Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 60025 500226 491856 2026-07-29T14:20:23Z Hippias 18281 modifiche minori 500226 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} L'approssimazione di dipolo corrisponde a tenere solo il primo termine nell'approssimazione di <math>A^\mu</math>, e considerare solo i termini spaziali: <math>\vec{A}(x) = \frac{1}{4\pi r} \int \vec{j}(t - r;\vec{y}) d^3\vec{y}</math> Infatti, se volessimo valutare il termine relativo alla componente temporale di <math>A^\mu</math>, tenendo conto che <math>j^0 = c\rho</math>: <math>A^0(x) = \frac{1}{4\pi rc} \underbrace{\int \rho\left( t - \frac{r}{c};\vec{y} \right)}_{= Q\left( t - \frac{r}{c} \right)} d^3\vec{y} + \frac{1}{4\pi rc^2} \int \vec{n} \cdot \vec{y} \partial_0 \rho\left( t - \frac{r}{c};\vec{y} \right) d^3\vec{y}</math> ove <math>Q</math> è la carica elettrica totale. Questa non è una vera e propria approssimazione di dipolo, in quanto è presente anche un termine di ordine <math>1/c^2</math>. Ora, per dipolo elettrico si intendono due cariche <math>+q</math> e <math>-q</math> tenute a una distanza fissa <math>d</math> fra loro; il momento di dipolo è definito come: <math>\vec{D} = dq \hat{d}</math> con <math>\hat{d}</math> versore diretto come la congiungete le due cariche. Con una distribuzione generica di cariche, invece: <math>D^i(t) = \int y^i \rho(t;\vec{y}) d^3\vec{y}</math> e si ricade nel caso precedente se l'origine delle coordinate è posta a metà fra le due cariche, e <math>\rho</math> è la somma di due <math>\delta</math>, una per <math>+q</math> e una per <math>-q</math>. A prima vista, dunque, sembrerebbe che <math>\vec{A}</math> sia riconducibile a <math>D^i</math> (il secondo integrale che compare in <math>A^0</math> è invece esattamente <math>\vec{n} \cdot \vec{\dot{D}}</math>). Prendiamo dunque la derivata temporale di <math>D^i</math>, tenendo conto che <math>\partial_0 \rho = -\partial_i j^i</math> per la continuità della corrente: <math>\begin{align} \dot{D}^i(t) & = \int y^i \partial_0 \rho(t;\vec{y}) d^3\vec{y} = -\int y^i (\partial_k j^k) d^3\vec{y} = \\ &= -\int y^i \partial_k j^k d^3\vec{y} = \int (\partial_k y^i) j^k d^3\vec{y} - \int \partial_k (y^i j^k) d^3\vec{y} \end{align}</math> il secondo integrale, sfruttando il teorema di Gauss, è nullo perché la corrente si annulla all'infinito. Dunque: <math>\dot{D}^i(t) = \int \delta^i_k j^k d^3\vec{y} = \int j^i d^3\vec{y}</math> Pertanto: <math>\vec{A}(x) = \frac{1}{4\pi r} \vec{\dot{D}}(t - r)</math> L'espressione esplicita dei campi di dipolo, dunque, è: <math>\begin{align} \vec{E}(t - r) &= \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}}) = \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \frac{1}{4\pi r} \vec{\ddot{D}}(t - r) \right) = \\ &= \frac{1}{4\pi r} \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\ddot{D}}(t - r)) = \frac{1}{4\pi r} [\vec{n}(\vec{n} \cdot \vec{\ddot{D}}(t - r)) - \vec{\ddot{D}}(t - r)] \\ \vec{B}(t - r) & = \vec{n} \times \vec{E} = -\frac{1}{4\pi r} \vec{n} \times \vec{\ddot{D}} \end{align}</math> Pertanto, <math>\vec{E}</math> appartiene al piano individuato da <math>\vec{\ddot{D}}</math> e <math>\vec{n}</math>, ed è ortogonale a quest'ultimo. Detto quindi <math>\theta</math> l'angolo fra <math>\vec{n}</math> e <math>\vec{\ddot{D}}</math>, la potenza irradiata è: <math>\frac{dW}{d\Omega} = r^2 |\vec{E}|^2 = \frac{1}{16\pi^2} |\vec{n} \times \vec{\ddot{D}}|^2 = \frac{1}{16\pi^2} |\vec{\ddot{D}}|^2 \sin^2\theta</math> Il fatto che <math>dW/d\Omega \propto \sin^2\theta</math> è tipico dell'approssimazione di dipolo. La potenza emessa massima si ha dunque per <math>\theta = \pi/2</math>, ossia in direzione perpendicolare al dipolo, mentre è nulla per <math>\theta = 0</math>, ossia nella direzione del dipolo. Per determinare la potenza totale emessa, tenendo conto che <math>d\Omega = d\varphi d\cos\theta</math>: <math>W = \int \frac{dW}{d\Omega} d\Omega = \frac{2\pi}{16\pi^2} |\vec{\ddot{D}}|^2 \underbrace{\int_{-1}^1 \sin^2\theta d\cos\theta}_{= 4/3} = \frac{1}{6\pi} |\vec{\ddot{D}}|^2 \quad \Rightarrow \quad W = \frac{1}{6\pi} |\vec{\ddot{D}}|^2</math> Un'altra caratteristica importante dell'approssimazione di dipolo è che la quantità di moto totale emessa è nulla. Infatti, si ha<ref>Quest'espressione di <math>\frac{dP^i}{dt d\Omega}</math> la si ottiene inserendo <math>\frac{dP^\mu}{dt d\Omega}</math> nell'espressione del tensore energia-impulso nella zona delle onde.</ref>: <math>\frac{dP^i}{dt d\Omega} = n^i \frac{dW}{d\Omega} \quad \Rightarrow \quad \frac{dP^i}{dt} = \int n^i \frac{dW}{d\Omega} d\Omega = \int n^i \frac{1}{16\pi^2} |\vec{n} \times \vec{\ddot{D}}|^2 d\Omega</math> Ora, <math>dW/d\Omega</math> è una funzione pari di <math>\vec{n}</math> (il che è un'altra caratteristica dell'approssimazione di dipolo), dunque <math>\vec{n} dW/d\Omega</math> è dispari in <math>\vec{n}</math>, e quindi l'integrale è nullo perché esteso a un dominio pari. Quindi: <math>\frac{dP^i}{dt} = 0</math> '''Esempio'''. Sistema di cariche in moto. In questo caso: <math>\rho(t;\vec{y}) = \sum_r e_r \delta(\vec{y} - \vec{y}_r(t)) \quad \Rightarrow \quad \vec{D}(t) = \sum_r e_r \vec{y}_r(t) \quad \Rightarrow \quad \vec{\ddot{D}}(t) = \sum_r e_r \vec{a}_r(t)</math> Dunque: <math>W = \frac{1}{6\pi} \left| \sum_r e_r \vec{a}_r \right|^2</math> Nel caso in cui ci sia una sola particella: <math>W = \frac{1}{6\pi} e^2 |\vec{a}|^2</math> nota come formula di Larmor. Da notare che i campi sono lineari, mentre la potenza no: il campo totale di un sistema di cariche è la somma dei campi delle singole particelle, mentre ciò non accade per la potenza emessa. Ci sono alcuni casi nei quali, in approssimazione di dipolo, la potenza totale emessa è nulla, e dunque non c'è irraggiamento. '''Esempio'''. Un sistema isolato di particelle identiche; in realtà basta molto meno, ossia che il rapporto carica/massa sia lo stesso per tutte le particelle, ossia <math>e_r/m_r = e/m</math> <math>\forall r</math>. Infatti in questo caso: <math>\vec{D} = \sum_r e_r \vec{y}_r = \sum_r m_r \frac{e_r}{m_r} \vec{y}_r = \sum_r m_r \frac{e}{m} \vec{y}_r = \frac{e}{m} \sum_r m_r \vec{y}_r = \frac{e}{m} \vec{y}_{\text{cdm}} M_{TOT} \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{\dot{D}} = \frac{e}{m} M_{TOT} \dot{\vec{y}}_{\text{cdm}} \quad \Rightarrow \quad \vec{\ddot{D}} = \frac{e}{m} M_{TOT} \ddot{\vec{y}}_{\text{cdm}} = 0</math> e <math>M_{TOT} \ddot{\vec{y}}_{\text{cdm}} = 0</math> per via del fatto che il sistema è isolato. '''Esempio'''. Distribuzioni sferiche di carica. In questo caso, infatti: <math>\rho(t;\vec{y}) = \rho(t,|\vec{y}|) \qquad D^i = \int y^i \rho(t,|\vec{y}|) d^3\vec{y} = 0</math> ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che <math>\rho</math> è pari in <math>\vec{y}</math>, dunque <math>\vec{y}\rho(t,|\vec{y}|)</math> è dispari in <math>\vec{y}</math>, e l'integrale è esteso a un dominio pari. Dunque: <math>\frac{dW}{d\Omega} = 0</math> In realtà, per distribuzioni sferiche di carica non c'è irraggiamento in nessun ordine dello sviluppo in multipoli; ciò lo si può verificare calcolando i momenti di dipolo di ordine superiore (vedremo poi cosa sono), oppure sfruttando il teorema di Birkhoff. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Approssimazione di dipolo]] legcgi7cxzdfaimo88hahayctosuub0 0 60026 500227 491857 2026-07-29T14:36:56Z Hippias 18281 modifiche minori 500227 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} È un processo fisico importante in molte situazioni, che poi analizzeremo. Si tratta di emissione di radiazione da parte di particelle cariche. Consideriamo una particella carica libera, che a un certo istante viene investita da un'onda elettromagnetica che si propaga lungo l'asse <math>z</math>, che per semplicità supporremo piana monocromatica e polarizzata linearmente. Quando l'onda incide sulla particella, questa verrà accelerata nella direzione del campo elettromagnetico, emettendo radiazione. Vogliamo determinare l'energia emessa dalla particella in funzione della direzione, cioè dell'angolo rispetto all'asse <math>z</math>. In processi di diffusione come questo è utile descrivere il sistema attraverso la sezione d'urto (differenziale): <math>\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{I_0} \frac{dW}{d\Omega}</math> (il termine "sezione" è dovuto al fatto che ha le dimensioni di un'area) ove <math>I_0</math> è il flusso di energia incidente, ossia l'energia per unità di tempo e superficie dell'onda incidente. Cominciamo calcolando <math>I_0</math>. Poiché l'onda è piana e polarizzata linearmente: <math>\vec{E}_{\text{in}} = \vec{E}_0 \cos(\omega(t - z))</math> <math>\vec{B}_{\text{in}} = \hat{z} \times \vec{E}_{\text{in}}</math> Per calcolare il flusso incidente, prendiamo la media temporale<ref><math>\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt</math></ref> di <math>|\vec{S}|</math>: <math>I_0 = \langle |\vec{S}| \rangle = \langle |\vec{E}|^2 \rangle = \langle |\vec{E}_0 \cos(\omega(t - z))|^2 \rangle = \frac{1}{2} E_0^2</math> Passiamo dunque al calcolo di <math>dW/d\Omega</math>. Assumiamo innanzitutto che la velocità <math>v</math> della particella, quando viene messa in moto, sia molto minore della velocità della luce, ossia <math>v \ll 1</math> (vedremo poi quali sono le condizioni quantitative per soddisfare quest'ipotesi). Possiamo dunque valutare <math>dW/d\Omega</math> usando l'approssimazione di dipolo, e quindi dobbiamo innanzitutto determinare il momento di dipolo della particella una volta messa in moto. Si ha: <math>m \frac{d^2}{dt^2} \vec{y}(t) = e(\vec{E}_{\text{in}} + \vec{v} \times \vec{B}_{\text{in}})</math> Poiché <math>|\vec{E}_{\text{in}}| = |\vec{B}_{\text{in}}|</math> e <math>v \ll 1</math>, il termine relativo al campo magnetico è trascurabile. Dunque: <math>m \frac{d^2}{dt^2} \vec{y}(t) = e\vec{E}_{\text{in}}(t;\vec{y}(t)) \simeq e\vec{E}_{\text{in}}(t;0)</math> ove l'ultima approssimazione vale per due motivi: # poiché <math>v \ll 1</math>, la variazione della posizione della particella una volta messa in moto non è rilevante; # poiché <math>\vec{E}, \vec{B} \perp z</math>, la particella si muove solo in direzione ortogonale a <math>z</math>, mentre i campi dipendono solo dalla coordinata <math>z</math>. Quindi: <math>m \frac{d^2}{dt^2} \vec{y}(t) = e\vec{E}_0 \cos(\omega t) \quad \Rightarrow \quad \vec{y}(t) = -\frac{e}{m\omega^2} \vec{E}_0 \cos(\omega t)</math> e poiché: <math>\vec{v}(t) = \frac{e}{m\omega} \vec{E}_0 \sin(\omega t) \quad \Rightarrow \quad |\vec{v}_{\max}| = \frac{e}{m\omega} |\vec{E}_0|</math> allora la condizione <math>v \ll 1</math> è soddisfatta quando: <math>|\vec{E}_0| \ll \frac{m\omega}{e} \quad \Rightarrow \quad I_0 \ll \frac{m^2\omega^2}{2e^2}</math> Notiamo inoltre che in quest'approssimazione: <math>|\vec{y}_{\max}| = \frac{e}{m\omega^2} |\vec{E}_0| \ll \lambda = \frac{2\pi}{\omega}</math> ove <math>\lambda</math> è la lunghezza d'onda della radiazione. Pertanto, l'approssimazione non relativistica vale o per campi sufficientemente poco intensi o per frequenze abbastanza basse. Dunque, si ha: <math>\vec{D}(t) = e\vec{y}(t) \quad \Rightarrow \quad \vec{\ddot{D}}(t) = e\ddot{\vec{y}}(t) = e^2 \frac{\vec{E}_0}{m} \cos(\omega t)</math> Detti quindi <math>\vec{E}</math> e <math>\vec{B}</math> i campi emessi dalla particella: <math>\vec{E}(t;r) = -\frac{1}{4\pi r} [\vec{\ddot{D}} - (\vec{n} \cdot \vec{\ddot{D}})\vec{n}] = -\frac{e^2}{4\pi mr} [\vec{E}_0 - (\vec{n} \cdot \vec{E}_0)\vec{n}] \cos(\omega(t - z))</math> <math>\vec{B}(t;r) = \vec{n} \times \vec{E}(t;r)</math> Pertanto la potenza emessa dalla particella (o meglio la sua media temporale) è: <math>\left\langle \frac{dW}{d\Omega} \right\rangle = r^2 \langle |\vec{E}|^2 \rangle = \frac{1}{2} \frac{e^4}{16\pi^2 m^2} [|\vec{E}_0|^2 - (\vec{n} \cdot \vec{E}_0)^2]</math> Si ha: <math>\left\langle \frac{dW}{d\Omega} \right\rangle = \frac{e^4}{32\pi^2 m^2} |\vec{E}_0|^2 \sin^2\theta</math> (da notare che anche stavolta c'è una dipendenza della potenza emessa da <math>\sin^2\theta</math>, come avevamo già detto). Notiamo anche che, poiché <math>\vec{E}_0</math> è polarizzato linearmente, anche <math>\vec{E}</math> lo è; inoltre, nelle nostre approssimazioni la frequenza dell'onda emessa è uguale a quella dell'onda incidente. In generale, però, questo non è vero. Dall'espressione di <math>\left\langle \frac{dW}{d\Omega} \right\rangle</math> vediamo anche che le particelle più leggere sono anche quelle che emettono più efficacemente; per questo motivo, ad esempio, in un plasma si può trascurare la radiazione emessa dai protoni (in quanto circa 2000 volte più pesanti degli elettroni) e considerare solo quella dovuta agli elettroni. Possiamo anche generalizzare questa situazione al caso in cui la radiazione incidente non sia polarizzata. Consideriamo dunque un'onda incidente non polarizzata, ossia tale che la direzione di <math>\vec{E}_0</math> nel piano ortogonale all'asse <math>\vec{z}</math> è del tutto arbitraria (la sua distribuzione di probabilità rispetto all'angolo azimutale è costante). Per determinare i risultati precedenti in questa situazione dobbiamo mediare su <math>\vec{E}_0</math>. Indicando con <math>\langle\langle \cdot \rangle\rangle</math> la media sulle direzioni, si ha: <math>\langle\langle E_{0,x} \rangle\rangle = \langle\langle E_{0,y} \rangle\rangle = 0 \qquad \langle\langle E_{0,x}^2 \rangle\rangle = \langle\langle E_{0,y}^2 \rangle\rangle = \frac{1}{2} |\vec{E}_0|^2</math> <math>\langle\langle E_{0,x} E_{0,y} \rangle\rangle = 0</math> (ove l'ultima relazione è dovuta al fatto che <math>E_{0,x} E_{0,y}</math> è una funzione dispari in <math>x</math> e <math>y</math>). Dunque, per determinare <math>dW/d\Omega</math> in questa situazione dobbiamo calcolare <math>\langle\langle (\vec{n} \cdot \vec{E}_0)^2 \rangle\rangle</math>: <math>\langle\langle (\vec{n} \cdot \vec{E}_0)^2 \rangle\rangle = n_x^2 \langle\langle E_{0,x}^2 \rangle\rangle + n_y^2 \langle\langle E_{0,y}^2 \rangle\rangle + 2n_x n_y \langle\langle E_{0,x} E_{0,y} \rangle\rangle =</math> <math>= \frac{1}{2} |\vec{E}_0|^2 (n_x^2 + n_y^2) = \frac{1}{2} |\vec{E}_0|^2 \sin^2\theta</math> (infatti stavolta l'angolo <math>\theta</math> perde di significato perché <math>\vec{E}_0</math> non ha più direzione definita). Dunque (np sta per "non polarizzata"): <math>\left\langle \frac{dW}{d\Omega} \right\rangle_{\text{np}} = \frac{e^4}{32\pi^2 m^2} |\vec{E}_0|^2 \left( 1 - \frac{1}{2} \sin^2\theta \right) = \frac{e^4}{64\pi^2 m^2} |\vec{E}_0|^2 (1 + \cos^2\theta)</math> In questo caso, <math>\langle dW/d\Omega \rangle_{\text{np}}</math> è massima per <math>\theta = 0</math> e <math>\theta = \pi</math>, ossia la potenza emessa è massima lungo l'asse <math>z</math> (situazione opposta a quella di prima, dove la potenza emessa è massima in direzione ortogonale a <math>z</math>). Dunque: <math>\frac{d\sigma_{\text{np}}}{d\Omega} = \frac{1}{I_0} \frac{dW_{\text{np}}}{d\Omega} = \frac{e^4}{32\pi^2 m^2} (1 + \cos^2\theta) = r_0^2 \frac{1 + \cos^2\theta}{2}</math> ove (reintroducendo <math>c</math>): <math>r_0 = \frac{e^2}{4\pi mc^2}</math> è detto il raggio classico della particella (per l'elettrone, ad esempio, <math>r_0 = 2.8 \times 10^{-13}</math> cm), e ci permette di capire il significato fisico della sezione d'urto differenziale. Infatti, <math>d\sigma/d\Omega \propto r_0^2</math>, e dunque ai fini dell'interazione elettromagnetica è come se la particella "occupasse" una superficie di area <math>r_0^2</math>. Per comprendere meglio quest'ultimo concetto, calcoliamo la sezione d'urto totale<ref>Dopo la seconda uguaglianza si sono prese coordinate polari rispetto all'asse <math>z</math>.</ref>: <math>\sigma_{\text{np}} = \int \frac{d\sigma_{\text{np}}}{d\Omega} d\Omega = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{d\sigma_{\text{np}}}{d\Omega} d\cos\theta =</math> <math>= 2\pi \int_{-1}^1 r_0^2 \frac{1 + \cos^2\theta}{2} d\cos\theta = 2\pi r_0^2 \frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3} r_0^2</math> e dunque anche la sezione d'urto totale è proporzionale al quadrato del raggio classico della particella. Ora, in generale la sezione d'urto totale è: <math>\sigma_{TOT} = \frac{W_{TOT}}{I_0} \quad \Rightarrow \quad W_{TOT} = \sigma_{TOT} I_0</math> Questa formula ha un'interpretazione intuitiva abbastanza evidente: <math>I_0 \sigma_{TOT}</math> è l'energia per unità di tempo che fluisce attraverso l'area <math>\sigma_{TOT}</math>. Da <math>W_{TOT} = \sigma_{TOT} I_0</math> si deduce che tutta questa potenza viene diffusa; pertanto, la diffusione Thomson può essere interpretata in questo modo: tutta la radiazione presente nel cilindro di base <math>\sigma_{TOT}</math> interagisce con la particella e viene diffusa, mentre il resto passa inalterato; insomma, <math>\sigma_{TOT}</math> è la dimensione effettiva del "bersaglio". Vediamo un po' di applicazioni di questo fenomeno. Nel Sole, una volta che un fotone<ref>In questo paragrafo parliamo di fotoni, che non abbiamo ancora mai visto, ma ovviamente intendiamo radiazione elettromagnetica</ref> viene creato in una reazione nucleare, viene continuamente scatterato all'interno del Sole stesso, prima di poter uscire nello spazio aperto. Poiché la materia all'interno del Sole si trova allo stato di plasma (ossia gli atomi sono scissi in nuclei ed elettroni liberi), vogliamo dunque calcolare il cammino libero medio <math>\ell</math> di un fotone in un plasma. Possiamo dunque pensare che il fotone si "porti dietro" un "dischetto" di area <math>\sigma_T</math>: se un elettrone vi passa attraverso il fotone viene diffuso, altrimenti no. Equivalentemente, se in media in un cilindro di base <math>\sigma_T</math> e altezza <math>\ell</math> c'è un elettrone, allora il fotone viene scatterato. Detto <math>n_\ell</math> il numero di elettroni per unità di volume, la condizione che definisce il cammino libero medio è: <math>n_\ell \sigma_T \ell \simeq 1 \quad \Rightarrow \quad \ell \simeq \frac{1}{n_\ell \sigma_T}</math> Nel Sole, <math>n_\ell = 10^{30}</math> m<math>^{-3}</math> (è una densità simile a quella dell'acqua), e utilizzando la <math>\sigma_T</math> dell'elettrone risulta <math>\ell \simeq 1</math> cm. Tenendo conto del fatto che il raggio solare è <math>R_\odot \simeq 10^9</math> m, si può stimare che un fotone impiega qualche migliaio di anni prima di uscire dal Sole. Altra applicazione risiede nello studio dell'universo primordiale. Inizialmente l'universo era abbastanza caldo da impedire la formazione di atomi (tutta la materia era plasma), e dunque era anche "opaco" rispetto alla radiazione, perché i fotoni potevano essere diffusi con molta facilità. A un certo punto la temperatura si è abbassata a sufficienza per permettere la creazione di atomi: pertanto l'universo è diventato "trasparente" alla radiazione e i fotoni hanno smesso di essere scatterati. Ciò ha dato origine alla CMB (cosmic microwave background, radiazione cosmica di fondo): da quell'istante la radiazione ha cominciato a viaggiare liberamente, e tutt'oggi la possiamo vedere (si tratta di una sorta di "fotografia istantanea" dell'universo in quel momento). Se l'elettrone invece di essere libero è legato a un atomo si ha lo scattering Rayleigh; il conto in questo caso è identico a quello che abbiamo fatto, con la differenza che ora va inclusa una forza di tipo elastico che lega l'elettrone al nucleo. Risulta che: <math>\sigma_R \propto \frac{\omega^4}{(\omega^2 - \omega_0^2)^2}</math> ove <math>\omega</math> è la frequenza della radiazione incidente (che è uguale a quella emessa), e <math>\omega_0</math> è la frequenza di oscillazione caratteristica del sistema nucleo-elettrone. In questo caso, dunque, la sezione d'urto dipende dalla frequenza: * <math>\omega \gg \omega_0</math>: ci si riconduce alla situazione dello scattering Thomson; * <math>\omega \ll \omega_0</math>: si ha <math>\sigma_R \propto \left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)^4 \ll 1</math> ossia, particelle non libere diffondono molto meno efficacemente di quelle libere, a piccole frequenze; * <math>\omega \sim \omega_0</math>: in questo caso, detto risonante, la radiazione emessa è piccata su <math>\omega_0</math> (in realtà il valore della sezione d'urto non diverge, come potrebbe sembrare dalla sua espressione). Torniamo allo scattering Thomson. Abbiamo trascurato una cosa: non abbiamo considerato l'effetto della radiazione emessa dalla particella sulla particella stessa. È la reazione di radiazione, che vedremo alla fine del corso. Possiamo però renderci conto che questo effetto c'è tramite la verifica di alcune leggi di conservazione: '''Energia''' <math>W = I_0 \sigma</math>, pertanto l'energia della radiazione incidente è uguale a quella della radiazione emessa. L'energia è pertanto conservata. '''Quantità di moto''' Si ha un certo flusso di quantità di moto incidente, dovuto alla radiazione, che è uguale al flusso di energia: <math>\frac{dP^{(\text{in})}_z}{dt} = I_0 \sigma</math> Tuttavia: <math>\frac{dP^{(\text{out})}_z}{dt} = 0</math> perché siamo in approssimazione di dipolo (in questo caso, come abbiamo già mostrato, non c'è emissione di quantità di moto). D'altra parte, però, la particella mantiene in media la sua quantità di moto, dunque non ne assorbe: c'è quindi della quantità di moto incidente ma non ce n'è di emessa. Ciò è proprio dovuto al fatto che ci siamo "dimenticati" dell'effetto dei campi diffusi sulla particella stessa: pertanto, su di essa dovrà agire una forza <math>F_z</math> tale che: <math>F_z = \frac{dP^{(\text{in})}_z}{dt} = I_0 \sigma = \frac{4\pi}{3} r_0^2 |\vec{E}_0|^2</math> e questa forza va proprio interpretata come quella esercitata sulla particella dai campi emessi dalla particella stessa (d'altronde non c'è nessun altro agente fisico al quale la si potrebbe associare). Questa "dimenticanza", però, non inficia sulla validità dei conti che abbiamo fatto perché <math>F_z \propto |\vec{E}_0|^2</math>, e abbiamo supposto che i campi siano poco intensi (altrimenti non sarebbe soddisfatta la condizione <math>v \ll 1</math>), e dunque <math>F_z</math> è trascurabile. Precisiamo infine un'ultima cosa: nella discussione che abbiamo fatto sullo scattering Thomson abbiamo supposto che il campo elettromagnetico sia "classico", ossia non quantistico: quest'approssimazione è valida se la frequenza <math>\omega</math> della radiazione incidente è molto piccola, di modo che l'energia <math>\hbar\omega</math> dei fotoni sia piccola rispetto alla massa della particella. Se dunque <math>\hbar\omega \ll mc^2</math> vale lo scattering Thomson come l'abbiamo visto; se invece <math>\hbar\omega \sim mc^2</math>, la diffusione di radiazione da parte di una particella carica è descritta dallo scattering Compton (nel quale la diffusione è descritta come un urto fra due particelle), nel quale la frequenza della radiazione diffusa differisce da quella incidente. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Diffusione (o scattering) Thomson]] 4sabb6wonccbu81ukcel482ks86hm8j 0 60027 500228 491858 2026-07-29T15:12:01Z Hippias 18281 modifiche minori 500228 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Vediamo ora un'importante applicazione dello scattering Thomson. Consideriamo un atomo di idrogeno, composto dunque da un protone e un elettrone che gli orbita intorno. Sappiamo che, classicamente, particelle accelerate irradiano, e dunque ci aspetteremmo che gli elettroni, all'interno dell'atomo, siano instabili e emettano radiazione. Vogliamo studiare proprio questa emissione, detta Bremsstrahlung (non relativistica): si tratta della radiazione emessa quando due particelle interagiscono attraverso la forza coulombiana. Si possono distinguere dunque due casi: quello in cui le orbite delle particelle sono aperte (come in un urto contro un bersaglio) e quello in cui sono chiuse (come l'elettrone in un atomo). Come abbiamo detto, il caso fisicamente più interessante è il secondo, e dunque ci occupiamo di questo. Consideriamo quindi l'atomo di idrogeno nello stato fondamentale; allora si può considerare il protone fermo nel sistema di riferimento del laboratorio (dal momento che è molto più pesante dell'elettrone) e l'elettrone in orbita attorno ad esso lungo traiettorie circolari. Il raggio di quest'orbita è il raggio di Bohr: <math>r_B = \frac{4\pi \hbar^2}{me^2} \simeq 5.3 \times 10^{-9} \text{ cm}</math> Se a questo sistema fossero applicabili i princìpi della meccanica classica<ref>Nota: per "classica" si intende "non quantistica"; per "meccanica classica" intendiamo dunque anche quella relativistica.</ref>, essendo accelerato l'elettrone dovrebbe emettere. L'equazione del moto dell'elettrone è: <math>m\omega^2 r_B = \frac{\alpha}{r^2_B} \quad \alpha = \frac{e^2}{4\pi} \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = \frac{\alpha}{mr^3_B} = \frac{r_0}{r^3_B}</math> ove <math>r_0 = e^2/4\pi m \simeq 28 \cdot 10^{-13}</math> cm è il raggio classico dell'elettrone. Dunque: <math>v = \omega r_B = \sqrt{\frac{r_0}{r_B}} \ll 1</math> (perché <math>r_0 \ll r_B</math>), e pertanto la potenza emessa dall'elettrone è (usiamo la formula di Larmor): <math>W = \frac{e^2}{6\pi} a^2 = \frac{e^2}{6\pi} \frac{\alpha^2}{m^2 r_B^4}</math> Quindi, l'energia emessa in un periodo <math>T = 2\pi/\omega</math> di rotazione è: <math>\Delta \mathcal{E} = \int_0^T W dt = WT</math> Detta ora <math>\mathcal{E}</math> l'energia iniziale posseduta dall'elettrone, allora: <math>\mathcal{E} = \frac{1}{2} m\omega^2 r_B^2 - \frac{\alpha}{r_B} = -\frac{\alpha}{2r_B}</math> e inoltre: <math>\frac{\Delta \mathcal{E}}{|\mathcal{E}|} = \frac{2\pi}{\omega} \frac{e^2}{6\pi} \frac{\alpha^2}{m^2 r_B^4} \frac{2r_B}{\alpha} = \frac{8\pi}{3} \left( \frac{r_0}{r_B} \right)^{3/2} \simeq 3 \cdot 10^{-6}</math> L'elettrone, dunque, perde pochissima energia ad ogni giro, e il fatto che la variazione percentuale dell'energia per giro <math>\Delta \mathcal{E}/|\mathcal{E}|</math> sia piccolissima giustifica a posteriori la validità della nostra approssimazione. Ora, però, il periodo di rotazione dell'elettrone è <math>T \simeq 1.5 \times 10^{-16}</math> s; nella nostra approssimazione (che è la più "cruda" possibile), dunque, in circa <math>t \simeq 10^{-10}</math> s l'elettrone perde tutta la sua energia, collassando sul protone. Se dunque la meccanica classica fosse applicabile a questo sistema fisico, gli atomi collasserebbero e la materia non potrebbe esistere. Inoltre, l'elettrone dovrebbe emettere con frequenza <math>\omega</math>, perché il moto dell'elettrone è armonico semplice; infatti <math>\vec{E} \propto \vec{\ddot{D}}</math>, e <math>\vec{D}</math> ha la stessa frequenza del moto dell'elettrone. Pertanto, dovrebbe essere emessa la sola frequenza <math>\omega</math>, ma in realtà ciò è vero solo in approssimazione di dipolo. Volendo "raffinare" questo modello, si può tener conto del fatto che in realtà il raggio varia col tempo <math>(\mathcal{E}(t) = -e^2/(2r(t))</math>; in questo caso si avrebbe, dunque: <math>\frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = -\frac{1}{\mathcal{E}} \frac{d\mathcal{E}}{dt}</math> (ossia, la variazione percentuale del raggio è opposta a quella dell'energia), e poiché <math>d\mathcal{E}/dt = -W</math>: <math>\frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\mathcal{E}} W = -\frac{2r}{\alpha} \frac{2}{3} \frac{\alpha^3}{m^2 r^4} = -\frac{4}{3} \frac{r_0^2}{r^3} \quad \Rightarrow \quad r^3(t) = r_B^3 - 4 r_0^2 t</math> Se stimiamo il tempo <math>\bar{t}</math> al quale <math>r^3(\bar{t}) = 0</math>, risulta <math>\bar{t} \simeq 10^{-11}</math> s, in accordo con quanto visto prima. In realtà anche in questo caso abbiamo tralasciato il fatto che via via che il raggio diminuisce, la velocità dell'elettrone aumenta, e ad un certo punto diventano importanti gli effetti relativistici. Volendo, quindi, si potrebbe apportare anche questa correzione, ma il risultato non cambia di molto. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|L&#39;atomo di idrogeno]] 0j0jog7n2y8ydb7nzph5wzrqx3w0wz9 0 60030 500229 491897 2026-07-29T15:24:43Z Hippias 18281 modifiche minori 500229 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Vogliamo ora capire come "migliorare" l'approssimazione di dipolo. Ci fermeremo solo ai termini immediatamente successivi, detti di quadrupolo elettrico e di dipolo magnetico. Partiamo dunque dall'espressione di <math>A^\mu</math> nella zona delle onde (reintroduciamo le <math>c</math>): <math>A^i = \frac{1}{4\pi rc} \int j^i\left( t - \frac{r}{c} + \frac{\vec{n} \cdot \vec{y}}{c};\vec{y} \right) d^3\vec{y} + o\left( \frac{1}{r^2} \right)</math> Dunque, sviluppando il ritardo microscopico in serie di Taylor, arrestandoci ai termini quadratici: <math>\begin{align} A^i &= \frac{1}{4\pi rc} \left[ \dot{D}^i + \int \frac{\vec{n} \cdot \vec{y}}{c} \partial_0 j^i\left( t - \frac{r}{c};\vec{y} \right) d^3\vec{y} + o\left( \frac{1}{c^2} \right) \right] = \\ &= \frac{1}{4\pi rc} \left[ \dot{D}^i + \frac{n^k}{c} \partial_0 \int y^k j^i\left( t - \frac{r}{c};\vec{y} \right) d^3\vec{y} \right] \end{align}</math> È conveniente scrivere l'integrale fra parentesi come somma di un termine simmetrico e di uno antisimmetrico: <math>\int y^k j^i d^3\vec{y} = \frac{1}{2} \int (y^k j^i + y^i j^k) d^3\vec{y} + \frac{1}{2} \int (y^k j^i - y^i j^k) d^3\vec{y}</math> Il primo addendo è un termine detto di quadrupolo elettrico, mentre il secondo di dipolo magnetico. Consideriamoli separatamente. Il tensore di dipolo magnetico è definito come: <math>M^{ik} = \frac{1}{2} \int (y^i j^k - y^k j^i) d^3\vec{y}</math> (è l'opposto del secondo addendo dell'integrale in <math>A^i</math>); si tratta di un tensore antisimmetrico tridimensionale, dunque ad esso è associato il vettore tridimensionale <math>M^\ell</math> definito come: <math>M^{ik} = \varepsilon^{ik\ell} M^\ell \quad \Rightarrow \quad \vec{M} = \frac{1}{2} \int \vec{y} \times \vec{j} d^3\vec{y}</math> detto dipolo magnetico, in quanto è definito in modo analogo al dipolo elettrico (con <math>\vec{j}</math> al posto di <math>\rho</math> e il prodotto vettore al posto di quello scalare); si tratta del momento di dipolo magnetico. Se invece di una distribuzione continua di carica si considera una particella carica in moto, si ha: <math>\vec{M} = \frac{e}{2} \vec{y} \times \vec{v}</math> Il quadrupolo elettrico è invece definito come: <math>D^{ij} = \int y^i y^j \rho(t;\vec{y}) d^3\vec{y}</math> (che è ovviamente un tensore simmetrico). Si ha allora, sfruttando l'equazione di continuità della carica: <math>\dot{D}^{ij} = \int y^i y^j \partial_0 \rho(t;\vec{y}) d^3\vec{y} = -\int y^i y^j \frac{\partial}{\partial y^k} j^k d^3\vec{y}</math> Integrando per parti, uno dei due termini si annulla grazie al teorema di Gauss e al fatto che la quadricorrente si annulla all'infinito. Si ha quindi: <math>\dot{D}^{ij} = \int (y^j j^i + y^i j^j) d^3\vec{y}</math> e pertanto: <math>\frac{1}{2} \int (y^k j^i + y^i j^k) d^3\vec{y} = \frac{1}{2} \dot{D}_{ik}</math> Il quadripotenziale nella zona delle onde può dunque essere espresso come: <math>A^i = \frac{1}{4\pi r} \left[ \frac{1}{c} \dot{D}^i + \frac{1}{c^2} \left( \frac{1}{2} \ddot{D}_{ik} - \dot{M}_{ik} \right) n^k + o\left( \frac{1}{c^3} \right) \right]</math> Per il teorema di Birkhoff, se il campo ha simmetria sferica si dovrebbe avere che <math>A^i</math> è un quadripotenziale di tipo coulombiano, e dunque i termini contenenti <math>\dot{M}_{ik}</math> e <math>\ddot{D}_{ik}</math> dovrebbero essere nulli. Infatti, nell'ipotesi che i campi abbiano simmetria sferica si ha <math>j^i(t;\vec{y}) = j^i(t,|\vec{y}|)</math> e quindi <math>M^{ij} = 0</math> (è l'integrale di una funzione dispari su un dominio pari); dalla definizione di quadrupolo elettrico, invece, non emerge evidentemente che esso è nullo per una distribuzione sferica di carica. In generale, dunque, <math>D^{ij} \neq 0</math>, ma si tratta solo di un effetto di gauge (ossia, la gauge che stiamo usando non è la più "furba" possibile). Infatti, sotto la trasformazione: <math>A^i \to A^i - \partial^i \left( \frac{1}{8\pi rc} \frac{1}{3} \ddot{D}^{jj}\left( t - \frac{r}{c} \right) \right)</math> il quadripotenziale diventa, trascurando i termini di ordine <math>1/r^2</math>: <math>{A'}^i = A^i - \frac{1}{8\pi rc^2} n^i \frac{1}{3} \ddot{D}^{jj}\left( t - \frac{r}{c} \right) + o\left( \frac{1}{r^2} \right)</math> Questa trasformazione di gauge è quindi equivalente alla trasformazione: <math>D^{ij} \to D'^{ij} = \int \left( y^i y^j - \frac{1}{3} \delta^{ij} |\vec{y}|^2 \right) \rho\left( t - \frac{r}{c};\vec{y} \right) d^3\vec{y}</math> (ove <math>D'</math> è detto momento di quadrupolo ridotto), di modo che l'espressione di <math>A^i</math> diventa: <math>A^i = \frac{1}{4\pi r} \left[ \frac{1}{c} \dot{D}^i + \frac{1}{c^2} \left( \frac{1}{2} \ddot{D}'^{ik} - \dot{M}^{ik} \right) n^k + o\left( \frac{1}{c^3} \right) \right]</math> Se ora la distribuzione di carica è a simmetria sferica, passando a coordinate polari si ha <math>d^3\vec{y} = |\vec{y}|^2 d|\vec{y}| d\Omega</math>, <math>y^i = |\vec{y}| n^i</math>. Dunque: <math>D'^{ij} = \int |\vec{y}|^2 |\vec{y}|^2 \rho\left( t - \frac{r}{c}, |\vec{y}| \right) d|\vec{y}| \int \left( n^i n^j - \frac{1}{3} \delta^{ij} \right) d\Omega</math> L'ultimo integrale, però, è nullo; infatti si deve avere<ref>Infatti, se <math>i = j</math> allora <math>n^i n^j = n^i n^i = 1</math>, altrimenti <math>n^i n^j = 0</math>.</ref> <math>\int n^i n^j d\Omega = k\delta^{ij}</math>, e <math>\int n^i n^i d\Omega = 4\pi = k\delta_{ii} = 3k</math>, dunque <math>k = 4\pi/3</math>. Pertanto: <math>\int n^i n^j d\Omega = \frac{4\pi}{3} \delta^{ij} \qquad \int \frac{1}{3} \delta^{ij} d\Omega = \frac{4\pi}{3} \delta^{ij}</math> Dunque, <math>D'^{ij} = 0</math>. Studiamo dunque l'emissione di questa distribuzione sferica di carica. In approssimazione di dipolo si ha: <math>\frac{dW}{d\Omega} = \frac{r^2}{c} |\vec{n} \times \vec{\dot{A}}|^2 = \frac{r^2}{c} (\delta^{ij} - n^i n^j) \dot{A}^i \dot{A}^j</math> (notiamo che il termine <math>\delta^{ij} - n^i n^j</math> è quello che determina la dipendenza della potenza emessa da <math>\sin^2\theta</math>). Nel caso dell'approssimazione di quadrupolo, invece, per studiare la dipendenza della potenza irraggiata bisogna considerare anche che <math>A^i</math> stesso dipende da <math>n^k</math>; possiamo soltanto dire, dunque, che in approssimazione di quadrupolo la dipendenza dalla direzione della potenza irradiata è più complicata di <math>\sin^2\theta</math>. Per determinare inoltre le frequenze emesse, notiamo che la relazione che lega il momento di quadrupolo a <math>\vec{y}</math> per una particella in moto è più complicata che in approssimazione di dipolo. Si ha infatti: <math>D^{ij} = e(y^i y^j - \delta^{ij} |\vec{y}|^2)</math> che è quadratico in <math>y</math> (e non lineare come nel caso <math>D^i = ey^i</math>), e analogamente per il dipolo magnetico <math>M^{ik}</math>. Pertanto, se ad esempio il moto della particella è armonico semplice di frequenza <math>\omega</math>, la radiazione emessa in approssimazione di quadrupolo elettrico e di dipolo magnetico contiene anche frequenze multiple di <math>\omega</math>. In generale, più ci si avvicina, nelle approssimazioni, a velocità relativistiche, più è grande la frequenza emessa (sempre come multiplo di <math>\omega</math>). Notiamo poi che <math>dW/d\Omega</math> è quadratico in <math>\dot{A}</math>, dunque in approssimazione di quadrupolo dovremmo anche considerare i termini di ordine <math>1/c^3</math>, perché nell'eseguire il quadrato di <math>\dot{A}</math> ci sono dei termini di ordine <math>1/c^4</math> che provengono dal prodotto di <math>\ddot{D}^i/c</math> con i termini di ordine <math>1/c^3</math>. Pertanto, per consistenza, supponiamo che i termini di ordine <math>1/c</math>, ossia i termini di dipolo, siano nulli. Per calcolare la potenza totale emessa si procede come al solito. Saltiamo il conto perché è lungo e noiso; risulta: <math>W = \int \frac{dW}{d\Omega} d\Omega = \frac{1}{6\pi} |\ddot{\vec{M}}|^2 + \frac{1}{80\pi} {\dot{\ddot{D}}'}^{ij} {\dot{\ddot{D}}'}^{ij}</math> == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Approssimazione di quadrupolo]] e22su0x9aywbzz1vsy3qzs4v4c0w9j9 0 60031 500230 491898 2026-07-29T15:43:04Z Hippias 18281 modifiche minori 500230 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Vogliamo ora studiare l'emissione di quadrimomento nel caso ultrarelativistico, e cerchiamo di farlo col minor sforzo possibile (ossia senza fare troppi conti). Sappiamo che per una singola particella con <math>v \ll 1</math> valgono le formule di Larmor: <math>\frac{d\mathcal{E}}{dt} = \frac{e^2}{6\pi} |\vec{a}(t - r)|^2 \qquad \frac{d\vec{P}}{dt} = 0</math> La prima di queste due espressioni, però, è la potenza rilevata all'istante <math>t</math> a distanza <math>r</math> dalla carica. Consideriamo invece: <math>\frac{d\mathcal{E}}{dt} = \frac{e^2}{6\pi} |\vec{a}(t)|^2</math> che è la potenza emessa al tempo <math>t</math> che raggiunge l'infinito. Questa sottile distinzione è necessaria perché per studiare l'emissione di quadrimomento vorremmo usare ragionamenti basati sull'invarianza di Lorentz, e quindi è conveniente avere espressioni valutate tutte nello stesso istante. Vogliamo dunque determinare le formule analoghe a quelle di Larmor nel caso <math>v \sim 1</math>. Supponiamo quindi di porci nel sistema di riferimento di quiete istantanea della particella; in questo, la particella è ferma per definizione, e dunque in esso valgono le formule di Larmor: <math>\frac{dP^\mu}{dt} = \frac{e^2}{6\pi} (|\vec{a}|^2, 0, 0, 0) = \frac{e^2}{6\pi} |\vec{a}|^2 u^\mu</math> ove tutte le grandezze sono valutate in <math>t</math>, e <math>u_\mu = (1,0,0,0)</math> è la quadrivelocità della particella in questo sistema di riferimento. Il nostro scopo, adesso, è quello di riscrivere quest'espressione in termini di grandezze covarianti (in particolare, dobbiamo "aggiustare" <math>|\vec{a}|^2</math>): in questo modo avremo anche determinato il quadrimomento emesso nel sistema di riferimento del laboratorio, in quanto l'uguaglianza continuerà a valere anche in esso (anche se le espressioni delle grandezze coinvolte cambieranno). Sappiamo che la quadriaccelerazione <math>w^\mu</math> è un oggetto covariante, e che si riduce a <math>(0;\vec{a})</math> nel sistema di riferimento di quiete istantanea della particella; pertanto <math>w^\nu w_\nu = -|\vec{a}|^2</math> è uno scalare di Lorentz. Sostituendo inoltre <math>dt</math> con <math>ds</math> nell'espressione del quadrimomento (perché <math>dt</math> non è covariante): <math>\frac{dP^\mu}{ds} = -\frac{e^2}{6\pi} w^\nu w_\nu u^\mu</math> È questa la formula che cercavamo, detta formula di Larmor relativistica. Come abbiamo già accennato, essendo un'uguaglianza fra quadrivettori, è vera in ogni sistema di riferimento inerziale; esprimendo tutto in termini di <math>t</math> anziché di <math>s</math><ref>Ricorda che: <math>\frac{d}{ds} = \gamma \frac{d}{dt} \qquad u^\mu = \gamma(1;\vec{v})</math></ref>: <math>\frac{dP^\mu}{dt} = -\frac{e^2}{6\pi} w^\nu w_\nu (1;\vec{v})</math> In particolare, dunque, l'energia emessa è: <math>\frac{d\mathcal{E}}{dt} = -\frac{e^2}{6\pi} w^\nu w_\nu</math> e notiamo anche che in questo caso <math>d\vec{P}/dt \neq 0</math>, al contrario di quanto accade nel caso non relativistico. Vediamo adesso delle applicazioni di questa legge. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Irraggiamento ultrarelativistico]] q9ohl1qnu8ambprleijch9if2vzl31t 0 60033 500231 491900 2026-07-29T15:57:12Z Hippias 18281 modifiche minori 500231 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} In un acceleratore, delle particelle vengono soggette a campi elettromagnetici esterni, che le accelerano a velocità prossime a quelle della luce. Detto <math>F_{\mu\nu}</math> il campo elettromagnetico esterno (tutti i campi che nomineremo in questo paragrafo saranno esterni), sappiamo che l'equazione di Lorentz per la particella è: <math>\frac{dP^\mu}{ds} = eF^{\mu\nu} u_\nu</math> e vale: <math>w^\mu = \frac{1}{m} \frac{dP^\mu}{ds} = \frac{e}{m} \gamma(\vec{v} \cdot \vec{E}; \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})</math> La potenza emessa è pertanto: <math>W = -\frac{e^2}{6\pi} w^\nu w_\nu = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{1}{1 - v^2} [|\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{E})^2]</math> Per la presenza del termine <math>\gamma^2/(1 - v^2)</math>, se <math>v \sim 1</math> la potenza emessa dalla particella è enorme; in altre parole, la potenza emessa in regimi ultrarelativistici è molto maggiore di quella emessa nel caso non relativistico. In termini dell'energia della particella: <math>W = \frac{e^4}{6\pi m^4} \mathcal{E}^2 [|\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}|^2 - (\vec{v} \cdot \vec{E})^2]</math> notiamo dunque che <math>W \propto 1/m^4</math>: a parità degli altri parametri, particelle leggere emettono molto più di quelle pesanti, e dunque ad esempio se vengono accelerati elettroni questi emetteranno moltissima energia. Consideriamo ora i due tipi di acceleratori di particelle: lineari e circolari. == Acceleratori lineari == In questo caso è sufficiente un campo elettrico per accelerare la particella, dunque <math>\vec{B} = 0</math> e <math>\vec{E} \parallel \vec{a} \parallel \vec{v}</math>. Si ha dunque: <math>W = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{1}{1 - v^2} [|\vec{E}|^2 - |\vec{v}|^2 |\vec{E}|^2] = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{1}{1 - v^2} |\vec{E}|^2 (1 - v^2) \quad \Rightarrow \quad W = \frac{e^4}{6\pi m^2} |\vec{E}|^2</math> Per capire se questa potenza emessa è rilevante o meno, valutiamo il suo rapporto con la potenza fornita dal campo elettrico, <math>W_{\text{ext}} = ev|\vec{E}|</math>: <math>\frac{W}{W_{\text{ext}}} = \frac{e^4}{6\pi m^2} |\vec{E}|^2 \frac{1}{ev|\vec{E}|} = \frac{e^3}{6\pi m^2} \frac{|\vec{E}|}{v} = \frac{2}{3} e \frac{r_0}{m} \frac{|\vec{E}|}{v}</math> ove <math>r_0</math> è il raggio classico della particella. Detta dunque <math>d\mathcal{E}/dx</math> l'energia fornita dal campo alla particella per unità di lunghezza<ref><math>\frac{d\mathcal{E}}{dx} = \frac{1}{v} \frac{dE}{dt} = e\mathcal{E}</math></ref>: <math>\frac{W}{W_{\text{ext}}} = \frac{2\pi}{3} \frac{r_0}{m} \frac{1}{v} \frac{d\mathcal{E}}{dx}</math> Pertanto, la potenza dissipata per irraggiamento diventa rilevante se il campo fornisce alla particella, per unità di lunghezza, tanta energia quanta <math>m/r_0</math>. Tipicamente, negli acceleratori si ha <math>d\mathcal{E}/dx \sim 100</math> MeV/m; nel caso in cui la particella sia un elettrone (che è il caso più sfavorevole possibile, proprio perché particelle leggere emettono moltissimo), <math>m \simeq 0.5</math> MeV e <math>r_0 \simeq 3 \times 10^{-13}</math> cm, dunque <math>W/W_{\text{ext}} \simeq 10^{-13}</math>. Pertanto, negli acceleratori lineari l'emissione di energia per irraggiamento è irrilevante. == Acceleratori circolari (o "sincrotroni") == In questo caso <math>\vec{B} \neq 0</math>; ci dovrebbe essere anche un campo elettrico, necessario proprio per accelerare la particella, ma consideriamo il caso in cui questo sia assente, ossia consideriamo la particella avente già altissima velocità. Se dunque <math>\vec{E} = 0</math> e <math>\vec{B} \perp \vec{v}</math>: <math>W = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{1}{1 - v^2} |\vec{v} \times \vec{B}|^2 = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{1}{1 - v^2} v^2 |\vec{B}|^2 \quad \Rightarrow \quad W = \frac{e^4}{6\pi m^2} \frac{v^2}{1 - v^2} |\vec{B}|^2</math> Sappiamo che il moto relativistico di una particella in un campo magnetico è tale che la sua frequenza sia: <math>\omega_0 = \frac{e|\vec{B}|}{m} \sqrt{1 - v^2} = e \frac{|\vec{B}|}{\mathcal{E}}</math> Conviene a questo punto esprimere <math>W</math> in termini di <math>\omega_0</math> invece che di <math>|\vec{B}|</math>; dunque: <math>W = \frac{e^2}{6\pi} \frac{v^2}{(1 - v^2)^2} \omega_0^2</math> Se ora <math>R</math> è il raggio della circonferenza percorsa dalla particella, poiché <math>v = \omega_0 R</math> allora <math>\omega_0 = v/R</math>, e dunque l'energia <math>\Delta \mathcal{E}</math> emessa in un periodo è: <math>\Delta \mathcal{E} = WT = W \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{e^2}{3R} v^3 \left( \frac{\mathcal{E}}{m} \right)^4</math> Poiché <math>\Delta \mathcal{E} \propto 1/R</math>, in un acceleratore grande si dissipa meno energia; come prima, poi, <math>\Delta \mathcal{E} \propto 1/m^4</math>. Per renderci conto degli ordini di grandezza, valutiamo <math>\Delta \mathcal{E}</math> nel caso di due importanti acceleratori: '''LEP''' era un acceleratore di elettroni, con <math>R = 4.3</math> km, <math>\mathcal{E} = 100</math> GeV e <math>m = 0.5</math> MeV. Allora: <math>\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}} \simeq 2 \times 10^{-2}</math> Può non sembrare molto, ma in realtà è tantissimo perché gli elettroni in esso compivano circa 11.000 giri al secondo. '''LHC''' è un acceleratore di protoni, con <math>R = 4.3</math> km, <math>\mathcal{E} = 14</math> TeV e <math>m = 1</math> GeV. Allora: <math>\frac{\Delta \mathcal{E}}{\mathcal{E}} \simeq 3 \times 10^{-9}</math> non è dunque rilevante, ma nemmeno trascurabile (corrisponde a circa una perdita del 2% dell'energia in un'ora). Il problema tecnico di LHC è che <math>B \propto E/(eR)</math>, e dunque servono campi magnetici intensissimi. == Note == <references/> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Acceleratori di particelle]] nahd0d3rog4wf6hamw9rd9agxrdxa09 0 60034 500232 491902 2026-07-29T16:17:48Z Hippias 18281 modifiche minori 500232 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Studiamo ora la distribuzione angolare della radiazione emessa nel caso ultrarelativistico. Come abbiamo visto, nel caso non relativistico la potenza emessa dipendeva dalla direzione relativa all'accelerazione della particella, e dipendeva in particolare dal quadrato del seno dell'angolo fra la direzione di osservazione e quella dell'accelerazione. In particolare, dunque, la potenza emessa era massima in direzione perpendicolare all'accelerazione della particella. Vedremo ora che nel caso ultrarelativistico la situazione è completamente diversa. La formula esatta per la potenza totale emessa per unità di angolo solido è (sfruttando l'espressione di <math>\vec{E}</math> data dai campi di Lienard-Wiechert): <math>\frac{dW}{d\Omega} = r^2 |\vec{E}|^2 = \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{|\vec{n} \times [(\vec{n} - \vec{v}) \times \vec{a}]|^2}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^6}</math> Nel caso non relativistico avevamo <math>1 - \vec{v} \cdot \vec{n} \approx 1</math>; nel caso ultrarelativistico è invece proprio questo termine che ci consente di capire la distribuzione angolare della radiazione. Se infatti si ha <math>\vec{n} \approx \vec{v}/v</math>, allora <math>1 - \vec{v} \cdot \vec{n} \approx 1 - v \xrightarrow{v \to 1} 0</math>; dunque, la potenza emessa tende a divergere se <math>\vec{n}</math> è circa collineare alla velocità della particella. La direzione "di riferimento" in questo caso, dunque, è quella di <math>\vec{v}</math>. A numeratore, poi, c'è un termine <math>\vec{n} - \vec{v}</math>, che per <math>\vec{n} \approx \vec{v}/v</math> tende a zero, compensando la divergenza del denominatore. Per comprendere meglio la situazione, riscriviamo la formula come: <math>\frac{dW}{d\Omega} = \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{|\vec{n} \times [(\vec{n} - \vec{v}) \times \vec{a}]|^2}{(1 - \vec{n} \cdot \vec{v})^2} \frac{1}{(1 - \vec{n} \cdot \vec{v})^4}</math> Se dunque <math>\vec{n} \approx \vec{v}/v</math>, si avrà: <math>\frac{\vec{n} - \vec{v}}{1 - \vec{n} \cdot \vec{v}} \xrightarrow{\vec{n} \approx \vec{v}/v} \frac{\vec{n} - v\vec{n}}{1 - v} = \vec{n}</math> Pertanto, il termine centrale nell'espressione di <math>dW/d\Omega</math> è costante, e quindi: <math>\frac{dW}{d\Omega} \overset{\vec{n} \approx \vec{v}/v}{\sim} \frac{e^2}{16\pi^2} |\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{a})|^2 \frac{1}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^4}</math> e poiché <math>|\vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{a})| = |\vec{n} \times \vec{a}|</math>: <math>\frac{dW}{d\Omega} \overset{\vec{n} \approx \vec{v}/v}{\sim} \frac{e^2}{16\pi^2} |\vec{n} \times \vec{a}|^2 \frac{1}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^4}</math> Dobbiamo dunque distinguere due casi: <math>\vec{a} \cdot \vec{v} \neq 0</math> (ossia <math>\vec{a}</math> non è parallelo a <math>\vec{v}</math>) se <math>\vec{n} \approx \vec{v}/v</math>, allora <math>|\vec{n} \times \vec{a}| \neq 0</math>: <math>\frac{dW}{d\Omega} = \frac{e^2}{16\pi^2} |\vec{n} \times \vec{a}|^2 \frac{1}{(1 - v\cos\alpha)^4}</math> Pertanto, per <math>v \approx 1</math> il termine più rilevante nell'espressione della potenza emessa per irraggiamento è <math>1/(1 - v\cos\alpha)^4</math>. Espandendo per piccoli valori di <math>\alpha</math>: <math>f(\alpha) := \frac{1}{(1 - v\cos\alpha)^4} = \frac{1}{\left( 1 - v\left( 1 - \frac{\alpha^2}{2} \right) \right)^4} = \frac{1}{\left( 1 - v + v\frac{\alpha^2}{2} \right)^4} \overset{v \approx 1}{\sim} \frac{1}{\left( 1 - v + \frac{\alpha^2}{2} \right)^4}</math> Dunque, <math>f(\alpha)</math> è una funzione piccata attorno ad <math>\alpha = 0</math>, e il picco è sempre più marcato più il valore di <math>v</math> si avvicina ad 1. La larghezza a metà altezza della campana, poi, è dell'ordine di <math>\sqrt{1 - v^2} \sim \sqrt{1 - v}</math>. Concludiamo dunque che se <math>v \sim 1</math>, la maggior parte della radiazione emessa è tutta concentrata in un cono di angolo solido centrato sulla direzione di <math>\vec{v}</math>: <math>\vec{a} \parallel \vec{v}</math> Dunque: <math>\frac{dW}{d\Omega} = \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{a^2 \sin^2\alpha}{(1 - v\cos\alpha)^6}</math> È una situazione leggermente diversa dalla precedente: se <math>\alpha = 0</math>, infatti, la potenza emessa è nulla. Detta: <math>f(\alpha) = \frac{\sin^2\alpha}{(1 - v\cos\alpha)^6}</math> In questo caso, dunque, nella direzione esatta della velocità non viene emessa energia, ma comunque la quasi totalità della radiazione è contenuta in un cono di angolo solido <math>\alpha \sim \sqrt{1 - v}</math> centrato nella direzione della velocità (che in questo caso coincide con quella dell'accelerazione). I due casi, dunque, anche se a priori diversi sono sostanzialmente equivalenti. {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Distribuzione angolare]] 9hh0rbaq49gf4242ikvfi50xhqp9kfz 0 60035 500233 491903 2026-07-29T16:37:04Z Hippias 18281 modifiche minori 500233 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Finora abbiamo studiato la dipendenza della radiazione emessa dalla direzione di osservazione. È però interessante anche sapere come è distribuita la radiazione in funzione della frequenza. Vogliamo dunque cercare di capire quantitativamente la distribuzione spettrale della radiazione emessa per irraggiamento. Detta <math>\omega</math> la frequenza della radiazione, la sua distribuzione spettrale è: <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega}</math> ossia l'energia emessa per unità di frequenza e di angolo solido; volendo possiamo studiare anche <math>d\mathcal{E}/d\omega</math>, ossia l'energia totale emessa per unità di frequenza. Dobbiamo dunque distinguere due casi: quello in cui i fenomeni coinvolti sono periodici e quello in cui non lo sono. Dall'analisi di Fourier sappiamo che una funzione non periodica ha spettro di frequenze continuo: <math>f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega t} \tilde{f}(\omega) d\omega</math> mentre nel caso di fenomeni periodici, detto <math>T</math> il periodo e <math>\omega_0</math> la relativa frequenza, si avrà: <math>f(t + T) = f(t) \quad \Rightarrow \quad f(t) = \sum_{N=-\infty}^{+\infty} e^{-iN\omega_0 t} f_N</math> ove <math>f_N</math> sono i coefficienti di Fourier della serie. È utile anche l'identità di Parsifal: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{+\infty} |\tilde{f}(\omega)|^2 d\omega</math> Inoltre se <math>f</math> è reale, ossia <math>f(t) = f^*(t)</math>, allora <math>\tilde{f}(\omega) = \tilde{f}^*(-\omega)</math>. In questo caso, dunque: <math>\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^2 dt = 2\int_0^{+\infty} |\tilde{f}(\omega)|^2 d\omega</math> L'analogo di questa relazione nel caso di spettro discreto (ossia di fenomeni periodici) è: <math>\frac{1}{T} \int_0^T |f(t)|^2 dt = 2\sum_{N=1}^\infty |f_N|^2 + |f_0|^2</math> Supponiamo dunque di avere a che fare con un fenomeno non periodico; allora la quadricorrente <math>j^\mu(t;\vec{x})</math> non sarà periodica, e quindi: <math>j^\mu(t;\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t} j^\mu(\omega;\vec{x}) d\omega</math> Si avrà quindi anche: <math>\vec{E}(t;\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t} \vec{E}(\omega;\vec{x}) d\omega</math> Le formule che abbiamo usato finora ci hanno permesso di stabilire che: <math>\frac{dW}{d\Omega} = r^2 |\vec{E}(t)|^2</math> Dunque: <math>\frac{d\mathcal{E}}{d\Omega} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dW}{d\Omega} dt = r^2 \int_{-\infty}^{+\infty} |\vec{E}(t)|^2 dt</math> e per l'identità di Parsifal: <math>\frac{d\mathcal{E}}{d\Omega} = 2r^2 \int_0^{+\infty} |\vec{E}(\omega)|^2 d\omega</math> Pertanto: <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} = 2r^2 |\vec{E}(\omega)|^2</math> Nel caso periodico (indichiamo con <math>\bar{x}</math> la media temporale di <math>x</math>): <math>\frac{d\overline{W}}{d\Omega} = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{dW}{d\Omega} dt \quad \Rightarrow \quad \frac{dW_N}{d\Omega} = 2r^2 |\vec{E}_N|^2</math> ove <math>N</math> è un intero, che indica il multiplo della frequenza fondamentale. Dobbiamo quindi calcolare <math>\vec{E}(\omega)</math>, e lo facciamo partendo dall'espressione del quadripotenziale: <math>A^\mu(t;\vec{x}) = \frac{1}{4\pi r} \int j^\mu(t - r + \vec{n} \cdot \vec{y};\vec{y}) d^3\vec{y} + O\left( \frac{1}{r^2} \right)</math> In termini della trasformata di Fourier della quadricorrente: <math>j^\mu(t;\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t} j^\mu(\omega;\vec{y}) d\omega</math> allora: <math>A^\mu(t;\vec{x}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t} \left[ \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \int e^{i\omega \vec{n} \cdot \vec{y}} j_\mu(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y} \right] d\omega</math> (ove il termine fra parentesi è <math>A^\mu(\omega;\vec{x})</math>). Ora, poiché: <math>\vec{E}(t;\vec{x}) = \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{\dot{A}})</math> (che è un'espressione conseguenza della relazione delle onde, dunque valida per grandi <math>r</math>, come stiamo supponendo noi), allora: <math>\vec{E}(\omega;\vec{x}) = -i\omega \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{A}(\omega;\vec{x})) = -i\omega \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \int e^{i\omega \vec{n} \cdot \vec{y}} \vec{j}(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y} \right)</math> In linea di principio, dunque, il problema è risolto; la questione è se riusciamo a calcolare l'integrale o meno. Vediamo dunque di capire in quali contesti possiamo estrarre informazioni qualitative sullo spettro emesso. Al solito, consideriamo i regimi non relativistico e ultra-relativistico. {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Analisi spettrale]] k2ni9dhfs1smxbpgvwdf9yo7iv1x5j0 0 60036 500234 491904 2026-07-29T16:40:04Z Hippias 18281 modifiche minori 500234 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Abbiamo già visto in ''[[Elettrodinamica classica/Approssimazione di dipolo|Approssimazione di dipolo]] che se la frequenza caratteristica del fenomeno è <math>\omega</math>, anche la radiazione emessa ha frequenza <math>\omega</math>. Il limite in cui quest'approssimazione è valida è <math>v \ll 1</math>, equivalente alla richiesta <math>\omega\ell \ll 1</math>, con <math>\ell</math> dimensioni caratteristiche del sistema. In questo regime, <math>\omega\vec{n} \cdot \vec{y}</math> è trascurabile, perché <math>\omega\vec{n} \cdot \vec{y} \lesssim \omega\ell \ll 1</math>. Dunque, in questo caso: <math>\vec{E}(\omega;\vec{x}) = -i\omega \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \int \vec{j}(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y} \right)</math> Quest'integrale si può calcolare con la trasformata di Fourier del momento di dipolo: <math>\vec{\dot{D}}(t) = \int \vec{j}(t;\vec{y}) d^3\vec{y} \quad \Rightarrow \quad -i\omega \vec{D}(\omega) = \int \vec{j}(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y}</math> Pertanto: <math>\vec{E}(\omega;\vec{x}) = -\omega^2 \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{D}(\omega)) \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} = \frac{\omega^4}{8\pi^2} |\vec{n} \times \vec{D}(\omega)|^2</math> Dunque, le frequenze emesse sono quelle per le quali <math>\vec{D}(\omega) \neq 0</math>. Se il tempo caratteristico del fenomeno è <math>T</math>, allora <math>\vec{D}(\omega) \neq 0</math> se <math>\omega \lesssim 1/T</math>; quindi, le frequenze emesse in quest'approssimazione sono <math>\omega \lesssim 1/T</math>. Se il fenomeno è periodico, allora l'unica frequenza emessa è <math>\omega</math>, in quanto <math>\vec{D}(\omega)</math> è non nullo solo per quella frequenza. {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Caso non relativistico]] s5pd09ds36lm11mzucjhrqor6l9of5k 500235 500234 2026-07-29T16:40:28Z Hippias 18281 500235 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} Abbiamo già visto in ''[[Elettrodinamica classica/Approssimazione di dipolo|Approssimazione di dipolo]]'' che se la frequenza caratteristica del fenomeno è <math>\omega</math>, anche la radiazione emessa ha frequenza <math>\omega</math>. Il limite in cui quest'approssimazione è valida è <math>v \ll 1</math>, equivalente alla richiesta <math>\omega\ell \ll 1</math>, con <math>\ell</math> dimensioni caratteristiche del sistema. In questo regime, <math>\omega\vec{n} \cdot \vec{y}</math> è trascurabile, perché <math>\omega\vec{n} \cdot \vec{y} \lesssim \omega\ell \ll 1</math>. Dunque, in questo caso: <math>\vec{E}(\omega;\vec{x}) = -i\omega \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \int \vec{j}(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y} \right)</math> Quest'integrale si può calcolare con la trasformata di Fourier del momento di dipolo: <math>\vec{\dot{D}}(t) = \int \vec{j}(t;\vec{y}) d^3\vec{y} \quad \Rightarrow \quad -i\omega \vec{D}(\omega) = \int \vec{j}(\omega;\vec{y}) d^3\vec{y}</math> Pertanto: <math>\vec{E}(\omega;\vec{x}) = -\omega^2 \frac{e^{-i\omega r}}{4\pi r} \vec{n} \times (\vec{n} \times \vec{D}(\omega)) \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} = \frac{\omega^4}{8\pi^2} |\vec{n} \times \vec{D}(\omega)|^2</math> Dunque, le frequenze emesse sono quelle per le quali <math>\vec{D}(\omega) \neq 0</math>. Se il tempo caratteristico del fenomeno è <math>T</math>, allora <math>\vec{D}(\omega) \neq 0</math> se <math>\omega \lesssim 1/T</math>; quindi, le frequenze emesse in quest'approssimazione sono <math>\omega \lesssim 1/T</math>. Se il fenomeno è periodico, allora l'unica frequenza emessa è <math>\omega</math>, in quanto <math>\vec{D}(\omega)</math> è non nullo solo per quella frequenza. {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Caso non relativistico]] oamsw4qvottf8m9r9lnnm5mvfi9wc6x 0 60037 500236 491905 2026-07-29T17:10:55Z Hippias 18281 modifiche minori 500236 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} In questo caso <math>v \approx 1</math>. Per semplicità, consideriamo una particella carica in moto. Sappiamo che, per l'espressione dei campi di Lienard-Wiechert: <math>\vec{E}(t) = \frac{e}{4\pi r} \frac{\vec{n} \times [(\vec{n} - \vec{v}) \times \vec{a}]}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^3}\bigg|_{t'}</math> ove <math>\vec{v}</math> e <math>\vec{a}</math> sono calcolate al tempo <math>t'</math>, definito dalla relazione: <math>t = t' + r - \vec{n} \cdot \vec{y}(t')</math> (valida per grandi <math>r</math>). Cercare di fare il conto esatto (cioè estraendo <math>t'</math> e sostituendolo) è estremamente complicato, ma qualcosa si riesce comunque a dire. Si ha: <math>\vec{E}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t} \vec{E}(t) dt</math> per semplificare l'integrale, cambiamo variabile da <math>t</math> a <math>t'</math>. Allora si ha (gli estremi d'integrazione non cambiano se <math>\vec{y}</math> è una traiettoria al finito): <math>dt = dt' - \vec{n} \cdot \vec{v}(t') dt' \quad \Rightarrow \quad dt = dt'(1 - \vec{n} \cdot \vec{v}(t')) \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad \vec{E}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e}{4\pi r} e^{-i\omega(t' + r - \vec{n} \cdot \vec{y}(t'))} \frac{\vec{n} \times [(\vec{n} - \vec{v}) \times \vec{a}]}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^2}\bigg|_{t'} dt'</math> Quindi (cambiando nome alla variabile d'integrazione in <math>t</math>): <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} = \frac{e^2}{8\pi^2} \left| \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i\omega(t - \vec{n} \cdot \vec{y})} \frac{\vec{n} \times [(\vec{n} - \vec{v}) \times \vec{a}]}{(1 - \vec{v} \cdot \vec{n})^2} dt \right|^2</math> Questa è ancora una formula esatta (non abbiamo introdotto nessuna approssimazione). Supponiamo ora che il moto della particella sia "quasi rettilineo", nel senso che ora specifichiamo (in realtà si può mostrare che quello che troveremo vale per un moto qualunque; facciamo quest'ipotesi per semplificare i conti). Chiamiamo <math>\chi</math> l'angolo di deflessione della particella durante il moto (nella figura, è l'angolo fra <math>v_i</math> e <math>v_f</math>). Abbiamo già visto che la quasi totalità della radiazione emessa dalla particella è contenuta in un cono di angolo solido <math>\alpha \sim \sqrt{1 - v^2}</math>; diremo dunque che il moto della particella è "quasi rettilineo" se <math>\chi \ll \alpha</math>. In quest'approssimazione possiamo valutare l'integrale in <math>d^2\mathcal{E}/d\omega d\Omega</math>, e lo facciamo prendendo <math>\vec{n} \approx \vec{v}/v</math>, a meno di angoli di ordine <math>\alpha</math>. Pertanto, <math>\vec{n} - \vec{v} \approx \vec{n}(1 - v)</math> e <math>1 - \vec{n} \cdot \vec{v} \approx 1 - v</math>; possiamo poi approssimare il moto come rettilineo, e dunque <math>\vec{y} \approx \vec{v}t</math> e <math>t\vec{n} \cdot \vec{v} \approx (1 - v)t</math>, con <math>v \approx 1</math>. L'unica quantità che dipende significativamente dal tempo nell'integrale è <math>\vec{a}</math>. Dunque: <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} \simeq \frac{e^2}{8\pi^2} \frac{1}{(1 - v)^2} \left| \vec{n} \times \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-i\omega(1-v)t} \vec{a}(t) dt \right|^2</math> Ma il termine nell'integrale è la trasformata di Fourier di <math>\vec{a}</math> valutata in <math>\omega(1 - v)</math>. Pertanto: <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} = \frac{e^2}{8\pi^2} \frac{1}{(1 - v)^2} |\vec{n} \times \vec{a}(\omega(1 - v))|^2</math> Nelle nostre approssimazioni, poi, <math>1 - v \approx 1 - v^2</math>. Il fattore <math>1/(1 - v)^2</math> nell'equazione precedente è espressione del fatto che in regime ultra-relativistico viene emessa molta più energia rispetto al caso non relativistico. Il termine <math>\vec{a}(\omega(1 - v))</math>, invece, aumenta le frequenze emesse dal sistema: infatti, se il processo ha un tempo caratteristico <math>T</math>, allora <math>\vec{a}(\omega) \neq 0</math> se <math>\omega \lesssim 1/T</math>; poiché però nel caso ultrarelativistico compare <math>\vec{a}(\omega(1 - v))</math>, ciò significa che l'energia emessa per unità di frequenza e angolo solido è significativamente diversa da zero se <math>(1 - v)\omega \lesssim 1/T</math>, ossia: <math>\omega \lesssim \frac{1}{1 - v} \frac{1}{T} \approx \frac{1}{1 - v^2} \frac{1}{T} = \left( \frac{E}{m} \right)^2 \frac{1}{T}</math> Dunque, nel limite <math>v \sim 1</math>, le frequenze emesse sono molto più grandi di <math>1/T</math> (ciò può anche essere visto come una sorta di effetto Doppler). Come detto, anche se abbiamo ipotizzato il moto quasi rettilineo, tutti i risultati che abbiamo appena trovato si applicano a moti qualunque. In un sincrotrone, ad esempio, detta <math>\omega_0</math> la frequenza di sincrotrone, ci aspetteremmo <math>T \approx 1/\omega_0</math>; in realtà ciò non è corretto, e si ha <math>T \approx \theta/\omega_0</math> (il tempo caratteristico è quello che la particella impiega a percorrere un arco di circonferenza dell'ordine di <math>\theta</math>), ossia: <math>T \approx \frac{\sqrt{1 - v^2}}{\omega_0} = \frac{m}{\mathcal{E}}\omega_0</math> Dunque: <math>\frac{d^2\mathcal{E}}{d\omega d\Omega} \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \omega \lesssim \left( \frac{\mathcal{E}}{m} \right)^3 \omega_0 \approx \frac{1}{R} \left( \frac{\mathcal{E}}{m} \right)^3</math> Ad esempio, a LEP si ha <math>1/\omega = \lambda = 10^{-3}</math> nm, mentre a LHC <math>\lambda \simeq 1</math> nm. {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Caso ultra-relativistico]] bii4yfjfhjwae1ndwu841b4k9k7ywed 0 60038 500237 491906 2026-07-29T17:25:36Z Hippias 18281 modifiche minori 500237 wikitext text/x-wiki {{Elettrodinamica classica}} È la prima (e l'ultima) applicazione che vedremo dell'elettromagnetismo in un mezzo materiale. L'effetto Čerenkov consiste nell'osservazione di radiazione emessa da parte di una soluzione dielettrica (tipicamente acqua) quando questa viene investita da radiazione altamente energetica, ad esempio raggi <math>\gamma</math>. La radiazione osservata è tipicamente bluastra (vicina all'ultravioletto) e viene emessa con un angolo ben preciso rispetto alla direzione della radiazione incidente, e quest'angolo dipende solo dall'energia dei raggi e dall'indice di rifrazione del mezzo. Ciò che accade è che i raggi <math>\gamma</math> urtando gli atomi d'acqua possono mettere in moto gli elettroni (per effetto Compton), i quali iniziano dunque a muoversi a velocità sostanzialmente costante nel mezzo; questa velocità può però essere molto grande; come vedremo, se <math>v</math> è la velocità degli elettroni e <math>c_m</math> è la velocità della luce nel mezzo (<math>c_m = c/\sqrt{\varepsilon}</math>, con <math>\varepsilon</math> costante dielettrica del mezzo, e <math>n = \sqrt{\varepsilon}</math> indice di rifrazione dello stesso; dunque <math>c_m = c/n < c</math>, perché tipicamente <math>n > 1</math>), allora se <math>v > c_m</math> si ha emissione di radiazione, anche se la velocità delle particelle è costante. L'effetto Čerenkov ha anche interessanti applicazioni teoriche (ad esempio, se esistessero particelle che si muovono a velocità maggiori di quella della luce nel vuoto, i cosiddetti tachioni, allora questi dovrebbero emettere per effetto Čerenkov), ma noi non ce ne occuperemo. Cominciamo, dunque, riscrivendo le equazioni di Maxwell nel mezzo. Trascurando qualunque effetto dovuto alla suscettibilità magnetica (dunque <math>\mu = 1</math>), possiamo riscriverle effettuando le seguenti sostituzioni: <math>\vec{E} \to n\vec{E} \qquad \vec{B} \to \vec{B} \qquad c \to \frac{c}{n} \qquad \rho \to \frac{\rho}{n^2} \qquad \vec{j} \to \frac{\vec{j}}{n}</math> Dunque (tralasciamo le equazioni relative alle identità di Bianchi, perché come già detto più volte non sono vere e proprie equazioni dinamiche): <math>-\frac{n^2}{c} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \vec{\nabla} \times \vec{B} = \frac{\vec{j}}{c} \qquad \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{n^2}</math> A partire da queste, vogliamo studiare la radiazione emessa da una particella carica con velocità costante<ref>Nota: stiamo considerando <math>n</math> come una costante. In realtà ciò non è vero: l'indice di rifrazione del mezzo è una funzione della frequenza della radiazione che lo attraversa, ossia <math>n = n(\omega)</math>. Questa considerazione ci servirà poi in seguito.