD-4 Skyrider, gli FJ-4B, i B-57B e C, gli F-88 e 90, non tutti l'ebbero (anzi, non tutti entrarono nemmeno in servizio). Sull'F-84E era talmente vicina al terreno, che le sue alette si dispiegavano totalmente solo in volo; gli F-86F non potevano averla, per non parlare dei tipi precedenti, causa incompatibilità dimensionale; la bomba, portata per poco tempo sul Banshee, o quanto meno non con grande convinzione, rendeva quest'aereo molto più fiacco nelle prestazioni di quanto già non fosse. Per il distacco dell'arma erano presenti eiettori pirotecnici o pneumatici; il 'core' che attivava la testata non era regolabile dal pilota se non in volo, con telecomando. In tutto vennero costruite 470 armi e messe in servizio nel 1952-63; fin dall'inizio vennero mandate in Gran Bretagna con i reparti dell'USAF (B-47). La versione corta per i vani di F-105, e una supersonica per l'F-100 non vennero adottate perché nel frattempo erano arrivate le 'H'. La successiva era la Mk.8 Elsie, questa non era solo un'arma nuova, ma anche diversa, ad 'effetto terremoto', perché intesa per esplodere in profondità. Era usata soprattutto dall'USN con gli AD-4B e F2H-2, mentre gli A-4 Skyhawk erano invece più realizzati con la bomba Mk.5; la Elsie era anche usata da F-84E e F, persino l'F-94D da bombardamento, poi non realizzata. Pesava 1.488 kg ed era a forma di un siluro, la potenza era di decine di KT e la spoletta, ovviamente, era a scoppio ritardato. Per gli F-86F, certo i più prestanti tra i cacciabombardieri, almeno fino all'arrivo degli F-84F, venne pensata la Mk.12 Brok. Come si è detto, l'Mk.7 Thor non era utilizzabile da questi, ma la scienza, all'epoca, sembrava dare una pronta risposta a tutto, giusto come adesso fa nel settore dell'elettronica! E così apparve la Mk.12 Brok, pesante 500 kg e destinata a F-86F, F-86H e F9F-8B Cougar. Era un'arma strana, con carica mista Uranio-Plutonio, da 10-20 KT. Tuttavia, vi fu un problema: esse erano, anche per gli standard dell'epoca, considerate le più inefficaci tra le armi americane a fissione, e non vennero mai considerate particolarmente affidabili; in pratica il loro uso venne ristretto ai soli Sabre. A parte questo, vi furono anche i razzi. Uno era il Genie aria-aria, più noto; ma un'arma ben più segreta era per l'USN Navy, l'Mk.I Mod 0 BOAR da 774 kg, con testata Mk.7 e motore a razzo solido. Il tutto pesava 939 kg e possedeva una portata di 9-12 km. In pratica, questa fu la prima arma nucleare stand-off, almeno tra gli aerei tattici. Ne vennero costruiti 225 che armarono gli Skyrider AD-5, -5N e -7, furono previste anche per gli F-84E, ma non si sa se vennero davvero assegnate ai reparti operativi, e tanto meno particolari sul loro uso. Finita l'epoca della fissione pura, si cominciò a fare sul serio: l'Mk.14 fu la prima, anche se le dimensioni iniziali erano davvero impressionanti e si temette che non se ne ricavasse un ordigno pratico. Tanto che il limite fu considerato la bomba sperimentale T-12 da 19.960 kg tipo 'Grand Slam' (ma dal peso doppio), riservata al solo B-36. Le Mk.14 'Alarm Clock' pesava 13.540 kg, malgrado il diametro fosse solo di 1,56 m e la lunghezza 5,64 m; la potenza non era così esaltante, 225 KT, meno di alcuni modelli di armi a fissioni ad alta efficienza, ma era solo l'inizio. I B-52 con le Mk.15 si trovarono in possesso di armi da 3.450 kg e nondimeno, da 1,69 MT, ovvero molto più di qualunque bomba A. Ogni B-52 poteva portare diverse armi, ed equivalere l'energia rilasciabile da oltre 300.000 B-29. Presto si arrivò a ben di peggio: la Mk 17, da 7,52 m, pesava 18.900 kg e arrivava a 15-20 MT. Era trasportabile solo dai B-36, ma la sua potenza era tale che, a meno di non essere lanciata con un generoso paracadute, avrebbe probabilmente distrutto anche l'aereo lanciatore, anche perché la quota mantenibile, anche dai tipi con turbogetti e alleggeriti, non poteva certo essere granché con quasi 20 t di carico (diciamo sui 10 km?). <references/> [[Categoria:Forze armate mondiali dal secondo dopoguerra al XXI secolo|USA]] hysko706f4rlue624jcw3f7liiw53vj 0 22309 498610 389861 2026-05-29T10:46:35Z Avemundi 6028 refuso 498610 wikitext text/x-wiki {{Libro di cucina - Cose utili}} I '''forni''' sono costituiti da: * una ''camera di cottura'' costituita in acciaio e coibentata (cioè isolata termicamente) con lana di vetro, per conservare la temperatura * un ''generatore di calore'': può essere a gas costituito da una serie di fiamme, oppure elettrico * uno ''sportello'' anch'esso in acciaio. * il ''punto comandi'' dal quale si governa il macchinario == Tipi di forno == === Forno tradizionale === La fonte di calore è posta in basso, il che rende difficile una cottura omogenea; per questo motivo il forno può essere provvisto di una fonte di calore in alto, cosi da poterne migliorare la distribuzione. === Forno a termoconvezione === Questo forno è alimentato a gas e a elettricità. È provvisto di una turbina che aspira l'aria contenuta nella camera di cottura, la porta a contatto con il generatore di calore e la distribuisce all'interno del forno; è provvisto anche di un umidificatore. === Forno a vapore === Questo tipo di forno utilizza il vapore. All'interno del generatore di calore viene immessa acqua che, trasformata in vapore, viene distribuita con una turbina nella camera di cottura. === Forno trivalente convezione-vapore === È il forno più usato recentemente, dato che unisce le prestazioni tipiche del forno a convezione con quelle del forno a vapore. Può essere munito di sonda, per cotture più precise, e di docca per facilitare la cottura === Forno a microonde === La fonte di calore è costituita da un generatore di onde elettromagnetiche che, penetrando all'interno per 1-2 cm, provocano un'eccitazione molecolare che genera calore molto velocemente. [[Categoria:Libro di cucina - Cose utili|Fornelli e forno]] {{Avanzamento|50%|16 gennaio 2009}} 8r3kea2m9f9ej4ygy1cfc3m2odt6swl 0 22435 498603 427951 2026-05-29T10:43:42Z Avemundi 6028 refuso 498603 wikitext text/x-wiki {{Armi avanzate della Seconda Guerra Mondiale}} ==Caccia== ===Tempest e Fury=== [[Immagine:Hawker_Tempest_Mk_V.jpg|360px|right|thumb|Il robusto Tempest Mk V]] La serie di caccia Hawker era molto valida, ma non priva di problemi, con 'sovrappesi' crescenti rispetto all'essenziale Hawker Hurricane. I caccia Tornado con il motore Vulture e il Typhoon con il Sabre erano i caccia pensati per succedergli, entrambi piagati dalla mancanza di motori affidabili, il caccia Tornado non ebbe futuro e il Typhoon era invece un caccia con motori inaffidabili seppure potenti. Volendo tracciare la breve storia di questi aerei è questa: l'inizio degli studi iniziò nel '37, il Ministero dell'Aria chiese due prototipi del progetto 'N' e due 'R', per un caccia con il Napier Sabre o con il R.R. Vulture (a 24 cilindri a X), quest'ultimo fu il primo ad essere completato e con il nome di Tornado volò già il 6 ottobre 1939 (P5219), e dati i positivi risultati dei primi collaudi si ordinarono ben 500 Tornado, 250 Typhoon e 250 altri aerei da scegliere tra il più valido dei due; il Typhoon volò anch'esso in tempo di guerra, il 24 febbraio 1940 (P5212). I problemi di resistenza aerodinamica del primo e di vibrazioni fortissime del secondo, resero difficili da attuare le modifiche per rendere possibile la produzione di serie; ma la R.Royce di fatto non riuscì a tenere dietro allo sviluppo ottimale del Vulture, presa dal Merlin e poi dal Griffon; una cellula di Tornado venne modificata con un Bristol Centaurus da 2.210 hp, che portò la velocità a 677 kmh e con un ottimo funzionamento; ma l'aereo non ebbe seguito, eccetto che per la prosecuzione del programma, che sarebbe culminato con un velivolo ugualmente motorizzato con il Centaurus, ms del tutto rinnovato. I Typhoon combatterono con notevole efficacia essenzialmente quando vennero schierati in Francia con il compito di distruggere l'esercito tedesco. I guasti furono il peggior nemico dei Typhoon, ma in ogni caso, basti dire che nel '44 circa 380 Typhoon eseguirono, tra giugno e settembre, 35.000 missioni con il lancio di 265.000 micidiali razzi perforanti e 13 milioni di colpi da 20 mm. Questo comportò la perdita di 243 aerei e il danneggiamento grave di altri 173. Ma, nonostante i problemi che persino nella Francia settentrionale dava la polvere dei campi di volo (cosa che ai P-47, con motore radiale,non causava invece problemi), in tutto durante quello stesso periodo 1.000 carri, 12-15.000 veicoli e 50 treni. La chiusura della 'Sacca di Falaise' fu il loro gran giorno, ma non riuscirono a distruggere tutti i mezzi tedeschi. In genere passavano contro le postazioni contraeree sparando con i cannoni, poi si ripresentavano e usavano i razzi contro i carri. In tutto vennero utilizzati 847 dei 3.330 aerei prodotti, di cui 491 vennero distrutti per azione nemica o incidenti. Un pilota in guerra aveva una speranza di sopravvivenza di circa 17 missioni. Eppure, la sua efficacia distruttiva annientò bersagli di ogni sorta. *'''Dimensioni''': lunghezza 9,73 m, apertura alare 12,67 m, altezza 4,66 m, superficie alare 23,13 m2 *'''Peso''': 4.445-6.341 kg *'''Prestazioni''': v.max 652 kmh a 5.485 m, salita a 4.575 m in 6,3 minuti, tangenza 10.360 m, raggio 370-725 km, autonomia 821-1.610 km Tecnicamente, il Typhoon aveva costruzione metallica, ala bilongherone, 4 serbatoi alari da 682 l, fusoliera in tubi d'acciaio rivestiti in lega leggera, cappottina iniziale con una portiera che, come nel P-39, era simile a quella di un'auto e si supponeva che aiutasse il pilota ad uscire dall'aereo se c'erano problemi. Le prestazioni erano notevoli solo a bassa e media quota, la salita piuttosto lenta, difficile la controllabilità ad altissime velocità, ridotta l'agilità comparata con lo Spitfire. Il Tempest fu un passo in avanti con ala a flusso laminare, ma era pur sempre afflitto dallo stesso motore fino a quando non arrivò l'eccellente Bristol Centaurus, ma solo per il Tempest II. La specifica nacque come F.18/37 con il Vulture o Sabre,emessa già nel '37, ma dei due il Typhoon era l'unico 'passabile' per via del motore, che tuttavia causava gravi problemi: vibrazioni eccessive, momento torcente al decollo con la sua elica quadripala eccessivo anche per il largo carrello dell'aereo, difficile da controllare e di scarsa agilità; inoltre l'ala era troppo spessa per la resistenza che causava. Per migliorare le cose la specifica F.10/41 venne soddisfatta dal progetto P.1012 di cui il 18 novembre 1941 vennero ordinati due prototipi. L'ala di questi aveva una struttura di doppio interesse: a flusso laminare come il P-51, di pianta ellittica come nello Spitfire, spessore massimo al 37,5% della corda e spessore all'incastro della fusoliera ridotto di 12,5 cm. I serbatoi alari, che nel Typhoon erano gli unici e davano 682 litri, vennero per lo più spostati nella fusoliera, allungata di 55 cm. Al dunque, con tali modifiche il Typhoon II divenne rapidamente il Tempest. L'aereo doveva avere il Sabre V, ma non era a punto e allora rimase il Sabre IIA con solito enorme radiatore sotto l'elica, che era eredità del Typhoon. Intanto però la velocità aumentava di 50 kmh rispetto al già velocissimo predecessore, e l'autonomia di oltre 300 km. Il prototipo HM599 volò il 24 febbraio 1943, ma con il Sabre IV da 2.500 hp con radiatori alari anziché sotto il muso. La pulizia del pur grosso aereo fu tale da raggiungere 750 kmh a 7.770 m di quota. Era un caccia formidabile, all'altezza diciamo del futuro Ta-152C, ma: il Sabre IV era ancora una volta da rimpiazzare per scarsa affidabilità e poi i radiatori alari erano ritenuti troppo vulnerabili, così l'ordine venne annullato. La capottina divenne a goccia, come stavano ricevendo anche i Typhoon di più recente produzione, mentre i 4 cannoni da 20 vennero scelti fin da subito in luogo delle 12 armi da 7,7 mm. I primi 100 avevano gli Mk. II, con duecento colpi l'uno; gli altri 700 ebbero gli Mk V con canna corta e non sporgente dall'ala. I '''Tempest V''' arrivarono finalmente in servizio con la RAF e la RNZAF nell'aprile del '44. Volava bene ma non era privo di problemi, se oltre al motore c'era il problema delle eliche che, andando in supervelocità facevano grippare il motore, il che causò la perdita di 5 aerei prima che venissero modificate appositamente. Il Tempest si fece un nome anche migliore del Typhoon come intercettore a bassa quota; stavolta il bersaglio erano le V-1, di cui vennero abbattute 638 esemplari fino a ché nel settembre 1944 le rampe di lancio delle V-1 vennero quasi tutte distrutte o conquistate dagli Alleati. Dunque, la stagione delle V-1 fu davvero quella dell'estate 1944. 4 squadroni RAF (56, 80, 374 e 486imo) vennero basati in Belgio nelle vecchie basi tedesche, diventando i primi aerei di questo tipo sul suolo europeo, e combatterono ferocemente contro tutto quello che era 'tedesco': con la loro autonomia e velocità potevano competere con i Bf-109 e Fw-190, ma anche tentare il colpo contro i jet tedeschi, oltre ad attaccare i treni e le truppe a terra. Ma la contraerea tedesca era veramente formidabile e molti aerei andarono perduti. I Tempest del 122° Wing erano quasi tutti in aria quando la LW sferrò un attacco contro i campi olandesi e belgi annientando gran parte dei reparti Alleati. Furono quasi soltanto loro a continuare a difendere i cieli del settore, scampati com'erano stati, per loro fortuna, all'attacco di circa 1000 caccia tedeschi. Molti di questi vennero abbattuti per errore dalla stessa contraerea tedesca, non avvisata sufficientemente dell'azione. I Tempest V ottennero tra l'altro almeno 3 vittorie sui Me.262 a bassa quota. I Tempest ebbero modo di diventare dei caccia di primaria importanza prima della fine della guerra e soprattutto lo divennero dopo, nonostante avessero minori prestazioni in quota degli 'Spit'. Il '''Tempest VI''' ebbe una ridotta produzione di 142 esemplari su 250 ordinati e subito tagliati dal finire della guerra. Questi aerei avevano il Sabre V, finalmente reso un 'signor motore'. Convertendo 3 prototipi con questo motore dal precedente Mk V, aveva prese d'aria nel bordo d'attacco delle prese d'aria dei carburatori e radiatore dell'olio. L'aereo non fece in tempo a partecipare alle azioni belliche, ma si era dimostrato, con le sue tante piccole modifiche e il nuovo motore, un velivolo magnifico. Nel Medio Oriente venne usato nel dopoguerra con non meno di 5 squadroni e altri 4 in Germania. Era forse il migliore dei caccia a pistoni inglesi, certamente a quote medio-basse. Solo attorno al 1950 i Tempest cedettero il posto ai Vampire. Infine da ricordare il '''Tempest II'''. Finalmente il Centaurus da 2.210 hp, provato sul quarto prototipo Tornado, aprì una nuova strada, e ben presto seguì il Centaurus V da 2.520 hp che equipaggiò un primo aereo nell'ottobre 1944. Finita la guerra in Europa, si pensava di mandarne una cinquantina, ma anche in Giappone le ostilità finirono. Nel novembre finalmente entrarono in servizio i primi Tempest II con il 54° sqn, con una produzione che durò fino al maggio 1946 con 472 apparecchi. Andarono in servizio in quest'unico squadrone in patria, 3 in Germania, 4 in India, 1 ad Hong Kong che combatté in Malaysia fino al '51 (poi ricevette i DH Hornet). I Tempest II pakistani e indiani si affrontarono nella prima guerra tra queste due nazioni asiatiche dopo l'indipendenza del 15 agosto 1947; totalmente l'India ebbe 120 aerei e 50 in Pakistan. Questi ultimi vennero impiegati non tanto contro i loro 'fratelli' indiani, ma nel Nord del Paese, in quel Waziristan che allora come oggi è fonte di problemi, dato che era ostile al Pakistan. *'''Motori''': Napier Sabre IIA, B o C da 2.180 hp con elica quadripala da 4,3 m; 718 litri +818 esterni *'''Dimensioni''': lunghezza 10,26 m, apertura alare 12,5 m, altezza 4,9 m, superficie alare 28,05 m2 *'''Peso''': 4.195-6.187 kg *'''Prestazioni''': v.max 700 kmh a 5.185 m, 631 a quota 0, salita a 6100 m in 6,1 minuti, tangenza 10.360 m, autonomia 1191-2462 km Insomma, prima i Typhoon, potenti ma scarsi ad affidabilità e controllabilità; poi i Tempest V con cellula molto migliorata, ma motore Sabre; il migliorato VI con motore Sabre V; e ancora superiore, il Sabre II con il Centaurus. Erano aerei, i Tempest, già ottimi inizialmente, ma ancora con problemi di affidabilità e di controllo, poi molto migliorati con le nuove versioni. Vi furono anche prototipi con i cannoni Vickers da 40 mm alari, e poi un radiatore alare di pari diametro della fusoliera, con presa d'aria centrale e albero del motore abbassato di circa 15 cm, pale dell'elica fissate el di fuori del radiatore. Sembrava quasi un jet, e in effetti oramai si era in una fase di transizione verso macchine del tutto diverse rispetto alle vecchie generazioni. ---- Ma nel frattempo era successo qualcos'altro che costituì un nuovo passo avanti. Il 23 giugno un Fw-190A-3 tedesco atterrò in Gran Bretagna, sbagliando apparentemente a ritrovare la costa 'giusta' della Manica. Fu un colpo di fortuna e anche un brutto colpo perché era un caccia molto superiore rispetto allo Spitfire e anche al FW-190A1 dei primi tipi. Mentre la Supermarine era intenzionata a contrastare i FW con gli Spitfire Mk IX e VIII, e poi con gli MkXII, la Hawker continuò a contrastare i caccia tedeschi con il suo Typhoon, che almeno era veloce a bassa quota quanto bastava. Stabilendo cosa volere dopo l'esame del FW-190, la RAF chiese la specifica F.6/42 per un caccia di nuova concezione, di piccole dimensioni e con alte prestazioni. La Hawker poteva rispondere con una panoplia di motori come il Sabre IV (Progetto P.1018), Griffon 61 (P.1019), Centaurus IV (P.1020). In pratica erano piccoli caccia con la sezione intermedia dell'ala eliminata rispetto a quella del Tempest. Nel gennaio 1943 venne scelto il P.1020 con il Centaurus radiale e due mesi dopo venne emessa una specifica che era destinata proprio ad 'adattarsi' al nuovo progetto Hawker: la F.2/43. E il progetto sembrò anche andare bene per la specifica N.7/43 della Royal Navy e alla fine questa venne unificata con la F.2/43. La Hawker venne incaricata del caccia navale, la Boulton-Defiant venne invece incaricata di sviluppare la versione navale. Era un caccia minuscolo rispetto al grosso Tempest, in pratica si trattava di un caccia con un'ala costituita giusto dalle semiali esterne del Tempest, e anche così volava molto bene. Vennero ordinati 6 prototipi due dei quali con il Griffon, due con il Centaurus XXII, uno con il modello XII e uno per le prove della struttura. Al dunque, all'inizio del '44 vennero chiesti 200 aerei dalla RAF e 200 dalla RN, anche se il primo volò solo il 1 settembre 1944 con il Centaurus XII con un'elica a 4 pale. Il secondo prototipo volò il 27 novembre 1944 con il Griffon 85 e due eliche controrotanti a tre pale. Ma anche qui si preferì il Centaurus, in versione XV a 18 cilindri. Nemmeno questo bastò per il momento, si rimpiazzò il Napier Sabre VII a 24 cilindri ad H, da 3.055 hp anziché 2.400. Era un aereo formidabile, come si potrà ben immaginare, visto che raggiunse 780 kmh a 5.500 m e con un raggio di circa 2.400 km e salendo a 7.300 m in sei minuti, con peso di circa 4.000 kg a vuoto e 5.500 a pieno carico, comprendente circa 1.600 litri di carburante e 4 cannoni Hispano Mk.V da 750 c.min. Con ogni probabilità non c'era alcun altro aereo ad elica tanto veloce a quote medio-basse. [[File:Hawker_Sea_Fury.jpg|300px|left]] Il prototipo Sea Fury, SR661 volò il 21 febbraio 1945 con il Centaurus XII e poi col modello XV e 5 pale, e infine l'NX802 il 25 luglio del '45 sempre con lo stesso motore. Seguiranno altri prototipi come l'NX857 del 31 gennaio 1946 e il VP207 con il Sabre VII. Alla fine sembrava tutto pronto: la RAF avrebbe avuto il suo velocissimo Fury e la RN il Sea Fury con il Centaurus. Ma dopo la fine della guerra la RAF cancellò il contratto e si dedicò solo ai jet; mentre la RN dimezzò il numero. Poi però rialzò il totale dopo che il caccia dimostrò l'efficacia dell'aereo e la sua docilità ai comandi malgrado la potenza. Alla fine, il caccia avrebbe avuto una produzione tra RN e ordini esteri (Cuba, Egitto, Irak, Pakistan) di oltre 550. E questi aerei concepiti per combattere contro i caccia a reazione Me.362 e i FW-190 ebbero ad abbattere qualche MiG-15 transonico in furiosi dogfight in Corea, bombardando obiettivi al suolo, e infine respingendo gli A-26 Invader anticastristi nel '61. A tutt'oggi il Fury è uno dei velivoli più apprezzati agli airshows. Non è bello ed elegante quanto altri aerei, ma la sua potenza e le sue prestazioni lo rendono pari ad un Bearcat americano, e la docilità ai comandi è tale che la cloche si poteva tenere con un solo dito; per questo, e per il fatto che il carburante era tanto quanto quello di un jet e il consumo quasi pari (1 ora 28' alla massima potenza) rendevano questo velivolo un vero 'jet ad elica'. Ma giunse tardi per la II Guerra mondiale, che ne vide solo volare i prototipi. ===Hornet=== [[File:Sea Hornet F Mk 30 - 001.jpg|360px|right]] Un altro aereo di eccellente qualità era il D.H. Hornet, un velivolo dalle caratteristiche eccezionali, come lo era del resto il D.H. Mosquito ad elica. L'aereo era ricavato da quest'ultimo, ma solo nei generis perché quello che veramente fu fatto era di ridurre la cellula all'essenziale per ottenere un caccia monoposto, e al contempo con motori Merlin di ultimo tipo, da circa 2.000 hp. Anche quest'aereo era nato a metà guerra, attorno al 42. Volò il 28 (o forse il 29) luglio 1944. Ma date le sue prestazioni eccezionali non poté essere ignorato dalla RAF che lo avrà in servizio nel '46, fino al '56. La versione imbarcata era stata provata nel 1944-45 con il tipo Mk I, e la versione navale era quella rappresentata dal terzo prototipo. La commessa iniziale, nonostante la fine della guerra, fu per 79 Sea Hornet F.Mk 20 consegnati dal giugno del '47. In seguito ne giunsero altri, anche da caccia notturna. Queste macchine erano fatte in un materiale di legno pressato inventato dal Dr. De Buyne, con incollaggio di strati di metallo-legno per formare i longheroni, con due componenti (liquido e polvere), che nell'insieme erano chiamati Redux. Era usato anche sulle superfici esterne, quello fluido, su cui veniva poi passata una impolverara della componente in polvere. L'aereo, di disegno snello e squadrato, con abitacolo a visibilità totale, era però parzialmente in alluminio che rinforzava la struttura e la rendeva più resistente, la superficie inferiore era interamente in Alclad. Anche gli alettoni erano metallici, come anche i piani orizzontali di coda, mentre il pilota era protetto da corazze anteriore e posteriore, ma non c'era un sistema di pressurizzazione. La fusoliera era in due metà, fatte a sandwich di balsa e compensato e fibre poste diagonalmente (per aumentare la resistenza). La fine della guerra non consentì di ottenere gli stessi successi del Mosquito e finirà a combattere in Malaysia contro gli Indonesiani. In tutto vennero ordinati 250 F.Mk 1 che sarebbero stati utilissimi come caccia di scorta a lungo raggio per i bombardieri, per la prima volta tra i caccia RAF (eccetto quelli di fornitura americana e quelli notturni); Ma la fine della guerra ridimensionerà il programma e i primi F.Mk 1 giunsero in servizio solo nel '48. La Far East Air Force ne ebbe 132 F.Mk 3 e 12 F.Mk 4, in tutto ne arrivarono 211. La loro autonomia aiutò a mantenerli in servizio fino alla fine del '55, nonostante la ridotta durata del legno. ===Il Firefly=== Altra macchina ad elica avanzata fu il '''Fairey Firefly''', che entrò in servizio nel '43 e venne usato come cacciabombardiere tattico navale, degno successore dei vari Battle e Fulmar. Avrebbe attaccato anche la corazzata Bismarck con bombe da 227 kg, e alla fine della produzione totalizzò 1.702 aerei, poi ampiamente usati in Corea e rimasti in servizio fino al 1957 con la RN. L'ultima versione bellica fu la F.Mk 4 ricognitore-caccia, che volò nel maggio 1945 ma entrò in servizio solo dopo la guerra. Caratteristiche dei tre caccia S.Hornet, Firefly, Sea Fury: *'''Dimensioni''': lunghezza 11,18--11,58--10,57 m, apertura alare 13,72--12,55--11,7 m, altezza 4,32--4,24--4,84 m, superficie alare 33,54--30,66--26 m2 *'''Pesi''': 6.033/8.405--4.388/7.083--4.191/5.670 kg *'''Prestazioni''': 748/6.705--591/4.265--740/5.485 kmh/m, tangenza 10.670--9.725--10.910 m, autonomia 2.414--2.148--1.127 km *'''Armamento''': 4 cannoni da 20 mm e 907 kg di bombe o 8-16 razzi da 27 kg<ref>Armi da guerra 55</ref>. Infine da non dimenticare lo Spitfire, aereo da caccia che è rimasto valido fino ad oltre la fine della guerra. La versione Mk XIV con il Griffon da oltre 2.000 hp andava a circa 724 kmh con molti aggiornamenti successivi con l'armamento di 2 Hisso da 20 mm e 2 da 12,7 mm o 4 da 20 mm. Erano in sviluppo i caccia Mk 21 e Mk 22, e in seguito sarebbero giunti anche gli Mk 23 e Mk 24. Quanto ai caccia Hawker, il vecchio Hurricane non era certo molto moderno per il 1945, ma merita ricordare la versione Mk IV con un cannone da 40 mm Vickers S sotto ogni ala assieme ad un'arma da 7,7 mm per il tiro di aggiustamento. Concepito come aereo d'intercettazione era però stato usato come aereo d'attacco controcarri con capacità di perforare 40 mm a 30 gradi. Vennero usati da El Alamein in poi. I Thypoon, come si è detto, erano aerei decisamente poco efficaci rispetto alle premesse. Era necessario avere un caccia di tipo del tutto diverso dopo la fine della guerra. Aereo da circa 650 kmh, armato con 12 mitragliatrici da 7,7 mm e poi con 4 da 20 mm, era un caccia da 6 t con l'enorme e potente Napier Sabre, ma pur apparendo un degno contraltare del FW-190, in realtà aveva un problema ben peggiore, quello di avere un motore inaffidabile, e per giunta, con una coda che si era staccata più di una volta durante picchiate velocissime ad oltre 800 kmh. Provvisoriamente vennero saldate delle piastre tutt'intorno alla coda per evitare tali distacchi, ma alla fine era stata valorizzata dagli attacchi a bassa quota dei FW-190, che i Typhoon erano gli unici a poter raggiungere. Ma soprattutto questo caccia ottenne il suo riconoscimento come aereo d'attacco controcarri e in generale, con 8 razzi da 27 kg e 4 cannoni da 20 mm con 560 colpi, o al posto dei razzi e relative rampe, due bombe fino a 455 kg. Infine apparve, ma solo dal '44, il Tempest, aereo simile al primo ma con ala a flusso laminare e velocità aumentata a circa 685 kmh. Un aereo che ebbe molto successo contro le V-1 e anche contro altri aerei come i Me.262 della LW a bassa quota. Aerei di questo tipo erano capaci di un notevole raggio d'azione. La sua discendenza era arrivata alla versione Tempest II con il Bristol Centaurus, che arriverà troppo tardi per la guerra. ===Mosquito e Spitfire=== Quanto ai migliori caccia multiruolo vi sono da ricordare ancora i Mosquito e gli Spitfire delle ultime versioni. [[Immagine:De Havilland DH-98 Mosquito ExCC.jpg|300px|right|thumb|Il Mosquito]] Il primo fu concepito come bombardiere leggero ma anche come caccia notturno o come ricognitore. La DH rispose inizialmente alla specifica P.13/36 per un bombardiere medio bimotore, ben presto accordata ad altri tipi, mentre l'aereo inglese che maturò a seguito di questa partecipazione, non ancora il Mosquito definitivo, nonostante tutto, venne accreditato di fiducia per le sue prestazioni e di conseguenza ebbe un seguito con un'altra specifica, la B.1/40 ,che richiedeva una velocità 'analoga a quella di un caccia' che solo questo rivoluzionario progetto poteva soddisfare, in legno, con una buona autonomia, due soli uomini d'equipaggio, e motori R.R. Merlin. Meno di undici mesi dopo l'inizio della progettazione di dettaglio il prototipo volò a Salisbury Hill, risultando subito tanto agile che i primi 50 esemplari previsti dall'ordine RAF vennero richiesti come caccia pesanti piuttosto che come bombardieri leggeri. Nasceva così la leggenda del Mosquito che, assieme allo Spitfire e al Lancaster, si può ben definire il migliore e più prestigioso dei velivoli inglesi della II G.M. Fu il secondo aereo quello in versione da caccia, in volo il 15 maggio 1941. Aveva longheroni alari rinforzati, parabrezza piatto, 4 cannoni da 20 e 4 da 7,7 mm, radar AI Mk IV. I primi NF.Mk II venne prodotto in 466 esemplari e volava a 595 kmh, in servizio con la 23a di Ford, maggio 1942. Seguiranno 97 NF.Mk XII che erano Mk II con nuovo radar ma senza mitragliatrici, e poi assegnata alla 307a con piloti polacchi. Seguiranno i 270 NF Mk XIII, di cui un centinaio trasformati in Mk XVII con il radar Mk X; seguiranno 220 Mk XIX con nuovi motori, e l'NF.Mk XV che doveva intercettare gli Ju.86P da ricognizione: apertura alare aumentata a 19,05 m, con motori Merlin 76/77 da 1710 hp, capace di volare a 13.260 m, con armamento ridotto a 4 armi da 7,7 mm, ma l'85a non lo usò mai in combattimento. Infine l'NF.Mk 30 dal luglio 1944 in servizio con una mezza dozzina di squadriglie, e costruito in circa 230 esemplari. Motorizzato con varie versioni del Merlin, da circa 1700 hp, aveva tangenza di 11.885 m, e soprattutto 655 kmh di velocità massima. Il Mosquito da caccia notturna, seppure prodotto in poco oltre 1.000 esemplari, era il migliore dei caccia notturni Alleati, soprattutto quando ebbe il radar Mk X derivato dal modello americano, quello dei P-61. Solo il Me262 e l'He-219 erano all'altezza o superiori, ma non su tutti gli aspetti. Ma il Mosquito venne realizzato anche in altre versioni avanzate, per esempio quelle da attacco al suolo e antinave. Un tipo iniziale fu il Mosquito FB.Mk VI per il comando costiero della RAF, con 8 razzi da 76 mm, 4 armi da 7,7, 4 da 20, due bombe da 227 kg. Vennero anche usati altri aerei, e in particolare il Mosquito FB.Mk XVIII, con cannone Molins da 57 mm nel muso come unico armamento, arma da oltre 900 kg, volò il 25 agosto 1943. Solo 27 gli aerei costruiti per la 248a di Banff, ma quest'arma cannoniera danneggiava il muso quando veniva sparata. Il Mosquito fu una realizzazione eccezionale, con una tale velocità da renderlo utile per qualunque impiego, anche come ricognitore, dove gli ultimi arrivavano a oltre 13.000 m di quota o, volando più basse, 680 kmh. I bombardieri portavano 1.361 kg di bombe di cui 907 interni, oppure un'arma da 1814 kg 'Coockie' semiesposta sotto il vano portabombe. Le perdite furono limitatissime, e l'uso fu anche per azioni di pathfinder, per guidare gli stormi dei bombardieri sugli obiettivi. Non mancarono azioni come quelle del bombardamento delle mura del carcere di Amiens, con spolette a scoppio ritardato da 11 secondi, che fece scappare oltre 350 partigiani francesi nell'ora d'aria. Gli aerei arrivarono a volo radente per lo sgancio giuto alla base delle mura. Un'altra azione del genere colpì un quartier generale della Gestapo, ma un aereo batté contro un pilone della luce e cadde su di una scuola, bombardata poi da altri perché credevano che fosse l'obiettivo. IL QG della Gestapo però venne distrutto. L'aereo rimase in servizio per anni, e il suo più diretto derivato, sempre in legno composito, era l'Hornet. Ma il vero successore fu il BAC Camberra a reazione. Ma questa è, ancora una volta, un'altra storia. '''Mosquito FB.Mk VI---NF.Mk 30''': *'''Dimensioni''': lunghezza 12,34--12,73 m, apertura alare 16,51--16,51 m, altezza 4,63---4,65 m, superficie alare 40,41--40,41 m2 *'''Pesi''': 6.486/34.020--10.115/31.751 kg *'''Motori''': 4 R.R. Merlin 21 da 1.230 hp---Merlin 76 da 1.710 hp *'''Prestazioni''': 612/3.962---655/8.535 kmh/m, tangenza 10.900--11.885 m, autonomia a pieno carico 2092---2092 km *'''Armamento''': 4 cannoni da 20 mm, 4 da 7,7 mm, e 907 kg di bombe--4 cannoni da 20 mm<ref>Armi da guerra 41 e 75</ref>. [[Immagine:Spitfire_PR_XIX_PS890.jpg|300px|right|thumb|Tra i più recenti Spitfire c'era il ricognitore Mk XIX]] L'altro aereo che rimase all'altezza della situazione, pur nascendo nel 1936, fu certo lo Spitfire. Le sue ultime versioni avevano il R.R. Griffon, e a queste si può fare riferimento, senza dimenticare comunque l'evoluzione precedente. Prima fu l'Mk I e il simile Mk II con i primi Merlin, e armi da 7,7 mm. Introdussero parabrezza corazzato, protezioni per il serbatoio, blindature per il pilota, tettuccio ingrandito, specchietto retrovisore, armi da 20 mm, serbatoi ausiliari, elica tripala metallica a doppio passo (159 anziché 37 kg della bipala in legno) e poi la Rotol a passo costante da 227 kg; l'IFF e altri sistemi minori completarono la dotazione. Per sopravvivere alla competizione e affrontare i Bf-109F arrivò lo Spit Mk V dalla primavera del '41, capace di 600 kmh, e realizzato con motore Merlin 45. Ne sarebbero stati prodotti circa 6.500, in sottoversioni ad ali corte, medie, lunghe, tropicalizzate, cacciabombardieri, con armamento migliorato e così via. Introdusse come armamento stabilmente i cannoni da 20 mm HS-404 con 60 colpi al posto di 4 delle 8 7,7 mm, e fu solo per esigenze di produzione che non si installarono 4 cannoni da 20. I successivi Spit Mk IX avevano il Merlin 61 con molta più potenza -1.660 hp, soprattutto a 9.000 m dove la potenza residua era di 1.000 hp anziché 500. Se lo Spit V diventava progressivamente inerte sopra i 6.000 m, la versione Mk IX saliva sempre di più salendo da 11.500 a oltre 13.000 m. Questo Spit era semplicemente l'Mk V riattato al nuovo motore, per fronteggiare il Bf-109G e soprattutto il FW-190. Lo sviluppo era stato rapido e per la metà del '42 cominciarono ad entrare in azione. Ne vennero prodotti circa 5.600, a cui seguiranno anche 1.054 Mk XVI con il motore Merlin prodotto su licenza dalla Packard americana. L'Mk VIII, invece, era totalmente riprogettato ma questo richiese più tempo e se la macchina fu forse il migliore di tutti gli Spit, la produzione partì solo dalla fine del '42 e raggiunse circa 1658 esemplari. Altri derivati furono l'Mk IX da ricognizione e il Seafire Mk I. Strano a dirsi, l'Mk V a sua volta era nato come rimotorizzazione dell'Mk I originario, e continuava ad essere valido fino alla fine della guerra. Da non dimenticare poi i caccia d'alta quota Mk VI e VII, il primo di nuova progettazione, ma insoddisfacente, il secondo pure di nuova concezione, realizzati in 100 e 140 esemplari. Stranamente come caccia d'alta quota risultarono inferiori agli Mk V trasformati in maniera apposita, con elica quadripala e motori speciali, nonché ala allungata. La blindatura dell'Mk V era di 86 kg nel modello C cacciabombardiere. Detto questo, gli Spitfire Merlin erano velivoli all'altezza dei coevi Bf-109G, dei FW-190 (che erano invece drammaticamente superiori ai 'V'),e dei caccia '5' italiani (apparsi in servizio circa un anno dopo). Ma i veri modelli evolutivi erano gli Spitfire Griffon, motore che fin dall'inizio aveva potenza di circa 1.700 hp, pure se era solo appena all'inizio della sua evoluzione. La cilindrata era del resto di 36 litri anziché 27. Il primo fu lo Spit Mk XII che era ancora una volta uno del 'filone principale', infatti era una cellula Mk V modificata. All'inizio del '43 venne messo in servizio per contrastare le incursioni dei FW-190, e ne vennero realizzate 100 unità. Poi seguirono gli Mk XIV, con il Griffon serie 60 da 2035 hp con elica a 5 pale. Una macchina nuova con fusoliera allungata di 36 cm e struttura irrobustita. In tutto vennero realizzati 957 esemplari di cui 430 caccia-ricognitori. Quasi uguali a questi aerei, costruiti dall'ottobre del '43 e con 490 l di capacità interna (circa 100 in più dei primi Spit), c'erano poi i Mk XVIII, costruiti in 300 di cui 100 ricognitori (FR.Mk.XVIII con due F-24 e una F-52); lo Spit Mk 21 era derivato dal prototipo Mk IV, almeno come prototipo; aveva 4 cannoni da 20 con 600 colpi, ala più sottile con profili veloci, alettoni allungati ed estremità squadrate. C'erano numerose altre piccole modifiche. Dati i difetti che aveva, come una certa instabilità e una pesantezza del muso, entrò in servizio solo nel marzo 1945 e ne vennero prodotte 120 unità. Divenne tuttavia un formidabile caccia nel prosieguo della carriera. L'Mk 22 aveva tettuccio a goccia, prodotto in 287 esemplari. L'Mk 24 eral'ultimo, con due serbatoi da 150 l nelle ali, 54+27 Mk 22 convertiti. I ricognitori compresero anche i PR.Mk.XIII con 18 aerei prodotti per le missioni a bassa quota, cellula dell'Mk V e armamento 4x7,7 mm nelle ali; l'FR.XVIII di cui si è già detto, e 224 Mk XIX disarmati con il Griffon bistadio. A questo proposito va anche ricordato che l'alta velocità degli Spit ne consigliò fin dall'inizio, nonostante la ridotta autonomia e la necessità di essi come caccia, la modifica per la ricognizione: almeno 2 furono ricavati dagli Mk I. Ben presto seguiranno aerei dei tipi successivi, spesso con serbatoi ausiliari per una maggiore autonomia. [[Immagine:Spitfire_Tipping_V-1_Flying_Bomb.jpg|300px|right|thumb|Gli Spitfire più veloci erano in grado di raggiungere le V-1, e poi, forse intimoriti dall'esplosione della carica da 850 kg, preferivano spesso rovesciarle mettendone KO il giroscopio interno]] I Seafire Griffon erano invece l'Mk XV con 390 esemplari, Mk XVII simile, 232 esemplari mossi dal solito motore Griffon VI da 1.850 hp; Il Seafire 45 era postbellico, con elica controrotante e Griffon 61; 50 esemplari, seguiti da 23 simili Mk 46 con tettuccio a goccia, da 140 modello 47 con ali ripiegabili e Griffon 87 da 2.380 hp. Fin qui si è sviluppato lo Spitfire. Non un velivolo ma una famiglia, prodotta in quasi 23.000 esemplari, di cui circa il 10% Seafire. I motori, armi, accessori, parti della struttura sono cambiati tanti di quelle volte che li hanno resi del tutto diversi tra le prime e le ultime versioni. Ma a questo aereo, così diverso eppure così fedele a se stesso (la genia diretta Mk I-II-V-IX-X-XI-XII-XVI e vari Seafire), ebbe un ulteriore sviluppo, anzi un autentico successore. Lo Spit era be più leggero e fragile del P-51, ma era a parità di motore, più lento: l'Mk IX faceva 'solo' 655 kmh, contro i 704 del P-51 praticamente con lo stesso motore. Eppure lo Spit, con la sua ala ellittica, era capace di superare i 960 kmh in picchiata, anche se era difficile sostenere sollecitazioni così grandi (ma capitò, in particolare agli Mk XI da ricognizione in picchiate da alte quote). Capiterà persino che alcuni Spit Mk IX verranno trasformati in idrovolanti da caccia, capaci di arrivare ancora a 600 kmh, ma poi non messi in produzione per un cambio di priorità. Per avere un'ala con minore resistenza aerodinamica, anche se a scapito teorico della maneggevolezza, lo Spit ebbe l'ibridazione con il Mustang nel settore che più lo caratterizzava, l'ala a flusso laminare. Era il Type 371, ovvero l'F Mk 21 Laminar Wing, che venner realizzato in 3 esemplari prototipici e volò il 30 giugno 1944, per essere seguito da quello di serie Mk XIV. Aveva un nuovo nome, Spiteful. Ne vennero costruiti solo 17 di cui il primo volò il 2 aprile 1945. Tanto andò male per la fine della guerra, che 9 degli aerei nemmeno volarono senza essere prima demoliti. In seguito arrivarono gli F Mk 15 e 16, con motori Griffon del tipo 89, 90 e 101. Con questa motorizzazione (il 101) l'Mk 16 arrivò a 795 kmh, persino più veloce del P-51H. In tutto questi due tipi vennero prodotti (tra modello 15 e 16) in 356 esemplari. Ebbe anche il corrispettivo navale, il Seafang (Type 382, tutti gli aerei Spitfire avevano un 'Type' che li identificava come prodotto industriale: 300/Mk I, 329/II, V/349, 361/IX, 379/XIV, 394/XVIII, 356/21, e lo stesso per i caccia navalizzati). Dei Seafang vennero costruiti solo 3 prototipi e 10 di preserie Mk 31 e alcuni Mk 32. L'ala era avanzata al punto che venne ripresa dal primo caccia navale a reazione britannico, lo Spiteful, che peraltro non ebbe successo. Oramai la Supermarine, paradossalmente, era avviata ad una caduta a vantaggio della Hawker, che invece aveva dovuto progettare almeno 4 caccia diversi per mantenersi a galla durante la guerra, e che non riuscirono a superare lo Spitfire in fama e rendimento pur essendo più moderni. Lo Spit ebbe lunga carriera, fino a circa la metà degli anni 50. Per allora la Supermarine aveva fallito anche con lo Swift e stava per fare altrettanto con lo Scimitar. Ecco le caratteristiche salienti dei caccia Supermarine ultima generazione: '''Spitfire Mk XIV-Mk 21- Spiteful''': *'''Dimensioni''': lunghezza 9,96--9,95---9,95 m, apertura alare 11,23--11,25---10,65 m, altezza 3,35---3,86---4,12 m, superficie alare 22,67--22,64---19,5 m2 *'''Pesi''': 2.994/3.799--3.100/4.100---3.300/4.500 kg *'''Motori''': R.R. Griffon 65 da 2.030 hp---Griffon 61 da 2.035 hp---Griffon 69 da 2.375 hp *'''Prestazioni''': 721/7.925---740/7.900---780/8.000 kmh/m, tangenza 13.500--13.100---13.100 m, autonomia max 1368---1550---2100 km *'''Armamento''': 4 cannoni da 20 mm, 4 da 7,7 mm, e 907 kg di bombe--4 cannoni da 20 mm<ref>I grandi aerei storici N.5-Spitfire</ref>. [[Immagine:Supermarine Spiteful.png|300px|right|thumb|Visione 3D]] Lo Spiteful, armato con 4 cannoni Hispano Mk V con 167 o 145 colpi (coppia interna ed esterna), era un velivolo formidabile, capace di salire, nonostante il peso raddoppiato rispetto ai primi Spitfire, a 6.100 m in 4,15 minuti. Era simile ai jets, ma non era un jet e la sua produzione, piuttosto sostenuta, non ebbe molto di più a che fare se non con il mantenimento dell'occupazione. Oramai la RAF era orientata ai caccia a reazione e quelli stavano arrivando in quantità. Ma data la loro minore autonomia e agilità, non era una cattiva idea nemmeno lo Spiteful. Stranamente esso non ebbe carriera di rilievo mentre gli Spit normali volarono ancora per anni lungo i bordi dell'Impero. In ogni caso con questo si chiuse la storia: se lo Spit Mk I e II era all'altezza del Bf-109E, se l'Mk V era pari al Bf-109F, l'Mk VIII e IX al Bf-109G e l'Mk XIV ai Bf-109K, gli Spitful erano probabilmente superiori anche al Fw-152H e C, mentre gli Spit Mk 21 erano almeno pari ad essi. ===Westland Whirlwind<ref>Gigli-Cervi A:''W.Whirlwind'', Aerei nella Storia N.25 ago-set 2002</ref>=== Quest'aereo è ben poco conosciuto, ma vale la pena di citarlo perché indubbiamente interessante anche in termini tecnici. Aggressivo, slanciato, moderno, con 4 cannoni che sporgevano vistosamente dal muso, era un velivolo che apparentemente aveva un futuro assicurato, ma invece non successe questo. Vediamo perché. Esso nacque da una specifica RAF,la N.35/37, per un caccia armato con 4 pezzi da 20 mm e capace di eseguire missioni di intercettazione, esso volò già l'11 ottobre 1938. Ma il segreto fu tale che solo nel febbraio 1942 venne autorizzata la divulgazione delle sue caratteristiche. Eppure, ne erano stati realizzati solo 114 dei 200 ordinati e i 67 intercettori d'alta quota Welkin da essi derivati nemmeno vennero posti in servizio. In definitiva, il Whirlwind (Mulinello di vento o turbine) era molto simile al Fw-187, anche se leggermente migliore come successo operativo. Nato come ricognitore veloce in competizione con lo Spitfire Mk I, basandosi sull'idea che per un ricognitore era meglio possedere due motori per ragioni di sicurezza, ma la quota operativa di circa 9.000 m e la velocità massima di 'soli' 579 kmh non lo fece apprezzare, relegando il velivolo a missioni di assalto al suolo, dove tuttavia l'inaffidabilità dei due motori Peregrine non lo agevolò tanto da essere operato solo da due sqn della RAF, il 137 e 263, fino a che venne rimpiazzato dall'Hurricane Mk IV e dal Typhoon. L'aereo era stato comunque ampiamente impiegato come caccia e cacciabombardiere nelle missioni Rhubarb sulla Francia settentrionale e in quelle antinave sulle coste norvegesi fino al 1943. Addirittura, nelle sue missioni di scorta per i Blenheim sulle lunghe distanze, si spinse fino a Colonia. E non erano caccia di poco conto, se durante una missione 4 Whirlwind, scontratisi con una ventina di Bf-109 ne abbatterono 3 (o forse fu solo la dichiarazione de piloti), senza perdite. Fu nel '42 che ne venne autorizzato l'uso come cacciabombardiere, senonché le due bombe da 113 kg lo rallentavano a 402 kmh. Ma era la tecnica che nel bene e nel male caratterizzava. Era un caccia progettato da 'Teddy' Petter, già autore dell'interessante Westland Lysander, aereo da aerocooperazione ad ala alta con capacità STOL (che merita almeno questa menzione qui, visto che era un ottimo apparecchio), e che poi avrebbe fatto altre cose egregie, come la progettazione del Camberra e lo Gnat. La specifica a cui rispondeva era per un caccia monomotore, ma esso venne proposto come macchina bimotore con due nuovi e leggeri R.R. Peregrine, che apparentemente erano promettenti. Le prese d'aria per il raffreddamento erano integrate nelle semiali interne, occupando tutta la parte tra motori e fusoliera. L'aereo era costruito in leghe leggere di magnesio e parti ottenute per fusione, tecnologie d'avanguardia per l'epoca, la fusoliera era a sezione cilindrica e molto stretta, la coda era quasi a T con il cono frontale per stabilizzare il flusso dell'aria. L'aereo non aveva buone capacità di controllo in decollo e atterraggio, e l'ala aveva ben 222 kg per m2 di carico alare. Era un velivolo in generale molto ben progettato, a parte questi inconvenienti, e somigliava moltissimo al successivo Gloster Meteor, ma con un aspetto molto più smilzo. I cannoni Hispano con 60 colpi l'uno erano concentrati nel muso, l'abitacolo era in perspex con visibilità su tutto l'orizzonte con una struttura di protezione anticappottaggio. Armi (272 kg totali) e motori chiedevano una lunga coda per riequibrare l'aereo, l'ala allungata era bilongherone, con alettoni Frise e ipersostenatatori, che non riuscivano a ridurre la velocità d'atterraggio a meno i 129 kmh (ma c'erano aerei che superavano i 170 kmh). *'''Dimensioni''': lunghezza 9,98 m, apertura alare 13,72 m, altezza 3,53 m, superficie alare 23,23 m2 *'''Pesi''': 3.769-5.166 kg *'''Motori''': 2 R.R. Peregrine da 885-887 hp *'''Prestazioni''': 579/4.500 kmh/m, 507 slm, 402 con le bombe, 489 di crociera, salita a 6100 m in 6,5 minuti, a 10.300 m in 15', stallo 153 kmh, tangenza 9.150 m, autonomia max 1290 km *'''Armamento''': 4 cannoni da 20 mm (240 colpi) In definitiva si trattava di un aereo molto avanzato, ma avrebbe avuto bisogno di motori più affidabili, il vero problema irrisolto, ma i Merlin erano troppo pesanti per sostituirlo. Di fatto fu un vero antesignano del D.H. Hornet, ma con struttura metallica avanzata e troppo piccolo per i pesanti Merlin. Questo decretò il suo fallimento, ma si trattava per il resto di un velivolo di tutto rispetto, ben superiore, per esempio, al Ro.57 italiano coevo e grossomodo comparabile, ma molto più lento e meno armato. Basti dire che nonostante l'uso di motori di scarsa potenza, sul livello del mare era capace di superare di 35 kmh il Bf-109E e a media quota era più veloce di questo e dello Spitfire Mk I di circa 12-15 kmh, anche se a quote superiori perdeva totalmente tale superiorità. Ottima anche l'autonomia e la velocità di crociera, troppo bassa invece la velocità (di crociera?) con le bombe, oltrettuto solo da 113 kg. Per giunta, l'abitacolo era ottimo per il combattimento aereo, ma con quella capottina sprotetta il pilota nelle missioni d'attacco al suolo era piuttosto vulnerabile al fuoco da terra. Al dunque, se i motori fossero diventati affidabili sarebbe stato un velivolo che adesso sarebbe senz'altro ricordato tra i 'grandi' della IIGM. Petter si sarebbe rifatto poi nel dopoguerra, con il parimenti interessante e relativamente sfortunato Gnat e soprattutto con il BAC Camberra, che vola ancora oggi. ===Martin-Baker MB.2/3/5=== La ditta attualmente nota per gli accessori per aerei è stata a suo tempo molto impegnata con gli aerei da caccia. Presentò una serie di caccia di qualità molto interessanti, oramai dimenticati. Il primo fu l'MB.1, con ali ripiegabili all'indietro, per essere ospitato dentro un hangar. Questo velivolo venne pensato nel 1934 e come i Caproni in Italia di anni dopo, si dimostrò un 'rebus' da comprendere per gli storici aeronautici. Il primo volo avvenne nel '35 e si dimostrò un ottimo aereo da scuola e turismo, di tipo civile. Ma presto arrivò anche l'MB.2 che era un caccia militare, al solito costruito con una struttura robusta, facile da costruire, e di facile manutenzione, con struttura a tralicci in acciaio saldato. Era un velivolo capace di volare molto bene, con oltre 500 kmh di velocità nonostante l'uso di un Napier Dagger da 1.000 hp, con 24 cilindri ad H. Aveva 8 armi da 7,7 mm ed aveva una dotazione di munizioni piuttosto consistente. Ma nonostante fosse superiore all'Hurricane, volando nel '35 non ebbe il merito che gli spettava, un po' come il Caproni F.5. Ci si riprovò con l'MB.3, aereo da caccia ben più potente, con un Napier Sabre da 2020 hp, con una batteria di 3 cannoni da 20 mm per ala, fusoliera in tubi d'acciaio saldati e pannelli in alluminio, ala monolongherone, carrello con impianto pneumatico. Il primo prototipo volò il 31 agosto 1942, ed era un caccia capace di circa 660 kmh. Ma su uno di essi morì Valentin Baker il 12 settembre 1942, il figlio di uno dei due progettisti. Si voleva usare il R.R. Griffon, ma questo fu possibile solo con il terzo prototipo; Baker Senior riuscì a continuare lo sviluppo dell'aereo nonostante la perdita del figlio, e dopo alcune modifiche, l'uso del Griffon, la capottina a bolla, le eliche controrotanti, arrivarono all'MB.5. La macchina intermedia fu l'MB.4 che era l'MB.3 con il Bristol Centaurus, quello del Tempest II. In pratica l'MB.5 era l'MB.3 con un Griffon, abitacolo con tettuccio a goccia spostato in avanti di 1,5 m. Volò per la prima volta il 23 maggio 1944, ma si dimostrò direzionalmente assai instabile e i collaudi vennero interrotti per il momento. Ma l'aereo aveva maneggevolezza e manutenibilità eccellenti, come anche le prestazioni di decollo e atterraggio erano ottime, e il carrello (differentemente dallo Spitfire) era a larga carreggiata, mentre l'elica controrotante era con due elementi di diversa apertura, cosa più unica che rara ma che serviva a ridurre la resistenza indotta. L'aereo nell'insieme somigliava al Mustang, ma era solo apparenza visto che la costruzione era del tutto diversa. I collaudi però erano andati oltre la guerra. Nonostante l'aspetto squadrato, apparentemente semplice e rudimentale, venne trovato davvero ottimo, tanto che uno dei collaudatori, un polacco naturalizzato britannico, lo giudicò come il miglior caccia che avesse guidato. Eppure, non passò alla produzione. Lo Spitfire e il Tempest erano già in linea e in produzione, il futuro poi era dei caccia a reazione Vampire e Meteor. Il prototipo finì distrutto come velivolo bersaglio. '''MB.5''' *'''Dimensioni''': lunghezza 11,51 m, apertura alare 10,67 m, altezza 4,57 m, superficie alare 24,43 m2 (MB.3:lunghezza, 10,77 m, ap. alare 10.67 m, altezza 4.74m 24.40 m2) *'''Pesi''': 4.188-5.484 kg *'''Motori''': R.R. Griffon 83 da 2.340 hp *'''Prestazioni''': 740/6.100 kmh/m, 635 kmh a 0 m, salita a 6100 m in 6,5 minuti, a 10.300 m in 15', stallo 153 kmh, tangenza 12.192 m, autonomia max 1175 km, decollo e atterraggio in circa 500 m *'''Armamento''': 4 cannoni da 20 mm (800 colpi)<ref>Per l'aereo e i dati relativi: Gigli-Cervi A.''MB.5'' Aerei nella Storia ott-nov 2002</ref>. L'ingegno dei due soci non venne più applicato ad aerei, nonostante i pregi (robustezza, economicità, manutenibilità, producibilità e qualità di manovra) dei loro aerei. La loro attività venne però diretta a qualcos'altro, forse in memoria del giovane Valentin Baker: i sedili eiettabili, che forse avrebbero potuto salvargli la vita se fossero stati disponibili all'epoca. Ora i sedili eiettabili inglesi sono stati prodotti a migliaia di esemplari per decine di tipi di aerei diversi, praticamente standard nei jet militari moderni europei. ==Vampire e Meteor: i primi 'jet' della RAF== La potenza della propulsione a turbina è stata un salto enorme nella storia aeronautica, e i suoi frutti vennero concretizzati per primi da Tedeschi e Britannici. Per parlare dei jet di queste due nazioni bisogna parlare degli studi di Von Haim e Frank Whittle. Entrambi erano stati ben poco compresi dalle forze aeree, che erano ancora legate a macchine come i caccia biplani. Pensare di colpo a macchine di grande potenza non era facile, e poi non c'erano solo problemi di mentalità: i primi aviogetti erano afflitti da vari inconvenienti, come la scarsa autonomia dovuta all'elevato consumo, e la scarsa durata in generale. Wittle fu rapido nel realizzare la turbina a gas di impiego aeronautico, ma furono i tedeschi a realizzarla in maniera compiuta con un valido progetto di aereo a reazione: l'He-178, che nel 1939 volò raggiungendo circa 600 kmh. All'epoca la Heinkel era all'altezza della migliore ricerca, tant'é che mise mano anche all'aviorazzo He-176. Talvolta qualche storico riporta che il volo a 'getto' nacque in Italia, ma questo non corrisponde al vero. Prima di tutto perché l'aviogetto della Caproni arrivò solo nel 1940, e secondariamente perché aveva un motoreattore e non un vero turbogetto. La differenza non è di poco conto: le idee di Secondo Campini erano molto avanzate all'epoca in cui cominciò a lavorarci, ma passarono anni e non si concluse nulla di concreto, e tanto meno si comprese che per ottenere un risultato valido bisognava fare il salto di qualità e passare alla propulsione a reazione con una vera turbina: il motoreattore non avrebbe mai dato potenza sufficiente a giustificarne la piena adozione, e così è stato. Ma la turbina, per quanto embrionale, era pur sempre un oggetto tecnologicamente ben più difficile da realizzare. In ogni caso, mentre Wittle non riusciva ad ottenere abbastanza attenzione, i Tedeschi erano passati in testa nel settore e ci rimasero fino alla fine della guerra. Alla fine, accadde persino che, dopo l'accettazione della nuova tecnologia, venissero prodotti caccia Meteor prima ancora che un qualche motore fosse messo a punto, a causa del ritardo della motorizzazione, non ancora a punto. La prima creazione completa fu il piccolo Gloster E.28/39, con un turbogetto Whittle W.1. Esso era un aggraziato aviogetto che era stato persino pensato per il combattimento aereo, con tanto di predisposizione per armi di bordo. Non accadde, ma venne ordinato già nel febbraio 1940 e volò il 15 maggio 1941 da Cranwell, con un motore da appena 390 kgs, pilotato dal collaudatore P.E.G. Sayers. Ebbe poi una serie di motori potenziati, come il W.1A da 526 kgs (il 4 febbraio 1942 venne portato in aria con tale motorizzazione), ma il 30 luglio si ritrovò gli alettoni incastrati in una condizione di vite rovescia, e fu davvero fortunato il collaudatore che si gettò col paracadute. C'era anche un secondo prototipo, con il W.2 da 771, poi 798 kgs, impegnato nelle prove di volo. Ora quest'aereo è esposto allo Science Museum di Londra. La sua sagoma è caratteristica: una piccola fusoliera, presa d'aria anteriore e scarico in coda per la massima aerodinamica, abitacolo con 'gobba' posteriore, una macchina non dissimile da un Macchi 200. I piani di coda avevano superfici di controllo aggiuntive sugli equilibratori. La velocità raggiunta è stata fino a 750 kmh, il peso del resto non superava i 1.700 kg e la lunghezza i 7,72 m. Era un buon inizio, anche se in ritardo. Presto la Gloster ebbe l'ordine di 'raddoppiare', con un caccia bimotore. Venne progettato da George Carter rispondendo alla F.9/40 del ministero dell'Aria.Seguirono 8 prototipi con vari motori, fino a che si giunse all'ultimo con i R.R. Derwent W.2B/37. Il primo a volare fu il quinto prototipo che finalmente, dopo almeno un anno o due di ritardo ottenne i motori adatti per decollare il 5 marzo 1943. Seguirono 20 F Mk I con il Welland (W.2B/23) centrifughi e nel luglio 1944 venne destinato alla 616a che lo usò per le missioni contro le V-1. Il primo scontro tra jets fu proprio tra questi tipi, con un Meteor che ottenne la prima vittoria il 4 agosto. Dopo la 616a venne trasferita in Belgio, e finalmente raggiunta dalla 504a con gli Mk III. Un altro Meteor andò negli USA in cambio un P-59, aereo a tutti gli effetti simile. Un altro ebbe invece le turboeliche Trent, e stavolta fu davvero un primato: nessun altro aereo era volato fin'allora con tale tipo di motore, cosa che accadde due settimane dopo la fine della guerra. '''Meteor Mk I''': *'''Dimensioni''': lunghezza 12,5 m, apertura alare 13,11 m, altezza 3,96 m, superficie alare 34,74 m2 *'''Pesi''': 3.692-6.257 kg *'''Motori''': 2 RR Welland I da 771 kgs *'''Prestazioni''': 668kmh /3050 m, tangenza 12.190 m *'''Armamento''': 4 cannoni HS-404 da 20 mm ,previsione per altri due<ref>Armi da guerra 14</ref>. Ma com'era il Meteor in azione? Come si è detto, esso divenne operativo abbastanza presto da partecipare alla guerra. I suoi limiti non erano tuttavia trascurabili, e bisognava trattarlo con la dovuta cautela. La prima cosa che si notava era la velocità a bassa quota; ma il velivolo raggiungeva dei picchi di velocità comprarabili a quelli di uno Spit Mk IX, non era quindi capace di esprimere al meglio la superiorità della sua propulsione rispetto ai caccia convenzionali (lo stesso per il P-59). Era tuttavia utile per dare la caccia alle V-1, che erano abbastanza rapide a bassa quota per rendere difficoltoso l'inseguimento da parte dei P-51. Era già tanto che si giunse a questo impiego. Se non fosse stato per la tenacia e l'ingegno di Whittle, la RAF avrebbe mancato per molto più tempo nel dotarsi di caccia a reazione. Avere messo in mano la realizzazione del motore alla Rover Car Co. non aiutò certo la realizzazione del turbogetto in tempi rapidi. In seguito però la RAF ebbe non ebbe nemmeno un pilota ucciso in incidenti di volo durante la guerra con i Meteor, cosa che non si poté dire del Me.262. Quest'ultimo però venne impiegato molto di più e su di esso vi sono ricche documentazioni. Il pugno di Meteor rimase relegato in una certa ignavia. Del resto il primo aereo di serie -grazie principalmente all'arrivo della R.Royce al posto della Rover- volò solo il 12 gennaio 1944. I primi 12 Meteor Mk I erano andati alla 616a Squadriglia prima ancora dell'ingresso in servizio attivo del Me.262 che era appena stato consegnato al 262 Ekdo della LW. Durante un ingaggio il 27 luglio, i Meteor ebbero cortocircuiti nei sistemi di sparo dei cannoni e il successo arrivò solo il 4 agosto da parte di un rovesciamento d'ala di un pilota, Dean, che era a sua volta senza cannoni funzionanti. A proposito di questi, solo 4 vennero montati nonostante la predisposizione per gli altri due, che ne avrebbero fatto un aereo tra i più potentemente armati. Ma del resto, i pesi all'epoca dovevano essere contenuti data la scarsa potenza motrice. I Meteor ebbero dei problemi, eppure risolti i problemi iniziali, si dimostrarono molto affidabili e pratici, anche perché i motori erano costruiti con materiali adatti e non di ripiego (come nel caso dei Tedeschi). Il problema era l'autonomia di appena 36-40 minuti al livello del mare, un limite molto serio. Ma in agosto venne perfezionato il pilotaggio dell'aereo adottando tecniche che, con un uso accorto dei motori, portò a 90 minuti l'autonomia complessiva. Infine l'Air Marshall J.Robb affermò che i due motori Welland I richiedevano esattamente la metà delle ore di manutenzione del singolo Griffon dello Spitfire. La cosa non stupisce più di tanto, infatti il Griffon era un motore molto complesso (e nel dopoguerra sarà spesso sostituito dai 'Merlin' evoluti). Ma il caccia Meteor restava lento. Il problema era che la sua robusta cellula era quanto di più grosso poteva essere concepito per i due motori, e se questo era positivo per le capacità di crescita, al momento rendeva l'aereo molto lento. Inoltre non c'era traccia di freccia alare: i due motori Welland erano saldamente incassati a metà dell'ala, mentre i piani di coda erano un 'quasi a T' posteriore, il muso conteneva tutti i cannoni e il tettuccio a goccia del pilota, molto più in avanti del Me.262. Sebbene si trattasse di un caccia più lento del Me.262, di qualcosa come 200 kmh, c'era la possibilità di ridurre il gap con i Derwent I da 907 kgs. Questi consentivano al Meteor Mk III una velocità di circa 793 kmh, che dimezzavano la differenza con i M2.262, ma era ancora poco, appena meglio del P-51H o dello Spiteful. Inoltre c'erano degli spiacevoli incidenti: i Meteor erano spesso scambiati e attaccati perché creduti jet tedeschi. I 280 Mk III erano comunque una forza apprezzabile, e dall'ottobre 1944 sostituì i primi Mk I nella 616a che all'epoca era vicino a Bruxelles. Non vi fu mai uno scontro con i '262, anche perché si volle impedire che, entrando nello spazio aereo tedesco (che venne proibito), qualche Mk III finisse in mano sovietica. Ironicamente, nel dopoguerra con i Laburisti al potere l'URSS avrà i più recenti motori inglesi, base poi dei nuovi jet sovietici come il MiG-15 e lo Il-28. Sempre con una certa ironia, appena finì la guerra, il lento Meteor ebbe motori potenziati (Mk IV) che lo portarono ad ottenere il record di velocità mondiale, raggiungendo circa 975 kmh. Ma questa è la storia postbellica del Meteor, che ebbe unalunga carriera. Un altro aereo che è diventato un 'best seller' è stato il '''DH. Vampire''', caccia del tutto diverso, con motore singolo piazzato in fusoliera. Per risolvere il problema della perdita di potenza causata da lunghi condotti di scarico si ricorse ad una configurazione a doppia trave di coda, in stile P-38 o P-61. Certo questo non era una soluzione per le alte velocità, ma non si ritenne di fare di meglio. '''Vampire Mk I''': *'''Dimensioni''': lunghezza 9,37 m, apertura alare 12,19 m, altezza 2,69 m, superficie alare 24,71 m2 *'''Pesi''': 2.803-4.627 kg *'''Motori''': 1 DH Goblin da 1.225 kgs *'''Prestazioni''': 824 kmh /10.365 m, tangenza 12.620 m, autonomia 1190 km *'''Armamento''': 4 cannoni HS-404 da 20 mm ,previsione per altri due<ref>Armi da guerra 14</ref>. Motorizzato dall'Halford H.1 (progettato dal mag FB Halford), fabbricato dalla stessa De Havilland. Ordinato con la E.6/41, il motore venne montato su questo piccolo prototipo di caccia, chiamato Spidercrab. Con prese d'aria alla radice delle ali e motore dietro l'abitacolo volò il 20 settembre 1943 ad Hatfield, con l'LZ548/G, poi arrivarono altri due prototipi e il 13 maggio 1944 vennero ordinati 120 aerei, poi 300 del tipo F.Mk 1, ordinati alla English Electric Company, ditta aerea di Preston che in futuro sarebbe stata artefice anche del Camberra, che aveva un'ala trapezioidale simile a quella del Vampire. Il tipo di serie ebbe il Goblin (lo stesso di prima, ma ridenominato) e volò il 20 settembre 1945, capace di volare a 805 kmh, con un usuale quartetto di cannoni da 20 mm sotto il muso. Tra le sue tante caratteristiche piuttosto originali, c'era la costruzione mista: metallo per ali, coda, travi, fusoliera in legno a semigusci principali (due) costituiti di 2 elementi l'uno, separata al suo interno da una paratia corazzata di ben 16 mm di spessore, perché la parte anteriore del muso era in metallo. L'abitacolo era protetto da corazze, ma non aveva sedile eiettabile, causa di problemi alle volte mortali nell'abbandonare l'aereo, mentre dietro l'abitacolo v'era una paratia in alluminio per la pressurizzazione. L'ala era monolongherone metallico in lega DTD 390 con rivestimento in Alclad e i profili veloci EC 1240, aveva estesa ipersostentazione, spessore massimo al 33% della corda per la migliore velocità, aerofreni capaci di produrre una decelerazione di 0,3 g. I serbatoi per il motori Goblin c'erano un serbatoio di fusoliera da 436 litri, 2 alari interni da 472 complessivi, 6 alari esterni per 590 litri, due sganciabili subalari per 910 litri totali. L'avviamento del motore era dovuto ad un generatore esterno da 230 A e 24 V, da 24 V erano anche le batterie interne, due in serie da 12 V. La pressurizzazione era ottimizzata per funzionare a partire da 4.570 m. Tra le altre sperimentazioni, il Vampire venne anche modificato per il motore R.R. Nene, ma senza successo pratico, mentre un F.Mk 8 divenne poi il prototipo del Venom, che era almeno inizialmente in buona sostanza un DH Vampire adattato per il più potente motore Ghost<ref>Aerei nella Storia feb mar 2000</ref>. Ma le prove di questo aereo, piccolo e sgraziato ma più veloce del Meteor III, durarono a lungo e i primi arrivarono in servizio solo nell'estate del '46. Come i Meteor, il Vampire fu il capostipite di una famiglia di aerei privi di ala a freccia, che arriverà a mezzi di notevole potenza e sofisticazione (fino al Javelin e al Sea Vixen), ma senza ambizioni supersoniche e piuttosto limitati nel progresso tecnico. ---- Quanto ai motori di per sé, Frank Whittle aveva già cominciato a lavorare alle turbine aeronautiche nei tardi anni 20 e nel 1930 riuscì già a disporre di un brevetto in merito. Nel marzo 1936 fondò la Power Jets ltd di cui era proprietario del 49%, e il 12 agosto 1937 venne costruito il primo reattore, a flusso centrifugo, chiamato WU o Whittle Unit, rimasto solo un'unità sperimentale usate per sviluppare il concetto. Seguì il W1 del caccia Gloster E28/39, rimasto essenzialmente un aereo sperimentale, nato da una specifica dell'Air Ministry emessa nel 1939. Certo che con un motore da 390 kgs non si poteva fare molto, ma il W2B della Rover poteva fare di meglio e venne usato sullo stesso aereo, in attesa di un altro W2B, prodotto dalla Power Jets. Questo diverrà poi il R.R. Welland che motorizzò il Meteor (scelto tra una pletora di altri reattori essenzialmente frutto ancora di Whittle). Erano tutti motori a flusso centrifugo, ma va ricordata anche la variante non entrata in produzione, il Meteor Mk II con due D.H. Goblin I da 1230 kg: la versione che seguì alla Mk I con i Welland W2B da 771 kgs, era infatti la Mk III con i R.R. Derwent I da 907 kgs, ma la Mk IV, apparsa praticamente con la fine della guerra ebbe i Derwent V da 1.580 kgs, in seguito gli Mk 8 ebbero i Derwent 8 da 1.633 kgs e la versione NF Mk. 11 i Derwent 9 da 1.725 kgs. Nel frattempo apparve anche il D.H. Vampire, che ebbe un altro reattore, sempre di tipo centrifugo, che era propulso da un Halford H.1, ergo il D.H.Goblin t da 1.225 kgs, poi il Goblin II da 1.400 kgs per le macchine di serie e infine il suo discendente Ghost per i caccia Venom, da oltre 2.000 kgs. I motori inglesi tuttavia, per quanto robusti e corti, erano larghi in quanto con compressore centrifugo, e oltre alla conseguente resistenza aerodinamica, non possedevano il potenziale di crescita che nel futuro sarà appannaggio dei motori a compressore assiale, la via scelta dai Tedeschi. Gli Americani ottennero il DH.1 Goblin per quello che diventerà il P-80 Shooting Star, con potenza aumentata rapidamente a 1.815 kgs. <ref>Pellegrini P L'era pionieristica del turbogetto Made in England Aerei nella storia ott nov 2005</ref> ---- Un altro aereo a reazione con le radici nel conflitto fu il '''Saunders-Roe SRA.1''', nato da una specifica del '44 relativa ad un idrovolante da caccia a reazione. Pesante circa 8 t, decollò nel '47 ma non ebbe seguito pur essendo un velivolo interessante, capace nonostante fosse un velivolo 'a scafo' di 824 kmh, con la sua tozza fusoliera predisposta o realmente ospitante 4 cannoni da 20 sopra le prese d'aria, a loro vola presenti nel muso. Era il primo idrocaccia del mondo con motore a reazione, e anche l'idrovolante più veloce; gli Americani in seguito riprovarono il concetto con il Sea Dart, ben più moderno, ma parimenti privo di successo operativo. ==Note== <references/> [[Categoria:Armi avanzate della Seconda Guerra Mondiale|Gran Bretagna]] d9twgfldrg6pkh36r101dlhp77fupy5 0 28829 498556 493777 2026-05-28T14:13:51Z ~2026-31991-15 54428 /* Testo */ 498556 wikitext text/x-wiki {{Carmina (Catullo)}} == Testo == {{Carmina (Catullo)/TestoOriginale| <poem> Ille mi<ref>''Mi'' sta per ''mihi'' con caduta dell' ''h'' intervocalica e contrazione delle due ''i''.</ref> par esse deo videtur<ref>Costruzione personale di ''videor'', di cui ''ille'' è soggetto.</ref>, Ille, si fas est<ref>Proposizione incidentale.</ref>, superare diuos, Qui<ref>''Qui... spectat et audit'', proposizioni relative proprie.</ref> sedens<ref>Part. pres. att., part. congiunto.</ref> aduersus<ref>''Adversus'' ha valore di aggettivo, "rivolto verso di te".</ref> identidem te Spectat et audit Dulce<ref>Acc. n. con valore avverbiale.</ref> ridentem<ref>Part. pres. att., part. predicativo che si ricollega al ''te'' di v. 3.</ref>, misero quod<ref>Ellissi dell'antecedente determinativo.</ref> omnis<ref>''Omnis'', forma arcaica dell'acc. m. pl. ''omnes'', concordato con ''sensus'' di v. 6.</ref> Eripit sensus mihi: nam simul<ref>Sta per ''simul ac'' e introduce una proposizione temporale.</ref> te, Lesbia, adspexi<ref>Perfetto logico.</ref>, nihil est super mi<ref>''Mi'' sta per ''mihi'' con caduta dell' ''h'' intervocalica e contrazione delle due ''i''. L'intera proposizione sta per ''nihil mihi superest''.</ref> • • • • Lingua sed torpet, tenuis sub artus Flamma demanat, sonitu suopte<ref>Agg. poss. di 3 pers. con valore riflessivo, rafforzato dal suffisso enclitico -''pte''.</ref> Tintinant<ref>La forma più comune sarebbe stata ''tintinnant''.</ref> aures, gemina teguntur Lumina nocte. Otium, Catulle, tibi<ref>Dativo d'interesse, in italiano compl. di svantaggio.</ref> molestum est: Otio exsultas nimiumque gestis. Otium et reges prius et beatas Perdidit urbes. </poem> |trad=<poem>Quell'uomo mi sembra essere pari a un dio, quegli, se è possibile, mi sembra superare gli dèi, lui che, sedendo rivolto verso di te, guarda e ascolta te ridere dolcemente, e questo a me sventurato strappa via tutti i sensi: infatti non appena ti guardo, Lesbia, nulla mi resta .......... ma la lingua s'intorpidisce, sotto gli arti si propaga una tenue fiamma, di un suono tutto loro rimbombano le orecchie, è coperta da una duplice notte la luce degli occhi. L'ozio, Catullo, è dannoso per te: nell'ozio ti abbandoni all'esultanza e smanii troppo. L'ozio già prima re e città fiorenti ha mandato in rovina. </poem> |fonte=Fonte: [[s:la:Carmina_(Catullus)/51|&rarr; Wikisource]] }} ==Analisi stilistica== * Il genere della poesia: [[w:Poesia lirica|lirico]]. * La metrica della poesia: [[w:Strofe saffica|strofe saffica]], usata da Catullo solo in questo componimento e nel carme 11. * Le prime tre strofe della poesia sono una traduzione/rielaborazione del componimento 31 Neri (=Voight) di Saffo. * La quarta e ultima strofa del carme è poco coesa con le altre tre. Alcuni editori la considerano un carme a sé stante, interpretandola come la risposta di Lesbia al c.51. * Le figure retoriche della poesia: [[w:Anafora|anafora]] in apertura di componimento, ''Ille.../ ille'', e ai vv. 13 e 15, ''Otium.../ otium''; [[w:Iperbato|iperbato]] in [[w:Enjambement|enjambement]] ai vv. 5-6 ''omnis/ ...sensus'', e 11-12 ''gemina/ ...nocte''; [[w:Anastrofe|anastrofe]] ai vv. 5 ''misero quod'', e 7 ''est super. Anastrofe al v. 9 tra lingua e sed.'' ==Sintesi della poesia== {{...}} ==Il tema== {{...}} ==Il messaggio == {{...}} [[Categoria:Carmina (Catullo)]] {{avanzamento|25%}} 3o5as3w75ebwjaxptilq3ryf749idu4 0 32192 498608 414505 2026-05-29T10:45:40Z Avemundi 6028 refuso 498608 wikitext text/x-wiki {{FlightGear}} = Aerei civili = [[File:WikiFGFS 707-420 01.jpg|miniatura|Esempio di scheda aereo per il Boeing 707-420 ]] FlightGear dispone attualmente (2017) di una ricca serie di aerei civili, ma la maggioranza di essi non ha una sufficiente qualità di riproduzione con l'aereo al quale fa riferimento. Per questo è utile provare i vari modelli di aereo al fine di realizzare un proprio hangar personale. Gli aerei si possono scaricare da varie fonti, la principale delle quali è il [http://wiki.flightgear.org Wiki di FlightGear] alla voce [http://wiki.flightgear.org/Category:Airliners Airliners]. Non fatevi impressionare dalla grande quantità di aerei presenti, molti sono poco più che abbozzi, ma alcuni aerei sono fatti molto bene e per molti aspetti possono competere con aerei realizzati per i simulatori di volo commerciali. Il primo criterio da adottare per scegliere un buon aereo è di selezionare quelli che hanno un elevato numero di stelle, tale informazione si trova su di un box posto alla destra e riporta le seguenti voci: * '''FDM''' : la qualità del modello dinamico, ovvero le caratteristiche di volo dell'aereo rispetto alla realtà. * '''Systems''' : la qualità di riproduzione dei sistemi di bordo come l'impianto elettrico, carburante, carrello etc ... * '''Cockpit''' : la fedeltà di riproduzione del posto di pilotaggio e relativa strumentazione. Fate attenzione in quanto spesso questo parametro viene un po' sopravalutato dai vari autori destando aspettative non sempre corrispondenti alla realtà. * '''Model''' : la fedeltà di riproduzione delle parti esterne del modello, anche qui spesso c'è una o due stelle di troppo. ==Volare con il 707== Uno dei migliori aerei di FlightGear è stato rilasciato, nella prima versione, durante il 2013. Gli autori del velivolo hanno voluto cercare di ottenere un velivolo con caratteristiche di volo e di gestione molto vicine alla realtà. Per fare questo hanno utilizzato come base di lavoro alcuni manuali utilizzati da varie compagnie aeree in modo da cercare di non ''inventare nulla''.<BR>Un velivolo concepito negli anni 50' dello scorso secolo manca di una serie di automatismi e sistemi per il controllo del volo che attualmente sono di serie in qualsiasi velivolo prodotto. Questo fatto fa si che il volo con questo velivolo da al pilota un modo di volare piuttosto ''vintage'', modo che può però spiazzare i neofiti o i piloti abituati ad utilizzare i [[w:Glass_cockpit|glass cockpit]] presenti negli aerei odierni. Per questo l'uso di questo manuale può risultare assai utile e dovrebbe risolvere alcune comuni perplessità che si hanno immancabilmente quando prendiamo confidenza con questo velivolo. ===Il cockpit=== Il cockpit del velivolo è piuttosto ben curato ed è stato realizzato per essere correttamente visualizzato con il sistema di gestione delle luci ed ombre Rembrandt, questo significa che è necessario lavorare con molta attenzione e verificare costantemente il lavoro fatto. Comunque, come si può osservare dalla foto, il lavoro fatto è veramente notevole e rende a chiunque molto attraente tentare di fare subito un bel decollo. [[Categoria:FlightGear|volo con FlightGear]] {{Avanzamento|0%}} 6iu906n92pqbf9adj2xz5rpg5gqod2u 0 34638 498565 498546 2026-05-28T14:59:23Z VoceUmana7 51633 498565 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Le disposizioni foniche attualmente presenti in questo libro sono '''5013'''. == Per il lettore == Ciascun organo a canne è uno strumento a sé, con una propria dignità indissolubilmente legata alla sua unicità. Non troveremo mai un organo uguale ad un altro, neppure nei rarissimi casi di strumenti costruiti in serie: avranno sempre qualcosa che li distinguerà fra di loro. Come poter, dunque, descrivere uno strumento unico, in maniera tale che, senza suonarlo o ascoltarlo, sia possibile capire come è fatto? Grazie alla sua disposizione fonica: essa è l'elenco dei registri che compongono lo strumento, riportati in base alla loro appartenenza alle varie "divisioni" (manuale/i ed eventualmente pedale). Pertanto si tratta di un elemento fondamentale, l'unica vera grande ed esaustiva descrizione dello strumento, dal momento che un organo si differenzia da un altro fondamentalmente per i registri che ha. Questo wikilibro si prefigge il compito di racchiudere al suo interno le disposizioni foniche di organi del presente e del passato, raggruppate in base alla loro collocazione all'interno di edifici che, per sviluppi culturali ed esigenze liturgiche, sono per la maggior parte destinati al culto. La presente opera si rivolge, dunque, non solo allo studioso di organaria ed organologia, ma anche al curioso che vuol sapere come è fatto l'organo della chiesa tot, all'appassionato, all'organista che ha l'esigenza di conoscere le caratteristiche di un tal organo, a chiunque, in poche parole, sia interessato all'argomento. == Per il contributore == Chiunque voglia contribuire all'edificazione del presente wikilibro, è il benvenuto, ed è pregato di seguire, per amor di uniformità, lo schema che può vedere nelle pagine già presenti. Sono tuttavia doverose alcune raccomandazioni tecniche. Una volta inserite una o più disposizioni foniche, il contributore è pregato di aggiornare il numero all'inizio di questa pagina. === Dei titoli === I titoli delle singole pagine seguono sempre questo schema: Stato/Regione (o altra divisione amministrativa analoga)/Provincia (o altra divisione amministrativa analoga)/Comune/Località (che può essere anche il comune stesso, comunque si ripete) - Edificio Ad esempio: Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano/Milano - Cattedrale di Santa Maria Nascente Nei nomi delle chiese, si scrive solo: ''Chiesa di...'', oppure ''Santuario di...'', oppure ''Basilica di...'', ''Cattedrale di...'' o ''Cattedrale metropolitana di...'', non ''Basilica Cattedrale Primaziale Metropolitana Santuario Protoecclesia di...''