Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 5293 499386 499333 2026-06-24T15:13:33Z Pasquale.Carelli 528 499386 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. mivlpet6vetn1ucksckbvalto70pk0d 499390 499386 2026-06-24T17:19:51Z Pasquale.Carelli 528 499390 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEA DISSIPATIVA== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==ESEMPI FISICI E GEOMETRIE COMUNI== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> rq3x8yag1j1i8a2jnm37kqbl6y8g6lq 499391 499390 2026-06-24T17:43:48Z Pasquale.Carelli 528 499391 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. 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Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEA DISSIPATIVA== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==ESEMPI FISICI E GEOMETRIE COMUNI== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', [[w:Linea_a_striscia|stripline]] e linee complanari)=== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|250px|Diagramma della sezione trasversale della geometria della linea a striscia. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal [[dielettrico]] (C).]] Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''Microstrip''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] È la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> gvod41b5jcdj1t94um2kacurkdzj16a 499394 499391 2026-06-24T18:45:07Z Pasquale.Carelli 528 499394 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEA DISSIPATIVA== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==ESEMPI FISICI E GEOMETRIE COMUNI== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della geometria della linea a striscia. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') btoqquf846va7gweec5fj31byzhzlh7 499395 499394 2026-06-24T19:19:14Z Pasquale.Carelli 528 /* LINEA DISSIPATIVA */ 499395 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==ESEMPI FISICI E GEOMETRIE COMUNI== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della geometria della linea a striscia. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') g6jvcxf7un51lv8uagxl1wrjnku88p6 499396 499395 2026-06-24T19:20:25Z Pasquale.Carelli 528 /* Stripline */ 499396 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===FENOMENI DI RIFLESSIONE=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==ESEMPI FISICI E GEOMETRIE COMUNI== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') taufofj6mxhfnsh5bvu0ds6s13hvs82 499397 499396 2026-06-24T20:01:33Z Pasquale.Carelli 528 499397 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math> ]. Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') fizk688whf1ucndju29kvsdatgcb50c 499398 499397 2026-06-24T20:04:01Z Pasquale.Carelli 528 /* Casi Limite */ 499398 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math> ]. Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') jtpvff03j3f264pm655gmqulqyijo5i 499399 499398 2026-06-24T20:05:06Z Pasquale.Carelli 528 /* Modo TEM (Transverse Electromagnetic Mode) */ 499399 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') b9cy6z9doomr5bznji2mhhik323mhe7 499403 499399 2026-06-24T20:32:52Z Pasquale.Carelli 528 499403 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} a53zqld78qitx5oxrxbzbvpefgv9tee 499406 499403 2026-06-25T09:38:04Z Pasquale.Carelli 528 /* Linea non dissipativa */ 499406 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} sgvcqiy8rkdcmdcfez0qir42ny7pb2o 499407 499406 2026-06-25T10:01:33Z Pasquale.Carelli 528 499407 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea non dissipativa| testo= Per una linea uniforme lossless (non dissipativa) con parametri per unità di lunghezza <math>L'</math> (induttanza) e <math>C'</math> (capacità), e con <math>R' = 0</math>, <math>G' = 0</math>, in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> Derivo la prima equazione rispetto a <math>z</math>: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, \frac{dI(z)}{dz}</math> Sostituisco <math>\dfrac{dI}{dz}</math> dalla seconda: :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> quindi: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, (-j\omega C' \, V(z)) = (-j)(-j)\,\omega^2 L' C' \, V(z)</math> Poiché <math>(-j)(-j) = -1</math>, ottengo: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -\omega^2 L' C' \, V(z)</math> cioè: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} + \omega^2 L' C' \, V(z) = 0</math> La costante di propagazione (per linea senza perdite) è puramente immaginaria: <math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> La soluzione generale per la tensione è: :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z} + V^- e^{+j\beta z}</math> e per la corrente: :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z} + I^- e^{+j\beta z}</math> Considero ora solo l’onda diretta (che viaggia, ad esempio, verso <math>+z</math>): :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z}</math> :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z}</math> Per questa onda il rapporto <math>V/I</math> è costante lungo la linea e, per definizione, è l’impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \frac{V(z)}{I(z)} = \frac{V+}{I+}</math> Riprendo la prima equazione dei telegrafisti: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> Sostituisco le espressioni dell’onda diretta: :<math>\frac{d}{dz}\bigl(V^+ e^{-j\beta z}\bigr) = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> La derivata a sinistra è: :<math>-j\beta V^+ e^{-j\beta z} = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> Elimino il fattore comune <math>e^{-j\beta z}</math> e il fattore <math>-j</math> da entrambi i membri: :<math>\beta V^+ = \omega L' \, I^+</math> Da cui: :<math>\frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\beta}</math> Ma, per la linea senza perdite: :<math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> quindi: :<math>Z_0 = \frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\omega \sqrt{L' C'}} = \frac{L'}{\sqrt{L' C'}} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> come volevasi dimostrare. }} ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} 5o39a6hlvhbuttsylm9wnnlno7031yl 499412 499407 2026-06-25T10:13:18Z Pasquale.Carelli 528 Pagina sostituita con '{{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. -->' 499412 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> tuui93lxh4l3awibnruo4zog86zitq7 499414 499412 2026-06-25T10:53:51Z Pasquale.Carelli 528 499414 wikitext text/x-wiki {{sandbox}}<!-- Scrivi SOTTO questa riga senza cancellarla. Grazie. --> {{Cassetto| titolo=Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea dissipativa| testo= Per una linea uniforme dissipativa con parametri per unità di lunghezza <math>L'</math> (induttanza) e <math>C'</math> (capacità), <math>R' </math>, <math>G'0</math>, in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono: Le equazioni dei telegrafisti in regime sinusoidale diventano: :<math>\frac{dV(x)}{dx} = -(R' + j\omega L')\, I(x)</math> :<math>\frac{dI(x)}{dx} = -(G' + j\omega C')\, V(x)</math> Derivo la prima rispetto a <math>x</math>: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dx^2} = -(R' + j\omega L')\, \frac{dI(x)}{dx}</math> Sostituisco <math>\dfrac{dI}{dx}</math> dalla seconda: :<math>\frac{dI(x)}{dx} = -(G' + j\omega C')\, V(x)</math> quindi: :<math>\frac{d^2 V(x)}{dx^2} = -(R' + j\omega L')\, \bigl(-(G' + j\omega C')\, V(x)\bigr)</math> :<math>\frac{d^2 V(x)}{dz^x} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')\, V(x)</math> Definisco la costante di propagazione complessa: :<math>\gamma^2 = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')</math> Allora: :<math>\frac{d^2 V(x)}{dx^2} = \gamma^2 V(x)</math> Le soluzioni sono esponenziali: :<math>V(x) = V^+ e^{-\gamma x} + V^- e^{+\gamma x}</math> In modo del tutto analogo, derivando la seconda equazione e sostituendo la prima, si ottiene: :<math>\frac{d^2 I(x)}{dx^2} = \gamma^2 I(x)</math> con soluzione: :<math>I(x) = I^+ e^{-\gamma x} + I^- e^{+\gamma x}</math> Per definire l’impedenza caratteristica, considero l’onda che si propaga in una direzione (ad esempio verso <math>+x</math>): :<math>V(x) = V^+ e^{-\gamma x}</math> :<math>I(x) = I^+ e^{-\gamma x}</math> Per questa onda il rapporto <math>V/I</math> è costante: <math>Z_0 = \frac{V(x)}{I(x)} = \frac{V+}{I+}</math> Riprendo la prima equazione: :<math>\frac{dV(x)}{dx} = -(R' + j\omega L') I(x)</math> Sostituisco le espressioni dell’onda diretta: :<math>\frac{d}{dx}\bigl(V^+ e^{-\gamma x}\bigr) = -(R' + j\omega L')\, I^+ e^{-\gamma x}</math> La derivata a sinistra è: :<math>-\,\gamma V^+ e^{-\gamma x} = -(R' + j\omega L')\, I^+ e^{-\gamma x}</math> Elimino il fattore comune <math>e^{-\gamma x}</math> e il segno <math>-</math>: :<math>\gamma V^+ = (R' + j\omega L')\, I^+</math> Da cui: :<math>\frac{V+}{I+} = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma}</math> cioè: :<math>Z_0 = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma}</math> Dalla definizione: :<math>\gamma^2 = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C')</math> posso scrivere: :<math>\gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> Allora: :<math>Z_0 = \frac{R' + j\omega L'}{\gamma} = \frac{R' + j\omega L'}{\sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}}</math> Raccolgo <math>R' + j\omega L'</math> sotto radice: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> come volevasi dimostrare. }} qx4blteggvg6n03ih1em2tmiax94a1s 0 10606 499409 499300 2026-06-25T10:06:04Z Pasquale.Carelli 528 /* Dissipazione e rottura delle onde */ piccola correzione 499409 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Corda Vibrante |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Corda_vibrante |CapitoloSuccessivo=Linea di trasmissione |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Linea_di_trasmissione }} {{fisica classica}} [[Image:Wave_motion-i18n.png|thumb|350px|left|Movimento di una particella in una onda del mare.<br> '''A'''=Acqua profonda.<br> '''B'''=Acqua poco profonde.Il movimento diventa sempre più ellittico al diminuire della profondità.<br> '''1'''= Verso di propagazione dell'onda <br> '''2'''= Cresta <br> '''3'''= cavo]] =[[w:Onda_marina|Onde del mare]]= Le onde del mare sono onde meccaniche di superficie che si propagano lungo l’interfaccia acqua–aria. La forza di richiamo che tende a riportare la superficie allo stato di equilibrio è fornita principalmente dalla gravità, per cui queste onde appartengono alla categoria delle [[w:Onda_di_gravità|onde di gravità]]. Esse si generano quando il vento trasferisce energia cinetica all’acqua attraverso attrito, differenze di pressione e instabilità superficiali. ==Generazione delle onde: vento, [[w:Fetch_(geografia)|fetch]]== Le onde generate direttamente dal vento sono dette mare vivo (in inglese ''wind sea''). La loro crescita dipende da tre fattori principali : * Velocità del vento. Un vento più intenso trasferisce più energia. * Durata del vento. Il vento deve soffiare abbastanza a lungo da permettere la crescita delle onde. * Fetch. La distanza orizzontale su cui il vento soffia senza ostacoli. Fetch maggiore → onde più sviluppate. Quando le onde si allontanano dalla zona in cui il vento agisce, diventano mare lungo (in inglese swell), onde regolari che possono propagarsi per migliaia di chilometri seguendo traiettorie quasi di grande cerchio. ==Moto delle particelle e struttura dell’onda== === Onde in acqua profonda=== In acqua profonda (profondità <math>d \ge \frac{1}{2}\lambda</math>), le particelle d’acqua descrivono orbite quasi circolari. Il moto è una combinazione di: * componente longitudinale (avanti–indietro), * componente trasversale (su–giù). Il raggio delle orbite decresce esponenzialmente con la profondità: a qualche lunghezza d’onda dalla superficie il moto è praticamente nullo. ===Onde in acque basse=== Quando <math>d < \frac{1}{2}\lambda</math>, le orbite diventano ellittiche, con asse maggiore parallelo alla superficie. In acque molto basse, il moto diventa quasi orizzontale e l’onda interagisce fortemente con il fondale, fino a rompersi. ===Velocità di fase e dispersione=== Le onde di gravità sono dispersive: onde di diversa lunghezza d’onda viaggiano a velocità diverse. La relazione di dispersione lineare per onde di gravità è: :<math>v_f=\sqrt{\frac{g \lambda}{2\pi} \tanh \left(\frac{2\pi d}{\lambda}\right)}</math> dove: ''<math>v_f</math>'' = velocità di fase, ''<math>\lambda</math>'' = lunghezza d’onda,''<math>d</math>'' = profondità,''<math>g</math>'' = accelerazione di gravità. ===Caso di acqua profonda=== Quando <math>\tanh\left(\frac{2\pi d}{\lambda}\right)\approx 1</math> (cioè <math>d\ge \frac{1}{2}\lambda</math>): :<math>v_f \approx 1.25\sqrt{\lambda}</math> → onde più lunghe viaggiano più velocemente. Durante una tempesta, le prime onde che arrivano a grande distanza sono quindi le più lunghe e regolari (mare lungo). Il fatto che la velocità di fase dipenda dalla lunghezza d'onda implica che vi è dispersione cioè un gruppo di onde si ''allunga'' nel tempo. In definitiva le onde lunghe si separano da quelle corte. ==Energia delle onde e velocità di gruppo== Sebbene l'onda si propaghi per grandi distanze, l'acqua non viene trasportata in modo significativo insieme all'onda. Le particelle d'acqua compiono prevalentemente moti oscillatori locali mentre l'energia viene trasmessa attraverso il mezzo. La densità di energia (energia per unità di area) di un’onda sinusoidale con ampiezza <math>a</math> è: :<math>E=\frac{1}{8}\rho g h^2=\frac{1}{2}\rho g a^2</math> dove <math>h=2a</math> è l’altezza dell’onda. L’energia non si propaga con la velocità di fase, ma con la velocità di gruppo. Per onde di gravità in acqua profonda la velocità di gruppo: :<math>v_g = \frac{1}{2} v_f</math> → l’energia viaggia più lentamente della cresta dell’onda. ==Propagazione su lunghe distanze== Le onde lunghe possono propagarsi per migliaia di chilometri con poca attenuazione. Esempio: onde generate a sud della Tasmania possono raggiungere la California, producendo condizioni di surf notevoli. ==Dissipazione e rottura delle onde== Quando si è vicini alla costa e quindi la profondità diminuisce: * la velocità dell'onda si riduce; * la lunghezza d'onda diminuisce; * l'altezza aumenta; * l'onda diventa instabile e frange. Le onde perdono energia attraverso anche altri meccanismi : * Interazione onda–turbolenza: Turbolenza atmosferica e vortici viscosi nel fluido. * Interazione onda–onda: Trasferimenti non lineari di energia tra componenti spettrali. [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} 5xwckze1c38jdo0vmxk6yzqkfbvekh9 0 10623 499411 385223 2026-06-25T10:09:20Z Pasquale.Carelli 528 Riscrivo la voce completamente 499411 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea Adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in Circuito Aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in Cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea non dissipativa| testo= Per una linea uniforme lossless (non dissipativa) con parametri per unità di lunghezza <math>L'</math> (induttanza) e <math>C'</math> (capacità), e con <math>R' = 0</math>, <math>G' = 0</math>, in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> Derivo la prima equazione rispetto a <math>z</math>: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, \frac{dI(z)}{dz}</math> Sostituisco <math>\dfrac{dI}{dz}</math> dalla seconda: :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> quindi: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, (-j\omega C' \, V(z)) = (-j)(-j)\,\omega^2 L' C' \, V(z)</math> Poiché <math>(-j)(-j) = -1</math>, ottengo: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -\omega^2 L' C' \, V(z)</math> cioè: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} + \omega^2 L' C' \, V(z) = 0</math> La costante di propagazione (per linea senza perdite) è puramente immaginaria: <math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> La soluzione generale per la tensione è: :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z} + V^- e^{+j\beta z}</math> e per la corrente: :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z} + I^- e^{+j\beta z}</math> Considero ora solo l’onda diretta (che viaggia, ad esempio, verso <math>+z</math>): :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z}</math> :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z}</math> Per questa onda il rapporto <math>V/I</math> è costante lungo la linea e, per definizione, è l’impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \frac{V(z)}{I(z)} = \frac{V+}{I+}</math> Riprendo la prima equazione dei telegrafisti: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> Sostituisco le espressioni dell’onda diretta: :<math>\frac{d}{dz}\bigl(V^+ e^{-j\beta z}\bigr) = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> La derivata a sinistra è: :<math>-j\beta V^+ e^{-j\beta z} = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> Elimino il fattore comune <math>e^{-j\beta z}</math> e il fattore <math>-j</math> da entrambi i membri: :<math>\beta V^+ = \omega L' \, I^+</math> Da cui: :<math>\frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\beta}</math> Ma, per la linea senza perdite: :<math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> quindi: :<math>Z_0 = \frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\omega \sqrt{L' C'}} = \frac{L'}{\sqrt{L' C'}} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> come volevasi dimostrare. }} ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} krp70hkl70rpn18kjpgi5sigrhjxgtp 499413 499411 2026-06-25T10:14:34Z Pasquale.Carelli 528 /* Casi Limite */ ortografia 499413 wikitext text/x-wiki {{capitolo |Libro=Fisica classica |NomeLibro=Fisica classica |CapitoloPrecedente=Onde del mare |NomePaginaCapitoloPrecedente=Fisica_classica/Onde_del_mare |CapitoloSuccessivo=Onde elettromagnetiche |NomePaginaCapitoloSuccessivo=Fisica_classica/Onde_elettromagnetiche }} {{fisica classica}} =Linee di trasmissione= Nello studio dell'elettromagnetismo stazionario o quasi-stazionario, la teoria dei circuiti a parametri concentrati (governata dalle [[Fisica_classica/Le_leggi_di_Kirchhoff|leggi di Kirchhoff]]) rappresenta uno strumento formale straordinariamente potente e semplificato. In questo regime, si assume che i segnali elettrici si propaghino istantaneamente lungo i conduttori. Dal punto di vista fisico, ciò equivale a considerare la velocità della luce <math>c</math> come idealmente infinita. Tuttavia, quando le frequenze in gioco diventano molto elevate o le estensioni geometriche del sistema sono considerevoli, questa approssimazione crolla. Per comprendere la necessità di un nuovo formalismo, analizziamo i limiti fisici intrinseci della teoria dei circuiti. Il fattore cruciale che determina il passaggio dal regime a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti è il rapporto tra la dimensione fisica caratteristica del sistema (ad esempio, la lunghezza <math>l</math> di una coppia di fili conduttori) e la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> del segnale che vi propaga. Ricordando la relazione fondamentale che lega la lunghezza d'onda alla frequenza <math>\nu</math> e alla velocità di propagazione nel mezzo <math>v</math>: :<math>\lambda = \frac{v}{\nu}</math> diventa evidente che all'aumentare della frequenza <math>\nu</math>, la lunghezza d'onda <math>\lambda</math> diminuisce proporzionalmente. * Regime a parametri concentrati (<math>l \ll \lambda</math>): Se la lunghezza del circuito è una frazione trascurabile della lunghezza d'onda (tipicamente <math>l < 0.1\lambda</math>), la variazione spaziale della tensione e della corrente lungo i fili di collegamento è del tutto irrilevante. In ogni istante <math>t</math>, la corrente che entra in un capo del filo è identica a quella che esce dall'altro capo. Le leggi di Kirchhoff sono pienamente valide. * Regime a parametri distribuiti (<math>l \gtrsim 0.1\lambda</math>): Quando la lunghezza d'onda diventa paragonabile o inferiore alle dimensioni del circuito, il tempo impiegato dal segnale per percorrere il conduttore non è più trascurabile. La tensione e la corrente non dipendono più soltanto dal tempo <math>t</math>, ma variano esplicitamente da punto a punto lungo il conduttore in funzione della coordinata spaziale <math>x</math>. Un filo elettrico non può più essere considerato un nodo equipotenziale ideale, ma diventa a tutti gli effetti un mezzo di propagazione ondosa, ovvero una '''linea di trasmissione'''. ===Limite delle leggi di Kirchhoff=== Per visualizzare il fenomeno, consideriamo un generatore di segnali sinusoidali ad altissima frequenza collegato a un carico tramite una linea bifilare lunga <math>l</math>. Se la frequenza è tale per cui <math>l = \lambda/2</math>, nel momento esatto in cui il generatore si trova al suo massimo di potenziale positivo, all'altro capo della linea (sul carico) il segnale potrebbe trovarsi in controfase, ovvero al suo minimo negativo. La variazione spaziale del campo elettrico e del campo magnetico nel tempo genera fenomeni di induzione locale che non possono essere trascurati. La legge di Kirchhoff delle tensioni, che discende direttamente dalla natura conservativa del campo elettrostatico: :<math>\oint \vec{E} \cdot d\vec{r} = 0</math> non è più applicabile nella sua forma circuitale elementare, poiché i flussi di campo magnetico concatenati con le maglie del circuito non sono nulli. Analogamente, la capacità parassita tra i conduttori fa sì che parte della corrente ''sfugga'' da un filo all'altro prima di raggiungere il carico, violando la legge di Kirchhoff delle correnti per i nodi ideali. ===L'analogia meccanica=== Questo passaggio concettuale è perfettamente analogo a quanto già studiato per i sistemi meccanici. Nel caso statico o per oscillazioni lentissime, un'asta rigida ideale trasmette una forza applicata a un'estremità istantaneamente all'altra estremità (modello a parametri concentrati). Se però l'asta è molto lunga e la forza varia rapidamente, l'estremità opposta non si muove in sincrono; l'eccitazione si propaga invece sotto forma di un'onda elastica di compressione attraverso il mezzo, governata dalla densità e dall'elasticità del materiale (parametri distribuiti). Nelle linee di trasmissione assisteremo allo stesso identico fenomeno: la perturbazione elettrica non si manifesta istantaneamente ovunque, ma si propaga lungo la linea sotto forma di un'onda di tensione e di corrente guidata dalle proprietà geometriche e dielettriche dei conduttori. ==Il modello a parametri distribuiti== [[File:Line model Heaviside.svg|thumb|500px|left|Il modello a elementi distribuiti applicato a una linea di trasmissione.]] Per superare i limiti della teoria dei circuiti tradizionali senza dover ricorrere immediatamente alla complessità tridimensionale delle equazioni di Maxwell, si adotta il modello a [[w:Parametri_distribuiti|parametri distribuiti]] (sviluppato storicamente da [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]]) In questo modello, la linea di trasmissione non è più considerata come una coppia di conduttori ideali a potenziale uniforme, ma viene idealmente suddivisa in una cascata infinita di tratti infinitesimi di lunghezza <math>\delta x</math>. Ciascun tratto <math>\delta x</math> si comporta come un piccolo circuito a parametri concentrati, le cui proprietà elettriche sono descritte da quattro elementi d'onda proporzionali alla lunghezza del segmento: * <math>\delta R</math>: Resistenza del tratto infinitesimo (in <math>\Omega</math>), che tiene conto delle perdite per effetto Joule nei conduttori. * <math>\delta L</math>: Induttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{H}</math>), che quantifica l'energia magnetica immagazzinata nello spazio circostante i conduttori. * <math>\delta C</math>: Capacità del tratto infinitesimo (in <math>\text{F}</math>), che descrive l'effetto capacitivo e l'energia elettrica immagazzinata tra i due conduttori. * <math>\delta G</math>: Conduttanza del tratto infinitesimo (in <math>\text{S}</math>), che modella le correnti di fuga che attraversano il mezzo isolante (dielettrico) interposto. Ciascuno di questi parametri è legato alle costanti lineari (per unità di lunghezza) dalle relazioni <math>\delta R = R' \delta x</math>, <math>\delta L = L' \delta x</math>, <math>\delta C = C' \delta x</math> e <math>\delta G = G' \delta x</math>. Consideriamo un segmento di linea compreso tra la coordinata spaziale <math>x</math> e la coordinata <math>x + \delta x</math>. Sia <math>V(x,t)</math> la tensione tra i due conduttori all'ingresso del segmento e <math>I(x,t)</math> la corrente che fluisce nel conduttore superiore. All'uscita del segmento, ovvero alla coordinata <math>x+\delta x</math>, la tensione e la corrente avranno subito una variazione infinitesima, diventando rispettivamente: :<math>V(x+\delta x, t) = V(x,t) + \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x</math> :<math>I(x+\delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x</math> Applicando la legge di Ohm estesa e la legge di Faraday al ramo serie del circuito, la caduta di tensione ai capi della resistenza <math>\delta R</math> e dell'induttanza <math>\delta L</math> è pari alla differenza tra la tensione di ingresso e quella di uscita: :<math>V(x,t) - V(x+\delta x,t) = \delta R \cdot I(x,t) + \delta L \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Sostituendo l'espressione di <math>V(x+\delta x,t)</math> e la definizione dei parametri lineari in funzione di <math>\delta x</math> si ottiene: :<math>-\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} \delta x = (R' \delta x) I(x,t) + (L' \delta x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}</math> Dividendo ambo i membri per la lunghezza infinitesima <math>\delta x</math>, ricaviamo la prima equazione differenziale: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -R' I(x,t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(1)}</math> In modo del tutto analogo, applichiamo la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo in parallelo. La corrente uscente dal segmento differisce da quella entrante a causa della quota che ''sfugge'' attraverso la conduttanza <math>\delta G</math> e la capacità <math>\delta C</math>: :<math>I(x,t) - I(x+\delta x,t) = \delta G \cdot V(x+\delta x,t) + \delta C \cdot \frac{\partial V(x+\delta x,t)}{\partial t}</math> Poiché le variazioni del secondo ordine (come <math>\delta x \cdot \delta x</math>) sono trascurabili nel limite per <math>\delta x \to 0</math>, possiamo approssimare <math>V(x+\delta x,t) \approx V(x,t)</math>. Esprimendo nuovamente i parametri in funzione di <math>\delta x</math> si ha: :<math>-\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \delta x = (G' \delta x) V(x,t) + (C' \delta x) \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}</math> Semplificando il termine <math>\delta x</math>, otteniamo la seconda equazione fondamentale: :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -G' V(x,t) - C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(2)}</math> Il sistema costituito dalle equazioni (1) e (2) prende il nome di [[w:Equazioni_dei_telegrafisti|equazioni dei telegrafisti]]. Si tratta di un sistema di due equazioni differenziali lineari alle derivate parziali del primo ordine, accoppiate: la variazione spaziale della tensione dipende dall'andamento temporale della corrente, e viceversa. Questo sistema costituisce la base matematica fondamentale per lo studio di qualunque fenomeno di propagazione guidata. Nel prossimo paragrafo vedremo come, analizzando il caso ideale di una linea priva di perdite (<math>\delta R = 0</math> e <math>\delta G = 0</math>), questo sistema si riduca alla celebre [[w:Equazione_delle_onde|equazione delle onde]] di D'Alembert, formalizzando matematicamente la natura ondosa dei segnali elettrici. ==Linea non dissipativa== Nelle applicazioni pratiche ad alta frequenza (come i segnali a radiofrequenza o le linee digitali veloci), le perdite nei conduttori e nel dielettrico sono spesso così piccole da poter essere trascurate in prima approssimazione. Analizziamo quindi il caso ideale di una linea senza perdite, ponendo: :<math>R' = 0 \implies \delta R = 0</math> :<math>G' = 0 \implies \delta G = 0</math> Sotto queste ipotesi, le equazioni dei telegrafisti si semplificano notevolmente, riducendosi a: :<math>\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = -L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(3)}</math> :<math>\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \qquad \text{(4)}</math> Per disaccoppiare il sistema e ottenere un'equazione contenente la sola variabile tensione <math>V(x,t)</math>, deriviamo la (3) rispetto alla coordinata spaziale <math>x</math>: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}</math> Ipotizzando che le funzioni siano sufficientemente regolari da consentire l'inversione dell'ordine delle derivate parziali ([[w:Teorema_di_Schwarz|Teorema di Schwarz]]), possiamo scrivere: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \right)</math> Sostituendo l'espressione della derivata spaziale della corrente fornita dalla (4) dentro questa equazione, otteniamo: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = -L' \frac{\partial}{\partial t} \left( -C' \frac{\partial V(x,t)}{\partial t} \right)</math> Sviluppando i segni e portando fuori le costanti lineari, si giunge all'equazione delle onde di D'Alembert per la tensione: :<math>\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(5)}</math> Procedendo in modo del tutto analogo (derivando la (4) rispetto a <math>x</math> e sostituendovi la (3)), si ottiene la medesima equazione differenziale strutturale per la corrente lungo la linea: :<math>\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} = L'C' \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} \qquad \text{(6)}</math> L'equazione di D'Alembert ha la forma generale <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}</math>, dove <math>v</math> rappresenta la velocità di propagazione dell'onda. Confrontando questa forma standard con le