Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 3300 500624 434661 2026-08-09T15:35:46Z ~2026-43700-03 54672 /* Imperfetto desiderativo */ 500624 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{italiano}}</noinclude> Già il nome – imperfetto – segnala l’aspetto più tipico di questo tempo verbale: “Imperfectum” significava in latino “non compiuto” e infatti anche l’imperfetto italiano esprime un’azione nel passato “non conclusa”, o meglio, un’azione passata nella quale le coordinate temporali (inizio-fine) restano incompiute, cioè inespresse, perché ritenute dal parlante non essenziali per il messaggio. Si veda il seguente esempio: :''Mio fratello Pietro nuotava vicino alla riva.'' Il verbo all’imperfetto mette a fuoco solo l’azione del nuotare in un momento imprecisato del passato, ma non veicola nessun tipo di informazione che permetta di dedurre l’inizio o la fine di questa nuotata. Nell’esempio proposto il ricorso all’imperfetto libera, per così dire, l’azione del nuotare dalla referenza alle normali coordinate temporali, la dilata all’infinito, lasciando in primo piano solo un ragazzo che nuota in un momento rimasto indefinito. Formulando la frase con il passato prossimo o con il passato remoto, si ottiene un effetto molto diverso: :''Mio fratello Pietro ha nuotato/nuotò vicino alla riva.'' In questo caso il tempo verbale non si limita a mettere a fuoco l’azione del nuotare in un momento del passato più o meno vicino, più o meno attuale per il parlante, ma veicola contemporaneamente l’informazione che ci fu un inizio ed una fine, un “prima” ed un “dopo” a questa nuotata. Il ricorso al passato prossimo o al passato remoto mette in prima piano l’azione del nuotare, ma allo stesso tempo la ancora saldamente ad un sistema temporale rigoroso. Se lo volesse, il parlante potrebbe inserire altre informazioni nella frase (per esempio che Pietro nuotò per tre ore ha nuotato fino alle dieci ecc.), ma ciò non sarebbe niente altro che un’aggiunta e una precisazione di qualcosa che c’è già, cioè della consapevolezza, espressa attraverso la scelta del passato prossimo (o del passato remoto), che il tempo in cui si muove Pietro è un tempo chiaramente definito, fatto di sequenze ordinate su un asse temporale. Il “disinteresse” tipico dell’imperfetto per la definizione precisa del momento in cui si svolge l’azione è il motivo conduttore che unifica le varie sfumature e i diversi campi di applicazione di questo tempo verbale. In linea generale, si ricorre all’imperfetto per tutte quelle situazioni in cui non è importante o non si vogliono definire le coordinate temporali di un’azione nel passato. In particolare si distinguono vari tipi di imperfetto: ==Imperfetto descrittivo== Per le sue caratteristiche l’imperfetto è il tempo verbale che meglio permette di concentrare l’attenzione dell’ascoltatore lettore sull’oggetto da descrivere, senza distrarlo con informazioni relative alla sfera temporale e dunque estranee all’oggetto stesso. Perciò l’imperfetto è il tempo tipico delle descrizioni: :''Era una notte buia e tempestosa, soffiava il vento e da lontano si avvertiva brontolare il tuono.'' :''Era una ragazza sui vent’anni con una figura sottile stretta in un cappotto scuro; portava i capelli sciolti e mi veniva incontro con l’aria distratta di chi è immerso in altri pensieri.'' ==Imperfetto iterativo== È l’imperfetto che si usa per indicare il ripetersi di un’azione, come fatto occasionale o dovuto ad un’abitudine; spesso lo si trova accompagnato da un avverbio o da un’espressione temporale: :''Il gatto, irrequieto, andava e veniva dalla cucina al salotto e quando mi passava davanti, mi rivolgeva dei lunghi miagolii accusatori.'' :''Ogni mattina scendevamo al bar sotto casa per fare colazione. Ordinavamo sempre lo stesso, un macchiato tiepido ed un cornetto, che mangiavamo in piedi, leggendo il giornale.'' Talvolta l’imperfetto serve per esprimere il ripetersi di un’azione ad intervalli regolari così ravvicinati, che l’azione alla fine risulta essere duratura ed ininterrotta: :''Era da due mesi che la squadra locale non vinceva una partita.'' ==Imperfetto onirico e ludico== Proprio perché lascia inespresse le coordinate del tempo reale, l’imperfetto si rivela il tempo verbale più adatto per esprimere situazioni, come il sogno ed il gioco, fuori del tempo oggettivo e reale. Si usa dunque l’imperfetto per raccontare un sogno: :''Ho sognato che eravamo in una casa in campagna, dove abitava una donna anziana in compagnia di un cane.'' :'' Noi suonavamo alla porta, ma lei da dentro ci gridava di andarcene, perché tanto lei non apriva a nessuno.'' E all’imperfetto ricorrono anche i bambini, quando organizzano un gioco: :''Facciamo che io ero un cacciatore e tu eri una lepre, io cercavo di sparare, ma tu trovavi una buca e ti nascondevi, così io non ti vedevo più.'' ==Imperfetto narrativo== È una forma di imperfetto, usato soprattutto nel linguaggio giornalistico, che ha avuto una larga diffusione fra Ottocento e Novecento. Si veda il seguente esempio: :''Il pensionato osservava dei movimenti sospetti nelle vicinanze della boutique, allertava la polizia che sorprendeva R.F., mentre tentava di forzare la saracinesca del negozio.'' La funzione dell’imperfetto, qui, corrisponde in realtà a quella svolta da un passato prossimo o da un passato remoto, dal momento che si tratta di dar voce a una serie di azioni successive e cronologicamente ben identificabili. Ma l’uso dell’imperfetto serve in questo caso a drammatizzare la narrazione, dilatando la durata delle azioni davanti all’occhio del lettore-spettatore. Si ricorre a questo tipo di imperfetto anche per descrivere una serie di eventi all’interno di una scrittura formale, come può essere, ad esempio, un rapporto della polizia teso a ricostruire la dinamica di un incidente o una denuncia di sinistro per l’assicurazione: :''L’incidente si verificava alle ore 11.15 del giorno 21 maggio. La signora B.Z., domiciliata in Via Rossetti, si trovava a Trieste, all’incrocio fra Corso Italia e Via Imbriani, alla guida del veicolo targato VE 492800. Al momento di svoltare in Via Imbriani, il signor C.M., che conduceva il veicolo targato BE 2895 la superava senza preavviso da destra, costringendola a sterzare bruscamente per evitare lo scontro. Durante questa manovra la signora B.Z. sfiorava un motorino regolarmente posteggiato, provocandone la rottura dello specchietto laterale.'' Come si è detto, l’uso dell’imperfetto narrativo è limitato per lo più al linguaggio giornalistico, ma lo si può trovare anche nelle narrazioni, specie di carattere storico, cui conferisce un valore leggermente più enfatico del presente storico: :''Il trattato di Chaumont, firmato da Inghilterra, Russia, Austria e Prussia nel marzo del 1814, sanciva l’impegno delle potenze a conservare per vent’anni gli accordi che sarebbero usciti dai trattati di pace. La Quadruplice Alleanza (novembre 1815) riconfermava questo impegno.'' (da Gaeta, Villani, Petraccone, Storia contemporanea, Principato, 1993) ==Imperfetto desiderativo== È un imperfetto con valore di presente, al quale si ricorre per smorzare in modo garbato la perentorietà di una richiesta. :''Signora, cercavo il catalogo della mostra sui Maya'' (= cerco il catalogo...). :''Buongiorno, Signora. Che cosa desiderava?'' (= che cosa desidera?) Talvolta è possibile ottenere lo stesso effetto ricorrendo, invece che all’imperfetto, al condizionale presente con valore desiderativo: :''Volevo chiederti un favore / Vorrei chiederti un favore'' (= voglio chiederti un favore). ==Imperfetto conativo== Questo tipo di imperfetto esprime fatti del passato, ancora in una fase di progettazione: :''Pensavo di uscire verso le cinque.'' :''Filippo voleva andare in vacanza a Cuba con la sua ragazza.'' Visto il carattere di aspettualità dell’imperfetto, cioè il suo non definire i confini temporali dell’azione, resta aperto il dubbio se poi le azioni espresse dall’imperfetto abbiano avuto luogo o no. Solo ulteriori informazioni aggiunte alle frasi (per esempio: “Pensavo di uscire verso le cinque, poi ha chiamato Elisa e abbiamo deciso di incontrarci in città”; “Filippo voleva andare in vacanza a Cuba con la sua ragazza, ma in luglio si sono lasciati e allora lui ha deciso di andare in Sardegna”) potrebbero permettere di capire con sicurezza che cos’è poi realmente accaduto. Per le sue caratteristiche l’imperfetto può anche esprimere il rischio di accadimento di un’azione: :''Per poco non lo investivo.'' :''Ancora dieci minuti di lezione e mi addormentavo sul banco.'' In questi casi l’azione non ha avuto luogo, ma l’uso dell’imperfetto, dilatandola, amplifica la sensazione di rischio imminente comunicato dalla frase. ==Imperfetto irreale== Nelle ipotetiche dell’irrealtà possono comparire nella lingua parlata due indicativi imperfetti al posto del congiuntivo trapassato e del condizionale passato: :''Se finivo il lavoro, te lo dicevo'' (= Se avessi finito il lavoro, te l’avrei detto.) Tale forma viene tollerata in quanto errore comune nel parlato quotidiano, è quindi fortemente sconsigliata. {{Avanzamento|75%|17 novembre 2019}} [[Categoria:Italiano|Imperfetto]] me3koz97crx8ytltluf0pzsbjnhohzz 10 6317 500623 358882 2026-08-09T13:00:52Z Hippias 18281 manuale spostato in [[Template:Quote/man]] 500623 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{esoteric}} {{man}} <!-- Nota per capire meglio l'implementazione del template: Se vengono passate entrambe le citazioni (= parametri 1 e 3): {{{lingua}}}{{{4}}} = lingua del parametro 3 e {{{lingua2|italiano}}} = lingua del parametro 1. Se viene passata la citazione, ma non la traduzione (= il param. 1 ma non il param. 3): non viene mostrato nulla che riguardi la lingua. Se viene passata la traduzione, ma non la citazione (= non il parametro 1, sì il parametro 3): come nel caso in cui sono passate entrambe; il parametro 1 viene rimpiazzato da uno spazio vuoto Se non viene passata nessuna delle due: non sapevo cosa mettere nella clausola else, quindi ci ho messo provvisoriamente un messaggio di errore. --> </noinclude><includeonly>{{#if:{{{1|}}} | {{#if:{{{3|}}}| <div style="overflow:hidden;"> <div style="float:right; width:50%;"> {{Quote/Citazione|lingua={{#if:{{{lingua2|}}}|{{{{{lingua2}}}}}|(<span style="font-weight: bolder; font-size: 80%;">[[w:Lingua italiana|IT]]</span>)}} |testo={{{1}}} |indenta=no }} </div> <div style="float:left; width:49%;"> {{Quote/Citazione|lingua={{#if:{{{lingua|}}}| {{{{{lingua}}}}} }} {{{4|}}} |testo={{{3}}} |sotto={{{2}}} |indenta=no }} </div> </div> | {{Quote/Citazione|lingua= |testo={{{1}}} |sotto={{{2|}}} }} }} | {{#if:{{{3|}}}| <div style="overflow:hidden;"> <div style="float:right; width:50%;"> {{Quote/Citazione|lingua={{#if:{{{lingua2|}}}|{{{{{lingua2}}}}}|(<span style="font-weight: bolder; font-size: 80%;">[[w:Lingua italiana|IT]]</span>)}} |testo=<nowiki /> |indenta=no }} </div> <div style="float:left; width:49%;"> {{Quote/Citazione|lingua={{#if:{{{lingua|}}}| {{{{{lingua}}}}} }} {{{4|}}} |testo={{{3}}} |sotto={{{2}}} |indenta=no }} </div> </div> | <span style="color:red;"><big><nowiki>{{quote}}</nowiki>: Inserire citazione</big></span>}} }} 1o4jsa4mbejzgx0q4snc5thlpwvm6a6 0 37687 500707 497558 2026-08-09T23:20:53Z Gabor512 39720 /* */ Correzione disposizione fonica 500707 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Bosco Chiesanuova, chiesa dei Santi Benedetto e Tommaso - Presbiterio.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Sona * '''Anno:''' 1785 * '''Restauri/modifiche:''' (1832/1852/1857/1883/1937) 2014, Zanin * '''Registri:''' 32 * '''Canne:''' circa 1815 * '''Trasmissione:''' meccanica; registri e aggiustabili elettrico/elettronici * '''Consolle:''' * '''Tastiere:''' 2 da 61 tasti (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' 30 tasti (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico in abside {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Duodecima || |- |Quintadecima || 2' |- |Terza || 1.3/5' |- |File Pieno |- |Flauto || 8' |- |Flauto || 4' |- |Dulciana || 8' |<span style="color:#B20000;">Voce Umana</span> || |- |<span style="color:#B20000;">Tromba</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Quintadecima || |- |File Pieno |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Flauto in XII || |- |Ottavino || 2' |- |Cornetta || 1.3/5' |- |Gamba || 8' |- |Voce Celeste || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Oboe</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi || 16' |- |Contrabassi || 8' |- |Ottava || 4' |- |Subbasso || 16' |- |Subbasso || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">16'</span> |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo}} {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] e5t4xd50fxv1z1yiq1bbbrmp3tv0ivm 500708 500707 2026-08-09T23:21:33Z Gabor512 39720 /* */ 500708 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Bosco Chiesanuova, chiesa dei Santi Benedetto e Tommaso - Presbiterio.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Sona * '''Anno:''' 1785 * '''Restauri/modifiche:''' (1832/1852/1857/1883/1937) 2014, Zanin * '''Registri:''' 32 * '''Canne:''' circa 1815 * '''Trasmissione:''' meccanica; registri e aggiustabili elettrico/elettronici * '''Consolle:''' * '''Tastiere:''' 2 da 61 tasti (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' 30 tasti (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico in abside {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Duodecima || |- |Quintadecima || 2' |- |Terza || 1.3/5' |- |File Pieno |- |Flauto || 8' |- |Flauto || 4' |- |Dulciana || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Voce Umana</span> || |- |<span style="color:#B20000;">Tromba</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - 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Presbiterio.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Sona * '''Anno:''' 1785 * '''Restauri/modifiche:''' (1832/1852/1857/1883/1937) 2014, Zanin * '''Registri:''' 32 * '''Canne:''' circa 1815 * '''Trasmissione:''' meccanica; registri e aggiustabili elettrico/elettronici * '''Consolle:''' * '''Tastiere:''' 2 da 61 tasti (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' 30 tasti (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico in abside {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Duodecima || |- |Quintadecima || 2' |- |Terza || 1.3/5' |- |File Pieno |- |Flauto || 8' |- |Flauto || 4' |- |Dulciana || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Voce Umana</span> || |- |<span style="color:#B20000;">Tromba</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Quintadecima || |- |File Pieno |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Flauto in XII || |- |Ottavino || 2' |- |Cornetta || 1.3/5' |- |Gamba || 8' |- |Voce Celeste || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Oboe</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi || 16' |- |Contrabassi || 8' |- |Ottava || 4' |- |Subbasso || 16' |- |Subbasso || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">16'</span> |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo}} {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] iwwkmbrfzrsrz3x7vugdtnwr1lwe0u4 500710 500709 2026-08-09T23:25:47Z Gabor512 39720 500710 wikitext text/x-wiki {{disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Bosco Chiesanuova, chiesa dei Santi Benedetto e Tommaso - Presbiterio.jpg|400px|centro]] * '''Costruttore:''' Sona * '''Anno:''' 1785 * '''Restauri/modifiche:''' (1832/1852/1857/1883/1937) 2014, Zanin * '''Registri:''' 35 (31 sonori) * '''Canne:''' circa 1815 * '''Trasmissione:''' meccanica; registri e aggiustabili elettrico/elettronici * '''Consolle:''' * '''Tastiere:''' 2 da 61 tasti (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' 30 tasti (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico in abside {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Duodecima || |- |Quintadecima || 2' |- |Terza || 1.3/5' |- |File Pieno |- |Flauto || 8' |- |Flauto || 4' |- |Dulciana || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Voce Umana</span> || |- |<span style="color:#B20000;">Tromba</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Quintadecima || |- |File Pieno |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Flauto in XII || |- |Ottavino || 2' |- |Cornetta || 1.3/5' |- |Gamba || 8' |- |Voce Celeste || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Oboe</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabassi || 16' |- |Contrabassi || 8' |- |Ottava || 4' |- |Subbasso || 16' |- |Subbasso || 8' |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">16'</span> |- |<span style="color:#B20000;">Trombone</span> || <span style="color:#B20000;">8'</span> |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Benedetto e San Tommaso Apostolo}} {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] fmkwbloxhlrlza4aio0zv8xqm4egvat 0 45661 500695 497380 2026-08-09T18:28:39Z ~2026-43755-38 54663 500695 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Chiesa di Sant'Urbano, organo (Preganziol).jpg|300px]], [[File:Sant'Urbano (Preganziol), Organo, Consolle.jpg|300px]] * '''Costruttore:''' Benigno Castelli 1925 * '''Anno:''' istallazione ad opera di Silvano Girotto nel 1962 * '''Restauri/modifiche:''' maestro Alessandro Girotto ( elettrificazione e ampliamento 1977 ), Saverio Girotto (2021) * '''Registri:''' 39 * '''Canne:''' 1267 * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile indipendente * '''Tastiere:''' 2 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Bordone <ref>Derivato dal secondo manuale</ref>|| 16' |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Salicionale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV||2' |- |Ripieno 4 file|| |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Campane|| |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Recitativo/Espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola da gamba || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Flautino || 2' |- |Flauto in XVII || 1.3/5' |- |Ripieno 3 file || |- |Voce celeste || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Cromorno</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo || |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Acustico || 32' |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |Bordone || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Chiarina</span> ||<span style="color:#8b0000;">4'</span> |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Sant'Urbano Papa e Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di Sant'Urbano Papa e Martire}} esisteva precedentemente un organo ad un manuale di Annibale Pugina andato distrutto dalla caduta del serbatoio di un aereo nel 1960 {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 2mk8t42aih8fog0u44i4jq5twernqlv 0 50868 500696 500598 2026-08-09T18:33:39Z ~2026-43755-38 54663 500696 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni * '''Anno:''' 1935 ''(Op. 473)'' * '''Restauri/modifiche:''' Mascioni (2025, restauro e installazione centralina elettronica) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettronica * '''Consolle:''' mobile indipendente, nel primo altare laterale di sinistra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' nell'abside dietro l'altar maggiore {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 8' |- |Ripieno|| 6 file |- |Dulciana</span> || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2 2/3' |- |Gamba || 8' |- |Coro Viole || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbbasso || 16' |- |Cello || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 4' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire}} esisteva precedentemente nella vecchia chiesa un organo di Angelo Agostini di padova del 1823, ad un manuale a trasmissione meccanica rimase per più di 100 anni,fu venduto alla chiesa di Formeniga (TV) per far posto al nuovo organo Mascioni nel 1935. {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 18tsd3ked5joaa72tdcb3cuejyxeid3 500697 500696 2026-08-09T18:39:09Z ~2026-43755-38 54663 /* Altri progetti */ 500697 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni * '''Anno:''' 1935 ''(Op. 473)'' * '''Restauri/modifiche:''' Mascioni (2025, restauro e installazione centralina elettronica) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettronica * '''Consolle:''' mobile indipendente, nel primo altare laterale di sinistra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' nell'abside dietro l'altar maggiore {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 8' |- |Ripieno|| 6 file |- |Dulciana</span> || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2 2/3' |- |Gamba || 8' |- |Coro Viole || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbbasso || 16' |- |Cello || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 4' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire}} L'organo Mascioni fu costruito per la vecchia chiesa nel 1935, e trasferito nella nuova nel 1956. era racchiuso da una cassa monumentale. Nel 1972 il parroco don Emiklio Ballan per poter far riprodurre il dipinto che si ammira ora, incarico Silvano Girotto di modificare la struttura, e trasformare la consolle in mobile indipendente procedendo alla ricostruzione del mobile, e di tutto il prospetto ligne, completandoloper la chiusura con un prospetto di canne alla ceciliana osiia a cielo aperto, dando così poi la possibilità di riprodurre l'attuale ipinto sul fondo dell'abside. esisteva precedentemente nella vecchia chiesa un organo di Angelo Agostini di padova del 1823, ad un manuale a trasmissione meccanica rimase per più di 100 anni,fu venduto alla chiesa di Formeniga (TV) per far posto al nuovo organo Mascioni nel 1935. {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 7gga151phhu843rx6vv61pta2rc4y7c 500698 500697 2026-08-09T18:39:40Z ~2026-43755-38 54663 /* Altri progetti */ 500698 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni * '''Anno:''' 1935 ''(Op. 473)'' * '''Restauri/modifiche:''' Mascioni (2025, restauro e installazione centralina elettronica) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettronica * '''Consolle:''' mobile indipendente, nel primo altare laterale di sinistra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' nell'abside dietro l'altar maggiore {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 8' |- |Ripieno|| 6 file |- |Dulciana</span> || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2 2/3' |- |Gamba || 8' |- |Coro Viole || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbbasso || 16' |- |Cello || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 4' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire}} L'organo Mascioni fu costruito per la vecchia chiesa nel 1935, e trasferito nella nuova nel 1956. era racchiuso da una cassa monumentale. Nel 1972 il parroco don Emilio Ballan per poter far riprodurre il dipinto che si ammira ora, incarico Silvano Girotto di modificare la struttura, e trasformare la consolle in mobile indipendente procedendo alla ricostruzione del mobile, e di tutto il prospetto ligne, completandoloper la chiusura con un prospetto di canne alla ceciliana osiia a cielo aperto, dando così poi la possibilità di riprodurre l'attuale ipinto sul fondo dell'abside. esisteva precedentemente nella vecchia chiesa un organo di Angelo Agostini di padova del 1823, ad un manuale a trasmissione meccanica rimase per più di 100 anni,fu venduto alla chiesa di Formeniga (TV) per far posto al nuovo organo Mascioni nel 1935. {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] epn3xhjhy1hudugr7ok2rpceln2o3tu 500699 500698 2026-08-09T18:41:25Z ~2026-43755-38 54663 /* Altri progetti */ 500699 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni * '''Anno:''' 1935 ''(Op. 473)'' * '''Restauri/modifiche:''' Mascioni (2025, restauro e installazione centralina elettronica) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettronica * '''Consolle:''' mobile indipendente, nel primo altare laterale di sinistra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' nell'abside dietro l'altar maggiore {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 8' |- |Ripieno|| 6 file |- |Dulciana</span> || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2 2/3' |- |Gamba || 8' |- |Coro Viole || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbbasso || 16' |- |Cello || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 4' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire}} L'organo Mascioni fu costruito per la vecchia chiesa nel 1935, e trasferito nella nuova nel 1956. era racchiuso da una cassa monumentale. Nel 1972 il parroco don Emilio Ballan per poter far riprodurre il dipinto che si ammira ora, incarico Silvano Girotto di modificare la struttura, e trasformare la consolle in mobile indipendente procedendo alla ricostruzione del mobile, e di tutto il prospetto ligneo, con la collaborazione del falegname locale Arturo Pavan. completandolo per la chiusura con un prospetto di canne alla ceciliana osiia a cielo aperto, dando così poi la possibilità di riprodurre l'attuale dipinto sul fondo dell'abside. esisteva precedentemente nella vecchia chiesa un organo di Angelo Agostini di padova del 1823, ad un manuale a trasmissione meccanica rimase per più di 100 anni,fu venduto alla chiesa di Formeniga (TV) per far posto al nuovo organo Mascioni nel 1935. {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] lh2zz9z9m41bn4gjf4b0ikdi2d570s1 500700 500699 2026-08-09T18:42:00Z ~2026-43755-38 54663 500700 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' Mascioni * '''Anno:''' 1935 ''(Op. 473)'' * '''Restauri/modifiche:''' Mascioni (2025, restauro e installazione centralina elettronica) * '''Registri:''' 16 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettronica * '''Consolle:''' mobile indipendente, nel primo altare laterale di destra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do¹''-''Fa³'') * '''Collocazione:''' nell'abside dietro l'altar maggiore {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 8' |- |Ripieno|| 6 file |- |Dulciana</span> || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2 2/3' |- |Gamba || 8' |- |Coro Viole || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbbasso || 16' |- |Cello || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 4' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa vecchia di San Giorgio Martire}} L'organo Mascioni fu costruito per la vecchia chiesa nel 1935, e trasferito nella nuova nel 1956. era racchiuso da una cassa monumentale. Nel 1972 il parroco don Emilio Ballan per poter far riprodurre il dipinto che si ammira ora, incarico Silvano Girotto di modificare la struttura, e trasformare la consolle in mobile indipendente procedendo alla ricostruzione del mobile, e di tutto il prospetto ligneo, con la collaborazione del falegname locale Arturo Pavan. completandolo per la chiusura con un prospetto di canne alla ceciliana osiia a cielo aperto, dando così poi la possibilità di riprodurre l'attuale dipinto sul fondo dell'abside. esisteva precedentemente nella vecchia chiesa un organo di Angelo Agostini di padova del 1823, ad un manuale a trasmissione meccanica rimase per più di 100 anni,fu venduto alla chiesa di Formeniga (TV) per far posto al nuovo organo Mascioni nel 1935. {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 57qyv4bqmdv72aapbophvd8031hwwrl 0 51174 500701 500593 2026-08-09T18:44:04Z ~2026-43755-38 54663 500701 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} ''Voce provvisoria'' * '''Costruttore:''' Casa Organaria Saverio Girotto - Paese * '''Anno:''' * '''Restauri/modifiche:''' * '''Registri:''' 3 registri reali * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanico * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 1 di 58 note (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' * '''Collocazione:''' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I ''' ---- |} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne|Paese - Chiesa di San Martino Vescovo in Paese]] Nel 1997 don Giovanni Brotto fece costruire un grandioso organo dalla famiglia Girotto Silvano e Figlio Alessandro, l'organo fu smontato per mettere in sicurezza la chiesa aveva le travi del tetto marce, da allora l'organo sembra svanito nel nulla 7gyvcnw7fqi99n45vo3c2nylm3njj0c 0 58432 500694 500602 2026-08-09T18:23:02Z ~2026-43755-38 54663 500694 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:'''organo originariamente costruito da Gaetano Callido per la chiesa di Arcade fu acquistato dalla parrocchia di Povegliano dopo che la parrocchia di Arcade nel 1934 acquisto il nuovo organo Tamburini, il trasferimento e l'istallazione operata da un dilettante tanto che l'organo per molti anni rimase muto * '''Restauri/modifiche:'''il maestro Alessandro Girotto (1987, ricostruì totalmente l'organo rinnovando e ricostruendo la trasmissione, e ricostruendo ex nova quella dei registri, ricostruiti nuovi con aggiunta di un basso 8 (i somieri del pedale perchè non recuperabili) il somiere della seconda tastiera di basso profilo fu opportunamente adattato e restaurato per dare migliore funzionalità) l'organo è stato inaugurato dai maestri Arturo Saccetti dal maestro Donato Cuzzato e dal maestro Amedeo Aroma con un terno di concerti che sono poi proseguiti negli anni con una rassegna canora. * '''Registri:''' 17 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' meccanica * '''Consolle:''' a finestra * '''Tastiere:''' 2 di 58 note (''Do¹''-''La⁵'') * '''Pedaliera:''' dritta di 27 note (''Do¹''-''Mi³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo'''''<ref>Contenente il materiale "callidiano"</ref> ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |Decimaquinta || 2' |- |Decimanona || |- |Ripieno || 5 file |- |Flauto in VIII || 4' |- |Cornetto soprani || |- |Violetta || 4' |- |Voce Umana || 8' |- |Trombonicini || 8' (nuovi) |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo'''''<ref>Contenente il materiale Ruffatti</ref> ---- |- |Viola dolce || 8' |- |Bordone || 8' |- |Nazardo|| 2.2/3' ( ricostruito) |- |Principalino || 4' |- |Pienino || 3 file (nuovo) |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Ottava || 8' (nuovo) |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di San Daniele (Povegliano)|preposizione=sulla|etichetta=Chiesa di San Daniele a Povegliano}} {{Avanzamento|100%|10 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] rtaxje1j033sccl1jxizxnfkfj79lzg 100 60824 500629 500584 2026-08-09T16:35:10Z Camelia.boban 25520 /* Galleria */ 500629 wikitext text/x-wiki {{q|In un ecosistema digitale sempre più dominato da piattaforme private e sistemi di intelligenza artificiale addestrati su enormi corpus di dati, Wikipedia rimane una delle poche grandi infrastrutture digitali sostenute principalmente da una comunità internazionale di volontari. Un'infrastruttura imperfetta, piena di tensioni e pregiudizi, ma anche straordinaria, che continua a dimostrare che è possibile costruire la conoscenza in modo aperto e collaborativo|Marta Delatte, co-organizzatrice della residenza.}} ==Introduzione== [[File:Editar és un acte d'amor.png|destra|300px|Locandina]] Per quindici giorni (3–16 agosto) al Konvent de Cal Rosal, un gruppo internazionale di dieci wikimediani, giornalisti, ricercatori, artisti e attivisti provenienti da Canada, Galles, Germania, Italia, Portogallo, Scozia, Spagna e USA lavora collaborativamente alla creazione e al miglioramento di articoli su Wikipedia, Wikidata e Commons. L'iniziativa combina la documentazione pratica con una riflessione critica sui pregiudizi dei sistemi di conoscenza, esplorando modelli più sostenibili, inclusivi e femministi di utilizzo delle tecnologie digitali. L'iniziativa coincide con il 25° anniversario di Wikipedia e parte dall'idea che la modifica dei contenuti nei progetti Wikimedia e nei media è un modo per prendersi cura della memoria collettiva. La residenza viene aperta al pubblico in due occasioni: * l'8 agosto, in vista dell'eclissi totale solare totale del 12 agosto visibile dalla Catalogna, Amical Wikimedia organizza una maratona di editing dedicata all'ampliamento e al miglioramento dei contenuti su Wikipedia riguardanti questo fenomeno astronomico. * Il 14 agosto, alla residenza si svolge il 1° Aplect de Pensament sobre Coneixement Obert, una giornata di dibattiti che riuniscono ricercatori, editori, attivisti e persone legate alla cultura libera per condividere riflessioni sul futuro della conoscenza condivisa. '''Lavoro''': * [[Utente:Camelia.boban/Donne catalane|Voci dal Mediterraneo: artiste catalane]] (pagina utente) * [[Il canto delle sirene|Il canto delle sirene]] (wikibook) * [[Progetto:WikiDonne/WikiStreghe|WikiStreghe]] (progetto) * [[:q:Utente:Camelia.boban/Editare è un atto d'amore|Biografie]] (pagina utente wikiquote) ==Voci per ambito== ===Musica=== # '''[[w:en:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]]''' (1933–2018): Soprano operistica • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Montserrat Caballé|en]], [[w:es:Montserrat Caballé|es]], [[w:it:Montserrat Caballé|it]]. Fama internazionale, denominata ''La Superba''; # '''[[w:en:Maria del Mar Bonet|Maria del Mar Bonet i Verdaguer]]''' (1947–): Musicista folk, cantante • Palma di Maiorca, attiva a Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Maria del Mar Bonet|en]], [[w:es:María del Mar Bonet|es]], [[w:it:Maria del Mar Bonet|it]], [[w:fr:Maria del Mar Bonet|fr]]. Movimento Nova Cançó; # '''[[w:en:Rosalía (singer)|Rosalía]]''' (1992–): Cantante, compositrice, attrice • Sant Esteve Sesrovires, Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Rosalía (singer)|en]], [[w:es:Rosalía (cantante)|es]], [[w:it:Rosalía (cantante)|it]], [[w:fr:Rosalía|fr]], [[w:ca:Rosalía|ca]]. Rivoluzionaria del flamenco contemporaneo, fonde tradizione e urbano • Vincitrice Latin Grammy Award • Nominata Grammy per Best New Artist (2022); ===Danza & Flamenco=== # '''[[w:en:Carmen Amaya|Carmen Amaya]]''' (1918–1963): Ballerina flamenco, cantante, attrice • Barcellona (Somorrostro) • Wikipedia: [[w:en:Carmen Amaya|en]], [[w:es:Carmen Amaya|es]], [[w:it:Carmen Amaya|it]], [[w:ca:Carmen Amaya|ca]]. Soprannominata ''La Capitana'', considerata la più grande ballerina flamenco di tutti i tempi • Sperimentatrice di stili, danzò in pantaloni con taconeo maestoso; ===Letteratura & giornalismo=== # '''[[w:en:Montserrat Roig|Montserrat Roig i Fransitorra]]''' (1946–1991): Scrittrice, giornalista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Montserrat Roig|en]], [[w:es:Montserrat Roig|es]], [[w:it:Montserrat Roig|it]], [[w:ca:Montserrat Roig|ca]]. Femminista, catalanista • Premi Sant Jordi e Premi Nacional de Literatura; # '''[[w:ca:Anna Maria Moix i Meseguer|Anna Maria Moix i Meseguer]]''' (1947–2014): Scrittrice, poeta • Barcellona • Wikipedia: [[w:ca:Anna Maria Moix i Meseguer|ca]]. Poesia di linea avanguardista • Nueve novísimos poetas españoles (1970); # '''[[w:en:Lluïsa Vidal|Lluïsa Vidal i Puig]]''' (1876–1918): Pittrice, educatrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Lluïsa Vidal|en]], [[w:ca:Lluïsa Vidal|ca]]. Unica pittrice professionale del modernismo catalano • Fondò sua accademia di pittura (1911); ===Arti visive (Pittura, surrealismo, arte contemporanea)=== # '''[[w:en:Remedios Varo|Remedios Varo Uranga]]''' (1908–1963): Pittrice surrealista, scrittrice, artista grafica • Anglès, attiva a Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Remedios Varo|en]], [[w:es:Remedios Varo|es]], [[w:it:Remedios Varo|it]], [[w:ro:Remedios Varo|ro]], [[w:ca:Remedios Varo|ca]]. Parte del movimento Logicofobista • Esiliata a Parigi, poi in Messico; # '''[[w:en:Ángeles Santos Torroella|Ángeles Santos Torroella]]''' (1911–2013): Pittrice surrealista • Portbou, Girona • Wikipedia: [[w:en:Ángeles Santos Torroella|en]], [[w:es:Ángeles Santos Torroella|es]], [[w:it:Ángeles Santos Torroella|it]], [[w:ca:Ángeles Santos Torroella|ca]]. Connessa alla Generazione del 27, amica di Lorca, Gómez de la Serna, Juan Ramón Jiménez • Capolavoro: Un Mundo (1929, Museo Reina Sofía) • Creu de Sant Jordi (2005); # '''[[w:en:Mari Chordà|Mari Chordà Recasens]]''' (1942–): Pittrice, poeta, attivista femminista • Amposta • Wikipedia: [[w:en:Mari Chordà|en]], [[w:ca:Mari Chordà|ca]]. Opera al Tate Modern (The World Goes Pop) • Attivista LGBT e femministi; # '''[[w:en:Josefa Tolrà|Josefa Tolrà i Abril]]''' (1880–1959): Artista, medium spirituale • Cabrils • Wikipedia: [[w:en:Josefa Tolrà|en]], [[w:ca:Josefa Tolrà|ca]]. Disegni, ricami e scritture in stato di trance • Arte naive, misticismo; # '''[[w:en:Eulàlia Grau|Eulàlia Grau]]''' (1946–): Artista contemporanea • Terrassa • Wikipedia: [[w:en:Eulàlia Grau|en]], [[w:ca:Eulàlia Grau|ca]]. Formazione Escola Eina, design Milano • Collage critico • Soggiorno Berlino (1984–1990), Pechino (1991+); ===Fotografia & fotogiornalismo=== # '''[[w:en:Joana Biarnés|Joana Biarnés Iglésias]]''' (1935–2018): Fotografa, fotogiornalista • Terrassa • Wikipedia: [[w:en:Joana Biarnés|en]], [[w:es:Joana Biarnés|es]], [[w:ca:Joana Biarnés|ca]]. Prima fotogiornalista donna di Spagna • Foto storiche di Beatles, Dalí, Raphael • Creu de Sant Jordi (2014); # '''[[w:en:Pilar Aymerich i Puig|Pilar Aymerich i Puig]]''' (1943–): Fotografa, fotogiornalista • Catalonia • Wikipedia: [[w:en:Pilar Aymerich i Puig|en]], [[w:ca:Pilar Aymerich i Puig|ca]]; # '''[[w:en:Colita|Colita]]''' (1940–): Fotografa • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Colita (photographer)|en]], [[w:es:Colita|es]], [[w:ca:Colita|ca]]. Specializzata in danza e ritratti; # '''[[w:en:Laia Abril|Laia Abril]]''' (1986–): Fotografa, videoartista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Laia Abril|en]], [[w:es:Laia Abril|es]], [[w:ca:Laia Abril|ca]]. Progetti sulla memoria, famiglia, corpo • Nominate per Fotografia Europea; ===Educazione & pedagogia=== # '''[[w:en:Marta Mata|Marta Mata i Garriga]]''' (1926–2006): Pedagoga, educatrice, deputata • Saifores, Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Marta Mata|en]], [[w:es:Marta Mata|es]], [[w:ca:Marta Mata|ca]]. Fondatrice Escuela de Maestros Rosa Sensat (1965) • Presidenta Consejo Escolar del Estado • Movimento 'Ciudades Educadoras'; ===Teatro, cinema & spettacolo=== # '''[[w:en:Carlota Olcina|Carlota Olcina Luarna]]''' (1983–): Attrice, teatrale • Sabadell • Wikipedia: [[w:en:Carlota Olcina|en]], [[w:es:Carlota Olcina|es]], [[w:ca:Carlota Olcina|ca]]. Serie TV: ''El cor de la ciutat'', ''Merlí'', ''Amar en tiempos revueltos''; # '''[[w:en:Carlota Baró|Carlota Baró Riau]]''' (1989–): Attrice, ballerina, danzatrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Carlota Baró|en]], [[w:it:Carlota Baró|it]], [[w:es:Carlota Baró|es]], [[w:ca:Carlota Baró|ca]]. ''El secreto de Puente Viejo'', ''Amar es para siempre'' • Formazione in danza classica, contemporanea e moderna; # '''[[w:en:Eulàlia Ramon|Eulàlia Ramon Estrach]]''' (1959–): Attrice, fotografa, regista, produttrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Eulàlia Ramon|en]], [[w:es:Eulàlia Ramon|es]], [[w:ca:Eulàlia Ramon|ca]]. Film: ''L'amor es estrany'', ''Goya in Bordeaux'' • Moglie del regista Carlos Saura; ===Artigianato & design=== # '''[[w:en:Carme Llorens Gilabert|Carme Llorens i Gilabert]]''' (1927–2020): Smaltista, orefice, artista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Carme Llorens Gilabert|en]], [[w:ca:Carme Llorens Gilabert|ca]]. Specializzata in smalto su fuoco • Escuola Massana (1942–1950); # '''[[w:en:Anna Bofill Leví|Anna Bofill Leví]]''' (1944–): Pianista, architetta, compositrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Anna Bofill Leví|en]], [[w:ca:Anna Bofill|ca]]. Sorella dell'architetto Ricardo Bofill; ==Galleria== <gallery mode="packed" heights="200px"> Goyas 2025 - Maria Arnal (cropped).jpg|250px|destra|Maria Arnal nel 2025 Montserrat Caballé 1971.jpg|250px|destra|Montserrat Caballé nel 1971 Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta nel 2019 Maria del Mar Bonet (2005).jpg|250px|destra|Maria del Mar Bonet nel 2005 Joana gomila 79383.jpg|250px|destra|Joana Gomila nel 2019 Franca Masu.jpg|250px|destra|Franca Masu nel 2018 Sant Andreu Jazz band Andrea Motis.JPG|250px|destra|Andrea Motis nel 2014 Sílvia Pérez Cruz.jpg|250px|destra|Sílvia Pérez Cruz nel 2008 2023-11-16 Gala de los Latin Grammy, 27 (cropped)02.jpg|250px|destra|Rosalía nel 2023 Montserrat Roig (cropped).jpg|250px|destra|Montserrat Roig Joana Biarnés.jpg|250px|destra|Joana Biarnés Pilar Aymerich4.jpg|250px|destra|Pilar Aymerich Colita en el archivo.jpg|250px|destra|Colita nel 2020 (Barcelona) Lluïsa Vidal - Autoretrat - Museu Nacional d'Art de Catalunya.jpg|250px|destra|Lluïsa Vidal - Autoritratto Varo Remedios (6857423303).jpg|250px|destra|Opera di Remedios Varo </gallery> ==Fonti== * Kathryn Everly, ''Catalan women writers and artists : revisionist views from a feminist space'', Bucknell University Press (Lewisburg), Associated University Presses (London), 2003 * [https://www.enciclopedia.cat/ Gran enciclopèdia catalana] * [https://historia-hispanica.rah.es/biografias/ Biographias], Historia Hispanica ==Altri progetti== * [[w:ca:Viquipèdia:Residència "Editar és un acte d'amor" al Konvent 2026/agenda|Residenza "Editare es un atto d'amore" presso Konvent 2026]] (agenda cawiki) * [[w:ca:Viquiprojecte:|I 1.000 articoli sulla cultura catalana che ogni Wikipedia dovrebbe avere]] * [[m:Event:Editar és un acte d'amor|Event:Editar és un acte d'amor]] (evento Meta) * [[:ca:Viquiprojecte:Eclipsats|Edit-a-thon eclissi]] (cawiki) ** [[:ca:Viquiprojecte:Eclipsats/llista|lista articoli]] ** [[:ca:Viquiprojecte:Concursos/En curs/Viquiprojecte:Eclipsats|concorso e partecipanti]] ==Metriche== * [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/Amical_Wikimedia/Resid%C3%A8ncia_Editar_%C3%A9s_un_acte_d'amor_al_Konvent_2026/students/overview Metriche] (Dashboard) ==Collegamenti esterni== * [https://konventzero.com/Espais Konventzero] (sito ufficiale) * [https://www.konvent.cat/residencia-viquipedia/ Residencia Viquipedia] (pagina della residenza) [[Categoria:WikiDonne]] jjmj8ygeyja7jsv96rlg40wlnbhi9bo 500633 500629 2026-08-09T16:37:01Z Camelia.boban 25520 /* Galleria */ 500633 wikitext text/x-wiki {{q|In un ecosistema digitale sempre più dominato da piattaforme private e sistemi di intelligenza artificiale addestrati su enormi corpus di dati, Wikipedia rimane una delle poche grandi infrastrutture digitali sostenute principalmente da una comunità internazionale di volontari. Un'infrastruttura imperfetta, piena di tensioni e pregiudizi, ma anche straordinaria, che continua a dimostrare che è possibile costruire la conoscenza in modo aperto e collaborativo|Marta Delatte, co-organizzatrice della residenza.}} ==Introduzione== [[File:Editar és un acte d'amor.png|destra|300px|Locandina]] Per quindici giorni (3–16 agosto) al Konvent de Cal Rosal, un gruppo internazionale di dieci wikimediani, giornalisti, ricercatori, artisti e attivisti provenienti da Canada, Galles, Germania, Italia, Portogallo, Scozia, Spagna e USA lavora collaborativamente alla creazione e al miglioramento di articoli su Wikipedia, Wikidata e Commons. L'iniziativa combina la documentazione pratica con una riflessione critica sui pregiudizi dei sistemi di conoscenza, esplorando modelli più sostenibili, inclusivi e femministi di utilizzo delle tecnologie digitali. L'iniziativa coincide con il 25° anniversario di Wikipedia e parte dall'idea che la modifica dei contenuti nei progetti Wikimedia e nei media è un modo per prendersi cura della memoria collettiva. La residenza viene aperta al pubblico in due occasioni: * l'8 agosto, in vista dell'eclissi totale solare totale del 12 agosto visibile dalla Catalogna, Amical Wikimedia organizza una maratona di editing dedicata all'ampliamento e al miglioramento dei contenuti su Wikipedia riguardanti questo fenomeno astronomico. * Il 14 agosto, alla residenza si svolge il 1° Aplect de Pensament sobre Coneixement Obert, una giornata di dibattiti che riuniscono ricercatori, editori, attivisti e persone legate alla cultura libera per condividere riflessioni sul futuro della conoscenza condivisa. '''Lavoro''': * [[Utente:Camelia.boban/Donne catalane|Voci dal Mediterraneo: artiste catalane]] (pagina utente) * [[Il canto delle sirene|Il canto delle sirene]] (wikibook) * [[Progetto:WikiDonne/WikiStreghe|WikiStreghe]] (progetto) * [[:q:Utente:Camelia.boban/Editare è un atto d'amore|Biografie]] (pagina utente wikiquote) ==Voci per ambito== ===Musica=== # '''[[w:en:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]]''' (1933–2018): Soprano operistica • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Montserrat Caballé|en]], [[w:es:Montserrat Caballé|es]], [[w:it:Montserrat Caballé|it]]. Fama internazionale, denominata ''La Superba''; # '''[[w:en:Maria del Mar Bonet|Maria del Mar Bonet i Verdaguer]]''' (1947–): Musicista folk, cantante • Palma di Maiorca, attiva a Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Maria del Mar Bonet|en]], [[w:es:María del Mar Bonet|es]], [[w:it:Maria del Mar Bonet|it]], [[w:fr:Maria del Mar Bonet|fr]]. Movimento Nova Cançó; # '''[[w:en:Rosalía (singer)|Rosalía]]''' (1992–): Cantante, compositrice, attrice • Sant Esteve Sesrovires, Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Rosalía (singer)|en]], [[w:es:Rosalía (cantante)|es]], [[w:it:Rosalía (cantante)|it]], [[w:fr:Rosalía|fr]], [[w:ca:Rosalía|ca]]. Rivoluzionaria del flamenco contemporaneo, fonde tradizione e urbano • Vincitrice Latin Grammy Award • Nominata Grammy per Best New Artist (2022); ===Danza & Flamenco=== # '''[[w:en:Carmen Amaya|Carmen Amaya]]''' (1918–1963): Ballerina flamenco, cantante, attrice • Barcellona (Somorrostro) • Wikipedia: [[w:en:Carmen Amaya|en]], [[w:es:Carmen Amaya|es]], [[w:it:Carmen Amaya|it]], [[w:ca:Carmen Amaya|ca]]. Soprannominata ''La Capitana'', considerata la più grande ballerina flamenco di tutti i tempi • Sperimentatrice di stili, danzò in pantaloni con taconeo maestoso; ===Letteratura & giornalismo=== # '''[[w:en:Montserrat Roig|Montserrat Roig i Fransitorra]]''' (1946–1991): Scrittrice, giornalista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Montserrat Roig|en]], [[w:es:Montserrat Roig|es]], [[w:it:Montserrat Roig|it]], [[w:ca:Montserrat Roig|ca]]. Femminista, catalanista • Premi Sant Jordi e Premi Nacional de Literatura; # '''[[w:ca:Anna Maria Moix i Meseguer|Anna Maria Moix i Meseguer]]''' (1947–2014): Scrittrice, poeta • Barcellona • Wikipedia: [[w:ca:Anna Maria Moix i Meseguer|ca]]. Poesia di linea avanguardista • Nueve novísimos poetas españoles (1970); # '''[[w:en:Lluïsa Vidal|Lluïsa Vidal i Puig]]''' (1876–1918): Pittrice, educatrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Lluïsa Vidal|en]], [[w:ca:Lluïsa Vidal|ca]]. Unica pittrice professionale del modernismo catalano • Fondò sua accademia di pittura (1911); ===Arti visive (Pittura, surrealismo, arte contemporanea)=== # '''[[w:en:Remedios Varo|Remedios Varo Uranga]]''' (1908–1963): Pittrice surrealista, scrittrice, artista grafica • Anglès, attiva a Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Remedios Varo|en]], [[w:es:Remedios Varo|es]], [[w:it:Remedios Varo|it]], [[w:ro:Remedios Varo|ro]], [[w:ca:Remedios Varo|ca]]. Parte del movimento Logicofobista • Esiliata a Parigi, poi in Messico; # '''[[w:en:Ángeles Santos Torroella|Ángeles Santos Torroella]]''' (1911–2013): Pittrice surrealista • Portbou, Girona • Wikipedia: [[w:en:Ángeles Santos Torroella|en]], [[w:es:Ángeles Santos Torroella|es]], [[w:it:Ángeles Santos Torroella|it]], [[w:ca:Ángeles Santos Torroella|ca]]. Connessa alla Generazione del 27, amica di Lorca, Gómez de la Serna, Juan Ramón Jiménez • Capolavoro: Un Mundo (1929, Museo Reina Sofía) • Creu de Sant Jordi (2005); # '''[[w:en:Mari Chordà|Mari Chordà Recasens]]''' (1942–): Pittrice, poeta, attivista femminista • Amposta • Wikipedia: [[w:en:Mari Chordà|en]], [[w:ca:Mari Chordà|ca]]. Opera al Tate Modern (The World Goes Pop) • Attivista LGBT e femministi; # '''[[w:en:Josefa Tolrà|Josefa Tolrà i Abril]]''' (1880–1959): Artista, medium spirituale • Cabrils • Wikipedia: [[w:en:Josefa Tolrà|en]], [[w:ca:Josefa Tolrà|ca]]. Disegni, ricami e scritture in stato di trance • Arte naive, misticismo; # '''[[w:en:Eulàlia Grau|Eulàlia Grau]]''' (1946–): Artista contemporanea • Terrassa • Wikipedia: [[w:en:Eulàlia Grau|en]], [[w:ca:Eulàlia Grau|ca]]. Formazione Escola Eina, design Milano • Collage critico • Soggiorno Berlino (1984–1990), Pechino (1991+); ===Fotografia & fotogiornalismo=== # '''[[w:en:Joana Biarnés|Joana Biarnés Iglésias]]''' (1935–2018): Fotografa, fotogiornalista • Terrassa • Wikipedia: [[w:en:Joana Biarnés|en]], [[w:es:Joana Biarnés|es]], [[w:ca:Joana Biarnés|ca]]. Prima fotogiornalista donna di Spagna • Foto storiche di Beatles, Dalí, Raphael • Creu de Sant Jordi (2014); # '''[[w:en:Pilar Aymerich i Puig|Pilar Aymerich i Puig]]''' (1943–): Fotografa, fotogiornalista • Catalonia • Wikipedia: [[w:en:Pilar Aymerich i Puig|en]], [[w:ca:Pilar Aymerich i Puig|ca]]; # '''[[w:en:Colita|Colita]]''' (1940–): Fotografa • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Colita (photographer)|en]], [[w:es:Colita|es]], [[w:ca:Colita|ca]]. Specializzata in danza e ritratti; # '''[[w:en:Laia Abril|Laia Abril]]''' (1986–): Fotografa, videoartista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Laia Abril|en]], [[w:es:Laia Abril|es]], [[w:ca:Laia Abril|ca]]. Progetti sulla memoria, famiglia, corpo • Nominate per Fotografia Europea; ===Educazione & pedagogia=== # '''[[w:en:Marta Mata|Marta Mata i Garriga]]''' (1926–2006): Pedagoga, educatrice, deputata • Saifores, Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Marta Mata|en]], [[w:es:Marta Mata|es]], [[w:ca:Marta Mata|ca]]. Fondatrice Escuela de Maestros Rosa Sensat (1965) • Presidenta Consejo Escolar del Estado • Movimento 'Ciudades Educadoras'; ===Teatro, cinema & spettacolo=== # '''[[w:en:Carlota Olcina|Carlota Olcina Luarna]]''' (1983–): Attrice, teatrale • Sabadell • Wikipedia: [[w:en:Carlota Olcina|en]], [[w:es:Carlota Olcina|es]], [[w:ca:Carlota Olcina|ca]]. Serie TV: ''El cor de la ciutat'', ''Merlí'', ''Amar en tiempos revueltos''; # '''[[w:en:Carlota Baró|Carlota Baró Riau]]''' (1989–): Attrice, ballerina, danzatrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Carlota Baró|en]], [[w:it:Carlota Baró|it]], [[w:es:Carlota Baró|es]], [[w:ca:Carlota Baró|ca]]. ''El secreto de Puente Viejo'', ''Amar es para siempre'' • Formazione in danza classica, contemporanea e moderna; # '''[[w:en:Eulàlia Ramon|Eulàlia Ramon Estrach]]''' (1959–): Attrice, fotografa, regista, produttrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Eulàlia Ramon|en]], [[w:es:Eulàlia Ramon|es]], [[w:ca:Eulàlia Ramon|ca]]. Film: ''L'amor es estrany'', ''Goya in Bordeaux'' • Moglie del regista Carlos Saura; ===Artigianato & design=== # '''[[w:en:Carme Llorens Gilabert|Carme Llorens i Gilabert]]''' (1927–2020): Smaltista, orefice, artista • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Carme Llorens Gilabert|en]], [[w:ca:Carme Llorens Gilabert|ca]]. Specializzata in smalto su fuoco • Escuola Massana (1942–1950); # '''[[w:en:Anna Bofill Leví|Anna Bofill Leví]]''' (1944–): Pianista, architetta, compositrice • Barcellona • Wikipedia: [[w:en:Anna Bofill Leví|en]], [[w:ca:Anna Bofill|ca]]. Sorella dell'architetto Ricardo Bofill; ==Galleria== <gallery mode="packed" heights="200px"> Goyas 2025 - Maria Arnal (cropped).jpg|250px|destra|Maria Arnal nel 2025 Montserrat Caballé 1971.jpg|250px|destra|Montserrat Caballé nel 1971 Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta nel 2019 Maria del Mar Bonet (2005).jpg|250px|destra|Maria del Mar Bonet nel 2005 Joana gomila 79383.jpg|250px|destra|Joana Gomila nel 2019 Franca Masu.jpg|250px|destra|Franca Masu nel 2018 Sant Andreu Jazz band Andrea Motis.JPG|250px|destra|Andrea Motis nel 2014 Sílvia Pérez Cruz.jpg|250px|destra|Sílvia Pérez Cruz nel 2008 2023-11-16 Gala de los Latin Grammy, 27 (cropped)02.jpg|250px|destra|Rosalía nel 2023 Montserrat Roig (cropped).jpg|250px|destra|Montserrat Roig Joana Biarnés.jpg|250px|destra|Joana Biarnés Pilar Aymerich4.jpg|250px|destra|Pilar Aymerich Colita en el archivo.jpg|250px|destra|Colita nel 2020 (Barcelona) Lluïsa Vidal - Autoretrat - Museu Nacional d'Art de Catalunya.jpg|250px|destra|Lluïsa Vidal - Autoritratto Varo Remedios (6857423303).jpg|250px|destra|Opera di Remedios Varo Mara Mata 2006 Senado (cropped).jpg|250px|destra|Mara Mata nel 2006 </gallery> ==Fonti== * Kathryn Everly, ''Catalan women writers and artists : revisionist views from a feminist space'', Bucknell University Press (Lewisburg), Associated University Presses (London), 2003 * [https://www.enciclopedia.cat/ Gran enciclopèdia catalana] * [https://historia-hispanica.rah.es/biografias/ Biographias], Historia Hispanica ==Altri progetti== * [[w:ca:Viquipèdia:Residència "Editar és un acte d'amor" al Konvent 2026/agenda|Residenza "Editare es un atto d'amore" presso Konvent 2026]] (agenda cawiki) * [[w:ca:Viquiprojecte:|I 1.000 articoli sulla cultura catalana che ogni Wikipedia dovrebbe avere]] * [[m:Event:Editar és un acte d'amor|Event:Editar és un acte d'amor]] (evento Meta) * [[:ca:Viquiprojecte:Eclipsats|Edit-a-thon eclissi]] (cawiki) ** [[:ca:Viquiprojecte:Eclipsats/llista|lista articoli]] ** [[:ca:Viquiprojecte:Concursos/En curs/Viquiprojecte:Eclipsats|concorso e partecipanti]] ==Metriche== * [https://outreachdashboard.wmflabs.org/courses/Amical_Wikimedia/Resid%C3%A8ncia_Editar_%C3%A9s_un_acte_d'amor_al_Konvent_2026/students/overview Metriche] (Dashboard) ==Collegamenti esterni== * [https://konventzero.com/Espais Konventzero] (sito ufficiale) * [https://www.konvent.cat/residencia-viquipedia/ Residencia Viquipedia] (pagina della residenza) [[Categoria:WikiDonne]] ejcdeeqgt8m5x2gs8u5snlw8evljdd2 10 60836 500704 500549 2026-08-09T20:03:32Z Camelia.boban 25520 Copertina pop 500704 wikitext text/x-wiki {{Sommario V | titolo = Il canto delle sirene | immagine = WDG - Copertina wikibook "Il canto delle sirene" (pop).png | immaginepx = 230px | contenuto = *{{Modulo|Il canto delle sirene/Maria Arnal|Maria Arnal}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Montserrat Caballé|Montserrat Caballé i Folch}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Alba Careta|Alba Careta Arnaus}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Maria del Mar Bonet|Maria del Mar Bonet i Verdaguer}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Joana Gomila|Joana Gomila i Sansó}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Franca Masu|Franca Masu}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Andrea Motis|Andrea Motis}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Sílvia Pérez Cruz|Sílvia Pérez Cruz}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Rosalía|Rosalía Vila Tobella}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Tarta Relena|Tarta Relena}} *{{Modulo|Il canto delle sirene/Bibliografia|Bibliografia}} }}<noinclude>[[Categoria:Il canto delle sirene| ]] [[Categoria:Template sommario|Il canto delle sirene]]</noinclude> ryytss8czvx1ilbr1n7yspnkwv9u3dn 0 60856 500703 500499 2026-08-09T20:02:15Z Camelia.boban 25520 Copertina pop 500703 wikitext text/x-wiki {{copertina |immagine = WDG - Copertina wikibook "Il canto delle sirene" (pop).png |autore=Camelia Boban |px = 600 |alt = Copertina "Il canto delle sirene" }} [[Categoria:Il canto delle sirene]] 05j8o4r3a4ijzty8p9cdjif0vu1278o 0 60861 500689 500587 2026-08-09T17:52:15Z Camelia.boban 25520 Discografia (selezione) 500689 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Goyas 2025 - Maria Arnal (cropped).jpg|250px|destra|Maria Arnal nel 2025]] =='''[[:w:ca:Maria Arnal|Maria Arnal]]''' (1987 - vivente)== Artista, cantante e compositrice catalana che unisce il pop, l'elettronica e la musica tradizionale polifonica a progetti che sperimentano con il suono, la tecnologia e l'arte.<ref name="viqui" /> === Biografia === Cresce a Badalona in una famiglia legata alla musica amatoriale, in parte di origine estremena; fin da bambina canta nel coro della scuola e in adolescenza comincia a suonare il pianoforte, la chitarra e a scrivere le prime canzoni.<ref name="nuvol">{{Cita web|lingua=ca|autore=|titolo=Maria Arnal, la veu del canvi|url=https://www.nuvol.com/musica/maria-arnal-la-veu-del-canvi-39386|sito=Núvol|data=2016-09-13}}</ref> Inizia gli studi di letteratura e traduzione all'università, conciliandoli con diversi lavori temporanei, tra cui quello di maschera al [[w:it:Teatre Lliure|Teatre Lliure]].<ref name="viqui" /> Nel 2014, in seguito a una frattura del femore, lascia il lavoro e con i risparmi accumulati durante la convalescenza decide di studiare canto alla Escola de Música Moderna di Badalona, iniziando le prime esibizioni.<ref name="beteve" /> Prosegue la formazione musicale con Marc Sempere, promotore del collettivo Compartir Dona Gustet - che in seguito diventerà anche compagno di lavoro - e con Jasmin Martorell, insegnante di canto lirico, allievo di [[w:it:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]].<ref name="nuvol" /> Sul piano musicale si orienta sulla musica di tradizione orale della penisola iberica, «per avvicinare la tradizione alla cultura libera nell'era digitale».<ref name="viqui" /> === Carriera === Insieme al chitarrista Marcel Bagés, forma un duo con cui pubblica quattro dischi: ''Remescles, acoples i melismes'' (2015), ''Verbena'' (2016), ''45 cerebros y 1 corazón'' (2017) e ''Clamor'' (2021)<ref name="ara">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Les cançons de codi obert de Maria Arnal i Marcel Bagés|url=https://www.ara.cat/cultura/cancons-maria-arnal-marcel-bages_1_1382685.html|sito=Ara|data=2016-03-03}}</ref>. Con il primo album ricevono diversi riconoscimenti, tra cui quelli per il miglior disco nazionale, il miglior disco pop e la migliore artista rivelazione<ref name="idees">{{Cita web|lingua=en|titolo=Maria Arnal|url=https://revistaidees.cat/en/autors/maria-arnal/|sito=Revista IDEES}}</ref>. ''Clamor'', presentato al Teatre Auditori di Granollers, segna un passaggio verso una sonorità più sperimentale ed elettronica.<ref name="viqui" /> Nel 2022 il duo con Bagés si scioglie e i due musicisti intraprendono percorsi separati<ref name="ebre">{{Cita web|lingua=ca|titolo=El grup format per Maria Arnal i el flixanco Marcel Bagés se separa, i inicien "nous camins"|url=https://setmanarilebre.cat/el-grup-format-per-maria-arnal-i-el-flixanco-marcel-bages-se-separa-i-inicien-nous-camins/|sito=Setmanari l'Ebre|data=2022-12-10}}</ref>. Negli anni successivi Arnal compone musiche per gli spettacoli della compagnia La Veronal di Marcos Morau (''Sonoma'', ''La mort i la primavera'') e per il cinema, collaborando con il regista Carles Marquès-Marcet al film ''Polvo serán''<ref name="beteve">{{Cita web|lingua=ca|autore=Josep T. París|titolo=Maria Arnal: "Soc 'ama' del meu projecte i la meva veu"|url=https://beteve.cat/cultura/maria-arnal-soc-ama-meu-projecte/|sito=Betevé|data=2026-03-14}}</ref>. Il 20 febbraio 2026 pubblica ''Ama'' (Atlantic Records), suo primo disco da solista: tredici brani, dodici dei quali scritti e composti da lei, cantati interamente da sola e privi di basso e chitarra.