. Sono altresì bandite le abbreviazioni (come ad esempio ''S.'' al posto di ''Santo/Santa/Sacro''). Se in un edificio ci sono più organi, vanno tutti nella stessa pagina. Le singole pagine non sono per organo, ma per edificio. === Delle tabelle riassuntive === Le tabelle riassuntive a inizio pagina, seguono questo schema: * '''Costruttore:''' [nome e] cognome del costruttore/ditta costruttrice con, in caso, tra parentesi e in corsivo, il numero d'opera * '''Anno:''' anno di costruzione (in caso, in nota, data dell'inaugurazione) * '''Restauri/modifiche:''' elenco: nome di chi ha fatto il restauro e, tra parentesi, anno e tipologia di intervento * '''Registri:''' numero dei registri (in caso di registri spezzati, ciascuno vale 1 e non 1/2) * '''Canne:''' numero di canne * '''Trasmissione:''' meccanica/pneumatico-tubolare/elettrica/elettronica/ecc. nel caso di mista, si scrive mista e poi si specifica tra parentesi * '''Consolle:''' tipologia della consolle (a finestra, mobile/fissa indipendente, appoggiata, rivolta, ecc.) e posizione (al centro del coro, al centro della parete anteriore della cassa, su apposita cantoria, ecc.) * '''Tastiere:''' n° di tastiere e di note ed estensione tra parentesi * '''Pedaliera:''' tipologia di pedaliera (a leggio, dritta, concava, concavo-radiale), n° di note ed estensione tra parentesi * '''Collocazione:''' n° dei corpi, posizione dei corpi. Esempio: * '''Costruttore:''' Pinco Pallino (''Opus 100'') * '''Anno:''' 2019-2020 * '''Restauri/modifiche:''' Tizio Caio (2102, restauro conservativo), Sempronio (2156, modifiche e ampliamento) * '''Registri:''' 36 * '''Canne:''' 3.562 * '''Trasmissione:''' mista (meccanica per i manuali e il pedale, elettronica per i registri) * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in due corpi contrapposti, sulla cantoria in controfacciata Nel caso di ottave scavezze: * '''Tastiera:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale Non sono ammesse abbreviazioni, come ad esempio i nomi degli organari. === Delle disposizioni foniche === * I nomi delle divisioni vengono scritti nel seguente modo: '''I - ''Grand'Organo'''''; quello del pedale così: '''Pedale'''; * il nome della seconda o terza tastiera si riporta semplicemente, dopo il numero ordinale romano, come '''''Espressivo''''' e non come Recitativo, essendo un'impropria italianizzazione del francese ''Récit''; * nel caso di aggettivi dopo il nome del manuale, essi sono riportati con la prima lettera minuscola (ad esempio: '''VI - ''Organo antico aperto'''''); * qualora i registri, sulla consolle, siano raggruppati per Concerto e Ripieno (ad esempio come avviene per la maggior parte degli organi ottocenteschi italiani), si segua questo schema ([[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Toscana/Provincia di Siena/Montalcino/Montisi - Chiesa delle Sante Flora e Lucilla|qui un esempio]]) e, nel caso di più manuali, si premetta sempre il numero e il nome (ad esempio: '''I - Organo eco ''Concerto'''''); * all'interno di ogni divisione vi sono due colonne, divise da doppia stanghetta verticale (<code><nowiki>||</nowiki></code>), che rispettivamente, da sinistra a destra, sono: 1) nome del registro con eventualmente indicato il numero di file, 2) altezza del registro in piedi con eventualmente specificata l'appartenenza ai soli Bassi o ai soli Soprani (esempio: <code><nowiki>Ripieno 5 file || 2' Soprani</nowiki></code>); * tutti i nomi registri sono scritti con la prima lettera maiuscola, mentre le parole seguenti devono iniziare con la minuscola (ad esempio: ''Ripieno acuto 5 file'' e '''non''' ''Ripieno Acuto 5 File''), ad eccezione delle disposizioni in tedesco o nelle lingue che richiedono la maiuscola anche per tutti i sostantivi - nel caso non sia possibile reperire l'altezza in piedi delle mutazioni composte, si sposta il numero di file nel campo dell'altezza in piedi (esempio: <code><nowiki>Ripieno || 5 file</nowiki></code>); * le mutazioni sono scritte con il numero intero separato da quello frazionario tramite un punto, così: ''5.1/3<nowiki>'</nowiki>''; qualora l'altezza sia solo frazionaria, si omette lo ''0.'' iniziale, così: ''1/4<nowiki>'</nowiki>'' e '''non''' ''0.1/4<nowiki>'</nowiki>''; * nel caso di mutazioni composte, l'altezza in piedi è riportata solo relativamente alla prima fila, ad eccezione di quelle a due file (per non occupare troppo spazio) - qualora le altezze delle file successive presentino delle anomalie, si inseriscono in nota. * i registri ad ancia sono scritti in rosso quando sono riportati così sulla consolle; * non si inserisce il numero ordinale davanti a ciascun registro; * non si riportano le unioni e gli accoppiamenti, né gli annullatori; * il Tremolo si riporta all'interno di ciascuna divisione; * gli accessori (ad esempio: Uccelliera, Zampogna ecc.) si riportano nel seguente modo prima della disposizione fonica: '''Accessori''': ''Uccelliera''; ''Zampogna''; * non sono ammesse abbreviazioni. Quindi, in poche parole, questa disposizione '''non''' va bene (mettiamo che sulla consolle i registri ad ancia siano scritti '''in nero'''): {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Prima tastiera - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno Acuto 3 File || 0.1/2' |- |Flauto a Camino || 8' |- |Sesquialtera 2 File || 2.2/3'-1.3/5' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' bassi</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' soprani</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Seconda tastiera - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di Gamba || 8' |- |Flauto a Cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.1/3' |- |Pienino 3 File || 1'-0.2/3'-0.1/2' |- |Voce Celeste 2 File || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Bassa</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} Questa, invece, va bene: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno acuto 3 file || 1/2' |- |Flauto a camino || 8' |- |Sesquialtera 2 file || 2.2/3'-1.3/5' |- |Tromba || 8' Bassi |- |Tromba || 8' Soprani |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di gamba || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Pienino 3 file || 1' |- |Voce celeste 2 file || 8' |- |Tromba armonica || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |Trombone || 16' |- |Tromba bassa || 8' |- |} |} == Libri correlati == * {{libro|Organo a canne}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne| ]] [[Categoria:Musica]] [[Categoria:Dewey 786]] {{alfabetico|D}} {{Avanzamento|0%|9 giugno 2020}} cxg3s10r1guns43hzwnuzhkxy5jfzmi 0 34978 498601 480379 2026-05-29T10:43:09Z Avemundi 6028 refuso 498601 wikitext text/x-wiki {{Scienze della Terra}} Un '''terremoto''' (dal latino ''terrae motus''), detto anche '''sisma''' o scossa sismica, è una vibrazione (un '''fenomeno ondulatorio''') che si propaga all'interno o sulla superficie della crosta terrestre. Questo fenomeno ha origine dal '''brusco rilascio di energia meccanica accumulata nel tempo'''. == La teoria del "rimbalzo elastico" == <gallery align="center" mode="packed" heights="280"> File:Fault&Earthquake generation IT.png|Schema che illustra la generazione di un sisma per rilascio di energia per movimento relativo di masse di roccia lungo una faglia. File:Epicentrum-hypocentrum-schema.png|Schema che descrive la generazione di un terremoto dal rilascio improvviso di energia per il prodursi di una frattura con movimento relativo di due blocchi di roccia (A e B). </gallery> L'osservazione dei fenomeni sismici in natura ha consentito agli studiosi nel corso di decenni di studio di individuare una sequenza di eventi ben precisa in seguito alla quale si producono i terremoti: [[File:Sforzo-deformazione diag.png|thumb|right|verticale=1|Curva della relazione sforzo-deformazione di un materiale dotato di proprietà elastica. Nella prima parte della curva (punti A-C) si ha comportamento elastico e la deformazione è reversibile. Dal punto A al punto B in particolare vi è un rapporto di tipo lineare (''legge di Hooke''); nella seconda parte il materiale ha notevoli deformazioni, non reversibili, per piccoli incrementi dello sforzo (comportamento plastico). Per ulteriore incremento dello sforzo si ha rottura.]] [[File:Pressione litostatica.jpg|thumb|right|verticale=1|La pressione litostatica agisce in tutte le direzioni e determina una riduzione di volume ma non deformazione.]] * Per effetto di complesse dinamiche relative all'attività geologica del pianeta, si producono all'interno delle rocce degli '''stati di sforzo che aumentano nel tempo'''. * La roccia, sotto l'effetto di questi sforzi, subisce una '''deformazione che aumenta proporzionalmente all'energia accumulata''', fino al raggiungimento del limite di rottura. * A questo punto, si ha la '''rottura della massa rocciosa''' in due parti mediante una frattura ('''faglia''') lungo la quale si ha un '''movimento relativo''' dei due blocchi con '''liberazione improvvisa di energia'''. Questa energia viene in parte dissipata come lavoro per compiere lo spostamento, in parte sotto forma di calore e in parte si propaga sotto forma di '''onde sismiche'''. La sequenza di eventi descritta è oggetto della '''teoria del rimbalzo elastico''' (''elastic rebound''). Questa teoria spiega i terremoti mediante un modello che considera la massa rocciosa interessata dalla deformazione come un '''corpo solido elastico''' (allo stesso modo di una molla sotto l'effetto di una sollecitazione). In fisica, l'elasticità è la proprietà che permette ad un corpo di deformarsi sotto l'azione di una forza esterna e di riacquisire, se le deformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale è detto perfettamente elastico. La sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale è detta limite di elasticità e, nel caso venga superata, si entra nel campo di comportamento plastico, nel quale il corpo subisce una deformazione irreversibile (cioè conserva la deformazione anche una volta cessata la sollecitazione). Per un ulteriore incremento della sollecitazione si ha rottura del materiale. L'estensione dei campi elastico e plastico dipende dal tipo di materiale, dalle condizioni ambientali (ad esempio pressione e temperatura), e anche dalla modalità di applicazione della sollecitazione. <br> Per diversi tipi di rocce alle condizioni della superficie terrestre (come ad esempio calcari, dolomie, rocce detritiche cementate come le arenarie, la maggior parte delle rocce cristalline come i graniti e i basalti) il comportamento si può definire come prevalentemente elastico. Altre, come le rocce argillose o le rocce saline, possono avere un comportamento plastico. Il comportamento dipende anche da diverse variabili, per la maggior parte collegate tra loro: * Profondità. In superficie le rocce tendono a fratturarsi, mentre nel sottosuolo tendono a deformarsi. Questo dipende dalla temperatura e dalla pressione, che aumentano con la profondità. * Pressione. Un certo volume di roccia posto in profondità è sottoposto ad una pressione dovuta al peso delle rocce sovrastanti. Questa pressione agisce sia verticalmente (e in condizioni normali questa è la componente dominante), sia orizzontalmente in tutte le direzioni (e questa è la pressione "confinante" che, contrastando gli effetti della pressione verticale, impedisce che la roccia si fratturi o si deformi lateralmente sotto il peso della colonna di roccia soprastante). Questa pressione (definita ''pressione litostatica''), agendo in tutte le direzioni determina una diminuzione di volume della roccia, senza deformazione. Pertanto, l'aumento della pressione con la profondità si oppone alla rottura della roccia e favorisce un comportamento plastico. * Temperatura. L'aumento del calore in profondità fa aumentare il moto delle particelle e determina il rilascio di acqua, favorendo quindi il comportamento plastico. * Acqua. La presenza di acqua aumenta la mobilità delle molecole che compongono le rocce, e inoltre agisce come "lubrificante" attenuando gli attriti tra le particelle, favorendo in tal modo un comportamento plastico. * Tempo. Uno sforzo applicato in tempi molto lunghi può portare ad un comportamento plastico anche in rocce che sono normalmente fragili, mentre sollecitazioni rapide e improvvise portano a rottura. Quando l'entità della sollecitazione supera quella delle forze di coesione della roccia, si ha la rottura lungo un piano di taglio (''faglia'') e una deformazione irreversibile, con spostamento relativo delle masse rocciose ai due lati del piano di faglia. L'energia elastica si libera quindi improvvisamente come calore (causato dall'attrito lungo la superficie di faglia) e come movimento oscillatorio violento delle masse rocciose, che si propaga in tutte le direzioni sotto forma di onde elastiche concentriche a partire dal punto di rottura. Dopo l'evento sismico, il sistema raggiunge un nuovo stato di equilibrio corrispondente ad un livello di energia minore, dal quale eventualmente ricomincerà un nuovo accumulo di energia. In questa fase, sovente, dopo il terremoto principale si hanno scosse secondarie ('''repliche''' o ''aftershocks''), le cosiddette "scosse di assestamento", indicative di fenomeni tettonici di assestamento in corso, che determinano una '''sequenza sismica'''. il terremoto si origina in un punto all'interno della crosta detto '''ipocentro'''; la sua proiezione sulla superficie è detta '''epicentro'''. == Le onde sismiche == Le onde sismiche sono '''onde elastiche'''. In fisica un'onda elastica è un particolare tipo di onda meccanica (che si propaga cioè in un mezzo materiale) in cui le caratteristiche fisiche del mezzo sono di tipo elastico, ovvero si ha proporzionalità diretta tra la deformazione lo sforzo applicato (''legge di Hooke''). La propagazione di un'onda elastica implica una propagazione di energia, mentre non si ha trasporto di materia.<br> Un'onda può quindi essere definita come una perturbazione elastica che si propaga da punto a punto attraverso un materiale, o sulla sua superficie. Le molecole del materiale si spostano sotto l'effetto della perturbazione, ma una volta passata la perturbazione ritornano nella posizione di partenza. Non si ha quindi uno spostamento definitivo, se non nel punto di rottura in cui ha avuto origine la perturbazione (nel caso delle rocce si tratta generalmente di una faglia). Le onde sismiche naturali si dividono principalmente in due grandi categorie, in funzione di come percorrono il materiale su cui si esercita la perturbazione. Si originano nell'ipocentro ('''onde profonde'''), si propagano in tutte le direzioni come fronti d'onda sferici e quando raggiungono la superficie terrestre nell'epicentro, danno origine a '''onde superficiali'''. === Onde profonde === Sono le onde che si originano nell'ipocentro. Sono anche definite '''onde di volume''', perché si propagano in tutte le direzioni e quindi interessano un volume di roccia. Si tratta delle onde P (primarie) ed S (secondarie). * '''Onde P''' (primarie): sono le più veloci. Sono '''onde compressionali''', definibili anche come '''onde longitudinali'''. Sono simili alle onde acustiche. La loro modalità di propagazione corrisponde a successive compressioni e rarefazioni del mezzo in cui viaggiano: al loro passaggio le particelle del materiale attraversato compiono un moto oscillatorio nella direzione di propagazione dell'onda. Sono le più veloci fra le onde generate da un terremoto e, dunque, le prime che vengono avvertite da una stazione sismica, da cui il nome onde primarie. Possono propagarsi sia nei mezzi solidi che nei fluidi (entrambi dotati di resistenza alla compressione). * '''Onde S''' (secondarie): sono meno veloci delle onde P (raggiungono velocità che si aggirano solitamente intorno al 60-70% della velocità delle Onde P), quindi vengono avvertite o registrate dopo queste ultime. Si tratta di '''onde trasversali''' che provocano nel materiale attraversato oscillazioni perpendicolari alla loro direzione di propagazione. Si possono immaginare come le onde che si propagano lungo una corda di lunghezza finita, che viene fatta oscillare muovendone le due estremità. Un'importante caratteristica di queste onde è che non possono propagarsi in mezzi fluidi (che non sono dotati di rigidità e non hanno alcuna resistenza elastica a sforzi di taglio). Non è possibile dunque riscontrarle ad esempio entro il magma presente nel serbatoio magmatico di un vulcano o nel nucleo esterno della terra. Questa caratteristica è stata storicamente molto importante per gli studi geofisici riguardanti la composizione in profondità della terra. Ogni tipo di materiale (quindi anche di roccia) ha un valore di velocità (o un intervallo di valori) caratteristico per le Onde P e le Onde S. <gallery> File:Onde compression impulsion 1d 30 petit.gif|Propagazione di onde compressionali (longitudinali) piane (Onde P). File:Ondes compression 2d 20 petit.gif|Propagazione di onde compressionali sferiche (Onde P), rappresentata su una griglia bidimensionale. File:Onde cisaillement impulsion 1d 30 petit.gif|Propagazione di onde trasversali piane (Onde S). File:Ondes cisaillement 2d 20 petit.gif|Propagazione di onde trasversali sferiche (Onde S), rappresentata su una griglia bidimensionale. File:Ondes P et S 1d 30 petit.gif|Propagazione di Onde P ed S piane, originate dallo stesso evento. Nota che le Onde P all'inizio della simulazione sono molto vicine alle S e successivamente le precedono sempre più. </gallery> [[File:Pwave.png|thumb|right|verticale=2|Esempio di sismogramma derivato da un terremoto, con gli arrivi successivi dei vari tipi di onde sismiche nel tempo. Alla stazione di misura arrivano prima le Onde P, poi le Onde S e infine le onde superficiali, caratterizzate dalla maggiore ampiezza ed energia e che causano lo spostamento maggiore del suolo.]] === Onde superficiali === Quando le onde di volume intersecano una superficie che separa due mezzi con caratteristiche di densità e velocità sismica diverse, in parte vengono riflesse e in parte generano altri tipi di onde noti come '''onde superficiali''' (o '''onde di superficie''' o anche '''Onde L'''). Queste onde si propagano prevalentemente lungo la superficie di separazione tra i due mezzi, e la loro energia decade rapidamente allontanandosi dalla superficie stessa.<br> La superficie che ci interessa principalmente per quanto riguarda gli eventi sismici è ovviamente la superficie terrestre, che separa le rocce crostali dall'atmosfera. L'ampiezza e l'energia delle onde superficiali decade molto rapidamente con la profondità (secondo una legge esponenziale). Quindi i loro fronti d'onda non sono più sferici (come nel caso delle onde di volume) ma si possono considerare cilindrici (con un'altezza molto ridotta). La velocità delle onde di superficie è inferiore alla velocità delle onde di volume, per cui (specialmente se l'evento è distante) il loro arrivo è successivo all'arrivo delle Onde P ed S. D'altro canto, l'ampiezza e quindi l'energia associata, di queste onde è notevolmente maggiore di quella delle onde di volume.<br> Le onde di superficie che si generano nell' '''epicentro''' a causa dell'arrivo delle onde P ed S. Sono le onde più '''pericolose''', <u>quelle che causano la maggior parte dei danni nei terremoti</u>. Sono di due tipi: '''Onde di Rayleigh'''. Le onde di Rayleigh sono generate dall'interazione delle onde P e onde S sulla superficie della terra, e viaggiano con una velocità che è più bassa della velocità delle onde P e S. Sotto l'azione di queste onde le particelle della superficie si muovono lungo orbite ellittiche in piani normali alla superficie e paralleli alla direzione di propagazione, secondo un moto retrogrado (cioè nel verso contrario alla propagazione delle onde). Le onde di Rayleigh causano <u>movimenti sussultori</u>. '''Onde di Love'''. le Onde di Love sono onde di taglio orizzontali; la loro massima ampiezza si evidenzia in superficie e decade rapidamente con la profondità. Sono onde sismiche superficiali che causano uno <u>spostamento orizzontale</u> della terra durante un terremoto. Le onde di Love viaggiano con una velocità minore delle onde P o S, ma sono più veloci delle onde di Rayleigh. <gallery> File:Rayleigh_wave.jpg|Onde superficiali Rayleigh File:Love_wave.jpg|Onde superficiali di Love </gallery> == Le cause dei terremoti == [[File:Map of earthquakes 1900-.svg|thumb|right|verticale=1.5|Mappa globale degli eventi sismici dal 1900 al 2017. I simboli sono differenziati per ''magnitudine'' degli eventi.]] [[File:Plate tectonics map.gif|thumb|right|verticale=1.5|Mappa globale dei centri vulcanici attivi (punti in rosso). sono riportati anche i limiti delle ''placche tettoniche''.]] ===Terremoti di origine tettonica === Questi terremoti sono di gran lunga i più frequenti e intensi, e si originano nei punti della crosta terrestre ove si accumula energia meccanica. Guardando una mappa degli epicentri dei terremoti a scala globale, si vede immediatamente che i sismi non sono distribuiti uniformemente sulla superficie terrestre, ma si localizzano in fasce ristrette e allungate, nelle quali sono anche localizzati la maggior parte dei vulcani attivi. Secondo la teoria della '''tettonica delle placche''' (che verrà esaminata in dettaglio nel prossimo capitolo) queste fasce costituiscono i limiti di '''placche tettoniche''' rigide nelle quali è suddivisa la litosfera terrestre e che giacciono su un substrato più denso, viscoso e semifluido (il mantello superiore terrestre). <br> L'interazione tra le placche tettoniche, che avviene in corrispondenza dei loro margini, è all'origine della maggior parte dei terremoti. Questa interazione avviene con diverse modalità, a seconda del tipo di movimento relativo delle placche. In estrema sintesi: * '''Margini divergenti'''. Quando i margini di due placche tendono ad allontanarsi reciprocamente, muovendosi in direzioni opposte, sotto la spinta di nuova crosta che si aggiunge lungo i margini da eruzioni di magma originate direttamente del mantello. Gli sforzi in gioco sono di tipo '''distensivo''' o di '''trazione''' (da forze opposte e dirette verso l'esterno rispetto alla superficie di riferimento). Lungo questo tipo di margini si generano terremoti superficiali e a basso contenuto di energia. La "dorsale" presente nella fascia centrale dell'Oceano Atlantico (''dorsale medio-atlantica'') è un classico esempio di questo tipo di margine. * '''Margini convergenti'''. Quando due placche premono l'una contro l'altra. In questo caso, si ha generalmente l'incuneamento di una delle placche sotto l'altra e la sua consumazione all'interno del mantello. In questo caso gli sforzi sono di tipo '''compressivo''' (da forze opposte e dirette verso la superficie di riferimento). Lungo questi margini si generano terremoti a varie profondità (anche molto profondi, fino ad alcune centinaia di chilometri) e ad alto contenuto di energia. Il margine occidentale dell'America Meridionale, con la catena andina, oppure il margine costiero adriatico appenninico, sono esempi di questo tipo di interazione. * '''Margini trasformi'''. Quando le placche scorrono orizzontalmente "strisciando" l'una contro l'altra, quindi non si genera né si distrugge crosta terrestre, ma si ha deformazione lungo il margine per attrito. Il movimento può essere in direzioni opposte oppure nella stessa direzione (ma con velocità diverse). In questi casi gli sforzi sono soprattutto tangenziali ai margini, anche se localmente possiamo avere componenti compressive o distensive. In corrispondenza di questi margini si generano terremoti superficiali ma con contenuto energetico anche molto elevato. La famosa ''Faglia di S. Andrea'' che decorre nella fascia costiera della California, altamente sismica, è un margine di questo tipo. <gallery align="center" mode="packed" heights="100"> Continental-continental destructive plate boundary.svg|Schema di margine convergente (distruttivo). Continental-continental constructive plate boundary.svg|Schema di margine divergente (costruttivo). Continental-continental conservative plate boundary opposite directions.svg|Schema di margine trasforme (conservativo) con movimento in direzioni opposte. Continental-continental conservative plate boundary same direction.svg|Schema di margine trasforme (conservativo) con movimento nella stessa direzione. </gallery> [[File:fault_types.svg|thumb|160px|I tre tipi di faglie principali<br />A. trascorrente<br />B. diretta<br />C. inversa]] Come già riportato, i terremoti sono generalmente connessi all'attività di faglie (fratture della crosta terrestre con movimento relativo delle masse rocciose). Si distinguono tre tipi di faglie, a seconda della direzione di movimento relativo. * '''Faglia diretta''' (o '''faglia normale'''). In questo caso, uno dei due blocchi si porta in posizione ribassata rispetto all'altro. Generalmente in questo tipo di faglie il piano di faglia è inclinato, quindi si può distinguere il blocco sottostante il piano di faglia (''muro'') dal blocco soprastante il piano di faglia (''tetto''). In questo caso quindi il ''tetto'' scende rispetto al ''muro''. Si tratta di faglie tipiche di un regime tettonico distensivo e di margini divergenti. Queste faglie sono nella maggior parte dei casi in serie a "gradinata" (cioè ribassano gradualmente, per piani successivi, una parte di territorio rispetto ad un'altra), oppure definiscono un andamento ad "alti" strutturali (''horst'') alternati a "bassi" strutturali o fosse (''graben''). * '''Faglia inversa'''. In questo caso il "tetto" risale lungo il "muro". Sono faglie tipiche di un regime tettonico compressivo e di margini convergenti. Molto frequentemente queste faglie sono associate a pieghe tettoniche, e ne interessano, dislocandoli, i fianchi. * '''Faglia trascorrente'''. In questo tipo di faglia i margini dei due blocchi scorrono orizzontalmente. Il piano di faglia è spesso subverticale. Le faglie di questo tipo si distinguono in trascorrenti destre e trascorrenti sinistre. Il criterio di distinzione è semplice: se ponendoci da uno qualunque dei due della linea di faglia il lato opposto risulta dislocato verso destra, sarà una trascorrente destra; viceversa nel caso di una trascorrente sinistra. Queste faglie sono legate a sforzi di traslazione che agiscono sui due blocchi, e a margini trascorrenti. E' opportuno sottolineare che in realtà nella maggior parte dei casi si trovano faglie di tipo "misto" in cui prevale di volta in volta una delle tre componenti descritte. Ovvero: in una faglia trascorrente vi possono essere componenti di movimento di tipo compressivo o viceversa distensivo, o anche entrambi in diversi settori della linea di faglia (in questo caso si avrà un movimento "rotazionale" lungo il piano di faglia). O ancora: in faglie di tipo normale o inverso possono esservi componenti di traslazione (in questi casi si avrà un movimento "obliquo" del tetto rispetto al muro).<br> Inoltre, anche in un regime compressivo localmente si possono avere faglie normali, e viceversa in un regime distensivo potremmo avere localmente faglie con componente prevalentemente inversa. Per comprendere a fondo lo stile strutturale di un territorio occorrono studi molto accurati di tipo statistico basati su misure quantitative di orientazione nello spazio dei piani di faglia e dei movimenti relativi, basati sia su dati di campagna sia su dati indiretti (pozzi e prospezioni sismiche). Ricapitolando: * I margini delle placche tettoniche sono la sede della maggior parte dei terremoti. Si tratta di strutture crostali (cioè che interessano l'intero spessore della crosta terrestre), a grande e grandissima scala (decine, centinaia, migliaia di chilometri in lunghezza e ampiezza; chilometri e decine di chilometri in profondità) e che costituiscono i "confini" tra le placche stesse. I terremoti sono generati dalle modalità di movimento relativo tra le placche tettoniche (margini divergenti, convergenti o trasformi), che producono la rottura delle rocce crostali secondo varie modalità, generando diversi tipi di faglie. * Le faglie sono fratture della crosta terrestre con movimento relativo dei due lati. Sono strutture a scala da piccola e piccolissima (pochi millimetri o centimetri) a grande (fino a decine e centinaia di chilometri, in alcuni casi fino a migliaia di chilometri). Sono generate per la maggior parte dall'interazione tra le placche tettoniche lungo i margini delle stesse e costituiscono le ''sorgenti sismiche''. Si classificano a seconda del tipo di movimento (distensivo, compressivo, trascorrente) rispettivamente in normali, inverse e trascorrenti o trasformi. <gallery> File:Strike slip fault.png|Faglia trascorrente sinistra (a sinistra) e destra (a destra). File:Piqiang Fault, China detail.jpg|Faglia trascorrente sinistra (Cina). File:Kluft-photo-Carrizo-Plain-Nov-2007-Img 0327.jpg|Veduta aerea della Faglia si S. Andrea (California, USA). File:Fault3.gif|Animazione che mostra il movimento di una faglia trascorrente. E' sinistra o destra? File:Graben and half-graben.svg|Faglie normali con stile tettonico a "horst e graben" (sinistra) e a gradinata (a destra). File:Horst graben.jpg|Stile tettonico a horst e graben. File:Normal faults - Arganda del Rey, Madrid, Spain.JPG|Faglie normali antitetiche che individuano un "graben" (Spagna). File:Faultswithdragfolds.png|Faglie normale (sopra) e inversa (sotto). Sovente si ha deformazione degli strati di roccia ("uncinatura") nei dintorni del piano di scorrimento. L'uncinatura dà la direzione del movimento relativo. File:Oblique slip fault.jpg|Faglia normale con movimento obliquo dovuto a una componente traslativa. File:Faille des Causses depuis Bedarieux.dsc02071.cropped.jpg|Faglia inversa con tipica "uncinatura" degli strati nel "tetto" (traslato verso l'alto). Catalogna. File:Nojima fault top view.jpg|Faglia di Nojima (Giappone). E' una faglia inversa (compressiva), responsabile di un terremoto di elevata magnitudine nel 1995. File:Fault2.gif|Animazione. Che tipo di faglia è? File:Fault1.gif|Altra animazione: questa che faglia è? File:Faultbendfold.png|Faglia inversa a basso angolo ("sovrascorrimento"). La deformazione del "tetto" provoca il piegamento degli strati. </gallery> === Terremoti di origine vulcanica === Ove sono '''centri vulcanici attivi''', è molto frequente registrare terremoti a bassa intensità, dovuti a spostamenti delle masse di magma presenti in profondità in conseguenza di movimenti tettonici. Terremoti di megnitudine più elevata possono essere invece la conseguenza di '''attività vulcanica parossistica''' (eruttiva). Le eruzioni vulcaniche sono spesso precedute da una fitta sequenza di eventi sismici locali, la cui frequenza e intensità si accentua progressivamente prima del manifestarsi del fenomeno eruttivo. Il processo di penetrazione e risalita del magma si realizza quando la pressione magmatica diviene maggiore della resistenza opposta dalle rocce incassanti. In questo caso, il magma risale progressivamente dalla camera magmatica nel condotto vulcanico determinando un rigonfiamento della struttura vulcanica e un accumulo di tensione, con aumento dell'attività sismica mano a mano che il magma risale verso la superficie facendosi strada attraverso le rocce<ref group=N>Un condotto vulcanico durante le fasi di quiescenza non è "aperto", in parte perché intasato da lava solidificata e in parte perché collassa rapidamente una volta che viene meno la pressione del magma alla fine di una fase eruttiva, ma esiste come zona di "debolezza" (una zona intensamente fratturata) nelle rocce crostali dalla quale si può manifestare eventualmente attività fumarolica. Quando sopravviene una nuova fase eruttiva, il magma si fa strada "allargando" le fratture crostali esistenti lungo questa linea di debolezza.</ref>. La fase finale di risalita del magma è spesso quella che dà origine ai terremoti di magnitudine maggiore. I sismi indotti dall'attività magmatica in quest'ultima fase possono indurre frane e crolli locali, che talora possono coinvolgere anche intere sezioni dell'edificio vulcanico. Questo processo culmina nell'eruzione a giorno del magma. In seguito all'evento eruttivo, l'apparato vulcanico ritrova un equilibrio ad un livello di tensione inferiore. [[File:StHelen eruption sequence.svg|thumb|right|verticale=0.7|Sequenza eruttiva del M. St. Helens, che va dall'accumulo di corpi magmatici a bassa profondità, alle prime esplosioni che determinarono la frana del fianco del vulcano, all'eruzione finale che causò il flusso piroclastico successivo.]] L''''eruzione del Mount Saint Helens del 1980''' è un evento che esemplifica bene il comportamento sismico visto sopra. E' un apparato vulcanico recente, che ha cominciato a crescere nel Pleistocene (37600 anni). Esso è noto in particolare per la sua catastrofica eruzione del 18 maggio 1980, avvenuta alle 8:32 ora locale, l'evento vulcanico più mortale ed economicamente più distruttivo nella storia degli Stati Uniti. Questo vulcano si trova nella parte nord-occidentale degli Stati Uniti, nello Stato di Washington, e fa parte della Catena delle Cascate (Cascade Range). Si tratta di uno strato-vulcano che alterna ad intense fasi eruttive periodi di quiescenza variabili da alcune centinaia di anni a circa 5000 anni. Nel marzo del 1980, a 180 anni dall'ultima eruzione iniziò a dare segni di risveglio. Dal 20 marzo di quell'anno si susseguirono scosse sismiche con frequenza crescente, fino al 27-29 marzo, in cui si ebbero le prime eruzioni esplosive di tipo freato-magmatico (con fuoriuscita di colonne di vapore) e creazione di due nuovi crateri sommitali, poi confluiti in un cratere unico. In questa fase il picco della frequenza dei terremoti era leggermente antecedente alla prima fase eruttiva, mentre il rilascio di energia ebbe il suo massimo alcuni giorni dopo.<br> In seguito, la frequenza delle scosse decrebbe, ma l'energia sprigionata rimase alta, per culminare con l'eruzione catastrofica del 18 maggio, alla quale fece seguito una rapida tendenza quiescente. L'apparente diminuzione di frequenza dei sismi in questa fase corrispondeva in realtà ad un accumulo di energia sul fianco nord dell'apparato vulcanico, dove si stava formando un rigonfiamento fino a oltre un centinaio di metri per la pressione del magma, giunto a bassa profondità. Il 16 maggio le eruzioni, che si erano susseguite fino ad allora con continuità, cessarono di manifestarsi. Il 18 maggio, la pressione del magma accumulatosi entro il fianco nord del vulcano si liberò improvvisamente. Alle 8:32 del mattino un terremoto di magnitudo 5.1 scosse la base del fianco nord, che iniziò a scivolare in basso in una enorme frana ad una velocità compresa tra 175 e 250 Km/ora, dando luogo ad un accumulo di detriti di circa 27 Km di lunghezza e 47 m di spessore medio. La frana fu seguita immediatamente da un flusso piroclastico causato dall'eruzione vera e propria. Nell'eruzione morirono 57 persone rimaste nelle vicinanze del vulcano. Migliaia di alberi furono abbattuti dall'onda d'urto, dalla frana e dal flusso piroclastico che seguiva e morirono migliaia di animali. <gallery align="center" mode="packed" heights="130"> File:Mount St. Helens, one day before the devastating eruption.jpg|Il M. St. Helens il giorno prima dell'eruzione catastrofica del 18 maggio 1980. File:MSH80 Seismographic Activity March 1980.png|Attività sismica (frequenza dei terremoti) registrata nel mese di marzo 1980 sul M. St. Helens. File:MSH80 Diagram earthquakes April 20th to Mai 18th.gif|Diagramma dei terremoti di intensità superiore a 2.5 gradi di magnitudine della scala Richter (linea in nero) e della produzione giornaliera di energia (istogramma pieno) nel periodo da marzo a maggio 1980. File:MSH80 st helens from johnston ridge 09-10-80.jpg|Il M. St. Helens dopo l'eruzione. Visibile il collasso del fianco nord e l'accumulo di frana. </gallery> Le scosse sismiche possono essere considerate come eventi precursori di fenomeni eruttivi, e nelle aree con attività vulcanica sono attentamente monitorate insieme ad altri parametri potenzialmente indicativi (deformazioni del suolo, variazioni della temperatura, del chimismo delle emissioni gassose, variazioni gravimetriche). E' opportuno però sottolineare che le eruzioni non sono necessariamente precedute da eventi sismici significativi (dipende da molti fattori, come la tipologia e il chimismo dell'attività vulcanica e l'attività tettonica correlata), e che va considerato il quadro d'insieme dei parametri per una previsione attendibile. Inoltre, non è ancora possibile sostanzialmente determinare con precisione il momento di un evento eruttivo. La previsione per questo tipo di eventi è ''probabilistica'', e le ricerche in questo campo sono volte a fornire elementi per la rilevazione precoce della ''probabilità'' di eruzione. Questo approccio prevede la definizione di fasce di territorio a rischio crescente e di diversi gradi di allertamento, fino all'eventuale sgombero della popolazione. === Terremoti di origine gravitativa (crollo) === Frane (soprattutto frane di crollo), se di notevole entità, possono dare origine a sismi avvertibili. La frana del Monte Toc, che il 9 ottobre 1963 causò il disastro del Vajont (Val Piave, Veneto) diede origine ad un evento sismico che venne registrato da diversi sismografi nel nord Italia. Scosse furono avvertite anche nei mesi precedenti il disastro, causate dal movimento della massa di roccia. Eventi simili possono anche essere la conseguenza di crolli di cavità sotterranee (grotte naturali o anche gallerie e vani sotterranei artificiali). Questi terremoti sono molto superficiali, localizzati e di bassa magnitudine.<br> In questo caso, le scosse sismiche possono essere considerate potenzialmente come eventi precursori del fenomeno franoso, e la loro rilevazione fa parte del monitoraggio della stabilità dei versanti e dei corpi di frana. === Terremoti di origine artificiale === Vi possono essere anche terremoti attribuibili a cause artificiali. Le esplosioni dovute a test nucleari (sia in atmosfera che sotterranee) danno origine ad eventi sismici potenzialmente riconoscibili in base alle caratteristiche del loro segnale; i criteri distintivi rispetto a terremoti naturali sono studiati allo scopo di rilevare eventuali violazioni dei trattati internazionali attualmente in vigore sugli esperimenti nucleari, o test condotti da paesi non aderenti (oppure da compagini di natura terroristica).<br> Molto più comuni sono le esplosioni eseguite scopi minerari (in cave o miniere) o per l'escavazione di gallerie artificiali, o ancora per l'esecuzione di prospezioni sismiche di sottosuolo a scopo di ricerca o per l'industria estrattiva degli idrocarburi (per quest'ultimo scopo però negli ultimi decenni si tende ad evitare l'uso di esplosivi e ad utilizzare "''vibroseis''": grandi vibratori a piastra montati su autocarri). In tutti questi casi si producono generalmente scosse sismiche indotte lievi, il più delle volte avvertibili come leggere vibrazioni del suolo (a meno che non si sia molto vicini alla sorgente dell'energia sismica, ovvero all'esplosione o al dispositivo vibrante).<br> La coltivazione di alcuni tipi di giacimenti di idrocarburi (in rocce a bassa permeabilità) richiede la fratturazione delle rocce serbatoio che contengono il petrolio o il gas allo scopo di incrementarne la permeabilità per ottenere una produzione sufficientemente economica. La fratturazione delle rocce avviene per iniezione di fluidi ad alta pressione (fratturazione idraulica). Questa attività può indurre terremoti di lieve entità (microsismi), la cui magnitudine aumenta quanto più il giacimento è superficiale, e che in alcuni casi sono avvertibili dalla popolazione. == Strumenti per registrare i terremoti == [[File:Kinemetrics seismograph.jpg|left|thumb|313x313px]] Per comprendere le caratteristiche di un terremoto gli scienziati registrano le oscillazioni delle onde sismiche utilizzando uno strumento chiamato '''sismografo'''. Un sismografo (in greco σεισμος - ''seismós'', 'vibrazione' e γράφω - ''grapho'' 'scrivo') è un dispositivo utilizzato in sismologia che può registrare le vibrazioni del suolo. Fondamentalmente consiste in una massa montata su una sospensione a molla. Il movimento del terreno viene trasferito all'alloggiamento dello strumento, mentre la massa rimane a riposo a causa della sua inerzia. Quindi viene registrato il ''movimento relativo'' del suolo. Le oscillazioni vengono registrate da un pennino su un rullo di carta rotante, permettendo quindi la registrazione del fenomeno nel tempo. Inizialmente (1875-1904), questi dispositivi erano puramente meccanici. Successivamente, sono entrati in servizio dispositivi elettromagnetici nei quali il sensore è costituito da una bobina resa solidale al pendolo e immersa nel campo di un magnete permanente. Attualmente i sismografi elettromagnetici si sono ulteriormente evoluti con l'applicazione dei computer, potendo così registrare i dati in forma digitale. Questo offre la possibilità di amplificare il segnale sismico e di applicare ai segnali rilevati filtraggi che permettono di eliminare le interferenze dovute ai fenomeni locali (traffico e altre attività dell'uomo) o alle caratteristiche del sistema di rilevamento (risonanza del pendolo). Il tracciato registrato si chiama '''sismogramma''' e la sua analisi permette di calcolare '''distanza e direzione dell'epicentro''' e l' '''energia''' sprigionata dal terremoto. I dispositivi meccanici in origine erano sensibili solo alla componente verticale di movimento del suolo. Nei dispositivi moderni è possibile registrare le componenti del segnale sismico nelle tre direzioni ortogonali (''x, y, z'', ovvero ''N-S'', ''E-W'' e ''verticale'') dello spazio, con maggiore affidabilità e precisione nell'individuazione della posizione degli epicentri e degli ipocentri. <gallery> Sismografo.svg|Schema descrittivo di un sismografo. Il dispositivo è sensibile alla componente verticale di un terremoto. File:Seismographs.jpg|Schema descrittivo di un sismografo. In questo caso si tratta di un dispositivo sensibile alle componenti orizzontali di una scossa sismica. File:Sisma_three_components.jpg|Esempio di sismogramma a tre componenti (N-S, E-W e verticale). Ondas sísmicas s p.svg|Schema di un sismogramma. Sono riportate le Onde P e le Onde S. Le onde superficiali in questo caso seguono immediatamente le S (sono contraddistinte da un aumento di ampiezza). File:Seismograph Pinatubo.jpg| Esempio reale di sismogramma di una scossa tellurica di origine vulcanica (Vulcano Pinatubo, Filippine). File:Seismogram at Weston Observatory.JPG|Altro esempio reale di sismogramma. </gallery> [[File:Epicenter location.png|thumb|right|verticale=3|Shema che illustra la procedura di determinazione della posizione dell'epicentro di un sisma in base agli intervalli tra i tempi di arrivo delle Onde P ed S.]] L''''ubicazione del punto d'origine di un terremoto''' (epicentro e ipocentro) viene determinata utilizzando i '''tempi di arrivo delle Onde P e delle Onde S''' alle stazioni di misurazione. Come abbiamo visto, le Onde P sono sensibilmente più veloci delle Onde S. In un punto molto prossimo all'origine del sisma la '''differenza tra i due arrivi (Δt)''' sarà minima, mentre allontanandosi dalla sorgente del terremoto le Onde S avranno un ritardo sempre più ampio. Osservando in ogni stazione sismografica le differenze di tempo tra gli arrivi è possibile calcolare la distanza dalla sorgente delle onde. Per fare ciò è necessario conoscere la '''velocità''' sia delle Onde P che delle Onde S, e quindi le relazioni che legano i rispettivi tempi di propagazione e le distanze a partire dal punto di origine del terremoto. Queste relazioni possono essere espresse come curve (''dromocrone'') su diagrammi in cui sull'asse delle ascisse (x) è riportata la distanza dall'epicentro (in Km) e sull'asse delle ordinate (y) sono riportati i tempi di transito delle onde sismiche (in minuti o secondi). Queste relazioni sono costruite sulla base delle osservazioni delle stazioni sismografiche nel corso degli anni. Da alcuni decenni a questa parte non si utilizzano più tabelle e grafici cartacei per la determinazione di epicentri e ipocentri ma algoritmi dedicati su computer. Le onde superficiali non sono utilizzabili per la localizzazione delle sorgenti sismiche, perché non possono essere calcolate relazioni tempi-distanze generalizzabili a causa delle variazioni laterali nella struttura della crosta e del mantello terrestre, che rendono eccessivamente variabili i parametri di questo tipo di onde. I "segmenti" (Δt_1-3) che esprimono le differenze tra i tempi di arrivo delle Onde S e delle Onde P alle varie stazioni (S_1-3) vengono riportati nel diagramma in modo che si inseriscano correttamente tra le curve di velocità dei due tipi di onde. La posizione dei segmenti, riportata sull'asse delle ascisse, permette quindi di leggere le distanze delle stazioni (d_1-3) dall'epicentro. E' possibile in tal modo calcolare anche l’orario effettivo di inizio del terremoto leggendo sul medesimo diagramma, in corrispondenza della distanza trovata, il tempo di tragitto dell’onda P e sottraendolo all’istante di tempo in cui la fase P è giunta al sismografo: il tempo che così si ottiene è l’orario cercato. Per determinare la posizione del punto di origine delle onde sismiche non bastano le osservazioni di una sola stazione, perché con un singolo sismogramma si ha la distanza della stazione dal punto stesso ma non la sua direzione, quindi quello che si ottiene in realtà è un raggio che definisce il perimetro lungo il quale si trova l'epicentro. Per ottenere la posizione dell'epicentro occorre quindi "incrociare" le osservazioni di diverse stazioni sismografiche (almeno tre). Ovviamente, più stazioni si incrociano più è accurata la determinazione dell'epicentro. La procedura descritta per la determinazione della distanza epicentrale è utilizzabile solo se la distanza tra epicentro e stazione sismografica, misurata sulla superficie curva terrestre, è minore di circa 11.000 km (corrispondenti a un angolo intorno ai 100°). Questo perché, come visto precedentemente, le Onde S non riescono ad attraversare la parte esterna liquida del nucleo terrestre mentre le Onde P, non essendo assorbite, possono raggiungere qualsiasi punto. Per quanto riguarda gli ipocentri, la determinazione della posizione è più difficile e presenta maggiori incertezze, perché la relazione tra tempi e profondità varia in misura maggiore con la profondità stessa, e anche perché vi sono spesso variazioni laterali nella natura delle rocce che determinano cambiamenti di velocità delle onde sismiche. Per questo occorrono le osservazioni di più stazioni, anche distanti, per arrivare ad una localizzazione affidabile. == Scale sismiche == Fin dai primordi della sismologia si è tentato di misurare nella maniera più oggettiva possibile l'"entità" degli eventi sismici, tramite '''scale sismiche'''. Queste ultime sono di due tipi: le scale di '''intensità sismica''' e le scale di '''magnitudo sismica'''. === Scale di intensità === [[File:Fabbrrurale.JPG|left|thumb|Il terremoto in Emilia del 2012 arrivò all'VIII grado MCS]] Il concetto di '''intensità''' rappresenta la valutazione degli effetti di un terremoto secondo una scala convenzionale in cui a ogni grado si fa corrispondere un determinato '''grado di severità degli effetti'''. Ovviamente questo tipo di valutazione era la sola possibile per la misura dei terremoti prima della diffusione capillare dei sismografi. La prima di queste queste scale ad essere ufficializzata in un accordo internazionale e ad entrare diffusamente nell'uso come mezzo di scambio di informazioni scientifiche e tecniche è la '''scala De Rossi-Forel''' (1883), che definiva gli eventi sismici su una scala di 10 gradi: da "microsismometrica" (grado I) fino a origine di "gravi disastri, ruine, vittime, frane di terreni, fenditure nel suolo, scoscendimenti di montagne" (grado X). Questa scala restò ampiamente in uso per un ventennio circa, fino all'introduzione nel 1902 da parte di '''Giuseppe Mercalli''' (1850-1914) della scala omonima, inizialmente anch'essa organizzata in 10 gradi, che fu accettata nello stesso anno dalla Direzione dell’Ufficio Centrale di Meteorologia e Geodinamica di Roma e divenne così la scala di riferimento per la valutazione dell’intensità dei terremoti in Italia. Successivamente, la scala venne portata a 12 gradi (XI: catastrofe; XII: grande catastrofe) in seguito al disastroso terremoto di Messina del 1908, per avere una descrizione più dettagliata degli effetti nell'intervallo di intensità maggiore. La scala così definita ebbe un rapido successo internazionale. Dopo vari sviluppi, affinandosi sempre più l'osservazione dei terremoti e diffondendosi sempre più l'uso dei sismografi, dagli studi dell'italiano Adolfo Cancani e del tedesco August Sieberg venne pubblicata (Sieberg, 1923; 1930) la '''scala Mercalli-Cancani-Sieberg (MCS)'''. Questa scala, strutturata in 12 gradi, teneva conto delle caratteristiche di ''vulnerabilità'' degli edifici, e si rivelò basilare per tutti i successivi sviluppi. Ancora oggi é largamente usata in Europa. Negli Stati Uniti viene invece più frequentemente usata la '''Scala Mercalli Modificata (MM)''' (1931; 1956), così denominata perché derivata sempre dalla Mercalli e adattata alla situazione americana. Diamo come esempio la '''scala macrosismica MCS''' (Mercalli-Cancani-Sieberg) che, come già accennato, misura l'intensità di un sisma basandosi sugli '''effetti''' che esso provoca. In particolare si basa sulle percezioni dell'essere umano e sui danni ai manufatti antropici (edifici e infrastrutture). Per questo motivo è in parte soggettiva, cioè non si basa (almeno nell'accezione originale) su misure strumentali. E' strutturata in 12 gradi, i primi si basano principalmente sulla percezione delle persone, gli altri soprattutto sui danni a edifici e infrastrutture e i più elevati anche su modificazioni dell'ambiente causate dal sisma. Il grado più basso della scala MCS viene attribuito a una scossa rilevabile solamente con strumentazione geofisica, salendo nella scala sono introdotte le osservazioni sulla percezione umana della scossa e quindi quelle sui manufatti più comuni nelle aree abitate e, a partire dal VI grado, dai danni alle abitazioni fino ad arrivare al grado XII indicativo di distruzione totale. Di seguito, si riporta la formulazione originale (Sieberg, 1930), semplificata. {| class="wikitable" !Grado!!Sisma!!Descrizione |- !style="text-align:left"|I |impercettibile||rilevato solo dai sismografi. |- !style="background:#d7e0ff; color: #000;text-align:left"|II |molto lieve||avvertito quasi esclusivamente agli ultimi piani delle case, da persone particolarmente sensibili che si trovino in assoluta quiete. |- !style="background:#a7e0ff; color: #000;text-align:left"|III |lieve||anche in zone densamente abitate viene avvertito da poche persone all’interno delle case con vibrazioni simili a quelle prodotte dal passaggio di un mezzo pesante. Da alcuni viene identificato come scossa sismica solo dopo scambi di impressioni con altri. |- !style="background:#80fff6; color: #000;text-align:left"|IV |moderato||All’aperto è percepito da pochi. Nelle case è notato da numerose persone ma non da tutti, a seguito del tremore o di oscillazioni leggere di mobili e stoviglie. I vetri delle finestre tintinnano. In recipienti aperti, i liquidi vengono leggermente mossi. Persone sedute o sdraiate possono avvertire l'oscillazione della sedia o del letto. In rari casi i dormienti si svegliano. |- !style="background:#7fff8f; color: #000;text-align:left"|V |abbastanza forte||Il sisma viene percepito da numerose persone. In ambiente chiuso si avverte lo scuotimento dell’intero edificio. Piante e piccoli rami di cespugli ed alberi si muovono visibilmente, come se ci fosse un vento moderato. Oggetti pendenti come lampade, tendaggi, lampadari non troppo pesanti entrano in oscillazione. Gli orologi a pendolo si fermano o cambiano periodo di oscillazione. L'elettricità può mancare. I quadri urtano contro le pareti oppure si spostano; da recipienti pieni vengono versate piccole quantità di liquido; oggetti possono cadere; mobili rintronano; porte ed imposte sbattono; vetri delle finestre si possono infrangere. Quasi tutti i dormienti si svegliano. Sporadici gruppi di persone fuggono all’aperto. |- !style="background:#fffa00; color: #000;text-align:left"|VI |forte||Il terremoto viene notato da tutti, molti fuggono all’aperto, alcuni hanno la sensazione d’instabilità. Liquidi si muovono fortemente; quadri, libri e oggetti cadono dalle pareti e dagli scaffali; porcellane si frantumano; suppellettili e mobili vengono spostati o rovesciati; piccole campane in cappelle e chiese, e orologi di campanili battono. Case isolate, solidamente costruite subiscono danni leggeri; spaccature all’intonaco, caduta di controsoffitti. Danni più ingenti, ma non ancora pericolosi, si hanno sugli edifici scadenti. Qualche tegola e pietra di comignolo cade. |- !style="background:#ffc400; color: #000;text-align:left"|VII |molto forte||Notevoli danni vengono provocati ad oggetti di arredamento anche di grande peso. Grandi campane rintoccano. Corsi d’acqua, stagni e laghi si agitano e s’intorbidiscono a causa del sedimento smosso. Piccoli franamenti di sponda. Variazioni di portata delle sorgenti. Danni moderati a numerosi edifici costruiti solidamente: piccole crepe nei muri; cadute di intonaco, a volte anche di mattoni. Caduta generale di tegole. Molti comignoli vengono lesi da incrinature. Comignoli già danneggiati crollano. Da torri e costruzioni alte possono cadere elementi decorativi mal fissati. In casi isolati distruzione di edifici di costruzione scadente. |- !style="background:#ff8600; color: #000;text-align:left"|VIII |rovinoso||Rami d’albero si rompono e si staccano. Anche i mobili più pesanti vengono spostati sensibilmente e a volte rovesciati. Statue, monumenti in chiese, in cimiteri e parchi pubblici, ruotano sul proprio piedistallo oppure si rovesciano. Muri di cinta in pietra, anche di solida costruzione, crollano. Circa 1/4 degli edifici è gravemente lesionato, alcune crollano, molti diventano inabitabili. Spesso campanili di chiese e ciminiere di fabbriche con la loro caduta causano danni agli edifici vicini. In pendii e terreni umidi si formano crepe. In terreni bagnati si ha l’espulsione di sabbia e di fango (fenomeni di liquefazione). Si possono avere vittime. |- !style="background:#fe0000; color: #000;text-align:left"|IX |distruttivo||Circa la metà degli edifici sono distrutti; molti crollano; la maggior parte diviene inabitabile. Numerose vittime. |- !style="background:#c80000; color: #000;text-align:left"|X |completamente distruttivo||Distruzione di circa 3/4 degli edifici, la maggior parte crolla. Anche costruzioni solide di legno e ponti subiscono gravi lesioni, alcuni vengono distrutti. Argini e dighe sono danneggiati, binari leggermente piegati e rottura di tubature. Nelle strade lastricate e asfaltate si formano crepe e ondulazioni. In terreni meno densi e più umidi si creano fessure fino alla larghezza di più decimetri. Diffusi fenomeni franosi. Le sorgenti subiscono frequenti cambiamenti di portata. Fuoriuscita d'acqua da sponde di fiumi, canali e laghi. |- !style="background:#800; color: #000;text-align:left;color:white"|XI |catastrofico||Crollo di tutti gli edifici in muratura, resistono soltanto costruzioni di legno leggere e le costruzioni ad incastro di grande elasticità. Anche i ponti meglio costruiti crollano a causa della caduta dei pilastri in pietra o muratura o del cedimento di quelli in ferro. Binari si piegano fortemente e si spezzano. Rottura di tubature interrate. Si manifestano mutamenti nella topografia del territorio; si aprono grandi crepe e spaccature; frane di grandi proporzioni. |- !style="background:#400; color: #000;text-align:left;color:white"|XII |totalmente catastrofico||Distruzione totale delle opere antropiche. Sconvolgimento della topografia del territorio. Frane imponenti. Frequenti grandi fratture aperte. Deviazione di corsi d'acqua, sia superficiali che sotterranei, formazione di cascate, scomparsa di laghi. |} La maggior parte di questi criteri (soprattutto riferiti alla percezione umana e all'ambiente naturale) sono ancora validi. Da notare però che gli effetti sono riferiti a edifici e strutture non costruiti con criteri specifici antisismici. Inoltre, in epoche storiche gli edifici ordinari (quelli per lo più ad uso abitativo) avevano caratteristiche molto simili tra loro, erano riconducibili a poche tipologie, tipicamente con struttura muraria, e potevano essere considerati "strumenti" di misura dei terremoti tarati all’incirca allo stesso modo. Gli effetti riferiti all'ambiente urbano possono ancora essere validi nei centri storici, ma per esempio gli orologi a pendolo meccanici non sono più diffusi, in edifici moderni i vetri degli infissi sono fissati più saldamente che non nel XIX e primo XX secolo, le ciminiere di mattoni non fanno più parte del panorama urbano (sono ormai elementi di archeologia industriale). E' anche più comune sentire le sirene dei sistemi antifurto che si attivano per un sisma piuttosto che le campane suonare da sole. Soprattutto, nello sviluppo urbano gli edifici in calcestruzzo armato hanno sostituito quelli in pietra o muratura, e in questi casi gli elementi da considerare sono la qualità del materiale utilizzato, la progettazione (criteri antisismici) e la manutenzione. Un ulteriore affinamento della scala Mercalli è la '''scala MSK 64''' (Medvedev-Sponheur-Karnik, 1964), fondata sulla valutazione degli effetti:<br> a) sulle persone e sull'ambiente biologico<br> b) sulle strutture<br> c) sull'ambiente naturale<br> Le strutture a loro volta vengono classificate in tre tipi corrispondenti a diverse tecniche costruttive (edifici di pietra a secco non squadrata o di argilla; edifici in mattoni ordinari o in pietre squadrate; edifici in cemento armato o in legno a incastro) e infine le conseguenze del sisma sulle strutture in cinque livelli (dal danno lieve, come la fessurazione dell'intonaco, fino al collasso totale). Inoltre si dà una definizione dei termini di valutazione quantitativa: "pochi" (5%), "molti" (50%) e "la maggior parte" (75%). Questa scala è usata principalmente nell'Europa dell'est (ex URSS ed ex paesi satelliti). La necessità di aggiornare i criteri di valutazione dell'intensità della scala Mercalli MCS e l'esperienza della MKS 64 hanno portato nell'ambito dell'Unione Europea allo sviluppo, a partire dalla fine del secolo scorso, di una serie di linee guida che hanno portato alla definizione della nuova '''Scala Macrosismica Europea 1998'''. Questa scala, basata sempre sulla Mercalli MCS, risponde a diverse esigenze di aggiornamento: soprattutto alla necessità di '''includere edifici di tipo moderno''', anche costruiti con '''criteri antisismici''', non contemplati nelle versioni precedenti; di semplificazione e chiarezza di linguaggio, con inclusione di terminologia e criteri ingegneristici (e non solo sismologici), per una maggiore obiettività delle definizioni; infine anche con una revisione critica degli effetti macrosismici visibili sull'ambiente. Nella valutazione degli effetti sismici viene introdotto il concetto di '''vulnerabilità sismica''' degli edifici e delle strutture, con varie classi di vulnerabilità definite per quattro tipi di strutture: * muratura * cemento armato * acciaio * legno Per gli edifici in muratura e cemento vengono distinti diversi livelli di vulnerabilità per edifici da privi di progettazione antisismica (PA) ad alto livello di PA. Per queste due categorie inoltre il danno viene classificato in cinque gradi: da 1 - danno da trascurabile a leggero (danno non strutturale), a 5 - distruzione (danno strutturale molto grave). la descrizione dei danni è espressa in termini ingegneristici, con terminologia appropriata, ad esempio, per le caratteristiche costruttive specifiche degli edifici in cemento armato (danni a carico dei pilastri portanti, dell'armatura...). Inoltre, la definizione della quantità di strutture danneggiate viene fissata quantitativamente, dando al contempo intervalli di tolleranza: * pochi (da 0, con limite superiore tra il 10% e il 20% circa) * molti (limite superiore tra il 50% e il 60% circa) * la maggior parte (fino al 100%) Ecco di seguito la forma sintetica della '''Scala Macrosismica Europea'''. {| class="wikitable" !Grado!!Sisma!!Descrizione |- !style="text-align:left"|I |impercettibile||Non avvertito. |- !style="background:#d7e0ff; color: #000;text-align:left"|II |Appena avvertito||Avvertito solo da poche persone in stato di riposo al chiuso. |- !style="background:#a7e0ff; color: #000;text-align:left"|III |Debole||Avvertito da alcune persone in casa. Persone a riposo avvertono una oscillazione o un leggero tremore. |- !style="background:#80fff6; color: #000;text-align:left"|IV |Ampiamente osservato||Avvertito all’interno da molta gente, da pochissimi all’esterno. Alcune persone si svegliano. Finestre, porte e piatti sbattono. |- !style="background:#7fff8f; color: #000;text-align:left"|V |Forte||Avvertito all’interno dalla maggior parte delle persone, all’esterno da pochi. Molte persone che dormivano si svegliano. Alcuni si spaventano. Gli edifici tremano nel loro complesso. Oggetti appesi oscillano notevolmente. Piccoli oggetti vengono spostati. Porte e finestre si spalancano o si chiudono. |- !style="background:#fffa00; color: #000;text-align:left"|VI |Danni lievi||Molte persone si spaventano e corrono all’aperto. Alcuni oggetti cadono. Molti edifici subiscono leggeri danni non strutturali come sottilissime fessure capillari e caduta di piccoli pezzi di intonaco. |- !style="background:#ffc400; color: #000;text-align:left"|VII |Danni diffusi||La maggior parte delle persone si spaventano e corrono fuori. I mobili si spostano e gli oggetti cadono dalle mensole in grande numero. Molti edifici ben costruiti subiscono danni moderati: piccole crepe nei muri, caduta di intonaco, caduta di parti di camini; gli edifici più vecchi possono mostrare grandi crepe nei muri e cedimento dei tramezzi. |- !style="background:#ff8600; color: #000;text-align:left"|VIII |Danni gravi||Molte persone hanno difficoltà a stare in piedi. Molti edifici presentano grandi fenditure nei muri. Alcuni edifici ben costruiti mostrano cedimenti gravi dei muri, mentre strutture deboli e più vecchie possono crollare. |- !style="background:#fe0000; color: #000;text-align:left"|IX |Distruttivo||Panico generale. Molte costruzioni deboli crollano. Anche edifici ben costruiti mostrano danni molto gravi: gravi lesioni dei muri e parziali cedimenti strutturali. |- !style="background:#c80000; color: #000;text-align:left"|X |Molto distruttivo||Molti edifici ben costruiti crollano. |- !style="background:#800; color: #000;text-align:left;color:white"|XI |Devastante||La maggior parte degli edifici ben costruiti crollano; anche alcuni con un buon livello di progettazione antisismica vengono distrutti. |- !style="background:#400; color: #000;text-align:left;color:white"|XII |Completamente devastante||Quasi tutti gli edifici vengono distrutti. |} Confrontando quest'ultima scala con la Mercalli MCS si nota che a partire dal grado VI la definizione è basata sui danni (e non su aggettivi di natura piuttosto soggettiva come "abbastanza forte", "rovinoso" etc.), e che la descrizione opera una distinzione tra lesioni e cedimenti strutturali. L'elemento più evidente è però la completa rimozione dalla descrizione dei criteri diagnostici riferiti all'ambiente. Questo per la loro difficoltà di utilizzo: infatti la maggior parte degli effetti sull'ambiente si osservano in un intervallo di intensità piuttosto ampio, e inoltre dipendono largamente da fattori molto locali (ad esempio l'instabilità di un pendio) o addirittura stagionali e climatici (ad esempio il livello della falda acquifera), che sono difficili da cogliere per l'osservatore senza una analisi dettagliata, e sono difficilmente categorizzabili. Viene comunque suggerito un uso limitato di tali effetti come ad esempio la variazione del livello dell’acqua nei pozzi, le crepe nel terreno, le frane o la caduta di massi, da utilizzarsi come elementi a supporto per la determinazione del grado. [[File:RogersCrkNorthHayward.gif|thumb|right|verticale=1.6|Carta isosismica dell'area di Rodgers Creek (Golfo della California), lungo la Faglia di S. Andrea. L'intensità sismica è espressa mediante colori utilizzando la scala Mercalli Modificata (MM). Sono riportati i gradi dal V al XII (rilevanti dal punto di vista della pericolosità). La mappa fornisce uno scenario degli effetti di un ipotetico terremoto di magnitudine 7.1, ed è costruita in base alle osservazioni statistiche degli eventi sismici dell'area.]] Valutando la '''distribuzione dell'intensità sismica sul territorio''' si possono compilare '''carte isosismiche''', in cui i punti ad uguale intensità (grado) sono collegati, appunto, da curve dette '''isosisme'''. Si tratta di una serie di linee chiuse che delimitano aree con effetti sismici simili con gradazione crescente dalla periferia alla zona centrale, nella quale generalmente è contenuto l'epicentro del sisma. L'andamento delle isosisme è spesso irregolare, poiché gli effetti di un terremoto variano anche in misura notevole da una parte all'altra di un determinato territorio in conseguenza di fattori molteplici, non solo connessi all'energia messa in gioco dal terremoto stesso. I più importanti sono: * la struttura geologica del territorio: l'orografia (pianura, collina, montagna), la tipologia di rocce e terreni, la stabilità dei versanti. Infatti, il tipo di roccia e la morfologia del territorio hanno un ruolo primario nel "guidare" la propagazione delle onde sismiche, poiché il sottosuolo non è un mezzo omogeneo ma è costituito dal succedersi formazioni rocciose e terreni con caratteristiche diverse, sia verticalmente che orizzontalmente. La presenza di discontinuità dovute alle variazioni litologiche può quindi alterare la propagazione dei fronti d'onda con effetti di riflessione e rifrazione, cambiandone la direzione, la velocità e l'ampiezza e quindi influendo sugli effetti (attenuandoli o incrementandoli). Inoltre la presenza di elementi di instabilità pregressi (paleofrane, terreni soggetti a liquefazione) può esaltare localmente gli effetti sismici. * i fattori antropici, come la destinazione d'uso del territorio (residenziale, industriale o agricolo), la densità abitativa, la tipologia e la qualità delle costruzioni, come già visto hanno un'importanza primaria nella valutazione degli effetti. Le carte delle isosisme sono quindi molto utili per la compilazione di '''carte del rischio sismico''' di un territorio. Inoltre possono dare importanti informazioni sulla struttura del sottosuolo (presenza di formazioni che propagano in diversa misura le onde sismiche) e sulla presenza di strutture tettoniche attive (faglie). E' importante sottolineare che, considerata la notevole dipendenza dell'andamento delle isosisme dallo scenario locale, questo metodo va sempre abbinato ad altre metodologie di zonazione sismica, basate su dati più oggettivi e misurazioni quantitative. <gallery> File:Seismic intensity map for the 1884 earthquake by Taramelli and Mercalli (1886).jpg| Mappa isosismica storica redatta da G. Mercalli e T. Taramelli (1886) di un terremoto avvenuto in Andalusia nel 1884). File:1968 Illinois earthquake.svg|Mappa isosismica di un terremoto avvenuto in Illinois (USA) nel 1968 (scala Mercalli MM). File:Isoseismal map of the 1946 Chatkal, Kyrgyzstan earthquake (M7.6).png|Mappa isosismica del disastroso terremoto di Chatkal (Kirghizistan) del 1946, arrivato al X grado (Mercalli MCS). La magnitudine massima corrisponde a 7.6 (M_W). La causa del sisma fu una dislocazione lungo un'importante faglia trascorrente regionale. </gallery> === Scale di magnitudo === Come abbiamo visto, le scale di intensità presentano uno svantaggio evidente: sono definite soprattutto in base a percezioni umane e ad effetti sulle strutture. Quindi, oltre ad un certo grado di soggettività, vi è anche un problema di dipendenza da fattori locali, quali ad esempio la densità abitativa (in un deserto, ad esempio, sarebbe difficile se non impossibile definire il grado di intensità sismica vista l'assenza di popolazione e di strutture). Inoltre, l'intensità così definita non ha relazioni univoche con l'energia effettivamente sprigionata dal sisma, perché ad un determinato livello di energia originato nell'ipocentro possono corrispondere sul territorio diversi gradi di intensità a seconda dello scenario locale (diverso assetto geologico, diversa tipologia di costruzioni, diversa densità abitativa). Allo scopo di svincolare la misura dell'entità di un sisma dagli effetti materiali e dalla soggettività e di ottenere una misurazione rigorosa e il più possibile oggettiva, si utilizza quindi una '''scala di magnitudo''', che si basa sulla misurazione della quantità di '''energia liberata da un terremoto''' relazionandola con l''''ampiezza delle oscillazioni''' provocate dalle onde sismiche. Questa scala fu proposta da '''Charles Francis Richter''' (1935), uno studioso che lavorava a Pasadena (California) per il Carnegie Institute, partendo da un'evidenza sperimentale. Richter osservò che riportando le massime ampiezze registrate da un sismografo standard<ref group=N>Sismometro a torsione orizzontale Wood-Anderson (periodo 0.8 s).</ref> su un diagramma semilogaritmico in funzione della distanza epicentrale, i dati si allineavano lungo una retta e che le rette relative a terremoti diversi avevano lo stesso coefficiente angolare negativo. Questo vuol dire che l'ampiezza massima del movimento del suolo è una funzione decrescente (di tipo esponenziale) della distanza epicentrale (intuitivamente: maggiore è la distanza della stazione di misura dall'epicentro, minore è l'ampiezza del movimento del terreno). La conseguenza più interessante però è che, essendo le ampiezze degli eventi sismici in rapporto costante, è possibile determinare l’intensità di un terremoto in funzione di un altro che viene preso come riferimento per la misura. Richter stabilì come terremoto di riferimento, attribuendogli convenzionalmente il valore di magnitudo zero, quello che a 100 km di distanza dall'epicentro sarebbe registrato dal sismografo standard con una ampiezza massima di un micrometro. La '''magnitudo''' di un sisma è espressa dalla relazione: :<math>M_\mathrm{L} = \log_{10} [A / A_\mathrm{0}] + F(\delta,h) + c\ </math> dove A è l'ampiezza massima del sisma osservato, A₀ è l'ampiezza del sisma di riferimento (definito come sopra), ''F(δ, h)'' è un fattore di correzione che dipende dalla distanza epicentrale ''δ'' e dalla profondità dell'ipocentro ''h'' e infine ''c'' è un altro fattore di correzione specifico della stazione sismometrica. Il pedice dell'espressione M_L significa ''"locale"'': la magnitudine di Richter è infatti dipendente dalle caratteristiche di attenuazione delle onde sismiche dell'area in cui venne definita definita originariamente (la California meridionale). In realtà le curve di riferimento per le ampiezze vanno ricalibrate regione per regione: infatti la magnitudine definita da Richter si rivelò ben presto inaccurata per altre regioni degli stessi Stati Uniti, a causa delle diverse caratteristiche crostali. Inoltre, per le caratteristiche specifiche dei sismografi da Richter, sensibili solo alle componenti ad alta frequenza dei sismi, questo metodo è accurato solo per terremoti di bassa profondità e distanza epicentrale relativamente piccola (meno di 600 Km), e soprattutto è poco accurato per i sismi di maggiore energia (magnitudine maggiore di 6), che mettono in gioco uno spettro di frequenze molto più ampio. La magnitudine Richter quindi non esprime tutta l'energia sprigionata da un sisma, che viene perciò sottostimata. Questo ha portato successivamente allo sviluppo di altri metodi per il calcolo della magnitudine: dalle onde superficiali (magnitudine M_s) alle onde di volume P e S (magnitudine M_b, dove la b sta per "body" waves: onde di volume), che presentano comunque altri inconvenienti dovuti alle modalità specifiche di propagazione delle onde relative. Tutte queste scale di magnitudine sono collegate da relazioni empiriche derivate statisticamente.<br> [[File:Map of earthquakes in Italy 1900-2017.png|thumb|right|verticale=2|Carta della sismicità in Italia. Sono riportati gli epicentri dei terremoti avvenuti tra il 1900 e il 2017, con l'indicazione della magnitudo (M_W).]] Nel 1979, lo studioso giapponese Hiroo Kanamori introdusse il concetto di '''magnitudo momento''' (M_W), basata sul '''momento sismico''', che è uguale al prodotto tra area della faglia, spostamento lungo la superficie di faglia e un modulo che esprime resistenza delle rocce agli sforzi di taglio. Il pedice W in questo caso definisce un lavoro meccanico (''work''). La magnitudo momento è più rappresentativa della magnitudo Richter e costituisce una stima più verosimile dell' "energia" di un terremoto essendo direttamente legata alla dimensione e alla dislocazione della sorgente sismica. La magnitudo momento è ricavabile direttamente dai sismogrammi, ma un altro vantaggio è che è possibile assegnare un valore di magnitudo anche a terremoti "storici" di cui non si hanno registrazioni sismografiche (o non sono sufficientemente accurate), applicando la definizione di momento sismico (purché si abbia una buona conoscenza delle caratteristiche geometriche della faglia che lo ha causato e dell'entità della dislocazione). Tuttavia, questo tipo di magnitudine non è di calcolo immediato: infatti per ottenere un valore affidabile occorre analizzare una porzione molto lunga dei sismogrammi (ottenuti con '''sismometri a larga banda''', molto più sensibili del tipo usato da Richter). Per far questo si deve aspettare la '''registrazione di tutto il segnale sismico''' di tutte le stazioni sismometriche e analizzarle. Questo comporta tempi relativamente lunghi, non compatibili con scopi di protezione civile e con i tempi dei mezzi di informazione.<br> Di norma, la magnitudo Richter M_L è il parametro più usato nella determinazione a breve termine dell'intensità di un terremoto, ed è anche quella che viene fornita agli organi di protezione civile e ai media dopo alcuni minuti<ref group=N>Per ottenere la magnitudine Richter il tracciato dei sismometri di tipo moderno deve essere "convertito" in un tracciato equivalente di quello del sismometro Wood-Anderson di Richter.