equazioni (5) e (6), identifichiamo immediatamente la velocità dell'onda elettrica lungo i conduttori: :<math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> Questo risultato ha una profonda valenza fisica. Esattamente come la velocità delle onde sulla corda vibrante dipende dai parametri meccanici del mezzo (<math>v = \sqrt{T/\mu}</math>), la velocità del segnale elettrico dipende esclusivamente dai parametri geometrici e magnetoelettrici distribuiti della linea. Se calcolata per geometrie standard come il cavo coassiale o la linea bifilare, questa velocità coincide perfettamente con la velocità della luce nel mezzo dielettrico interposto: :<math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r \mu_r}}</math> In virtù del teorema di D'Alembert, la soluzione generale per la tensione si esprime come sovrapposizione di due onde viaggianti in direzioni opposte: un'onda progressiva <math>V^+(x - vt)</math> (che si muove verso le x crescenti) e un'onda regressiva <math>V^-(x + vt)</math> (che si muove verso le <math>x</math> decrescenti): :<math>V(x,t) = V^+(x - vt) + V^-(x + vt)</math> Per trovare il legame con la corrente, sostituiamo questa soluzione nell'equazione di partenza (3). Integrando nello spazio, si dimostra che anche la corrente è formata da una componente progressiva e una regressiva, legate alla tensione da una costante di proporzionalità che ha le dimensioni di una resistenza: :<math>I(x,t) = \frac{V^+(x - vt)}{Z_0} - \frac{V^-(x + vt)}{Z_0}</math> Il segno meno riflette il fatto che l'onda regressiva trasporta energia nella direzione opposta (<math>-x</math>). La costante d'proporzionalità <math>Z_0</math> prende il nome di impedenza caratteristica della linea: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> L'impedenza caratteristica non è una resistenza dissipativa (la linea è termicamente ideale e non consuma energia), ma rappresenta il rapporto intrinseco tra il campo elettrico e il campo magnetico che guidano l'onda. Essa dipende unicamente dalla geometria dei conduttori e dalla natura del dielettrico. ===Fenomeni di riflessione=== Fino ad ora abbiamo ipotizzato che la linea di trasmissione avesse una lunghezza infinita, permettendo all'onda progressiva di viaggiare indefinitamente senza ostacoli. Nella realtà, ogni linea ha una lunghezza finita <math>l</math> e termina su un dispositivo generico (un'antenna, un oscilloscopio, un circuito integrato) che dal punto di vista elettrico può essere modellato come un'impedenza di carico <math>Z_L</math> posta alla coordinata <math>x = l</math>. L'incontro tra l'onda guidata e il carico rappresenta una vera e propria discontinuità fisica. Per determinare cosa accade all'interfaccia, dobbiamo imporre le condizioni al contorno dettate dalla legge di Ohm locale sul carico. Alla fine della linea (<math>x = l</math>), il rapporto tra la tensione totale <math>V(l,t)</math> e la corrente totale <math>I(l,t)</math> deve essere tassativamente vincolato al valore dell'impedenza di carico: :<math>\frac{V(l,t)}{I(l,t)} = Z_L</math> Sostituendo in questa relazione le soluzioni generali precedentemente ricavate per la linea ideale (composte dalla sovrapposizione di onda progressiva e regressiva), otteniamo: :<math>\frac{V^+(l) + V^-(l)}{\frac{V^+(l)}{Z_0} - \frac{V^-(l)}{Z_0}} = Z_L</math> Per semplicità di calcolo, e senza perdere di generalità, possiamo traslare l'origine del sistema di riferimento ponendo il carico esattamente in <math>x = 0</math>. L'equazione si semplifica in: :<math>\frac{V^+ + V^-}{\frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0}} = Z_L</math> Risolvendo rispetto all'ampiezza dell'onda riflessa <math>V^-</math>, si ottiene il legame diretto con l'onda incidente <math>V^+</math>: :<math>V^+ + V^- = Z_L \left( \frac{V^+}{Z_0} - \frac{V^-}{Z_0} \right)</math> :<math>V^- \left( 1 + \frac{Z_L}{Z_0} \right) = V^+ \left( \frac{Z_L}{Z_0} - 1 \right)</math> Definiamo coefficiente di riflessione della tensione (indicato con la lettera greca <math>\Gamma</math>) il rapporto tra l'ampiezza dell'onda riflessa (regressiva) e quella dell'onda incidente (progressiva): :<math>\Gamma = \frac{V^-}{V^+} = \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0}</math> Questa equazione ha una rilevanza straordinaria in fisica classica: è strutturalmente identica ai [[w:Leggi_di_Fresnel|leggi di Fresnel]] per la riflessione della luce all'interfaccia tra due mezzi con indice di rifrazione differente, o al coefficiente di riflessione di un'onda acustica in un tubo che cambia sezione. ====Casi Limite==== Il valore di <math>\Gamma</math> è un numero reale (o complesso, se il carico presenta componenti reattive come induttanze o capacità) compreso tra -1 e +1. Analizziamo i tre casi fisici fondamentali: * Linea adattata (<math>Z_L = Z_0</math>): Se il carico è perfettamente identico all'impedenza caratteristica della linea, il numeratore si annulla: :<math>\Gamma = 0 \implies V^- = 0</math> Non vi è alcuna onda riflessa. Il carico assorbe tutta l'energia trasportata dall'onda incidente, comportandosi esattamente come se la linea continuasse all'infinito. Questo è l'obiettivo fondamentale della progettazione nei sistemi di trasmissione. * Linea in circuito aperto (<math>Z_L \to \infty</math>): Se la linea si interrompe bruscamente senza alcun collegamento: :<math>\Gamma = \lim_{Z_L \to \infty} \frac{Z_L - Z_0}{Z_L + Z_0} = +1 \implies V^- = V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente con la stessa polarità (in fase). La sovrapposizione sul fondo linea raddoppia la tensione totale (<math>V_{tot} = 2V^+</math>), mentre la corrente si annulla. * Linea in cortocircuito (<math>Z_L = 0</math>): Se i due conduttori vengono cortocircuitati al termine: :<math>\Gamma = \frac{0 - Z_0}{0 + Z_0} = -1 \implies V^- = -V^+</math> L'onda viene riflessa totalmente ma invertita di fase (in controfase). La tensione totale sul cortocircuito si annulla (<math>V_{tot} = 0</math>), mentre la corrente totale raddoppia. ====Onde Stazionarie==== Quando <math>\Gamma \neq 0</math>, la sovrapposizione spaziale dell'onda progressiva e dell'onda regressiva sinusoidale genera un fenomeno di interferenza. Nei casi di riflessione totale (<math>\Gamma = \pm 1</math>), l'energia non fluisce più verso il carico, ma rimane intrappolata sotto forma di oscillazione locale. Prende così forma l'onda stazionaria, caratterizzata da punti nello spazio in cui l'oscillazione è costantemente massima (ventri) e punti in cui è costantemente nulla (nodi), distanziati tra loro in funzione della lunghezza d'onda <math>\lambda</math>. Questo comportamento è sperimentalmente e matematicamente speculare alle onde stazionarie acustiche nelle canne d'organo o alle onde stazionarie meccaniche su una corda di violino vincolata agli estremi. Per quantificare la bontà dell'adattamento di una linea si introduce il [[w:Rapporto_di_onda_stazionaria|Rapporto di Onda Stazionaria]] (ROS), spesso indicato con l'acronimo inglese VSWR (''Voltage Standing Wave Ratio''), definito come il rapporto tra la tensione massima e la tensione minima misurabili lungo la linea: :<math>\text{ROS} = \frac{V_{max}}{V_{min}} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}</math> Un valore di <math>\text{ROS} = 1</math> indica una linea perfettamente adattata, mentre un <math>\text{ROS} \to \infty</math> descrive una condizione di riflessione totale. ==LINEE DISSIPATIVE== Nella maggior parte delle applicazioni reali, i segnali che viaggiano su una linea di trasmissione sono di tipo sinusoidale o possono essere decomposti in componenti sinusoidali tramite l'analisi di Fourier. Inoltre, per quanto una linea possa essere ben progettata, i conduttori presentano sempre una resistenza non nulla (<math>R' \neq 0</math>) e i dielettrici mostrano imperfezioni nell'isolamento (<math>G' \neq 0</math>). Per studiare questo scenario generale, è conveniente abbandonare le funzioni generiche nel dominio del tempo e adottare il formalismo dei fasori complessi. ====Il formalismo dei fasori==== Ipotizziamo che la tensione e la corrente varino nel tempo in modo puramente sinusoidale con una pulsazione <math>\omega = 2\pi \nu</math>. Possiamo esprimere le grandezze reali come parte reale di una grandezza complessa: :<math>V(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}(x) e^{j\omega t} \right]</math> :<math>I(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{I}(x) e^{j\omega t} \right]</math> dove <math>\tilde{V}(x)</math> e <math>\tilde{I}(x)</math> sono i fasori complessi che racchiudono le informazioni su ampiezza e fase del segnale in funzione della sola posizione <math>x</math>, e <math>j</math> è l'unità immaginaria. Ricordando che la derivazione rispetto al tempo nel dominio dei fasori equivale a una moltiplicazione per <math>j\omega (\frac{\partial}{\partial t} \to j\omega</math>), le equazioni dei telegrafisti (1) e (2) si trasformano in un sistema di equazioni differenziali ordinarie: :<math>\frac{d \tilde{V}(x)}{d x} = -(R' + j\omega L') \tilde{I}(x) \qquad \text{(7)}</math> :<math>\frac{d \tilde{I}(x)}{d x} = -(G' + j\omega C') \tilde{V}(x) \qquad \text{(8)}</math> Le quantità tra parentesi rappresentano rispettivamente l'impedenza longitudinale complessa <math>Z' = R' + j\omega L'</math> e l'ammettenza trasversale complessa <math>Y' = G' + j\omega C' </math>per unità di lunghezza. ===Costante di propagazione complessa=== Derivando la (7) rispetto a x e sostituendovi la (8), disaccoppiamo nuovamente le equazioni otteniamo: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') \tilde{V}(x)</math> Definiamo la costante di propagazione complessa :<math>\gamma</math> come: :<math>\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}</math> L'equazione differenziale assume così la forma compatta: :<math>\frac{d^2 \tilde{V}(x)}{d x^2} = \gamma^2 \tilde{V}(x) \qquad \text{(9)}</math> La soluzione generale di questa equazione lineare del secondo ordine è espressa tramite esponenziali complessi: :<math>\tilde{V}(x) = \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} + \tilde{V}^- e^{+\gamma x} = \tilde{V}^+ e^{-\alpha x}e^{-j\beta x} + \tilde{V}^- e^{+\alpha x}e^{j\beta x}</math> Moltiplicando nuovamente per il fattore temporale <math>e^{j\omega t}</math> per tornare nel dominio del tempo, l'onda progressiva assume la forma: :<math>V^+(x,t) = \text{Re}\left[ \tilde{V}^+ e^{-\alpha x} e^{j(\omega t - \beta x)} \right] = |\tilde{V}^+| e^{-\alpha x} \cos(\omega t - \beta x + \phi^+)</math> Dall'analisi di questa soluzione emerge chiaramente il significato fisico delle due componenti di <math>\gamma</math>: * <math>\alpha</math>: Costante di attenuazione (misurata in [[w:Neper|<math>\text{Np/m}</math>]] o [[w:Decibel|<math>\text{dB/m}</math>]]). Rappresenta lo smorzamento esponenziale che l'onda subisce lungo il suo cammino a causa delle perdite dissipative (<math>R'</math> e <math>G'</math>). L'energia elettromagnetica viene progressivamente convertita in calore. * <math>\beta</math>: Costante di fase (misurata in <math>\text{rad/m}</math>). Determina la periodicità spaziale dell'onda e corrisponde al numero d'onda <math>k</math> delle onde meccaniche. È legata alla lunghezza d'onda dalla relazione <math>\beta = \frac{2\pi}{\lambda}</math>. ===Impedenza caratteristica complessa=== Sostituendo la soluzione della tensione nella (7), ricaviamo il fasore della corrente: :<math>\tilde{I}(x) = \frac{\gamma}{R' + j\omega L'} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right) = \frac{1}{Z_0} \left( \tilde{V}^+ e^{-\gamma x} - \tilde{V}^- e^{+\gamma x} \right)</math> In presenza di perdite, l'impedenza caratteristica Z_0 diventa una grandezza complessa: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}</math> Questo implica che, a differenza delle linee ideali, nelle linee con perdite l'onda di tensione e l'onda di corrente non sono più perfettamente in fase tra loro, ma presentano uno sfasamento intrinseco introdotto dalla natura reattiva e dissipativa del mezzo. ====Il Fenomeno della Distorsione e la Condizione di Heaviside==== In una linea con perdite generica, sia <math>\alpha</math> che la velocità di fase <math>v_f = \frac{\omega}{\beta}</math> dipendono in modo non lineare dalla frequenza <math>\omega</math>. Se un segnale impulsivo complesso (composto da molte armoniche a frequenze diverse, come un segnale telegrafico o digitale) viene immesso nella linea, succedono due cose: # Le frequenze più alte possono attenuarsi più rapidamente di quelle basse (distorsione di ampiezza). # Le diverse componenti armoniche viaggiano a velocità differenti, disperdendosi nello spazio e nel tempo (distorsione di fase o dispersione). Nel 1887, [[w:Oliver_Heaviside|Oliver Heaviside]] intuì che era possibile annullare completamente la distorsione di fase bilanciando artificialmente i parametri della linea. Imponendo la celebre condizione di Heaviside: :<math>\frac{R'}{L'} = \frac{G'}{C'}</math> la costante di propagazione si semplifica analiticamente, portando a: :<math>\alpha = \sqrt{R'G'}</math> :<math>\beta = \omega \sqrt{L'C'}</math> In questo caso speciale, l'attenuazione <math>\alpha</math> diventa indipendente dalla frequenza e la velocità di fase <math>v_f = \frac{1}{\sqrt{L'C'}}</math> costante per tutte le armoniche. Il segnale si attenua in ampiezza man mano che viaggia, ma mantiene perfettamente inalterata la sua forma geometrica originale, risolvendo il problema che affliggeva le prime comunicazioni telegrafiche sottomarine transatlantiche. {{Cassetto| titolo=Dimostrazione del valore della impedenza caratteristica per una linea non dissipativa| testo= Per una linea uniforme lossless (non dissipativa) con parametri per unità di lunghezza <math>L'</math> (induttanza) e <math>C'</math> (capacità), e con <math>R' = 0</math>, <math>G' = 0</math>, in regime sinusoidale (fasori) le equazioni dei telegrafisti sono: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> Derivo la prima equazione rispetto a <math>z</math>: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, \frac{dI(z)}{dz}</math> Sostituisco <math>\dfrac{dI}{dz}</math> dalla seconda: :<math>\frac{dI(z)}{dz} = -j\omega C' \, V(z)</math> quindi: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -j\omega L' \, (-j\omega C' \, V(z)) = (-j)(-j)\,\omega^2 L' C' \, V(z)</math> Poiché <math>(-j)(-j) = -1</math>, ottengo: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} = -\omega^2 L' C' \, V(z)</math> cioè: :<math>\frac{d^2 V(z)}{dz^2} + \omega^2 L' C' \, V(z) = 0</math> La costante di propagazione (per linea senza perdite) è puramente immaginaria: <math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> La soluzione generale per la tensione è: :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z} + V^- e^{+j\beta z}</math> e per la corrente: :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z} + I^- e^{+j\beta z}</math> Considero ora solo l’onda diretta (che viaggia, ad esempio, verso <math>+z</math>): :<math>V(z) = V^+ e^{-j\beta z}</math> :<math>I(z) = I^+ e^{-j\beta z}</math> Per questa onda il rapporto <math>V/I</math> è costante lungo la linea