Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 13267 285102 276922 2026-07-18T09:05:55Z ~2026-40161-00 46798 285102 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Urbanistica}} Il settore dei trasporti interessa il livello internazionale, devono infatti essere rispettati diversi standard condivisi. Il settore dei trasporti rientra nelle competenze della comunità europea. Esistono quindi decisioni prese a questo livello. Il settore dei trasporti è l'unico in assoluto che presenta un piano a livello nazionale. Si ha in particolare una pianificazione europea, una nazionale, una regionale e una locale. Si hanno quindi reti sovrapposte a maglie via via più fitte. Da tali livelli derivano assetti istituzionali diversi, responsabilità diverse e coinvolgimenti economici altrettanto diversi. L'unitarietà a livello europea per quanto concerne il tema dei trasporti si è evoluta di pari passo con i diversi trattati europei che hanno portato alla costituzione della Comunità Europea. Il processo ha inizio nel 1957 e vede nel 1992 un primo documento esclusivamente dedicato al tema dei trasporti, il libro bianco sui trasporti ("lo sviluppo futuro della politica comune dei trasporti"), nel quale oltre a evidenziare le criticità e individuare gli assi di sviluppo e gli obiettivi vi sono già contenute decisioni prese non più discutibili. I problemi e i propositi affrontati nel libro sono essenzialmente quelli di favorire la libera mobilità di merci e passeggeri creando una rete transeuropea che sia rispettosa della sostenibilità ambientale, promuovendo gli standard di sicurezza e che aiuti nel contempo le relazioni, i rapporti commerciali e culturali nei paesi terzi. In Italia si ha un omologo piano che si avvicina a tali concetti sviluppando un parallelismo tra sviluppo europeo e sviluppo italiano. A seguito del primo libro bianco del '92 se ne ha un secondo nel 2001 (frutto dell'agenda 2000), nel quale viene data per assodata l'individuazione della rete transeuropea (72.000 km strade, 22.000 di ferrovia ecc..), e nel quale viene trattato il tema del riequilibrio dei diversi tipi di traffico, promuovendo l'utilizzo della linea ferroviaria e del trasporto marittimo. Un aspetto che verrà riproposto nel PGTL (piano generale trasporti e della logistica) italiano, e che da una svolta a tutta la politica dei trasporti, è quello dell'intermodalità dei trasporti, ovvero la scelta di volta in volt più efficace e opportuno, nonché sostenibile, sulle diverse funzioni. Non di ha quindi un interesse a promuove un tipo di trasporto specifico, ma promuovere di volta in volta quello più adatto. Il soggetto delle politiche europee non è più il tipo di trasporto, ma il trasportato (merce o passeggero che sia). In Italia si hanno come visto diversi piani dei trasporti, che sono veri e proprio piani urbanistici: *Quinlan83 salame *Locali *Le politiche comunitarie ==Nazionali e regionali== ===PGT - piano regionale dei trasporti=== Il piano regionale dei trasporti anticipa il discorso europeo in quanto nasce nel 1984 ma ha subito grandi aggiornamenti a seguito della pubblicazione del libro bianco nel '92. La caratteristica ti questo piano è quella di essere la prima volta nella quale si mettono ad un tavolo gli amministratori e gli attori del trasporto. In questo caso quindi la funzione che si cerca di esperire è un'armonizzazione tra i vari programmi (i soggetti non sono ancora le merci e i passeggeri). Il PGT è il primo piano urbanistico che quindi si cala sulle regioni, imponendo l'obbligo alle regioni stesse di fornirsi di un proprio piano, il PRT, che era già possibile istituire nel 1981 su iniziativa regionale. ===PGTL - piano generale dei trasporti e della logistica=== Il piano generale dei trasporti e della logistica lo sviluppo sui trasporti se in Europa porta alla redazione del libro bianco nel 2001 produce in Italia una rivisitazione del PGT. In questa occasione viene anche definito quello che è lo SNIT (sistema nazionale integrato dei trasporti) ossia la definizione di tutta la rete che è di interesse nazionale. La rivisitazione del PGT entra nel merito dei contenuti sia del piano stesso che di quello regionale che cambia come quello nazionale dicitura venendosi a chiamare Piano Regionale dei Trasporti e della Logistica (PRTL). Aggiornandosi in base al libro bianco il soggetto diviene il trasportato, presentando però concetti nuovi. ==Locali== Il livello del locale viene inoltre rivisitato in maniera sostanziale, affiancando al PUT (1992) il PUM nel 2001. ===PUT=== Il PUT (piano urbano del traffico) nasce come strumento di regolazione del traffico e non è uno strumento forte ma che tuttora sta crescendo molto e contiene in se una serie di piani diversi. ===PUM=== Il PUM (piano urbano della mobilità) è invece un piano che cerca di confrontare le scelte strategiche dell'amministrazione con le