</ref>. Successivamente vengono diramati valori più affidabili ottenuti con la registrazione completa del sisma, mediante il calcolo della magnitudo momento M_w. In Italia, i dati di ogni terremoto di magnitudo superiore o uguale a 2.5 vengono comunicati al Dipartimento di Protezione Civile con la massima priorità e pubblicati successivamente sul sito web dell’istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (INGV). L’importanza del concetto di magnitudo, deriva dal fatto che essa è comunque collegata all’ampiezza e di conseguenza all’energia associata alle oscillazioni del suolo. A causa della scala logaritmica utilizzata, variazioni di 1 grado di magnitudo equivalgono a una variazione di ampiezza (e quindi di energia) di circa 32 volte. Quindi, ad esempio, un terremoto di magnitudo 6 sprigiona un'energia circa 32 volte maggiore di un terremoto di magnitudo 5 e un migliaio di volte maggiore di un terremoto di magnitudo 4. A differenza delle scale di intensità (come la Mercalli MCS), una scala di magnitudo <u>non ha un valore massimo assoluto</u>. Il valore massimo registrato fino ad ora è quello del terremoto del Cile nel 1960 con una magnitudo di '''9.5'''. La magnitudine (a differenza dell'intensità, che è espressa con un numero intero in numerali romani), essendo una quantità misurata direttamente è espressa in cifre arabe come numero decimale (es.: 5.4). Essendo derivato sostanzialmente dal rapporto tra due ampiezze, si tratta di un numero adimensionale. Associando le posizioni degli epicentri sismici ai valori di magnitudo è possibile redigere '''carte della sismicità''' del territorio. Queste mappe, insieme alle carte isosismiche (di intensità sismica) già esaminate, sono basilari per la '''zonazione sismica''' del territorio e la redazione di '''carte del rischio sismico'''. <br> === Magnitudo e intensità === Non è facile stabilire una relazione tra le scale di magnitudo e le scale di intensità, per la differenza intrinseca del tipo di misurazione e del significato delle due grandezze misurate. Di seguito è riportato il confronto tra la scala di magnitudo e la scala Mercalli (MM) dal sito del servizio geologico statunitense (USGS). I gradi di intensità riportati sono quelli che si possono osservare molto vicino all'epicentro di sismi di una determinata magnitudo. {| class="wikitable" !MAGNITUDO (M_W)!!MERCALLI (MM) |- !style="text-align:center"|1.0 - 3.0 !style="text-align:center"|I |- !style="text-align:center"|3.0 - 3.9 !style="text-align:center"|II - III |- !style="text-align:center"|4.0 - 4.9 !style="text-align:center"|IV - V |- !style="text-align:center"|5.0 - 5.9 !style="text-align:center"|VI - VII |- !style="text-align:center"|6.0 - 6.9 !style="text-align:center"|VII - IX |- !style="text-align:center"|≥ 7.0 !style="text-align:center"|≥ VIII |} Notare che sostanzialmente a magnitudo pari o superiori a 6.0 possono corrispondere gradi di intensità da VII a oltre IX. Questo perché l'energia liberata da terremoti con questi valori di magnitudine è tale che, in presenza di strutture di costruzione scadente o di terreni che tendono ad amplificare l'ampiezza delle oscillazioni si possono avere effetti di notevole gravità, fino ai gradi di intensità più elevata. <br> In Italia, I danni causati sono riconosciuti per legge (per fini di risarcimento) se l’intensità osservata è maggiore o uguale a VI (scala MCS), che corrisponde approssimativamente a magnitudo intorno a 5.0. <br> Per confronto ecco le magnitudo e le intensità comparate di alcuni terremoti. {| class="wikitable" !Località !Data !Magnitudo <br> M_W !Intensità <br> (MCS o MM)<ref group=N>per i casi riportati sono equivalenti</ref> !Vittime !note |- |Shaanxi, Cina |1556 |8 (ipotizzato) |XI |830000 |il terremoto con il maggiore numero di vittime conosciuto |- |Sumatra (Oceano indiano) |26 dicembre 2004 |9.2 |IX |228000 |le vittime sono dovute allo tsunami provocato dal terremoto |- |Valdivia, Cile |22 maggio 1960 |9.5 |XII |1000 - 6000 |Il più forte terremoto mai registrato |- |Sicilia orientale (Val di Noto) |11 gennaio 1693 |7.7 |XI |> 60000 |Il più forte terremoto mai registrato in Italia |- |Messina e Reggio Calabria |28 dicembre 1908 |7.1 |XI |90000 - 120000 (incertezza dovuta alla distruzione degli archivi anagrafici) |Il terremoto che ha fatto più vittime in Italia |- |Friuli |6 maggio 1976 |6.5 |X |989 |Il terremoto recente che ha fatto più vittime in Italia settentrionale |- |Irpinia (Campania) |23 novembre 1980 |6.9 |X |2914 |Il terremoto recente che ha fatto più vittime in Italia centrale |- |L'Aquila (Abruzzo) |6 aprile 2009 |6.3 |IX - X |309 |Recente terremoto in Italia centrale con numerosi danni e vittime |- |Emilia |maggio 2012 |6.1 (massima della sequenza sismica) |VIII (cumulativa per la sequenza sismica) |25 |Il più recente terremoto significativo in Italia settentrionale |- |Norcia, Preci e Castelsantangelo sul Nera |30 ottobre 2016 |6.5 (massima della sequenza sismica) |IX (cumulativa per la sequenza sismica) |2 (indirette) |Terremoto avvenuto nel Centro Italia con danni ingenti nei comuni più vicini all'epicentro, diversi feriti ma solo due vittime indirette (per crisi cardiaca). In realtà questo episodio fa parte di una sequenza sismica molto lunga che ha investito il centro Italia dall'agosto 2016 al gennaio 2017. La maggior parte delle vittime (299 secondo le fonti del Dipartimento di Protezione Civile) si ebbero durante la prima scossa (24 agosto 2016 - 6.2 M_W) in cui i centri abitati di Amatrice e Accumoli subirono danni gravissimi. Durante la scossa, più forte, del 30 ottobre 2016 la popolazione dell'area interessata era per la maggior parte sfollata. |} Ricapitoliamo ora le caratteristiche e le differenze di significato di intensità e magnitudo, delle rispettive scale e della cartografia relativa: * la magnitudo misura l'energia rilasciata alla sorgente sismica di un terremoto; * la magnitudo è determinata dalle misure dei sismografi; * l'intensità misura la forza dello scuotimento prodotto da un terremoto in una certa posizione; * l'intensità è determinata dagli effetti sulle persone, sulle strutture antropiche e sull'ambiente naturale. Quindi: * le scale di intensità sono per categorie (i "gradi") che esprimono ciascuna un insieme di caratteri distintivi. Le scale di magnitudo sono per valori assoluti di un parametro misurato direttamente, e quindi si tratta di una scala continua e aperta verso l'alto (anche se spesso, per esigenze di sintesi, nelle tabelle vengono riportate delle classi di magnitudo). * ad ogni terremoto è associato un singolo valore di magnitudo (calcolata all'ipocentro), mentre ad uno stesso evento sismico sono associabili diversi valori di intensità a seconda delle condizioni di tipo geologico e antropico del territorio. Quindi per ogni evento si ha una certa distribuzione areale di valori di intensità e uno solo di magnitudo. * posizione e frequenza degli epicentri sul territorio sono relazionati direttamente con le strutture geologiche (faglie). * la magnitudo è strettamente relazionata con l'attività delle sorgenti sismiche, ma non è necessariamente indicativa degli effetti di un sisma o, meglio, la relazione con gli effetti è mediata dalle caratteristiche geologiche e soprattutto antropiche del territorio. * l'intensità di un terremoto può essere relazionata con la struttura geologica del territorio ma vi è anche una componente antropica (tipologia e stato delle strutture, percezione umana) molto importante di cui tenere conto. Inoltre, la relazione con la sorgente sismica per le stesse ragioni non è immediata. == Il rischio sismico == [[File:Mappa opcm3519.png|thumb|right|verticale=1.8|Carta della '''pericolosità sismica''' del territorio italiano, elaborata dall'Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia (2004). La pericolosità sismica è espressa in termini di PGA (Peak Ground Acceleration). Stucchi M., Meletti C., Montaldo V., Akinci A., Faccioli E., Gasperini P., Malagnini L., Valensise G. (2004) - INGV]] Con "rischio" si intende la probabilità che un fenomeno potenzialmente dannoso (un terremoto in questo caso) possa avvenire in un determinato luogo e in un certo tempo, provocando un danno di valore stimato. La determinazione del rischio sismico è quindi la valutazione dei danni che potrebbero verificarsi nel territorio in caso di terremoto, in un periodo di tempo determinabile statisticamente. Il rischio è un valore quantificabile mediante la formula: '''''Rischio = Pericolosità * Esposizione * Vulnerabilità''''' * la '''pericolosità''' sismica, è la probabilità che un sisma di una data intensità (che implica un certo valore di "scuotimento" del suolo, in termini di accelerazione o movimento) si verifichi in un determinato intervallo di tempo e in una certa area. Per l'intervallo temporale si considera il '''periodo di ritorno''' di un terremoto di data intensità. E' espressa in una scala probabilistica da 0 (evento nullo) a 1 (evento certo). Questo parametro è utilizzato per la compilazione di '''carte della pericolosità sismica'''. Ad esempio, in Italia la '''Mappa di Pericolosità Sismica 2004''' (MPS04) descrive la pericolosità sismica attraverso il parametro dell'accelerazione massima attesa con una probabilità di eccedenza del 10% in 50 anni su suolo rigido e pianeggiante. L'accelerazione del suolo '''Peak Ground Acceleration''' ('''PGA''') è la misura della massima accelerazione del suolo indotta del terremoto (registrata da accelerometri). Diversamente dalla scala Richter, che misura l'ampiezza globale di un terremoto, il PGA è una misura dell''''intensità di un terremoto in un determinato sito'''. * l' '''esposizione''' (valore esposto al rischio), è il valore dell'insieme degli elementi esposti al rischio all'interno dell'area esposta (persone, beni, attività). l'esposizione dipende sostanzialmente dal valore economico delle strutture e dalla concentrazione di persone in esse. Ad esempio, un terremoto in una regione spopolata e priva di costruzioni e infrastrutture (come un deserto) avrebbe una esposizione e un rischio praticamente nulli. Al contrario, se l'area è particolarmente affollata e vi sono strutture (come ad esempio dighe o centrali elettriche, oppure ospedali) l cui distruzione causerebbe gravi perdite economiche e interruzioni di servizi primari, l'esposizione è molto elevata. L'esposizione si quantifica in termini relativi (valore monetario di proprietà, attività economiche, servizi pubblici) oppure assoluti (numero di abitanti, di edifici etc.). Questo parametro serve soprattutto per la stima dei costi che un terremoto può avere e per la valutazione degli interventi di recupero e ricostruzione. * la '''vulnerabilità''' è il grado di potenziale perdita (distruzione) prodotto sugli elementi esposti al rischio risultante dal verificarsi di un sisma di data intensità. Gli elementi in gioco possono essere persone (quindi perdite umane), edifici e infrastrutture o attività. Ad esempio gli edifici di un antico centro storico sono ad elevata vulnerabilità, mentre moderni palazzi in cemento armato costruiti con criteri antisismici possono resistere anche a forti scosse. Anche questo fattore è espresso in scala da 0 (nessuna perdita) a 1 (perdita totale). la valutazione di questi parametri serve per la compilazione di '''carte del rischio sismico''' con scopi di: * pianificazione di interventi di prevenzione, per la mitigazione del rischio stesso. Gli interventi prioritari sono generalmente volti a consolidare di edifici esistenti e a garantire la costruzione di nuove strutture secondo norme tecniche specifiche per le costruzioni in zona sismica. Tali norme fissano regole per la scelta dei terreni, le prove geotecniche da eseguire sul posto, i materiali da utilizzare e le caratteristiche costruttive. * elaborazione di piani di evacuazione e soccorso, e di strategie volte a preparare la popolazione ad affrontare un evento sismico, mediante informazione capillare e, con particolare attenzione ai contesti scolastici e lavorativi, esercitazioni pianificate. Fondamentale per la compilazione della cartografia relativa al rischio sismico è la '''zonazione sismica''', che esprime la distribuzione nel territorio dei fattori di rischio connessi agli eventi sismici. in Italia sono utilizzati due tipi di zonazioni: * '''Macrozonazione sismica'''. Gli obiettivi in questo caso sono di individuazione in ambiti molto ampi (provinciali, regionali, nazionali) di '''zone con caratteristiche omogenee di PGA'''. Per questo tipo di cartografia viene considerata la probabilità che un determinato evento con determinata intensità si ripresenti entro un certo periodo di tempo ('''periodo di ritorno'''). Questo tipo di analisi viene condotto sia in base informazioni reperite da cataloghi di terremoti osservati o registrati, sia impiegando modelli probabilistici che considerano la distribuzione di potenziali faglie attive. Ove non si hanno misure accelerometriche dirette, si utilizzano dati di intensità convertiti in PGA tramite relazioni statistiche. In alcune regioni italiane come la Campania o la Sicilia si considera anche l’eventualità che si verifichino terremoti di origine vulcanica. Inoltre, a ciascuna macrozona sismica viene attribuito un '''valore di magnitudo massima'''. Le macrozone servono per una pianificazione su scala nazionale della prevenzione sismica, ma non sono utilizzabili a scala locale per la pianificazione territoriale, perché non hanno dettaglio sufficiente. Dal 2003 la classificazione sismica italiana è stata completamente aggiornata <ref group=N>Ordinanza del Presidente del Consiglio dei Ministri n. 3274 del 20 marzo 2003</ref>. Attualmente è impostata su quattro tipi di zone, cui sono assegnati i comuni: **'''Zona 1'''. È la zona ritenuta più pericolosa e dove statisticamente possono verificarsi terremoti di forte intensità. Comprende 725 Comuni. **'''Zona 2'''. In questa zona possono verificarsi terremoti di media-forte intensità. Comprende 2344 Comuni. **'''Zona 3'''. La zona considerata meno pericolosa. Comprende 3488 Comuni. * '''Microzonazione sismica'''. Consiste nell’analisi e nella rappresentazione della distribuzione spaziale della '''pericolosità sismica''' nel territorio e della sua '''vulnerabilità sismica'''. Questo tipo di studio è condotto in un ambito di dettaglio molto maggiore (comunale, circoscrizionale) rispetto alla macrozonazione, e comprende anche l'analisi di fattori di rischio locali, relativi ad esempio alla stabilità dei versanti e alla tipologia dei terreni, in conseguenza della '''risposta sismica locale'''. Le carte di microzonazione sismica sono quelle effettivamente utilizzate "sul campo" per la pianificazione territoriale a scala locale. I fattori di rischio principali su scala locale sono: [[File:Scenari di pericolosità sismica locale.jpg|miniatura|right|verticale=2.4|Scenari di rischio sismico locale, contemplati nella microzonazione sismica,]] ** ''densificazione dei terreni''. Nei terreni granulari sciolti, come limi e sabbie, le vibrazioni prodotte da un sisma possono provocare un "riassestamento" delle particelle (clasti) che li compongono, con una riduzione di volume conseguente al fatto che i "vuoti" tra i clasti si riducono. Questo può provocare cedimenti differenziali nel terreno, che si traducono in dissesti per le eventuali strutture soprastanti. ** ''liquefazione dei terreni''. Anche questo problema riguarda terreni sciolti sabbiosi e limosi, saturi d'acqua: in questo caso le sollecitazioni prodotte da un terremoto possono causare un aumento della pressione dell'acqua presente negli interstizi tra i granuli fino a eguagliare la pressione totale dovuta al peso degli strati di terreno soprastanti. Il comportamento del terreno in queste condizioni equivale a quello di un liquido: viene così annullata la resistenza al taglio del terreno, che non è più in grado di contrastare spinte differenziali<ref group=N>Se la spinta dall'alto fosse uguale in tutti i punti, non vi sarebbero cedimenti poiché un liquido è incomprimibile. Però la presenza di un peso concentrato (come un edificio) in una parte della superficie di terreno interessata dalla liquefazione provoca una spinta differenziale (cioè diversa da quella presente nel resto della superficie) verso il basso, che si traduce in uno sforzo di taglio (che implica lo scorrimento relativo in direzioni opposte delle due sezioni del corpo sulle quali viene esercitata la spinta). Dal momento che i liquidi non hanno alcuna resistenza agli sforzi di taglio, questo causa l'affondamento e il dissesto dell'edificio stesso.</ref> provenienti dall'alto. Questo può provocare affondamento o ribaltamento di edifici e strutture costruiti sul terreno stesso. **''Fenomeni di amplificazione''. Condizioni locali di natura topografica o stratigrafica<ref group=N>Ovvero condizioni che riguardano l'assetto stratigrafico delle rocce e dei terreni: la successione verticale di rocce e terreni con velocità sismiche diverse e le loro transizioni laterali.</ref> possono modificare direzione e ampiezza delle onde sismiche, con fenomeni di interferenza tra fronti d'onda dovuti a riflessione e rifrazione. Quando questa interferenza è "costruttiva" (cioè le ampiezze si sommano), le oscillazioni del terreno risultano amplificate. L'amplificazione di tipo stratigrafico può essere dovuta alla presenza di sedimenti "soffici" o sciolti che ricoprono il basamento roccioso rigido. Le irregolarità topografiche (rilievi, pendii) possono essere significative (cioè dare luogo a fenomeni di interferenza) quando sono della stessa lunghezza d'onda delle onde sismiche. ** ''instabilità dei versanti''. Versanti montani o collinari possono essere interessati da instabilità dovuta alla natura delle rocce e dei terreni (probabilità di frane o crolli) e all'eventuale presenza di corpi di ''paleofrana'' che possono essere rimessi in movimento a causa un sisma. ** ''Collasso di cavità''. Questi fenomeni interessano soprattutto aree carsiche (come visto nel capitolo dedicato). Vi può essere anche collasso di cavità di origine antropica (gallerie, antichi ambienti sotterranei o miniere). In Italia, i criteri per la definizione delle microzone sismiche sono i seguenti<ref>{{cita|Gruppo di Lavoro ICMS (2008)}}.</ref><ref>{{cita|Gruppo di Lavoro ICMS (2011)}}.</ref>: *'''zone stabili''': zone dove non si ipotizzano effetti locali di rilievo; *'''zone stabili suscettibili di amplificazioni locali''': zone dove sono attese ''amplificazioni del moto sismico dovute alla litostratigrafia e alla morfologia locale''; *'''zone suscettibili di instabilità''': zone dove gli effetti sismici attesi e predominanti sono riconducibili a ''deformazioni permanenti del territorio''. [[File:Site effects mexico 1985 recordings v2.gif|thumb|right|verticale=2.4|Terremoto del Messico (1985). Sono visibili sui sismogrammi le differenze negli effetti locali: danni gravi si ebbero sulla costa, vicino all'epicentro, mentre l'ampiezza risultò attenuata nella fascia interna del territorio. A Città del Messico invece, (a circa 350 Km di distanza) la presenza di sedimenti lacustri sotto gran parte del centro ebbe come risultato una amplificazione delle onde sismiche superficiali, con conseguenze disastrose.]] Un caso di studio molto conosciuto e studiato che riguarda la risposta sismica locale è stato il '''Terremoto del Messico''' del '''19 settembre 1985'''. L'epicentro del sisma fu nell'Oceano Pacifico, presso la costa messicana (stato di Michoacàn), e raggiunse magnitudo (M_W) 8.1 (IX MM di intensità massima), causando gravi danni nell'area epicentrale (in parte dovuti a liquefazione di terreni sabbiosi di età recente). Tuttavia in realtà i danni e le perdite maggiori si ebbero a Città del Messico, sull'altopiano centrale messicano, a circa 350 Km dall'epicentro. La città è infatti costruita in gran parte sui sedimenti argilloso-siltosi del Lago Texcoco, ora prosciugato (sul quale era edificata l'antica capitale azteca Tenochtitlàn). La presenza di questi sedimenti non consolidati ebbe come conseguenza una notevole amplificazione delle onde sismiche di superficie, che causò il crollo di molti edifici in diversi quartieri della città. Crollarono più di 400 edifici tra cui alberghi e un ospedale: i più colpiti furono gli edifici elevati (maggiori di 5 piani) per un fenomeno di risonanza tra le oscillazioni degli edifici stessi e quelle del suolo, le cui ampiezze si sommarono con conseguenze drammatiche. Le perdite totali (a seconda delle stime, non univoche) vanno dalle 10000 alle 30000 unità. Il bilancio di vittime e danni fu aggravato dalla mancanza di un sistema efficiente di allarme sismico e di coordinamento nei soccorsi.<br> Negli anni successivi questo gap fu colmato mediante la messa in opera un sistema di monitoraggio sismico a protezione di Città del Messico. Poiché l’area sismogenetica più pericolosa è quella sulla costa del pacifico ad oltre 300 km di distanza, sono state posizionate nella fascia di territorio tra la costa e la capitale diverse stazioni sismografiche per monitorare gli eventi sismici, disposte su un allineamento a 25 km di distanza l’una dall’altra. Poiché le velocità sismiche dei terreni presenti lungo il tragitto delle onde sismiche verso Città del Messico non sono molto elevate, con questo apparato è possibile dare un preavviso stimabile in un intervallo tra 58 e 74 secondi circa (molto rilevante in caso di terremoto). Inoltre, un sistema di allarme radiofonico consente di raggiungere alcuni milioni di persone impiegando una fitta rete di comunicazione. In questo modo è stato possibile avvertire con un certo anticipo oltre 4 milioni di persone prima che il terremoto del 14 settembre 1995 (M_W = 7.3) colpisse la città. In tal modo fu possibile a molti mettersi in salvo, e prendere misure che evitassero lo sviluppo di incendi. <gallery> |Città del Messico. Edifici distrutti durante il sisma del 19 settembre 1985. File:Liquefaction at Niigata.JPG|Effetti della liquefazione del terreno. Giappone, terremoto di Niigata (1964). File:Christchurch quake, 2011-02-22.jpg|Vulcanetti di sabbia dovuti alla liquefazione. Christchurch (Nuova Zelanda). Terremoto del 22 febbraio 2011. File:Earthquake damage, Lower Styx Road, Brooklands 2.jpg|Effetti della liquefazione del terreno sul manto stradale. Terremoto di Canterbury (Nuova Zelanda), 4 settembre 2010. </gallery> == La previsione dei terremoti == Vista la pericolosità dei terremoti l'uomo cerca di prevederli per ridurre il rischio sismico. La previsione può essere effettuata con due metodi, uno statistico e uno basato sui segnali premonitori (deterministico). In ogni caso '''non è possibile sapere esattamente quando e dove avverrà il terremoto'''. === Previsione statistica === Come già detto a proposito del rischio sismico, gli eventi naturali come i terremoti hanno una certa prevedibilità in termini statistici, basata sul '''periodo di ritorno''' di un evento di una determinata entità. In una certa area geografica vengono analizzate le zone interessate da eventi sismici e la frequenza con cui avvengono, basandosi sui cataloghi dei terremoti già avvenuti. Vengono considerati sia i valori di intensità che quelli di magnitudo. I terremoti per i quali non si hanno registrazioni dirette sono caratterizzati in base alla descrizione degli effetti dalle fonti storiche e, per l'identificazione delle sorgenti sismiche, sulla cartografia geologica disponibile; su queste basi vengono ipotizzati dei valori di intensità e magnitudo. Ad esempio, secondo recenti studi basati sui terremoti avvenuti in passato, vi è circa il 60% delle probabilità che un forte terremoto colpisca S. Francisco e Los Angeles (California, USA). Non è però possibile conoscere esattamente quando e dove avverrà il sisma. === Previsione deterministica === Questo tipo di previsione si basa su vari fenomeni fisici che possono avvenire durante la fase di accumulo di energia e di deformazione elastica nelle rocce prima di un evento sismico e che si segnalano come possibili precursori di un terremoto. I '''fenomeni precursori''' che dalle osservazioni della comunità scientifica potrebbero costituire una base valida per le previsioni sono: * <u>'''Precursori sismologici'''</u> **relativa abbondanza di '''scosse di lieve intensità''' (''pre-scosse'' o ''foreshocks'') *<u>'''Precursori geofisici'''</u> ** diminuzioni di '''velocità delle onde sismiche''' (soprattutto delle Onde P) nella ''regione focale'' (la regione maggiormente soggetta a deformazione). ** variazioni della '''resistività elettrica'''<ref group=N>La resistività elettrica è l'attitudine di un materiale ad opporre resistenza al passaggio delle cariche elettriche</ref> nella regione focale. ** variazioni di '''emissione di radon''' dal sottosuolo<ref group=N>Il radon è un gas radioattivo (uno dei cosiddetti ''gas nobili'') che si forma dal decadimento α del Radio, generato a sua volta dal decadimento α dell'Uranio. Le principali fonti di questo gas risultano essere terreni e rocce, specialmente se di origine ignea (effusiva o intrusiva) come ad esempio tufi o graniti. In conseguenza dell'emissione da parte di rocce e terreni, si trova anche nelle acque sotterranee.</ref> *<u>'''Precursori geodetici'''</u> ** variazioni di '''elevazione e inclinazione del terreno''' nell’area epicentrale. Questi precursori sono inquadrati nella cosiddetta '''teoria della dilatanza''', la prima teoria che, a partire dai primi anni '70 del secolo scorso, ha cercato di spiegare secondo un modello fisico le anomalie riscontrabili prima di un terremoto. Per ''dilatanza'' si intende l'aumento di volume di terreni e rocce a causa delle fratture, e quindi dei vuoti, che si creano durante l'accumulo di energia precedente un evento sismico. Quando inizia la deformazione, nelle rocce si forma un reticolo di fratture; anche nei terreni sciolti l'aumento di volume crea nuovi vuoti che si riempiono d'acqua. Questi fenomeni sono all'origine della maggior parte dei precursori. In particolare: [[File:Scholtz 1973 simple.png|thumb|right|verticale=2|Schema che illustra l'andamento di diversi parametri fisici nel tempo, prima e immediatamente dopo un terremoto. Da Scholz et al. (1973), modificato.]] * Scosse sismiche di lieve entità sono state osservate in numerosi casi prima di terremoti importanti, nell'area epicentrale e nelle aree circonvicine, probabilmente prodromiche al sisma principale. Non si ha però nella maggior parte dei casi un incremento graduale della frequenza degli eventi; anzi, in diversi casi si avrebbe una fase di quiescenza nel periodo di poco antecedente la scossa principale e una ripresa immediatamente prima. L''''unico caso storico di allarme sismico ed evacuazione in base a scosse premonitrici''' è quello di Haicheng (Cina, regione di Liaoning, sulla fascia costiera settentrionale del paese) del 4 febbraio 1975. In questo caso le autorità ordinarono l'evacuazione della città poche ore prima del sisma in seguito ad un improvviso aumento della sismicità, dopo vari mesi in cui erano state osservate lievi scosse che avevano dato luogo precedentemente a un'allerta di basso livello. L'evacuazione non riuscì a prevenire completamente le perdite (da uno a due migliaia di persone morirono, secondo le stime, e almeno 27000 rimasero ferite o infortunate), ma si è calcolato che la misura presa abbia salvato la vita ad almeno 150000 persone. * La velocità delle Onde P (VP) tende a decrescere nella regione focale. Intuitivamente: la velocità delle Onde P dipende dal materiale che attraversano ed è comunque più elevata nei solidi che nei fluidi: essendoci quindi una quota maggiore di vuoti nel volume roccioso, dovuti alla fratturazione e riempiti da acqua, la velocità delle onde diminuisce. * La resistività elettrica (che è l'inverso della conduttività) dipende in rocce e terreni dalla presenza di acqua: le acque sotterranee profonde<ref group=N>In questo caso non si parla delle acque delle falde acquifere superficiali (entro alcune centinaia di metri di profondità), che sono normalmente povere di sali, e quindi spesso potabili.</ref> infatti sono generalmente ricche di sali disciolti (quindi di ioni) e sono perciò molto conduttive. L'aumento di acqua circolante nel nuovo reticolo di fratture prodotte dalla dilatanza provoca quindi un aumento della conduttività e una diminuzione significativa della resistività delle rocce. * Il Radon viene rilasciato da rocce e terreni: il fenomeno della dilatanza aumenta sia la quantità di acque sotterranee circolanti sia, con la generazione delle fratture, la superficie di roccia lungo la quale può avvenire l'emissione del gas e lo scambio con le acque stesse. * Il terreno e le rocce possono "rigonfiare" in conseguenza dell'aumento di volume, soprattutto se la sorgente sismica è a bassa profondità. Prima del terremoto di Niigata (Giappone) del 1964, ripetute misure geodetiche tra il 1898 e il 1955 hanno indicato deboli movimenti verticali, seguiti da un sollevamento più rapido (circa 5 cm) nel 1958-1959 entro la regione epicentrale. Questo fenomeno fu seguito da una stasi, con movimenti di piccola entità, fino al terremoto principale. Il sollevamento del suolo era confermato dal un corrispondente decremento relativo del livello marino (registrato da stazioni di misurazione delle maree sulla costa). L'entità del rigonfiamento decresceva con la distanza dall'epicentro, fino ad annullarsi a circa 100 Km. La durata i questi fenomeni sembra essere relazionata con la magnitudine dei terremoti, da qualche giorno per sismi di magnitudo inferiore a 3.0, fino a intervalli dell'ordine di diversi anni per sismi di magnitudo superiore a 7.0. Tuttavia, nessuno di questi fenomeni precursori si è dimostrato affidabile da solo, perché nessuno si verifica sempre, regolarmente, prima di un terremoto significativo. La ricerca è quindi orientata all'osservazione contemporanea di più fenomeni, che si supportino a vicenda. Altri eventi indicati spesso come possibili precursori (ad esempio variazioni del livello di falda nei pozzi, luci telluriche), sia pure in apparenza spesso correlabili con l'occorrenza di episodi sismici importanti, non hanno mai dato luogo a previsioni di qualche successo. Ugualmente le anomalie del comportamento animale, spesso riferite dai media come precursori (per altro, sempre "a posteriori"). Va detto anche che, nell'assoluta maggioranza dei casi, <u>tutti</u> questi eventi sono stati riconosciuti "a posteriori", come possibili precursori. Questo soprattutto per la mancanza di reti di osservazione capillari e di sistemi di allertamento sismico orientati verso questo tipo di fenomeni. In altre parole: nessun governo o organismo sovranazionale ha finora investito a fondo in questa direzione, e le osservazioni riferite sono frutto del lavoro di gruppi di ricerca scientifica sparsi, o addirittura di osservatori amatoriali). Considerate le incertezze in gioco tuttora nella previsione deterministica dei terremoti, lo sforzo maggiore attualmente è da un lato nella direzione della previsione statistica, dall'altro verso l'implementazione di sistemi di monitoraggio degli eventi sismici sul territorio e di allertamento rapido. == Come difendersi dai terremoti == Difendersi dai terremoti è più difficile rispetto ai vulcani poiché le aree sismogenetiche sono più diffuse e gli eventi meno prevedibili. Come abbiamo visto il rischio sismico dipende da tre fattori: * la ''pericolosità sismica''. Questo fattore dipende dalle caratteristiche geologiche del territorio, ed è al di fuori delle possibilità di intervento da parte dell'uomo. Può però essere quantificato e previsto statisticamente. * l'''esposizione''. E' un fattore sul quale, in aree già densamente abitate e costruite, vi sono possibilità di intervento limitate. E' chiaro che ove possibile, in una zona ad alta pericolosità sismica (ad esempio su strutture geologiche come faglie o aree franose) è meglio evitare di costruire ulteriormente o, se necessario, farlo con criteri antisismici. * la ''vulnerabilità'' delle strutture. Questo è il fattore sul quale è generalmente più facile intervenire. E' possibile diminuire la vulnerabilità ristrutturando con opportuni criteri gli edifici esistenti e progettando quelli da costruire con criteri antisismici. I possibili danni al patrimonio edilizio possono derivare da vari fattori: * Gli edifici normalmente sono costruiti per resistere soprattutto a spinte verticali (devono infatti sopportare il proprio peso e quello delle persone che li abitano o li frequentano, oltre che di mobili, suppellettili, macchinari e infrastrutture interne). I terremoti sono eventi eccezionali, che per giunta agiscono prevalentemente con scuotimenti orizzontali del terreno. * Per questi motivi le scosse sismiche possono causare movimenti differenziali tra le diverse parti della struttura dell'edificio (tra piani diversi, tra il corpo principale dell'edificio e le fondazioni o la copertura, tra diverse ali di uno stesso edificio...). Fenomeni di liquefazione/densificazione e di amplificazione sismica possono aggravare ulteriormente la situazione. * Occorre distinguere tra danni strutturali, che interessano gli elementi portanti di un edificio (muri portanti, pilastri, travi, centine...), con potenziale compromissione della stabilità dell'edificio stesso, e danni non strutturali, che interessano elementi non relazionati con la stabilità dell'edificio (come ad esempio muri di tamponamento, tramezzi, infissi, balconi, cornicioni, comignoli...). Entrambi i tipi di danneggiamento possono essere fonte di pericolo per le persone all'interno e nelle immediate vicinanze di un edificio, ma i danni strutturali possono portare al collasso dell'edificio stesso, aggravando il bilancio di danni e vittime. * L'entità e il tipo di danno dipende anche dal tipo di costruzione (muratura, cemento armato...) dai materiali usati, dall'età, dallo stato di conservazione e manutenzione, dalla vicinanza o contiguità con altre costruzioni. <gallery> File:GuateQuake1976HotelTerminalA.jpg|Edificio (albergo) in cemento armato parzialmente collassato. Terremoto del Guatemala (1976). Sono collassate in parte le colonne che sostenevano il primo piano. File:2008년 중앙119구조단 중국 쓰촨성 대지진 국제 출동(四川省 大地震, 사천성 대지진) IMG 5921.JPG|Edificio in cemento armato con gravi danni strutturali. Hanno ceduto in gran parte le giunzioni fra pilastri e travi. Terremoto del Sichuan (Cina) del 2008. File:Hanshin-Awaji earthquake 1995 Chuo-ku Kobe city Hyogo prefecture 350.jpg| Edificio in cemento armato gravemente lesionato. Terremoto di Kobe (1995), Giappone File:Fukuoka Earthquake 20050320 Maruzen.jpg|Edificio con danni non strutturali (rottura e caduta di vetrate). Terremoto di Fukuoka (Giappone) del 2005. File:Al Munisìpi ad Sant Agustèn.jpg|Edificio in muratura. Fessurazione a "croce di S. Andrea", tipica di eventi sismici, causata dal movimento differenziale di piani e pareti. Terremoto dell'Emilia del 2012. File:Ex palazzina AVIS (Bondeno).JPG|Edificio in muratura danneggiato, messo in sicurezza con tiranti e profilatura lignea ai vani finestra. Terremoto dell'Emilia del 2012. File:Chile Earthquake 2010 - Maipú 7.JPG| Edificio in cemento armato. Danni sismici conseguenti a movimenti differenziali tra le diverse parti dell'edificio. Terremoto del Cile del 2010. File:Colombo St betw Lichfield & Tuam.JPG|Edificio in muratura interessato dal crollo della facciata. Terremoto di Canterbury (Nuova Zelanda) del 2011. </gallery> '''Interventi sugli edifici già esistenti'''. Se gli elementi strutturali dell'edificio (fondazioni, muri portanti, solai e tetto) sono ben collegati tra loro, minimizzando quindi i movimenti differenziali tra le varie parti, l'edificio reagirà ai movimenti sismici come un corpo unico: in questo modo i possibili danni saranno meno gravi, anche in caso di terremoti violenti. Si interviene quindi rinforzando e consolidando i collegamenti tra queste parti e inserendo nuovi elementi di collegamento.<br> Nel caso di edifici in muratura di costruzione non recente ad esempio si interviene con l'inserimento di catene e tiranti per collegare tra loro pareti e solai, e in punti particolarmente deboli con rinforzi locali per sostenere la struttura. Nel caso di muri già lesionati (crepe profonde), si procede con opere di consolidamento (ad esempio, iniezioni di miscele cementizie o resine, inserimento di reti o tondini metallici), o di rivestimento (intonaco armato).<br> Nel caso di edifici in cemento armato, gli interventi si concentrano soprattutto sugli elementi strutturali, come i pilastri, per esempio con incamiciature in acciaio, e consolidamento delle fondazioni con pali e iniezioni consolidanti, mentre i muri non portanti vengono rinforzati ad esempio con intonaco armato o profilature in acciaio. '''Criteri di progettazione antisismica'''. Di seguito alcuni requisiti indicati dall''''ingegneria sismica''' per la progettazione antisismica di edifici, allo scopo di minimizzare i danni possibili in caso di terremoto. * La forma e la struttura dell'edificio deve essere il più possibile regolare e compatta (priva ad esempio di strutture esterne aggettanti o sospese). * Le diverse parti della struttura devono essere solidamente collegate: soprattutto pareti e solai per quanto riguarda gli edifici in muratura; pilastri e travi negli edifici in cemento armato. * Deve esserci rispetto agli edifici vicini una separazione tale da consentire all'edificio di oscillare liberamente senza possibilità di urti. * Elementi sporgenti (comignoli, parapetti, cornicioni...) devono essere fissati correttamente e solidali con il corpo dell'edificio. * La perizia geologica (comunque obbligatoria per legge) deve prevedere le possibili amplificazioni del moto del suolo in caso di sisma. * L'edificio deve essere in grado di deformarsi assecondando le sollecitazioni del terreno senza rotture e senza rischio di collasso strutturale. <gallery> File:V2016 - Celler Cooperatiu d'Igualada 28 Soterrani.jpg|Incamiciatura in acciaio di un pilastro in muratura File:Florenz - Mauerbefestigung.jpg|Ancoraggio di tirante su una parete esterna. File:Niles Banquet Hall 2661 01.JPG|consolidamento di edificio in muratura con tiranti File:Great Mosque of Kairouan gallery.jpg|Archi rinforzati con catene. L'incatenamento serve a contrastare le spinte laterali di archi e volte sulle pareti portanti. Archi e volte in caso di terremoto, per le loro caratteristiche statiche, sono particolarmente a rischio. File:Coventry Cathedral ruins tie rods.JPG|Rovine della Cattedrale di Coventry (UK). Consolidamento con catene e profilature in acciaio. File:Vertical configuration control.gif|Gli edifici molto alti (torri, grattacieli) resistono meglio alle scosse sismiche se hanno una configurazione verticale rastremata verso l'alto ("a piramide"), come ben visibile nei due diversi modelli di edifici sottoposti alla tavola vibrante. </gallery> Le tecniche di costruzione antisismica più diffuse prevedono l'uso di calcestruzzo armato, acciaio, legno. * Calcestruzzo armato: il cemento armato è una struttura particolarmente resistente che si ottiene colando il cemento liquido in strutture che contengono tondini, reti, gabbie di acciaio. Le costruzioni vengono rese antisismiche costruendo basamenti e piloni in cemento armato, o addirittura tutto l'edificio. * Acciaio. Si tratta di un materiale con proprietà meccaniche costanti e controllabili, leggero (rispetto alla muratura e al calcestruzzo armato), che resiste molto bene agli sforzi (sia di compressione che di trazione, e anche agli sforzi trasversali). Le sue proprietà di resistenza lo rendono molto adatto a sopportare le sollecitazioni sismiche (che sono scuotimenti in due sensi opposti, con sforzi sia compressivi che trattivi). Particolare attenzione però va messa nelle giunzioni di travi e pilastri (saldature e collegamenti bullonati). * Legno. E' un materiale molto versatile, elastico e resistente e viene sempre più utilizzato nella bioedilizia. La sua elasticità lo rende un materiale particolarmente adatto nelle costruzioni antisismiche. <gallery> File:Armatura_cilindrica.jpg|Armatura cilindrica File:Talbruecke-Bruenn_2005-08-04.jpg|Costruzione di un pilone in calcestruzzo armato File:Betonpomp_en_betonmolen_(concrete_pump).jpg|Costruzione di un edificio in calcestruzzo File:HE IPE cantiere.jpg|Costruzione con struttura in acciaio a colonne e travi. File:Konstruktionsstål.JPG|Profilati in acciaio strutturale. File:Bultforband1.jpg|Struttura in acciaio. Collegamento bullonato. File:Estructura de acero en Sabiñánigo.jpg|Edificio residenziale con struttura in acciaio. File:Schmickbruecke.jpg|Ponte con struttura in acciaio ad elementi rivettati. File:Taiwan CK big wood house 1.JPG|Casa in legno a Taiwan File:Tet_Woods_Building.JPG|Case in legno negli USA File:Wood-pallet-building.jpg|Casa in pallet File:Hornburg_Fachwerk.jpg|Tipiche case con intelaiatura in legno in nord Europa File:Prefabricated_house_construction.gif|Casa prefabbricata in legno File:Fachwerk.jpg|Casa in germania con telaio in legno </gallery> [[File:Earthquake-protective-foundation.gif|thumb|Comportamento su tavola vibrante di modellini di struttura senza isolamento (sinistra) e isolato (destra).]] Una tecnica di progettazione antisismica molto promettente e già messa in pratica in diverse aree ad elevata sismicità del pianeta (ad esempio in California, USA, o in Giappone, o ancora, più recentemente, in Cina) è l''''isolamento alla base''' degli edifici. Questa tecnica consiste sostanzialmente nel disaccoppiamento del corpo dell'edificio dalla sua fondazione, in modo che la fondazione possa seguire liberamente le oscillazioni del terreno, mentre l'edificio rimane fermo per inerzia (od oscilla con periodo decisamente superiore, quindi con minore rischio di danneggiamento o collasso), comportandosi come un corpo quasi-rigido. In tal modo si ottiene una riduzione consistente o addirittura un annullamento dei fenomeni di risonanza e dei movimenti differenziali tra gli elementi dell'edificio stesso. Questo viene realizzato mediante '''isolatori sismici''': si tratta di dispositivi ''elastomerici'' (che dissipano l'energia delle oscillazioni sismiche mediante l'impiego di materiali elastici) oppure ''a scorrimento'' (che contrastano la forza di taglio data dalle onde sismiche, "smorzando" gli spostamenti orizzontali).<br> La progettazione di queste strutture è piuttosto complessa e prevede costi aggiuntivi non trascurabili. Occorre infatti porre particolare attenzione al periodo di oscillazione della struttura, che deve essere calcolato tenendo conto delle frequenze sismiche più probabili e basato sulle registrazioni dei sismi storici, e anche delle caratteristiche di amplificazione sismica del terreno<ref group=N>Queste informazioni sono utilizzate per la definizione dei parametri del ''terremoto di progetto'' (il terremoto di massima entità possibile con un determinato ''periodo di ritorno''), che serve come riferimento per la progettazione della struttura.</ref>. I costi aggiuntivi sono però compensati da una effettiva protezione dal rischio sismico e dalla possibilità di maggiore elevazione degli edifici progettati in questo modo rispetto ad edifici non isolati (anche antisismici). Un edificio isolato sismicamente non è di per sé necessariamente antisismico: infatti questo tipo di soluzione viene adottato anche per edifici storici che si vogliono preservare minimizzando ulteriori interventi invasivi sul corpo dell'edificio. <gallery> File:Pole 3 building seismic base isolator.jpg|Isolatore sismico di tipo elastometrico. File:Utah State Capitol Base Isolation System.svg|Schema di un isolatore sismico. File:Base isolators under the Utah State Capitol.jpg|Isolatori sismici in opera (schema all'immagine precedente). File:LRBtest.jpg|Test di un isolatore sismico elastometrico (ripreso nel momento della massima estensione). File:Performance-testing-of-ep.gif|Test di un isolatore sismico a scorrimento. </gallery> == Maremoti (''Tsunami'') == [[File:Propagation du tsunami en profondeur variable.gif|thumb|right|verticale=1.5|Quando la profondità diminuisce, al diminuire della velocità delle onde la lunghezza d'onda diminuisce e la loro altezza aumenta.]] Le '''onde di maremoto''' (''Tsunami'', da un termine giapponese che significa "onda del porto"<ref group=N>Questo termine deriva dal fatto che le onde di maremoto hanno una altezza tale da scavalcare le difese portuali (dighe foranee), inoltre sono amplificate dalla morfologia costiera locale e soprattutto in caso di insenature profonde.</ref>) sono onde particolarmente pericolose e distruttive, generate da un terremoto di natura tettonica o vulcanica con epicentro sottomarino o costiero (ma in principio possono essere determinate da una qualunque forte perturbazione del fondo marino o della costa, come frane di grandi proporzioni, grandi distacchi di ghiaccio da ghiacciai costieri, impatti di meteoriti, persino cause artificiali come esplosioni o cedimenti di grandi strutture umane sulla costa). Sono sequenze di onde con caratteristiche molto diverse dalle normali onde marine, generate dal vento. Si tratta di onde con '''lunghezza d'onda molto grande''' (da chilometri a centinaia di chilometri) e '''velocità elevatissime''' (fino a centinaia di Km/ora). Sono serie (''treni'') d'onde con periodo variabile da minuti a ore, che in mare aperto hanno un'altezza minima (pochi centimetri o decimetri). Quando le onde si avvicinano alla linea di riva e la profondità diminuisce, per l'attrito con il fondale, tende a diminuire anche la velocità e quindi diminuisce anche l'energia cinetica delle onde. Contemporaneamente diminuisce la lunghezza d'onda (in altre parole: con il diminuire della velocità i fronti d'onda si avvicinano tra loro, un po' come veicoli su un'autostrada quando c'è una coda). Per un fenomeno fisico (''principio di conservazione dell'energia''), l'energia cinetica si trasforma quindi in energia potenziale (che è energia "di posizione"): questo avviene aumentando l'altezza delle onde. Le onde quindi, quando si avvicinano a riva, acquisiscono una maggiore altezza che si traduce in una maggiore energia potenziale. Questa energia potenziale si trasforma di nuovo improvvisamente in energia cinetica quando l'onda si frange a riva, sviluppando tutta la sua forza d'impatto in tempi brevissimi. Ora, questo avviene per tutti i tipi di onde: però nel caso delle tsunami, con caratteristiche di grande lunghezza d'onda, l'improvviso rallentamento sotto riva ne provoca l'aumento dell''''altezza fino a decine di metri''' (generando veri e propri "muri d'acqua"), in grado anche di scavalcare le dighe foranee dei porti e le difese costiere (se presenti), con conseguenze devastanti. L'altezza dei frangenti in questo caso conferisce alla massa d'acqua portata sulla costa della tsunami una capacità di penetrazione nell'entroterra che varia (a seconda delle caratteristiche morfologiche della costa stessa) da centinaia di metri a chilometri, con notevole capacità distruttiva. La pericolosità del fenomeno risiede anche nel fatto che la popolazione non si aspetta una inondazione a distanze significative dalla linea di costa, e viene sorpresa da un flusso d'acqua montante molto veloce e pieno di detriti, che è in grado di travolgere persone, infrastrutture, veicoli e di demolire edifici di costruzione scadente. I treni d'onde successivi di una tsunami possono arrivare separati da tempi che variano da minuti a decine di minuti (fino ad alcune ore). Non necessariamente la prima ondata è la più forte. [[File:Tsunami-kueste.01.vm.jpg|thumb|right|verticale=2.2|Schema che illustra il comportamento di un'''onda di maremoto'' (''tsunami'') quando si avvicina alla costa. In realtà lo schema è valido anche per le onde "normali": cambia ovviamente la scala del fenomeno.]] L'unica difesa da questo fenomeno consiste (avendo un preavviso sufficiente) nel portarsi con la massima celerità il più possibile lontano dalla linea di costa e possibilmente in posizione sopraelevata topograficamente. Se si è all'interno di edifici costruiti solidamente (acciaio o cemento armato) è necessario portarsi ai piani più elevati. Possibili indizi del prossimo arrivo di una tsunami sono: * la percezione diretta di un terremoto sulla costa; * un rumore cupo e continuo proveniente dal mare (simile a quello prodotto da un treno o da un aereo a bassa quota); * il ritiro improvviso verso mare della linea di riva per il richiamo di acqua al largo, verso il "cavo" dell'onda frangente. In altri casi si osserva un improvviso aumento del livello del mare simile a una inondazione, prodotto dall'afflusso d'acqua verso la costa; * un'onda di grandi dimensioni estesa a tutto l'orizzonte. Questi fenomeni tuttavia, anche se avvertiti e interpretati correttamente, generalmente danno un preavviso di pochi minuti. La vera difesa consisterebbe quindi in un '''sistema di allertamento precoce''' in grado di registrare gli eventi sismici che possono generare tsunami e di un '''sistema di rilevamento delle onde di maremoto''', in grado di individuarne il transito prima che si approssimino alla costa, il tutto coordinato con un efficiente '''piano di evacuazione''' della popolazione rivierasca. Questo presuppone anche l''''individuazione delle aree a rischio''' tsunami e la redazione di '''mappe di pericolosità''' basate sull'entità del '''''run-up''''' (definito "'''R'''"), ovvero dell'altezza del livello di inondazione (espressa in metri) ipotizzabile rispetto al livello medio marino (anche in questo caso si applica un periodo di ritorno statistico del fenomeno)<ref group=N>Indicazioni alle Componenti ed alle Strutture operative del Servizio nazionale di protezione civile per l’aggiornamento delle pianificazioni di protezione civile per il rischio maremoto. Pubblicato nella Gazzetta Ufficiale n.266 del 15 novembre 2018.</ref>. In Italia, il Sistema di Allertamento nazionale per i Maremoti (SiAM) generati da sisma nel Mar Mediterraneo è stato istituito con la Direttiva del Presidente del Consiglio dei Ministri del 17 febbraio 2017<ref group=N>Pubblicata nella Gazzetta Ufficiale n. 128 del 5 giugno 2017 recante “Istituzione del Sistema d’Allertamento nazionale per i Maremoti generati da sisma- SiAM”</ref>. [[File:Tsunami wavefield for the 2004 Sumatra-Andaman earthquake.webm|miniatura|right|verticale=1.7|Animazione che mostra la propagazione delle onde di maremoto generate dal sisma del 2004 nell'Oceano Indiano orientale.]] Il '''maremoto del 26 dicembre 2004''' si è originato nell'Oceano Indiano, nel contesto geodinamico della subduzione della placca indo-australiana sotto la placca euro-asiatica. L'evento ha avuto inizio alle ore 07:58:53 UTC+7 (le 00:58:53 UTC) del 26 dicembre 2004 quando un violentissimo terremoto, con magnitudo M_W di 9.1, ha colpito il fondale dell'Oceano Indiano al largo della costa nord-occidentale di Sumatra in Indonesia. Il sisma è durato 8 minuti. Una accelerazione improvvisa del movimento di subduzione ha causato l'innalzamento di una decina di metri della parte di fondale oceanico corrispondente al margine sud-occidentale della placca euro-asiatica. Lo spostamento della massa d'acqua in conseguenza di tale movimento ha causato la perturbazione all'origine del fenomeno di tsunami. E' stato uno dei più catastrofici disastri naturali dell'epoca moderna e ha causato centinaia di migliaia di morti (230000 vittime documentate, circa mezzo milione di feriti e infortunati e 5 milioni di sfollati. Ha avuto la sua origine e il suo sviluppo nell'arco di poche ore in una vasta area della Terra: ha riguardato l'intero sud-est dell'Asia e il subcontinente indiano (in particolare Sri Lanka). Le onde, generate circa 20 minuti dopo il terremoto, hanno impiegato circa tre ore ad attraversare il Golfo del Bengala prima di infrangersi violentemente contro le coste indiane e singalesi e sono arrivate nelle ore successive (a più di 6 ore dal sisma) ad interessare le coste dell'Africa orientale (in particolare la Somalia). E' stata stimata una velocità iniziale delle onde di maremoto di circa 800 Km/ora. Questo terremoto è risultato il terzo più violento degli ultimi sessant'anni, dopo il Terremoto di Valdivia del 1960 in Cile, il 22 maggio del 1960 e quello dell'Alaska del 1964, rispettivamente con M_W 9.5 e 9.2. La scossa principale è stata seguita fino al 1 gennaio 2005 da numerose repliche con magnitudo da 5 a 7, ma senza fenomeni significativi di tsunami.<br> L'altezza delle onde di tsunami è stata da 15 a 30 metri sulla costa della provincia indonesiana di Aceh (la più vicina all'epicentro), e da alcuni metri fino ad una ventina di metri nel resto delle aree costiere colpite. La massa d'acqua dopo essersi infranta sulle coste è penetrata nell'entroterra per distanze variabili da alcune centinaia di metri ad alcuni chilometri, a seconda della morfologia dell'area costiera, trascinando macerie, tronchi d'albero, imbarcazioni e automobili. Il bilancio delle vittime è stato fortemente aggravato dalla assenza di un sistema di allarme tsunami efficiente e coordinato tra i paesi dell'area. Posteriormente al disastro del 2004, il gap è stato colmato con l'attivazione del sistema internazionale DART (Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis). <gallery> File:Tsunami formation .png|Schema dell'innesco di un fenomeno di tsunami, in questo caso da un terremoto sottomarino causato da attività tettonica. File:Lituya Bay megatsunami diagram (English).png|Schema che illustra l'innesco di una tsunami da parte di una frana costiera. Baia di Lituya, Alaska, USA. La frana fu causata da un terremoto di grande magnitudine nel 1958. L'onda montante arrivò a devastare la sponda opposta della baia fino a oltre 500 m di altitudine. File:Clituyarho.webm|Modellizzazione al computer della tsunami di Lituya (1958). File:2004 Indonesia Tsunami Complete.gif|Animazione che mostra la propagazione dello tsunami catastrofico originatosi in Indonesia nel 2004. Le onde di maremoto, attraversando tutto l'Oceano Indiano, raggiunsero le coste della Somalia (seppure attenuate) ancora con effetti devastanti. File:US Navy 050102-N-9593M-040 A village near the coast of Sumatra lays in ruin after the Tsunami that struck South East Asia.jpg|Un villaggio della provincia di Aceh (Indonesia) devastato dalla tsunami generata dal terremoto dell'Oceano Indiano del 2004. Il mare si vede nella parte alta della fotografia, ad alcuni chilometri di distanza. File:Tsunami 2004 aftermath. Aceh, Indonesia, 2005. Photo- AusAID (10730863873).jpg|Effetti della tsunami del 2004 sulla coata di Aceh (Sumatra, Indonesia). La devastazione si estende a tutta la fascia costiera pianeggiante, fino ai primi rilievi (non interessati). File:Tsunami 2004 aftermath. Aceh, Indonesia, 2005. Photo- AusAID (10730592474).jpg|Aceh (Sumatra, Indonesia). Barca trascinata sopra un edificio. Tsunami del 2004. File:Khao Lak Police Boat 813.jpg|Motovedetta thailandese trascinata nell'entroterra, a circa 2 Km dalla costa (terremoto dell'Oceano Indiano del 2004). File:Tsunami-dart-system3.jpg|Boa facente parte del Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis (DART), con sistema di monitoraggio delle variazioni di pressione, temperatura e livello del mare. Le tsunami in mare aperto hanno altezze molto limitate, che richiedono sistemi di rilevamento assai accurati. File:2010 Chile earthquake - NOAA buoy 34142 - water column height short.png|Grafico che illustra le variazioni del livello del mare nel tempo e la perturbazione generata dal passaggio di una tsunami causata da un terremoto in Cile (2010). Misurazione della boa 34142 del sistema DART (Pacifico sud-orientale - 1170 km a sud-est Lima). </gallery> == Link interessanti == * Interessante sito interattivo con la mappa dei terremoti in tempo reale, visibili anche in 3D: [http://www.iris.washington.edu/ieb/index.html?format=text&nodata=404&starttime=1970-01-01&endtime=2025-01-01&orderby=time-desc&limit=500&maxlat=50.96&minlat=5.70&maxlon=86.18&minlon=-14.28&pbl=1&zm=4&mt=ter IRIS Earthquake Browser] * I terremoti sul sito dell'Istituto Nazionale di Geologia e Vulcanologia (INGV) [https://ingvterremoti.com/faq/faq-domande-frequenti-sui-terremoti/#_Toc423523391] == Note == === Esplicative === <references group=N/> === Bibliografiche === <references/> == Bibliografia == Le informazioni contenute in questo capitolo derivano dai testi seguenti: * {{cita libro|autore1= Bosellini A. |titolo= Tettonica delle Placche e Geologia |editore= Italo Bovolenta Editore |anno= 1978 |cid= Bosellini (1978)}} * {{cita libro|autore1= Ceccarelli F. |titolo= Prontuario tecnico urbanistico amministrativo |editore= Maggioli |anno= 2020 |cid= Ceccarelli (2020)}} * {{cita libro|titolo= Ingegneria antisismica |curatore1= Sarà G. |autore1= Guerra I. |capitolo= Elementi fondamentali di sismologia |editore= Liguori |anno= 1983 |cid= Sarà (1983)}} * {{cita libro|autore1= Milano G. |titolo= Cos'è il Terremoto?. Quaderni di protezione civile |editore= Regione Molise, Assessorato alla protezione civile - Osservatorio Vesuviano I.N.G.V. |anno= 2001 |cid= Milano et al. (1978)}} * {{cita pubblicazione|autore1= Gruppo di Lavoro ICMS |titolo= Indirizzi e criteri per la microzonazione sismica |rivista= Conferenza delle Regioni e delle Province Autonome-Dipartimento della Protezione Civile |anno= 2008 |cid= Gruppo di Lavoro ICMS (2008)}} * {{cita pubblicazione|autore1= Gruppo di Lavoro ICMS |titolo= Contributi per l’aggiornamento degli Indirizzi e criteri per la microzonazione sismica |rivista= Ingegneria Sismica, anno XXVIII, n.2, 2001, 68 pp. |anno= 2011 |cid= Gruppo di Lavoro ICMS (2011)}} * {{cita libro|autore1= Pasquale V. |titolo= Geofisica |editore= EGIC - Edizioni Culturali Internazionali Genova - S.r.l. |capitolo= III - Sismologia e struttura interna |anno= 2015 |cid= Pasquale (2015)}} * {{cita pubblicazione|autore1= Sieber A. |titolo= Geologie der Erdbeben |rivista= Handbuch der Geophysik, 2(4), 552-555. |anno= 1930 |cid= Sieberg (1930)}} * {{cita pubblicazione|autore1=Scholz C.H.|autore2=Sykes L.R.|autore3=Aggarwal Y.P. |titolo=Earthquake prediction: A physical basis |rivista=Science, 181, 803-810 |anno=1973 |cid=Scholtz et al. (1973)}} * {{cita pubblicazione|autore1= Tertulliani A.|autore2=Azzaro R.|Buffarini G. |titolo= Scala Macrosismica Europea 1998 - EMS-98 |curatore=Grünthal G.|rivista= Cahiers du Centre Européen de Géodynamique et de Séismologie - V. 32 |anno= 2019 |cid= Tertulliani et al. (2019)}} * {{cita libro|autore1= Vinale F. |titolo= Indirizzi per studi di microzonazione sismica |editore= Analisi e Monitoraggio del Rischio Ambientale (AMRA) S.c. a r.l. |anno= 2008 |cid= Vinale (2008)}} Per la didattica sono stati tenuti presenti i testi seguenti: * {{cita libro|autore1= Angiolino A.|autore2= Fagnani F. |titolo= Terremoto. io non rischio |capitolo= Terremoti come e perché |editore= Dipartimento della Protezione Civile / INGV / Giunti Progetti Educativi |anno= 2012 |cid= Angiolino e Fagnani (2012)}} * {{cita libro|autore1= Pignocchino Feyles C. |titolo= Geoscienze. Corso di scienze della terra per il secondo biennio e il quinto anno. |editore= Società Editrice Internazionale |anno= 2021 |cid= Pignocchino Feyles (2021)}} [[Categoria:Scienze della Terra per le superiori|Terremoti]] {{Avanzamento|100%|29 maggio 2021}} r5trmoy72kt7f1k61mp6t3zctpysrzl 0 35243 498561 498463 2026-05-28T14:41:56Z VoceUmana7 51633 498561 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della [[w:Provincia di Como|Como]] raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Como|Como]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Albavilla|Albavilla]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Albese con Cassano|Albese con Cassano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Albiolo|Albiolo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Alzate Brianza|Alzate Brianza]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Appiano Gentile|Appiano Gentile]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Arosio|Arosio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Bellagio|Bellagio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Binago|Binago]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Blessagno|Blessagno]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Blevio|Blevio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Bregnano|Bregnano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Brunate|Brunate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Cantù|Cantù]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Capiago Intimiano|Capiago Intimiano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Carate Urio|Carate Urio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Carimate|Carimate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Carugo|Carugo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Casnate con Bernate|Casnate con Bernate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Cermenate|Cermenate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Cernobbio|Cernobbio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Colverde|Colverde]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Cucciago|Cucciago]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Faggeto Lario|Faggeto Lario]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Figino Serenza|Figino Serenza]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Grandate|Grandate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Guanzate|Guanzate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Grandate|Grandate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Griante|Griante]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Inverigo|Inverigo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Lurate Caccivio|Lurate Caccivio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Mariano Comense|Mariano Comense]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Maslianico|Maslianico]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Menaggio|Menaggio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Olgiate Comasco|Olgiate Comasco]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Orsenigo|Orsenigo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Rovellasca|Rovellasca]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Solbiate con Cagno|Solbiate con Cagno]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Tremezzina|Tremezzina]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Turate|Turate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Valmorea|Valmorea]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Veniano|Veniano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Villa Guardia|Villa Guardia]] {{Avanzamento|40%|24 ottobre 2023}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] nm7i4t09h937ookmm675o8hxeavh6ah 0 35422 498557 494382 2026-05-28T14:30:31Z VoceUmana7 51633 498557 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Francesco Nasoni * '''Anno:''' 1912 * '''Restauri/modifiche:''' Colzani Organi (restauro, 2011) * '''Registri:''' 12 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 27 note (''Do¹''-''Re³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, su cantoria ''in cornu Evangelii'' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Manuale''' ---- |- |Celeste o flebile || 8' |- |Principale || 16' |- |Quintadecima || 2' |- |Ottava || 4' |- |Principale || 8' |- |Unda maris || 8' |- |Flauto || 4' |- |Violino || combinato |- |Viola || 8' |- |Tromba || 8' |- |Ripieno || 5 file |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |} |} {{Avanzamento|100%|14 marzo 2015}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] dkzz6og94aborepg27id966n14ui38y 498558 498557 2026-05-28T14:35:27Z VoceUmana7 51633 498558 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Francesco Nasoni * '''Anno:''' 1912 * '''Restauri/modifiche:''' Colzani Organi (restauro, 2011) * '''Registri:''' 12 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 27 note (''Do¹''-''Re³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, su cantoria ''in cornu Evangelii'' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Manuale''' ---- |- |Celeste o flebile || 8' |- |Principale || 16' |- |Quintadecima || 2' |- |Ottava || 4' |- |Principale || 8' |- |Unda maris || 8' |- |Flauto || 4' |- |Violino || combinato |- |Viola || 8' |- |Tromba || 8' |- |Ripieno || 5 file |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |} |} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.ismaelegatti.it/files/2016-06-10_Cucciago.pdf|titolo=Percorsi d'organo in provincia di Como}} {{Avanzamento|100%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] bx9u7gaw61505839tm66uga1kue1mzd 0 38379 498607 473836 2026-05-29T10:45:25Z Avemundi 6028 refuso 498607 wikitext text/x-wiki {{Filosofia dell'informatica}} ==Nicholas Negroponte: essere digitali== [[File:Nicholas Negroponte USNA 20090415.jpg|thumb|left|Nicholas Negroponte]] "Essere digitali" è un libro del professor Negroponte riguardante il confronto generazionale e l'abisso che separa generazioni apparentemente conseguenziali ma totalmente differenti tra di loro a causa dell'avvento del digitale che, nel corso di venti anni circa, ha totalmente modificato gli stili di vita dell'umanità allontanando i punti di vista tra genitori e figli. Il libro è nato, perciò, con lo scopo di rendere noto ciò che è considerato ignoto alle generazioni nate e cresciute senza la presenza di Internet; generazioni che finiranno per imparare da quelle successive. Per esplicare in maniera semplice questo cambiamento, in una delle interviste sostenute, Negroponte parla di bit ed atomi per descrivere la rivoluzione digitale della nostra epoca. Un bit in ambito digitale ha la stessa valenza di un atomo con la differenza che, se un atomo "sottratto" crea un vuoto, per ogni bit "sottratto" ve ne è sempre uno che rimane. L'avvento del computer si sviluppa verso la fine del 1994, quando i primi mezzi della tecnologia sono finiti nelle case private. La vera svolta, però, è delineata dall'uso e dalla diffusione di Internet nel quotidiano che ha creato un punto di riferimento così grande da poter far crollare ogni altra forma di comunicazione. La velocità con la quale ha sovvertito sia gli scopi per i quali fu creato (Negroponte ci ricorda quelli militari) che il mondo lavorativo e quello sociale, ci mostra la grandezza e l'incontrollabilità della rete. Molti credono che l'avvento di internet e della tecnologia sia un deficit per l'umanità, il professor Negroponte ci fa notare, invece, che oltre ad essere un mondo che può arricchire notevolmente le persone, è anche una prova virtuale del mondo reale che permette anche una corretta educazione attraverso esperienze che, proprio perché virtuali, non nuocciono all'infante. Inoltre, gli approcci e le comunicazioni virtuali portano ad avere nel mondo reale, più fiducia nelle persone e più abilità a socializzare. Insomma, la visione della rete da parte di Negroponte, è del tutto positiva, basti pensare alle parole finali rilasciate nell'intervista: "Vedo la rete come uno strumento di potenziamento e armonizzazione [...] credo che Internet sia cresciuto meglio di qualsiasi altro organismo che io conosca nella storia." ===Dall'atomo al bit=== Alla domanda su cosa significhi "essere digitali" il professor Negroponte risponde che è semplicemente un modo di vivere chiaro a tutti i bambini del mondo ma ignaro agli adulti. Questi ultimi, infatti, dovrebbero imparare dai bambini e comprendere il passaggio dall'atomo al bit, ossia dal mondo materiale al mondo senza confini e globale. Questa differenza generazionale divide il mondo tra i giovani, al corrente del mondo informatico, e gli anziani convinti che, se per tutta la vita hanno potuto fare a meno di questo tipo di conoscenza, non è necessario imparare ora. Questo errore di pensiero porterà le due generazioni ad allontanarsi ma se gli anziani iniziassero ad imparare dai giovani, il divario di conoscenze, potrà essere colmato in circa 4 anni. Il professor Negroponte, quando fondò il MediaLab, fu spinto dall'interesse al modo in cui le persone comunicano con le macchine e al modo in cui il contenuto dell'informazione può influenzare la tecnologia ed il canale informativo. Per quanto riguarda l'ipotesi di burocratizzazione di internet, il suo pensiero è che sia totalmente impossibile; sia per le sue radici, sia per il suo modo di diffusione, sia per l'assenza di un controllo centrale, internet non potrà mai essere fermato o affidato a delle aziende. Se in televisione si vuole interrompere un programma basta rimuovere il presidente e smettere con la trasmissione; per Internet non è così perché è sia trasmittente che ricevente, non ha controlli e supera tutte le frontiere. Tra i progetti di MediaLab c'è anche quello di dare spazio alle reti televisive che ci forniranno la giusta informazione in quel momento, degli agenti (ossia programmi informatici che vivono nella rete) sceglieranno per noi tra le moltitudini di programmi ciò che stiamo cercando;saranno una sorta di guide. Inoltre, Internet è un grande mezzo di comunicazione e anche di socializzazione, dà la capacità, tramite anche l'anonimato, di spingersi oltre ciò che nella vita reale, per timore, non chiediamo. È anche un ottimo mezzo per trasformare le piccole imprese in aziende multinazionali con un mercato mondiale, anche se contano due o tre addetti. L'unico lato oscuro di Internet, sul quale il professor Negroponte sostiene di dover ancora lavorare molto, nell'ambito della sicurezza e della privacy, bisogna aumentate la protezione della sfera privata. Per quanto riguarda la sua lentezza, essa è dovuta al fatto che è capace di crescere del 10% ogni mese, in alcuni paesi del 10% in una settimana. Il tasso di crescita è fenomenale ed implica una lentezza. Alla domanda se vivere in modo digitale sia un'idea troppo "americana", Negroponte risponde che, ha viaggiato per tutto il mondo, ha messo in funzione computer in zone più remote e ha notato la destrezza con la quale i più giovani ne fanno uso. Il computer, Internet e vivere digitale è qualcosa appartenente alle nuove generazioni ed è talmente fondamentale da poterlo e volerlo esigere come l'aria. ==Jaron Lanier: la realtà virtuale e le distorsioni del web== [[File:Jaron Lanier 1.jpg|thumb|left|Jaron Lanier]] Nato a New York il 3 maggio 1960, è un informatico, compositore e saggista statunitense, noto per aver reso popolare l'espressione virtual reality. Scrive per Edge e Discover, e insegna alla UC Berkeley. In una celebre intervista espone la sua concezione di realtà virtuale intesa come strumento di condivisione di nuovi mondi, spiegando che il computer vive nella misura in cui è l'uomo ad attribuirgli delle qualità. Interessante è anche il rapporto tra mondo virtuale e disabili, ma questo resta un argomento abbastanza difficile da trattare in quanto esistono diversi approcci a seconda dei vari tipi di handicap. All'età di soli 20 anni crea la prima società di realtà virtuali, dal nome VPL Research, successivamente acquistata dalla SUN Computer, vendendo in tutto il mondo i primi guanti (data gloves) e apparecchi da mettere in testa (eyephones). Abbandonò poi il progetto a causa di alcuni investitori francesi. ===''Tu non sei un gadget''=== Uno dei suoi saggi più importanti, ''Tu non sei un gadget'', si propone come un'autocritica sui cambiamenti indotti dalle nuove tecnologie. Lanier analizza tutti gli aspetti di un universo digitale contraddittorio mettendoci in guardia dai mercati finanziari e da siti che troppo spesso privilegiano "l'intelligenza collettiva", mettendo in crisi l'idea di sapere. Per questi motivi definisce Wikipedia come un "maoismo digitale". Le tecnologie sono estensioni del nostro io e il minimo dettaglio di un gadget può alterare la nostra identità. Perciò non dovremmo cercare di rendere il più efficiente possibile la mentalità di branco quanto cercare di introdurre il fenomeno dell'intelligenza individuale, seppure resta difficile esprimere attraverso una formula qualunque cosa sia una persona. Per Lanier essere una persona rimane una ricerca, un mistero, un atto di fede. Egli afferma che la tecnologia sta trasformando l'uomo in esseri standardizzati, privi di individualità e di coscienza e profetizza che se le persone continueranno a essere schiave della tecnologia e a non considerare il proprio valore, esaltando invece le cloud di persone online, si finirà per creare "un esercito di zombie".<ref>''Tu non sei un gadget'', p. 60.</ref>". Opera una critica al web 2.0 e alle nuove tecnologie ,che stanno causando un impoverimento della cultura, e ai social networks. Siti come Facebook attuano una specie di formattazione dell'identità riducendo l'amicizia ad una accumulazione di contatti personali. Essi sono anche colpevoli di ridurre i singoli a " gadget", manipolabili dal soffocante totalitarismo cibernetico. Il suo obiettivo, è appunto "evitare di ridurre le persone a meri dispositivi... ".<ref>''Tu non sei un gadget'', p. 201.</ref>". Lanier propone come soluzione l'arricchimento della profondità della comunicazione.Si tratta di un'idea di progresso basata sulla comunicazione post–simbiotica, ovvero la possibilità di trasformare la propria forma mentre si parla, creando un'esperienza diretta. '''La dignità ai tempi di internet''' Jaron Lanier pubblica il 7 marzo 2013 l'opera '''Who owns the future?''' tradotta in italiano da Alessandro Delfanti con il titolo " La dignità ai tempi di internet".