e, per definizione, è l’impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \frac{V(z)}{I(z)} = \frac{V+}{I+}</math> Riprendo la prima equazione dei telegrafisti: :<math>\frac{dV(z)}{dz} = -j\omega L' \, I(z)</math> Sostituisco le espressioni dell’onda diretta: :<math>\frac{d}{dz}\bigl(V^+ e^{-j\beta z}\bigr) = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> La derivata a sinistra è: :<math>-j\beta V^+ e^{-j\beta z} = -j\omega L' \, I^+ e^{-j\beta z}</math> Elimino il fattore comune <math>e^{-j\beta z}</math> e il fattore <math>-j</math> da entrambi i membri: :<math>\beta V^+ = \omega L' \, I^+</math> Da cui: :<math>\frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\beta}</math> Ma, per la linea senza perdite: :<math>\beta = \omega \sqrt{L' C'}</math> quindi: :<math>Z_0 = \frac{V+}{I+} = \frac{\omega L'}{\omega \sqrt{L' C'}} = \frac{L'}{\sqrt{L' C'}} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}</math> come volevasi dimostrare. }} ==Modi di propagazione nelle linee di trasmissione== Nelle strutture guidanti (linee di trasmissione e guide d’onda) le soluzioni delle equazioni di Maxwell possono essere classificate in tre famiglie fondamentali: TEM, TE e TM. La classificazione dipende dalla presenza o assenza di componenti longitudinali dei campi rispetto alla direzione di propagazione (<math>z</math>). ===Modo TEM (''[[w:en:Transverse_mode|Transverse Electromagnetic Mode]]'')=== * [<math>E_z = 0, \qquad B_z = 0</math>.] Sia il campo elettrico sia il campo magnetico sono interamente trasversi. * La distribuzione dei campi nella sezione trasversale è la stessa dell’elettrostatica e della magnetostatica. La velocità di propagazione è: <math>v = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> * Richiede almeno due conduttori (cavo coassiale, linea bifilare, stripline). Una guida d’onda cava non può supportarlo. * È il modo che permette la descrizione circuitale tramite le equazioni dei telegrafisti. ===Modo TE (Transverse Electric)=== * Definizione: [ Modo TE (''Transverse Electric'') * [ <math>E_z = 0, \qquad B_z \neq 0</math>. ] Il campo elettrico è interamente trasverso; il campo magnetico ha una componente longitudinale. * Tipico delle guide d’onda metalliche (rettangolari, circolari). Non può esistere in una linea a due conduttori ideale. * Ha una frequenza di taglio: sotto una certa frequenza il modo non può propagarsi. * La distribuzione dei campi è determinata dalle condizioni al contorno sui conduttori. ===Modo TM (''Transverse Magnetic'')=== * [ <math>E_z \neq 0, \qquad B_z = 0</math>. ] Il campo magnetico è interamente trasverso; il campo elettrico ha una componente longitudinale. * Anche questo è tipico delle guide d’onda cave. Come il TE, non può esistere in una linea a due conduttori in regime ideale. * Anch’esso presenta una frequenza di taglio e una struttura dei campi determinata dalla geometria della guida ==Geometrie comuni delle linee di trasmissioni== Per tradurre il formalismo matematico astratto dei parametri distribuiti in valori numerici reali, è necessario analizzare la geometria specifica dei conduttori e le proprietà del mezzo dielettrico che li separa. In questo paragrafo calcoliamo e confrontiamo le costanti lineari <math>L'</math> e <math>C'</math>, e la conseguente impedenza caratteristica <math>Z_0</math>, per le varie configurazioni utilizzate. In tutti i casi, ipotizzeremo che la linea sia immersa in un dielettrico omogeneo privo di perdite, caratterizzato da una [[w:Permittività_elettrica|permittività elettrica]] <math>\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r</math> e da una [[w:Permeabilità_magnetica|permeabilità magnetica]] <math>\mu = \mu_0 \mu_r</math> (nella quasi totalità dei casi pratici, <math>\mu_r \approx 1</math>). ===1. Il [[w:Cavo_coassiale|cavo coassiale]]=== [[File:RG-59.jpg|thumb|upright=1.4|Cavo coassiale [[w:RG-59|RG-59]] <br />'''A''': guaina esterna di plastica<br />'''B''': calza di rame intrecciata <br />'''C''': isolante dielettrico interno<br />'''D''': anima]] Il cavo coassiale è costituito da un conduttore cilindrico interno (anima) di raggio <math>a</math> e da un conduttore cilindrico cavo esterno (calza) di raggio interno <math>b</math>, disposti coassialmente. Questa geometria ha il grande vantaggio di confinare completamente i campi elettrici e magnetici all'interno del cavo, annullando l'irraggiamento esterno e proteggendo il segnale dalle interferenze elettromagnetiche ambientali. Applicando il [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Simmetria_cilindrica|teorema di Gauss]] per ricavare il campo elettrico <math>\vec{E}</math> e integrando la differenza di potenziale tra i due conduttori, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{b}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Applicando la [[Fisica_classica/Legge_di_Ampère#Campo_di_un_cavo_coassia|lelegge di Ampère]] per determinare il campo magnetico <math>\vec{B}</math> nell'intercapedine e calcolando il flusso concatenato per unità di lunghezza, si ottiene l'induttanza lineare (trascurando l'induttanza interna ai conduttori ad alta frequenza per [[w:Effetto_pelle|effetto pelle]]): :<math>L' = \frac{\mu}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Moltiplicando e dividendo questi due parametri, otteniamo le costanti secondarie della linea: * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}</math> (che, come dimostrato precedentemente, è indipendente dalla geometria <math>a</math> e <math>b</math>). * Impedenza caratteristica: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{b}{a}\right)</math> Nel vuoto o in aria (<math>\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} = \eta_0 \approx 377 \Omega</math>), la formula si riduce numericamente a: :<math>Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{b}{a}\right) \Omega</math> ===2. La [[w:en:Twin-lead|Linea bifilare]]=== [[file:Electronics Technician - Volume 7 - Figure 3-10.jpg|thumb|Pezzo di una linea bifilare da <math>300\ \Omega</math>]] La linea bifilare (o piattina) è composta da due conduttori cilindrici paralleli identici, ciascuno di raggio <math>a</math>, i cui assi sono separati da una distanza <math>D</math>. Questa configurazione viene utilizzata quando è richiesta una linea bilanciata (ad esempio nelle vecchie piattine d'antenna TV o nei doppini telefonici). Si assume l'approssimazione in cui la distanza sia molto maggiore del raggio dei fili (<math>D \gg a</math>). Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti per i campi generati da due fili indefiniti uniformemente carichi, si ricava la capacità lineare: :<math>C' = \frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{D}{a}\right)} \qquad \left[\frac{\text{F}}{\text{m}}\right]</math> Sfruttando l'analogia o integrando il flusso del campo magnetico generato dalle due correnti opposte nello spazio compreso tra i conduttori, si ottiene l'induttanza lineare: :<math>L' = \frac{\mu}{\pi} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \qquad \left[\frac{\text{H}}{\text{m}}\right]</math> Anche in questo caso, il prodotto <math>L'C'</math> porta alla medesima velocità di propagazione delle onde piane nel mezzo (<math>v = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}</math>). L'impedenza caratteristica assume invece la forma: :<math>Z_0 = \sqrt{\frac{L'}{C'}} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \ln\left(\frac{D}{a}\right)</math> In aria o vuoto, la formula si approssima a: :<math>Z_0 \approx \frac{120}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left(\frac{D}{a}\right) \Omega</math> ===3. Linee Planari (''[[w:Linea_a_microstriscia|microstrip]]'', ''[[w:Linea_a_striscia|stripline]]'' e [[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]])=== Con l'avvento dei [[w:Circuito_integrato|circuiti integrati]] e dei [[w:Circuito_stampato|circuiti stampati]] (PCB) a radiofrequenza, le geometrie cilindriche tradizionali (come il cavo coassiale) sono diventate impraticabili per i collegamenti a corto raggio. Si utilizzano quindi le linee planari, in cui i conduttori sono realizzati come sottili strisce metalliche piane (tecnologicamente chiamate piste o trace) depositate su un substrato dielettrico isolante. A differenza del cavo coassiale, le espressioni analitiche esatte per <math>L'</math> e <math>C'</math> in queste strutture non sono ricavabili in modo elementare tramite le sole leggi di Gauss e Ampère, poiché i campi elettromagnetici non sono confinati in una geometria perfettamente simmetrica. Si ricorre quindi a soluzioni numeriche o a formule empiriche altamente accurate. ====''[[w:Linea_a_microstriscia|Microstrip]]''==== [[File:microstrip geometry.svg|thumb|Sezione di una linea a microstrip. Il conduttore (A) è separato dal piano di massa (D) dal substrato dielettrico (C); il dielettrico superiore (B) può essere aria o materiale plastico.]] La ''microstrip'' è la geometria planare più comune. Consiste in una striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> e spessore trascurabile, depositata sulla faccia superiore di un substrato dielettrico (di spessore <math>h</math> e permittività <math>\varepsilon_r</math>). La faccia inferiore del substrato è interamente ricoperta da un piano metallico continuo, detto piano di massa (''ground plane''). Poiché la parte superiore della striscia è a contatto con l'aria (<math>\varepsilon_r = 1</math>) e la parte inferiore è a contatto con il dielettrico, il campo elettromagnetico viaggia in un mezzo misto. Si introduce quindi una permissività elettrica efficace <math>\varepsilon_{eff}</math> (con <math>1 < \varepsilon_{eff} < \varepsilon_r</math>). * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}}</math> * Impedenza caratteristica (approssimazione per strisce larghe, <math>W/h \gg 1</math>): :<math>Z_0 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{eff}}} \frac{1}{\frac{W}{h} + 1.393 + 0.667 \ln\left(\frac{W}{h} + 1.444\right)}\ \Omega</math> ====''[[w:Linea_a_striscia|Stripline]]''==== [[File:stripline geometry.svg|thumb|left|200px|Diagramma della sezione trasversale della ''stripline''. Il conduttore centrale (A) è inserito tra i piani di massa (B e D). La struttura è supportata dal dielettrico (C).]] La ''stripline'' è l'evoluzione schermata della microstrip. In questo caso, la striscia conduttrice di larghezza <math>W</math> è completamente immersa (annegata) all'interno del dielettrico, racchiusa a sandwich tra due piani di massa paralleli (uno inferiore e uno superiore, non necessariamente equidistanziati come appare in figura). Il vantaggio principale della ''stripline'' rispetto alla ''microstrip'' è che il mezzo è totalmente omogeneo: il campo è confinato e non risente dell'aria esterna, annullando la distorsione di fase introdotta dai mezzi misti. * Velocità di propagazione: <math>v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}</math> (coincide esattamente con quella delle onde libere nel mezzo). * Impedenza caratteristica (per strisce strette): :<math> Z_0 \approx \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}} \ln\left( \frac{4b}{\pi W \cdot 0.67} \right)\ \Omega:</math> dove <math>b</math> è la distanza tra i piani di massa. ====[[w:en:Coplanar_waveguide|linee complanari]]==== [[File:Cross Section of Coplanar Waveguide Transmission Line.png|thumb|Sezione di una linea di trasmisione complanare]] La guida d'onda complanare prevede che la striscia di segnale (larga W) e i due piani di massa laterali siano depositati sullo stesso identico piano (la stessa faccia del dielettrico), separati da una fessura (slot) di larghezza s. Questa struttura è di fondamentale importanza nei [[w:en:Monolithic_microwave_integrated_circuit|circuiti integrati monolitici a microonde]] (MMIC) e nei dispositivi a semiconduttore, poiché consente di connettere componenti in parallelo (verso massa) praticando saldature direttamente sulla superficie del chip, senza dover perforare il substrato dielettrico con dei fori passanti (''via-holes'') {| {{prettytable}} |+'''Tipi di linee e modi di propagazione''' ! Geometria || Tipo di campo || Confinamento || Principale applicazione |- | Cavo coassiale|| TEM puro|| Totale || Cablaggi, Strumentazione |- | Linea bifilare|| TEM puro || Parziale|| Telecomunicazioni |- | ''Microstrip'' || quasi TEM|| Parziale|| Circuiti stampati |- | ''Stripline'' || TEM puro|| Totale || circuiti digitali ultrarapidi |- | Complanare || quasi TEM || Superficiale|| circuiti integrati alle microonde |- |} [[Categoria:Fisica classica]] {{Avanzamento|100%}} gemn6ujligmphsvcen6smwyhcr7dx70 4 19157 499387 499334 2026-06-24T15:17:32Z Vallema 54391 /* itWikiCon 2026: apertura della fase di raccolta di temi per il programma */ nuova sezione 499387 wikitext text/x-wiki {{Bar|discussioni_in_evidenza=}}{{Nascondi titolo}} <!--'''Ultima modifica''': {{#time:j F Y, H:i|{{REVISIONTIMESTAMP}} }} '''Utente''': {{REVISIONUSER}} --> == Teorema dei rapporti geometrici == Vorrei creare un libro su un teorema: R= proprietà interna i fratto dimensione esterna p. Per saperne di più scrivetemi [[Utente:Diego esposito67|Diego esposito67]] ([[Discussioni utente:Diego esposito67|disc.]]) 21:10, 11 gen 2026 (CET) :@[[Utente:Diego esposito67|Diego esposito67]] Ti ho risposto nella [[Discussioni utente:Diego esposito67|tua talk]]. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:26, 12 gen 2026 (CET) == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 20:44, 16 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == <span lang="en" dir="ltr">Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> </div> 22:01, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Wikimedia Hackathon e Wikimania 2026: apertura borse di partecipazione di Wikimedia Italia == Siamo molto lieti di comunicarvi che Wikimedia Italia ha aperto le '''borse per sostenere i costi di partecipazione a [[:mw:Wikimedia Hackathon 2026|Wikimedia Hackathon 2026]] e [[:wmania:2026:Wikimania|Wikimania 2026]]'''. * Per Wikimedia Hackathon, che si terrà a Milano dal 1º al 3 maggio, vengono messe a disposizione 6 borse da 350 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro venerdì 6 febbraio 2026'''. * Per Wikimania, che si terrà a Parigi dal 21 al 25 luglio, vengono messe a disposizione 13 borse da 800 € ciascuna e la richiesta può essere inviata '''entro domenica 1º marzo 2026'''. Tutte le richieste pervenute saranno poi valutate da due commissioni appositamente costituite e gli esiti verranno comunicati entro l'11 febbraio per il Wikimedia Hackathon ed entro il 25 marzo per Wikimania. I bandi completi si trovano sul wiki di Wikimedia Italia: * Wikimedia Hackathon: [[:wmit:Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026|Programma borse di partecipazione per il Wikimedia Hackathon 2026]] * Wikimania: [[:wmit:Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026|Programma borse di partecipazione "Alessio Guidetti" per Wikimania 2026]] All'interno dei bandi si trovano i link ai form da compilare per la richiesta. Siete tutti invitati a partecipare! Per qualsiasi dubbio, non esitate a [https://it.wikipedia.org/wiki/Speciale:InviaEmail?wpTarget=Dario_Crespi_(WMIT) scrivermi]. Buona giornata, --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 09:55, 28 gen 2026 (CET) == Sondaggio su microgrant e sportello volontari di Wikimedia Italia == Ciao. Nel corso degli ultimi anni [[:it:w:Wikipedia:Wikimedia Italia|Wikimedia Italia]] ha introdotto alcuni strumenti a sostegno delle attività promosse dai volontari dei progetti Wikimedia e OpenStreetMap. In particolare, dal 2017 con il programma '''microgrant''' finanzia progetti fino a 1000 euro, mentre dal 2021 è attivo lo '''sportello volontari''', che finanzia progetti per importi superiori. Vorremmo capire meglio quanto questi strumenti siano conosciuti e come siano percepiti, oltre a individuare possibili miglioramenti per rispondere sempre di più alle esigenze della comunità. Per questo ti chiediamo di dedicarci qualche minuto compilando un breve sondaggio: il tuo punto di vista per noi è davvero prezioso. Le risposte ci aiuteranno a individuare cosa funziona, cosa può essere migliorato e in che modo Wikimedia Italia può offrire un supporto più efficace. Il sondaggio è disponibile a questo link: https://survey.wikimedia.it/index.php/754139 Ti chiediamo per favore di rispondere entro le ore 23.59 di domenica 15 febbraio. Ti ringrazio e rimango a tua disposizione per qualsiasi informazione, [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 16:42, 9 feb 2026 (CET) == Attivazione sportello di supporto legale di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio che Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di supporto legale gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un avvocato in merito a questioni che riguardano la loro attività su Wikipedia e gli altri progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello si articola in due parti: * un documento con "risposte a domande frequenti" che affronta alcune casistiche di carattere generale più ricorrenti (e che potrà essere aggiornata e ampliata in futuro); * la possibilità di richiedere una consulenza legale con un avvocato per chiarimenti sui contenuti del documento o per questioni non trattate nelle FAQ. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello di supporto legale in questa pagina su Wikipedia in italiano: '''[[w:it:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale]]'''. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo di pingarmi) o tramite [[Special:EmailUser/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. --[[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 17:17, 11 mar 2026 (CET) == <span lang="en" dir="ltr">Upcoming deployment of CampaignEvents extension to Wikibooks</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="message"/> Hello everyone, We are writing to inform you that the [[mw:Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] will be deployed to all Wikibooks projects during the week of '''23 March 2026'''. This follows last year’s broader rollout across Wikimedia projects. We realized that Wikibooks was not included at the time, and we’re now addressing that to ensure consistency across all communities. The CampaignEvents extension provides tools to support event and campaign organization on-wiki, including features like on-wiki event registration and collaboration lists(global event list). We welcome any questions, feedback, or concerns you may have. We are also happy to support anyone interested in trying out the tools. ''Apologies if this message is not in your preferred language. If you’re able to help translate it for your community, please feel free to do so.'' <section end="message"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:Udehb-WMF|Udehb-WMF]] ([[User talk:Udehb-WMF|discussione]]) 19:22, 19 mar 2026 (CET)</bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Udehb-WMF@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Udehb-WMF/sandbox/MM_target&oldid=30284073 --> == Richiesta inserimento template "Simple Page Navigation" == Salve, vorrei sapere se si può inserire nella Wikibooks italiana il template "Simple Page Navigation" che potete visualizzare qui : https://en.wikibooks.org/wiki/Scientific_Calculations_with_Julia e che serve a navigare tra i moduli di un Wikibook . Grazie [[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] ([[Discussioni utente:Lovepeacejoy404|disc.]]) 15:59, 27 mar 2026 (CET) :@[[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] Ciao, su Wikibooks in italiano abbiamo {{tl|Capitolo}}, che è l'equivalente al template che citi. [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:06, 27 mar 2026 (CET) ::Ok, grazie dell'informazione. Saluti [[Utente:Lovepeacejoy404|Lovepeacejoy404]] ([[Discussioni utente:Lovepeacejoy404|disc.]]) 16:20, 27 mar 2026 (CET) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|disc.]]) 19:11, 3 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Save the Date: itWikiCon 2026 a Vezia (Lugano) – Vi aspettiamo! == Gli organizzatori sono entusiasti di invitarvi '''all’itWikiCon 2026 che si terrà a [[:w:it:Vezia|Vezia]] ([[:w:it:Lugano|Lugano]])'''! È la prima volta che il convegno annuale della comunità italofona dei progetti Wikimedia si terrà nella Svizzera italiana. Dal '''6 all’8 novembre 2026''' insieme a voi trasformeremo Vezia in un vivace punto d’incontro all’insegna della conoscenza libera, della condivisione e della comunità. La sede del convegno, [https://csvn.ch/ Il Centro Studi Villa Negroni], una struttura nota per aver ospitato persone di spicco della cultura italiana si trova molto vicino a Lugano. Non vediamo l'ora di condividere questo luogo con voi e di partecipare a workshop, discussioni e presentazioni stimolanti. L'organizzazione sta procedendo e nel corso delle prossime settimane, vi terremo aggiornati sui principali sviluppi, inclusi la creazione collaborativa del programma e il bando per le borse di partecipazione. Nelle prossime settimane saranno pubblicate ulteriori informazioni sulla [[:meta:ItWikiCon/2026|pagina principale dell’evento]]. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[:meta:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info(at)itwikicon.org. A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:cassinam|Cassinam]], [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] 12:36, 7 apr 2026 (CEST) == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Utente:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussioni utente:MediaWiki message delivery|disc.]]) 02:57, 26 apr 2026 (CEST) </bdi> <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == WikiOscar 2026 == Ciao! Anche quest'anno nei '''[https://it.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Scherzi_e_STUBidaggini/Wikioscar/2026 Wikioscar]''' che si tengono su Wikipedia in lingua italiana è presente un [https://it.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Scherzi_e_STUBidaggini/Wikioscar/2026#Wikilibraio premio] per l'utente che ama i libri. Potete votare il vostro utente preferito dal 1° al 7 maggio! [[Utente:Atlante|Atlante]] ([[Discussioni utente:Atlante|disc.]]) 10:42, 1 mag 2026 (CEST) == Attivazione sportello counseling di Wikimedia Italia == Ciao. Sono felice di comunicarvi che da oggi è attivo un nuovo servizio di Wikimedia Italia, richiesto dagli utenti in diverse occasioni, anche nella fase di consultazione per la stesura della [[:meta:Wikimedia Italia/Strategia 2026-2030|strategia 2026-2030 di Wikimedia Italia]]. Si tratta di uno '''sportello di counseling gratuito''', che consente ai volontari di potersi rivolgere a un counselor professionista per affrontare difficoltà relazionali, situazioni di tensione o conflitti legati all’attività sui progetti Wikimedia.<br/> Questo sportello offre uno spazio sicuro di ascolto e confronto e prevede percorsi individuali gratuiti fino a un massimo di 5 colloqui online per persona. Trovate tutte le informazioni relative allo sportello counseling in questa pagina: '''[[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Sportello counseling]]'''. Ne approfitto per ricordarvi che è sempre attivo anche lo [[:w:Wikipedia:Wikimedia Italia/Supporto legale|sportello di supporto legale gratuito]]. Per qualsiasi domanda o osservazione, non esitate a contattarmi rispondendo a questo messaggio (vi chiedo cortesemente di pingarmi) o tramite [[Speciale:InviaEmail/Dario_Crespi_(WMIT)|email]]. [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]] ([[Discussioni utente:Dario Crespi (WMIT)|disc.]]) 15:00, 7 mag 2026 (CEST) == Apertura delle pre-iscrizioni itWikiCon 2026 == Come saprete già, dal '''6 all'8 novembre 2026''' a [[w:it:Vezia|Vezia]] ([[w:it:Lugano|Lugano]]) si apriranno le porte della [[w:it:Villa Negroni|Villa Negroni]] per '''[[m:ItWikiCon/2026|itWikiCon 2026]]'''. Questo convegno unisce ispirazione, innovazione e scambio di idee in un evento di tre giorni. Le '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' sono disponibili da subito ed è il primo passo per manifestare il vostro interesse a partecipare. Inoltre, in questo modo darete un contributo fondamentale al team organizzativo nella pianificazione logistica dell’evento. Per qualsiasi domanda o suggerimento, non esitare a scrivere un messaggio sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o di contattarci a info@itwikicon.org. Non vediamo l'ora di accogliervi a Vezia! A presto, il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 08:30, 20 mag 2026 (CEST) == Vota ora alle elezioni U4C del 2026 == <section begin="announcement-content" /> Tutti coloro con diritto di voto sono invitati a partecipare alle elezioni 2026 del [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Comitato di coordinamento del codice universale di condotta]]. Maggiori informazioni, compreso il link al tool per verificare il diritto di voto, le informazioni sulle elezioni, sui candidati e il link per votare si trovano su Meta in questa pagina: [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Elezioni 2026 - informazioni]]. Il voto termina il 2 giugno alle [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Per favore, verifica se la tua utenza ha diritto di voto. I risultati staranno disponibili entro il 14 di giugno di 2026. -- In cooperazione con l'U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:14, 27 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Keegan (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == cancellazione pagina == Buongiorno a tutti, nel creare una pagina nel Wikibook "Disposizioni foniche di organi a canne" ho accidentalmente sbagliato a scrivere il collegamento per cui esiste questa pagina (https://it.wikibooks.org/wiki/Santo_Stefano) che ora è vuota e sarebbe da eliminare... ho già corretto ed il link giusto funziona, lo copio qui di seguito. https://it.wikibooks.org/wiki/Disposizioni_foniche_di_organi_a_canne/Italia/Veneto/Citt%C3%A0_metropolitana_di_Venezia/Venezia/Venezia_-_Chiesa_di_Santo_Stefano Grazie mille! [[Speciale:Contributi/&#126;2026-34499-02|&#126;2026-34499-02]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-34499-02|discussione]]) 22:05, 11 giu 2026 (CEST) :@[[Utente:~2026-34499-02|~2026-34499-02]] {{fatto}} In questi casi, puoi chiedere la cancellazione inserendo {{tl|cancella subito|motivazione}} e spiegando nella motivazione che la pagina è stata creata per errore. &mdash; [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:44, 12 giu 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|discussione]])</bdi> 19:11, 23 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Codename Noreste@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == itWikiCon 2026: apertura della fase di raccolta di temi per il programma == Ciao a tutti, è ufficialmente aperta la fase della raccolta di temi per il '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|programma]]''' per '''itWikiCon 2026''', il convegno annuale della comunità Wikimedia italofona! Queste prime idee serviranno come contenitori per le proposte specifiche in estate. Il convegno si terrà dal '''6 all'8 novembre 2025 a Vezia (Lugano)'''. Il programma lo costruiamo insieme: chiunque può inviare proposte di argomenti per presentazioni, discussioni o workshop. Tutte le informazioni e le istruzioni sono disponibili '''[[m:ItWikiCon/2026/Programma|sulla pagina dedicata al Programma]]'''. Anche quest’anno vogliamo dare particolare spazio ai formati interattivi come workshop o discussioni. Vorremmo cogliere l’occasione del convegno per rafforzare lo spirito di comunità e anche per sviluppare soluzioni alle sfide comuni. La selezione delle proposte avverrà in estate, seguita dalla conferma dei relatori. Aggiornamenti sulle borse di partecipazione seguiranno la prossima settimana. Infine, ti ricordiamo che il periodo delle '''[[m:ItWikiCon/2026/Partecipanti|pre-iscrizioni]]''' è ancora in corso. Grazie mille a tutti coloro che si sono già iscritti! Per domande o suggerimenti scrivici sulla [[m:Talk:ItWikiCon/2026|pagina di discussione dell’evento]] o via e-mail a info{{@}}itwikicon.org. Non vediamo l'ora di conoscere le vostre idee! Il team organizzativo di itWikiCon 2026: [[Utente:Vallema|Vallema]], [[Utente:Cassinam|Cassinam]], [[Utente:Dario Crespi (WMIT)|Dario Crespi (WMIT)]], [[Utente:Dorine Barth (WMCH)|Dorine Barth (WMCH)]] [[Utente:Vallema|Vallema]] ([[Discussioni utente:Vallema|disc.]]) 17:17, 24 giu 2026 (CEST) 1el0dm6n4wk26me3shn77y348y46209 0 34638 499405 499367 2026-06-24T20:52:05Z VoceUmana7 51633 499405 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Le disposizioni foniche attualmente presenti in questo libro sono '''5044'''. == Per il lettore == Ciascun organo a canne è uno strumento a sé, con una propria dignità indissolubilmente legata alla sua unicità. Non troveremo mai un organo uguale ad un altro, neppure nei rarissimi casi di strumenti costruiti in serie: avranno sempre qualcosa che li distinguerà fra di loro. Come poter, dunque, descrivere uno strumento unico, in maniera tale che, senza suonarlo o ascoltarlo, sia possibile capire come è fatto? Grazie alla sua disposizione fonica: essa è l'elenco dei registri che compongono lo strumento, riportati in base alla loro appartenenza alle varie "divisioni" (manuale/i ed eventualmente pedale). Pertanto si tratta di un elemento fondamentale, l'unica vera grande ed esaustiva descrizione dello strumento, dal momento che un organo si differenzia da un altro fondamentalmente per i registri che ha. Questo wikilibro si prefigge il compito di racchiudere al suo interno le disposizioni foniche di organi del presente e del passato, raggruppate in base alla loro collocazione all'interno di edifici che, per sviluppi culturali ed esigenze liturgiche, sono per la maggior parte destinati al culto. La presente opera si rivolge, dunque, non solo allo studioso di organaria ed organologia, ma anche al curioso che vuol sapere come è fatto l'organo della chiesa tot, all'appassionato, all'organista che ha l'esigenza di conoscere le caratteristiche di un tal organo, a chiunque, in poche parole, sia interessato all'argomento. == Per il contributore == Chiunque voglia contribuire all'edificazione del presente wikilibro, è il benvenuto, ed è pregato di seguire, per amor di uniformità, lo schema che può vedere nelle pagine già presenti. Sono tuttavia doverose alcune raccomandazioni tecniche. Una volta inserite una o più disposizioni foniche, il contributore è pregato di aggiornare il numero all'inizio di questa pagina. === Dei titoli === I titoli delle singole pagine seguono sempre questo schema: Stato/Regione (o altra divisione amministrativa analoga)/Provincia (o altra divisione amministrativa analoga)/Comune/Località (che può essere anche il comune stesso, comunque si ripete) - Edificio Ad esempio: Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano/Milano - Cattedrale di Santa Maria Nascente Nei nomi delle chiese, si scrive solo: ''Chiesa di...'', oppure ''Santuario di...'', oppure ''Basilica di...'', ''Cattedrale di...'' o ''Cattedrale metropolitana di...'', non ''Basilica Cattedrale Primaziale Metropolitana Santuario Protoecclesia di...''