possibilità e gli sviluppi del sistema infrastrutturale. ===Altri=== Esistono poi una serie di altri piani a livello locale, come il piano regolatore portuale (che è un piano emanato dall'alto, ovvero a livello nazionale, ma che si cala sul territorio confrontandosi in modo diretto con gli altri piani locali). ==Le politiche comunitarie== Negli anni '90 si hanno due linee principali, quali l'ammodernamento della rete (si è creata nel 1994 una commissione che ha avuto l'incarico di presentare alcuni progetti europei per l'ammodernamento della rete) e l'avvio del programma corridoi europei ovvero la rete di collegamenti con tutti i paesi europei che saranno poi entrati a far parte della comunità europea, favorendone proprio questo ingresso. In particolare per la definizione dei corridoi europei (10) sono state fatte nel tempo diverse conferenze quali quella di Praga, di Creta e di Helsinki. Questi corridoi non avevano unicamente la finalità di collegare gli stati tra loro ma anche quella di favorire un'integrazione, facendo nascere delle sinergie anche interne ai diversi paesi. Negli anni '90 nonostante gli stati non fossero ancora parte dell'Unione l'Europa ha elargito forti finanziamenti e contributi che hanno permesso di realizzare interventi concreti piuttosto interessanti. Per quanto riguarda l'ammodernamento della rete, tutti i paesi europei fanno delle proposte (34) tra le quali ne vengono selezionate 14 di cui 1 italiana (l'aeroporto internazionale di Malpensa). Dei 14 solo 3 progetti sono stati realmente realizzati negli anni previsti, tra i quali proprio quello italiano di Malpensa. Nel 1997 si è aggregato attraverso linee di sviluppo specifiche la questione portuale dando origine al libro verde sulle infrastrutture marittime, che definisce gli Hub portuali, tracciandone gli assi di sviluppo e le potenzialità (di grande interesse per Genova e la Liguria che presentano una situazione particolare in quanto l'Europa individua un unico hub ligure diviso a sua volta in sotto-hub). Dei 14 progetti quindi 3 sono stati ultimati nei tempi previsti 5 nel 2010 e gli altri sono ancora in fase realizzativa. Oltre ai 14 progetti sono stati presentate altre 100 proposte discusse del consiglio delle quali ne vengono accettate 30. Sono previsti inoltre incentivi particolari per le città che creeranno collegamenti interni e per coloro che lavoreranno sui corridoi europei in modo anche congiunto con le altre nazioni interessate dal tracciato. Questa rete di grandi collegamenti viene prevista e realizzata in quanto gli obbiettivi della comunità europea sono quelli di integrare il territorio e promuovere la competitività internazionale avvicinando le potenzialità dei diversi paesi e promuovendone anche sinergie. Si crea perciò una rete a maglie sovrapposte con corridoi preferenziali a più direttrici verticali e con una principale direttrice orizzontale (collegamenti dovuti alla morfologia dell'Europa). Il più grande di questi corridoi è il così detto "Corridoio V" che passa per l'Italia unendo con un grande diagonale l'Europa e che ricopre la massima importanza in quanto ad essa fanno riferimento tutte le direttrici verticali (ben comprensibile dai grafici). Il paese che riceve più benefici dal corridoio V è proprio l'Italia, infatti l'asse attraversa nella parte mediana la pianura padana (grande successo dell'Italia far passare la via di collegamento al di qua delle alpi). Tale collegamento crea però anche gravi problemi legati allo sviluppo durevole sostenibile. È infatti compito dei singoli stati con il supporto della comunità europea creare i collegamenti interni tra le varie città, già previsto e studiato in fase di progetto dell'asse. Devono essere però realizzati gli specifici progetti locali. Gli altri grandi corridoi sono: * il Berlino-Palermo che rappresenta il principale asse verticale (del quale fa parte il progetto del ponte sullo stretto di Messina); Tutti i corridoi hanno come terminali principali gli hub portuali, che richiamano l'attenzione finale della pianificazione di queste vie di collegamento. Sono quindi pensate vie di collegamento con sbocco al mare ai porti principali d'Europa, come: * Il corridoio dei due mari (Genova-Rotterdam-Anversa-Marsiglia), con i quali si cerca di creare una sinergia tra i vari porti del nord Europa in continua crescita anche se in competizione tra loro e la cui sommatoria di potenzialità raggiunge quella del porto di Honkong,e i porti del Mediterraneo. In particolare il corridoio principale è quello che vede il collegamento tra Rotterdam e Genova (promosso dall'Olanda) ancora incompleto in quanto si è arrestato appena prima delle alpi. Genova ricopre il 22° posto al mondo di importanza portuale. {{Nav urbanistica}} jh5iiscqnph62fxnl51c6mg9y3t1jrs 285103 285102 2026-07-18T09:06:03Z A09 43189 Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-40161-00|~2026-40161-00]] ([[User