É un saggio che ha come obiettivo quello di esporre una risoluzione al gravoso problema dell' iperdisoccupazione che l'avvento e il progresso continuo e costante delle macchine digitali ha apportato. I server Sirena sono ditte in cui si accumulano informazioni personali e non, che la classe media dispensa in cambio di servizi gratuiti. Questi server non pagano chi contribuisce con i propri dati, accrescono le loro ricchezze celando questo passaggio agli uomini. La proposta di Lanier è un 'alternativa ripresa da un 'idea di Ted Nelson,proponendo un sistema di collegamento a due vie che punta alla fonte di qualsiasi informazione, sviluppando un' economia di micropagamenti che retribuisce la creatività e l'originalità del materiale che pubblicano sul web. == Luciano Floridi: dall'informazione all'infosfera digitale == == Sherry Turkle: identità e solitudine nell'era digitale == == Byung-Chul Han: la società della trasparenza e la psicopolitica == == Yuk Hui: tecnodiversità e cosmotecnica == == N. Katherine Hayles: come siamo diventati postumani == == Donna Haraway: il manifesto cyborg e il tecnofemminismo == == Gilbert Simondon: individuazione e oggetti tecnici == == Bernard Stiegler: la tecnica come ''pharmakon'' == ==Jean Baudrillard: la scomparsa della realtà== [[File:WikipediaBaudrillard20040612.jpg|thumb|left|Jean Baudrillard]] Il pensatore francese Jean Baudrillard è una delle principali figure intellettuali dell'epoca contemporanea; il suo lavoro combina la filosofia, la teoria sociale e una metafisica culturale che riflette sugli avvenimenti chiave dell'era presente,critico tagliente della società, della cultura e del pensiero contemporaneo. Ha tracciato in maniera originale la vita dei segni e l'impatto della tecnologia sulla vita sociale e ha criticato sistematicamente le correnti principali del pensiero moderno, sviluppando nello stesso tempo le proprie prospettive filosofiche. La realtà per Baudrillard è già scomparsa in un certo modo, sgretolata sotto la spinta delle tecnologie moderne, inizialmente da una parte c'era il mondo reale, e dall'altra l'irrealtà, l'immaginario, il sogno, nella dimensione virtuale tutto questo viene assorbito in egual misura, e le care vecchie contraddizioni fra realtà e immaginazione, vero e falso, e via dicendo, vengono in certo modo sublimate dentro uno spazio di iper-realtà che ingloba tutto compreso il rapporto fra soggetto e oggetto. Entrambi, in via di principio, sono elementi interattivi, ma il soggetto in questo caso non ha più una sua posizione,una condizione vera,la sua posizione è pericolosamente minacciata se non eliminata dal mondo del virtuale. Lo stesso Baudrillard cerca di chiarire tale situazione riprendendo il mito della caverna di Platone utilizzato come chiave di interpretazione del conflitto fra reale e virtuale. Nel mondo reale noi non siamo che il riflesso di un'altra sorgente, che esiste altrove, una fonte luminosa dinanzi alla quale però si interpone un corpo, che genera delle ombre. Nel mondo virtuale, invece,non ci sono né apparenze né essere, non esistono ombre giacché l'essere è trasparente, in un certo senso può essere inteso come il dominio della trasparenza totale,non abbiamo più ombra ,l abbiamo persa,abbiamo perso in realtà l essere stesso,la sua opacità,il suo spessore e profondità. Nel suo libro ''Il delitto perfetto'' troviamo la ricostruzione di un delitto, ovvero la morte della realtà e lo sterminio delle illusioni ad opera dei media e delle nuove tecnologie. Il testo tratta in effetti dell'uccisione della realtà e più ancora delle illusioni,intese come una parte diversa del nostro rapporto con l'esistente che è stata completamente compromessa da questa operazione del virtuale che può essere definita appunto come una sorta di "delitto" ma che in fondo non è che una metafora un poco esagerata,in quanto il tutto è molto più vicino alla eliminazione. Questo universo reale infatti, imperfetto e contraddittorio, pieno di negatività, di morte, viene depurato, lo si rende pulito; lo si riproduce ,in maniera identica ma dentro a una formula perfetta. L'atteggiamento di critica riprendendo il pensiero critico tradizionale non può inoltre che essere considerato anti-mediatico, muovendo obiezioni ai media. I media fanno un lavoro considerato essenziale nella strategia del delitto perfetto,l'obiettivo dei media è stato quello di eliminare effettivamente il principio morale e filosofico della verità, per installare al suo posto una realtà completamente ingiudicabile, una situazione di incertezza. Si sono dedicati a smontare questo principio di verità, autorità e certezza che rappresenta del resto, il fondamento di tutta una civiltà. Allo stesso modo tutta la tecnica in generale, non solo i media, ma gli strumenti tecnici, le macchine, eccetera, sono in un certo senso anch'essi dei mezzi per togliere realtà al mondo, e per instaurare una sorta di incertezza e finalmente di amoralità delle cose. Ogni tentativo di opporsi a questo processo basato nel ricreare, ritrovare un senso etico è destinato a fallire. In quanto la morale presuppone nell'uomo ,un principio di libertà e responsabilità,elementi che sono stati largamente marginalizzati durante questo processo. Baudrillard afferma che bisogna credere nella realtà affinché il rapporto con essa possa cambiare, si è creato infatti con le nuove tecnologie un rapporto da credente/incredulo che ci ha resi via via più scettici e che condurrà la gente al non credere più a nulla. Il vero problema sarà capire dove o a cosa questo rapidissimo sviluppo tecnologico porterà, viene presa in considerazione la possibilità di incidenti collettivi come la probabile catastrofe che si aspettava in occasione dell'anno 2000 con il Bug dei computer,evento paradossale dove la nostra catastrofe viene prevista come una catastrofe virtuale messa in atto da noi stessi. Bug aspettato con timore, ma al contempo come una fascinazione. La scadenza simbolica del millennio serve precisamente a cristallizzare questa ricerca dell'immaginario, si ha quindi una specie di speranza nell'anno 2000 l'idea che si riazzereranno tutti i computer, che si lavi via il ventesimo secolo così pieno di violenza e guerre, e che si ricomincerà da capo con una forma di innocenza collettiva. Questa speranza esiste, ma al contempo si affianca a una speranza inversa, ossia non proprio che tutto sprofondi ma che si verifichi un vero disastro, un incidente di ignara natura, il quale dia vita a un evento davvero determinante e decisivo. Il filosofo francese inoltre ci spiega come la tecnologia si spinge ancora oltre,cercando di sopprimere l'idea stessa di morte attraverso la clonazione. La morte individuale verrà sostituita da un'impresa tecnica che porterà ad un forma di immortalità,verrà espulsa ed eliminata dall'ambito della vita,per mantenere di quest'ultima nient'altro che i lati positivi, cancellando tutti quelli negativi. Di conseguenza la stessa industrializzazione avvenuta in passato in termini piuttosto di forza produttiva e in relazione al lavoro,ora sfrutterà qualcosa di molto più profondo ossia dell'idea di non morire, di perpetuarsi, insomma dell'idea dell'eternità arrivando ad acquisire una valenza del tutto economica. ==Pierre Lévy: l'intelligenza collettiva== L'intelligenza collettiva è un tipo di intelligenza distribuita ovunque c'è umanità. Quindi se due persone sono lontane, tramite le nuove tecnologie, possono entrare in comunicazione l'una con l'altra e scambiarsi il loro sapere. Ciò, però comporta nuovi problemi etici ma l'intelligenza collettiva ha un'etica che consiste nel riconoscere alle persone le proprie qualità e di metterle a disposizione di tutta la comunità per poterne beneficiare. Per fare ciò, inoltre, bisogna che ogni individuo possa esprimersi liberamente ed è questa la prospettiva dell'intelligenza collettiva, quella di opporsi ad ogni tipologia di oppressione e di lottare per l'emancipazione. L'intelligenza collettiva è quindi, interattività, ad esempio con il cyber spazio, i forum di discussione elettronici, con Internet c'è la possibilità che tutti possano comunicare con tutti ma all'interno di ciò nessuno è obbligato a condividere le idee degli altri e ognuno può prendere la propria posizione. Questo, comporta dei pericoli, come la perdita del vero motivo per cui è stato creato, quello di creare un movimento sociale in grado di arricchire la civiltà e l'essere umano. Infatti, i governi stanno usando questo spazio per tentare di costruire un apparato collettivo, una sorta di "grande televisione", oppure i commercianti che vedono questo spazio come un luogo dove vendere i propri prodotti o recuperare attività commerciali. In rete, comunque, si trova una massa enorme di informazioni, una totalità di informazioni a cui noi no possiamo accedere nella totalità e quindi, dobbiamo necessariamente fare appello ad altri, alle conoscenza altrui. Ad esempio, se mettiamo sul World Wide Web un documento, ma anche il nostro punto di vista. Il world wide web non è solo una massa di informazioni ma anche un insieme di punti di vista. L'intelligenza collettiva ha all'interno una forma di organizzazione chiamata "intelligenza connettiva", ovvero una connessione da persona a persona all'interno di una rete specifica. ==Tomás Maldonado: la critica del paradigma digitale== ===Reale e virtuale (1992)=== ===Critica della ragione informatica (1997)=== [[File:Tomás Maldonado Milano 2014.jpg|thumb|left|Tomás Maldonado]] "Sono profondamente convinto che le tecnologie, se si vuole tutelare la loro carica innovativa, devono restare sempre aperte al dibattito delle idee"". In questi termini Maldonado conclude la prefazione di ''Critica della ragione informatica'', un saggio pensato per approfondire, in primo luogo, il rapporto tra le tecnologie telematiche e le dinamiche imprevedibili della società. E seppure il titolo lascia pensare tutt'altro, il filosofo e designer argentino non vuole affatto contestare le nuove tecnologie informatiche, né gli effetti del loro impatto sulla società, bensì prendere le distanze dal conformismo e dal trionfalismo dilagante nei confronti di tali tecnologie. Il termine "critica", infatti, afferma Maldonado in un'intervista del '97, deve essere inteso in senso kantiano e cioè non come giudizio ma come analisi, per arrivare a determinate conclusioni attraverso l'esplorazione di pro e contro. Pertanto con "ragione informatica" si fa riferimento a tutte le argomentazioni che vengono utilizzate per fornire una giustificazione storica delle nuove tecnologie informatiche e in particolare di Internet. Ovviamente, trattandosi di realtà emergenti su scala mondiale, le opinioni a riguardo non possono che essere varie e controverse. L'infinita potenzialità delle nuove tecnologie telematiche, infatti, non può che suscitare dubbi e perplessità. Ma la loro efficienza nella vita quotidiana ha contribuito ad un radicale mutamento della società e, di conseguenza, i sospetti tanto acclamati dagli studiosi, hanno lasciato spazio ad una prepotente enfatizzazione. Proprio in essa Maldonado ha scorto il male più deleterio, poiché ci ha fatto dimenticare di questioni aperte su cui è necessario riflettere; infatti "niente può essere più pericoloso, in questo momento, che mandare in congedo l'intelligenza critica". Le questioni da prendere in considerazione sono molte, tuttavia è certo che i pro, nel mondo virtuale delle informazioni, sono nettamente maggiori dei rischi in cui ci si può imbattere. La rete infatti è nata per ampliare la conoscenza umana riprendendo la tradizione socratica della ricerca, pertanto la sua esponenziale crescita e diffusione, derivata anche da una circolazione economica maggiore, ha procurato effetti imprevedibili, quali: eccesso di informazione, disinformazione, impoverimento del patrimonio linguistico, trasformazioni di identità. L'aspetto accidentale più inquietante è senz'altro la nascita di una scrittura fortemente stereotipata proveniente non dalla nascita di internet ma dall'invenzione di software per la comunicazione virtuale, come e-mail e chat. Quest'ultimo in particolare, ha aperto la strada ad un cyber-gergo basato su espressioni tecniche che omettono gli aggettivi. Inoltre questo nuovo linguaggio non è dannoso esclusivamente al patrimonio linguistico ma soprattutto influenza negativamente il nostro modo di pensare e di essere. Con le "chiacchiere" attraverso Internet, infatti, è possibile divenire l'oggetto di desiderio della persona dall'altro lato dello schermo, presentandosi con una personalità virtuale identica a quella reale dell'interlocutore. Attraverso la rete quindi, un individuo può attribuirsi le sembianze che desidera adattandosi alle occasioni assumendo così diversi tipi di individualismi. Tali rapporti, stabiliti attraverso la rete, creano, inoltre, delle comunità virtuali, le quali nascono, infatti, per un processo simpatetico ovvero di similitudine e interesse che la gente ha nei confronti di particolari argomenti. Ma questa assimilazione di interessi rappresenta anche un limite. Se infatti, da una parte, queste comunità esprimono un potenziale solidaristico, per esempio, in funzione dei malati, dall'altra rappresentano un problema circa la democratizzazione. Infatti, un processo democratico reale non può avvenire nel caso in cui gli individui di una comunità si confrontano con identità finte, né tanto meno se i membri di questa comunità possiedono gli stessi interessi. Una democrazia ricca non si basa su comunità di gente che si assomiglia o che ha gli stessi interessi, piuttosto su una varietà di individui che comunichino idee, preferenze e valori differenti. D'altronde una democrazia frantumata in una serie di comunità di simili non può rappresentare l'ideale di vita democratica. Il cyberspazio, comunque, è considerato dai suoi promotori e interpreti un contributo fondamentale per agevolare una democrazia diretta e accrescere così tra i cittadini una consapevolezza politica. L'informazione, infatti, predispone gli individui ad una presa di coscienza del funzionamento politico e burocratico con cui sono a contatto. Inoltre, la creazione delle cosiddette reti civiche, attraverso le quali i cittadini vengono in possesso di tali informazioni, ha permesso di rinforzare l'operatività democratica offrendo, inizialmente l'avanzamento di proposte, e poi altri elementi importanti all'esercizio della cittadinanza. Un altro vantaggio della rete, oltre all'informazione, è senz'altro la possibilità di lavorare a distanza evitando di recarsi necessariamente alla sede della propria occupazione. In questo modo, nell'immaginario collettivo, il lavoratore, tramite il computer, avrà più libertà e potrà gestire più facilmente il suo tempo. Ma questo processo costituisce solo in parte la realtà quotidiana. Infatti, quando si parla di telelavoro, non si deve immaginare un lavoratore casalingo "in pantofole", piuttosto un impiegato che esegue mansioni specifiche, come commessi viaggiatori che contraggono contratti in tutto il mondo, giornalisti, i quali possono effettivamente scrivere articoli entro gli spazi domestici, fotografi o chi si occupa di ricerche di marketing. Pertanto il telelavoro non si può estendere anche in quei settori ancora troppo tradizionali ove la presenza reale è indispensabile, o forse è ancora troppo presto adattare le risorse tecnologiche in nostro possesso a tutti gli ambiti lavorativi. Ma probabilmente la questione non è il progresso tecnologico quanto l'alienazione degli individui dal loro ruolo familiare, i quali, entrando nel mondo della produzione, dovrebbero pagare il prezzo altissimo della desocializzazione. È evidente però che le nuove tecnologie e in particolare il fenomeno di internet, hanno favorito eccessivamente il mercato del lavoro e, insieme ad esso, una globalizzazione economica che ha consentito l'accesso a tutti i mercati possibili compreso quello della tecnologia che, di conseguenza, ha fornito la base tecnica e strumentale per un ulteriore ed esponenziale incremento della globalizzazione. Mentre però la globalizzazione economica e quella tecnologica sono oggetto di discussioni sia a favore che contro la loro utilità, per quanto riguarda quella culturale vi è un diniego generale poiché più che essere considerata un'enfatizzazione del sapere significa egemonizzare una sola e determinata cultura che come sappiamo è quella americana. Pertanto è necessario sollevare una seria riflessione ed essere vigili su tale processo per evitare l'annichilimento di usi, costumi e consuetudini caratteristici dei popoli. Inoltre non bisogna confondere la capacità di internet di divulgare l'informazione con la sua abilità di generare omologazione. Ma questo problema, se da una parte è deleterio per il modo di pensare, dall'altra costituisce il sistema più veloce e completo per comunicare ed aggiornarsi, aspetti importanti nel XX secolo e ancor più nel XXI. Pertanto, esercitare nella rete forme di controllo, costituisce il metodo più comprensibile per ovviare questioni rischiose di carattere economico e socioculturale. Maldonado però solleva giustamente dubbi sulla questione della censura perché ritiene necessario valutare il prezzo che si paga per essa e per la libertà di espressione. Tra l'altro, anche se non fossimo soggetti a nessuna forma di controllo, non saremmo altrettanto autonomi in quanto attori sociali che partecipano inconsciamente a tale processo. Infatti, noi entriamo in rete con determinate istanze e quindi con un nostro bagaglio di autocontrollo e autocensura. Pertanto seppure ci fosse concessa la piena libertà nel cyberspazio, noi con la nostra cultura porteremmo in esso una forma di controllo astratta. La globalizzazione, comunque, seppure ha travolto miliardi di persone, non è riuscita, nel suo profilo tecnologico, a condizionare più di un terzo dell'umanità. Se da un lato si pensava che Internet avrebbe armonizzato i rapporti tra gli individui e attuato un processo di uguaglianza, dall'altro non si prevedeva un'ulteriore emancipazione dei soggetti economicamente limitati. Infatti, si è venuta a creare, oltre al già presente divario tra l'emisfero nord e sud del pianeta, un'altra cernita di soggetti denominati info-poveri e info-ricchi. È probabile però, afferma Maldonado alla fine del secolo scorso, che in un futuro prossimo ciascun individuo potrà avere accesso a Internet anche se, questa prospettiva deve tener conto di indeterminati fattori di democratizzazione tecnologica e verificare condizioni ancora oggi incalcolabili, quali lo sviluppo economico, sociale e culturale che non lasciano presagire la direzione che potranno avere gli eventi socioculturali: "con le crisi sociali, etniche, di religione che caratterizzano i nostri tempi e fanno di quest'epoca, un'epoca di convulsioni è difficile immaginare in tempi brevi una regolamentazione globale dello strumento Internet". ===Memoria e conoscenza (2005)=== ''Memoria e conoscenza – Sulle sorti del sapere nella prospettiva digitale'' è un saggio scritto da Tomás Maldonado nel 2005. In questo saggio, il designer e filosofo argentino ripercorre un excursus storico-genetico della cultura e del sapere umano, concentrando il tema sul rapporto fra identità personale e memoria, sulla prassi e la poiesi fra tradizione ed innovazione, sul riconoscimento del proprio bagaglio mnesico negli spazi vissuti, sulle ricadute educative nelle nuove generazioni, alle prese con un forte richiamo alla creatività computazionale, sulla complementarità fra tecnica e società. L'attenzione inizialmente ricade sulla memoria localizzata, che per l'autore è impossibile da definire attraverso un procedimento olistico. La memoria umana non è soltanto cervello, ma pluralità di memorie parziali, a partire anche dal nostro modo di comunicare. Il parlare, lo scrivere, il leggere hanno dato la possibilità all'uomo di progredire e di crescere insieme a ciò che ha ''creato''. Da qui, la nuova tecnica di lettura-scrittura elettronica, il romanzo ipertestuale, che possiede caratteristiche molto diverse dal tradizionale modo di narrare. Maldonado differenzia la ''memoria ad occhio nudo'', intesa come osservazione introspettiva, come tradizione d'indagine sulla memoria (dalla mnemotecnica lulliana fino ai moderni calcolatori elettronici), dalla ''memoria in laboratorio'', che concerne lo studio scientifico della memoria (dagli esperimenti mentali al rapporto mente/corpo). La memoria autobiografica è strettamente legata all'ambiente domestico, denso di richiami ad oggetti materiali e non. L'autore tocca diversi autori, dal Medioevo al XVI e XVIII secolo, per descrivere l'uomo che richiama il proprio vissuto nella familiarità degli ambienti, dove il susseguirsi dello spazio e del tempo scandiscono un'abitudine simbiotica con la ''casa'', o prendendo una piega cosmopolita senza fili conduttori, senza radici. La memoria e la sua perdita di riferimenti, dalla comunicazione ai luoghi dell'abitare, ricade inevitabilmente sulle nuove generazioni, che crescono con metodi educativi nuovi ma non sempre positivi. Lo sviluppo psico-motorio, dai videogiochi d'azione competitiva al ''semplice'' iper-utilizzo dei PC e dei telefoni cellulari, viene a rallentarsi, bloccando la possibilità di confronto diretto con il mondo esterno. L'oggetto tecnico ha assunto un carattere ''qualitativo'', autonomo nell'ultimo secolo. Maldonado si concentra sulla complementarità fra oggetto tecnico ed istanza sociale, dando alla tecnica un particolare statuto ontologico, non concependola però come fattore preponderante sulla società. Da qui, nell'appendice si aprono due ulteriori capitoli, dove vengono richiamati gli occhiali da vista come oggetto tecnico/istanza sociale, e la scrittura stereotipica/antistereotipica: il ''cyber-gergo'' e l'ambito metaforico-privato di definizione terminologica, che si esplica in infinite soluzioni differenti, portando il nostro modo di scrivere, di leggere, di parlare, di pensare e di ricordare ad un cambiamento radicale nel tempo. ==Howard Rheingold: le comunità virtuali== [[File:Howard Rheingold-20080209.jpg|thumb|left|Howard Rheingold]] Howard Rheingold, nato a Phoenix il 7 luglio 1947, è un critico letterario, sociologo e saggista statunitense. Si è specializzato sulle implicazioni culturali, sociali e politiche dei nuovi media. Nel 1987 ha pubblicato "Le Comunità Virtuali". Rheingold sostiene che una comunità virtuale è un gruppo in cui i componenti pur non incontrandosi di persona, scambiano parole e idee attraverso la mediazione delle reti. Esse iniziarono a diffondersi nella metà degli anni '80 grazie allo sviluppo delle BBS cioè computer abilitati a ricevere chiamate simultanee. Una delle comunità virtuali fu The Well. Le comunità virtuali oltre ad essere luoghi di discussione, sono anche strumenti utili per la ricerca delle informazioni. Pertanto, si partecipa ad una comunità online non solo per la costruzione di relazioni interpersonali, ma anche per un bisogno formativo. Essa è elettiva, ovvero frutto di una scelta personale, motivo per il quale si contraddistingue dalle comunità locali. Nel 2013, egli ha pubblicato il suo ultimo saggio ''Perché la rete ci rende intelligenti''. Il testo si propone di essere una sorta di guida, un manuale di educazione alla cybercultura. All'interno del libro, l'autore mette in luce tutte le problematiche concernenti la nostra attività sul Web, ma sottolinea anche come riuscire a migliorarla tramite cinque competenze fondamentali, i "cinque alfabeti": attenzione, rilevazione delle bufale (crap detection), partecipazione, collaborazione e intelligenza a misura di rete (network smart). Infine, nell'ultimo capitolo, vengono tratta tematiche quali la privacy, le dispute riguardo all'utilizzo del copyright e alla cultura del remix, accompagnate da alcuni consigli per i genitori alle prese col Web. ===''Perché la rete ci rende intelligenti?''=== L'attenzione è una facoltà essenziale per un uso consapevole delle nuove tecnologie digitali le quali, secondo Rheingold, hanno cambiato il modo in cui utilizziamo le nostre risorse attentive. Cambiamento che si manifesta in attività come il ''multitasking'' che rende più difficile eseguire in modo efficace ogni singolo compito perché non è, come alcuni sostengono, un lavorare parallelamente a cose diverse ma è un passaggio rapido da un'attività all'altra che implica un costo in termini di dispendio di energie mentali. Secondo Rheingold attraverso un costante esercizio possiamo migliorare il nostro autocontrollo dell'attenzione. Rheingold riporta l'opinione di [[w:Steve_Jobs|Steve Jobs]] secondo il quale dobbiamo imparare a dire no, perché è impossibile approfittare di tutte le opportunità offerte dal Web. Secondo l'autore dobbiamo imparare a controllare il respiro, il quale unisce mente, cervello e corpo e migliora la consapevolezza. Tra le componenti del pensiero Rheingold assegna un ruolo primario alla funzione esecutiva che coordina attenzione e memoria e rende possibile quella che gli psicologi definiscono ''metacognizione'', cioè l'atto di riflettere sul proprio pensiero che svolge un ruolo centrale per assumere il controllo della nostra vita online. Guadagnare l'autocontrollo dell'attenzione richiede in primo luogo ''intenzionalità'': quando ci poniamo un obiettivo dobbiamo avere la reale intenzione di raggiungerlo. L'intenzione ci consente di concentrarci sul nostro obiettivo trascurando gli elementi meno importanti. Dobbiamo sempre tenere presente il nostro obiettivo prioritario, chiedendoci a intervalli regolari se l'attività online a cui ci stiamo dedicando è utile ai nostri scopi. La distrazione dei genitori dovuta all'uso eccessivo dei social media ha un impatto negativo sull'educazione dei figli, per questo motivo bisogna mettere da parte lo smartphone e non trascurare i propri figli. Rheingold riporta l'opinione di [[w:Nicholas_G._Carr|Nicholas Carr]], autore dell'articolo ''Google ci rende stupidi?'' secondo il quale le reti digitali danneggerebbero il nostro cervello e la nostra cultura, compromettendo la nostra capacità di pensare in modo approfondito e generando ''modifiche neuroplastiche indesiderate''. Rheingold non è d'accordo sul processo indicato da Carr, perché una cultura può migliorare anche in presenza di un'abbondante informazione e di molti modi di comunicare. Secondo R. la posizione di Carr(determinismo tecnologico) può essere altrettanto pericolosa che un atteggiamento acritico verso le insidie nascoste nell'uso delle tecnologie digitali. Gli esseri umani hanno margine d'azione. Il Web non si sarebbe mai sviluppato senza questo margine. Secondo Rheingold l'influsso dello schema mentale promosso da Internet dipende da noi, proprio come è accaduto per lo schema mentale alfabetico e quello della stampa di Gutenberg. Secondo Rheingold possiamo imparare a trasformare i nuovi modi di pensare in qualcosa di positivo, come abbiamo fatto con la cultura alfabetica- criticata da Socrate e Platone- grazie a regole e istruzione. La ricerca di informazioni online dovrebbe delinearsi come un processo di costruzione della conoscenza, favorito da strumenti come i link. Bisogna educare le persone ad uso cosciente dei media fin da piccoli. Rheingold infine consiglia tecniche meditative come la ''mindfullnes'' e di adottare un nuovo tipo di comportamenti che mettano in relazione i nostri obiettivi con la nostra attenzione. Nel secondo capitolo Rheingold ci fornisce alcuni preziosi consigli per la rilevazione delle bufale online(''crap detection''). Anzitutto consiglia di abbracciare a priori un atteggiamento scettico: bisogna rifiutare di iniziare a credere in qualcosa, continuare nelle nostre ricerche anche dopo che abbiamo trovato una risposta e indagare su quella risposta anziché accontentarci di una verifica superficiale. Dobbiamo consultare anche le pagine successive dei risultati di una ricerca e fare ulteriori ricerche sulla base delle parole che troviamo negli ''snippet''. Nel mondo delle informazioni online spetta a chi usufruisce delle informazioni controllarle e verificarle. Quando facciamo una ricerca possiamo utilizzare parole che potrebbero esserci nella pagina che ci interessa: nel porre la domanda dobbiamo immaginare le possibili risposte. Possiamo aggiungere termini come ''tutorial'' o ''introduzione'' se vogliamo trovare delle istruzioni pratiche per fare qualcosa, oppure termini come ''saggio critico'' o ''giudizio negativo'' se cerchiamo delle opinioni contrarie. Per valutare l'affidabilità e la credibilità di un sito online dobbiamo scoprire chi ne è l'autore e vedere quello che gli altri dicono a proposito di quello autore( Rheingold ci consiglia di utilizzare il sito Whois che ci consente di scoprire il titolare di molti siti web), indagare sulle fonti e vedere le opinioni relative a tali fonti. Se l'autore del sito ci consente di comunicare con lui, aumenta il livello di credibilità del sito ;se il sito ha un dominio .gov o .edu la credibilità aumenta. Dobbiamo controllare i link collegati al sito e chi li ha messi. La qualità e l'usabilità del design, la freschezza degli aggiornamenti, la presenza di errori tecnici come link non attivi, sono tutti elementi da prendere in considerazione per valutare le informazioni online. Una tecnica efficace per individuare le bufale è la cosiddetta '''''triangolazione''''', cioè la ricerca di tre fonti diverse che confermino la medesima notizia. A volte la capacità di individuare le bufale è una questione di vita o di morte quando si tratta di informazioni di carattere medico. La rete è piena di persone ben intenzionate ma pericolosamente malinformate e di veri e propri ciarlatani che speculano sui problemi delle persone. Ragion per cui Rheingold consiglia di prestare la massima attenzione e di affidarsi soltanto a siti autorizzati e sicuri come Science Direct o alla Fondazione Health on The Net ,che consente di controllare informazioni mediche su qualsiasi sito. Dobbiamo stare attenti alle bolla-filtro creata dalle nostre ricerche. Oltre al problema delle informazioni false Rheingold evidenzia quello delle troppe informazioni che arrivano troppo rapidamente, che può essere contrastato attraverso la tecnica dell' '''''infotention'''''. Un termine che descrive una sintesi di competenze mentali sull'attenzione e di filtri tecnologici per l'informazione e che possiamo attuare attraverso l'uso di filtri, radar e soprattutto disponendo le nostre ''dashboards'' in modo tale da riflettere le nostre priorità. Nel terzo capitolo l'autore analizza le forme di partecipazione online e sottolinea come siano diventate autentiche forme di potere. Usare al meglio blogs, tweets, wikis, saper produrre e organizzare online ha assunto un significato di carattere politico, culturale ed economico. Il '''''know-how''''' digitale offre un potere senza precedenti. I pc e gli smartphone possono trasformarsi in strumenti di varia natura che consentono le attività sociali più disparate, anche l'organizzazione politica. Tutti i vantaggi che derivano dall'attività online sono propri di chi sa partecipare e non di chi si limita ad usufruire dei prodotti culturali degli altri. In passato la comunicazione delle informazioni era riservata a pochi, oggi invece i consumatori hanno un ruolo attivo e non sono più semplici lettori ma ''prosumer'', cioè produttori e creatori di contenuti culturali. La partecipazione può essere agevolata dall'amicizia o da un interesse comune e può cominciare con attività banali come metter un tag.un like, o inserire un sito web tra i preferiti, o modificare una pagina di wikipedia, fino a passare ad attività più impegnative come la cura dei contenuti, la creazione di un blog o di una community. Aprire un blog è un modo per trovare la nostra voce e il nostro pubblico, metterci in collegamento con comunità che la pensano come noi, migliorare il nostro profilo digitale, influenzare gli altri e contribuire al bene comune. Da sempre facciamo delle scelte per decidere a cosa prestare attenzione, nel mondo online tali scelte influenzano anche quello cui altri prestano attenzione. Questo è ciò che si intende con '''''cura''''' in riferimento ad alcune pratiche online. Il termine descrive il modo in cui tutti coloro che utilizzano il web attivamente possono assumere la funzione di selezionatori di informazioni gli uni per gli altri, creando con le loro scelte delle raccolte di link riutilizzabili. Ogni volta che una persona recensisce un link, contribuisce al lavoro di cura editoriale del web. Rheingold fornisce dei consigli per la ''cura dei contenuti'', come collegare, riordinare, distribuire, aggiornare, verificare le bufale, esprimere un opinione, aggiornare, monitorare il proprio pubblico. rispondere ai commenti ecc. Dobbiamo cercare di capire ci potrebbe sfruttare il nostro playbor, cioè chi può usufruire del nostro lavoro e chi potrebbe approfittarne. secondo Rheinghold bisogna essere coscienti delle conseguenze che può avere tutto quello che facciamo online. Dobbiamo riflettere bene prima di scrivere un post, perché le nostre azioni compiute nel mondo digitale si possono rintracciare e possono essere utilizzate da tutti, anche da persone che non conosciamo. Rheingold  sottolinea i pregi e le possibilità, le ''affordance'' che ci offre Twitter. Tra le qualità di twitter ci sono l 'apertura, l' immediatezza, la varietà di argomenti, la reciprocità, è un modo per conoscere gente nuova, una finestra su ciò che sta accadendo in numerosi mondi diversi, uno strumento per costruire comunità ,una piattaforma per la collaborazione di massa ecc. Nel quarto capitolo Rheingold analizza l'alfabeto della collaborazione online. Il Web è l'esempio principale di una forma di collaborazione fino a poco tempo fa inimmaginabile. La collaborazione di massa ha trasformato il modo in cui si trova l'informazione, si costruisce la conoscenza (Wikipedia), si studia la scienza e vengono ideati e sperimentati prodotti commerciali (crowdsourcing). Indubbiamente l'agire umano è stato influenzato dalle forme di collaborazione di massa. Quando mettiamo un tag, inviamo commenti, modifichiamo una pagina Wikipedia ecc, stiamo partecipando all' '''intelligenza collettiva''' del web. Una delle principali caratteristiche degli esseri umani è la tendenza ad utilizzare la comunicazione per organizzare azioni sociali. In questo senso i social media possono senz'altro agevolare l'azione collettiva. Anche se le principali teorie scientifiche evidenziano l'importanza della competizione e del conflitto, scoperte recenti dimostrano che la cooperazione ha un ruolo ancora più significativo. Quattro punti fondamentali vanno ricordati per riuscire ad utilizzare al meglio la collaborazione che il Web consente: l'attenzione è il presupposto della cooperazione sociale, il che implica il fatto di prestare attenzione gli uni agli altri; gli umani sono straordinari cooperatori perché hanno imparato ad elaborare metodi per dirimere i conflitti sociali; le istituzioni sociali innovative si evolvono insieme di continuo grazie ai media; ricambiare la cooperazione, punire chi non collabora e manifestare la propria volontà di collaborare sono pratiche utili. La storia dell'uomo è caratterizzata da una crescente tendenza alla collaborazione e alla cooperazione che ha portato a migliorare  le condizioni di vita del genere umano e che oggi si esemplifica nei social media e in generale nelle comunità virtuali. Tutti sono in grado di  badare ai propri interessi personali ma per condividere degli obiettivi è necessario comunicare e negoziare. Rheingold fornisce alcuni consigli per migliorare il nostro utilizzo delle forme di collaborazione e cooperazione online. Quando facciamo '''crowdsourcing'''( = un termine che si riferisce alla procedura di dividere problemi o compiti da svolgere in piccole parti, mettendoli poi pubblicamente a disposizione e richiedendo una partecipazione volontaria ), oppure cerchiamo volontari per un'attività collaborativa dobbiamo essere umili, proporre modi diversi per contribuire, incoraggiare l'autocandidatura, ricambiare coloro che collaborano e offrire loro gli strumenti per comunicare tra di loro. Se invece vogliamo creare una comunità virtuale Rheingold ci consiglia di stabilire le regole dall'inizio, di cercare di favorire la voglia di stare insieme e di comportarci come si comporterebbe un bravo padrone di casa che organizza una festa, cercando di far sentire a casa propria gli ospiti e incentivando la socializzazione. Le reti e i media digitali hanno anche una funzione economica, come il mercato e l'azienda, e consentono la produzione sociale. I volontari oggi hanno un ruolo attivo perché possono creare strumenti culturali che possono essere utilizzati da tutti: software, enciclopedie, scienza creata dai cittadini stessi, risorse educative aperte ecc. Le persone partecipano alla produzione sociale ,che non ha a che fare con logiche di mercato, per imparare, socializzare o migliorare la propria reputazione. I social media vengono utilizzati anche per consumare generando un'esplosione delle pratiche tradizionali di condivisione,di baratti, prestiti, transazioni, affitti, scambi, regali, in modi e dimensioni che non erano mai stati possibili prima. L'intelligenza collettiva fa riferimento a una situazione in cui ognuno mette a disposizione degli altri le proprie conoscenze: Wikipedia è un esempio di intelligenza collettiva. Per favorire l'intelligenza collettiva dobbiamo incoraggiare conversazioni casuali, diversificare il nostro gruppo ,praticare la collaborazione e facilitare la collaborazione per aumentare di conoscenze. L'intelligenza collettiva di un gruppo non dipende dal quoziente intellettivo dei suoi membri, ma dalla varietà dei membri stessi e dalla loro capacità di alternarsi nella conversazione. La conversazione casuale è importante perché contribuisce a creare fiducia e favorisce forme di collaborazione orientate al raggiungimento di uno scopo. Le reti influenzano il modo in cui si comportano gli individui e le comunità. Le reti sociali umane fondate sul linguaggio verbale risalgono alle origini della specie umana. Le tecnologie per la comunicazione aumentano la portata delle reti sociali tradizionali e consentono nuove forme di socializzazione. Le reti online su cui si basano i social hanno alcuni caratteri generali delle strutture di rete e alcune caratteri specifici delle reti umane. Le reti a piccolo mondo permettono all'informazione di viaggiare velocemente anche tra gruppi numerosi di persone. È sufficiente un piccolo numero di connessioni casuali e distanti. Le reti a piccolo mondo sono diffuse in tutto il mondo e sono caratterizzate dalla presenza di pochi ''hubs'' che hanno un numero più elevato di connessioni. Nella coda lunga ,invece, le connessioni sono più scarse. Le reti che consentono la comunicazione tra molti persone e la creazione di gruppi crescono di valore più velocemente rispetto alle ''reti broadcast''. Grazie ai social media le persone possono cercare sostegno, informazioni, sia in reti estemporanee, dai legami deboli, che in gruppi tradizionali, dai legami più forti. In un mondo interconnesso è importante avere sia legami deboli sia legami forti. I social media consentono di gestire reti ampie di legami deboli, ma è possibile mantenere soltanto un numero limitato di relazioni forti, a prescindere dai media. Con i social media abbiamo la possibilità di tenere in vita relazioni con persone da cui, per motivi di lavoro o altro, ci siamo allontanati. La posizione che si ha in una rete sociale è fondamentale. La centralità, cioè quante persone e reti devono passare da noi per connettersi con altri, è molto rilevante. I rapporti di fiducia tra le persone e le norme che favoriscono la collaborazione online favoriscono lo sviluppo del '''capitale sociale'''. I legami che creano un capitale sociale possono essere di vari tipi. Rheingold distingue il ''capitale sociale vincolante'' e il ''capitale sociale ponte''. Il capitale sociale vincolante fa riferimento a legami fra persone che hanno interessi in comune e investono molto nella relazione, come per esempio le amicizie molto strette, la famiglia ,i vicini, i colleghi di lavoro ecc. Il capitale sociale vincolante aumenta la solidarietà,la fiducia e la reciprocità verso persone conosciute. Il capitale sociale ponte aiuta i piccoli gruppi ad uscire dalle loro visioni limitate, facendo affluire informazioni dall'esterno, e favorendone la diffusione in una moltitudine di reti. Bisogna fare attenzione alle impostazioni della privacy di Facebook :dobbiamo verificare ciò che condividiamo e con chi. Facebook e gli altri social networks condividono quattro caratteristiche fondamentali che provocano tre cambiamenti nelle relazioni sociali: # ''Persistenza'': ciò che diciamo resta # ''Replicabilità'' : si può fare copia-incolla # ''Scalabilità'' # ''Ricercabilità'': possiamo rintracciare facilmente le persone Queste proprietà hanno come effetto il consentire un incontro fra contesti diversi, la presenza di un pubblico invisibile e la convergenza fra pubblico e privato. ==David Weinberger: la stanza intelligente== ===''Arcipelago web'' (2002)=== [[File:DavidWeinberger.jpg|thumb|left|David Weinberger]] David Weinberger (New York, 1950) filosofo e saggista statunitense è l'autore del saggio ''Arcipelago Web'' (''Small Pieces Loosely Joined: A Unified Theory of the Web''). L'obiettivo è quello di mostrare gli effetti che il terremoto della Rete ha provocato sull'umanità stravolgendone i modi di pensare. Caratteristica principale del web è quella di unire gli esseri umani, da lui paragonati a degli "isolotti dell'arcipelago web", in infiniti modi sebbene molto fragili. Il web, costituito di bit, è un mondo innaturale creato dagli uomini per loro stessi. Si presenta come un'esperienza di grande impatto: è uno spazio privo di vincoli geografici che ha incrementato l'integrazione sociale, insegnando che a rendere sociali gli uomini è la comunanza di interessi, non del medesimo spazio fisico. È una dimostrazione onesta di ciò che sono gli uomini quando interagiscono senza limiti imposti dal mondo reale. Ciò che attrae maggiormente i suoi utenti è la possibilità di potersi esprimere liberamente. Sul web si ha pieno controllo del tempo che dipende dagli interessi dell'utente, per questo risulta essere costituito di stringhe, sequenze di caratteri che assumono l'aspetto di messaggi relativi ad un determinato argomento. Il web è un mondo parallelo molto disordinato ed imperfetto, non essendo gestito da un'unità centrale. Sono queste caratteristiche che lo rendono specchio del mondo reale e parte integrante dell'umanità. ''Arcipelago web'' è un interessante spunto che apre ad una visione totale su quanto il mondo tecnologico abbia assunto una connotazione metafisica e mutato la vita umana. David Weinberger si mostra come forte propugnatore della Rete, fiducioso in un consolidamento dei suoi sviluppi futuri. ===''La stanza intelligente'' (2011)=== Il lavoro di Weinberger è incentrato sul modo in cui Internet sta cambiando le relazioni umane, la comunicazione e la società. Autore di numerosi saggi, nel 2011 ha pubblicato ''La stanza intelligente: la conoscenza come proprietà della rete'' (''Too Big to Know. Rethinking Knowledge Now That the Facts Aren't the Facts, Experts Are Everywhere, and the Smartest Person in the Room''), un libro destinato a lasciare il segno ridefinendo il concetto classico di intelligenza e il suo ruolo all'interno di un mondo sempre online. «Quando la conoscenza entra a far parte di una rete, la persona più intelligente della stanza è la stanza stessa: la rete che unisce persone e idee presenti e le collega con quelle all'esterno». Con queste parole nel prologo del suo libro l'autore sintetizza la sua visione della conoscenza ai tempi del web. Il sapere, fino a pochi anni fa trasmesso su un supporto rigido e dai confini ben definiti come la carta stampata, per la prima volta nell'epoca di Internet è alla nostra portata in modo pressoché illimitato. Nella stanza in cui siamo riuniti (Internet), dove le fonti non sono certe e nessuno è mai d'accordo su nulla, circola molta più conoscenza di sempre, gestita con capacità superiori a quelle delle nostre singole menti e istituzioni, eppure Internet non ci rende più stupidi; al contrario, questa conoscenza sempre a disposizione, ci consente di prendere decisioni migliori di quelle di un qualunque esperto. L'importante è sapere come muoversi al suo interno. Nel Marzo del 2010 Weinberger, pubblica su "Il sole 24 ore" un articolo, "La Rete è un bene di tutti", in cui sostiene che la "libertà di Internet riguarda la libertà, non solo Internet" e " che noi continuiamo a discutere su come limitare l'uso della Rete, invece di valutare come renderla più libera e più aperta". Nel suo articolo l'autore sostiene che ognuno di noi ha la possibilità di attingere ad informazioni in maniera uguale, indipendentemente dal ceto politico o sociale. Tutto ciò è reso possibile dalla struttura stessa della Rete, che ha abbassato le barriere alla partecipazione civile, esprimendo così gli antichi valori della democrazia: l'uguaglianza e le pari opportunità. Il problema è capire se noi contrasteremo questi sogni o se combatteremo per esaudirli. In ogni caso abbiamo un confronto davanti a noi. Per Weinberger i poteri attuali sono preoccupati dall'uso della Rete perché questa può rendere pubblico del materiale che influenzi la cultura nazionale e le nuove generazioni. Questo è vero, poiché Internet rende disponibile ogni cosa. Ma ogni governo si è già dotato di leggi che proibiscono contenuti del genere. Così le aziende che ospitano contenuti caricati dagli utenti non sono ritenute responsabili. Nessuna azienda sana permetterebbe agli utenti di dialogare se fosse responsabile per ciò che gli utenti dicono. È per questo che tutto il mondo guarda alla sentenza italiana contro Google che ha rappresentato una doccia fredda per Internet, una minaccia alla libertà del web e una rivincita per gli avversari. In secondo luogo vi è un'ulteriore preoccupazione per alcuni governi, sorta soprattutto negli ultimi anni, i quali temono che la Rete sia utilizzata dai terroristi e quindi ostacolano l'anonimato delle conversazioni. Ma i terroristi usano anche i telefoni e le radio. Bastano dieci minuti su Google per trovare i modi per comunicare sul web in maniera anonima. Le leggi contro l'anonimato in Rete privano quindi i cittadini rispettosi della legge di una rilevante fetta della loro libertà, senza peraltro ostacolare terroristi o altri criminali. L'anonimato non è solo per i colpevoli. È anche per le persone libere. Dunque c'è ancora molto lavoro da fare. Internet potrebbe essere il mezzo perfetto per la democrazia, ma non c'è automaticità. Un governo potrebbe, per esempio, costringere gli Internet Cafè a registrare i passaporti dei propri clienti. Un giudice potrebbe minacciare di arresto i responsabili di aziende che pubblicano contenuti controversi, o le nazioni potrebbero lavorare insieme per imporre rigidi controlli sul copyright, distruggendo così il giovane ecosistema dell'informazione dal basso. Gli ostacoli non mancano. Tutti possono fare il loro sito web, ma un colosso media raggiungerà molte più persone. Abbiamo bisogno di soluzioni per questo problema eterno perché abbiamo bisogno della democrazia. E per realizzare i sogni della democrazia dobbiamo andare contro la stessa natura umana. Se abbiamo paura che idee rozze si propaghino tra i popoli, dobbiamo fare in modo di educarli, non di proibire la diffusione di tali idee. Se abbiamo paura che idee false siano facili da raggiungere, dobbiamo fare in modo che le idee false siano contraddette e le buone idee approfondite. "Davanti a noi ci sono quindi due sfide. Una è una battaglia contro internet, ma nei fatti è la vecchia battaglia contro il consolidamento della democrazia. L'altra è la sfida per garantire che un medium adatto in maniera unica alla democrazia nei fatti realizzi il suo sogno. Perché quel sogno è il sogno della democrazia stessa". Il networking sta cambiando le nostre fondamenta più antiche e consolidate del sapere: la conoscenza sta prendendo la forma della rete, la natura fisica dei libri è sempre meno soddisfacente, è limitata, finita nell’esatto istante in cui il libro viene chiuso e l’autore ne mette l’ultimo punto. Internet, invece, tende all’infinito. Infinito però significa non avere bordi, e senza bordi la conoscenza non ha una base. Cosa circola dunque? Quali i veri vantaggi che la realtà ''networked'' può darci? Indubbiamente conoscenza. Ma di che tipo? Sappiamo che ci sono troppe cose da sapere, ma anche che spesso circolano idee stupide e i nostri filtri su cosa prendere e cosa lasciare non sempre riescono a funzionare. Il nostro antidoto è, pertanto, una filtrazione intelligente che guardi in avanti: costruire una nuova strategia di punti fermi della conoscenza, punti che noi moderni, solitamente, poniamo nei fatti e non nelle analogie. Nella rete però i fatti sono tali solo se resi pubblici al mondo, ma una volta che essi vengono pubblicati in realtà già hanno smentito la loro natura incrollabile, non essendo infatti verificati. Hanno pertanto cambiato il loro ruolo, la forma. Mentre in età antica i fatti erano scarsi e usati per dimostrare teorie (età dei fatti classici) e negli anni '50 (età dei fatti raccolti in banche dati) erano una montagna di informazioni da sistemare in [[w:Mainframe|Mainframe]], oggi sono ''networked'', in circolo, fanno parte di una rete (età di internet). Se fatti classici e fatti raccolti in banche dati erano visti come informazioni fondamentalmente isolate, ora è attraverso i [[w:Linked data|Linked Data]] che la loro fruizione, utilità e comprensibilità è garantita, poiché la loro forma è standardizzata. Da qui il passo decisivo: la condivisione. Grazie ad essa sappiamo ora da dove provengono i fatti e, talora, anche dove possono condurre chiedendo alla specifica risorsa un link per recuperare più informazioni sul contesto di quel fatto. ==Vinton Cerf: la conservazione digitale== [[File:Vint Cerf - 2010.jpg|thumb|left|Vinton Cerf]] Vinton Cerf, nato nel 1943, è considerato uno dei padri di Internet. Egli mette in guardia contro il rischio dell'impossibilità di usare i dati digitali di oggi. Per impedire ciò, secondo Cerf, non sono sufficienti solo le tecnologie, ma vanno cambiate anche le regole del copyright. Sostiene Cerf che il problema inizi negli anni Settanta, quando si è cominciato a sostituire il supporto cartaceo con quello digitale. Alcuni dei primi protocolli di Internet furono stampati su carta, e ancora oggi possono essere letti. Ma lo scambio dei messaggi elettronici in cui furono discussi tali protocolli non è più accessibile, perché non esiste più il programma necessario per leggerli. Alcune informazioni rischiano di andare perdute, come quelle che non possono essere salvate su carta e non hanno senso fuori dall'ambiente che permette di leggerli. Si possono, però, registrare misurazioni come una semplice sequenza di numeri. Ma è probabile che in futuro qualcuno potrebbe trovare quel file e usarli e interpretarli a proprio piacimento anche non sapendo il significato di quei numeri. Secondo Cerf non è conveniente rassegnarci e adattarci a questo potenziale avvento, ma è necessario emendare il copyright in nome della conservazione digitale. Bisognerebbe arrivare a un accordo che permetta a una qualche autorità di avere accesso a programmi, codici sorgente e sistemi operativi, con la missione di conservarne copie. "Internet è ormai fondamentale ma non può diventare l'unica fonte di conoscenza". La rete internet è un'invenzione in un certo senso ‘neutra' ma ci sono persone che ne fanno un ottimo utilizzo e persone che ne abusano. Anche se non si tratta di una risorsa primaria per la sopravvivenza come l'acqua e il cibo, Internet è ormai fondamentale per garantire un accesso all'informazione, e questa è da sempre la chiave per il progresso di ogni società: quella di poter accedere alle informazioni nel modo più veloce possibile. Nonostante questo, è preferibile, dice Cerf, che oltre a questo strumento, che a volte offre informazioni non del tutto vere, usufruire anche dei libri delle biblioteche, nei quali l'informazione cercata è senza alcun dubbio molto più attendibile. "Siamo noi i nodi della grande Rete". In un'intervista, Cerf sottolinea che Internet è in continuo cambiamento. Tale cambiamento è costituito dall'uso del wi-fi, della fibra ottica, degli smartphone. Tutto è in costante evolversi, ma l'architettura di base è la stessa da 40 anni e continua ad adattarsi bene alle novità. Anche grazie all'invenzione della posta elettronica, Internet è passato dal diventare una rete di computer a una rete di persone favorita dall'interazione degli uni con gli altri anche se in modo non istantaneo. Inoltre, per merito di Internet, è possibile realizzare i propri obiettivi. ==Evgenij Morozov: il lato oscuro della rete== [[File:Wer kann die neue Zukunft machen? (17333061348).jpg|thumb|left|Evgeny Morozov]] [[w:Evgenij_Morozov|Evgenij Morozov]] è un sociologo della Bielorussa. La sua notorietà è dovuta principalmente alla sua posizione critica nei confronti del comune entusiasmo e ottimismo che caratterizza il dibattito sulle virtù potenziali "democratiche e anti-totalitaristiche" di Internet. Morozov, oltre a esprimere la sua visione critica attraverso la proficua attività giornalistica, che si compone di un notevole bagaglio di articoli e conferenze stampa, ha pubblicato 3 libri in cui, attraverso uno stile brillante, satirico, divertente, ma non privo di sensatezza, espone le sue tesi in maniera radicale e irriverente, scavando nelle conseguenze sociali, politiche ed economiche e mettendo in luce il modo in cui le nuove tecnologie stanno cambiando il panorama del quotidiano. Nel settembre 2017, in occasione del Festival della Comunicazione di Camogli, il sociologo bielorusso ha esposto le sue incertezze verso l'ottimismo della Silicon Valley. <ref>l'articolo completo su: http://www.repubblica.it/tecnologia/2017/09/09/news/morozov_il_vero_lusso_vivere_disconnessi_dalla_rete_-175005909/</ref> . Morozov parla di un '''gap digitale''' fra ricchi e poveri, che impedirebbe ai secondi di godere di quello che viene da lui definito ''il vero lusso'': il distacco dal web. Il web, infatti, è considerato da Morozov alla stregua di uno strumento per i pubblicitari i quali, anche tramite Social Network come '''Facebook''' o tramite '''Google''', riescono ad avere accesso ad una molteplicità di dati che servono a tradurre le preferenze di chi naviga in termini di target. Il politologo si schiera a favore della tecnologia, ma contro questa ingenua dipendenza dall'Internet, attestando la necessità di disintossicarsi da un mondo che alimenterebbe il business di imprese private a discapito della privacy dei cittadini. In una celebre intervista<ref>l'articolo completo su: http://www.linkiesta.it/it/article/2014/05/20/perché-internet-non-salvera-il-mondo/21303/</ref>, Morozov identifica una minaccia nell'attuale sogno di perfezione della Silicon Valley e nel modo di affrontare problemi sociali quali educazione, sanità e crimine. Un esempio è dato dal modus operandi della cosiddetta '''polizia predittiva''', non più una semplice utopia cinematografica ([[w:Minority_Report|Minority Report]]), bensì una realtà da conoscere. Con l'utilizzo dei [[w:Big_data|Big Data]], infatti, al mondo odierno si ha libero accesso a una raccolta di dati molto estesa che contiene informazioni aggiuntive di tutto ciò che viaggia attraverso internet, garantendo la possibilità di monitorare e tracciare digitalmente le azioni compiute dei singoli individui. Ed è proprio ciò che è successo a [[w:Joaquín_Guzmán|El Chapo]], il quale, nonostante le precauzioni prese per sfuggire alla sorveglianza elettronica, fu arrestato non appena uscito dal territorio di cui aveva il controllo politico-militare assoluto. Il vantaggio ottenibile da un sistema del genere deve fare i conti con le conseguenze sociali che portano cambiamenti nelle relazioni tra cittadino e stato: si passa da una situazione in cui è possibile far affidamento sull'istituzione pubblica a un modello dove è proibito 'sbagliare'. Se la polizia predittiva rende impossibile l'accadere di azioni "sbagliate" cosa rimane alla soggettività di un individuo? Morozov risponde alla domanda approfondendo acutamente il legame tra democrazia e disobbedienza civile: l'atto volontario di infrangere la legge e subirne le conseguenze rende possibile un'affermazione politica, ma in un sistema dove vige l'assenza di scelta fra bene e male, è impossibile che ciò accada, poiché il sistema della polizia predittiva blocca in anticipo il compiersi di un reato. Se un tale sistema politico non ha modo di introdurre nuovi fatti e si identifica come il sistema perfetto, si corre il rischio di una ''cristallizzazione sociale'' che non permette di scoprire che ciò che viene considerato illegale oggi potrebbe non esserlo in futuro. Il prezzo da pagare diventa evidente quando Morozov trasporta il medesimo problema nel contesto storico statunitense di alcuni decenni fa, anni in cui era illegale per una persona di colore entrare in un ristorante. "Se avessero costruito dei sistemi predittivi attorno a quella legge", sostiene Morozov "oggi probabilmente sarebbe rimasta immutata, senza avere la possibilità di essere revisionata attraverso comportamenti devianti". Il sociologo punta dunque il dito contro la Silicon Valley, evidenziando che le grandi aziende non solo non si curano affatto delle conseguenze politiche, etiche, culturali e sociali, ma non sono chiamati a rispondere per qualsiasi danno collaterale: nonostante la scoperta, ad esempio, che '''Google''' rubava le password dei Wi-Fi, la compagnia ha dovuto pagare una piccola multa senza altre ripercussioni. Se Google si presenta come la rete che garantisce la promessa di meritocrazia intellettuale, dove le voci e opinioni più interessanti ricevono maggiori attenzioni, diventa necessario sfatarne il mito e considerarne la manipolazione informativa attuata dalle grandi aziende che ingaggiano ''altre'' aziende di Pr per diffondere e rendere virali i propri prodotti. Il primo passo verso una possibile soluzione, suggerisce Morozov, è prendere coscienza del problema e cercare di spodestare le multinazionali dal controllo di Internet, attraverso tecnologie che "possano creare spazio nuovo fra i contendenti, qualcosa di estraneo sia agli Stati che alle ''corporation''", sviluppando canali discorsivi che siano efficienti, ma non vulnerabili. L'obiettivo deve essere quello di sensibilizzare sulla vera faccia del mondo cibernetico, riappropriandoci di un'etica del discorso. ===''L'ingenuità della rete''=== ''L'ingenuità della rete'' è il primo libro, divenuto best-seller, scritto da Morozov, nel quale, con un linguaggio misto tra sarcasmo e preoccupazione e tuttavia mai privo di una notevole capacità analitica, critica fortemente il fenomeno Internet, partendo da una 'demitificazione' del sogno americano della [[w:Silicon Valley|Silicon Valley]], fino a demolire il cieco ottimismo di uno dei più grandi sostenitori del progresso tecnologico dell'ultimo secolo: [[w:Steve Jobs|Steve Jobs]]. ===''The Net Delusion: The Dark Side of Internet Freedom''=== ''The Net Delusion: The Dark Side of Internet Freedom'' è il titolo di un saggio di Evgenij Morozov pubblicato nel 2011 e tradotto in italiano nello stesso anno con il titolo ''L'ingenuità della rete. Il lato oscuro della libertà di internet''. Una delle tesi di fondo del testo è che Internet non abbia indebolito la forza della censura da parte dei governi di tipo autoritario. Al contrario, questi ultimi hanno imparato velocemente a sfruttare gli strumenti forniti dalla Rete per rintracciare e minare l'anonimato di attivisti e oppositori politici. ===''Internet non salverà il mondo''=== ''To save everything, click here: technology, solutionism and the urge to fix problems that don't exist'' è il titolo di un saggio di Evgenij Morozov pubblicato nel 2014 e tradotto l'anno successivo in italiano con il titolo ''Internet non salverà il mondo. Perché non dobbiamo credere a chi pensa che la Rete possa risolvere ogni problema''. ===''Silicon Valley''=== Morozov ha continuato a provocare un ampio dibattito sugli effetti sociali e politici dello sviluppo della tecnologia, pubblicando nel 2016 un saggio intitolato ''Silicon Valley: i signori del silicio''. Il suo obiettivo è farci aprire gli occhi sulla rivoluzione tecnologica promossa dalla Silicon Valley, il distretto industriale leader al mondo nelle tecnologie avanzate . Essa, presentandosi come colei che avrebbe posto fine al capitalismo, ci ha convinti che tutto oggi debba essere digitale e connesso e che opporsi all'innovazione tecnologica equivarrebbe a far fallire gli ideali dell'Illuminismo con Larry Page e Mark Zuckemberg nei panni di novelli Diderot e Voltaire in versione nerd. Ma se prestassimo attenzione ai risvolti geopolitici ed economici ci renderemmo subito conto che l'evasione fiscale di società tecnologiche impedisce alle alternative pubbliche di emergere ma soprattutto ci accorgeremmo che, usando app tutto il giorno, lasciamo che esse non solo ci sorveglino ma che registrino tutti i nostri dati diventando utili archivi imperdibili per ogni pianificatore urbano cosicché competenze che dovrebbero essere soggette al pubblico scrutinio e dati che dovrebbero appartenerci in qualità di cittadini vengono ceduti ad aziende private e la politica è costretta ad abdicare al suo ruolo in favore dell’ottimismo tecnologico diffuso. La Sylicon Valley è riuscita a controllare ogni aspetto della nostra vita, eludendo vicoli sociali, economici e politici: stiamo andando incontro ad un regime commerciale di completa deregulation in cui i nostri dati saranno uno dei pilastri. Morozov invita i cittadini a riconquistare la sovranità sulla tecnologia e sull'economia possibile solamente grazie ad una presa di coscienza del ruolo e dell’importanza della politica come gestione condivisa della cosa pubblica. ==Nicholas Carr. La gabbia di vetro: le conseguenze dell'automazione sull'uomo== [[File:Nicholas Carr at the Telecosm Conference in 2008 crop.jpg|thumb|left|Nicholas Carr]] ===''Internet ci rende stupidi?'' (2010)=== ===''La gabbia di vetro'' (2014)=== Il punto di partenza delle riflessioni di [[w:Nicholas Carr|Nicholas Carr]] è di natura metodologica: l'[[automazione]] è indagata dal punto di vista delle sue conseguenze sull'umanità. Il progresso della macchina e dell'automazione ha ingenuamente considerato la "tecnologia come panacea dell'economia" e si è costruita sull'utopico sogno di liberare l'uomo dal lavoro mediante "la schiavitù della macchina". Tuttavia tra le attività più appaganti dell'uomo, sebbene egli lo neghi continuamente, c'è il lavoro. Nell'attività lavorativa è più facile trovare la soddisfazione perché ci troviamo ad affrontare sfide che ci spingono all'impegno e alla concentrazione. L'automazione si caratterizza, dunque, come il mal riposto desiderio di liberarci dall'impegno e dalla fatica. Le scelte che facciamo nel tenere delle attività per noi e nel delegarle ad una macchina non sono di natura meramente economica o pratica ma riguardano l'essere umano e la sua destinazione nella società, "sono scelte etiche". Dall'analisi delle conseguenze dell'automazione sui piloti di aerei e sul sistema di trasporto aereo in genere Carr trae importanti considerazioni: l'automazione non cambia il modo di lavorare quanto il lavoratore stesso. ''Compiacimento dell'automazione'' (''automation complacency'') e ''condizionamento da automazione'' (''automation bias'') sono i due atteggiamenti indotti che vengono presi in esame e che costringono l'operatore di fronte ad un sistema automatico a trasformarsi da attore in osservatore. Con il compiacimento dell'automazione, il soggetto si riposa su un infondato senso di sicurezza; nel momento in cui il computer sbaglia, si è disorientati e incapaci di agire. Dal compiacimento dell'automazione deriva quasi necessariamente il condizionamento: quando un sistema restituisce dei risultati in [[output]], fossero pure sbagliati o fuorvianti, ci si crede. "Più è elaborato il sistema informatico, più inizi a pensare che corregga i tuoi errori [...]. "La fiducia nel software è così forte che si scartano tutte le altre possibili fonti informative, compresi i propri sensi". Il sistema automatico sembra frapporsi tra noi e il mondo, impedendo quel flusso continuo tra problema e soluzione, e relegandoci nella pigrizia e nell'inconsapevolezza. Dal sistema di trasporto aereo Carr passa alla sanità, alla finanza, al lavoro nell'industria, ai sistemi di navigazione satellitare, ai sistemi di progettazione per architetti trovando continue conferme: l'automazione, cercando di superare l'intrinseca difficoltà connaturata al rapporto che intercorre tra uomo e mondo e cercando di eliminare ogni nostro attrito con la vita crea strumenti degeneri, che strumentalizzano l'uomo, riducendolo al ruolo marginale di "sorvegliante", osservatore inerme di processi a lui totalmente estranei. Non è un caso che uno dei principi guida di tutti i software odierni sia l' "[[usabilità]]" ossia quella capacità di compiere una data operazione senza "sforzare" l'utilizzatore. L'automazione ci restituisce, dunque, un'esistenza "priva di frizioni", sopprime il nostro rapporto con il mondo esterno, togliendo lo stimolo all'azione del pensiero. L'automazione, nata come strumento per un fine, ci fa raggiungere i fini escludendoci dai mezzi per il loro ottenimento. È necessario conservare i benefici dell'automazione riportando i sistemi automatici al rango di strumenti. L'obiettivo di Carr è un ripensamento radicale dell'automazione in chiave umanista. L'approccio fondamentale per una ''"human-centered automation"'' era stato individuato già da [[w:Norbert Wiener|Norbert Wiener]]: "la macchina deve essere ergonomica, deve cioè adattarsi a colui che la utilizza". L'automazione che Carr critica è quella centrata sulla tecnologia, animata da una sfiducia nelle capacità umane, che, desiderando di raggiungere i massimi livelli di efficienza, velocità e profitto, ha totalmente trascurato l'aspetto ergonomico e la fondamentale interazione uomo-macchina causando i più grandi fallimenti progettuali. L'automazione antropocentrica diventa, negli aspetti più pratici, un'automazione "adattiva" nella quale il sistema è programmato per rivolgere costantemente l'attenzione a chi lo utilizza. Il sistema svolge principalmente funzioni di analisi lasciando la decisione all'operatore; tuttavia, il rapporto tra sistema e operatore è profondamente collaborativo ed inclusivo: macchine ed utilizzatori si scambiano costantemente compiti avendo come fine un miglior risultato prestazionale. Un'automazione di questo tipo non è più alienante ed escludente ma, essendo meno invadente, libera lo spazio della decisione, della creatività e dell'immaginazione. Questo è il senso profondo di un'automazione umana per gli uomini, che stia sotto la categoria di strumento, ''medium'' fondamentale del rapporto tra uomo e mondo, il cui fine è sempre la connessione relazionale nella quale si realizza la conoscenza umana. Questo modello di automazione adattiva e umanista richiede tuttavia la fatica dell'apprendistato, l'incertezza e le difficoltà dell'interazione, quel sacrificio di rendimento e velocità che mal si accorda con il paradigma della nostra società inevitabilmente orientato verso un'automazione tecnocentrica, i cui principi di efficienza, velocità e semplificazione dirigono le azioni di produttori e consumatori sempre verso i prodotti che diano risultati più facilmente, con il minimo sforzo e nel minor tempo possibile. Di fronte a questa radicalità, un'automazione antropocentrica diventa difficile se non utopica, tuttavia "per garantirci un futuro benessere sociale, potremmo dover mettere limiti all'automazione". ==Manuel Castells: la società in rete== Manuel Castells analizza con chiarezza il mondo che ha creato Internet, concentrando sulle trasformazioni avvenute nella società, nell'economia e nella politica. Secondo l'autore l'avvento di Internet ci ha condotti in una nuova era, ricca di cambiamenti. Castells afferma che Internet è stato salutato come uno strumento di libertà, e al tempo stesso è stato interpretato come uno strumento di controllo. In realtà Internet è neutro, sta a noi usarlo in maniera positiva o negativa. Per questo motivo egli non fa previsioni per il futuro, decidendo di analizzare semplicemente il passato e il presente di Internet. Internet ha modificato sia il nostro modo di vivere, di gestire le aziende e i profitti, sia ha creato un nuovo modello di socializzazione, che aiuta a mantenere vivi anche i rapporti meno stretti. Il cuore del libro sono indubbiamente i capitolo cinque e sei che analizzano il cambiamento che internet ha avuto nella politica. Infatti anche la politica è cambiata, ed si è sviluppata la "noopolitik", termine usato per indicare le nuove questioni politiche relative alla nascita di una noosfera (l'insieme di tutti gli ambienti dei media e del cyberspazio), e può essere contrastata con la "realpolitick" ossia la politica tradizionale che promuove il potere dello stato. Nella conclusione invece afferma che, anche coloro che non vorrebbero avere nulla a che fare con le nuove reti, la nuova tecnologia, non possono scappare dalla rivoluzione di Internet, in quanto se loro non vorranno avvicinarsi ai nuovi cambiamenti, saranno i nuovi cambiamenti ad avvicinarsi a loro. In conclusione egli afferma che non si può fuggire da Internet e dalle sue novità, poiché è in atto un processo di globalizzazione. ==Steven Levy: l'etica hacker== [[File:Steven Levy (1).jpg|thumb|left|Steven Levy]] Hacker: Gli eroi della rivoluzione informatica è un libro scritto da Steven Levy nel 1984, riguardante la cultura hacker e l'impatto di questi sull'evoluzione dell'informatica. Lo scopo dell’autore è rappresentare la differenza essenziale tra ciò che sono realmente e ciò che, invece, appaiono agli occhi del mondo. Steven li conobbe e ne rimase tanto affascinato quanto da scrivere su di loro. Essi sono considerati programmatori “scorretti”, ma, in realtà, sono avventurieri, artisti, gente disposta a rischiare per amore dell'hacking. A tal proposito Steven Levy tratterà la storia degli hacker, che comprende un periodo che va dagli anni Cinquanta agli anni Novanta.Con gli hacker si sviluppò quel diverso rapporto tra uomo e macchina che determinò la nascita dell' etica hacker, creando così una vera e propria filosofia. Essa prevedeva: * L’imperativo di metterci le mani su: l’accesso ai computer deve essere illimitato e libero perché è possibile imparare smontando le cose, osservando come funzionano e usando questa conoscenza per creare cose nuove. * L’informazione deve essere libera. * Dubitare dell’autorità. Promuovere il decentramento: per gli hacker il modo migliore per promuovere il libero scambio di informazioni è avere sistemi aperti. * Gli hacker dovranno essere giudicati per il loro operato e non sulla base di falsi criteri (ceto, razza, età) * I computer possono cambiare la vita. Come ben sappiamo per gli hacker il computer era come la lampada di Aladino: poteva far realizzare i propri desideri. Nel saggio Steve Levy spiega che gli hacker sono stati definiti "criminali informatici". L'accezione negativa al termine non è solo inesatta, ma anche inadeguata nei confronti di persone che hanno contribuito all’avanzamento dei computer e quindi dell’informatica. Sono stati accusati da Weinzebaum, professore di informatica al Mit, di disumanizzazione dalla società. La sua critica parte dal suo programma “terapeuta” chiamato Eliza, finalizzato all’ascolto delle persone. Difatti, anche se loro sapevano che Eliza fosse sole un programma, raccontavano le proprie problematiche. Per Weinzebaum questa era la dimostrazione di quanto il potere dei computer spingeva gli uomini ad adottare un comportamento irrazionale, di dipendenza e di disumanizzazione. Steven Levy conclude il saggio definendo con attenzione e precisione cosa si intende con il termine " hacker". Molto tempo fa l'hacker era visto come una forza del male, in quanto alcuni si erano fatti conoscere come coloro che violavano la proprietà per eseguire l’imperativo di metterci le mani su. Per l’autore, però, la deduzione che queste goliardate siano l’essenza dell’hacking non solo era sbagliata, ma anche offensiva nei confronti dei pionieri dell'informatica, il cui lavoro aveva cambiato il mondo. ==Pekka Himanen: l'etica hacker e lo spirito dell'età dell'informazione== [[File:Palestra de Pekka Himanen - The Hacker Ethic- What Drives Human Action at Its Best?.jpg|thumb|left|Pekka Himanen]] L'etica hacker e lo spirito dell'informazione (The hacker ethic and the spirit of the information age) è un saggio del 2001 di Pekka Himanen. Punto di partenza necessario, per la comprensione del libro è la definizione importante che viene data, nella prefazione, del termine hacker, il cui significato è stato modificato nel corso del tempo dai mass media, indicando quelle figure che compiono atti criminali di tipo informatico. Il reale significato di Hacker è quella di persone che "programmano con entusiasmo" e si contraddistinguono da coloro che compiono atti illeciti in rete, definiti invece cracker. Decisiva questa prima spiegazione in quanto tutto il libro si articolerà nell'analisi dei valori, e dei vari ruoli che possiede questa figura. Il testo viene scritto grazie alla collaborazione di Linus Torvald e Manuel Castells, i quali pongono due visioni a confronto, quella dell'informatico e quella del sociologo, regalando, così, un quadro d'insieme al lettore. Il testo analizza lo stile di vita degli hacker, e i valori morali a cui essi aderiscono, dimostrando una forte frattura con quello che è il modello di vita promosso dalle società contemporanee. Il rapporto con il lavoro, con il tempo, o il modo in cui concepiscono la rete, è basato su pochi, ma importanti concetti, come la condivisione totale delle informazioni, la capacità di sfruttare il tempo in modo creativo ed appassionato, l'emancipazione, e la realizzazione di se stessi. Pekka Himanen svolge una profonda e lucida analisi, non solo della figura dell'hacker, ma di tutto il contesto sociale, politico ed economico in cui questi emergono, evidenziando fatti di cronaca mondiale, all'interno dei quali gli Hacker risultano aver avuto un ruolo fondamentale. La rete, quindi, per gli Hacker, deve essere accessibile a tutti, ma, soprattutto, non deve essere sfruttata per i vantaggi dei "Pochi" (Industrie, Governi), ma per il benessere di tutta la collettività. ==Il gruppo Ippolita: critica della rete e informatica del dominio== ===''Open non è free: comunità digitali tra etica hacker e mercato globale''=== Il gruppo Ippolita in questa trattazione riflette sull'impatto del mondo digitale nella vita reale, affrontando tale cambiamento da vari punti di vista. Ciò che risulta, dalle numerose argomentazioni dell'autore, è che la storia dell'evoluzione dei sistemi operativi, la quale comprende numerose difficoltà in cui si incontrano ambiti delicati come l'etica e il diritto. Tematiche di primaria importanza come quella della licenza, ad esempio, la quale viene affrontata analizzando anche dal punto di vista storico, viene risolta contrapponendo i termini copyright e copyleft nelle loro differenze, in quanto entrambi i termini fanno riferimento ai diritti, sia dell'utente che del programmatore. Nel saggio viene esplicitato in diversi punti il profilo del fenomeno "hacker", la definizione, l'etica, le comunità hacker e le diverse tipologie, il continuo riferimento alla loro capacità di interagire con il programma, di creare nuovi ponti e nuovi linguaggi. Creare nuovi linguaggi nell'ambito digitale significa creare nuovi codici, la traduzione è sempre fonte di errore, ciò pone l'obbiettivo degli hacker in potenza : c'è sempre modo di migliorare. Una delle discussioni più chiarificatrici è quella che ha per oggetto l'Open Source e il Free Software, trattazione che viene affrontata in tutti i capitoli. Questo metodo rende giustizia al reale intreccio presente all'interno del mondo digitale, intreccio dovuto alla collisione di interessi economici da parte di aziende multinazionali, quindi all'adattamento di tali sistemi al mercato globale. Viene fatto riferimento a Philip K. Dick, quindi ai concetti di "protezione delle idee" e "proprietà intellettuale", tali tematiche inglobano l'argomentazione in merito ai diritti degli utenti, viene fatta chiarezza sul progresso del tema dei diritti. ==Raffaele Simone: la mediasfera== Il linguista italiano Raffaele Simone, nel suo libro ''Presi nella rete. La mente ai tempi del web (2012)'', sottolinea come la tecnologia ha trasformato il nostro modo di usare il corpo e la mente. A partire dal prologo, l'autore parla della ''Mediasfera'', ossia un ambiente dove gli strumenti elettronici in rete (''media'') ricoprono un ruolo fondamentale, non come semplici cose, ma come presenze arroganti e invadenti. Questa fase storica, chiamata dall'autore "Terza fase", è caratterizzata da un'ubiquità dei media senza precedenti. Questi infatti sono ovunque, materiali o immateriali a seconda che si tratti di hardware oppure software. La mediasfera è arrivata ad urtare la ''noosfera'', ossia ciò che risiede nella mente umana, dai pensieri alle opinioni su qualsiasi tema. All'interno dl libro, Raffaele Simone analizza in maniera minuziosa tutti i cambiamenti che la mediasfera ha causato nell'uomo. Oggi, ad esempio, possiamo leggere un libro su gadget elettronici e nello stesso momento pubblicare il passo che stiamo leggendo condividendolo con il mondo intero. La mediasfera, per Raffaele Simone, ha intaccato l'idea di ''narrazione della storia'', ovvero quelle concezioni che si assorbono con la cultura, perché rende ''irreale'' e ''falsa'' la nostra esperienza che dunque si dissolve proprio come la nostra capacità di esporre fatti. Infine i media hanno anche il merito di dare voce a chi ''apparentemente'' non ne ha, ovvero tutti coloro che non appartengono ad un partito politico. Proprio con questo preciso scopo sono nate le ''democrazie digitali'' che sono uno dei più grandi prodotti della mediasfera. Grazie alla rete molte persone si riuniscono per organizzare manifestazioni per far sentire la propria voce, la propria idea in merito ad un certo tema. Le democrazie digitali non hanno tuttavia una struttura ben definita, deficit che le rende altamente volatili, il che vuol dire che possono smettere di esistere in qualsiasi momento. ==Viktor Mayer-Schonberger: i Big Data== [[File:Viktor Mayer-Schönberger (1).jpg|thumb|left|Viktor Mayer-Schönberger]] L'uomo nei suoi intenti conoscitivi e pratici è sempre stato costretto a lavorare con piccole quantità di informazioni. Ciò era dovuto alla tecnologia che costui aveva a disposizione per raccogliere e diffondere le informazioni. Basti pensare che i libri, da sempre considerati il principale mezzo di trasmissione della conoscenza, per secoli sono stati chiusi nelle biblioteche dei conventi e pochi potevano consultarli. Una rivoluzione in questo ambito avviene con l'invenzione della stampa, che permettendo una più vasta circolazione del sapere, incrementò le informazioni di cui un uomo poteva entrare in possesso. Questo fenomeno storico si ricollega alla rivoluzione scientifica nonché al compimento politico della modernità. Oggi, nel XXI sec., lo sviluppo dell'informatica ha portato verso una nuova dimensione di conoscenza possibile quella dei Big Data, suscettibile, come la stampa prima di essa, di influenzare profondamente il mondo in cui viviamo. Un'analisi dettagliata e innovativa sul fenomeno viene da Viktor Mayer-Schonberger e Kenneth Cukier in un loro recente saggio: Big Data; una rivoluzione che trasformerà il nostro modo di vivere e già minaccia la nostra libertà. Quanto segue sotto è una sintesi delle loro osservazioni. Per Big Data s'intende l'attuale capacità tecnica di raccogliere enormi quantitativi di dati, e di elaborarli mediante algoritmi e modelli statistici per poi ricavare trend e previsioni sulla realtà. La relazione identitaria che esprime questa quantità è ''N = tutti''. L'obiettivo è quello di estrapolare circa un fenomeno che si va analizzando un numero di informazioni tendente alla totalità. Un tale sistema va verso il superamento del metodo tradizionale del campionamento, il quale, nonostante la sua migliore accuratezza, trascura i dettagli. Non vi è un'informazione nel metodo dei Big Data che meriterebbe di essere sorvolata, tutto è in qualche modo rilevante. Solo attraverso una sguardo veramente ampio di quello che si osserva, si possono individuare quelle ''correlazioni'' generali tra gli eventi, che prima sfuggivano all'uomo. Ma di quali informazioni i Big Data sono composti? Qualsiasi genere di informazioni. Non v'è un ambito di realtà che attualmente non possa essere sottoposto ad un processo di ''datizzazione''. Le nostre preferenze di acquisto su Amazon. I nostri post su Facebook e Twitter. Le parole-chiave digitate sui motori di ricerca. Il nostro corpo, se collegato ad apparecchiature capaci di trasformare i nostri segni vitali in informazioni. Il mondo fisico attraverso le migliaia di tecnologie che lo monitorano, dall'atmosfera al mare fino ai movimenti delle placche tettoniche. Tutto oggi è può essere trasformato in dati, ovvero in informazioni denotate di significato per l'uomo e da cui questi può ricevere utilità pragmatica e conoscitiva. I dati hanno poi iniziato ad avere un loro valore economico autonomo. Le informazioni sono diventate l'oggetto delle transazioni e nuove categorie di professionisti, i Data Specialist, entrano in gioco, offrendo le loro competenze a chi vuole sfruttare pienamente il potenziale dei dati. I Big Data si presentano come una grande opportunità per l'umanità. Nuovi traguardi conoscitivi verranno raggiunti, e, grazie al loro potere previsionale, l'uomo potrà adoperarsi per migliorare l'organizzazione del mondo sociale in cui vive. Tuttavia