<ref name="beteve" /> Il titolo condensa più significati: le iniziali di una familiare defunta, la parola «madre» in [[w:it:Lingua basca|basco]] e un riferimento all'atto di amare<ref name="diari">{{Cita web|lingua=ca|autore=Anna Bosch Pujol|titolo=Maria Arnal presenta el disc Ama al Paral·lel 62|url=https://diaricatalunya.cat/barcelones/general/maria-arnal-captiva-el-parallel-62-amb-la-presentacio-oficial-dama|sito=Diari de Catalunya|data=2026-03-08}}</ref>. Al progetto è legata anche la ricerca di un anno condotta da Arnal al Barcelona Supercomputing Center, sui modelli di intelligenza artificiale e sulla voce sintetica, tema che l'artista accompagna a una rivendicazione dei diritti digitali e di modelli tecnologici pubblici.<ref name="beteve" /> ==Discografia (selezione)== * ''Remescles, acoples i melismes'' (2015) * ''Verbena'' (2016) * ''45 cerebros y 1 corazón'' (2017) * ''Clamor'' (2021) * ''Sonoma'' * ''La mort i la primavera'' * ''Polvo serán'' (musica del film) * ''Ama'' (2026) == Premi == * [[w:it:Premio Ciutat de Barcelona|Premio Ciutat de Barcelona]] (2016)<ref name="viqui" /> * Premio Goya per la miglior musica originale, per il film ''La verge roja'' (2025)<ref name="viqui" /> * Premio Gaudí per la miglior musica originale, per il film ''Polvo serán'' (2025)<ref name="viqui" /> ==Note== <references/> ==Voci correlate== * [[w:it:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]] [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 100%]] 2cugpxlvi8hs9ul1d8jry5clv915pfp 500690 500689 2026-08-09T17:54:43Z Camelia.boban 25520 Fix ref 500690 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Goyas 2025 - Maria Arnal (cropped).jpg|250px|destra|Maria Arnal nel 2025]] =='''[[:w:ca:Maria Arnal|Maria Arnal]]''' (1987 - vivente)== Artista, cantante e compositrice catalana che unisce il pop, l'elettronica e la musica tradizionale polifonica a progetti che sperimentano con il suono, la tecnologia e l'arte. === Biografia === Cresce a Badalona in una famiglia legata alla musica amatoriale, in parte di origine estremena; fin da bambina canta nel coro della scuola e in adolescenza comincia a suonare il pianoforte, la chitarra e a scrivere le prime canzoni.<ref name="nuvol">{{Cita web|lingua=ca|autore=|titolo=Maria Arnal, la veu del canvi|url=https://www.nuvol.com/musica/maria-arnal-la-veu-del-canvi-39386|sito=Núvol|data=2016-09-13}}</ref> Inizia gli studi di letteratura e traduzione all'università, conciliandoli con diversi lavori temporanei, tra cui quello di maschera al [[w:it:Teatre Lliure|Teatre Lliure]]. Nel 2014, in seguito a una frattura del femore, lascia il lavoro e con i risparmi accumulati durante la convalescenza decide di studiare canto alla Escola de Música Moderna di Badalona, iniziando le prime esibizioni.<ref name="beteve" /> Prosegue la formazione musicale con Marc Sempere, promotore del collettivo Compartir Dona Gustet - che in seguito diventerà anche compagno di lavoro - e con Jasmin Martorell, insegnante di canto lirico, allievo di [[w:it:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]].<ref name="nuvol" /> Sul piano musicale si orienta sulla musica di tradizione orale della penisola iberica, «per avvicinare la tradizione alla cultura libera nell'era digitale». === Carriera === Insieme al chitarrista Marcel Bagés, forma un duo con cui pubblica quattro dischi: ''Remescles, acoples i melismes'' (2015), ''Verbena'' (2016), ''45 cerebros y 1 corazón'' (2017) e ''Clamor'' (2021)<ref name="ara">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Les cançons de codi obert de Maria Arnal i Marcel Bagés|url=https://www.ara.cat/cultura/cancons-maria-arnal-marcel-bages_1_1382685.html|sito=Ara|data=2016-03-03}}</ref>. Con il primo album ricevono diversi riconoscimenti, tra cui quelli per il miglior disco nazionale, il miglior disco pop e la migliore artista rivelazione<ref name="idees">{{Cita web|lingua=en|titolo=Maria Arnal|url=https://revistaidees.cat/en/autors/maria-arnal/|sito=Revista IDEES}}</ref>. ''Clamor'', presentato al Teatre Auditori di Granollers, segna un passaggio verso una sonorità più sperimentale ed elettronica. Nel 2022 il duo con Bagés si scioglie e i due musicisti intraprendono percorsi separati<ref name="ebre">{{Cita web|lingua=ca|titolo=El grup format per Maria Arnal i el flixanco Marcel Bagés se separa, i inicien "nous camins"|url=https://setmanarilebre.cat/el-grup-format-per-maria-arnal-i-el-flixanco-marcel-bages-se-separa-i-inicien-nous-camins/|sito=Setmanari l'Ebre|data=2022-12-10}}</ref>. Negli anni successivi Arnal compone musiche per gli spettacoli della compagnia La Veronal di Marcos Morau (''Sonoma'', ''La mort i la primavera'') e per il cinema, collaborando con il regista Carles Marquès-Marcet al film ''Polvo serán''<ref name="beteve">{{Cita web|lingua=ca|autore=Josep T. París|titolo=Maria Arnal: "Soc 'ama' del meu projecte i la meva veu"|url=https://beteve.cat/cultura/maria-arnal-soc-ama-meu-projecte/|sito=Betevé|data=2026-03-14}}</ref>. Il 20 febbraio 2026 pubblica ''Ama'' (Atlantic Records), suo primo disco da solista: tredici brani, dodici dei quali scritti e composti da lei, cantati interamente da sola e privi di basso e chitarra.<ref name="beteve" /> Il titolo condensa più significati: le iniziali di una familiare defunta, la parola «madre» in [[w:it:Lingua basca|basco]] e un riferimento all'atto di amare<ref name="diari">{{Cita web|lingua=ca|autore=Anna Bosch Pujol|titolo=Maria Arnal presenta el disc Ama al Paral·lel 62|url=https://diaricatalunya.cat/barcelones/general/maria-arnal-captiva-el-parallel-62-amb-la-presentacio-oficial-dama|sito=Diari de Catalunya|data=2026-03-08}}</ref>. Al progetto è legata anche la ricerca di un anno condotta da Arnal al Barcelona Supercomputing Center, sui modelli di intelligenza artificiale e sulla voce sintetica, tema che l'artista accompagna a una rivendicazione dei diritti digitali e di modelli tecnologici pubblici.<ref name="beteve" /> ==Discografia (selezione)== * ''Remescles, acoples i melismes'' (2015) * ''Verbena'' (2016) * ''45 cerebros y 1 corazón'' (2017) * ''Clamor'' (2021) * ''Sonoma'' * ''La mort i la primavera'' * ''Polvo serán'' (musica del film) * ''Ama'' (2026) == Premi == * [[w:it:Premio Ciutat de Barcelona|Premio Ciutat de Barcelona]] (2016) * Premio Goya per la miglior musica originale, per il film ''La verge roja'' (2025) * Premio Gaudí per la miglior musica originale, per il film ''Polvo serán'' (2025) ==Note== <references/> ==Voci correlate== * [[w:it:Montserrat Caballé|Montserrat Caballé]] [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 100%]] k4e8kdlv7by76ixv41nrhx69qmkjomj 0 60862 500625 500553 2026-08-09T16:12:03Z Camelia.boban 25520 +foto 500625 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta, finalista del Leiden Jazz Award 2019]] ==[[:w:ca:Alba Careta|Alba Careta]]== '''Alba Careta Arnaus''' (1995 - vivente) è una trombettista, cantante e compositrice di jazz catalana.<ref name="auditori" /> <ref name="auditori">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.auditori.cat/es/artist/alba-careta/|sito=L'Auditori|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="centro">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group|url=https://www.centrocentro.org/musica/alba-careta-group|sito=CentroCentro|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="ara">{{Cita web|lingua=es|titolo=La música de los Careta, un asunto familiar que hace cantera|url=https://es.ara.cat/cultura/musica/musica-careta-asunto-familiar-cantera_1_5433845.html|sito=Ara|data=2025-07-05|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="caravan">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta|url=https://www.caravanjazz.es/index.php/discoteca-caravan-jazz/alba-careta/|sito=Caravan Jazz|data=2023-12-28|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="reus">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group en el Reus Jazz Cava|url=https://masdeljazz.org/botiga/es/historico/30-reus-jazz-cava-alba-careta-07-04-2024|sito=Reus Jazz Cava|data=2024-04-07|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="ondas">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group – Ondas de Jazz en la Ciudad 2021-22|url=https://www.ondasdejazz.com/ediciones-anteriores/2021-22/2021/11/23/alba-careta-group/index.html|sito=Ondas de Jazz|data=2022-10-14|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="microscopi">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.microscopi.cat/alba-careta|sito=Segell Microscopi|accesso=2026-08-08}}</ref> === Biografia === Cresce ad Avinyó, nel Bages, in una famiglia legata alla musica: la madre è insegnante di musica nella scuola primaria e il fratello, Santi Careta (1976), è chitarrista e produttore jazz.<ref name="centro" /><ref name="ara" /> Studia alla Escola Municipal de Música di Artés, al Conservatorio Municipale di Manresa e alla Escola Superior de Música de Catalunya, per poi proseguire la formazione nei [[w:it:Paesi Bassi|Paesi Bassi]], al Koninklijk Conservatorium dell'Aia e al Conservatorium di Amsterdam, dove consegue il master in tromba jazz.<ref name="auditori" /><ref name="caravan" /> === Carriera === Si è esibita con musicisti e formazioni di rilievo internazionale come Carles Benavent, Ben Wendel, la NSJO (orchestra giovanile di jazz olandese, 2015), la JM Jazz World Orchestra (2016), la BvR Flamenco Big Band (2019) e la Balkan Paradise Orchestra (2015-2021). È stata più volte direttrice musicale del Paraula de Dones al Prat de Llobregat (2019-2020 e 2021-2022) e ha suonato in sale e festival come Jazzaldia (San Sebastián), il Festival Internazionale di Jazz di Madrid, il Festival di Jazz di Ibiza, Jazzahead (Brema, Germania) e lo Zaalfelden Jazz Festival (Austria).<ref name="reus" /> Guida la formazione Alba Careta Group, con cui ha pubblicato i dischi ''Orígens'' (2018), ''Alades'' (2020) e ''Teia'' (2022); con il primo ha vinto il premio Enderrock per il miglior disco di jazz nel 2019.<ref name="reus" /><ref name="centro" /> Insieme al cantante e produttore Henrio ha inoltre inciso ''Udolç'' (2023), un disco di ninnananne.<ref name="reus" /> Fa parte anche di altri progetti, tra cui l'Alba Careta & Santi Careta Duo (''Sons d'un país''), realizzato con il fratello.<ref name="ondas" /> La sua musica intreccia il jazz con la tradizione catalana: tra i brani più noti figura una rilettura di ''Corrandes d'exili'', poesia di Pere Quart musicata a suo tempo da [[w:it:Lluís Llach|Lluís Llach]].<ref name="centro" /> Nel 2025 ha annunciato un nuovo lavoro prodotto dal pianista Shai Maestro, ispirato a figure di donne forti e ribelli.<ref name="microscopi" /> === Premi === * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Orígens'' (2019)<ref name="reus" /> * Premio AMJM Jove Talent del Jazz, dell'Associazione dei Musicisti di Jazz e Musica Moderna della Catalogna (2023)<ref name="reus" /> * Premio Alícia al talento emergente, dell'Acadèmia Catalana de la Música (2023)<ref name="reus" /> * Premio ARC per la miglior tournée di un gruppo jazz (2023)<ref name="reus" /> * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Teia'' (2023)<ref name="reus" /> * Premio Núvol (2024)<ref name="auditori" /> === Note === <references/> [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] ovsa1kt189zbrs9p8h5lcorkblr4v34 500693 500625 2026-08-09T18:00:38Z Camelia.boban 25520 Fix ref 500693 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta, finalista del Leiden Jazz Award 2019]] ==[[:w:ca:Alba Careta|Alba Careta Arnaus]] (1995 - vivente)== Trombettista, cantante e compositrice di jazz catalana<ref name="auditori">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.auditori.cat/es/artist/alba-careta/|sito=L'Auditori}}</ref>. ===Biografia=== Cresce ad Avinyó, nel Bages, in una famiglia legata alla musica: la madre è insegnante di musica nella scuola primaria e il fratello, Santi Careta (1976), è chitarrista e produttore jazz<ref name="centro">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group|url=https://www.centrocentro.org/musica/alba-careta-group|sito=CentroCentro}}</ref><ref name="ara">{{Cita web|lingua=es|titolo=La música de los Careta, un asunto familiar que hace cantera|url=https://es.ara.cat/cultura/musica/musica-careta-asunto-familiar-cantera_1_5433845.html|sito=Ara|data=2025-07-05}}</ref>. Studia alla Escola Municipal de Música di Artés, al Conservatorio Municipale di Manresa e alla Escola Superior de Música de Catalunya, per poi proseguire la formazione nei [[w:it:Paesi Bassi|Paesi Bassi]], al Koninklijk Conservatorium dell'Aia e al Conservatorium di Amsterdam, dove consegue il master in tromba jazz<ref name="auditori" /><ref name="caravan">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta|url=https://www.caravanjazz.es/index.php/discoteca-caravan-jazz/alba-careta/|sito=Caravan Jazz|data=2023-12-28}}</ref>. ===Carriera=== Si è esibita con musicisti e formazioni di rilievo internazionale come Carles Benavent, Ben Wendel, la NSJO (orchestra giovanile di jazz olandese, 2015), la JM Jazz World Orchestra (2016), la BvR Flamenco Big Band (2019) e la Balkan Paradise Orchestra (2015-2021). È stata più volte direttrice musicale del Paraula de Dones al Prat de Llobregat (2019-2020 e 2021-2022) e ha suonato in sale e festival come Jazzaldia (San Sebastián), il Festival Internazionale di Jazz di Madrid, il Festival di Jazz di Ibiza, Jazzahead (Brema, Germania) e lo Zaalfelden Jazz Festival (Austria)<ref name="reus">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group en el Reus Jazz Cava|url=https://masdeljazz.org/botiga/es/historico/30-reus-jazz-cava-alba-careta-07-04-2024|sito=Reus Jazz Cava|data=2024-04-07}}</ref>. Guida la formazione Alba Careta Group, con cui ha pubblicato i dischi ''Orígens'' (2018), ''Alades'' (2020) e ''Teia'' (2022); con il primo ha vinto il premio Enderrock per il miglior disco di jazz nel 2019.<ref name="reus" /><ref name="centro" /> Insieme al cantante e produttore Henrio ha inoltre inciso ''Udolç'' (2023), un disco di ninnananne.<ref name="reus" /> Fa parte anche di altri progetti, tra cui l'Alba Careta & Santi Careta Duo (''Sons d'un país''), realizzato con il fratello<ref name="ondas">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group – Ondas de Jazz en la Ciudad 2021-22|url=https://www.ondasdejazz.com/ediciones-anteriores/2021-22/2021/11/23/alba-careta-group/index.html|sito=Ondas de Jazz|data=2022-10-14}}</ref>. La sua musica intreccia il jazz con la tradizione catalana: tra i brani più noti figura una rilettura di ''Corrandes d'exili'', poesia di Pere Quart musicata a suo tempo da [[w:it:Lluís Llach|Lluís Llach]].<ref name="centro" /> Nel 2025 ha annunciato un nuovo lavoro prodotto dal pianista Shai Maestro, ispirato a figure di donne forti e ribelli<ref name="microscopi">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.microscopi.cat/alba-careta|sito=Segell Microscopi}}</ref>. ==Premi== * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Orígens'' (2019)<ref name="reus" /> * Premio AMJM Jove Talent del Jazz, dell'Associazione dei Musicisti di Jazz e Musica Moderna della Catalogna (2023)<ref name="reus" /> * Premio Alícia al talento emergente, dell'Acadèmia Catalana de la Música (2023)<ref name="reus" /> * Premio ARC per la miglior tournée di un gruppo jazz (2023)<ref name="reus" /> * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Teia'' (2023)<ref name="reus" /> * Premio Núvol (2024)<ref name="auditori" /> ==Note== <references/> [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] b64gkl5rfu7ysdsddowwcok90a6clcs 500702 500693 2026-08-09T19:35:54Z Camelia.boban 25520 Discografia 500702 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta, finalista del Leiden Jazz Award 2019]] ==[[:w:ca:Alba Careta|Alba Careta Arnaus]] (1995 - vivente)== Trombettista, cantante e compositrice di jazz catalana<ref name="auditori">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.auditori.cat/es/artist/alba-careta/|sito=L'Auditori}}</ref>. ===Biografia=== Cresce ad Avinyó, nel Bages, in una famiglia legata alla musica: la madre è insegnante di musica nella scuola primaria e il fratello, Santi Careta (1976), è chitarrista e produttore jazz<ref name="centro">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group|url=https://www.centrocentro.org/musica/alba-careta-group|sito=CentroCentro}}</ref><ref name="ara">{{Cita web|lingua=es|titolo=La música de los Careta, un asunto familiar que hace cantera|url=https://es.ara.cat/cultura/musica/musica-careta-asunto-familiar-cantera_1_5433845.html|sito=Ara|data=2025-07-05}}</ref>. Studia alla Escola Municipal de Música di Artés, al Conservatorio Municipale di Manresa e alla Escola Superior de Música de Catalunya, per poi proseguire la formazione nei [[w:it:Paesi Bassi|Paesi Bassi]], al Koninklijk Conservatorium dell'Aia e al Conservatorium di Amsterdam, dove consegue il master in tromba jazz<ref name="auditori" /><ref name="caravan">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta|url=https://www.caravanjazz.es/index.php/discoteca-caravan-jazz/alba-careta/|sito=Caravan Jazz|data=2023-12-28}}</ref>. ===Carriera=== Si è esibita con musicisti e formazioni di rilievo internazionale come Carles Benavent, Ben Wendel, la NSJO (orchestra giovanile di jazz olandese, 2015), la JM Jazz World Orchestra (2016), la BvR Flamenco Big Band (2019) e la Balkan Paradise Orchestra (2015-2021). È stata più volte direttrice musicale del Paraula de Dones al Prat de Llobregat (2019-2020 e 2021-2022) e ha suonato in sale e festival come Jazzaldia (San Sebastián), il Festival Internazionale di Jazz di Madrid, il Festival di Jazz di Ibiza, Jazzahead (Brema, Germania) e lo Zaalfelden Jazz Festival (Austria)<ref name="reus">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group en el Reus Jazz Cava|url=https://masdeljazz.org/botiga/es/historico/30-reus-jazz-cava-alba-careta-07-04-2024|sito=Reus Jazz Cava|data=2024-04-07}}</ref>. Guida la formazione Alba Careta Group, con cui ha pubblicato i dischi ''Orígens'' (2018), ''Alades'' (2020) e ''Teia'' (2022); con il primo ha vinto il premio Enderrock per il miglior disco di jazz nel 2019.<ref name="reus" /><ref name="centro" /> Insieme al cantante e produttore Henrio ha inoltre inciso ''Udolç'' (2023), un disco di ninna nanne.<ref name="reus" /> Fa parte anche di altri progetti, tra cui l'Alba Careta & Santi Careta Duo (''Sons d'un país''), realizzato con il fratello<ref name="ondas">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group – Ondas de Jazz en la Ciudad 2021-22|url=https://www.ondasdejazz.com/ediciones-anteriores/2021-22/2021/11/23/alba-careta-group/index.html|sito=Ondas de Jazz|data=2022-10-14}}</ref>. La sua musica intreccia il jazz con la tradizione catalana: tra i brani più noti figura una rilettura di ''Corrandes d'exili'', poesia di Pere Quart musicata a suo tempo da [[w:it:Lluís Llach|Lluís Llach]].<ref name="centro" /> Nel 2025 ha annunciato un nuovo lavoro prodotto dal pianista Shai Maestro, ispirato a figure di donne forti e ribelli<ref name="microscopi">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.microscopi.cat/alba-careta|sito=Segell Microscopi}}</ref>. ==Discografia (selezione)== * Alba Careta Quintet: ''Orígens'' (Blue Asteroid Records, 2018) * Alba Careta Group: ''Alades'' (Segell Microscopi, 2020) * Alba Careta Group: ''Teia'' (Segell Microscopi, 2022) * Alba Careta i Henrio: ''[[Udolç (projecte musical)|Udolç]]'' (Segell Microscopi e Bankrobber, 2023, nella collezione ''Càntut''). ==Premi== * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Orígens'' (2019)<ref name="reus" /> * Premio AMJM Jove Talent del Jazz, dell'Associazione dei Musicisti di Jazz e Musica Moderna della Catalogna (2023)<ref name="reus" /> * Premio Alícia al talento emergente, dell'Acadèmia Catalana de la Música (2023)<ref name="reus" /> * Premio ARC per la miglior tournée di un gruppo jazz (2023)<ref name="reus" /> * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Teia'' (2023)<ref name="reus" /> * Premio Núvol (2024)<ref name="auditori" /> ==Note== <references/> [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] jjhc6ls7m57i68tu9vnxpsmj7xksou9 500705 500702 2026-08-09T20:12:21Z Camelia.boban 25520 100% 500705 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Leidse Jazz Award finalisten 2019, Objectnr AF A5187.jpg|250px|destra|Alba Careta, finalista del Leiden Jazz Award 2019]] ==[[:w:ca:Alba Careta|Alba Careta Arnaus]] (1995 - vivente)== Trombettista, cantante e compositrice di jazz catalana<ref name="auditori">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.auditori.cat/es/artist/alba-careta/|sito=L'Auditori}}</ref>. ===Biografia=== Cresce ad Avinyó, nel Bages, in una famiglia legata alla musica: la madre è insegnante di musica nella scuola primaria e il fratello, Santi Careta (1976), è chitarrista e produttore jazz<ref name="centro">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group|url=https://www.centrocentro.org/musica/alba-careta-group|sito=CentroCentro}}</ref><ref name="ara">{{Cita web|lingua=es|titolo=La música de los Careta, un asunto familiar que hace cantera|url=https://es.ara.cat/cultura/musica/musica-careta-asunto-familiar-cantera_1_5433845.html|sito=Ara|data=2025-07-05}}</ref>. Studia alla Escola Municipal de Música di Artés, al Conservatorio Municipale di Manresa e alla Escola Superior de Música de Catalunya, per poi proseguire la formazione nei [[w:it:Paesi Bassi|Paesi Bassi]], al Koninklijk Conservatorium dell'Aia e al Conservatorium di Amsterdam, dove consegue il master in tromba jazz<ref name="auditori" /><ref name="caravan">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta|url=https://www.caravanjazz.es/index.php/discoteca-caravan-jazz/alba-careta/|sito=Caravan Jazz|data=2023-12-28}}</ref>. ===Carriera=== Si è esibita con musicisti e formazioni di rilievo internazionale come Carles Benavent, Ben Wendel, la NSJO (orchestra giovanile di jazz olandese, 2015), la JM Jazz World Orchestra (2016), la BvR Flamenco Big Band (2019) e la Balkan Paradise Orchestra (2015-2021). È stata più volte direttrice musicale del Paraula de Dones al Prat de Llobregat (2019-2020 e 2021-2022) e ha suonato in sale e festival come Jazzaldia (San Sebastián), il Festival Internazionale di Jazz di Madrid, il Festival di Jazz di Ibiza, Jazzahead (Brema, Germania) e lo Zaalfelden Jazz Festival (Austria)<ref name="reus">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group en el Reus Jazz Cava|url=https://masdeljazz.org/botiga/es/historico/30-reus-jazz-cava-alba-careta-07-04-2024|sito=Reus Jazz Cava|data=2024-04-07}}</ref>. Guida la formazione Alba Careta Group, con cui ha pubblicato i dischi ''Orígens'' (2018), ''Alades'' (2020) e ''Teia'' (2022); con il primo ha vinto il premio Enderrock per il miglior disco di jazz nel 2019.<ref name="reus" /><ref name="centro" /> Insieme al cantante e produttore Henrio ha inoltre inciso ''Udolç'' (2023), un disco di ninna nanne.<ref name="reus" /> Fa parte anche di altri progetti, tra cui l'Alba Careta & Santi Careta Duo (''Sons d'un país''), realizzato con il fratello<ref name="ondas">{{Cita web|lingua=es|titolo=Alba Careta Group – Ondas de Jazz en la Ciudad 2021-22|url=https://www.ondasdejazz.com/ediciones-anteriores/2021-22/2021/11/23/alba-careta-group/index.html|sito=Ondas de Jazz|data=2022-10-14}}</ref>. La sua musica intreccia il jazz con la tradizione catalana: tra i brani più noti figura una rilettura di ''Corrandes d'exili'', poesia di Pere Quart musicata a suo tempo da [[w:it:Lluís Llach|Lluís Llach]].<ref name="centro" /> Nel 2025 ha annunciato un nuovo lavoro prodotto dal pianista Shai Maestro, ispirato a figure di donne forti e ribelli<ref name="microscopi">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Alba Careta|url=https://www.microscopi.cat/alba-careta|sito=Segell Microscopi}}</ref>. ==Discografia (selezione)== * Alba Careta Quintet: ''Orígens'' (Blue Asteroid Records, 2018) * Alba Careta Group: ''Alades'' (Segell Microscopi, 2020) * Alba Careta Group: ''Teia'' (Segell Microscopi, 2022) * Alba Careta i Henrio: ''Udolç'' (Segell Microscopi e Bankrobber, 2023, nella collezione ''Càntut''). ==Premi== * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Orígens'' (2019)<ref name="reus" /> * Premio AMJM Jove Talent del Jazz, dell'Associazione dei Musicisti di Jazz e Musica Moderna della Catalogna (2023)<ref name="reus" /> * Premio Alícia al talento emergente, dell'Acadèmia Catalana de la Música (2023)<ref name="reus" /> * Premio ARC per la miglior tournée di un gruppo jazz (2023)<ref name="reus" /> * Premio Enderrock per il miglior disco di jazz per ''Teia'' (2023)<ref name="reus" /> * Premio Núvol (2024)<ref name="auditori" /> ==Note== <references/> [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 100%]] qxoyqubr5lfc6kqrx3gg56zn57nbuky 0 60863 500627 500558 2026-08-09T16:23:23Z Camelia.boban 25520 +foto 500627 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Joana gomila 79383.jpg|250px|destra|Joana Gomila nel 2019]] ==[[:w:ca:Joana Gomila|Joana Gomila]]== '''Joana Gomila i Sansó''' (1982 - vivente) è una cantante, compositrice, interprete e contrabbassista [[w:it:Maiorca|maiorchina]], considerata tra le principali promotrici del nuovo folk balearico. Unisce la tradizione insulare delle ''tonades'' - i canti di lavoro della mietitura e della spigolatura - a testi e sonorità contemporanee.<ref name="viqui" /> <ref name="viqui">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Joana Gomila i Sansó|url=https://ca.wikipedia.org/wiki/Joana_Gomila_i_Sans%C3%B3|sito=Viquipèdia|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="auditori">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Joana Gomila|url=https://www.auditori.cat/es/artist/joana-gomila/|sito=L'Auditori|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="cccb">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Joana Gomila|url=https://www.cccb.org/ca/w/participants/joana-gomila|sito=CCCB|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="llull">{{Cita web|lingua=es|titolo=Joana Gomila y Laia Vallès llevan el folk mallorquín en la Universidad de California-Berkeley|url=https://www.llull.cat/espanyol/actualitat/actualitat_noticies_detall.cfm?id=33835|sito=Institut Ramon Llull|data=2016-11-28|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="naciodigital">{{Cita web|lingua=ca|titolo=La cantant mallorquina Joana Gomila presentarà «Folk Souvenir» dissabte al Kursaal|url=https://www.naciodigital.cat/manresa/noticia/73456/|sito=NacióDigital|data=2018-02-15|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="mutek">{{Cita web|lingua=es|titolo=Joana Gomila|url=https://barcelona.mutek.org/es/artistas/joana-gomila-1|sito=MUTEK|accesso=2026-08-08}}</ref> === Biografia === Laureata in Storia dell'arte, nel 2014 si diploma in canto jazz al Conservatori Superior del Liceu e al Souza Lima di [[w:it:San Paolo (Brasile)|San Paolo]] del Brasile, dove studia grazie a una borsa AIE con maestri come David Mengual, Celeste Alías, André Marques, Albert Bover, Sergi Vergés e Ramon Prats.<ref name="viqui" /><ref name="cccb" /> Ha vissuto per un periodo a San Paolo.<ref name="viqui" /> === Carriera === Nel 2016 pubblica l'album ''Folk Souvenir'' (Bubota), in cui esplora la musica popolare di Maiorca, cantando - insieme a Santi Careta, Laia Vallès, Àlex Reviriego e Arnau Obiols - ''tonades'' e intrecciandole con sonorità vicine al jazz e all'improvvisazione.<ref name="auditori" /> Il disco reinterpreta la canzone popolare maiorchina - ''tonades'' di lavoro, romanze, ''jotas'' e canti tradizionali - e a partire dal 2016 le conferma - in duo con Laia Vallès - come voce di riferimento della musica con radice nei territori di lingua catalana, combinando tradizione e modernità.<ref name="naciodigital" /><ref name="viqui" /> Da ''Folk Souvenir'', e grazie a un incontro promosso dall'Auditorio di Barcellona con la ballerina Lali Ayguadé, nasce lo spettacolo ''Sa Mateixa'' (2018).<ref name="auditori" /> In duo con Laia Vallès prosegue la ricerca sulle radici musicali dell'isola con gli album ''Paradís'' (Bubota, 2020) e ''Així deçà'' (Suralita Recol·leccions, 2021), rinnovandone il repertorio anche attraverso sintetizzatori modulari, ''sample'' e strumenti elettronici.<ref name="cccb" /><ref name="mutek" /> Con Arnau Obiols condivide il duo di improvvisazione ''Ca!''; canta inoltre con la Rufaca Folk Jazz Orchestra, la big band di Sergi Vergés (''Beatus Ille'', 2017), e collabora come contrabbassista con la cantautrice Lu Rois (''Clarobscur'', 2017).<ref name="viqui" /> Attiva anche nella danza e nel circo contemporaneo, ha lavorato con la coreografa Mariantònia Oliver, per cui ha curato lo spazio sonoro dello spettacolo ''Las Muchísimas'' (2018), e con la compagnia Hotel Iocandi, con cui ha creato lo spettacolo ''Esquerdes'' e ottenuto il premio Zirkolika 2015 per il miglior spettacolo di circo della Catalogna.<ref name="viqui" /><ref name="auditori" /> === Discografia === * ''Malapesta'', con Projecte d'Efak (2008) * ''Folk Souvenir'' (Bubota Discos, 2016) * ''Paradís'', con Laia Vallès (Bubota Discos, 2020) * ''Així deçà'', con Laia Vallès (Suralita Recol·leccions, 2021) === Premi === * Premio Ciutat de Palma Bonet de Sant Pere per ''Folk Souvenir'' (2016)<ref name="cccb" /> * Premio Bartomeu Rosselló-Pòrcel dell'Obra Cultural Balear, per ''Folk Souvenir'' (2017)<ref name="cccb" /> === Note === <references/> === Voci correlate === * [[w:it:Maria del Mar Bonet|Maria del Mar Bonet]] === Collegamenti esterni === * {{Cita web|lingua=ca|titolo=Sito ufficiale|url=https://www.joanagomila.com|sito=joanagomila.com}} [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] 4iyunow0icb1d2p1langg1sx48sknka 0 60864 500626 500561 2026-08-09T16:19:17Z Camelia.boban 25520 +foto 500626 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Franca Masu.jpg|250px|destra|Franca Masu al Premis Maestrat Viu 2018]] ==[[:w:ca:Franca Masu|Franca Masu]] (1962 - vivente)== È una cantante italiana, tra le voci più rappresentative della cultura e della lingua catalana di Alghero, in [[w:it:Sardegna|Sardegna]]. Canta in catalano, anche nella variante [[w:it:Dialetto algherese|algherese]], oltre che in italiano, sardo, spagnolo e portoghese.<ref name="wiki" /><ref name="ostana" /> Figlia del pittore Manlio Masu, spazia dal jazz al [[w:it:fado|fado]], dalla canzone d'autore alla musica tradizionale.<ref name="ostana" /> <ref name="wiki">{{Cita web|titolo=Franca Masu|url=https://it.wikipedia.org/wiki/Franca_Masu|sito=Wikipedia|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="ostana">{{Cita web|titolo=Franca Masu – Premio composizione musicale|url=https://www.premioostana.it/franca-masu-premio-composizione-musicale/|sito=Premio Ostana|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="ufficiale">{{Cita web|titolo=Biografia di Franca Masu|url=https://www.francamasu.com/biografia-franca-masu/|sito=francamasu.com|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="blog">{{Cita web|titolo=Franca Masu, cantante, interprete, esponente della cultura musicale e parlata catalana di Alghero|url=https://www.blogdellamusica.eu/franca-masu-cantante-esponente-cultura-musicale-e-parlata-catalana/|sito=Blog della Musica|data=2024-09-26|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="nuova2018">{{Cita web|autore=|titolo=Masu: «La mia voce salverà il catalano»|url=https://www.lanuovasardegna.it/tempo-libero/2018/09/03/news/masu-la-mia-voce-salvera-il-catalano-1.17216123|sito=La Nuova Sardegna|data=2018-09-03|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="nuova2021">{{Cita web|titolo=In vent'anni di canzoni il legame di Franca Masu con Alghero e il catalano|url=https://www.lanuovasardegna.it/regione/2021/06/23/news/in-vent-anni-di-canzoni-il-legame-di-franca-masu-con-alghero-e-il-catalano-1.40424462|sito=La Nuova Sardegna|data=2021-06-23|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="cityandcity">{{Cita web|titolo=Franca Masu, la voce e l'anima|url=https://www.cityandcity.it/la-voce-e-lanima/|sito=City&City Magazine|data=2023-12-23|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="dallaltra">{{Cita web|titolo=Franca Masu|url=https://dallaltrapartedelmare.com/it/gli-ospiti/franca-masu|sito=Dall'altra parte del mare|accesso=2026-08-08}}</ref> === Biografia === In origine insegnante di lettere, si avvicina alla musica verso la metà degli anni novanta, iniziando a esibirsi con un gruppo di jazzisti sardi. Al suo debutto il clarinettista italoamericano [[w:it:Tony Scott|Tony Scott]] la definisce una delle migliori voci d'Italia.<ref name="blog" /><ref name="ufficiale" /> È in questo periodo che scopre la sonorità del catalano ancora parlato ad Alghero — eredità della dominazione catalano-aragonese sulla Sardegna tra il XIII e il XV secolo — che diventa la cifra della sua carriera.<ref name="ostana" /> Nel 2003 lascia definitivamente l'insegnamento per dedicarsi al canto.<ref name="nuova2018" /> Ha dichiarato di non voler ridurre l'algherese «a un semplice fatto folkloristico», ma di volerlo elevare a un registro artistico alto.<ref name="cityandcity" /> === Carriera === Grazie all'incontro con il produttore Mark Harris pubblica il primo album, ''El meu viatge'', nel 2000. Seguono ''Alguímia'' (2003), con cui ottiene il premio BRAVO! della rivista francese ''Trade Magazine'', ''Aquamare'' (2006), ''Hoy como ayer'' (2008), ''10 Anys'' (2011), ''Almablava'' (2013) e ''Cordemar'' (2020), presentato in anteprima al festival Jazz Alguer.<ref name="ostana" /><ref name="blog" /><ref name="nuova2018" /> Le sue canzoni incorporano spesso i versi dei poeti algheresi.<ref name="nuova2021" /> Dal 2014 al 2018 è stata direttrice artistica del festival Més a prop. Si è esibita in numerosi concerti in Sardegna, in Italia e all'estero, ed è considerata il personaggio culturale più rappresentativo dell'identità algherese e un simbolo della fratellanza linguistica tra la Catalogna e la Sardegna.<ref name="blog" /><ref name="ostana" /> === Premi === * Premio Maria Carta (2004)<ref name="blog" /> * [[w:it:Creu de Sant Jordi|Creu de Sant Jordi]], conferita dalla Generalitat de Catalunya per la difesa della lingua catalana di Alghero (2018)<ref name="nuova2018" /><ref name="dallaltra" /> * Premio Ostana – Scritture in Lingua Madre, sezione Musica (2019)<ref name="dallaltra" /> * Premio Navicella d'Argento Sardegna (2019)<ref name="dallaltra" /> === Note === <references/> === Voci correlate === * [[w:it:Maria del Mar Bonet|Maria del Mar Bonet]] * [[w:it:Dialetto algherese|Dialetto algherese]] === Collegamenti esterni === * {{Cita web|titolo=Sito ufficiale|url=https://www.francamasu.com|sito=francamasu.com}} [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] 9bqexu08brinn65mipwzplb724yybo1 0 60865 500628 500564 2026-08-09T16:30:05Z Camelia.boban 25520 +foto 500628 wikitext text/x-wiki {{Il canto delle sirene}} [[File:Sant Andreu Jazz band Andrea Motis.JPG|250px|destra|Andrea Motis con il Sant Andreu Jazz Band nel 2014]] =='''[[:w:es:Andrea Motis|Andrea Motis]]'''== '''Andrea Motis''' (1995 - vivente) è una trombettista, sassofonista, cantante e compositrice di jazz catalana. Canta in catalano, spagnolo, portoghese e inglese.<ref name="wiki" /><ref name="enofficial" /> <ref name="wiki">{{Cita web|titolo=Andrea Motis|url=https://it.wikipedia.org/wiki/Andrea_Motis|sito=Wikipedia|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="viqui">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Andrea Motis|url=https://ca.wikipedia.org/wiki/Andrea_Motis|sito=Viquipèdia|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="enofficial">{{Cita web|lingua=en|titolo=Andrea Motis|url=https://andreamotis.com/|sito=andreamotis.com|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="official">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Andrea Motis – Intimate|url=https://andreamotis.com/|sito=andreamotis.com|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="enbaix">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Entrevista a Andrea Motis, trompetista i cantant de jazz|url=https://www.elbaix.cat/2017/05/22/entrevista-a-andrea-motis-trompetista-i-cantant-de-jazz-estem-lluny-de-que-el-jovent-creixi-educant-loida-en-el-jazz/|sito=elBaix.cat|data=2017-05-22|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="puntavui">{{Cita web|lingua=ca|autore=Guillem Vidal|titolo="Sé molt bé que viure de la música és una utopia"|url=https://www.elpuntavui.cat/cultura/article/19-cultura/2119809-se-molt-be-que-viure-de-la-musica-es-una-utopia.html|sito=El Punt Avui|data=2022-03-30|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="enderrock2019">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Andrea Motis: «Que una cançó sigui d'autoria pròpia o d'elecció pròpia per mi és igual de valuós»|url=https://www.enderrock.cat/noticia/18905/|sito=Enderrock|data=2019-03-15|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="enderrock2024">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Andrea Motis: «Hi ha cançons del disc que conec pels meus avis»|url=https://www.enderrock.cat/noticia/27525/andrea-motis-cancons-disc-conec-pels-meus-avis|sito=Enderrock|data=2024-02-09|accesso=2026-08-08}}</ref> <ref name="ara2026">{{Cita web|lingua=ca|titolo=Andrea Motis: "La música brasilera té un 'flow' especial"|url=https://www.ara.cat/cultura/musica/musica-brasilera-flow-especial_128_5663452.html|sito=Ara|data=2026-02-27|accesso=2026-08-08}}</ref> === Biografia === Si forma musicalmente alla tromba con il maestro Toni Gallard a sette anni, presso la Escola Municipal de Música di Sant Andreu, nel quartiere omonimo di Barcellona.<ref name="viqui" /> Nel 2007, a soli dodici anni, comincia a collaborare con la Sant Andreu Jazz Band, diretta dal musicista Joan Chamorro, che le insegna anche il sassofono e sotto la cui guida partecipa a numerosi concerti del circuito jazz catalano e internazionale.<ref name="viqui" /><ref name="enbaix" /> Prosegue gli studi all'istituto musicale IEA Oriol Martorell e alla Escola Superior de Música de Catalunya, che frequenta però solo per un anno e mezzo.<ref name="viqui" /><ref name="puntavui" /> === Carriera === Nel 2010, a quindici anni, incide come cantante solista il primo disco, ''Joan Chamorro presenta Andrea Motis''.<ref name="viqui" /> Nel 2011 è artista ospite di Quincy Jones & The Global Gumbo All Stars al Festival di Peralada.<ref name="viqui" /> Con la Sant Andreu Jazz Band e con Chamorro pubblica una serie di album; nel 2017 esce ''Emotional Dance'' per la storica etichetta Impulse! Records, il suo primo disco con proiezione internazionale.<ref name="enbaix" /> Negli anni successivi la sua produzione si allontana progressivamente dagli standard jazz per aprirsi a composizioni proprie e ad altre tradizioni: ''Do outro lado do azul'' (Universal, 2019), in cui unisce le radici mediterranee alla musica brasiliana; ''Loopholes'' (2022), con incursioni nel funk, nel soul e nel jazz elettrico, realizzato con i musicisti austriaci Christoph Mallinger e Stephan Kondert; e ''Febrero'' (2024), ampia raccolta di canzoni sudamericane arrangiate per orchestra da camera, ideata e registrata in Cile.<ref name="enderrock2019" /><ref name="puntavui" /><ref name="enderrock2024" /> Nel febbraio 2026 pubblica ''Intimate'' (Elemental Music), alla guida dell'Andrea Motis Guitar Trio con i chitarristi Josep Traver e Jurandir da Silva e la partecipazione del violoncellista Jaques Morelenbaum. Registrato tra Barcellona, Rio de Janeiro e Montoliu de Segarra e masterizzato agli Abbey Road Studios di Londra, l'album alterna standard jazz, canzoni popolari, bossa nova e ''chanson'' francese, ed è presentato al concerto di chiusura del Festival di Jazz di Barcellona.<ref name="official" /><ref name="ara2026" /> === Note === <references/> === Voci correlate === * [[w:it:Sant Andreu Jazz Band|Sant Andreu Jazz Band]] === Collegamenti esterni === * {{Cita web|titolo=Sito ufficiale|url=https://andreamotis.com|sito=andreamotis.com}} [[Categoria:Il canto delle sirene]] [[Categoria:Moduli 75%]] 1a90vspbcy6ompktuf8fyls1r50ro97 10 60894 500622 2026-08-09T13:00:25Z Hippias 18281 da [[Template:Quote]] 500622 wikitext text/x-wiki Inserisce una citazione all'interno di una voce. Le istruzioni per l'uso sono [http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Template:Quote/man&oldid=44147278 qui]. Oggi, le citazioni appaiono una affianco all'altra. In futuro, potrebbe non essere così, e le citazioni potrebbero apparire una sotto all'altra. Per assicurarti che due testi appaiano affiancati, usa il [[Template:Confronto rigo per rigo]]. ---- Nota per chi modifica il template: anche se si usa allo stesso modo del [[w:Template:Quote]] di Wikipedia, e gli somiglia graficamente, il markup è diverso (questa versione corregge alcuni problemi di visualizzazione). Trovi i dettagli in [[Template talk:Quote#Implementazione|pagina di discussione]]. Per le prove, usa [[Template:Quote/Sandbox]]. Per testare il template o la sandbox, vedi [[Template:Quote/Testing]]. <noinclude>[[Categoria:Manuali dei template]]</noinclude> <includeonly>[[Categoria:Template paragrafi speciali|Quote]]</includeonly> 4pcp2h6gmyoqdqa18c7kj5opeou27pu 10 60895 500630 2026-08-09T16:35:20Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20200924102606/https:/it.wikitolearn.org/Corso:Fisica_moderna 500630 wikitext text/x-wiki {{Sommario V | titolo = Fisica moderna | contenuto = Corpuscolarità della materia # {{modulo|Fisica moderna/Corpuscolarità della materia|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Teoria cinetica della materia}} # {{modulo|Fisica moderna/Spiegazione microscopica della pressione}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione delle velocità}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione dell'energia}} # {{modulo|Fisica moderna/Coefficienti di trasporto}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione statistica di Boltzmann}} Corpuscolarità della carica # {{modulo|Fisica moderna/Corpuscolarità della carica|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Zeeman}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Millikan}} # {{modulo|Fisica moderna/Raggi canale}} Corpo nero # {{modulo|Fisica moderna/Corpo nero|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Leggi fenomenologiche}} # {{modulo|Fisica moderna/Legge di Stefan-Boltzmann}} # {{modulo|Fisica moderna/Legge di Wien}} # {{modulo|Fisica moderna/Modelli teorici}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Rayleigh-Jeans}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Planck}} Calore specifico dei solidi # {{modulo|Fisica moderna/Calore specifico dei solidi|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Einstein}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Debye}} # {{modulo|Fisica moderna/Approfondimento: precisazioni sul modello di solido}} Effetto fotoelettrico # {{modulo|Fisica moderna/Effetto fotoelettrico|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Apparato sperimentale (Lenard)}} # {{modulo|Fisica moderna/Incompatibilità con le previsioni classiche}} # {{modulo|Fisica moderna/Spiegazione di Einstein}} # {{modulo|Fisica moderna/Applicazione: il fotomoltiplicatore}} Modelli atomici # {{modulo|Fisica moderna/Modelli atomici|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Rutherford}} # {{modulo|Fisica moderna/Previsioni secondo il modello di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Rutherford}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Bohr}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Wilson-Sommerfeld}} Raggi X # {{modulo|Fisica moderna/Raggi X|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Bragg}} # {{modulo|Fisica moderna/Spettro dei raggi X}} # {{modulo|Fisica moderna/Interazione raggi X-materia}} # {{modulo|Fisica moderna/Effetto Compton}} # {{modulo|Fisica moderna/Assorbimento}} Ipotesi di De Broglie # {{modulo|Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Davisson e Germer}} # {{modulo|Fisica moderna/Pacchetti d'onda}} # {{modulo|Fisica moderna/Principio di indeterminazione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento della doppia fenditura}} }}<noinclude>[[categoria:Template sommario]] [[Categoria:Equazioni differenziali alle derivate parziali| ]]</noinclude> fm6ad5uot8ln9k1w2ekuc1aqett49zl 500632 500630 2026-08-09T16:37:00Z Hippias 18281 fix cat 500632 wikitext text/x-wiki {{Sommario V | titolo = Fisica moderna | contenuto = Corpuscolarità della materia # {{modulo|Fisica moderna/Corpuscolarità della materia|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Teoria cinetica della materia}} # {{modulo|Fisica moderna/Spiegazione microscopica della pressione}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione delle velocità}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione dell'energia}} # {{modulo|Fisica moderna/Coefficienti di trasporto}} # {{modulo|Fisica moderna/Distribuzione statistica di Boltzmann}} Corpuscolarità della carica # {{modulo|Fisica moderna/Corpuscolarità della carica|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Zeeman}} # 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{{modulo|Fisica moderna/Modelli atomici|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Rutherford}} # {{modulo|Fisica moderna/Previsioni secondo il modello di Thomson}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Rutherford}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Bohr}} # {{modulo|Fisica moderna/Modello di Wilson-Sommerfeld}} Raggi X # {{modulo|Fisica moderna/Raggi X|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Bragg}} # {{modulo|Fisica moderna/Spettro dei raggi X}} # {{modulo|Fisica moderna/Interazione raggi X-materia}} # {{modulo|Fisica moderna/Effetto Compton}} # {{modulo|Fisica moderna/Assorbimento}} Ipotesi di De Broglie # {{modulo|Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie|Introduzione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento di Davisson e Germer}} # {{modulo|Fisica moderna/Pacchetti d'onda}} # {{modulo|Fisica moderna/Principio di indeterminazione}} # {{modulo|Fisica moderna/Esperimento della doppia fenditura}} }}<noinclude>[[categoria:Template sommario]] [[Categoria:Fisica moderna| ]]</noinclude> nbxyapym2hatpdwvthegx0xtrmtz5fo 14 60896 500631 2026-08-09T16:35:48Z Hippias 18281 nuova categoria 500631 wikitext text/x-wiki Questa categoria raccoglie le pagine del libro ''[[{{PAGENAME}}]]''. [[Categoria:Categorie dei libri]] h6c7lljonxpajmm5za0mxp205oh60uz 0 60897 500634 2026-08-09T16:38:33Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna 500634 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Obiettivo di questo corso è guidare lo studente attraverso le tappe che, storicamente, hanno portato alla nascita della fisica moderna e quantistica. Si descrivono i principali esperimenti e scoperte che hanno determinato una svolta nella concezione della fisica e si evidenziano i fenomeni il cui tentativo di spiegazione ha visto il fallimento di modelli classici e l'introduzione di necessarie ipotesi quantistiche. == Altri progetti == {{interprogetto}} {{Avanzamento|75%|9 agosto 2026}} {{alfabetico|F}} [[Categoria:Fisica moderna| ]] [[Categoria:Fisica]] [[Categoria:Formazione superiore]] [[Categoria:Dewey 539]] 5pu6lxrrhf95wo6puiwtm1ntirljvoo 1 60898 500635 2026-08-09T16:38:37Z Hippias 18281 fonte 500635 wikitext text/x-wiki {{attribuzione|https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna|GFDL+CC-BY-SA|web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Project:Copyright}} skdfs52074yzkxdz1yqpygu0xw7aidy 500636 500635 2026-08-09T16:39:07Z Hippias 18281 fix link 500636 wikitext text/x-wiki {{attribuzione|https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna|GFDL+CC-BY-SA|https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Project:Copyright}} choy4ih1yzule5wqwkxcsc6y3udcfe3 0 60899 500637 2026-08-09T16:41:27Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_della_materia 500637 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'idea che la materia non sia un continuum, bensì sia composta da quantità discrete, inizia a maturare nell'antica Grecia con le speculazioni filosofiche di Leucippo e Democrito. Fino al XVII secolo, tuttavia, la discussione rimane scorrelata dall'indagine scientifica del reale. In questo periodo si iniziano invece ad elaborare modelli di spiegazione dei fenomeni basati proprio sull'ipotesi di granularità della materia. Il successo di questi modelli dà una prima significativa conferma della validità di tale ipotesi. Verso la metà del XVII secolo Pierre Gassendi e successivamente Robert Hooke cercano di spiegare gli stati di aggregazione della materia e le transizioni di stato facendo riferimento a particelle indistruttibili e solide in moto in tutte le direzioni. Nel 1662 Robert Boyle pubblica i risultati del suo lavoro sperimentale e mostra che il prodotto della pressione e del volume di un gas rimane costante se tale rimane la temperatura. Isaac Newton qualche anno dopo fornisce una spiegazione della legge di Boyle basata sull'assunzione che il gas sia composto da particelle solide e statiche che si respingono con una forza inversamente proporzionale alla distanza mutua. Daniel Bernoulli nel 1738 elabora un modello cinetico che consente di ricavare matematicamente la legge di Boyle. Nel XIX secolo la teoria cinetica della materia viene ampiamente sviluppata, grazie al lavoro di importanti scienziati quali Herapath,Joule,Waterson,Clausius,Maxwell e Boltzmann. Parallelamente la teoria atomica viene approfondita nel tentativo di spiegare le leggi empiriche della chimica. Nel 1808 Dalton ipotizza che un elemento sia costituito da atomi identici e indistruttibili per giustificare la legge delle proporzioni costanti di Proust. Nello stesso anno Gay-Lussac enuncia la legge di combinazione dei volumi. Nel 1811 Avogadro propone un'importantissima ipotesi che tiene conto delle leggi e delle evidenze sperimentali: * Le particelle di un gas sono piccole rispetto alla loro distanza reciproca * Le particelle di un elemento possono essere costituite da due o più atomi legati insieme, che Avogadro chiama molecole. * Volumi uguali di gas diversi nelle stesse condizioni di temperatura e pressione contengono lo stesso numero di particelle. L'ipotesi di Avogadro è essenziale nello sviluppo della teorica atomica della chimica. Oggetto di questo capitolo è in particolare la teoria cinetica della materia, di cui si cercheranno di mettere in luce i punti di forza descrivendo anche le evidenze sperimentali che la supportano. Si vogliono inoltre descrivere gli aspetti della teoria che risultano insoddisfacenti in quanto non adatti a spiegare determinati fenomeni osservati in natura. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpuscolarità della materia]] 9qxo6czgnvlu6cgim5ogzg3c21spodt 500686 500637 2026-08-09T17:29:15Z Hippias 18281 500686 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'idea che la materia non sia un ''continuum'', bensì sia composta da quantità discrete, inizia a maturare nell'antica Grecia con le speculazioni filosofiche di Leucippo e Democrito. Fino al XVII secolo, tuttavia, la discussione rimane scorrelata dall'indagine scientifica del reale. In questo periodo si iniziano invece a elaborare modelli di spiegazione dei fenomeni basati proprio sull'ipotesi di granularità della materia. Il successo di questi modelli dà una prima significativa conferma della validità di tale ipotesi. Verso la metà del XVII secolo Pierre Gassendi e successivamente Robert Hooke cercano di spiegare gli stati di aggregazione della materia e le transizioni di stato facendo riferimento a particelle indistruttibili e solide in moto in tutte le direzioni. Nel 1662 Robert Boyle pubblica i risultati del suo lavoro sperimentale e mostra che il prodotto della pressione e del volume di un gas rimane costante se tale rimane la temperatura. Isaac Newton qualche anno dopo fornisce una spiegazione della legge di Boyle basata sull'assunzione che il gas sia composto da particelle solide e statiche, che si respingono con una forza inversamente proporzionale alla distanza mutua. Daniel Bernoulli nel 1738 elabora un modello cinetico che consente di ricavare matematicamente la legge di Boyle. Nel XIX secolo la teoria cinetica della materia viene ampiamente sviluppata, grazie al lavoro di importanti scienziati quali Herapath, Joule, Waterson, Clausius, Maxwell e Boltzmann. Parallelamente la teoria atomica viene approfondita nel tentativo di spiegare le leggi empiriche della chimica. Nel 1808 Dalton ipotizza che un elemento sia costituito da atomi identici e indistruttibili per giustificare la legge delle proporzioni costanti di Proust. Nello stesso anno Gay-Lussac enuncia la legge di combinazione dei volumi. Nel 1811 Avogadro propone un'importantissima ipotesi che tiene conto delle leggi e delle evidenze sperimentali: * le particelle di un gas sono piccole rispetto alla loro distanza reciproca; * le particelle di un elemento possono essere costituite da due o più atomi legati insieme, che Avogadro chiama molecole; * volumi uguali di gas diversi nelle stesse condizioni di temperatura e pressione contengono lo stesso numero di particelle. L'ipotesi di Avogadro è essenziale nello sviluppo della teorica atomica della chimica. Oggetto di questo capitolo è in particolare la teoria cinetica della materia, di cui si cercheranno di mettere in luce i punti di forza descrivendo anche le evidenze sperimentali che la supportano. Si vogliono inoltre descrivere gli aspetti della teoria che risultano insoddisfacenti in quanto non adatti a spiegare determinati fenomeni osservati in natura. {{avanzamento|100%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpuscolarità della materia]] 4mb7ox3rx0yxhdxcdxa9sojajaddlk0 0 60900 500638 2026-08-09T16:41:56Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Teoria_cinetica_della_materia 500638 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La teoria cinetica si propone di descrivere le proprietà dei gas considerando questi come un insieme di particelle in moto. Le ipotesi di partenza del modello cinetico sono le seguenti: * Un gas è costituito da un numero elevato N di molecole uguali; * Le collisioni tra molecole e tra molecole e pareti del contenitore sono di tipo elastico e nell'atto della collisione non vi è alcuna perdita di energia traslazionale per conversione in energia interna; * Le molecole sono separate da distanze molto grandi rispetto alle loro dimensioni ed è dunque lecito considerare nulle le forze intermolecolari, se non durante gli urti; * In assenza di forze esterne non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore e non esiste una direzione preferenziale per il vettore velocità. Vediamo il significato di queste assunzioni. La seconda ipotesi implica che negli urti tra molecole si conservi quantità di moto ed energia, mentre negli urti tra molecole e pareti si conservi solo l'energia (forze esterne impulsive). Dalla terza ipotesi deriva che l'energia potenziale interna è nulla e quindi la sola forma di energia è quella cinetica. Un'ulteriore conseguenza è che il volume totale occupato dalle molecole sia trascurabile rispetto a quello del recipiente (di fatto si richiede la rarefazione del gas). Sulla base della quarta ipotesi (detta anche di caos molecolare) si deduce che: * non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore → il numero di molecole per unità di volume deve essere lo stesso in ogni parte del contenitore occupato dal gas, ossia la densità deve essere costante; * non esiste una direzione preferenziale per il vettore velocità → lo spazio è isotropo, il moto delle molecole è causale e dunque scelta una qualsiasi direzione u ci sono tante molecole che hanno velocità concorde a u quante hanno velocità discorde a u: la velocità media è quindi nulla. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Teoria cinetica della materia]] otl6xmftzuyjj8p6jfe4xri84yd4j98 500687 500638 2026-08-09T17:32:38Z Hippias 18281 500687 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La teoria cinetica si propone di descrivere le proprietà dei gas considerando questi come un insieme di particelle in moto. Le ipotesi di partenza del modello cinetico sono le seguenti: # un gas è costituito da un numero elevato <math>N</math> di molecole uguali; # le collisioni tra molecole e tra molecole e pareti del contenitore sono di tipo elastico e nell'atto della collisione non vi è alcuna perdita di energia traslazionale per conversione in energia interna; # le molecole sono separate da distanze molto grandi rispetto alle loro dimensioni ed è dunque lecito considerare nulle le forze intermolecolari, se non durante gli urti; # in assenza di forze esterne non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore e non esiste una direzione preferenziale per il vettore velocità. Vediamo il significato di queste assunzioni. La seconda ipotesi implica che negli urti tra molecole si conservi quantità di moto ed energia, mentre negli urti tra molecole e pareti si conservi solo l'energia (forze esterne impulsive). Dalla terza ipotesi deriva che l'energia potenziale interna è nulla e quindi la sola forma di energia è quella cinetica. Un'ulteriore conseguenza è che il volume totale occupato dalle molecole sia trascurabile rispetto a quello del recipiente (di fatto si richiede la rarefazione del gas). Sulla base della quarta ipotesi (detta anche di caos molecolare) si deduce che: * non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore: il numero di molecole per unità di volume deve essere lo stesso in ogni parte del contenitore occupato dal gas, ossia la densità deve essere costante; * non esiste una direzione preferenziale per il vettore velocità: lo spazio è isotropo, il moto delle molecole è causale e dunque scelta una qualsiasi direzione <math>u</math> ci sono tante molecole che hanno velocità concorde a <math>u</math> quante hanno velocità discorde a <math>u</math>: la velocità media è quindi nulla. {{avanzamento|100%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Teoria cinetica della materia]] rhkw8xk0xb3koflh4v258b9amdg26h2 0 60901 500639 2026-08-09T16:42:56Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Spiegazione_microscopica_della_pressione 500639 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare microscopicamente è la pressione. Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le ipotesi prescritte dal modello. La velocità di una molecola è data da vi= vxiux+ vyiuy+ vziuz: la componente x della velocità è ortogonale alla parete yz, la componente y alla parete xz, la componente z alla parete xy. Nell'urto elastico contro la parete yz cambia solo la componente vxiux, che diventa - vxiux, mentre le altre rimangono invariate, data l'assenza di forze di attrito. La variazione di quantità di moto nell'urto della molecola con la parete yz è pari a -2mvxiux, se m è la massa della molecola, e dunque l'impulso comunicato alla parete è 2mvxiux. Pressione.png Sia Ni il numero di molecole nel volume V che hanno componente x della velocità pari a vxi. Le molecole possono colpire la parete nel tempo Δt se si trovano nel cilindro di base A e altezza vxiΔt e viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete nel tempo Δt è dunque <math>{\frac{N_{i}}{V}}Av_{{xi}}t</math>, avendo assunto per ora vxi positiva. L'impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete yz è pari alla variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola (2mvxi) per il numero delle molecole che colpiscono la parete e abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque: <math>I_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}At}{V}}</math> La forza media corrisponde a <math><F_{i}>={\frac{I_{i}}{t}}</math>, e la pressione esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di superficie, risulta essere: <math>P_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}</math> Per via dell'ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell' Introduzione, in media metà delle molecole si muoverà verso destra (vxi positiva) e metà verso sinistra (vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per un fattore 2. <math>P={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}P_{i}={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}{\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}={\frac{m}{V}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Detto <math>N=\sum _{{i}}N_{i}</math> il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce velocità quadratica media della singola particella la radice della quantità <math><v_{x}^{2}>={\frac{1}{N}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Riscrivendo la pressione in funzione di questa quantità si ha: <math>P={\frac{Nm<v_{x}^{2}>}{V}}</math> Poichè, sempre per l'ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si ha che <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math>. Inoltre, tenendo presente che <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>, possiamo scrivere <math><v^{2}>=3<v_{x}^{2}></math>. In conclusione si ottiene: <math>P={\frac{Nm<v^{2}>}{3V}}</math> Questa relazione si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all'energia cinetica media della molecole. Infatti: <math>PV={\frac{2N}{3}}<{\frac{mv^{2}}{2}}={\frac{2N<E_{k}>}{3}}</math> Vediamo l'importanza di tale risultato. Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale <math>PV=nRT</math>, con n numero di moli di gas contenute nel volume V. Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene: <math>nRT={\frac{2N<E_{k}>}{3}}<E_{k}>={\frac{3nRT}{N}}</math> sapendo che <math>n={\frac{N}{num.diAvogadro}}</math> e che <math>{\frac{R}{num.diAvogadro}}=k</math>, con k costante di Boltzmann (1.38 <math>10^{{-23}}{\frac{J}{K}}</math>), la relazione finale tra energia cinetica media e temperatura è: <math><E_{k}>={\frac{3kT}{2}}</math> Osservazione: k ha le misure di <math>{\frac{J}{K}}</math>, dunque kT ha le misure di un'energia (J). Le energie possono essere "misurate in kT". A temperatura ambiente (300 K), si ottiene per l'azoto un'energia media di 0.025 eV, tenendo presente che 1 eV = 1.6 <math>10^{{-19}}</math> J. Questo mi dà un'idea dell'energia cinetica delle molecole a temperatura ambiente. == Conseguenze == Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare. * Si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente la temperatura: <math>v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}</math> * Si può ricavare l'espressione del calore specifico a volume costante. Infatti <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{V}</math>, da cui <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}</math> * Abbiamo ottenuto in un caso particolare il TEOREMA DI EQUIPARTIZIONE DELL'ENERGIA: dato un sistema in equilibrio termico, associato ad ogni grado di libertà c'è un contributo all'energia pari a <math>{\frac{kT}{2}}</math>. Infatti abbiamo trovato che <math>{\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>, ma poiché <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math>, si ha che <math>{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}</math>.Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole. Il teorema di equipartizione dell'energia e l'espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di osservabili fisiche, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che si ottengono sono: * gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con 3 gradi di libertà.<math>c_{v}={\frac{3R}{2}}=12.5{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è coerente con i risultati sperimentali. * gas biatomico * modello a manubrio rigido Le molecole del gas vengono schematizzate come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3 movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risolta essere <math>c_{v}={\frac{5R}{2}}=20.8{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è in accordo con i risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte. * modello a manubrio vibrante Si differenzia dal modello a manubrio rigido perchè le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma collegate da una "molla". Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l'energia potenziale, che è proporzionale a <math>(r-r_{0})^{2}</math>, e uno per l'energia cinetica, proporzionale a <math>({\frac{\partial r}{\partial t}})^{2}</math>, dove r è lo spostamento delle sferette dalla posizione di equilibrio r0. Questo modello porta ad un calore specifico <math>c_{v}={\frac{7R}{2}}=29.1{\frac{J}{molK}}</math>. Tuttavia anche questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali. Gas cv ( <math>{\frac{J}{molK}}</math>) gas monoatomici He 12.5 Ar 12.5 Ne 12.7 Kr 12.3cv=3R. gas biatomici H2 20.4 N2 20.8 O2 21.1 CO 21.0 Cl2 25.7 Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l'idrogeno H2 a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare. Calore specifico temperatura.png Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico <math>c_{v}=3R</math>. Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni, come il Diamante e il Berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza dalla temperatura estranea all'interpretazione microscopica adottata. Debyecurves.gif {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione microscopica della pressione]] tlfo71cpbo5b51fnkprqzb42ejpq6dc 500688 500639 2026-08-09T17:49:53Z Hippias 18281 500688 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare microscopicamente è la pressione. Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le ipotesi prescritte dal modello. La velocità di una molecola è data da <math>v_i = v_{xi} u_x + v_{yi} u_y + v_{zi} u_z</math>: la componente <math>x</math> della velocità è ortogonale alla parete <math>yz</math>, la componente <math>y</math> alla parete <math>xz</math>, la componente <math>z</math> alla parete <math>xy</math>. Nell'urto elastico contro la parete <math>yz</math> cambia solo la componente vxiux, che diventa <math>-v_{xi} u_x</math>, mentre le altre rimangono invariate, data l'assenza di forze di attrito. La variazione di quantità di moto nell'urto della molecola con la parete <math>yz</math> è pari a <math>-2mv_{xi} u_x</math>, se <math>m</math> è la massa della molecola, e dunque l'impulso comunicato alla parete è <math>2mv_{xi} u_x</math>. Sia <math>N_i</math> il numero di molecole nel volume <math>V</math> che hanno componente <math>x</math> della velocità pari a <math>v_{xi}</math>. Le molecole possono colpire la parete nel tempo <math>\Delta t</math> se si trovano nel cilindro di base <math>A</math> e altezza <math>v_{xi} \Delta t</math> e viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete nel tempo <math>\Delta t</math> è dunque <math>{\frac{N_{i}}{V}}Av_{{xi}}t</math>, avendo assunto per ora <math>v_{xi}</math> positiva. L'impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete <math>yz</math> è pari alla variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola <math>(2mv_{xi})</math> per il numero delle molecole che colpiscono la parete e abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque: <math>I_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}At}{V}}</math> La forza media corrisponde a <math><F_{i}>={\frac{I_{i}}{t}}</math> e la pressione esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di superficie, risulta essere: <math>P_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}</math> Per via dell'ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell' Introduzione, in media metà delle molecole si muoverà verso destra (vxi positiva) e metà verso sinistra (vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per un fattore 2. <math>P={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}P_{i}={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}{\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}={\frac{m}{V}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Detto <math>N=\sum _{{i}}N_{i}</math> il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce velocità quadratica media della singola particella la radice della quantità <math><v_{x}^{2}>={\frac{1}{N}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Riscrivendo la pressione in funzione di questa quantità si ha: <math>P={\frac{Nm<v_{x}^{2}>}{V}}</math> Poiché, sempre per l'ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si ha che <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> Inoltre, tenendo presente che <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math> possiamo scrivere <math><v^{2}>=3<v_{x}^{2}></math> In conclusione si ottiene: <math>P={\frac{Nm<v^{2}>}{3V}}</math> Questa relazione si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all'energia cinetica media della molecole. Infatti: <math>PV={\frac{2N}{3}}<{\frac{mv^{2}}{2}}={\frac{2N<E_{k}>}{3}}</math> Vediamo l'importanza di tale risultato. Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale <math>PV=nRT</math>, con n numero di moli di gas contenute nel volume <math>V</math>. Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene: <math>nRT={\frac{2N<E_{k}>}{3}}<E_{k}>={\frac{3nRT}{N}}</math> sapendo che <math>n={\frac{N}{num.diAvogadro}}</math> e che <math>{\frac{R}{num.diAvogadro}}=k</math>, con <math>k</math> costante di Boltzmann (1.38 <math>10^{{-23}}{\frac{J}{K}}</math>), la relazione finale tra energia cinetica media e temperatura è: <math><E_{k}>={\frac{3kT}{2}}</math> Osservazione: <math>k</math> ha le misure di <math>{\frac{J}{K}}</math>, dunque <math>kT</math> ha le misure di un'energia (J). Le energie possono essere "misurate in <math>kT</math>". A temperatura ambiente (300 K), si ottiene per l'azoto un'energia media di 0.025 eV, tenendo presente che 1 eV = 1.6 <math>10^{{-19}}</math> J. Questo mi dà un'idea dell'energia cinetica delle molecole a temperatura ambiente. == Conseguenze == Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare. * Si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente la temperatura: <math>v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}</math> * Si può ricavare l'espressione del calore specifico a volume costante. Infatti <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{V}</math>, da cui <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}</math> * Abbiamo ottenuto in un caso particolare il TEOREMA DI EQUIPARTIZIONE DELL'ENERGIA: dato un sistema in equilibrio termico, associato ad ogni grado di libertà c'è un contributo all'energia pari a <math>{\frac{kT}{2}}</math>. Infatti abbiamo trovato che <math>{\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>, ma poiché <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math>, si ha che <math>{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}</math>.Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole. Il teorema di equipartizione dell'energia e l'espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di osservabili fisiche, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che si ottengono sono: * gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con 3 gradi di libertà.<math>c_{v}={\frac{3R}{2}}=12.5{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è coerente con i risultati sperimentali. * gas biatomico * modello a manubrio rigido Le molecole del gas vengono schematizzate come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3 movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risolta essere <math>c_{v}={\frac{5R}{2}}=20.8{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è in accordo con i risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte. * modello a manubrio vibrante Si differenzia dal modello a manubrio rigido perché le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma collegate da una "molla". Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l'energia potenziale, che è proporzionale a <math>(r-r_{0})^{2}</math>, e uno per l'energia cinetica, proporzionale a <math>({\frac{\partial r}{\partial t}})^{2}</math>, dove r è lo spostamento delle sferette dalla posizione di equilibrio r0. Questo modello porta ad un calore specifico <math>c_{v}={\frac{7R}{2}}=29.1{\frac{J}{molK}}</math>. Tuttavia anche questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali. Gas cv ( <math>{\frac{J}{molK}}</math>) gas monoatomici He 12.5 Ar 12.5 Ne 12.7 Kr 12.3cv=3R. gas biatomici H2 20.4 N2 20.8 O2 21.1 CO 21.0 Cl2 25.7 Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l'idrogeno H2 a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare. Calore specifico temperatura.png Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico <math>c_{v}=3R</math>. Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni, come il Diamante e il Berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza dalla temperatura estranea all'interpretazione microscopica adottata. Debyecurves.gif {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione microscopica della pressione]] 5z9f5fdf6bw02tebaz155bu7w0oxvom 500691 500688 2026-08-09T17:57:01Z Hippias 18281 500691 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare microscopicamente è la pressione. Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le ipotesi prescritte dal modello. La velocità di una molecola è data da <math>v_i = v_{xi} u_x + v_{yi} u_y + v_{zi} u_z</math>: la componente <math>x</math> della velocità è ortogonale alla parete <math>yz</math>, la componente <math>y</math> alla parete <math>xz</math>, la componente <math>z</math> alla parete <math>xy</math>. Nell'urto elastico contro la parete <math>yz</math> cambia solo la componente vxiux, che diventa <math>-v_{xi} u_x</math>, mentre le altre rimangono invariate, data l'assenza di forze di attrito. La variazione di quantità di moto nell'urto della molecola con la parete <math>yz</math> è pari a <math>-2mv_{xi} u_x</math>, se <math>m</math> è la massa della molecola, e dunque l'impulso comunicato alla parete è <math>2mv_{xi} u_x</math>. Sia <math>N_i</math> il numero di molecole nel volume <math>V</math> che hanno componente <math>x</math> della velocità pari a <math>v_{xi}</math>. Le molecole possono colpire la parete nel tempo <math>\Delta t</math> se si trovano nel cilindro di base <math>A</math> e altezza <math>v_{xi} \Delta t</math> e viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete nel tempo <math>\Delta t</math> è dunque <math>{\frac{N_{i}}{V}}Av_{{xi}}t</math>, avendo assunto per ora <math>v_{xi}</math> positiva. L'impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete <math>yz</math> è pari alla variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola <math>(2mv_{xi})</math> per il numero delle molecole che colpiscono la parete e abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque: <math>I_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}At}{V}}</math> La forza media corrisponde a <math><F_{i}>={\frac{I_{i}}{t}}</math> e la pressione esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di superficie, risulta essere: <math>P_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}</math> Per via dell'ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell' Introduzione, in media metà delle molecole si muoverà verso destra (vxi positiva) e metà verso sinistra (vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per un fattore 2. <math>P={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}P_{i}={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}{\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}={\frac{m}{V}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Detto <math>N=\sum _{{i}}N_{i}</math> il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce velocità quadratica media della singola particella la radice della quantità <math><v_{x}^{2}>={\frac{1}{N}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Riscrivendo la pressione in funzione di questa quantità si ha: <math>P={\frac{Nm<v_{x}^{2}>}{V}}</math> Poiché, sempre per l'ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si ha che <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> Inoltre, tenendo presente che <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math> possiamo scrivere <math><v^{2}>=3<v_{x}^{2}></math> In conclusione si ottiene: <math>P={\frac{Nm<v^{2}>}{3V}}</math> Questa relazione si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all'energia cinetica media della molecole. Infatti: <math>PV={\frac{2N}{3}}<{\frac{mv^{2}}{2}}={\frac{2N<E_{k}>}{3}}</math> Vediamo l'importanza di tale risultato. Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale <math>PV=nRT</math>, con n numero di moli di gas contenute nel volume <math>V</math>. Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene: <math>nRT={\frac{2N<E_{k}>}{3}}<E_{k}>={\frac{3nRT}{N}}</math> sapendo che <math>n={\frac{N}{num.diAvogadro}}</math> e che <math>{\frac{R}{num.diAvogadro}}=k</math>, con <math>k</math> costante di Boltzmann (1.38 <math>10^{{-23}}{\frac{J}{K}}</math>), la relazione finale tra energia cinetica media e temperatura è: <math><E_{k}>={\frac{3kT}{2}}</math> Osservazione: <math>k</math> ha le misure di <math>{\frac{J}{K}}</math>, dunque <math>kT</math> ha le misure di un'energia (J). Le energie possono essere "misurate in <math>kT</math>". A temperatura ambiente (300 K), si ottiene per l'azoto un'energia media di 0.025 eV, tenendo presente che 1 eV = 1.6 <math>10^{{-19}}</math> J. Questo mi dà un'idea dell'energia cinetica delle molecole a temperatura ambiente. == Conseguenze == Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare. * Si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente la temperatura: <math>v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}</math> * Si può ricavare l'espressione del calore specifico a volume costante. Infatti <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{V}</math>, da cui <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}</math> * Abbiamo ottenuto in un caso particolare il teorema di equipartizione dell'energia: dato un sistema in equilibrio termico, associato a ogni grado di libertà c'è un contributo all'energia pari a <math>{\frac{kT}{2}}</math>. Infatti abbiamo trovato che <math>{\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math> ma poiché <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> si ha che <math>{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}</math> Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole. Il teorema di equipartizione dell'energia e l'espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di osservabili fisiche, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che si ottengono sono: * gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con 3 gradi di libertà <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}=12.5{\frac{J}{molK}}</math>: questa previsione è coerente con i risultati sperimentali; * gas biatomico Nel modello a manubrio rigido, le molecole del gas vengono schematizzate come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3 movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risolta essere <math>c_{v}={\frac{5R}{2}}=20.8{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è in accordo con i risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte. Il modello a manubrio vibrante si differenzia dal modello a manubrio rigido perché le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma collegate da una "molla". Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l'energia potenziale, che è proporzionale a <math>(r-r_{0})^{2}</math>, e uno per l'energia cinetica, proporzionale a <math>({\frac{\partial r}{\partial t}})^{2}</math>, dove r è lo spostamento delle sferette dalla posizione di equilibrio r0. Questo modello porta ad un calore specifico <math>c_{v}={\frac{7R}{2}}=29.1{\frac{J}{molK}}</math>. Tuttavia anche questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali. {| class="wikitable" ! Gas !! <math>c_v</math> (<math>{\frac{J}{molK}}</math>) |- | gas monoatomici || |- | He || 12.5 |- | Ar || 12.5 |- | Ne || 12.7 |- | Kr || 12.3cv=3R. |- | gas biatomici |- | <math>H_2</math> || 20.4 |- | <math>N_2</math> || 20.8 |- | <math>O_2</math> || 21.1 |- | CO || 21.0 |- | <math>Cl_2</math> || 25.7 |} Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l'idrogeno <math>H_2</math> a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare. Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico <math>c_{v}=3R</math>. Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni, come il Diamante e il Berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza dalla temperatura estranea all'interpretazione microscopica adottata. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione microscopica della pressione]] 94bdqxt4xvqu13kt7rag2jnvg8nogdb 500692 500691 2026-08-09T17:57:36Z Hippias 18281 500692 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare microscopicamente è la pressione. Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le ipotesi prescritte dal modello. La velocità di una molecola è data da <math>v_i = v_{xi} u_x + v_{yi} u_y + v_{zi} u_z</math>: la componente <math>x</math> della velocità è ortogonale alla parete <math>yz</math>, la componente <math>y</math> alla parete <math>xz</math>, la componente <math>z</math> alla parete <math>xy</math>. Nell'urto elastico contro la parete <math>yz</math> cambia solo la componente vxiux, che diventa <math>-v_{xi} u_x</math>, mentre le altre rimangono invariate, data l'assenza di forze di attrito. La variazione di quantità di moto nell'urto della molecola con la parete <math>yz</math> è pari a <math>-2mv_{xi} u_x</math>, se <math>m</math> è la massa della molecola, e dunque l'impulso comunicato alla parete è <math>2mv_{xi} u_x</math>. Sia <math>N_i</math> il numero di molecole nel volume <math>V</math> che hanno componente <math>x</math> della velocità pari a <math>v_{xi}</math>. Le molecole possono colpire la parete nel tempo <math>\Delta t</math> se si trovano nel cilindro di base <math>A</math> e altezza <math>v_{xi} \Delta t</math> e viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete nel tempo <math>\Delta t</math> è dunque <math>{\frac{N_{i}}{V}}Av_{{xi}}t</math>, avendo assunto per ora <math>v_{xi}</math> positiva. L'impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete <math>yz</math> è pari alla variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola <math>(2mv_{xi})</math> per il numero delle molecole che colpiscono la parete e abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque: <math>I_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}At}{V}}</math> La forza media corrisponde a <math><F_{i}>={\frac{I_{i}}{t}}</math> e la pressione esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di superficie, risulta essere: <math>P_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}</math> Per via dell'ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell' Introduzione, in media metà delle molecole si muoverà verso destra (vxi positiva) e metà verso sinistra (vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per un fattore 2. <math>P={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}P_{i}={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}{\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}={\frac{m}{V}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Detto <math>N=\sum _{{i}}N_{i}</math> il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce velocità quadratica media della singola particella la radice della quantità <math><v_{x}^{2}>={\frac{1}{N}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Riscrivendo la pressione in funzione di questa quantità si ha: <math>P={\frac{Nm<v_{x}^{2}>}{V}}</math> Poiché, sempre per l'ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si ha che <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> Inoltre, tenendo presente che <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math> possiamo scrivere <math><v^{2}>=3<v_{x}^{2}></math> In conclusione si ottiene: <math>P={\frac{Nm<v^{2}>}{3V}}</math> Questa relazione si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all'energia cinetica media della molecole. Infatti: <math>PV={\frac{2N}{3}}<{\frac{mv^{2}}{2}}={\frac{2N<E_{k}>}{3}}</math> Vediamo l'importanza di tale risultato. Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale <math>PV=nRT</math>, con n numero di moli di gas contenute nel volume <math>V</math>. Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene: <math>nRT={\frac{2N<E_{k}>}{3}}<E_{k}>={\frac{3nRT}{N}}</math> sapendo che <math>n={\frac{N}{num.diAvogadro}}</math> e che <math>{\frac{R}{num.diAvogadro}}=k</math>, con <math>k</math> costante di Boltzmann (1.38 <math>10^{{-23}}{\frac{J}{K}}</math>), la relazione finale tra energia cinetica media e temperatura è: <math><E_{k}>={\frac{3kT}{2}}</math> Osservazione: <math>k</math> ha le misure di <math>{\frac{J}{K}}</math>, dunque <math>kT</math> ha le misure di un'energia (J). Le energie possono essere "misurate in <math>kT</math>". A temperatura ambiente (300 K), si ottiene per l'azoto un'energia media di 0.025 eV, tenendo presente che 1 eV = 1.6 <math>10^{{-19}}</math> J. Questo mi dà un'idea dell'energia cinetica delle molecole a temperatura ambiente. == Conseguenze == Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare. * Si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente la temperatura: <math>v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}</math> * Si può ricavare l'espressione del calore specifico a volume costante. Infatti <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{V}</math>, da cui <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}</math> * Abbiamo ottenuto in un caso particolare il teorema di equipartizione dell'energia: dato un sistema in equilibrio termico, associato a ogni grado di libertà c'è un contributo all'energia pari a <math>{\frac{kT}{2}}</math>. Infatti abbiamo trovato che <math>{\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math> ma poiché <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> si ha che <math>{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}</math> Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole. Il teorema di equipartizione dell'energia e l'espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di osservabili fisiche, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che si ottengono sono: * gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con 3 gradi di libertà <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}=12.5{\frac{J}{molK}}</math>: questa previsione è coerente con i risultati sperimentali; * gas biatomico. Nel modello a manubrio rigido, le molecole del gas vengono schematizzate come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3 movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risolta essere <math>c_{v}={\frac{5R}{2}}=20.8{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è in accordo con i risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte. Il modello a manubrio vibrante si differenzia dal modello a manubrio rigido perché le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma collegate da una "molla". Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l'energia potenziale, che è proporzionale a <math>(r-r_{0})^{2}</math>, e uno per l'energia cinetica, proporzionale a <math>({\frac{\partial r}{\partial t}})^{2}</math>, dove r è lo spostamento delle sferette dalla posizione di equilibrio r0. Questo modello porta ad un calore specifico <math>c_{v}={\frac{7R}{2}}=29.1{\frac{J}{molK}}</math>. Tuttavia anche questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali. {| class="wikitable" ! Gas !! <math>c_v</math> (<math>{\frac{J}{molK}}</math>) |- | gas monoatomici || |- | He || 12.5 |- | Ar || 12.5 |- | Ne || 12.7 |- | Kr || 12.3cv=3R. |- | gas biatomici |- | <math>H_2</math> || 20.4 |- | <math>N_2</math> || 20.8 |- | <math>O_2</math> || 21.1 |- | CO || 21.0 |- | <math>Cl_2</math> || 25.7 |} Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l'idrogeno <math>H_2</math> a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare. Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico <math>c_{v}=3R</math>. Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni, come il Diamante e il Berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza dalla temperatura estranea all'interpretazione microscopica adottata. {{avanzamento|100%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione microscopica della pressione]] n5niqjkkqocaij4qnfvdhlz5rmiw5pw 500711 500692 2026-08-10T09:04:36Z Hippias 18281 /* Conseguenze */ 500711 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare microscopicamente è la pressione. Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le ipotesi prescritte dal modello. La velocità di una molecola è data da <math>v_i = v_{xi} u_x + v_{yi} u_y + v_{zi} u_z</math>: la componente <math>x</math> della velocità è ortogonale alla parete <math>yz</math>, la componente <math>y</math> alla parete <math>xz</math>, la componente <math>z</math> alla parete <math>xy</math>. Nell'urto elastico contro la parete <math>yz</math> cambia solo la componente vxiux, che diventa <math>-v_{xi} u_x</math>, mentre le altre rimangono invariate, data l'assenza di forze di attrito. La variazione di quantità di moto nell'urto della molecola con la parete <math>yz</math> è pari a <math>-2mv_{xi} u_x</math>, se <math>m</math> è la massa della molecola, e dunque l'impulso comunicato alla parete è <math>2mv_{xi} u_x</math>. Sia <math>N_i</math> il numero di molecole nel volume <math>V</math> che hanno componente <math>x</math> della velocità pari a <math>v_{xi}</math>. Le molecole possono colpire la parete nel tempo <math>\Delta t</math> se si trovano nel cilindro di base <math>A</math> e altezza <math>v_{xi} \Delta t</math> e viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete nel tempo <math>\Delta t</math> è dunque <math>{\frac{N_{i}}{V}}Av_{{xi}}t</math>, avendo assunto per ora <math>v_{xi}</math> positiva. L'impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete <math>yz</math> è pari alla variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola <math>(2mv_{xi})</math> per il numero delle molecole che colpiscono la parete e abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque: <math>I_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}At}{V}}</math> La forza media corrisponde a <math><F_{i}>={\frac{I_{i}}{t}}</math> e la pressione esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di superficie, risulta essere: <math>P_{i}={\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}</math> Per via dell'ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell' Introduzione, in media metà delle molecole si muoverà verso destra (vxi positiva) e metà verso sinistra (vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per un fattore 2. <math>P={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}P_{i}={\frac{1}{2}}\sum _{{i}}{\frac{2N_{i}mv_{{xi}}^{2}}{V}}={\frac{m}{V}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Detto <math>N=\sum _{{i}}N_{i}</math> il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce velocità quadratica media della singola particella la radice della quantità <math><v_{x}^{2}>={\frac{1}{N}}\sum _{{i}}N_{i}v_{{xi}}^{2}</math> Riscrivendo la pressione in funzione di questa quantità si ha: <math>P={\frac{Nm<v_{x}^{2}>}{V}}</math> Poiché, sempre per l'ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si ha che <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> Inoltre, tenendo presente che <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math> possiamo scrivere <math><v^{2}>=3<v_{x}^{2}></math> In conclusione si ottiene: <math>P={\frac{Nm<v^{2}>}{3V}}</math> Questa relazione si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all'energia cinetica media della molecole. Infatti: <math>PV={\frac{2N}{3}}<{\frac{mv^{2}}{2}}={\frac{2N<E_{k}>}{3}}</math> Vediamo l'importanza di tale risultato. Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale <math>PV=nRT</math>, con n numero di moli di gas contenute nel volume <math>V</math>. Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene: <math>nRT={\frac{2N<E_{k}>}{3}}<E_{k}>={\frac{3nRT}{N}}</math> sapendo che <math>n={\frac{N}{num.diAvogadro}}</math> e che <math>{\frac{R}{num.diAvogadro}}=k</math>, con <math>k</math> costante di Boltzmann (1.38 <math>10^{{-23}}{\frac{J}{K}}</math>), la relazione finale tra energia cinetica media e temperatura è: <math><E_{k}>={\frac{3kT}{2}}</math> Osservazione: <math>k</math> ha le misure di <math>{\frac{J}{K}}</math>, dunque <math>kT</math> ha le misure di un'energia (J). Le energie possono essere "misurate in <math>kT</math>". A temperatura ambiente (300 K), si ottiene per l'azoto un'energia media di 0.025 eV, tenendo presente che 1 eV = 1.6 <math>10^{{-19}}</math> J. Questo mi dà un'idea dell'energia cinetica delle molecole a temperatura ambiente. == Conseguenze == Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare. Anzitutto, si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente la temperatura: <math>v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}</math> Si può anche ricavare l'espressione del calore specifico a volume costante. Infatti <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}_{V}</math>, da cui <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}</math> Inoltre, abbiamo ottenuto in un caso particolare il teorema di equipartizione dell'energia: dato un sistema in equilibrio termico, associato a ogni grado di libertà c'è un contributo all'energia pari a <math>{\frac{kT}{2}}</math>. Infatti abbiamo trovato che <math>{\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}+{\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math> ma poiché <math><v_{x}^{2}>=<v_{y}^{2}>=<v_{z}^{2}></math> si ha che <math>{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{y}^{2}>}{2}}={\frac{m<v_{z}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}</math> Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole. Il teorema di equipartizione dell'energia e l'espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di osservabili fisiche, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che si ottengono sono: * gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con 3 gradi di libertà <math>c_{v}={\frac{3R}{2}}=12.5{\frac{J}{molK}}</math>: questa previsione è coerente con i risultati sperimentali; * gas biatomico. Nel '''modello a manubrio rigido''', le molecole del gas vengono schematizzate come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3 movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risolta essere <math>c_{v}={\frac{5R}{2}}=20.8{\frac{J}{molK}}</math>. Questa previsione è in accordo con i risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte. Il '''modello a manubrio vibrante''' si differenzia dal modello a manubrio rigido perché le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma collegate da una "molla". Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l'energia potenziale, che è proporzionale a <math>(r-r_{0})^{2}</math>, e uno per l'energia cinetica, proporzionale a <math>({\frac{\partial r}{\partial t}})^{2}</math>, dove <math>r</math> è lo spostamento delle sferette dalla posizione di equilibrio <math>r_0</math>. Questo modello porta ad un calore specifico <math>c_{v}={\frac{7R}{2}}=29.1{\frac{J}{molK}}</math>. Tuttavia anche questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali. {| class="wikitable" ! Gas !! <math>c_v</math> (<math>{\frac{J}{molK}}</math>) |- | gas monoatomici || |- | He || 12.5 |- | Ar || 12.5 |- | Ne || 12.7 |- | Kr || 12.3cv=3R. |- | gas biatomici |- | <math>H_2</math> || 20.4 |- | <math>N_2</math> || 20.8 |- | <math>O_2</math> || 21.1 |- | CO || 21.0 |- | <math>Cl_2</math> || 25.7 |} Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l'idrogeno <math>H_2</math> a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare. Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico <math>c_{v}=3R</math>. Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni, come il diamante e il berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza dalla temperatura estranea all'interpretazione microscopica adottata. {{avanzamento|100%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione microscopica della pressione]] tgywpz0zz7suk63d42l49w8qe1egjzq 0 60902 500640 2026-08-09T16:46:12Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Distribuzione_delle_velocit%C3%A0_(Maxwell-Boltzmann) 500640 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla velocità quadratica media, e quindi all'energia media, ma non dice nulla riguardo alla distribuzione delle velocità delle molecole. La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima volta da Maxwell nel 1859. Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in equilibrio termico a temperatura T. L'obiettivo è valutare quante molecole hanno la componente x della velocità compresa tra <math>v_{x}</math> e <math>v_{x}+dv_{x}</math>, la componente y compresa tra <math>v_{y}</math> e <math>v_{y}+dv_{y}</math> e la componente z tra <math>v_{z}</math> e <math>v_{z}+dv_{z}</math>. Questo numero sarà esprimibile nella forma <math>NF(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}</math>, dove <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> è la funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita. Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:<ref>Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann.</ref> 1.isotropia dello spazio →la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math>, possono comparire solo nella combinazione <math>v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. →Le componenti <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math> sono indipendenti e quindi la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può essere fattorizzata: <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})\end{aligned}}</math> 2.ipotesi di gas perfetto →la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria cinetica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che <math>E_{k}={\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>. Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math> rispettando il vincolo <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Questo problema può essere facilmente risolto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})=F(v^{2})\\v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=v^{2}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare il logaritmo della funzione F. <math>{\begin{aligned}L=\ln {F}+A^{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}-v^{2})\end{aligned}}</math> dove <math>\ln {F}</math> rappresenta la funzione da massimizzare e <math>A^{2}</math> è il moltiplicatore del vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità, le altre sono analoghe. <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial L}{\partial v_{x}^{2}}}&={\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}+A^{2}d(v_{x}^{2})&=0\\{\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}&=-A^{2}d(v_{x}^{2}){\mbox{integrando}}\\\ln {f(v_{x}^{2})}&=-A^{2}v_{x}^{2}+C\\f(v_{x}^{2})&=f_{0}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> A questo punto introduciamo le condizioni che abbiamo imposto debbano valere e la condizione di normalizzazione, valida per ogni distribuzione di probabilità. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}&=1{\mbox{normalizzazione}}\\{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}&={\frac{kT}{2}}{\mbox{equipartizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Risolviamo la condizione di normalizzazione, che può essere riscritta, utilizzando la forma esplicita di <math>f(v_{x}^{2})</math>, come: <math>f_{0}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\,dv_{x}=1</math>. L'integrale che compare è un integrale di "tipo Gauss", la cui risoluzione è per motivi di chiarezza riportata nelle note.<ref><math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}}}\,dx=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-y^{2}}}\,dy\\I^{2}=\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}-y^{2}}}\,dx\,dy=\int _{{0}}^{{+\infty }}\int _{{0}}^{{2\pi }}re^{{-r^{2}}}\,d\theta \,dr=\pi \int _{{0}}^{{+\infty }}2re^{{-r^{2}}}\,dr=\pi \\I={\sqrt \pi }\\\end{aligned}}</math> Il nostro integrale è di questo tipo: <math>\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math>. Con la costante <math>A^{2}</math> faccio una sostituzione di variabili <math>{\begin{aligned}xAx\\\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\frac{A}{A}}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx={\frac{1}{A}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,d(Ax)={\frac{{\sqrt \pi }}{A}}\end{aligned}}</math>. Questo integrale appartiene alla classe degli integrali <math>I_{n}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{n}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math>. A partire da <math>I_{0}</math>, che abbiamo appena ricavato essere <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math>, si possono ricavare per ricorrenza tutti gli <math>I_{n}</math> di indice pari. Infatti si ha che <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math></ref> Qui ci limitiamo a dire che il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math>, da cui si ottiene <math>{\begin{aligned}f_{0}{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}=1\\f_{0}={\frac{A}{{\sqrt \pi }}}\end{aligned}}</math> Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore A. <math>{\begin{aligned}{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}<v_{x}^{2}>={\frac{kT}{m}}\\\end{aligned}}</math> Se la distribuzione per <math>v_{x}</math> è <math>{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}</math>, devo imporre che la media statistica di <math>v_{x}^{2}</math> secondo tale distribuzione sia pari a <math>{\frac{kT}{m}}</math>. <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}{\mbox{media}}\\<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}\end{aligned}}</math> Abbiamo di nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.<ref><math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}e^{{-Ax^{2}}}\,dx=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial {\frac{{\sqrt \pi }}{A}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}=({\frac{-{\sqrt \pi }}{A^{2}}})({\frac{-1}{2A}})={\frac{{\sqrt \pi }}{A^{3}}}\end{aligned}}</math></ref> Il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{2A^{3}}}</math>. Definitivamente si ha quindi <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>={\frac{1}{2A^{2}}}={\frac{kT}{m}}\\A={\sqrt {{\frac{m}{2KT}}}}\end{aligned}}</math> L'espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l'asse x è dunque: <math>{\begin{aligned}f(v_{x})={\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Questa forma funzionale corrisponde ad una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni analoghe, e che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math>, si ha per <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}e^{{{\frac{-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}}dv_{x}dv_{y}dv_{z}\end{aligned}}</math> Osservazioni: * Il fatto che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})</math>, ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l'isotropia dello spazio ipotizzata. Posso passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza. <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=4\pi ({\frac{m}{2\pi KT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math>Moltiplicando per N, numero di molecole, ottengo la funzione <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa tra <math>v</math> e <math>v+dv</math>. * L'esponente di <math>e</math> contiene un termine di energia cinetica e un termine termico. == Studio della maxwelliana == <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> 1.massimo <math>{\begin{aligned}{\frac{dn(v)}{dv}}=0\\2ve^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}-{\frac{2mv^{3}}{2kT}}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}=0\\1-{\frac{mv^{2}}{2kT}}=0\\v_{{mp}}={\sqrt {{\frac{2kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> <math>v_{{mp}}</math> rappresenta la velocità più probabile 2.velocità media<math>{\begin{aligned}<v>={\frac{1}{N}}\int _{0}^{{+\infty }}vn(v)\,dv=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}v^{3}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}\,dv\end{aligned}}</math> Questo integrale è <math>I_{3}</math> nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e lo risolviamo nelle note.<ref>A partire dalla relazione di ricorrenza <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math> possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere <math>I_{1}</math>, che ora calcoliamo. <math>{\begin{aligned}I_{1}=\int _{{0}}^{{+\infty }}xe^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx=\\t^{2}=A^{2}x^{2}xdx={\frac{1}{2A^{2}}}d(t^{2})\\{\frac{1}{2A^{2}}}\int _{{0}}^{{+\infty }}e^{{-t^{2}}}\,d(t^{2})=-{\frac{1}{2A^{2}}}.\end{aligned}}</math> Possiamo ora calcolare facilmente <math>I_{3}</math>: <math>{\begin{aligned}I_{3}=-{\frac{\partial I_{1}}{\partial A^{2}}}={\frac{1}{2A^{4}}}\end{aligned}}</math></ref> Basti qui sapere che vale <math>{\frac{1}{2A^{4}}}</math>, con <math>A^{2}={\frac{m}{2kT}}</math>. Dunque <math>{\begin{aligned}<v>=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\frac{4k^{2}T^{2}}{2m^{2}}}\\<v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\end{aligned}}</math> 3.velocità quadratica media Non svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando l'integrale che esprime <math><v^{2}></math>. Si ha: <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> Osservazioni: * <math><v>>v_{{mp}}</math> : le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità più probabile * <math>v_{{rms}}><v></math>. * piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle d'azoto nell'aria, a temperatura ambiente? <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}={\sqrt {{\frac{3\cdot 1.38\cdot 10^{{-23}}{\frac{J}{K}}\cdot 300K}{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-27}}Kg}}}}\approx 500{\frac{m}{s}}\end{aligned}}</math> Maxwell distribution.png == Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell == Esperimento di Stern Il fisico tedesco Otto Stern pensa ad un esperimento per verificare la validità della teoria di Maxwell. L'apparato sperimentale è costituito da un forno in cui è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori. Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di un angolo \theta. Detta \omega la velocità angolare dei due dischi, l'intervallo di tempo necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi anche attraverso la seconda è <math>t={\frac{\theta }{\omega }}={\frac{s}{v}}</math>. Solo le molecole dotate di una velocità <math>v={\frac{s\omega }{\theta }}</math> riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore P, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la funzione <math>n=n(v)</math> Esperimento stern.gif In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente su quelle contenute nel forno. Infatti ad uscire dal foro sono le molecole più veloci, perchè hanno maggiore probabilità di uscire. L'andamento sperimentale che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno, detto EFFUSIONE. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e apportare la necessaria correzione. Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area A, ortogonale all'asse z, è praticato un piccolo foro. Sia n(v) il numero di particelle per unità di volume presenti nella scatola e aventi velocità v inclinata di un angolo \theta rispetto all'asse z. In un tempo <math>dt</math> Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume <math>dA\cos \theta vdt</math>. Poichè questo vale indipendentemente dalla direzione di v, si devono considerare tutte le molecole che hanno <math>v<v<v+dv</math> (sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell'angolo solido <math>d\Omega =d\varphi \sin \theta d\theta</math>, ossia <math>n'={\frac{n(v)dvd\Omega }{4\pi }}</math>. La distribuzione che esprime il numero totale di molecole aventi <math>v<v<v+dv</math> che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la parete e quindi uscire dal foro è quindi data da: <math>{\begin{aligned}\Phi (v)dv=\int _{{0}}^{{2\pi }}\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }},d\theta \,d\phi \\\Phi (v)dv=2\pi \int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }}\,d\theta \\poich\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac{1}{2}}\\\Phi (v)dv={\frac{vn(v)dv}{4}}\end{aligned}}</math> →considerando l'effusione la distribuzione cambia forma. Infatti <math>\Phi (v)dv</math> va come <math>v^{3}</math> mentre <math>n(v)dv</math> come <math>v^{2}</math>. Ecco perchè il foro seleziona le velocità più grandi. Poichè i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione, si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza modificare la forma di <math>n(v)dv</math> Vediamo le proprietà della nuova distribuzione. * velocità quadratica media <math>{\sqrt {<v^{2}>}}={\sqrt {{\frac{4kT}{m}}}}</math>. E' maggiore della velocità quadratica media della maxwelliana. Allargamento doppler termico I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove verso l'osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler l'allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade. Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso l'osservatore, la radiazione emessa risulta spostata ad una frequenza più alta. Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore. Per velocità termiche non relativistiche, l'effetto Doppler in frequenza assume la forma: <math>{\begin{aligned}\nu =\nu _{0}(1+{\frac{v}{c}})\\v={\frac{c(\nu -\nu _{0})}{\nu _{0}}}\end{aligned}}</math> dove <math>\nu</math> è la frequenza osservata, <math>\nu _{0}</math>la frequenza a riposo, <math>v</math> è la velocità della particella verso l'osservatore, e <math>c</math> è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l'asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è gaussiana: <math>{\begin{aligned}n(v_{x})dv_{x}=N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Allora la distribuzione delle frequenze sarà: <math>{\begin{aligned}P(\nu )d\nu =N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mc^{2}(\nu -\nu _{0})^{2}}{2kT\nu _{0}^{2}}}}}{\frac{c}{\nu _{0}}}d\nu \end{aligned}}</math> che è sempre una gaussiana, centrata in <math>\nu _{0}</math> e deviazione standard <math>\sigma _{{\nu }}={\sqrt {{\frac{kT}{mc^{2}}}}}\nu _{0}</math>. Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga. Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza (<math>\nu /P(\nu )={\frac{1}{2}}</math>): <math>{\begin{aligned}\Delta \nu ={\sqrt {{\frac{8kT\ln 2}{mc^{2}}}}}\nu _{{0}}.\end{aligned}}</math> Dall'allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell'emettitore. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione delle velocità]] rf67ftjrdv0785msatkn4h1k57yttum 500712 500640 2026-08-10T09:20:41Z Hippias 18281 500712 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla velocità quadratica media, e quindi all'energia media, ma non dice nulla riguardo alla distribuzione delle velocità delle molecole. La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima volta da Maxwell nel 1859. Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in equilibrio termico a temperatura <math>T</math>. L'obiettivo è valutare quante molecole hanno la componente <math>x</math> della velocità compresa tra <math>v_{x}</math> e <math>v_{x}+dv_{x}</math>, la componente y compresa tra <math>v_{y}</math> e <math>v_{y}+dv_{y}</math> e la componente <math>z</math> tra <math>v_{z}</math> e <math>v_{z}+dv_{z}</math>. Questo numero sarà esprimibile nella forma <math>NF(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}</math>, dove <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> è la funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita. Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:<ref>Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann.</ref> 1. '''isotropia dello spazio''': la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math>, possono comparire solo nella combinazione <math>v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. →Le componenti <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math> sono indipendenti e quindi la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può essere fattorizzata: <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})\end{aligned}}</math> 2. '''ipotesi di gas perfetto''': la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria cinetica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che <math>E_{k}={\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>. Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math> rispettando il vincolo <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Questo problema può essere facilmente risolto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})=F(v^{2})\\v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=v^{2}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare il logaritmo della funzione <math>F</math>. <math>{\begin{aligned}L=\ln {F}+A^{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}-v^{2})\end{aligned}}</math> dove <math>\ln {F}</math> rappresenta la funzione da massimizzare e <math>A^{2}</math> è il moltiplicatore del vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità, le altre sono analoghe. <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial L}{\partial v_{x}^{2}}}&={\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}+A^{2}d(v_{x}^{2})&=0\\{\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}&=-A^{2}d(v_{x}^{2}){\mbox{integrando}}\\\ln {f(v_{x}^{2})}&=-A^{2}v_{x}^{2}+C\\f(v_{x}^{2})&=f_{0}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> A questo punto introduciamo le condizioni che abbiamo imposto debbano valere e la condizione di normalizzazione, valida per ogni distribuzione di probabilità. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}&=1{\mbox{normalizzazione}}\\{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}&={\frac{kT}{2}}{\mbox{equipartizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Risolviamo la condizione di normalizzazione, che può essere riscritta, utilizzando la forma esplicita di <math>f(v_{x}^{2})</math>, come: <math>f_{0}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\,dv_{x}=1</math> L'integrale che compare è un integrale di "tipo Gauss", la cui risoluzione è per motivi di chiarezza riportata nelle note.<ref> <math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}}}\,dx=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-y^{2}}}\,dy\\I^{2}=\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}-y^{2}}}\,dx\,dy=\int _{{0}}^{{+\infty }}\int _{{0}}^{{2\pi }}re^{{-r^{2}}}\,d\theta \,dr=\pi \int _{{0}}^{{+\infty }}2re^{{-r^{2}}}\,dr=\pi \\I={\sqrt \pi }\\\end{aligned}}</math> Il nostro integrale è di questo tipo: <math>\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> Con la costante <math>A^{2}</math> faccio una sostituzione di variabili <math>{\begin{aligned}xAx\\\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\frac{A}{A}}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx={\frac{1}{A}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,d(Ax)={\frac{{\sqrt \pi }}{A}}\end{aligned}}</math> Questo integrale appartiene alla classe degli integrali <math>I_{n}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{n}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> A partire da <math>I_{0}</math>, che abbiamo appena ricavato essere <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math>, si possono ricavare per ricorrenza tutti gli <math>I_{n}</math> di indice pari. Infatti si ha che <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math></ref> Qui ci limitiamo a dire che il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math> da cui si ottiene <math>{\begin{aligned}f_{0}{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}=1\\f_{0}={\frac{A}{{\sqrt \pi }}}\end{aligned}}</math> Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore A. <math>{\begin{aligned}{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}<v_{x}^{2}>={\frac{kT}{m}}\\\end{aligned}}</math> Se la distribuzione per <math>v_{x}</math> è <math>{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}</math>, devo imporre che la media statistica di <math>v_{x}^{2}</math> secondo tale distribuzione sia pari a <math>{\frac{kT}{m}}</math>. <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}{\mbox{media}}\\<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}\end{aligned}}</math> Abbiamo di nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.<ref><math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}e^{{-Ax^{2}}}\,dx=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial {\frac{{\sqrt \pi }}{A}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}=({\frac{-{\sqrt \pi }}{A^{2}}})({\frac{-1}{2A}})={\frac{{\sqrt \pi }}{A^{3}}}\end{aligned}}</math></ref> Il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{2A^{3}}}</math>. Definitivamente si ha quindi <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>={\frac{1}{2A^{2}}}={\frac{kT}{m}}\\A={\sqrt {{\frac{m}{2KT}}}}\end{aligned}}</math> L'espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l'asse x è dunque: <math>{\begin{aligned}f(v_{x})={\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Questa forma funzionale corrisponde ad una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni analoghe, e che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math>, si ha per <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}e^{{{\frac{-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}}dv_{x}dv_{y}dv_{z}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === Il fatto che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})</math>, ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l'isotropia dello spazio ipotizzata. Posso passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza. <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=4\pi ({\frac{m}{2\pi KT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> Moltiplicando per <math>N</math>, numero di molecole, ottengo la funzione <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa tra <math>v</math> e <math>v+dv</math>. L'esponente di <math>e</math> contiene un termine di energia cinetica e un termine termico. == Studio della maxwelliana == <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> 1. '''Massimo''' <math>{\begin{aligned}{\frac{dn(v)}{dv}}=0\\2ve^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}-{\frac{2mv^{3}}{2kT}}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}=0\\1-{\frac{mv^{2}}{2kT}}=0\\v_{{mp}}={\sqrt {{\frac{2kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> <math>v_{{mp}}</math> rappresenta la velocità più probabile 2. '''Velocità media''' <math>{\begin{aligned}<v>={\frac{1}{N}}\int _{0}^{{+\infty }}vn(v)\,dv=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}v^{3}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}\,dv\end{aligned}}</math> Questo integrale è <math>I_{3}</math> nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e lo risolviamo nelle note.