Wikibooks itwikibooks https://it.wikibooks.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.20 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikibooks Discussioni Wikibooks File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Progetto Discussioni progetto Ripiano Discussioni ripiano TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 5382 501804 483328 2026-09-23T08:07:34Z ~2026-51289-04 54809 /* */ per favore ci serve per impietosire il nostro professore, cambiatelo tra 2 mesi circa, PLS🙏🏻🙏🏻 501804 wikitext text/x-wiki {{Esercizi di fisica con soluzioni}} == Esercizi == ===1. Guscio sferico === aiuto Bisti per favore abbi pietà 🙏🏻 [[Immagine:GuscioSfericocontreraggi.png|200px|right]] Una carica <math>Q\ </math> è distribuita uniformemente su un guscio sferico di raggio interno <math>R_1\ </math> e raggio esterno <math>R_2\ </math>. Determinare il campo nel punto <math>R_3\ </math> equidistante tra le due superfici del guscio sferico e la differenza di potenziale tra le due superfici del guscio. (dati del problema <math>Q=1\ nC</math>, <math>R_1=10\ cm </math>, <math>R_2=30\ cm</math>. ) <span class="noprint">[[#1. Guscio_sferico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===2. Guscio sferico con foro === Un guscio sferico isolante di spessore trascurabile di raggio <math>R\ </math> e carica <math>Q\ </math> ha un piccolo foro di raggio <math>r_o\ </math>. La carica è distribuita con densità superficiale uniforme (se il guscio fosse conduttore la carica sarebbe non uniforme). Tale foro non modifica la distribuzione uniforme di carica sulla sfera ed ai fini del calcolo si approssima il foro con una carica puntiforme (di valore opportuno e di segno chiaramente negativo). Determinare il campo nel centro della sfera e in che posizione dello spazio il campo elettrico è nullo. Discutere se l'approssimazione con una carica puntiforme sia giusta. (Dati del problema <math>Q=1\ \mu C</math>, <math>R=1.5\ m</math>, <math>r_o=5\ cm</math>) <div class="noprint"> <quiz display=simple> { |type="()"} - 0,25m - 0,05m + 0,025m - 0,005m - 0,0025m </quiz> </div> <span class="noprint">[[#2. Guscio_sferico con foro_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===3. Campo elettrico terrestre === Il campo elettrostatico sulla superficie della terra in condizioni di bel tempo vale circa <math> E_{t}\ </math>, diretto verso il centro della terra. La terra che ha un raggio <math>R_t\ </math> è globalmente neutra, per cui fino ad una quota di <math>h\ </math> vi è una densità volumetrica approssimativamente distribuita uniformemente, tale carica deve essere uguale e contraria alla carica superficiale. Determinare a) la carica totale sulla superficie della terra, b)La differenza di potenziale tra il punto a quota <math>h\ </math> e la superficie della terra. c) la capacità equivalente della terra in senso lato. (dati del problema <math>R_t=6350\ km</math>, <math>h=10\ km</math>, <math>E_t=100\ V/m</math>) <span class="noprint">[[#3. Campo_elettrico_terrestre_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===4. Tre gusci sferici === Tre gusci sferici concentrici conduttori hanno raggi <math>R\ </math>, <math>1.5R\ </math> e <math>2R\ </math>. Il guscio esterno ed interno sono allo stesso potenziale nullo (rispetto all'infinito). Sul guscio intermedio è depositata una carica <math>Q\ </math>. Determinare la d.d.p tra il guscio intermedio e gli altri due, la capacità elettrica del sistema ed il campo elettrico massimo in valore assoluto. (dati del problema <math>Q=3\ \mu C\quad R=10\ m</math>, suggerimento perché il potenziale sia nullo occorre che la carica totale sui tre gusci sia nulla) <span class="noprint">[[#4. Tre_gusci_sferici_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===5. Nuvola cilindrica === Una [[w:nuvola|nuvola]] cilindrica di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse secondo la legge: <math>\rho=A+Br\ </math> Se il campo ad <math>R/2\ </math> vale in modulo <math>E_1\ </math> mentre a <math>5R\ </math> vale <math>E_2\ </math>. Determinare il campo elettrico sul bordo della nuvola e la d.d.p. tra il bordo della nuvola ed il centro della nuvola. (Dati del problema: <math>R=10\ m</math>, <math>E_1=10^4\ V/m</math>, <math>E_2=5\cdot 10^3\ V/m</math>) <span class="noprint">[[#5. Nuvola_cilindrica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===6. Doppio strato === Un doppio strato è costituito da due regioni planari (ai fini dei conti infinite) di densità di carica <math>\rho\ </math> e <math>-\rho\ </math> e di spessore ''d''. Determinare il campo massimo e la d.d.p. tra ''-d'' e ''d''. (Dati del problema: <math>\rho=50\ C/m^3</math>, <math>d=0.3\ \mu m\ </math>) <span class="noprint">[[#6. Doppio_strato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===7. Un guscio spesso isolante === [[Immagine:Guscio_sferico_isolante.png|150px|right]] Una sfera non conduttrice di raggio <math>R_2\ </math> contiene una cavità sferica concentrica di raggio <math>R_1\ </math>. Tra <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> è distribuita uniformemente una carica <math>Q\ </math>. Determinare il valore del campo massimo ed il potenziale del centro della distribuzione di carica rispetto all'infinito. (dati del problema <math>Q=18\ nC</math>, <math>R_1=2\ cm</math>, <math>R_2=9\ cm</math>) <span class="noprint">[[#7. Un_guscio_spesso_isolante_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica === Una nuvola sferica carica ha un raggio <math>R\ </math> ed ha una densità di carica uniforme, la carica totale della nuvola è <math>Q\ </math>. Determinare la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il bordo della nuvola. (Dati del problema: <math>R=3\ km</math>, <math>Q=1\ C</math>.) ;La soluzione è approssimata alla prima cifra dopo la virgola. <span class="noprint">[[#8. Differenza_di_potenziale_di_una_nuvola sferica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===9. Due sfere lontane=== Una sfera conduttrice isolata di raggio <math>R\ </math> viene caricata ad un potenziale rispetto all'infinito di <math>V_0\ </math> (e isolata dall'alimentatore). In seguito viene connessa mediante un filo ad una sfera lontana scarica di raggio la metà: Determinare il potenziale a cui si portano le sfere. (dati del problema <math>V_0=500\ V</math>, <math>R=10\ cm</math>) <span class="noprint">[[#9. Due sfere lontane_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===10. Regione tra due piani === In una regione di spazio, limitata da due piani paralleli al piano cartesiano <math>yz\ </math> ed infiniti, distanti <math>d\ </math> l'uno dall'altro, vi è una distribuzione di carica costante <math>\rho\ </math>. Calcolare il campo elettrico nella regione di spazio compresa tra i due piani e la differenza di potenziale (in modulo) tra il centro della regione di spazio ed un estremo. (dati del problema: <math>\rho= 10^{-8}\ C/m^3\ </math>, <math>d=1\ m</math>) <span class="noprint">[[#10. Regione_tra_due_piani_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===11. Una goccia d'acqua === Una goccia sferica di acqua, un conduttore liquido, su cui è presente una carica <math>q_o\ </math>,ha un potenziale <math>V_0\ </math> rispetto all'infinito. Determinare il raggio della sfera. (dati del problema <math>q_o=10\ pC</math>, <math>V_0=100\ V</math>) <span class="noprint">[[#11. Una_goccia_d'acqua_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===12. Una nuvola sferica carica === Una nuvola sferica carica ha un raggio <math>R\ </math>. La densità di carica è uniforme tra <math>0\ </math> ed <math>R/2\ </math> e vale <math>\rho/2\ </math>, mentre nel resto della nuvola (il guscio esterno restante) la densità è ancora uniforme, ma vale <math>\rho\ </math>. La carica totale della nuvola è nota e vale Q. Determinare il campo elettrico a distanza <math>2/3R\ </math> dal centro della nuvola sferica. (Dati del problema: <math>R=1\ m\ </math>, <math>Q=4\cdot 10^{-6}\ C</math>) <span class="noprint">[[#12. Una_nuvola_sferica_carica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===13. Un corpo di massa m e carico === Un corpo di massa <math>m\ </math> e carica <math>-e\ </math> si muove all'interno di una sfera di raggio <math>R\ </math> nella quale è distribuita uniformemente una carica <math>e\ </math>. La forza esercitata è di tipo elastico (come si può dimostrare), calcolare la frequenza delle oscillazioni. (dati del problema <math>m=9.11\cdot 10^{-31}\ Kg</math>, <math>-e=-1.6\cdot 10^{-19}\ C</math>, <math>R=10^{-10}\ m</math>) <span class="noprint">[[#13. Un corpo di massa m e carico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===14. Giunzione p-n graduale === [[Immagine:Es15p89.png|200px|right]] Una giunzione p-n tra due semiconduttori, che è rappresentabile come un doppio strato (piano) di spessore <math>2d\ </math>, ha una densità di carica volumetrica che varia secondo la legge: <math>\rho =At\qquad -d<t<d\ </math>. Al di fuori dello strato la carica è nulla. Determinare il campo elettrico sulla superficie dello strato e la differenza di potenziale tra i due estremi dello strato (Dati del problema: <math>d=1\ \mu m</math>, <math>A=1\cdot 10^7 \ C/m^4</math>) <span class="noprint">[[#14. Giunzione_p-n_graduale_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===15. Nuvola sferica con due densità=== Una nuvola sferica di raggio <math>2R=6\ m\ </math> carica ha una densità di carica <math>\rho=1\cdot 10^{-8}\ C/m^3\ </math> uniforme a distanza dal centro tra <math>0\ </math> ed <math>R\ </math> e diventa di segno opposto <math>-\rho\ </math>, ma sempre uniforme tra <math>R\ </math> e <math>2R\ </math>. Determinare a) la carica <math>Q_2\ </math> tra <math>R\ </math> e <math>2R\ </math>; b) il campo elettrico in <math>4R\ </math>; c) a che distanza dal centro (escludendo il centro e l'infinito) il campo è nullo; d) La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola (<math>2R\ </math>) ed la regione di transizione (<math>R\ </math>). <span class="noprint">[[#15. Nuvola sferica con due densità_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===16. Filo su piano === [[Immagine:Filo_su_piano.png|350px|right]] Un filo rettilineo, di lunghezza infinita, uniformemente carico, con una densità di carica lineare <math>\lambda\ </math>, è parallelo ed è ad una distanza <math>d\ </math> da una superficie piana isolante (di spessore trascurabile) uniformemente carica con densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math>. Determinare: a) la forza per unità di lunghezza che si ha tra il filo e la superficie. b) la distanza dal piano, sulla verticale passante per il filo, per la quale il campo elettrico è nullo. (dati del problema <math>\sigma =10^{-5}\ C/m^2\ </math>, <math>\lambda =-4\cdot 10^{-6}\ C/m\ </math>, <math>d=3\ cm\ </math>) <span class="noprint">[[#16. Filo_su_piano_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===17. Moto in nuvola cilindrica === Una nuvola cilindrica molto lunga (lunghezza praticamente infinita) di raggio <math>R\ </math>, ha una densità di carica uniforme pari a <math>\rho\ </math>. Una particella di carica <math>q\ </math> e massa <math>m\ </math> inizialmente ferma va da una posizione a distanza <math>R_1=R/2\ </math> dall'asse fino a <math>R_2=4R\ </math>. Determinare a) l'accelerazione nel punto <math>R_1\ </math>, b) l'accelerazione nel punto <math>R_2\ </math>, 3) La velocità con cui la particella arriva nel punto <math>R_2\ </math>. (dati del problema <math>R=1\ m\ </math>, <math>\rho=10^{-6}\ C/m^3\ </math>, <math>m=10^{-19}\ kg\ </math>, <math> q=1.6\cdot 10^{-19}\ C\ </math>) <span class="noprint">[[#17. Moto_in_nuvola_cilindrica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===18. Nuvola sferica con densità cubica === Una nuvola sferica di raggio <math>R\ </math>, ha una densità di carica variabile rapidamente con la distanza dal centro con legge: <math>\rho=Ar^3\ </math> ed una carica totale <math>Q\ </math>. Determinare: a) il valore di A; b) il valore del campo elettrico a <math>R/2\ </math>; c) la differenza di potenziale tra i centro della nuvola e l'infinito. (dati del problema <math>Q=1\ nC\ </math>, <math>R=3\ cm\ </math>) <span class="noprint">[[#18. Nuvola sferica con densità cubica_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===19. Nuvola sferica con densità variabile === Una nuvola sferica di raggio <math>R=3\ m\ </math> ha una densità di carica variabile radialmente secondo la legge: :<math>\rho=\rho_o\left(\frac rR-\frac {r^2}{R^2}\right)\ </math> con <math>\rho_o=5.9\cdot 10^{-8}\ C/m^3\ </math>. Determinare '''a''') la carica totale; '''b''') dove il campo elettrico è massimo ed il suo valore; '''c''') la differenza di potenziale tra il centro della nuvola ed il suo bordo. <span class="noprint">[[#19. Nuvola sferica con densità variabile_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===20. Due sfere=== [[Immagine:Es15p140.png|300px|right]] Due sfere di raggio <math>R=40\ cm\ </math> come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica eguale <math>\rho=6\cdot 10^{-7}\ C/m^3\ </math> e sono a distanza pari a due volte il raggio. Determinare a) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle x all'interno della sfera di destra e in particolare nel punto di coordinate <math>x=R\ </math>; b) il valore del campo elettrico lungo l'asse delle y e in particolare nel punto di coordinate <math>y=R\ </math>; c) la velocità minima che deve avere un protone di massa <math>m_p=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\ </math> e carica <math>e=1.6\cdot 10^{-19}\ C\ </math> per riuscire ad attraversare il sistema passando per l'origine delle coordinate provenendo da distanza molto grande (l'infinito). <span class="noprint">[[#20. Due sfere_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===21. Carica dentro guscio sferico=== Al centro di un guscio sferico spesso di raggio interno <math>a=0.8\ m\ </math> e raggio esterno <math>b=1.5\ m\ </math> è collocata una carica puntiforme <math>q_o=0.3\ \mu C</math>. All’interno del guscio sferico, per <math>a\le r\le b\ </math>, esiste una distribuzione di carica con densità di volume <math>\rho=K/r\ </math>, con <math>K\ </math> una costante. Il campo elettrico radiale all'interno del guscio sferico è costante in modulo. Si determini: a) il campo elettrico sul bordo interno del guscio; b) il valore della costante <math>K\ </math> che rende all'interno della distribuzione il campo elettrico costante in modulo; c) il valore della carica totale dell’intero sistema; d) la differenza di potenziale tra il bordo esterno ed interno del guscio sferico . <span class="noprint">[[#21. Carica dentro guscio sferico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===22. Distribuzione esponenziale=== [[Immagine:ExponentialDensity.png|left|350px]] Una distribuzione ha simmetria planare ed ha una densità che diminuisce esponenzialmente a partire dalla regione centrale: :<math>\rho=\rho_0e^{-|x|/a}\ </math> Con <math>a=2\ mm\ </math>, <math>\rho_0=1.1\cdot 10^{-5}\ C/m^3\ </math>. Determinare a) il campo elettrico al centro e in <math>x=a\ </math>; b) il campo elettrico a grande distanza <math>x>>a\ </math>; c) la differenza di potenziale tra <math>0\ </math> e <math>x=a\ </math>. <span class="noprint">[[#22. Distribuzione esponenziale_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> [[Immagine:Es15p153.png|right|350px]] ===23. Doppio strato separato=== Due strati piani carichi di spessore <math>d=2\ cm\ </math> con densità di carica uniforme eguale e contraria <math>\rho=3\cdot 10^{-5}\ C/m^3\ </math> sono posti a distanza <math>d\ </math>. In figura è disegnato l'asse delle <math>x\ </math> e la sua origine. Determinare: a) il campo a grande distanza; b) L'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle x e in particolare al centro lungo al centro; c) la velocità minima che deve avere una particella di massa <math>m=1.67\cdot 10^{-27}\ kg\ </math> e carica <math>q=1.67\cdot 10^{-19}\ C\ </math> per potere attraversare i due strati provenendo da grande distanza (<math>+\infty \ </math>) da destra nella figura. <span class="noprint">[[#23. Doppio strato separato_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> [[Immagine:Sferacaricaconduefori.png|350px|left]] ===24 Sfera con due fori=== Una sfera di densità di carica uniforme <math>\rho\ </math> e raggio <math>R\ </math> contiene due zone prive di carica al suo interno sferiche di raggio <math>R/2\ </math> come indicato in figura. Determinare a) l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle <math>z\ </math> per <math>-R\le z \le R\ </math>; b) lungo l'asse delle <math>x\ </math> per <math>-R\le x \le R\ </math>; c) verificare che all'interno della sfera di destra la divergenza del campo elettrico sia ovunque nulla. (dati del problema <math>\rho=1\cdot 10^{-4}\ C/m^3\ </math>, <math>R=10\ cm\ </math>). <span class="noprint">[[#24 Sfera con due fori_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===25. Guscio concentrico=== [[Immagine:Sferaisolanteguscio.png|300px|right]] Una nuvola sferica isolante ha un raggio <math>R_1\ </math>, ha una densità di carica uniforme e una carica totale <math>3Q\ </math>. Concentrica con questa sfera vi è un guscio sferico metallico di raggio interno <math>R_2\ </math> e raggio esterno <math>R_3\ </math>, come mostrato in figura con una carica <math>-Q\ </math>. Determinare: a) il campo a distanza <math>2R_3\ </math> dal centro; b) la densità di carica nella superficie interna ed esterna del guscio sferico metallico; c) a che distanza dal centro il campo elettrico è massimo ed il suo valore; d) la differenza di potenziale tra il guscio metallico e il centro. (dati del problema <math>Q=4\ nC\ </math>, <math>R_1=1\ cm\ </math>, <math>R_2=5\ cm\ </math>, <math>R_3=6\ cm\ </math>) <span class="noprint">[[#25. Guscio concentrico_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> ===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga=== Una nuvola cilindrica infinitamente lunga e di raggio <math>R\ </math> ha una densità di carica che varia con la distanza dall'asse con la legge :<math>\rho=\rho_o(a-r/R)\qquad 0\le r\le R\ </math> Determinare: a) la carica per unità di lunghezza; b) l'espressione del campo elettrico per <math>r<R\ </math> e in particolare ad <math>R/2\ </math>; c) a che distanza dal centro il campo elettrico ha la massima intensità ed il suo valore; d) se il valore di <math>a\ </math> fosse 1.7 dove si troverebbe il massimo del campo elettrico e quale sarebbe la sua intensità? (dati del problema <math>\rho_o=2\ \mu C/m^3</math>, <math>R=10\ cm</math>, <math>a=0.9\ </math>) <span class="noprint">[[#26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span> == Soluzioni == ===1. Guscio sferico === <span class="noprint">[[#1. Guscio_sferico|&rarr; Vai alla traccia]]</span> La densità di carica vale: <math>\rho =\frac Q{4/3\pi (R_2^3-R_1^3)}</math> (la superficie si calcola con la formula <math>4\pi R^2</math>) Quindi dal teorema di Gauss ad una distanza generica <math>R\ </math> tra <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>: <math>4\pi R^2 E(R)=\frac 1{\varepsilon_o}\int_{R_1}^R \rho 4\pi r^2 dr= \frac 1{\varepsilon_o}\rho 4\pi\left[\frac {r^3}3\right]_{R_1}^R= \frac {\rho 4\pi}{3\varepsilon_o }[R^3-R_1^3]</math> <math>E(r)=\frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left( r- \frac {R_1^3}{r^2}\right)</math> Quindi per <math>R=R_3=(R_1+R_2)/2=20\ cm</math>: <math>E(R_3)=61\ V/m</math> mentre ovviamente la d.d.p. tra i gusci, in modulo vale: <math>\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left( R- \frac {R_1^3}{R^2}\right)dR= \frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left[\frac 12(R_2^2-R_1^2)+\frac {R_1^3}{R_2}-R_1^2\right]=16\ V</math> ===2. Guscio sferico con foro === <span class="noprint">[[#2. Guscio_sferico con foro|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Il campo elettrico è quello di una superficie sferica carica con una densità di carica: <math>\sigma =\frac Q{4\pi R^2}</math> più una carica puntiforme posta sulla superficie esterna di carica: <math>q_o=-\sigma \pi r_o^2=-Q\frac {r_o^2}{4R^2}=-0.28\ nC</math> Quindi il campo al centro è quello dovuto alla sola carica puntiforme (come direzione diretto verso il foro) e vale: <math>E(0)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {|q_o|}{ R^2}=1.1\ V/m</math> All'interno del guscio sferico in nessun punto il campo è nullo, all'esterno sulla retta passante per il centro del guscio sferico e per il foro vi è un punto a distanza <math>x\ </math> dalla superficie del guscio sferico per cui i campi prodotti dal guscio sferico: <math>E(R+x)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Q}{ (R+x)^2}\ </math> e dalla carica puntiforme: <math>E(x)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {q_o}{x^2}\ </math> Si compensano, da cui segue con semplici passaggi che: <math>4R^2x^2=r_o^2(R+x)^2\ </math> Con due soluzioni, rigettando la negativa che