un uso poco saggio e perverso delle informazioni potrebbe risultare pericoloso. La privacy, il diritto alla riservatezza, è già oggi oggetto di pratiche lesive. Molti dei dati usati da imprese e governi riguardano i cittadini e spesso aspetti personali e confidenziali delle loro esistenze. Il consenso informato non sempre riesce a tutelare la riservatezza. Molti utilizzi dei dati sono infatti futuri ed è contraddittorio dare la propria approvazione verso usi di cui non si conosce il contenuto. Anche la libertà dell'uomo rischia di essere minata. Le previsioni statistiche tendono a divenire sempre più precise, e nulla impedisce che prima o poi vengano applicate in campo giudiziario. Si inizierebbero ad adottare misure preventive a sfavore di individui o gruppi, quando i dati li dipingano come probabili criminali. Ancora, si arriverebbe ad arrestare un individuo prima della commissione del fatto, solo perché secondo il risultato di un algoritmo costui avrebbe a breve compiuto un delitto, venendo così attaccati i diritti fondamentali della persona previsti dalle costituzioni moderne e la fiducia dell'uomo come essere dotato di libero arbitrio. Gli autori paventano quindi la necessità che lo sviluppo tecnologico dell'uomo subisca sempre l'influsso di una sua "direzione etica". ==Manfred Spitzer: la demenza digitale== [[File:5951Dr.Dr. Manfred Spitzer.JPG|thumb|left|Manfred Spitzer]] Demenza digitale: come la nuova tecnologia ci rende stupidi (Digitale Demenz: Wie wir uns und unsere Kinder um den Verstand bringen) è un saggio scritto dal neuropsichiatra tedesco Manfred Spitzer nel 2012.L'autore, dirigente della Clinica psichiatrica e del Centro per le Neuroscienze e l'Apprendimento dell'Università di Ulm, spiega l'influenza negativa dell'intensivo uso dei media digitali sullo sviluppo cerebrale degli esseri umani, soprattutto tra l'infanzia e l'adolescenza in quanto il cervello è in piena fase di sviluppo. Nello specifico, il neuropsichiatra ritrova una significativa relazione tra la corteccia prefrontale-orbitofrontale e l'ampiezza del gruppo e pensiero sociale. Da questo ne consegue che l'utilizzo di media digitali, che si basano su rapporti "virtuali", diminuisce la dimensione delle zone del cervello utilizzate nell'ambito della realtà sociale."Il nostro cervello è prima di tutto e soprattutto un cervello sociale"[1]. In merito l'autore dice che: "La demenza digitale si caratterizza sostanzialmente per la crescente incapacità di utilizzare e di controllare appieno le prestazioni mentali"[2], producendo effetti collaterali quali: stress, obesità, insonnia, depressione, dipendenza e perdita di controllo. Tutto questo rende il soggetto incapace di avere padronanza di se stesso e dell'ambiente che lo circonda. Tra le persone dipendenti, le più frequenti attività in rete sono: acquisto su Internet, chatroom e utilizzo eccessivo di video. Spitzer elenca una serie di caratteristiche dei videogiochi che possiedono un potenziale livello di dipendenza: coinvolgono più partecipanti, sono i più violenti e donano ricompense virtuali. L'autore riporta innumerevoli dati scientifici che descrivono la triste realtà del mondo digitale, identificando la Corea del Sud come il Paese con il più elevato grado di dipendenza; criticando pedagogisti, politici e industriali del mondo informatico interessati soltanto al marketing piuttosto che al futuro dei giovani. Ulteriore problematica giovanile riscontrata dall'autore è l'abbassamento del rendimento scolastico, in quanto apprendere esclusivamente attraverso il computer non è propedeutico, per tali ragione il cervello essendo come un "muscolo" deve essere allenato tramite l'attività di memorizzazione, riflessione e capacità critica. Ragion per cui Manfred Spitzer invita a prendere coscienza delle criticità e a non indebolire il corpo e la mente dei "nativi digitali" attraverso l'utilizzo di tecnologie informatiche. ==Geert Lovink: ossessioni digitali== [[File:2010-09 CPOV IMG 4700.JPG|thumb|left|Geert Lovink]] Geert Lovink (Amsterdam,1959) è un saggista olandese ed un teorico della rete. Nel suo libro "L'abisso dei social media" (2016) egli riflette sulla degenerazione del digitale, il quale assume il comando di un'epoca caratterizzata da disuguaglianze sociali e una stagnazione culturale nella società. I "nuovi media" sono ormai divenuti parte del problema. L'autore, infatti, pone l'accento sul fallimento della tecnologia, che influisce sulla vita dell'uomo, in particolare quando la routine prende il sopravvento. Questa degenerazione ha portato ad una nuova serie di <<internet studies>>, basati in particolare sulle problematiche del sovraccarico di informazioni, il multitasking e la perdita di concentrazione. Tale approccio viene definito "moralista" e si distingue, invece, dall'approccio degli studiosi europei, che si focalizzano sul contesto culturale ed economico del capitalismo digitale e i suoi effetti. Le politiche di internet dovrebbero, infatti, scacciare via le tentazioni della tecnologia attraverso specifiche routine per cambiare vita. A questo proposito l'autore cita l'esempio di Howard Rheingold, propugnatore della posizione secondo cui l'autocontrollo e l'alfabetizzazione sui social media non sono innate, ma vanno insegnate. Egli propone, infatti, dei trucchi per allenare il cervello, fino a trasformarli in abitudini. Un'altra posizione interessante che affronta, appunto, il problema dell'ossessione digitale è quella di Morozov (Soligorsk, 1984), sociologo e giornalista bielorusso, esperto di nuovi media. Egli afferma nel suo libro ''Internet non salverà il mondo'' (2013) che la tecnologia non riuscirà a risolvere i problemi sociali. L'era del dot.com si è trasformata in una "fibra morale indebolita": Silicon Valley rappresenta la degenerazione del conservatorismo libertario; gli ideali progressisti sono stati abbandonati in favore di concezioni reazionarie. Nonostante ciò, questo quadro è destinato a rimanere tale a causa della scarsità nella produzione di studi critici, spesso denunciata dall'autore. ===Ossessioni collettive: critica dei social media=== Geert Lovink in quest’opera affronta in chiave critica le culture di rete. Focalizza l'attenzione sul Web 2.0 considerando le nuove modalità di accesso alla rete: mobile apps e walled gardens(“giardini recintati” che filtrano tutto ciò che è ritenuto inadatto). La posizione di Lovink è quella di un mediatore che non si schiera a favore di nessuno, ma osserva e riflette in base alle critiche e alle teorie vantaggiose del web. L'autore propone di iniziare a trattare le macchine in modo autonomo, svincolate dall'uomo. Dedica la sua attenzione ai blog, che hanno cercato di eliminare l'apparenza del web integrando elementi di vita privata, ma sono tanto innovativi quanto distruttivi: cade il concetto di identità, danno vita ad una comunità in cui tutti seguono, guardano e si adattano a ciò che fa la maggioranza. Questo è il limite di questi media: essere un ambiente chiuso. Lovink mostra grande avversità nei confronti di Google, che mira al guadagno attraverso il consenso e l'utilizzo degli utenti. Problema che segue da tutto ciò è l'ignoranza degli oggetti tecnologici che vengono utilizzati, delle conseguenze della diffusione di troppi dati personali, ogni qual volta ci si registra a qualche sito, e l'ignoranza delle strutture politiche e istituzionali che si trovano dietro tutto ciò. Lovink vuole quindi contrastare questa mancata conoscenza attraverso una teoria che mira a formare dei soggetti attivi, non passivi della tecnologia. ==Luca De Biase: ''homo pluralis''== Nel libro ''Homo pluralis'', Luca De Biase ha esposto la sua visione circa l'utilizzo e la diffusione delle tecnologie nella realtà che ci circonda: essere umani nell'era tecnologica significa vivere in un ambiente arricchito da dati e utilizzare protesi digitali come lo smartphone. La tecnologia, entrando in simbiosi con la società e la cultura, ha migliorato la consapevolezza delle dimensioni nelle quali si vive, dei diversi punti di vista delle persone, connettendoli in modo da favorire la diffusione di informazioni circa i valori del bene comune, la progettazione condivisa e la deliberazione civica. In questo modo le scelte sono più libere ed è salvaguardata la dimensione plurale dell'uomo, la cui identità altrimenti rischierebbe di essere omologata. ==Francesco Varanini: ''Macchine per pensare''== ''Macchine per pensare'' è un saggio e allo stesso tempo un romanzo storico. Permette di ripercorrere parallelamente l’avvento e lo sviluppo del ''computing'' e il pensiero filosofico occidentale rivolto alle macchine. Accanto alle vicende di matematici, logicisti e inventori come [[w:Gottlob Frege|Frege]], [[w:Konrad Zuse|Zuse]], [[w:Alan Turing|Turing]], [[w:John von Neumann|von Neumann]], l'autore accosta la storia del pensiero che ha portato poi l'uomo a costruire macchine per pensare. La storia si sviluppa nel dramma delle due guerre mondiali tra la macchina di Hollerith, che tutto controlla, sorveglia e punisce, passando per il sogno di un giovane Zuse che progetta nel proprio appartamento il primo calcolatore basato su codice binario, fino ad arrivare alla fine della guerra e all'annessa migrazione delle grandi menti verso la [[w:Silicon Valley|Silicon Valley]]. Varanini dipinge un quadro in cui le scelte tecniche sono frutto del pensiero e dove la macchina non può prescindere dal contesto filosofico, culturale e storico che l'ha generata. Occidente, grande guerra, nazismo, paura delle masse, sterminio, bisogno di controllo in opposizione al sogno americano, agli anni della ripresa economica, alla fine delle grandi guerre. Non può che derivarne una biforcazione. Due macchine. Da un lato l'idea della macchina come sostituto dell'uomo, la macchina perfetta che guida e governa e libera l'uomo dalla paura. Infine : un computer-Dio. Dall'altro lato la macchina come stampella del claudicante cammino umano, il computer che accompagna l'uomo. Su questa seconda ipotesi si ha, all'inizio degli anni ’90, un rovesciamento paradossale. Proprio tramite quello stesso codice digitale offerto dal computing, erede del logicismo; proprio tramite i computer, macchine figlie del progetto logicista abbiamo accesso allo sconfinante, sinistro, spaesante e ricchissimo [[w:World Wide Web|World Wide Web]] Nel web è impossibile separare nettamente le credenze dalle verità. Ci muoviamo nella sterminata rete mossi nella ricerca di conoscenze da oscure congetture. Il Web può essere paragonato a un accozzaglia di detriti. Detriti che ci appaiono sempre anche come nuovi materiali di costruzione. [[w:Sigmund Freud|Freud]] ci mostra il percorso per muoversi in questo caos. Accettare tutti i materiali. Accettare l'ambiguità. Formulare senza timore oscure congetture, interpretare, costruire conoscenza. Linguaggi di programmazione e database non sono in alcun modo novità. Sono solo l’estrema conseguenza del logicismo, da [[w:Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]] a Turing. Il Web è novità. Freud ci chiama ad affacciarci senza paura sul web. ==Piero Dominici: la società interconnessa== Nel libro ''Dentro la società interconnessa'' Pietro Dominici espone il concetto di comunicazione (definita come un processo sociale di condivisione della conoscenza) e come la sua evoluzione abbia modificato la società e l'individuo che, a detta stessa dell'autore, non può però essere considerato in maniera oggettiva, ma va analizzato attraverso l'analisi e l'interpretazione dei pensatori precedenti. Punto fondamentale dal quale il discorso prende moto è quello che Dominici definisce un "assunto forte", ovvero la presa di coscienza sulla complessità della comunicazione. Quest'ultima viene definita come "un'interazione sociale caratterizzata da un sistema di relazioni nel quale azione e retroazione (feedback) presentano un carattere probabilistico" alla quale partecipano attori sociali (individui), gruppi, comunità situazioni e contesti differenti. Poiché la complessità di un sistema è data dall'alto numero di variabili che ne rendono difficile l'osservazione, la comunicazione risulta essere particolarmente complessa da analizzare, rendendo l'individuazione di "regolarità" e fare il "previsioni" l'unico percorso percorribile ai fini di una sua analisi. È poi posto all'attenzione del lettore come le nuove tecnologie stiano portando ad un processo di '''trasformazione antropologica''' in grado di mutare la natura dell'agire umano ed i suoi modi di conoscere ed approcciarsi alla realtà. Alla luce di ciò appare necessaria una riformulazione dell'etica, soprattutto in vista della nuova concezione di '''soggettività personale''' basata su una maggiore autonomia individuale. In un secondo momento, attraverso lo studio e l'analisi del pensiero di pensatori contemporanei, l'autore espone due differenti modalità di aggregazione degli individui, ovvero:la ''società di massa'' e la ''società dell'informazione'' verso la quale ci stiamo muovendo. La società di massa, omologante e conformista, basata su schemi di valori derivanti dal rapporto con la famiglia, il territorio, la comunità e nella quale l'individuo si ritrova ad essere solo un ingranaggio della società e ridotto a semplice consumatore, sta mutando verso una forma di società basata su diversi mezzi di aggregazione e ricchezze, quelle digitali. In entrambe le forme di società un ruolo importante è svolto dai '''mass-media''' che, mentre nella società di massa di manipolare con facilità gli individui (proprio in virtù del forte spirito di omologazione che li contraddistingueva), nella società dell'informazione perdono molta della loro influenza in quanto i messaggi da loro trasmessi vengo sempre processati e rielaborati individualmente dal singolo prima di essere discussi nel gruppo di appartenenza. Su tale questione si oppongono due schieramenti: gli '''integrati''' convinti che l'arricchirsi della comunicazione con tali mezzi tecnologici sia un qualcosa di assolutamente positivo in grado di permettere maggiore democrazia ed uguaglianza, e gli '''apocalittici''' che vedono nei nuovi mezzi di comunicazione le basi per una frammentazione della società in favore dell'individualismo. Ricollocare la persona, portatrice di valori, di diritti e di un modello culturale al centro della riflessione e del pensiero contemporaneo, questa la proposta di Dominici nata dalla riflessione riguardo alla dimensione '''etico-valoriale''' e alle modifiche da essa subite con l'avvento delle nuove tecnologie. In particolare si definisce come la tecnologia debba tornare ad essere un "mezzo" e non un "fine". L'autore afferma che l'impulso produttivo che ha portato ad assottigliare la distanza tra '''offline''' ed '''online''' debba, soprattutto nel campo della divulgazione del sapere e delle notizie, cedere il passo ad una nuova categoria di persone, attraverso un processo di formazione possano assumersi la responsabilità di essere '''comunicatori''' divulgatori delle nuove forme di sapere. ==Pedro Domingos: l'algoritmo definitivo== Pedro Domingos, professore dal 1999 presso l'Università di Washington, è autore di numerose pubblicazioni scientifiche su temi relativi all'[[intelligenza artificiale]] e al machine learning, l'apprendimento automatico, con cui risolvere il principale problema che affligge gli algoritmi: la complessità. Nel 2015 rilascia il suo primo libro per il grande pubblico: '''L'Algoritmo Definitivo'''. Il titolo dell'opera si riferisce ad uno dei sogni che gli studiosi di machine learning sperano, un giorno, di realizzare: un algoritmo di apprendimento universale perfetto da cui far derivare tutta la conoscenza, sia essa passata, presente o futura. Un algoritmo del genere, una volta realizzato, porterà ad una vera e propria evoluzione dell'uomo, che farà enormi passi avanti in ogni settore. Per cercare di spianare la tortuosa strada che conduce all'Algoritmo Definitivo, Domingos analizza il variegato mondo del machine learning, identificando cinque tribù, scuole di pensiero differenti per idee e metodi utilizzati. Esse sono: # ''Simbolisti'', ispirati alla filosofia, alla psicologia e alla logica e basati sulla deduzione inversa, l'induzione, con cui creano algoritmi come gli alberi di decisione, che garantiscono che che ad ogni istanza corrisponda una sola regola; # ''Connessionisti'', basati su su neuroscienze e fisica, che si ispirano alla struttura del cervello, costituito da reti neurali, realizzando algoritmi quali la retropropagazione, che consente di procedere per strati invece di dover aggiustare il peso di ogni singolo neurone; # ''Evoluzionisti'', che hanno come base la genetica e la biologia evolutiva, le cui teorie sono utilizzate per realizzare i cosiddetti algoritmi genetici, che imitano la riproduzione naturale mediante crossover delle sequenze di bit, come se fossero cromosomi; # ''Bayesiani'', che si fondano sulla statistica e sul teorema di Bayes, utilizzato nell'inferenza bayesiana per aggiornare il grado di confidenza in un'ipotesi all'arrivo di nuovi dati, che aumentano la sua probabilità se consistenti con essa, nonostante si tratti sempre di credenze soggettive; # ''Analogisti'', la meno compatta fra le cinque tribù, che assomiglia più ad un gruppo di ricercatori diversi uniti solo dalla fiducia nei giudizi di somiglianza come base per l'apprendimento. Analizzate le diverse scuole di pensiero, Domingos sostiene che, per raggiungere l'Algoritmo Definitivo, sia necessario unire in qualche modo le cinque tribù e cogliere, con un computer, l'essenza della mente di un bambino. Bisogna, innanzitutto, cercare un algoritmo che raggruppi spontaneamente oggetti simili o immagini diverse dello stesso oggetto: è il problema del ''clustering'', uno dei più studiati nel settore. L'altra metà dell'opera consiste nell'abbreviare la descrizione di ogni entità. Gli esperti di machine learning chiamano questo processo "''riduzione di dimensionalità''", fondamentale quando si ha a che fare con enormi volumi di dati. Infine, Domingos nota che i bambini non si limitano ad imparare passivamente, ma agiscono, guidati dalle emozioni. I diversi learner analizzati finora sono guidati dalla gratificazione istantanea, ma esiste un altro settore: quello guidato dall'apprendimento per rinforzo. Idea fondamentale in questo tipo di apprendimento è che non tutti gli stati hanno una ricompensa, ma tutti gli stati hanno un valore. Questo tipo di apprendimento ha numerosi problemi, ma, se applicato ai learner di cui l'autore ha parlato nel corso dell'opera, raggiunge nonostante tutto risultati degni di nota. Passo fondamentale verso l'Algoritmo Definitivo è la combinazione di più learner. Si parla di "metalearning" quando si tratta di apprendimento su learner. Uno dei metalearner più ingegnosi è il boosting, che non combina learner diversi, ma applica ripetutamente ai dati lo stesso classificatore, usando ogni nuovo modello per correggere gli errori del precedente. Il metalearning dà ottimi risultati, ma non combina i modelli in maniera particolarmente approfondita, oltre al fatto di essere molto costoso. Domingos crede che possa esistere un unico learner che faccia tutto da solo: l'Algoritmo Definitivo, il "Sacro Graal dell'informatica". ==Lawrence Lessig: proprietà intellettuale e cultura libera== ===''Remix. Il futuro del copyright (e delle nuove generazioni)''=== [[File:Lawrence Lessig 3, 2010-04-07.jpg|thumb|left|Lawrence Lessig]] Lawrence Lessig, è un giurista statunitense. È un noto sostenitore della riduzione delle restrizioni legali sul diritto d'autore, come testimonia il libro ''Remix. Il futuro del copyright (e delle nuove generazioni)'', in cui espone i principali limiti di tale normativa e gli effetti che produce nella società. La legge sul diritto d’autore è diventata una normativa estremista che rende difficile un’ampia gamma di attività creative a cui qualunque società libera permetterebbe di esistere dal punto di vista legale. Questa mina lo sviluppo della cosiddetta cultura RW (read/write, leggi e scrivi), la quale è espressione di un nuovo tipo di creatività, basata sul remix, che consiste nella libera rielaborazione di musica, testi, video, fotografie ecc. Inoltre il remix produce due aspetti positivi: uno legato alla socializzazione, e uno all’educazione. I remix hanno luogo all’interno di una comunità di remixer e nell’era digitale, tale community, può estendersi in tutto il mondo. Ma è anche una strategia volta a stimolare l’apprendimento basato sull’interesse: tale forma di apprendimento scaturisce dall’interesse della persona, quando i ragazzi svolgono attività che li appassionano, essi apprendono di più e più efficacemente. Però la legge sul copyright contrasta la pratica di tale cultura, il problema quindi è che questa è un’arte illegale, e di conseguenza chiunque la persegue viene definito criminale. Lessig mostra perciò la necessità di cambiare approccio, non eliminando le leggi sul copyright in quanto grazie ad esso incentiviamo la produzione di nuove opere che altrimenti non verrebbero prodotte, ma elaborando un modello "ibrido" che bilanci le esigenze dei creatori con il desiderio dei fruitori di impossessarsi dei prodotti artistici e culturali. La legge sul copyright deve essere cambiata, ma non abolita, quindi l'autore propone cinque modifiche che potrebbero migliorare il rapporto tra tale legge e la creatività RW. # Bisogna dotarsi di una legge sul copyright che lasci la creatività amatoriale libera, mentre le copie delle opere professionali dovrebbero continuare ad essere regolate nel modo tradizionale. # Avere chiari diritti: i detentori del copyright dovrebbero registrare le opere in un determinato server che ne attesti la proprietà per comprendere cosa appartiene a chi. # Bisogna impegnarsi per semplificare la legge. # La legge sul copyright deve abbandonare la sua ossessione per la copia: non dovrebbe, infatti, regolamentare le copie o le riproduzioni ma i loro utilizzi. # Bisogna decriminalizzare il file sharing, autorizzando almeno quello non commerciale attraverso, ad esempio, l’imposizione di tasse. Un cambiamento è necessario in quanto eviterebbe alle giovani generazioni di crescere con l’etichetta del “pirata”: in gioco, infatti, non c’è solo la libertà creativa, ma anche il rapporto di queste generazioni con la legge. ===''Il futuro delle idee''=== Lawrence Lessig ha inoltre scritto un importante libro "Il futuro delle idee" incentrato sulle conseguenze che l'inasprimento in atto del regime di proprietà intellettuale determinerà sulla nostra libertà e sugli assetti regolativi della Rete. Internet è nata come spazio libero, in cui la cultura e l'informazione ,le idee del nostro tempo, potessero liberamente fluire generando un'inedita libertà d'espressione. Questa libertà si sta restringendo,giorno dopo giorno, da un punto di vista tecnico e legale. Il rischio è di un ritorno ad un età medievale in cui pochi gestori dei diritti impongono le proprie regole a tutto il mondo. Per evitare ciò è necessario, come Lessig evidenzia più volte, mantenere un equilibrio tra libertà e controllo delle risorse. Lessig in questo libro sviluppa le proprie argomentazioni entrando nel merito della proprietà privata delle idee, riscoprendo il loro valore come bene comune. ==Antonio Caronia: il cyborg== ''Il Cyborg'' è un saggio sull’uomo artificiale scritto da Antonio Caronia (Genova, 1944) nel 1985. Il punto cardine della trattazione è il rapporto uomo-macchina, e lo sviluppo che tale rapporto ha avuto nel corso dei secoli, partendo dalla preistoria e dal binomio homo sapiens e homo technologicus. L’autore considera il saggio in grado di orientare le domande dei lettori in merito al fenomeno dell’ibridazione fra esseri umani e tecnologie, perseguendo l’analisi del rapporto tra biologia e cultura degli esseri umani sia in una realtà immaginaria che nel mondo reale. Il saggio è suddiviso il due parti: L’alba dell’ibrido moderno e Il cyborg postfordista. Nel primo capitolo troviamo la definizione di cyborg e le sue origini. Il cyborg nasce dalla fantascienza americana, negli anni Venti, affiancato dalle figure del robot e dell’androide. La prima definizione di cyborg ci è fornita da Odle in The Clockwork Man, la definizione asserisce che il cyborg è l’uomo dell’8000 d.c con un meccanismo ad orologeria nella testa con il quale può passeggiare nel tempo e nello spazio sconosciuto. Il cyborg è come i mostri medievali abitante di un'altra dimensione, un altro spazio. A differenza dei mostri medioevali che erano ancorati all’idea per la quale i mostri fossero legati la proprio creatore e quindi avevano come punto fisso l’uomo, unità di misura che ha posto Dio per distinguere ciò che è considerato normale dall’anormale. I cyborg rappresentano il punto di rottura con il sistema medioevale e rivelano la piccolezza dell’uomo nei confronti dello spazio, la sua fragilità. Il cyborg diventa l’unica chiave per approcciarsi a realtà che altrimenti rimarrebbero sconosciute. Caronia ci offre un ampio spettro di tutte le diverse morfologie di cyborg che hanno preso forma nel corso dei tempi. Il primo modello di cyborg fu il più semplice e al tempo stesso il più radicale si parlò di un cervello in una scatola di metallo. Ciò che è messo in rilievo è quello che viene considerato il centro e l’organo più nobile dell’essere umano, il cervello. Il resto sono solo organi non necessari per la costruzione di un cyborg perfetto. Tale idea di cyborg si fece spazio tra diversi letterari del tempo e non solo scrittori di fantascienza. Il cyborg che invade la scena supera tutti quelli che possono essere considerati limiti umani, come il bisogno di nutrirsi o dissetarsi. Nel terzo capitolo del saggio, troviamo esplicitate le caratteristiche principali del confronto uomo-macchina e da ciò la nascita del cyborg. Il primo a sostenere che l’antitesi uomo-macchina sia in complementarità col binomio naturale-artificiale, fu Cartesio, il quale sviluppando la sua teoria e visione meccanicistica del mondo, ha fatto sì che in età moderna l’uomo e la macchina siano uno il riflesso dell’altro. Il corpo umano, infatti funziona come una macchina perfetta e l’universo non è altro che un’immensa macchina costantemente in movimento nello spazio. Più tardi Diderot fece coincidere artificiale e naturale, sostenendo che tutto ciò che è creato dall'uomo è naturale poiché egli stesso fa parte della natura. Così nel secolo dei lumi, meccanicismo e naturalismo combaciano. Il cyborg diventa un’esasperazione delle peggiori caratteristiche umane. Successivamente si sviluppa una nuova immagine di cyborg che è a metà tra il meccanismo artificiale e l’uomo che vuole provare sentimenti. Di qui un’immagine sofferente, la macchina che si è fatta strada in lui non gli potrà permettere alcun contatto con l’umanità. Una questione che si fa sempre più sottile tanto da non riuscir più a distinguere con facilità artificiale e naturale, tanto da far sovrapporre se non scomparire tali concetti. Facendo coincidere la “meccanizzazione dell’uomo con la sua incapacità di amare. Lo stesso Caronia scrive: "Il cyborg si presenta quindi come l’oggettivazione di una sessualità disturbata non necessariamente come una minaccia ma certamente come simbolo di un’aggressione all’Io individuale o sociale di cui, comunque, lo sviluppo della tecnica è una componente importante". L'autore analizza poi le origini del concetto di sottomissione dell’uomo alla macchina. Molti infatti sostengono che queste macchine siano talmente intelligenti da far cadere gli uomini ai loro piedi o peggio ancora essere esiliati dalle macchine in altri contesti, visti e paragonati a mutanti costretti a vivere sottoterra dipendenti da una macchina. Gli scritti fantascientifici rappresentano attraverso questi scenari solo i contro dell’intelligenza artificiale, portando questo contesto all’esasperazione. Di qui il chiarimento dei pro e dei contro dell’intelligenza artificiale. Non siamo ancora in grado di produrre macchine che siano in grado di pensare come un essere umano dal punto di vista psicologico, al contrario possiamo avere macchine che abbiano la nostra, se non maggiore e più accurata, intelligenza in ambito matematico, tecnico o scientifico. L'autore rivolge poi la sua attenzione al ruolo della nascita della tecnologia e del lento decadimento della natura che è diventata via via frammentaria. I cyborg sono figli dell’uomo che è mortale, il naturale che diventa artificiale, il mortale che diventa immortale. Ora, l'uomo che per millenni ha cercato di arrivare a concepire qualcosa che lo rendesse immortale, l’ha ritrovato nella figura del cyborg ma a quale prezzo? Dai cervelli inscatolati degli anni ‘30, la figura del cyborg nel corso degli anni si evolve passando prima ad una figura che veniva più legata ed evidenziata nella vita reale come Terminator dal corpo umano e gli interni meccanici. Negli anni ‘80 il cyborg invece si sviluppa in una realtà del tutto virtuale. L’arrivo di internet sconvolge i meccanismi precedenti abbattendo le barriere tra uomo e ambiente. Cambia il modo di pensare che non è più legato a produrre teorie ma a produrre oggetti che conferiscano maggior potere all’uomo e che riducano via via ogni limite che gli si possa porre dinanzi. Nel penultimo capitolo troviamo la definizione di “artificialità” fornita da Tagliasco, il quale la definiva come la particolarità che contraddistingue in nostro corpo, ciò che porta alla distinzione tra cloni e mutanti. La sintesi fra organico ed inorganico trova ampia realizzazione nella macchina che si realizza con l’industria capitalistica quando l’uomo deve adattarsi e sottomettersi a modalità e tempi di lavoro della macchina, in questo cotesto uomo e macchina sono uno contro l’altro in competizione. Durante l’epoca postfordista invece uomo e macchina quasi si fondano e lavorano insieme non solo in ambito lavorativo ma anche nel quotidiano. Di qui si parla di biopolitica e Caronia riprende nel suo saggio una moltitudine di intellettuali che hanno affrontato l’argomento come Foucault ("la realtà biologica si riflette in quella politica”); Donna Haraway con la teoria “corporea, letterale, figurativa, non metaforica"). Il Ventesimo secolo grazie alla tecnologia è diventato l’epoca del possibile. La quale ha reso possibile l’unica rivoluzione del Novecento. Willard van Orman Quine, cinquant’anni fa sferrò una forte critica al concetto di necessità. Nel corso della storia il termine “necessità” ha assunto significati diversi in contesti diversi tra innumerevoli filosofi, il primo che definì ciò che fosse necessario fu Aristotele, vista come "ciò senza cui non è possibile vivere” e “ciò che costringe, … una cosa contraria al movimento liberamente scelto e razionalmente meditato". in seguito viene riconosciuto da Voltaire il valore contingente della necessità, in quanto la necessità di uno può differire da quella di un altro, giungendo ad una versione pessimistica e negativa di necessità. In seguito da Kant la necessità è intesa come necessità logica, necessario coincide con analitico. Il cyborg non è una figura fissa bensì mutabile e in costante sviluppo. Il cyborg è l’apoteosi del raggiungimento dell’uscire da sé a cui tendevano sciamani e mistici di ogni tempo, “uscire da sé” in senso letterale, fisico, in completa estasi. In questo si identifica la prospettiva del postumano. Ciò apre contraddizioni tra individuo e collettività che sono principalmente due: processi culturali di umanizzazione e modalità di appropriazione e uso delle tecnologie. ==Riferimenti bibliografici== *U. Pagallo, ''Introduzione alla filosofia digitale. Da Leibniz a Chaitin'', Torino, Giappichelli, 2005. *G. O. Longo - A. Vaccaro, ''Bit Bang. La nascita della filosofia digitale'', Milano, Apogeo; Santarcangelo di Romagna, Maggioli, 2013. *E. Steinhart, ''Metafisica digitale'', in: ''La fenice digitale: come i computer stanno cambiando la filosofia'', a cura di T. W. Bynum e J. H. Moor, Milano, Apogeo, 2000, pp. 125-139. *T. W. Bynum - J. H. Moor, ''The Digital Phoenix: how computers are changing philosophy'', Oxford 1998; tr. it. ''La fenice digitale. Come i computer stanno cambiando la filosofia'', Milano 2000. *L. De Biase, ''Homo pluralis'', Torino, Codice, 2015. *Y. Benkler, ''La ricchezza della rete. La produzione sociale trasforma il mercato e aumenta le libertà'', tr. it. di A. Delfanti, Egea Università Bocconi Editore, Milano, 2007. *M. Durante, ''Il futuro del web: etica, diritto, decentramento'', G. Giappichelli Editore, Torino, 2007. * Lessig L., "Cultura libera. Un equilibrio fra anarchia e controllo, contro l'estremismo della proprietà intellettuale", tr. it. di B. Parrella, Apogeo, Milano, 2005. * Greco G.M.- Paronitti G.- Taddeo M.- Floridi L., "Etica informatica", in Enciclopedia filosofica, Fondazione Centro Studi Filosofici di Gallarate, http://www.philosophyofinformation.net/pdf/14601.pdf ==Note== <references/> [[Categoria:Filosofia dell'informatica|Teorie filosofiche del digitale]] {{Avanzamento|75%}} l5k00g442vuawq8ulqbkzln3lx86ann 0 39468 498604 402418 2026-05-29T10:44:48Z Avemundi 6028 refuso 498604 wikitext text/x-wiki {{a scuola con metodo}} Saper leggere vuol dire essere un lettore abile, consapevole e critico. Ma sappiamo realmente cos'è un libro e cosa significa questa parola? La parola libro deriva dal latino "liber" che significa "essere liberi". Infatti quando noi leggiamo, la nostra mente è distolta dai pensieri, dai dubbi e dalle incertezze che la vita ci riserva: diventa libera! Un libro non è solo un accumulo di carte raccolte e messe assieme ma è una scoperta continua ed un viaggio nella mente dell'autore. È un amico prezioso con il quale vivere ogni volta una nuova avventura, sempre diversa, stando seduti davanti ad una grande finestra immaginaria che si affaccia su un mondo fatto di sogni e realtà. ==Tanti modi per leggere== Quando leggiamo dobbiamo aver chiaro cosa leggiamo e qual è il motivo per il quale ci prefiggiamo di leggere. Usiamo infatti tecniche diverse per leggere una locandina o l'articolo di una rivista, le istruzioni per imparare ad usare nuovi apparecchi, racconti o romanzi. Ciò significa che le tecniche e le strategie di lettura variano a seconda di ciò che leggiamo. Saper leggere significa leggere mentalmente con buona rapidità, saper scegliere cosa leggere in base ai propri bisogni e alle proprie necessità, saper adattare il tipo di lettura e le modalità di lettura allo scopo per cui si legge.<ref>Marcello Sensini, Porte aperte, l'Italiano per tutti, A Mondadori Scuola, 2015</ref> I tipi di lettura possono essere diversi. Ne elenchiamo alcuni: *'''La lettura di consultazione''' (detta anche lettura selettiva): questo tipo di lettura ha lo scopo di cercare informazioni specifiche quali ad esempio indirizzi, numeri di telefono, significati di parole, definizioni di termini, offerte di lavoro, indicazioni relative a fonti consultate in rete. Se cerchiamo tale tipo di informazione stiamo di sicuro consultando un elenco telefonico, un dizionario oppure una rivista o documento in rete. La strategia che utilizziamo in questo tipo di lettura fa sì che l'occhio scorra velocemente le pagine scartando automaticamente, senza leggerle, tutte le parole diverse da quelle cercate;<ref>Ferralasco, Moisa, Testa, Fare il punto, Edizioni scolastiche Bruno Mondadori, 2011</ref> *'''Lettura globale''' (detta anche lettura orientativa): in un testo non tutte le informazioni hanno la stessa importanza. Quelle principali sono essenziali per la comprensione: infatti senza di esse, il testo non avrebbe senso. Le altre invece, arricchiscono, spiegano, illustrano, chiariscono l'informazione principale: hanno cioè un ruolo di supporto. Per una buona lettura globale: individuare l'idea centrale ossia l'informazione più generale e importante del testo, che ne riassume il contenuto globale, individuare le idee principali senza le quali il testo perderebbe il significato e le informazioni di supporto che spiegano le idee principali, le arricchiscono, le sviluppano. Infine dovremmo eliminare le informazioni che si ritengono superficiali e raggruppare quanto letto; *'''Comprensione letterale del testo''': capita, a volte, durante la lettura, di non comprendere alcune parole o espressioni. In questi casi si possono adottare varie tecniche di comprensione, quali ad esempio fare delle ipotesi sul significato delle parole contenute nel testo, a partire dal contesto di riferimento in cui esse si trovano nel caso di parole composte o derivate; cercare di risalire al significato globale partendo dal significato delle loro parti; consultare sempre dizionari o enciclopedie; suddividere i periodi lunghi e complessi in frasi più brevi e semplici; capire le informazioni implicite, quelle cioè che non vengono espresse o perché già fornite nei capitoli precedenti o perché ricavabili dal contesto o anche perché facenti parte di un patrimonio comune di conoscenze culturali.<ref>Fogliato, Strumenti per l'Italiano, Loescher, Città di Castello (PG), 2004</ref> ==Cinque azioni per leggere meglio== Saper leggere in modo efficace è probabilmente la migliore strategia per diventare un bravo studente. Sfortunatamente, non tutti possiedono una buona capacità di lettura. Come qualsiasi altra abilità, tuttavia, anche questa può essere sviluppata e migliorata con l'esercizio. Qui sotto vi sarà presentata una strategia di lettura in cinque stadi che vi aiuterà a migliorare e a diventare lettori più critici. Questa strategia si chiama VFL2R<ref>Uelaine Lengefeld, Imparare a studiare, come apprendere di più, più rapidamente e più a fondo, Milano, 2011</ref>, sigla che viene fuori dall'anagramma delle iniziali delle principali azioni: * '''Visione di insieme''' (lettura di impatto o prelettura). Osservate attentamente la pagina da studiare, ricavando quante più informazioni possibili. Dovreste compiere queste operazioni: *# esaminare il titolo di ogni capitolo; *# notare le intestazioni e i sottotitoli e i rapporti tra i titoli più importanti di ogni capitolo; *# osservare eventuali figure; *# cercare domande o attività di studio alla fine di ogni capitolo. * '''Formulare delle domande'''. Quando si legge è necessario porsi sempre delle domande: Chi? Che cosa? Quando? Dove? Come? Leggere analiticamente e sottolineate * '''Leggere e sottolineare''': in un testo di studio dovete individuare, per ogni frase o periodo, le due informazioni base sempre presenti: *# Di che cosa o di chi si parla? (soggetto) *# Che cosa si dice su di essa/lui/lei? (predicato) Studiate in modo attivo e partecipe. Entrate nel testo e date ad ogni parola una funzione chiedendovi: che cosa significa? A quale domanda risponde? Come si collega con le altre informazioni del testo? Dopo aver letto un passaggio importante può essere evidenziare o sottolineare le risposte alle precedenti domande; * '''Rielaborare'''. Rielaborare vuol dire manipolare i contenuti e dare ad essi un ordine logico, riflettere e comprendere in modo approfondito e critico. Tutto questo agevola l'interiorizzazione e la memorizzazione dei contenuti. Potete scrivere brevi note di studio che vi aiuteranno ad inserire le informazioni nella vostra memoria a lungo termine per recuperarle più facilmente nel momento della verifica. Scrivete una frase di sommario dell'idea principale di ogni paragrafo se trovate la materia particolarmente difficile. Le chiavi di richiamo che avete scritto nei margini costituiscono un passaggio essenziale: potete utilizzarle anche per ripassare. Possibili rielaborazioni sono: riassunti, sintesi cronologiche o di presentazione, mappe cognitive; * '''Ripassare'''. Dopo la lettura analitica e con il testo personalizzato davanti (parole evidenziate, note, commenti, sottotitoli), ripetete ad alta voce le informazioni acquisite, rispettando le sequenze. Potete accompagnare l'esposizione con una lettura sommaria (far cadere l'occhio sulle parole evidenziate, titoli, sottotitoli, immagini, note). In questo modo solleciterete sia la memoria acustica che quella iconografica. Inoltre allenerete le abilità della comunicazione orale attraverso l'autocorrezione. ==Suggerimenti per sottolineare un libro di testo== Qui di seguito una serie di suggerimenti per sottolineare il libro di testo: #Sottolineate dopo aver letto: leggete un paragrafo o una sezione del testo e poi tornate indietro e sottolineate solo i punti più importanti. Non sottolineate mai alla prima lettura; #Numerate le seguenti parti: elenchi, enumerazioni, sequenze; #Ponete delle linee verticali nel margine per evidenziare i punti principali che si estendono su più righe; #Usate degli asterischi per gli argomenti salienti e per altri passi o idee importanti; #Mettete delle frasi di richiamo al margine per condensare i punti principali e fornire dettagli di supporto. Anche sommari e domande possono trovare posto nei margini; #Definizioni ed esempi: sottolineate tutte le definizioni. Scrivete "def." nel margine. Mettete delle parentesi tonde intorno agli esempi. Se sottolineate o evidenziate l'intero esempio, la vostra pagina sarà una massa di giallo e il vostro scopo verrà vanificato; #Circoli o riquadri: alcuni studenti amano cerchiare i concetti o le parole importanti, altri preferiscono un riquadro; #Esercitatevi: per questa, come per qualsiasi altra abilità, l'esercizio è la via migliore per imparare. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 aprile 2017}} [[Categoria:A scuola con metodo|Imparare a leggere]] ns4q8m0ujctyz81mxogatx5ch9f0nj3 0 41180 498606 475111 2026-05-29T10:45:06Z Avemundi 6028 refuso 498606 wikitext text/x-wiki {{profili di donne lucane}} == Anna Maria Basso == '''Anna Maria Basso''' nasce a Potenza nel 1951. Docente di materie letterarie nella scuola media, è stata Dirigente scolastica dell'I.C. "Giacomo Leopardi" di Potenza e di vari Istituti Comprensivi della Provincia. Ha ideato e curato laboratori teatrali e di scrittura creativa. Ha conseguito numerose segnalazioni e classificazioni in vari Premi Letterari e le sue poesie sono apparse in diverse riviste letterarie, come Hebenon di Torino, Poiesis di Roma, Spriritualità e Letteratura di Palermo, Nuovo Contrappunto di Genova, Polimnia di Roma, Leukanikà di Potenza. La letteratura è stata sempre al vertice dei suoi interessi, insieme alla musica e alla pittura. Il suo amore per la scrittura nasce come tutte le grandi passioni, come una splendida avventura. "Ho cominciato con la scrittura poetica - ha detto Anna Maria Basso – citando Pablo Neruda: 'La poesia venne a cercarmi./ Non so da dove sia uscita,/ da inverno o da fiume./ Non so come né quando / no, non erano voci, / non erano parole né silenzio,/ ma da una strada mi chiamava,/ dai rami della notte…/.' È stato così anche per me. Tra gli anni 90 e il 2010, ho scritto e pubblicato tre sillogi poetiche, nel 2018 ho scelto di dedicarmi alla scrittura narrativa, pubblicando ''L'impermanenza''. È in corso d’opera il secondo romanzo. Una sfida con la parola. Ancora un viaggio. Un rischio. Un’avventura. Ma la scrittura è tutto questo." Nel romanzo L'impermanenza, l’autrice ha inteso raccontarsi e raccontare una storia che avesse per protagonista un uomo problematico, irrisolto, un uomo dei nostri tempi, della nostra società sempre più liquida, votata a un dilagante individualismo, a cui si adatta alla perfezione l’abito dell'impermanenza, che, tuttavia dopo una forte esperienza di dolore, riuscisse a rivelarsi a se stesso e agli altri. === Opere === ==== Poesia ==== * Attese (poesie) - Ed. Ripostes - Atripalda (Av), 1999 * Images / Trame - Edizioni Scettro del Re - Roma 2001 * Quel palpito d’altrove - Erreciedizioni, 2010 ==== Romanzi ==== * L'impermanenza - Manni editori, Lecce 2018 === Bibliografia === * Mario Santoro, ''Annamaria Basso'', in la memoria e l'identità, Antologia di poeti e scrittori lucani, pg. 709 ==Laura Battista== '''[[w:Laura_Battista|Laura Battista]]''' è nata a Potenza il 23 novembre del 1845, figlia di Raffaele Battista da Agrigento e di Caterina Atella da Matera. Già dall'adolescenza, Laura si dedica alla stesura di poesie e nel 1860 a Potenza, pubblica la poesia ''Fior di Ginestra''. Ma la sua passione non ha avuto successo da subito, per via delle condizioni arretrate della Basilicata del tempo. Dopo l'unità d'Italia e la liberazione dal dominio borbonico, nel 1861 Laura non ha più necessità di nascondere la sua passione politica-nazionale e i suoi ideali patriottici e liberali, e dunque scrive molte poesie dedicate direttamente o indirizzate a Garibaldi, vero eroe di Laura Battista e del Popolo Italiano. Inoltre la giovane donna, non ancora maggiorenne studiò da autodidatta lingue straniere come Inglese, Francese e Tedesco, cominciando poi a tradurre da sola:opere di Milton, Byron, Goethe, ecc. Ad un certo momento, le viene imposto di rallentare gli studi per non compromettere ulteriormente la propria salute. Tuttavia, questa sua incessante necessità di apprendere la spinge, nel 1874, a prendere in considerazione il ramo dell’insegnamento. È così che nello stesso anno viene nominata maestra del Convitto Magistrale di Potenza. Lascia dopo poco l'incarico, per motivi di salute e in quanto sposa il conte Luigi Lizzardi. Le opere più importanti sono: ''Emanuele de Deo'', ''I Canti'', "La Lirica sentimentale"e "La Lirica Patriottica". Muore a Tricarico il 9 Agosto 1884. ==Carmela Ayr Chiari== [[File:Carmela Ayr.jpg|miniatura|Carmela Ayr Chiari]] '''[[w:Carmela_Ayr_Chiari|Carmela Ayr Chiari]]''' è una poetessa e scrittrice italiana che nasce il 2 novembre 1873 a [[w:Tursi|Tursi]], da una famiglia scozzese di nobili origini. Oltre ad essere una scrittrice, Carmela studia lingue e ha insegnato presso la "Regia Scuola Normale" di [[w:Verona|Verona]], le materie quali: Pedagogia, Morale, Storia e Lingue. La sua prima pubblicazione è avvenuta nel 1885, sotto il nome del "L'Indipendente", la quale è una raccolta poetica. È inoltre autrice del libro su Nicola Latronico, intitolato ''In Memoria di Nicola Latronico'', e di oltre 30 pubblicazioni. Oltre a ciò, ha scritto anche articoli per "Il Giornale D'Italia", "Il Piccolo" e la "Gazzetta di Parma". == [[w:Marcella Continanza|Marcella Continanza]] == [[File:Marcella Continanza.jpg|left|miniatura]] Nata a Roccanova (PZ), borgo della [[w:Basilicata|Basilicata]] da cui si è allontanata per seguire gli spostamenti del padre per motivi di lavoro, ha vissuto per diversi anni a [[w:Castellammare di Stabia|Castellammare di Stabia]], per poi trasferirsi a Francoforte sul Meno, raggiungendovi il fratello Francesco. Giornalista e poeta, è stata espressione, e nello stesso tempo divulgatrice, della tradizione di poesia delle donne, dalle Sibille a [[w:Isabella Morra|Isabella Morra]], da [[w:Sylvia Plath|Sylvia Plath]] a se stessa. La storia del suo trasferimento a Francoforte è legata alle vicende dell’editoria italiana, quando [[w:Silvio Berlusconi|Silvio Berlusconi]] acquistò nel 1985 "Vietato Fumare", rivista dedicata al [[w:Cinema|cinema]] che dirigeva, trasformandola in [[w:Ciak (periodico)|"Ciak"]], preferì quello che per lei fu un esilio, in cui poté esprimere liberamente le sue potenzialità. In [[w:Germania|Germania]] ha scritto di cultura ed economia per il [[w:Corriere d'Italia (Francoforte)|Corriere d'Italia]]. A Francoforte ha ideato il Festival della poesia e diretto il giornale “Clic” dedicato alle donne italiane residenti in Germania. Dal 1989 la sua "Mostra del libro italiano per ragazzi" ha avuto la finalità di mantenere vive nei figli degli emigrati le radici culturali italiane. La rassegna "Donne e poesie", da lei organizzata nel 1991, vide numerose autrici italiane, provenienti da città tedesche, impegnate nella lettura e nel commento dei propri testi. La scrittrice lucana ha lasciato un suo autoritratto in una intervista rilasciata ad un giornalista di Castellammare, che le chiedeva quale fosse il suo più importante traguardo: “Sicuramente amare ed essere d’aiuto agli altri. Quello che ho fatto finora non è stato altro che la realizzazione di un sogno di quando ero ragazza. Infatti fin da piccola avevo la passione della scrittura ma il mio sogno era quello di diventare giornalista. I motivi di questa mia passione sono diversi. Uno è ideologico, cioè volevo battermi contro le ingiustizie, e l’altro era esplorativo, ossia volevo conoscere il mondo e diventarne testimone. Da una prima fase narrativa, condizionata da un impegno sociale, a una seconda fase saggistica, sono passata alla terza: quella della poesia, che riprende un discorso adolescenziale ma con una ricerca linguistica”<ref>Pierluigi Fiorenza, [https://www.ilcorrierino.com/castellammare-lutto-per-la-scomparsa-della-scrittrice-marcella-continanza/16591.html Castellammare, lutto per la scomparsa della scrittrice Marcella Continanza], Il Corrierino</ref> Nella poesia di Marcella Continanza si colgono due elementi essenziali. Il primo è la natura rivissuta attraverso la memoria, come in "La bambina che mi corre davanti" {{citazione|La bambina che mi corre davanti<br>mangia mele rosse affatturate<br>sulle labbra ha baci di fate<br>negli occhi cieli lontani<ref>Tratta da ''Solo le muse cantano'', http://www.wandamontanelli.it/CdD/edit/2016/smc.pdf</ref>.}} Il secondo è l’identità delle donne, costruita su una storia comune, come in: {{citazione|A volte il vuoto si congiunge all’attesa<br>e non scorgo la vita da questo castello che non s’apre…<br>L’anima è ferita. Dilegua il giorno. Il silenzio morso dai ricordi.<br>Non vedo occhi fraterni ma occhi bui che arrivano ai miei piedi.<ref>Tratto da ''Io e Isabella'', https://www.aise.it/anno/il-viaggio-umano-e-culturale-di-marcella-continanza-di-alessandra-dagostini/144807/1.</ref>}} Le sue poesie sono tradotte in tedesco e in spagnolo e pubblicate su riviste letterarie e in antologie. Tra i riconoscimenti da lei ricevuti la Medaglia della Presidenza (1999) per la Rassegna “Donne e Poesia”, assegnatale dal Presidente della Repubblica [[w:Carlo Azeglio Ciampi|Carlo Azeglio Ciampi]], e la nomina a Cavaliere all’Ordine del Merito della Repubblica (2008) per l’impegno civile nel campo del giornalismo, conferitale dal Presidente [[w:Giorgio Napolitano|Giorgio Napolitano]]. === Opere === * ''Cartolina da Francoforte. Guida della città'', Zambon Editore, 1992. * ''Il giorno pellegrino'', Il falco, Milano 1983. * ''Le oblique magie'', Il falco, Milano 1980. * ''Venezia com'', Il falco, Milano 1981. * ''Immagini d’Italia'', Die Buche, 1994. * ''Piume d'angeli (Gedichte)'', Frankfurt a.M.: Zambon Editore 1996. * ''Rose notturne. Rosas nocturnas'', Santiago de Cuba, Ediciones Nadereau, 1999. * ''Passo a due voci'', Libro Press 2002. * ''Solo le Muse cantano. Poesie'', Frankfurt am Main, Zambon Verlag 2015. * ''Io e Isabella'', Zambon Editore, 2007. ==Virginia D'Errico== '''[[w:Virginia_d%27Errico|Virginia d'Errico]]''' (Palazzo San Gervasio, 1821 – Palazzo San Gervasio, 3 marzo 1847), da sempre interessata ai grandi classici letterari come [[w:Dante_Alighieri|Dante]], [[w:Francesco_Petrarca|Petrarca]], ma anche [[w:Ugo_Foscolo|Foscolo]], [[w:Victor_Hugo|Hugo]] e [[w:John_Milton|Milton]], è stata una poetessa italiana, la quale ispirata da questi grandi autori, compose degli elaborati in prosa, pubblicati nella rivista Omnibus. La gran parte dei suoi scritti, sono stati pubblicati postumi, in una raccolta chiamata "Lacrime e fiori", dall'amante [[w:Carlo_De_Cesare|Carlo De Cesare]] ==Teresina De Pierro== [[File:Teresina de Pierro.jpg|left|miniatura|Teresina De Pierro]] '''[[w:Teresina_De_Pierro|Teresina De Pierro]]''' Nasce a San Martino d’Agri il 18 aprile del 1859 da Guglielmo e da Agnese Petroncelli, e qui vive gli anni travagliati del post-unitarismo. Trascorre a San Martino gran parte della sua giovinezza fino al matrimonio con il Dott. Luigi Manzoni da cui nascono 7 figli. Alla sua giovinezza, più precisamente ai quattordici anni, risalgono le sue prime pubblicazioni letterarie tra cui il suo primo volumetto “Poesie”, pubblicato a Napoli, e la raccolta “Affetti e Memorie”, pubblicata a Firenze nel 1874, che le permette di conoscere Giosuè Carducci. Nel 1875 tre sue poesie apparvero nell’antologia “Cespo di rose” per la scuola e la famiglia di Ignazio Cantù. Nel frattempo collabora anche con vari giornali come “Il risorgimento lucano” e “La nuova Lucania” e con le riviste “L’Aurora”, “Il Maestro italiano” e “La Margherita” per la pubblicazione di racconti ed articoli, i quali successivamente vengono raccolti in un volume intitolato “La viola del pensiero”. Traduce nel dialetto di San Martino la novella IX della Prima giornata del Decameron nel volume “I parlari italiani in Certaldo”, un omaggio per il cinquecentenario della morte di Boccaccio. Fu socia dell'Accademia Pitagorica di Napoli. A causa della delusione politica e per la brutta condizione che il sud Italia vive in quel periodo storico lei e il marito decidono di trasferirsi in Argentina a partire dagli anni Ottanta, con la partenza si conclude anche la sua produzione artistica. Qui trascorre il resto della sua vita, nonostante la morte improvvisa del compagno, e muore il 24 agosto del 1943 all’età di 85 anni. ==Donata Doni== '''[[w:Donata_Doni|Donata Doni]]''' il cui vero nome è Santina Maccarone, nasce a [[w:Lagonegro|Lagonegro]] il 24 Novembre 1913 ed è stata una poetessa lucana. Donata ha studiato all'Università di Padova, dove ha appreso letteratura italiana, greco, latino e letteratura francese. Durante questi anni si innamora della poesia e scrive diverse raccolte, riunite tutte in un "Giovane diario", che preannuncia però l'opera più famosa "I frammenti dei giorni". Scrive inoltre "Amore di poesie", "Orme di nubi", "L'alba che ignoro", "Neve e mare", "Il pianto dei ciliegi feriti", "La carta dispari" e "Il fiore della gaggìa". Si dedica poi all'insegnamento alle scuole medie e in seguito si trasferisce a Roma. Per quanto riguarda invece, la formazione religiosa, un ruolo importante ha avuto il sacerdote Don Giuseppe De Luca, il quale per la poetessa fu un amico, un maestro, un padre e una guida, incoraggiandola ad essere più buona. Muore a Roma il 15 Dicembre 1972 di una grave malattia. ==Gina Labriola== '''[[w:Gina_Labriola|Gina Labriola]]''' nasce a [[w:Chiaromonte|Chiaromonte]] nel 1931 in provincia di Potenza. Ha studiato Lettere Classiche a Bari. Gina Labriola ha vissuto per 11 anni in Iran. Qui ha lavorato per l'Istituto Italiano di Cultura di Teheran come collaboratrice dell'ISMEO, corrispondente dell'ANSA e lettrice presso l'Università di Teheran. È vissuta poi in Spagna, a Barcellona, ma il suo cuore è rimasto sempre nella sua madrepatria, Chiaromonte, dove i suoi antenati le hanno concesso di trasformare un antichissimo catoio, in un grande atelier di pittura su seta. Ha insegnato per oltre 15 anni Lingua e Letteratura Italiana presso l'Università di Rennes. Muore a Marsiglia nel 2011. == Ida Mango == [[File:Ida Mango.jpg|miniatura|Ida Aquilecchia Mango]] '''[[w:Ida_Mango|Ida Aquilecchia Mango]]''' nasce a Melfi il 9 aprile 1872 ed è stata una scrittrice e traduttrice lucana. La scrittrice è conosciuta maggiormente con il nome di Ida Mango, in quanto ella ha sposato il senatore [[w:Camillo_Mango|Camillo Mango]]. Ida è autrice di "Qua e là in Europa", nella quale tratta dei suoi viaggi e di ciò che ha appreso da questi. Ma la scrittrice, diviene famosa soprattutto per la traduzione in lingua italiana, di due opere dello Spagnolo [[w:Vicente Blasco Ibáñez|Vicente Blasco Ibáñez]]: "I quattro cavalieri dell'apocalisse" e "Sangue e Arena". ==Isabella di Morra== [[File:Isabella di Morra.jpg|left|miniatura|Isabella di Morra]] '''[[w:Isabella_di_Morra|Isabella di Morra]]''' conosciuta anche come '''Isabella Morra''', nasce a Favale nel 1520 e muore nel 1545, ed è stata una poetessa lucana. In vita è stata sconosciuta, infatti acquista fama postuma grazie alla sua tragica biografia e per la sua poetica, tanto da essere riconosciuta come pioniera della poesia romantica. Come si evince dal libro di Pasquale Montesano ''Isabella Morra alla corte dei Sanseverino''<ref>P. Montesano, ''Isabella Morra alla corte dei Sanseverino'', Altrimedia, Matera 2017.</ref>”, Isabella visse circa quindici anni nel feudo di Favale senza il padre, in un clima un po’ oppressivo, ma non privo di qualche agiatezza che le permise di avere un pedagogo e, come tutta la nobiltà del territorio, di frequentare le altre famiglie nobili. Fu molto vicina a Giulia Orsini, moglie di Pietro Antonio Sanseverino, cui dedicò anche un sonetto. Quest’ultima muore nel 1538 e, l’anno successivo, Pietro Antonio si sposa con Erina Castriota Scanderbeg che nel 1543 chiamerà Isabella a corte come dama di compagnia della figliastra Felicia Sanseverino. La scelta ricadde su di lei in quanto poetessa e amica di famiglia. Ella riceveva settanta ducati l’anno per la sua attività di corte e certamente questa somma doveva tornare utile alla sua famiglia caduta in disgrazia. La ragazza aveva allora più di vent’anni, e probabilmente sperava in un matrimonio imminente, ma ciò non avvenne perché essendo lei priva di dote considerevole, non doveva attrarre giovani titolati. La descrizione analitica della vita di corte che fa Montesano, vuole ricostruire un po’ la giovinezza di Isabella, che, al fianco di Donna Erina trascorreva molto tempo occupandosi di “cenacoli”, canto, poesia e giochi d’intrattenimento. Tra gli artisti che frequentavano la corte anche la Morra leggeva versi, come si legge in un libro contabile di Bisignano compilato nel 1543. Proprio a questa corte ebbe occasione di incontro e di dialogo con Diego Sandoval De Castro, poeta di origine spagnola e barone del vicino paese di Bollita (oggi Nova Siri). Isabella Morra ritorna a Favale dopo aver ricevuto l’ultimo compenso il 30 novembre 1535 (era solita riceverlo il 30 dicembre di ogni anno) in seguito al matrimonio di Felicia Sanseverino con Antonio Orsini e il suo conseguente trasferimento a Gravina. Non è certo se Diego Sandoval De Castro abbia cercato di intercedere presso il governatore di Basilicata per far uscire Isabella dai confini del feudo, oppure se i due abbiano intrattenuto una relazione d’amore. Certo è che la giovane fu uccisa dai fratelli nel dicembre del 1545 e qualche mese dopo si compì l’assassinio di Sandoval De Castro a colpi di archibugio. Il primo però ad essere assassinato fu il pedagogo di Isabella perché accusato di fare da tramite tra i due. Marco Antonio, nipote di Isabella Morra, tracciando la storia della sua famiglia cercherà di giustificare la tragedia con la salvaguardia dell’onorabilità del casato, ma emergono reticenze e omissioni in queste testimonianze che ne fanno vacillare la veridicità. Isabella scrive soprattutto sonetti e canzoni. Per quanto riguarda i sonetti, conosciamo: "I fieri assalti di crudel fortuna", "Sacra Giunone, se i volgar cuori", "D'un altro monte onde si scorge il mare", "Quanto pregiar ti puoi, Siri mio amato", "Non solo il ciel vi fu largo e cortese", "Fortuna che sollevi in alto stato", "Ecco ch'una altra volta, a valle inferma", "Torbido Siri del mio mal superbo", "Se alla propinqua speme nuovo impaccio", e "Scrissi con stile amaro, aspro e dolente". Invece le canzoni sono: "Poscia ch'ai bel desir troncante hai l'ale", "Signore, che isino a qui, tua gran mercede" e "Quel che gli giorni addietro". ==Lucia Pagniello== '''[[w:Lucia_Pagniello|Lucia Pagniello]]''' nasce a Melfi nel luglio del 1866 e muore nel 1960, forse a Melfi, forse a Roma. È stata una poetessa italiana. In tenera età è rimasta orfana e ciò segna la sensibilità nella sua produzione poetica. Nel 1889 diventa maestra elementare e successivamente direttrice didattica. Le sue opere più importanti sono: "Visioni e ricordi", "Voci dell'anima" e "Ultimi canti". ==Carolina Rispoli== [[File:Carolina Rispoli.png|miniatura|Carolina Rispoli]] '''[[w:Carolina_Rispoli|Carolina Rispoli]]''' nasce a Melfi nel maggio del 1893 e muore a Roma nel Novembre 1991. È stata una scrittrice lucana. Fin dalla giovane età si è resa nota come scrittrice pubblicando la novella "Lotta elettorale", sulla rivista "Vita femminile italiana", con lo pseudonimo di Aurora Fiore. A 23 anni pubblica il suo primo romanzo "Ragazze da marito", in seguito pubblica "Il nostro destino", "Il tronco e l'edera", "La terra degli asfodeli" e "La torre che non crolla". In seguito, si dedica alla stesdura di saggi, il cui più rinomato è "La giovinezza di Raffaele Ciasca tra Giustino Fortunato e Gaetano Salvemini". == Raffaella Spera == '''Raffaella Spera''' nasce a Potenza il 27 novembre 1931 e muore a Roma il 5 gennaio 2017. Dopo essersi laureata in Storia e Filosofia a Napoli, ha iniziato a viaggiare, recandosi prima in Medio Oriente e poi in Africa. In Africa per vari anni ha insegnato Lettere nelle scuole italiane all’estero, si è poi stabilita definitivamente a Roma dove ha co-diretto la galleria Artanciel in via Margutta e la casa editrice Rossi&Spera; ha diretto con Mario Lunetta e Dario Puccini una collana di poesia italiana per la casa Ed. Carte Segrete e, per molti anni, ha curato cicli di incontri fra letterati e pittori. Ha collaborato con la RAI-TV, scrivendo testi radiofonici, e con numerose riviste. Nel 1996 Raffaella Spera ha donato alla Biblioteca di “Isabella Morra”, istituita da Ester Scardaccione, allora presidente della CRPO della Basilicata, alcune sue opere. === Opere === ==== Poesia ==== * ''Segni minimi'' (Nuove Edizioni, Vallecchi 1975). * ''Differenziato'' (Edizioni Lacaita, Manduria 1977). * ''Zentrum'' (Edizioni Carte Segrete 1979). * ''Il doppio misto'' (Edizione Nuove Scritture, Milano 1983). * ''L’acquario'' (Edizione Quaderni di Nuovo Ruolo, Forlì 1984). * ''Free lance'' (Edizioni Carte Segrete 1986). * ''Il vantaggio del tratto'', (Edizioni Carte Segrete 1982). * ''Emigranti di poppa, emigranti di prua (con [[Michele Spera]]), con un saggio di Domenico De Masi (Gangemi Editore, 2016). ==== Romanzi ==== * ''Deserti'' (Manni Editore 2008). === Bibliografia === * Lorenza Colicigno, Donne e poesia nella cultura lucana del Novecento, in Poeti e scrittori contemporanei - Atti del corso sulla letteratura contemporanea, Humanitas, Potenza, 1994, pgg. 299 - 302 == Rachele Padula Zaza == Rachele Padula Zaza (Potenza, 8 luglio 1933) è nata a Potenza, dove ha insegnato in qualità di Docente di Materie letterarie. Si è laureata in Lettere Moderne presso l’Università di Roma ed è stata allieva di Sapegno e Ungaretti. Ha pubblicato quattro volumi di poesie: ''In dimensione acronica'' (1979), ''Il seme del tempo'' (1984), ''Dissolvenze'' (1989) e ''Disincantesimo'' (1999). Nel 1997, in occasione del Convegno Internazionale di Studi Carlo Gesualdo da Venosa, ha composto, in forma dialogico-teatrale, ''In casa dell’Illustrissimo Don Carlo Gesualdo'', dialogo tra Maria d’Avalos e la Madre Sveva. Ha pubblicato nel 2004 il dramma sacro in tre atti ''Gherardo Della Porta''. Nel giugno del 2006 è uscito il suo primo romanzo ''Donna Isabella Glinni''. Ha pubblicato, per Osanna, il dramma ''Francesco di Messer Pietro di Bernardone'' (2008), la silloge lirica ''Colloqui d’amore'' (2008), il dramma sacro in tre atti ''Sancta Teresia Benedicta a Cruce'' (2011), il suo secondo romanzo ''Il cuore nuovo di Dario Corsini'' (2012), la tragedia in due atti e un epilogo ''Oscar Arnulfo Romero'' (2014), la silloge poetica ''La donna di picche'' (2016), ''Per amare Orazio'' (2018) e il romanzo ''Per lo gran mar de l’essere'' (2020). Nel 2014 ha ricevuto il Premio Città di Potenza Opera Omnia, nell’ambito del Premio Letterario Basilicata. == Note == <references/> === Collegamenti esterni=== * [http://www.old.consiglio.basilicata.it/conoscerebasilicata/cultura/recensioni/basso/biografia.asp Anna Maria Basso], ''Profili di poeti e scrittori lucani'' * [https://poetarumsilva.com/2012/04/28/raffaella-spera-poesie_da_riscoprire/ Raffaella Spera – Poesie] * [http://www.festivaldellegenerazioni.it/scheda-protagonista.aspx?id=1024&t=Michele_Spera Raffaella Spera], Festival delle generazioni * [http://golfedombre.blogspot.com/2007/09/raffaella-spera.html Raffaella Spera], ''Blanc de ta nuque'' - uno sguardo sulla poesia italiana contemporanea [[Categoria:Profili di donne lucane|Scrittrici]] prpslywpgthm1xjprjnm23w81vgmsag 0 41902 498612 457851 2026-05-29T10:47:44Z Avemundi 6028 refuso 498612 wikitext text/x-wiki {{Software libero a scuola}} {{orfano}}{{w}} [[toc]] =Preambolo= || Licenza GNU FDL Copyleft 2009 Joris Fabrizio Rossi È garantito il permesso di copiare, distribuire e/o modificare questo documento secondo i termini della Licenza per Documentazione Libera GNU (GNU FDL) versione 1.3 o ogni versione successiva pubblicata dalla Free Software Foundation; senza Sezioni Non Modificabili, senza Testi di Copertina e senza Testi di Retro Copertina. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License (GNU FDL), Version 1.3 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts and no BackCover Texts || Parti di questo documento soprattutto nelle sezioni tecniche e nelle constatazioni politiche economiche sono tratte dalla Presentazione di Fabrizio Rossi per suo volere espresso dalla nota di copyright del documento rilasciamo questa pagina con la licenza GNU FDL. Un sentito ringraziamento a Fabrizio per avere condiviso il suo prezioso lavoro e mi ha permesso di documentare il lavoro fatto su LTSP in una maniera molto bella e veloce. Questo è un estratto del documento originale con integrate alcune sezioni specifiche per WiildOs. Per leggere il documento originale di Federico clicca [http://www.riminilug.it/tiki-download_file.php?fileId=569 qui]. Ringrazio OutOfBound, una persona che si occupa da tempo in Piemonte di trashware e reti informatiche nelle scuole e che mi ha passato un ottimo script per auto-configurare LTSP. Questo mi ha incentivato a migliorarlo e a mettere a disposizione di tutti il lavoro effettuato in questo documento e all'interno di WiildOs. ---- =LTSP= Immaginiamo di avere un laboratorio informatico con computer vecchi e datati o semplicemente di voler provare WiildOs nella nostra rete di computer. Come facciamo? Abbiamo due soluzioni o ci facciamo comprare, se abbiamo i soldi, un laboratorio nuovo (magari con tecnologie mobili) o facciamo girare su ogni macchina una live di WiildOs oppure facciamo girare LTSP su una macchina sola. Sulle altre macchine chiamate client non andremo ad installare nulla. In questo modo potrete realizzare laboratori scolastici e reti aziendali a bassissimo costo anche riciclando vecchi computer. Questa soluzione non è moda; è una tecnologia stabile e solida economica, ecologica e professionale; un modello ideale per ambienti didattici e amministrativi. LTSP è una soluzione assai utilizzata in Europa e nel Mondo ma in Italia conosce solo alcune sperimentazioni felici ma numericamente limitate. Favoriamo il riuso informatico; abbiamo tanta capacità di calcolo e intelligenza collettiva buttata nell'immondizia: un problema, ma anche una risorsa. Evoluzione tecnologica e oculate strategie di marketing (da abiurare) favoriscono un'obsolescenza precoce dell'hardware, inducendo l'abbandono dei “vecchi” computer per macchine in grado di supportare nuovi standard. Il risultato è la dismissione di enormi quantità di hardware ancora perfettamente funzionante. Il problema ecologico posto dai rifiuti elettronici (altamente inquinanti) ha condotto in tempi recenti alle normative RAEE (Rifiuti di Apparecchiature Elettriche ed Elettroniche), che introducono regole tecniche ed economiche per uno smaltimento più oculato, a fronte della mera rottamazione praticata in precedenza. Tra le conseguenze delle succitate normative, (semplificando) se ne può ricavare una di un certo rilievo: le aziende pubbliche e private che conferiscono con un atto formale a scuole, associazioni, etc. gli apparati obsoleti, in pratica, vengono sollevate dalle relative tasse di smaltimento. Una condizione che, di fatto, rende disponibili ingenti quantità di computer riciclabili, trasformando un problema ecologico in una risorsa economica di importanza significativa. ---- =LTSP in WiildOs= LTSP sarà integrato in WiildOs 3.0 e permetterà di fare questa piccola magia avviando direttamente la live di WiildOs. Se la soluzione ti piace puoi decidere di installare WiildOs sul server; in questo modo potrai manutenere solo il server, configurerai e installerai i programmi solo una volta per tutti. Si spera che questo piccolo contributo possa promuovere l'utilizzo di questa tecnologia e renderla a portata di tutto perseguendo la filosofia del rendere tutto facile con un tocco magico. ==Thin client== La modalità con cui partirà LTSP su WiildOs è quella thin client. Con una configurazione thin client i computer del laboratorio si avvieranno da rete acquisendo una piccola immagine del sistema operativo e utilizzeranno tutte le risorse del server. La cpu e la ram locale non verranno usate. Questo è particolarmente adatto nel caso in cui si abbiano macchine veramente scarse. In WiildOs abbiamo optato per una configurazione thin client in quanto pesa poco nella dimensione della iso e utilizza meno risorse di rete ed è una configurazione più adatta alle prove live. L'installazione prevede di poter accedere ai dischi locali in modo da poter memorizzare i dati sull'hard disk opzionale del client e utilizzare dispositivi di memorizzazione usb, cdrom e dvd. ==Fat client== Lasciamo al lettore l'esercizio e il completamento della pagina nel caso voglia installare WiildOs e cambiare le configurazioni in modo da farla lavorare come ''fat client'' o come sistema misto thin/fat client. LTSP permette di lavorare anche con fat client. Un fat client acquisisce una immagine del sistema operativo grande e completa, dopodichè è autonomo dal server e usa la cpu e la sua ram locale. Le nuove versioni di LTSP permettono di configurare un server LTSP che fornisce sia le funzionalità di thin client che di fat client a seconda delle prestazioni del singolo client. Quindi nel caso in cui decidiate di installare un server LTSP con WiildOs vi consigliamo di passare a una configurazione fat client. Leggi come fare nella [https:''help.ubuntu.com/community/UbuntuLTSP/FatClients documetazione di Ubuntu]. ---- =Requisiti hardware= ==Server== Va bene un computer recente di buone prestazioni con due schede di rete. Un computer con CPU dual core 3.1 GHz con 4GB di ram è in grado di gestire una aula informatica con 25 client. Un piccolo consiglio cercate l'associazione di trashware (riuso informatico) più vicina a voi spesso si trovano dei buoni server dismessi. Si tratta di server con tre, quattro anni di anzianità dismessi da scuole, banche, assicurazioni e aziende nel terziario avanzato. Potete provare anche a fare una questua, questo non è accattonaggio ma è riuso informatico. ==Client== Va bene qualunque computer funzionante dotato di una interfaccia di rete. computer possono essere anche privi di hard disk. Se non aveste computer di riciclo vi ricordo che i computer datati (completi di monitor, tastiera e mouse) utilizzabili come thin client sono reperibili gratuitamente dalle dismissioni di enti pubblici ed imprese private. ==Rete== LTSP è basato sul trasferimento massivo di dati tra il server e i thin client. E' pertanto necessario disporre di banda sufficiente affinché la gestione risulti fluida: tra singoli thin client e switch di rete sono sufficienti connessioni a 100Mbps; tra server e switch di rete sono opportune connessioni Gigabps, specialmente con un numero elevato di thin client (con un numero limitato di client funzionano comunque dignitosamente anche connessioni a 100Mbps). Per semplicità di gestione è opportuno dotare il server di due interfacce di rete (meglio se prima dell'installazione): una Gigabps per la rete LTSP e una 100Mbps per la connessione Internet (Intranet, etc.). Con LTSP ci servirà un solo computer con due schede di rete che funzionerà da server e su cui girerà WiildOs, tutti gli altri computer si avvieranno da rete grazie a servizi che mette a disposizione il server LTSP. E' possibile usare anche una singola interfaccia di rete, procurando però che la gestione DHCP sia effettuata dal server LTSP, una normale rete con uno switch o hub collegato ai client e al server è sufficiente. ---- =Avvia il server LTSP= Prima di tutto avvia WiildOs come al solito. Una volta partito il sistema vai su "Preferenze" e clicca su "LTSP". Aspetta pazientemente in pochi secondo sarà tutto pronto. <span style="display: block; text-align: center;"> </span> Ecco fatto adesso il tuo servizio LTSP è già in funzione. ---- =Avvia i client= Non devi fare altro che andare nel bios dei client e configurare di partire da rete. Questo passaggio va fatto una volta sola. Per fare questo avvia i terminali entra nel Bios ed anticipa nella fase di boot l'avvio da rete. Questa funzione può avere nomi diversi come "network boot", "pxe boot", "boot from NIC" (NIC sta per network interface) o nomi simili di solito seguiti con il nome della scheda di rete, una volta anticipata la voce e salvati i cambiamenti il computer proverà ogni volta ad avviarsi da rete e caricherà WiildOs attraverso il servizio LTSP ogni qual volta sarà disponibile. Qualora il server non fosse disponibile il client si avvierà come al solito dagli altri dispositivi; il computer si comporterà dunque come prima. Nella figura potete vedere come si fa a selezionare il boot da rete con uno dei Bios più diffusi. ---- =Come funziona= Questo paragrafo è riservato a chi volesse approfondire come funziona LTSP, quali sono le configurazioni in WiildOs e come è stato messo a punto il servizio di plug and play. Cosa succede quando parte un client LTSP # Il client fa una richiesta dhcp # Il server dhcp che gira sul server LTSP risponde e le informazioni di dove si trova il kernel minimale # Il client richiede il kernel minimale attraverso il servizio tftp che gira sul server LTSP # Il server tftp che gira sul server LTSP invia l'immagine del kernel minimale # Il client riceve l'immagine e la fa girare. Monterà le directory del server con nbd # Il client fa il login al sistema grafico del server ltsp attraverso ldm # Il client ha completato l'avvio e ha a disposizione l'interfaccia grafica Allora tutta la configurazione e avviamento dei servizi è fatta con uno script che si chiama start-ltsp-server ed è nella cartella /usr/local/bin questo script è un avanzamento e una personalizzazione di uno script sviluppato da OutOfBound, che da anni si occupa di trashware e server LTSP. Cosa fa lo script? # classifica le schede di rete e ne discrimina una come interna, una come esterna # configura il server dnsmasq sulla scheda interna # Configura il natting tra la scheda interna e esterna # Configura il servizio ltsp # Avvia tutti i servizi necessari all'esecuzione di LTSP In cosa è stato personalizzato lo script di OutOfBound per far girare più agevolmente LTSP su WiildOs live: # Un po' di bug-fixing e refactoring del codice # Si utilizza dnsmasq come server dhcp/tftp al posto del più pesante dell'isc-dhp-server # Si utilizzano connessioni in chiaro per velocizzare la comunicazione tra i client e il server e diminuire l'uso di cpu. La sicurezza non è lo scopo del progetto. # I client effettuano l'autologin attraverso una auto configurazione costante del servizio LTSP che viene aggiornata ogni volta che avviene il rilascio di un IP da parte di dnsmasq. Esempio: collego una macchina con mac address 2c:27:d7:a5:45:da a cui viene assegnato dal servizio dnsmasq l'indirizzo 192.168.30.40. L'hostname della macchina sarà ltsp040 e la password anche ltsp040. Queste informazioni andranno inserite dinamicamente nel file di configurazione di ltsp in modo che il client sia in grado di fare un autologin. Per maggiori informazioni fai man dnsmasq e guarda il file dhcp-scrip nella directory /usr/local/bin 5. Non è più necessario ricostruire l'immagine a runtime o rigenerare le chiavi ssh all'avvio. Tutto è già precostruito all'interno di WiildOs; in questo modo i tempi di attesa per far salire il servizio sono veramente stupefacenti. In cosa è migliorabile? # Migliore gestione con una singola interfaccia di rete soprattutto nel caso ci sia anche un altro server dhcp attivo sulla rete # Sviluppare un sistema che possa passare alla modalità fat client, particolarmente utile in installazioni fisse soprattutto se si ha a disposizione hardware con almeno un giga di ram. Sarebbe così un peccato non utilizzare quella risorsa... [[Categoria:Software libero a scuola|LTSP]] punnevvg6bfn632mgl7tsst4fog80dt 0 43109 498609 362258 2026-05-29T10:46:00Z Avemundi 6028 refuso 498609 wikitext text/x-wiki {{architettura gotica}} Il termine '''gotico''' si diffuse nel XV secolo e venne utilizzato dagli umanisti italiani per indicare, con un'accezione dispregiativa, l'architettura a loro contemporanea e quella dei secoli immediatamente precedenti. La parola richiama infatti i Goti, una popolazione barbara, ed era usata per rimarcare il giudizio negativo che veniva dato dell'architettura medioevale: questa era infatti ritenuta "barbara" e di qualità artistica inferiore rispetto agli esempi provenienti dall'antichità classica.