<ref>A partire dalla relazione di ricorrenza <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math> possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere <math>I_{1}</math>, che ora calcoliamo. <math>{\begin{aligned}I_{1}=\int _{{0}}^{{+\infty }}xe^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx=\\t^{2}=A^{2}x^{2}xdx={\frac{1}{2A^{2}}}d(t^{2})\\{\frac{1}{2A^{2}}}\int _{{0}}^{{+\infty }}e^{{-t^{2}}}\,d(t^{2})=-{\frac{1}{2A^{2}}}.\end{aligned}}</math> Possiamo ora calcolare facilmente <math>I_{3}</math>: <math>{\begin{aligned}I_{3}=-{\frac{\partial I_{1}}{\partial A^{2}}}={\frac{1}{2A^{4}}}\end{aligned}}</math></ref> Basti qui sapere che vale <math>{\frac{1}{2A^{4}}}</math>, con <math>A^{2}={\frac{m}{2kT}}</math>. Dunque <math>{\begin{aligned}<v>=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\frac{4k^{2}T^{2}}{2m^{2}}}\\<v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\end{aligned}}</math> 3. '''Velocità quadratica media''' Non svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando l'integrale che esprime <math><v^{2}></math>. Si ha: <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === * <math><v>>v_{{mp}}</math> : le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità più probabile * <math>v_{{rms}}><v></math>. * piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle d'azoto nell'aria, a temperatura ambiente? <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}={\sqrt {{\frac{3\cdot 1.38\cdot 10^{{-23}}{\frac{J}{K}}\cdot 300K}{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-27}}Kg}}}}\approx 500{\frac{m}{s}}\end{aligned}}</math> == Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell == === Esperimento di Stern === Il fisico tedesco Otto Stern pensa a un esperimento per verificare la validità della teoria di Maxwell. L'apparato sperimentale è costituito da un forno in cui è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori. Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di un angolo <math>\theta</math>. Detta \omega la velocità angolare dei due dischi, l'intervallo di tempo necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi anche attraverso la seconda è <math>t={\frac{\theta }{\omega }}={\frac{s}{v}}</math>. Solo le molecole dotate di una velocità <math>v={\frac{s\omega }{\theta }}</math> riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore <math>P</math>, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la funzione <math>n=n(v)</math> In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente su quelle contenute nel forno. Infatti ad uscire dal foro sono le molecole più veloci, perché hanno maggiore probabilità di uscire. L'andamento sperimentale che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno, detto '''effusione'''. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e apportare la necessaria correzione. Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area A, ortogonale all'asse z, è praticato un piccolo foro. Sia n(v) il numero di particelle per unità di volume presenti nella scatola e aventi velocità v inclinata di un angolo \theta rispetto all'asse z. In un tempo <math>dt</math> Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume <math>dA\cos \theta vdt</math>. Poichè questo vale indipendentemente dalla direzione di v, si devono considerare tutte le molecole che hanno <math>v<v<v+dv</math> (sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell'angolo solido <math>d\Omega =d\varphi \sin \theta d\theta</math>, ossia <math>n'={\frac{n(v)dvd\Omega }{4\pi }}</math>. La distribuzione che esprime il numero totale di molecole aventi <math>v<v<v+dv</math> che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la parete e quindi uscire dal foro è quindi data da: <math>{\begin{aligned}\Phi (v)dv=\int _{{0}}^{{2\pi }}\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }},d\theta \,d\phi \\\Phi (v)dv=2\pi \int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }}\,d\theta \\poich\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac{1}{2}}\\\Phi (v)dv={\frac{vn(v)dv}{4}}\end{aligned}}</math> →considerando l'effusione la distribuzione cambia forma. Infatti <math>\Phi (v)dv</math> va come <math>v^{3}</math> mentre <math>n(v)dv</math> come <math>v^{2}</math>. Ecco perchè il foro seleziona le velocità più grandi. Poichè i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione, si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza modificare la forma di <math>n(v)dv</math> Vediamo le proprietà della nuova distribuzione. La velocità quadratica media <math>{\sqrt {<v^{2}>}}={\sqrt {{\frac{4kT}{m}}}}</math> è maggiore della velocità quadratica media della maxwelliana. === Allargamento doppler termico === I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove verso l'osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler l'allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade. Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso l'osservatore, la radiazione emessa risulta spostata ad una frequenza più alta. Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore. Per velocità termiche non relativistiche, l'effetto Doppler in frequenza assume la forma: <math>{\begin{aligned}\nu =\nu _{0}(1+{\frac{v}{c}})\\v={\frac{c(\nu -\nu _{0})}{\nu _{0}}}\end{aligned}}</math> dove <math>\nu</math> è la frequenza osservata, <math>\nu _{0}</math>la frequenza a riposo, <math>v</math> è la velocità della particella verso l'osservatore, e <math>c</math> è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l'asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è gaussiana: <math>{\begin{aligned}n(v_{x})dv_{x}=N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Allora la distribuzione delle frequenze sarà: <math>{\begin{aligned}P(\nu )d\nu =N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mc^{2}(\nu -\nu _{0})^{2}}{2kT\nu _{0}^{2}}}}}{\frac{c}{\nu _{0}}}d\nu \end{aligned}}</math> che è sempre una gaussiana, centrata in <math>\nu _{0}</math> e deviazione standard <math>\sigma _{{\nu }}={\sqrt {{\frac{kT}{mc^{2}}}}}\nu _{0}</math>. Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga. Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza (<math>\nu /P(\nu )={\frac{1}{2}}</math>): <math>{\begin{aligned}\Delta \nu ={\sqrt {{\frac{8kT\ln 2}{mc^{2}}}}}\nu _{{0}}.\end{aligned}}</math> Dall'allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell'emettitore. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione delle velocità]] jbib1odaay25wwmenrltrdgx73gyx9m 500713 500712 2026-08-10T09:24:50Z Hippias 18281 500713 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla velocità quadratica media, e quindi all'energia media, ma non dice nulla riguardo alla distribuzione delle velocità delle molecole. La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima volta da Maxwell nel 1859. Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in equilibrio termico a temperatura <math>T</math>. L'obiettivo è valutare quante molecole hanno la componente <math>x</math> della velocità compresa tra <math>v_{x}</math> e <math>v_{x}+dv_{x}</math>, la componente y compresa tra <math>v_{y}</math> e <math>v_{y}+dv_{y}</math> e la componente <math>z</math> tra <math>v_{z}</math> e <math>v_{z}+dv_{z}</math>. Questo numero sarà esprimibile nella forma <math>NF(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}</math>, dove <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> è la funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita. Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:<ref>Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann.</ref> 1. '''isotropia dello spazio''': la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math>, possono comparire solo nella combinazione <math>v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Le componenti <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math> sono indipendenti e quindi la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può essere fattorizzata: <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})\end{aligned}}</math> 2. '''ipotesi di gas perfetto''': la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria cinetica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che <math>E_{k}={\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>. Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math> rispettando il vincolo <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Questo problema può essere facilmente risolto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})=F(v^{2})\\v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=v^{2}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare il logaritmo della funzione <math>F</math>. <math>{\begin{aligned}L=\ln {F}+A^{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}-v^{2})\end{aligned}}</math> dove <math>\ln {F}</math> rappresenta la funzione da massimizzare e <math>A^{2}</math> è il moltiplicatore del vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità, le altre sono analoghe. <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial L}{\partial v_{x}^{2}}}&={\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}+A^{2}d(v_{x}^{2})&=0\\{\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}&=-A^{2}d(v_{x}^{2}){\mbox{integrando}}\\\ln {f(v_{x}^{2})}&=-A^{2}v_{x}^{2}+C\\f(v_{x}^{2})&=f_{0}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> A questo punto introduciamo le condizioni che abbiamo imposto debbano valere e la condizione di normalizzazione, valida per ogni distribuzione di probabilità. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}&=1{\mbox{normalizzazione}}\\{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}&={\frac{kT}{2}}{\mbox{equipartizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Risolviamo la condizione di normalizzazione, che può essere riscritta, utilizzando la forma esplicita di <math>f(v_{x}^{2})</math>, come: <math>f_{0}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\,dv_{x}=1</math> L'integrale che compare è un integrale di "tipo Gauss", la cui risoluzione è per motivi di chiarezza riportata nelle note.<ref> <math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}}}\,dx=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-y^{2}}}\,dy\\I^{2}=\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}-y^{2}}}\,dx\,dy=\int _{{0}}^{{+\infty }}\int _{{0}}^{{2\pi }}re^{{-r^{2}}}\,d\theta \,dr=\pi \int _{{0}}^{{+\infty }}2re^{{-r^{2}}}\,dr=\pi \\I={\sqrt \pi }\\\end{aligned}}</math> Il nostro integrale è di questo tipo: <math>\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> Con la costante <math>A^{2}</math> faccio una sostituzione di variabili <math>{\begin{aligned}xAx\\\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\frac{A}{A}}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx={\frac{1}{A}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,d(Ax)={\frac{{\sqrt \pi }}{A}}\end{aligned}}</math> Questo integrale appartiene alla classe degli integrali <math>I_{n}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{n}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> A partire da <math>I_{0}</math>, che abbiamo appena ricavato essere <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math>, si possono ricavare per ricorrenza tutti gli <math>I_{n}</math> di indice pari. Infatti si ha che <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math></ref> Qui ci limitiamo a dire che il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math> da cui si ottiene <math>{\begin{aligned}f_{0}{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}=1\\f_{0}={\frac{A}{{\sqrt \pi }}}\end{aligned}}</math> Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore A. <math>{\begin{aligned}{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}<v_{x}^{2}>={\frac{kT}{m}}\\\end{aligned}}</math> Se la distribuzione per <math>v_{x}</math> è <math>{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}</math>, devo imporre che la media statistica di <math>v_{x}^{2}</math> secondo tale distribuzione sia pari a <math>{\frac{kT}{m}}</math>. <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}{\mbox{media}}\\<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}\end{aligned}}</math> Abbiamo di nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.<ref><math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}e^{{-Ax^{2}}}\,dx=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial {\frac{{\sqrt \pi }}{A}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}=({\frac{-{\sqrt \pi }}{A^{2}}})({\frac{-1}{2A}})={\frac{{\sqrt \pi }}{A^{3}}}\end{aligned}}</math></ref> Il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{2A^{3}}}</math>. Definitivamente si ha quindi <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>={\frac{1}{2A^{2}}}={\frac{kT}{m}}\\A={\sqrt {{\frac{m}{2KT}}}}\end{aligned}}</math> L'espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l'asse x è dunque: <math>{\begin{aligned}f(v_{x})={\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Questa forma funzionale corrisponde ad una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni analoghe, e che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math>, si ha per <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}e^{{{\frac{-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}}dv_{x}dv_{y}dv_{z}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === Il fatto che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})</math>, ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l'isotropia dello spazio ipotizzata. Posso passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza. <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=4\pi ({\frac{m}{2\pi KT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> Moltiplicando per <math>N</math>, numero di molecole, ottengo la funzione <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa tra <math>v</math> e <math>v+dv</math>. L'esponente di <math>e</math> contiene un termine di energia cinetica e un termine termico. == Studio della maxwelliana == <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> 1. '''Massimo''' <math>{\begin{aligned}{\frac{dn(v)}{dv}}=0\\2ve^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}-{\frac{2mv^{3}}{2kT}}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}=0\\1-{\frac{mv^{2}}{2kT}}=0\\v_{{mp}}={\sqrt {{\frac{2kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> <math>v_{{mp}}</math> rappresenta la velocità più probabile 2. '''Velocità media''' <math>{\begin{aligned}<v>={\frac{1}{N}}\int _{0}^{{+\infty }}vn(v)\,dv=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}v^{3}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}\,dv\end{aligned}}</math> Questo integrale è <math>I_{3}</math> nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e lo risolviamo nelle note.<ref>A partire dalla relazione di ricorrenza <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math> possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere <math>I_{1}</math>, che ora calcoliamo. <math>{\begin{aligned}I_{1}=\int _{{0}}^{{+\infty }}xe^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx=\\t^{2}=A^{2}x^{2}xdx={\frac{1}{2A^{2}}}d(t^{2})\\{\frac{1}{2A^{2}}}\int _{{0}}^{{+\infty }}e^{{-t^{2}}}\,d(t^{2})=-{\frac{1}{2A^{2}}}.\end{aligned}}</math> Possiamo ora calcolare facilmente <math>I_{3}</math>: <math>{\begin{aligned}I_{3}=-{\frac{\partial I_{1}}{\partial A^{2}}}={\frac{1}{2A^{4}}}\end{aligned}}</math></ref> Basti qui sapere che vale <math>{\frac{1}{2A^{4}}}</math>, con <math>A^{2}={\frac{m}{2kT}}</math>. Dunque <math>{\begin{aligned}<v>=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\frac{4k^{2}T^{2}}{2m^{2}}}\\<v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\end{aligned}}</math> 3. '''Velocità quadratica media''' Non svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando l'integrale che esprime <math><v^{2}></math>. Si ha: <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === * <math><v>>v_{{mp}}</math>: le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità più probabile. * <math>v_{{rms}}><v></math>. * Piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle d'azoto nell'aria, a temperatura ambiente? <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}={\sqrt {{\frac{3\cdot 1.38\cdot 10^{{-23}}{\frac{J}{K}}\cdot 300K}{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-27}}Kg}}}}\approx 500{\frac{m}{s}}\end{aligned}}</math> == Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell == === Esperimento di Stern === Il fisico tedesco Otto Stern pensa a un esperimento per verificare la validità della teoria di Maxwell. L'apparato sperimentale è costituito da un forno in cui è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori. Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di un angolo <math>\theta</math>. Detta \omega la velocità angolare dei due dischi, l'intervallo di tempo necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi anche attraverso la seconda è <math>t={\frac{\theta }{\omega }}={\frac{s}{v}}</math>. Solo le molecole dotate di una velocità <math>v={\frac{s\omega }{\theta }}</math> riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore <math>P</math>, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la funzione <math>n=n(v)</math> In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente su quelle contenute nel forno. Infatti ad uscire dal foro sono le molecole più veloci, perché hanno maggiore probabilità di uscire. L'andamento sperimentale che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno, detto '''effusione'''. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e apportare la necessaria correzione. Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area <math>A</math>, ortogonale all'asse <math>z</math>, è praticato un piccolo foro. Sia <math>n(v)</math> il numero di particelle per unità di volume presenti nella scatola e aventi velocità <math>v</math> inclinata di un angolo <math>\theta</math> rispetto all'asse <math>z</math>. In un tempo <math>dt</math> Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume <math>dA\cos \theta vdt</math>. Poiché questo vale indipendentemente dalla direzione di <math>v</math>, si devono considerare tutte le molecole che hanno <math>v<v<v+dv</math> (sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell'angolo solido <math>d\Omega =d\varphi \sin \theta d\theta</math>, ossia <math>n'={\frac{n(v)dvd\Omega }{4\pi }}</math>. La distribuzione che esprime il numero totale di molecole aventi <math>v<v<v+dv</math> che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la parete e quindi uscire dal foro è quindi data da: <math>{\begin{aligned}\Phi (v)dv=\int _{{0}}^{{2\pi }}\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }},d\theta \,d\phi \\\Phi (v)dv=2\pi \int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }}\,d\theta \\poich\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac{1}{2}}\\\Phi (v)dv={\frac{vn(v)dv}{4}}\end{aligned}}</math> considerando l'effusione la distribuzione cambia forma. Infatti <math>\Phi (v)dv</math> va come <math>v^{3}</math> mentre <math>n(v)dv</math> come <math>v^{2}</math>. Ecco perché il foro seleziona le velocità più grandi. Poiché i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione, si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza modificare la forma di <math>n(v)dv</math> Vediamo le proprietà della nuova distribuzione. La velocità quadratica media <math>{\sqrt {<v^{2}>}}={\sqrt {{\frac{4kT}{m}}}}</math> è maggiore della velocità quadratica media della maxwelliana. === Allargamento doppler termico === I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove verso l'osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler l'allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade. Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso l'osservatore, la radiazione emessa risulta spostata ad una frequenza più alta. Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore. Per velocità termiche non relativistiche, l'effetto Doppler in frequenza assume la forma: <math>{\begin{aligned}\nu =\nu _{0}(1+{\frac{v}{c}})\\v={\frac{c(\nu -\nu _{0})}{\nu _{0}}}\end{aligned}}</math> dove <math>\nu</math> è la frequenza osservata, <math>\nu _{0}</math>la frequenza a riposo, <math>v</math> è la velocità della particella verso l'osservatore, e <math>c</math> è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l'asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è gaussiana: <math>{\begin{aligned}n(v_{x})dv_{x}=N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Allora la distribuzione delle frequenze sarà: <math>{\begin{aligned}P(\nu )d\nu =N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mc^{2}(\nu -\nu _{0})^{2}}{2kT\nu _{0}^{2}}}}}{\frac{c}{\nu _{0}}}d\nu \end{aligned}}</math> che è sempre una gaussiana, centrata in <math>\nu _{0}</math> e deviazione standard <math>\sigma _{{\nu }}={\sqrt {{\frac{kT}{mc^{2}}}}}\nu _{0}</math>. Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga. Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza (<math>\nu /P(\nu )={\frac{1}{2}}</math>): <math>{\begin{aligned}\Delta \nu ={\sqrt {{\frac{8kT\ln 2}{mc^{2}}}}}\nu _{{0}}.\end{aligned}}</math> Dall'allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell'emettitore. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione delle velocità]] dthf4i5tbclrkm99c6o6dkb03otuy5w 500714 500713 2026-08-10T09:26:29Z Hippias 18281 500714 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla velocità quadratica media, e quindi all'energia media, ma non dice nulla riguardo alla distribuzione delle velocità delle molecole. La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima volta da Maxwell nel 1859. Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in equilibrio termico a temperatura <math>T</math>. L'obiettivo è valutare quante molecole hanno la componente <math>x</math> della velocità compresa tra <math>v_{x}</math> e <math>v_{x}+dv_{x}</math>, la componente y compresa tra <math>v_{y}</math> e <math>v_{y}+dv_{y}</math> e la componente <math>z</math> tra <math>v_{z}</math> e <math>v_{z}+dv_{z}</math>. Questo numero sarà esprimibile nella forma <math>NF(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}</math>, dove <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> è la funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita. Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:<ref>Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann.</ref> 1. '''isotropia dello spazio''': la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math>, possono comparire solo nella combinazione <math>v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Le componenti <math>v_{x},v_{y},v_{z}</math> sono indipendenti e quindi la funzione <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> può essere fattorizzata: <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})\end{aligned}}</math> 2. '''ipotesi di gas perfetto''': la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria cinetica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che <math>E_{k}={\frac{m<v^{2}>}{2}}={\frac{3kT}{2}}</math>. Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math> rispettando il vincolo <math>v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}</math>. Questo problema può essere facilmente risolto con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})=F(v^{2})\\v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=v^{2}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare il logaritmo della funzione <math>F</math>. <math>{\begin{aligned}L=\ln {F}+A^{2}(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}-v^{2})\end{aligned}}</math> dove <math>\ln {F}</math> rappresenta la funzione da massimizzare e <math>A^{2}</math> è il moltiplicatore del vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità, le altre sono analoghe. <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial L}{\partial v_{x}^{2}}}&={\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}+A^{2}d(v_{x}^{2})&=0\\{\frac{df(v_{x}^{2})}{f(v_{x}^{2})}}&=-A^{2}d(v_{x}^{2}){\mbox{integrando}}\\\ln {f(v_{x}^{2})}&=-A^{2}v_{x}^{2}+C\\f(v_{x}^{2})&=f_{0}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> A questo punto introduciamo le condizioni che abbiamo imposto debbano valere e la condizione di normalizzazione, valida per ogni distribuzione di probabilità. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}&=1{\mbox{normalizzazione}}\\{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}&={\frac{kT}{2}}{\mbox{equipartizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Risolviamo la condizione di normalizzazione, che può essere riscritta, utilizzando la forma esplicita di <math>f(v_{x}^{2})</math>, come: <math>f_{0}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}\,dv_{x}=1</math> L'integrale che compare è un integrale di "tipo Gauss", la cui risoluzione è per motivi di chiarezza riportata nelle note.<ref> <math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}}}\,dx=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-y^{2}}}\,dy\\I^{2}=\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-x^{2}-y^{2}}}\,dx\,dy=\int _{{0}}^{{+\infty }}\int _{{0}}^{{2\pi }}re^{{-r^{2}}}\,d\theta \,dr=\pi \int _{{0}}^{{+\infty }}2re^{{-r^{2}}}\,dr=\pi \\I={\sqrt \pi }\\\end{aligned}}</math> Il nostro integrale è di questo tipo: <math>\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> Con la costante <math>A^{2}</math> faccio una sostituzione di variabili <math>{\begin{aligned}xAx\\\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\frac{A}{A}}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx={\frac{1}{A}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,d(Ax)={\frac{{\sqrt \pi }}{A}}\end{aligned}}</math> Questo integrale appartiene alla classe degli integrali <math>I_{n}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{n}e^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx</math> A partire da <math>I_{0}</math>, che abbiamo appena ricavato essere <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math>, si possono ricavare per ricorrenza tutti gli <math>I_{n}</math> di indice pari. Infatti si ha che <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math></ref> Qui ci limitiamo a dire che il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}</math> da cui si ottiene <math>{\begin{aligned}f_{0}{\frac{{\sqrt \pi }}{A}}=1\\f_{0}={\frac{A}{{\sqrt \pi }}}\end{aligned}}</math> Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore A. <math>{\begin{aligned}{\frac{m<v_{x}^{2}>}{2}}={\frac{kT}{2}}<v_{x}^{2}>={\frac{kT}{m}}\\\end{aligned}}</math> Se la distribuzione per <math>v_{x}</math> è <math>{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}</math>, devo imporre che la media statistica di <math>v_{x}^{2}</math> secondo tale distribuzione sia pari a <math>{\frac{kT}{m}}</math>. <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}f(v_{x}^{2})\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}{\mbox{media}}\\<v_{x}^{2}>=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}v_{x}^{2}{\frac{Ae^{{-A^{2}v_{x}^{2}}}}{{\sqrt \pi }}}\,dv_{x}={\frac{kT}{m}}\end{aligned}}</math> Abbiamo di nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.<ref><math>{\begin{aligned}I=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}x^{2}e^{{-Ax^{2}}}\,dx=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial {\frac{{\sqrt \pi }}{A}}}{\partial A^{2}}}=-{\frac{\partial I_{0}}{\partial A}}{\frac{\partial A}{\partial A^{2}}}=({\frac{-{\sqrt \pi }}{A^{2}}})({\frac{-1}{2A}})={\frac{{\sqrt \pi }}{A^{3}}}\end{aligned}}</math></ref> Il risultato è <math>{\frac{{\sqrt \pi }}{2A^{3}}}</math>. Definitivamente si ha quindi <math>{\begin{aligned}<v_{x}^{2}>={\frac{1}{2A^{2}}}={\frac{kT}{m}}\\A={\sqrt {{\frac{m}{2KT}}}}\end{aligned}}</math> L'espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l'asse x è dunque: <math>{\begin{aligned}f(v_{x})={\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Questa forma funzionale corrisponde a una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni analoghe, e che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})</math>, si ha per <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})</math> <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}e^{{{\frac{-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}}}dv_{x}dv_{y}dv_{z}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === Il fatto che <math>F(v_{x},v_{y},v_{z})=F(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})</math>, ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l'isotropia dello spazio ipotizzata. Posso passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza. <math>{\begin{aligned}F(v_{x},v_{y},v_{z})dv_{x}dv_{y}dv_{z}=4\pi ({\frac{m}{2\pi KT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> Moltiplicando per <math>N</math>, numero di molecole, ottengo la funzione <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa tra <math>v</math> e <math>v+dv</math>. L'esponente di <math>e</math> contiene un termine di energia cinetica e un termine termico. == Studio della maxwelliana == <math>{\begin{aligned}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\end{aligned}}</math> 1. '''Massimo''' <math>{\begin{aligned}{\frac{dn(v)}{dv}}=0\\2ve^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}-{\frac{2mv^{3}}{2kT}}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}=0\\1-{\frac{mv^{2}}{2kT}}=0\\v_{{mp}}={\sqrt {{\frac{2kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> <math>v_{{mp}}</math> rappresenta la velocità più probabile 2. '''Velocità media''' <math>{\begin{aligned}<v>={\frac{1}{N}}\int _{0}^{{+\infty }}vn(v)\,dv=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}\int _{0}^{{+\infty }}v^{3}e^{{{\frac{-mv^{2}}{2kT}}}}\,dv\end{aligned}}</math> Questo integrale è <math>I_{3}</math> nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e lo risolviamo nelle note.<ref>A partire dalla relazione di ricorrenza <math>{\begin{aligned}I_{n}=-{\frac{\partial I_{{n-2}}}{\partial A^{2}}}\end{aligned}}</math> possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere <math>I_{1}</math>, che ora calcoliamo. <math>{\begin{aligned}I_{1}=\int _{{0}}^{{+\infty }}xe^{{-A^{2}x^{2}}}\,dx=\\t^{2}=A^{2}x^{2}xdx={\frac{1}{2A^{2}}}d(t^{2})\\{\frac{1}{2A^{2}}}\int _{{0}}^{{+\infty }}e^{{-t^{2}}}\,d(t^{2})=-{\frac{1}{2A^{2}}}.\end{aligned}}</math> Possiamo ora calcolare facilmente <math>I_{3}</math>: <math>{\begin{aligned}I_{3}=-{\frac{\partial I_{1}}{\partial A^{2}}}={\frac{1}{2A^{4}}}\end{aligned}}</math></ref> Basti qui sapere che vale <math>{\frac{1}{2A^{4}}}</math>, con <math>A^{2}={\frac{m}{2kT}}</math>. Dunque <math>{\begin{aligned}<v>=4\pi ({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\frac{4k^{2}T^{2}}{2m^{2}}}\\<v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\end{aligned}}</math> 3. '''Velocità quadratica media''' Non svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando l'integrale che esprime <math><v^{2}></math>. Si ha: <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === * <math><v>>v_{{mp}}</math>: le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità più probabile. * <math>v_{{rms}}><v></math>. * Piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle d'azoto nell'aria, a temperatura ambiente? <math>{\begin{aligned}v_{{rms}}={\sqrt {{\frac{3kT}{m}}}}={\sqrt {{\frac{3\cdot 1.38\cdot 10^{{-23}}{\frac{J}{K}}\cdot 300K}{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-27}}Kg}}}}\approx 500{\frac{m}{s}}\end{aligned}}</math> == Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell == === Esperimento di Stern === Il fisico tedesco Otto Stern pensa a un esperimento per verificare la validità della teoria di Maxwell. L'apparato sperimentale è costituito da un forno in cui è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori. Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di un angolo <math>\theta</math>. Detta \omega la velocità angolare dei due dischi, l'intervallo di tempo necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi anche attraverso la seconda è <math>t={\frac{\theta }{\omega }}={\frac{s}{v}}</math>. Solo le molecole dotate di una velocità <math>v={\frac{s\omega }{\theta }}</math> riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore <math>P</math>, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la funzione <math>n=n(v)</math> In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente su quelle contenute nel forno. Infatti a uscire dal foro sono le molecole più veloci, perché hanno maggiore probabilità di uscire. L'andamento sperimentale che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno, detto '''effusione'''. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e apportare la necessaria correzione. Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area <math>A</math>, ortogonale all'asse <math>z</math>, è praticato un piccolo foro. Sia <math>n(v)</math> il numero di particelle per unità di volume presenti nella scatola e aventi velocità <math>v</math> inclinata di un angolo <math>\theta</math> rispetto all'asse <math>z</math>. In un tempo <math>dt</math> Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume <math>dA\cos \theta vdt</math>. Poiché questo vale indipendentemente dalla direzione di <math>v</math>, si devono considerare tutte le molecole che hanno <math>v<v<v+dv</math> (sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell'angolo solido <math>d\Omega =d\varphi \sin \theta d\theta</math>, ossia <math>n'={\frac{n(v)dvd\Omega }{4\pi }}</math>. La distribuzione che esprime il numero totale di molecole aventi <math>v<v<v+dv</math> che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la parete e quindi uscire dal foro è quindi data da: <math>{\begin{aligned}\Phi (v)dv=\int _{{0}}^{{2\pi }}\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }},d\theta \,d\phi \\\Phi (v)dv=2\pi \int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}{\frac{n(v)v\cos \theta \sin \theta }{4\pi }}\,d\theta \\poich\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos \theta \sin \theta \,d\theta ={\frac{1}{2}}\\\Phi (v)dv={\frac{vn(v)dv}{4}}\end{aligned}}</math> considerando l'effusione la distribuzione cambia forma. Infatti <math>\Phi (v)dv</math> va come <math>v^{3}</math> mentre <math>n(v)dv</math> come <math>v^{2}</math>. Ecco perché il foro seleziona le velocità più grandi. Poiché i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione, si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza modificare la forma di <math>n(v)dv</math> Vediamo le proprietà della nuova distribuzione. La velocità quadratica media <math>{\sqrt {<v^{2}>}}={\sqrt {{\frac{4kT}{m}}}}</math> è maggiore della velocità quadratica media della maxwelliana. === Allargamento doppler termico === I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove verso l'osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler l'allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade. Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso l'osservatore, la radiazione emessa risulta spostata a una frequenza più alta. Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore. Per velocità termiche non relativistiche, l'effetto Doppler in frequenza assume la forma: <math>{\begin{aligned}\nu =\nu _{0}(1+{\frac{v}{c}})\\v={\frac{c(\nu -\nu _{0})}{\nu _{0}}}\end{aligned}}</math> dove <math>\nu</math> è la frequenza osservata, <math>\nu _{0}</math>la frequenza a riposo, <math>v</math> è la velocità della particella verso l'osservatore, e <math>c</math> è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l'asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è gaussiana: <math>{\begin{aligned}n(v_{x})dv_{x}=N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mv_{x}^{2}}{2kT}}}}\end{aligned}}</math> Allora la distribuzione delle frequenze sarà: <math>{\begin{aligned}P(\nu )d\nu =N{\sqrt {{\frac{m}{2\pi kT}}}}e^{{{\frac{-mc^{2}(\nu -\nu _{0})^{2}}{2kT\nu _{0}^{2}}}}}{\frac{c}{\nu _{0}}}d\nu \end{aligned}}</math> che è sempre una gaussiana, centrata in <math>\nu _{0}</math> e deviazione standard <math>\sigma _{{\nu }}={\sqrt {{\frac{kT}{mc^{2}}}}}\nu _{0}</math>. Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga. Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza (<math>\nu /P(\nu )={\frac{1}{2}}</math>): <math>{\begin{aligned}\Delta \nu ={\sqrt {{\frac{8kT\ln 2}{mc^{2}}}}}\nu _{{0}}.\end{aligned}}</math> Dall'allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell'emettitore. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione delle velocità]] o1mijb4bssdws6o4pnr90r6xc5o9jfq 0 60903 500641 2026-08-09T16:46:56Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Distribuzione_dell%27energia 500641 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Parlando di gas ideali, ove le interazioni tra le molecole sono trascurabili, è possibile ricavare la distribuzione dell'energia da quella delle velocità. In questo caso, infatti, l'energia è tutta cinetica: <math>E=E_{k}={\frac{mv^{2}}{2}}</math>. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\\v={\sqrt {{\frac{2E_{k}}{m}}}},dv={\sqrt {{\frac{2}{m}}}}{\frac{1}{2{\sqrt {E}}}}dE\\\end{cases}}n(E)dE&=2\pi N({\frac{1}{\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\sqrt {E}}e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math> Osservazioni: * La distribuzione di energia non dipende dalla massa * è un esempio di distribuzione di Boltzmann classica, ossia di distribuzione avente la forma: <math>{\begin{aligned}n(E)dE&=Ng(E)e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math>. Il fattore <math>e^{{{\frac{-E}{kT}}}}</math> è detto fattore di Boltzmann. Per una trattazione più approfondita della distribuzione di Boltzmann si veda Distribuzione statistica di Boltzmann {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione dell&#39;energia]] igwlrro4c25znfyv4c9m0es62wc7d61 500715 500641 2026-08-10T09:29:21Z Hippias 18281 500715 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Parlando di gas ideali, ove le interazioni tra le molecole sono trascurabili, è possibile ricavare la distribuzione dell'energia da quella delle velocità. In questo caso, infatti, l'energia è tutta cinetica: <math>E=E_{k}={\frac{mv^{2}}{2}}</math>. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}n(v)dv=4\pi N({\frac{m}{2\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}v^{2}e^{{{\frac{-m(v^{2})}{2kT}}}}dv\\v={\sqrt {{\frac{2E_{k}}{m}}}},dv={\sqrt {{\frac{2}{m}}}}{\frac{1}{2{\sqrt {E}}}}dE\\\end{cases}}n(E)dE&=2\pi N({\frac{1}{\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\sqrt {E}}e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math> == Osservazioni == La distribuzione di energia non dipende dalla massa. È un esempio di distribuzione di Boltzmann classica, ossia di distribuzione avente la forma: <math>{\begin{aligned}n(E)dE&=Ng(E)e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math> Il fattore <math>e^{{{\frac{-E}{kT}}}}</math> è detto fattore di Boltzmann. Per una trattazione più approfondita della distribuzione di Boltzmann si veda [[../Distribuzione statistica di Boltzmann|Distribuzione statistica di Boltzmann]]. {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione dell&#39;energia]] croivnnnz57li4pn76dr795nuwpkq0s 0 60904 500642 2026-08-09T16:47:52Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073007/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Coefficienti_di_trasporto 500642 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Nel calcolo della pressione esercitata da un gas sulle pareti del suo contenitore la dimensione delle molecole costituenti il gas non entrava in gioco. In questa sezione esamineremo invece i fenomeni della viscosità e della conducibilità termica, i quali dipendono dalla dimensione delle molecole e dalle collisioni tra di esse. Il successo dell'applicazione della teoria cinetica a questi fenomeni fornisce storicamente una delle prime prove convincenti della sua validità, e di conseguenza dell'esistenza delle molecole. Nella teoria cinetica possiamo considerare diverse quantità "trasportate" dalle molecole, ciascuna delle quali è legata ad uno dei cosiddetti coefficienti di trasporto: * trasporto di quantità di moto→ coefficiente di viscosità; * trasporto di energia→ coefficiente di conducibilità termica; * trasporto di materia (di densità)→w coefficiente di diffusione. Il trasporto di queste quantità è strettamente legato agli urti tra le molecole, e la frequenza delle collisioni dipende dalle dimensioni delle molecole e dal loro numero per unità di volume. Prima di entrare nell'analisi dettagliata dei fenomeni introduciamo alcuni concetti fondamentali. La molecola, avente diametro <math>d</math>, viene pensata occupare un volume pari a <math>d^{3}</math>: non si entra nel dettaglio della forma. Con questa premessa la densità della molecola è approssimativamente <math>{\begin{aligned}\rho ={\frac{m}{N_{a}d^{3}}}\end{aligned}}</math> Conoscendo il numero di Avogadro è possibile stimare le dimensioni delle molecole, che risultano essere dell'ordine dell'Å. Viceversa se sono note le dimensioni delle molecole è possibile ricavare il numero di Avogadro. == Libero cammino medio == Il libero cammino medio è la distanza che una molecola percorre in media tra una collisione e l'altra, a temperatura fissata. Consideriamo una molecola che si muove in una regione in cui ci sono <math>n</math> molecole per unità di volume. Sia <math><v></math> la velocità media della molecola che stiamo considerando e <math>r</math> il suo raggio. Essa potrà collidere con un'altra molecola se i centri sono a distanza <math>2r=d</math>. Nel tempo <math>t</math> la molecola percorre una distanza <math><v>t</math> e urta con tutte le molecole che si trovano nel volume cilindrico <math>V=\pi d^{2}<v>t</math>. Il numero di molecole in questo volume è chiaramente <math>n\pi d^{2}<v>t</math>. La distanza totale percorsa diviso il numero di collisioni fornisce l'espressione per il libero cammino medio. <math>l={\frac{<v>t}{n\pi d^{2}<v>t}}={\frac{1}{n\pi d^{2}}}</math> →è inversamente proporzionale alla densità == Sezione d'urto == La quantità <math>\sigma =\pi d^{2}</math> è detta sezione d'urto e rappresenta la dimensione del bersaglio. Essa può essere fisica (urto effettivo, bersaglio concreto) o non fisica (es: urto elettrico). Il cammino libero medio può essere riscritto tramite sezione d'urto come <math>l={\frac{1}{n\sigma }}</math> L'espressione corretta tuttavia è <math>l={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}</math> formula in cui si tiene conto anche della velocità relativa tra le particelle. Infatti se <math>v_{1},v_{2}</math> sono le velocità di due molecole, la loro velocità relativa è <math>v_{{rel}}=v_{1}-v_{2}</math>, e si ha <math>{\begin{aligned}v_{{rel}}^{2}&=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \theta \rightarrow \\<v_{{rel}}^{2}>&=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\end{aligned}}</math>. Se <math>v_{1}=v_{2}</math> come nel caso considerato <math>{\begin{aligned}<v_{{rel}}^{2}>&=2<v_{1}^{2}>\rightarrow \\<v_{{rel}}>&={\sqrt {2}}<v_{1}>\end{aligned}}</math> == Frequenza urti == <math>\nu ={\frac{<v>}{l}}</math> == Viscosità == Viscosità2.jpg Consideriamo un gas racchiuso tra due piatti. Scegliamo un piano <math>z=cost</math> tra questi due piatti. In condizioni stazionarie si ha che : <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}P_{{zz}}&=P\rightarrow {\mbox{forza per unit di area (pressione) nel piano z = cost lungo la componente z}}\\P_{{zx}}&=0\end{cases}}\end{aligned}}</math> Il piatto superiore viene messo in movimento verso destra con velocità <math>\mu _{0}</math> , mentre quello inferiore rimane fermo. Si osserva la formazione di un gradiente di velocità lungo l'asse z, la cui origine si pone in corrispondenza del piatto inferiore. Di fatto accade che il gas in prossimità del piatto superiore tende a seguire il movimento di questo con velocità <math>\mu _{0}</math>, mentre quello in prossimità del piatto in quiete tende a rimanere fermo. Non siamo più in equilibrio e non vale più che <math>P_{{zx}}=0</math>. Per effetto del gradiente di velocità <math>P_{{zx}}=-\nu {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}</math> Il coefficiente η è il coefficiente di viscosità. Quello che stiamo dicendo è che compare una forza per unità di superficie diretta lungo l'asse x e proporzionale al gradiente di velocità,che tende a ristabilire una condizione di velocità uniforme. Il fluido presenta quindi una sorta di attrito che viene chiamato viscosità. La teoria cinetica dà un'interpretazione microscopica del coefficiente di viscosità e ne valuta la dipendenza da altri parametri. Nelle ipotesi del modello cinetico * il fluido è rarefatto * <math>\mu _{0}<<<v></math> → la velocità del piatto (di conseguenza quella di deriva del gas,funzione di z ma chiaramente legata a <math>\mu _{0}</math>) è molto minore rispetto alla velocità media termica delle molecole. Qualitativamente possiamo legare il fenomeno della viscosità al trasporto di quantità di moto.Infatti se una molecola acquista per effetto del gradiente di velocità un momento, per agitazione termica cambia quota e si "ritermalizza" tramite urti, trasferendo il momento alle molecole partecipi delle collisioni. Sia <math>n</math> il numero di molecole per unità di volume e consideriamo il nostro piano <math>z=cost</math>. Per isotropia avremo che <math>{\frac{n}{6}}</math> delle molecole viaggeranno verso <math>+z</math> e quindi attraverseranno una unità di superficie del piano dal basso verso l'alto e altrettante verso <math>-z</math>, attraversando il piano dall'alto verso il basso. Dalla definizione di libero cammino medio si deduce che le molecole che attraversano il piano dal basso hanno avuto in media una collisione precedente ad una distanza <math>l</math> al di sotto del piano. Analogamente quelle che attraversano il piano dall'alto hanno avuto una collisione ad una distanza <math>l</math> al di sopra del piano. Al momento della collisione la velocità di deriva di tali particelle era rispettivamente <math>\mu _{x}(z-l)</math> e <math>\mu _{x}(z+l)</math>. Le molecole che viaggiano verso <math>+z</math> trasportano quindi attraverso il piano una quantità di moto <math>{\frac{n<v>m\mu _{x}(z-l)}{6}}</math>, mentre quelle che viaggiano verso <math>-z</math> trasportano un momento <math>{\frac{n<v>m\mu _{x}(z+l)}{6}}</math>. Ricordando che <math>{\frac{p}{t}}=F</math> possiamo dire che <math>P_{{zx}}=p</math> in quanto stiamo considerando l'unità di area e di tempo. Di conseguenza il trasporto netto di quantità di moto per unità di tempo e di superficie attraverso il piano è:<ref>Sviluppo di Taylor: <math>\mu _{x}(z\pm l)=\mu _{x}(z)\pm {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\cdot l</math></ref> <math>{\begin{aligned}P_{{zx}}&={\frac{n<v>m}{6}}(\mu _{x}(z-l)-\mu _{x}(z+l))\rightarrow l<<z\ {\mbox{sviluppo Taylor}}\rightarrow \\P_{{zx}}&={\frac{n<v>m}{6}}(-2{\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}})l\rightarrow \end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}P_{{zx}}&={\frac{-n<v>ml}{3}}{\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\\P_{{zx}}&=-\nu {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\nu &={\frac{n<v>ml}{3}}\\l&={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\\\nu &={\frac{m<v>}{3{\sqrt {2}}\sigma }}\end{aligned}}</math> Osserviamo che: * non dipende dalla densità (solo implicitamente per le ipotesi della teoria cinetica).L’indipendenza da n implica anche che, a parità di temperatura, η è indipendente anche dalla pressione. Questo risultato fu derivato per la prima volta da Maxwell nel 1860 e fu da lui confermato sperimentalmente. * <math><v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\rightarrow \nu \propto {\sqrt {T}}</math> Loschmidt sfrutta questo modello per stimare il numero di Avogadro: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\nu &={\frac{M}{3N_{a}\pi d^{2}}}{\sqrt {{\frac{8kT}{\pi M}}}}\rightarrow {\mbox{ M massa molare}}\\\rho &={\frac{M}{N_{a}d^{3}}}\end{cases}}\end{aligned}}</math> ottiene <math>N_{a}\approx 10\cdot 10^{{23}}</math> corretto nell'ordine di grandezza. Non c'è la correzione della sezione d'urto con <math>{\sqrt {2}}</math> perchè non ne era al corrente. Esempio: Stimiamo la viscosità dell'Azoto <math>N_{2}</math>. Sappiamo che: * <math><v>=460{\frac{m}{s}}</math> * <math>d=3\cdot 10^{{-8}}cm</math> <math>\nu ={\frac{1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-24}}g\cdot 4.6\cdot 10^{4}{\frac{cm}{s}}}{\pi \cdot \cdot 10^{{-16}}cm^{2}}}=1.78\cdot 10^{{-4}}{\frac{g}{cms}}</math> è coerente con il valore sperimentale. == Conducibilità termica == Conducibilità termica.jpg Consideriamo un gas disposto in strati ortogonali all'asse z verticale, in cui vi sia una differenza di temperatura tra lo strato superiore, mantenuto a temperatura <math>T_{2}</math>, e lo strato inferiore, mantenuto a temperatura <math>T_{1}<T_{2}</math>. In questo modo si ha un gradiente termico lungo l'asse z. Poichè in presenza di un gradiente di temperatura il calore fluisce dai punti a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore, finché non viene raggiunto l'equilibrio termico, possiamo scrivere <math>{\begin{aligned}Q_{z}=-k{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> Prendiamo un piano <math>z=cost</math>. Essendo il calore legato al trasporto di energia valutiamo il passaggio netto di <math><E_{k}>=<E_{k}(z)></math> attraverso il piano scelto. Analogamente a quanto fatto per il coefficiente di viscosità, sappiamo che mediamente <math>{\frac{n}{6}}</math> molecole per unità di volume attraversano il piano dall'alto verso il basso e altrettante dal basso verso l'alto, con rispettive energie cinetiche dall'ultima collisione <math><E_{k}(z+l)></math> ed <math><E_{k}(z-l)></math>. Si ha quindi: <math>{\begin{aligned}Q_{z}&={\frac{n<v>}{6}}(<E_{k}(z-l)>-<E_{k}(z+l)>)\rightarrow l<<z{\mbox{sviluppo Taylor}}\rightarrow \\Q_{z}&={\frac{-n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial z}}\\&={\frac{-n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial T}}{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> Confrontando questa espressione con <math>{\begin{aligned}Q_{z}&=-k{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> riconosciamo essere <math>{\begin{aligned}k&={\frac{n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial T}}\end{aligned}}</math> Essendo inoltre <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}c&={\frac{\partial E}{\partial T}}\\l&={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> si ha infine: <math>{\begin{aligned}k&={\frac{1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac{<v>}{\sigma }}c\end{aligned}}</math> Anche in questo caso non si ha dipendenza dalla densità e la dipendenza dalla temperatura è del tipo <math>k\propto {\sqrt {T}}</math>. Possiamo fare un'ulteriore considerazione mettendo a confronto le espressioni per il coefficiente di viscosità e di conducibilità termica. <math>{\begin{aligned}{\frac{k}{\nu }}&={\frac{c}{m}}\\{\frac{{\frac{k}{\nu }}}{{\frac{c}{m}}}}&=1\end{aligned}}</math> Questo avverrebbe se le previsioni della teoria cinetica fossero corrette. Tuttavia si trova <math>{\begin{aligned}1.3<{\frac{{\frac{k}{\nu }}}{{\frac{c}{m}}}}<2.5\end{aligned}}</math> Questo è dovuto alle approssimazioni eccessive introdotte, soprattutto per quanto riguarda la conducibilità termica. Si sono infatti sovrastimate le velocità usando solo la velocità media e si sono trascurati i fenomeni convettivi. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Coefficienti di trasporto]] pbbegyr9vkehxtrrpjgpdco346io829 500716 500642 2026-08-10T09:39:55Z Hippias 18281 500716 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Nel calcolo della pressione esercitata da un gas sulle pareti del suo contenitore la dimensione delle molecole costituenti il gas non entrava in gioco. In questa sezione esamineremo invece i fenomeni della viscosità e della conducibilità termica, i quali dipendono dalla dimensione delle molecole e dalle collisioni tra di esse. Il successo dell'applicazione della teoria cinetica a questi fenomeni fornisce storicamente una delle prime prove convincenti della sua validità, e di conseguenza dell'esistenza delle molecole. Nella teoria cinetica possiamo considerare diverse quantità "trasportate" dalle molecole, ciascuna delle quali è legata a uno dei cosiddetti coefficienti di trasporto: * trasporto di quantità di moto: coefficiente di viscosità; * trasporto di energia: coefficiente di conducibilità termica; * trasporto di materia (di densità): w coefficiente di diffusione. Il trasporto di queste quantità è strettamente legato agli urti tra le molecole, e la frequenza delle collisioni dipende dalle dimensioni delle molecole e dal loro numero per unità di volume. Prima di entrare nell'analisi dettagliata dei fenomeni introduciamo alcuni concetti fondamentali. La molecola, avente diametro <math>d</math>, viene pensata occupare un volume pari a <math>d^{3}</math>: non si entra nel dettaglio della forma. Con questa premessa la densità della molecola è approssimativamente <math>{\begin{aligned}\rho ={\frac{m}{N_{a}d^{3}}}\end{aligned}}</math> Conoscendo il numero di Avogadro è possibile stimare le dimensioni delle molecole, che risultano essere dell'ordine dell'Å. Viceversa se sono note le dimensioni delle molecole è possibile ricavare il numero di Avogadro. == Libero cammino medio == Il libero cammino medio è la distanza che una molecola percorre in media tra una collisione e l'altra, a temperatura fissata. Consideriamo una molecola che si muove in una regione in cui ci sono <math>n</math> molecole per unità di volume. Sia <math><v></math> la velocità media della molecola che stiamo considerando e <math>r</math> il suo raggio. Essa potrà collidere con un'altra molecola se i centri sono a distanza <math>2r=d</math>. Nel tempo <math>t</math> la molecola percorre una distanza <math><v>t</math> e urta con tutte le molecole che si trovano nel volume cilindrico <math>V=\pi d^{2}<v>t</math>. Il numero di molecole in questo volume è chiaramente <math>n\pi d^{2}<v>t</math>. La distanza totale percorsa diviso il numero di collisioni fornisce l'espressione per il libero cammino medio. <math>l={\frac{<v>t}{n\pi d^{2}<v>t}}={\frac{1}{n\pi d^{2}}}</math> è inversamente proporzionale alla densità == Sezione d'urto == La quantità <math>\sigma =\pi d^{2}</math> è detta sezione d'urto e rappresenta la dimensione del bersaglio. Essa può essere fisica (urto effettivo, bersaglio concreto) o non fisica (es: urto elettrico). Il cammino libero medio può essere riscritto tramite sezione d'urto come <math>l={\frac{1}{n\sigma }}</math> L'espressione corretta tuttavia è <math>l={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}</math> formula in cui si tiene conto anche della velocità relativa tra le particelle. Infatti se <math>v_{1},v_{2}</math> sono le velocità di due molecole, la loro velocità relativa è <math>v_{{rel}}=v_{1}-v_{2}</math>, e si ha <math>{\begin{aligned}v_{{rel}}^{2}&=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \theta \rightarrow \\<v_{{rel}}^{2}>&=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\end{aligned}}</math>. Se <math>v_{1}=v_{2}</math> come nel caso considerato <math>{\begin{aligned}<v_{{rel}}^{2}>&=2<v_{1}^{2}>\rightarrow \\<v_{{rel}}>&={\sqrt {2}}<v_{1}>\end{aligned}}</math> == Frequenza urti == <math>\nu ={\frac{<v>}{l}}</math> == Viscosità == Consideriamo un gas racchiuso tra due piatti. Scegliamo un piano <math>z=cost</math> tra questi due piatti. In condizioni stazionarie si ha che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}P_{{zz}}&=P\rightarrow {\mbox{forza per unit di area (pressione) nel piano z = cost lungo la componente z}}\\P_{{zx}}&=0\end{cases}}\end{aligned}}</math> Il piatto superiore viene messo in movimento verso destra con velocità <math>\mu _{0}</math> , mentre quello inferiore rimane fermo. Si osserva la formazione di un gradiente di velocità lungo l'asse <math>z</math>, la cui origine si pone in corrispondenza del piatto inferiore. Di fatto accade che il gas in prossimità del piatto superiore tende a seguire il movimento di questo con velocità <math>\mu _{0}</math>, mentre quello in prossimità del piatto in quiete tende a rimanere fermo. Non siamo più in equilibrio e non vale più che <math>P_{{zx}}=0</math>. Per effetto del gradiente di velocità <math>P_{{zx}}=-\nu {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}</math> Il coefficiente <math>\eta</math> è il coefficiente di viscosità. Quello che stiamo dicendo è che compare una forza per unità di superficie diretta lungo l'asse <math>x</math> e proporzionale al gradiente di velocità, che tende a ristabilire una condizione di velocità uniforme. Il fluido presenta quindi una sorta di attrito che viene chiamato viscosità. La teoria cinetica dà un'interpretazione microscopica del coefficiente di viscosità e ne valuta la dipendenza da altri parametri. Nelle ipotesi del modello cinetico: * il fluido è rarefatto; * <math>\mu _{0}<<<v></math>: la velocità del piatto (di conseguenza quella di deriva del gas,funzione di <math>z</math> ma chiaramente legata a <math>\mu _{0}</math>) è molto minore rispetto alla velocità media termica delle molecole. Qualitativamente possiamo legare il fenomeno della viscosità al trasporto di quantità di moto.Infatti se una molecola acquista per effetto del gradiente di velocità un momento, per agitazione termica cambia quota e si "ritermalizza" tramite urti, trasferendo il momento alle molecole partecipi delle collisioni. Sia <math>n</math> il numero di molecole per unità di volume e consideriamo il nostro piano <math>z=cost</math>. Per isotropia avremo che <math>{\frac{n}{6}}</math> delle molecole viaggeranno verso <math>+z</math> e quindi attraverseranno una unità di superficie del piano dal basso verso l'alto e altrettante verso <math>-z</math>, attraversando il piano dall'alto verso il basso. Dalla definizione di libero cammino medio si deduce che le molecole che attraversano il piano dal basso hanno avuto in media una collisione precedente a una distanza <math>l</math> al di sotto del piano. Analogamente quelle che attraversano il piano dall'alto hanno avuto una collisione a una distanza <math>l</math> al di sopra del piano. Al momento della collisione la velocità di deriva di tali particelle era rispettivamente <math>\mu _{x}(z-l)</math> e <math>\mu _{x}(z+l)</math>. Le molecole che viaggiano verso <math>+z</math> trasportano quindi attraverso il piano una quantità di moto <math>{\frac{n<v>m\mu _{x}(z-l)}{6}}</math>, mentre quelle che viaggiano verso <math>-z</math> trasportano un momento <math>{\frac{n<v>m\mu _{x}(z+l)}{6}}</math>. Ricordando che <math>{\frac{p}{t}}=F</math> possiamo dire che <math>P_{{zx}}=p</math> in quanto stiamo considerando l'unità di area e di tempo. Di conseguenza il trasporto netto di quantità di moto per unità di tempo e di superficie attraverso il piano è:<ref>Sviluppo di Taylor: <math>\mu _{x}(z\pm l)=\mu _{x}(z)\pm {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\cdot l</math></ref> <math>{\begin{aligned}P_{{zx}}&={\frac{n<v>m}{6}}(\mu _{x}(z-l)-\mu _{x}(z+l))\rightarrow l<<z\ {\mbox{sviluppo Taylor}}\rightarrow \\P_{{zx}}&={\frac{n<v>m}{6}}(-2{\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}})l\rightarrow \end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}P_{{zx}}&={\frac{-n<v>ml}{3}}{\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\\P_{{zx}}&=-\nu {\frac{\partial \mu _{x}}{\partial z}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\nu &={\frac{n<v>ml}{3}}\\l&={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\\\nu &={\frac{m<v>}{3{\sqrt {2}}\sigma }}\end{aligned}}</math> Osserviamo che: * non dipende dalla densità (solo implicitamente per le ipotesi della teoria cinetica). L'indipendenza da n implica anche che, a parità di temperatura, <math>\eta</math> è indipendente anche dalla pressione. Questo risultato fu derivato per la prima volta da Maxwell nel 1860 e fu da lui confermato sperimentalmente. * <math><v>={\sqrt {{\frac{8kT}{\pi m}}}}\rightarrow \nu \propto {\sqrt {T}}</math> Loschmidt sfrutta questo modello per stimare il numero di Avogadro: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\nu &={\frac{M}{3N_{a}\pi d^{2}}}{\sqrt {{\frac{8kT}{\pi M}}}}\rightarrow {\mbox{ M massa molare}}\\\rho &={\frac{M}{N_{a}d^{3}}}\end{cases}}\end{aligned}}</math> ottiene <math>N_{a}\approx 10\cdot 10^{{23}}</math> corretto nell'ordine di grandezza. Non c'è la correzione della sezione d'urto con <math>{\sqrt {2}}</math> perché non ne era al corrente. '''Esempio'''. Stimiamo la viscosità dell'Azoto <math>N_{2}</math>. Sappiamo che: * <math><v>=460{\frac{m}{s}}</math> * <math>d=3\cdot 10^{{-8}}cm</math> <math>\nu ={\frac{1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac{28\cdot 1.66\cdot 10^{{-24}}g\cdot 4.6\cdot 10^{4}{\frac{cm}{s}}}{\pi \cdot \cdot 10^{{-16}}cm^{2}}}=1.78\cdot 10^{{-4}}{\frac{g}{cms}}</math> è coerente con il valore sperimentale. == Conducibilità termica == Consideriamo un gas disposto in strati ortogonali all'asse <math>z</math> verticale, in cui vi sia una differenza di temperatura tra lo strato superiore, mantenuto a temperatura <math>T_{2}</math>, e lo strato inferiore, mantenuto a temperatura <math>T_{1}<T_{2}</math>. In questo modo si ha un gradiente termico lungo l'asse <math>z</math>. Poiché in presenza di un gradiente di temperatura il calore fluisce dai punti a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore, finché non viene raggiunto l'equilibrio termico, possiamo scrivere <math>{\begin{aligned}Q_{z}=-k{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> Prendiamo un piano <math>z=cost</math>. Essendo il calore legato al trasporto di energia valutiamo il passaggio netto di <math><E_{k}>=<E_{k}(z)></math> attraverso il piano scelto. Analogamente a quanto fatto per il coefficiente di viscosità, sappiamo che mediamente <math>{\frac{n}{6}}</math> molecole per unità di volume attraversano il piano dall'alto verso il basso e altrettante dal basso verso l'alto, con rispettive energie cinetiche dall'ultima collisione <math><E_{k}(z+l)></math> ed <math><E_{k}(z-l)></math>. Si ha quindi: <math>{\begin{aligned}Q_{z}&={\frac{n<v>}{6}}(<E_{k}(z-l)>-<E_{k}(z+l)>)\rightarrow l<<z{\mbox{sviluppo Taylor}}\rightarrow \\Q_{z}&={\frac{-n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial z}}\\&={\frac{-n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial T}}{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> Confrontando questa espressione con <math>{\begin{aligned}Q_{z}&=-k{\frac{\partial T}{\partial z}}\end{aligned}}</math> riconosciamo essere <math>{\begin{aligned}k&={\frac{n<v>l}{3}}{\frac{\partial E}{\partial T}}\end{aligned}}</math> Essendo inoltre <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}c&={\frac{\partial E}{\partial T}}\\l&={\frac{1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> si ha infine: <math>{\begin{aligned}k&={\frac{1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac{<v>}{\sigma }}c\end{aligned}}</math> Anche in questo caso non si ha dipendenza dalla densità e la dipendenza dalla temperatura è del tipo <math>k\propto {\sqrt {T}}</math>. Possiamo fare un'ulteriore considerazione mettendo a confronto le espressioni per il coefficiente di viscosità e di conducibilità termica. <math>{\begin{aligned}{\frac{k}{\nu }}&={\frac{c}{m}}\\{\frac{{\frac{k}{\nu }}}{{\frac{c}{m}}}}&=1\end{aligned}}</math> Questo avverrebbe se le previsioni della teoria cinetica fossero corrette. Tuttavia si trova <math>{\begin{aligned}1.3<{\frac{{\frac{k}{\nu }}}{{\frac{c}{m}}}}<2.5\end{aligned}}</math> Questo è dovuto alle approssimazioni eccessive introdotte, soprattutto per quanto riguarda la conducibilità termica. Si sono infatti sovrastimate le velocità usando solo la velocità media e si sono trascurati i fenomeni convettivi. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Coefficienti di trasporto]] f1t5jh5jvtnrd7w4ik0c648l6twenu7 0 60905 500643 2026-08-09T16:48:52Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073021/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Distribuzione_statistica_di_Boltzmann 500643 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La distribuzione di Maxwell-Boltzmann per le velocità e l'energia è un esempio particolare della distribuzione di Boltzmann. Tale distribuzione è una funzione di distribuzione per gli stati di un sistema, che rimane all'interno della meccanica statistica classica. La classicità del modello sta nel considerare le particelle identiche ma distinguibili. Consideriamo N particelle che formano un sistema di energia totale U. Se pensiamo di individuare r livelli di energia <math>E_{1},E_{2},...E_{r}</math>, potranno esserci <math>n_{1}</math> particelle nel livello di energia <math>E_{1}</math>, ossia caratterizzate da un'energia <math>E_{1}</math>, <math>n_{2}</math> particelle nel livello di energia <math>E_{2}</math> e così via. Chiaramente devono essere rispettati i vincoli che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}N&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}\\U&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}E_{i}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math>. La distribuzione delle particelle nei vari livelli di energia può cambiare, sebbene il numero totale di particelle e l'energia totale del sistema debbano rimanere costanti. Introduciamo un po' di terminologia. Un microstato del sistema è una configurazione specifica del sistema in cui si tiene presente e ha importanza la posizione di ciascuna particella nei livelli di energia. Per macrostato si intende una combinazione di variabili che descrivono tale sistema in maniera completa perché esso possa essere studiato da un punto di vista "macroscopico", cioè in modo tale che l'indagine del sistema venga svolta da un osservatore (reale o immaginario) posizionato rispetto al sistema ad una "distanza" tale da coglierne le caratteristiche globali anziché le caratteristiche delle singole particelle che compongono il sistema. Chiaramente microstati diversi possono corrispondere allo stesso macrostato. Se ad esempio prendiamo come variabili macroscopiche U ed N, tutte le possibili suddivisioni delle particelle nei livelli energetici che rispettino <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}N&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}\\U&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}E_{i}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> sono microstati che danno origine allo stesso macrostato. La domanda fondamentale che ci poniamo è se esiste una distribuzione più probabile delle particelle nei livelli energetici. Per far questo ci "avviciniamo un po'" e immaginiamo di poter vedere, oltre all'energia e al numero di particelle totale, anche la suddivisione nei livelli. Per evitare confusioni riportiamo il significato di microstato e macrostato nella situazione che stiamo analizzando, ricordando al lettore che il significato nell'uso futuro sarà quello qui specificato. * macrostato del sistema: U, N, <math>n_{i}\ in\ E_{i}</math> * microstati corrispondenti: tutte le configurazioni che danno come risultato U, N, <math>n_{i}inE_{i}</math>, tenendo presente che le particelle si considerano uguali ma distinguibili * Consideriamo il caso in cui U e N non cambiano: due macrostati si differenziano per la suddivisione delle molecole nei livelli energetici * due microstati si differenziano per le particelle che costituiscono la frazione <math>n_{i}</math> * La caratterizzazione del sistema tramite U e N è ora una sorta di "macro-macrostato". Abbiamo cambiato nomenclatura per rendere più chiara la formulazione del postulato seguente. La trattazione di Boltzmann si basa sul postulato fondamentale dell'equiprobabilità a priori: dato un sistema isolato in equilibrio, ogni microstato ha eguale probabilità di manifestarsi. Questo postulato è una premessa fondamentale in meccanica statistica. Stabilisce infatti che un sistema isolato in equilibrio non ha preferenze per nessuno dei suoi microstati possibili. Dati Ω microstati associati ad una particolare energia, la probabilità di trovare il sistema in un particolare microstato è dunque <math>P={\frac{1}{\Omega }}</math>. Questo postulato è necessario perché permette di concludere che per un sistema in equilibrio lo stato termodinamico che può risultare dal maggior numero di microstati è anche il macrostato più probabile del sistema. Per ottenere la probabilità di un macrostato, nell’ipotesi di equiprobabilità, è sufficiente contare il numero di modi in cui si può realizzare il macrostato, ossia a quanti microstati corrisponde. Per passare dal numero di modi alla probabilità, basta aggiungere una costante moltiplicativa che normalizza all’unità la somma di tutte le probabilità. Immaginiamo ora il riempimento dei livelli energetici. primo livello: esistono N modi per scegliere la prima componente del primo livello, N-1 modi per scegliere la seconda e così via fino a (<math>N-n_{1}+1</math>) modi per scegliere la <math>n_{1}</math> -esima componente. In totale il numero di modi per riempire il primo livello con <math>n_{1}</math> particelle sembrerebbe essere <math>{\begin{aligned}N(N-1)(N-2)\dots (N-n_{1}+1)&={\frac{N(N-1)(N-2)\dots 1}{(N-n_{1})(N-n_{1}-1)\dots 1}}\\&={\frac{N!}{(N-n_{1})!}}\end{aligned}}</math> Le particelle classiche sono però identiche ma distinguibili. Dunque nel contare i modi possibili di costruire il macrostato si sono considerati diversi il caso in cui si mette prima la particella ‘a’ e poi la particella ‘b’ e il caso in cui si mette prima la particella ‘b’ e poi la particella ‘a’. In realtà non devono essere considerati come due modi distinti perché ai fini dell’energia conta solo che le due particelle si trovino nel primo livello. Si è quindi sovrastimata la probabilità: si deve dividere ancora per il numero di modi in cui si possono ordinare le <math>n_{1}</math> particelle. Tale numero è il numero di permutazioni di <math>n_{1}</math> oggetti, pari a <math>n_{1}!</math>. La probabilità del macrostato <math>E_{1}</math> con <math>n_{1}</math> particelle è quindi data da: <math>{\begin{aligned}P_{1}&={\frac{N!}{(N-n_{1})!(n_{1})!}}\\&={\binom {N}{n_{1}}}\end{aligned}}</math> secondo livello: Ripetendo il ragionamento fatto per il primo livello, si trova che esistono <math>(N-n_{1})</math> modi per scegliere la prima componente, <math>(N-n_{1}-1)</math> modi per scegliere la seconda, <math>(N-n_{1}-n_{2}+1)</math> modi per scegliere la <math>n_{2}</math> -esima e ultima componente. In ultima si ha <math>{\begin{aligned}P_{1}&={\frac{N-n_{1}}{(N-n_{1}-n_{2})!(n_{2})!}}\\&={\binom {N-n_{1}}{n_{2}}}\end{aligned}}</math> Concludendo, il numero complessivo di modi di riempimento di tutti i livelli (che è proporzionale alla probabilità di un certo macrostato) è il prodotto di questi modi di riempimento dei vari livelli: <math>{\begin{aligned}W&={\mbox{numero modi}}\\&={\frac{N!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{r}!}}\end{aligned}}</math> Notare che questa quantità è pari al numero di permutazioni con ripetizione di N oggetti tra cui <math>n_{1}</math> sono uguali tra loro, <math>n_{2}</math> sono uguali tra loro, ..., <math>n_{r}</math> sono uguali fra loro. Micro macro stati2.png A questo punto si può rispondere alla domanda "Dato un sistema ad energia U con N particelle qual è la probabilità che una particella si trovi nel livello <math>E_{1}</math>? " . Ragionando sull'esempio illustrato in figura, dove vengono rappresentati 3 macrostati differenti, ciascuno con un numero diverso di modi in cui può presentarsi, vediamo che <math>{\begin{aligned}P(E=E_{1})&={\frac{4\cdot 5+3\cdot 20+2\cdot 10}{35}}\\&={\frac{\sum _{{macrostati}}n_{i}\cdot {\mbox{numero microstati}}}{{\mbox{microstati tot}}}}\\&={\frac{\sum _{{macrostati}}n_{i}\cdot {\mbox{ numero microstati}}}{\sum _{{macrostati}}{\mbox{numero microstati}}}}\end{aligned}}</math> Graficando la probabilità per una particella di trovarsi nei vari livelli energetici si ottiene una curva esponenziale decrescente, che dà un'idea della forma della distribuzione di Boltzmann. Per ricavarla rigorosamente occorre invece massimizzare la funzione <math>W</math>, o il suo logaritmo. In ogni caso si ottiene : <math>{\begin{aligned}f_{{mb}}&=Ce^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\rightarrow {\mbox{fattore di Maxwell Boltzmann}}\end{aligned}}</math> dove C è la costante di normalizzazione. <math>{\begin{aligned}\sum _{{i}}f_{{mb}}&=1\rightarrow \\\sum _{{i}}Ce^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}&=1\rightarrow \\C={\frac{1}{\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}}\end{aligned}}</math> Dunque si ha: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f_{{mb}}&={\frac{e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}}\\Z&=\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\rightarrow {\mbox{funzione di partizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Il fattore di Maxwell-Boltzmann esprime la probabilità di trovare una particella in un livello energetico. Se ho N particelle e voglio sapere la probabilità di trovare <math>n_{i}</math> particelle nel livello energetico <math>E_{i}</math> basta moltiplicare per N: <math>{\begin{aligned}n_{i}=N{\frac{e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{Z}}\end{aligned}}</math> Osservazioni: * i livelli energetici ad energia minore sono i più popolati. All'aumentare della temperatura si popolano anche i livelli di energia maggiore. * Data la funzione di partizione <math>Z</math> si possono ricavare le proprietà macroscopiche del sistema. == Correzione postulato di equiprobabilità == Se voglio introdurre la possibilità che i livelli energetici non siano equiprobabili basta inserire un fattore di peso statistico <math>g_{i}</math><ref>Il peso statistico <math>g_{i}</math> rappresenta il numero di stati quantici aventi lo stesso valore di energia <math>E_{i}</math>.</ref> che distingua probabilisticamente i livelli <math>E_{i}</math>. <math>{\begin{aligned}n_{i}&=N{\frac{g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{Z}}\\Z&=\sum _{{i}}g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\end{aligned}}</math> Vediamo, come preannunciato nelle osservazioni, come ricavare le proprietà macroscopiche dalla funzione di partizione <math>Z</math> del sistema Energia interna <math>{\begin{aligned}U&=\sum _{i}n_{i}E_{i}{\mbox{vincolo}}\\&={\frac{N}{Z}}\sum _{i}(g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}})E_{i}\\&={\frac{N}{Z}}kT^{2}{\frac{d\sum _{i}(g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}})}{dT}}\\&={\frac{N}{Z}}kT^{2}{\frac{dZ}{dT}}\rightarrow \end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}U&=NkT^{2}{\frac{d\ln Z}{dT}}\end{aligned}}</math> Energia media per particella <math>{\begin{aligned}<E>&={\frac{U}{N}}\\&=kT^{2}{\frac{d\ln Z}{dT}}\end{aligned}}</math> Nel caso limite in cui E è continuo l'espressione finale per il numero di particelle aventi energia compresa tra <math>E</math> ed <math>E+dE</math> è: <math>{\begin{aligned}n(E)dE=(2\pi N({\frac{1}{\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\sqrt E})e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math> dove il termine tra parentesi indica il peso <math>g_{i}</math>, mentre il termine esponenziale è il fattore di Boltzmann nel caso considerato. == Esempio di distribuzione di Boltzmann: legge dell'atmosfera == Consideriamo un gas ideale in un campo gravitazionale uniforme. Questo può essere un buon modello per i gas costituenti l'atmosfera nel campo gravitazionale terrestre. Vogliamo ricavare la dipendenza della densità del gas dalla distanza dal suolo. Prendiamo come sistema di riferimento l'asse z, orientato verso l'alto, e supponiamo che il gas sia descritto dai seguenti parametri: * m = massa di una molecola; * <math>n={\frac{N}{V}}</math> = numero di molecole per unità di volume. Chiaramente è proporzionale alla densità. Vogliamo ricavare la legge <math>{\frac{dn}{dz}}</math> che rappresenta la variazione della densità in funzione della quota. Prendiamo una colonna di gas di altezza <math>z</math>. Tale colonna esercita una forza per unità di area (ossia una pressione) pari a <math>p=-nmgz</math> dove il segno meno è dovuto al fatto che affinché ci sia equilibrio la forza peso deve essere uguale e opposta alla forza esercitata dalla colonna di gas. La legge di variazione per la pressione è dunque <math>{\frac{dp}{dz}}=-mgn</math>. Sfruttando l'equazione di stato dei gas perfetti <math>{\begin{aligned}pV&=nkT\rightarrow \\n&={\frac{P}{kT}}\rightarrow \\{\frac{dn}{dp}}&={\frac{1}{kT}}\end{aligned}}</math> Con un piccolo artificio scriviamo <math>{\begin{aligned}{\frac{dn}{dz}}&={\frac{dn}{dp}}\cdot {\frac{dp}{dz}}\\&={\frac{-mgn}{kT}}\rightarrow {\mbox{separazione variabili}}\\{\frac{dn}{n}}={\frac{-mgdz}{kT}}\rightarrow \\n=n_{0}e^{{{\frac{-mgz}{kT}}}}\end{aligned}}</math> Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo: ricavare l'andamento della densità in funzione della quota. Possiamo notare che tale andamento segue la distribuzione di Boltzmann: è presente il fattore di Boltzmann <math>e^{{{\frac{-mgz}{kT}}}}</math>, che dimensionalmente rappresenta un'energia. Questo è coerente con il fatto che a quote diverse corrispondono energie potenziali diverse. La stessa legge si può ricavare anche per la pressione. Il fisico Perrin esegue una verifica sperimentale della legge dell'atmosfera che gli consente inoltre di ricavare in modo preciso il valore del numero di Avogadro. Egli utilizza un recipiente d'acqua con particelle in sospensione, costituite da una resina particolare di densità poco superiore a quella dell'acqua, di modo da avere una sedimentazione lenta e poter osservare nel tempo la distribuzione delle particelle alle diverse quote. Le dimensioni delle particelle, all'incirca uguali, si aggirano intorno al micron. Tenendo conto della spinta di Archimede verifica la forma funzionale della legge <math>{\begin{aligned}n&=n_{0}e^{{{\frac{-mg(\rho _{{particelle}}-\rho _{{fluido}})z}{\rho _{{particelle}}kT}}}}\\&=n_{0}e^{{{\frac{-mgN_{a}(\rho _{{particelle}}-\rho _{{fluido}})z}{\rho _{{particelle}}RT}}}}\end{aligned}}</math> da cui ricava la costante <math>N_{a}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione statistica di Boltzmann]] 1niu91hzwquy2kpzfg3rah9fgomgyer 500717 500643 2026-08-10T09:50:21Z Hippias 18281 500717 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La distribuzione di Maxwell-Boltzmann per le velocità e l'energia è un esempio particolare della distribuzione di Boltzmann. Tale distribuzione è una funzione di distribuzione per gli stati di un sistema, che rimane all'interno della meccanica statistica classica. La classicità del modello sta nel considerare le particelle identiche ma distinguibili. Consideriamo <math>N</math> particelle che formano un sistema di energia totale <math>U</math>. Se pensiamo di individuare <math>r</math> livelli di energia <math>E_{1},E_{2},...E_{r}</math>, potranno esserci <math>n_{1}</math> particelle nel livello di energia <math>E_{1}</math>, ossia caratterizzate da un'energia <math>E_{1}</math>, <math>n_{2}</math> particelle nel livello di energia <math>E_{2}</math> e così via. Chiaramente devono essere rispettati i vincoli che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}N&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}\\U&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}E_{i}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> La distribuzione delle particelle nei vari livelli di energia può cambiare, sebbene il numero totale di particelle e l'energia totale del sistema debbano rimanere costanti. Introduciamo un po' di terminologia. Un microstato del sistema è una configurazione specifica del sistema in cui si tiene presente e ha importanza la posizione di ciascuna particella nei livelli di energia. Per macrostato si intende una combinazione di variabili che descrivono tale sistema in maniera completa perché esso possa essere studiato da un punto di vista "macroscopico", cioè in modo tale che l'indagine del sistema venga svolta da un osservatore (reale o immaginario) posizionato rispetto al sistema a una "distanza" tale da coglierne le caratteristiche globali anziché le caratteristiche delle singole particelle che compongono il sistema. Chiaramente microstati diversi possono corrispondere allo stesso macrostato. Se ad esempio prendiamo come variabili macroscopiche <math>U</math> ed <math>N</math>, tutte le possibili suddivisioni delle particelle nei livelli energetici che rispettino <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}N&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}\\U&=\sum _{{i=1}}^{r}n_{i}E_{i}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> sono microstati che danno origine allo stesso macrostato. La domanda fondamentale che ci poniamo è se esiste una distribuzione più probabile delle particelle nei livelli energetici. Per far questo ci "avviciniamo un po'" e immaginiamo di poter vedere, oltre all'energia e al numero di particelle totale, anche la suddivisione nei livelli. Per evitare confusioni riportiamo il significato di microstato e macrostato nella situazione che stiamo analizzando, ricordando al lettore che il significato nell'uso futuro sarà quello qui specificato. * Macrostato del sistema: <math>U</math>, <math>N</math>, <math>n_{i}\ in\ E_{i}</math>. * Microstati corrispondenti: tutte le configurazioni che danno come risultato U, N, <math>n_{i}inE_{i}</math>, tenendo presente che le particelle si considerano uguali ma distinguibili. * Consideriamo il caso in cui <math>U</math> e <math>N</math> non cambiano: due macrostati si differenziano per la suddivisione delle molecole nei livelli energetici. * due microstati si differenziano per le particelle che costituiscono la frazione <math>n_{i}</math>. * La caratterizzazione del sistema tramite <math>U</math> e <math>N</math> è ora una sorta di "macro-macrostato". Abbiamo cambiato nomenclatura per rendere più chiara la formulazione del postulato seguente. La trattazione di Boltzmann si basa sul postulato fondamentale dell'equiprobabilità a priori: dato un sistema isolato in equilibrio, ogni microstato ha eguale probabilità di manifestarsi. Questo postulato è una premessa fondamentale in meccanica statistica. Stabilisce infatti che un sistema isolato in equilibrio non ha preferenze per nessuno dei suoi microstati possibili. Dati <math>\Omega</math> microstati associati a una particolare energia, la probabilità di trovare il sistema in un particolare microstato è dunque <math>P={\frac{1}{\Omega }}</math>. Questo postulato è necessario perché permette di concludere che per un sistema in equilibrio lo stato termodinamico che può risultare dal maggior numero di microstati è anche il macrostato più probabile del sistema. Per ottenere la probabilità di un macrostato, nell’ipotesi di equiprobabilità, è sufficiente contare il numero di modi in cui si può realizzare il macrostato, ossia a quanti microstati corrisponde. Per passare dal numero di modi alla probabilità, basta aggiungere una costante moltiplicativa che normalizza all’unità la somma di tutte le probabilità. Immaginiamo ora il riempimento dei livelli energetici. '''Primo livello''': esistono <math>N</math> modi per scegliere la prima componente del primo livello, <math>N-1</math> modi per scegliere la seconda e così via fino a (<math>N-n_{1}+1</math>) modi per scegliere la <math>n_{1}</math>-esima componente. In totale il numero di modi per riempire il primo livello con <math>n_{1}</math> particelle sembrerebbe essere <math>{\begin{aligned}N(N-1)(N-2)\dots (N-n_{1}+1)&={\frac{N(N-1)(N-2)\dots 1}{(N-n_{1})(N-n_{1}-1)\dots 1}}\\&={\frac{N!}{(N-n_{1})!}}\end{aligned}}</math> Le particelle classiche sono però identiche ma distinguibili. Dunque nel contare i modi possibili di costruire il macrostato si sono considerati diversi il caso in cui si mette prima la particella ‘a’ e poi la particella ‘b’ e il caso in cui si mette prima la particella ‘b’ e poi la particella ‘a’. In realtà non devono essere considerati come due modi distinti perché ai fini dell’energia conta solo che le due particelle si trovino nel primo livello. Si è quindi sovrastimata la probabilità: si deve dividere ancora per il numero di modi in cui si possono ordinare le <math>n_{1}</math> particelle. Tale numero è il numero di permutazioni di <math>n_{1}</math> oggetti, pari a <math>n_{1}!</math>. La probabilità del macrostato <math>E_{1}</math> con <math>n_{1}</math> particelle è quindi data da: <math>{\begin{aligned}P_{1}&={\frac{N!}{(N-n_{1})!(n_{1})!}}\\&={\binom {N}{n_{1}}}\end{aligned}}</math> '''Secondo livello''': ripetendo il ragionamento fatto per il primo livello, si trova che esistono <math>(N-n_{1})</math> modi per scegliere la prima componente, <math>(N-n_{1}-1)</math> modi per scegliere la seconda, <math>(N-n_{1}-n_{2}+1)</math> modi per scegliere la <math>n_{2}</math> -esima e ultima componente. In ultima si ha <math>{\begin{aligned}P_{1}&={\frac{N-n_{1}}{(N-n_{1}-n_{2})!(n_{2})!}}\\&={\binom {N-n_{1}}{n_{2}}}\end{aligned}}</math> Concludendo, il numero complessivo di modi di riempimento di tutti i livelli (che è proporzionale alla probabilità di un certo macrostato) è il prodotto di questi modi di riempimento dei vari livelli: <math>{\begin{aligned}W&={\mbox{numero modi}}\\&={\frac{N!}{n_{1}!n_{2}!\dots n_{r}!}}\end{aligned}}</math> Notare che questa quantità è pari al numero di permutazioni con ripetizione di N oggetti tra cui <math>n_{1}</math> sono uguali tra loro, <math>n_{2}</math> sono uguali tra loro, ..., <math>n_{r}</math> sono uguali fra loro. A questo punto si può rispondere alla domanda "Dato un sistema ad energia <math>U</math> con <math>N</math> particelle qual è la probabilità che una particella si trovi nel livello <math>E_{1}</math>?". Ragionando sull'esempio illustrato in figura, dove vengono rappresentati 3 macrostati differenti, ciascuno con un numero diverso di modi in cui può presentarsi, vediamo che <math>{\begin{aligned}P(E=E_{1})&={\frac{4\cdot 5+3\cdot 20+2\cdot 10}{35}}\\&={\frac{\sum _{{macrostati}}n_{i}\cdot {\mbox{numero microstati}}}{{\mbox{microstati tot}}}}\\&={\frac{\sum _{{macrostati}}n_{i}\cdot {\mbox{ numero microstati}}}{\sum _{{macrostati}}{\mbox{numero microstati}}}}\end{aligned}}</math> Graficando la probabilità per una particella di trovarsi nei vari livelli energetici si ottiene una curva esponenziale decrescente, che dà un'idea della forma della distribuzione di Boltzmann. Per ricavarla rigorosamente occorre invece massimizzare la funzione <math>W</math>, o il suo logaritmo. In ogni caso si ottiene: <math>{\begin{aligned}f_{{mb}}&=Ce^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\rightarrow {\mbox{fattore di Maxwell Boltzmann}}\end{aligned}}</math> dove <math>C</math> è la costante di normalizzazione. <math>{\begin{aligned}\sum _{{i}}f_{{mb}}&=1\rightarrow \\\sum _{{i}}Ce^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}&=1\rightarrow \\C={\frac{1}{\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}}\end{aligned}}</math> Dunque si ha: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}f_{{mb}}&={\frac{e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}}\\Z&=\sum _{{i}}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\rightarrow {\mbox{funzione di partizione}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Il fattore di Maxwell-Boltzmann esprime la probabilità di trovare una particella in un livello energetico. Se ho <math>N</math> particelle e voglio sapere la probabilità di trovare <math>n_{i}</math> particelle nel livello energetico <math>E_{i}</math> basta moltiplicare per <math>N</math>: <math>{\begin{aligned}n_{i}=N{\frac{e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{Z}}\end{aligned}}</math> === Osservazioni === * I livelli energetici ad energia minore sono i più popolati. All'aumentare della temperatura si popolano anche i livelli di energia maggiore. * Data la funzione di partizione <math>Z</math> si possono ricavare le proprietà macroscopiche del sistema. == Correzione postulato di equiprobabilità == Se voglio introdurre la possibilità che i livelli energetici non siano equiprobabili basta inserire un fattore di peso statistico <math>g_{i}</math><ref>Il peso statistico <math>g_{i}</math> rappresenta il numero di stati quantici aventi lo stesso valore di energia <math>E_{i}</math>.</ref> che distingua probabilisticamente i livelli <math>E_{i}</math>. <math>{\begin{aligned}n_{i}&=N{\frac{g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}}{Z}}\\Z&=\sum _{{i}}g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}}\end{aligned}}</math> Vediamo, come preannunciato nelle osservazioni, come ricavare le proprietà macroscopiche dalla funzione di partizione <math>Z</math> del sistema. '''Energia interna''': <math>{\begin{aligned}U&=\sum _{i}n_{i}E_{i}{\mbox{vincolo}}\\&={\frac{N}{Z}}\sum _{i}(g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}})E_{i}\\&={\frac{N}{Z}}kT^{2}{\frac{d\sum _{i}(g_{i}e^{{{\frac{-E_{i}}{kT}}}})}{dT}}\\&={\frac{N}{Z}}kT^{2}{\frac{dZ}{dT}}\rightarrow \end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}U&=NkT^{2}{\frac{d\ln Z}{dT}}\end{aligned}}</math> '''Energia media per particella''': <math>{\begin{aligned}<E>&={\frac{U}{N}}\\&=kT^{2}{\frac{d\ln Z}{dT}}\end{aligned}}</math> Nel caso limite in cui E è continuo l'espressione finale per il numero di particelle aventi energia compresa tra <math>E</math> ed <math>E+dE</math> è: <math>{\begin{aligned}n(E)dE=(2\pi N({\frac{1}{\pi kT}})^{{{\frac{3}{2}}}}{\sqrt E})e^{{{\frac{-E}{kT}}}}dE\end{aligned}}</math> dove il termine tra parentesi indica il peso <math>g_{i}</math>, mentre il termine esponenziale è il fattore di Boltzmann nel caso considerato. == Esempio di distribuzione di Boltzmann: legge dell'atmosfera == Consideriamo un gas ideale in un campo gravitazionale uniforme. Questo può essere un buon modello per i gas costituenti l'atmosfera nel campo gravitazionale terrestre. Vogliamo ricavare la dipendenza della densità del gas dalla distanza dal suolo. Prendiamo come sistema di riferimento l'asse z, orientato verso l'alto, e supponiamo che il gas sia descritto dai seguenti parametri: * <math>m</math> = massa di una molecola; * <math>n={\frac{N}{V}}</math> = numero di molecole per unità di volume. Chiaramente è proporzionale alla densità. Vogliamo ricavare la legge <math>{\frac{dn}{dz}}</math> che rappresenta la variazione della densità in funzione della quota. Prendiamo una colonna di gas di altezza <math>z</math>. Tale colonna esercita una forza per unità di area (ossia una pressione) pari a <math>p=-nmgz</math> dove il segno meno è dovuto al fatto che affinché ci sia equilibrio la forza peso deve essere uguale e opposta alla forza esercitata dalla colonna di gas. La legge di variazione per la pressione è dunque <math>{\frac{dp}{dz}}=-mgn</math>. Sfruttando l'equazione di stato dei gas perfetti <math>{\begin{aligned}pV&=nkT\rightarrow \\n&={\frac{P}{kT}}\rightarrow \\{\frac{dn}{dp}}&={\frac{1}{kT}}\end{aligned}}</math> Con un piccolo artificio scriviamo <math>{\begin{aligned}{\frac{dn}{dz}}&={\frac{dn}{dp}}\cdot {\frac{dp}{dz}}\\&={\frac{-mgn}{kT}}\rightarrow {\mbox{separazione variabili}}\\{\frac{dn}{n}}={\frac{-mgdz}{kT}}\rightarrow \\n=n_{0}e^{{{\frac{-mgz}{kT}}}}\end{aligned}}</math> Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo: ricavare l'andamento della densità in funzione della quota. Possiamo notare che tale andamento segue la distribuzione di Boltzmann: è presente il fattore di Boltzmann <math>e^{{{\frac{-mgz}{kT}}}}</math>, che dimensionalmente rappresenta un'energia. Questo è coerente con il fatto che a quote diverse corrispondono energie potenziali diverse. La stessa legge si può ricavare anche per la pressione. Il fisico Perrin esegue una verifica sperimentale della legge dell'atmosfera che gli consente inoltre di ricavare in modo preciso il valore del numero di Avogadro. Egli utilizza un recipiente d'acqua con particelle in sospensione, costituite da una resina particolare di densità poco superiore a quella dell'acqua, di modo da avere una sedimentazione lenta e poter osservare nel tempo la distribuzione delle particelle alle diverse quote. Le dimensioni delle particelle, all'incirca uguali, si aggirano intorno al micron. Tenendo conto della spinta di Archimede verifica la forma funzionale della legge <math>{\begin{aligned}n&=n_{0}e^{{{\frac{-mg(\rho _{{particelle}}-\rho _{{fluido}})z}{\rho _{{particelle}}kT}}}}\\&=n_{0}e^{{{\frac{-mgN_{a}(\rho _{{particelle}}-\rho _{{fluido}})z}{\rho _{{particelle}}RT}}}}\end{aligned}}</math> da cui ricava la costante <math>N_{a}</math> == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Distribuzione statistica di Boltzmann]] 125aqabp2o979lugszzk3x5uo61glco 0 60906 500644 2026-08-09T16:49:34Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073017/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_della_carica 500644 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'idea che anche la carica elettrica sia in realtà costituita da particelle (atomicità della carica) inizia a svilupparsi sulla base di diverse evidenze sperimentali. Una prima evidenza è la legge dell'elettrolisi di faraday: la massa di una sostanza prodotta in corrispondenza di un elettrodo durante l'elettrolisi è direttamente proporzionale alla quantità di carica trasferita a quell'elettrodo. Questo porta a pensare che sia la materia che l'elettricità siano costituite da unità elementari che preservano la loro identità durante il processo. Ulteriori evidenze a supporto dell'idea di atomicità della carica sono legate allo studio del passaggio dell'elettricità attraverso i gas. In opportune condizioni il passaggio di elettricità attraverso un gas genera scariche elettriche. Un esempio molto comune sono i fulmini, scariche attraverso l'aria. In queste esperienze un ruolo importante è svolto dalla pressione del gas in esame. Per questo motivo l'apparato sperimentale utilizzato è del tipo illustrato in figura. Crookes.gif Tale dispositivo è detto tubo di crookes ed è costituito da * un tubo di vetro collegabile ad una pompa a vuoto. * una croce di malta, che ha la funzione di "oggetto" * un dispositivo per generare una differenza di potenziale Questo dispositivo consente di variare tramite la pompa a vuoto la pressione all'interno del tubo. Quando la pressione è quella atmosferica è necessario un campo molto intenso (<math>3\cdot 10^{{6}}{\frac{V}{m}}</math>)per generare una scarica. Diminuendo la pressione l'intensità di campo necessaria diminuisce, finché, a pressioni molto basse, aumenta di nuovo. La stessa natura delle scariche che vengono a formarsi all'interno del tubo cambia a seconda della pressione. In particolare a pressioni basse anche il vetro che costituisce le pareti del tubo diventa luminescente. In questo modo si osserva che interponendo un oggetto tra gli elettrodi esso produce un'ombra sulla pareti del tubo. Inizia allora ad affiorare l'idea che responsabili della luminescenza siano raggi, che non riescono però a penetrare l'oggetto interposto. Tali raggi vengono chiamati raggi catodici e il loro studio porta alla scoperta di importanti proprietà della carica elettrica. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpuscolarità della carica]] lmn6camimqjm8ry8lrympos08ixusmz 500718 500644 2026-08-10T09:54:31Z Hippias 18281 500718 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'idea che anche la carica elettrica sia in realtà costituita da particelle (atomicità della carica) inizia a svilupparsi sulla base di diverse evidenze sperimentali. Una prima evidenza è la legge dell'elettrolisi di Faraday: la massa di una sostanza prodotta in corrispondenza di un elettrodo durante l'elettrolisi è direttamente proporzionale alla quantità di carica trasferita a quell'elettrodo. Questo porta a pensare che sia la materia che l'elettricità siano costituite da unità elementari che preservano la loro identità durante il processo. Ulteriori evidenze a supporto dell'idea di atomicità della carica sono legate allo studio del passaggio dell'elettricità attraverso i gas. In opportune condizioni il passaggio di elettricità attraverso un gas genera scariche elettriche. Un esempio molto comune sono i fulmini, scariche attraverso l'aria. In queste esperienze un ruolo importante è svolto dalla pressione del gas in esame. Per questo motivo l'apparato sperimentale utilizzato è del tipo illustrato in figura. [[File:CrookesTube.svg|center|400px]] Tale dispositivo è detto tubo di crookes ed è costituito da * un tubo di vetro collegabile ad una pompa a vuoto; * una croce di Malta, che ha la funzione di "oggetto"; * un dispositivo per generare una differenza di potenziale. Questo dispositivo consente di variare tramite la pompa a vuoto la pressione all'interno del tubo. Quando la pressione è quella atmosferica è necessario un campo molto intenso (<math>3\cdot 10^{{6}}{\frac{V}{m}}</math>)per generare una scarica. Diminuendo la pressione l'intensità di campo necessaria diminuisce, finché, a pressioni molto basse, aumenta di nuovo. La stessa natura delle scariche che vengono a formarsi all'interno del tubo cambia a seconda della pressione. In particolare a pressioni basse anche il vetro che costituisce le pareti del tubo diventa luminescente. In questo modo si osserva che interponendo un oggetto tra gli elettrodi esso produce un'ombra sulla pareti del tubo. Inizia allora ad affiorare l'idea che responsabili della luminescenza siano raggi, che non riescono però a penetrare l'oggetto interposto. Tali raggi vengono chiamati raggi catodici e il loro studio porta alla scoperta di importanti proprietà della carica elettrica. {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpuscolarità della carica]] 7q2gh7olfslv4bt8y7rusp5r8wkrwra 0 60907 500645 2026-08-09T16:50:20Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073027/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Thomson 500645 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Alla fine del XIX secolo Thomson si dedica ad uno studio sistematico dei raggi catodici, osservando che: * i raggi vengono deviati da campi elettrici e magnetici. Questo porta alla conclusione che siano costituiti da particelle cariche. Dalla direzione di deviazione può inoltre concludere che sono particelle cariche negativamente. * cambiando tipo di gas nel tubo il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> è costante e identico nei vari casi, dunque le particelle cariche dei raggi catodici sono comuni alle varie specie. Thompson riesce inoltre a determinare il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> di tali particelle. Illustriamo nel dettaglio l'esperimento che porta a questo risultato. == Apparato sperimentale == Tubo di thomson.jpg Presentiamo anche una schematizzazione della strumentazione con la nomenclatura utilizzata nei calcoli che seguiranno. Schemathoms.jpg Il campo E è noto perchè lo sperimentatore imposta il potenziale e la distanza tra le armature, d, è nota: <math>E={\frac{V}{d}}</math> == Procedimento == Prima di entrare nella regione di campo elettrico le condizioni del fascio sono: <math>{\begin{aligned}v_{x}=cost\end{aligned}}</math> All'ingresso nella regione di campo , supponendo il fascio essere composto di particelle di massa m e carica q, esse risentono dell'accelerazione: <math>{\begin{aligned}a_{y}={\frac{qE}{m}}\end{aligned}}</math> Il moto risultante è dunque parabolico ed ha equazione: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y&={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}t^{2}\\t&={\frac{x}{v_{x}}}\\\end{cases}}\rightarrow y={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}{{\frac{x}{v_{x}}}}^{2}\end{aligned}}</math> All'uscita dalla regione di campo elettrico la deviazione lungo l'asse y è dunque <math>{\begin{aligned}y|_{{x=L}}&=y_{1}\\&={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}{{\frac{L}{v_{x}}}}^{2}\end{aligned}}</math> Il raggi successivamente proseguono in linea retta, inclinati con un angolo \theta rispetto all'orizzontale. Osservando la figura è chiaro che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y_{2}&=D\tan \theta \\\tan \theta &={\frac{dy}{dx}}|_{{x=L}}\\&={\frac{qE}{m}}{\frac{x}{v_{x}^{2}}}|_{{x=L}}\\\end{cases}}\rightarrow y_{2}={\frac{DqEL}{mv_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=y_{{tot}}\\&={\frac{qE}{m}}{\frac{L}{v_{x}^{2}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> Per determinare <math>v_{x}</math> Thomson utilizza un campo magnetico B ortogonale al campo elettrico E. Variando il campo B appropriatamente egli riesce a bilanciare gli effetti del campo elettrico annullando la deviazione. <math>{\begin{aligned}qv_{x}B=qE\rightarrow \\v_{x}={\frac{E}{B}}\end{aligned}}</math> in questo modo l'unica incognita è il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math>, che risulta essere: <math>{\begin{aligned}{\frac{q}{m}}&={\frac{E}{B^{2}}}{\frac{y_{t}ot}{L({\frac{L}{2}}+D)}}\\&=1.7\cdot 10^{{11}}{\frac{C}{Kg}}\end{aligned}}</math> Il valore oggi accertato è: <math>{\begin{aligned}{\frac{e}{m}}=1.758803\cdot 10^{{11}}{\frac{C}{Kg}}\end{aligned}}</math> Osservazione E' necessaria una precisazione. Una particella carica in un campo elettrico compie una traiettoria parabolica, mentre una particella carica in un campo magnetico ha traiettoria circolare. Com'è possibile dunque che i due effetti si bilancino? Questa approssimazione è valida se il tratto di circonferenza si può pensare come tratto parabolico. Consideriamo l'effetto del solo campo magnetico B. Da <math>qv_{x}B=m{\frac{v_{x}^{2}}{R}}</math> segue che il raggio di curvatura della traiettoria circolare dovuta a B è: <math>{\begin{aligned}R={\frac{mv_{x}}{qB}}\end{aligned}}</math> L'equazione del moto circolare è allora: <math>{\begin{aligned}x^{2}+(R+y)^{2}=R^{2}\\x^{2}+y^{2}+2Ry=0\\R=-{\frac{x^{2}+y^{2}}{2y}}\end{aligned}}</math> L'approssimazione di Thompson è <math>R\approx {\frac{-x^{2}}{2y}}</math>, che vale se <math>y^{2}<<x^{2}</math>, cioè se la deviazione lungo y è molto minore della distanza percorsa lungo x. In tal caso : <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}R={\frac{mv_{x}}{qB}}\\R\approx {\frac{-x^{2}}{2y}}\\\end{cases}}\rightarrow y={\frac{-qBx^{2}}{2mv_{x}}}\end{aligned}}</math> Applicando questa correzione <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y_{1}&={\frac{-qBL^{2}}{2mv_{x}}}\\y_{2}&=D\tan \theta \\&=D{\frac{dy}{dx}}\\&=-D{\frac{qBL}{mv_{x}}}\\\end{cases}}\rightarrow y_{{tot}}={\frac{-qBL}{mv_{x}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> Abbiamo visto che per piccole deflessioni l'approssimazione dell'arco di circonferenza con una parabola è valida. A questo punto confrontando l'espressione di <math>y_{{tot}}</math> con quella dovuta al solo campo elettrico <math>{\begin{aligned}y_{{tot}}={\frac{qE}{m}}{\frac{L}{v_{x}^{2}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> possiamo eliminare <math>v_{x}</math> e ottenere <math>{\frac{q}{m}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Thomson]] sj5tvvom85hgh2f73krhsg74lwrh5hz 500719 500645 2026-08-10T10:02:44Z Hippias 18281 500719 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Alla fine del XIX secolo Thomson si dedica a uno studio sistematico dei raggi catodici, osservando che: * i raggi vengono deviati da campi elettrici e magnetici. Questo porta alla conclusione che siano costituiti da particelle cariche. Dalla direzione di deviazione può inoltre concludere che sono particelle cariche negativamente; * cambiando tipo di gas nel tubo il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> è costante e identico nei vari casi, dunque le particelle cariche dei raggi catodici sono comuni alle varie specie. Thomson riesce inoltre a determinare il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> di tali particelle. Illustriamo nel dettaglio l'esperimento che porta a questo risultato. == Apparato sperimentale == Tubo di thomson.jpg Presentiamo anche una schematizzazione della strumentazione con la nomenclatura utilizzata nei calcoli che seguiranno. Schemathoms.jpg Il campo <math>E</math> è noto perché lo sperimentatore imposta il potenziale e la distanza tra le armature, <math>d</math>, è nota: <math>E={\frac{V}{d}}</math> == Procedimento == Prima di entrare nella regione di campo elettrico le condizioni del fascio sono: <math>{\begin{aligned}v_{x}=cost\end{aligned}}</math> All'ingresso nella regione di campo, supponendo il fascio essere composto di particelle di massa m e carica q, esse risentono dell'accelerazione: <math>{\begin{aligned}a_{y}={\frac{qE}{m}}\end{aligned}}</math> Il moto risultante è dunque parabolico ed ha equazione: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y&={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}t^{2}\\t&={\frac{x}{v_{x}}}\\\end{cases}}\rightarrow y={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}{{\frac{x}{v_{x}}}}^{2}\end{aligned}}</math> All'uscita dalla regione di campo elettrico la deviazione lungo l'asse <math>y</math> è dunque <math>{\begin{aligned}y|_{{x=L}}&=y_{1}\\&={\frac{1}{2}}{\frac{qE}{m}}{{\frac{L}{v_{x}}}}^{2}\end{aligned}}</math> Il raggi successivamente proseguono in linea retta, inclinati con un angolo \theta rispetto all'orizzontale. Osservando la figura è chiaro che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y_{2}&=D\tan \theta \\\tan \theta &={\frac{dy}{dx}}|_{{x=L}}\\&={\frac{qE}{m}}{\frac{x}{v_{x}^{2}}}|_{{x=L}}\\\end{cases}}\rightarrow y_{2}={\frac{DqEL}{mv_{x}^{2}}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=y_{{tot}}\\&={\frac{qE}{m}}{\frac{L}{v_{x}^{2}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> Per determinare <math>v_{x}</math> Thomson utilizza un campo magnetico B ortogonale al campo elettrico E. Variando il campo B appropriatamente egli riesce a bilanciare gli effetti del campo elettrico annullando la deviazione. <math>{\begin{aligned}qv_{x}B=qE\rightarrow \\v_{x}={\frac{E}{B}}\end{aligned}}</math> in questo modo l'unica incognita è il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math>, che risulta essere: <math>{\begin{aligned}{\frac{q}{m}}&={\frac{E}{B^{2}}}{\frac{y_{t}ot}{L({\frac{L}{2}}+D)}}\\&=1.7\cdot 10^{{11}}{\frac{C}{Kg}}\end{aligned}}</math> Il valore oggi accertato è: <math>{\begin{aligned}{\frac{e}{m}}=1.758803\cdot 10^{{11}}{\frac{C}{Kg}}\end{aligned}}</math> === Osservazione === È necessaria una precisazione. Una particella carica in un campo elettrico compie una traiettoria parabolica, mentre una particella carica in un campo magnetico ha traiettoria circolare. Com'è possibile dunque che i due effetti si bilancino? Questa approssimazione è valida se il tratto di circonferenza si può pensare come tratto parabolico. Consideriamo l'effetto del solo campo magnetico B. Da <math>qv_{x}B=m{\frac{v_{x}^{2}}{R}}</math> segue che il raggio di curvatura della traiettoria circolare dovuta a B è: <math>{\begin{aligned}R={\frac{mv_{x}}{qB}}\end{aligned}}</math> L'equazione del moto circolare è allora: <math>{\begin{aligned}x^{2}+(R+y)^{2}=R^{2}\\x^{2}+y^{2}+2Ry=0\\R=-{\frac{x^{2}+y^{2}}{2y}}\end{aligned}}</math> L'approssimazione di Thomson è <math>R\approx {\frac{-x^{2}}{2y}}</math>, che vale se <math>y^{2}<<x^{2}</math>, cioè se la deviazione lungo y è molto minore della distanza percorsa lungo x. In tal caso: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}R={\frac{mv_{x}}{qB}}\\R\approx {\frac{-x^{2}}{2y}}\\\end{cases}}\rightarrow y={\frac{-qBx^{2}}{2mv_{x}}}\end{aligned}}</math> Applicando questa correzione <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y_{1}&={\frac{-qBL^{2}}{2mv_{x}}}\\y_{2}&=D\tan \theta \\&=D{\frac{dy}{dx}}\\&=-D{\frac{qBL}{mv_{x}}}\\\end{cases}}\rightarrow y_{{tot}}={\frac{-qBL}{mv_{x}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> Abbiamo visto che per piccole deflessioni l'approssimazione dell'arco di circonferenza con una parabola è valida. A questo punto confrontando l'espressione di <math>y_{{tot}}</math> con quella dovuta al solo campo elettrico <math>{\begin{aligned}y_{{tot}}={\frac{qE}{m}}{\frac{L}{v_{x}^{2}}}({\frac{L}{2}}+D)\end{aligned}}</math> possiamo eliminare <math>v_{x}</math> e ottenere <math>{\frac{q}{m}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Thomson]] d3ibguqfwj3iwns2mc0f9sroofyjhu2 0 60908 500646 2026-08-09T16:51:26Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070655/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Zeeman 500646 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Un'ulteriore determinazione del rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> viene svolta da Zeeman durante studi spettroscopici. In particolare Zeeman osserva che in presenza di un campo magnetico le righe di emissione dei vari elementi si modificano. Più precisamente, ciascuna riga si scinde in più righe molto vicine. Questo primo effetto viene chiamato effetto Zeeman normale e Zeeman fornisce per esso una spiegazione classica esauriente, che consente inoltre di ricavare il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math>. Tuttavia le evidenze sperimentali riscontrate dallo scienziato mettono anche in luce un secondo effetto, per cui all'epoca non si riesce a trovare una spiegazione classica soddisfacente. Per questo motivo viene indicato con il nome effetto Zeeman anomalo. Nell'immagine seguente viene mostrato un esempio di effetto Zeeman normale. Zeeman.jpeg == Apparato sperimentale == Zeeman exp.jpeg * Dispositivo che consente di generare un campo magnetico B omogeneo all'interno dei due piatti del polo S; * Sorgente di luce (es: lampada al sodio); * Sistemi ottici per ottenere una visione sia in direzione ortogonale a B, sia in direzione longitudinale rispetto a B. Si osserva: * la riga singola del sodio si scinde in 3 righe spettrali se la direzione di osservazione è ortogonale al campo magnetico applicato B; * la riga singola del sodio si scinde in 2 righe spettrali se la direzione di osservazione è quella longitudinale. == Spiegazione teorica == Poniamoci nella condizione di osservazione ortogonale.<ref>Per chi rimanga perplesso da questa spiegazione, forse troppo semplificata per essere chiara, approfondimento chiarificatore;http://www.ld-didactic.de/literatur/hb/i/p6/p6271_i.pdf</ref> Immaginiamo che la carica q all'interno dell'atomo sia trattenuta da una forza in tre dimensioni di tipo elastico a carattere centrale, esprimibile come: <math>{\begin{aligned}{\textbf {F}}=-b{\textbf {r}}\\F_{x}=-bx\\F_{y}=-by\\F_{z}=-bz\end{aligned}}</math> In quest'ottica ha senso definire una frequenza propria e una pulsazione propria della carica nell'atomo: <math>{\begin{aligned}\nu _{0}={\frac{1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac{b}{m}}}}\\\omega _{0}={\sqrt {{\frac{b}{m}}}}\end{aligned}}</math> Possiamo scomporre il moto della carica <math>q</math> in un moto armonico nella direzione parallela a <math>B</math> e in due moti circolari controrotanti nel piano perpendicolare a <math>B</math>. In presenza di un campo magnetico sulla carica in moto agisce la forza di Lorentz <math>{\begin{aligned}F=q({\textbf {v}}\land {\textbf {B}})\end{aligned}}</math> Tale forza lascia invariata la componente del moto parallela al campo ( responsabile della riga a frequenza <math>\nu _{0}</math>), mentre agisce sui moti circolari controrotanti con una forza <math>F_{m}</math> che genera un aumento o una diminuzione della forza centripeta in base al verso di rotazione e al segno della carica. I due moti si ricombinano come moti controrotanti con frequenza <math>\nu _{0}+\Delta \nu</math> e <math>\nu _{0}-\Delta \nu</math> Considerando anche le altre forze agenti e scriviamo l'equazione delle forze: <math>{\begin{aligned}{\frac{mv^{2}}{r}}-br=\pm qvB\end{aligned}}</math> Il segno <math>\pm</math> indica le due componenti controrotanti. Sappiamo inoltre che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}v=\omega r=2\pi \nu r\\b=m\omega _{0}^{2}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Dunque la nostra equazione del modo è <math>{\begin{aligned}\omega ^{2}+{\frac{qB\omega }{m}}-\omega _{0}^{2}=0\end{aligned}}</math> Con soluzioni: <math>{\begin{aligned}\omega =\pm {\frac{qB}{2m}}\pm {\sqrt {({\frac{qB}{2m}})^{2}+\omega _{0}^{2}}}\end{aligned}}</math> Vediamo subito che le soluzioni con il segno intermedio negativo non hanno significato fisico perchè corrispondono a pulsazioni negative. Verifichiamo inoltre che con i valori in gioco si ha <math>{\frac{qB}{2m}}<<\omega _{0}</math>, in modo da poter svolgere qualche approssimazione. Se i campi sono <math>B\approx 1T</math> si ottiene <math>{\frac{qB}{2m}}\approx \cdot 10^{{10}}</math>. Le pulsazioni tipiche di un atomo sono invece dell'ordine di <math>10^{{15}}</math>. Possiamo dunque fare le necessarie approssimazioni e ottenere <math>{\begin{aligned}\omega =\omega _{0}\pm {\frac{qB}{2m}}\end{aligned}}</math> Abbiamo quindi ottenuto le frequenze (basta dividere per 2<math>\pi</math>) perturbate e simmetriche rispetto alla frequenza centrale che si osservano quando la luce emessa da una sorgente viene fatta passare in un campo magnetico uniforme. La separazione tra le righe spettrali corrispondenti è: <math>{\begin{aligned}\Delta \nu ={\frac{q}{m}}{\frac{B}{2\pi }}\end{aligned}}</math> da cui infine ricaviamo il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> in funzione di quantità note o misurabili: <math>{\begin{aligned}{\frac{q}{m}}={\frac{2\pi \Delta \nu }{B}}\end{aligned}}</math> Il valore ottenuto da Zeeman è <math>{\begin{aligned}{\frac{q}{m}}=1.6\cdot 10^{{11}}{\frac{C}{Kg}}\end{aligned}}</math>, compatibile con quello ricavato da Thomson. Il segno della carica è ricavabile dal verso di polarizzazione della luce. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Zeeman]] 9g6slzmmww2np7omjxwzvhefvfesn7k 0 60909 500647 2026-08-09T16:52:11Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070645/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Millikan 500647 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Dopo gli esperimenti di Thompson e Zeeman si conosce la natura dei raggi catodici e si ha una misura del rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> proprio delle particelle che li costituiscono. Tuttavia non è ancora possibile conoscere i valori di <math>q</math> ed <math>m</math> separatamente. Questo obiettivo viene raggiunto da Millikan nel 1909 tramite l'esperimento che ora descriveremo. == Apparato sperimentale == Millikan.gif * goccioline d'olio nebulizzate, osservabili tramite microscopio, di dimensioni dell'ordine del micron (<math>\mu m=1\cdot 10^{{6}}m</math>) * condensatore con armature distanti L * sorgente ionizzante == Descrizione esperimento == Inizialmente il campo elettrico non viene acceso. Scegliamo un riferimento verticale orientato verso il basso. Quando la gocciolina d'olio inizia a cadere è sottoposta a 3 forze: * la forza peso, diretta verso il basso, <math>F_{p}=mg</math> * la forza di Archimede, diretta verso l'alto, <math>F_{a}=m'g</math> * la forza di attrito viscoso, o forza di Stokes, diretta secondo la stessa direzione ma in verso opposto rispetto alla velocità, <math>F_{s}=6\pi \nu Rv_{g}</math>, in questo caso verso l'alto. Ricordiamo che: * la massa m' che compare nell'espressione della forza di Archimede è la massa corrispondente al volume d'aria spostato dalla gocciolina. * la velocità <math>v_{g}</math> che compare nella forza di attrito viscoso è la velocità di regime: raggiunta tale velocità il moto della gocciolina diventa uniforme, in quanto le forze si bilanciano. <math>v_{g}</math> viene raggiunta in un tempo di <math>\approx 40\mu s</math>, dunque possiamo considerare le velocità misurate come di regime. Misurando le velocità di caduta è possibile ricavare il raggio della gocciolina d'olio. Infatti l'equazione del moto è: <math>{\begin{aligned}mg-m'g-6\pi \nu Rv_{g}=0\\{\frac{4}{3}}\pi R^{3}\rho _{{olio}}g-{\frac{4}{3}}\pi R^{3}\rho _{{aria}}g-6\pi \nu Rv_{g}=0\\{\frac{4}{3}}\pi R^{3}(\rho _{{olio}}-\rho _{{aria}})g=6\pi \nu Rv_{g}\\v_{g}={\frac{2}{9}}R^{2}g{\frac{(\rho _{{olio}}-\rho _{{aria}})}{\nu }}\end{aligned}}</math> Dopo aver determinato secondo questo metodo il raggio delle goccioline si accende il campo elettrico. La gocciolina ionizzata per effetto del campo risale verso l'alto. Riscriviamo le equazioni del moto tenendo presente che ora agisce la forza <math>F_{e}=qE</math> verso l'alto e che la forza di Stokes, poichè ora la velocità è verso l'alto, agisce verso il basso. <math>{\begin{aligned}mg-m'g+6\pi \nu Rv_{e}-qE=0\end{aligned}}</math> Dai calcoli svolti precedentemente possiamo inoltre scrivere: <math>{\begin{aligned}mg-m'g=6\pi \nu Rv_{g}\end{aligned}}</math> Dunque si ha: <math>{\begin{aligned}6\pi \nu R(v_{g}+v_{e})=qE\end{aligned}}</math> Dalla misura della velocità <math>v_{e}</math>, e conoscendo E tramite il potenziale applicato e la distanza tra le armature (<math>E={\frac{V}{d}}</math>), si ricava quindi il valore della carica q: <math>q={\frac{6\pi \nu R(v_{g}+v_{e})}{E}}</math> In realtà Millikan non ottiene misure dirette della velocità ma misura i tempi di caduta, da cui: <math>q={\frac{6\pi \nu RL({\frac{1}{t_{g}}}+{\frac{1}{t_{e}}})}{E}}</math> L'ulteriore,importantissima, scoperta di Millikan è che i valori di tali cariche sono tutti multipli interi di una quantità costante, <math>e</math>, che egli riesce a misurare.