corrisponde a stare dentro il guscio sferico dove non vale il sistema: <math>x=0.025\ m</math> La distanza trovata di <math>x=2.5\ cm\ </math> è chiaramente non trascurabile rispetto alle dimensioni del foro <math>r_o=5\ cm</math>. Quindi l'esercizio richiedeva un calcolo più sofisticato essendo la combinazione non di una carica puntiforme e di un guscio uniformemente carico, ma il caso più complesso di un disco [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_disco_uniformemente_carico|uniformemente carico]] e di un guscio sferico. ===3. Campo elettrico terrestre === <span class="noprint">[[#3. Campo_elettrico_terrestre|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Dal teorema di Coulomb: <math>\sigma=-E_t\varepsilon_o=-8.86\cdot 10^{-10}\ C/m^2</math> Quindi: <math>Q_t=\sigma4\pi R_t^2=-4.6\cdot 10^5\ C</math> b) Detta la densità di carica nell'atmosfera <math>\rho_t\ </math>, poiché lo spessore dell'atmosfera utile ai fini del calcolo <math>h\ </math> è piccolo rispetto al raggio della terra, si può approssimare il suo volume con <math>4\pi R_t^2h\ </math> e quindi: <math>\rho_t\approx \frac {-Q_t}{4\pi R_t^2h}</math> Quindi detta <math>z\ </math> una quota generica tra <math>0\ </math> ed <math>h\ </math>, considerando una sfera concentrica alla terra all'interno dell'atmosfera, l'applicazione del teorema di Gauss: <math>-E_z4\pi (R_t+z)^2=\frac {Q_t}{\varepsilon_o}+\frac {\rho_t4\pi R_t^2z}{\varepsilon_o}</math> Trascurando <math>z\ </math> rispetto a <math>R_t\ </math> e sostituendo <math>-E_z4\pi R_t^2=\frac {Q_t}{\varepsilon_o}-\frac {Q_tz}{h\varepsilon_o}</math> Quindi: <math>E_z=\frac {Q_t}{\varepsilon_o4\pi R_t^2}\left( \frac zh-1\right)</math> Quindi la d.d.p. tra la quota <math>h\ </math> e la superficie della terra vale: <math>\Delta V=-\int_h^0E_z dz=-\frac {Q_t}{4\pi\varepsilon_o R_t^2}\left(h- \frac {h^2}{2h}\right)=-\frac {Q_th}{8\pi \varepsilon_o R_t^2}=500\ kV</math> c) Quindi la capacità in senso lato vale: <math>C=\frac {Q_t}{\Delta V}=0.9\ F</math> ===4. Tre gusci sferici === <span class="noprint">[[#4. Tre_gusci_sferici|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Chiamiamo <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> la carica sulle sfere interna ed esterna dovrà essere che: <math>Q_1+Q_2=-Q\ </math> Inoltre dal teorema di Gauss essendo radiale tra <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> vale: <math>E=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o r^2}</math> Quindi la d.d.p. tra la sfera interna e quella intermedia vale: <math>\Delta V_1=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}</math> mentre tra quella esterna e quella intermedia vale: <math>\Delta V_2=\frac {Q+Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_3-R_2}{R_2R_3}</math> Imponendo che: <math>\Delta V_1=\Delta V_2\ </math> :<math>\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}=\frac {Q+Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_3-R_2}{R_2R_3}</math> Quindi :<math>Q_1\frac {R-1.5R}{1.5R^2}=(Q+Q_1)\frac {2R-1.5R}{3R^2}</math> :<math>-2Q_1=Q+Q_1</math> <math>Q_1=-\frac Q3=-1\ \mu C</math> <math>\Delta V=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o}\frac {R_1-R_2}{R_1R_2}=3000\ V</math> La capacità elettrica vale dunque: <math>C=\frac Q{\Delta V}=1\ nF</math> La densità di carica sulla sfera interna vale: <math>\sigma_1=\frac {Q_1}{4\pi R^2}</math> Quindi nelle immediate vicinanze il campo vale: <math>E_1=\frac {\sigma_1}{\varepsilon_o }=-90\ V/m</math> che è il massimo campo presente nello spazio tra le sfere, è facile verificare come nelle immediate vicinanze della sfera intermedia il campo sia minore: <math>80\ V/m</math>. ===5. Nuvola cilindrica === <span class="noprint">[[#5. Nuvola_cilindrica|&rarr; Vai alla traccia]]</span> per r<R si ha dal Teorema di Gauss, detta <math>h\ </math> l'altezza di un cilindro Gaussiano, che: <math>E_rh2\pi r=\frac 1{\epsilon_o}\int_0^r(A+Br')2\pi r' dr' h\ </math> da cui: <math>E_r=\frac 1{\epsilon_o}(A\frac r2+B\frac {r^2}3)\ </math> mentre per r>R si ha dal Teorema di Gauss: <math>E_rh2\pi r=\frac 1{\epsilon_o}\int_0^R(A+Br)2\pi r dr h\ </math> da cui: <math>E_r=\frac 1{\epsilon_o}(A\frac {R^2}{2r}+B\frac {R^3}{3r})\ </math> Dai dati iniziali del problema si ha che: <math>10^4\epsilon_o=2.5A+8.3B\ </math> <math>510^3\epsilon_o=A+6.66B\ </math> Da cui: <math>A=2.65\cdot 10^{-8}\ C/m^3</math> <math>B=2.65\cdot 10^{-9}\ C/m^4</math> Quindi per r=R: <math>E(R)=25000\ V/m</math> Mentre la d.d.p. vale: <math>\Delta V=-\int_0^R E_rdr=-\frac 1{\epsilon_o}(A\frac {R^2}4+B\frac {R^3}9)=-108\ kV</math> ===6. Doppio strato === <span class="noprint">[[#6. Doppio_strato|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Consideriamo un solo stato e spostiamo l'origine nel suo centro come mostrato in figura. Distinguiamo tre zone di spazio. La prima è <math>-d/2<x'<d/2\ </math> e consideriamo un cilindro perpendicolare al piano di sezione <math>S\ </math> ed altezza <math>2x\ </math> con il suo centro coincidente con il centro della regione. Attraverso le basi del cilindro il campo è uscente e vale in modulo <math>|E|\ </math>. Il flusso attraverso la superficie laterale è identicamente nullo poiché il campo è parallelo alla superficie. Quindi applicando il teorema di Gauss: <math>|E^+|2S=\frac {\rho S2x'}{\epsilon_o}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ </math> Quindi: <math>E^+=\frac {\rho x'}{2\epsilon_o}\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ </math> Mentre se <math>|x'|>d/2\ </math>: <math>|E^+|2S=\frac {\rho Sd}{\epsilon_o}\ </math> Quindi: <math>E^+=\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\ge d/2\ </math> <math>E^+=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\le -d/2</math> Se la densità di carica fosse stata negativa avrei avuto: <math>E^-=-\frac {\rho x'}{2\epsilon_o }\qquad per\ -d/2<x'<d/2\ </math> <math>E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\le -d/2\ </math> <math>E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o}\qquad per\ x'\ge d/2\ </math> Ritorniamo al problema reale facendo due cambiamenti di coordinare per <math>x'\ </math> in maniera diversa tra + e -. <math>x'=x+\frac d2\ </math> Le equazioni divengono: <math>E^+=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\le -d\ </math> <math>E^+=\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon_o }\qquad per\ -d<x<0\ </math> <math>E^+=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\ge 0</math> <math>x'=x-\frac d2\ </math> Le equazioni divengono: <math>E^-=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\le 0\ </math> <math> E^-=-\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon_o }\qquad per\ 0<x\ <d</math> <math>E^-=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }\qquad per\ x\ge d\ </math> Quindi il campo totale nelle 4 regioni di spazio diviene: <math>E=-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=0\qquad per\ x\le -d</math> <math> E=\frac {\rho (x+d/2)}{\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }\qquad per\ -d<x<0</math> <math>E=-\frac {\rho (x-d/2)}{\epsilon_o }+\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }\qquad per\ 0<x<d</math> <math> E=\frac {\rho d}{2\epsilon_o }-\frac {\rho d}{2\epsilon_o }=0\qquad per\ x\ge d</math> Quindi il massimo di <math>E\ </math> si ha nell'origine in cui: <math>\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }=\lim_{x \rightarrow 0^+}-\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }=\frac {\rho d}{\epsilon_o }=3.4\ \cdot 10^6\ V/m</math> Mentre la d.d.p. tra i due lati vale: <math>\Delta V=-\int_{-d}^0\frac {\rho (x+d)}{\epsilon_o }dx-\int_0^{d}\frac {\rho (-x+d)}{\epsilon_o }=-\frac {\rho}{\epsilon_o }\left\{ \left[ \frac {x^2}2+xd \right]_{-d}^0+ \left[xd-\frac {x^2}2 \right]_0^d\right\}=\frac {\rho d^2}{\epsilon_o }=1.02\ V</math> ===7. Un guscio spesso isolante === <span class="noprint">[[#7. Un_guscio_spesso_isolante|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Il campo elettrico, sempre radiale, si ricava dal teorema di Gauss. All'esterno della distribuzione si ha che: <math>E_r4\pi r^2 =\frac Q{\varepsilon_o }\qquad per\quad r>R_2</math> <math>E_r=\frac Q{4\pi \varepsilon_o r^2}\ </math> Nella cavità il campo è nullo. Mentre la densità di carica, nella regione dove è uniforme, vale: <math>\rho=\frac Q{4/3\pi(R_2^3-R_1^3)}=6\cdot 10^{-6}\ C/m^3</math> Quindi applicando Gauss: <math> E_r4\pi r^2 =\rho\frac {4\pi}{3\varepsilon_o }\left(r^3-R_1^3 \right)\qquad per\quad R_1<r<R_2</math> <math> E_r=\rho\frac {1}{3\varepsilon_o r^2}\left(r^3-R_1^3\right) \qquad per\quad R_1<r<R_2</math> Il campo è ovviamente massimo per <math>r=R_2\ </math> dove vale: <math>E_m=\frac Q{4\pi \varepsilon_o R_2^2}=20\ kV/m</math> <math>V=-\int_{\infty}^0E_rdr=-\int_{\infty}^{R_2}E_rdr-\int_{R_2}^{R_1}E_rdr=\ </math> <math>=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac q{R_2}+ \frac {\rho}{6\varepsilon_o}\left[ R_2^2-R_1^2\right]+\frac {\rho R_1^3}{3\varepsilon_o }\left[ \frac 1{R_1}-\frac 1{R_2}\right]=2732\ V</math> ===8. Differenza di potenziale di una nuvola sferica === <span class="noprint">[[#8. Differenza_di_potenziale_di_una_nuvola sferica|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Dal teorema di Gauss essendo il campo elettrico radiale la sua intensità all'interno della sfera vale: <math>|E|=\frac Q{4\pi \epsilon _oR^3}r</math> Quindi: <math>\Delta V=\frac Q{4\pi \epsilon _oR^3}\int_0^Rrdr= \frac Q{8\pi \epsilon_oR}=1.5\cdot 10^6\ V</math> ===9. Due sfere lontane === <span class="noprint">[[#9. Due sfere lontane|&rarr; Vai alla traccia]]</span> La carica cui si porta la prima sfera è: <math>Q_0=4\pi \epsilon_o RV_0=5.6\ nC</math> Dovendo portarsi allo stesso potenziale, detta <math>Q_1\ </math> e <math>Q_2\ </math> le cariche finali delle due sfere: <math>\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o R}=\frac {Q_2}{4\pi \epsilon_o R}</math> ma anche: <math>Q_1+Q_2=Q_0\ </math> da cui: <math>Q_2=\frac {Q_0}3=1.86\ nC</math> <math>Q_1=\frac {2Q_0}3=3.74\ nC</math> Il potenziale finale (comune) vale: <math>V_f=\frac {Q_1}{4\pi \epsilon_o R}=167\ V</math> ===10. Regione tra due piani === <span class="noprint">[[#10. Regione_tra_due_piani|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Assunta come origine dell'asse delle <math>x\ </math> il centro e normale ai piani. Consideriamo un cilindro gaussiano di base <math>S\ </math> con asse parallelo all'asse delle <math>x\ </math> di altezza <math>2x< d\ </math>. Applicando il