<ref>{{cita web|http://www.treccani.it/enciclopedia/gotico_%28Enciclopedia-dell'-Arte-Medievale%29/|titolo = Gotico|opera = Enciclopedia dell'arte medievale Treccani|anno = 1996|accesso = 6 febbraio 2016}}</ref> In seguito il termine è entrato nell'uso comune per definire lo stile architettonico che nacque a Parigi, nell'Ile-de-France, nel quarto decennio del XII secolo<ref>{{cita libro| autore=David Watkin | titolo=Storia dell'architettura occidentale | editore=Zanichelli | città=Bologna | altri=traduzione italiana | anno=2007 | p=135 }}</ref> e che è stato interpretato dagli storici in modi diversi, prendendo in considerazione, a seconda dei casi, aspetti sociali, religiosi, filosofici e culturali. Non è infatti possibile stabilire, per il gotico, dei confini storici e geografici definiti, e anche le sue caratteristiche ritenute tipiche non si presentano con costanza in tutti gli edifici.<ref>{{cita libro | autore=Louis Grodecki | titolo=Architettura gotica | editore=Electa | anno=1978 | città=Milano | altri=con contributi di Anne Prache e Roland Recht, traduzione italiana di Anna Bacigalupo | p=5}}</ref> Il suo sviluppo corrisponde all'inizio di una nuova fase di stabilità e prosperità per l'Europa dopo il 1100, con la comparsa di nuovi centri di sviluppo economico e culturale. In questo periodo nasce e si afferma l'idea di '''Stato nazionale''' in Inghilterra, Francia e Spagna, mentre lo sviluppo della vita intellettuale culmina nella filosofia scolastica, che ha il suo massimo esponente in Tommaso d'Aquino.<ref>{{cita libro | autore=Francesca Prina | titolo=Storia dell'architettura gotica | editore=Electa | anno=2009 | città=Milano | p=5 }}</ref> Molti sono gli elementi che caratterizzano questa architettura: la volta a costoloni, la copertura a vela, l'arco a sesto acuto (detto anche ogivale), i pilastri a fascio, le ampie vetrate (claristorio), gli archi rampanti, i contrafforti e i pinnacoli. La struttura diventa più leggera e si sviluppa in verticale, verso l'alto. Gli spazi interni vengono suddivisi secondo proporzioni geometriche: le diverse parti sono delimitate da colonnine o pilastri, che prolungano le nervature della volta. Allo stesso tempo, le pareti si svuotano, diventano muri sottili o vengono del tutto sostituite da vetrate colorate, che garantiscono un'abbondante illuminazione e suggestivi effetti di luce.<ref>{{cita libro | autore=Louis Grodecki | titolo=Architettura gotica | editore=Electa | anno=1978 | città=Milano | altri=con contributi di Anne Prache e Roland Recht, traduzione italiana di Anna Bacigalupo | p=11}}</ref> [[File:Architettura gotica.jpg|center]] Proprio le vetrate vengono viste come la massima espressione architettonica del misticismo cristiano medievale, secondo cui la luce è un simbolo della Grazia divina. Alcuni interpreti mettono inoltre in relazione l'architettura gotica con la filosofia scolastica, che si stava sviluppando in quei secoli.<ref>{{cita libro | autore=Louis Grodecki | titolo=Architettura gotica | editore=Electa | anno=1978 | città=Milano | altri=con contributi di Anne Prache e Roland Recht, traduzione italiana di Anna Bacigalupo | pp=12-13}}</ref> La luminosità delle grandi vetrate fu paragonata alla luce della Gerusalemme celeste, e le raffigurazioni che venivano rappresentate sui claristori, insieme alle statue e ai dipinti, costituivano dei cicli mistici con finalità didattiche, cioè con lo scopo educare i fedeli attraverso le immagini.<ref>{{cita libro | autore=Francesca Prina | titolo=Storia dell'architettura gotica | editore=Electa | anno=2009 | città=Milano | p=6 }}</ref> È inoltre da sottolineare che il gotico si affermò solo nei paesi europei in cui era diffuso il cattolicesimo romano; nelle regioni orientali ortodosse, invece, gli edifici seguivano una diversa corrente artistica, derivata dall'architettura bizantina. Il gotico può quindi essere inteso anche come un linguaggio comune alla cristianità occidentale. La sua area di diffusione corrisponde all'Europa occidentale e centrale, e comprende le isole britanniche, la Scandinavia, la Francia, i Paesi Bassi, l'impero germanico e alcuni paesi che da quest'ultimo dipendono (come la Polonia e la Boemia), la penisola iberica e la penisola italiana (dove si stavano sviluppando i Comuni). Vi sono poi stati alcuni sconfinamenti dovuti a occupazioni militari, come nel caso di Rodi e della Terra Santa, dove i crociati costruirono chiese secondo lo stile gotico. In tutti questi paesi l'architettura gotica si espresse con sfumature diverse a seconda della diversa realtà sociale, economica, culturale e geologica.<ref>{{cita libro | autore=Louis Grodecki | titolo=Architettura gotica | editore=Electa | anno=1978 | città=Milano | altri=con contributi di Anne Prache e Roland Recht, traduzione italiana di Anna Bacigalupo | pp=14-15}}</ref> D'altra parte, è bene ricordare che il gotico non si esaurì nell'architettura religiosa. La crescita demografica che interessò l'Europa tra il XII e il XIV secolo portò a una fiorente architettura civile, con la costruzione di maestosi palazzi destinati a compiti amministrativi o di rappresentanza. Questa nuova architettura urbana, influenzata dalla coeva architettura religiosa, fu il simbolo della passaggio dalla società feudale alla nuova società borghese. In molte città quindi, il palazzo del municipio iniziò a competere per grandezza con la cattedrale: spesso i due edifici erano costruiti l'uno a fianco dell'altro, sulla stessa piazza centrale.<ref>{{cita libro | autore=Francesca Prina | titolo=Storia dell'architettura gotica | editore=Electa | anno=2009 | città=Milano | pp=14-16 }}</ref> == Note == <references /> [[categoria:architettura gotica|architettura gotica]] {{Avanzamento|100%|7 giugno 2019}} 48nop98qg6h5c0d0tu118rcfie24loo 0 44940 498600 436335 2026-05-29T10:42:30Z Avemundi 6028 refusi 498600 wikitext text/x-wiki {{Informatica 2 Liceo Scientifico Scienze Applicate}} == Usare i vettori Compito Dicembre 2019 2aLSA== 1)scrivi la sintassi delle istruzioni cicliche, disegna il diagramma di flusso dell'istruzione for, spiega quando si utilizzano, spiega il funzionamento di ciascuna istruzione, costruisci un esempio con l'istruzione for che evidenzi il funzionamento del comando break e continue. 2a)Marco si reca al lago di pesca "Pittarello", ogni volta che lancia l'amo ha la possibilità del 7% di pescare una trota, del 14% di pescare un branzino e nei casi rimanenti pesca solo scarpe. Scrivi un programma che dopo 70 tentativi visualizzi il numero di scarpe pescate, il numero di branzini e il numero di trote. #include <iostream> #include<stdlib.h> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int scarpe=0,trote=0,branzini=0,p,i; for (i=0;i<70;i++) { p=1+rand()%100; if(p<=7) {cout<<"trota"<<endl; trote++; } else if(p>7&&p<=21) { cout<<"branzino"<<endl; branzini++; } else { cout<<"che sfortuna"<<endl; scarpe++; } } cout<<"ha pescato "<<trote<<" trote"<<endl; cout<<"ha pescato "<<branzini<<" branzini"<<endl; cout<<"ha pescato "<<scarpe<<" scarpe"<<endl; return 0; } 2b)Marco si reca al lago di pesca "Pittarello", ogni volta che lancia l'amo ha la possibilità del 7% di pescare una trota, del 14% di pescare un branzino e nei casi rimanenti pesca solo scarpe. Scrivi un programma che evidenzi cosa marco pesca ad ogni tentativo, se marco pesca una scarpa esclama "che sfortuna!!!" e se ne torna a casa. #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <time.h> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { string pescata="continua a pescare"; int p; srand(time(NULL)); do { p=1+rand()%100; if(p<=7) cout<<"hai preso una trota"<<endl; if(p>7&&p<=21) cout<<"hai preso un branzino"<<endl; if(p>21) { pescata = "scarpa"; cout<<"che sfortuna hai pescato una scarpa, meglio tornare a casa..."<<endl; } } while( pescata != "scarpa"); return 0; } 2c) Pospyeken è una simpatica fanciulla che si reca insieme al suo gatto Lisca al laghetto "Pittarello" per pescare le scarpe ( la probabilità di pescare trote è del 7%, quella di pescare branzini del 14%, di pescare una scarpa rossa 30%, delle scarpe nere con tacco del 25%, scarpe da running bianche nei rimanenti casi. Quando Pospyken pesca una trota o un branzino esclama "Lisca questo è per te" e gli lancia il pesce, se sono scarpe rosse o nere le lancia in aria gridando "W il Milan", se invece sono scarpe da running le conserva e dopo averne pescate dieci se ne torna a casa. 3)Marco ha creato un programma che tramite un menù di scelta gli permette di: 1) calcolare l'area di un rettangolo 2) area e circonferenza di un cerchio 3)terminare il programma #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { float base,raggio,altezza; float area, circonferenza; char scelta; bool uscitadalprogramma=false; do{ cout<<"cosa vuoi calcolare? 1=area rettangolo 2=area cerchio 3=interrompi programma"<<endl; cout<<"inserisci la tua scelta:"<<endl; cin>>scelta; switch(scelta) {case '1': cout<<"inserire la base"<<endl; cin>>base; cout<<"inserire l'altezza"<<endl; cin>>altezza; area=base*altezza; cout<<"l'area del rettangolo vale "<<area<<endl; break; case '2': cout<<"inserire il valore del raggio"<<endl; cin>>raggio; area=raggio*raggio*3.14; circonferenza=2*raggio*3.14; cout<<"l'area del cerchio vale "<<area<<endl; cout<<"la circonferenza del cerchio vale "<<circonferenza<<endl; break; case '3': uscitadalprogramma=true; break; default: cout<<"devi inserire 1,2 o 3"<<endl; } } while(!uscitadalprogramma); return 0; } Scrivi il codice del programma 4)Scrivi il programma gara di ballo, i giudici sono 23 e ognuno esprime un voto da 1 a 10, alla fine devi scrivere il nome del vincitore e il suo punteggio, Sicuramente partecipa alla gara almeno un ballerino. #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <time.h> using namespace std; int main(int argc, char** argv) {char scelta; int i; float punteggio,puntivincitore=-1; string nome, nomevincitore="nessuno"; srand(time(NULL)); cout<<"benvenuti alla gara di ballo"<<endl; do {cout<<"come ti chiami?"<<endl; cin>>nome; cout<<"complimenti "<<nome<<", ora puoi ballare"<<endl; cout<<"che bella esibizione!"<<endl; cout<<"diamo la parola ai giuedici"<<endl; punteggio=0; for(i=0;i<23;i++) punteggio=punteggio+(rand()%10+1); cout<<nome<<" hai fatto "<<punteggio<<" punti"<<endl; if(punteggio>puntivincitore) {nomevincitore=nome; puntivincitore=punteggio; } cout<<"c'e' qualcun altro che vuole ballare? (s/n)"<<endl; cin>>scelta; } while(scelta=='s') ; cout<<"complimenti, il vincitore e' "<<nomevincitore<<endl; cout<<"con un punteggio di "<<puntivincitore<<" punti"<<endl; return 0; } 5)scrivi il programma per indovinare un numero segreto (con suggerimenti) il numero è compreso fra 23 e 57, quando l'utente vince scrivi il numero di tentativi. #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <time.h> using namespace std; int main(int argc, char** argv) {int n,conta=0,i,nsegreto; srand(time(NULL)); nsegreto=23+rand()%35; do { cout<<"prova ad indovinare il numero compreso fra 23 e 57 "<<endl; cin>>n; conta++; if(n<nsegreto) cout<<"troppo piccolo"<<endl; if(n>nsegreto) cout<<"troppo grande"<<endl; } while(n!=nsegreto); cout<<"hai indovinato il numero era "<<nsegreto<<" e hai indovinato con "<<conta<<" tentativi"<<endl; return 0; } 6) marco ha acquistato 3 prodotti, se il prodotto è una scarpa ha diritto al 20% di sconto, se l'importo totale (con l'eventuale sconto sulle scarpe) è maggiore di 32 euro ha diritto a uno sconto del 9% (sul totale).Il programma visualizza l'importo totale e gli eventuali sconti applicati. #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int i; float prezzo, somma=0, totale, scontototale=0; string articolo; for( i=0;i<3;i++) { cout<<"inserisci il tipo di articolo( scarpe, cibo, cocacola, etc ...)"<<endl; cin>>articolo; cout<<"inserisci il prezzo "<<endl; cin>>prezzo; if(articolo=="scarpe") { cout<<"su questo articolo hai diritto a uno sconto del 20% cioè di "<< prezzo*0.2<<" euro"<<endl; scontototale=scontototale+prezzo*0.2; somma=somma+prezzo*0.80; } else somma=somma+prezzo; } if(somma>32) { cout<<" hai speso più di 32 euro hai diritto a uno sconto del 9% cioè di "<< somma*0.09<<" euro"<<endl; scontototale=scontototale+somma*0.09; totale=somma*0.91; } else totale=somma; cout<<"devi pagare "<<totale <<" lo sconto complessivo è stato di "<<scontototale<<" euro"<<endl; return 0; } 7) marco ha comprato 3 oggetti se ce ne sono 2 uguali il programma visualizza il nome del prodotto, stampa poi gli articoli in ordine per prezzo (crescente). #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int prezzo[3]; int i,n1,n2,n3; string nomeprodotto[3],art1,art2,art3; for(i=0;i<3;i++) { cout<<"inserisci prodotto"<<endl; cin>>nomeprodotto[i]; cout<<"inserire il suo prezzo"<<endl; cin>>prezzo[i]; } if(nomeprodotto[0]==nomeprodotto[1]) cout<<" il prodotto 0 e uguale al prodotto 1 e sono:"<<nomeprodotto[0]<<endl; if(nomeprodotto[0]==nomeprodotto[2]) cout<<" il prodotto 0 e uguale al prodotto 2 e sono:"<<nomeprodotto[0]<<endl; if(nomeprodotto[1]==nomeprodotto[2]) cout<<" il prodotto 1 e uguale al prodotto 2 e sono:"<<nomeprodotto[1]<<endl; n1=prezzo[0]; n2=prezzo[1]; n3=prezzo[2]; art1=nomeprodotto[0]; art2=nomeprodotto[1]; art3=nomeprodotto[2]; // se scambio la posizione del prezzo devo scambiare anche quella della merce for(i=0;i<3;i++) {if(prezzo[i]<n1&&prezzo[i]<n2&&prezzo[i]<n3) { n1=prezzo[i];art1=nomeprodotto[i];} else if(prezzo[i]>n1&&prezzo[i]>n2&&prezzo[i]>n3) { n3=prezzo[i];art3=nomeprodotto[i];} else { n2=prezzo[i];art2=nomeprodotto[i];} } cout<<"gli articoli ordinati per prezzo sono "<<endl; cout<<art1<< " che costa "<< n1<<endl; cout<<art2<< " che costa "<< n2<<endl; cout<<art3<< " che costa "<< n3<<endl; return 0; } 8) marco vuole comprare un cane chowchow di colore giallo o rosso alto almeno 80 cm, diversi vicini gli propongono un cane indicandogli razza,colore e altezza. Aiutalo scrivendo il programma che evidenzia il nome dei vicini con un cane che soddisfa i requisiti. #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { string vicino,colore, razza; float altezza; int n,i; cout<<"quanti sono i miei vicini? "; cin>>n; for(i=0;i<n;i++) { cout<<"salve vicino come ti chiami? "; cin>>vicino; cout<<" vedo che hai un cane di che razza è? (chowchow, danese, formaggino, grinta "; cin>>razza; cout<<"è molto bello, quanto è alto in cm "; cin>>altezza; cout<<"non ci vedo molto, mi pui dire il suo colore? "; cin>>colore; if( razza=="chowchow" && altezza>=80 && (colore=="rosso" || colore=="giallo")) cout<<" caro vicino "<< vicino<< " hai proprio un bel cane chow chow, stasera passo da te per convicerti a vendermelo per 20000 yen"<<endl; else cout<<"ma questo cane non è un chow chow imperiale"<<endl; } return 0; } 9)scrivi un programma che dato un numero x verifichi se il numero appartiene all'intervallo [3,56[ 10) Marco vuole una fidanzata non bella e antipatica che si chiami Lucia (scrivi un programma per trovare l'anima gemella) #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) {string nome,bella,antipatica; for(;;) { cout<<"la ragazza si chiama (lucia/marta/francesca)? "; cin>>nome; cout<<"la ragazza e' bella? (si/no): "; cin>>bella; cout<<"la ragazza e' antipatica? (si/no): "; cin>>antipatica; if(nome=="lucia" && bella=="no" && antipatica=="si") {cout<<"ecco la mia ragazza ideale, vado a invitarla al ballo!"; break; } else { cout<<"questa ragazza non fa per me!!!!"<<endl; } } return 0; } 11) Scrivi un programma che senza usare i vettori, permetta dati n numeri di trovare il min, il max e la media e quanti numeri inseriti sono dispari. #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int ntot,conta=0,i,n,n1; float media,somma=0,max,min; cout<<"quanti sono i numeri?"<<endl; cin>>ntot; cout<<"qual è il primo numero?"<<endl; cin>>n1; if(n1%2!=0) conta=conta+1; somma=n1; max=n1; min=n1; for(i=1;i<ntot;i++) {cout<<"dimmi un altro numero"<<endl; cin>>n; if(n>max) max=n; if(n<min) min=n; somma=somma+n; if(n%2!=0) conta=conta+1; } media=somma/ntot; cout<<"ci sono "<<conta<<" numeri dispari e la media vale "<<media<<endl; cout<<"Il numero maggiore è "<<max<<" e il minore è "<<min; return 0; } 12a)marco dopo aver registrato il nome dei suoi animali (sono n), il peso e la razza calcola il peso medio degli animali di razza "PTOW" e conti quanti animali si chiamano "BelloVieniQua", individua inoltre il nome dell'animale più pesante, stampa i dati degli animali ordinati per peso. #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int n,conta, i, j; float somma,media; cout<<"quanti sono i tuoi animali? "; cin>>n; string nome[n]; float peso[n]; string razza[n]; for(i=0;i<n;i++) { cout<<"inserisci i dati del "<<i<<"^ animale"<<endl; cout<<"nome?"; cin>>nome[i]; cout<<"razza?"; cin>>razza[i]; cout<<"peso?"; cin>>peso[i]; } conta=0; for(i=0;i<n;i++) if( nome[i]=="BelloVieniQua" ) conta++; cout<<" ci sono "<<conta<<" animali che si chiamano BelloVieniQua nella tua fattoria"<<endl; conta=0; somma=0; for(i=0;i<n;i++) if( razza[i]=="PTOW") {conta++; somma=somma+peso[i]; } media=somma/conta; cout<<" i PTWO pesano mediamente "<<media<<" Kg"<<endl; //ordino confronto ogni animale con tutti, se scambio il peso scambio anche nome e razza float temp; string temp2; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) if(peso[i]<peso[j]) { temp=peso[i]; peso[i]=peso[j]; peso[j]=temp; temp2=nome[i]; nome[i]=nome[j]; nome[j]=temp2; temp2=razza[i]; razza[i]=razza[j]; razza[j]=temp2; } cout<<"nome razza peso in Kg"<<endl; for(i=0;i<n;i++) cout<<nome[i]<<"\t"<< razza[i]<<"\t"<< peso[i] <<endl; return 0; } 12b) Marco ha registrato le soluzioni dei suoi n esercizi del tipo (A,C,A,B,A,A,D) e li confronta con quelli del suo compagno, evidenzia le risposte diverse, verifica se tutte le risposte sono uguali,conta quante risposte sono di tipo A e quante risposte sono di tipo B o C, conta la più lunga sequenza di risposte tutte di tipo C. #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char** argv) { int n,i, conta; cout<<"quante sono le risposte?"; cin>>n; char testmio[n]; char testsuo[n]; cout<<"inserisci le risposte del tuo test"<<endl; for(i=0;i<n;i++) { cout<<"domanda n."<<i<<"(a/b/c/d)?"; cin>>testmio[i]; } cout<<"inserisci le risposte del SUO test"; for(i=0;i<n;i++) { cout<<"domanda n."<<i<<"(a/b/c/d)?"; cin>>testsuo[i]; } cout<<"le risposte diverse sono:"<<endl; for(i=0;i<n;i++) if(testmio[i]!=testsuo[i]) cout<<"la risposta "<<i<<" i è' diversa, la tua è "<<testmio[i]<< " la sua è "<<testsuo[i]<<endl; bool uguali=true; for(i=0;i<n;i++) if(testmio[i]!=testsuo[i]) { uguali=false; break; } if( uguali) cout<<" i due test sono uguali"<<endl; else cout<<"i i due test sono diversi"<<endl; int contaA=0; int contaBC=0; for(i=0;i<n;i++) { if(testmio[i]== 'a') contaA++; if(testmio[i]== 'b' || testmio[i]=='c') contaBC++; } cout<<"le tue risposte di tipo A sono "<<contaA<<" quelle di tipo B o C sono"<<contaBC<<endl; int lungmaxseq=-1; int lunghezza; int j; for(i=0;i<n;i++) if(testmio[i]=='c') { lunghezza=1; for(j=i+1;j<n;j++) if(testmio[j]!='c') break; else lunghezza++; if(lunghezza>lungmaxseq) lungmaxseq=lunghezza; } if(lungmaxseq==-1) cout<<"non ci sono risposte di tipo C nel test"<<endl; else cout<<"la seq max di risposte C consecutive è lunga" <<lungmaxseq <<endl; return 0; } {{Avanzamento|100%|16 dicembre 2019}} [[Categoria:Informatica 2 Liceo Scientifico Scienze Applicate|Compito dic 2019]] bp8ye4v6ek1wrxyuonuypwyq0godlru 0 47290 498611 444299 2026-05-29T10:46:59Z Avemundi 6028 refuso 498611 wikitext text/x-wiki {{Chimica forense}} [[Categoria:Chimica forense|Tecniche analitiche]] == Test preliminari == Una prima operazione da eseguire nel caso di alcune tipologie di prove forensi consiste nell'effettuare una serie di semplici procedure mirate a rilevare la presenza di un composto sospetto. Spesso tali procedure prevedono l'uso di test basati su reazioni chimiche che hanno il vantaggio di necessitare solamente di piccole quantità di campione. In un secondo momento verrà eseguita l'analisi vera e propria, ma in genere è il risultato dei test preliminari a suggerire il tipo di tecnica analitica più adatta per ottenere le informazioni di interesse circa il campione. L'analisi è preceduta anche dall'ottenimento della documentazione visiva riguardante le prove a disposizione. Questa viene acquisita attraverso tecniche basate su diverse sorgenti di luce che incrementano le informazioni ricavate visivamente dalla prova forense. === Test chimici === I test chimici vengono utilizzati per identificare determinate sostanze in tempi brevi. La maggior parte dei test è basata su variazioni di colore oppure sul grado di solubilità della sostanza incognita. Il problema principale è rappresentato dal fatto che i test sono distruttivi nei confronti del campione a disposizione, il loro l'utilizzo è perciò consigliato nel momento in cui si dispone di una quantità sufficientemente elevata di campione. Quando possibile, questi test sono ampiamente utilizzati in quanto hanno il vantaggio di essere rapidi e diretti, a differenza di altre tecniche molto più complesse. Nei test basati sui colori si impiega un reagente opportuno che, una volta aggiunto al campione, porta a un cambiamento di colore. Nel momento dell'analisi bisogna tenere conto della possibilità che il test fornisca un falso positivo o un falso negativo. Questo problema viene risolto con un'operazione di "taratura": si analizzano rispettivamente una soluzione contenente l'analita di interesse (controllo della positività) e un bianco in cui siamo certi che l'analita non sia presente (controllo della negatività). Un altro metodo di screening è invece basato sulla solubilità: il campione viene introdotto in un recipiente, nel quale si aggiunge un solvente opportuno in quantità proporzionale alla quantità di campione (in genere il campione a disposizione è poco e quindi si utilizza poco solvente). === Densità === [[File:Density column.JPG|100px|thumb|Colonna a gradiente di densità]] Un test preliminare molto semplice che permette di identificare diversi materiali consiste nella determinazione della densità (ρ). Questa è data dal rapporto tra la massa (m) di una sostanza e il suo volume (V):<ref name=":0"> Stuart, p. 32 </ref> ::::::::::::::::::: <math>\rho =\frac{m (kg)}{V (L)}</math> La densità viene misurata sfruttando il principio di Archimede secondo il quale un oggetto immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l'alto uguale per intensità alla massa di fluido spostato. Un campione forense può essere determinato qualitativamente e quantitativamente attraverso diversi metodi. Il "metodo del galleggiamento" è uno di questi e si basa sul fatto che un corpo solido con densità minore del liquido in cui è immerso tende a galleggiare. Viceversa, se è il liquido ad avere densità minore, allora il corpo affonda. Il corpo solido può anche rimanere in sospensione nel caso in cui abbia la stessa densità del liquido. Alternativamente si può impiegare un metodo basato sul "gradiente di densità": si utilizza un tubo riempito con una miscela di vari liquidi in diverse proporzioni (e quindi con densità differenti) che formano una serie di strati. La densità del singolo strato è fornita dalla formula seguente:<ref name=":0" /> ::::::::::::::::::<math>\rho =\frac{\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2}{V_1 + V_2}</math> Dove ρ è la densità della miscela, ρ₁ è la densità del primo liquido, ρ₂ è la densità del secondo liquido, V₁ è il volume del primo liquido ed infine V₂ è il volume del secondo liquido. Nel tubo a gradiente viene poi introdotto il materiale solido, che tenderà ad affondare fino a quando non raggiungerà lo strato di liquido con la stessa densità. Per stimare la densità del campione incognito è necessario tarare il tubo inserendo al suo interno diversi solidi a densità nota. === Test con radiazioni luminose === Un campione può essere analizzato anche attraverso metodi che prevedono l'utilizzo di radiazioni luminose, spesso con l'ausilio di un ingrandimento. Vengono utilizzate nella maggior parte dei casi radiazioni corrispondenti al visibile, ultravioletto (UV) e nell'intervallo dell'infrarosso (IR). Le informazioni sono registrate attraverso la fotografia che sfrutta la luce visibile e che permette di documentare i campioni forensi. Tuttavia, l'immagine può essere prodotta impiegando altre radiazioni dello spettro elettromagnetico come UV e IR che sono in grado di fornire altre informazioni circa il campione (per esempio la fotografia all'infrarosso permette di identificare sostanze non rilevabili nell'intervallo del visibile e quindi a occhio nudo). Quando necessario è possibile migliorare le immagini sfruttando un particolare fenomeno noto come fotoluminescenza, che si verifica quando il campione si trova esposto a una determinata lunghezza d'onda. Quando una molecola interagisce con una radiazione sufficientemente energetica, può assorbirla e passare a uno stato eccitato; in seguito la molecola torna nel suo stato fondamentale attraverso una diseccitazione che può avvenire in diversi modi. L'energia in eccesso può essere dissipata attraverso l'emissione di una radiazione. In questo caso si avrà il fenomeno della fotoluminescenza. La fluorescenza è una forma di fotoluminescenza e coinvolge l'emissione derivante dallo strato meno eccitato di un singoletto allo stato fondamentale. Un altro esempio di fotoluminescenza è dato dalla fosforescenza, che riguarda l'emissione che segue al salto dal più basso stato eccitato di tripletto al più basso stato fondamentale di singoletto.<ref>Stuart, p. 35</ref> == Tecniche microscopiche == Alcune proprietà del campione non sono osservabili a occhio nudo e in questo caso è opportuno utilizzare le cosiddette "tecniche microscopiche". Queste permettono di eseguire ingrandimenti di diversa entità sull'oggetto in esame, trovando la massima espressione con la microscopia elettronica, in grado di indagare a fondo la struttura del campione grazie all'elevatissimo grado di ingrandimento che la contraddistingue. === Microscopia ottica === [[File:Microscopio Leitz.jpg|thumb|left|Microscopio ottico Leitz. 1) Tubo verticale per fotografia; 2) oculare; 3) stativo; 4) revolver porta obbiettivi; 5) tavolino portaoggetti; 6) condensatore; 7) manopole di messa a fuoco; 8) sorgente di luce.]] Una della caratteristiche più vantaggiose del microscopio è la sua versatilità, in quanto si presta all'analisi di un'ampia gamma di campioni. Il microscopio ottico sfrutta il fenomeno di rifrazione della luce e permette vari ingrandimenti del campione utilizzando lenti differenti. L'analisi attraverso questo strumento fornisce informazioni di tipo chimico e allo stesso tempo permetto di osservare la struttura del campione. Esistono molte varianti del microscopio ottico, ad esempio i microscopi a comparazione, il microscopio stereoscopico, il microscopio a luce polarizzata e il microscopio a fluorescenza. Le componenti principali di un microscopio ottico sono una sorgente luminosa, un condensatore, un obiettivo e un oculare. La radiazione luminosa proveniente dalla sorgente viene collimata dal condensatore e indirizzata verso campione. L'obiettivo è in grado di ingrandire l'immagine che arriva poi all'oculare con il quale è possibile regolare la messa a fuoco e ingrandire ulteriormente l'immagine. Per garantire una messa a fuoco efficiente e quindi una migliore immagine si utilizza un processo di allineamento, conosciuto come illuminazione di Köhler.<ref name=":1"> Stuart, p. 42 </ref> Con il microscopio comparatore, due campioni posti l'uno di fianco l'altro vengono posti a confronto. Lo strumento è costituito dalla combinazione di due microscopi e attraverso un unico oculare è possibile osservare l'immagine fornita da entrambi i microscopi. Il microscopio stereoscopico è in grado di offrire un'immagine tridimensionale del campione utilizzando la luce riflessa, e anch'esso si basa sull'accoppiamento di due microscopi. Trova la sua maggior applicazione nei test preliminari, in particolare quando è necessario un ingrandimento tra x2 e x100.<ref name=":1" /> Quando si analizzano campioni come fibre o minerali possono essere necessarie informazioni relative all'orientazione del campione: a tale scopo si impiega il microscopio a luce polarizzata (PLM, dall'inglese "polarizing light microscope"). Questo si compone di due filtri polarizzanti, di un polarizzatore posizionato sotto il ripiano porta campione e di un analizzatore posto sopra l'obiettivo (orientato perpendicolarmente rispetto al resto). Il PLM risulta essere molto utile quando si osservano materiali anisotropi (ovvero che presentano comportamenti diversi in funzione della direzione di osservazione). Quando si vogliono studiare campioni interessati dal fenomeno della fluorescenza, la scelta migliore ricade sul microscopio a fluorescenza. Durante l'osservazione si utilizza una sorgente luminosa che emette nell'intervallo dell'ultravioletto. Il contributo della luce emessa per eccitazione viene corretto con filtri opportuni presenti nello strumento. La preparazione del campione per l'analisi al microscopio dipende dalla natura del materiale e dal tipo di informazione che si vuole ottenere. Nel caso si usi un microscopio stereoscopico si possono evitare manipolazioni del campione. In alternativa si pone il campione su un vetrino e lo si ricopre con una pellicola oppure, nel caso si voglia osservare una sezione trasversale, lo si incorpora in una resina. Quando è necessario un ambiente umido si aggiunge al campione una goccia di glicerina. Può essere interessante conoscere l'indice di rifrazione di un determinato materiale e a tale scopo il campione viene immerso in un liquido con indice di rifrazione simile. === Microscopia elettronico a scansione === [[File:SEM togopic.png|thumb|Illustrazione di un'apparecchiatura SEM]] Attraverso il microscopio elettronico a scansione (SEM) la superficie del campione viene bombardata con un fascio di elettroni energetici, e l'immagine superficiale viene generata grazie all'interazione del fascio con la superficie e ai vari effetti che ne derivano: produzione di elettroni secondari, elettroni "backscattered" e la produzione di raggi X caratteristici. Per poter effettuare analisi elementari il SEM viene solitamente accoppiato con un rivelatore EDX ("energy-dispersive X-ray"). Il fascio di elettroni viene prodotto nel vuoto grazie a un cannone elettronico e, successivamente, convogliato in un unico punto tramite particolari lenti elettromagnetiche. Il fascio viene indirizzato sul campione e spostato lungo la superficie del campione, facendo in modo che gli elettroni superficiali vengono estratti per poi essere rivelati, amplificati e visualizzati. Una fase molto delicata è rappresentata dalla preparazione del campione prima dell'analisi al SEM. Normalmente è necessario montare i campioni sopra un apposito disco metallico ("stub") utilizzando poi del nastro adesivo per far aderire correttamente il campione al disco. Questo metodo risulta problematico nel caso di campioni stratificati, quando è richiesta l'analisi di una superficie piana. In questo caso il campione viene tagliato longitudinalmente e la sezione trasversale viene levigata mediante l'uso di un abrasivo adatto come la pasta di diamante. Infine, il materiale viene incorporato in una resina per poi essere analizzato. Nel caso si voglia recuperare il campione è preferibile montarlo sopra lo stub per poi esporre la sezione trasversale al fascio di elettroni. Un metodo alternativo, definito "a scalini", prevede l'utilizzo di uno scalpello per esporre i diversi strati del campione. Nel caso si voglia analizzare un materiale non-conduttore è necessario ricoprire la superficie con un film di materiale conduttore; in caso contrario, gli elettroni secondari prodotti dall'interazione con il fascio elettronico genererebbero un eccesso di cariche positive e l'immagine ottenuta dal microscopio risulterebbe sfocata. Il film superficiale è costituito da oro e carbone e viene applicato tramite un evaporatore sotto vuoto. Il materiale ricoprente non deve interferire con l'analisi elementare, per questo motivo deve essere selezionato opportunamente nel caso di un'analisi EDX. Per evitare di ricoprire il campione si può utilizzare un microscopio elettronico a scansione ambientale (ESEM, dall'inglese "environmental scanning electron microscopy"), il quale può essere utile anche nel caso di campioni instabili nel vuoto. L'ESEM rimuove gli eccessi di carica impiegando una pressione moderata di vapore acqueo (o in alternativa di un gas adeguato) nella camera contenente il campione. Quando il campione interagisce con il fascio elettronico incidente vengono emessi gli elettroni secondari (SE). Questi forniscono informazioni relative alla topografia della superficie del campione. Quando gli elettroni vengono dispersi (diffusi) in modo elastico dagli atomi del campione in seguito all'interazione fascio-superficie si ottengono gli elettroni "backscattered" (BSE). L'immagine prodotta dai BSE è caratterizzata da una risoluzione peggiore rispetto a quella prodotta dagli SE ma ha il vantaggio di fornire informazioni circa la composizione del campione: le immagini corrispondenti a regioni contenenti atomi con numero atomico più elevato risultano essere più luminose. Il rivelatore usato per l'analisi di elementi costituenti è l'EDX in quanto fornisce uno spettro che indica la composizione relativa alle diverse regioni del campione. === Diffrazione di raggi X === [[File:Analyse wdx.It.svg|sinistra|thumb|Schema del principio della tecnica XRD]] La tecnica XRD (dall'inglese "X-ray diffraction") risulta molto utile per identificare gli atomi che compongono un campione solido e la loro disposizione nel reticolo cristallino. Si utilizza una radiazione (nell'intervallo dei raggi X) che sia quanto più simile alla distanza tra i piani del reticolo. In seguito all'interazione tra i raggi X e il reticolo verranno prodotti dei picchi di diffrazione di varia intensità. Si immaginino due radiazioni con angolo di incidenza θ che vengono diffratte mantenendo lo stesso angolo. Nel momento in cui la prima onda interagisce con il primo strato e la seconda con lo strato successivo del reticolo, le onde si definiscono in fase: si verifica un'interferenza costruttiva ad un angolo θ se la differenza di lunghezza del percorso è uguale ad un numero intero di lunghezze d'onda, nλ (dove n è un numero intero e λ è la lunghezza d'onda). Nella diffrazione di raggi X la relazione fondamentale è l'equazione di Bragg:<ref> Stuart, p. 62 </ref> ::::::::::::::::::<math> n\lambda = 2d sen (\Theta) </math> dove d è è la distanza tra i piani atomici. La tecnica XRD impiega una sorgente a raggi X corrispondente a un materiale in grado di emettere in questo intervallo e da un anodo che può essere costituito da cromo, ferro, rame o molibdeno. Il campione viene omogeneizzato per ottimizzare i risultati e introdotto come polvere. La quantità di campione necessaria è di pochi milligrammi, rendendo la tecnica molto interessante in ambito forense dove solitamente si ha a disposizione pochissimo campione. Durante l'analisi sul campione viene indirizzato un fascio di raggi X e si registra l'intensità dei raggi diffratti attraverso un detector montato su un carrello mobile, in grado di ruotare. La posizione angolare è misurata come 2θ (ovvero l'angolo di diffrazione). Il rivelatore si muove con velocità costante e un computer traccia l'intensità del raggio diffratto come funzione di 2θ. Per una determinazione qualitativa del campione si utilizza il grafico ottenuto dall'analisi con XRD. Questo è specifico di ogni materiale: i picchi osservabili in un grafico XRD possono essere associati a una fase cristallina caratterizzata da una struttura specifica. Confrontando il grafico corrispondente all'analisi con altri conservati in un database è possibile determinare la tipologia del materiale in questione. Oltre a fornire informazioni di tipo qualitativo, quest'analisi, se eseguita con le dovute precauzioni, può anche permettere una quantificazione degli elementi. Uno svantaggio dell'XRD sta nel fatto che l'analisi qualitativa di miscele può essere complessa in quanto i picchi dei costituenti risultano spostati e tendono a sovrapporsi; questo problema può essere risolto attraverso il raffinamento di Rietveld, che permette di separare i singoli componenti di un grafico XRD. == Spettroscopia molecolare == Le tecniche spettroscopiche si basano sull'analisi della radiazione elettromagnetica assorbita, emessa o diffratta dalle molecole o dagli atomi quando subiscono delle transizioni tra i livelli energetici. Le molecole e gli atomi esistono in stati discreti denominati livelli di energia. La frequenza ν della radiazione elettromagnetica associata ad una transizione tra due stati di energia ΔE è data dalla relazione:<ref> Stuart, p. 70 </ref> ::::::::::::::::::<math> \Delta E = h \nu </math> dove h è la costante di Planck. Esistono diverse tecniche spettroscopiche che fanno riferimento alle radiazioni provenienti da diverse regioni dello spettro elettromagnetico per investigare la separazione dei livelli di energia delle molecole. Ad esempio, per ottenere informazioni inerenti alla struttura di un atomo si utilizza la spettroscopia atomica. La spettroscopia molecolare invece coinvolge anche transizioni rotazionali, vibrazionali e elettroniche. La spettroscopia molecolare può quindi essere utilizzata per caratterizzare un campione grazie alla frequenza spettrale associata ad ogni molecola. === Spettroscopia infrarossa === [[File:IR spectrometer.jpg|thumb|Spettrometro IR]] [[File:Aparato de espectroscopia IV versao2.png|thumb|Schema di funzionamento di un IR]] La tecnica della spettroscopia infrarossa è basata sulla vibrazione interna delle molecole. Lo spettro infrarosso viene ottenuto dall'interazione tra una radiazione infrarossa e il campione (o con la sua superficie) e la successiva determinazione della frazione di radiazione incidente assorbita ad una determinata energia. Alla frequenza della vibrazione di una parte della molecola corrisponde una banda in uno spettro di assorbimento. Per far sì che una molecola possa assorbire nell'infrarosso deve possedere una caratteristica specifica: un momento di dipolo elettrico variabile durante la vibrazione. Questa caratteristica è conosciuta come regola di selezione per la spettroscopia infrarossa. Lo spettrometro infrarossi a trasformata di Fourier (FTIR) è uno dei principali strumenti per la registrazione dello spettro infrarosso. La maggior parte degli strumenti viene impostata per registrare tra i 4000 e i 400 cm^-1,<ref name=Stuart73/> ovvero la regione di principale interesse. La radiazione uscente dalla sorgente attraversa un interferometro, producendo un segnale che può essere matematicamente trasformato per fornire rapidamente lo spettro richiesto. Prima di raggiungere il detector la radiazione interagisce col campione. Spesso la spettroscopia IR viene accoppiata con una tecnica di microscopia così da poter studiare campioni di dimensioni ridotte. La spettroscopia infrarossa ha il vantaggio di essere applicabile a un gran numero di campioni diversi. La spettroscopia a trasmissione, nella quale si misura l'assorbimento della radiazione dopo che questa attraversa campione, è il metodo tradizionale. Questa tecnica permette lo studio di solidi, liquidi e gas. L'uso di tale tecnica è molto comune in ambito forense in quanto non è distruttiva nei confronti del campione ed è eseguibile anche fuori dal laboratorio. Nella spettroscopia a riflettanza totale attenuata (ATR) un cristallo viene fatto aderire alla superficie del campione. Nell'ATR la profondità della penetrazione della radiazione incidente sulla superficie del campione è una funzione della lunghezza d'onda, dell'indice di rifrazione del cristallo e dell'angolo della radiazione incidente. Il cristallo utilizzato in tale tecnica è fatto di un materiale che presenta un elevatissimo indice di rifrazione e scarsa solubilità in acqua. Fanno parte di questi materiali ZnSe, germanio e una miscela di bromuro e ioduro di tallio. Per analizzare campioni in polvere si utilizza la spettroscopia a riflettanza diffusa. La riflettanza diffusa è data dall'energia che penetra una o più particelle e viene riflessa in ogni direzione. I campioni possono essere analizzati tali e quali oppure miscelati con del KBr in polvere per aumentare la quantità di campione presente e quindi permettere l'analisi.<ref> Stuart, p. 74 </ref> Le informazioni presenti in uno spettro prodotto dalla spettroscopia IR sono la percentuale di trasmittanza, quella di assorbanza o quella di riflettanza come funzione della lunghezza d'onda. Ai modi in cui vibra il campione in oggetto è possibile associare le diverse bande dello spettro IR. La condizione per cui una molecola presenti assorbimento IR è che il momento di dipolo elettrico presente al suo interno cambi durante la vibrazione. La vibrazione può coinvolgere anche la lunghezza del legame o l'angolo di legame. Alcuni legami possono stirarsi in fase (stretching simmetrico) oppure fuori fase (stretching asimmetrico). Si individuano tre regioni principali di uno spettro IR: il lontano infrarosso (<400 cm^-1), il medio infrarosso (4000-400 cm^-1, il più utilizzato in ambito forense) ed il vicino infrarosso (13000-4000 cm ¹).<ref name=Stuart73> Stuart, p. 73 </ref> === Spettroscopia Raman === [[File:Setup Raman Spectroscopy adapted from Thomas Schmid and Petra Dariz in Heritage 2(2) (2019) 1662-1683.png|thumb|200px|left|Schema della tecnica di spettroscopia Raman]] Si tratta di un tipo di spettroscopia molto simile all'IR, solitamente viene utilizzata come sua complementare. La tecnica indaga il modo in cui vengono disperse le radiazioni da parte di un campione. Molte delle radiazioni disperse mantengono invariata la loro lunghezza d'onda (scattering di Rayleigh),<ref> Stuart, p. 90 </ref> una piccola parte invece subisce un leggero incremento o decremento. Quando si registra un aumento delle lunghezze d'onda il processo è conosciuto come diffusione Raman Stokes, viceversa il processo prende il nome di diffusione Raman anti-Stokes. Lo scattering Raman delle molecole coinvolge le transizioni tra stati rotazionali o vibrazionali. Si deve avere un cambiamento in termini di polarizzabilità di un componente della molecola perché si verifichi la rotazione o la vibrazione molecolare. La spettrometria Raman usa una sorgente di radiazioni che possono trovarsi nella regione del vicino ultravioletto, nel visibile o nel vicino infrarosso. Per minimizzare il fenomeno indesiderato della fluorescenza occorre particolare attenzione nella scelta della sorgente: risulta conveniente una sorgente di radiazioni a più alta lunghezza d'onda (nel vicino infrarosso). La radiazione luminosa dispersa proveniente dal campione attraversa una serie di lenti ottiche focalizzatrici e di raccolta. Si utilizza un filtro ottico per respingere la luce Rayleigh dispersa. La radiazione rimanente viene indirizzata verso il detector. La microscopia Raman è una tecnica molto utile in chimica forense in quanto fornisce spettri con un'ottima risoluzione spaziale (dell'ordine di pochi micron). Solitamente si combina un microscopio con uno spettrometro. Il campione dopo essere stato posizionato nel porta-campione, viene illuminato da una luce bianca e, attraverso l'obiettivo, viene messo a fuoco. In seguito la lampada viene spenta e la radiazione proveniente dalla sorgente viene direzionata verso un separatore di lunghezze d'onda. La radiazione dispersa dal campione viene raccolta dall'obiettivo e inviata allo spettrofotometro. Esistono diverse tecniche di risonanza Raman, quali la spettroscopia Raman di risonanza (RRS) o la spettroscopia Raman amplificata da superfici (SERS). Il vantaggio di questa tecnica consiste nel poter analizzare diversi tipologie di campioni con un pre-trattamento minimo. Per evitare di surriscaldare il campione con il laser della sorgente, lo si può raffreddare o lo si può porre in un'apposita cella rotante. === Spettroscopia UV-vis === [[File:Componentes de un espectofotometro.jpg|thumb|Schema fotometro]] La tecnica si basa sulle transizioni elettroniche associate all'assorbimento nell'UV (180-390 nm) e nel visibile (390-780 nm).<ref> Stuart, p. 95 </ref> L'energia della radiazione associata a queste regioni è sufficiente a promuovere un elettrone esterno di una molecola presente in un dato livello di energia ad un livello energetico più alto. La transizione elettronica coinvolge una parte della molecola denominata cromofora. Il tipo di transizione risultante da un assorbimento UV-vis consiste nell'eccitazione di un elettrone dall'orbitale molecolare occupato più alto all'orbitale molecolare non occupato più basso. Le componenti principali di uno spettrofotometro UV-vis sono: una sorgente di radiazioni, una cella contenente il campione, un elemento disperdente e un detector. Spesso si utilizzano due sorgenti luminose: una lampada a deuterio per la luce UV e una lampada a tungsteno per il visibile. Lo spettrometro a singolo raggio UV-vis è impostato in modo tale che il primo spettro a essere misurato sia quello della soluzione di riferimento, seguito poi dalla misura del campione di interesse. Nello spettrometro a doppio raggio le radiazioni vengono separate in due fasci paralleli, indirizzati attraverso due celle differenti: la prima contiene il solvente di riferimento, mentre la seconda il campione da analizzare. Tali celle sono solitamente fatte in quarzo o vetro, solitamente di lunghezza pari a 1 cm. Dal momento che in chimica forense ci si trova spesso a dover maneggiare quantità molto limitate di campione, questi vengono esaminati utilizzando un microspettrofotometro UV-vis (MSP). Nella spettroscopia UV-vis solitamente si esaminano soluzioni diluite e l'intensità della radiazione trasmessa è funzione della concentrazione della molecola assorbente secondo la legge di Lambert-Beer:<ref> Stuart, p. 97 </ref> ::::::::::::::::<math> A = \varepsilon c l </math> dove A è l'assorbanza della soluzione, c è la concentrazione, l è la lunghezza della cella contenente il campione ed infine ε è una costante che prende il nome di assorbività molare ed è caratteristica della molecola da analizzare. === Spettroscopia di fluorescenza === [[File:Fluorescence spectrophotometer layout.png|thumb|250px|left|Schema di uno spettrofotometro a fluorescenza]] Il fenomeno della fluorescenza viene utilizzato in ambito forense in determinate tecniche spettroscopiche note con il nome di spettroscopia di fluorescenza, fluorimetria o spettrofluorimetria. Quando si ha fluorescenza, le collisioni molecolari fanno si che la molecola eccitata perda energia vibrazionale fino a raggiungere il livello vibrazionale più basso. Successivamente la molecola tende a rilasciare un fotone con energia pari alla differenza tra il livello vibrazionale più basso e lo stato fondamentale. La tecnica permette di analizzare molecole aromatiche o caratterizzate da atomi di carbonio coniugati. Nel fluorimetro l'angolo di emissione è di 90° rispetto alla direzione dell'eccitazione. La radiazione incidente sul campione viene selezionata mediante un monocromatore, mentre un secondo monocromatore è poi utilizzato per controllare la radiazione emessa dal campione. Questo lavora nel range che va dalla lunghezza d'onda di eccitazione fino alle lunghezze d'onda più elevate. Lo spettro di emissione fornisce informazioni circa l'intensità di radiazione emessa in funzione delle varie lunghezze d'onda. La lunghezza d'onda di massima intensità è spesso utilizzata per scopi identificativi. Le molecole in grado di dare fluorescenza sono molte poche, ciò può rivelarsi contemporaneamente un vantaggio e uno svantaggio: da un lato è possibile analizzare matrici più o meno complesse sapendo che solo poche molecole saranno rilevabili limitando così eventuali interferenze, di contro la tecnica avrà un range di applicabilità piuttosto limitato. == Analisi elementare == Nella disciplina forense l'identificazione e la quantificazione di elementi all'interno di diverse tipologie di prove sono aspetti estremamente importanti. L'analisi elementare permette di collegare un campione ad una scena del crimine o addirittura a chi l'ha commessa. La spettroscopia atomica comprende un insieme di tecniche molto sensibili che viene utilizzato per l'analisi di elementi: la tecnica prevede l'utilizzo di una fiamma, fornetto o plasma per decomporre il campione a livello atomico, determinando quindi le concentrazioni delle specie ottenute. Esistono diverse tecniche che permettono di eseguire le analisi elementari, come vedremo nei prossimi paragrafi. === Spettroscopia atomica === [[File:AAS double beam system.png|thumb|AAS a doppio raggio]] [[File:ICPAES PerkinElmer 2.JPG|thumb|Strumentazione ICP-AES]] Le principali tecniche di spettrometria atomica usati in ambito forense sono la spettrometria di assorbimento atomico (AAS) e la spettrometria di emissione atomica (AES). Nell'AAS gli atomi assorbono una frazione della radiazione emessa dalla sorgente, mentre la radiazione non assorbita dal campione raggiunge il detector. Nell'AES la radiazione misurata deriva dalla diseccitazione degli atomi del campione, previa eccitazione ad opera della sorgente. Al centro di queste tecniche vi è la misurazione di emissione o assorbimento delle radiazioni a particolari lunghezze d'onda per registrarne lo spettro. AAS e AES garantiscono un mezzo di analisi per un'ampia gamma di elementi che possono essere determinati anche a bassissime concentrazioni, nell'ordine dei ppb o ppm. In uno spettrometro di assorbimento atomico il campione viene atomizzato usando una fiamma (FAAS) o un fornetto di grafite (GFAAS). La FAAS ha il vantaggio di essere più economica se confrontata con la GFAAS, ma la fiamma richiede una quantità di campione più elevata (1-2 mL confrontati con i 5-10 μL della GFAAS).<ref name=":2"> Stuart, p. 114 </ref> La FAAS permette di determinare concentrazioni nell'ordine dei ppm,<ref name=":2" /> mentre la GFAAS presenta una sensibilità maggiore riuscendo a rilevare e quantificare concentrazioni nell'ordine del ppb.<ref name=":3"> Stuart, p. 115 </ref> La spettrometria di emissione atomica tradizionale usa la fiamma come mezzo di eccitazione degli atomi. Il campione viene iniettato come aerosol nella fiamma e l'intensità della radiazione emessa è misurata in corrispondenza della lunghezza d'onda selezionata. Gli elementi vengono identificati facendo riferimento alle linee di emissione prodotte. La tecnica AES tradizionale soffre di una ridotta sensibilità, per questo motivo si sostituisce la fiamma con una sorgente al plasma (ICP, dall'inglese "inductively coupled plasma"). Il plasma viene prodotto facendo fluire un gas carrier (tipicamente argon) il quale, con l'applicazione di un campo magnetico molto intenso, viene ionizzato. La temperatura del plasma può raggiungere i 10000 K,<ref name=":3" /> permettendo di analizzare un range di elementi più ampio rispetto alla fiamma classica. La tecnica ha una sensibilità che si attesta nell'ordine dei ppb. A livello operativo è necessario effettuare una calibrazione analizzando, oltre al campione, delle soluzioni standard esterne contenenti gli elementi di interesse. Nel caso dell'AAS, il valore di assorbanza è calcolato mediante l'intensità della radiazione trasmessa. I valori di assorbanza riferiti alle soluzioni standard vengono riportati in grafici di assorbanza in funzione della concentrazione, ottenendo una rappresentazione lineare per via della dipendenza dell'assorbanza nei confronti della concentrazione tramite la legge di Lambert-Beer. In alternativa si può utilizzare un metodo di calibrazione differente, definito "metodo delle aggiunte" che prevede l'aggiunta di standard a diverse concentrazioni (note) all'interno di varie aliquote di campione per poi misurare l'assorbanza. Nella spettrometria di emissione atomica l'intensità di emissione è proporzionale alla quantità di analita presente. === ICP-MS === [[File:ICP-MS.jpg|350px|thumb|left|Strumentazione ICP-MS]] La spettrometria di massa (MS) fornisce informazioni qualitative e quantitative di atomi, molecole o frammenti. Nell'MS gli analiti vengono ionizzati, e gli ioni risultanti vengono separati sulla base del loro rapporto loro massa/carica (m/z). La forma più usata dell'MS in ambito elementare è l'ICP. Tale combinazione permette di determinare metalli e alcuni non metalli a bassissime concentrazioni. Nell'ICP-MS un campione liquido viene introdotto nello strumento sotto forma di aerosol utilizzando un gas carrier (argon o elio).<ref name=":4"> Stuart, p. 117 </ref> Il campione viene riscaldato e vaporizzato, portando poi all'atomizzazione ed infine alla ionizzazione. Solitamente questi strumenti utilizzano come detector un quadrupolo per separare gli ioni. Il metodo è quantitativo poiché il numero di ioni rivelati è direttamente proporzionale alla concentrazione di un dato elemento all'interno del campione. Solitamente il trattamento del campione prevede la solubilizzazione in un acido o una miscela di acidi (HNO₃, HCl, HF ecc.).<ref name=":4" /> Una strumentazione ICP-MS possiede un limite di rivelabilità (LOD, dall'inglese "Limit of Detection") dell'ordine del ppt.<ref> Stuart, p. 118 </ref> La tecnica ICP-MS può impiegare la laser ablation (LA) che consente di rimuovere del materiale (ablazione) da una piccola area di campione, iniettando quindi la parte rimossa tramite un flusso di gas carrier direttamente nel plasma. Il processo di ablazione è distruttivo, ma coinvolge un'area microscopica del campione, quindi viene normalmente utilizzato senza particolari problemi. Il grafico che si ottiene da un'analisi ICP-MS vede l'intensità ionica in funzione di m/z (solitamente gli ioni hanno carica unitaria, quindi sull'assem delle ascisse viene riportata solo la massa). La tecnica si rivela estremamente utile per le analisi qualitative e quantitative multi-elementari, applicando un opportuno metodo di calibrazione (calibrazione esterna, metodo delle aggiunte, metodo dello standard interno o diluizione isotopica). === Spettroscopia di fluorescenza a raggi X === [[File:Spectrometre fluo X sequentiel.png|thumb|Spettrometro di fluorescenza a raggi X]] Quando si ha a che fare con poco campione, una tecnica non distruttiva come la spettroscopia di fluorescenza a raggi X (XRF) si rivela essere molto vantaggiosa per determinare la composizione elementare del campione senza doverlo distruggere. Il campione viene bombardato con un fascio di fotoni ad alta energia prodotti da un tubo radiogeno. La radiazione, interagendo con la materia, può essere assorbita da un atomo, trasferendo così tutta la sua energia ad un elettrone interno. Nel caso in cui la radiazione sia sufficientemente energetica, l'elettrone può venire espulso, creando una vacanza. La presenza di più vacanze causa l'instabilità dell'atomo; per tornare in una condizione di stabilità gli elettroni presenti negli strati più esterni vengono trasferiti negli strati più interni colmando le vacanze. Durante tale processo viene emesso una radiazione corrispondente all'intervallo dei raggi X che può dirsi caratteristica in quanto ha energia uguale alla differenza di energia dei due strati. Dal momento che ogni elemento contiene un set di energie unico, ognuno di loro produrrà un raggio X con un set di energie caratteristico. I principali tipi di spettrometri XRF sono a dispersione di lunghezza d'onda (WDXRF, "wavelength-dispersive XRF") e a dispersione di energia (EDXRF, "energy-dispersive XRF"). Il primo misura la lunghezza d'onda, il secondo misura la radiazione di fluorescenza prodotta. Gli svantaggi principali della spettrometria WDXRF sono legati al costo dell'apparecchiature e alla quantità di campione relativamente grande necessaria all'analisi; ciò la rende una tecnica poco utilizzata nelle scienze forensi. La spettrometria EDXRF risulta essere più piccola e semplice, perciò è stato investito del tempo nel suo perfezionamento rendendola portatile e permettendo una rapida analisi del campione. Sono stati sviluppati anche spettrometri micro-XRF, in grado di analizzare piccolissime zone della superficie di campione. I gusci elettronici coinvolti nella XRF solitamente sono quelli più interni (K e L).<ref name=":5"> Stuart, p. 120 </ref> Per produrre le linee K un elettrone dello strato L o M deve occupare una vacanza dello strato K, producendo un raggio X caratteristico e lasciando una vacanza nello strato L o M. Gli elettroni necessari a riempire le vacanze, interessati nella produzione di una linea L, appartengono agli strati M o N. Il raggio X prodotto viene chiamato K, L, M o N in base al tipo di guscio elettronico coinvolto nella transizione dell'elettrone. Si utilizzano poi le lettere α, β, γ per indicare da quale guscio elettronico proviene l'elettrone. Lo spettro che si ottiene dalla spettroscopia XRF mostra il numero come funzione dell'energia di legame; per identificare la sostanza si confronta lo spettro con uno standard. Si possono eseguire sia analisi quantitative che qualitative, con un LOD nell'ordine del ppm.<ref name=":5" /> == Spettrometria di massa == Quando si tratta di identificare un composto incognito la spettrometria di massa (MS) è una tecnica d'eccellenza. Infatti l'MS consente la caratterizzazione di molecole complesse anche quando si dispone di piccolissime quantità di campione. È possibile separare le tecniche MS in atomiche e molecolari. === Spettrometria di massa molecolare === [[File:Apex ultra highJune2008.JPG|thumb|left|Spettromentro di massa]] L'MS offre informazioni riguardanti la massa delle molecole o di frammenti molecolari. In questa tecnica un campione allo stato gassoso viene bombardato con elettroni ad alta energia, provoca l'espulsione di uno o più elettroni. Gli ioni così prodotti vengono separati in funzione della loro massa applicando un campo magnetico. Il campione può essere introdotto direttamente (in tal caso può trovarsi anche allo stato solido) oppure tramite tecniche cromatografiche. Dopo l'introduzione del campione all'interno dello strumento, una sorgente di ionizzazione ne permette il passaggio in fase gassosa. In seguito le molecole vengono convertite in ioni e indirizzati verso un analizzatore di massa che li separa in base al loro rapporto m/z. Variando l'intensità del campo elettrico gli ioni vengono inviati a un detector moltiplicatore di elettroni. Quando si ha a che fare con campioni forensi i metodi di ionizzazione impiegati sono diversi a seconda del caso. La ionizzazione elettronica (EI) è il più comune e utilizza elettroni con energia di 70 eV.<ref name=":6"> Stuart, p. 130 </ref> Le molecole in tale processo tendono a perdere un elettrone producendo lo ione molecolare (M⁺). La ionizzazione chimica (CI)<ref name=":6" /> consiste nel bombardare il campione con atomi carichi positivamente o con molecole invece che con elettroni. Tale metodo di ionizzazione è molto più soft rispetto all'EI, permettendo di analizzare sostanze impossibili da analizzare con l'altra tecnica. Una tecnica di ionizzazione particolarmente leggera è la ionizzazione elettrospray (ESI), nella quale il campione passa in fase gas in forma ionica attraverso un ago ad un potenziale di circa 4 kV.<ref name=":6" /> Sono state inoltre sviluppate nuove sorgenti di ionizzazione che permettono di analizzare le superfici di campioni solidi senza effettuare prima una separazione o una preparazione. Queste tecniche sono la il desorbimento per ionizzazione elettrospray (DESI) e la direct analysis in real time (DART). Nella DESI viene prodotto un sottile film di liquido in cui l'analita viene disciolto nebulizzando goccioline cariche sulla superficie del campione, e il film viene successivamente portato nello spettrometro. Nella DART si genera un plasma ricco di atomi eccitati e ioni attraverso l'applicazione di un potenziale elettrico, e il plasma ad alta temperatura viene posto a contatto con la superficie del campione. Gli ioni degli analiti prodotti vengono desorbiti nella fase gas e trasportati all'interno dello spettrometro. Per la spettrometria di massa sono disponibili diverse tipologie di analizzatori di massa. Tra questi c'è il quadrupolo, che prevede l'utilizzo di quattro barre alle quali viene applicata una differenza di potenziale lungo il percorso degli ioni. Quando a queste barre viene applicata una corrente diretta e una radiofrequenza gli ioni iniziano ad oscillare. A ogni rapporto m/z è possibile associare un'oscillazione stabile che permette agli ioni di viaggiare lungo tutto il cammino senza allontanarsi dalle barre. Applicando adeguatamente la differenza di potenziale è possibile selezionare solo gli ioni con un rapporto m/z voluto. La strumentazione a tempo di volo (TOF, dall'inglese "time of flight") sfrutta il fatto che ioni più leggeri vengono accelerati maggiormente rispetto a ioni pesanti, presentando quindi un "tempo di volo" minore lungo una specifica distanza. In uno spettrometro TOF gli ioni attraversano una regione senza alcun campo magnetico applicato e viene misurato il tempo necessario a raggiungere il detector. Lo spettrometro di massa può essere accoppiato con un altro spettrometro di massa (tandem MS, o MS-MS): il primo isola gli ioni desiderati a partire da una miscela, gli ioni di interesse vengono poi introdotti all'interno di un secondo spettrometro di massa dove vengono frammentati per produrre una serie di spettri. Non sempre è possibile analizzare direttamente il campione forense, in tal caso sarà opportuno preparare il campione correttamente. Potrebbe essere necessario separare un analita dalla matrice (ad esempio i farmaci nelle analisi delle urine) in modo tale che la matrice non provochi interferenze. Nel caso in cui l'analita sia disciolto in un appropriato solvente si può optare per una semplice estrazione con solvente. Un altro tipo di estrazione utilizzabile è quella in fase solida (SPE, dall'inglese "solid phase extraction") che consiste nel separare gli analiti dalla matrice mediante l'uso di una fase stazionaria contenuta in una cartuccia. Un'altra opzione consiste nella pirolisi, una tecnica in cui il campione è riscaldato in maniera controllata per produrre un campione gassoso. Lo spettro fornito in seguito a un'analisi allo spettrometro di massa rappresenta l'abbondanza relativa degli ioni rivelati in funzione del rapporto m/z. Il picco base corrisponde allo ione osservato più abbondante, al quale viene assegnato per convenzione un'abbondanza pari al 100%. Solitamente si esaminano ioni positivi, ma si possono analizzare anche quelli negativi. Nel caso in cui la sorgente di ionizzazione sia del tipo EI, il picco più intenso osservato nello spettro è associato allo ione molecolare (M⁺), ovvero la molecola di interesse che ha perso un solo elettrone formando una specie cationica radicalica. Ogni frammento ionico prodotto mostrerà un picco a valori di massa inferiori. Quando l'analita presenta un pattern di frammentazione ben conosciuto, si può utilizzare il SIM per identificarlo (''Selected Ion Monitoring''). Vengono selezionati diversi ioni come composto bersaglio per poi confrontare il loro rapporto con un standard. In alternativa si può usare una modalità "full scan" dove viene eseguito uno spettro di massa completo e viene successivamente comparato con quelli presenti in appositi database. Per poter eseguire delle analisi quantitative, bisogna utilizzare uno standard interno. === Spettrometria di massa a rapporto isotopico === Gli isotopi si definiscono "stabili" quando non tendono a decadere attraverso processi radioattivi nel tempo. La maggior parte degli elementi presentano più di un isotopo stabile. La quantità di questi isotopi presenti in un determinato campione fornisce importanti informazioni riguardo alla sua origine, ad esempio nella determinazione della sorgente di tale materiale. La variazione nella composizione isotopica può essere misurata tramite uno spettrometro di massa a rapporto isotopico (IRMS). Questa strumentazione utilizza diversi rivelatori allo scopo di misurare concentrazioni isotopiche piuttosto basse, in particolare per ogni isotopomero esiste uno specifico detector. I campioni solitamente vengono bruciati per ottenere gas semplici (CO₂ e H₂O) per condurre l'analisi. Dopo essere stato introdotto in una camera a ionizzazione, il gas viene accelerato applicando un campo magnetico. Gli ioni vengono indirizzati verso una coppa di Faraday adibita a raccogliere gli ioni con una determinata massa, registrando così la corrente ionica. Se ad esempio gli isotopi di interesse fossero quelli del carbonio bisognerà utilizzare tre coppe di Faraday, una per ciascun isotopo. Gli elementi e i corrispondenti isotopi di maggiore importanza nelle scienze forensi sono idrogeno (¹H, ²H), carbonio (¹²C, ¹³C), azoto (¹⁴N, ¹⁵N), ossigeno (¹⁶O, ¹⁷O, ¹⁸O) ed infine zolfo (³²S, ³³S, ³⁴S, ³⁶S).<ref> Stuart, p. 135 </ref> La tecnica IRMS può essere combinata con un gascromatografo per separare i componenti all'interno del campione. === Spettrometria di mobilità ionica === La spettrometria di mobilità ionica (IMS) è stata perfezionata per la determinazione di tracce di gas e vapori. In tale tecnica un campione gassoso viene ionizzato e, applicando un campo elettrico mentre viaggiano a differenti velocità trasportati da un gas carrier, è possibile separare i differenti ioni presenti. Utilizzando una pompa si aspira il campione gassoso all'interno della camera di ionizzazione. I metodi di ionizzazione sono diversi, ma solitamente vengono impiegati dei radionuclidi (⁶³Ni o ²⁴¹Am) dal momento che sono caratterizzati da un'emivita lunga e che la strumentazione relativa richiede poca manutenzione. Successivamente gli ioni attraversano un tubo di deriva contenente il gas carrier e interagiscono con un campo elettrico a pressione atmosferica. Viene quindi rivelato il tempo di volo degli ioni. Nel caso di applicazioni forensi l'utilizzo di IMS portatili è molto popolare. Recentemente questa tecnica è stata combinata con la spettrometria di massa e/o con delle tecniche cromatografiche. == Tecniche separative == Quando un chimico forense ha a che fare con una matrice molto complessa, riuscire a caratterizzare e quantificare le sostanze di interesse contenute al suo interno diventa particolarmente problematico. Le tecniche cromatografiche vengono in aiuto quando si tratta di dover affrontare questo tipo di problema separando gli analiti dalla matrice. Il principio generale su cui si basa la cromatografia è che su di una fase fissa detta fase stazionaria viene fatta scorrere un'altra fase (fase mobile). La fase stazionaria può essere può essere solida o liquida, supportata sulle pareti di una colonna o sulla superficie di particelle solide impaccate nella colonna. === Cromatografia su carta === [[File:Chromatography tank.png|thumb|Contenitore cromatografia su carta]] Si tratta della tecnica cromatografica più semplice in assoluto e, come si nota dal nome, il mezzo separativo in questione è proprio la carta. Questa è composta da cellulosa e funziona da fase stazionaria in quanto permette l'assorbimento delle molecole di acqua (polari). I solventi usati come fase mobile invece sono caratterizzati da polarità inferiore, solitamente composti da miscele di solventi organici e acqua. La carta viene inserita in un contenitore nel quale è presente un adeguato solvente, il quale inizierà a muoversi per capillarità attraverso la carta trasportando l'analita. L'entità del suo spostamento dipenderà dalla sua ripartizione tra fase stazionaria e fase mobile. Per identificare un composto usando la cromatografia su carta si utilizzano i valori R_f. Tale valore si calcola nel seguente modo:<ref> Stuart, p. 144 </ref> :::::::::::::<math>R_f = \frac{Distanza \;percorsa \;dal \;composto}{Distanza \;percorsa \;dal \;solvente}</math> La distanza percorsa è misurata in relazione al punto di deposizione e si effettua dal centro del punto. È da ricordare che le condizioni sperimentali influenzano l'R_f, quindi è importante conoscerle molto bene per poter confrontare i risultati. === Cromatografia su strato sottile === {{doppia immagine|left|Chromatography1.png|100|Chromatography2.png|100|TLC prima dell'eluizione|TLC dopo l'eluizione}} Un metodo cromatografico semplice ed economico per l'analisi di campioni forensi è costituito dalla cromatografia su strato sottile, o TLC (dall'inglese "thin layer chromatography"). La fase stazionaria tipica è una lastrina e la miscela contenente il campione viene depositata ad un'estremità. La fase mobile è costituita da un solvente organico che scorre lungo il punto dove è stato deposto il campione. Il solvente, risalendo la lastrina per capillarità, permette la separazione delle varie sostanze nella miscela depositata. Infatti, ogni composto presente nella miscela del campione aderisce alla fase stazionaria e si solubilizza nel solvente in modo differente. La distanza percorsa in seguito all'eluizione è caratteristica di ogni composto. La fase stazionaria ricopre uno strato sottile fatto da vetro o plastica. La deposizione del campione avviene in modo puntiforme su di una estremità della lastrina mediante un tubo capillare (la quantità depositata è importante in quanto quantità eccessive o limitate di campione non offrono buoni risultati). La lastrina viene successivamente posizionata in un contenitore al quale è stata aggiunta la fase mobile (ovvero una miscela di solventi adeguati). A fine eluizione, alla lastrina viene aggiunto un agente chimico adatto che, reagendo con i composti del campione, permette di rendere le macchie visibili alla luce UV. Ovviamente risulta impossibile identificare un composto solo mediante il valore di R_f. Ma i valori di R_f di molti composti sono stati tabulati, per risalire al composto incognito è necessario compararlo con quelli conosciuti (si ricorda il discorso sull'importanza delle condizioni operative precedentemente fatto). === Gascromatografia === [[File:GC-CL.jpg|thumb|Schema a blocchi di un GC|400x400px]] La tecnica della gascromatografia (GC) prevede l'introduzione di un campione gassoso o vaporizzato all'interno di una lunga colonna in grado di separare i costituenti del campione in base alle loro caratteristiche chimico-fisiche. I componenti vengono separati e fluiscono in sequenza dalla colonna verso il detector che identifica ogni composto misurando il suo tempo di ritenzione, ovvero il tempo necessario affinché un determinato composto esca dalla colonna e venga rivelato. Attraverso un setto si inietta il liquido volatile o il campione gassoso in una zona riscaldata. Successivamente, con l'ausilio di un gas carrier (elio o idrogeno)<ref> Stuart, p. 149 </ref> il vapore viene convogliato verso la colonna a temperatura controllata. I detector a disposizione sono diversi e vengono scelti in funzione del tipo di campione forense da analizzare. Il rivelatore a ionizzazione di fiamma (FID) permette di ionizzare l'analita con l'ausilio di una fiamma e la corrente risultante produce il segnale. L'analizzatore di energia termica (TEA) viene impiegato quando è necessario decomporre analiti contenenti azoto. Il rivelatore a cattura di elettroni (ECD) è un detector molto selettivo utilizzato per rivelare alogenuri o molecole a base di ossigeno. Un tipo di accoppiamento estremamente vantaggioso è quello GC-MS; tale tecnica combinata permette una rapida identificazione dei componenti separati, cosa che la rende vantaggiosa e utilizzatissima in ambito forense. Dopo la separazione, il gas uscente dalla GC attraversa una camera di interfaccia necessaria a ridurne la pressione in modo da renderlo adatto alle condizioni di lavoro dell'MS. Il campione deve essere opportunamente pre-trattato prima di poterlo analizzare, solitamente tramite derivatizzazione. Potrebbe essere utile eseguire una purificazione del campione prima della sua introduzione in colonna sfruttando tecniche come la SPE. La microestrazione in fase solida (SPME) permette invece di estrarre l'analita da un campione gassoso o liquido senza l'impiego di un solvente. In alternativa, quando la matrice risulta essere molto complessa, una tecnica efficace è costituita dalla pirolisi del campione. In un cromatogramma il segnale prodotto dal detector è tracciato in funzione del tempo. Per identificare un determinato composto bisogna confrontare il suo tempo di ritenzione con quello presente in un database di composti ben noti. È possibile quantificare l'analita grazie all'area del picco che fornisce informazioni inerenti alla quantità di composto presente. Solitamente si utilizza uno standard interno (possibilmente un composto conosciuto che eluisca nei pressi dell'analita). Nella GC-MS l'approccio SIM permette di ottimizzare un'analisi di tipo quantitativo focalizzandosi solo su determinati picchi. === Cromatografia liquida === [[File:LC schematic.gif|sinistra|thumb|Schema a blocchi di un LC]] Come suggerisce il nome, la caratteristica principale che distingue questa tecnica dalla GC è il fatto che la fase mobile sia un liquido. Quando il campione da analizzare è instabile termicamente o non è volatile a sufficienza per essere adatto alla GC, la cromatografia liquida si rivela un valido sostituto. Per ottimizzare la tecnica si lavora ad alte pressioni, in questo caso si parla di HPLC (cromatografia liquida ad alta prestazione), nella quale si forza un solvente a passare attraverso una colonna contenente particelle fini (5-10 μm di diametro).<ref name=":7"> Stuart, p. 156 </ref> Il solvente, il cui flusso è controllato per mezzo di una pompa, deve solubilizzare l'analita interessato. L'analisi si può eseguire in modalità isocratica (utilizzando lo stesso solvente, quindi a polarità fissa) oppure operando un gradiente di solvente (impiegando solventi diversi a polarità crescente). La separazione del contenuto del campione analizzato avviene grazie alle differenti interazioni dei singoli composti con la fase stazionaria. Nella LC a fase normale la fase stazionaria è polare (composta da silice) e il solvente è apolare (ad esempio l'esano), e tale configurazione è ottimale per l'analisi di sostanze apolari.<ref name=":7" /> Nella LC a fase inversa la fase stazionaria è apolare (silice modificata opportunamente)<ref> Stuart, pag.156 </ref> e il solvente è polare (ad esempio l'acqua).<ref name=":7" /><br>Al termine della colonna è posto un detector che rivela i composti separati durante la corsa. Il più comune tra questi è il diode array detector (DAD) il quale misura l'assorbanza degli analiti nel campo dell'UV-vis, con una sensibilità dell'ordine del nanogrammo. In campo forense sono spesso utilizzati anche altri detector come quello a fluorescenza e lo spettrometro di massa (LC-MS). Il cromatogramma risultante dalla LC è molto simile a quello che si ottiene con la GC: ai singoli composti è possibile associare un picco come funzione del tempo di ritenzione all'interno della colonna. Normalmente il cromatogramma della GC presenta più stretti della LC. Si può utilizzare il tempo di ritenzione di una sostanza per poterla identificare, ma un'analisi qualitativa più accurata è garantita dalla tecnica combinata LC-MS. === Cromatografia ionica === La cromatografia ionica (IC) sfrutta il fenomeno di attrazione tra gli ioni in soluzione e i siti carichi presenti sulla fase stazionaria, e trova quindi grande applicazione nella determinazione di specie cariche. Come fase stazionaria si utilizza solitamente una resina a scambio ionico caratterizzata da gruppi funzionali carichi i quali interagiscono trattenendo i gruppi presenti nel campione aventi carica opposta. Quindi uno scambiatore anionico carico positivamente interagirà con gli anioni mentre uno scambiatore cationico carico negativamente interagirà con i cationi. Per eluire i composti trattenuti si fa uso di un'eluizione a gradiente o eluizione a variazione di pH. Le resine a scambio ionico sono fondamentalmente costituite da materiale amorfo (un esempio sono le resine copolimeriche composte da stirene e divinilbenzene), e lavorando sulle proporzioni tra i costituenti è possibile ottenere diversi gradi di reticolazione nella resina. I gruppi aromatici possono essere modificati per contenere gruppi -SO₃^- per produrre una resina a scambio cationico; in alternativa, si possono introdurre gruppi -NR₃⁺ per avere una resina a scambio anionico.