<math>{\begin{aligned}{\begin{cases}q=ne={\frac{6\pi \nu RL({\frac{1}{t_{g}}}+{\frac{1}{t_{e}}})}{E}}\\q'=n'e={\frac{6\pi \nu RL({\frac{1}{t_{g}}}+{\frac{1}{t'_{e}}})}{E}}\\\end{cases}}q'-q={\frac{6\pi \nu RL({\frac{1}{t'_{e}}}-{\frac{1}{t_{e}}})}{E}}=(n'-n)e\end{aligned}}</math> Ottiene che il valore di questa carica elettrica e è: <math>{\begin{aligned}e=1.591\cdot 10^{{-19}}C\end{aligned}}</math> Questo valore viene quindi assunto come quello di carica elementare ovvero la carica del singolo elettrone. Osservazioni * Rispetto al valore oggi accertato ( <math>e=1.602176565(35)\cdot 10^{{-19}}C</math>) il risultato di Millikan è sottostimato. Questo è dovuto ad un errore nella stima del coefficiente di viscosità dell'aria. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Millikan]] 6s9by1dde2gybnd67sbnp04hvp9j28d 0 60910 500648 2026-08-09T16:52:42Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073053/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Raggi_canale 500648 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Dopo la scoperta dell'elettrone, particella elementare di carica negativa, ci si interroga riguardo alle cariche positive. Per tale indagine si utilizzano tubi a scarica simili a quelli adoperati per i raggi catodici. Nel 1886 Goldstein si accorge infatti che se il catodo presenta un foro compare una luminescenza anche sulla parete del tubo opposta all'anodo. I responsabili di tale luminescenza vengono chiamati raggi canale. Raggi canale.gif Riassumiamo ciò che emerge dall'analisi di questi raggi: * i raggi vengono deviati da campi elettrici o magnetici e viaggiano in direzione opposta rispetto ai raggi catodici → sono costituiti da particelle cariche positivamente; * la deviazione subita dai raggi indica che il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> è diverso a seconda del tipo di gas presente nel tubo ed è inferiore rispetto al rapporto <math>{\frac{e}{m}}</math> proprio dei raggi catodici; * la velocità dei raggi canale non è uniforme ed è molto minore di quella dei raggi catodici. I raggi sono costituiti da fasci di particelle ionizzate, atomi privati di uno o più elettroni. Per il lettore moderno questo è un fatto piuttosto ovvio: le particelle costituenti il gas vengono ionizzate dalla scarica elettrica, gli ioni positivi viaggiano verso il catodo, quelli negativi verso l'anodo. Lo studio del rapporto tra massa e carica elettrica delle particelle costituenti i fasci porterà alla nascita della spettrometria di massa, alla scoperta degli isotopi e successivamente a quella fondamentale del protone. L'esperimento che ora illustriamo è dovuto a Thomson e consente di ricavare il rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> dei raggi canale, che hanno velocità non uniformi. == Apparato sperimentale == Raggi canale thom.png * il campo E e il campo B in questo setup sperimentale sono paralleli, non ortogonali! == Descrizione esperimento == Supponiamo di avere una particella con rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> incognito. Il campo E deflette la traiettoria della particella lungo l'asse z, mentre il campo B la deflette lungo l'asse y. Riprendendo quanto visto nell'esperimento di Thomson scriviamo le deflessioni lungo i due assi: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}y={\frac{qBL}{mv_{x}}}({\frac{L}{2}}+D)\\z={\frac{qEL}{mv_{x}^{2}}}({\frac{L}{2}}+D)\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Ricavando <math>v_{x}</math> in funzione di z e inserendola nella seconda equazione possiamo rendere esplicita la forma analitica della funzione: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}v_{x}={\frac{qBL}{my}}({\frac{L}{2}}+D)\\z={\frac{Emy^{2}}{qB^{2}L({\frac{L}{2}}+D)}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Ed ecco che riconosciamo l'equazione di una parabola nel piano yz: <math>{\begin{aligned}z={\frac{m}{q}}{\frac{E}{B^{2}L({\frac{L}{2}}+D)}}y^{2}\end{aligned}}</math> A seconda del rapporto <math>{\frac{q}{m}}</math> si ottengono rami diversi di parabole. Proprio per questo l'apparato è in grado di evidenziare la presenza di isotopi degli elementi: avendo massa diversa, gli isotopi tracciano rami di parabole differenti. Tuttavia l'apparato di Thomson è rudimentale e la separazione tra i rami delle parabole non è molto evidente. Successivamente un allievo di Thomson (Francis Aston) perfeziona l’apparato sfruttando il fenomeno dell' effusione, che consente di selezionare le particelle più veloci ed evidenziare meglio la separazione tra le tracce paraboliche. Lo scopo della miglioria era approfondire lo studio degli isotopi del Neon, già rilevati da Thomson. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Raggi canale]] jn0iptulrglj45e8wzohu83gzzuvc7j 0 60911 500649 2026-08-09T16:54:11Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073013/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Corpo_nero 500649 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Ogni corpo caldo, ossia a temperatura <math>T\neq 0</math>, emette radiazione elettromagnetica, a frequenze tanto più alte quanto maggiore è la sua temperatura. Introduciamo alcune grandezze legate all'irraggiamento di radiazione elettromagnetica da parte di una sorgente e alla sua interazione con i corpi. Grandezze relative alla sorgente:<ref>Lo steradiante sr è un numero puro: [sr]=1</ref> <math>{\begin{aligned}R={\frac{dP}{d\Omega dS}}[R]={\frac{W}{m^{2}\cdot sr}}\\R_{\lambda }={\frac{dP}{d\Omega dSd\lambda }}[R]={\frac{W}{m^{3}\cdot sr}}\\\end{aligned}}</math> * <math>R</math> è la radianza. Rappresenta la potenza irraggiata per unità di superficie e di angolo solido; * <math>R_{\lambda }</math> è la radianza spettrale. Rappresenta la potenza irraggiata per unità di superficie in un intervallo infinitesimo di lunghezze d'onda; La radianza, in particolare, caratterizza l'emissione o riflessione complessiva, mentre la radianza spettrale si limita a considerare una singola frequenza o lunghezza d'onda della luce. La radianza equivale pertanto all'integrale (alla somma) di tutte le infinite radianze spettrali di una data superficie Grandezze relative all'oggetto: Quando la radiazione elettromagnetica incide su una superficie una parte viene riflessa, una parte viene assorbita e una terza parte riesce, eventualmente, a essere trasmessa. Per questo motivo si stabiliscono tre coefficienti che dipendono dal tipo di superficie su cui incide la radiazione: * Coefficiente di riflessione o riflettività: <math>r={\frac{E_{{riflessa}}}{E_{{incidente}}}}</math> * Coefficiente di assorbimento o assorbanza: <math>a={\frac{E_{{assorbita}}}{E_{{incidente}}}}</math> * Coefficiente di trasparenza o trasmittanza: <math>t={\frac{E_{{uscente}}}{E_{{incidente}}}}</math> Da quanto detto segue che la somma dei coefficienti è pari a uno cioè: a + r + t = 1 (conservazione dell'energia). Classificazione corpi: * Un corpo nero<ref>Lo chiamiamo nero perchè non riflette alcuna lunghezza d'onda. Tipicamente il colore di un oggetto è legato alle lunghezze d'onda riflesse dalla sua superficie.</ref> è un oggetto (ideale), in equilibrio termico<ref>Si ha equilibrio termico se la velocità di emissione è uguale alla velocità di assorbimento</ref> con l'ambiente, che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente. Essendo in equilibrio termico re-irradia tutta la quantità di energia assorbita (coefficiente di emissione uguale a quello di assorbimento e pari ad uno). Per un corpo nero vale che: <math>{\begin{aligned}r=t=0,a=1\end{aligned}}</math> * Un corpo che non sia nero, ma che tuttavia non trasmetta radiazione, è detto corpo opaco. Per i corpi opachi: <math>{\begin{aligned}t=0,a+r=1\end{aligned}}</math> Il corpo nero: La radiazione emessa da un corpo nero viene detta radiazione del corpo nero e la densità di energia irradiata spettro di corpo nero. Lo spettro (intensità o densità della radiazione emessa in funzione della lunghezza d'onda o della frequenza) di un corpo nero è uno spettro dalla caratteristica forma a campana (più o meno asimmetrica e più o meno schiacciata) dipendente unicamente dalla sua temperatura T e non dalla materia che lo compone. La radiazione emessa si caratterizza solitamente in termini di radianza Black body.svg Come si può notare, al crescere della temperatura il massimo della curva si sposta verso frequenze maggiori (lunghezze d'onda minori). Un'altra osservazione importante è che, a differenza di altri spettri di emissione, è uno spettro continuo. Il tentativo di dare spiegazioni convincenti dello spettro di corpo nero porta alla necessaria introduzione di ipotesi quantistiche. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpo nero]] mcu267996nzv9yrn09dmbazpwd0zlsm 500720 500649 2026-08-10T11:50:01Z Hippias 18281 500720 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Ogni corpo caldo, ossia a temperatura <math>T\neq 0</math>, emette radiazione elettromagnetica, a frequenze tanto più alte quanto maggiore è la sua temperatura. Introduciamo alcune grandezze legate all'irraggiamento di radiazione elettromagnetica da parte di una sorgente e alla sua interazione con i corpi. Grandezze relative alla sorgente:<ref>Lo steradiante <math>sr</math> è un numero puro: <math>[sr]=1</math></ref> <math>{\begin{aligned}R={\frac{dP}{d\Omega dS}}[R]={\frac{W}{m^{2}\cdot sr}}\\R_{\lambda }={\frac{dP}{d\Omega dSd\lambda }}[R]={\frac{W}{m^{3}\cdot sr}}\\\end{aligned}}</math> * <math>R</math> è la radianza. Rappresenta la potenza irraggiata per unità di superficie e di angolo solido; * <math>R_{\lambda }</math> è la radianza spettrale. Rappresenta la potenza irraggiata per unità di superficie in un intervallo infinitesimo di lunghezze d'onda. La radianza, in particolare, caratterizza l'emissione o riflessione complessiva, mentre la radianza spettrale si limita a considerare una singola frequenza o lunghezza d'onda della luce. La radianza equivale pertanto all'integrale (alla somma) di tutte le infinite radianze spettrali di una data superficie == Grandezze relative all'oggetto == Quando la radiazione elettromagnetica incide su una superficie una parte viene riflessa, una parte viene assorbita e una terza parte riesce, eventualmente, a essere trasmessa. Per questo motivo si stabiliscono tre coefficienti che dipendono dal tipo di superficie su cui incide la radiazione: * coefficiente di riflessione o riflettività: <math>r={\frac{E_{{riflessa}}}{E_{{incidente}}}}</math> * coefficiente di assorbimento o assorbanza: <math>a={\frac{E_{{assorbita}}}{E_{{incidente}}}}</math> * coefficiente di trasparenza o trasmittanza: <math>t={\frac{E_{{uscente}}}{E_{{incidente}}}}</math> Da quanto detto segue che la somma dei coefficienti è pari a uno cioè: <math>a + r + t = 1</math> (conservazione dell'energia). == Classificazione corpi == Un corpo nero<ref>Lo chiamiamo nero perché non riflette alcuna lunghezza d'onda. Tipicamente il colore di un oggetto è legato alle lunghezze d'onda riflesse dalla sua superficie.</ref> è un oggetto (ideale), in equilibrio termico<ref>Si ha equilibrio termico se la velocità di emissione è uguale alla velocità di assorbimento</ref> con l'ambiente, che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente. Essendo in equilibrio termico re-irradia tutta la quantità di energia assorbita (coefficiente di emissione uguale a quello di assorbimento e pari ad uno). Per un corpo nero vale che: <math>{\begin{aligned}r=t=0,a=1\end{aligned}}</math> Un corpo che non sia nero, ma che tuttavia non trasmetta radiazione, è detto corpo opaco. Per i corpi opachi: <math>{\begin{aligned}t=0,a+r=1\end{aligned}}</math> == Il corpo nero == La radiazione emessa da un corpo nero viene detta radiazione del corpo nero e la densità di energia irradiata spettro di corpo nero. Lo spettro (intensità o densità della radiazione emessa in funzione della lunghezza d'onda o della frequenza) di un corpo nero è uno spettro dalla caratteristica forma a campana (più o meno asimmetrica e più o meno schiacciata) dipendente unicamente dalla sua temperatura <math>T</math> e non dalla materia che lo compone. La radiazione emessa si caratterizza solitamente in termini di radianza: [[File:Black body.svg|center|400px]] Come si può notare, al crescere della temperatura il massimo della curva si sposta verso frequenze maggiori (lunghezze d'onda minori). Un'altra osservazione importante è che, a differenza di altri spettri di emissione, è uno spettro continuo. Il tentativo di dare spiegazioni convincenti dello spettro di corpo nero porta alla necessaria introduzione di ipotesi quantistiche. == Note == <references /> {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Corpo nero]] bqcil8drosww6a3uqappht08dfmppvn 0 60912 500650 2026-08-09T16:54:57Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Leggi_fenomenologiche 500650 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Nella realtà un buon modo per ottenere un corpo nero è una cavità isoterma, ossia un oggetto cavo mantenuto a temperatura costante (una sorta di forno) le cui pareti emettono ed assorbono continuamente radiazioni su tutte le possibili lunghezze d'onda dello spettro elettromagnetico. Cavità isoterma.jpg Gli studi sperimentali sullo spettro del corpo nero si basano su questo tipo di "costruzione" di un corpo nero. == Legge di Kirchhoff == Chiamiamo ∆A l’area del corpo che irraggia nel tempo ∆t. Per i corpi opachi all'equilibrio termico, condizione in cui la velocità di emissione eguaglia quella di assorbimento,si ha che: <math>{\begin{aligned}E_{1}=\underbrace {R_{1}\Delta A_{1}\Delta t}_{{{\mbox{energia emessa}}}}=\underbrace {a_{1}I\Delta A_{1}\Delta t}_{{{\mbox{energia assorbita}}}}\\E_{2}=R_{2}\Delta A_{2}\Delta t=a_{2}I\Delta A_{2}\Delta t\end{aligned}}</math> ossia il rapporto tra le radianze di due corpi opachi è pari al rapporto tra i loro coefficienti di assorbimento. <math>{\begin{aligned}{\frac{R_{1}}{R_{2}}}={\frac{a_{1}}{a_{2}}}\\{\frac{R_{1}}{a_{1}}}={\frac{R_{2}}{a_{2}}}=....={\frac{R_{n}}{a_{n}}}=cost=R_{{BB}}\quad {\mbox{legge di Kirchhoff}}\end{aligned}}</math> L'ultima eguaglianza richiede una spiegazione: un corpo nero è un particolare corpo opaco in cui, oltre a t, è nullo anche il coefficiente r. Se dunque tra i corpi opachi considerati c'è un corpo nero la legge resta valida. La legge di Kirchhoff appena enunciata mi dice in sintesi che il rapporto tra radianza e assorbanza per un corpo opaco è una costante che dipende solo dalla temperatura ed è uguale alla radianza di un corpo nero a quella temperatura. Poichè <math>0<a<1</math> si ha inoltre che <math>{\begin{aligned}R_{{corpo\ opaco}}<R_{{BB}}\end{aligned}}</math> == Isotropia radiazione corpo nero == La radiazione di un corpo nero ideale è chiaramente isotropa: l'emissione è uniforme in tutte le direzioni. Tuttavia questo non è scontato per il nostro modello di "forno". Se dovesse emergere che per questo modello l'isotropia non vale, non sarebbe più un valido modello per il corpo nero. Verifichiamo che questo non accade. Isotropia Rbb.jpg Se <math>R_{1}</math> è la radianza del corpo <math>M_{1}</math>, esso emette nel tempo <math>t</math> un'energia <math>R_{1}t</math>. Parte della radiazione emessa viene assorbita da <math>M_{2}</math>, parte viene invece riflessa verso <math>M_{1}</math>, secondo il rapporto dettato dal coefficiente <math>r_{2}</math>: <math>r_{2}R_{1}t</math>. Proseguendo in modo analogo si ha la situazione descritta in figura dalle frecce blu. Le frecce rosse descrivono la situazione corrispondente per il corpo <math>M_{2}</math> Consideriamo ora tutta la radiazione in una direzione, ad esempio verso destra, e indichiamo la radianza relativa a tale radiazione <math>R_{D}</math>. Allora si ha: <math>{\begin{aligned}R_{D}t=R_{1}t(1+r_{1}r_{2}+r_{1}^{2}r_{2}^{2}+...)+R_{2}t(r_{1}+r_{1}^{2}r_{2}+r_{1}^{3}r_{2}+...)\end{aligned}}</math> Ricordando che <math>0<r_{1}r_{2}<1</math> possiamo riconoscere nella prima parentesi l'espressione di una serie geometrica di ragione <math>q=rr_{1}r_{2}</math>. L'analogo si può riconoscere nella seconda parentesi dopo aver raccolto <math>r_{1}</math>. Sfruttando la convergenza di tale serie: <math>{\begin{aligned}R_{D}t=R_{1}t({\frac{1}{1-r_{1}r_{2}}})+R_{2}t({\frac{r_{1}}{1-r_{1}r_{2}}})\end{aligned}}</math> Sfruttando la legge di Kirchhoff: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}R_{1}=a_{1}R_{{BB}}\\R_{2}=a_{2}R_{{BB}}\\a_{1}=1-r_{1}\\a_{2}=1-r_{2}\\\end{cases}}{\begin{cases}R_{1}=(1-r_{1})R_{{BB}}\\R_{2}=(1-r_{2})R_{{BB}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Si ha infine: <math>{\begin{aligned}R_{D}={\frac{(1-r_{1})R_{{BB}}+r_{1}(1-r_{2})R_{{BB}}}{1-r_{1}r_{2}}}\\R_{D}={\frac{(1-r_{1}r_{2})R_{{BB}}}{1-r_{1}r_{2}}}=R_{{BB}}\end{aligned}}</math> Lo stesso si ottiene per la radiazione verso sinistra, <math>R_{S}</math>.Dal momento che la cavità può avere qualsiasi forma, la radianza assume, in ogni direzione,il valore <math>R_{{BB}}</math> , quindi è isotropa. Se si pratica un foro nella cavità, la radiazione che ne esce è quella del corpo nero. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Leggi fenomenologiche]] hw1de0kbwtufh5gaizpu69tvgu3yrga 0 60913 500651 2026-08-09T16:56:01Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071815/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Legge_di_Stefan-Boltzmann 500651 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Torniamo a concentrarci sull'analisi della radiazione emessa da un corpo caldo. Indipendentemente dal tipo di materiale che costituisce la sorgente, la forma dello spettro rimane quella illustrata nell'Introduzione. Questo conferma l'idea che la curva rappresenti una proprietà generale della radiazione termica a una data temperatura. Uno studio di questa curva fornisce quindi informazioni sulla radiazione stessa. Matematicamente, l'area sottesa dalla curva è proporzionale alla radianza totale. Analizzando la dipendenza dalla temperatura Stefan trova una legge empirica che lega la radianza di un corpo alla quarta potenza della temperatura. In particolare, trova che: <math>{\begin{aligned}R_{{BB}}=\sigma T^{4}\\R_{{corpo\ opaco}}=a\sigma T^{4}\\\end{aligned}}</math> La costante σ è detta costante di Stefan-Boltzmann e ha il valore: <math>{\begin{aligned}\sigma =5.67\cdot 10^{{-8}}{\frac{W}{m^{2}K^{4}}}\end{aligned}}</math> Il coefficiente a che compare per i corpi opachi è il loro coefficiente di assorbimento, che è compreso tra 0 e 1. Dunque da questa legge fenomenologica ritroviamo che <math>R_{{corpo\ opaco}}<R_{{BB}}</math>.<ref>In alcuni testi si può trovare anzichè il coefficiente di assorbimento a, l'emissività ε. Tuttavia ricordiamo che l'emissività eguaglia il coefficiente di assorbimento come conseguenza del principio di Kirchhoff.</ref> Il contributo di Boltzmann è la spiegazione teorica, su basi termodinamiche, della legge empirica. == Esempio:effetto stalla == Quando in una stanza piccola sono presenti molte persone, dopo un po’ di tempo la temperatura aumenta. Perchè questo accade? Perchè noi siamo corpi caldi ed emettiamo radiazione termica. Tramite la legge di Stefan, possiamo fare qualche calcolo quantitativo. Ricordiamo innanzitutto che la potenza è la radianza moltiplicata per l'area: <math>{\begin{aligned}P=R\cdot Area\end{aligned}}</math> La potenza netta emessa dal corpo umano è: <math>{\begin{aligned}P_{{netta}}=P_{{emessa}}-P_{{ambiente}}=Aa\sigma (T^{4}-T_{0}^{4})\end{aligned}}</math> Supponiamo di trovarci in una stanza a 20°, ossia 293 K. La nostra temperatura la consideriamo di circa 30°, ossia 303 K. La superficie del corpo umano è di circa 2 <math>m^{2}</math> e ci idealizziamo come corpi neri (sbagliando, ma ci interessa solo un'idea approssimativa) per cui poniamo a=1. Si ottiene <math>P\approx 100W</math>: siamo come delle lampadine! == Esempio:temperatura superficiale del Sole == Andiamo a stimare la temperatura superficiale del sole assumendo che sia un corpo nero. <math>{\begin{aligned}R_{{sole}}=7\cdot 10^{{8}}m\\d_{{terra\ sole}}=1.5\cdot 10^{{11}}m\\c_{s}=1400{\frac{W}{m^{2}}}\\\end{aligned}}</math> Stimiamo la potenza irraggiata dal Sole sulla Terra <math>P_{{st}}</math>: <math>{\begin{aligned}P_{{st}}&=1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}\\R&=\sigma T^{4}&={\frac{P_{{st}}}{4\pi R_{s}^{2}}}\\&={\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}}{4\pi R_{s}^{2}}}\end{aligned}}</math> Da cui: <math>{\begin{aligned}T={\sqrt[ {4}]{{\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot d_{{terra\ sole}}^{2}}{\sigma R_{s}^{2}}}}}=5803K\end{aligned}}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Legge di Stefan-Boltzmann]] kg2f45e70mesef5s60ehp05nlsf6xrx 500653 500651 2026-08-09T17:04:19Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071141/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Spiegazione_termodinamica 500653 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Torniamo a concentrarci sull'analisi della radiazione emessa da un corpo caldo. Indipendentemente dal tipo di materiale che costituisce la sorgente, la forma dello spettro rimane quella illustrata nell'Introduzione. Questo conferma l'idea che la curva rappresenti una proprietà generale della radiazione termica a una data temperatura. Uno studio di questa curva fornisce quindi informazioni sulla radiazione stessa. Matematicamente, l'area sottesa dalla curva è proporzionale alla radianza totale. Analizzando la dipendenza dalla temperatura Stefan trova una legge empirica che lega la radianza di un corpo alla quarta potenza della temperatura. In particolare, trova che: <math>{\begin{aligned}R_{{BB}}=\sigma T^{4}\\R_{{corpo\ opaco}}=a\sigma T^{4}\\\end{aligned}}</math> La costante σ è detta costante di Stefan-Boltzmann e ha il valore: <math>{\begin{aligned}\sigma =5.67\cdot 10^{{-8}}{\frac{W}{m^{2}K^{4}}}\end{aligned}}</math> Il coefficiente a che compare per i corpi opachi è il loro coefficiente di assorbimento, che è compreso tra 0 e 1. Dunque da questa legge fenomenologica ritroviamo che <math>R_{{corpo\ opaco}}<R_{{BB}}</math>.<ref>In alcuni testi si può trovare anzichè il coefficiente di assorbimento a, l'emissività ε. Tuttavia ricordiamo che l'emissività eguaglia il coefficiente di assorbimento come conseguenza del principio di Kirchhoff.</ref> Il contributo di Boltzmann è la spiegazione teorica, su basi termodinamiche, della legge empirica. == Esempio:effetto stalla == Quando in una stanza piccola sono presenti molte persone, dopo un po’ di tempo la temperatura aumenta. Perchè questo accade? Perchè noi siamo corpi caldi ed emettiamo radiazione termica. Tramite la legge di Stefan, possiamo fare qualche calcolo quantitativo. Ricordiamo innanzitutto che la potenza è la radianza moltiplicata per l'area: <math>{\begin{aligned}P=R\cdot Area\end{aligned}}</math> La potenza netta emessa dal corpo umano è: <math>{\begin{aligned}P_{{netta}}=P_{{emessa}}-P_{{ambiente}}=Aa\sigma (T^{4}-T_{0}^{4})\end{aligned}}</math> Supponiamo di trovarci in una stanza a 20°, ossia 293 K. La nostra temperatura la consideriamo di circa 30°, ossia 303 K. La superficie del corpo umano è di circa 2 <math>m^{2}</math> e ci idealizziamo come corpi neri (sbagliando, ma ci interessa solo un'idea approssimativa) per cui poniamo a=1. Si ottiene <math>P\approx 100W</math>: siamo come delle lampadine! == Esempio:temperatura superficiale del Sole == Andiamo a stimare la temperatura superficiale del sole assumendo che sia un corpo nero. <math>{\begin{aligned}R_{{sole}}=7\cdot 10^{{8}}m\\d_{{terra\ sole}}=1.5\cdot 10^{{11}}m\\c_{s}=1400{\frac{W}{m^{2}}}\\\end{aligned}}</math> Stimiamo la potenza irraggiata dal Sole sulla Terra <math>P_{{st}}</math>: <math>{\begin{aligned}P_{{st}}&=1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}\\R&=\sigma T^{4}&={\frac{P_{{st}}}{4\pi R_{s}^{2}}}\\&={\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}}{4\pi R_{s}^{2}}}\end{aligned}}</math> Da cui: <math>{\begin{aligned}T={\sqrt[ {4}]{{\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot d_{{terra\ sole}}^{2}}{\sigma R_{s}^{2}}}}}=5803K\end{aligned}}</math> == Spiegazione termodinamica == {{fisica moderna}} Un'onda elettromagnetica, quale è la radiazione termica che stiamo analizzando, trasporta energia e quantità di moto. * <math>u</math> = densità di energia trasportata dalla radiazione; * <math>I</math> = intensità = energia trasportata per unità di area e di tempo = <math>u\cdot c</math> * <math>{\frac{u}{c}}</math> densità di quantità di moto. Poichè la radiazione scambia un momento con la superficie su cui incide, esercita una pressione. Da analisi dimensionali ricaviamo che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left[P\right]&={\frac{\left[F\right]}{\left[A\right]}}={\frac{N}{m^{2}}}={\frac{Kg\cdot m}{s^{2}\cdot m^{2}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\left[u\right]&={\frac{\left[E\right]}{\left[V\right]}}={\frac{J}{m^{3}}}={\frac{Kg\cdot m^{2}}{s^{2}\cdot m^{3}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\end{cases}}\rightarrow \left[P\right]=\left[u\right]\end{aligned}}</math> Dimensionalmente la pressione equivale alla densità di energia. La relazione funzionale corretta è: <math>{\begin{aligned}P=u\cos ^{2}{\theta }\end{aligned}}</math> che deriva qualitativamente dalla considerazione che se i raggi incidenti sulla superficie sono inclinati di un angolo θ la pressione diminuisce perchè la densità di energia si scarica su un'area maggiore, mentre la densità di energia diminuisce perchè va proiettata: <math>{\frac{P}{\cos \theta }}=u\cos \theta</math>. Consideriamo ora una semisfera di raggio unitario costituita da N raggi incidenti con inclinazione θ generica: <math>0<\theta <\pi</math>. La superficie che consideriamo è perfettamente assorbente, dunque i raggi non subiscono riflessione. Corona area.jpg La densità di energia totale trasportata dagli N raggi è <math>U=Nu</math> e la pressione risulta essere <math>{\begin{aligned}P=\sum _{{i=1}}^{{N}}u\cos ^{2}\theta =u\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \end{aligned}}</math> Vogliamo valutare il numero di raggi <math>dN</math> con inclinazione compresa tra θ e <math>\theta +d\theta</math>. Chiaramente sarà proporzionale all'area della corona circolare che sottende gli angoli θ e <math>\theta +d\theta</math>. Tenendo presente che consideriamo una semisfera di raggio unitario: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}S_{{corona\ circolare}}=2\pi \sin \theta d\theta \\S_{{tot}}=2\pi \\\end{cases}}\rightarrow {\frac{S_{{corona\ circolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Sfruttando poi la proporzionalità tra numero di fasci e area si ha: <math>{\begin{aligned}{\frac{dN}{N}}={\frac{S_{{coronacircolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \rightarrow \\dN=N\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Inoltre, pensando che il numero di raggi è molto grande, possiamo scri→vere: <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \rightarrow \int \cos ^{2}\theta \,dN\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta &=\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos ^{2}\theta \sin \theta \,d\theta \\&=N\left({\frac{\cos ^{3}\theta }{3}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\\&={\frac{N}{3}}\end{aligned}}</math> Si ha quindi: <math>{\begin{aligned}P={\frac{Nu}{3}}={\frac{U}{3}}\end{aligned}}</math> Calcoliamo ora la radianza, che ricordiamo essere: <math>{\begin{aligned}R={\frac{E_{{tot\ emessa}}}{{\mbox{unit di area e di tempo}}}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}R&=\sum _{{i=1}}^{{N}}cu\cos \theta &=\int cu\cos \theta \,dN\\&=\int cu\cos \theta \,dN&={\frac{1}{2}}Ncu\left({\frac{\cos ^{2}\theta }{2}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\end{aligned}}</math> Il fattore <math>{\frac{1}{2}}</math> compare perchè stiamo considerando solo i raggi emessi. Si ottiene infine: <math>{\begin{aligned}R={\frac{c}{4}}U\end{aligned}}</math> Con queste premesse affrontiamo la derivazione termodinamica della legge di Stefan - Boltzmann.<ref>Si userà il simbolo <math>dG</math> per indicare G differenziale esatto, il simbolo <math>\delta G</math> per indicare G differenziale non esatto.</ref> Per definizione <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS={\frac{\delta Q}{T}}={\frac{\delta L+d{\textit {U}}}{T}}\\\delta L=pdV={\frac{U}{3}}dV\rightarrow {\mbox{a pressione costante}}\\U={\frac{{\mathcal {U}}}{V}}{\mathcal {U}}=U\cdot Vd{\mathcal {U}}=UdV+VdU\\\end{cases}}\end{aligned}}</math>. dove <math>S</math> è l'entropia, <math>U</math> è la densità di energia trasportata dalle onde, <math>{\mathcal {U}}</math> è l'energia interna,<math>L</math> e <math>Q</math> rispettivamente lavoro e calore entranti/uscenti dal sistema. Sostituendo le espressioni di <math>\delta L</math> e <math>d{\mathcal {U}}</math> nell'equazione per <math>dS</math> si ha: <math>{\begin{aligned}dS&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}dU\right)\\&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}dT\right)\\&=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)dV+\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)dT\end{aligned}}</math> Riassumendo, sappiamo che: * <math>S=S(V,T)</math> : <math>S</math> è una funzione di stato; * <math>S</math> è un differenziale esatto: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS=\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV+\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT\\{\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}={\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Confrontando le espressioni per <math>dS</math> concludiamo che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)\\\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Sfruttando ora l'uguaglianza tra le derivate seconde miste: <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}&={\frac{\partial }{\partial V}}\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\&={\frac{\partial }{\partial T}}\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)&={\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}\end{aligned}}</math> Svolgendo i calcoli e ricordando <math>U=U(T)</math>: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{-4}{3}}{\frac{U}{T^{2}}}+{\frac{4}{3}}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}\\{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{4U}{T^{2}}}\rightarrow {\mbox{separo le variabili}}\\{\frac{dU}{U}}&={\frac{4dT}{T}}\rightarrow {\mbox{ ora integro}}\\\ln U&=4\ln T+C\\\ln U&=\ln T^{4}+C\end{aligned}}</math> In conclusione si è ottenuto: <math>{\begin{aligned}U\propto T^{4}\end{aligned}}</math> Poichè inoltre <math>R\propto U</math> in definitiva è verificato che: <math>{\begin{aligned}R\propto T^{4}\end{aligned}}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Legge di Stefan-Boltzmann]] q8xrudzpyookwq82u9p2x9g1ek7yo2l 500655 500653 2026-08-09T17:05:43Z Hippias 18281 /* Spiegazione termodinamica */ 500655 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Torniamo a concentrarci sull'analisi della radiazione emessa da un corpo caldo. Indipendentemente dal tipo di materiale che costituisce la sorgente, la forma dello spettro rimane quella illustrata nell'Introduzione. Questo conferma l'idea che la curva rappresenti una proprietà generale della radiazione termica a una data temperatura. Uno studio di questa curva fornisce quindi informazioni sulla radiazione stessa. Matematicamente, l'area sottesa dalla curva è proporzionale alla radianza totale. Analizzando la dipendenza dalla temperatura Stefan trova una legge empirica che lega la radianza di un corpo alla quarta potenza della temperatura. In particolare, trova che: <math>{\begin{aligned}R_{{BB}}=\sigma T^{4}\\R_{{corpo\ opaco}}=a\sigma T^{4}\\\end{aligned}}</math> La costante σ è detta costante di Stefan-Boltzmann e ha il valore: <math>{\begin{aligned}\sigma =5.67\cdot 10^{{-8}}{\frac{W}{m^{2}K^{4}}}\end{aligned}}</math> Il coefficiente a che compare per i corpi opachi è il loro coefficiente di assorbimento, che è compreso tra 0 e 1. Dunque da questa legge fenomenologica ritroviamo che <math>R_{{corpo\ opaco}}<R_{{BB}}</math>.<ref>In alcuni testi si può trovare anzichè il coefficiente di assorbimento a, l'emissività ε. Tuttavia ricordiamo che l'emissività eguaglia il coefficiente di assorbimento come conseguenza del principio di Kirchhoff.</ref> Il contributo di Boltzmann è la spiegazione teorica, su basi termodinamiche, della legge empirica. == Esempio:effetto stalla == Quando in una stanza piccola sono presenti molte persone, dopo un po’ di tempo la temperatura aumenta. Perchè questo accade? Perchè noi siamo corpi caldi ed emettiamo radiazione termica. Tramite la legge di Stefan, possiamo fare qualche calcolo quantitativo. Ricordiamo innanzitutto che la potenza è la radianza moltiplicata per l'area: <math>{\begin{aligned}P=R\cdot Area\end{aligned}}</math> La potenza netta emessa dal corpo umano è: <math>{\begin{aligned}P_{{netta}}=P_{{emessa}}-P_{{ambiente}}=Aa\sigma (T^{4}-T_{0}^{4})\end{aligned}}</math> Supponiamo di trovarci in una stanza a 20°, ossia 293 K. La nostra temperatura la consideriamo di circa 30°, ossia 303 K. La superficie del corpo umano è di circa 2 <math>m^{2}</math> e ci idealizziamo come corpi neri (sbagliando, ma ci interessa solo un'idea approssimativa) per cui poniamo a=1. Si ottiene <math>P\approx 100W</math>: siamo come delle lampadine! == Esempio:temperatura superficiale del Sole == Andiamo a stimare la temperatura superficiale del sole assumendo che sia un corpo nero. <math>{\begin{aligned}R_{{sole}}=7\cdot 10^{{8}}m\\d_{{terra\ sole}}=1.5\cdot 10^{{11}}m\\c_{s}=1400{\frac{W}{m^{2}}}\\\end{aligned}}</math> Stimiamo la potenza irraggiata dal Sole sulla Terra <math>P_{{st}}</math>: <math>{\begin{aligned}P_{{st}}&=1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}\\R&=\sigma T^{4}&={\frac{P_{{st}}}{4\pi R_{s}^{2}}}\\&={\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot 4\pi d_{{terra\ sole}}^{2}}{4\pi R_{s}^{2}}}\end{aligned}}</math> Da cui: <math>{\begin{aligned}T={\sqrt[ {4}]{{\frac{1400{\frac{W}{m^{2}}}\cdot d_{{terra\ sole}}^{2}}{\sigma R_{s}^{2}}}}}=5803K\end{aligned}}</math> == Spiegazione termodinamica == Un'onda elettromagnetica, quale è la radiazione termica che stiamo analizzando, trasporta energia e quantità di moto. * <math>u</math> = densità di energia trasportata dalla radiazione; * <math>I</math> = intensità = energia trasportata per unità di area e di tempo = <math>u\cdot c</math> * <math>{\frac{u}{c}}</math> densità di quantità di moto. Poichè la radiazione scambia un momento con la superficie su cui incide, esercita una pressione. Da analisi dimensionali ricaviamo che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left[P\right]&={\frac{\left[F\right]}{\left[A\right]}}={\frac{N}{m^{2}}}={\frac{Kg\cdot m}{s^{2}\cdot m^{2}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\left[u\right]&={\frac{\left[E\right]}{\left[V\right]}}={\frac{J}{m^{3}}}={\frac{Kg\cdot m^{2}}{s^{2}\cdot m^{3}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\end{cases}}\rightarrow \left[P\right]=\left[u\right]\end{aligned}}</math> Dimensionalmente la pressione equivale alla densità di energia. La relazione funzionale corretta è: <math>{\begin{aligned}P=u\cos ^{2}{\theta }\end{aligned}}</math> che deriva qualitativamente dalla considerazione che se i raggi incidenti sulla superficie sono inclinati di un angolo θ la pressione diminuisce perchè la densità di energia si scarica su un'area maggiore, mentre la densità di energia diminuisce perchè va proiettata: <math>{\frac{P}{\cos \theta }}=u\cos \theta</math>. Consideriamo ora una semisfera di raggio unitario costituita da N raggi incidenti con inclinazione θ generica: <math>0<\theta <\pi</math>. La superficie che consideriamo è perfettamente assorbente, dunque i raggi non subiscono riflessione. Corona area.jpg La densità di energia totale trasportata dagli N raggi è <math>U=Nu</math> e la pressione risulta essere <math>{\begin{aligned}P=\sum _{{i=1}}^{{N}}u\cos ^{2}\theta =u\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \end{aligned}}</math> Vogliamo valutare il numero di raggi <math>dN</math> con inclinazione compresa tra θ e <math>\theta +d\theta</math>. Chiaramente sarà proporzionale all'area della corona circolare che sottende gli angoli θ e <math>\theta +d\theta</math>. Tenendo presente che consideriamo una semisfera di raggio unitario: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}S_{{corona\ circolare}}=2\pi \sin \theta d\theta \\S_{{tot}}=2\pi \\\end{cases}}\rightarrow {\frac{S_{{corona\ circolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Sfruttando poi la proporzionalità tra numero di fasci e area si ha: <math>{\begin{aligned}{\frac{dN}{N}}={\frac{S_{{coronacircolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \rightarrow \\dN=N\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Inoltre, pensando che il numero di raggi è molto grande, possiamo scri→vere: <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \rightarrow \int \cos ^{2}\theta \,dN\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta &=\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos ^{2}\theta \sin \theta \,d\theta \\&=N\left({\frac{\cos ^{3}\theta }{3}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\\&={\frac{N}{3}}\end{aligned}}</math> Si ha quindi: <math>{\begin{aligned}P={\frac{Nu}{3}}={\frac{U}{3}}\end{aligned}}</math> Calcoliamo ora la radianza, che ricordiamo essere: <math>{\begin{aligned}R={\frac{E_{{tot\ emessa}}}{{\mbox{unit di area e di tempo}}}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}R&=\sum _{{i=1}}^{{N}}cu\cos \theta &=\int cu\cos \theta \,dN\\&=\int cu\cos \theta \,dN&={\frac{1}{2}}Ncu\left({\frac{\cos ^{2}\theta }{2}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\end{aligned}}</math> Il fattore <math>{\frac{1}{2}}</math> compare perchè stiamo considerando solo i raggi emessi. Si ottiene infine: <math>{\begin{aligned}R={\frac{c}{4}}U\end{aligned}}</math> Con queste premesse affrontiamo la derivazione termodinamica della legge di Stefan - Boltzmann.<ref>Si userà il simbolo <math>dG</math> per indicare G differenziale esatto, il simbolo <math>\delta G</math> per indicare G differenziale non esatto.</ref> Per definizione <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS={\frac{\delta Q}{T}}={\frac{\delta L+d{\textit {U}}}{T}}\\\delta L=pdV={\frac{U}{3}}dV\rightarrow {\mbox{a pressione costante}}\\U={\frac{{\mathcal {U}}}{V}}{\mathcal {U}}=U\cdot Vd{\mathcal {U}}=UdV+VdU\\\end{cases}}\end{aligned}}</math>. dove <math>S</math> è l'entropia, <math>U</math> è la densità di energia trasportata dalle onde, <math>{\mathcal {U}}</math> è l'energia interna,<math>L</math> e <math>Q</math> rispettivamente lavoro e calore entranti/uscenti dal sistema. Sostituendo le espressioni di <math>\delta L</math> e <math>d{\mathcal {U}}</math> nell'equazione per <math>dS</math> si ha: <math>{\begin{aligned}dS&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}dU\right)\\&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}dT\right)\\&=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)dV+\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)dT\end{aligned}}</math> Riassumendo, sappiamo che: * <math>S=S(V,T)</math> : <math>S</math> è una funzione di stato; * <math>S</math> è un differenziale esatto: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS=\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV+\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT\\{\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}={\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Confrontando le espressioni per <math>dS</math> concludiamo che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)\\\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Sfruttando ora l'uguaglianza tra le derivate seconde miste: <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}&={\frac{\partial }{\partial V}}\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\&={\frac{\partial }{\partial T}}\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)&={\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}\end{aligned}}</math> Svolgendo i calcoli e ricordando <math>U=U(T)</math>: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{-4}{3}}{\frac{U}{T^{2}}}+{\frac{4}{3}}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}\\{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{4U}{T^{2}}}\rightarrow {\mbox{separo le variabili}}\\{\frac{dU}{U}}&={\frac{4dT}{T}}\rightarrow {\mbox{ ora integro}}\\\ln U&=4\ln T+C\\\ln U&=\ln T^{4}+C\end{aligned}}</math> In conclusione si è ottenuto: <math>{\begin{aligned}U\propto T^{4}\end{aligned}}</math> Poichè inoltre <math>R\propto U</math> in definitiva è verificato che: <math>{\begin{aligned}R\propto T^{4}\end{aligned}}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Legge di Stefan-Boltzmann]] 9lizerbbnmeiyzh36d5s9akidposxo4 0 60914 500652 2026-08-09T16:56:51Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071141/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Spiegazione_termodinamica 500652 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Un'onda elettromagnetica, quale è la radiazione termica che stiamo analizzando, trasporta energia e quantità di moto. * <math>u</math> = densità di energia trasportata dalla radiazione; * <math>I</math> = intensità = energia trasportata per unità di area e di tempo = <math>u\cdot c</math> * <math>{\frac{u}{c}}</math> densità di quantità di moto. Poichè la radiazione scambia un momento con la superficie su cui incide, esercita una pressione. Da analisi dimensionali ricaviamo che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left[P\right]&={\frac{\left[F\right]}{\left[A\right]}}={\frac{N}{m^{2}}}={\frac{Kg\cdot m}{s^{2}\cdot m^{2}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\left[u\right]&={\frac{\left[E\right]}{\left[V\right]}}={\frac{J}{m^{3}}}={\frac{Kg\cdot m^{2}}{s^{2}\cdot m^{3}}}={\frac{Kg}{s^{2}\cdot m}}\\\end{cases}}\rightarrow \left[P\right]=\left[u\right]\end{aligned}}</math> Dimensionalmente la pressione equivale alla densità di energia. La relazione funzionale corretta è: <math>{\begin{aligned}P=u\cos ^{2}{\theta }\end{aligned}}</math> che deriva qualitativamente dalla considerazione che se i raggi incidenti sulla superficie sono inclinati di un angolo θ la pressione diminuisce perchè la densità di energia si scarica su un'area maggiore, mentre la densità di energia diminuisce perchè va proiettata: <math>{\frac{P}{\cos \theta }}=u\cos \theta</math>. Consideriamo ora una semisfera di raggio unitario costituita da N raggi incidenti con inclinazione θ generica: <math>0<\theta <\pi</math>. La superficie che consideriamo è perfettamente assorbente, dunque i raggi non subiscono riflessione. Corona area.jpg La densità di energia totale trasportata dagli N raggi è <math>U=Nu</math> e la pressione risulta essere <math>{\begin{aligned}P=\sum _{{i=1}}^{{N}}u\cos ^{2}\theta =u\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \end{aligned}}</math> Vogliamo valutare il numero di raggi <math>dN</math> con inclinazione compresa tra θ e <math>\theta +d\theta</math>. Chiaramente sarà proporzionale all'area della corona circolare che sottende gli angoli θ e <math>\theta +d\theta</math>. Tenendo presente che consideriamo una semisfera di raggio unitario: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}S_{{corona\ circolare}}=2\pi \sin \theta d\theta \\S_{{tot}}=2\pi \\\end{cases}}\rightarrow {\frac{S_{{corona\ circolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Sfruttando poi la proporzionalità tra numero di fasci e area si ha: <math>{\begin{aligned}{\frac{dN}{N}}={\frac{S_{{coronacircolare}}}{S_{{tot}}}}=\sin \theta d\theta \rightarrow \\dN=N\sin \theta d\theta \end{aligned}}</math> Inoltre, pensando che il numero di raggi è molto grande, possiamo scri→vere: <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta \rightarrow \int \cos ^{2}\theta \,dN\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\sum _{{i=1}}^{{N}}\cos ^{2}\theta &=\int _{{0}}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\cos ^{2}\theta \sin \theta \,d\theta \\&=N\left({\frac{\cos ^{3}\theta }{3}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\\&={\frac{N}{3}}\end{aligned}}</math> Si ha quindi: <math>{\begin{aligned}P={\frac{Nu}{3}}={\frac{U}{3}}\end{aligned}}</math> Calcoliamo ora la radianza, che ricordiamo essere: <math>{\begin{aligned}R={\frac{E_{{tot\ emessa}}}{{\mbox{unit di area e di tempo}}}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}R&=\sum _{{i=1}}^{{N}}cu\cos \theta &=\int cu\cos \theta \,dN\\&=\int cu\cos \theta \,dN&={\frac{1}{2}}Ncu\left({\frac{\cos ^{2}\theta }{2}}\right)|_{0}^{{{\frac{\pi }{2}}}}\end{aligned}}</math> Il fattore <math>{\frac{1}{2}}</math> compare perchè stiamo considerando solo i raggi emessi. Si ottiene infine: <math>{\begin{aligned}R={\frac{c}{4}}U\end{aligned}}</math> Con queste premesse affrontiamo la derivazione termodinamica della legge di Stefan - Boltzmann.<ref>Si userà il simbolo <math>dG</math> per indicare G differenziale esatto, il simbolo <math>\delta G</math> per indicare G differenziale non esatto.</ref> Per definizione <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS={\frac{\delta Q}{T}}={\frac{\delta L+d{\textit {U}}}{T}}\\\delta L=pdV={\frac{U}{3}}dV\rightarrow {\mbox{a pressione costante}}\\U={\frac{{\mathcal {U}}}{V}}{\mathcal {U}}=U\cdot Vd{\mathcal {U}}=UdV+VdU\\\end{cases}}\end{aligned}}</math>. dove <math>S</math> è l'entropia, <math>U</math> è la densità di energia trasportata dalle onde, <math>{\mathcal {U}}</math> è l'energia interna,<math>L</math> e <math>Q</math> rispettivamente lavoro e calore entranti/uscenti dal sistema. Sostituendo le espressioni di <math>\delta L</math> e <math>d{\mathcal {U}}</math> nell'equazione per <math>dS</math> si ha: <math>{\begin{aligned}dS&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}dU\right)\\&={\frac{1}{3}}U{\frac{dV}{T}}+\left({\frac{U}{T}}dV+{\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}dT\right)\\&=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)dV+\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)dT\end{aligned}}</math> Riassumendo, sappiamo che: * <math>S=S(V,T)</math> : <math>S</math> è una funzione di stato; * <math>S</math> è un differenziale esatto: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}dS=\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV+\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT\\{\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}={\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Confrontando le espressioni per <math>dS</math> concludiamo che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac{\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)\\\left({\frac{\partial S}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Sfruttando ora l'uguaglianza tra le derivate seconde miste: <math>{\begin{aligned}{\frac{\partial ^{2}S}{\partial V\partial T}}&={\frac{\partial }{\partial V}}\left({\frac{V}{T}}{\frac{dU}{dT}}\right)\\&={\frac{\partial }{\partial T}}\left({\frac{4}{3}}{\frac{U}{T}}\right)&={\frac{\partial ^{2}S}{\partial T\partial V}}\end{aligned}}</math> Svolgendo i calcoli e ricordando <math>U=U(T)</math>: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{-4}{3}}{\frac{U}{T^{2}}}+{\frac{4}{3}}{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}\\{\frac{1}{T}}{\frac{dU}{dT}}&={\frac{4U}{T^{2}}}\rightarrow {\mbox{separo le variabili}}\\{\frac{dU}{U}}&={\frac{4dT}{T}}\rightarrow {\mbox{ ora integro}}\\\ln U&=4\ln T+C\\\ln U&=\ln T^{4}+C\end{aligned}}</math> In conclusione si è ottenuto: <math>{\begin{aligned}U\propto T^{4}\end{aligned}}</math> Poichè inoltre <math>R\propto U</math> in definitiva è verificato che: <math>{\begin{aligned}R\propto T^{4}\end{aligned}}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Legge di Wien]] cudtxg9ys9v4bf2y0u0yndi5w0xqzy1 500654 500652 2026-08-09T17:05:14Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072547/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Legge_di_Wien 500654 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La proporzionalità tra temperatura e lunghezza d’onda viene scoperta nel 1893 da Wien. Egli si accorge che la radianza spettrale è esprimibile come: <math>{\begin{aligned}R_{{\lambda }}=T^{5}f(\lambda T)={\frac{1}{\lambda ^{5}}}F(\lambda T)\end{aligned}}</math> In particolare, è possibile riscalare tutte le curve in una sola, utilizzando in modo equivalente le variabili <math>{\begin{aligned}{\frac{R_{\lambda }}{T^{5}}}\vee \\R_{\lambda }\cdot \lambda ^{5}\end{aligned}}</math> Le funzioni F(λT) e f(λT) sono quindi funzioni “universali”. Nel grafico della radianza in funzione della lunghezza d’onda si nota come il massimo della curva si sposti verso destra al diminuire della temperatura. Wien trovò la legge che descrive tale spostamento: per questo motivo la legge di Wien è anche detta legge dello spostamento di Wien. == Legge di Wien == L'ascissa del massimo della curva <math>R_{\lambda }=R_{\lambda }(\lambda )</math> è inversamente proporzionale alla temperatura: <math>{\begin{aligned}\lambda _{{max}}T=2.8978\cdot 10^{{-3}}mK\end{aligned}}</math> Black body.svg I massimi si dispongono su un'iperbole Wien cerca anche di trovare la forma funzionale della curva di corpo nero, senza successo:questa curva decresce troppo rapidamente per lunghezze d'onda grandi.<ref>La curva è espressa per <math>U_{\lambda }</math>, tuttavia passare alla radianza è immediato: non scordiamo che vale <math>{\begin{aligned}R_{\lambda }d\lambda ={\frac{c}{4}}U_{\lambda }d\lambda \end{aligned}}</math></ref> <math>{\begin{aligned}U_{\lambda }d\lambda =C_{1}{\frac{1}{\lambda ^{5}}}e^{{{\frac{-C_{2}}{\lambda T}}}}d\lambda {\mbox{curva di Wien}}\end{aligned}}</math> Osservazioni: * Al crescere della temperatura aumenta la radianza complessiva (Legge di Stefan-Boltzmann) e il massimo si sposta verso lunghezze d'onda minori (Legge di Wien); * La legge di Wien può essere usata per stimare la temperatura superficiale delle stelle dall'analisi del loro spettro. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Legge di Wien]] ja0cl4o3qd5y3l1h6ys8r0tvzt7lub5 0 60915 500656 2026-08-09T17:06:19Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070710/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modelli_teorici 500656 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Analizziamo ora i tentativi di Rayleigh-Jeans e di Planck di derivare rigorosamente la legge del corpo nero. Il modello elaborato da Rayleigh-Jeans rimane entro la fisica classica e non risulta soddisfacente. Tuttavia contiene elementi importanti che verranno ripresi da Planck e integrati con ipotesi quantistiche: la quantizzazione dell'energia. Nei capitoli precedenti abbiamo visto come si è arrivati alla quantizzazione della materia e della carica, ossia a considerarle quantità discrete multipli di quantità elementari. Lo studio del corpo nero è ciò che porta all'introduzione di tale ipotesi anche per l'energia. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modelli teorici]] qoerhbhkdvr05n7od47jgm04j2tyfvd 0 60916 500657 2026-08-09T17:06:45Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073038/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Rayleigh-Jeans 500657 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Rayleigh e Jeans modellizzano il corpo nero come una cavità isoterma cubica con pareti conduttrici. All'interno della cavità la radiazione termica è radiazione elettromagnetica, governata dalle leggi dell'elettromagnetismo. Gli elettroni delle pareti vengono messi in oscillazione dalle onde incidenti e, comportandosi come oscillatori elementari, re-irradiano alla stessa frequenza: in questo modo le radiazioni vengono costantemente assorbite e riemesse dalle pareti. La cavità geometrica impone precise condizioni al contorno per il campo elettromagnetico, perciò all'interno di essa si instaurano onde elettromagnetiche stazionarie: non tutte le frequenze di oscillazione sono ammesse. Il primo importante risultato dei due scienziati, che è poi la parte corretta del modello che verrà ripresa da Planck, è la stima del numero di modi di oscillazione. L'equazione dell'onda stazionaria si ottiene imponendo le condizioni al contorno all'equazione d'onda generica in 3 dimensioni. <math>{\begin{aligned}{\textbf {E}}={\textbf {E}}(x,y,z,t)\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}{\frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}={\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\partial ^{2}E_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac{\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\partial ^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac{\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}E_{z}}{\partial z^{2}}}={\frac{1}{c^{2}}}{\frac{\partial ^{2}E_{z}}{\partial t^{2}}}\end{cases}}\\{\begin{array}{cccc}\\E_{x}=0&y=0,L&\land &z=0,L\\E_{y}=0&x=0,L&\land &z=0,L\\E_{z}=0&x=0,L&\land &y=0,L\end{array}}\end{aligned}}</math> La soluzione di questo problema è: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}E_{x}=E_{{0x}}\cos {{\frac{n_{1}\pi x}{L}}}\sin {{\frac{n_{2}\pi y}{L}}}\sin {{\frac{n_{3}\pi z}{L}}}\sin {2\pi \nu t}\\E_{y}=E_{{0y}}\cos {{\frac{n_{1}\pi x}{L}}}\sin {{\frac{n_{2}\pi y}{L}}}\sin {{\frac{n_{3}\pi z}{L}}}\sin {2\pi \nu t}\\E_{z}=E_{{0z}}\cos {{\frac{n_{1}\pi x}{L}}}\sin {{\frac{n_{2}\pi y}{L}}}\sin {{\frac{n_{3}\pi z}{L}}}\sin {2\pi \nu t}\end{cases}}\end{aligned}}</math> Consideriamo ora la sola componente <math>E_{x}</math>, per le altre si procede in modo analogo. Sostituendo l'espressione di <math>E_{x}</math> nell'equazione d'onda, otteniamo che le frequenze permesse sono quelle che rispettano la condizione: <math>{\begin{aligned}-[{{\frac{n_{1}\pi }{L}}}^{2}+{{\frac{n_{2}\pi }{L}}}^{2}+{{\frac{n_{3}\pi }{L}}}^{2}]E_{x}&={\frac{-1}{c^{2}}}(2\pi \nu )^{2}E_{x}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\nu &={\frac{c}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}\end{aligned}}</math> L'ultima equazione descrive una sfera nello spazio individuato dagli assi <math>n_{1},n_{2},n_{3}</math>, di cui consideriamo l'ottante (cioè <math>{\frac{1}{8}}</math> di sfera)in cui le tre variabili sono positive. Ogni punto di questo spazio individua un modo di oscillazione (un punto è una terna <math>(n_{1},n_{2},n_{3})</math>, ossia una frequenza <math>\nu</math> ). I volumi infinitesimi in questo spazio sono quindi misure di densità di modi. Ottante sfera.jpg Ora cambiamo le coordinate: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}R_{{sfera}}&=R&={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}&={\frac{2L}{c}}\nu \\dR&={\frac{2L}{c}}d\nu \end{cases}}\end{aligned}}</math> Calcoliamo il volume del guscio di ottante compreso tra <math>R</math> e <math>R+dR</math>. <math>{\begin{aligned}V_{{ottante}}&={\frac{1}{8}}4\pi R^{2}dR\\&={\frac{1}{8}}4\pi ({\frac{2L}{c}}\nu )^{2}{\frac{2L}{c}}d\nu \\&={\frac{4\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}L^{3}d\nu \\&={\frac{4\pi V_{{cavit}}}{c^{3}}}\nu ^{2}d\nu \end{aligned}}</math> Considerando poi i due possibili modi di polarizzazione dell'onda, ottengo l'espressione per la densità dei modi di oscillazione: <math>{\begin{aligned}G(\nu )d\nu ={\frac{8\pi V_{{cavit}}}{c^{3}}}\nu ^{2}d\nu \end{aligned}}</math> Fino a qui, il modello di Rayleigh-Jeans è corretto. A questo punto si vuole determinare la densità di energia per unità di frequenza e di volume. <math>{\begin{aligned}U_{\nu }d\nu =G(\nu )d\nu \cdot (energia\ modo)\cdot {\frac{1}{V}}\end{aligned}}</math> A tal fine occorre trovare un'espressione per l'energia di ciascun modo, ed è qui la scelta errata dei due scienziati. Essi la stimano pensando non all'energia trasportata da un'onda stazionaria ma all'energia degli oscillatori nella parete, che ricavano dal principio di equipartizione classica. Ogni modo di oscillazione ha quindi energia media pari a <math>kT</math>. Dunque: <math>{\begin{aligned}U_{\nu }d\nu ={\frac{8\pi }{c^{3}}}\nu ^{2}kTd\nu \end{aligned}}</math> Passando alle lunghezze d'onda: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\nu ={\frac{c}{}}\\d\nu ={\frac{-c}{^{2}}}d\end{cases}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}U_{\nu }d\nu ={\frac{8\pi }{^{4}}}kTd\end{aligned}}</math> Black body.svg Il problema è che l'energia diverge per <math>0</math> anzichè andare a 0 come nella curva sperimentale: si parla di catastrofe ultravioletta. Per λ grandi invece il modello si adatta alla curva: in questa situazione l'interpretazione classica va bene. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Rayleigh-Jeans]] mra9lqucm1l8he2y3sqcnpdexiart3k 0 60917 500658 2026-08-09T17:07:11Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071830/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Planck 500658 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il problema del modello di Rayleigh-Jeans, come già abbiamo avuto modo di osservare, sta nel principio di equipartizione. Questo principio deriva dalla distribuzione di Boltzmann, in cui le quantità considerate sono continue. Il calcolo del valor medio dell'energia secondo tale distribuzione dà infatti: <math>{\begin{aligned}<E>={\frac{\int Ee^{{{\frac{-E}{kT}}}}\,dE}{\int e^{{{\frac{-E}{kT}}}}\,dE}}=kT\end{aligned}}</math> Per risolvere il problema della catastrofe ultravioletta l'energia scambiata dagli oscillatori deve dipendere dalla loro frequenza di oscillazione: in questo modo potrebbe bilanciare l'andamento funzionale che provoca la catastrofe. La prima ipotesi di Planck è che gli oscillatori non scambino energia in modo continuo, ma discreto: introduce quindi la quantizzazione dell'energia. L'energia degli oscillatori può essere: <math>{\begin{aligned}E,E,2E..