teorema di Gauss, vi è flusso del campo elettrico solo attraverso le due superfici di base ed è eguale ed uscente per entrambe le superfici per cui <math>2|E_x|(x)S=\frac {\rho S2x}{\varepsilon_o}\ </math> Quindi: <math>E_x=\frac {\rho x}{\varepsilon_o}\ </math> La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'estremo vale: <math>|\Delta V|=\int_0^{d/2}\frac {\rho x}{\varepsilon_o}dx=\frac {\rho d^2}{8\varepsilon_o}=141\ V</math> ===11. Una goccia d'acqua === <span class="noprint">[[#11. Una_goccia_d'acqua|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Una sfera conduttrice con carica <math>q_o\ </math> genera un campo radiale di intensità, applicando il teorema di Gauss: <math>|E|=\frac {q_o}{4\pi \epsilon_o r^2}</math> Per cui la d.d.p. tra la superficie della goccia e l'infinito: vale: <math>V=\int_R^{\infty}\frac {q_o}{4\pi \epsilon_o r^2}=\frac {q_o}{4\pi \epsilon_o R}\ </math> quindi: <math> R=\frac {q_o}{4\pi \epsilon_o V}=900\ \mu m</math> ===12. Una nuvola sferica carica === <span class="noprint">[[#12. Una_nuvola_sferica_carica|&rarr; Vai alla traccia]]</span> La carica totale vale: <math>Q=\frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {\rho}2+ \frac 43 \pi \left[ R^3 -\left(\frac R2 \right)^3 \right] \rho= \frac {5}{4}\pi \rho R^3</math> quindi: <math>\rho=\frac {4 Q}{5\pi R^3}=1\cdot 10^{-6}\ C/m^3</math> <math>Q_i=\frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {\rho}2= \frac 43 \pi \left( \frac R2 \right)^3\frac {2 Q}{5\pi R^3}= \frac Q{15}=2.7\cdot 10^{-7}\ C</math> Nel guscio sferico compreso tra <math>R/2\ </math> e <math>2R/3</math> vi è una carica: <math>Q_e=\frac 43 \pi \left[ \left(\frac {2R}3 \right)^3 -\left(\frac R2 \right)^3 \right] \rho=7.3\cdot 10^{-7}\ C</math> Dal teorema di Gauss: <math>E=\frac {Q_i+Q_e}{4\pi \epsilon_o \left( \frac 23 R \right)^2}=2 \cdot 10^4\ V/m</math> ===13. Un corpo di massa m e carico === <span class="noprint">[[#13. Un corpo di massa m e carico|&rarr; Vai alla traccia]]</span> La densità di carica vale: <math>\rho=\frac {3e}{4\pi R^3}</math> Dal teorema di Gauss: <math>4\pi r^2E_r=\frac 43 \pi r^3 \frac {\rho}{\epsilon_o}\qquad r<R</math> <math>E_r= \frac {er} {4\pi \epsilon_o R^3}\ </math> L'equazione del moto per quanto riguarda la componente radiale dello spostamento vale: <math>m\ddot {r}=-eE_r</math> <math> m\ddot {r}=-\frac {e^2r} {4\pi \epsilon_o R^3}\ </math> Che l'equazione di un oscillatore armonico con pulsazione: <math>\omega=\sqrt{\frac {e^2} {4\pi \epsilon_o R^3m}}\ </math> <math>\nu=\frac 1{2\pi}\sqrt{\frac {e^2} {4\pi \epsilon_o R^3m}}= 2.5\cdot 10^{15} Hz\ </math> ===14. Giunzione p-n graduale === <span class="noprint">[[#14. Giunzione_p-n_graduale|&rarr; Vai alla traccia]]</span> [[Immagine:Field.png|200px|right]] Avendo il problema simmetria piana si hanno tre regioni di spazio, di cui due in cui il campo è nullo <math>x<-d\ </math>, <math>x>d\ </math> e una regione centrale <math>-d<x<d\ </math> in cui in cui il campo è diverso da 0. La ragione per cui al di fuori dello strato il campo è identicamente nullo dipende dal fatto che la zona carica ha carica totale nulla, e quindi al di fuori della zona le cariche opposte da esse possedute si bilanciano completamente. All'interno della distribuzione invece non si ha un bilanciamento. Per ragioni di continuità sulle superfici dello strato il campo elettrico è nullo. A partire da questo fatto si calcola mediante il teorema di Gauss il campo elettrico nella regione centrale. Si considera un cilindro gaussiano retto di superficie di base <math>S\ </math>. Disponiamo il cilindro con le generatrici ortogonali al piano dello strato e con una superficie all'esterno dello strato (dove il campo è nullo) e l'altra in un punto generico della regione centrale (di coordinata x), applicando il teorema di Gauss: <math>E_xS=\frac S{\varepsilon_o}\int_{-d}^x\rho dt=S\frac {Ax^2}{2\varepsilon_o }-Cost\ </math> da cui imponendo che per <math>x=-d\ </math> sia <math>E_x=0\ </math>: <math>E_x(x)=\frac A{2\varepsilon_o}(x^2-d^2)\ </math> La d.d.p. tra un estremo e il centro della distribuzione vale: <math>\Delta V(d,0)=\int_{-d}^d E_xdx=\int_{-d}^d\frac {Ax^2dx}{2\varepsilon_o }= \frac A{3\varepsilon_o }d^3=0.38\ V</math> Si risolveva ancora più semplicemente ricorrendo al teorema di Gauss in forma locale che all'interno della nuvola si riduce in: <math>\frac {dE_x}{dx}=\frac {Ax}{\varepsilon_o}\ </math> Che integrato diviene: <math>E_x=\frac {Ax^2}{2\varepsilon_o}+Cost\ </math> da cui imponendo che per <math>x=-d\ </math> sia <math>E_x=0\ </math>: <math>E_x(x)=\frac A{2\varepsilon_o}(x^2-d^2)\ </math> ===15. Nuvola sferica con due densità=== <span class="noprint">[[#15. Nuvola sferica con due densità|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La carica totale tra <math>R\ </math> e <math>2R\ </math> vale: :<math>Q_2=-\rho \frac 43 \pi [(2R)^3-R^3]=-7.9\ \mu C\ </math> b) La carica tra <math>0\ </math> ed <math>R\ </math> vale: :<math>Q_1=\rho \frac 43 \pi R^3=1.1\ \mu C\ </math> Quindi la carica totale tra <math>0\ </math> e <math>2R\ </math> vale: :<math>Q=Q_1+Q_2=-6.8\ \mu C\ </math> Quindi per il teorema di Gauss il campo elettrico all'esterno della distribuzione (<math>r>2R\ </math>) vale: :<math>E_r(r)=\frac Q{4\pi \varepsilon_or^2}\ </math> Quindi per <math>r=4R\ </math>: :<math>E(4R)=-424\ V/m\ </math> Cioè punta verso l'interno. c) Il campo è nullo nella sfera di raggio <math>r_x\ </math> all'interno della regione con carica negativa per cui la carica :<math>Q_2'=-\rho \frac 43 \pi [(r_x)^3-R^3]\ </math> è eguale ed opposta a: :<math>Q_2'=-Q_1\ </math> :<math>-\rho \frac 43 \pi [(r_x)^3-R^3]=\rho \frac 43 \pi R^3\ </math> :<math>r_x^3=2R^3\ </math> :<math>r_x=R\sqrt[3]{2}=3.8\ m\ </math> d) Dal teorema di Gauss per <math>R\le r \le 2R\ </math>: :<math>4\pi r^2 E_r=\frac {Q_1-4\pi \rho\int_R^r r'^2dr'}{\varepsilon_o}=\frac {Q_1-4/3\pi \rho(r^3-R^3)}{\varepsilon_o}\ </math> :<math>E_r=\frac {Q_1+4/3\pi \rho R^3}{4\pi \varepsilon_o r^2}-\frac {\rho r}{3 \varepsilon_o }\ </math> La d.d.p. vale: :<math>\Delta V=\int_R^{2R}E_rdr=\frac {Q_1+4/3\pi \rho R^3}{4\pi \varepsilon_o }\int_R^{2R}\frac {dr}{r^2}-\frac {\rho }{3 \varepsilon_o }\int_R^{2R}rdr\ </math> :<math>\Delta V=\frac {Q_1+Q_1}{4\pi \varepsilon_o }\left[-\frac 1r\right]_R^{2R}-\frac {\rho }{6 \varepsilon_o }\left[r^2\right]_R^{2R}=\frac {Q_1}{4\pi \varepsilon_o R }-\frac {\rho R^2}{2 \varepsilon_o }=-1695\ V\ </math> ===16. Filo su piano === <span class="noprint">[[#16. Filo_su_piano|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Il campo elettrico generato nella parte superiore della superficie piana, diretto verso l'alto visto il segno di <math>\sigma\ </math>, vale: <math>E_p=\frac {\sigma}{2\varepsilon_o}\ </math> Quindi la forza che agisce sulla carica <math>dq\ </math> posta a distanza <math>d\ </math> vale: <math>dF=E_pdq=E_p\lambda dl=\frac {\sigma \lambda dl}{2\varepsilon_o}\ </math> di conseguenza, la forza attrattiva vale: <math>\frac {dF}{dl}=\frac {\sigma \lambda }{2\varepsilon_o}=2.26\ N/m\ </math> b) Il campo elettrico, diretto verso il filo per il segno della carica su di esso, creato a distanza <math>r\ </math> dal filo vale: <math>E_f=\frac {\lambda}{2\pi \varepsilon_or}\ </math> Tra il piano ed il filo il campo elettrico generato dalle due distribuzioni di carica sono concordi e quindi la risultante non si annulla mai. Mentre al di sopra del filo, scelta l'origine sul piano, sulla verticale del filo, si ha che <math>r=z-d\ </math>, per cui il campo risultante vale: <math>E_z=\frac {\sigma}{2\varepsilon_o}+\frac {\lambda}{2\pi \varepsilon_o(z-d)}\qquad z>0\ </math> Che si annulla per: <math>z=d-\frac {\lambda}{\pi \sigma}=15.7\ cm\ </math> Mentre sotto il piano: <math>E_z=-\frac {\sigma}{2\varepsilon_o}+\frac {\lambda}{2\pi \varepsilon_o(z-d)}\qquad z<0\ </math> che si annulla per: <math>z=d+\frac {\lambda}{\pi \sigma}=-9.7\ cm\ </math> ===17. Moto in nuvola cilindrica === <span class="noprint">[[#17. Moto_in_nuvola_cilindrica|&rarr; Vai alla traccia]]</span> Applicando il teorema di Gauss per <math>r<R\ </math> si ha che: <math>E=\frac {\rho r}{2\varepsilon_o }\ </math> <math>E(r=R/2)=\frac {\rho R}{4\varepsilon_o }\ </math> <math>a_1=\frac {q\rho R}{4 m \varepsilon_o }=4.5\cdot 10^4\ m/s^2\ </math> Applicando il teorema di Gauss per <math>r>R\ </math> si ha che: <math>E=\frac {\rho R^2}{2\varepsilon_o r}\ </math> <math>E(r=4R)=\frac {\rho (R)^2}{2\varepsilon_o 4R}=\frac {\rho R}{8\varepsilon_o}\ </math> <math>a_2=\frac {q\rho R}{8 m \varepsilon_o }=2.25\cdot 10^4\ m/s^2\ </math> La d.d.p. tra <math>R\ </math> e <math>4R\ </math> vale: <math>V_1=\frac {\rho R^2}{2\varepsilon_o }\int_R^{4R}\frac {dr}r=\frac {\rho R^2}{2\varepsilon_o }\ln 4\ </math> La d.d.p tra <math>R/2\ </math> ed <math>R\ </math> vale: <math>V_2=\frac {\rho }{2\varepsilon_o }\int_{R/2}^{R}r dr=\frac {\rho }{4\varepsilon_o }(R^2-R^2/4)=\frac {\rho 3 R^2}{16\varepsilon_o }\ </math> Quindi: <math>DV=V_1+V_2=\frac {\rho R^2}{\varepsilon_o }\left(\frac {\ln 4}2+\frac 3{16}\right)=10^5\ V\ </math> <math>v=\sqrt{2qDV/m}=564\ m/s\ </math> ===18. Nuvola sferica con densità cubica === <span class="noprint">[[#18. Nuvola_sferica_con_densità_cubica|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La carica in ogni guscio sferico di raggio <math>r\ </math> e spessore di <math>dr\ </math> vale: :<math>dQ=4\pi r^2dr Ar^3\ </math> Quindi la carica totale vale: :<math>Q=4\pi A\int_0^Rr^5dr=\frac {4\pi A}6R^6\ </math> :<math>A=\frac {3Q}{2\pi R^6}=0.655\ C/m^6\ </math> b) Applicando il teorema di Gauss ad una sfera di raggio <math>0<r<R\ </math> concentrica alla nuvola: :<math>E_r4\pi r^2=\frac {4\pi A\int_0^rx^5dx}{\varepsilon_o}\ </math> Segue che: :<math>E_r=\frac {Ar^4}{6\varepsilon_o}\qquad per\ 0<r<R\ </math> di conseguenza per <math>r=R/2\ </math> :<math>E_r(r=R/2)=624\ V/m\ </math> c) La differenza di potenziale tra il centro della nuvola e il bordo vale: :<math>DV_1=\int_0^R\frac {Ar^4}{6\varepsilon_o}dr=\frac {AR^5}{30\varepsilon_o }=60\ V\ </math> Il campo fuori della nuvola vale: :<math>E_r=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^2}\qquad per\ R<r<\infty\ </math> Quindi la d.d.p. tra il bordo della nuvola e l'infinito vale: :<math>DV_2=\int_R^{\infty}\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^2}dr=\frac Q{4\pi \varepsilon_o R}=300\ V\ </math> Quindi tra il centro della nuvola e l'infinito: :<math>DV=DV_1+DV_2=360\ V\ </math> ===19. Nuvola sferica con densità variabile=== <span class="noprint">[[#19. Nuvola