<ref> Stuart, p. 159 </ref> Misurando la conduttività della soluzione si può valutare la presenza di ioni all'interno della stessa. È possibile eliminare elettroliti interferenti presenti in soluzione mediante la cromatografia a scambio ionico con soppressione; in quella anionica, ad esempio, la soluzione viene fatta passare all'interno di un "soppressore" dove i cationi vengono sostituiti da H⁺ per convertire l'eluente in H₂O. Anche in questo caso, la risposta del detector è riportata in funzione del tempo di ritenzione all'interno della colonna. I picchi possono essere utilizzati per identificare le varie specie ioniche presenti nella soluzione per comparazione con i risultati ottenuti dagli standard. Misurando l'area del picco si possono ottenere informazioni sulla concentrazione dell'analita. === Elettroforesi capillare === [[File:Capillary electrophoresis (21589986780).jpg|thumb|350px|left|Schema dell'elettroforesi capillare]] L'elettroforesi è un metodo che sfrutta il fenomeno di migrazione degli ioni contenuti in una soluzione a causa dell'influenza di un campo elettrico. Applicando una differenza di potenziale agli elettrodi immersi in una soluzione tampone (contenente molecole di interesse analitico), gli ioni presenti nel campione migrano verso uno degli elettrodi. La velocità di migrazione è funzione della carica e delle dimensioni delle particelle. L'elettroforesi capillare (CE) utilizza un capillare per poter applicare un grande campo elettrico, garantendo così una miglior risoluzione e un minor tempo di analisi rispetto alle tecniche elettroforetiche tradizionali. In questa tecnica viene applicata una differenza di potenziale dell'ordine dei 10-30 kV attraverso un capillare riempito da una soluzione tampone.<ref> Stuart, p. 161 </ref> Il materiale tradizionale che costituisce i capillari è la silice fusa;inoltre i capillari presentano un volume molto piccolo. La migrazione degli ioni è solitamente rivelata tramite un detector UV-vis, a fluorescenza o conduttimetrico. Esistono diverse tipologie di elettroforesi capillare, ma nelle analisi forensi la elettroforesi di zona capillare (CZE) e la cromatografia elettrocinetica micellare (MECC o MEKC) sono le più popolari. La CZE viene eseguita in una soluzione tampone e la separazione si basa sulla differenza di mobilità elettroforetica. La MEKC è molto utile per la separazione di specie neutre, altrimenti difficilmente separabili con altre tecniche elettroforetiche; essa sfrutta un tensioattivo che, aggiunto alla soluzione tampone, genera delle micelle in grado di "imprigionare" al loro interno le molecole neutre di analita. In questo modo la loro migrazione verso l'elettrodo risulta facilitata. Nell'elettroforesi capillare il detector fornisce un elettroferogramma, il quale mostra i picchi relativi ai vari composti in funzione del tempo di migrazione. Paragonando questi tempi con quelli di soluzioni standard, si possono eseguire delle analisi qualitative. == Analisi termiche == Attraverso le analisi termiche si osservano e misurano i cambiamenti fisici e chimici che interessano un determinato materiale quando questo viene riscaldato. Tali cambiamenti includono processi di decomposizione, il rilascio o l'assorbimento di energia o ancora l'aumento o la perdita di massa. Questi cambiamenti si verificano a determinate temperature, caratteristiche per ciascun materiale. I metodi termici più interessanti in ambito forense sono le tecniche di pirolisi, la calorimetria a scansione differenziale, l'analisi termica differenziale ed infine l'analisi termogravimetrica. === Tecniche di pirolisi === La pirolisi è un metodo che si basa sul riscaldare una sostanza in atmosfera inerte portandola fino a temperature elevate. Come conseguenza di questo riscaldamento si ha la produzione di frammenti molecolari caratteristici del materiale di partenza. Il pirolizzatore viene accoppiato con un gascromatografo, uno spettrometro di massa o addirittura con entrambi, in modo da poter identificare correttamente questi prodotti. I tipi di pirolizzatori disponibili più comuni sono tre: * pirolizzatore a fornace, in cui il campione viene posto in un fornetto precedentemente scaldato; * pirolizzatore a punto di Curie, in cui il campione viene posizionato all'interno di un filamento ferromagnetico all'interno di un campo a radiofrequenze; * pirolizzatore a riscaldamento resistivo, che utilizza un filamento di platino resistente al calore per scaldare il campione. I pirolizzatori richiedono quantità di campione nell'ordine del microgrammo e operano un rapido riscaldamento fino a temperature nel range di 600-800 °C.<ref> Stuart, p. 168 </ref> Lavorare a condizioni operative ben definite è importantissimo in queste tecniche per renderle riproducibili, altrimenti si rischia di andare incontro a reazioni secondarie indesiderate. A seguito della pirolisi il prodotto viene inviato al gascromatografo o allo spettrometro di massa. Nella pirolisi-gascromatografia (Py-GC) il prodotto di combustione viene separato e identificato con un gascromatografo. Il cromatogramma risultante prende il nome di pirogramma. La pyrolysis-capillary GC è una tecnica accoppiata molto più sensibile: si utilizza una colonna capillare invece che una impaccata così da poter garantire una miglior risoluzione. È possibile analizzare l'eluato proveniente dalla GC con uno spettrometro di massa, in tal caso la tecnica prende il nome di Pyrolysis GC-MS (Py-GC-MS). È altresì possibile accoppiare direttamente il pirolizzatore ad un spettrometro di massa, ma una combinazione di questo tipo è molto più di nicchia. In seguito alla decomposizione termica si ottengono frammenti che dipendono dalla struttura molecolare della molecola di partenza e dalle condizioni termiche. Esistono infatti tantissimi percorsi di decomposizione, per i polimeri ad esempio alcune tipiche reazioni di pirolisi sono la depolimerizzazione (il polimero ritorna a monomero), la scissione dei gruppi laterali (i gruppi legati alla catena principale si rompono rendendo la catena principale insatura) e la scissione randomica della catena (la catena polimerica viene rotta in modo randomico). Grazie a questo metodo si ottiene un pirogramma, caratteristico del campione, che può essere confrontato con quelli contenuti in apposite banche dati, permettendo l'identificazione della sostanza incognita. I pirogrammi solitamente sono complessi, quindi non si paragonano tutti i picchi ma si fa riferimento esclusivamente a quelli più intensi. === Calorimetria a scansione differenziale e analisi termica differenziale === [[File:Inside DSC small.jpg|thumb|Interno di un calorimetro differenziale a scansione]] Queste due tecniche sono molto utili per caratterizzare le proprietà chimico-fisiche di un materiale. La calorimetria a scansione differenziale (DSC) registra l'energia da fornire al campione in modo che la sua temperatura eguagli quella di un materiale di riferimento, riportando quindi i dati di energia fornita in funzione della temperatura o del tempo. Le due sostanze vengono riscaldate o raffreddate in ambiente controllato alle stesse condizioni operative. L'analisi termica differenziale (DTA), invece, misura la differenza di temperatura tra il campione e il materiale di riferimento. I dati sono riportati in funzione del tempo o della temperatura. Una piccola quantità di campione, dell'ordine del milligrammo, viene posizionata in un crogiolo che a sua volta viene inserito all'interno di una fornace. Il materiale di riferimento impiegato solitamente è l'allumina (Al₂O₃). Per mantenere l'atmosfera della camera in uno stato controllato, questa può essere riempita con un gas adeguato. Dopo aver programmato la velocità di riscaldamento, la fornace viene scaldata elettricamente (tipicamente 10 °C min^-1, ma si può arrivare fino a 100 °C min^-1).<ref> Stuart, p. 171 </ref> Si possono registrare anche temperature inferiori a quella ambiente utilizzando azoto liquido. Il grafico ottenuto in seguito a un'analisi DSC riporta il flusso di calore come funzione della temperatura a velocità costante di riscaldamento. Si ottiene un cambiamento nella linea di base quando varia la capacità termica del campione. L'equazione alla base di questa tecnica è:<ref> Stuart, p. 172 </ref> :::::::::::::<math>\Delta T = \dfrac{qCp}{K}</math> Dove ΔT è la differenza di temperatura tra il campione e il materiale di riferimento, q è la velocità di riscaldamento, C_p è la capacità termica del campione ed infine K è il fattore di calibrazione dello strumento. Si può calcolare la variazione di entalpia grazie al calcolo dell'area compresa tra la curva e la linea di base. DSC e DTA sono tecniche molto utilizzate in ambito forense per caratterizzare le proprietà termiche di materiali a base polimerica. Per tali campioni si osserva la temperatura di transizione vetrosa, quando viene raggiunta questa temperatura il polimero cessa di essere vetroso e assume caratteristiche gommose. Tale temperatura si può determinare mediante l'utilizzo della DSC, il segnale corrispondente è rappresentato da una variazione endotermica dalla linea di base. Sono molti i fattori che influenzano il valore di questa temperatura, ad esempio la natura dei sostituenti, la struttura copolimerica, i tipi di legami tra catene, il peso molecolare, la presenza di plastificanti ecc. La temperatura si registra nel momento in cui si osserva l'inizio della transizione e non all'apice del picco. Un'altra informazione che viene normalmente raccolta è quella relativa alla temperatura di fusione, ovvero il range di temperature in cui un polimero cristallino si scioglie. Nel grafico della DSC si osserva un picco endotermico corrispondente a questo intervallo. === Analisi termogravimetrica === [[File:Thermogravimetric analyser.jpg|90px|thumb|left|Analizzatore termogravimetrico]] Nell'analisi termogravimetrica (TGA) l'informazione di interesse è quella relativa alla massa di materiale persa come funzione della temperatura. La TGA permette di quantificare la variazione di massa di un materiale quando questo viene interessato da processi degradativi. Differenti sostanze mostrano un unico schema di decomposizione, ma la TGA fornisce dei dati sulla massa persa caratteristici per ogni campione. Il campione viene posizionato sul braccio di una bilancia estremamente sensibile, a sua volta posta all'interno di una fornace. La variazione della massa del campione viene registrata mentre il campione è mantenuto ad una specifica temperatura o è soggetto a una variazione programmata di temperatura. Si possono eseguire riscaldamenti da -196 °C a 2400 °C e si possono utilizzare atmosfere differenti (azoto, ossigeno, argon o elio).<ref> Stuart, p. 176 </ref> La TGA si può accoppiare anche con altre tecniche spettroscopiche per poter aumentare il numero di informazione relative al campione. Le quantità di campione introdotte sono dell'ordine del milligrammo e possono essere sotto forma di polveri, liquidi o fibre. Il grafico TGA riporta la massa persa come funzione della temperatura. Osservando un grafico si possono notare svariati step: il primo corrisponde all'evaporazione del solvente, il secondo al primo processo di degradazione, il terzo al secondo processo di degradazione e così via fino ad arrivare al residuo finale il quale non decompone nel range di temperature impostate. La derivata di tale curva (DTG) mostra i picchi relativi ad ogni processo di degradazione in modo da evidenziare i punti in cui si è registrata la maggiore perdita in termini di massa del campione. == Note == {{references|2}} 6jbj886nhi7n8795vyhrcaqkgg1anjz 0 48150 498559 494385 2026-05-28T14:37:49Z VoceUmana7 51633 498559 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Veniano S.Antonio Abate organo Bressani.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Giovanni Bressani * '''Anno:''' 1908<ref>Una parte del materiale fonico è stata recuperata da strumenti ottocenteschi.</ref> * '''Restauri/modifiche:''' Colzani Organi (restauro, 2014) * '''Registri:''' 13 comandati da tiranti posti al di sopra della tastiera * '''Canne:''' 850 * '''Trasmissione:''' meccanica ad eccezione del somiere per le note da Do 1 a Mib 1 del Principale 8', che è collegato al somiere maestro mediante trasmissione pneumatico-tubolare e le valvole cromatiche del Contrabbasso, azionate da manticetti * '''Consolle:''' a finestra al centro del corpo fonico * '''Tastiere:''' 1 di 56 note (''Do¹''-''Sol⁵'') * '''Pedaliera:''' dritta piana di 27 note (''Do¹''-''Re³'') * '''Collocazione:''' su cantoria, in controfacciata * '''Accessori:''' pedaletti per : ''Tasto - Pedale'', ''Mezzoforte'', ''Ripieno'', ''Fortissimo'' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Registri''' ---- |- |Principale || 8' |- |Principale Secondo || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |Ripieno 4 file<ref>inseribile solo da pedaletto con XIX, XXII, XXVI, XXIX.</ref> |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Viola || 8' |- |Unda Maris || 8' |- |Cromorno || 8'<ref>ricostruito.</ref> |- |Tromba || 8' |- |Contrabassi || 16' |- |Basso || 8' |- |I - Ped |- |} ==Note== <references/> {{Avanzamento|100%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] f9aij7ikeg9bn114e96473npu1iupsi 10 54266 498574 497891 2026-05-28T20:22:16Z ~2026-32069-05 54429 498574 wikitext text/x-wiki {{Sommario V|titolo = Robotica unplugged|immagine = Ada & Zangemann, p. 9, no text (cropped).png|immaginepx = 150|contenuto = ;{{Modulo|Robotica unplugged/Introduzione|Introduzione}} ;Scienze *{{Modulo|Robotica unplugged/Batterie con ortaggi|Batterie con ortaggi}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Abat-jour|Abat-jour}} ;Tecnologia *{{Modulo|Robotica unplugged/Supercar|Supercar}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Formula 1|Formula 1}} *{{Modulo|Robotica unplugged/BrushBot|BrushBot}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Raccolta differenziata|Raccolta differenziata}} *{{Modulo|Robotica unplugged/ViBot|ViBot}} *{{Modulo|Robotica unplugged/ViBot20|ViBot 2.0}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Giostra|Giostra}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Catapulta|Catapulta}} *{{Modulo|Robotica unplugged/MouseBot|MouseBot}} *{{Modulo|Robotica unplugged/TurboRagno|TurboRagno}} ;Ingegneria *{{Modulo|Robotica unplugged/Pixelart|Pixelart}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Non te lo dico|Non te lo dico}} ;Arte *{{Modulo|Robotica unplugged/Ada & Zangemann|Ada & Zangemann}} ;Matematica *{{Modulo|Robotica unplugged/Spaghetti, marshmallow e geometria solida|Spaghetti, marshmallow e geometria solida}} *{{Modulo|Robotica unplugged/Volumi e lati|Volumi e lati}} ; {{Modulo|Robotica unplugged/Rassegna stampa|Rassegna stampa}} }}<noinclude>[[Categoria:Robotica unplugged| ]] [[Categoria:Template sommario|Robotica unplugged]]</noinclude> qj4enk4cpr41zdlp7hy5etqi249ea1i 0 59254 498555 498496 2026-05-28T13:46:51Z AGeremia 10319 /* Esercizi sulla preparazione di alcheni: l'eliminazione */ 498555 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla preparazione di alcheni: l'eliminazione == '''esercizio 1. Eliminazione da un alogenuro alchilico''' Il 2-bromobutano reagisce con KOH in soluzione alcolica e a caldo. '''Richieste:''' * Scrivi la reazione completa. * Individua il prodotto principale. * Indica il tipo di eliminazione coinvolta. '''esercizio 2. Regola di Saytzev''' Dal 2-cloropentano si ottengono diversi alcheni per eliminazione. '''Richieste:''' * Scrivi tutti i possibili alcheni ottenibili. * Indica quale si forma in quantità maggiore. * Spiega la regola di Saytzev. '''esercizio 3. Eliminazione E2''' Il bromuro di etile reagisce con etossido di sodio (NaOEt). '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo E2. * Indica quale legame si rompe. * Spiega perché la reazione avviene in un solo stadio. '''esercizio 4. Eliminazione E1''' Il terz-butilcloruro viene riscaldato in soluzione alcolica. '''Richieste:''' * Scrivi il meccanismo E1. * Disegna il carbocatione intermedio. * Indica il prodotto finale. '''esercizio5. Disidratazione di un alcol''' L’etanolo viene trattato con H₂SO₄ concentrato a caldo. '''Richieste:''' * Scrivi la reazione. * Spiega il ruolo dell’acido solforico. * Indica il nome dell’alchene ottenuto. '''esercizio 6. Disidratazione del 2-butanolo''' Il 2-butanolo viene riscaldato con H₂SO₄ concentrato. '''Richieste:''' * Scrivi i possibili prodotti. * Indica il prodotto prevalente. * Spiega perché è favorito. '''esercizio 7. Confronto tra SN ed eliminazione''' Il 2-bromopropano può reagire con: * KOH acquoso * KOH alcolico '''Richieste:''' * Scrivi le due reazioni. * Indica quale porta a sostituzione e quale a eliminazione. * Spiega il ruolo del solvente. '''esercizio 8. Individuazione del carbonio β''' Considera il composto 2-bromopentano. '''Richieste:''' * Individua il carbonio α e i carboni β. * Indica quali idrogeni possono essere eliminati. * Scrivi l’alchene ottenuto. '''esercizio 9. Eliminazione e stabilità degli alcheni''' Dal 2-bromo-2-metilbutano si possono ottenere più alcheni. '''Richieste:''' * Scrivi le strutture dei possibili prodotti. * Indica quale alchene è più stabile. * Spiega il motivo della maggiore stabilità. '''esercizio 10. Schema riassuntivo E1 vs E2''' Completa una tabella comparando E1 ed E2 nei seguenti aspetti: * numero di stadi * intermedi presenti * velocità di reazione * tipo di substrato favorito * forza della base * dipendenza dalla concentrazione == Esercizi sull'alogenazione degli alcheni == '''Esercizio 21:''' Scrivi il prodotto della reazione tra etene e Br₂ in solvente inerte. CH₂ = CH₂ + Br₂ → BrCH₂ − CH₂Br '''Esercizio 22:''' Qual è il prodotto principale della reazione tra propene e Cl₂? CH₃ − CH = CH₂ + Cl₂ → CH₃ − CHCl − CH₂Cl '''Esercizio 23:''' Indica la stereochimica del prodotto ottenuto da cis-2-butene con Br₂. '''Esercizio 24:''' Che prodotto si ottiene dalla bromurazione del trans-2-butene? '''Esercizio 25:''' Scrivi il meccanismo della reazione tra cicloesene e Cl₂. C₆H₁₀ + Cl₂ → trans − 1,2 − diclorocicloesano '''Esercizio 26:''' L’addizione di Br₂ agli alcheni è sin o anti? '''Esercizio 27:''' Perché Br₂ può comportarsi da elettrofilo? '''Esercizio 28:''' Determina il prodotto della reazione. CH₂ = CH − (CH₂)₃CH₃ + Br₂ → BrCH₂ − CHBr − (CH₂)₃CH₃ '''Esercizio 29:''' Qual è l’intermedio tipico dell’alogenazione degli alcheni? '''Esercizio 30:''' Perché I₂ reagisce poco con gli alcheni? '''Esercizio 31:''' Perché F₂ non viene normalmente usato? '''Esercizio 32:''' Trova il prodotto. (CH₃)₂C = CH₂ + Br₂ → (CH₃)₂CBr − CH₂Br '''Esercizio 33:''' L’alogenazione con X₂ segue la regola di Markovnikov? '''Esercizio 34:''' Disegna il prodotto della reazione tra ciclopentene e Br₂. '''Esercizio 35:''' Quando si ottiene una miscela racemica? '''Esercizio 36:''' Come si chiama l’intermedio formato con Br₂? '''Esercizio 37:''' Scrivi il prodotto della bromurazione del pent-2-ene. CH₃ − CH = CH − CH₂ − CH₃ + Br₂ → CH₃ − CHBr − CHBr − CH₂ − CH₃ '''Esercizio 38:''' Da quale lato attacca Br^- nello ione bromonio? '''Esercizio 39:''' L’alogenazione degli alcheni è una: sostituzione. eliminazione o addizione elettrofila? '''Esercizio 40:''' Descrivi le due fasi dell’alogenazione di un alchene con Br₂. == Esercizi sulla formazione di aloidrine degli alcheni == '''Esercizio 41:''' Scrivi il prodotto della reazione tra etene e HOBr. CH₂ = CH₂ + HOBr → HOCH₂ − CH₂Br '''Esercizio 42:''' Determina il prodotto principale della reazione tra propene e HOCl. CH₃ − CH = CH₂ + HOCl → CH₃ − CH(OH) − CH₂Cl '''Esercizio 43:''' Che tipo di reazione è l’addizione di HOX agli alcheni? '''Esercizio 44:''' Quale intermedio si forma durante l’idroalogenazione con HOBr? '''Esercizio 45:''' Nel secondo passaggio della reazione, chi attacca lo ione bromonio? '''Esercizio 46:''' L’addizione di HOBr segue la regola di Markovnikov? '''Esercizio 47:''' Scrivi il prodotto della reazione. (CH₃)₂C = CH₂ + HOBr → (CH₃)₂C(OH) − CH₂Br '''Esercizio 48:''' L’addizione di HOX è sin o anti? '''Esercizio 49:''' Quale prodotto si forma dalla reazione del cicloesene con HOBr? cicloesene + HOBr → trans−2−bromocicloesanolo '''Esercizio 50:''' Perché l’acqua attacca lo ione bromonio invece di Br⁻? '''Esercizio 51:''' Qual è l’ultimo passaggio del meccanismo? '''Esercizio 52:''' Scrivi il prodotto dell’addizione di HOCl al but-2-ene. CH₃ − CH = CH − CH₃ + HOCl → CH₃ − CH(OH) − CHCl − CH₃ '''Esercizio 53:''' Qual è la specie elettrofila in HOBr? '''Esercizio 54:''' Perché F₂ e I₂ non vengono usati comunemente? '''Esercizio 55:''' Che cos’è un’aloidrina? '''Esercizio 56:''' Trova il prodotto della reazione tra propene e Br₂ in acqua. CH₃ − CH = CH₂ + Br₂ + H₂O → CH₃ − CH(OH) − CH₂Br '''Esercizio 57:''' Come si chiamano i prodotti ottenuti con HOX? '''Esercizio 58:''' Perché OH si lega al carbonio più sostituito? '''Esercizio 59:''' Quando il butene reagisce con NBS in presenza di acqua, il bromo si trova sul carbonio meno sostituito. È Markovnikov o anti-Markovnikov? '''Esercizio 60:''' Descrivi il meccanismo completo dell’addizione di HOBr a un alchene. == Esercizi sull'idratazione degli alcheni == '''Esercizo 1''' Spiega perché nell'idratazione acido-catalizzata del 3-metilbut-1-ene si può osservare, oltre al prodotto atteso, anche una quota di 2-metilbutan-2-olo. '''<br />Esercizio 2''' Quale prodotto principale si ottiene dall'idratazione del propene (CH₃–CH=CH₂) con H₂SO₄ diluito / H₂O? a) Propan-1-olo b) Propan-2-olo c) Etanolo d) Propanale '''Esercizio 3''' L'idratazione degli alcheni con catalisi acida è un esempio di quale tipo di reazione? a) Sostituzione nucleofila (SN1) b) Eliminazione (E2) c) Addizione elettrofila d) Ossidazione '''Esercizio 4''' Abbina ogni metodo al prodotto ottenuto a partire dal propene (CH₃–CH=CH₂): metodo: H₂SO₄ diluito / H₂O (Markovnikov, classico), Hg(OAc)₂ / H₂O → NaBH₄ (ossimercuriazione), BH₃·THF → H₂O₂/NaOH (idroborazione), Acido peracetico (CH₃CO₃H) → H₃O⁺. prodotto: Propan-1-olo (anti Markovnikov), Propan-2-olo (con possibili riarrangiamenti), Propan-2-olo (senza riarrangiamenti), Propan-1,2-diolo (apertura epossido). '''Esercizio 5''' Spiega perché nell'idratazione acido-catalizzata del 3-metilbut-1-ene si può osservare, oltre al prodotto atteso, anche una quota di 2-metilbutan-2-olo. '''Esercizio 6''' L’idratazione dell’isobutene produce quale alcol? '''Esercizio 7''' L'idratazione del 2-metilpropene (CH₂=C(CH₃)₂) con H₂SO₄/H₂O fornisce principalmente: a) 1-butanolo b) 2-butanolo c) 2-metilpropan-1-olo d) 2-metilpropan-1-olo '''Esercizio 8''' cosa fornisce prevalentemente l'idratazione del but-1-ene (CH₂=CH–CH₂–CH₃) con H₃O⁺? '''Esercizio 9''' come si chiama il processo in due fasi BH₃·THF → H₂O₂/NaOH '''Esercizio 10''' Disegna il prodotto principale dell'idratazione del propene con H₂SO₄ diluito / H₂O (segui la regola di Markovnikov). '''Esercizio 11''' Nell'ossimercuriazione-riduzione quale coppia di reagenti è usata nel primo passo con l'alchene? a) HgCl₂ / H₂O b) Hg(OAc)₂ / H₂O c) HgSO₄ / H₂SO₄ conc. d) Hg(NO₃)₂ / NaBH₄ == Esercizi sull'idrogenazione degli alcheni == '''Esercizio 1''' Quale alcano si ottiene dall’idrogenazione del propene? '''Esercizio 2''' Disegna (o descrivi) l’addizione di H₂​ al cis-2-butene. '''Esercizio 3''' Determina il prodotto: di (CH₃​)₂​C=CH₂​+H₂ '''Esercizio 4''' ​Abbina ogni alchene al suo prodotto di idrogenazione completa con H₂ / Pd/C. ​alchene: cicloesene, but-2-ene (cis o trans), propene, etene. ​prodotto: propano, butano, cicloesano, etano ​'''Esercizio 5''' ​Qual è il prodotto dell'idrogenazione catalitica del propene (CH₃–CH=CH₂) con H₂ e Pd/C? ​a) Propano ​b) Butano ​c) Cicloesano ​d) Etano ​'''Esercizio 6''' Spiega perché il calore di idrogenazione del benzene (−208 kJ/mol) è molto inferiore a quello previsto per un "cicloesatriene" ipotetico (−360 kJ/mol). Cosa indica questa differenza? '''Esercizio 7''' Abbina ogni alchene al suo calore di idrogenazione approssimativo (ΔH°, kcal/mol). alchene: 3-metil-1-butene, 2-metil-1-butene, 2-metil-2-butene, propene calore di idrogenazione: -30,3 kcal/mol, -26,9 kcal/mol, -28,5 kcal/mol, -29,g kcal/mol '''Esercizio 8''' Disegna il prodotto dell'idrogenazione del cicloesene con H₂ - Pd/C. '''Esercizio 9''' L’idratazione del propene produce principalmente: a) 1-propanolo b) 2-propanolo c) propanale d) propano '''Esercizio 10''' Quale composto si ottiene da: CH₂​=CH₂​+H₂​O a) etano b) etanale c) etanolo d) etino '''Esercizio 11''' Vero o Falso (se falso motiva la risposta): - Un alchene più sostituito ha un calore di idrogenazione maggiore (più negativo) di uno meno sostituito? - L'idrogenazione catalitica degli alcheni è una reazione esotermica? - L'idrogenazione del benzene avviene nelle stesse condizioni di quella degli alcheni semplici? ... [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * Esercizio 1: * Esercizio 2: * Ecc. ecc. '''Soluzione esercizio 21:''' Si ottiene 1,2-dibromoetano tramite addizione anti. '''Soluzione esercizio 22:''' Si forma 1,2-dicloropropano. '''Soluzione esercizio 23:''' L’addizione è anti, quindi si ottiene una miscela racemica di: * (2R,3R)-2,3-dibromobutano * (2S,3S)-2,3-dibromobutano '''Soluzione esercizio 24:''' Si ottiene il meso-2,3-dibromobutano. '''Soluzione esercizio 25:''' # Formazione dello ione cloronio ciclico. # Attacco backside dello ione Cl^-. # Formazione di trans-1,2-diclorocicloesano. '''Soluzione esercizio 26:''' È una anti-addizione. '''Soluzione esercizio 27:''' Il doppio legame polarizza Br₂ inducendo un dipolo: * Brδ+ — Brδ− Il Brδ+ viene attaccato dal legame π. '''Soluzione esercizio 28:''' Si ottiene 1,2-dibromoesano. '''Soluzione esercizio 29:''' Uno ione alonio ciclico (bromonio o cloronio). '''Soluzione esercizio 30:''' Perché la reazione è termodinamicamente sfavorita e molto lenta. '''Soluzione esercizio 31:''' Perché reagisce in modo troppo violento ed esplosivo. '''Soluzione esercizio 32:''' Si forma 1,2-dibromo-2-metilpropano. '''Soluzione esercizio 33:''' No. La reazione non è regioselettiva. '''Soluzione esercizio 34:''' Si ottiene trans-1,2-dibromociclopentano. '''Soluzione esercizio 35:''' Quando l’alchene di partenza è achirale e il prodotto genera nuovi centri stereogenici. '''Soluzione:''' Ione bromonio. '''Soluzione esercizio 37:''' Si ottiene 2,3-dibromopentano. '''Soluzione esercizio 38:''' Dal lato opposto rispetto al bromo ponte → attacco backside. '''Soluzione esercizio 39:''' È una addizione elettrofila. '''Soluzione esercizio 40:''' Fase 1: Il doppio legame attacca Br₂ formando uno ione bromonio. Fase 2: Br⁻ apre l’anello con attacco anti. '''Soluzione esercizio 41:''' Si ottiene 2-bromoetanolo (una bromoidrina). '''Soluzione esercizio 42:''' Si forma 1-cloro-2-propanolo. L’OH va sul carbonio più sostituito (Markovnikov). '''Soluzione esercizio 43:''' È una addizione elettrofila. '''Soluzione esercizio 44:''' Uno ione bromonio ciclico. '''Soluzione esercizio 45:''' L’acqua (H₂O) agisce da nucleofilo. '''Soluzione esercizio 46:''' Sì. Il gruppo OH si lega al carbonio più sostituito. '''Soluzione esercizio 47:''' Si ottiene 1-bromo-2-metil-2-propanolo. '''Soluzione esercizio 48:''' È prevalentemente anti-addizione. '''Soluzione esercizio 49:''' Si forma trans-2-bromocicloesanolo. '''Soluzione esercizio 50:''' Perché è presente in concentrazione maggiore ed è un nucleofilo più efficace nel solvente acquoso. '''Soluzione esercizio 51:''' Una reazione acido-base: l’ossigeno perde un protone formando l’aloidrina neutra. '''Soluzione esercizio 52:''' Si ottiene 3-cloro-2-butanolo. '''Soluzione esercizio 53:''' Il bromo agisce come elettrofilo (Brδ+). '''Soluzione''' '''esercizio 54:''' * F₂ reagisce troppo violentemente. * I₂ reagisce troppo lentamente. '''Soluzione esercizio 55:''' Un composto che contiene: un gruppo OH e un alogeno su carboni adiacenti. '''Soluzione esercizio 56:''' Si ottiene 1-bromo-2-propanolo. '''Soluzione esercizio 57:''' Si chiamano aloidrine. '''Soluzione esercizio 58:''' Perché durante il meccanismo si sviluppa maggiore carattere carbocationico sul carbonio più stabile. '''Soluzione esercizio 59:''' È una addizione anti-Markovnikov per il bromo. '''Soluzione esercizio 60:''' Fase 1: L’alchene polarizza Br₂ e forma uno ione bromonio. Fase 2: L’acqua attacca il carbonio più sostituito dal lato opposto. Fase 3: Perdita di H⁺ e formazione dell’aloidrina. '''ESERCIZI SULL'IDRATAZIONE''' '''esercizio 1:''' Il but-1-ene si protona al C1 generando un carbocatione secondario al C2. Questo può subire un riarrangiamento 1,2-H (migrazione di idruro dal C3 al C2) con formazione di un carbocatione terziario al C2 del 2-metilbutano. Il carbocatione terziario, più stabile, viene poi catturato dall'acqua dando 2-metilbutan-2-olo. Si osserva quindi una miscela di prodotti: quello di Markovnikov diretto e quello derivante dal riarrangiamento. '''esercizio 2:''' propan-2-olo '''esercizio 3:''' addizione elettrofila '''esercizio 4:''' H₂SO₄/H₂O → propan-2-olo (riarrangiamenti possibili). Ossimercuriazione → propan-2-olo (no riarrangiamenti). Idroborazione → propan-1-olo. Acido peracetico → Propan-1,2-olo (apertura epossido . '''esercizio 5:''' Il prodotto atteso è il 3-metilbutan-2-olo, ottenuto per protonazione del C1 e attacco dell'acqua sul carbocatione secondario al C2, tuttavia si osserva anche una quota significativa di 2-metilbutan-2-olo. Nel primo passo, l'H⁺ si addiziona al C1 generando un carbocatione secondario al C2. Questo intermedio può subire una migrazione 1,2-H: l'idrogeno sul C3 adiacente migra con la sua coppia di elettroni dal C3 al C2⁺, convertendo il carbocatione secondario in un carbocatione terziario al C3, energeticamente più stabile grazie alla maggiore iperconiugazione dei tre sostituenti alchilici. L'acqua attacca il carbocatione terziario e, dopo deprotonazione, fornisce il 2-metilbutan-2-olo . Si osserva una miscela perché i due eventi sono in competizione cinetica. '''esercizio 6:''' 2-metil-2-propanolo '''esercizio 7:''' 2-metilpropan-2-olo '''esercizio 8:''' butan-2-olo '''esercizio 9:''' idroborazione-ossidazione '''esercizio 10:''' Propan-2-olo '''esercizio 11:''' Hg(OAc)₂ / H₂O '''ESERCIZI SULL'IDROGENAZIONE''' '''esercizio 1:''' Il propano. '''esercizio 2: -''' Il doppio legame C=C del cis-2-butene si rompe. - I due atomi di idrogeno si aggiungono ai carboni del doppio legame. - Serve un catalizzatore metallico come Pd, Pt o Ni. - Il prodotto finale è '''butano'''. Poiché il prodotto è un alcano senza doppio legame, non esiste più distinzione cis/trans nel prodotto finale. '''esercizio 3:''' 2-metilpropano (isobutano) '''esercizio 4:''' Cicloesene → cicloesano. But-2-ene → butano. Propene → propano. Etene → etano. '''esercizio 5:''' Propano '''esercizio 6:''' La differenza di circa 150 kJ/mol tra il valore atteso per un cicloesatriene privo di delocalizzazione (−360 kJ/mol) e quello misurato per il benzene (−208 kJ/mol) è l'energia di risonanza (o di delocalizzazione) del benzene. Il benzene è molto più stabile di tre doppi legami isolati grazie alla delocalizzazione degli elettroni π nell'anello aromatico. Questa stabilità extra spiega perché il benzene rilascia meno calore durante l'idrogenazione e richiede condizioni più drastiche. '''esercizio 7:''' Propene → -30,3 kcal/mol. 3-metil-1-butene → -29,9 kcal/mol. 2-metil-1-butene → -28,5 kcal/mol. 2-metil-2-butene → -26,9 kcal/mol '''esercizio 8:''' '''esercizio 9:''' 2-propanolo. '''esercizio 10:''' etanolo '''esercizio 11:''' 1) Falso: gli alcheni più sostituiti sono più stabili (iperconiugazione), quindi il loro calore di idrogenazione è meno negativo. Etene: −137 kJ/mol; 2-metilbut-2-ene: −112 kJ/mol. 2) Vero 3) Falso: il benzene richiede condizioni molto più drastiche (temperatura e pressione elevate, catalizzatori come Ni o Rh) rispetto agli alcheni, a causa della stabilizzazione aromatica. == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/8-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-8 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche cl4vdoha1poav8ghh08sxx6ph0j8t9s 0 59256 498571 498531 2026-05-28T19:25:16Z AGeremia 10319 /* Esercizi sull'idrogenazione (riduzione) degli alchini */ 498571 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla nomenclatura degli alchini == === Assegna il nome IUPAC alle seguenti molecole === ==== Esercizio 1 ==== [[File:5-cloro-4,4-dimetilpent-2-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 2 ==== [[File:2-bromo-3,7-dimetilnon-4-ino.png|centro|senza_cornice|272x272px]] ==== Esercizio 3 ==== [[File:3,8-dimetil-7-propilundec-5-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 4 ==== [[File:1-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|266x266px]] ==== Esercizio 5 ==== [[File:2-bromo-3-etil-4-metil-1-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|275x275px]] ==== Esercizio 6 ==== [[File:2-bromo-4,5-dimetil-2-epten-6-ino.png|centro|senza_cornice|279x279px]] ==== Esercizio 7 ==== [[File:4-etil-2-eptino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 8 ==== [[File:Ciclodecino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 9 ==== [[File:3,6-dietil-4-ottino.png|centro|senza_cornice|274x274px]] ==== Esercizio 10 ==== [[File:3-metilbutino.png|centro|senza_cornice]] === Disegna la struttura delle seguenti molecole === '''11.''' 7-decen-2-ino '''12.''' 1-butino '''13.''' esen-3-ino '''14.''' 3-ottino '''15.''' 3-metil-1-esino '''16.''' ''(trans)'' 3-epten-1-ino '''17.''' 3-metil-1-butino '''18.''' 4,4-dimetil-2-pentino '''19.''' 4-metil-2-pentino '''20.''' 1-etinil-2-metilciclopentano. == Soluzioni agli esercizi == === Assegna il nome IUPAC alle seguenti molecole === ==== Esercizio 1 ==== 5-cloro-4,4-dimetilpent-2-ino ==== Esercizio 2 ==== 2-bromo-3,7-dimetilnon-4-ino ==== Esercizio 3 ==== 3,8-dimetil-7-propilundec-5-ino ==== Esercizio 4 ==== ept-1-en-6-ino ==== Esercizio 5 ==== 2-bromo-3-etil-4-metilept-1-en-6-ino ==== Esercizio 6 ==== 2-bromo-4,5-dimetilept-2-en-6-ino ==== Esercizio 7 ==== 4-etil-2-eptino ==== Esercizio 8 ==== ciclodecino ==== Esercizio 9 ==== 3,6-dietil-4-ottino ==== Esercizio 10 ==== 3-metilbutino === Disegna la struttura delle seguenti molecole === ==== Esercizio 11 ==== [[File:7-decen-2-ino.png|centro|senza_cornice|314x314px]] ==== Esercizio 12 ==== [[File:1-butino.png|centro|senza_cornice|224x224px]] ==== Esercizio 13 ==== [[File:Esen-3-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 14 ==== [[File:3-ottino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 15 ==== [[File:3-metil-1-esino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 16 ==== [[File:(Trans) 3-epten-1-ino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 17 ==== [[File:3-metil-1-butino.png|centro|senza_cornice]] ==== Esercizio 18 ==== [[File:4,4-dimetil-2-pentino.png|centro|senza_cornice|308x308px]] ==== Esercizio 19 ==== [[File:4-metil-2-pentino.png|centro|senza_cornice|273x273px]] ==== Esercizio 20 ==== [[File:1-etinil-2-metilciclopentano.png|centro|senza_cornice]] == Esercizi sulle reazioni di alogenazione e idroalogenazione degli alchini == ==== Esercizio 1 ==== Indica il prodotto della seguente reazione [[File:Esercizio alchini.png|centro|senza_cornice|308x308px]] ==== Esercizio 2 ==== Quale dei seguenti composti si forma dalla reazione del pent-1-ino con un eccesso di Cl2? * a) 1,2-dicloropentano * b) 1,1,2,2-tetracloropentano * c) 2,2,3,3-tetracloropentano * d) 1,2,2,3-tetracloropentano '''Esercizio 3''' Completa le seguenti reazioni e scrivi i nomi IUPAC dei due prodotti ottenuti: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE.png|centro|senza_cornice|338x338px]] ==== Esercizio 4 ==== Qual è il prodotto principale della reazione tra il 2-butino e un equivalente molare di HCl? * a) 2,2-diclorobutano * b) (''Z'')-2-clorobut-2-ene * c) (''E'')-2-clorobut-2-ene * d) 1-clorobut-2-ene ==== Esercizio 5 ==== Qual è il prodotto finale della reazione di un alchino terminale, come il propino, con un eccesso di bromo ''Br''2? * a) 2,2-dibromopropano * b) 1,1-dibromopropano * c) 1,2-dibromopropene * d) 1,1,2,2-tetrabromopropano ==== Esercizio 6 ==== Se fai reagire il propino (''CH''3​−''C''≡''CH'') con due equivalenti molari di bromo (''Br''2​), quanti legami pi-greco (''π'') dell'alchino vengono consumati in totale? Scrivi la formula di struttura del prodotto finale stazionario che si ottiene al termine del processo. ==== Esercizio 7 ==== Un chimico scrive la seguente equazione sul quaderno di laboratorio: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-2.png|centro|senza_cornice|658x658px]] Analizza l'equazione, individua i due errori commessi (uno riguarda il tipo di legame carbonio-carbonio e uno la stereochimica degli alogeni) e riscrivi la reazione corretta. ==== Esercizio 8 ==== Completa la seguente reazione indicando la geometria (''E'' oppure ''Z'') del prodotto: ''CH''3​−''C''≡''C''−''CH''3​+1 ''Br''2​→ ? ==== Esercizio 9 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-4.2.png|centro|senza_cornice|299x299px]] ==== Esercizio 10 ==== Spiega (brevemente): cosa succede al legame π durante l’addizione di Br₂? ==== Esercizio 11 ==== L’idroalogenazione produce sempre un solo prodotto possibile. * vero * falso ==== Esercizio 12 ==== L’idrogeno si lega sempre al carbonio più ricco di idrogeni. * vero * falso ==== Esercizio 13 ==== Completa la reazione: ''HC''≡''CH''+''Br''2​→ ==== Esercizio 14 ==== Completa la seguente reazione indicando il prodotto principale: ''HC''≡''CH''+''HCl''→ Indica anche: * il tipo di prodotto ottenuto * se il triplo legame rimane o scompare ==== Esercizio 15 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI IDROALOGENAZIONE-2.png|centro|senza_cornice|358x358px]] ==== Esercizio 16 ==== Scrivi il nome IUPAC del prodotto principale ottenuto dalla reazione del 1-butino con 2 equivalenti HCl. Mostra i passaggi intermedi. ==== Esercizio 17 ==== Applica la regola di Markovnikov e completa la reazione tra propino e un equivalente di acido bromidrico: CH3​–C≡CH+1 HBr→… ==== Esercizio 18 ==== Scrivi il prodotto principale della seguente reazione secondo la regola di Markovnikov. ''CH''3​−''CH''2​−''C''≡''CH''+''HCl''→ ? ==== Esercizio 19 ==== Scrivi il prodotto finale dell’addizione di 2 moli di HBr al propino. CH₃–C≡CH + 2 HBr → ? Spiega quale regola si applica. ==== Esercizio 20 ==== Disegna la struttura e indica il nome IUPAC del prodotto formato in ciascuna delle reazioni elencate di seguito: [[File:ESERCIZI IDROALOGENAZIONE-3.png|centro|senza_cornice|327x327px]] == Soluzioni reazioni di alogenazione e idroalogenazione == ==== Esercizio 1 ==== '''d)''' (1,1,2,2-tetrabromopropano) ==== Esercizio 2 ==== '''b) 1,1,2,2-tetracloropentano''' ==== Esercizio 3 ==== '''''a)''' CH''3−''C''≡''C''−''CH''3+1''Cl''2→ '''(E)-2,3-diclorobut-2-ene''' '''b)''' ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+2''Br''2→ '''1,1,2,2-tetrabromobutano''' ==== Esercizio 4 ==== '''b) (Z)-2-clorobut-2-ene''' ==== Esercizio 5 ==== '''d) 1,1,2,2-tetrabromopropano''' ==== Esercizio 6 ==== * Nella reazione vengono consumati in totale 2 legami pi-greco (π). * Formula di struttura del prodotto finale (1,1,2,2-tetrabromopropano): ''CHBr''2−''CBr''2−''CH''3 ==== Esercizio 7 ==== * '''Errori identificati nel meccanismo grafico proposto:''' *# ''Errore di legame:'' Il prodotto presenta un legame singolo C-C (CHBr-CHBr), ma l'aggiunta di solo 1 equivalente di Br2 deve consumare un solo legame π, lasciando un '''doppio legame''' ($=C). *# ''Errore di stereochimica:'' L'alogenazione di un alchino con 1 equivalente avviene tramite ''anti''-addizione. I due atomi di bromo devono trovarsi in posizione '''trans (E)''' l'uno rispetto all'altro. * '''Equazione corretta:''' ''CH''3−''C''≡''C''−''CH''3+1''Br''2→(E)-2,3-dibromobut-2-ene ==== Esercizio 8 ==== * '''Prodotto:''' ''(E)''-2,3-dibromobut-2-ene * L'addizione di ''Br''2​ è di tipo '''anti''' (i due atomi di bromo si attaccano da lati opposti). Per questo motivo, nel prodotto finale i due atomi di bromo si trovano in posizione ''trans'' (isomero '''''E'''''). ==== Esercizio 9 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-11.png|centro|senza_cornice|478x478px]] ==== '''Esercizio 10''' ==== * Durante l'addizione di Br2, gli elettroni del legame π dell'alchino attaccano la molecola di bromo, provocando l'espulsione di unost ione bromuro e la formazione di un intermedio ciclico a tre termini altamente instabile denominato '''ione bromonio ciclico'''. ==== Esercizio 11 ==== * '''Risposta:''' '''Falso''' ==== Esercizio 12 ==== * '''Risposta:''' '''Vero''' ==== Esercizio 13 ==== * Equazione: ''HC''≡''CH''+1''Br''2→ '''(E)-1,2-dibromoetene''' ==== Esercizio 14 ==== * Reazione: ''HC''≡''CH''+''HCl'''''→'''CH2=CH−Cl * Il tipo di prodotto ottenuto è un aloalchene (o alogenuro vinilico). Il triplo legame iniziale scompare per diventare un doppio legame. ==== Esercizio 15 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-9.png|centro|senza_cornice|487x487px]] ==== Esercizio 16 ==== * '''Nome IUPAC finale:''' 2,2-diclorobutano * '''Passaggi della reazione:''' *# ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+1''HCl''→''CH''3−''Cl''2−''CCl''=''CH''2 (2-clorobut-1-ene) *# ''CH''3−''CH''2−''CCl''=''CH''2+1''HCl''→''CH''3−''CH''2−''CCl''2−''CH''3 (2,2-diclorobutano) ==== Esercizio 17 ==== * Equazione completa: ''CH''3−''C''≡''CH''+1''HBr''→'''CH3'''−'''CBr'''='''CH2''' * '''Nome IUPAC:''' 2-bromopropene ==== Esercizio 18 ==== * Prodotto principale: '''2-clorobut-1-ene''' * Equazione completa: ''CH''3−''CH''2−''C''≡''CH''+''HCl''→'''CH3'''−'''CH2'''−'''CCl'''='''CH2''' ==== Esercizio 19 ==== * Prodotto finale: '''2,2-dibromopropano''' (''CH''3−''CBr''2−''CH''3) * '''Regola applicata:''' Si applica la '''regola di Markovnikov'''. In entrambe le addizioni successive, l'idrogeno si lega al carbonio terminale (meno sostituito, C-1) per permettere la formazione del carbocatione intermedio più stabile sul carbonio interno (C-2), stabilizzato anche per risonanza dall'alogeno nella seconda fase. ==== Esercizio 20 ==== [[File:ESERCIZI ALOGENAZIONE-10.png|centro|senza_cornice|392x392px]] == Esercizi sull'idratazione degli alchini == ==== Esercizio 1 ==== Completa le seguenti equazioni di reazione scrivendo il prodotto organico ottenuto: : a) CH≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : b) CH₃–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : c) CH₃–C≡C–CH₃ + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → : d) CH₃CH₂–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → ==== Esercizio 2 ==== [[File:1-pentino, Esercizio 2 Idratazione.png|centro|137x137px]] Scrivi il nome IUPAC del prodotto che si ottiene dall’idratazione acida dell’alchino rappresentato. ==== Esercizio 3 ==== Spiega perché l’idratazione dell’acetilene (CH≡CH) produce acetaldeide e non un chetone, mentre l’idratazione del propino (CH₃–C≡CH) produce un chetone. ==== Esercizio 4 ==== Dall’idratazione acida del propino, l’atomo di ossigeno si lega al carbonio interno (C-2) o al carbonio terminale (C-1)? Rispondi applicando in modo diretto la regola di Markovnikov. ==== Esercizio 5 ==== Durante la reazione di idratazione del propino, prima di ottenere il chetone finale, si forma un intermedio instabile che contiene contemporaneamente un doppio legame (C=C) e un gruppo ossidrile (–OH). Come si chiama questa specifica classe di composti? Scrivi la sua formula di struttura. ==== Esercizio 6 ==== Spiega che cos’è la tautomeria cheto-enolica e perché è indispensabile per comprendere il prodotto finale dell’idratazione degli alchini. ==== Esercizio 7 ==== [[File:2-pentanone, Esercizio 7 Chimica organica.png|centro|216x216px]] Risali all’alchino o agli alchini di partenza che potrebbero dare il composto carbonilico rappresentato per idratazione acida (H₂SO₄/HgSO₄, H₂O). Indica le condizioni di reazione. ==== Esercizio 8 ==== Nella seguente equazione è stato commesso un errore. Individua l’errore, spiega perché è sbagliato e scrivi l’equazione corretta: : CH₃–C≡CH + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → CH₃–CH₂–CHO ==== Esercizio 9 ==== Per far avvenire l’idratazione di un alchino non basta usare l’acqua, ma è necessario aggiungere l’acido solforico (H₂SO₄) e il solfato mercurico (HgSO₄). Spiega brevemente qual è la funzione chimica di queste due sostanze all’interno della reazione. ==== Esercizio 10 ==== [[File:3-esino, Esercizio 10 Chimica organica.png|centro|175x175px]] Spiega perché dall’idratazione acida dell’alchino rappresentato si ottiene un unico prodotto, e scrivi la sua formula di struttura. ==== Esercizio 11 ==== Uno studente afferma: «Dall’idratazione di qualsiasi alchino si ottiene sempre e solo un chetone». Sei d’accordo? Argomenta la risposta portando almeno due esempi a supporto della tua posizione. ==== Esercizio 12 ==== Indica, per ciascuno dei seguenti alchini, se il prodotto di idratazione acida è un’aldeide o un chetone, e motiva la risposta in base alla struttura dell’alchino: : a) 1-butino : b) 2-butino : c) 1-pentino : d) 2-pentino ==== Esercizio 13 ==== Spiega perché la forma enolica che si forma come intermedio nell’idratazione degli alchini è termodinamicamente meno stabile della corrispondente forma chetonica. ==== Esercizio 14 ==== [[File:Prop-1-en-2-olo.png|centro|135x135px]] Identifica la specie chimica rappresentata nell’immagine e descrivi il ruolo che svolge nel meccanismo di idratazione dell’alchino. ==== Esercizio 15 ==== Un chimico vuole sintetizzare il butanone (CH₃–CO–CH₂–CH₃) a partire da un alchino. Quale alchino deve scegliere come reagente di partenza? Descrivi le condizioni di reazione necessarie. ==== Esercizio 16 ==== Spiega, con riferimento alla regola di Markovnikov, perché nell’idratazione di un alchino terminale il gruppo ossidrile (–OH) si lega preferenzialmente al carbonio interno del triplo legame e non a quello terminale. ==== Esercizio 17 ==== Nella seguente equazione è stato commesso un errore. Individua l’errore, spiega perché è sbagliato e scrivi l’equazione corretta: : CH₃–C≡C–CH₃ + H₂O → (H₂SO₄/HgSO₄) → CH₃–CH(OH)–CH=CH₂ ==== Esercizio 18 ==== [[File:1-butyne, 2-butyne.png|centro|253x253px]] Confronta i prodotti di idratazione acida dei due alchini rappresentati. Spiega le analogie e le differenze nei prodotti ottenuti. ==== Esercizio 19 ==== Prevedi quanti prodotti di idratazione acida distinti si possono ottenere da ciascuno dei seguenti alchini, e scrivi le loro formule di struttura: : a) 2-butino : b) 2-pentino : c) 3-esino : d) 4-ottino ==== Esercizio 20 ==== Quando si esegue l’idratazione acida di un qualsiasi alchino terminale (con più di due atomi di carbonio), il gruppo carbonilico (C=O) del chetone finale si forma sempre sul carbonio interno in posizione 2 della catena e mai sul carbonio terminale in posizione 1. Spiega il motivo di questa selettività. ====== Esercizio 21 ====== Disegna la struttura del prodotto principale che si forma quando il '''1-esino''' viene trattato con H₂O / H₂SO₄ in presenza di HgSO₄. [[File:1-esino.png|centro|senza_cornice|181x181px]] === Soluzioni === ==== Esercizio 1 ==== * a) <chem>CH#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CHO</chem> ''(acetaldeide o etanale)'' * b) <chem>CH3-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH3</chem> ''(acetone o propanone)'' * c) <chem>CH3-C#C-CH3 + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH2-CH3</chem> ''(butanone)'' * d) <chem>CH3CH2-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CH2-CO-CH3</chem> ''(butanone)'' ==== Esercizio 2 ==== Il nome IUPAC del prodotto ottenuto dall'idratazione del 1-pentino è pentan-2-one. L'idratazione acida segue la regola di Markovnikov: l'ossigeno si lega al carbonio interno C-2, generando un metilchetone. ==== Esercizio 3 ==== L'acetilene (etino) possiede solo due atomi di carbonio (<chem>CH#CH</chem>). Quando l'acqua si addiziona al triplo legame, l'intermedio enolico che si forma è l'etanolo (<chem>CH2=CH-OH</chem>). La successiva tautomeria sposta l'idrogeno su un carbonio e l'ossigeno sull'altro, portando necessariamente a un gruppo carbonilico terminale (<chem>-CHO</chem>), cioè all'acetaldeide (un'aldeide). Nel propino (<chem>CH3-C#CH</chem>), il triplo legame coinvolge un carbonio terminale e uno interno; la regola di Markovnikov impone che l'ossigeno si leghi al carbonio interno (C-2), generando un gruppo carbonilico affiancato da due atomi di carbonio (<chem>C-CO-C</chem>), che definisce la struttura di un chetone (il propanone). ==== Esercizio 4 ==== L'atomo di ossigeno si lega al carbonio interno (C-2). Secondo la regola di Markovnikov, in una reazione di addizione elettrofila l'idrogeno dell'acqua si addiziona al carbonio del triplo legame che lega già il maggior numero di idrogeni (il carbonio terminale C-1, che ne ha uno), mentre il gruppo ossidrile <chem>-OH</chem> (e di conseguenza l'atomo di ossigeno finale) si lega al carbonio più sostituito (il carbonio interno C-2, che non ha idrogeni). ==== Esercizio 5 ==== Questa specifica classe di composti prende il nome di enolo (dall'unione di ''-en'' per il doppio legame e ''-olo'' per il gruppo alcolico). La formula di struttura dell'intermedio enolico del propino è il prop-1-en-2-olo: :<chem>CH2=C(OH)-CH3</chem> ==== Esercizio 6 ==== La tautomeria cheto-enolica è una forma particolare di isomeria di struttura (nello specifico, una tautomeria) in cui un enolo e un chetone (o aldeide) si interconvertono rapidamente l'uno nell'altro mediante lo spostamento di un atomo di idrogeno (un protone) e di un doppio legame. È indispensabile per comprendere il prodotto finale perché l'idratazione diretta del triplo legame produce inizialmente un enolo, il quale è un composto altamente instabile. Senza la tautomeria, che riarrangia la molecola nella sua forma carbonilica stabile (<chem>C=O</chem>), non si potrebbe spiegare perché il prodotto isolato al termine della reazione sia un chetone o un'aldeide e non un alcol insaturo. ==== Esercizio 7 ==== Gli alchini di partenza che possono dare il pentan-2-one (<chem>CH3-CO-CH2-CH2-CH3</chem>) sono due: # 1-pentino (<chem>CH3-CH2-CH2-C#CH</chem>) - per addizione secondo Markovnikov sul C-2. # 2-pentino (<chem>CH3-CH2-C#C-CH3</chem>) - alchino asimmetrico che per idratazione fornisce una miscela di pentan-2-one e pentan-3-one. * Condizioni di reazione: Acqua (<chem>H2O</chem>), in presenza di acido solforico (<chem>H2SO4</chem>) come catalizzatore acido e solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>) come co-catalizzatore. ==== Esercizio 8 ==== * L'errore: Il prodotto scritto nell'equazione è un'aldeide (il propanale, <chem>CH3-CH2-CHO</chem>). * Perché è sbagliato: L'idratazione del propino è una reazione regioselettiva che segue la regola di Markovnikov. L'ossigeno deve legarsi al carbonio interno (C-2) e non a quello terminale (C-1). Di conseguenza, si deve ottenere un chetone (l'acetone) e non un'aldeide. * Equazione corretta: :<chem>CH3-C#CH + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH3</chem> ==== Esercizio 9 ==== * Acido solforico (<chem>H2SO4</chem>): Fornisce gli ioni idrogeno (<chem>H+</chem>) necessari per iniziare l'addizione elettrofila, fungendo da catalizzatore acido. * Solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>): Lo ione mercurico (<chem>Hg^2+</chem>) agisce come un potente catalizzatore coordinandosi con gli elettroni <chem>\pi</chem> del triplo legame dell'alchino. Questo rende il triplo legame molto più elettrofilo e suscettibile all'attacco nucleofilo da parte dell'acqua, velocizzando una reazione che altrimenti sarebbe estremamente lenta (poiché i carbocationi vinilici intermedi sono molto instabili). ==== Esercizio 10 ==== Si ottiene un unico prodotto perché il 3-esino è un alchino interno perfettamente simmetrico. Entrambi i carboni del triplo legame (C-3 e C-4) hanno lo stesso grado di sostituzione e sono chimicamente equivalenti. Che l'ossigeno si leghi al C-3 o al C-4, la molecola risultante, numerata secondo le regole IUPAC a partire dall'estremità più vicina al gruppo carbonilico, è sempre la stessa. * Formula di struttura del prodotto (esan-3-one): :<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH2-CH3</chem> ==== Esercizio 11 ==== No, non si è d'accordo. L'affermazione dello studente è errata poiché esiste un'eccezione fondamentale nella reazione di idratazione acida, oltre alla possibilità di usare reazioni diverse per gli alchini terminali. * Esempio 1 (Idratazione acida dell'acetilene): L'idratazione in condizioni acide dell'acetilene (<chem>CH#CH</chem>) produce l'acetaldeide (un'aldeide) e non un chetone, poiché la molecola ha solo due atomi di carbonio. * Esempio 2 (Idroborazione-ossidazione): Se si cambia la metodica di idratazione utilizzando l'idroborazione-ossidazione (condizioni anti-Markovnikov) su un qualsiasi alchino terminale, come il propino, si ottiene sistematicamente un'aldeide (in questo caso, il propanale). ==== Esercizio 12 ==== * a) 1-butino: Chetone (butanone). È un alchino terminale; secondo la regola di Markovnikov l'ossigeno si lega al C-2 interno. * b) 2-butino: Chetone (butanone). È un alchino interno simmetrico; l'attacco su uno dei due carboni interni genera il gruppo carbonilico in mezzo alla catena. * c) 1-pentino: Chetone (pentan-2-one). È un alchino terminale; l'ossigeno si posiziona sul carbonio interno più sostituito (C-2). * d) 2-pentino: Chetone (miscela di pentan-2-one e pentan-3-one). È un alchino interno; l'ossigeno si lega a uno dei due carboni interni del triplo legame, generando in ogni caso strutture chetoniche. ==== Esercizio 13 ==== La forma chetonica è termodinamicamente favorita ed è nettamente più stabile rispetto alla forma enolica principalmente a causa delle energie dei legami coinvolti. Il legame doppio carbonio-ossigeno (<chem>C=O</chem>) del chetone è un legame estremamente forte e stabile, la cui energia di legame è nettamente superiore rispetto alla combinazione di un doppio legame carbonio-carbonio (<chem>C=C</chem>) e un legame singolo carbonio-ossigeno (<chem>C-O</chem>) presenti nell'enolo. Il sistema evolve spontaneamente verso la configurazione a minore contenuto energetico. ==== Esercizio 14 ==== * Se l'immagine mostra un carbocatione vinilico (<chem>R-C^+=CH2</chem>): Si tratta dell'intermedio elettrofilo altamente instabile che si forma nella prima tappa dopo l'attacco del protone <chem>H+</chem>. Il suo ruolo è quello di subire l'attacco nucleofilo da parte dell'acqua per formare il legame carbonio-ossigeno. * Se l'immagine mostra un enolo (<chem>R-C(OH)=CH2</chem>): Si tratta dell'intermedio neutro. Svolge il ruolo di precursore diretto del prodotto finale: attraverso la tautomeria cheto-enolica si converte nel rispettivo isomero carbonilico stabile. ==== Esercizio 15 ==== * Alchino di partenza: Il chimico può scegliere indifferentemente il 1-butino (<chem>CH3-CH2-C#CH</chem>) oppure il 2-butino (<chem>CH3-C#C-CH3</chem>). In entrambi i casi, l'idratazione acida guiderà la formazione del gruppo <chem>C=O</chem> sul secondo carbonio della catena a 4 atomi, producendo butanone puro. * Condizioni di reazione: Trattamento dell'alchino con acqua (<chem>H2O</chem>), acido solforico (<chem>H2SO4</chem>) e solfato mercurico (<chem>HgSO4</chem>) a caldo. ==== Esercizio 16 ==== Nell'idratazione acida, il primo stadio prevede l'addizione di un protone (<chem>H+</chem>) al triplo legame per generare un carbocatione. Se il protone si lega al carbonio terminale, si forma un carbocatione vinilico secondario sul carbonio interno (<chem>R-C^+=CH2</chem>). Se il protone si legasse al carbonio interno, si formerebbe un carbocatione vinilico primario sul carbonio terminale (<chem>R-CH=CH^+</chem>). I carbocationi secondari sono molto più stabili di quelli primari grazie all'effetto induttivo stabilizzante dei gruppi alchilici circostanti. Di conseguenza, l'acqua (nucleofilo) attacca esclusivamente il carbonio interno più stabile, legando lì il gruppo <chem>-OH</chem>. ==== Esercizio 17 ==== * L'errore: Il prodotto riportato è un alcol insaturo (un enolo, nello specifico il but-3-en-2-olo modificato). * Perché è sbagliato: Gli enoli sono intermedi instabili che non possono essere il prodotto finale della reazione. Non appena l'acqua si addiziona al 2-butino si forma il but-2-en-2-olo, il quale subisce immediatamente una tautomeria cheto-enolica per trasformarsi nel chetone saturo isomero più stabile (il butanone). * Equazione corretta: :<chem>CH3-C#C-CH3 + H2O ->[H2SO4/HgSO4] CH3-CO-CH2-CH3</chem> ==== Esercizio 18 ==== * Analogie: Entrambi gli alchini, pur avendo il triplo legame in posizioni diverse della catena, producono per idratazione acida lo stesso identico ed unico prodotto finale, ovvero il butanone (<chem>CH3-CO-CH2-CH3</chem>). * Differenze nel percorso: Nel 1-butino la reazione è regioselettiva guidata dalla regola di Markovnikov (l'ossigeno va sul C-2 perché è il carbonio interno più sostituito). Nel 2-butino la reazione non necessita di regioselettività poiché la molecola è simmetrica: l'attacco sul C-2 o sul C-3 produce strutturalmente la stessa identica molecola. ==== Esercizio 19 ==== * a) 2-butino: 1 prodotto (<chem>CH3-CO-CH2-CH3</chem>, butanone). È simmetrico. * b) 2-pentino: 2 prodotti distinti in miscela. Essendo un alchino interno asimmetrico, l'idratazione produce sia il ''pentan-2-one'' (<chem>CH3-CO-CH2-CH2-CH3</chem>) sia il ''pentan-3-one'' (<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH3</chem>). * c) 3-esino: 1 prodotto (<chem>CH3-CH2-CO-CH2-CH2-CH3</chem>, esan-3-one). È simmetrico. * d) 4-ottino: 1 prodotto (<chem>CH3-CH2-CH2-CO-CH2-CH2-CH2-CH3</chem>, ottan-4-one). È simmetrico. ==== Esercizio 20 ==== Questa selettività è determinata dalla stabilità dell'intermedio di reazione. L'idratazione acida inizia con il legame di un protone (<chem>H+</chem>) al triplo legame. Per minimizzare l'energia, il protone si fissa sul carbonio terminale (C-1) in modo da lasciare la carica positiva sul carbonio interno (C-2), generando un carbocatione vinilico secondario, nettamente più stabile di un eventuale carbocatione primario sul C-1. Quando l'acqua attacca questo carbocatione, introduce il gruppo ossidrilico (<chem>-OH</chem>) esclusivamente sul carbonio 2. Poiché la tautomeria cheto-enolica converte il legame <chem>C-OH</chem> in un legame carbonilico <chem>C=O</chem> mantenendo l'ossigeno sullo stesso atomo di carbonio, il gruppo funzionale del chetone si ritroverà bloccato stabilmente in posizione 2. == Esercizi sull'idrogenazione (riduzione) degli alchini == === Esercizio 81 === testo ...[[File:Big red line.jpg|centro]] Parte 1 – Idrogenazione completa degli alchini ad alcani Esercizio 1 Scrivi il prodotto della reazione tra etino e H₂/Pd. Soluzione: CH≡CH + 2 H₂ → CH₃−CH₃ Prodotto: etano. ⸻ Esercizio 2 Quale reagente permette di trasformare il 2-butino in butano? Soluzione: H₂ in presenza di Pd, Pt oppure Ni. ⸻ Esercizio 3 Quante moli di H₂ servono per idrogenare completamente un alchino? Soluzione: 2 equivalenti di H₂. ⸻ Esercizio 4 Completa la reazione: CH₃−C≡C−CH₃ + H₂/Pt → Soluzione: CH₃−CH₂−CH₂−CH₃ [[File:2-butyne reacts with 2 H2 and Pt% 2CPd or Ni to give butane.svg|2-butyne_reacts_with_2_H2_and_Pt%_2CPd_or_Ni_to_give_butane]] ⸻ Esercizio 5 Quale alcano si ottiene dall’1-pentino mediante idrogenazione completa? Soluzione: Pentano. ⸻ Esercizio 6 Quale catalizzatore viene spesso disperso su carbone attivo? Soluzione: Pd/C (palladio su carbone). ⸻ Esercizio 7 Perché l’alchene intermedio non viene isolato nell’idrogenazione completa? Soluzione: Perché Pt, Pd e Ni catalizzano rapidamente anche la seconda addizione di H₂. ⸻ Esercizio 8 Trasforma il 3-esino in alcano. Soluzione: CH₃CH₂−C≡C−CH₂CH₃ + 2H₂/Ni → esano. ⸻ Esercizio 9 Quale prodotto si ottiene dall’idrogenazione completa del propino? Soluzione: Propano. ⸻ Esercizio 10 Qual è il ruolo del nichel Raney? Soluzione: Agisce come catalizzatore per l’idrogenazione. ⸻ Parte 2 – Riduzione parziale con catalizzatore di Lindlar Esercizio 11 Quale prodotto si ottiene dal 2-butino con H₂/Lindlar? Soluzione: cis-2-butene. [[File:2-butyne reacts with H2 and Lindlar's catalyst to give cis-2-butene.svg|2-butyne_reacts_with_H2_and_Lindlar's_catalyst_to_give_cis-2-butene]] ⸻ Esercizio 12 Che tipo di addizione avviene con il catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Addizione syn. [[File:Hydrogenation Heterogenic V.1.svg|Hydrogenation_Heterogenic_V.1]] ⸻ Esercizio 13 Quale stereoisomero si ottiene usando Lindlar? Soluzione: L’alchene cis. ⸻ Esercizio 14 Completa: CH₃−C≡C−CH₃ + H₂/Lindlar → Soluzione: cis-CH₃−CH=CH−CH₃ [[File:2-butyne reacts with H2 and Lindlar's catalyst to give cis-2-butene.svg|2-butyne_reacts_with_H2_and_Lindlar's_catalyst_to_give_cis-2-butene]] ⸻ Esercizio 15 Quale reagente impedisce la completa riduzione ad alcano nel catalizzatore di Lindlar? Soluzione: La chinolina. ⸻ Esercizio 16 Qual è il metallo principale del catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Palladio. ⸻ Esercizio 17 Che funzione ha l’acetato di piombo nel catalizzatore di Lindlar? Soluzione: Avvelena il catalizzatore diminuendone l’attività. ⸻ Esercizio 18 Quale prodotto si ottiene dall’1-esino con H₂/Lindlar? Soluzione: 1-esene. ⸻ Esercizio 19 Trasforma il 3-esino in un alchene cis. Soluzione: 3-esino + H₂/Lindlar → cis-3-esene. [[File:Dipoli doppi legami.jpg|Dipoli_doppi_legami]] ⸻ Esercizio 20 Perché gli idrogeni vengono aggiunti dallo stesso lato? Soluzione: Perché la reazione avviene sulla superficie del catalizzatore metallico. ⸻ Parte 3 – Riduzione con Na/NH₃ o Li/NH₃ Esercizio 21 Quale prodotto si ottiene dal 2-butino con Na/NH₃(l)? Soluzione: trans-2-butene. [[File:Alkynes_Lindlar_vs_dissolving-metal.png|alt=Alkynes_Lindlar_vs_dissolving-metal|centro|375x375px]] ⸻ Esercizio 22 Che tipo di addizione avviene nella riduzione con sodio in ammoniaca? Soluzione: Addizione anti. ⸻ Esercizio 23 Quale stereoisomero si forma? Soluzione: L’alchene trans. ⸻ Esercizio 24 Completa: CH₃−C≡C−CH₃ + Na/NH₃ → Soluzione: trans-CH₃−CH=CH−CH₃ [[File:1-butene is less stable than cis-2-butene is less stable than trans-2-butene.svg|1-butene_is_less_stable_than_cis-2-butene_is_less_stable_than_trans-2-butene]] [[File:Alkyne reduction.svg|400px]] ⸻ Esercizio 25 Quale metallo può sostituire il sodio? Soluzione: Litio. ⸻ Esercizio 26 Come si chiama questa reazione? Soluzione: Riduzione con metallo disciolto. ⸻ Esercizio 27 Quale intermedio si forma dopo il primo trasferimento elettronico? Soluzione: Un radicale anionico. [[File:Radical Anion Formation V.1.svg|Radical_Anion_Formation_V.1]] ⸻ Esercizio 28 Da dove proviene il protone nella protonazione? Soluzione: Dall’ammoniaca liquida. ⸻ Esercizio 29 Quale prodotto si ottiene dall’1-pentino con Na/NH₃(l)? Soluzione: 1-pentene. ⸻ Esercizio 30 Perché il prodotto trans è favorito? Soluzione: Per il minore ingombro sterico. ⸻ Parte 4 – Meccanismo e teoria Esercizio 31 Definisci “radicale anionico”. Soluzione: Specie chimica con una carica negativa e un elettrone spaiato. ⸻ Esercizio 32 Quale specie si forma dopo la seconda donazione elettronica? Soluzione: Un anione vinilico. ⸻ Esercizio 33 Qual è l’ibridazione dei carboni in un alchino? Soluzione: sp. ⸻ Esercizio 34 Quale legame π è più debole in un triplo legame? Soluzione: Il secondo legame π. ⸻ Esercizio 35 Perché gli alchini liberano più calore nell’idrogenazione rispetto agli alcheni? Soluzione: Perché sono meno stabili termodinamicamente. [[File:Energy diagram showing relative heats of hydrogenation of trans-2-butene (-27.6 kcal% 3Amol)% 2C cis-2-butene (-28.6 kcal% 3Amol) and 1-butene (-30.3 kcal% 3Amol).svg|400px]] [[File:Butane-energy.jpg|Butane-energy]] ⸻ Esercizio 36 Quale legame è più forte: singolo, doppio o triplo? Soluzione: Triplo > doppio > singolo. ⸻ Esercizio 37 Quanti legami π sono presenti in un triplo legame? Soluzione: Due. ⸻ Esercizio 38 Quale differenza energetica rappresenta la forza del secondo legame π? Soluzione: Circa 54 kcal/mol. ⸻ Esercizio 39 Quale prodotto si ottiene dal 2-pentino con Lindlar? Soluzione: cis-2-pentene. ⸻ Esercizio 40 Quale prodotto si ottiene dal 2-pentino con Na/NH₃(l)? Soluzione: trans-2-pentene == Esempi di fonti == * LibreTexts Chemistry: [https://chem.libretexts.org/Bookshelves/Organic_Chemistry/Organic_Chemistry_(Morsch_et_al.) Organic Chemistry (Morsch et al.)] * Openstax: [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/9-additional-problems esercizi1] - [https://openstax.org/books/organic-chemistry/pages/chapter-9 soluzioni1] * [https://www.chemistrysteps.com/ Chemistry Steps]: alla fine di ogni capitoletto ci sono esercizi a cui ispirarsi (non ci sono le soluzioni) * [https://app.molview.com/ MolView]: per disegnare molecole organiche bri0m2iaeya97hnu2r5b461lny4mhv8 0 59788 498578 490669 2026-05-29T06:40:01Z Anna Chiara Mazzocato 54425 /* Soluzioni agli esercizi */ 498578 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli elettroliti e le soluzioni elettrolitiche == === Esercizio 1 === testo === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... === == Esercizi sulla solubilità == === Esercizio 21 === testo ... ... == Esercizi sulle concentrazioni delle soluzioni == === Esercizio 41 === testo ... ... == Esercizi sulle proprietà colligative == === Esercizio 81 === testo ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 7''': * '''Esercizio 8''': * '''Esercizio 12''': * '''Esercizio''' '''20''': * '''Esercizio 21:''' * '''Esercizio 22:''' *'''Esercizio 23:''' *'''Esercizio 24:''' *'''Esercizio 25:''' *'''Esercizio 26''': * == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico q9nxlgyakuv8f9rity8jawiaaxn032x 498584 498578 2026-05-29T06:51:36Z Anna Chiara Mazzocato 54425 /* esercizi */ 498584 wikitext text/x-wiki {{A}} {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli elettroliti e le soluzioni elettrolitiche == === Esercizio 1 === testo === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === Esercizio 4 === testo === Esercizio 5 === testo === Esercizio 6 === testo === Esercizio 7 === === Esercizio 8 === testo === Esercizio 9 === test === Esercizio 10 === tst === Esercizio 12 === tst == Esercizi sulla solubilità == === Esercizio 21 /13 === testo === Esercizio 14 === === Esercizio 15 === === Esercizio 16 === === Esercizio 17 === === Esercizio 18 === === Esercizio 19 === === Esercizio 20 === === Esercizio 21 === === Esercizio 22 === === Esercizio 23 === === Esercizio 24 === === Esercizio 25 === === Esercizio 26 === == Esercizi sulle concentrazioni delle soluzioni == === Esercizio 41 === testo ... ... == Esercizi sulle proprietà colligative == === Esercizio 81 === testo ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 7''': * '''Esercizio 8''': * '''Esercizio 12''': * '''Esercizio''' '''20''': * '''Esercizio 21:''' * '''Esercizio 22:''' *'''Esercizio 23:''' *'''Esercizio 24:''' *'''Esercizio 25:''' *'''Esercizio 26''': * == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico cz7lwk46jnz2jnoako39w21q230g1a6 0 59789 498579 498399 2026-05-29T06:40:24Z MattiaMaringio 54223 /* Esercizi sul principio di Le Chatelier */ 498579 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla legge dell'equilibrio == === Esercizio 1 === testo === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === ... === == Esercizi sulla previsione delle concentrazioni all'equilibrio == === Esercizio 21 === testo ... ... == Esercizi sul quoziente di reazione == === Esercizio 41 === testo ... ... == Esercizi sul principio di Le Chatelier == === Esercizio 61 === Considera il seguente equilibrio chimico in fase gassosa: N₂​(g)+3H₂​(g) ⇌ 2NH₃​(g) ΔH<0 In un recipiente chiuso all’equilibrio si effettuano le seguenti perturbazioni, una alla volta: # Si aumenta la pressione totale del sistema. # Si aumenta la temperatura. # Si aggiunge una certa quantità di ammoniaca (NH₃). # Si rimuove idrogeno (H₂). # Si aggiunge un catalizzatore. Per ciascun caso, indica: * In quale direzione si sposta l’equilibrio (destra, sinistra, oppure nessuno spostamento). * Se la concentrazione di NH₃ aumenta, diminuisce o resta invariata. === Esercizio 62 === Dato l’equilibrio 2HI(g) ⇄ H₂(g) + I₂(g) se all’equilibrio sono presenti 0.97 moli di HI, 0.18 moli di H₂ e 0.12 moli di I₂ in un recipiente di 10.0 L calcolare: a)      Il valore della costante di equilibrio b)      Il valore delle concentrazioni delle tre specie all’equilibrio dopo l’aggiunta di 0.40 moli di HI === Esercizio 63 === Data la reazione: 2SO₃(g) + CO₂(g) → CS₂(g) + 4O₂(g) (ΔH > 0) determina come si modifica la posizione dell’equilibrio quando: a) aumentano le moli di CO₂ b) aumenta la temperatura c) aumenta il volume d) aumentano le moli di O₂ === Esercizio 64 === Considera la reazione di decomposizione del pentacloruro di fosforo: PCl₅(g) m PCl₃(g) + Cl₂(g) All’equilibrio, la concentrazione di PCl5 è 0,015 mol/L e Kc è uguale a 0,041 mol/L. Calcola la concentrazione di PCl₃ e Cl₂. === Esercizio 65 === Determina quale effetto ha un aumento di temperatura sulla reazione: 2 H₂O(g) → H2(g) + O₂(g) (ΔH = 484 kJ) che ha raggiunto l’equilibrio. === Esercizio 66 === Considera la reazione di sintesi del triossido di zolfo: 2SO₂(g) + O₂(g) → 2SO₃(g) All’equilibrio, le concentrazioni di SO₂ e O₂ sono uguali a 0,005 mol/L e Kc è uguale a 85 (mol/L)^-1. Calcola la concentrazione di SO₃ === Esercizio 67 === Considera il seguente equilibrio gassoso: 2SO₂​(g) + O₂​(g) ⇌ 2SO₃​(g) La reazione diretta è esotermica. 1) Se si aggiunge O₂​ al sistema all’equilibrio, in quale direzione si sposta l’equilibrio? Spiega il motivo. 2) Cosa succede all’equilibrio se il volume del recipiente viene diminuito? 3) Cosa accade se la temperatura aumenta? Spiega considerando che la reazione diretta è esotermica. === Esercizio 68 === Considera la seguente reazione: CO(g) + H₂O(g) ⇌ CO₂(g) + H₂(g) All’equilibrio, l’analisi chimica ha rilevato la presenza di 0,2 mol/L di CO, di 0,5 mol/L di H₂O, di 0,32 mol/L di H₂ e di 0,42 mol/L di CO₂. Calcola la costante di equilibrio Kc. === Esercizio 69 === The synthesis reaction of hydrogen iodide is represented by the following reaction: H₂(g) + I₂(g) ⇌ 2HI(g) At equilibrium, the chemical analysis has detected the presence of 5.28 mol/L of H₂, of 0.12 mol/L of I₂ and of 5.64 mol/L of HI. Calculate the equilibrium constant Kc. === Esercizio 70 === Consider the following equilibrium: H2(g) + Cl2(g) m 2 HCl(g) Determine what happens to the equilibrium after: a) A decrease in H₂ moles. b) An increase in HCl moles. c) An increase in Cl₂ moles. === Esercizio 71 === Considera la seguente reazione '''N₂ (g) +   3H₂ (g)     ⇄     2NH₃(g)            esotermica''' Segnare gli interventi che spostano a destra l’equilibrio, favorendo la formazione di NH_3. Giustificare ciascun punto sulla base della relazione tra  Q  e  Keq 1)    aumento della concentrazione di N₂ 2)    diminuzione concentrazione H₂ 3)    aumento concentrazione NH₃ === Esercizio 72 === In un recipiente chiuso da 5,0 L viene introdotta una miscela gassosa alla temperatura di 450 °C in cui avviene l’equilibrio: N2​(g)+3H2​(g)⇌2NH3​(g) All’equilibrio sono presenti: * 1,0 mol di N2​ * 3,0 mol di H2​ * 2,0 mol di NH3​ Successivamente il sistema subisce le seguenti perturbazioni, una alla volta. ''Domande:'' # Scrivi l’espressione della costante di equilibrio Kc​. # Calcola il valore di Kc​. # Si aggiungono 2,0 mol di H2​. Spiega, secondo il principio di Le Châtelier: #* in quale direzione si sposta l’equilibrio; #* cosa succede alla quantità di ammoniaca. == Esercizi sull'equilibrio di solubilità == === Esercizio 81 === testo ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 61''': *# Aumento della pressione *#* Spostamento: verso destra *#* [NH₃]: aumenta *# Aumento della temperatura *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce *# Aggiunta di NH₃ *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce (rispetto al valore subito dopo l’aggiunta) *# Rimozione di H₂ *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce *# Aggiunta di catalizzatore *#* Spostamento: nessuno *#* [NH₃]: invariata * '''Esercizio 62:''' a) Kc = 0.o23 b) [HI] = 0.119M; [H2] = 0.027 M; [I2] = 0.021 M * '''Esercizio 63:''' a) Si sposta a destra; b) Si sposta a destra; c) Si sposta a destra; d) Si sposta a sinistra * '''Esercizio 64:''' [PCl₃] = [Cl₂] = 0,025 mol/L * '''Esercizio 65:''' L’equilibrio si sposta a destra e aumenta il valore di Kc * '''Esercizio 66:''' 1,03 x 10^-1 mol/L * '''Esercizio 67:''' 1) Spostamento verso destra e aumento di produzione di SO₃_.​ 2) Spostamento verso destra. Il sistema favorisce il lato con meno moli di gas. 3) Spostamento verso sinistra. Diminuisce la quantità di SO₃ e aumentano SO₂​ e O₂ * '''Esercizio 68:''' Kc = 1,3 * '''Esercizio 69:''' Kc = 50 * '''Esercizio 70:''' a) Equilibrium moves to the left. b) Equilibrium moves to the left. c) Equilibrium moves to the right. * '''Esercizio 71:''' 1) Aumento della concentrazione di N₂    (si sposta a dex  perché  Q<Keq) 2) Diminuzione concentrazione H₂  (NO, si sposta a sin perché Q > Keq) 3) Aumento concentrazione NH₃   (NO, si sposta a sin perché Q > Keq) * '''Esercizio 72:''' 1) ​_{<math>{[NH3]2 \over [N2][H2]3}</math>} 2) Kc​≈3,7 3) aumenta la produzione di NH₃​ e diminuiscono parte di N₂​ e H₂​ == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''[https://general.chemistrysteps.com/ General Chemistry Steps]'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 9luddiqvqjns37up23fjhlqb2nlmuj2 498589 498579 2026-05-29T06:56:20Z Carla DErrico 54221 /* Esercizi sulla legge dell'equilibrio */ 498589 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sulla legge dell'equilibrio e calcolo della costante == === Esercizio 1 === === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo == Esercizi sulla previsione delle concentrazioni all'equilibrio == === Esercizio 21 === testo ... ... == Esercizi sul quoziente di reazione == === Esercizio 41 === testo ... ... == Esercizi sul principio di Le Chatelier == === Esercizio 61 === Considera il seguente equilibrio chimico in fase gassosa: N₂​(g)+3H₂​(g) ⇌ 2NH₃​(g) ΔH<0 In un recipiente chiuso all’equilibrio si effettuano le seguenti perturbazioni, una alla volta: # Si aumenta la pressione totale del sistema. # Si aumenta la temperatura. # Si aggiunge una certa quantità di ammoniaca (NH₃). # Si rimuove idrogeno (H₂). # Si aggiunge un catalizzatore. Per ciascun caso, indica: * In quale direzione si sposta l’equilibrio (destra, sinistra, oppure nessuno spostamento). * Se la concentrazione di NH₃ aumenta, diminuisce o resta invariata. === Esercizio 62 === Dato l’equilibrio 2HI(g) ⇄ H₂(g) + I₂(g) se all’equilibrio sono presenti 0.97 moli di HI, 0.18 moli di H₂ e 0.12 moli di I₂ in un recipiente di 10.0 L calcolare: a)      Il valore della costante di equilibrio b)      Il valore delle concentrazioni delle tre specie all’equilibrio dopo l’aggiunta di 0.40 moli di HI === Esercizio 63 === Data la reazione: 2SO₃(g) + CO₂(g) → CS₂(g) + 4O₂(g) (ΔH > 0) determina come si modifica la posizione dell’equilibrio quando: a) aumentano le moli di CO₂ b) aumenta la temperatura c) aumenta il volume d) aumentano le moli di O₂ === Esercizio 64 === Considera la reazione di decomposizione del pentacloruro di fosforo: PCl₅(g) m PCl₃(g) + Cl₂(g) All’equilibrio, la concentrazione di PCl5 è 0,015 mol/L e Kc è uguale a 0,041 mol/L. Calcola la concentrazione di PCl₃ e Cl₂. === Esercizio 65 === Determina quale effetto ha un aumento di temperatura sulla reazione: 2 H₂O(g) → H2(g) + O₂(g) (ΔH = 484 kJ) che ha raggiunto l’equilibrio. === Esercizio 66 === Considera la reazione di sintesi del triossido di zolfo: 2SO₂(g) + O₂(g) → 2SO₃(g) All’equilibrio, le concentrazioni di SO₂ e O₂ sono uguali a 0,005 mol/L e Kc è uguale a 85 (mol/L)^-1. Calcola la concentrazione di SO₃ === Esercizio 67 === Considera il seguente equilibrio gassoso: 2SO₂​(g) + O₂​(g) ⇌ 2SO₃​(g) La reazione diretta è esotermica. 1) Se si aggiunge O₂​ al sistema all’equilibrio, in quale direzione si sposta l’equilibrio? Spiega il motivo. 2) Cosa succede all’equilibrio se il volume del recipiente viene diminuito? 