\end{aligned}}</math> Non solo, ma i quanti di energia scambiati sono funzione della frequenza: <math>{\begin{aligned}E=h\\ipotesi\ di\ quantizzazione\ di\ Planck\end{aligned}}</math> Ciascun oscillatore scambia un'energia multipla di ΔE: <math>{\begin{aligned}E_{n}=nh\end{aligned}}</math> Sfruttando la distribuzione statistica di Boltzmann(Distribuzione statistica di Boltzmann), in cui questa volta compaiono quantità discrete, la probabilità che un oscillatore a temperatura T abbia energia <math>E_{n}</math> è: <math>{\begin{aligned}p(E_{n})={\frac{1}{kT}}e^{{{\frac{-nh}{kT}}}}\end{aligned}}</math> Poichè l'energia è ora trattata come quantità discreta, gli integrali si trasformano in sommatorie: <math>{\begin{aligned}<E>&={\frac{\sum _{{n=0}}^{{}}E_{n}p(E_{n})}{\sum _{{n=0}}^{{}}p(E_{n})}}\\&={\frac{\sum _{{n=0}}^{{}}{\frac{nh}{kT}}e^{{{\frac{-nh}{kT}}}}}{\sum _{{n=0}}^{{}}{\frac{1}{kT}}e^{{{\frac{-nh}{kT}}}}}}\end{aligned}}</math> Per semplificare le espressioni poniamo: <math>{\begin{aligned}={\frac{h}{kT}}\end{aligned}}</math> Dunque abbiamo: <math>{\begin{aligned}<E>=kT{\frac{\sum _{{n=0}}^{{}}ne^{{-n}}}{\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}}}\end{aligned}}</math>calcolo del valor medio dell'energia secondo tale distribuzione dà infatti: Ora: <math>{\begin{aligned}{\frac{\sum _{{n=0}}^{{}}ne^{{-n}}}{\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}}}&=-{\frac{\sum _{{n=0}}^{{}}{\frac{de^{{-n}}}{d}}}{\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}}}\\&=-{\frac{{\frac{d}{d}}(\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}})}{\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}}}\\&=-{\frac{d}{d}}(\ln {\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}})\end{aligned}}</math> Quindi possiamo scrivere: <math>{\begin{aligned}<E>&=-kT{\frac{d}{d}}(\ln {\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}})\\&=-h{\frac{d}{d}}(\ln {\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}})\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\sum _{{n=0}}^{{}}e^{{-n}}&={\frac{1}{1-e^{{-}}}}serie\ geometrica\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}<E>&=-h{\frac{d}{d}}(\ln {{\frac{1}{1-e^{{-}}}}})\\&=h{\frac{e^{{-}}}{1-e^{{-}}}}\\&={\frac{h}{e^{{}}-1}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}<E>={\frac{h}{e^{{{\frac{h}{kT}}}}-1}}\end{aligned}}</math> Questo importantissimo risultato rappresenta l'energia media di un oscillatore armonico a temperatura T, con l'ipotesi di quantizzazione dell'energia. Planck recupera dal modello di Rayleigh-Jeans l'espressione per la densità dei modi di oscillazione: <math>{\begin{aligned}G()d={\frac{8V_{{cavit}}}{c^{3}}}^{2}d\end{aligned}}</math> Ricordando che la densità di energia per unità di frequenza e di volume è: <math>{\begin{aligned}U_{d}=G()d\cdot (energia\ modo)\cdot {\frac{1}{V}}\end{aligned}}</math> e utilizzando la nuova espressione per l'energia di un oscillatore si ottiene infine: <math>{\begin{aligned}U_{d}={\frac{8^{2}}{c^{3}}}{\frac{h}{e^{{{\frac{h}{kT}}}}-1}}d\end{aligned}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Planck]] 6dawn7tuwad9mxm9m4rn49syaz25cvv 0 60918 500659 2026-08-09T17:07:55Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071805/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Calore_specifico_dei_solidi 500659 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Abbiamo visto come, utilizzando il teorema di equipartizione dell'energia, Dubong e Petit trovarono, nel 1819, cv = 3R. Tuttavia tale risultato non è in accordo con i dati sperimentali che prevedono una dipendenza della temperatura: 3R è il limite per alte temperature, mentre per temperature vicino allo 0 si ha un andamento proporzionale a <math>T^{3}</math>. Alla luce dell'ipotesi di Planck sulla quantizzazione dell'energia vengono elaborati nuovi modelli. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Calore specifico dei solidi]] sookxzue5oeayon1b85t7kgx676yko9 500721 500659 2026-08-10T11:51:11Z Hippias 18281 500721 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Abbiamo visto come, utilizzando il teorema di equipartizione dell'energia, Dubong e Petit trovarono, nel 1819, <math>cv = 3R</math>. Tuttavia tale risultato non è in accordo con i dati sperimentali che prevedono una dipendenza della temperatura: <math>3R</math> è il limite per alte temperature, mentre per temperature vicino allo 0 si ha un andamento proporzionale a <math>T^{3}</math>. Alla luce dell'ipotesi di Planck sulla quantizzazione dell'energia vengono elaborati nuovi modelli. {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Calore specifico dei solidi]] pvfkkh72g6t6ncoe0hevpfeod3erfxw 0 60919 500660 2026-08-09T17:08:21Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Einstein 500660 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Einstein modellizza il solido come un sistema di N atomi che vibrano a causa dei microspostamenti termici attorno a un punto di equilibrio. In prima approssimazione il potenziale vibrazionale si può pensare ad andamento parabolico: il tipo di moto di ciascun atomo è dunque armonico. Einstein immagina inoltre che le oscillazioni di ciascun atomo siano indipendenti tra loro e lungo le direzioni, e che le 'molle' che legano gli atomi nel solido siano caratterizzate da un'unica costante elastica b: tutti gli atomi hanno dunque la stessa frequenza di vibrazione, esprimibile come: <math>{\begin{aligned}\nu ={\frac{{\sqrt {{\frac{b}{m}}}}}{2\pi }}\end{aligned}}</math> Sfruttando l'ipotesi di quantizzazione di Planck, ad ogni oscillatore si può associare un'energia media: <math>{\begin{aligned}<E>={\frac{h\nu }{e^{{{\frac{h\nu }{kT}}-1}}}}\end{aligned}}</math> L'energia totale del sistema è data dal prodotto tra l'energia media associata ad ogni grado di libertà di un oscillatore, <E>, il numero di gradi di libertà di ciascun oscillatore, 3, e il numero degli oscillatori, N. In conclusione: <math>{\begin{aligned}U=3N{\frac{h\nu }{e^{{{\frac{h\nu }{kT}}-1}}}}\end{aligned}}</math> Ora, poichè <math>c_{v}={\frac{1}{n}}{\frac{\partial U}{\partial T}}</math> otteniamo la seguente espressione per il calore specifico di un solido: <math>{\begin{aligned}c_{v}=3R({\frac{h\nu }{kT}})^{2}{\frac{e^{{{\frac{h\nu }{kT}}}}}{(e^{{{\frac{h\nu }{kT}}}}-1)^{2}}}\end{aligned}}</math> Definendo come temperatura caratteristica di Einstein <math>{\begin{aligned}\theta _{E}={\frac{h\nu }{k}}\end{aligned}}</math> si ottiene che: <math>{\begin{aligned}c_{v}=3R({\frac{\theta _{E}}{T}})^{2}{\frac{e^{{{\frac{\theta _{E}}{T}}}}}{(e^{{{\frac{\theta _{E}}{T}}}}-1)^{2}}}\end{aligned}}</math> Vediamo i limiti di questa espressione: * limite classico: <math>T>>\theta _{E}</math> <math>{\begin{aligned}c_{v}\approx 3R({\frac{\theta _{E}}{T}})^{2}{\frac{1}{(1+{\frac{\theta _{E}}{T}}-1)^{2}}}\approx 3R\end{aligned}}</math> Il limite classico è concorde con il modello di Dubong e Petit. * limite quantistico: <math>T<<\theta _{E}</math> <math>{\begin{aligned}c_{v}\approx 3R({\frac{\theta _{E}}{T}})^{2}{\frac{e^{{{\frac{\theta _{E}}{T}}}}}{(e^{{{\frac{\theta _{E}}{T}}}})^{2}}}\approx 3R({\frac{\theta _{E}}{T}})^{2}e^{{{\frac{-\theta _{E}}{T}}}}\end{aligned}}</math> Per T che tende a 0 <math>c_{v}</math> tende a 0, ma con una dipendenza funzionale non concorde con i dati sperimentali. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Einstein]] 4atef40gj3gbfrjugkxv4ut0pxosoh6 0 60920 500661 2026-08-09T17:08:41Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Debye 500661 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Debye riprende l'intero modello di Planck per il corpo nero: non solo la quantizzazione dell'energia ma anche l'idea che vi siano diversi modi di oscillazione, a frequenze diverse. Il problema del modello di Einstein, infatti, era proprio considerare una singola frequenza di oscillazione. Se un'onda che si propaga in un solido è caratterizzata da una lunghezza d'onda <math>\lambda</math> molto maggiore della distanza interatomica, essa vede il solido come un continuo elastico [1], ossia non vede la discretezza del solido. All'interno del solido si instaurano dunque onde elastiche stazionarie, le vibrazioni non sono più indipendenti e le frequenze di oscillazione sono tante. Consideriamo dunque un solido continuo elastico, ad esempio un cubo di lato L. L'equazione di un'onda stazionaria che si propaga nel solido con velocità <math>v_{s}</math> lungo la direzione x è: <math>{\begin{aligned}f(x,t)=\sin(kx)\cos(\omega t)\end{aligned}}</math> con <math>{\begin{aligned}k&={\frac{2\pi }{\lambda }}\\\nu &={\frac{v_{s}}{\lambda }}\\\omega &=kv_{s}\end{aligned}}</math> La relazione lineare con coefficiente costante tra <math>\omega</math> e <math>k</math> è un'approssimazione, che chiamiamo appunto approssimazione lineare. Vedremo in seguito quando è da considerarsi valida. Imponendo la condizione di periodicità <math>{\begin{aligned}k_{x}(x+L)&=k_{x}x+2\pi n_{x}\\k_{x}&={\frac{2\pi }{L}}n_{x}\end{aligned}}</math> Lo stesso deve valere per onde che si propagano lungo y o lungo z. In conclusione deve valere: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}k_{x}&={\frac{2\pi }{L}}n_{x}\\k_{y}&={\frac{2\pi }{L}}n_{y}\\k_{z}&={\frac{2\pi }{L}}n_{z}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Considero ora il vettore d'onda <math>k=(k_{x},k_{y},k_{z})</math> e cerco la densità di onde con numero d'onda compreso tra <math>k</math> e <math>k+dk</math>: <math>{\begin{aligned}dn_{x}dn_{y}dn_{z}&={\frac{L^{3}}{8\pi ^{3}}}dk_{x}dk_{y}dk_{z}\end{aligned}}</math> In coordinate polari: <math>{\begin{aligned}G(k)dk&={\frac{V}{8\pi ^{3}}}4\pi k^{2}dk\\&={\frac{V}{2\pi ^{2}}}k^{2}dk\end{aligned}}</math> Per passare in pulsazioni <math>\omega</math> ricordiamo che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}k&={\frac{\omega }{v_{s}}}\\dk&={\frac{d\omega }{v_{s}}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Dunque <math>{\begin{aligned}G(\omega )d\omega &={\frac{V}{2\pi ^{2}}}{\frac{\omega ^{2}}{v_{s}^{3}}}d\omega \end{aligned}}</math> e poichè <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}\omega &=2\pi \nu \\d\omega &=2\pi d\nu \\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Abbiamo l'espressione della densità di onde che oscillano con frequenza compresa tra <math>\nu</math> e <math>\nu +d\nu</math>: <math>{\begin{aligned}G(\nu )d\nu &={\frac{4\pi V}{v_{s}^{3}}}\nu ^{2}d\nu \end{aligned}}</math> In generale, tuttavia, la velocità di propagazione di onde longitudinali e trasversali è diversa. Inoltre per ogni onda trasversale esistono due direzioni indipendenti di oscillazione, mentre per ogni onda longitudinale ve ne è solo una. Detta <math>v_{t}</math> la velocità di propagazione di un'onda trasversale e <math>v_{l}</math> la velocità di propagazione di un'onda longitudinale, possiamo definire una velocità di propagazione media nel solido pesata sul numero di modi di oscillazione: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{<v_{s}>^{3}}}={\frac{1}{v_{l}^{3}}}+{\frac{2}{v_{t}^{3}}}\end{aligned}}</math> Ricavo quindi che: <math>{\begin{aligned}G(\nu )d\nu &={\frac{4\pi V}{<v_{s}>^{3}}}\nu ^{2}d\nu \end{aligned}}</math> Osserviamo che la densità di modi <math>G(\nu )d\nu</math> è analoga a quella ricavata da Rayleigh e Jeans per il corpo nero. Tuttavia in questo caso bisogna tener conto che il numero massimo di gradi di libertà del sistema è 3N. Matematicamente bisogna imporre la condizione: <math>{\begin{aligned}\int _{{0}}^{{\nu _{D}}}G(\nu )\,d\nu =3N\end{aligned}}</math> La frequenza di taglio <math>\nu _{D}</math> è detta frequenza di Debye. <math>{\begin{aligned}\int _{{0}}^{{\nu _{D}}}{\frac{4\pi V}{<v_{s}>^{3}}}\nu ^{2}\,d\nu &={\frac{4\pi V}{3<v_{s}>^{3}}}\nu _{D}^{3}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}{\frac{4\pi V}{3<v_{s}>^{3}}}\nu _{D}^{3}=3N\rightarrow \nu _{D}^{3}={\frac{9n}{4\pi }}v_{s}^{3}\end{aligned}}</math> con <math>n={\frac{N}{V}}</math> densità di atomi nel solido (dell'ordine di <math>10^{{22}}cm^{{-3}}</math>). Il fatto che la velocità sia indipendente dalla frequenza, ed è dunque stata considerata una costante nell'operazione di integrazione, viene dall'ipotesi di approssimazione lineare. L'energia interna del solido è quindi data da: <math>{\begin{aligned}U&=\int _{{0}}^{{\nu _{D}}}G(\nu )<E>\,d\nu \\&={\frac{4\pi V}{v_{s}^{3}}}\int _{{0}}^{{\nu _{D}}}{\frac{h\nu ^{3}}{e^{{{\frac{h\nu }{kT}}}}-1}}\,d\nu \end{aligned}}</math> Tramite la seguente sostituzione di variabili: <math>{\begin{aligned}x={\frac{h\nu }{kT}}\rightarrow \\{\begin{cases}\nu ={\frac{kTx}{h}}\\d\nu ={\frac{kT}{h}}dx\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Si ottiene: <math>{\begin{aligned}U&={\frac{4\pi Vh}{v_{s}^{3}}}({\frac{kT}{h}})^{4}\int _{{0}}^{{{\frac{h\nu _{D}}{kT}}}}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx\\&=9N({\frac{kT}{h\nu _{D}}})^{3}kT\int _{{0}}^{{{\frac{h\nu _{D}}{kT}}}}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx\end{aligned}}</math> Definisco ora temperatura di Debye <math>\theta _{D}={\frac{h\nu _{D}}{k}}</math> e ottengo: <math>{\begin{aligned}U&=9N({\frac{T}{\theta _{D}}})^{3}kT\int _{{0}}^{{{\frac{\theta _{D}}{T}}}}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx\end{aligned}}</math> Calcoliamo i limiti di tale risultato: * limite classico:<math>T>>\theta _{D}</math> segue <math>x<<1</math> <math>{\begin{aligned}\int _{{0}}^{{{\frac{\theta _{D}}{T}}}}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx\approx \int _{{0}}^{{{\frac{\theta _{D}}{T}}}}x^{2}\,dx={\frac{1}{3}}({\frac{\theta _{D}}{T}})^{3}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}U=3NkT\\c_{v}=3R\end{aligned}}</math> * limite quantistico:<math>T<<\theta _{D}</math> <math>{\begin{aligned}\int _{{0}}^{{{\frac{\theta _{D}}{T}}}}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx\approx \int _{{0}}^{{+\inf }}{\frac{x^{3}}{e^{{x}}-1}}\,dx={\frac{\pi ^{4}}{15}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}U={\frac{3}{5}}N\pi ^{4}kT({\frac{T}{\theta _{D}}})^{3}\\c_{v}={\frac{12}{5}}\pi ^{4}{\frac{R}{\theta _{D}^{3}}}T^{3}\end{aligned}}</math> == Note == <references /> ↑ L'approssimazione di continuo elastico isotropo è corretta a basse temperature {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Debye]] sd2xjxrit8mzl8q8pgeh6pxs34f3f6l 0 60921 500662 2026-08-09T17:09:01Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071759/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Approfondimento:precisazioni_sul_modello_di_solido 500662 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Costruiamo un semplice modello monodimensionale per studiare la propagazione delle onde in un solido. Immaginiamo il solido come costituito da tante masse m equidistanti, che oscillano a causa dell'agitazione termica e soggette a interazioni elastiche con costante elastica <math>\beta</math> Utilizziamo l' approssimazione dei primi vicini, ossia studiamo solo l'interazione di una particella con quelle immediatamente adiacenti, trascurando le altre. Numeriamo le particelle con indice <math>n</math> e consideriamo le particelle <math>n-1,n,n+1</math>. Se <math>a</math> è la distanza tra le particelle all'equilibrio, la posizione di equilibrio della particella n-esima sarà <math>x_{n}=na</math>. Sia <math>\xi _{n}</math> lo spostamento della particella n-esima dalla posizione di equilibrio. Solido.jpg Studiamo le forze agenti sulla particella n-esima. <math>{\begin{aligned}F_{1}=\beta \left(\xi _{n}-\xi _{{n-1}}\right)\\F_{2}=\beta \left(\xi _{{n+1}}-\xi _{{n}}\right)\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}F_{{tot}}=-F_{1}+F_{2}=\beta \left(\xi _{{n+1}}+\xi _{{n-1}}-2\xi _{{n}}\right)\end{aligned}}</math> L'equazione del moto è quindi: <math>{\begin{aligned}m{\frac{\partial ^{2}\xi _{n}}{\partial t^{2}}}=\beta \left(\xi _{{n+1}}+\xi _{{n-1}}-2\xi _{{n}}\right)\end{aligned}}</math> La soluzione di questa equazione differenziale è del tipo <math>{\begin{aligned}\xi _{n}&=\xi _{0}e^{{i\left(\omega t+kx\right)}}\\&=\xi _{0}e^{{i\left(\omega t+kna\right)}}\end{aligned}}</math> Sostituendo nell'equazione: <math>{\begin{aligned}-m\omega ^{2}\xi _{0}e^{{i\left(\omega t+kna\right)}}=\beta \xi _{0}\left(e^{{i\left(\omega t+k(n+1)a\right)}}+e^{{i\left(\omega t+k(n-1)a\right)}}-2e^{{i\left(\omega t+kna\right)}}\right)\end{aligned}}</math> Fattorizzando il fattorizzabile (<math>\xi _{0}</math> e <math>e^{{i\left(\omega t+kna\right)}}</math>) <math>{\begin{aligned}-m\omega ^{2}&=\beta \left(e^{{ika}}+e^{{-ika}}-2\right)\\&=2\beta \left({\frac{e^{{ika}}+e^{{-ika}}}{2}}-1\right)\\&=2\beta \left(\cos {ka}-1\right)\\m\omega ^{2}&=2\beta \left(1-\cos {ka}\right)\\&=2\beta 2\sin ^{2}{{\frac{ka}{2}}}\\&=4\beta \sin ^{2}{{\frac{ka}{2}}}\end{aligned}}</math> Segue che <math>{\begin{aligned}\omega =\pm {\sqrt {{\frac{\beta }{m}}}}\sin {{\frac{ka}{2}}}\end{aligned}}</math> L'approssimazione di Debye che vede <math>\omega</math> funzione lineare di <math>k</math> è valida solo per lunghezze d'onda elevate: se <math>\lambda</math> è grande <math>{\frac{ka}{2}}\to 0</math> dunque <math>\sin {{\frac{ka}{2}}}\to {\frac{ka}{2}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Approfondimento: precisazioni sul modello di solido]] ow9xv8gxk459c8iure5hi3lropkgmqz 0 60922 500663 2026-08-09T17:09:21Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072515/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Effetto_fotoelettrico 500663 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Assieme all'effetto Compton l'effetto fotoelettrico è uno dei due esperimenti che mettono in luce l'aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica. L'effetto fotoelettrico evidenzia soprattutto la quantizzazione dell'energia, l'effetto Compton la quantizzazione della quantità di moto. Nel corso di esperimenti relativi alle onde elettromagnetiche Hertz scopre che la scarica tra due elettrodi mantenuti ad una certa differenza di potenziale viene facilitata se gli elettrodi sono illuminati con luce ultravioletta. Successivamente Hallwachs e Lenard dimostrano che l'incidenza di luce ultravioletta su una superficie metallica causa emissione di elettroni da parte di tale superficie. Tale fenomeno viene chiamato effetto fotoelettrico, gli elettroni emessi fotoelettroni e la corrente che è possibile misurare fotocorrente. Lo studio sistematico di questo fenomeno è svolto da Lenard. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Effetto fotoelettrico]] fihnf22isahf8hwaayjqmkmdbizj92y 500722 500663 2026-08-10T11:55:34Z Hippias 18281 500722 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Assieme all'effetto Compton, l'effetto fotoelettrico è uno dei due esperimenti che mettono in luce l'aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica. L'effetto fotoelettrico evidenzia soprattutto la quantizzazione dell'energia, l'effetto Compton la quantizzazione della quantità di moto. Nel corso di esperimenti relativi alle onde elettromagnetiche, Hertz scopre che la scarica tra due elettrodi mantenuti ad una certa differenza di potenziale viene facilitata se gli elettrodi sono illuminati con luce ultravioletta. Successivamente Hallwachs e Lenard dimostrano che l'incidenza di luce ultravioletta su una superficie metallica causa emissione di elettroni da parte di tale superficie. Tale fenomeno viene chiamato effetto fotoelettrico, gli elettroni emessi fotoelettroni e la corrente che è possibile misurare fotocorrente. Lo studio sistematico di questo fenomeno è svolto da Lenard. {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Effetto fotoelettrico]] eyscln0jarojar4aj9v8syyr39oxrzh 0 60923 500664 2026-08-09T17:09:49Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071750/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Apparato_sperimentale_(Lenard) 500664 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Effetto fotoelettrico.jpg La luce prodotta dalla sorgente irraggia il metallo dell'emettitore attraverso una finestra di quarzo. Un collettore è mantenuto ad una differenza di potenziale V rispetto all'emettitore ed è collegato ad un circuito che rivela eventuali correnti. I parametri che si possono variare sono: * tipo di irraggiamento della sorgente: intensità, frequenza; * tipo di emissione: tipo di metallo che costituisce l'emettitore; * accelerazione: potenziale accelerante. == Potenziale e frequenza costanti, varia l'intensità == Fotoelettrico 1.jpg Si osserva che all'aumentare dell'intensità della radiazione incidente aumenta linearmente l'intensità della fotocorrente. == Intensità e frequenza della sorgente fissati, varia il potenziale accelerante == Fotoelettrico 2.jpg All'aumentare del potenziale accelerante la fotocorrente si stabilizza su un valore costante: questo avviene quando il collettore cattura tutti gli elettroni emessi. Diminuendo il potenziale accelerante la fotocorrente diminuisce: meno elettroni riescono ad arrivare al collettore. Tuttavia a potenziale nullo la fotocorrente non è nulla: gli elettroni hanno un'energia cinetica, non escono "fermi". Esiste un potenziale di stop, <math>V_{S}</math>, negativo, che è il potenziale da applicare per non misurare più fotocorrente. E' una misura dell'energia cinetica massima degli elettroni. Il valore di <math>V_{S}</math> è indipendente dall'intensità della radiazione incidente: non torna con le previsioni classiche. == Intensità sorgente fissata, potenziale fissato, varia la frequenza della radiazione incidente == Fotoelettrico 3.jpg Per ogni materiale esiste una frequenza caratteristica, detta frequenza di soglia <math>\nu _{{soglia}}</math>, sotto la quale non si misura più fotocorrente, anche aumentando a dismisura l'intensità della radiazione. Questa frequenza dipende solo dal tipo di materiale che costituisce l'emettitore. Anche questo risultato è incomprensibile classicamente. == Potenziale di stop in funzione della frequenza, a materiale e intensità fissata == Fotoelettrico 4.jpg All'aumentare della frequenza della radiazione incidente aumenta il potenziale di stop: l'andamento è lineare. Poichè il potenziale di stop è una misura dell'energia cinetica massima degli elettroni, questo sembra indicare che l'energia cinetica dipenda dalla frequenza della radiazione incidente, assolutamente incoerente con la visione classica che vede l'energia legata all'intensità e non alla frequenza. Il potenziale <math>\Phi _{0}</math> è detto lavoro di estrazione ed è una misura del lavoro che bisogna spendere per estrarre un elettrone dal metallo. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Apparato sperimentale (Lenard)]] ck8pzv6jkatvwr75quelgefpxwf53km 0 60924 500665 2026-08-09T17:10:23Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070700/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Incompatibilit%C3%A0_con_le_previsioni_classiche 500665 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} I risultati descritti sono incompatibili con le previsioni classiche. La fisica classica tenta di spiegare il fenomeno ipotizzando che gli atomi trattengano gli elettroni con una forza elastica e che quindi certe frequenze di luce possano metterli in risonanza. Tuttavia questo non spiega perchè la risonanza avvenga per tutte le frequenze superiori ad una data, <math>\nu _{{soglia}}</math>. Inoltre secondo le previsioni classiche l'estrazione di un elettrone dovrebbe avvenire per effetto del campo elettrico della radiazione incidente: aumentando l'intensità, poichè il campo risulterebbe maggiore, si dovrebbe avere maggiore emissione, contro l'evidenza sperimentale che al di sotto della frequenza di soglia l'emissione è nulla anche aumentando a dismisura l'intensità della radiazione incidente, e contro la dipendenza dell'energia cinetica dalla frequenza e non dall'intensità. Vi è inoltre un problema fondamentale: vediamo secondo il modello classico quanto impiegherebbe la luce a trasferire all'elettrone l'energia <math>\Phi _{{0}}</math> necessaria all'estrazione. Supponiamo che l'assorbimento avvenga su un'area <math>A</math>. Per la fisica classica la sua energia cinetica massima è <math>{\begin{aligned}K_{{max}}=IAtc-W_{{0}}\end{aligned}}</math> dove <math>W_{{0}}</math> è il lavoro di estrazione, <math>I</math>l'intensità della radiazione e <math>c</math> il coefficiente di assorbimento dell'atomo. Poniamo <math>c=1</math>. Dovrei avere che: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}&{\mbox{se}}&IAt<W_{{0}}&{\mbox{non ho fotocorrente}}\\&{\mbox{se}}&IAt>W_{{0}}&{\mbox{ho fotocorrente e }}K_{{max}}\propto I{\mbox{, contro l'esperienza}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Quanto tempo impiega un elettrone ad accumulare energia <math>W_{{0}}</math> ? <math>{\begin{aligned}K_{{max}}=0\\t={\frac{w_{{0}}}{AI}}\end{aligned}}</math> Inseriamo dei valori tipici: <math>{\begin{aligned}I\approx 10^{{-2}}{\frac{W}{m^{2}}}\\W_{{0}}{\mbox{(Na)}}\approx 2.28eV\\A\approx \pi r^{2}\approx \pi 10^{{-20}}m^{2}\\\end{aligned}}</math> Segue: <math>{\begin{aligned}t&\approx 19min\end{aligned}}</math> La fotocorrente compare però dopo qualche nanosecondo! {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Incompatibilità con le previsioni classiche]] ipw1bauv8wlbclryppg6nbsxh8br635 0 60925 500666 2026-08-09T17:10:46Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072602/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Spiegazione_di_Einstein 500666 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La spiegazione teorica dell'effetto fotoelettrico viene elaborata da Einstein nel 1905. Egli riprende l'ipotesi di quantizzazione di Planck: la radiazione elettromagnetica ha una natura corpuscolare, è composta cioè da quanti di energia <math>U=h\nu</math> , detti fotoni, e nell'interazione della radiazione con la materia un elettrone può assorbire un solo fotone alla volta (questo spiega i tempi di assorbimento) Se <math>E_{{fotone}}>W_{{0}}</math> il fotone viene assorbito e l'elettrone è liberato con energia cinetica <math>{\begin{aligned}K_{{max}}&=eV_{{stop}}\\&=E_{{fotone}}-W_{{0}}\\&=h\nu -W_{{0}}\end{aligned}}</math> In caso contrario il fotone non viene assorbito e non si ha emissione. L'esistenza di una frequenza di soglia viene in questo modo facilmente spiegata: essa è infatti la minima frequenza che deve avere il fotone affinchè l'elettrone possa essere estratto dal metallo. <math>{\begin{aligned}K_{{max}}=0=h\nu _{{soglia}}-W_{{0}}\rightarrow \\\nu _{{soglia}}={\frac{W_{{0}}}{h}}\end{aligned}}</math> La proporzionalità che emerge sperimentalmente tra <math>I_{{fotocorrente}}</math> e <math>I_{{radiazione}}</math> si comprende pensando che ad una maggiore intensità della radiazione incidente corrisponde un maggior numero di fotoni che interagiscono con gli elettroni del metallo: più elettroni possono essere emessi, dunque aumenta anche la fotocorrente. Vediamo come stimare l'energia dei fotoni costituenti un'onda luminosa: Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathring'): {\displaystyle \begin{align} E=h\nu =\frac{hc}{\lambda}=\frac{12400}{\lambda[\mathring{A}]}eV \end{align}} Per la luce visibile Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathring'): 4000 \mathring{A}< \lambda <8000\mathring{A} \rightarrow 2.55 eV < E <3.1 eV In realtà non tutti gli elettroni che assorbono fotoni riescono effettivamente ad uscire dal metallo: per ogni materiale c'è una resa quantica, che dipende anche dalla frequenza, ed è una curva di efficienza del tipo <math>{\begin{aligned}\Phi (\nu )={\frac{{\mbox{numero fotoni emessi}}}{{\mbox{numero fotoni assorbiti}}}}\end{aligned}}</math>. Ogni metallo ha una zona dello spettro in cui rende meglio, e a basse temperature la resa è generalmente migliore perchè c'è meno agitazione termica nel metallo. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spiegazione di Einstein]] eg2u09gctnlig7liettug56d0mvet8h 0 60926 500667 2026-08-09T17:11:10Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071754/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Applicazione:_il_fotomoltiplicatore 500667 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Il funzionamento del fotomoltiplicatore si basa principalmente su due effetti: l'effetto fotoelettrico e l'emissione secondaria (cioè l'elettromoltiplicazione). Il fotomoltiplicatore è costituito da un tubo in vetro al cui interno è stato praticato il vuoto, in cui è presente un anodo e diversi elettrodi che costituiscono i dinodi. Fotomoltiplicatore.svg.png I fotoni colpiscono attraverso una finestra di ingresso una superficie chiamata fotocatodo, ricoperta di uno strato di materiale che favorisce l'effetto fotoelettrico, dunque con basso lavoro di estrazione. A causa di questo effetto vengono emessi degli elettroni, i fotoelettroni, che sono focalizzati da un elettrodo verso lo stadio di moltiplicazione. Questo stadio è costituito da una serie di elettrodi ciascuno caricato ad un potenziale superiore al precedente. Il primo elettrone emesso per effetto fotoelettrico subisce una accelerazione a causa del campo elettrico e acquisisce energia cinetica. Quando l'elettrone colpisce il primo elettrodo del dinodo provoca l'emissione secondaria di diversi elettroni di minore energia. La struttura del sistema è progettata in modo che ciascun elettrone emesso da un elettrodo venga accelerato e provochi l'emissione di diversi elettroni dall'elettrodo successivo. Si ha così un fenomeno a cascata per cui un singolo fotone che colpisce il tubo provoca il passaggio di moltissimi elettroni. Da qui il nome fotomoltiplicatore. L'amplificazione del dispositivo arriva a <math>10^{{8}}</math>, il che significa che un impulso misurabile è prodotto dai singoli fotoni. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Applicazione: il fotomoltiplicatore]] ejusc6a6h0yxvjh093uuw4fcek28912 0 60927 500668 2026-08-09T17:11:31Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073033/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modelli_atomici 500668 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Dopo la scoperta degli elettroni e delle cariche positive si inizia a cercare di costruire un modello di atomo che riesca a spiegare le osservazioni sperimentali. In particolare al centro dell'elaborazione dei modelli vi è il tentativo di dare ragione dello spettro a righe caratteristico degli atomi. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modelli atomici]] 01c1j006zrikuv2i6zm7rw34nu2wx9e 500723 500668 2026-08-10T11:56:02Z Hippias 18281 500723 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Dopo la scoperta degli elettroni e delle cariche positive si inizia a cercare di costruire un modello di atomo che riesca a spiegare le osservazioni sperimentali. In particolare al centro dell'elaborazione dei modelli vi è il tentativo di dare ragione dello spettro a righe caratteristico degli atomi. {{Avanzamento|100%|10 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modelli atomici]] sxkmnzfh0ljvtecf7eg2g28tewmhl3b 0 60928 500669 2026-08-09T17:11:54Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Thomson 500669 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Thompson elabora un modello atomico "a panettone": l'atomo è visto come una distribuzione uniforme sferica di carica positiva <math>\rho</math> in cui sono in equilibrio le cariche negative, ossia gli elettroni. Vediamo come si può interpretare, con questo modello, l'emissione a frequenze caratteristiche osservata sperimentalmente. Consideriamo un atomo con un singolo elettrone. Sia <math>r</math> il raggio dell'atomo e sia <math>a</math> la distanza dell'elettrone dal centro. La forza agente sull'elettrone è <math>{\begin{aligned}F&={\frac{-1}{4\pi \epsilon _{{0}}}}{\frac{4\pi a^{3}\rho }{3}}{\frac{e}{a^{2}}}\\&={\frac{-\rho ea}{3\epsilon _{{0}}}}\end{aligned}}</math> cioè la forza è di tipo elastico <math>F=-ka</math> con <math>{\begin{aligned}k&={\frac{\rho e}{3\epsilon _{{0}}}}\\\nu &={\frac{1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac{k}{m_{{e}}}}}}\end{aligned}}</math> Tuttavia questa frequenza cade nell'ultravioletto, e anche considerando le armoniche il modello non riesce a spiegare le righe di emissione. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Thomson]] kxs9id14d5izbcp3ruc8fyjejloqv8u 0 60929 500670 2026-08-09T17:12:56Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070650/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Rutherford 500670 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'esperimento di Rutherford mostra l'inadeguatezza del modello di Thompson e conduce alla formulazione dell'ipotesi del nucleo. Rutherford indaga le proprietà della materia tramite l'analisi dell'interazione tra fasci di particelle <math>\alpha</math><ref>Nuclei di elio: 2 protoni e 2 neutroni, carichi positivamente</ref> e materia. Nel dettaglio egli bombarda una lamina d'oro spessa qualche micron con fasci di particelle <math>\alpha</math> prodotti da una sorgente radioattiva e ne misura lo scattering, ossia la deviazione, grazie ad uno schermo di solfuro di zinco che emette una luminescenza quando viene colpito da una particella <math>\alpha</math>. Procede dunque a campionare la distribuzione di particelle scatterate in funzione dell'angolo di scattering. == Apparato sperimentale == Rutherford.jpg == Evidenze sperimentali == * la deflessione media, <math><\theta ></math>, è di circa 1°. * con una frequenza di <math>{\frac{1}{8000}}</math> si ha il fenomeno di back-scattering, ossia la particella <math>\alpha</math> viene rimbalzata all'indietro, con <math>\theta</math> di 180° {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Rutherford]] 7vqptdjyghyhkl5xr76e8mg7jycm99a 0 60930 500671 2026-08-09T17:13:15Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Previsioni_secondo_il_modello_di_Thomson 500671 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Vediamo perchè i risultati dell'esperimento di Rutherford risultano incompatibili con il modello di Thompson. Secondo tale modello una particella <math>\alpha</math> può avere due tipi di interazioni con l'atomo * interazione con la carica positiva (sfera uniformemente carica) * interazione con la carica negativa (elettroni) Stimiamo i due effetti separatamente == Interazione particella α - elettrone == Questa interazione è modellizzabile come urto elastico tra una particella di massa <math>m_{{e}}</math> e una particella di massa <math>m_{{\alpha }}>>m_{{e}}</math>, di modo che possiamo approssimare <math>m_{{\alpha }}\approx +\infty</math>. Usando la conservazione della quantità di moto stimiamo la deflessione massima imputabile a questo tipo di interazione. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}p&=m_{{\alpha }}v\\\Delta p&=2m_{{e}}v{\mbox{ si capisce considerando la particella alfa ferma e l'elettrone che ci urta, rimbalzando all'indietro}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Poichè <math>\theta</math> è piccolo, si ha che <math>{\begin{aligned}{\frac{\Delta p}{p}}=\tan {\theta }\approx \theta \end{aligned}}</math> Vectors theta.jpg Dunque: <math>{\begin{aligned}\theta &={\frac{2m_{{e}}v}{m_{{\alpha }}v}}\\&={\frac{2m_{{e}}}{m_{{\alpha }}}}\\&={\frac{1}{4000}}rad\approx 0.01^{\circ }\end{aligned}}</math> Concludiamo che questo tipo di interazione non può essere responsabile delle deviazioni osservate da Rutherford == Interazione particella α - carica positiva == Considerando il modello di Thompson, se l'atomo ha raggio <math>R</math> una particella <math>\alpha</math> impiega, per attraversarlo, un tempo <math>\Delta t={\frac{2R}{v}}</math>. Durante questo tempo la particella è soggetta alla forza coulombiana <math>F={\frac{1}{4\pi \epsilon _{{0}}}}{\frac{q_{{\alpha }}Q}{R^{2}}}</math>. Per il teorema dell'impulso: <math>{\begin{aligned}\Delta p&=F\Delta t\\&={\frac{2}{4\pi \epsilon _{{0}}}}{\frac{q_{{\alpha }}Q}{Rv}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\tan {\theta }\approx \theta &={\frac{q_{{\alpha }}Q}{4\pi \epsilon _{{0}}R({\frac{m_{{\alpha }}v^{2}}{2}})}}\\&={\frac{q_{{\alpha }}Q}{4\pi \epsilon _{{0}}E_{{k}}R}}\end{aligned}}</math> Inserendo valori tipici si ottiene <math>{\begin{aligned}\theta \approx 0.02^{\circ }\end{aligned}}</math> Dunque anche questa interazione, singolarmente, non spiega i risultati sperimentali. == Scattering multiplo == Abbiamo visto che singolarmente le interazioni analizzate non sono sufficienti a spiegare la deviazione media osservata, <math><\theta >=1^{\circ }</math>. Tuttavia ogni singola particella <math>\alpha</math> nell'attraversare la lamina d'oro interagisce con più di un atomo. Proviamo a tenerne conto e studiamo lo scattering multiplo. La composizione degli angoli è analoga alla composizione delle distanze nel random-walk, si ha dunque che l'angolo quadratico medio, <math><\theta ^{2}></math>, va come la radice del numero di urti. <math>{\begin{aligned}{\sqrt {<\theta ^{2}>}}={\sqrt {N}}<\theta _{{0}}>\end{aligned}}</math> Se la lamina d'oro è spessa <math>1\mu m</math> e il diametro di un atomo è circa Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathring'): d \approx 1 \mathring{A} si ha <math>N\approx {\frac {10^{{-6}}}{10^{{-10}}}}\approx 10^{{4}}</math> da cui segue che <math>{\begin{aligned}{\sqrt {<\theta ^{2}>}}\approx 1^{\circ }\end{aligned}}</math> Questo risultato sembra concorde con i dati sperimentali. Tuttavia gli esperimenti mostrano un andamento lineare dell'angolo in funzione dello spessore, mentre qui si evidenzia una relazione funzionale del tipo <math>{\sqrt {<\theta ^{2}>}}={\sqrt {N}}<\theta _{{0}}></math>. Inoltre stimiamo la frequenza di back-scattering secondo questo modello, utilizzando dunque una distribuzione gaussiana di probabilità (deviazione casuale dal valore centrale). <math>{\begin{aligned}p(\theta )=e^{{-({\frac{\theta }{theta_{{0}}}})^{2}}}\\p(180^{\circ })=e^{{-180^{2}}}={\mbox{molto piccola!!!}}\end{aligned}}</math> Decisamente incompatibile con la frequenza osservata di <math>{\frac{1}{8000}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Previsioni secondo il modello di Thomson]] sowsa1j6llwtjgiyo8wfbtk4ictr8br 0 60931 500672 2026-08-09T17:14:07Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Rutherford 500672 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Rutherford intuisce che per spiegare il back-scattering è necessaria una forza di interazione coulombiana più elevata, possibile se la carica positiva è concentrata in una regione più piccola. Vediamo quale dovrebbe essere il raggio di distribuzione della carica positiva per avere una deviazione media di 1°. <math>{\begin{aligned}\tan {\theta }&={\frac{\Delta p}{p}}\approx 1\\&={\frac{q_{{\alpha }}Q}{4\pi \epsilon _{{0}}RE_{k}}}\rightarrow \\\Delta p\approx p{\mbox{ se }}R&={\frac{q_{{\alpha }}Q}{4\pi \epsilon _{{0}}E_{k}}}\end{aligned}}</math> Da cui si ottiene Errore del parser (funzione sconosciuta '\mathring'): {\displaystyle \begin{align} R \approx 4.6\cdot 10^{-4} \mathring{A} \end{align}} Questa è l'ipotesi del nucleo: la carica positiva è concentrata in una regione di 4 ordini di grandezza inferiore alle dimensioni atomiche, regione che viene chiamata nucleo. L'atomo è per la maggior parte costituito da spazio vuoto, con gli elettroni che orbitano attorno al nucleo, da cui il nome modello planetario per il modello di Rutherford. == Spiegazione dell'esperimento di Rutherford con il modello planetario == Vediamo come possiamo interpretare l'interazione particelle α - atomi della lamina d'oro secondo il modello di Rutherford. Poichè l'atomo è essenzialmente vuoto, la maggior parte delle particelle α passano lontane dal nucleo e vengono solo minimamente deflesse (la forza coulombiana, responsabile della deflessione, decresce velocemente all'aumentare della distanza), mentre le poche che passano vicino al nucleo subiscono deflessioni anche grandi. Ruth1.jpg Distinguiamo due tipi di collisioni: * collisioni head-on, in asse con il nucleo, responsabili del back scattering * collisioni non in asse == Collisioni head-on == Consideriamo il nucleo di massa <math>M\approx +\infty</math> di modo da trascurare l'effetto di rinculo. La particella <math>\alpha</math>, avvicinandosi, subisce una forza sempre maggiore, si arresta a una distanza <math>D</math> dal nucleo e torna indietro (back scattering). Valutiamo la distanza di arresto D, detta parametro di massimo avvicinamento, utilizzando la conservazione dell'energia. All'inizio l'energia è tutta cinetica, nel momento di stop è tutta potenziale. <math>{\begin{aligned}{\frac{m_{{\alpha }}v^{2}}{2}}={\frac{zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}D}}\rightarrow \\D={\frac{zZe^{2}}{2\pi \epsilon _{{0}}m_{{\alpha }}v^{2}}}\end{aligned}}</math> == Collisioni non in asse == Consideriamo ora una particella <math>\alpha</math> che effettua una collisione non in asse. Sia <math>{\mathbf {p}}=m_{{\alpha }}{\mathbf {v}}</math> la sua quantità di moto iniziale e sia b la distanza tra l'asse su cui giace <math>{\mathbf {v}}</math> e l'asse del nucleo. Chiamiamo b parametro di impatto. Dopo la deflessione subita per effetto della forza coulombiana la particella avrà un nuovo momento <math>{\mathbf {p'}}=m_{{\alpha }}{\mathbf {v'}}</math> ed eventualmente potrà variare anche la distanza b, che sarà dunque b' . Nella figura è illustrato lo schema del fenomeno con la nomenclatura che utilizzeremo. Ruth2.jpg Poichè la forza agente è quella coulombiana, a carattere centrale, si ha conservazione del momento angolare, oltre che, chiaramente, dell'energia. <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}m_{{\alpha }}vb&=m_{{\alpha }}v'b'\\{\frac{m_{{\alpha }}v^{2}}{2}}&={\frac{m_{{\alpha }}v'^{2}}{2}}\\\end{cases}}{\mbox{segue che:}}{\begin{cases}b&=b'\\v&=v'\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Chiaramente maggiore è il parametro d'impatto b, maggiore è la distanza da considerare nella forza di Coulomb, quindi la deviazione è minore. A parametri di impatto grandi corrispondono angoli di scattering piccoli. Con questa precisazione cerchiamo ora di esprimere b in funzione di <math>\theta</math>. La variazione di quantità di moto <math>{\mathbf {\Delta p}}</math> è diretta lungo l'asse z'. Inoltre per le leggi di conservazione enunciate si ha che <math>p=p'</math> (in modulo). La situazione geometrica è illustrata in figura. Ruthvect.jpg Segue che <math>{\begin{aligned}{\frac{{\frac{1}{2}}\Delta p}{p}}&=\sin {{\frac{\theta }{2}}}\rightarrow \\\Delta p&=2m_{{\alpha }}v\sin {{\frac{\theta }{2}}}\end{aligned}}</math> Troviamo un'altra espressione per <math>\Delta p</math> in cui compaia b, così potremo legare b a <math>\theta</math> . Usando il teorema dell'impulso <math>d{\mathbf {p}}=d{\mathbf {F}}dt</math>. Per ottenere <math>{\mathbf {\Delta p}}</math> occorre integrare nel tempo. Tuttavia le componenti che non sono dirette lungo z' si elidono, poichè z' è diretto come <math>{\mathbf {\Delta p}}</math>. Posso quindi proiettare la forza lungo z'. <math>{\begin{aligned}\Delta p&=\int F\cos {\phi }\,dt\\&=\int F\cos {\phi }{\frac{dt}{d\phi }}\,d\phi \end{aligned}}</math> Ricaviamo il valore di <math>{\frac{dt}{d\phi }}</math>. Per la conservazione del momento angolare si ha <math>{\begin{aligned}m_{{\alpha }}r^{2}{\frac{d\phi }{dt}}&=m_{{\alpha }}vb\rightarrow \\{\frac{d\phi }{dt}}&={\frac{vb}{r^{2}}}\rightarrow \\{\frac{dt}{d\phi }}&={\frac{r^{2}}{vb}}\end{aligned}}</math> Inseriamo il risultato nel nostro integrale e procediamo con i conti. <math>{\begin{aligned}\Delta p&=\int _{{-\Phi }}^{{+\Phi }}{\frac{zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}r^{2}}}\cos {\phi }{\frac{r^{2}}{vb}}\,d\phi \\&={\frac{zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}vb}}[2\sin {\Phi }]\end{aligned}}</math> Dalla figura si vede che <math>\Phi +\Phi +\theta =180^{\circ }</math>. Sfruttando questo e le formule degli archi associati si ha che <math>\sin {\Phi }=\cos {{\frac{\theta }{2}}}</math>. <math>{\begin{aligned}\Delta p&={\frac{2zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}vb}}\cos {{\frac{\theta }{2}}}\end{aligned}}</math> Confrontando quanto ottenuto con l'espressione precedentemente trovata otteniamo: <math>{\begin{aligned}{\frac{2zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}vb}}\cos {{\frac{\theta }{2}}}&=2m_{{\alpha }}v\sin {{\frac{\theta }{2}}}\rightarrow \\b&={\frac{D}{2}}\cot {{\frac{\theta }{2}}}\end{aligned}}</math> D è il parametro di massimo avvicinamento definito nella trattazione delle collisioni head-on. Introduciamo ora una complicazione: abbiamo visto la collisione con un singolo atomo, ma il fascio di raggi <math>\alpha</math> attraversa una lamina che contiene un gran numero di atomi. Il numero di nuclei per unità di volume, <math>n_{{v}}</math>, si può esprimere come <math>{\begin{aligned}n_{{v}}={\frac{\rho N_{{AV}}}{{\mathfrak {M}}}}\end{aligned}}</math> dove <math>\rho</math> è la densità e <math>{\mathfrak {M}}</math> la massa molare dell'oro. Se ora la nostra lamina ha un'area esposta al fascio pari ad <math>A_{{0}}</math> e uno spesso <math>\delta</math>, il numero di nuclei in tale volume sarà <math>{\begin{aligned}n=n_{{v}}A_{{0}}\delta \end{aligned}}</math> Definiamo inoltre l'intensità del fascio di particelle <math>\alpha</math> come <math>{\begin{aligned}I_{{0}}={\frac{{\mbox{numero di particelle }}}{{\mbox{unit di area e di tempo}}}}\end{aligned}}</math> Considero le particelle con parametro di impatto compreso tra <math>b</math> e <math>b+db</math>. Esse verranno scatterate ad angoli compresi tra <math>\theta</math> e <math>\theta -d\theta</math>. Tuttavia tenendo presente l'inversione possiamo considerare <math>\theta</math> e <math>\theta +d\theta</math> come illustrato in figura. Ruth4.jpg Quante sono le particelle <math>\alpha</math> che partono con parametro di impatto compreso tra <math>b</math> e <math>b+db</math>? Se <math>I_{{0}}</math> definisce il numero di particelle per unità di area e di tempo, possiamo dire che sono <math>{\begin{aligned}{\mbox{num. di particelle}}\alpha &={\mbox{Area}}\cdot I_{{0}}\\{\mbox{sappiamo poi che Area}}&=2\pi bdb\end{aligned}}</math> L'elemento di superficie dello schermo è invece esprimibile come <math>dS=2\pi R^{2}\sin {\theta }d\theta</math>, che sottende l'angolo solido <math>d\Omega ={\frac{dS}{R^{2}}}=2\pi \sin {\theta }d\theta</math> Chiamiamo <math>dN</math> il numero di particelle diffuse in <math>d\Omega</math> per unità di tempo. Chiaramente deve valere che: <math>{\begin{aligned}{\mbox{numero di particelle diffuse in}}d\Omega {\mbox{per unit di tempo per ogni nucleo}}&={\mbox{numero di particelle incidenti per unit di tempo}}\\{\frac{dN}{n}}=2\pi I_{{0}}bdb\end{aligned}}</math> Definiamo sezione d'urto infinitesima di scattering la quantità <math>d\sigma =2\pi bdb</math>. Per le relazioni ricavate si ha che <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}d\sigma &={\frac{dN}{nI_{{0}}}}\\b&={\frac{D}{2}}\cot {{\frac{\theta }{2}}}\\db&={\frac{-D}{4}}{\frac{1}{\sin ^{2}{\theta }}}d\theta \\\end{cases}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}d\sigma &=2\pi {\frac{D}{2}}\cot {{\frac{\theta }{2}}}[{\frac{-D}{4}}{\frac{1}{\sin ^{2}{\theta }}}]d\theta \\&=2\pi {\frac{D^{2}}{8}}{\frac{\cos {{\frac{\theta }{2}}}}{\sin ^{3}{{\frac{\theta }{2}}}}}(-d\theta )\cdot {\frac{\sin {{\frac{\theta }{2}}}}{\sin {{\frac{\theta }{2}}}}}\\&={\frac{D^{2}}{16}}{\frac{2\pi \sin {\theta }|d\theta |}{\sin ^{4}{{\frac{\theta }{2}}}}}\\&={\frac{D^{2}}{16}}{\frac{1}{\sin ^{4}{{\frac{\theta }{2}}}}}d\Omega \end{aligned}}</math> Siamo riusciti a esprimere <math>d\sigma</math> esplicitando <math>d\Omega</math>, di modo che risulti: <math>{\begin{aligned}{\frac{d\sigma }{d\Omega }}&={\frac{D^{2}}{16}}{\frac{1}{\sin ^{4}{{\frac{\theta }{2}}}}}\rightarrow \\{\frac{dN}{d\Omega }}&=nI_{{0}}{\frac{d\sigma }{d\Omega }}\\&=nI_{{0}}{\frac{D^{2}}{16}}{\frac{1}{\sin ^{4}{{\frac{\theta }{2}}}}}\end{aligned}}</math> Abbiamo ottenuto la distribuzione di particelle diffuse in funzione dell'angolo di scattering. == Verifica sperimentale == La verifica sperimentale di tale distribuzione viene eseguita da Geiger e Marsden, i quali verificano l'andamento in un range di <math>5^{\circ }<\theta <180^{\circ }</math>. Inoltre provano che l'andamento rimane corretto variando l'intensità <math>I_{{0}}</math> del fascio e lo spessore della lamina. == Osservazioni conclusive == * <math>{\frac{dN}{d\Omega }}</math> dipende da <math>n</math>, non da <math>{\sqrt {n}}</math>. Questo mostra che la prevalenza del fenomeno non è dovuta allo scattering multiplo, che risulta trascurabile. * cambiando il materiale non cambia solo <math>n</math>, ma anche <math>D</math>. Infatti ricordiamo che <math>D={\frac{zZe^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}E_{{k}}}}</math>. Poiché <math>{\frac{dN}{d\Omega }}</math> dipende da <math>D^{2}</math>, il conteggio scala come <math>Z^{2}</math>. * Se l'energia cinetica delle particelle α è elevata, esse si avvicinano troppo al nucleo e compaiono delle forze a corto raggio (<math>F\propto {\frac{e^{{-\lambda r}}}{r^{2}}}</math>) che provocano una deviazione della distribuzione osservata da quella prevista secondo questo modello, dato che l'interazione non è più coulombiana. Il corretto andamento si perde a <math>R\approx 10^{{-14}}m</math>: questo risultato fornisce una stima delle dimensioni del nucleo e evidenzia che ha dimensioni finite, non è puntiforme. * Un'ulteriore causa di deviazione della distribuzione sperimentale da quella teorica è l'effetto di schermo degli elettroni sulle cariche positive, osservabile soprattutto per piccoli angoli di scattering. * Se si integra la sezione d'urto <math>d\sigma</math> si osserva che essa diverge: questo perchè la forza coulombiana non ha range finito d'azione. == Problemi del modello di Rutherford == Il modello planetario non è un modello stabile: una carica in movimento irraggia con potenza proporzionale al quadrato dell'accelerazione. Questo comporta una riduzione del raggio dell'orbita fino al collasso dell'elettrone sul nucleo, effetto che dovrebbe verificarsi in qualche microsecondo. Tuttavia l'esperienza ci mostra che gli atomi sono stabili. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Rutherford]] jjz1pim2ylhkxnfqn5830rcjrj8qjn2 0 60932 500673 2026-08-09T17:15:00Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016071821/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Bohr 500673 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Bohr cerca di elaborare un modello che riesca a spiegare i fenomeni osservati e ancora non chiari o coerenti con i modelli proposti. Prima tra le evidenze sperimentali ancora non spiegate è lo spettro di assorbimento/emissione degli atomi, che ha la caratteristica forma a righe. Lo studio degli spettri atomici ne aveva già delineato le proprietà fondamentali: * sono costituiti da righe spettrali, corrispondenti a determinate frequenze o lunghezze d'onda, raggruppate in serie; * le serie di righe spettrali hanno un limite di convergenza; * ciascuna riga in realtà ha una struttura fine: è cioè costituita da più righe molto vicine. Diversi scienziati avevano già tentato di ricavare leggi empiriche per l'individuazione delle righe degli spettri. Vediamo i risultati ottenuti: * Balmer studia la serie visibile dell'atomo di idrogeno e ricava la legge empirica <math>{\begin{aligned}\lambda =3646{\frac{n^{2}}{n^{2}-1}}\end{aligned}}</math>Å * Rydberg trova una formula più generale ragionando in numeri d'onda (<math>{\tilde \nu }={\frac{1}{\lambda }}</math>), valida per l'atomo di idrogeno nella forma: <math>{\begin{aligned}{\tilde \nu }=R_{{H}}({\frac{1}{2^{2}}}-{\frac{1}{n^{2}}}),n=3,4,5\dots \\R_{{H}}=1.1\cdot 10^{5}cm^{{-1}}\end{aligned}}</math> ed estesa ad altri elementi con una piccola modifica: <math>{\begin{aligned}{\tilde \nu }=R({\frac{1}{m^{2}}}-{\frac{1}{n^{2}}}),m,n\in {\mathbb {N}}\land n>m\\R\approx R_{{H}}{\mbox{ varia poco per gli elementi che studia}}\end{aligned}}</math> Con questo background nel 1913 Bohr elabora un modello di atomo partendo da postulati che contraddicono la fisica classica. == I postulati == * Un elettrone percorre orbite circolari intorno al nucleo soggetto alla forza coulombiana secondo le leggi della meccanica classica (recupera la stabilità meccanica del modello di Rutherford e la sua ipotesi di esistenza del nucleo). * Non sono possibili tutte le orbite ma solo quelle per cui il momento angolare rispetta la seguente condizione: <math>{\begin{aligned}L=n\hbar =n{\frac{h}{2\pi }},\\n\in {\mathbb {N}}\land n>0\end{aligned}}</math> . Questa è l' ipotesi di quantizzazione del momento angolare. * L'elettrone su un'orbita permessa non irraggia: esistono stati stazionari ad energia costante. * L'elettrone passa da un'orbita all'altra assorbendo o emettendo un fotone, di frequenza tale che <math>{\begin{aligned}\underbrace {E_{{i}}}_{{{\mbox{energia stato iniziale}}}}-\underbrace {E_{{f}}}_{{{\mbox{Energia stato finale}}}}=h\underbrace {\nu }_{{\nu ={\frac{E_{{i}}-E_{{f}}}{h}}}}\end{aligned}}</math> == Il modello == Consideriamo un atomo avente numero atomico <math>Z</math>. Riassumiamo le sue grandezze caratteristiche: Nucleo Elettrone Carica Ze e Massa M m In prima approssimazione possiamo porre <math>M\approx +\infty</math>, essendo <math>M>>m</math>, ossia possiamo trascurare il rinculo del nucleo. Raggio dell'orbita Utilizzando il primo postulato abbiamo che: <math>{\begin{aligned}{\mbox{equilibrio meccanico:}}\\{\frac{1}{4\pi \epsilon _{{0}}}}{\frac{Ze^{2}}{r^{2}}}&={\frac{mv^{2}}{r}}\end{aligned}}</math> Utilizzando il secondo postulato ricaviamo <math>v</math> in funzione di <math>r</math>: <math>{\begin{aligned}{\mbox{quantizzazione momento angolare:}}\\L&=n\hbar \\mvr&=n\hbar \rightarrow \\v={\frac{n\hbar }{mr}}\end{aligned}}</math> Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene: <math>{\begin{aligned}r_{{n}}&=\underbrace {{\frac{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar ^{2}}{me^{2}}}}_{{{\mbox{costante}}a_{{0}}}}\overbrace {{\frac{n^{2}}{Z}}}^{{{\mbox{numero quantico principale}}}}\end{aligned}}</math>La costante <math>a_{{0}}\approx 0.53</math> Å è detta raggio di Bohr e rappresenta il raggio dell'orbita di un elettrone nell'atomo di idrogeno allo stato fondamentale. Possiamo riscrivere <math>r_{{n}}</math> come: <math>{\begin{aligned}r_{{n}}=a_{{0}}{\frac{n^{2}}{Z}}\end{aligned}}</math> Osserviamo che: * <math>n</math> varia anche nel singolo atomo, Z varia da atomo ad atomo. * A parità di <math>n</math>, aumentando <math>Z</math> il raggio diminuisce. Questo è sensato: il nucleo è più carico e dunque c'è una maggior forza attrattiva. * A parità di atomo (stesso <math>Z</math>) i raggi aumentano rapidamente, essendovi una dipendenza da <math>n^{2}</math>. Velocità dell'elettrone Sostituendo nell'espressione di <math>v</math> <math>r_{{n}}</math> si ottiene: <math>{\begin{aligned}v_{{n}}=\underbrace {{\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar }}}_{{\alpha \cdot c}}{\frac{Z}{n}}\end{aligned}}</math> Osserviamo che: * A parità di atomo la velocità diminuisce all'aumentare di <math>n</math>. Infatti all'aumentare di <math>n</math> il raggio dell'orbita aumenta, dunque la forza coulombiana diminuisce e la velocità per avere equilibrio è minore. * A parità di <math>n</math> <math>v_{{n}}</math> aumenta linearmente con <math>Z</math>. Atomi più pesanti hanno carica maggiore, dunque la forza attrattiva è maggiore, dunque deve esserlo anche la velocità affinché ci sia equilibrio. * La velocità di un elettrone è relativistica? Vediamo che, per <math>Z=1</math> <math>{\begin{aligned}v_{{1}}&={\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar }}\\&=2.2\cdot 10^{{6}}{\frac{m}{s}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}{\frac{v_{{1}}}{c}}\approx {\frac{1}{137}}\end{aligned}}</math> dunque la velocità di un elettrone nell'atomo di idrogeno non è relativistica. Per atomi pesanti può diventarlo.Si definisce costante di struttura fine la quantità <math>{\begin{aligned}\alpha ={\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar c}}\end{aligned}}</math> Energia dell'elettrone Ricaviamo l'energia totale di un elettrone nello stato caratterizzato dal numero quantico principale <math>n</math>. Essa sarà la somma dell'energia cinetica dell'elettrone e dell'energia potenziale elettrica. <math>{\begin{aligned}E_{{n}}&=K_{{n}}+U_{{n}}\\&={\frac{mv_{{n}}^{2}}{2}}-\int _{{r_{n}}}^{{+\infty }}{\frac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}r^{2}}}\,dr&={\frac{1}{2}}{\frac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}r_{{n}}}}-{\frac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}r_{n}}}\\&={\frac{-1}{2}}{\frac{Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}r_{n}}}\\&=-E_{{k}}\end{aligned}}</math> Sostituendo le espressioni per <math>r_{{n}}</math> o,alternativamente, <math>v_{{n}}</math>, si ottiene: <math>{\begin{aligned}E_{{n}}&={\frac{-1}{2}}({\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar }})m{\frac{Z^{2}}{n^{2}}}\\&={\frac{-\alpha ^{2}c^{2}m}{2}}{\frac{Z^{2}}{n^{2}}}\end{aligned}}</math> Osserviamo che: * Il segno <math>-</math> indica che si tratta di un'energia di legame. * Dalla quantizzazione della quantità di moto segue la quantizzazione degli stati energetici. * Aumentando <math>Z</math> l'energia diventa molto più negativa: gli elettroni interni di atomi pesanti sono fortemente legati, quindi se emessi saranno molto energetici. * I livelli non sono equispaziati ma vanno a convergere man mano che aumenta <math>n</math> Diagramma energetico atomo di idrogeno Aver ricavato l'espressione per i livelli energetici ci permette di disegnare il diagramma energetico di un atomo. Prendiamo l'atomo di idrogeno. Sostituendo i valori delle costanti e dei parametri relativi all'idrogeno si ottiene: <math>{\begin{aligned}E_{{n}}=-{\frac{13.6eV}{n^{2}}}\end{aligned}}</math> Diagramma energetico H.jpg Spettri atomici Per passare da uno stato ad energia <math>E_{{i}}</math> ad uno stato ad energia <math>E_{{f}}</math> l'elettrone deve assorbire o emettere (rispettivamente se <math>E_{{i}}<E_{{f}}</math> o <math>E_{{i}}>E_{{f}}</math>) un fotone con frequenza <math>{\begin{aligned}\nu ={\frac{E_{{i}}-E_{{f}}}{h}}\end{aligned}}</math> come descritto dall'ultimo postulato. Le frequenze assorbite o emesse corrispondono chiaramente a quelle che si osservano negli spettri atomici di assorbimento o emissione. Se il modello di Bohr è corretto deve dunque contenere le leggi sperimentali che risultavano efficaci nella descrizione di tali spettri. <math>{\begin{aligned}{\tilde \nu }&={\frac{\nu }{c}}&={\frac{E_{i}-E_{f}}{hc}}\\&=\underbrace {{\frac{me^{4}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}4c\pi \hbar ^{3}}}}_{{R_{{\infty }}}}Z^{2}({\frac{1}{n_{i}^{2}}}-{\frac{1}{n_{f}^{2}}})\end{aligned}}</math> La costante indicata con <math>R_{{\infty }}</math> non è altro che la costante di Rydberg ottenuta nell'approssimazione <math>M\approx +\infty</math>: i valori tornano. Possiamo quindi esprimere l'energia tramite costante di Rydberg: <math>{\begin{aligned}E_{n}=-R_{{\infty }}hc{\frac{Z^{2}}{n^{2}}}\end{aligned}}</math> Per ogni stato quantico caratterizzato dal numero quantico principale <math>n</math> si ottiene una serie di righe spettrali quando gli elettroni saltano da un livello ad energia maggiore su di esso. Per l'atomo di idrogeno si hanno le seguenti serie: * serie di Lyman <math>n_{f}=1</math>, <math>n_{i}=2,3,\dots</math> converge a <math>\lambda =812</math> Å (UV). * serie di Balmer <math>n_{f}=2</math>, <math>n_{i}=3,4,\dots</math> converge a <math>\lambda =3646</math> Å (visibile) * serie di Paschen <math>n_{f}=3</math>, <math>n_{i}=4,5,\dots</math> (infrarosso) * serie di Brachett <math>n_{f}=4</math>, <math>n_{i}=5,6,\dots</math> (infrarosso) * serie di Pfund <math>n_{f}=5</math>, <math>n_{i}=6,7\dots</math> (infrarosso) Le ultime tre serie vengono scoperte dopo essere state previste dal modello di Bohr. == Osservazioni conclusive == * Il modello di Bohr non fa considerazioni probabilistiche: ci sono diversi modi per gli elettroni, non equiprobabili, di compiere transizioni. Non viene spiegata dunque la diversa intensità delle righe spettrali, che è proporzionale al numero di elettroni che compiono una determinata transizione e dunque alla probabilità di quella transizione. * Secondo questo modello le righe sono esattamente "righe", non hanno uno spessore. In realtà la struttura delle righe è fine, come spiegato precedentemente, ed ogni riga ha inoltre uno spessore che non può ridursi oltre una larghezza minima, la larghezza naturale della riga. * Confrontando i diagrammi di alcuni elementi, come idrogeno ed elio, si osserva che alcune righe dovrebbero coincidere, nel caso specifico di idrogeno ed elio quelle pari. In realtà questo non accade. L'origine di questa incongruenza tra teoria ed evidenza sperimentale risiede nell'approssimazione <math>M\approx +\infty</math>. Bisogna considerare il rinculo del nucleo a seguito della transizione dell'elettrone. Assumendo <math>p_{{tot.atomo}}=p_{{nucleo}}+p_{{elettrone}}=0</math> si ha che <math>p_{{nucleo}}=p_{{elettrone}}=p</math>. Quando il nucleo rincula acquista un'energia cinetica <math>E_{{k}}={\frac{Mv^{2}}{2}}={\frac{p^{2}}{2M}}</math>.L'energia cinetica totale dell'atomo sarà quindi <math>{\begin{aligned}E_{{k}}^{{tot}}&={\frac{p^{2}}{2M}}+{\frac{p^{2}}{2m}}\\&={\frac{M+m}{2Mm}}p^{2}\\&={\frac{p^{2}}{2\mu }}\end{aligned}}</math>dove <math>{\begin{aligned}\mu ={\frac{mM}{M+m}}={\frac{m}{1+{\frac{m}{M}}}}={\frac{m}{1+{\frac{1}{1836\cdot Z}}}}\end{aligned}}</math> è la massa ridotta del sistema nucleo-elettrone.Con questa precisazione il modello di Bohr non cambia nella sostanza, basta sostituire nell'espressione dell'energia <math>R_{{atomo}}={\frac{R_{{\infty }}\mu }{m}}</math> alla costante <math>R_{{\infty }}</math>. Questa correzione risolve il problema di sovrapposizione delle righe spettrali e ha un effetto significativo solo per atomi leggeri. Inoltre consente anche di distinguere gli isotopi: se nel gas responsabile dello spettro vi sono isotopi compaiono delle righe secondarie molto vicine alle primarie, perchè la massa ridotta è differente per le due specie. * Non si è finora tenuto conto che i fotoni emessi o assorbiti possiedono un momento <math>p={\frac{E}{c}}={\frac{h\nu }{c}}={\frac{h}{\lambda }}</math>, che deve entrare a far parte del bilancio del momento totale. * * assorbimento <math>{\begin{aligned}\underbrace {p_{{fotone}}+0=p_{{atomo}}}_{{{\mbox{conservazione momento}}}}\rightarrow \\p_{{fotone}}=p_{{atomo}}={\frac{h\nu }{c}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\underbrace {h\nu +E_{i}=E_{f}+{\frac{p_{{atomo}}^{2}}{2M}}}_{{{\mbox{bilancio energetico}}}}\\E_{f}-E_{i}=h\nu (1-{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}})\end{aligned}}</math><math>{\begin{aligned}h\nu &=(E_{f}-E_{i}){\frac{1}{(1-\underbrace {{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}}}_{{<<1}})}}\\&\underbrace {\approx }_{{Taylor}}(E_{f}-E_{i})(1+{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}})\end{aligned}}</math> * * emissione <math>{\begin{aligned}\underbrace {0=p_{{fotone}}+p_{{atomo}}}_{{{\mbox{conservazione momento}}}}\rightarrow \\|p_{{fotone}}|=|p_{{atomo}}|={\frac{h\nu }{c}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}\underbrace {E_{i}=E_{f}+h\nu +{\frac{p_{{atomo}}^{2}}{2M}}}_{{{\mbox{bilancio energetico}}}}\\E_{i}-E_{f}=h\nu (1+{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}})\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}h\nu &=(E_{i}-E_{f}){\frac{1}{(1+\underbrace {{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}}}_{{<<1}})}}\\&\underbrace {\approx }_{{Taylor}}(E_{i}-E_{f})(1-{\frac{h\nu }{2Mc^{2}}})\end{aligned}}</math> Il fotone emesso è quindi un po' meno energetico di <math>\Delta E</math> e per essere assorbito deve essere un po' più energetico di <math>\Delta E</math>. Questo comprometterebbe la possibilità di avere fenomeni di assorbimento/emissione risonante,<ref>se in un gas si eccitano tot atomi per assorbimento di fotoni, diseccitandosi i fotoni emessi eccitano altri atomi e così via</ref> se non fosse che in realtà la differenza di energia <math>\Delta E</math> tra assorbimento e emissione (da non confondere con il <math>\Delta E</math> tra i livelli!) è inferiore alla larghezza di riga naturale (conseguenza del principio di indeterminazione) e dunque il fenomeno è egualmente possibile. == Principio di corrispondenza == Il principio di corrispondenza afferma che se i numeri quantici in gioco sono elevati le previsioni della fisica quantistica devono coincidere con quelle della fisica classica. Verifichiamo questo principio per il modello di Bohr. Secondo la fisica classica le righe in frequenza osservate negli spettri atomici sono dovute alla frequenza orbitale dell'elettrone, che è anche la sua frequenza di irraggiamento. Vediamo che per <math>n</math> grandi la frequenza orbitale va a coincidere con la frequenza del fotone emesso/assorbito. * frequenza di transizione <math>{\begin{aligned}\nu _{{n\to n-1}}&={\frac{E_{i}-E_{f}}{h}}\\&={\frac{Z^{2}me^{4}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}2\hbar ^{2}h}}({\frac{1}{(n-1)^{2}}}-{\frac{1}{n^{2}}})\\&={\frac{Z^{2}me^{4}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}2\hbar ^{2}h}}({\frac{2n-1}{n^{2}(n-1)^{2}}})\\&\underbrace {\approx }_{{{\mbox{n grande}}}}{\frac{Z^{2}me^{4}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}2\hbar ^{2}h}}{\frac{2n}{n^{3}}}\\&\approx {\frac{Z^{2}me^{4}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}\hbar ^{2}h}}{\frac{1}{n^{3}}}\end{aligned}}</math> * frequenza orbitale <math>{\begin{aligned}f_{{n}}&={\frac{v_{n}}{2\pi r_{n}}}\\&=\underbrace {{\frac{e^{2}}{(4\pi \epsilon _{{0}})}}{\frac{1}{2\pi \hbar }}{\frac{Z}{n}}}_{{{\frac{v_{n}}{2\pi }}}}\cdot \underbrace {{\frac{me^{2}Z}{4\pi \epsilon _{{0}}\hbar ^{2}n^{2}}}}_{{{\frac{1}{r_{n}}}}}\\&={\frac{me^{4}Z^{2}}{(4\pi \epsilon _{{0}})^{2}\hbar ^{2}h}}{\frac{1}{n^{3}}}\end{aligned}}</math> == Critiche al modello di Bohr == * Postulati: sebbene funzionino, i postulati introdotti non sono in alcun modo giustificati; * atomo piatto: l'atomo di Bohr è piatto, non ha una struttura tridimensionale; * atomi multielettronici: il modello funziona bene per l'atomo di idrogeno e idrogenoidi, abbastanza bene per i metalli alcalini che hanno un solo elettrone sul guscio esterno, ma non riesce a spiegare gli atomi multielettronici. * struttura fine delle righe: le righe spettrali sono in realtà composte da molte righe vicine, la cui esistenza non è giustificata dal modello di Bohr. Per ottenere dal modello molte righe vicine bisognerebbe infatti avere distinzioni energetiche meno evidenti di quelle tra un livello e l'altro. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Bohr]] hm5gm596rt4ufsrt8wnhzeetxwcb4ts 0 60933 500674 2026-08-09T17:16:06Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072550/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Modello_di_Wilson-Sommerfield 500674 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} == Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfield == Il lavoro di Wilson e Sommerfield tenta in primo luogo di giustificare il postulato di quantizzazione del momento angolare presente nel Modello di Bohr rendendolo conseguenza di una teoria più ampia. Avendo presente il formalismo di Hamilton essi proposero una regola di quantizzazione legata alle variabili coniugate. Se in un sistema è presente una coordinata generalizzata <math>q</math> periodica nel tempo, dato il suo momento coniugato <math>p_{q}</math>, deve valere la seguente regola, nota come la regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfield: <math>\oint _{{T}}p\,dq=n_{q}h</math> L'integrale è inteso sul periodo di <math>q</math>, il valore <math>n_{q}</math> è chiamato numero quantico ed è un numero intero. Ciò significa che tale integrale può assumere solamente valori che sono multipli interi della costante di Planck <math>h</math>. == Quantizzazione di Bohr == Dala regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfield è possibile derivare la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr. Consideriamo un elettrone che ruota intorno al nucleo atomico seguendo un orbita di raggio r. WS1.jpg Per il moto circolare scegliamo come coordinata generalizzata l'angolo <math>\theta</math>. La forza agente è quella di Coulomb: <math>F_{C}={\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac{e^{2}}{r^{2}}}</math> L'energia cinetica dell'elettrone è <math>T={\frac{1}{2}}mr^{2}{{\dot {\theta }}}^{2}</math>. Possiamo dunque scrivere la Lagrangiana del sistema: <math>{\mathcal {L}}=T({\dot \theta })-U(\theta )</math> Dove <math>U(\theta )</math> è il potenziale Coulombiano. Calcoliamo ora il momento coniugato <math>p_{\theta }</math>: <math>p_{\theta }={\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot \theta }}}=mr^{2}{\dot \theta }=mrv</math> Dove <math>v</math> è la velocità tangenziale dell'elettrone. Notiamo dunque che <math>p_{\theta }</math> è proprio il momento angolare <math>L</math> dell'elettrone che, essendo la forza di Coulomb una forza centrale, è costante. Possiamo quindi procedere al calcolo dell'integrale: <math>\oint p_{\theta }d\theta =\oint Ld\theta =L\oint d\theta =2\pi L</math> Applicando la regola di quantizzazione otteniamo quindi: <math>2\pi L=n_{q}h\Rightarrow L=n_{q}{\frac{h}{2\pi }}=n_{q}\hbar </math> Che è proprio la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr come postulato. == Oscillatore armonico == Dall'applicazione della regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfield si può derivare anche la quantizzazione dell'energia di un oscillatore armonico ipotizzata da Planck. Consideriamo infatti un oscillatore armonico di costante elastica <math>k</math>. Si può procedere come nel paragrafo precedente: utilizzando come coordinata generalizzata la distanza x dall'origine, scriviamo l'energia cinetica <math>T</math> e l'energia potenziale <math>U</math> del sistema: <math>{\begin{aligned}T={\frac{1}{2}}m{{\dot x}}^{2}\\U={\frac{1}{2}}kx^{2}\end{aligned}}</math> Scriviamo quindi la Lagrangiana: <math>{\mathcal {L}}=T-U={\frac{1}{2}}m{{\dot x}}^{2}-{\frac{1}{2}}kx^{2}</math> Da cui possiamo calcolare <math>p_{x}</math>: <math>p_{x}={\frac{\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot x}}}=m{\dot x}</math> Possiamo ora costruire l'Hamiltoniana del sistema: <math>{\mathcal {H}}(x,p_{x})=p_{x}{\dot x}(x,p_{x})-{\mathcal {L}}(x,p_{x})={\frac{{p_{x}}^{2}}{m}}-{\frac{1}{2}}{\frac{{p_{x}}^{2}}{m}}+{\frac{1}{2}}kx^{2}</math> Da cui: <math>{\mathcal {H}}(x,p_{x})={\frac{1}{2}}{\frac{{p_{x}}^{2}}{m}}+{\frac{1}{2}}kx^{2}</math> Poichè <math>{\frac{\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=0</math> l'Hamiltoniana coincide con l'energia del sistema , dunque: <math>E(x,p_{x})={\frac{1}{2}}{\frac{{p_{x}}^{2}}{m}}+{\frac{1}{2}}kx^{2}</math> Da ciò si può costruire lo spazio delle fasi, infatti risolvendo per <math>p_{x}</math> si ottiene: <math>p_{x}=\pm {\sqrt {2m\left(E-{\frac{1}{2}}kx^{2}\right)}}</math> WS2.jpg Otteniamo quindi gli estremi di integrazione della variabile x dalle condizioni di esistenza della radice: <math>-{\sqrt {{\frac{2E}{k}}}}\leq x\leq {\sqrt {{\frac{2E}{k}}}}\quad {\mbox{ponendo}}\quad {\sqrt {{\frac{2E}{k}}}}=c\Rightarrow -c\leq x\leq c</math> Dovendo integrare sul periodo consideriamo <math>p_{x}</math> positivo da -c ad c e negativo da c fino a -c. Tale scelta è giustificata dallo spazio delle fasi ellittico. Calcoliamo quindi l'integrale: <math>\oint p_{x}dx=2\int _{{-c}}^{{c}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac{1}{2}}kx^{2}\right)}}dx</math> Procediamo alla risoluzione calcolando prima l'integrale indefinito: <math>2\int {\sqrt {2m\left(E-{\frac{1}{2}}kx^{2}\right)}}dx=2{\sqrt {2mE}}\int {\sqrt {1-{\frac{k}{2E}}x^{2}}}dx</math> Procediamo con la sostituzione <math>x={\sqrt {{\frac{2E}{k}}}}\sin {t}</math>, segue che <math>dx={\sqrt {{\frac{2E}{k}}}}\cos {t}\,dt</math>. Procedendo otteniamo: <math>2{\sqrt {2mE}}\int {\sqrt {1-{\frac{k}{2E}}x^{2}}}dx=4E{\sqrt {{\frac{m}{k}}}}\int {\cos ^{2}{t}}dt=4E{\sqrt {{\frac{m}{k}}}}\left({\frac{t}{2}}+{\frac{\sin {2t}}{4}}\right)</math> Sostituendo gli estremi di integrazione e proseguendo con i calcoli si ottiene: <math>\oint p_{x}dx=2\pi E{\sqrt {{\frac{m}{k}}}}</math> Ricordando che <math>{\sqrt {{\frac{m}{k}}}}={\frac{1}{\omega }}={\frac{1}{2\pi \nu }}</math> otteniamo: <math>\oint p_{x}dx={\frac{E}{\nu }}</math> Applicando la regola di quantizzazione otteniamo: <math>E=nh\nu </math> come ipotizzato da Planck. == Particella in una scatola == Il modello della particella nella scatola è un'applicazione della regola di quantizzazione che mostra come una particella confinata possa assumere solo livelli di energia multipli di una quantità discreta, ovvero abbia energia quantizzata. == Trattazione monodimensionale == Consideriamo in primo luogo il caso monodimensionale di una particella vincolata a muoversi sull'asse x in una regione di spazio compresa tra l'origine e un certo punto <math>x=L</math>: WS3.jpg La coordinata generalizzata è banalmente l'ascissa <math>x</math> della particella e il momento coniugato non è altro che il momento della particella. Il moto è periodico, la particella infatti si muove tra una parete e l'altra invertendo il verso del moto ogni volta che raggiunge i punti <math>x=0</math> o <math>x=L</math>. Possiamo quindi procedere a calcolare: <math>\oint p_{x}dx=\int _{0}^{L}p_{x}\,dx+\int _{L}^{0}-p_{x}\,dx=2\int _{0}^{L}p_{x}\,dx=2Lp_{x}=nh</math> Segue che: <math>p_{x}={\frac{nh}{2L}}</math> Dunque il momento della particella è quantizzato. Da questo segue la quantizzazione dell'energia della particella, infatti: <math>E_{n}={\frac{{p_{x}}^{2}}{2m}}={\frac{1}{2m}}{\left({\frac{nh}{2L}}\right)}^{2}={\frac{1}{8}}{\frac{h^{2}}{mL^{2}}}n^{2}</math> == Trattazione tridimensionale == Il caso tridimensionale è una semplice estensione del caso monodimensionale, consideriamo una particella confinata in una regione di spazio di lati <math>L_{x},L_{y},L_{z}</math>. Il principio di Wilson e Sommerfield afferma che: <math>\oint p_{i}di=n_{i}h</math> con <math>i=x,y,z</math>. Segue quindi che <math>\forall i\quad p_{i}={\frac{n_{i}h}{2L_{i}}}</math> e l'Energia diventa: <math>E={\frac{p^{2}}{2m}}={\frac{{p_{x}}^{2}+{p_{y}}^{2}+{p_{z}}^{2}}{2m}}={\frac{h^{2}}{8m}}\left({\frac{{n_{x}}^{2}}{{L_{x}}^{2}}}+{\frac{{n_{y}}^{2}}{{L_{y}}^{2}}}+{\frac{{n_{z}}^{2}}{{L_{z}}^{2}}}\right)</math> Se inoltre <math>L_{x}=L_{y}=L_{z}=L\quad \Rightarrow \quad E={\frac{h^{2}}{8mL^{2}}}\left({n_{x}}^{2}+{n_{y}}^{2}+{n_{z}}^{2}\right)=E_{1}\left({n_{x}}^{2}+{n_{y}}^{2}+{n_{z}}^{2}\right)</math>. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Modello di Wilson-Sommerfeld]] 633hcfx40irp0kg66mtkwdrnjbkeq9e 0 60934 500675 2026-08-09T17:17:06Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072555/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Raggi_X 500675 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} I raggi X sono stati scoperti da Röntgen nel 1896. Il nome raggi X deriva dal fatto che nessuno conoscesse la loro natura. Röntgen, lavorando con scariche elettriche in tubi catodici con gas rarefatti, osserva che in alcuni casi si produce una forte fluorescenza anche su schermi posti a metri di distanza. Inizia dunque a studiare sistematicamente gli effetti di questi raggi X e scopre che: * hanno un'elevata penetrabilità della materia: la maggior parte dei materiali non riesce a bloccarli; * impressionano pellicole e lastre fotografiche; * producono il fenomeno della fluorescenza; * non subiscono deflessioni da parte di campi elettrici o magnetici → o sono costituiti da particelle neutre o non sono costituiti da particelle; * non riesce a produrre riflessione o rifrazione<ref>questo accade perchè i reticoli per funzionare devono avere un passo comparabile con λ, e la λ dei raggi X è molto piccola</ref> * si originano maggiormente utilizzando materiali pesanti per l'anodo. Nel 1913 Coolidge inventa un sistema efficiente per produrre e studiare i raggi X, costituito da un tubo a vuoto ove un filamento di tungsteno produce elettroni per effetto termoionico. Questi vengono accelerati da una differenza di potenziale e impattando contro l'anodo producono i raggi X,con un intervallo di lungezza d'onda ed uno spettro che sono strettamente dipendenti sia dalle caratteristiche del tubo, cioé la tensione applicata, sia dal tipo di metallo con cui è fatto l'anodo. Il processo tuttavia non è per niente efficiente, dal momento che solo lo 0,1% della potenza erogata viene effettivamente utilizzata per la produzione di raggi X. Il restante 99,9% di essa viene trasformato in calore, perciò risulta di vitale importanza raffreddare l'anodo per evitarne la fusione; ciò è fatto facendo circolare dell'acqua in corrispondenza dell'anodo stesso(l'impianto di raffreddamento non è rappresentato in figura). Tub coolidge.jpg Come rilevatore si utilizzano ben presto le camere di ionizzazione. Esse si basano sulla proprietà dei raggi X di scaricare corpi carichi, ionizzando l'aria circostante. Una camera è costituita da un tubo metallico con una finestra di entrata, generalmente di quarzo, per permettere ai raggi X di entrare. All'interno vi è una barra metallica mantenuta ad una determinata differenza di potenziale rispetto alle pareti della camera. Quando i raggi X colpiscono la barra questa si scarica e l'aria si ionizza producendo una corrente misurabile. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Raggi X]] qi1to7i7d5ogwahyha67u603kigzybk 0 60935 500676 2026-08-09T17:18:58Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Bragg 500676 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Sebbene l'ipotesi che i raggi X siano radiazione elettromagnetica viene presto suggerita, provarlo si rivela complicato. La prima prova della diffrazione dei raggi X viene ottenuta nel 1899 da Hags e Wind ma un esperimento più accurato viene eseguito nel 1912 da Lane, Friedrick e Knipping, i quali utilizzano un cristallo come reticolo naturale per determinare la lunghezza d'onda dei raggi X. Nel dettaglio, essi utilizzano un cristallo di tungsteno con un passo reticolare dell'ordine dell'Å. Si traggono dunque le seguenti conclusioni: * i raggi X sono radiazione elettromagnetica; * hanno una lunghezza d'onda "piccola", ossia dell'ordine dell'Å Inoltre si ottiene un'importante informazione sulla natura dei cristalli: * gli atomi dei cristalli sono disposti in modo regolare. Infatti, se così non fosse, non si potrebbe avere interferenza. La misura della lunghezza d'onda dei raggi X è dovuta a Bragg. Descriviamo l'esperimento che porta a tale risultato. == Apparato sperimentale == L'apparato sperimentale utilizzato è il cosiddetto spettrometro di Bragg, illustrato in figura. Sottolineiamo che viene utilizzato un fascio di raggi X monocromatico. Bragg strum.jpg == Spiegazione del fenomeno == Sia <math>\theta</math> l'angolo di incidenza del raggio sul primo piano reticolare orizzontale del cristallo. Esso verrà riflesso con uguale angolo <math>\theta</math>. Un raggio che incide sul secondo piano reticolare del cristallo, distante <math>d</math> dal primo, si comporta in modo analogo. La figura illustra il comportamento descritto. Bragg diffraction.svg Per avere interferenza costruttiva la differenza di cammino dei due raggi deve essere un multiplo della lunghezza d'onda degli stessi. Osservando la figura, tale differenza è <math>2d\sin \theta</math>. Deve dunque valere che: <math>{\begin{aligned}2d\sin \theta =n\lambda \quad {\mbox{legge di Bragg}}\end{aligned}}</math> Noto il passo del reticolo,dalla misura sperimentale delle posizioni dei massimi di interferenza si può dunque stimare la lunghezza d'onda dei raggi X. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Bragg]] bdudwmw79cdzcf50nbzixaxepy0dqrv 0 60936 500677 2026-08-09T17:20:02Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Spettro_dei_Raggi_X 500677 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Utilizzando un tubo di Coolidge e variando il potenziale del tubo è possibile campionare tutto lo spettro dei raggi X. Il risultato che si ottiene è illustrato in figura. XrtSpectrum.jpg Vediamo che lo spettro è costituito da due componenti che si sommano: * lo spettro continuo, che parte da un valore minimo di lunghezza d'onda<ref>il lettore rilegga i capitoli precedenti se non ricorda la relazione tra lunghezza d'onda e energia</ref> e dipende unicamente dalla tensione del tubo; * lo spettro caratteristico, costituito da un numero di picchi presenti a determinate lunghezze d'onda dipendente dalle proprietà del metallo usato come anodo. == Spettro continuo == Lo spettro continuo è spiegabile classicamente come la radiazione emessa dal frenamento (Bremsstrahlung) degli elettroni che impattano sull'anodo. Infatti una carica in moto accelerato irraggia e il frenamento successivo produce raggi X con lunghezze d'onda diverse. Maggiore è l'energia ceduta, minore è la lunghezza d'onda dei raggi X prodotti. XContinuosSpectrum.jpg Tuttavia si osserva che lo spettro è troncato: esiste una <math>\lambda _{{min}}</math> e questo non è spiegabile se non con la quantizzazione di Planck: un elettrone può cedere al massimo tutta la sua energia e dunque: <math>{\begin{aligned}E_{{max}}=h\nu _{{max}}={\frac{hc}{\lambda _{{min}}}}\quad {\mbox{legge di Duane-Hunt}}\end{aligned}}</math> Se vogliamo la relazione diretta con il potenziale del tubo: <math>{\begin{aligned}E_{{max}}=eV_{{max}}={\frac{hc}{\lambda _{{min}}}}\\\lambda _{{min}}={\frac{hc}{eV}}\end{aligned}}</math> Questo fenomeno è anche chiamato effetto fotoelettrico inverso.Infatti nell'effetto fotoelettrico bombardo un metallo con fotoni e ottengo elettroni, in questo caso bombardo con elettroni e ottengo fotoni X. In entrambi i casi l'energia è quantizzata. == Spettro caratteristico == I picchi caratteristici vengono studiati sistematicamente da Moseley utilizzando diversi materiali come bersaglio. Egli scopre che esiste una relazione determinata tra la lunghezza d'onda a cui si trovano i picchi e il tipo di materiale utilizzato. L'esistenza di questi picchi è interpretabile come conseguenza della collisione di un elettrone molto energetico con un elettrone interno dell'atomo del bersaglio, collisione che comporta l'espulsione dell'elettrone dall'atomo. Gli elettroni rimanenti compiono transizioni per colmare la lacuna, emettendo fotoni con energia pari alla differenza tra i livelli. Tale differenza dipende dal tipo di materiale costituente il bersaglio.<ref>I livelli energetici nello studio dei raggi X sono nominati con lettere: K,L,M ...</ref> X-ray line spectrum 2.jpg == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Spettro dei raggi X]] f2w587vhotgnzplw0iffquward9ji1v 0 60937 500678 2026-08-09T17:20:21Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072535/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Interazione_Raggi_X-Materia 500678 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} L'interazione di un fotone con la materia è regolata dalla sua energia. * fotoni di bassa energia tendono ad interagire con l' intero atomo * fotoni moderatamente energetici tendono ad interagire con gli elettroni orbitali * fotoni ad alta energia interagiscono con il nucleo. I fotoni X hanno diverse lunghezze d'onda e quindi anche diversa energia (generalmente compresa fra i 5 KeV e i 500 keV) e interagiscono con la materia in cinque modi: # Diffusione classica # Effetto Compton # Effetto fotoelettrico # Produzione di coppie # Fotodisintegrazione == Diffusione classica == Coinvolge fotoni con energia <10 keV. L’energia del fotone X incidente non è sufficiente a ionizzare l’atomo, tuttavia l'interazione porta l'atomo ad uno stato eccitato. L'atomo cede immediatamente quest'energia in eccesso sotto forma di fotone avente traiettoria differente ma lunghezza d'onda pari a quella del fotone incidente. Quindi la diffusione classica produce una variazione della direzione di propagazione del fotone senza variare la sua energia. == Effetto Compton == L’interazione Compton ha luogo quando l’energia del fotone incidente è molto più elevata dell’energia di legame dell'elettrone esterno che può essere considerato libero. Questo avviene per fotoni X con energia >10keV. Il fotone incidente cede parte della sua energia all’elettrone, che acquista energia cinetica, mentre il fotone cambia energia e direzione. La trattazione approfondita di questo fenomeno è svolta nella sezione Effetto Compton == Effetto fotoelettrico == L'effetto fotoelettrico è già stato analizzato in dettaglio nel capitolo Effetto fotoelettrico. Riassumiamo i principali concetti. I raggi X con energia >10keV possono anche interagire con gli elettroni legati e cedere tutta la loro energia, espellendoli e conferendo loro un'energia cinetica pari alla differenza tra l'energia del fotone incidente e l' energia di legame dell'elettrone. Questo causa la ionizzazione dell'atomo e la produzione dello spettro caratteristico dell'elemento, in quanto la lacuna che si viene a creare tende ad essere colmata da un'elettrone di un orbitale più esterno. Il fotone non viene dunque diffuso ma totalmente assorbito. == Produzione di coppie == Se un fotone incidente possiede energia in quantità sufficiente(uguale o maggiore di 1,02 MeV) riesce a sfuggire all'interazione con la nube elettronica e ad arrivare in prossimità del nucleo dell'atomo bersaglio. L'interazione tra fotone e campo di forza del nucleo provoca la scomparsa del fotone,che si materializza sotto forma di un elettrone e un positrone, i quali si annichilano dopo breve tempo. Vediamo il bilancio energetico. <math>{\begin{aligned}\underbrace {h\nu }_{{{\mbox{energia fotone}}}}&=\underbrace {E_{{-}}}_{{{\mbox{energia elettrone}}}}+\underbrace {E_{{+}}}_{{{\mbox{energia positrone}}}}\\&=\left(m_{{0}}c^{2}+K_{{-}}\right)+\left(m_{{0}}c^{2}+K_{{+}}\right)\\&=2m_{{0}}c^{2}+K_{{+}}+K{-}\end{aligned}}</math> L'energia minima perchè possa avvenire la produzione della coppia elettrone-positrone è quella per cui essi vengono generati con energia cinetica nulla: <math>{\begin{aligned}h\nu =2m_{{0}}c^{2}=1,02MeV\end{aligned}}</math> L'annichilazione torna a produrre due fotoni in direzioni opposte come conseguenza diretta della conservazione della quantità di moto, di energia pari alla metà dell'energia del fotone iniziale. == Fotodisintegrazione == I fotoni di alta energia (maggiore di 10 MeV) possono sfuggire all'interazione con la nube elettronica e con il campo di forze del nucleo ed essere assorbiti direttamente dal nucleo stesso. In questo caso il nucleo è portato ad uno stato eccitato ed emette istantaneamente un nucleone o un altro frammento nucleare. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Interazione raggi X-materia]] bth2cfrkr9fvn2j7nws86n0pt5yfuew 0 60938 500679 2026-08-09T17:21:05Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070639/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Effetto_Compton 500679 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Assieme all'effetto fotoelettrico l'effetto Compton mostra la quantizzazione della radiazione elettromagnetica. Mentre l'effetto fotoelettrico evidenzia la quantizzazione dell'energia, l'effetto Compton mostra il carattere discreto della quantità di moto. Secondo la teoria classica, quando un'onda elettromagnetica incide su un elettrone, questo compie un'oscillazione armonica alla stessa frequenza dell'onda incidente, e la scattera riemettendo radiazione sempre alla stessa frequenza. Prima del 1914 Grey mostra che i raggi X scatterati vengono assorbiti più facilmente rispetto al raggio incidente, il che implica che, in media, i raggi scatterati hanno energia minore. Nel 1923 Compton pubblica i risultati di misure accurate dello spettro di intensità del raggio X diffuso in funzione dell'angolo di incidenza. Compton.jpg == Spiegazione fenomeno == Compton osserva che il raggio scatterato contiene due picchi: uno alla stessa lunghezza d'onda del raggio incidente ed uno a lunghezza d'onda maggiore, spostato di <math>\Delta \lambda</math> rispetto al primo picco, maggiore quanto più grande è l'angolo di scattering. La teoria classica non riesce a spiegare il motivo dell'esistenza di questo secondo picco. Compton deriva una spiegazione basandosi sulla teoria corpuscolare della radiazione elettromagnetica. Compton schema.jpg Assumiamo che i raggi X siano composti da fotoni di energia <math>E=h\nu ={\frac{hc}{\lambda }}</math>. Consideriamo un fascio di lunghezza d'onda <math>\lambda _{{0}}</math> e momento <math>p={\frac{h}{\lambda _{{0}}}}</math><ref><math>{\begin{aligned}{\begin{cases}E&={\frac{hc}{\lambda _{{0}}}}\\p&={\frac{E}{c}}\\\end{cases}}\rightarrow p={\frac{h}{\lambda _{{0}}}}\end{aligned}}</math></ref> Se questo fascio colpisce un elettrone libero viene scatterato ad un angolo <math>\theta</math> con momento <math>p'<p_{{0}}</math> , dovuto al trasferimento di parte del momento all'elettrone, il quale acquista un momento <math>p_{{e}}</math> e rincula con angolo <math>\varphi</math>. Applicando la conservazione del momento: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}{\mbox{asse x:}}\quad p_{{0}}&=p'\cos \theta +p_{{e}}\cos \varphi \\{\mbox{asse y:}}\quad 0&=p'\sin \theta -p_{{e}}\sin \varphi \\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Esprimendo p_{e} in funzione delle altre quantità in entrambe le equazioni: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}p_{{e}}\cos \varphi &=p_{{0}}-p'\cos \theta \\p_{{e}}\sin \varphi &=p'\sin \theta \\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Facciamo il quadrato e sommiamo: <math>{\begin{aligned}p_{{e}}^{2}&=p_{{0}}^{2}+p'^{2}-2p_{{0}}p'\cos \theta \end{aligned}}</math> Ora consideriamo la conservazione dell'energia. <math>{\begin{aligned}\underbrace {E_{{0}}}_{{=}}&=\underbrace {E'}_{{=}}+K_{{e}}\\p_{{0}}c&=p'c+K_{{e}}\rightarrow \\K_{{e}}&=c\left(p_{{0}}-p'\right)\end{aligned}}</math> Ora esprimiamo <math>p_{{e}}</math> in funzione di <math>K_{{e}}</math>, di modo da avere una seconda equazione per <math>p_{{e}}</math> e poterlo dunque eliminare ricavando una relazione solo tra <math>p_{{0}}</math> e <math>p'</math>. L'energia totale dell'elettrone è <math>E_{{e}}^{2}=\left(K_{{e}}+m_{{e}}c^{2}\right)^{2}</math> ma vale anche <math>E_{{e}}^{2}=p_{{e}}^{2}c^{2}+m_{{e}}^{2}c^{4}</math>. Eguagliamo i membri a destra delle due equazioni: <math>{\begin{aligned}K_{{e}}^{2}+m_{{e}}^{2}c^{4}+2K_{{e}}m_{{e}}c^{2}&=p_{{e}}^{2}c^{2}+m_{{e}}^{2}c^{4}\rightarrow \\p_{{e}}^{2}&={\frac{K_{{e}}^{2}}{c^{2}}}+2m_{{e}}K_{{e}}\\&=\left(p_{{0}}-p'\right)^{2}+2m_{{e}}c\left(p_{{0}}-p'\right)\end{aligned}}</math> Mettiamo a sistema con il risultato precedente: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}p_{{e}}^{2}&=p_{{0}}^{2}+p'^{2}-2p_{{0}}p'\cos \theta \\p_{{e}}^{2}&=\left(p_{{0}}-p'\right)^{2}+2m_{{e}}c\left(p_{{0}}-p'\right)\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}p_{{0}}^{2}+p'^{2}-2p_{{0}}p'\cos \theta &=\left(p_{{0}}-p'\right)^{2}+2m_{{e}}c\left(p_{{0}}-p'\right)\rightarrow \\p'\left(2p_{{0}}\cos \theta -2p_{{0}}-2m_{{e}}c\right)&=-2m_{{e}}cp_{{0}}\rightarrow \\p'&={\frac{m_{{e}}cp_{{0}}}{m_{{e}}c+p_{{0}}\left(1-\cos \theta \right)}}\end{aligned}}</math> Ed ecco la dipendenza esplicita di <math>p'</math> da <math>\theta</math>, angolo di scattering. Ora esprimiamo <math>p'</math> e <math>p_{{0}}</math> tramite lunghezze d'onda di raggio scatterato e raggio incidente e otterremo proprio l'esistenza del secondo picco a <math>\lambda >\lambda _{{0}}</math> Per la quantizzazione della radiazione elettromagnetica si ha infatti: <math>{\begin{aligned}{\begin{cases}p_{{0}}&={\frac{h}{\lambda _{{0}}}}\\p'&={\frac{h}{\lambda '}}\\\end{cases}}\end{aligned}}</math> Dunque: <math>{\begin{aligned}{\frac{h}{\lambda '}}&={\frac{m_{{e}}c{\frac{h}{\lambda _{{0}}}}}{m_{{e}}c+{\frac{h}{\lambda _{{0}}}}\left(1-\cos \theta \right)}}\\\lambda &={\frac{m_{{e}}c+{\frac{h}{\lambda _{{0}}}}\left(1-\cos \theta \right)}{{\frac{m_{{e}}c}{\lambda _{{0}}}}}}\\&=\lambda _{{0}}+{\frac{h}{m_{{e}}c}}\left(1-\cos \theta \right)\end{aligned}}</math> La quantità <math>\lambda _{{C}}={\frac{h}{m_{{e}}c}}</math> è detta lunghezza d'onda Compton per l'elettrone e vale 0.024 Å. Lo spostamento dal primo picco è dunque <math>{\begin{aligned}\Delta \lambda &=\lambda _{{C}}\left(1-\cos \theta \right)\end{aligned}}</math> in accordo con i dati sperimentali. Osservazione Nel modello abbiamo assunto l'elettrone libero. Gli elettroni che producono questo effetto sono dunque quelli esterni, meno legati agli atomi. Il primo picco a lunghezza d'onda invariata compare quando i fotoni colpiscono gli elettroni interni dell'atomo che, essendo fortemente legati, non rinculano. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Effetto Compton]] qo6fsse8t480tdnp2rhbvrxa9ax7s7r 0 60939 500680 2026-08-09T17:21:55Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Assorbimento 500680 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Consideriamo un fascio di raggi X di intensità I che incide su un materiale assorbente di spessore x. La quantità di intensità infinitesima <math>dI</math> assorbita è proporzionale allo spessore <math>dx</math> e all'intensità del fascio incidente, <math>I</math>. Indichiamo con <math>\mu</math> il coefficiente di proporzionalità in questa relazione, detto coefficiente di assorbimento lineare. <math>{\begin{aligned}dI=-\mu Idx\quad {\mbox{integrazione}}\rightarrow \\I=I_{{0}}e^{{-\mu x}}\end{aligned}}</math> ThompsonX.jpg == Modello di Thompson per il coefficiente di assorbimento == Thompson elabora il modello più semplice per il coefficiente di assorbimento <math>\mu</math>. Le ipotesi fondamentali sono: * L'interazione degli elettroni con il fascio è un'interazione indipendente: ciascun elettrone interagisce singolarmente con il fascio. * L'assorbimento è dovuto alla diffusione dei raggi X da parte degli elettroni dell'atomo. Il modello si basa sulla definizione di una sezione d'urto <math>\sigma</math> per l'elettrone. Definita tale sezione d'urto Thomson ipotizza che il coefficiente <math>\mu</math> sia dato da <math>{\begin{aligned}\mu =\sigma \cdot {\mbox{densit elettronica}}\end{aligned}}</math> Da analisi dimensionali vediamo che: <math>{\begin{aligned}\left[\sigma \right]&=m^{2}\\&={\frac{[{\mbox{potenza emessa dall'elettrone}}]}{[{\mbox{intensit del fascio incidente}}]}}&={\frac{W}{Wm^{{-2}}}}&=m^{2}\end{aligned}}</math> Vediamo di esprimere la potenza emessa dall'elettrone e l'intensità del fascio incidente. Potenza emessa Consideriamo un elettrone con velocità <math>u<<c</math>. La potenza emessa è il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie sferica che racchiude l'elettrone. <math>{\begin{aligned}S&=E\wedge H\rightarrow \\P&=\oint \left(E\wedge H\right)\cdot {\hat {n}}\,da\end{aligned}}</math> Introduciamo alcune approssimazioni: * Approssimazione di onda piana: la radiazione emessa dagli elettroni è un'onda piana (quindi stiamo dicendo che ci mettiamo a grandi distanze). Vale quindi <math>E_{{\perp }}={\sqrt {{\frac{\mu _{{0}}}{\epsilon _{{0}}}}}}H_{{\perp }}</math>. * Approssimazione di campo di radiazione: trascuro tutti i termini di campo che vanno a 0 più velocemente di <math>{\frac{1}{r}}</math>. Dalle equazioni di Maxwell sappiamo che vale : <math>{\begin{aligned}{\mathbf {E}}&=-{\frac{\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}-\nabla \varphi \end{aligned}}</math> Per l'approssimazione di campo di radiazione possiamo trascurare <math>\nabla \varphi</math>, che va sicuramente a 0 più veloce di <math>{\frac{1}{r}}</math>. Rimane quindi <math>{\begin{aligned}{\mathbf {E}}&=-{\frac{\partial {\mathbf {A}}}{\partial t}}\end{aligned}}</math> L'espressione per il potenziale vettore <math>{\mathbf {A}}</math> è di difficile derivazione. Per lo scopo di questa trattazione basti sapere che vale Errore del parser (funzione sconosciuta '\lvert'): {\displaystyle \begin{align} \mathbf{A} &= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{e}{\underbrace{\lvert r-r' \rvert}_{R}}\mathbf{u} \end{align}} <math>{\begin{aligned}A_{{\theta }}&={\frac{\mu _{{0}}}{4\pi }}{\frac{e}{R}}\sin \theta u\rightarrow \\E_{{\theta }}&={\frac{-\partial A_{{\theta }}}{\partial t}}\\&={\frac{\mu _{{0}}}{4\pi }}{\frac{e}{R}}\sin \theta {\frac{\partial u}{\partial t}}\end{aligned}}</math> Sfruttando ora l'approssimazione di onda piana ricaviamo <math>H_{{\varphi }}</math> <math>{\begin{aligned}H_{{\varphi }}&={\sqrt {{\frac{\epsilon _{{0}}}{\mu _{{0}}}}}}E_{{\theta }}\end{aligned}}</math> Finalmente possiamo calcolare il prodotto vettore tra <math>{\mathbf {E}}</math> e <math>{\mathbf {H}}</math> proiettato lungo la normale alla superficie sferica che racchiude l'elettrone. <math>{\begin{aligned}\left(E\wedge H\right)\cdot {\hat {n}}&=E_{{\theta }}H_{{\varphi }}\\&={\sqrt {{\frac{\epsilon _{{0}}}{\mu _{{0}}}}}}E_{{\theta }}^{2}\\&={\sqrt {{\frac{\epsilon _{{0}}}{\mu _{{0}}}}}}{\frac{\mu _{{0}}^{2}}{\left(4\pi R\right)^{2}}}e^{2}{\dot {u}}^{2}\sin ^{2}{\theta }\end{aligned}}</math> <math>{\begin{aligned}P&=\int _{{0}}^{{2\pi }}\,d\varphi \int _{{0}}^{{\pi }}\left(E\wedge H\right)\cdot {\hat {n}}R^{2}\sin \theta \,d\theta \\&=2\pi {\sqrt {{\frac{\epsilon _{{0}}}{\mu _{{0}}}}}}{\frac{\mu _{{0}}^{2}}{\left(4\pi R\right)^{2}}}{\dot {u}}^{2}e^{2}\int _{{0}}^{{\pi }}\sin ^{3}\theta \,d\theta \\&={\frac{{\dot {u}}^{2}e^{2}}{4\pi c^{2}}}{\frac{2}{3}}{\sqrt {{\frac{\mu _{{0}}}{\epsilon _{{0}}}}}}\end{aligned}}</math><ref>Non abbiamo svolto i calcoli dell'integrale di <math>\sin ^{3}\theta</math> e abbiamo sfruttato la relazione <math>c={\frac{1}{{\sqrt {\mu _{{0}}\epsilon _{{0}}}}}}</math></ref> Ora <math>{\dot {u}}=a={\frac{eE}{m}}</math> dunque in conclusione possiamo esprimere P come: <math>{\begin{aligned}P&={\frac{e^{4}E^{2}}{4\pi m^{2}c^{2}}}{\frac{2}{3}}{\sqrt {{\frac{\mu _{{0}}}{\epsilon _{{0}}}}}}\end{aligned}}</math> Intensità del fascio incidente Dall'elettromagnetismo classico sappiamo che <math>{\begin{aligned}I&={\sqrt {{\frac{\epsilon _{{0}}}{\mu _{{0}}}}}}E^{2}\end{aligned}}</math> Sezione d'urto Dalla definizione data inizialmente della sezione d'urto si ottiene: <math>{\begin{aligned}\sigma &={\frac{P}{I}}\\&={\frac{2}{3}}{\frac{\mu _{{0}}}{\epsilon _{{0}}}}{\frac{e^{4}}{4\pi \ m^{2}c^{2}}}\end{aligned}}</math> Definendo raggio classico dell'elettrone la distanza alla quale l'energia potenziale coulombiana eguaglia l'energia a riposo dell'elettrone <math>mc^{2}</math> si ha: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{4\pi \epsilon _{{0}}}}{\frac{e^{2}}{r_{{cl}}}}&=mc^{2}\rightarrow \\r_{{cl}}&={\frac{e^{2}}{4\pi \epsilon _{{0}}mc^{2}}}\\\sigma &={\frac{8}{3}}\pi r_{{cl}}^{2}\end{aligned}}</math> Numericamente si ha <math>r_{{cl}}=2,82\cdot 10^{{-15}}m</math> e <math>\sigma =0,666\cdot 10^{{-28}}m^{2}=0,666{\mbox{barn}}</math> Coefficiente di assorbimento Come avevamo preannunciato <math>\mu =\sigma \cdot {\mbox{numero elettroni}}</math>. Se il materiale assorbente è costituito da un elemento di numero atomico <math>Z</math> <math>\mu =\sigma \cdot {\mbox{numero atomi}}\cdot Z</math>. Osservazione Secondo questo modello l'assorbimento non dipende dall'energia dei raggi X, contro l'evidenza sperimentale. Questa dipendenza dall'energia viene mostrata da Borkla nel 1909. == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Assorbimento]] 6jw2dce4lv8myzf7q9x7549xra36uew 0 60940 500681 2026-08-09T17:22:17Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072540/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Ipotesi_di_De_Broglie 500681 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Dalla teoria corpuscolare della radiazione è noto come ad un'onda di lunghezza d'onda <math>\lambda</math> possa essere associato un momento <math>p={\frac{h}{\lambda }}</math>. Nella sua tesi di dottorato De Broglie ipotizza che tale relazione sia in qualche modo simmetrica e che ad un corpo, dotato di momento <math>p</math>, si possa associare una lunghezza d'onda <math>\lambda ={\frac{h}{p}}</math> e dunque alla materia possano essere associati comportamenti ondulatori. Ciò implica che, sotto opportuna condizioni, la materia può subire diffrazione. Un rapido conto tuttavia mostra che la diffrazione della materia non è osservabile per effetti macroscopici: se consideriamo un oggetto di massa <math>m=10g</math> che si muove alla velocità <math>v=10{\frac{m}{s}}</math>, possiamo calcolare la lunghezza d'onda associata: <math>\lambda ={\frac{h}{mv}}={\frac{6,62\cdot 10^{{-34}}\,Js}{10^{{-2}}Kg\cdot 10{\frac{m}{s}}}}=6,6\cdot 10^{{-23}}{\overset {\circ }{A}}</math> Si tratta chiaramente di una quantità non osservabile. Se tuttavia consideriamo un elettrone di energia <math>E=100eV</math> si può calcolare: <math>\lambda ={\frac{h}{p}}={\frac{h}{{\sqrt {2mE}}}}={\frac{6,62\cdot 10^{{-34}}\,Js}{{\sqrt {2\cdot 9,1\cdot 10^{{-31}}Kg\cdot 100\cdot 1,6\cdot 10^{{19}}J}}}}=1,2{\overset {\circ }{A}}</math> Si tratta di una quantità misurabile. In linea di principio è dunque possibile osservare la diffrazione degli elettroni a patto di utilizzare un appropriato reticolo di diffrazione. == Bohr attraverso De Broglie == Grazie all'ipotesi di De Broglie si può spiegare la quantizzazione del momento angolare che costituisce uno dei postulati di Bohr. Infatti se associamo ad un elettrone una lunghezza d'onda <math>\lambda</math> essa deve soddisfare alla condizione di stazionarietà dell'orbita <math>{\begin{aligned}2\pi r&=n\lambda \\&=n{\frac{h}{p}}\\&=n{\frac{h}{mv}}\rightarrow \\mvr&=n{\frac{h}{2\pi }}\\L&=n\hbar \end{aligned}}</math> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Ipotesi di De Broglie]] 5akk0l2n1s6h0rib79vvdzp8vw3y06s 0 60941 500682 2026-08-09T17:22:45Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151006031609/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_di_Davisson_e_Germer 500682 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} La prima prova dell'ipotesi di De Broglie arriva dall'esperimento di Davisson e Germer, i quali, casualmente, osservano la diffrazione di un fascio di elettroni. Mentre effettuavano degli esperimenti di scattering su polveri di nichel questo entro accidentalmente in contatto con dell'ossigeno e si ossidò. Per ripulirlo dovettero riscaldarlo e questo fece assumere al nichel una struttura cristallina adatta alla diffrazione degli elettroni. Considero quindi un raggio che incide perpendicolarmente al reticolo cristallino e viene scatterato di un angolo <math>\phi</math>, quindi consideriamo un piano di Bragg interno al cristallo la cui normale è inclinata di un angolo <math>\alpha ={\frac{\phi }{2}}</math> rispetto al raggio incidente (i.e. diretta lungo la bisettrice di <math>\phi</math>). Si può ora studiare il fenomeno come una riflessione di Bragg. DG1.jpg Posto <math>\vartheta =\phi -\alpha</math> si ha: <math>2d\sin {\vartheta }=n\lambda </math> Tenendo conto del fatto che <math>\sin {\vartheta }=\cos {\alpha }</math> e <math>d=D\sin {\alpha }</math> si ottiene: <math>2\sin {\alpha }\cos {\alpha }=n\lambda \quad \Rightarrow \quad \sin {\left(2\alpha \right)}=n\lambda \quad \Rightarrow \quad D\sin {\phi }=n\lambda </math> Davisson e Germer lavorarono con un reticolo per cui <math>D=2,15</math>Å. Per <math>n=1</math> osservarono <math>\phi =50^{{\circ }}</math> da cui <math>\lambda =1,66</math>Å. Gli elettroni utilizzati erano accelerati da un potenziale di 54V (i.e. la loro energia era pari a 54eV), da cui si può ricavare la lunghezza d'onda prevista dalla teoria di De Broglie: <math>\lambda ={\frac{h}{p}}={\frac{h}{{\sqrt {2mE}}}}=1,67{\overset {\circ }{A}}</math> in accordo con i risultati dell'esperimento. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento di Davisson e Germer]] 2xdb2avb11tho7mzlmxs92trrc9jy8w 0 60942 500683 2026-08-09T17:23:43Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016070720/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Pacchetti_d%27onda 500683 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Associare ad una particella una lunghezza d'onda, e dunque assegnargli una natura ondulatoria, introduce complicazioni non indifferenti: che tipo di onda definisce la particella? E come possiamo mantenere la localizzazione della particella in un contesto ondulatorio? La risposta viene dal concetto di pacchetto d'onda, ossia un impulso con estensione finita. Questo pacchetto si ottiene per sovrapposizione di onde armoniche che danno interferenza costruttiva solo in una regione finita dello spazio, annullandosi altrove. Lo strumento matematico che consente questa trattazione è l' analisi di Fourier. Tuttavia il problema della localizzazione non è del tutto risolto: una particella nella concezione classica è esattamente in un punto dello spazio, invece in quest'ottica il pacchetto ha comunque una larghezza. Se infatti penso di stringere il picco per ottenere la localizzazione esatta, il pacchetto nello spazio dei numeri d'onda <math>k</math> si allarga molto. Vediamo un esempio facile che ci permette di capire meglio il concetto. == I battimenti == Prendiamo due onde armoniche di eguale ampiezza di equazioni: <math>{\begin{aligned}y_{1}\left(x,t\right)=y_{0}\cos \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)\\y_{2}\left(x,t\right)=y_{0}\cos \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right)\end{aligned}}</math> Tali che <math>k_{1}\approx k_{2}</math> e <math>\omega _{1}\approx \omega _{2}</math> Ora sovrapponiamole e studiamo l'onda risultante.<ref>si utilizza la formula di prostaferesi <math>\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left({\frac{\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac{\alpha +\beta }{2}}\right)</math></ref> <math>{\begin{aligned}y\left(x,t\right)&=y_{0}\cos \left(k_{1}x-\omega _{1}t\right)+y_{0}\cos \left(k_{2}x-\omega _{2}t\right)\\&=2y_{0}\cos \left({\frac{1}{2}}\left(k_{1}-k_{2}\right)x-{\frac{1}{2}}\left(\omega _{1}-\omega _{2}\right)t\right)\cos \left({\frac{1}{2}}\left(k_{1}+k_{2}\right)x-{\frac{1}{2}}\left(\omega _{1}+\omega _{2}\right)t\right)\\&=\underbrace {\left(2y_{0}\cos \left({\frac{1}{2}}\Delta kx-{\frac{1}{2}}\Delta \omega t\right)\right)}_{{{\mbox{ampiezza modulata}}}}\cos \left({\bar {k}}x-{\bar {\omega }}t\right)\end{aligned}}</math> Dove <math>{\begin{aligned}\Delta k=k_{1}-k_{2}\\{\bar {k}}={\frac{k_{1}+k_{2}}{2}}\end{aligned}}</math> e lo stesso per la simbologia di <math>\omega</math> Beating Frequency.svg Dopo un semiperiodo dell'inviluppo deve valere: <math>{\begin{aligned}{\frac{1}{2}}\Delta kx_{2}-{\frac{1}{2}}\Delta kx_{1}=pi\\{\frac{1}{2}}\Delta k\Delta x=\pi \rightarrow \\\Delta k\Delta x=2\pi \end{aligned}}</math> Il prodotto <math>\Delta k\Delta x</math> è un numero finito! Riducendo <math>\Delta x</math>, ossia stringendo il picco nello spazio, automaticamente <math>\Delta k</math> aumenta. Lo stesso si può fare con le variabili <math>t</math> e <math>\omega</math>, ottenendo <math>{\begin{aligned}\Delta \omega \Delta t=2\pi \end{aligned}}</math>. Da questa semplice analisi ricaviamo già importanti osservazioni: * Le coppie di variabili <math>k</math> e <math>x</math>, <math>t</math> e <math>\omega</math> sono correlate. * Nella rappresentazione "a pacchetti" vi è un' indeterminazione intrinseca == Pacchetti d'onda atti alla rappresentazione di una particella == Un pacchetto d'onda composto da due sole armoniche, come visto nel caso dei battimenti, non è ancora adeguato alla descrizione della funzione d'onda di una particella. È necessario sovrapporre un gran numero di armoniche. Questa sovrapposizione è matematicamente rappresentabile come serie di Fourier, ossia: <math>{\begin{aligned}{\mbox{rappresentazione nello spazio}}\\f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{{n}}e^{{in{\frac{\pi }{2L}}x}}\\c_{{n}}={\frac{1}{2L}}\int _{{-L}}^{{L}}f(x)e^{{-in{\frac{\pi }{2L}}x}}dx\\{\mbox{rappresentazione nel tempo}}\\f(t)=\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}g_{{n}}e^{{in{\frac{\pi }{2L'}}t}}\\g_{{n}}={\frac{1}{2L'}}\int _{{-L'}}^{{L'}}f(t)e^{{-in{\frac{\pi }{2L'}}t}}dt\\\end{aligned}}</math> Se consideriamo un numero davvero grande di armoniche i coefficienti discreti diventano variabili continue <math>c_{n}\rightarrow A\left(k\right)</math> e <math>g_{n}\rightarrow A\left(\omega \right)</math> e la funzione anzichè essere espressa come serie viene espressa come integrale:<ref>stiamo consapevolmente sorvolando sull'ambiente in cui è possibile eseguire la trasformata ecc, in quanto il rigore matematico non è l'obiettivo di questa trattazione</ref> <math>{\begin{aligned}{\mbox{rappresentazione in x,k}}\\F(x)=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}A\left(k\right)e^{{ikx}}\,dk\quad {\mbox{trasformata di Fourier inversa}}\\A\left(k\right)={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}F(x)e^{{-ikx}}dx,\;k\in {\mathbb {R}}\quad {\mbox{trasformata di Fourier }}\\{\mbox{rappresentazione in t,}}\omega \\F(t)=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}A\left(\omega \right)e^{{i\omega t}}\,d\omega \quad {\mbox{trasformata di Fourier inversa}}\\A\left(\omega \right)={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}F(t)e^{{-i\omega t}}dt;\omega \in {\mathbb {R}}\quad {\mbox{trasformata di Fourier}}\end{aligned}}</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Pacchetti d&#39;onda]] srk96p5lkas1y4fipb8xmh7wb5i4ch7 0 60943 500684 2026-08-09T17:24:41Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016073048/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Principio_di_indeterminazione 500684 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Prendiamo un pacchetto d'onda gaussiano centrato in 0 e con varianza <math>\sigma _{x}</math>. L'espressione matematica di tale pacchetto è: <math>{\begin{aligned}F\left(x\right)={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{{\frac{-x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}}}\end{aligned}}</math> Se ora vogliamo passare nello spazio <math>k</math> dobbiamo farne la trasformata di Fourier: <math>{\begin{aligned}F\left(k\right)=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}F\left(x\right)e^{{-ikx}}\,dx\end{aligned}}</math> Svolgendo i conti, che riportiamo nelle note,<ref><math>{\begin{aligned}F\left(k\right)&={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{x}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac{x^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}-ikx-\left({\frac{i{\sqrt {2}}\sigma _{x}k}{2}}\right)^{2}+\left({\frac{i{\sqrt {2}}\sigma _{x}k}{2}}\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{x}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-\left({\frac{x}{{\sqrt {2}}\sigma _{x}}}-{\frac{ik\sigma _{x}{\sqrt {2}}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac{i{\sqrt {2}}\sigma _{x}k}{2}}\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac{1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{x}}}e^{{{\frac{-k^{2}\sigma _{x}^{2}}{2}}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\sqrt {2}}\sigma _{x}e^{{-t^{2}}}\,dt\\&=e^{{{\frac{-k^{2}\sigma _{x}^{2}}{2}}}}\end{aligned}}</math></ref> si ottiene: <math>{\begin{aligned}F\left(k\right)&=e^{{{\frac{-k^{2}\sigma _{x}^{2}}{2}}}}\\&=e^{{{\frac{-k^{2}}{2\sigma _{k}^{2}}}}}\end{aligned}}</math> Ossia la trasformata di Fourier di un pacchetto gaussiano è ancora un pacchetto gaussiano con varianza <math>{\begin{aligned}\sigma _{k}={\frac{1}{\sigma _{x}}}\end{aligned}}</math> da cui <math>{\begin{aligned}\sigma _{k}\sigma _{x}\approx 1\end{aligned}}</math> Poichè <math>\sigma</math> è una misura della larghezza del pacchetto, e dunque dell'incertezza, possiamo scrivere <math>{\begin{aligned}\Delta k\Delta x\approx 1\end{aligned}}</math> Moltiplicando per <math>\hbar</math> entrambi i membri dell'equazione si ha <math>{\begin{aligned}\underbrace {\Delta k\hbar }_{{={\frac{2\pi }{\Delta \lambda }}{\frac{h}{2\pi }}}}\Delta x\approx \hbar \rightarrow \\\Delta p\Delta x\approx \hbar \end{aligned}}</math> Analogamente per un pacchetto in t si ottiene <math>{\begin{aligned}\Delta E\Delta t\approx \hbar \end{aligned}}</math> Le due relazioni appena ricavate costituiscono il senso del principio di indeterminazione di Heisenberg, sebbene la relazione analitica precisa sia, per un pacchetto gaussiano: <math>{\begin{aligned}\Delta p\Delta x={\frac{\hbar }{2}}\\\Delta E\Delta t={\frac{\hbar }{2}}\end{aligned}}</math> e per qualunque altro pacchetto <math>{\begin{aligned}\Delta p\Delta x\geq {\frac{\hbar }{2}}\\\Delta E\Delta t\geq {\frac{\hbar }{2}}\end{aligned}}</math> Osservazioni * L'indeterminazione minima che si può ottenere è quella legata a pacchetti gaussiani; * il limite inferiore delle misure non è legato alla misura in sè stessa o allo strumento ma è un limite naturale intrinseco legato alla natura ondulatoria della materia; * non si può determinare contemporaneamente e con la stessa precisione posizione e quantità di moto di una particella; * l'incertezza sull'energia di uno stato energetico è legata al tempo di permanenza della particella in quello stato. == Conseguenze == Significato della funzione d'onda per una particella Sia <math>\psi \left(x,t\right)</math> la funzione d'onda associata ad una particella. Come abbiamo visto, principio di indeterminazione di Heisenberg ci costringe a cambiare completamente la nostra concezione di localizzazione (in senso lato), e dunque dobbiamo reinterpretare e dotare di significato fisico questa funzione d'onda. Come si avrà modo di comprendere in corsi più avanzati il senso della funzione d'onda è che <math>\left|\psi \left(x,t\right)\right|^{2}</math> rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in una regione di spazio centrata intorno ad <math>x</math> al tempo <math>t</math>. Si passa dunque da una visione deterministica ad un'ottica probabilistica. Energia di confinamento Consideriamo il caso monodimensionale di una particella confinata in una regione di lunghezza <math>L</math>. La massima incertezza sulla posizione è chiaramente <math>\Delta x\approx L</math>. Infatti se non posso stabilire la posizione della particella so quantomeno che si trova nella regione di lunghezza <math>L</math>. Per il principio di indeterminazione abbiamo quindi <math>\Delta p\approx {\frac{\hbar }{L}}</math> Ora, note formule statistiche ci dicono che: <math>{\begin{aligned}\left(\Delta p\right)^{2}=<p^{2}>-<p>^{2}\end{aligned}}</math> Poichè il moto nella scatola è periodico si ha <math><p>^{2}=0</math>, da cui <math>{\begin{aligned}\left(\Delta p\right)^{2}=<p^{2}>\geq {\frac{\hbar ^{2}}{L^{2}}}\end{aligned}}</math> Esprimiendo l'energia in funzione della quantità di moto otteniamo l'incertezza su di essa: <math>{\begin{aligned}<E>={\frac{<p^{2}>}{2m}}\geq {\frac{\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}\end{aligned}}</math> Cosa significa il risultato ottenuto? Confinando una particella si pone un limite inferiore diverso da 0 alla sua energia: per essere confinata la sua energia non può essere nulla. Vediamo un'applicazione pratica e molto esemplificativa. * confiniamo un elettrone in un atomo. Quindi si ha <math>m=m_{e}</math> e <math>L\approx 1</math>Å. Svolgendo i conti si ottiene <math><E>\geq 3.8eV</math>. * ora confiniamo l'elettrone nel nucleo, quindi <math>L\approx 10^{{-4}}</math>Å. Si ottiene <math><E>\geq 10^{8}eV</math>. Il confinamento di un elettrone nel nucleo richiede energie grandissime, dunque è un fenomeno che non si osserva. Energia di punto 0 Secondo Planck l'energia di un oscillatore armonico è quantizzata : <math>E_{n}=nh\nu =n\hbar \omega</math>. Tuttavia l'espressione corretta è <math>E=\hbar \omega \left(n+{\frac{1}{2}}\right)</math>, dove la quantità <math>{\frac{\hbar \omega }{2}}</math> è detta energia di punto 0. Questo deriva dal principio di indeterminazione di Heisenberg: non si può avere un oscillatore in <math>x=0</math> che abbia anche <math>p=0</math>. L'energia dell'oscillatore è infatti: <math>{\begin{aligned}E={\frac{p^{2}}{2m}}+{\frac{kx^{2}}{2}}\\<E>={\frac{<p>^{2}}{2m}}+{\frac{k<x>^{2}}{2}}\end{aligned}}</math> Come già visto, passaggi quantistici e periodicità implicano <math>{\begin{aligned}<x>^{2}=\Delta x^{2}\\<p>^{2}=\Delta p^{2}\end{aligned}}</math> Per il principio di indeterminazione <math>{\begin{aligned}\Delta x\Delta p={\frac{\hbar }{2}}\rightarrow \\\Delta p^{2}=\left({\frac{\hbar }{2\Delta x}}\right)^{2}\end{aligned}}</math> Da cui segue: <math>{\begin{aligned}<E>={\frac{\hbar }{8m\Delta x^{2}}}+{\frac{k\Delta x^{2}}{2}}\end{aligned}}</math> Cercando il minimo (derivo rispetto a <math>\Delta x^{2}</math> e pongo uguale a 0)si ottiene proprio l'energia di punto 0. Larghezza naturale delle righe di emissione/assorbimento Il principio di indeterminazione di Heisenberg per tempo/energia ci dice che <math>\Delta t\Delta E\geq {\frac{\hbar }{2}}</math>. Se <math>\mathrm{T} =\Delta t</math> è il tempo di vita dello stato con energia <math>E</math> , questo implica che vi sia un' incertezza naturale minima dello stato pari a <math>\Delta E={\frac{\hbar }{\mathrm{T} }}</math> che si riflette in una larghezza minima delle righe di assorbimento/emissione, poiché le transizioni responsabili di tali righe non avvengono più ad esempio da <math>E_{2}</math> a <math>E_{1}</math> ma da <math>\left(E_{2}+{\frac{\Delta E}{2}},E_{2}-{\frac{\Delta E}{2}}\right)</math> a <math>\left(E_{1}+{\frac{\Delta E}{2}},E_{1}-{\frac{\Delta E}{2}}\right)</math> == Note == <references /> {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Principio di indeterminazione]] pcnwjvsxcr3n38yxw14hcf3uocuw0jf 0 60944 500685 2026-08-09T17:25:01Z Hippias 18281 https://web.archive.org/web/20151016072521/http://it.wikitolearn.org/Fisica_moderna/Esperimento_della_doppia_fenditura 500685 wikitext text/x-wiki {{fisica moderna}} Una caratteristica fondamentale di un'onda è la proprietà di produrre figure di interferenza. Un esempio classico di questo fenomeno si osserva facendo passare un fascio di fotoni attraverso due fenditure (esperimento di Young). Scoperta la natura ondulatoria della materia si effettua un esperimento analogo utilizzando fasci di elettroni e strumenti molto sensibili, in grado di rilevare addirittura un singolo elettrone. Quando l'intensità della sorgente è bassa si osservano dei punti luminosi sullo schermo rivelatore,apparentemente casuali e indicativi di una natura corpuscolare. Tuttavia aumentando gradualmente l'intensità della sorgente si osserva che la distribuzione non è casuale bensì rispetta il tipico pattern di interferenza, tipico delle onde. L'aspetto più interessante di questo esperimento è però un altro: se si tenta di introdurre qualche strumento che riveli da quale fenditura sia passato il singolo elettrone la figura di interferenza non si osserva più. Questo effetto ha motivato Bohr ad introdurre il principio di complementarità, secondo il quale i due aspetti, corpuscolare e ondulatorio, non possono essere osservati contemporaneamente in quanto mutuamente esclusivi, ovvero il tipo di esperimento determina il successivo comportamento delle particelle in esso coinvolte. {{avanzamento|75%|9 agosto 2026}} [[Categoria:Fisica moderna|Esperimento della doppia fenditura]] k6s5eyffjba6um6oc1mn6w7wsvi49va 2 60945 500706 2026-08-09T20:23:17Z Camelia.boban 25520 Nuova pagina: {{Raccolta_salvata}} == Il canto delle sirene == === Voci femminili della musica in lingua catalana del Mediterraneo === :[[Il canto delle sirene]] :[[Il canto delle sirene/Maria Arnal]] :[[Il canto delle sirene/Montserrat Caballé]] :[[Il canto delle sirene/Alba Careta]] :[[Il canto delle sirene/Maria del Mar Bonet]] :[[Il canto delle sirene/Joana Gomila]] :[[Il canto delle sirene/Franca Masu]] :[[Il canto delle sirene/Andrea Motis]] :Il canto delle sirene/Sílvia Pérez C... 500706 wikitext text/x-wiki {{Raccolta_salvata}} == Il canto delle sirene == === Voci femminili della musica in lingua catalana del Mediterraneo === :[[Il canto delle sirene]] :[[Il canto delle sirene/Maria Arnal]] :[[Il canto delle sirene/Montserrat Caballé]] :[[Il canto delle sirene/Alba Careta]] :[[Il canto delle sirene/Maria del Mar Bonet]] :[[Il canto delle sirene/Joana Gomila]] :[[Il canto delle sirene/Franca Masu]] :[[Il canto delle sirene/Andrea Motis]] :[[Il canto delle sirene/Sílvia Pérez Cruz]] :[[Il canto delle sirene/Rosalía]] :[[Il canto delle sirene/Tarta Relena]] :[[Il canto delle sirene/Bibliografia]] [[Categoria:Raccolte|Il canto delle sirene]] cl4sqd6idpcpsfz4jdn99satxjn79t8