. Sono altresì bandite le abbreviazioni (come ad esempio ''S.'' al posto di ''Santo/Santa/Sacro''). Se in un edificio ci sono più organi, vanno tutti nella stessa pagina. Le singole pagine non sono per organo, ma per edificio. === Delle tabelle riassuntive === Le tabelle riassuntive a inizio pagina, seguono questo schema: * '''Costruttore:''' [nome e] cognome del costruttore/ditta costruttrice con, in caso, tra parentesi e in corsivo, il numero d'opera * '''Anno:''' anno di costruzione (in caso, in nota, data dell'inaugurazione) * '''Restauri/modifiche:''' elenco: nome di chi ha fatto il restauro e, tra parentesi, anno e tipologia di intervento * '''Registri:''' numero dei registri (in caso di registri spezzati, ciascuno vale 1 e non 1/2) * '''Canne:''' numero di canne * '''Trasmissione:''' meccanica/pneumatico-tubolare/elettrica/elettronica/ecc. nel caso di mista, si scrive mista e poi si specifica tra parentesi * '''Consolle:''' tipologia della consolle (a finestra, mobile/fissa indipendente, appoggiata, rivolta, ecc.) e posizione (al centro del coro, al centro della parete anteriore della cassa, su apposita cantoria, ecc.) * '''Tastiere:''' n° di tastiere e di note ed estensione tra parentesi * '''Pedaliera:''' tipologia di pedaliera (a leggio, dritta, concava, concavo-radiale), n° di note ed estensione tra parentesi * '''Collocazione:''' n° dei corpi, posizione dei corpi. Esempio: * '''Costruttore:''' Pinco Pallino (''Opus 100'') * '''Anno:''' 2019-2020 * '''Restauri/modifiche:''' Tizio Caio (2102, restauro conservativo), Sempronio (2156, modifiche e ampliamento) * '''Registri:''' 36 * '''Canne:''' 3.562 * '''Trasmissione:''' mista (meccanica per i manuali e il pedale, elettronica per i registri) * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in due corpi contrapposti, sulla cantoria in controfacciata Nel caso di ottave scavezze: * '''Tastiera:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale Non sono ammesse abbreviazioni, come ad esempio i nomi degli organari. === Delle disposizioni foniche === * I nomi delle divisioni vengono scritti nel seguente modo: '''I - ''Grand'Organo'''''; quello del pedale così: '''Pedale'''; * il nome della seconda o terza tastiera si riporta semplicemente, dopo il numero ordinale romano, come '''''Espressivo''''' e non come Recitativo, essendo un'impropria italianizzazione del francese ''Récit''; * nel caso di aggettivi dopo il nome del manuale, essi sono riportati con la prima lettera minuscola (ad esempio: '''VI - ''Organo antico aperto'''''); * qualora i registri, sulla consolle, siano raggruppati per Concerto e Ripieno (ad esempio come avviene per la maggior parte degli organi ottocenteschi italiani), si segua questo schema ([[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Toscana/Provincia di Siena/Montalcino/Montisi - Chiesa delle Sante Flora e Lucilla|qui un esempio]]) e, nel caso di più manuali, si premetta sempre il numero e il nome (ad esempio: '''I - Organo eco ''Concerto'''''); * all'interno di ogni divisione vi sono due colonne, divise da doppia stanghetta verticale (<code><nowiki>||</nowiki></code>), che rispettivamente, da sinistra a destra, sono: 1) nome del registro con eventualmente indicato il numero di file, 2) altezza del registro in piedi con eventualmente specificata l'appartenenza ai soli Bassi o ai soli Soprani (esempio: <code><nowiki>Ripieno 5 file || 2' Soprani</nowiki></code>); * tutti i nomi registri sono scritti con la prima lettera maiuscola, mentre le parole seguenti devono iniziare con la minuscola (ad esempio: ''Ripieno acuto 5 file'' e '''non''' ''Ripieno Acuto 5 File''), ad eccezione delle disposizioni in tedesco o nelle lingue che richiedono la maiuscola anche per tutti i sostantivi - nel caso non sia possibile reperire l'altezza in piedi delle mutazioni composte, si sposta il numero di file nel campo dell'altezza in piedi (esempio: <code><nowiki>Ripieno || 5 file</nowiki></code>); * le mutazioni sono scritte con il numero intero separato da quello frazionario tramite un punto, così: ''5.1/3<nowiki>'</nowiki>''; qualora l'altezza sia solo frazionaria, si omette lo ''0.'' iniziale, così: ''1/4<nowiki>'</nowiki>'' e '''non''' ''0.1/4<nowiki>'</nowiki>''; * nel caso di mutazioni composte, l'altezza in piedi è riportata solo relativamente alla prima fila, ad eccezione di quelle a due file (per non occupare troppo spazio) - qualora le altezze delle file successive presentino delle anomalie, si inseriscono in nota. * i registri ad ancia sono scritti in rosso quando sono riportati così sulla consolle; * non si inserisce il numero ordinale davanti a ciascun registro; * non si riportano le unioni e gli accoppiamenti, né gli annullatori; * il Tremolo si riporta all'interno di ciascuna divisione; * gli accessori (ad esempio: Uccelliera, Zampogna ecc.) si riportano nel seguente modo prima della disposizione fonica: '''Accessori''': ''Uccelliera''; ''Zampogna''; * non sono ammesse abbreviazioni. Quindi, in poche parole, questa disposizione '''non''' va bene (mettiamo che sulla consolle i registri ad ancia siano scritti '''in nero'''): {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Prima tastiera - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno Acuto 3 File || 0.1/2' |- |Flauto a Camino || 8' |- |Sesquialtera 2 File || 2.2/3'-1.3/5' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' bassi</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' soprani</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Seconda tastiera - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di Gamba || 8' |- |Flauto a Cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.1/3' |- |Pienino 3 File || 1'-0.2/3'-0.1/2' |- |Voce Celeste 2 File || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Bassa</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} Questa, invece, va bene: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno acuto 3 file || 1/2' |- |Flauto a camino || 8' |- |Sesquialtera 2 file || 2.2/3'-1.3/5' |- |Tromba || 8' Bassi |- |Tromba || 8' Soprani |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di gamba || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Pienino 3 file || 1' |- |Voce celeste 2 file || 8' |- |Tromba armonica || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |Trombone || 16' |- |Tromba bassa || 8' |- |} |} == Libri correlati == * {{libro|Organo a canne}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne| ]] [[Categoria:Musica]] [[Categoria:Dewey 786]] {{alfabetico|D}} {{Avanzamento|0%|9 giugno 2020}} adv9xncv9qughie9lyyxcbysnjqf3r6 0 38881 499400 495032 2026-06-24T20:17:26Z VoceUmana7 51633 499400 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della [[w:Provincia di Pesaro e Urbino|provincia di Pesaro e Urbino]] raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Pesaro|Pesaro]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Cagli|Cagli]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Cartoceto|Cartoceto]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Fano|Fano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Fossombrone|Fossombrone]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Gradara|Gradara]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Mombaroccio|Mombaroccio]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Sant'Angelo in Vado|Sant'Angelo in Vado]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/San Lorenzo in Campo|San Lorenzo in Campo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Urbania|Urbania]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Urbino|Urbino]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Lunano|Lunano]] {{Avanzamento|25%|29 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 9d0nssy6kradqek0nkyqwmgur8bfmr4 0 40687 499392 497712 2026-06-24T18:21:16Z S.t.e.f.a.n.o-1989 32562 499392 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Organo Zanin di Nogarole Vicentino.jpg|centro|senza_cornice]] *'''Costruttore:''' Gustavo Zanin *'''Anno:''' 1978 *'''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin nel 2021 (riqualificazione, pulitura e accordatura) *'''Registri:''' 30 (5 reali) *'''Canne:''' 358 *'''Trasmissione:''' elettronica a sistema multiplo con sequencer *'''Consolle:''' fissa, addossata alla parete anteriore della cassa *'''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') *'''Pedaliera:''' concavo-radiale 32 note (''Do¹''-''Sol³'') *'''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento alla destra del presbiterio {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- | Bordone || 16' |- | Principale || 8' |- | Ottava || 4' |- | XII || 2.2/3' |- | XV || 2' |- | XIX || 1.1/3' |- | XXII || 1' |- | XXVI || 2/3' |- | XXIX || 1/2' |- | Flauto || 8' |- | Flauto || 4' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- | Bordone || 8' |- | Flauto || 4' |- | Nazardo || 2.2/3' |- | XV || 2' |- | Silvestre || 2' |- | Terza || 1.3/5' |- | Larigot || 1.1/3' |- | Piccolo || 1' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">16'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- | Tremolo || |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- | Subbasso || 16' |- | Basso || 8' |- | Bordone || 8' |- | Quinta || 5 1/3' |- | Flauto|| 4' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">16'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">4'</span> |- |} |} {{Avanzamento|100%|11 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 752qotny9fbs3vwbqsjbs3rvg49sk3h 499393 499392 2026-06-24T18:22:04Z S.t.e.f.a.n.o-1989 32562 499393 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Organo Zanin di Nogarole Vicentino.jpg|senza_cornice|sinistra]] *'''Costruttore:''' Gustavo Zanin *'''Anno:''' 1978 *'''Restauri/modifiche:''' Francesco Zanin nel 2021 (riqualificazione, pulitura e accordatura) *'''Registri:''' 30 (5 reali) *'''Canne:''' 358 *'''Trasmissione:''' elettronica a sistema multiplo con sequencer *'''Consolle:''' fissa, addossata alla parete anteriore della cassa *'''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') *'''Pedaliera:''' concavo-radiale 32 note (''Do¹''-''Sol³'') *'''Collocazione:''' in corpo unico, a pavimento alla destra del presbiterio {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="10" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- | Bordone || 16' |- | Principale || 8' |- | Ottava || 4' |- | XII || 2.2/3' |- | XV || 2' |- | XIX || 1.1/3' |- | XXII || 1' |- | XXVI || 2/3' |- | XXIX || 1/2' |- | Flauto || 8' |- | Flauto || 4' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- | Bordone || 8' |- | Flauto || 4' |- | Nazardo || 2.2/3' |- | XV || 2' |- | Silvestre || 2' |- | Terza || 1.3/5' |- | Larigot || 1.1/3' |- | Piccolo || 1' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">16'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- | Tremolo || |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- | Subbasso || 16' |- | Basso || 8' |- | Bordone || 8' |- | Quinta || 5 1/3' |- | Flauto|| 4' |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">16'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">8'</span> |- | <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000; cursor:nohelp;">4'</span> |- |} |} {{Avanzamento|100%|11 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 9tj8k8y1gga5p0x4e0pghwfkazoukod 0 42414 499408 494095 2026-06-25T10:05:08Z ~2026-36626-03 54514 /* */ 499408 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Organo della chiesa di N.S. della Salute,vista dalla navata.jpg|400px|centro]] <div style="text-align:center"><gallery widths="300" heights="300"> File:Vista della campata centrale dell’organo della chiesa di N.S della Salute.jpg File:Consolle dell’organo della chiesa di N.S. della Salute.jpg File:Vista dell’interno,sezione pari del grand’organo.jpg </gallery></div> * '''Costruttore:''' Pontificia fabbrica d’organi Cav. Giovanni Tamburini (''Opus 92'') * '''Anno:''' 1925<ref>inaugurato il 10 ottobre 1925 da Ulisse Matthey.</ref> * '''Restauri/modifiche:''' Tamburini (1991, restauro conservativo), Dell'Orto & Lanzini (2023, restauro conservativo) * '''Registri:''' 22 * '''Canne:''' 1200 circa * '''Trasmissione:''' pneumatico-tubolare * '''Consolle:''' fissa in cantoria, rivolta verso la navata * '''Tastiere:''' 2, di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Ripieno || 5 file |- |Decimaquinta || 2' |- |Ottava || 4' |- |Principale || 16' |- |Principale dolce || 8' |- |Voce umana || 8' |- |Flauto || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Tromba || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Oboe || 8' |- |Voce celeste || 8' |- |Concerto viole || 8' |- |Eufonio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Gamba || 8' |- |Salicionale || 8' |- |Flauto || 4' |- |Flauto in XII || 2.2/3' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Violoncello || 8' |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Nostra Signora della Salute|w_preposizione=sulla|w_etichetta=chiesa di Nostra Signora della Salute a La Spezia}} {{Avanzamento|100%|25 ottobre 2018}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 3qjustl0qis6y6p9ewrfbi5eszs0m3c 499410 499408 2026-06-25T10:06:12Z ~2026-36626-03 54514 /* */ 499410 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Organo della chiesa di N.S. della Salute,vista dalla navata.jpg|400px|centro]] <div style="text-align:center"><gallery widths="300" heights="300" mode="nolines"> File:Vista della campata centrale dell’organo della chiesa di N.S della Salute.jpg File:Consolle dell’organo della chiesa di N.S. della Salute.jpg File:Vista dell’interno,sezione pari del grand’organo.jpg </gallery></div> * '''Costruttore:''' Pontificia fabbrica d’organi Cav. Giovanni Tamburini (''Opus 92'') * '''Anno:''' 1925<ref>inaugurato il 10 ottobre 1925 da Ulisse Matthey.