3) Cosa accade se la temperatura aumenta? Spiega considerando che la reazione diretta è esotermica. === Esercizio 68 === Considera la seguente reazione: CO(g) + H₂O(g) ⇌ CO₂(g) + H₂(g) All’equilibrio, l’analisi chimica ha rilevato la presenza di 0,2 mol/L di CO, di 0,5 mol/L di H₂O, di 0,32 mol/L di H₂ e di 0,42 mol/L di CO₂. Calcola la costante di equilibrio Kc. === Esercizio 69 === The synthesis reaction of hydrogen iodide is represented by the following reaction: H₂(g) + I₂(g) ⇌ 2HI(g) At equilibrium, the chemical analysis has detected the presence of 5.28 mol/L of H₂, of 0.12 mol/L of I₂ and of 5.64 mol/L of HI. Calculate the equilibrium constant Kc. === Esercizio 70 === Consider the following equilibrium: H2(g) + Cl2(g) m 2 HCl(g) Determine what happens to the equilibrium after: a) A decrease in H₂ moles. b) An increase in HCl moles. c) An increase in Cl₂ moles. === Esercizio 71 === Considera la seguente reazione '''N₂ (g) +   3H₂ (g)     ⇄     2NH₃(g)            esotermica''' Segnare gli interventi che spostano a destra l’equilibrio, favorendo la formazione di NH_3. Giustificare ciascun punto sulla base della relazione tra  Q  e  Keq 1)    aumento della concentrazione di N₂ 2)    diminuzione concentrazione H₂ 3)    aumento concentrazione NH₃ === Esercizio 72 === In un recipiente chiuso da 5,0 L viene introdotta una miscela gassosa alla temperatura di 450 °C in cui avviene l’equilibrio: N2​(g)+3H2​(g)⇌2NH3​(g) All’equilibrio sono presenti: * 1,0 mol di N2​ * 3,0 mol di H2​ * 2,0 mol di NH3​ Successivamente il sistema subisce le seguenti perturbazioni, una alla volta. ''Domande:'' # Scrivi l’espressione della costante di equilibrio Kc​. # Calcola il valore di Kc​. # Si aggiungono 2,0 mol di H2​. Spiega, secondo il principio di Le Châtelier: #* in quale direzione si sposta l’equilibrio; #* cosa succede alla quantità di ammoniaca. == Esercizi sull'equilibrio di solubilità == === Esercizio 81 === testo ... ... [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 61''': *# Aumento della pressione *#* Spostamento: verso destra *#* [NH₃]: aumenta *# Aumento della temperatura *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce *# Aggiunta di NH₃ *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce (rispetto al valore subito dopo l’aggiunta) *# Rimozione di H₂ *#* Spostamento: verso sinistra *#* [NH₃]: diminuisce *# Aggiunta di catalizzatore *#* Spostamento: nessuno *#* [NH₃]: invariata * '''Esercizio 62:''' a) Kc = 0.o23 b) [HI] = 0.119M; [H2] = 0.027 M; [I2] = 0.021 M * '''Esercizio 63:''' a) Si sposta a destra; b) Si sposta a destra; c) Si sposta a destra; d) Si sposta a sinistra * '''Esercizio 64:''' [PCl₃] = [Cl₂] = 0,025 mol/L * '''Esercizio 65:''' L’equilibrio si sposta a destra e aumenta il valore di Kc * '''Esercizio 66:''' 1,03 x 10^-1 mol/L * '''Esercizio 67:''' 1) Spostamento verso destra e aumento di produzione di SO₃_.​ 2) Spostamento verso destra. Il sistema favorisce il lato con meno moli di gas. 3) Spostamento verso sinistra. Diminuisce la quantità di SO₃ e aumentano SO₂​ e O₂ * '''Esercizio 68:''' Kc = 1,3 * '''Esercizio 69:''' Kc = 50 * '''Esercizio 70:''' a) Equilibrium moves to the left. b) Equilibrium moves to the left. c) Equilibrium moves to the right. * '''Esercizio 71:''' 1) Aumento della concentrazione di N₂    (si sposta a dex  perché  Q<Keq) 2) Diminuzione concentrazione H₂  (NO, si sposta a sin perché Q > Keq) 3) Aumento concentrazione NH₃   (NO, si sposta a sin perché Q > Keq) * '''Esercizio 72:''' 1) ​_{<math>{[NH3]2 \over [N2][H2]3}</math>} 2) Kc​≈3,7 3) aumenta la produzione di NH₃​ e diminuiscono parte di N₂​ e H₂​ == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''[https://general.chemistrysteps.com/ General Chemistry Steps]'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 6esnbo3ib9qretq26duu7sq0mxn26ni 0 59790 498576 498512 2026-05-29T06:34:52Z MartinaAgostinetto 54227 /* Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius */ 498576 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === Indica se le seguenti sostanze sono acidi, basi oppure sali secondo Arrhenius * HCl * NaOH * KNO₃ * H₂SO₄ * Ca(OH)₂ === Esercizio 2 === Scrivi la dissociazione in acqua dei seguenti composti: # HNO₃ # NaOH # Ba(OH)₂ === Esercizio 3 === Quanti moli di ioni OH^- si ottengono dalla dissociazione completa di 3 moli di Ca(OH)₂? === Esercizio 4 === 5rù === Esercizio 5 === ff === Esercizio 6 === rfg === Esercizio 7 === ù === Esercizio 8 === s === Esercizio 9 === f === Esercizio 10 === === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display=simple> { '''Esercizio 1''' . |type="{}"} '''Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?'''. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display=simple> { '''Esercizio 2''' . |type="{}"} '''Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?'''. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 1''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Soluzione ==== # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. ==== Esercizio 2 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. * O^2- + SO₃ → SO₄^2- * Cu²⁺ + 4NH₃ → [Cu(NH₃)₄]²⁺ * BF₃ + NH₃ → F₃B * AlCl₃ + Cl^- → AlCl₄^- '''Esercizio 3:''' Vero o falso? # Tutti gli acidi di Brønsted-Lowry sono anche acidi di Lewis. # Una molecola con un ottetto completo non può mai comportarsi da acido di Lewis. # Gli anioni si comportano generalmente come basi di Lewis. # Nella reazione: CO₂ + H₂O → H₂CO₃, il carbonio della  si comporta da acido di Lewis. '''Soluzioni:''' 1) V 2) F 3) V 4) V '''Esercizio 4:''' == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === A 25°C, il valore di Kw​ è <math>1.0*10^{-14}</math>. Se [H+]=<math>1.0*10^{-7}</math> M, quanto vale [OH−]Completa === Esercizio 62 === Completa: * Se pH < 7 → soluzione __________ * Se pH = 7 → soluzione __________ * Se pH > 7 → soluzione __________ === Esercizio 63 === Calcola il pOH e il pH di una soluzione con [<chem>OH-</chem>]=<math>10*10^{-3}</math> M. === Esercizio 64 === # In una soluzione acquosa, il pH è 4.5. Calcola: #* [<chem>H+</chem>] #* [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 65 === A una certa temperatura, Kw=<math>5.0*10^{-13}</math>. Calcola il pH neutro a questa temperatura === Esercizio 66 === Una soluzione ha [<chem>H+</chem>]=<math>2.5*10^{-9}</math>M. # È acida, basica o neutra? # calcola il pH === Esercizio 67 === In una soluzione [<chem>OH-</chem>]=<math>4.0*10^{-6}</math> # Calcola il pOH # Calcola il pH # Determina la natura della soluzione === Esercizio 68 === Calcolare la concentrazione molare degli ioni idronio di una soluzione il cui pH è 5.50 === Esercizio 69 === Calcola la concentrazione degli ioni [<chem>H3O+</chem>] e [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 70 === Determina il pH di una soluzione acquosa preparata sciogliendo 0.26 g di idrossido di calcio, <chem>Ca(OH)2</chem> in acqua sufficiente ad ottenere 0.500 L di soluzione. === Esercizio 71 === Calcola il pH delle soluzioni aventi la seguente concentrazione degli ioni <chem>H3O+</chem> e precisa se la soluzione è acida o basica: # [<chem>H3O+</chem>] = <math>7.8*10^{-5}</math>  mol/L # [<chem>H3O+</chem>] = <math>8.2*10^{-10}</math> mol/L [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': * '''Esercizio 61''': <math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 62''': acida, neutra, basica * '''Esercizio 63''': pOH=3 ; pH=11 * '''Esercizio 64''': [<chem>H+</chem>]= <math>10*10^{-4.5}</math>; [<chem>OH-</chem>]= <math>10*10^{-9.5}</math> * '''Esercizio 65:''' pH=6.5 * '''Esercizio 66:''' Basica perché pH: 8.6 * '''Esercizio 67:''' pOH= 5.4, pH=8.6, soluzione basica * '''Esercizio 68:''' <math>2.0*10^{-6}</math> * '''Esercizio 69:''' [<chem>H3O+</chem>]=[<chem>OH-</chem>]=<math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 70''': pH=12.15 * '''Esercizio 71''': 1. pH=4.11, acida I 2. pH=9.09, basica == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico nmqbxlzfi7y88x8td2ixrgbzjhmgppe 498580 498576 2026-05-29T06:40:34Z AsfaltoRotto 54233 /* Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry */ 498580 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === Esercizio 4 === 5rù === Esercizio 5 === ff === Esercizio 6 === rfg === Esercizio 7 === ù === Esercizio 8 === s === Esercizio 9 === f === Esercizio 10 === === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display="simple"> { '''Esercizio 1''' . |type="{}"} Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display="simple"> { '''Esercizio 2''' . |type="{}"} Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> '''Esercizio 3''' Data la seguente formula chimica <chem>NH3 + H20 <=> NH4+ + OH-</chem>, individua gli acidi e le basi coniugate. == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 1''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Soluzione ==== # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. ==== Esercizio 2 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. * O^2- + SO₃ → SO₄^2- * Cu²⁺ + 4NH₃ → [Cu(NH₃)₄]²⁺ * BF₃ + NH₃ → F₃B * AlCl₃ + Cl^- → AlCl₄^- '''Esercizio 3:''' Vero o falso? # Tutti gli acidi di Brønsted-Lowry sono anche acidi di Lewis. # Una molecola con un ottetto completo non può mai comportarsi da acido di Lewis. # Gli anioni si comportano generalmente come basi di Lewis. # Nella reazione: CO₂ + H₂O → H₂CO₃, il carbonio della  si comporta da acido di Lewis. '''Soluzioni:''' 1) V 2) F 3) V 4) V '''Esercizio 4:''' == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === A 25°C, il valore di Kw​ è <math>1.0*10^{-14}</math>. Se [H+]=<math>1.0*10^{-7}</math> M, quanto vale [OH−]Completa === Esercizio 62 === Completa: * Se pH < 7 → soluzione __________ * Se pH = 7 → soluzione __________ * Se pH > 7 → soluzione __________ === Esercizio 63 === Calcola il pOH e il pH di una soluzione con [<chem>OH-</chem>]=<math>10*10^{-3}</math> M. === Esercizio 64 === # In una soluzione acquosa, il pH è 4.5. Calcola: #* [<chem>H+</chem>] #* [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 65 === A una certa temperatura, Kw=<math>5.0*10^{-13}</math>. Calcola il pH neutro a questa temperatura === Esercizio 66 === Una soluzione ha [<chem>H+</chem>]=<math>2.5*10^{-9}</math>M. # È acida, basica o neutra? # calcola il pH === Esercizio 67 === In una soluzione [<chem>OH-</chem>]=<math>4.0*10^{-6}</math> # Calcola il pOH # Calcola il pH # Determina la natura della soluzione === Esercizio 68 === Calcolare la concentrazione molare degli ioni idronio di una soluzione il cui pH è 5.50 === Esercizio 69 === Calcola la concentrazione degli ioni [<chem>H3O+</chem>] e [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 70 === Determina il pH di una soluzione acquosa preparata sciogliendo 0.26 g di idrossido di calcio, <chem>Ca(OH)2</chem> in acqua sufficiente ad ottenere 0.500 L di soluzione. === Esercizio 71 === Calcola il pH delle soluzioni aventi la seguente concentrazione degli ioni <chem>H3O+</chem> e precisa se la soluzione è acida o basica: # [<chem>H3O+</chem>] = <math>7.8*10^{-5}</math>  mol/L # [<chem>H3O+</chem>] = <math>8.2*10^{-10}</math> mol/L [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': * '''Esercizio 61''': <math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 62''': acida, neutra, basica * '''Esercizio 63''': pOH=3 ; pH=11 * '''Esercizio 64''': [<chem>H+</chem>]= <math>10*10^{-4.5}</math>; [<chem>OH-</chem>]= <math>10*10^{-9.5}</math> * '''Esercizio 65:''' pH=6.5 * '''Esercizio 66:''' Basica perché pH: 8.6 * '''Esercizio 67:''' pOH= 5.4, pH=8.6, soluzione basica * '''Esercizio 68:''' <math>2.0*10^{-6}</math> * '''Esercizio 69:''' [<chem>H3O+</chem>]=[<chem>OH-</chem>]=<math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 70''': pH=12.15 * '''Esercizio 71''': 1. pH=4.11, acida I 2. pH=9.09, basica == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 22vh1xjh1so8ig3v7nmdgpp56y47s80 498582 498580 2026-05-29T06:49:54Z Giorgia.borsato 54232 /* Esercizio 2 */ 498582 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === Esercizio 4 === 5rù === Esercizio 5 === ff === Esercizio 6 === rfg === Esercizio 7 === ù === Esercizio 8 === s === Esercizio 9 === f === Esercizio 10 === === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display="simple"> { '''Esercizio 1''' . |type="{}"} Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display="simple"> { '''Esercizio 2''' . |type="{}"} Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> '''Esercizio 3''' Data la seguente formula chimica <chem>NH3 + H20 <=> NH4+ + OH-</chem>, individua gli acidi e le basi coniugate. == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 21''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Esercizio 22 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. * O^2- + SO₃ → SO₄^2- * Cu²⁺ + 4NH₃ → [Cu(NH₃)₄]²⁺ * BF₃ + NH₃ → F₃B * AlCl₃ + Cl^- → AlCl₄^- '''Esercizio 23:''' Vero o falso? # Tutti gli acidi di Brønsted-Lowry sono anche acidi di Lewis. # Una molecola con un ottetto completo non può mai comportarsi da acido di Lewis. # Gli anioni si comportano generalmente come basi di Lewis. # Nella reazione: CO₂ + H₂O → H₂CO₃, il carbonio della  si comporta da acido di Lewis. '''Esercizio 24:''' Secondo la definizione introdotta da Lewis, le reazioni acido-base non implicano necessariamente il trasferimento di un protone, bensì lo scambio di un '''(1)''' ____________. '''Esercizio 25:''' In particolare, un acido di Lewis è una specie chimica capace di '''(1)''' ____________ una coppia di elettroni. Per fare questo, la specie deve possedere un orbitale coordinativamente '''(2)''' ____________. Al contrario, una '''base di Lewis''' è una specie chimica capace di '''(3)''' ____________ una coppia di elettroni. Questa specie deve quindi possedere almeno un doppietto elettronico '''(4)''' ____________ . '''Esercizio 26:''' Quando un acido e una base di Lewis reagiscono, formano un legame chimico specifico chiamato legame covalente '''(1)''' ____________ , e il prodotto ottenuto viene genericamente definito '''(2)''' ____________ di Lewis. '''Esercizio 27:''' Un classico esempio di acido di Lewis è il trifluoruro di boro (indica la formula chimica), in cui l'atomo centrale non raggiunge l'<nowiki/>'''(1)''' ____________ elettronico. Un esempio tipico di base di Lewis è l''''(2)''' ____________ (indica anche la formula chimica). == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === A 25°C, il valore di Kw​ è <math>1.0*10^{-14}</math>. Se [H+]=<math>1.0*10^{-7}</math> M, quanto vale [OH−]Completa === Esercizio 62 === Completa: * Se pH < 7 → soluzione __________ * Se pH = 7 → soluzione __________ * Se pH > 7 → soluzione __________ === Esercizio 63 === Calcola il pOH e il pH di una soluzione con [<chem>OH-</chem>]=<math>10*10^{-3}</math> M. === Esercizio 64 === # In una soluzione acquosa, il pH è 4.5. Calcola: #* [<chem>H+</chem>] #* [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 65 === A una certa temperatura, Kw=<math>5.0*10^{-13}</math>. Calcola il pH neutro a questa temperatura === Esercizio 66 === Una soluzione ha [<chem>H+</chem>]=<math>2.5*10^{-9}</math>M. # È acida, basica o neutra? # calcola il pH === Esercizio 67 === In una soluzione [<chem>OH-</chem>]=<math>4.0*10^{-6}</math> # Calcola il pOH # Calcola il pH # Determina la natura della soluzione === Esercizio 68 === Calcolare la concentrazione molare degli ioni idronio di una soluzione il cui pH è 5.50 === Esercizio 69 === Calcola la concentrazione degli ioni [<chem>H3O+</chem>] e [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 70 === Determina il pH di una soluzione acquosa preparata sciogliendo 0.26 g di idrossido di calcio, <chem>Ca(OH)2</chem> in acqua sufficiente ad ottenere 0.500 L di soluzione. === Esercizio 71 === Calcola il pH delle soluzioni aventi la seguente concentrazione degli ioni <chem>H3O+</chem> e precisa se la soluzione è acida o basica: # [<chem>H3O+</chem>] = <math>7.8*10^{-5}</math>  mol/L # [<chem>H3O+</chem>] = <math>8.2*10^{-10}</math> mol/L [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': * '''Esercizio 21''' # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. * '''Esercizio 22:''' 1) base: ione ossido, acido: triossido di zolfo 2) base: ammoniaca, acido: ione rameico 3) base: azoto, acido: trifloruro di boro 4) base: ione cloruro, acido: cloruro di alluminio * '''Esercizio 23:''' 1) V 2) F 3) V 4) V * '''Esercizio 24:''' doppietto elettronico * '''Esercizio 25:''' accettare; vuoto; donare; di non legame; * '''Esercizio 26:''' dativo; complesso * * '''Esercizio 61''': <math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 62''': acida, neutra, basica * '''Esercizio 63''': pOH=3 ; pH=11 * '''Esercizio 64''': [<chem>H+</chem>]= <math>10*10^{-4.5}</math>; [<chem>OH-</chem>]= <math>10*10^{-9.5}</math> * '''Esercizio 65:''' pH=6.5 * '''Esercizio 66:''' Basica perché pH: 8.6 * '''Esercizio 67:''' pOH= 5.4, pH=8.6, soluzione basica * '''Esercizio 68:''' <math>2.0*10^{-6}</math> * '''Esercizio 69:''' [<chem>H3O+</chem>]=[<chem>OH-</chem>]=<math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 70''': pH=12.15 * '''Esercizio 71''': 1. pH=4.11, acida I 2. pH=9.09, basica == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico m6dsezgm6hidz2o5tz55lr0olqjjx5c 498588 498582 2026-05-29T06:56:08Z AsfaltoRotto 54233 /* Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry */ 498588 wikitext text/x-wiki {{Avanzamento|0%|8 febbraio 2026}} == Esercizi sugli acidi e basi secondo Arrhenius == === Esercizio 1 === === Esercizio 2 === testo === Esercizio 3 === testo === Esercizio 4 === 5rù === Esercizio 5 === ff === Esercizio 6 === rfg === Esercizio 7 === ù === Esercizio 8 === s === Esercizio 9 === f === Esercizio 10 === === ... === == Esercizi sugli acidi e basi secondo Bronsted & Lowry == <quiz display="simple"> { '''Esercizio 11''' . |type="{}"} Qual è la base coniugata di ognuno dei seguenti acidi: <chem>HClO4</chem>, <chem>H2S</chem>, <chem>PH4+</chem>, <chem>HCO3-</chem>?. { CIO4^-, HS^-, PH3, CO3^2- } </quiz> <quiz display="simple"> { '''Esercizio 12''' . |type="{}"} Qual è l’acido coniugato delle seguenti basi: <chem>CN-</chem>, <chem>SO4^2-</chem> , <chem>H2O</chem> , <chem>HCO3-</chem> ?. { HCN, HSO4^-, H3O^+, H2CO3 } </quiz> '''Esercizio 13''' Data la seguente formula chimica <chem>NH3 + H20 <=> NH4+ + OH-</chem>, individua gli acidi e le basi coniugate. '''Esercizio 14''' Data la seguente formula chimica <chem>HSO4- + HPO4^2- <=> SO4^2- + H2PO4-</chem>, trova le basi e gli acidi coniugati. '''Esercizio 15''' Data la seguente formula chimica <chem>H2PO4- + CN- + HCO3- <=> HPO4^2- + HCN + H2CO3</chem>​, trova le basi e gli acidi coniugati. == Esercizi su acidi e basi secondo Lewis == '''Esercizio 21''' Classifica le seguenti molecole come acido di Lewis o base di Lewis, motivando la tua scelta. # BF₃ # Cl^- # AlCl₃ # H⁺ # NH₃ ==== Esercizio 22 ==== Individua nelle seguenti reazioni chi si comporta da acido secondo Lewis e chi da base. * O^2- + SO₃ → SO₄^2- * Cu²⁺ + 4NH₃ → [Cu(NH₃)₄]²⁺ * BF₃ + NH₃ → F₃B * AlCl₃ + Cl^- → AlCl₄^- '''Esercizio 23:''' Vero o falso? # Tutti gli acidi di Brønsted-Lowry sono anche acidi di Lewis. # Una molecola con un ottetto completo non può mai comportarsi da acido di Lewis. # Gli anioni si comportano generalmente come basi di Lewis. # Nella reazione: CO₂ + H₂O → H₂CO₃, il carbonio della  si comporta da acido di Lewis. '''Esercizio 24:''' Secondo la definizione introdotta da Lewis, le reazioni acido-base non implicano necessariamente il trasferimento di un protone, bensì lo scambio di un '''(1)''' ____________. '''Esercizio 25:''' In particolare, un acido di Lewis è una specie chimica capace di '''(1)''' ____________ una coppia di elettroni. Per fare questo, la specie deve possedere un orbitale coordinativamente '''(2)''' ____________. Al contrario, una '''base di Lewis''' è una specie chimica capace di '''(3)''' ____________ una coppia di elettroni. Questa specie deve quindi possedere almeno un doppietto elettronico '''(4)''' ____________ . '''Esercizio 26:''' Quando un acido e una base di Lewis reagiscono, formano un legame chimico specifico chiamato legame covalente '''(1)''' ____________ , e il prodotto ottenuto viene genericamente definito '''(2)''' ____________ di Lewis. '''Esercizio 27:''' Un classico esempio di acido di Lewis è il trifluoruro di boro (indica la formula chimica), in cui l'atomo centrale non raggiunge l'<nowiki/>'''(1)''' ____________ elettronico. Un esempio tipico di base di Lewis è l''''(2)''' ____________ (indica anche la formula chimica). == Esercizi sul pH, K_a e K_b == === Esercizio 61 === A 25°C, il valore di Kw​ è <math>1.0*10^{-14}</math>. Se [H+]=<math>1.0*10^{-7}</math> M, quanto vale [OH−]Completa === Esercizio 62 === Completa: * Se pH < 7 → soluzione __________ * Se pH = 7 → soluzione __________ * Se pH > 7 → soluzione __________ === Esercizio 63 === Calcola il pOH e il pH di una soluzione con [<chem>OH-</chem>]=<math>10*10^{-3}</math> M. === Esercizio 64 === # In una soluzione acquosa, il pH è 4.5. Calcola: #* [<chem>H+</chem>] #* [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 65 === A una certa temperatura, Kw=<math>5.0*10^{-13}</math>. Calcola il pH neutro a questa temperatura === Esercizio 66 === Una soluzione ha [<chem>H+</chem>]=<math>2.5*10^{-9}</math>M. # È acida, basica o neutra? # calcola il pH === Esercizio 67 === In una soluzione [<chem>OH-</chem>]=<math>4.0*10^{-6}</math> # Calcola il pOH # Calcola il pH # Determina la natura della soluzione === Esercizio 68 === Calcolare la concentrazione molare degli ioni idronio di una soluzione il cui pH è 5.50 === Esercizio 69 === Calcola la concentrazione degli ioni [<chem>H3O+</chem>] e [<chem>OH-</chem>] === Esercizio 70 === Determina il pH di una soluzione acquosa preparata sciogliendo 0.26 g di idrossido di calcio, <chem>Ca(OH)2</chem> in acqua sufficiente ad ottenere 0.500 L di soluzione. === Esercizio 71 === Calcola il pH delle soluzioni aventi la seguente concentrazione degli ioni <chem>H3O+</chem> e precisa se la soluzione è acida o basica: # [<chem>H3O+</chem>] = <math>7.8*10^{-5}</math>  mol/L # [<chem>H3O+</chem>] = <math>8.2*10^{-10}</math> mol/L [[File:Big red line.jpg|centro]] [[File:Big red line.jpg|centro]] == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': * '''Esercizio 2''': * '''Esercizio ecc. ecc.''': * '''Esercizio 21''' # Acido: B ha 6 elettroni nel guscio di valenza dopo il legame come i 3 atomi di F. Possiede dunque un orbitale p vuoto pronto ad accettare un doppietto. # Base: possiede 4 doppietti elettronici disponibili per la donazione. # Acido: l'atomo centrale di Al non raggiunge l'ottetto quando si lega con 3 atomi di Cl e ha orbitali vuoti capaci di ospitare dei doppietti elettronici, # Acido: ha un orbitale s completamente vuoto. # Base: N possiede un doppietto elettronico solitario che può donare. * '''Esercizio 22:''' 1) base: ione ossido, acido: triossido di zolfo 2) base: ammoniaca, acido: ione rameico 3) base: azoto, acido: trifloruro di boro 4) base: ione cloruro, acido: cloruro di alluminio * '''Esercizio 23:''' 1) V 2) F 3) V 4) V * '''Esercizio 24:''' doppietto elettronico * '''Esercizio 25:''' accettare; vuoto; donare; di non legame; * '''Esercizio 26:''' dativo; complesso * * '''Esercizio 61''': <math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 62''': acida, neutra, basica * '''Esercizio 63''': pOH=3 ; pH=11 * '''Esercizio 64''': [<chem>H+</chem>]= <math>10*10^{-4.5}</math>; [<chem>OH-</chem>]= <math>10*10^{-9.5}</math> * '''Esercizio 65:''' pH=6.5 * '''Esercizio 66:''' Basica perché pH: 8.6 * '''Esercizio 67:''' pOH= 5.4, pH=8.6, soluzione basica * '''Esercizio 68:''' <math>2.0*10^{-6}</math> * '''Esercizio 69:''' [<chem>H3O+</chem>]=[<chem>OH-</chem>]=<math>1.0*10^{-7}</math> * '''Esercizio 70''': pH=12.15 * '''Esercizio 71''': 1. pH=4.11, acida I 2. pH=9.09, basica == Fonti == * OpenStax [https://openstax.org/details/books/chemistry-2e Chemistry-2e] - Licenza CC by 4.0 * ''General Chemistry Steps'': protetto da Copyright però buon sito per spiegazioni ed esempi * Libro di testo scolastico 5r7y04j2hp0agwfu6j5wd2y736q72u2 0 60047 498572 494147 2026-05-28T20:18:30Z ~2026-32069-05 54429 498572 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali|Materiali=* 1 cartoncino (15x10)cm * 1 pezzetto di cartone (2.5x2.0)cm h=1.0 cm * 4 tappi di bottiglia * 2 cannucce * 2 stecchini di legno * 3 fascette plastica * una batteria 9V * un adattatore * un interruttore * un motore * un' elica|Strumenti=* Colla a caldo * Forbici * Colori a tempera|Tempo=45}}La '''Formula 1 ad elica''' è una macchinina da corsa che si muove in modo speciale: per muoversi non sfrutta la trazione su ruota, ma si sposta grazie alla spinta dell'aria generata da un'elica. == Materiali == Per costruire una '''Formula 1''' sono necessari i materiali elencati in precedenza. == Stima dei costi == {| !Articolo !Costo Unitario !N. !Totale !Acquistato presso |- !Batteria 9V !1,10 !1 !1,10 ![https://www.amazon.it/Amazon-Basics-quotidiano-Confezione-dallimmagine/dp/B07MWPHV25/ref=sr_1_1_ffob_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=3TAWDG5WGRAEY&dib=eyJ2IjoiMSJ9.o7Z98Xv-b4MxGZTCtdmuoPMVsiMtfJn9lYPWEwS9ne75L7cyeEXkEb6CRMkJypxzlS6W8jFCvvDfy7akD4y0w8qLVcNOT2KuZf90WxOf5XveJFEK7V3aIiVX35ekMMLLklpuElpgNTf1QZr5a_TJ_4S8yb1tUFFfAPaZu6eEtxyKJDGxVtNe0cQIk1smmnPIwpnw9tkVW3p98Nr_inZvu9Ec4Ki00gxAhFgjwF6qSx_Tw36Al8TeAyGw2SoqMgj3ifVfpBhNo8IDKTjYOR7mwY9x8B9ZeYpqz45NdAMAX3w.lqYOiBCPZquceVKusf9wPpxRJrEul_AvAQz6B4NQ9B0&dib_tag=se&keywords=batteria%2B9v&qid=1779992549&rdc=1&sprefix=batteria%2B9v%2Caps%2C143&sr=8-1-spons&aref=AwmHoQ7Chk&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&th=1] |- !Adattatore per batteria 9V !0,31 !1 !0,31 ![https://www.amazon.it/CESFONJER-Adattatore-illuminazione-Telecomando-elettronico/dp/B07YHF94M5/ref=sr_1_1_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=2YWAHOKQXKLKO&dib=eyJ2IjoiMSJ9.eAQLPwRyQEyHVo4mdGeefIeEHqtaRlCm0YUdijnktwUxlmDyrXYbHfx94QzAZTnwbWs8aN0A-NdtSPysUyewqFEVyJb2Kr578veA3WEvBE_AIOc0JFcibVGrOQHMeQdQzcqezt53V_aW55jPW5wUgmAjVJcDtgF0R49EZFI9qon8Dy_U2nEG0eO_fmvnxxTrPPJFOqM4rtx5ayLcVfld9BKQE6Gj_IiF9OH8ZC3IhkS0TJdamdpjlxHAmrGjNk01ag2aRp-gaJ5S6BlzGxHcDEiqVgDK8F8V1KmSdzolQV8.gMIkyaCidIiOjoH8EDIX3DWkUKY8on1CkG8fvTDuzpM&dib_tag=se&keywords=batteria%2B9v%2Badattatore&qid=1779992837&sprefix=batteria%2B9v%2Badattatore%2Caps%2C127&sr=8-1-spons&aref=qcvtGEYNqO&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&th=1] |- |'''Interruttore''' |'''1,00''' | '''1''' |'''1,00''' |'''[https://www.amazon.it/HUAREW-interruttore-bilanciere-Interruttore-cablaggio/dp/B0BD39FPRQ/ref=sr_1_1_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=3HEK2S8ZPRJXV&dib=eyJ2IjoiMSJ9.TpRftKem-lX71RrWg6w349nCjpjGOTHD6FlzH9VvqaRe_ULBP12FyP0YPf_EM_Ojn4JBoa3bkxSY1NCD2-k4Mbv8O93MeCSRPiTt7vjrXz0m_GRx5dkagr24pAeziMd411M31MKARx-3iY9yR3Y5IYPaLwBKR7nc7UvN0CA38YD4lvBk_MmdIH9p1jmf0_0nasTc4NiYWiUW2xhq4QvZWhPGgA5FOzsXtSAb6wZgmkSkcoL7TcyotqbK2e9TZ4_tuVqUAr5mMwNw8IFjszuAgCyYGhwF4jlTYhycGdesYxY.sl_1Iw_FRjusGm4Y3QJg16ZBs_ylksZca0JPKtc_zVM&dib_tag=se&keywords=interruttore&qid=1779993014&sprefix=interruttore%2Caps%2C131&sr=8-1-spons&aref=bS1DiXgdAt&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&psc=1]''' |- |'''Motorino elettrico''' | '''0.60''' | '''1''' | '''0.60''' | '''[https://www.amazon.it/dp/B08C9JQ5TN]''' |- |'''Totale''' | | | '''3.01''' | |} == Accessori == Inoltre, per l'assemblaggio, sono necessari: * '''colla a caldo''' per fissare il motore alla base, le cannucce alla struttura principale e le ruote agli stecchini. * '''accessori''' per decorare la macchinina (pennarelli, colori a tempera, omino lego) == Principio di funzionamento == Come fa la macchinina a muoversi se il motore non è direttamente collegato alle ruote? Tutto merito del terzo principio della dinamica, ovvero il principio di azione e reazione. Infatti quando premi l'interruttore la corrente della batteria fa girare le pale dell'elica che spingono l'aria all'indietro. Di conseguenza quest'aria dà una spinta contraria alla macchinina spingendola in avanti. Visto che la struttura di cartone è piatto e leggero, la forza generata dalle pale vince la forza d'attrito e spinge la macchinina in avanti. [[Categoria:Robotica unplugged|Formula 1]] tgcyc3p87xqexac6o5wcf5sygkc02x0 498573 498572 2026-05-28T20:20:32Z ~2026-32069-05 54429 498573 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali|Materiali=* 1 cartoncino (15x10)cm * 1 pezzetto di cartone (2.5x2.0)cm h=1.0 cm * 4 tappi di bottiglia * 2 cannucce * 2 stecchini di legno * 3 fascette plastica * una batteria 9V * un adattatore * un interruttore * un motore * un' elica|Strumenti=* Colla a caldo * Forbici * Colori a tempera|Tempo=45}}La '''Formula 1 ad elica''' è una macchinina da corsa che si muove in modo speciale: per muoversi non sfrutta la trazione su ruota, ma si sposta grazie alla spinta dell'aria generata da un'elica. == Materiali == Per costruire una '''Formula 1''' sono necessari i materiali elencati in precedenza. == Stima dei costi == {| class="wikitable" |+ !Articolo !Costo Unitario !N. !Totale !Acquistato presso |- !Batteria 9V !1,10 !1 !1,10 ![https://www.amazon.it/Amazon-Basics-quotidiano-Confezione-dallimmagine/dp/B07MWPHV25/ref=sr_1_1_ffob_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=3TAWDG5WGRAEY&dib=eyJ2IjoiMSJ9.o7Z98Xv-b4MxGZTCtdmuoPMVsiMtfJn9lYPWEwS9ne75L7cyeEXkEb6CRMkJypxzlS6W8jFCvvDfy7akD4y0w8qLVcNOT2KuZf90WxOf5XveJFEK7V3aIiVX35ekMMLLklpuElpgNTf1QZr5a_TJ_4S8yb1tUFFfAPaZu6eEtxyKJDGxVtNe0cQIk1smmnPIwpnw9tkVW3p98Nr_inZvu9Ec4Ki00gxAhFgjwF6qSx_Tw36Al8TeAyGw2SoqMgj3ifVfpBhNo8IDKTjYOR7mwY9x8B9ZeYpqz45NdAMAX3w.lqYOiBCPZquceVKusf9wPpxRJrEul_AvAQz6B4NQ9B0&dib_tag=se&keywords=batteria%2B9v&qid=1779992549&rdc=1&sprefix=batteria%2B9v%2Caps%2C143&sr=8-1-spons&aref=AwmHoQ7Chk&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&th=1] |- !Adattatore per batteria 9V !0,31 !1 !0,31 ![https://www.amazon.it/CESFONJER-Adattatore-illuminazione-Telecomando-elettronico/dp/B07YHF94M5/ref=sr_1_1_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=2YWAHOKQXKLKO&dib=eyJ2IjoiMSJ9.eAQLPwRyQEyHVo4mdGeefIeEHqtaRlCm0YUdijnktwUxlmDyrXYbHfx94QzAZTnwbWs8aN0A-NdtSPysUyewqFEVyJb2Kr578veA3WEvBE_AIOc0JFcibVGrOQHMeQdQzcqezt53V_aW55jPW5wUgmAjVJcDtgF0R49EZFI9qon8Dy_U2nEG0eO_fmvnxxTrPPJFOqM4rtx5ayLcVfld9BKQE6Gj_IiF9OH8ZC3IhkS0TJdamdpjlxHAmrGjNk01ag2aRp-gaJ5S6BlzGxHcDEiqVgDK8F8V1KmSdzolQV8.gMIkyaCidIiOjoH8EDIX3DWkUKY8on1CkG8fvTDuzpM&dib_tag=se&keywords=batteria%2B9v%2Badattatore&qid=1779992837&sprefix=batteria%2B9v%2Badattatore%2Caps%2C127&sr=8-1-spons&aref=qcvtGEYNqO&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&th=1] |- |'''Interruttore''' | '''1,00''' | '''1''' | '''1,00''' | '''[https://www.amazon.it/HUAREW-interruttore-bilanciere-Interruttore-cablaggio/dp/B0BD39FPRQ/ref=sr_1_1_sspa?__mk_it_IT=ÅMÅŽÕÑ&crid=3HEK2S8ZPRJXV&dib=eyJ2IjoiMSJ9.TpRftKem-lX71RrWg6w349nCjpjGOTHD6FlzH9VvqaRe_ULBP12FyP0YPf_EM_Ojn4JBoa3bkxSY1NCD2-k4Mbv8O93MeCSRPiTt7vjrXz0m_GRx5dkagr24pAeziMd411M31MKARx-3iY9yR3Y5IYPaLwBKR7nc7UvN0CA38YD4lvBk_MmdIH9p1jmf0_0nasTc4NiYWiUW2xhq4QvZWhPGgA5FOzsXtSAb6wZgmkSkcoL7TcyotqbK2e9TZ4_tuVqUAr5mMwNw8IFjszuAgCyYGhwF4jlTYhycGdesYxY.sl_1Iw_FRjusGm4Y3QJg16ZBs_ylksZca0JPKtc_zVM&dib_tag=se&keywords=interruttore&qid=1779993014&sprefix=interruttore%2Caps%2C131&sr=8-1-spons&aref=bS1DiXgdAt&sp_csd=d2lkZ2V0TmFtZT1zcF9hdGY&psc=1]''' |- |'''Motorino elettrico''' | '''0.60''' | '''1''' | '''0.60''' | '''[https://www.amazon.it/dp/B08C9JQ5TN]''' |- |'''Totale''' | | | '''3.01''' | |} == Accessori == Inoltre, per l'assemblaggio, sono necessari: * '''colla a caldo''' per fissare il motore alla base, le cannucce alla struttura principale e le ruote agli stecchini. * '''accessori''' per decorare la macchinina (pennarelli, colori a tempera, omino lego) == Principio di funzionamento == Come fa la macchinina a muoversi se il motore non è direttamente collegato alle ruote? Tutto merito del terzo principio della dinamica, ovvero il principio di azione e reazione. Infatti quando premi l'interruttore la corrente della batteria fa girare le pale dell'elica che spingono l'aria all'indietro. Di conseguenza quest'aria dà una spinta contraria alla macchinina spingendola in avanti. Visto che la struttura di cartone è piatto e leggero, la forza generata dalle pale vince la forza d'attrito e spinge la macchinina in avanti. [[Categoria:Robotica unplugged|Formula 1]] 3sdftkfpqioq979smed6ryxdefdwyai 0 60052 498615 496260 2026-05-29T11:19:45Z ~2026-32069-07 54432 498615 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 14 stecchini per ghiaccioli; * 2 elastici; * 2 spiedini; * 2 cannucce * 5 tappi di bottiglia |Strumenti= * Colla a caldo |Tempo=30}} La '''Catapulta''' proposta in questa esercitazione ha come nome d'arte ''Catapulta rivoluzionaria del La Comune di Parigi'', == Materiale == Per costruire la catapulta è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono limitati al materiale di consumo che – se riciclati o, perlomeno, riusati – possono essere considerati minimi. == Accessori == Inoltre, per l'assemblaggio, sono necessari: * '''colla a caldo''' per fissare gli stecchini tra loro, le penne e il tappo di bottiglia; == Principio di funzionamento == Una catapulta fatta con stecchini ed elastici funziona trasformando l’energia elastica accumulata negli elastici in energia cinetica del braccio che lancia il proiettile. Il principio di funzionamento fisico di base è: <math>F=k\cdot x \qquad \text{Legge di Hook}</math> dove <math>F</math> è la forza elastica, <math>k</math> è la costante elastica e <math>x</math> è l'allungamento o la compressione dell' elastico. Quando si tira indietro il braccio della catapulta gli elastici si deformano e immagazzinano energia (energia potenziale elastica); al momento del rilascio, gli elastici tendono a tornare al loro stato di equilibrio iniziale, liberando l'energia accumulata, la quale viene trasferita al braccio, che – secondo i principi delle leve – ruota attorno al fulcro imprimendo velocità al macigno che viene lanciato verso l'obiettivo == Risultato finale == La catapulta viene assemblata, partendo dalla base, incollando 4 stecchini i quali creano un rettangolo, per poi incollarne altri due per lato formando verso l'alto due triangoli. Dopo aver incollato un ulteriore stecchino, per unire i lati dei due triangoli, entrano in gioco gli elastici, che servono per legare il braccio della catapulta, realizzato con un altro stecchino, all'ultimo stecchino incollato. Incolliamo poi un tappo di bottiglia sul vertice del braccio. Per creare le ruote incolliamo le due cannucce sui due stecchini opposti che compongono la base, e ci facciamo passare all'interno i due spiedini, dove alle estremità incolliamo i tappi di bottiglia. Il montaggio è terminato, ora non rimane che poggiare un "masso" sul tappo incollato sul braccio e divertirsi! [[Categoria:Robotica unplugged|Catapulta]] b80was1hf55h1gzkpd6ppj5aesod9ko 2 60055 498587 498261 2026-05-29T06:55:34Z Iris Selvestrel 54230 /* Le proprietà colligative (Raoul, Press osm) */ 498587 wikitext text/x-wiki == Le proprietà colligative (Raoul, Press osm:) == === Esercizio 81 === Ad una data temperatura, la pressione di vapore del benzene (C₆H₆) è 84.5 torr, mentre quella del toluene (C₇H₈) è 61.2 torr. Calcolare la tensione di vapore di una soluzione ottenuta mescolando 12.5 grammi di benzene e 18.5 grammi di toluene alla stessa temperatura. Soluzione: P_soluz = P_Benz + P_Tol= P°_{Bz XBz} + P°_{Tol XTol} n_Bz =<math>{12.5 \over 78}</math> = 0.16 moli benzene x_Bz =<math>{0.16 \over 0.16+0.2}</math>= 0.44 n_Tol=<math>{18.5 \over 92}</math>= 0.20 moli toluene x_Tol =<math>{0.2 \over 0.16+0.2}</math> = 0.56 P_soluz = 84.5 <math>\cdot</math> 0.44 + 61.2 <math>\cdot</math> 0.56 = 37.1 + 34.27 = 71.45 torr === Esercizio 82 === Una soluzione preparata sciogliendo 1.7 g di un non elettrolita A non volatile in 50 g di acqua, presenta una tensione di vapore a 298 K pari a 23.6 mmHg. La tensione di vapore dell’acqua pura alla stessa temperatura è 23.76 mmHg. Calcolare la frazione molare e il peso molecolare di A. Soluzione: <math>\bigtriangleup</math>P= 23.76 – 23.6 = 0.16 mmHg (abbassamento della tensione di vapore della soluzione) <math>\bigtriangleup</math>P= P⁰_H2O X_A X_A = <math>\bigtriangleup</math>P/P⁰_H2O =<math>{0.16 \over 23.76}</math> = 0.0067 frazione molare di A _n 3rj0ttm9iywcnl8loyfia5kh38b33ao 2 60059 498585 497817 2026-05-29T06:55:08Z Damjan.kremenovic 54226 poco 498585 wikitext text/x-wiki == idrolisi dei sali == === Sali con ioni acidi === I sali sono composti ionici composti da cationi e anioni, entrambi in grado di subire una reazione di ionizzazione acida o basica con l'acqua. Le soluzioni saline acquose possono quindi essere acide, basiche o neutre, a seconda della forza acido-base relativa degli ioni costituenti il sale. Ad esempio, sciogliendo il cloruro di ammonio in acqua si ottiene la sua dissociazione, come descritto dall'equazione. NH₄Cl⁡(𝑠)⇌NH₄⁺⁢(𝑎⁢𝑞)+Cl^-(𝑎⁢𝑞) Lo ione ammonio è l'acido coniugato della base ammoniaca, NH3; la sua reazione di ionizzazione acida (o idrolisi acida) è rappresentata da NH₄⁢+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃O⁺⁡(𝑎⁢𝑞)+NH₃(𝑎⁢𝑞) 𝐾a=𝐾w/𝐾b Poiché l'ammoniaca è una base debole, Kb è misurabile e Ka > 0 (lo ione ammonio è un acido debole). Lo ione cloruro è la base coniugata dell'acido cloridrico e quindi la sua reazione di ionizzazione della base (o idrolisi della base) è rappresentata da Cl^-(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌HCl⁡(𝑎⁢𝑞)+OH^-(𝑎⁢𝑞) 𝐾b=𝐾w/𝐾a Poiché l'HCl è un acido forte, Ka è incommensurabilmente grande e Kb ≈ 0 (gli ioni cloruro non subiscono un'idrolisi apprezzabile). Pertanto, sciogliendo il cloruro di ammonio in acqua si ottiene una soluzione di cationi acidi deboli (NH4⁢+) e anioni inerti (Cl−), ottenendo una soluzione acida. === Sali con ioni basici === altro esempio, considera di sciogliere l'acetato di sodio in acqua: NaCH₃⁢CO₂(𝑠)⇋Na⁺(𝑎⁢𝑞)+CH₃CO₂⁢^-(𝑎⁢𝑞) Lo ione sodio non subisce una ionizzazione apprezzabile di acidi o basi e non ha alcun effetto sul pH della soluzione. Ciò può sembrare ovvio dalla formula dello ione, che indica l'assenza di atomi di idrogeno o ossigeno, ma alcuni ioni metallici disciolti funzionano come acidi deboli, come spiegato più avanti in questa sezione. Lo ione acetato, CH₃⁢CO₂⁢^-, è la base coniugata dell'acido acetico, CH₃CO₂H, e quindi la sua reazione di ionizzazione della base (o idrolisi della base) è rappresentata da CH₃⁢CO₂⁢^-(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌CH₃CO₂H(𝑎⁢𝑞)+OH^-(𝑎⁢𝑞) 𝐾b=𝐾w/𝐾a Poiché l'acido acetico è un acido debole, il suo Ka è misurabile e Kb > 0 (lo ione acetato è una base debole). Sciogliendo l'acetato di sodio in acqua si ottiene una soluzione di cationi inerti (Na⁺) e anioni base deboli (CH₃⁢CO₂⁢^-), ottenendo una soluzione basica. === Sali con ioni acidi e basici === Alcuni sali sono composti sia da ioni acidi che basici e quindi il pH delle loro soluzioni dipenderà dalla forza relativa di queste due specie. Allo stesso modo, alcuni sali contengono un singolo ione anfiprotico, quindi la forza relativa del carattere acido e basico di questo ione determinerà il suo effetto sul pH della soluzione. Per entrambi i tipi di sali, un confronto dei valori Ka e Kb consente di prevedere lo stato acido-base della soluzione, come illustrato nel seguente esercizio di esempio. === La ionizzazione degli ioni metallici idrati === A differenza degli ioni metallici dei gruppi 1 e 2 degli esempi precedenti (Na⁺, Ca²⁺, ecc.), alcuni ioni metallici funzionano come acidi in soluzioni acquose. Questi ioni non vengono semplicemente solvatati liberamente dalle molecole d'acqua quando disciolti, ma sono invece legati covalentemente a un numero fisso di molecole d'acqua per produrre uno ione complesso (vedere capitolo sulla chimica di coordinazione). Ad esempio, la dissoluzione del nitrato di alluminio in acqua è tipicamente rappresentata come Al(NO₃)₃(𝑠)⇌Al₃+⁢(𝑎⁢𝑞)+3⁢NO₃^-⁢(𝑎⁢𝑞) Tuttavia, lo ione alluminio(III) reagisce effettivamente con sei molecole d'acqua per formare uno ione complesso stabile, e quindi la rappresentazione più esplicita del processo di dissoluzione è Al(NO₃)₃⁢(𝑠)+6⁢H₂O(𝑙)⇌Al⁢(H₂O)6⁢3+⁢(𝑎⁢𝑞)+3⁢NO₃⁢^-⁢(𝑎⁢𝑞) gli ioni Al(H₂O)₆⁢³⁺ coinvolgono legami tra un atomo centrale di Al e gli atomi di O delle sei molecole d'acqua. Di conseguenza, i legami O–H delle molecole d'acqua legate sono più polari rispetto alle molecole d'acqua non legate, rendendo le molecole legate più inclini alla donazione di uno ione idrogeno: Al(H₂O)6⁢3+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃⁢O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Al⁢(H₂O)5(OH)₂+⁢(𝑎⁢𝑞) 𝐾a=1.4×10^-5 La base coniugata prodotta da questo processo contiene altre cinque molecole d'acqua legate in grado di agire come acidi, e quindi il trasferimento sequenziale o graduale di protoni è possibile come illustrato in alcune equazioni seguenti: Al(H₂O)6⁢3+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Al⁢(H₂O)5(OH)₂+⁢(𝑎⁢𝑞) Al(H₂O)5(OH)₂+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃⁢O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Al⁢(H₂O)4(OH)₂+⁢(𝑎⁢𝑞) Al(H₂O)4(OH)₂⁢+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃⁢O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Al⁢(H₂O)3(OH)₃⁢(𝑎⁢𝑞) FOTO A parte i metalli alcalini (gruppo 1) e alcuni metalli alcalino terrosi (gruppo 2), la maggior parte degli altri ioni metallici subiranno in una certa misura la ionizzazione acida quando disciolti in acqua. La forza acida di questi ioni complessi aumenta tipicamente con l'aumento della carica e la diminuzione delle dimensioni degli ioni metallici. Di seguito sono riportate le equazioni di ionizzazione acida del primo passaggio per alcuni altri ioni metallici acidi: Fe(H₂O)6⁢3+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃⁢O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Fe⁢(H₂O)5(OH)₂+⁢(𝑎⁢𝑞) 𝑝⁢𝐾a=2.74 Cu(H₂O)6⁢2+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃⁢O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Cu⁢(H₂O)5(OH)+⁢(𝑎⁢𝑞) 𝑝⁢𝐾a=~6.3 Zn(H₂O)4⁢2+⁢(𝑎⁢𝑞)+H₂O(𝑙)⇌H₃O+⁡(𝑎⁢𝑞)+Zn⁢(H₂O)3(OH)+⁢(𝑎⁢𝑞) 𝑝⁢𝐾a=9.6 o86exrv631fjhvv4c225i9hk1xt6w2g 2 60062 498575 498509 2026-05-29T06:25:35Z LuciaMartini01 54215 /* Soluzioni degli esercizi: */ 498575 wikitext text/x-wiki == Esercizi sull' equilibrio chimico == === Esercizio 1: === === Esercizio 2: === === Esercizio 3: === === Esercizio 4: === Abbiamo la relazione: <chem>CO + H2O<=>CO2 + H2</chem> Ci sono 6,50 moli di <chem>CO</chem>, 0,65 moli di <chem>H2O</chem>, 0,68 moli di <chem>CO2</chem>, 0,68 moli di <chem>H2</chem> All'interno del recipiente sono introdotte 2,00 moli di H2O sotto forma di vapore. Mantenendo costante il volume e la temperatura, calcola le moli di CO e H2 nel nuovo equilibrio. === Esercizio 5: === Una miscela contenente 3.9 moli di ossido di azoto e 0.88 moli di anidride carbonica è stata fatta reagire in un pallone di 3 litri a temperatura costante. L' equazione è <chem>NO(g) + CO2(g) <=> NO2(g) + CO(g)</chem> All’equilibrio sono presenti 0.11 moli di anidride carbonica. Calcola la costante di equilibrio della reazione. === Esercizio 6: === Avendo la seguente reazione: <chem>SO2(g) + Cl2(g)<=> SO2Cl2(g)</chem> In un recipiente di 1 litro, sono presenti all’equilibrio 0.2 moli di <chem>SO2</chem>, 0.1 moli di <chem>Cl2</chem> e 0.6 moli di <chem>SO2Cl2</chem>. Calcola la nuova composizione all’equilibrio se si aggiungono altre 0.2 moli di Cl2. === Esercizio 7: === Per la reazione a 25 °C: <chem>H2(g) + I2(g) <=> 2HI(g)</chem> La costante di equilibrio è 49 mol/l . All'equilibrio ci sono 0,35 moli di <chem>HI</chem> e 0,050 moli di <chem>H2</chem> . Calcola le moli di <chem>I2</chem>. === Esercizio 8: === Consideriamo la relazione: <chem>FeO(s) + CO(g)<=> Fe(l) + CO2(g)</chem> * a) La concentrazione all'equilibrio di <chem>CO2</chem> è 6,2·10^-4 M e quella di <chem>CO</chem> è 0,68·10^-4 M. Qual è il valore di K? * b) Quale concentrazione di <chem>CO2</chem> è in equilibrio con <chem>CO</chem> di concentrazione 2,1·10^-4 M alla stessa temperatura? === Esercizio 9: === Abbiamo la reazione: <chem>N2O4(g)<=>2NO2(g)</chem> Sono presenti 15,28 g di <chem>N2O4</chem> e 3,12 g di <chem>NO2</chem>. Qual è il valore della costante di equilibrio Keq? === Esercizio 10: === Vengono introdotte 3 moli di <chem>COCl2</chem>e 1 mole di <chem>Cl2</chem> . La reazione è la seguente: <chem>COCL2(g)<=> CO(g) + CL2(g)</chem> Determinare il valore della Kp sapendo che, raggiunto l'equilibrio, la pressione totale è 121,7 atm e il numero di moli totali è 4,824. === Soluzioni degli esercizi: === '''Esercizio 1''': '''Esercizio 2:''' '''Esercizio 3:''' '''Esercizio 4:''' n(<chem>CO</chem>) = 5,99 mol; n(<chem>H2</chem>) = 1,18 mol '''Esercizio 5:''' Keq= 1.76 mol/l '''Esercizio 6:''' <chem>[SO2]</chem> = 0.011 mol/l; <chem>[Cl2]</chem> = 0.021 mol/l; <chem>[SO2 Cl2]</chem> = 0.69 mol/l '''Esercizio 7:''' [<chem>I2</chem>] = 0,050 mol/l '''Esercizio 8:''' Keq = 9,11 ; [ <chem>CO2</chem>] = 1,91 ·10^-3 mol/l '''Esercizio 9:''' Keq = 0,58 · 10^-2 mol/l '''Esercizio 10:''' Kp = 17,43 atm 5210ruahba9pjzvq2ymf4glwyt1k6bg 498581 498575 2026-05-29T06:47:21Z LuciaMartini01 54215 /* Esercizio 1: */ 498581 wikitext text/x-wiki == Esercizi sull' equilibrio chimico == === Esercizio 1: === Alla temperatura di 1000 gradi abbiamo la seguente reazione: <chem>CO2(g) + H2(g)<=>H2O(g) + CO(g)</chem>. La costante di equilibrio è di 1,5, e considerando che le concentrazioni iniziali di <chem>CO</chem> e <chem>H2O</chem> sono entrambe di 1,0 mol/L, determina le concentrazioni dei reagenti e dei prodotti all'equilibrio. '''Soluzione:''' Dopo aver verificato che la reazione è già bilanciata, osserviamo che le concentrazioni iniziali dei reagenti sono: [<chem>CO</chem>] = [<chem>H2O</chem>] =1,0 M [<chem>CO2</chem>] = [<chem>H2</chem>] = 0 M Indichiamo con ''x'' le concentrazioni dei prodotti all'equilibrio, quelle dei reagenti all’equilibrio si indicheranno quindi con (1,0 - x) M: [<chem>CO2</chem>]_eq = [<chem>H2</chem>]_eq = ''x'' M [<chem>CO</chem>]_eq = [<chem>H2O</chem>]_eq = (1,0 - ''x'') M Sostituiamo questi valori nell’espressione della ''Keq'', ''Keq'' = [<chem>CO2</chem>] · [<chem>H2</chem>] / [<chem>CO</chem>] · [<chem>H2O</chem>] 1,5 = ''x · x'' / (1,0 - ''x'')·(1,0 - ''x'') === Esercizio 2: === === Esercizio 3: === === Esercizio 4: === Abbiamo la reazione: <chem>CO + H2O<=>CO2 + H2</chem> Ci sono 6,50 moli di <chem>CO</chem>, 0,65 moli di <chem>H2O</chem>, 0,68 moli di <chem>CO2</chem>, 0,68 moli di <chem>H2</chem> All'interno del recipiente sono introdotte 2,00 moli di H2O sotto forma di vapore. Mantenendo costante il volume e la temperatura, calcola le moli di CO e H2 nel nuovo equilibrio. === Esercizio 5: === Una miscela contenente 3.9 moli di ossido di azoto e 0.88 moli di anidride carbonica è stata fatta reagire in un pallone di 3 litri a temperatura costante. L' equazione è <chem>NO(g) + CO2(g) <=> NO2(g) + CO(g)</chem> All’equilibrio sono presenti 0.11 moli di anidride carbonica. Calcola la costante di equilibrio della reazione. === Esercizio 6: === Avendo la seguente reazione: <chem>SO2(g) + Cl2(g)<=> SO2Cl2(g)</chem> In un recipiente di 1 litro, sono presenti all’equilibrio 0.2 moli di <chem>SO2</chem>, 0.1 moli di <chem>Cl2</chem> e 0.6 moli di <chem>SO2Cl2</chem>. Calcola la nuova composizione all’equilibrio se si aggiungono altre 0.2 moli di Cl2. === Esercizio 7: === Per la reazione a 25 °C: <chem>H2(g) + I2(g) <=> 2HI(g)</chem> La costante di equilibrio è 49 mol/l . All'equilibrio ci sono 0,35 moli di <chem>HI</chem> e 0,050 moli di <chem>H2</chem> . Calcola le moli di <chem>I2</chem>. === Esercizio 8: === Consideriamo la relazione: <chem>FeO(s) + CO(g)<=> Fe(l) + CO2(g)</chem> * a) La concentrazione all'equilibrio di <chem>CO2</chem> è 6,2·10^-4 M e quella di <chem>CO</chem> è 0,68·10^-4 M. Qual è il valore di K? * b) Quale concentrazione di <chem>CO2</chem> è in equilibrio con <chem>CO</chem> di concentrazione 2,1·10^-4 M alla stessa temperatura? === Esercizio 9: === Abbiamo la reazione: <chem>N2O4(g)<=>2NO2(g)</chem> Sono presenti 15,28 g di <chem>N2O4</chem> e 3,12 g di <chem>NO2</chem>. Qual è il valore della costante di equilibrio Keq? === Esercizio 10: === Vengono introdotte 3 moli di <chem>COCl2</chem>e 1 mole di <chem>Cl2</chem> . La reazione è la seguente: <chem>COCL2(g)<=> CO(g) + CL2(g)</chem> Determinare il valore della Kp sapendo che, raggiunto l'equilibrio, la pressione totale è 121,7 atm e il numero di moli totali è 4,824. === Soluzioni degli esercizi: === '''Esercizio 1''': '''Esercizio 2:''' '''Esercizio 3:''' '''Esercizio 4:''' n(<chem>CO</chem>) = 5,99 mol; n(<chem>H2</chem>) = 1,18 mol '''Esercizio 5:''' Keq= 1.76 mol/l '''Esercizio 6:''' <chem>[SO2]</chem> = 0.011 mol/l; <chem>[Cl2]</chem> = 0.021 mol/l; <chem>[SO2 Cl2]</chem> = 0.69 mol/l '''Esercizio 7:''' [<chem>I2</chem>] = 0,050 mol/l '''Esercizio 8:''' Keq = 9,11 ; [ <chem>CO2</chem>] = 1,91 ·10^-3 mol/l '''Esercizio 9:''' Keq = 0,58 · 10^-2 mol/l '''Esercizio 10:''' Kp = 17,43 atm n5e8ui9pvqn002fn9wk3ldsx8olqfm5 498583 498581 2026-05-29T06:50:57Z LuciaMartini01 54215 /* Esercizio 1: */ 498583 wikitext text/x-wiki == Esercizi sull' equilibrio chimico == === Esercizio 5: === Alla temperatura di 1000 gradi abbiamo la seguente reazione: <chem>CO2(g) + H2(g)<=>H2O(g) + CO(g)</chem>. La costante di equilibrio è di 1,5, e considerando che le concentrazioni iniziali di <chem>CO</chem> e <chem>H2O</chem> sono entrambe di 1,0 mol/L, determina le concentrazioni dei reagenti e dei prodotti all'equilibrio. '''Soluzione:''' Dopo aver verificato che la reazione è già bilanciata, osserviamo che le concentrazioni iniziali dei reagenti sono: [<chem>CO</chem>] = [<chem>H2O</chem>] =1,0 M [<chem>CO2</chem>] = [<chem>H2</chem>] = 0 M Indichiamo con ''x'' le concentrazioni dei prodotti all'equilibrio, quelle dei reagenti all’equilibrio si indicheranno quindi con (1,0 - x) M: [<chem>CO2</chem>]_eq = [<chem>H2</chem>]_eq = ''x'' M [<chem>CO</chem>]_eq = [<chem>H2O</chem>]_eq = (1,0 - ''x'') M Sostituiamo questi valori nell’espressione della ''Keq'', ''Keq'' = [<chem>CO2</chem>] · [<chem>H2</chem>] / [<chem>CO</chem>] · [<chem>H2O</chem>] 1,5 = ''x · x'' / (1,0 - ''x'')·(1,0 - ''x'') risolviamo l'equazione di secondo grado e otteniamo un valore di ''x'' pari a 0,56 M, da cui si calcoliamo le seguenti concentrazioni di reagenti e prodotti all'equilibrio: [CO] = [H₂O] = 0,44 M [CO₂] = [H₂] = 0,56 M === Esercizio 6: === === Esercizio 7: === === Esercizio 8: === Abbiamo la reazione: <chem>CO + H2O<=>CO2 + H2</chem> Ci sono 6,50 moli di <chem>CO</chem>, 0,65 moli di <chem>H2O</chem>, 0,68 moli di <chem>CO2</chem>, 0,68 moli di <chem>H2</chem> All'interno del recipiente sono introdotte 2,00 moli di H2O sotto forma di vapore. Mantenendo costante il volume e la temperatura, calcola le moli di CO e H2 nel nuovo equilibrio. === Esercizio 9: === Una miscela contenente 3.9 moli di ossido di azoto e 0.88 moli di anidride carbonica è stata fatta reagire in un pallone di 3 litri a temperatura costante. L' equazione è <chem>NO(g) + CO2(g) <=> NO2(g) + CO(g)</chem> All’equilibrio sono presenti 0.11 moli di anidride carbonica. Calcola la costante di equilibrio della reazione. === Esercizio 10: === Avendo la seguente reazione: <chem>SO2(g) + Cl2(g)<=> SO2Cl2(g)</chem> In un recipiente di 1 litro, sono presenti all’equilibrio 0.2 moli di <chem>SO2</chem>, 0.1 moli di <chem>Cl2</chem> e 0.6 moli di <chem>SO2Cl2</chem>. Calcola la nuova composizione all’equilibrio se si aggiungono altre 0.2 moli di Cl2. === Esercizio 11: === Per la reazione a 25 °C: <chem>H2(g) + I2(g) <=> 2HI(g)</chem> La costante di equilibrio è 49 mol/l . All'equilibrio ci sono 0,35 moli di <chem>HI</chem> e 0,050 moli di <chem>H2</chem> . Calcola le moli di <chem>I2</chem>. === Esercizio 12: === Consideriamo la relazione: <chem>FeO(s) + CO(g)<=> Fe(l) + CO2(g)</chem> * a) La concentrazione all'equilibrio di <chem>CO2</chem> è 6,2·10^-4 M e quella di <chem>CO</chem> è 0,68·10^-4 M. Qual è il valore di K? * b) Quale concentrazione di <chem>CO2</chem> è in equilibrio con <chem>CO</chem> di concentrazione 2,1·10^-4 M alla stessa temperatura? === Esercizio 13: === Abbiamo la reazione: <chem>N2O4(g)<=>2NO2(g)</chem> Sono presenti 15,28 g di <chem>N2O4</chem> e 3,12 g di <chem>NO2</chem>. Qual è il valore della costante di equilibrio Keq? === Esercizio 14: === Vengono introdotte 3 moli di <chem>COCl2</chem>e 1 mole di <chem>Cl2</chem> . La reazione è la seguente: <chem>COCL2(g)<=> CO(g) + CL2(g)</chem> Determinare il valore della Kp sapendo che, raggiunto l'equilibrio, la pressione totale è 121,7 atm e il numero di moli totali è 4,824. === Soluzioni degli esercizi: === '''Esercizio 5''': '''Esercizio 6:''' '''Esercizio 7:''' '''Esercizio 8:''' n(<chem>CO</chem>) = 5,99 mol; n(<chem>H2</chem>) = 1,18 mol '''Esercizio 9:''' Keq= 1.76 mol/l '''Esercizio 10:''' <chem>[SO2]</chem> = 0.011 mol/l; <chem>[Cl2]</chem> = 0.021 mol/l; <chem>[SO2 Cl2]</chem> = 0.69 mol/l '''Esercizio 11:''' [<chem>I2</chem>] = 0,050 mol/l '''Esercizio 12:''' Keq = 9,11 ; [ <chem>CO2</chem>] = 1,91 ·10^-3 mol/l '''Esercizio 13:''' Keq = 0,58 · 10^-2 mol/l '''Esercizio 14:''' Kp = 17,43 atm pw0zb9um5oylh26m8fzw0sswf4a8j1f 2 60063 498586 498511 2026-05-29T06:55:13Z AnnaRotras 54220 498586 wikitext text/x-wiki = Esercizi sulle soluzioni e le diverse modalità di esprimerle (M, m, X) = === esercizio 41 === scrivi la definizione di: a) molalità b) molarità c) frazione morale d) percentuale morale === esercizio 42 === Enuncia la differenza tra molarità e molalità. === esercizio 43 === Determina se le seguenti affermazioni sono vere o false: # V | F — Una soluzione 1 M contiene esattamente 1 mole di soluto in 1 litro di solvente. # V | F — La molarità (M) di una soluzione dipende dalla temperatura, poiché il volume varia con il variare di essa. # V | F — Sciogliendo58,44 g di cloruro di sodio NaCl in acqua fino ad ottenere 500 mL di soluzione, la concentrazione molare è 2 M. # V | F — Se si diluisce una soluzione aggiungendo solvente, la concentrazione molare diminuisce, ma il numero di moli di soluto rimane costante. === esercizio 44 === Una soluzione è composta da 2 moli di alcol e 8 moli di acqua. Calcola la frazione molare di entrambi i componenti. === esercizio 45 === tabella del libro === esercizio 46 === Se aumento il volume mantenendo costanti le moli, la molarità aumenta o diminuisce? === esercizio 47 === Una soluzione da 0,5 M contiene più o meno soluto di una da 2 M? === esercizio 48 === 2 mol di soluto in 1 L di soluzione corrispondono a quante molarità? === esercizio 49 === Quante moli ci sono in 2 L di soluzione 0,4 M? === esercizio 50 === Descrivi i passaggi principali per calcolare la molarità partendo da massa e volume. === esercizio 51 === Perché il volume finale della soluzione è importante nel calcolo della molarità? === esercizio 52 === Spiega in una frase perché la molarità è utile nei laboratori chimici. === esercizio 53 === Una soluzione acquosa di solfato di sodio ( Na₂SO₄) ha una concentrazione pari a 0,500 m. Calcola la frazione molare del soluto (Na₂SO₄) nella soluzione? === esercizio 54 === Calcola i grammi di soluto necessari per preparare 500mL di una soluzione di cloruro di bario (BaCl₂) 0,150 M. === esercizio 55 === Calcola i grammi di soluto necessari per preparare ognuna delle seguenti soluzioni: a) 300 mL di KBr (bromuro di potassio) 0,400 M b) 150 mL di C₁₂H₂₂O₁₁ (saccarosio) 0,250 M === esercizio 56 === Calcola la molarità di una soluzione preparata sciogliendo 8,00 g di idrossido di potassio (KOH) in 200,0 mL di soluzione === esercizio 57 === Una soluzione di etanolo, CH₃CH₂OH, in acqua ha concentrazione 1,25 m. Calcola quanti grammi di soluto sono presenti in 100g di solvente. === esercizio 58 === come varia la molalità di una soluzione in funzione della temperatura? come varia invece la molalità? === esercizio 59 === Calcola la molalità di NaCl in una soluzione 3,000 M, la cuidensità è pari a 1,07 g mL ^-1 === esercizio 60 === Una miscela di gas inerti utilizzata in particolari tecniche di saldatura è composta da elio (X_He = 0,750 ) e argon. Calcola le moli di argon se le moli totali della miscela sono 0,340. === esercizio 61 === In 750 mL di vino (d= 0,982 g/mL) sono presenti 93 mL di etanolo (MM =46,05 g/mol ; d= 0,792 g/ mL ). Calcolare la molarità, frazione molare e molalità dell'etanolo nella soluzione. Si consideri il vino formato unicamente da acqua e etanolo. === esercizio 62 === Calcolare le moli di KOH presenti in 95.0 mL di una soluzione 0.255 M === esercizio 63 === Calcolare il volume di una soluzione 0.500 M di cloruro di bario BaCl2 contenente 16.5 g di sale. === esercizio 64 === A 200 ml di una soluzione 0,220 M DI HCl si aggiunge una soluzione di HCl a concentrazione incognita, fino ad ottenere 1 L di soluzione 0,300 M. Si determini la concentrazione molare incognita. === esercizio 65 === In un matraccio vengono versati : a) 5 mL di una soluzione concentrazione di HCl (% m /m = 20%; d = 1,10 g/mL ) b) 50 mL di una soluzione 0,80 M sempre di HCl c) acqua fino al volume finale di 250 mL Determinare la moralità della soluzione ottenuta === esercizio 66 === Calcola la concentrazione percentuale peso/peso (% p/p) di una soluzione ottenuta sciogliendo 15,00 g di K2SO4 (solfato di potassio) in 180,00 g di acqua. === esercizio 67 === Tutte le soluzioni che vengono iniettate per endovena devono presentare la stessa pressione osmotica del plasma del sangue umano π = 7,65 atm. alla temperatura di 37,0 °C. Calcola la massa (g) di glucosio, C6H12O6 (MM = 180,16) che si deve sciogliere in acqua per ottenere 1,00 litri di soluzione che abbia la stessa pressione osmotica del plasma. === esercizio 68 === Dati 5 Kg di una soluzione al 10% e 10 Kg della medesima soluzione (stesso solvente e stesso soluto) al 15%, quale `e la concentrazione della soluzione ottenuta mescolandole? === esercizio 69 === Sono date due soluzioni dello stesso soluto e dello stesso solvente, la prima al 10% e la seconda al 4%. In quale proporzione occorre mescolarle per ottenere una soluzione all’8%? Scrivere i risultati sotto forma di frazione con numeratore e denominatore interi. === esercizio 70 === Una soluzione NaOH è 1.1 M. Calcolare il volume di H2O che deve essere aggiunto a 700 ml di tale soluzione per ottenere una soluzione 0.35 M. Calcolare inoltre la molalità della soluzione finale sapendo che la sua densità 1.219 g/ml. rkub34hlsfhsp9aoo5w41kwdb4tunwi 2 60066 498590 498510 2026-05-29T06:56:30Z Zoe.grava 54231 498590 wikitext text/x-wiki == Nuovo paragrafo == === Esercizio 1 === La solubilità del fluoruro di bario <math>BaF_2</math> in acqua è 1,30 g/L. Calcola il prodotto di solubilità del sale. === Esercizio 2 === A 25°C la solubilità in acqua del solfato di bario <math>BaSO_4</math> è 1,22 · 10^-5 mol/L. a) Calcola il <u>prodotto di solubilità</u> del '''solfato di bario'''; b) Determina la <u>massa in grammi di sale</u> che si scioglie in 250 mL di acqua. Si trascuri la variazione di volume dovuta all'aggiunta del sale. === Esercizio 3 === Una soluzione satura di <chem>Ca(OH)_2</chem> ha pH = 12,35. Calcola: a) <u>solubilità</u> (in g/L) dell'idrossido; b) <u>prodotto di solubilità</u> dell'idrossido. === Esercizio 4 === 30 mg di <math>Fe(OH)^3</math> vengono posti in 200 mL di acqua e quindi vengono aggunti 30 mg di <math>FeCl_3</math> (Kps = 4 10-38). Determinare la <u>solubilità</u> dell’idrossido in tale soluzione. Determinare il <u>pH</u> al quale occorre portare la soluzione perché tutti i 30 mg passino in soluzione. === Esercizio 5 === Se ai 300 mL della soluzione tampone a pH = 9.1 si aggiungono 20 mL di una soluzione acquosa contenente 0.15g di <math>Fe_2(SO_4)_3</math> si ha formazione di <math>Fe(OH)_3</math> (Kps = 1.1 10^-36). Determinare quanti <u>grammi di precipitato</u> si ottengono. === Esercizio 6 === Determinare quanti grammi di <chem>Ag_2SO_4</chem> è possibile sciogliere in 1,0 L di acqua pura e in 1,00 L di una soluzione 0,420 M di <chem>Na_2SO_4</chem>. Kps(<chem>Ag_2SO_4</chem>) = 7,0 · 10^-5 Si consideri trascurabile l'aumento di volume dovuto all'aggiunta di <chem>Ag_2SO_4</chem>. === Esercizio 7 === Un litro di una soluzione acquosa contiene 0.1 moli di <chem>Na_2SO_4</chem>e 0.2 moli di <chem>NaF</chem>. Se si aggiunge lentamente una soluzione di BaCl2, quale anione precipita per primo, e quanti mg di esso rimangono in soluzione quando avrà inizio la precipitazione dell’altro anione? K_ps BaSO₄ = 1.1 10^-10, K_ps BaF₂ = 1.0 10^-6. === e === Partendo da una soluzione 0,032 mol/L di ioni Fe2+ , a quale pH inizia a precipitare l'idrossido ferroso Fe(OH)2 ? A quale pH sarà completa al 99,99%? Si sappia che per il Fe(OH)2 vale Kps = 8 · 10 -16 . === e === Dimostrare se è possibile separare gli ioni Cu2+ e Ni 2+ da una soluzione 0,010 mol/L in entrambi gli ioni precipitandoli selettivamente come solfuri. Kps(NiS) = 1,0 · 10 -22 Kps(CuS) = 4,0 · 10 -36 == Soluzioni agli esercizi == * '''Esercizio 1''': K_ps = 1,63 · 10^-6 * '''Esericizio 2''': K_ps = 1,49 · 10^-10 ; Quantità di <math>BaF_2</math> in 250 ml di <math>H_2O</math> = 7,1 · 10^-4 g * '''Esercizio 3''': * '''Esercizio 4''': 0.92 · 10^-3; pH = 2.41 * '''Esercizio 5''': m _Fe(OH)3 = 0,08 g * '''Esercizio 6''': K_ps = 1v8329tm9wtbxrj5q9dmaiwxsyd617y 2 60069 498591 492093 2026-05-29T06:58:25Z Gioia Gazzola 54228 /* bonjour 💕 */ 498591 wikitext text/x-wiki == Esercizi sull'innalzamento ebulloscopico == ===== Esercizio svolto modello 1: Calcolo dell'innalzamento ebulloscopico con elettroliti ===== Si calcoli l'innalzamento ebullioscopico di una soluzione acquosa ottenuta sciogliendo 15 g di cloruro di bario (BaCl₂, Massa Molare = 208,23 g/mol) in 400 g di acqua, sapendo che per l'acqua Keb = 0,515 (°C · kg) / mol. ''Svolgimento''''':''' # Calcolo delle moli di soluto (BaCl₂): Dividiamo la massa in grammi del soluto per la sua massa molare: <math>n=\frac{\text{massa (g)}}{MM}n = \frac{\text{massa (g)}}{MM} = \frac{15\text{ g}}{208.23\text{ g/mol}} = 0.072\text{ mol}</math> # Calcolo della molalità ($m$): Dividiamo il numero di moli di soluto per la massa in chilogrammi del solvente : <math>m = \frac{n}{\text{massa solvente (kg)}} = \frac{0.072\text{ mol}}{0.400\text{ kg}} = 0.180\text{ mol/kg}</math> # Determinazione del coefficiente di van 't Hoff (i): Il cloruro di bario (BaCl₂) è un elettrolita forte che in acqua si dissocia completamente in ioni secondo la reazione: $$\text{BaCl}_2 \rightarrow \text{Ba}^{2+} + 2\text{Cl}^-$$ Poiché da una mole di BaCl₂ se ne liberano ben 3 moli di ioni (una di Ba²⁺ e due di Cl^-), il coefficiente i è pari a 3. # Calcolo dell'innalzamento ebullioscopico (ΔT_eb): Applichiamo la formula completa per gli elettroliti: <math>\Delta T_{eb} = i \cdot K_{eb} \cdot m = 3 \cdot 0.515\text{ }^{\circ}\text{C}\cdot\text{kg/mol} \cdot 0.180\text{ mol/kg} = 0.278^{\circ}\text{C}</math> # Calcolo della temperatura di ebollizione della soluzione: Sapendo che l'acqua pura bolle a 100 C, la nuova temperatura di ebollizione sarà: <math>T_{\text{eb, soluzione}} = 100^{\circ}\text{C} + 0.278^{\circ}\text{C} = 100.278^{\circ}\text{C}</math> ===== Esercizio modello 1 ===== Un campione di 5,84 g di cloruro di sodio (NaCl, massa molare = 58.44 g/mol) viene sciolto in 500g di acqua K_b = 0.512 \text{ }^{\circ}\text{C}\cdot\text{kg/mol}$). Ipotizzando una dissociazione ideale e completa, determina la temperatura di ebollizione della soluzione. ''(Soluzione: $T_b = 100.205 \text{ }^{\circ}\text{C}$)'' i3fjluayxxtm31e755093ky81r97fpa 0 60400 498596 497895 2026-05-29T10:27:03Z Alessia gambini 54431 ho cambiato i materiali e descritto cosa è il turboragno. 498596 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 1 bicchiere di carta per simulare il corpo del robot * 3 o 4 pennarelli colorati * 1 piccolo motorino elettrico a corrente continua * 1 porta batterie con interruttore *colla a caldo per fissaggio *occhietti adesivi scovolini colorati e cartoncini per decorazioni |Strumenti= * Colla a caldo *bicchiere di carta *motore elettrico * pennarelli *decorazioni |Tempo=60 minuti}} Il '''TurboRagno''' è... un piccolo robot fai da te, super economico e facile da costruire. Si muove in modo frenetico e apparentemente casuale, la sua caratteristica principale è che se viene costruito utilizzando pennarelli colorati come zampe e viene appoggiato su un grande foglio di carta inizia a ruotare e saltellare lasciando dietro di se una scia di linee, cerchi colorati. == Materiale == Per costruire il TurboRagno è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono veramente limitati ed economici, è un modo casalingo per provare a costruire qualcosa di interessante senza troppa esperienza. == Accessori == == Principio di funzionamento == == Risultato finale == {{Avanzamento|0%|15 maggio 2026}} [[Categoria:Robotica unplugged|TurboRagno]] o1d77z6hyez3d2pq0vaezwy9ccm2hwq 498597 498596 2026-05-29T10:38:15Z Alessia gambini 54431 /* Accessori */ 498597 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 1 bicchiere di carta per simulare il corpo del robot * 3 o 4 pennarelli colorati * 1 piccolo motorino elettrico a corrente continua * 1 porta batterie con interruttore *colla a caldo per fissaggio *occhietti adesivi scovolini colorati e cartoncini per decorazioni |Strumenti= * Colla a caldo *bicchiere di carta *motore elettrico * pennarelli *decorazioni |Tempo=60 minuti}} Il '''TurboRagno''' è... un piccolo robot fai da te, super economico e facile da costruire. Si muove in modo frenetico e apparentemente casuale, la sua caratteristica principale è che se viene costruito utilizzando pennarelli colorati come zampe e viene appoggiato su un grande foglio di carta inizia a ruotare e saltellare lasciando dietro di se una scia di linee, cerchi colorati. == Materiale == Per costruire il TurboRagno è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono veramente limitati ed economici, è un modo casalingo per provare a costruire qualcosa di interessante senza troppa esperienza. == Accessori == Gli accessori utilizzati sono occhietti adesivi per simulare il ragno, pennarelli colorati per simulare le zampette e scovolini colorati. == Principio di funzionamento == Il principio di funzionamento si del TurboRagno si basa sulla trasformazione dell'energia chimica in energia elettrica, poi in energia meccanica rotazionale e infine in energia cinetica vibratoria. == Risultato finale == Il risultato finale di questo esperimento si basa su due livelli: quello pratico, ciò che vedi accadere sul tavolo, e quello didattico o educativo, ciò che hai imparato e realizzato. Non appena sposti l'interruttore su ON il robot prende vita, inizia a roteare lasciando sul foglio segni apparentemente circolari se i pennarelli non possiedono il tappo. Attenzione se si lasciano i pennarelli troppo tempo senza tappo mentre il pennarello è acceso si rischia di rovinarli. {{Avanzamento|0%|15 maggio 2026}} [[Categoria:Robotica unplugged|TurboRagno]] hrk8u3jbchvxo3d3i7i6jdy1i81uizw 498599 498597 2026-05-29T10:41:54Z Alessia gambini 54431 498599 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 1 bicchiere di carta per simulare il corpo del robot * 3 o 4 pennarelli colorati * 1 piccolo motorino elettrico a corrente continua * 1 porta batterie con interruttore *colla a caldo per fissaggio *occhietti adesivi scovolini colorati e cartoncini per decorazioni |Strumenti= * Colla a caldo *bicchiere di carta *motore elettrico * pennarelli *decorazioni |Tempo=60 minuti}} Il '''TurboRagno''' è un piccolo robot fai da te, super economico e facile da costruire. Si muove in modo frenetico e apparentemente casuale, la sua caratteristica principale è che se viene costruito utilizzando pennarelli colorati come zampe e viene appoggiato su un grande foglio di carta inizia a ruotare e saltellare lasciando dietro di se una scia di linee, cerchi colorati. == Materiale == Per costruire il TurboRagno è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono veramente limitati ed economici, è un modo casalingo per provare a costruire qualcosa di interessante senza troppa esperienza. == Accessori == Gli accessori utilizzati sono occhietti adesivi per simulare il ragno, pennarelli colorati per simulare le zampette e scovolini colorati. == Principio di funzionamento == Il principio di funzionamento si del TurboRagno si basa sulla trasformazione dell'energia chimica in energia elettrica, poi in energia meccanica rotazionale e infine in energia cinetica vibratoria. == Risultato finale == Il risultato finale di questo esperimento si basa su due livelli: quello pratico, ciò che vedi accadere sul tavolo, e quello didattico o educativo, ciò che hai imparato e realizzato. Non appena sposti l'interruttore su ON il robot prende vita, inizia a roteare lasciando sul foglio segni apparentemente circolari se i pennarelli non possiedono il tappo. Attenzione se si lasciano i pennarelli troppo tempo senza tappo mentre il pennarello è acceso si rischia di rovinarli. {{Avanzamento|0%|15 maggio 2026}} [[Categoria:Robotica unplugged|TurboRagno]] mbz4awilp6c37r3kpwd4urxjcnoljk0 498613 498599 2026-05-29T11:04:35Z Alessia gambini 54431 498613 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 1 spazzola per simulare il corpo del robot * 1 pennarello colorato * 1 piccolo motorino elettrico a corrente continua * 1 porta batterie con interruttore *colla a caldo per fissaggio *occhietti adesivi scovolini colorati e cartoncini per decorazioni |Strumenti= * Colla a caldo *bicchiere di carta *motore elettrico * pennarelli *decorazioni |Tempo=60 minuti}} Il '''TurboRagno''' è un piccolo robot fai da te, super economico e facile da costruire. Si muove in modo frenetico e apparentemente casuale, la sua caratteristica principale è che se viene costruito utilizzando pennarelli colorati come zampe e viene appoggiato su un grande foglio di carta inizia a ruotare e saltellare lasciando dietro di se una scia di linee, cerchi colorati. == Materiale == Per costruire il TurboRagno è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono veramente limitati ed economici, è un modo casalingo per provare a costruire qualcosa di interessante senza troppa esperienza. == Accessori == Gli accessori utilizzati sono occhietti adesivi per simulare il ragno, pennarelli colorati per simulare le zampette e scovolini colorati. == Principio di funzionamento == Il principio di funzionamento si del TurboRagno si basa sulla trasformazione dell'energia chimica in energia elettrica, poi in energia meccanica rotazionale e infine in energia cinetica vibratoria. == Risultato finale == Il risultato finale di questo esperimento si basa su due livelli: quello pratico, ciò che vedi accadere sul tavolo, e quello didattico o educativo, ciò che hai imparato e realizzato. Non appena sposti l'interruttore su ON il robot prende vita, inizia a roteare lasciando sul foglio segni apparentemente circolari se i pennarelli non possiedono il tappo. Attenzione se si lasciano i pennarelli troppo tempo senza tappo mentre il pennarello è acceso si rischia di rovinarli. {{Avanzamento|0%|15 maggio 2026}} [[Categoria:Robotica unplugged|TurboRagno]] g69wkiv2g69crhfcq39csirs39i6t4p 498614 498613 2026-05-29T11:11:25Z Alessia gambini 54431 498614 wikitext text/x-wiki {{Robotica unplugged}} {{Tempi e materiali| Materiali= * 1 spazzola per simulare il corpo del robot * 1 pennarello colorato * 1 piccolo motorino elettrico a corrente continua * 1 porta batterie con interruttore *colla a caldo per fissaggio *occhietti adesivi scovolini colorati e cartoncini per decorazioni |Strumenti= * Colla a caldo *spazzola piccola *motore elettrico * pennarello *decorazioni |Tempo=60 minuti}} Il '''TurboRagno''' è un piccolo robot fai da te, super economico e facile da costruire. Si muove in modo frenetico e apparentemente casuale, la sua caratteristica principale è che se viene costruito utilizzando una spazzola come corpo del robot appoggiata al contrario con le setole della spazzola verso il basso. Un pennarello a colore a scelta si mette in fondo per simulare una coda e se è senza tappo si può scrivere per terra. == Materiale == Per costruire il TurboRagno è necessario avere a disposizione il materiale elencato in precedenza. === Stima dei costi === I costi sono veramente limitati ed economici, è un modo casalingo per provare a costruire qualcosa di interessante senza troppa esperienza. Meno di 15 euro. == Accessori == Gli accessori utilizzati sono il pennarello colorato per simulare la coda e scovolini colorati, e se si vuole occhietti adesivi per decorarlo. == Principio di funzionamento == Il principio di funzionamento si del TurboRagno si basa sulla trasformazione dell'energia chimica in energia elettrica, poi in energia meccanica rotazionale e infine in energia cinetica vibratoria. == Risultato finale == Il risultato finale di questo esperimento si basa su due livelli: quello pratico, ciò che vedi accadere sul tavolo, e quello didattico o educativo, ciò che hai imparato e realizzato. Non appena sposti l'interruttore su ON il robot prende vita, inizia a muoversi lasciando sul foglio segni colorati se i pennarelli non possiedono il tappo. Attenzione se si lasciano i pennarelli troppo tempo senza tappo mentre il pennarello è acceso si rischia di rovinarli. {{Avanzamento|0%|15 maggio 2026}} [[Categoria:Robotica unplugged|TurboRagno]] rf6u59ujcr4ofthpkgzovkhea5ecb3t 0 60427 498560 498031 2026-05-28T14:39:23Z VoceUmana7 51633 498560 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Nasoni e Gandini<ref>operanti presso Bernasconi</ref> * '''Anno:''' 1910<ref>incorpora il materiale fonico dell'organo predecessore di Damiano Damiani del 1832</ref> * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 17 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''La⁴'') * '''Pedaliera:''' parallela-concava di 27 note (''Do¹''-''Re³'') * '''Accessori:''' Mezzoforte, Forte, Fortissimo, Ripieno, Concerto Violini * '''Collocazione:''' sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale ||16' |- |Principale ||8' |- |Ottava ||4' |- |Flauto|| 4' |- |Duodecima 2.1/2' |- |Quintadecima ||2' |- |Flautino ||2' |- |Ripieno<ref>da 16' a XXIX, a pedaletto</ref> |- |Voce Umana ||8'<ref name=tm1>dal ''Do²''</ref> |- |Tromba ||8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone ||8' |- |Eolina ||8' |- |Celeste o Flebile ||8'<ref name=tm1>dal ''Do²''</ref> |- |Viola o Gamba ||8' |- |Viola ||4' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabasso ||16' |- |Basso ||8' |- |Cello ||8' |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.ismaelegatti.it/files/2016-06-10_Cucciago.pdf|titolo=Percorsi d'organo in provincia di Como}} {{Avanzamento|100%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 0257ba27wygthj9ugyazhj7p1dxokqi 0 60486 498562 2026-05-28T14:44:37Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Appiano Gentile|Appiano Gentile]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Appiano Gentile/Appiano Gentile - Santuario della Beata Vergine del Monte Carmelo|Santuario della Beata Vergine del Monte Carmelo]] {{Avanzamento|50%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 498562 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Appiano Gentile|Appiano Gentile]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Provincia di Como/Appiano Gentile/Appiano Gentile - Santuario della Beata Vergine del Monte Carmelo|Santuario della Beata Vergine del Monte Carmelo]] {{Avanzamento|50%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 1rkrxbtcx7oj641zsm9q54r3bny5ria 0 60487 498563 2026-05-28T14:58:40Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Como Chiesa del Santissimo Crocifisso Interno Coro 4.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Becker Orgelbau * '''Anno:''' 1970 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 7 * '''Canne:''' 479 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>''... 498563 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Como Chiesa del Santissimo Crocifisso Interno Coro 4.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Becker Orgelbau * '''Anno:''' 1970 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 7 * '''Canne:''' 479 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Accessori:''' Unione Tasto-Pedale, Tremolo * '''Collocazione:''' in corpo unico a pavimento {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Manuale''' ---- |- |Gedackt ||8' |- |Prinzipal ||4' |- |Rohrflöte ||4' |- |Waldflöte ||2' |- |Sesquialter ||2 file<ref>dal ''Si<small>2</small>''</ref> |- |Scharf || 3 file |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbaß || 16' |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.ismaelegatti.it/files/2016-06-10_Cucciago.pdf|titolo=Percorsi d'organo in provincia di Como}} {{Avanzamento|100%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] a1skfr3m6ow95tgxlpdj8b699ove5wy 498564 498563 2026-05-28T14:58:53Z VoceUmana7 51633 498564 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Becker Orgelbau * '''Anno:''' 1970 * '''Restauri/modifiche:''' ? * '''Registri:''' 7 * '''Canne:''' 479 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Accessori:''' Unione Tasto-Pedale, Tremolo * '''Collocazione:''' in corpo unico a pavimento {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Manuale''' ---- |- |Gedackt ||8' |- |Prinzipal ||4' |- |Rohrflöte ||4' |- |Waldflöte ||2' |- |Sesquialter ||2 file<ref>dal ''Si<small>2</small>''</ref> |- |Scharf || 3 file |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbaß || 16' |- |} |} == Note == <references/> == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.ismaelegatti.it/files/2016-06-10_Cucciago.pdf|titolo=Percorsi d'organo in provincia di Como}} {{Avanzamento|100%|28 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] ls8gu2dkmrhu6dx6h1zrof9sar4j44f 2 60488 498577 2026-05-29T06:39:12Z Toaldo.matilde 54430 Nuova pagina: cuao 498577 wikitext text/x-wiki cuao 6t78ajvuhrgzvdxh9ml8db2n3t9dl2h