sferica con densità variabile|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) :<math>Q=\int_0^R\rho4\pi r^2dr=4\pi\rho_0\int_0^R\left(\frac rR-\frac {r^2}{R^2}\right)r^2dr=4\pi\rho_0 \left[\frac {r^4}{4R}-\frac {r^5}{5R^2}\right]_0^R=\frac {\pi\rho_oR^3}5=1\ \mu C\ </math> b) Dal teorema di Gauss per <math>0\le r \le R\ </math>: :<math>E_r4\pi r^2=\frac 1{\varepsilon_o}\int_0^r\rho 4\pi x^2dx= \frac {4\pi\rho_0}{\varepsilon_o}\int_0^r\left(\frac xR-\frac {x^2}{R^2}\right)x^2dx= \frac {4\pi\rho_0}{\varepsilon_o}\left(\frac {r^4}{4R}-\frac{r^5}{5R^2}\right)\ </math> :<math>E_r(r\le R)=\frac {\rho_0}{\varepsilon_o R}\left(\frac {r^2}4-\frac {r^3}{5R}\right)\ </math> Mentre per <math>r\ge R\ </math>: :<math>E_r(r\ge R)=\frac Q{4\pi\varepsilon_or^2}\ </math> Notare che :<math>E_r(r\to R-)=E_r(r\to R+)=\frac {\rho_0 R}{20\varepsilon_o }\ </math> Inoltre il campo elettrico è nullo per <math>r=0\ </math>, quindi all'interno della distribuzione ha un massimo, quando cioè: :<math>\frac {\partial E_r}{\partial r}=0\ </math> cioè per: :<math>\frac {\partial }{\partial r}\left(\frac {r^2}4-\frac {r^3}{5R}\right)=0\ </math> :<math>\frac {2r}4-\frac {3r^2}{5R}=0\ </math> :<math>r=\frac 56R=2.5\ m\ </math> :<math>E_r(2.5)=1.15\cdot 10^3 V/m\ </math> c) La d.d.p. vale: :<math>V=\int_0^RE_rdr=\frac {\rho_0}{\varepsilon_o R}\int_0^R\left(\frac {r^2}4-\frac {r^3}{5R}\right)dr\ </math> :<math>V=\frac {\rho_0}{\varepsilon_o R}\left(\frac {R^3}{12}-\frac {R^4}{20R}\right)= \frac {\rho_0R^2}{30\varepsilon_o}=2000\ V\ </math> ===20. Due sfere=== <span class="noprint">[[#20. Due sfere|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La carica di una sfera positiva vale: :<math>Q=\rho \frac 43\pi R^3=160\cdot 10^{-9}\ C\ </math> Dal teorema di Gauss il campo generato dalla sola sfera di destra è nullo al centro e vale all'interno: :<math>E_{xd}=\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon_o}\qquad 0\le x\le 2R\ </math> (come all'interno di una sfera uniformemente carica ma con origine nel punto <math>x=R\ </math>). Mentre quello della sfera di sinistra è semplicemente: :<math>E_{xs}=\frac {Q}{4\varepsilon_o(R+x)^2}\qquad 0\le x\le 2R\ </math> Quindi in totale: :<math>E_x=\frac {\rho (x-R)}{3\varepsilon_o}+\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o(R+x)^2}= \frac {\rho }{3\varepsilon_o}\left[x-R+\frac { R^3}{(R+x)^2}\right]=\frac {\rho x(x^2+Rx-R^2)}{3\varepsilon_o(R+x)^2}\ </math> In particolare per <math>x=R\ </math>: :<math>E_x=\frac {\rho R}{12\varepsilon_o}=2.26\ kV/m\ </math> o anche più semplicemente: :<math>E_x=\frac Q{4\pi \varepsilon_o(2R)^2}=2.26\ kV/m\ </math> b) In questo caso il campo coincide con quello di due cariche <math>Q\ </math> puntiformi poste in <math>(-R,0)\ </math> e <math>(R,0)\ </math>. Che generano un campo avente solo componente <math>y\ </math> (l'altra componente è nulla) che vale: :<math>E_y=\frac {2Qy}{4\pi \varepsilon_o(y^2+R^2)^{3/2}}\ </math> Quindi per <math>y=R\ </math>: :<math>E_y=\frac {2Q}{4\pi \varepsilon_o R^2(2)^{3/2}}=6.4\ kV/m\ </math> c) La differenza di potenziale tra il centro della distribuzione e l'infinito vale: :<math>V=-\int_{\infty}^0 E_ydy=\int_0^{\infty} \frac {2Qy}{4\pi \varepsilon_o(y^2+R^2)^{3/2}}dy=\frac {Q}{2\pi \varepsilon_o}\int_0^{\infty} \frac {ydy}{(y^2+R^2)^{3/2}}\ </math> Essendo: :<math>\int \frac {ydy}{(y^2+R^2)^{3/2}}=\frac {-1}{\sqrt{y^2+R^2}}\ </math> :<math>V=\frac {Q}{2\pi \varepsilon_o}\left[-\frac {-1}{\sqrt{y^2+R^2}}\right]_0^{\infty}= \frac {Q}{2\pi \varepsilon_o R}=7.2\ kV\ </math> Quindi imponendo che: :<math>\frac 12m_pv^2\ge eV\ </math> si ha che: :<math>v_{min}=\sqrt {\frac {2eV}{m_p}}=1.18\cdot 10^6\ m/s\ </math> ===21. Carica dentro guscio sferico=== <span class="noprint">[[#21. Carica dentro guscio sferico|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) Nella regione <math>r\le a\ </math> dal centro vi è solo la carica puntiforme per cui: :<math>E(r)=\frac {q_o}{4\pi \varepsilon_or^2}\quad r\le a\ </math> Quindi: :<math>E(a)=4.2\ KV/m\ </math> b) All'interno di una sfera gaussiana di raggio <math>a\le r \le b\ </math> la carica totale vale: :<math>Q(r)=q_o+\int_a^r\frac Kr 4\pi r'^2dr'=q_o+2\pi K(r^2-a^2)\ </math> Quindi dovendo per il teorema di Gauss: :<math>4\pi r^2 E(r)=\frac {Q(r)}{\varepsilon_o}=\frac {q_o+2\pi K(r^2-a^2)}{\varepsilon_o}\ </math> :<math>E(r)=\frac {q_o-2\pi K a^2}{4\pi \varepsilon_o r^2}+\frac K{2\varepsilon_o}\ </math> Perché quindi non dipenda da <math>r\ </math> deve essere: :<math>q_o-2\pi K a^2=0\ </math> :<math>K=\frac {q_o}{2\pi a^2}=7.5\cdot 10^{-8}\ C/m^2\ </math> c) La carica totale vale: :<math>Q(b)=q_o+2\pi K(b^2-a^2)=1.05\ \mu C\ </math> d) Essendo costante il campo elettrico la d.d.p. tra b ed a vale: :<math>\Delta V=E(a)(b-a)=2950\ V\ </math> ===22. Distribuzione esponenziale=== <span class="noprint">[[#22. Distribuzione esponenziale|&rarr; Vai alla traccia]]</span> [[Immagine:ElectricFieldvsx.png|right|350px]] a) Al centro il campo è nullo per ragioni di simmetria, ma anche se viene usato il teorema di Gauss a una regione cilindrica simmetrica attorno al centro di altezza <math>2x\ </math> risulta: :<math>2SE_x=\frac {2S}{ \varepsilon_o}\int_0^x\rho_0e^{-x'/a}dx'\ </math> :<math>E_x=\frac {\rho_0a}{ \varepsilon_o}\left(1-e^{-x/a}\right)\ </math> che è nullo per <math>x=0\ </math>. Mentre per <math>x=a\ </math> vale: :<math>E_x(a)=1.57\ kV/m\ </math> b) A grande distanza cioè per <math>x\gg a\ </math> si ha: :<math>E_x=\frac {\rho_0a}{ \varepsilon_o}=2.5\ kV/m\ </math> c) La differenza di potenziale tra <math>x\ </math> e <math>0\ </math>: :<math>DV(x)=\int_0^x\frac {\rho_0a}{ \varepsilon_o}\left(1-e^{-x'/a}\right)dx'=\frac {\rho_0a^2}{ \varepsilon_o}e^{-x/a}\ </math> Quindi se <math>x=a\ </math>: :<math>DV(a)=\frac {\rho_0a^2}{ \varepsilon_o}e^{-1}=1.83\ V\ </math> ===23. Doppio strato separato=== <span class="noprint">[[#23. Doppio strato separato|&rarr; Vai alla traccia]]</span> L'unica componente del campo elettrico è lungo l'asse delle x. a) A grande distanza il campo è nullo in quanto la sovrapposizione di due strati carichi con carica eguale ed opposta. b) [[Immagine:Es15p153b.png|right|350px]] Per <math>x\ge 3/2d\ </math> e <math>x\le -3/2d\ </math>: :<math>E_x=0\qquad x\ge 3/2d \quad e \quad x\le -3/2d\ </math> Per <math>-3/2d\le x \le -d/2\ </math> si ha che cresce in maniera lineare: :<math>\frac {\partial E_x}{\partial x}=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math> Quindi (imponendo che sia nullo per <math>x=-3/2d\ </math>: :<math>E_x=\frac {\rho x}{\varepsilon_o} +\frac {3\rho d}{2\varepsilon_o}=\frac {\rho }{\varepsilon_o}(x+3d/2)\qquad -3/2d\le \quad x \le -d/2\ </math> Per <math>-d/2\le x \le d/2\ </math> è costante: :<math>E_x=\frac {\rho d}{\varepsilon_o}=6.8\cdot 10^4\ V/m\qquad -d/2\le x \le d/2\ </math> Per <math>d/2\le x \le 3d/2\ </math> diminuisce linearmente: :<math>E_x=\frac {\rho }{\varepsilon_o}(3d/2-x)\qquad d/2\le \quad x \le 3d/2\ </math> c) La differenza di potenziale tra <math>\infty\ </math> e <math>-\infty\ </math> (integrando il campo elettrico tra <math>x=-3/2d\ </math> e <math>x=3/2d\ </math>) :<math>\Delta V=\frac {2\rho d^2}{\varepsilon_o}=2722\ V\ </math> Quindi imponendo che: :<math>\frac 12 mv^2\ge q\Delta V\ </math> si ha che la velocità deve essere maggiore di: :<math>v= \sqrt {\frac {2q\Delta V}m}=7.2\cdot 10^5\ m/s\ </math> Si noti che se proveniva dalla direzione opposta non trova nessuna barriera. ===24 Sfera con due fori=== <span class="noprint">[[#24 Sfera con due fori|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) [[Immagine:Campolungoz.png|550px|right]] Una sfera omogenea di raggio <math>R\ </math> e densità di carica uniforme <math>\rho\ </math>, ha in coordinate cartesiane nel punto generico all'interno di coordinate <math>(0,0,z)\ </math>: :<math>E_{z+}(0,0,z)=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}\ </math> Sovrapponendo due sfere di raggio <math>R/2\ </math> e densità di carica uniforme <math>-\rho\ </math> centrate nei punti <math>x=-R/2\ </math> e <math>x=R/2\ </math> si ottiene la stessa distribuzione di carica e anche lo stesso campo. La carica totale negativa di ognuna delle sfere negative è: :<math>Q_2=-\rho \frac 43\pi(R/2)^3=-\frac {\pi}{6}R^3\rho\ </math> i punti sull'asse delle z sono tutti all'esterno di tali regioni per cui (per cui generano il campo di una carica <math>Q_2\ </math>) e la componente lungo l'asse delle <math>x\ </math> si elidono a vicenda quindi il campo è pari a: :<math>E_z(0,0,z) =\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}-\frac {2Q_2z}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\ </math> :<math>E_z(0,0,z) =\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}\left(1-\frac {R^3}{4 [(R/2)^2+z^2]^{3/2} }\right)\ </math> Funzione mostrata di lato. b) [[Immagine:Campolungox.png|450px|left]] Lungo l'asse delle <math>x\ </math> avremo che la sfera positiva genera un campo :<math>E_{x+}(x,0,0)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}\qquad -R\le x \le R\ </math> Per <math>0\le x\le R\ </math>, la zona a carica negativa di sinistra genera un campo: :<math>E_{x-1}(x,0,0)=\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[(R/2)+x]^2 }\qquad 0\le x \le R\ </math> Mentre la regione di destra genera un campo: :<math>E_{x-2}(x,0,0)=-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }\qquad 0\le x \le R\ </math> Quindi per <math>0\le x \le R\ </math> sommando i tre termini: :<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}-\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x+(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {R^2}{4[x+(R/2)]^2 }\right]\ </math> Mentre per <math>-R\le x \le 0\ </math>: :<math>E_x=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x+R/2)}{3\varepsilon_o }-\frac {Q_2}{4\pi \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=-\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}+\frac {\rho R^3}{24 \varepsilon_o[x-(R/2)]^2 }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[\frac {R^2}{4[x-(R/2)]^2 }-1\right]\ </math> Funzione mostrata nella figura qui sopra. Le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono identicamente nulle lungo tale asse. c) Nella regione a carica nulla di destra: :<math>0\le x \le R,\quad -R/2\le y \le R/2; \quad -R/2\le z \le R/2\ </math> il campo elettrico nelle sue tre componenti cartesiane può essere calcolato estendendo le formule precedenti: :<math> E_x(x,y,z)=\frac {\rho x}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho (x-R/2)}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2[x+(R/2)]}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=\frac {\rho R}{6\varepsilon_o}\left[1-\frac {[x+(R/2)]R^2}{4\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }\right] \ </math> :<math> E_y(x,y,z)=\frac {\rho y}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho y}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3y}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} } \ </math> :<math> E_z(x,y,z)=\frac {\rho z}{3\varepsilon_o}-\frac {\rho z}{3\varepsilon_o }+\frac {Q_2y}{4\pi \varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} }=-\frac {\rho R^3z}{24\varepsilon_o\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2} } \ </math> Notiamo che le componenti <math>E_y\ </math> ed <math>E_z\ </math> sono nulle lungo l'asse delle <math>x\ </math> ma non le derivate parziali: :<math> \frac {\partial E_x}{\partial x}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3[x+(R/2)]^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}} =-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}} \ </math> :<math> \frac {\partial E_y}{\partial y}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3y^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}} =-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}} \ </math> :<math> \frac {\partial E_z}{\partial z}=-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3/2}-3z^2\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{1/2}}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{3}} =-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}} \ </math> Sommando: :<math> \frac {\partial E_x}{\partial x}+\frac {\partial E_y}{\partial y}+\frac {\partial E_z}{\partial z} =-\frac {\rho R^3}{24\varepsilon_o}\frac{y^2+z^2-2[x+(R/2)]^2+[x+(R/2)]^2+z^2-2y^2+[x+(R/2)]^2+y^2-2z^2}{\{[x+(R/2)]^2+y^2+z^2\}^{5/2}}=0 \ </math> ===25. Guscio concentrico=== <span class="noprint">[[#25. Guscio concentrico|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La carica totale è pari: :<math>Q_{tot}=3Q-Q=8\ nC\ </math> Quindi a distanza <math>2R_3\ </math> dal centro il campo è radiale e vale: :<math>E(2R_3)=\frac {Q_{tot}}{4\pi \varepsilon_o (2R_3)^2}=5\cdot 10^3\ V/m\ </math> b) All'interno del guscio metallico il campo è nullo quindi sulla superficie interna deve essere indotta una carica eguale ed opposta a quella della nuvola isolante. Quindi sulla superficie interna del guscio metallico la densità di carica è: :<math>\sigma_2=-\frac {3Q}{4\pi R_2^2}=-3.82\cdot 10^{-7}\ C/m^2\ </math> Mentre sulla superficie esterna per la conservazione della carica deve esserci una carica <math>Q_{tot}=8\ nC\ </math>. Quindi la densità superficiale vale: :<math>\sigma_3=\frac {Q_{tot}}{4\pi R_3^2}=1.77\cdot 10^{-7}\ C/m^2\ </math> c) Per la legge di Coulomb sull'esterno del guscio metallico il campo vale: :<math>E(R_3)=\frac {\sigma_3}{\varepsilon_o}=2\cdot 10^4\ V/m\ </math> Mentre sul bordo della nuvola isolante vi è il valore massimo del campo elettrico: :<math>E(R_1)=\frac {3Q}{4\pi \varepsilon_o R_1^2}=1.08\cdot 10^6\ V/m\ </math> d) la densità di carica della sfera interna è: :<math>\rho=\frac {3(3Q)}{4\pi R_1^3}=0.0029\ C/m^3\ </math> Quindi il campo per <math>0\le r\le R_1\ </math> vale: :<math>E(r)=\frac {\rho r}{3\varepsilon_o}\ </math> La differenza di potenziale tra il bordo della nuvola è il centro vale: :<math>DV_1=\int_0^{R_1}E(r)dr=\frac {\rho R_1^2}{6\varepsilon_o}=5.4\ kV\ </math> mentre il campo per (<math>R_1\le r\le R_2\ </math>): :<math>E(r)=\frac {3Q}{4\varepsilon_o\pi r^2}\ </math> La differenza di potenziale tra l'interno del guscio metallo e il bordo della nuvola: :<math>DV_2=\int_{R_1}^{R_2}E(r)dr=\frac {3Q}{{4\pi \varepsilon_o}}\left(\frac 1{R_1}-\frac 1{R_2}\right)=8.6\ kV\ </math> In totale la differenza di potenziale vale: :<math>DV=DV_1+DV_2=14\ kV\ </math> ===26. Nuvola cilindrica infinitamente lunga=== <span class="noprint">[[#7. Sbarra sospesa|&rarr; Vai alla traccia]]</span> a) La carica di un tratto lungo <math>\ell\ </math> è pari a: :<math>Q=\ell \int_0^R\rho_o(a-r/R)2\pi r dr=2\pi \ell \rho_o \left[\frac {ar^2}2-\frac {r^3}{3R}\right]_0^R=2\pi \ell R^2 \rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)\ </math> Quindi la carica per unità di lunghezza vale: :<math>\lambda=2\pi R^2\rho_o\left(\frac a2-\frac 13\right)=14.7\ nC/m \ </math> b) Applicando il teorema di Gauss ad una cilindro gaussiano coassiale con la distribuzione e di altezza <math>\ell\ </math> (consideriamo solo il flusso attraverso la superficie laterale per ragioni di simmetria): :<math>2\pi r \ell E_r=\frac {\ell}{\varepsilon_o} \int_0^r\rho_o(a-r'/R)2\pi r' dr'\ </math> :<math> E_r= \frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\int_0^r(a-r'/R) r' dr'=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o r}\left[\frac {ar'^2}2-\frac {r'^3}{3R}\right]_0^r=\frac {\rho_o}{\varepsilon_o }\left( \frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\right)\ </math> :<math>E_r(r=R/2)=3201\ V/m\ </math> c) La funzione: :<math>f(r)=\frac {ar}2-\frac {r^2}{3R}\qquad 0\le r \le R\ </math> è crescente per <math>r\ll R\ </math>, mentre per <math>r\approx R\ </math> è decrescente. La sua derivata è nulla per: :<math>r_x=\frac {3aR}4=6.75\ cm\ </math> Quindi il campo è massimo a tale distanza dall'asse: :<math>E_{max}=3432\ V/m\ </math> d) Se $a=1.7\ </math> il valore di :<math>r_x=\frac {3aR}4\approx 13\ cm\ </math> è al di fuori della definizione di <math>f(r)\ </math>, quindi la funzione <math>f(r)\ </math> è monotona crescente all'interno e decrescente fuori, in questo caso il massimo del campo si ha sul bordo della distribuzione <math>r=R\ </math> e vale: :<math>E_{max}=11676\ V/m\ </math> [[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Legge di Gauss]] {{Avanzamento|100%}} qr9qfzvlurro0zqm5i328ooqzeyakfz 0 34638 501807 501789 2026-09-23T08:38:20Z Momimariani1962 41308 501807 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Le disposizioni foniche attualmente presenti in questo libro sono '''5158'''. == Per il lettore == Ciascun organo a canne è uno strumento a sé, con una propria dignità indissolubilmente legata alla sua unicità. Non troveremo mai un organo uguale ad un altro, neppure nei rarissimi casi di strumenti costruiti in serie: avranno sempre qualcosa che li distinguerà fra di loro. Come poter, dunque, descrivere uno strumento unico, in maniera tale che, senza suonarlo o ascoltarlo, sia possibile capire come è fatto? Grazie alla sua disposizione fonica: essa è l'elenco dei registri che compongono lo strumento, riportati in base alla loro appartenenza alle varie "divisioni" (manuale/i ed eventualmente pedale). Pertanto si tratta di un elemento fondamentale, l'unica vera grande ed esaustiva descrizione dello strumento, dal momento che un organo si differenzia da un altro fondamentalmente per i registri che ha. Questo wikilibro si prefigge il compito di racchiudere al suo interno le disposizioni foniche di organi del presente e del passato, raggruppate in base alla loro collocazione all'interno di edifici che, per sviluppi culturali ed esigenze liturgiche, sono per la maggior parte destinati al culto. La presente opera si rivolge, dunque, non solo allo studioso di organaria ed organologia, ma anche al curioso che vuol sapere come è fatto l'organo della chiesa tot, all'appassionato, all'organista che ha l'esigenza di conoscere le caratteristiche di un tal organo, a chiunque, in poche parole, sia interessato all'argomento. == Per il contributore == Chiunque voglia contribuire all'edificazione del presente wikilibro, è il benvenuto, ed è pregato di seguire, per amor di uniformità, lo schema che può vedere nelle pagine già presenti. Sono tuttavia doverose alcune raccomandazioni tecniche. Una volta inserite una o più disposizioni foniche, il contributore è pregato di aggiornare il numero all'inizio di questa pagina. === Dei titoli === I titoli delle singole pagine seguono sempre questo schema: Stato/Regione (o altra divisione amministrativa analoga)/Provincia (o altra divisione amministrativa analoga)/Comune/Località (che può essere anche il comune stesso, comunque si ripete) - Edificio Ad esempio: Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano/Milano - Cattedrale di Santa Maria Nascente Nei nomi delle chiese, si scrive solo: ''Chiesa di...'', oppure ''Santuario di...'', oppure ''Basilica di...'', ''Cattedrale di...'' o ''Cattedrale metropolitana di...'', non ''Basilica Cattedrale Primaziale Metropolitana Santuario Protoecclesia di...''. Sono altresì bandite le abbreviazioni (come ad esempio ''S.'' al posto di ''Santo/Santa/Sacro''). Se in un edificio ci sono più organi, vanno tutti nella stessa pagina. Le singole pagine non sono per organo, ma per edificio. === Delle tabelle riassuntive === Le tabelle riassuntive a inizio pagina, seguono questo schema: * '''Costruttore:''' [nome e] cognome del costruttore/ditta costruttrice con, in caso, tra parentesi e in corsivo, il numero d'opera * '''Anno:''' anno di costruzione (in caso, in nota, data dell'inaugurazione) * '''Restauri/modifiche:''' elenco: nome di chi ha fatto il restauro e, tra parentesi, anno e tipologia di intervento * '''Registri:''' numero dei registri (in caso di registri spezzati, ciascuno vale 1 e non 1/2) * '''Canne:''' numero di canne * '''Trasmissione:''' meccanica/pneumatico-tubolare/elettrica/elettronica/ecc. nel caso di mista, si scrive mista e poi si specifica tra parentesi * '''Consolle:''' tipologia della consolle (a finestra, mobile/fissa indipendente, appoggiata, rivolta, ecc.) e posizione (al centro del coro, al centro della parete anteriore della cassa, su apposita cantoria, ecc.) * '''Tastiere:''' n° di tastiere e di note ed estensione tra parentesi * '''Pedaliera:''' tipologia di pedaliera (a leggio, dritta, concava, concavo-radiale), n° di note ed estensione tra parentesi * '''Collocazione:''' n° dei corpi, posizione dei corpi. Esempio: * '''Costruttore:''' Pinco Pallino (''Opus 100'') * '''Anno:''' 2019-2020 * '''Restauri/modifiche:''' Tizio Caio (2102, restauro conservativo), Sempronio (2156, modifiche e ampliamento) * '''Registri:''' 36 * '''Canne:''' 3.562 * '''Trasmissione:''' mista (meccanica per i manuali e il pedale, elettronica per i registri) * '''Consolle:''' a finestra, al centro della parete anteriore della cassa * '''Tastiere:''' 3 di 56 note (''Do<small>1</small>''-''Sol<small>5</small>'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 30 note (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>3</small>'') * '''Collocazione:''' in due corpi contrapposti, sulla cantoria in controfacciata Nel caso di ottave scavezze: * '''Tastiera:''' 1 di 50 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Fa<small>5</small>'', Bassi/Soprani ''Do#<small>3</small>''/''Re<small>3</small>'') * '''Pedaliera:''' a leggio di 18 note con prima ottava scavezza (''Do<small>1</small>''-''Sol#<small>2</small>''), priva di registri propri e costantemente unita al manuale Non sono ammesse abbreviazioni, come ad esempio i nomi degli organari. === Delle disposizioni foniche === * I nomi delle divisioni vengono scritti nel seguente modo: '''I - ''Grand'Organo'''''; quello del pedale così: '''Pedale'''; * il nome della seconda o terza tastiera si riporta semplicemente, dopo il numero ordinale romano, come '''''Espressivo''''' e non come Recitativo, essendo un'impropria italianizzazione del francese ''Récit''; * nel caso di aggettivi dopo il nome del manuale, essi sono riportati con la prima lettera minuscola (ad esempio: '''VI - ''Organo antico aperto'''''); * qualora i registri, sulla consolle, siano raggruppati per Concerto e Ripieno (ad esempio come avviene per la maggior parte degli organi ottocenteschi italiani), si segua questo schema ([[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Toscana/Provincia di Siena/Montalcino/Montisi - Chiesa delle Sante Flora e Lucilla|qui un esempio]]) e, nel caso di più manuali, si premetta sempre il numero e il nome (ad esempio: '''I - Organo eco ''Concerto'''''); * all'interno di ogni divisione vi sono due colonne, divise da doppia stanghetta verticale (<code><nowiki>||</nowiki></code>), che rispettivamente, da sinistra a destra, sono: 1) nome del registro con eventualmente indicato il numero di file, 2) altezza del registro in piedi con eventualmente specificata l'appartenenza ai soli Bassi o ai soli Soprani (esempio: <code><nowiki>Ripieno 5 file || 2' Soprani</nowiki></code>); * tutti i nomi registri sono scritti con la prima lettera maiuscola, mentre le parole seguenti devono iniziare con la minuscola (ad esempio: ''Ripieno acuto 5 file'' e '''non''' ''Ripieno Acuto 5 File''), ad eccezione delle disposizioni in tedesco o nelle lingue che richiedono la maiuscola anche per tutti i sostantivi - nel caso non sia possibile reperire l'altezza in piedi delle mutazioni composte, si sposta il numero di file nel campo dell'altezza in piedi (esempio: <code><nowiki>Ripieno || 5 file</nowiki></code>); * le mutazioni sono scritte con il numero intero separato da quello frazionario tramite un punto, così: ''5.1/3<nowiki>'</nowiki>''; qualora l'altezza sia solo frazionaria, si omette lo ''0.'' iniziale, così: ''1/4<nowiki>'</nowiki>'' e '''non''' ''0.1/4<nowiki>'</nowiki>''; * nel caso di mutazioni composte, l'altezza in piedi è riportata solo relativamente alla prima fila, ad eccezione di quelle a due file (per non occupare troppo spazio) - qualora le altezze delle file successive presentino delle anomalie, si inseriscono in nota. * i registri ad ancia sono scritti in rosso quando sono riportati così sulla consolle; * non si inserisce il numero ordinale davanti a ciascun registro; * non si riportano le unioni e gli accoppiamenti, né gli annullatori; * il Tremolo si riporta all'interno di ciascuna divisione; * gli accessori (ad esempio: Uccelliera, Zampogna ecc.) si riportano nel seguente modo prima della disposizione fonica: '''Accessori''': ''Uccelliera''; ''Zampogna''; * non sono ammesse abbreviazioni. Quindi, in poche parole, questa disposizione '''non''' va bene (mettiamo che sulla consolle i registri ad ancia siano scritti '''in nero'''): {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Prima tastiera - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno Acuto 3 File || 0.1/2' |- |Flauto a Camino || 8' |- |Sesquialtera 2 File || 2.2/3'-1.3/5' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' bassi</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8' soprani</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Seconda tastiera - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di Gamba || 8' |- |Flauto a Cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.1/3' |- |Pienino 3 File || 1'-0.2/3'-0.1/2' |- |Voce Celeste 2 File || 8' |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Armonica</span> ||<span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba Bassa</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} Questa, invece, va bene: {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Ottava || 4' |- |XV || 2' |- |XIX || 1.1/3' |- |XXII || 1' |- |Ripieno acuto 3 file || 1/2' |- |Flauto a camino || 8' |- |Sesquialtera 2 file || 2.2/3'-1.3/5' |- |Tromba || 8' Bassi |- |Tromba || 8' Soprani |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola di gamba || 8' |- |Flauto a cuspide || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Pienino 3 file || 1' |- |Voce celeste 2 file || 8' |- |Tromba armonica || 8' |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Bordone || 16' |- |Basso || 8' |- |Ottava || 4' |- |Trombone || 16' |- |Tromba bassa || 8' |- |} |} == Libri correlati == * {{libro|Organo a canne}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne| ]] [[Categoria:Musica]] [[Categoria:Dewey 786]] {{alfabetico|D}} {{Avanzamento|0%|9 giugno 2020}} 1tz3r1ktcepg4feg1758cu3nzr2a8ra 0 34733 501803 499809 2026-09-23T08:05:46Z Momimariani1962 41308 501803 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche della città metropolitana di Milano raggruppate per comune: * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Milano|Milano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Abbiategrasso|Abbiategrasso]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Arese|Arese]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Bollate|Bollate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Bresso|Bresso]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Carpiano|Carpiano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cassano d'Adda|Cassano d'Adda]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cinisello Balsamo|Cinisello Balsamo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cisliano|Cisliano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Corbetta|Corbetta]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cornaredo|Cornaredo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cusago|Cusago]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Dresano|Dresano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Garbagnate Milanese|Garbagnate Milanese]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Gessate|Gessate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Gorgonzola|Gorgonzola]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Legnano|Legnano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Magenta|Magenta]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Mediglia|Mediglia]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Melegnano|Melegnano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Melzo|Melzo]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Rho|Rho]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/San Colombano al Lambro|San Colombano al Lambro]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/San Giuliano Milanese|San Giuliano Milanese]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/San Zenone al Lambro|San Zenone al Lambro]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Segrate|Segrate]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Sesto San Giovanni|Sesto San Giovanni]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Tribiano|Tribiano]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Vaprio D'Adda|Vaprio D'Adda]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Vittuone|Vittuone]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Villa Cortese|Villa Cortese]] * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Vizzolo Predabissi|Vizzolo Predabissi]] {{Avanzamento|75%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] fl33fge221u7qtia0of2l8xtksyo2xa 0 59639 501801 496094 2026-09-22T12:55:50Z ~2026-51164-72 54807 501801 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} [[File:Organo Grazie Carrara.jpg|400px|center]] * '''Costruttore:''' Benzi (Crema) * '''Anno:''' anni '70 del XX secolo * '''Restauri/modifiche:''' * '''Registri:''' 14 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nella navata * '''Tastiere:''' 2 da 61 note (''Do¹-Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 32 note (''Do¹-Sol³'') * '''Collocazione:''' in corpo unico, su cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Ottava || 4' |- |Decimaquinta || 2' |- |Ripieno || 4 file |- |Flauto || 4' |- |Voce umana || 8' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 8' |- |Viola || 8' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Voce celeste || 8' |- |Concerto Viole |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|w=Santuario della Madonna delle Grazie (Carrara)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=Santuario della Madonna delle Grazie (Carrara)}} == Collegamenti esterni == * {{Cita web|url=https://www.beweb.chiesacattolica.it/edificidiculto/edificio/23172/|titolo=Chiesa di N.S. delle Grazie in Carrara|editore=BeWeb}} {{Avanzamento|100%|3 maggio 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] m3cyh9ji8eedbin4bnhbdxqbpz8ve72 0 60483 501802 498520 2026-09-23T05:05:09Z ~2026-51297-05 54808 /* */ 501802 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} {{tripla immagine|center|Viareggio, basilica di San Paolino - Organo a canne, corpo in controfacciata.jpg|362|Viareggio, basilica di San Paolino - Organo a canne, corpo in abside.jpg|240|Viareggio, basilica di San Paolino - Organo a canne, consolle.jpg|180|}} * '''Costruttore:''' Costamagna * '''Anno:''' 1960 * '''Restauri/modifiche:''' sì * '''Registri:''' 41 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile indipendente, a pavimento nell'aula * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo-radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' ''Positivo espressivo'' (primo manuale), ''Grand'Organo'' (secondo manuale) e ''Pedale'' entro nicchia sopraelevata nell'abside; ''Eco espressivo'' (terzo manuale) con relativa sezione del ''Pedale'' sulla cantoria in controfacciata {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo espressivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola gamba || 8' |- |Viola