</ref> * '''Restauri/modifiche:''' Tamburini (1991, restauro conservativo), Dell'Orto & Lanzini (2023, restauro conservativo) * '''Registri:''' 22 * '''Canne:''' 1200 circa * '''Trasmissione:''' pneumatico-tubolare * '''Consolle:''' fissa in cantoria, rivolta verso la navata * '''Tastiere:''' 2, di 58 note ciascuna (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Ripieno || 5 file |- |Decimaquinta || 2' |- |Ottava || 4' |- |Principale || 16' |- |Principale dolce || 8' |- |Voce umana || 8' |- |Flauto || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Tromba || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Oboe || 8' |- |Voce celeste || 8' |- |Concerto viole || 8' |- |Eufonio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Gamba || 8' |- |Salicionale || 8' |- |Flauto || 4' |- |Flauto in XII || 2.2/3' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan="2" | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Violoncello || 8' |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Nostra Signora della Salute|w_preposizione=sulla|w_etichetta=chiesa di Nostra Signora della Salute a La Spezia}} {{Avanzamento|100%|25 ottobre 2018}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] m22qgv0vzats6l2skikewwqx7qbm9sh 0 58970 499385 499291 2026-06-24T14:40:01Z ~2026-36639-39 54513 /* Organo maggiore */ 499385 wikitext text/x-wiki [[File:St. Vitus' new main organ.jpg|300px|centro]] == Organo maggiore == * '''Costruttore:''' Gerhand Grenzing * '''Anno:''' 2015-2026 * '''Restauri/modifiche:''' no * '''Registri:''' 110 * '''Canne:''' ca. 6500 * '''Trasmissione:''' mista: meccanica ed elettrica per le tastiere, elettrica per i registri * '''Consolle:''' 2, una in cantoria a finestra, al centro della parete anteriore della cassa, e una mobile indipendente in navata * '''Tastiere:''' 4 di 61 note (''Do<small>1</small>''-''Do<small>6</small>'') * '''Pedaliera:''' di 32 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata * '''Note:''' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand-Orgue''''' ---- |- |Bourdon ||32’<ref>da Do<small>2</small></ref> |- |Montre|| 16' |- |Bourdon ||16' |- |Montre ||8' |- |Montre II|| 8'<ref>da Mi<small>2</small></ref> |- |Suavial|| 8' |- |Gambe ||8' |- |Flûte Harmonique|| 8' |- |Bourdon à Cheminée|| 8' |- |Grosse Quinte|| 5.1/3’ |- |Prestant|| 4' |- |Flûte Ouverte|| 4' |- |Grosse Tierce|| 3.1/5’ |- |Quinte|| 2.2/3’ |- |Doublette|| 2' |- |Cornet ||II-V |- |Fourniture|| V-VI |- |Cymbale|| III-IV |- |Bombarde |16' |- |Bombarde |8' |- |Trompette|| 16' |- |Trompette|| 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Positif''''' ---- |- |Quintaton ||16' |- |Principal|| 8' |- |Gemshorn|| 8' |- |Salicional|| 8' |- |Unda Maris|| 8' |- |Bourdon|| 8' |- |Prestant|| 4' |- |Viole|| 4' |- |Flûte Douce|| 4' |- |Nasard|| 2.2/3’ |- |Doublette|| 2' |- |Tierce|| 1.3/5’ |- |Larigot|| 1.1/3’ |- |Septième ||1.1/7’ |- |Piccolo ||1' |- |Mixture|| IV |- |Basson|| 16' |- |Trompette|| 8' |- |Clarinette|| 8' |- |Tremulant |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Récit Expressif''''' ---- |- |Bourdon|| 16' |- |Salicional|| 16' |- |Diapason|| 8' |- |Cor de Nuit|| 8' |- |Flûte Traversière|| 8' |- |Gambe ||8' |- |Aeoline|| 8' |- |Voix Céleste|| 8' |- |Octave|| 4' |- |Flûte Octaviante|| 4' |- |Nasard|| 2.2/3’ |- |Octavin|| 2' |- |Plein Jeu|| IV |- |Bombarde|| 16' |- |Hautbois|| 8' |- |Trompette Harmonique|| 8' |- |Voix Humaine|| 8' |- |Clairon|| 4' |- |Tremulant |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''IV - ''Solo''''' ---- |- |'''Grand Cornet''' |- |Subbass ||16' |- |Quinte Majeure|| 10.2/3’ |- |Basse ||8' |- |Flûte|| 8' |- |Flûte Céleste|| 8' |- |Tierce Impériale|| 6.2/5’ |- |Grosse Quinte|| 5.1/3’ |- |Septime Majeure|| 4.4/7’ |- |Flûte|| 4' |- |Flûte Double|| 4' |- |Grosse Tierce|| 3.1/5’ |- |Nasard|| 2.2/3’ |- |Grosse Septime|| 2.2/7’ |- |Quarte de Nasard ||2' |- |Tierce|| 1.3/5’ |- |Mixture|| VI |- |Fourniture en Tierce|| II |- |'''Chamade''' |- |Chamade ||16' |- |Chamade|| 8' |- |Chamade II |8' |- |Chamade|| 4' |- |'''Ad alta pressione, espressivo''' |- |Stentorprincipal|| 8' |- |Stentoroctave|| 4' |- |Stentorpifano ||2' |- |Tuba Major|| 16' |- |Tuba Pontificalis|| 8' |- |Tuba Minor|| 4' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pédale''' ---- |- |Fundament ||64’<ref>da ''Fa<small>1</small>''</ref> |- |Prestant|| 32' |- |Bourdon|| 32' |- |Principal|| 16' |- |Soubbasse|| 16' |- |Contrebasse|| 16' |- |Montre|| 16' |- |Bourdon ||16' |- |Salicet|| 16' |- |Quinte Majeure|| 10.2/3’ |- |Principal|| 8' |- |Bourdon|| 8' |- |Violoncelle|| 8' |- |Octave|| 8' |- |Tierce Impériale|| 6.2/5’ |- |Grosse Quinte ||5.1/3’ |- |Septime Majeure|| 4.4/7’ |- |Octave|| 4' |- |Grosse Tierce|| 3.1/5’ |- |Grosse Septime|| 2.2/7’ |- |Kontraposaune|| 32' |- |Posaune|| 16' |- |Fagott|| 16' |- |Bombarde|| 16' |- |Trompete|| 8' |- |Fagott|| 8' |- |Clairon|| 4'. |- |} |} == Note == <references/> == Organo del transetto == [[File:Prag Dom St. Veit 10.jpg|500px|centro]] * '''Costruttore:''' Josef Melzel * '''Anno:''' 1931 * '''Restauri/modifiche:''' Kánský-Brachtl (2001, restauro) * '''Registri:''' 58 * '''Canne:''' 4475 * '''Trasmissione:''' pneumatica * '''Consolle:''' fissa indipendente, sul lato destro della cantoria inferiore * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>’’-‘’Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' piana-parallela di 32 note (''Do<small>1</small>’’-‘’Sol<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria inferiore del transetto settentrionale * '''Note:''' Sulla cantoria superiore si trova la cassa vuota dell’organo precedente costruito da Anton Gartner nel 1765. Lo strumento fu smantellato nel 1909. {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=4 | '''I. Manuale''' ---- |- |Bourdon ||16’ |- |Principál ||8’ |- |Oktáva|| 8’ |- |Viola|| 8’ |- |Roh|| 8’ |- |Dolce|| 8’ |- |Flétna dutá|| 8’ |- |Flétna jemná|| 8’ |- |Kryt hrubý|| 8’ |- |Préstant|| 4’ |- |Flétna rourková|| 4’ |- |Kvinta šustiva|| 2.2/3’ |- |Mixtura|| 2.2/3’ |- |Tromba|| 8’ |- |Clairon|| 4’ |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=4 | '''II. Manuale''' ---- |- |Principál ||16' |- |Salicet|| 16' |- |Diapason|| 8' |- |Violon|| 8' |- |Kryt dvojitý ||8' |- |Portunál|| 8' |- |Amabilis|| 8' |- |Tibia|| 8' |- |Salicionál|| 8' |- |Kvinta|| 5.1/3’ |- |Fugara|| 4' |- |Copula|| 4' |- |Kvinta|| 2.2/3’ |- |Picola|| 2' |- |Tercie|| 1.3/5’ |- |Dulciana|| 8' |- |Roh francouzský|| 8' |- |Aeolus|| 8’<ref>campane</ref> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=4 | '''III. Manuale -''Espressivo''''' ---- |- |Kvintaton ||16' |- |Prinzipál housl. ||8' |- |Principál flét|| 8' |- |Roh lesni|| 8' |- |Kryt jemmný|| 8' |- |Flétna sólová|| 8' |- |Gamba|| 8' |- |Aeolina|| 8' |- |Voix celest|| 8' |- |Oktáva|| 4' |- |Violino|| 4' |- |Flétna traversa|| 4' |- |Kvinta|| 2.2/3’ |- |Flageolet ||2' |- |Tercie|| 1.3/5’ |- |Hoboe|| 8' |- |Clarinet|| 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=4 | '''Pedale''' ---- |- |Violonbas ||16' |- |Subbas|| 16' |- |Kryt tichý|| 16' |- |Bas flétnový|| 8' |- |Bas oktábový|| 8' |- |Cello|| 8' |- |Bombard|| 16' |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Cattedrale di San Vito (Praga)|preposizione=sulla|etichetta=Cattedrale di San Vito}} {{Avanzamento|100%|27 dicembre 2025}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Praga - Cattedrale di San Vito]] {{Disposizioni foniche di organi a canne}} ehitgq9mdhbabl6fjhcndzu5u2rpt58 3 58984 499388 497267 2026-06-24T16:46:32Z Hippias 18281 /* Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Gugliemo Marconi" del Cnr */ nuova sezione 499388 wikitext text/x-wiki <div style="font-size:90%; text-align:right;">For other languages, consider using [[Wikibooks:Babel]] &middot; [[Wikibooks:Ambasciata|Embassy]]</div> {| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="6" style="font-size:95%; line-height: 15px; background-color: var(--background-color-warning-subtle, #fef6e7); color: inherit; border: 1px solid #faecc8;" |- | colspan="4" style="background: #faecc8; color: #000;" |<span style="font-size:larger">'''[[Aiuto:Benvenuto|Benvenut{{GENDER:{{BASEPAGENAME}}|o|a|a/o}}]] {{PAGENAME}}''' in it.Wikibooks </span>, la biblioteca libera. |- | colspan="4" | Ciao, {{PAGENAME}}. Grazie per voler partecipare al progetto. Spero che la tua collaborazione ti risulti gradevole e che continuerai a contribuire. |- | colspan="4" | [[Aiuto:It.wb|Wikibooks]] è una raccolta di '''manuali e libri di testo''' '''[[Wikibooks:Copyright|gratuiti ed a contenuto aperto]]'''; questa comunità si è data delle regole per favore usa un po' del tuo tempo per leggere cosa [[Aiuto:Cosa mettere su Wikibooks|puoi]] o [[Wikibooks:Cosa Wikibooks non è|non puoi]] mettere su Wikibooks. |- | align="right" | [[Image:BluePillar.svg<!--Crystal Clear app lassist.png-->|30px]] | [[Wikibooks:cinque pilastri|'''I cinque pilastri di Wikibooks'''<br>linee guida generali per capire su cosa si fonda il progetto]] | align="right" |[[File:Cicero.PNG|30px]] | [[Aiuto:NPOV| '''Punto di vista neutrale'''.<br>Apprendi i fondamentali del punto di vista neutrale]] |- | align="right" | [[File:Kpdf bookish.svg|30px]] | [[Wikibooks:Tutti_i_libri|'''I ripiani'''<br>Fai un giro tra i ripiani per trovare l'argomento a cui ti interessa contribuire]] | align="right" |[[File:Nuvola_apps_khelpcenter.png‎‎|30px]] | [[Aiuto:Manuale|'''Manuale'''<br>Tutte le pagine di aiuto e le linee guida di Wikibooks]] |- | align="right" | [[File:Nuvola apps important yellow.svg|30px]] | [[Aiuto:Errori comuni nell'uso di Wikibooks|'''Cosa bisognerebbe evitare'''<br>Impara a non commettere gli errori più comuni]] | align="right" | [[File:Nuvola apps ksirc.png|30px]] | [[Aiuto:FAQ|'''Domande frequenti'''<br>Cerca qui le risposte a tutte le domande più frequenti]] |- | width="8%" align="right" | [[File:Crystal_Clear_app_korganizer.png<!--Crystal Clear action apply.png-->|30px]] | [[Aiuto:Modifica|'''Impara a modificare una pagina'''<br>Come scrivere in una pagina wiki]] | align="right" | [[File:Nuvola apps bookcase.svg|30px]] | [[Aiuto:Libro|'''Come scrivere un libro'''<br>Tutte le convenzioni di formattazione e organizzazione dei contenuti]] |- | align="right" | [[File:Crystal_128_three.png|30px]] | [[Wikibooks:Portale Comunità|'''Portale Comunità'''<br>Conosci meglio il progetto con le indicazioni del portale comunità]] | align="right" | [[File:Nuvola apps kteatime.png|30px]] | [[Wikibooks:bar|'''Bar'''<br>Incontra e discuti con altri Wikibookiani]] |- | align="right" | [[File:Wikipedia-logo.svg|30px]] | [[Aiuto:Wikibooks per Wikipediani|'''Wikibooks per Wikipediani'''<br/>Per capire le differenze tra Wikibooks e Wikipedia]] | align="right" | [[Image:Exquisite-kcontrol.png|30px]] | [[Utente:{{PAGENAME}}/Sandbox|'''Sandbox'''<br>Ricordati anche che hai una pagina personale per fare tutte le prove che vuoi e salvare le tue bozze]] |- | colspan="4" style="border-top:2px solid #faecc8;" | <br /> [[File:Signature_button.png|right|Per firmare i tuoi post usa il tasto indicato]] Questa è la tua [[Aiuto:Pagina di discussione|'''pagina delle discussioni''']], dove saranno raccolti tutti i messaggi degli altri [[Wikibooks:Wikibookiani|wikibookiani]]. Per lasciare un messaggio ad altri utenti devi scrivergli '''nella loro pagina di discussione''', altrimenti non verrà notificato loro la presenza di un nuovo messaggio. Ogni intervento nelle pagine di discussione deve essere [[Aiuto:Firma|firmato con quattro tilde (<span style="font-size:larger"><nowiki>~~~~</nowiki></span>)]] o premendo il pulsante in figura. {{Suggerimento casuale}} |} {{#if:--[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:08, 29 dic 2025 (CET)|Naturalmente, un benvenuto anche da parte mia.|Un saluto da parte di tutti i [[Wikibooks:Wikibookiani|Wikibookiani]]!}} Se hai bisogno di qualunque cosa, puoi lasciare un messaggio al bar ([https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks:Bar&action=edit&section=new clicca qui]). Grazie per aver deciso di contribuire e buon lavoro! --[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:08, 29 dic 2025 (CET) == Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante == Ciao e benvenuta! Purtroppo non è ben chiaro quale sia il collocamento di [[Laboratorio cartografico IC Piaget-Majorana]]. È un capitolo di [[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]]? In caso affermativo, avvisami che te la rinomino in modo che il sistema la riconosca come capitolo del libro (al momento la considera un libro a sé stante). A presto, [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:11, 29 dic 2025 (CET) :Si è un capitolo, in fieri perchè il laboratorio parte il 7 gennaio. Grazie [[Speciale:Contributi/&#126;2026-69453|&#126;2026-69453]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-69453|discussione]]) 11:28, 4 gen 2026 (CET) ::Ok, grazie. L'ho spostato in [[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante/Laboratorio cartografico IC Piaget-Majorana]]. Se durante il laboratorio vi vengono dei dubbi, chiedi pure in [[Wikibooks:Bar]]. Buon lavoro (e buon anno), [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 15:08, 4 gen 2026 (CET) :::Grazie mille Hippias, sei stato preziosissimo! [[Speciale:Contributi/&#126;2026-69453|&#126;2026-69453]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-69453|discussione]]) 11:01, 6 gen 2026 (CET) {{rientro}} Ciao, scrivo per avvisarti che ho creato l'indice di navigazione e la categoria per il libro. Li trovi qui: * [[Template:Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]] * [[:Categoria:Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]] A presto, --[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 11:53, 8 feb 2026 (CET) :Ma grazie mille!!! Buona giornata e a presto [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 06:38, 9 feb 2026 (CET) :[[Utente:Hippias|Hippias]] buongiorno! ho provato a cambiare il titolo nel template per aggiungere un laboratorio ma mi rimane in rosso (ho capito perchè non esiste la pagina9. Mi puoi aiutare? [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 11:32, 7 mag 2026 (CEST) ::Non ho capito: cosa devi fare? Cambiare il titolo all'intero libro? O aggiungere un modulo/capitolo? [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 19:05, 7 mag 2026 (CEST) :::Se si potesse cambiare il titolo dell'intero libro... ma credo di averlo fatto male. Grazie e scusami [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 06:56, 8 mag 2026 (CEST) ::::Posso farlo io stasera (se serve, gli amministratori possono rinominare interi libri in un colpo solo). Qual è il nuovo titolo? [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 09:06, 8 mag 2026 (CEST) :::::Grandioso!!! Eccolo '''[[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante e la scienza invisibile in Harry Potter]]. Grazie mille''' [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 09:11, 8 mag 2026 (CEST) ::::::Scusa, ma non conoscendo le finalità del libro non ho capito il nesso tra carte geografiche ed Harry Potter. Volete usare lo stesso libro per due laboratori diversi? Se è così, conviene avere due libri separati, così sono più semplici da gestire (e anche da consultare, per chi fosse interessato). [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:44, 8 mag 2026 (CEST) :::::::sono sempre parte dei nostri laboratori alle scuole in cui utilizziamo anche le carte geografiche inserite su