</ref> <math>v > c/n</math>. Poiché tutti i risultati che abbiamo ottenuto nel vuoto relativamente alle onde elettromagnetiche erano conseguenza delle equazioni di Maxwell (nel vuoto), e che quelle in un mezzo materiale si ottengono attraverso le sostituzioni viste sopra, allora tutte le proprietà delle onde elettromagnetiche in un mezzo si otterranno da quelle del vuoto con le stesse sostituzioni. Se chiamiamo <math>y^\mu(s)</math> la linea d'universo della particella, nel vuoto si avrà: <math>A^0(x) = \frac{e}{2\pi} \int \frac{dy^0}{ds} \Theta(x^0 - y^0(s)) \delta((x - y(s))^2) ds</math> Le dimensioni di <math>A^0</math> devono essere quelle di una carica fratto una lunghezza; verifichiamo se è così anche in questo caso, e se così non fosse inseriamo delle opportune potenze di <math>c</math>. Si ha: <math>y^0= ct \quad \Rightarrow \quad [y^0] = L \qquad [\delta (x - y(s))^2] = \frac{1}{[(x - y(s))^2]} = \frac{1}{L^2}</math> ove abbiamo sfruttato il fatto che la <math>\delta</math> ha sempre come dimensione l'inverso della dimensione del suo argomento (altrimenti l'integrale della <math>\delta</math> su tutto il suo dominio di definizione non potrebbe essere un numero puro). Pertanto, effettivamente, <math>[A^0] = e/L</math>, e dunque non è necessario introdurre nessuna <math>c</math>. Nel mezzo, quindi: <math>nA^0 = \frac{e}{2\pi n^2} \int \frac{dy^0}{ds} \Theta(x^0 - y^0(s)) \delta\left[ (x - y(s))^2_n \right] ds \quad \Rightarrow</math> <math>\Rightarrow \quad A^0 = \frac{e}{2\pi n^3} \int \frac{dy^0}{ds} \Theta(x^0 - y^0(s)) \delta\left[ (x - y(s))^2_n \right] ds</math> Il pedice <math>n</math> all'interno dell'argomento della <math>\delta</math> sta a indicare che il prodotto scalare non è quello di Minkowski, ma è diverso per via della comparsa di fattori <math>c</math> nell'argomento, i quali si "portano dietro" delle <math>n</math> nell'applicare le sostituzioni viste prima; in particolare, abbiamo posto: <math>x^2_n = \frac{(x^0)^2}{n^2} - |\vec{x}|^2</math> Supponendo ora che la particella che stiamo considerando si muova lungo l'asse <math>z</math>, poiché il suo moto è rettilineo uniforme allora <math>y^\mu(s) = u^\mu s</math>, con <math>u^\mu = \gamma(1,0,0,v)</math>. A questo punto, dobbiamo determinare i valori di <math>s</math> tali che <math>(x - y(s))^2_n = 0</math> e <math>x^0 - y^0(s) > 0</math>. Se fossimo nel vuoto sappiamo che queste due condizioni ammettono un'unica soluzione; vedremo adesso che ciò non è più vero nel mezzo, come conseguenza del fatto che il prodotto scalare non è più quello di Minkowski. Si ha: <math>(x - y(s))^2_n = x^2_n - 2(x \cdot u)_n s + s^2 u^2_n = 0</math> ove: <math>u^2_n = \frac{1}{1 - v^2} \left( \frac{1}{n^2} - v^2 \right) < 0</math> Se ora chiamiamo <math>\vec{x} = (x,y,z)</math>, poniamo <math>r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>. Allora: <math>x^2_n = \frac{t^2}{n^2} - (r^2 + z^2) \qquad (x \cdot u)_n = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \left( \frac{t}{n^2} - vz \right)</math> L'equazione <math>(x - y(s))^2_n = 0</math> ha soluzioni reali se e solo se il suo discrimimante è non nullo: <math>(x \cdot u)^2_n - x^2_n u^2_n \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \cdots \quad \Rightarrow \quad \frac{r^2}{(z - vt)^2 + r^2} < \frac{1}{v^2 n^2}</math> Scritta così, quest'espressione non è molto illuminante; cerchiamo di comprenderne meglio il significato. Con queste notazioni, l'espressione diventa <math>|\sin\alpha| < 1/(vn)</math> (notare che affinché ciò abbia senso è necessario che <math>v > 1/n</math>, ossia che la particella si muova a velocità maggiori di quella della luce nel mezzo). Dobbiamo però imporre anche la condizione <math>x^0 - y^0(s) > 0</math>. Si verifica (il conto è lasciato per esercizio) che questa condizione è soddisfatta se e solo se <math>z - vt < 0</math>. Inoltre, gli <math>s</math> che soddisfano <math>(x - y(s))^2_n = 0</math> e la condizione <math>z - vt < 0</math> sono due: esistono quindi due soluzioni distinte (e non una come nel vuoto). Possiamo anche capire intuitivamente perché ciò accada: nel mezzo materiale il cono luce di <math>x</math> sarà più "stretto" di quello che si avrebbe nel vuoto (perché la velocità della luce è minore), e la linea d'universo della particella sarà una retta (perché si muove di moto rettilineo uniforme). Poiché però la retta ha un'inclinazione maggiore di quella delle pareti del cono luce nel mezzo (ma ovviamente minore di quello nel vuoto) lo interseca in due punti. Supponiamo ora di iniziare a osservare il fronte d'onda emesso dalla particella all'istante <math>t = 0</math>; questo fronte si propagherà a velocità <math>1/n</math>, mentre la particella a velocità <math>v > 1/n</math>. Dopo un tempo <math>t</math>, la particella ha coordinata <math>z</math> pari a <math>vt</math>, e il fronte d'onda si è propagato fino alla distanza <math>t/n</math> dal punto in cui è stato generato. Nei punti intermedi possiamo disegnare i fronti d'onda emessi, perché la retta che congiunge il primo fronte alla particella è quella che (ovviamente) delimita tutti i fronti emessi successivamente; la radiazione, insomma, è visibile solo nel cono composto dagli inviluppi dei fronti d'onda. Valutiamo l'apertura angolare di questi fronti: <math>\sin\alpha = \frac{t/n}{vt} = \frac{1}{nv}</math> che è proprio l'angolo che abbiamo determinato in precedenza. Quando i fronti d'onda si espandono, le onde risultanti si propagano lungo la direzione perpendicolare al fronte: <math>\cos\theta_C = \sin\alpha = \frac{1}{vn}</math> ove <math>\theta_C</math> è detto angolo di Čerenkov, ed è quello che individua la direzione di emissione della radiazione Čerenkov. Come avevamo già detto all'inizio, risulta proprio che <math>\theta_C</math> dipende solo da <math>v</math> e da <math>n</math>. Non ci addentriamo maggiormente nell'argomento, limitandoci a riportare dei risultati. Guardando il campo a grandi distanze, ad esempio <math>A^0</math>, o meglio la sua componente di frequenza <math>\omega</math>, allora si ha: <math>A^0 \approx \frac{\text{cost.}}{\sqrt{r}} e^{i\omega t - i(k_z z + k_r r)}</math> ove <math>k_z = \omega/v</math> e <math>k_r = (\omega/v)\sqrt{v^2 n^2 - 1}</math>. Se dunque <math>v > 1/n</math> non ci sono problemi (la radice è reale), mentre se <math>v < 1/n</math> si ha un'onda evanescente<ref>In realtà, in questo caso si ha che <math>\sqrt{v^2 n^2 - 1} = i\sqrt{1 - v^2 n^2}</math>. Sostituendo in <math>A^0</math>, otteniamo due soluzioni: un'onda che aumenta esponenzialmente all'infinito, che non ha senso fisico, e una evanescente. La prima va dunque scartata.</ref>. Questo, dunque, conferma che c'è emissione solo se la velocità della particella è maggiore di quella della luce nel mezzo. I campi elettrico e magnetico vanno dunque all'infinito come <math>1/\sqrt{r}</math>, e ciò è dovuto alla simmetria cilindrica del sistema; come conseguenza di ciò si ha un flusso di energia non nullo all'infinito. Risulta infatti che la potenza totale emessa è: <math>W \sim \int_\Sigma |\vec{E}|^2 r dr dz d\varphi</math> che è stata ottenuta integrando il vettore di Poynting <math>\vec{S}</math> su una superficie cilindrica <math>\Sigma</math> coassiale con l'asse <math>z</math>. La misura in questo caso contiene <math>r</math> e non <math>r^2</math> proprio perché stiamo usando coordinate cilindriche. Ora, poiché <math>|\vec{E}|^2 \propto 1/r</math>, nel limite <math>r \to \infty</math> si ha un risultato finito. Si può anche vedere che: <math>\frac{d^3E}{dz d\omega d\Omega} = \frac{e^2}{8\pi^2 nv} (n^2 v^2 - 1) \omega \delta(1 - nv\cos\theta)</math> (infatti, <math>d^2\mathcal{E}/(d\omega d\Omega)</math> non sarebbe una quantità ben definita per la simmetria del sistema; integrando infatti anche in <math>dz</math> divergerebbe). La presenza della <math>\delta</math> conferma il fatto che c'è radiazione solo in una precisa direzione <math>\cos\theta_C = 1/(nv)</math>. Inoltre, l'energia emessa dipende da <math>\omega</math>: c'è tanta più energia emessa quanto più grande è la frequenza. Si potrebbe quindi pensare che ci siano delle divergenze: in realtà, abbiamo già notato che l'indice di rifrazione <math>n(\omega)</math> è una funzione della frequenza, e tende a 1 per <math>\omega \to \infty</math>; per grandi frequenze, dunque, il mezzo tende a comportarsi come il vuoto, e dunque non c'è emissione. Insomma, il fatto che <math>n</math> dipenda da <math>\omega</math> evita che ci siano divergenze nell'energia emessa per grandi frequenze. Il picco delle frequenze nella radiazione emessa avviene per <math>\omega</math> abbastanza grande ma tale da non rendere <math>n(\omega)</math> apprezzabilmente simile a 1, ed è (come osservato) nel blu, tendente all'ultravioletto. Applicazione pratiche dell'effetto Čerenkov si trovano negli acceleratori: in Super-Kamiokande, ad esempio, dei neutrini cosmici impattano contro dell'acqua, e se hanno abbastanza energia mettono in moto gli elettroni, che dunque emettono radiazione Čerenkov. Studiando questa radiazione, è possibile risalire a informazioni relative ai neturini. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|29 luglio 2026}} [[Categoria:Elettrodinamica classica|Effetto Čerenkov]] majgyuj9g6pcss0611t9f3w50030xxk