celeste || 8' |- |Principalino || 4' |- |Flauto camino || 4' |- |Ripieno 5 file |2' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Silvestre || 2' |- |Decimino || 1.3/5' |- |Cornetto combinato |- |Tremolo |- |<span style="color:#8b0000;">Oboe</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Voce umana || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Decimaseconda || 2.2/3' |- |Decimaquinta || 2' |- |Ripieno || 7 file |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Eco espressivo''''' ---- |- |Corno camoscio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Viola || 8' |- |Celeste || 2 file |- |Principalino || 4' |- |Flautino || 2' |- |Ripieno || 3 file |- |Tremolo |- |Campane |- |<span style="color:#8b0000;">Voce corale</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tuba mirabilis</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale ''Eco''''' ---- |- |Bordone || 16' |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Contrabbasso || 16' |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |Bordone || 8' |- |Dulciana || 8' |- |Dolce || 4' |- |Campane |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |} |} == Altri progetti == {{interprogetto|commons=Category:San Paolino (Viareggio) - Pipe organ|commons_preposizione=sull'|commons_etichetta=organo a canne|w=Chiesa di San Paolino (Viareggio)|w_preposizione=sulla|w_etichetta=basilica di San Paolino a Viareggio}} {{Avanzamento|100%|17 gennaio 2021}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] lnbb6rb1qoorwwn6iyl6skrs82o9nuw 0 61135 501805 2026-09-23T08:09:30Z Momimariani1962 41308 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Cassano d'Adda|Cassano d'Adda]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cassano d'Adda/Cassano d'Adda - Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno|Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno]] {{Avanzamento|50%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 501805 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} Disposizioni foniche del comune di [[w:Cassano d'Adda|Cassano d'Adda]] raggruppate per edificio. == Capoluogo == * [[Disposizioni foniche di organi a canne/Italia/Lombardia/Città metropolitana di Milano/Cassano d'Adda/Cassano d'Adda - Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno|Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno]] {{Avanzamento|50%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] emjwepvjfx7en6ropz6dh2fht4r0zmr 0 61136 501806 2026-09-23T08:38:02Z Momimariani1962 41308 Nuova pagina: {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' F.lli Piccinelli<ref>ampliamento del preesistente organo di Giuseppe Rotelli, del 1909</ref> * '''Anno:''' 1989 * '''Restauri/modifiche:''' Mauri Orgelbau (restauro, 2024) * '''Registri:''' 50 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile a pavimento, nella navata a destra dell’altare * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo... 501806 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} * '''Costruttore:''' F.lli Piccinelli<ref>ampliamento del preesistente organo di Giuseppe Rotelli, del 1909</ref> * '''Anno:''' 1989 * '''Restauri/modifiche:''' Mauri Orgelbau (restauro, 2024) * '''Registri:''' 50 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile a pavimento, nella navata a destra dell’altare * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' nel presbiterio, diviso in due corpi sonori, posti su due cantorie a destra e a sinistra dell’altare maggiore * '''Note:''' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Decimaquinta|| 2' |- |Decimanona || 1.1/3' |- |Sesquialtera 2 file |- |Ripieno 4 file |- |<span style="color:#8b0000;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Duodecima || 2.2/3' |- |Decimaquinta || 2' |- |Decimanona || 1./3' |- |Vigesimaseconda || 1' |- |Ripieno 4 file || |- |Voce Umana |- |<span style="color:#8b0000;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Chiarina</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 16' |- |Eufonio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Gamba || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Flauto in XVII || 1.3/5' |- |Flautino || 1' |- |Ripieno 5 file |- |Voce Celeste |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Oboe</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Acustico || 32' |- |Contrabasso || 16' |- |Principale || 16' |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |Bordone || 8' |- |Violoncello || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Flautino || 2' |- |<span style="color:#8b0000;">Bombarda</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Clarone</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno (Cassano d’Adda)|w_preposizione=sulla|w_etichetta= chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno a Cassano d’Adda}} {{Avanzamento|100%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] e4xs6bvksdbnrox97c4cnv4gjkxhj2a 501808 501806 2026-09-23T09:01:27Z Momimariani1962 41308 501808 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} {{Tripla immagine|center|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno-organo Mauri orgelbau.jpg|350|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno- consolle organo Mauri orgelbau.jpg|350|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno-organo Mauri orgelbau2.jpg|350}} * '''Costruttore:''' F.lli Piccinelli<ref>ampliamento del preesistente organo di Giuseppe Rotelli, del 1909</ref> * '''Anno:''' 1989 * '''Restauri/modifiche:''' Mauri Orgelbau (restauro, 2024) * '''Registri:''' 50 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile a pavimento, nella navata a destra dell’altare * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' nel presbiterio, diviso in due corpi sonori, posti su due cantorie a destra e a sinistra dell’altare maggiore * '''Note:''' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Decimaquinta|| 2' |- |Decimanona || 1.1/3' |- |Sesquialtera 2 file |- |Ripieno 4 file |- |<span style="color:#8b0000;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Duodecima || 2.2/3' |- |Decimaquinta || 2' |- |Decimanona || 1./3' |- |Vigesimaseconda || 1' |- |Ripieno 4 file || |- |Voce Umana |- |<span style="color:#8b0000;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Chiarina</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 16' |- |Eufonio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Gamba || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Flauto in XVII || 1.3/5' |- |Flautino || 1' |- |Ripieno 5 file |- |Voce Celeste |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Oboe</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Acustico || 32' |- |Contrabasso || 16' |- |Principale || 16' |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |Bordone || 8' |- |Violoncello || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Flautino || 2' |- |<span style="color:#8b0000;">Bombarda</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Clarone</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno (Cassano d’Adda)|w_preposizione=sulla|w_etichetta= chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno a Cassano d’Adda}} {{Avanzamento|100%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 4ebzgd9n0jcjz7d1mshy2zdle4b5n0a 501809 501808 2026-09-23T11:58:27Z ~2026-51368-81 54812 /* */ Corretto errore 501809 wikitext text/x-wiki {{Disposizioni foniche di organi a canne}} {{Tripla immagine|center|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno-organo Mauri orgelbau.jpg|350|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno- consolle organo Mauri orgelbau.jpg|350|Cassano d'Adda-S.M.Imm.ta e S.Zeno-organo Mauri orgelbau2.jpg|350}} * '''Costruttore:''' F.lli Piccinelli<ref>ampliamento del preesistente organo di Giuseppe Rotelli, del 1909</ref> * '''Anno:''' 1989 * '''Restauri/modifiche:''' Mauri Orgelbau (restauro, 2024) * '''Registri:''' 50 * '''Canne:''' ? * '''Trasmissione:''' elettrica * '''Consolle:''' mobile a pavimento, nella navata a destra dell’altare * '''Tastiere:''' 3 di 61 note (''Do¹''-''Do⁶'') * '''Pedaliera:''' concavo radiale di 32 note (''Do¹''-''Sol³'') * '''Collocazione:''' nel presbiterio, diviso in due corpi sonori, posti su due cantorie a destra e a sinistra dell’altare maggiore * '''Note:''' {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="20" style="border-collapse:collapse;" | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''I - ''Positivo''''' ---- |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Decimaquinta|| 2' |- |Decimanona || 1.1/3' |- |Sesquialtera 2 file |- |Ripieno 4 file |- |<span style="color:#8b0000;">Clarino</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''II - ''Grand'Organo''''' ---- |- |Principale || 16' |- |Principale || 8' |- |Flauto || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Duodecima || 2.2/3' |- |Decimaquinta || 2' |- |Decimanona || 1.1/3' |- |Vigesimaseconda || 1' |- |Ripieno 4 file || |- |Voce Umana |- |<span style="color:#8b0000;">Fagotto</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Chiarina</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''III - ''Espressivo''''' ---- |- |Bordone || 16' |- |Eufonio || 8' |- |Bordone || 8' |- |Gamba || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Nazardo || 2.2/3' |- |Ottavino || 2' |- |Flauto in XVII || 1.3/5' |- |Flautino || 1' |- |Ripieno 5 file |- |Voce Celeste |- |<span style="color:#8b0000;">Tromba</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Oboe</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |Tremolo |- |} | style="vertical-align:top" | {| border="0" | colspan=2 | '''Pedale''' ---- |- |Acustico || 32' |- |Contrabasso || 16' |- |Principale || 16' |- |Subbasso || 16' |- |Basso || 8' |- |Bordone || 8' |- |Violoncello || 8' |- |Ottava || 4' |- |Flauto || 4' |- |Flautino || 2' |- |<span style="color:#8b0000;">Bombarda</span> || <span style="color:#8b0000;">16'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Trombone</span> || <span style="color:#8b0000;">8'</span> |- |<span style="color:#8b0000;">Clarone</span> || <span style="color:#8b0000;">4'</span> |- |} |} == Note == <references/> == Altri progetti == {{interprogetto|w=Chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno (Cassano d’Adda)|w_preposizione=sulla|w_etichetta= chiesa di Santa Maria Immacolata e San Zeno a Cassano d’Adda}} {{Avanzamento|100%|23 settembre 2026}} [[Categoria:Disposizioni foniche di organi a canne]] 1jaiab39pp1f5n2r1z9ylvi99ccmsln