wikimedia commons all'interno delle attività. nel dettaglio - tra le altre cose - oltre a spunti tra fisica e concetto di spazio e tempo nel libro abbiamo fatto un parallelismo tra la mappa del malandrino e i diversi player informativi nella georeferenziazione ad esempio su mapwarper con open streetmap. Però consigliami tu. grazie [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 20:20, 8 mag 2026 (CEST) ::::::::{{fatto}}, alla prossima! [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:59, 9 mag 2026 (CEST) == Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Gugliemo Marconi" del Cnr == {{Aiuto nuovo libro}} Ciao! Nel box qui sopra ci sono i consigli standard per quando si inizia un nuovo libro. Ti segnalo alcune cose tecniche che ho notato: * c'è un refuso nel titolo, c'è scritto "Gugliemo" invece di "GuglieLmo"; * i capitoli del libro deve essere inseriti in sottopagine, altrimenti il sistema li considera libri a sé; * manca un template di navigazione con l'indice per poter navigare tra i capitoli del libro; * manca la categorizzazione. Se serve, posso darti una mano con i template, le categorie varie e la formattazione. A presto, [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:46, 24 giu 2026 (CEST) sx3svkhqw9cyo5jwqx3f0oy8uj9c964 499389 499388 2026-06-24T16:56:44Z Sarasantorsa 52625 /* Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Gugliemo Marconi" del Cnr */ Risposta 499389 wikitext text/x-wiki <div style="font-size:90%; text-align:right;">For other languages, consider using [[Wikibooks:Babel]] &middot; [[Wikibooks:Ambasciata|Embassy]]</div> {| width="100%" cellspacing="0" cellpadding="6" style="font-size:95%; line-height: 15px; background-color: var(--background-color-warning-subtle, #fef6e7); color: inherit; border: 1px solid #faecc8;" |- | colspan="4" style="background: #faecc8; color: #000;" |<span style="font-size:larger">'''[[Aiuto:Benvenuto|Benvenut{{GENDER:{{BASEPAGENAME}}|o|a|a/o}}]] {{PAGENAME}}''' in it.Wikibooks </span>, la biblioteca libera. |- | colspan="4" | Ciao, {{PAGENAME}}. Grazie per voler partecipare al progetto. Spero che la tua collaborazione ti risulti gradevole e che continuerai a contribuire. |- | colspan="4" | [[Aiuto:It.wb|Wikibooks]] è una raccolta di '''manuali e libri di testo''' '''[[Wikibooks:Copyright|gratuiti ed a contenuto aperto]]'''; questa comunità si è data delle regole per favore usa un po' del tuo tempo per leggere cosa [[Aiuto:Cosa mettere su Wikibooks|puoi]] o [[Wikibooks:Cosa Wikibooks non è|non puoi]] mettere su Wikibooks. |- | align="right" | [[Image:BluePillar.svg<!--Crystal Clear app lassist.png-->|30px]] | [[Wikibooks:cinque pilastri|'''I cinque pilastri di Wikibooks'''<br>linee guida generali per capire su cosa si fonda il progetto]] | align="right" |[[File:Cicero.PNG|30px]] | [[Aiuto:NPOV| '''Punto di vista neutrale'''.<br>Apprendi i fondamentali del punto di vista neutrale]] |- | align="right" | [[File:Kpdf bookish.svg|30px]] | [[Wikibooks:Tutti_i_libri|'''I ripiani'''<br>Fai un giro tra i ripiani per trovare l'argomento a cui ti interessa contribuire]] | align="right" |[[File:Nuvola_apps_khelpcenter.png‎‎|30px]] | [[Aiuto:Manuale|'''Manuale'''<br>Tutte le pagine di aiuto e le linee guida di Wikibooks]] |- | align="right" | [[File:Nuvola apps important yellow.svg|30px]] | [[Aiuto:Errori comuni nell'uso di Wikibooks|'''Cosa bisognerebbe evitare'''<br>Impara a non commettere gli errori più comuni]] | align="right" | [[File:Nuvola apps ksirc.png|30px]] | [[Aiuto:FAQ|'''Domande frequenti'''<br>Cerca qui le risposte a tutte le domande più frequenti]] |- | width="8%" align="right" | [[File:Crystal_Clear_app_korganizer.png<!--Crystal Clear action apply.png-->|30px]] | [[Aiuto:Modifica|'''Impara a modificare una pagina'''<br>Come scrivere in una pagina wiki]] | align="right" | [[File:Nuvola apps bookcase.svg|30px]] | [[Aiuto:Libro|'''Come scrivere un libro'''<br>Tutte le convenzioni di formattazione e organizzazione dei contenuti]] |- | align="right" | [[File:Crystal_128_three.png|30px]] | [[Wikibooks:Portale Comunità|'''Portale Comunità'''<br>Conosci meglio il progetto con le indicazioni del portale comunità]] | align="right" | [[File:Nuvola apps kteatime.png|30px]] | [[Wikibooks:bar|'''Bar'''<br>Incontra e discuti con altri Wikibookiani]] |- | align="right" | [[File:Wikipedia-logo.svg|30px]] | [[Aiuto:Wikibooks per Wikipediani|'''Wikibooks per Wikipediani'''<br/>Per capire le differenze tra Wikibooks e Wikipedia]] | align="right" | [[Image:Exquisite-kcontrol.png|30px]] | [[Utente:{{PAGENAME}}/Sandbox|'''Sandbox'''<br>Ricordati anche che hai una pagina personale per fare tutte le prove che vuoi e salvare le tue bozze]] |- | colspan="4" style="border-top:2px solid #faecc8;" | <br /> [[File:Signature_button.png|right|Per firmare i tuoi post usa il tasto indicato]] Questa è la tua [[Aiuto:Pagina di discussione|'''pagina delle discussioni''']], dove saranno raccolti tutti i messaggi degli altri [[Wikibooks:Wikibookiani|wikibookiani]]. Per lasciare un messaggio ad altri utenti devi scrivergli '''nella loro pagina di discussione''', altrimenti non verrà notificato loro la presenza di un nuovo messaggio. Ogni intervento nelle pagine di discussione deve essere [[Aiuto:Firma|firmato con quattro tilde (<span style="font-size:larger"><nowiki>~~~~</nowiki></span>)]] o premendo il pulsante in figura. {{Suggerimento casuale}} |} {{#if:--[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:08, 29 dic 2025 (CET)|Naturalmente, un benvenuto anche da parte mia.|Un saluto da parte di tutti i [[Wikibooks:Wikibookiani|Wikibookiani]]!}} Se hai bisogno di qualunque cosa, puoi lasciare un messaggio al bar ([https://it.wikibooks.org/w/index.php?title=Wikibooks:Bar&action=edit&section=new clicca qui]). Grazie per aver deciso di contribuire e buon lavoro! --[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:08, 29 dic 2025 (CET) == Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante == Ciao e benvenuta! Purtroppo non è ben chiaro quale sia il collocamento di [[Laboratorio cartografico IC Piaget-Majorana]]. È un capitolo di [[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]]? In caso affermativo, avvisami che te la rinomino in modo che il sistema la riconosca come capitolo del libro (al momento la considera un libro a sé stante). A presto, [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:11, 29 dic 2025 (CET) :Si è un capitolo, in fieri perchè il laboratorio parte il 7 gennaio. Grazie [[Speciale:Contributi/&#126;2026-69453|&#126;2026-69453]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-69453|discussione]]) 11:28, 4 gen 2026 (CET) ::Ok, grazie. L'ho spostato in [[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante/Laboratorio cartografico IC Piaget-Majorana]]. Se durante il laboratorio vi vengono dei dubbi, chiedi pure in [[Wikibooks:Bar]]. Buon lavoro (e buon anno), [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 15:08, 4 gen 2026 (CET) :::Grazie mille Hippias, sei stato preziosissimo! [[Speciale:Contributi/&#126;2026-69453|&#126;2026-69453]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-69453|discussione]]) 11:01, 6 gen 2026 (CET) {{rientro}} Ciao, scrivo per avvisarti che ho creato l'indice di navigazione e la categoria per il libro. Li trovi qui: * [[Template:Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]] * [[:Categoria:Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante]] A presto, --[[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 11:53, 8 feb 2026 (CET) :Ma grazie mille!!! Buona giornata e a presto [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 06:38, 9 feb 2026 (CET) :[[Utente:Hippias|Hippias]] buongiorno! ho provato a cambiare il titolo nel template per aggiungere un laboratorio ma mi rimane in rosso (ho capito perchè non esiste la pagina9. Mi puoi aiutare? [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 11:32, 7 mag 2026 (CEST) ::Non ho capito: cosa devi fare? Cambiare il titolo all'intero libro? O aggiungere un modulo/capitolo? [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 19:05, 7 mag 2026 (CEST) :::Se si potesse cambiare il titolo dell'intero libro... ma credo di averlo fatto male. Grazie e scusami [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 06:56, 8 mag 2026 (CEST) ::::Posso farlo io stasera (se serve, gli amministratori possono rinominare interi libri in un colpo solo). Qual è il nuovo titolo? [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 09:06, 8 mag 2026 (CEST) :::::Grandioso!!! Eccolo '''[[Wikicarte geografiche digitali per una Città Educante e la scienza invisibile in Harry Potter]]. Grazie mille''' [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 09:11, 8 mag 2026 (CEST) ::::::Scusa, ma non conoscendo le finalità del libro non ho capito il nesso tra carte geografiche ed Harry Potter. Volete usare lo stesso libro per due laboratori diversi? Se è così, conviene avere due libri separati, così sono più semplici da gestire (e anche da consultare, per chi fosse interessato). [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:44, 8 mag 2026 (CEST) :::::::sono sempre parte dei nostri laboratori alle scuole in cui utilizziamo anche le carte geografiche inserite su wikimedia commons all'interno delle attività. nel dettaglio - tra le altre cose - oltre a spunti tra fisica e concetto di spazio e tempo nel libro abbiamo fatto un parallelismo tra la mappa del malandrino e i diversi player informativi nella georeferenziazione ad esempio su mapwarper con open streetmap. Però consigliami tu. grazie [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 20:20, 8 mag 2026 (CEST) ::::::::{{fatto}}, alla prossima! [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 16:59, 9 mag 2026 (CEST) == Progetti GLAM della Biblioteca Centrale "Gugliemo Marconi" del Cnr == {{Aiuto nuovo libro}} Ciao! Nel box qui sopra ci sono i consigli standard per quando si inizia un nuovo libro. Ti segnalo alcune cose tecniche che ho notato: * c'è un refuso nel titolo, c'è scritto "Gugliemo" invece di "GuglieLmo"; * i capitoli del libro deve essere inseriti in sottopagine, altrimenti il sistema li considera libri a sé; * manca un template di navigazione con l'indice per poter navigare tra i capitoli del libro; * manca la categorizzazione. Se serve, posso darti una mano con i template, le categorie varie e la formattazione. A presto, [[Utente:Hippias|<span style="font-family:Georgia, serif">Hippias</span>]] ^{([[Discussioni utente:Hippias|msg]])} 18:46, 24 giu 2026 (CEST) :@[[Utente:Hippias|Hippias]] se potessi impostarmi solo la prima sottopagina penso io alle altre, grazie mille... potresti aiutarmi anche a modificare il titolo? Grazie non lo avevo notato! Ti sono riconoscente sempre [[Utente:Sarasantorsa|Sarasantorsa]] ([[Discussioni utente:Sarasantorsa#top|disc.]]) 18:56, 24 giu 2026 (CEST) h7v3otjt3tbh5w81i8bcms5gbzkl6l5 0 60198 499402 495041 2026-06-24T20:23:25Z VoceUmana7 51633 499402 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Fossombrone|Fossombrone]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Fossombrone/Fossombrone - Chiesa della Santissima Annunziata|Chiesa della Santissima Annunziata]] == Frazioni == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Fossombrone/Isola di Fano - Chiesa dei Santi Giovanni Battista e Floriano|Isola di Fano - Chiesa dei Santi Giovanni Battista e Floriano]] {{Avanzamento|25%|29 aprile 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Fossombrone]] fjd6lbb4xretqefiis9ekt51e99rfbd 0 60629 499401 2026-06-24T20:22:56Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Gradara|Gradara]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Gradara/Gradara - Chiesa del Santissimo Sacramento|Chiesa del Santissimo Sacramento]] {{Avanzamento|100%|24 giugno 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Gradara]] 499401 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Gradara|Gradara]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Marche/Provincia di Pesaro e Urbino/Gradara/Gradara - Chiesa del Santissimo Sacramento|Chiesa del Santissimo Sacramento]] {{Avanzamento|100%|24 giugno 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Gradara]] gp66u5ijqodsfcjwihbaeianwcnw0w0 0 60630 499404 2026-06-24T20:51:52Z VoceUmana7 51633 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Santissimo Sacramento (Gradara) 08.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Gaetano Callido * '''Anno:''' 1783 * '''Restauri/Modifiche:''' Luciano Peroni (restauro, 2007) * '''Registri:''' 13 * '''Canne:''' 451 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 45 note con prima ottava scavezza (''Do¹''-''Do⁵'') * '''Pedaliera:'... 499404 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Santissimo Sacramento (Gradara) 08.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Gaetano Callido * '''Anno:''' 1783 * '''Restauri/Modifiche:''' Luciano Peroni (restauro, 2007) * '''Registri:''' 13 * '''Canne:''' 451 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 45 note con prima ottava scavezza (''Do¹''-''Do⁵'') * '''Pedaliera:''' scavezza a leggio di 9 note (''Do¹''-''Do²'') sempre unita al manuale, più un tasto per azionare il Tamburo * '''Accessori:''' Tiratutti a manovella, Tamburo * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna unica''' ---- |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Ottava |- |Quinta decima |- |Decima nona |- |Vigesima seconda |- |Vigesima sesta |- |Vigesima nona |- |Voce Umana |- |Flauto in XII |- |Cornetta |- |Tromboncini ||Bassi |- |Tromboncini ||Soprani |- |} |} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.callidoproject.it/public/instrument-docs/gradara_pesaro_opuscolo_callido.pdf|titolo=Progetto Callido|accesso=24 giugno 2026}} {{Avanzamento|100%|24 giugno 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] hxrxn3r4o2qdf28t15cwnufynfga81o 499415 499404 2026-06-25T11:58:34Z VoceUmana7 51633 499415 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Santissimo Sacramento (Gradara) 08.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Gaetano Callido * '''Anno:''' 1783 * '''Restauri/Modifiche:''' Luciano Peroni (restauro, 2007) * '''Registri:''' 13 * '''Canne:''' 451 * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 1 di 45 note con prima ottava scavezza (''Do¹''-''Do⁵'') * '''Pedaliera:''' scavezza a leggio di 9 note (''Do¹''-''Do²'') più un tasto per azionare il Tamburo, sempre unita al manuale * '''Accessori:''' Tiratutti a manovella, Tamburo * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Colonna unica''' ---- |- |Principale ||8' Bassi |- |Principale ||8' Soprani |- |Ottava |- |Quinta decima |- |Decima nona |- |Vigesima seconda |- |Vigesima sesta |- |Vigesima nona |- |Voce Umana |- |Flauto in XII |- |Cornetta |- |Tromboncini ||Bassi |- |Tromboncini ||Soprani |- |} |} == Collegamenti esterni == * {{cita web|url=https://www.callidoproject.it/public/instrument-docs/gradara_pesaro_opuscolo_callido.pdf|titolo=Progetto Callido|accesso=24 giugno 2026}} {{Avanzamento|100%|24 giugno 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 0g6rfrn40ym0t0934t3yjifxzbtbnau