talk:~2026-40161-00|talk]]) to last version by 79.16.167.16: reverting vandalism 276922 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Urbanistica}} Il settore dei trasporti interessa il livello internazionale, devono infatti essere rispettati diversi standard condivisi. Il settore dei trasporti rientra nelle competenze della comunità europea. Esistono quindi decisioni prese a questo livello. Il settore dei trasporti è l'unico in assoluto che presenta un piano a livello nazionale. Si ha in particolare una pianificazione europea, una nazionale, una regionale e una locale. Si hanno quindi reti sovrapposte a maglie via via più fitte. Da tali livelli derivano assetti istituzionali diversi, responsabilità diverse e coinvolgimenti economici altrettanto diversi. L'unitarietà a livello europea per quanto concerne il tema dei trasporti si è evoluta di pari passo con i diversi trattati europei che hanno portato alla costituzione della Comunità Europea. Il processo ha inizio nel 1957 e vede nel 1992 un primo documento esclusivamente dedicato al tema dei trasporti, il libro bianco sui trasporti ("lo sviluppo futuro della politica comune dei trasporti"), nel quale oltre a evidenziare le criticità e individuare gli assi di sviluppo e gli obiettivi vi sono già contenute decisioni prese non più discutibili. I problemi e i propositi affrontati nel libro sono essenzialmente quelli di favorire la libera mobilità di merci e passeggeri creando una rete transeuropea che sia rispettosa della sostenibilità ambientale, promuovendo gli standard di sicurezza e che aiuti nel contempo le relazioni, i rapporti commerciali e culturali nei paesi terzi. In Italia si ha un omologo piano che si avvicina a tali concetti sviluppando un parallelismo tra sviluppo europeo e sviluppo italiano. A seguito del primo libro bianco del '92 se ne ha un secondo nel 2001 (frutto dell'agenda 2000), nel quale viene data per assodata l'individuazione della rete transeuropea (72.000 km strade, 22.000 di ferrovia ecc..), e nel quale viene trattato il tema del riequilibrio dei diversi tipi di traffico, promuovendo l'utilizzo della linea ferroviaria e del trasporto marittimo. 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La caratteristica ti questo piano è quella di essere la prima volta nella quale si mettono ad un tavolo gli amministratori e gli attori del trasporto. In questo caso quindi la funzione che si cerca di esperire è un'armonizzazione tra i vari programmi (i soggetti non sono ancora le merci e i passeggeri). Il PGT è il primo piano urbanistico che quindi si cala sulle regioni, imponendo l'obbligo alle regioni stesse di fornirsi di un proprio piano, il PRT, che era già possibile istituire nel 1981 su iniziativa regionale. ===PGTL - piano generale dei trasporti e della logistica=== Il piano generale dei trasporti e della logistica lo sviluppo sui trasporti se in Europa porta alla redazione del libro bianco nel 2001 produce in Italia una rivisitazione del PGT. In questa occasione viene anche definito quello che è lo SNIT (sistema nazionale integrato dei trasporti) ossia la definizione di tutta la rete che è di interesse nazionale. La rivisitazione del PGT entra nel merito dei contenuti sia del piano stesso che di quello regionale che cambia come quello nazionale dicitura venendosi a chiamare Piano Regionale dei Trasporti e della Logistica (PRTL). Aggiornandosi in base al libro bianco il soggetto diviene il trasportato, presentando però concetti nuovi. ==Locali== Il livello locale viene inoltre rivisitato in maniera sostanziale, affiancando al PUT (1992) il PUM nel 2001. ===PUT=== Il PUT (piano urbano del traffico) nasce come strumento di regolazione del traffico e non è uno strumento forte ma che tuttora sta crescendo molto e contiene in se una serie di piani diversi. ===PUM=== Il PUM (piano urbano della mobilità) è invece un piano che cerca di confrontare le scelte strategiche dell'amministrazione con le possibilità e gli sviluppi del sistema infrastrutturale. ===Altri=== Esistono poi una serie di altri piani a livello locale, come il piano regolatore portuale (che è un piano emanato dall'alto, ovvero a livello nazionale, ma che si cala sul territorio confrontandosi in modo diretto con gli altri piani locali). ==Le politiche comunitarie== Negli anni '90 si hanno due linee principali, quali l'ammodernamento della rete (si è creata nel 1994 una commissione che ha avuto l'incarico di presentare alcuni progetti europei per l'ammodernamento della rete) e l'avvio del programma corridoi europei ovvero la rete di collegamenti con tutti i paesi europei che saranno poi entrati a far parte della comunità europea, favorendone proprio questo ingresso. In particolare per la definizione dei corridoi europei (10) sono state fatte nel tempo diverse conferenze quali quella di Praga, di Creta e di Helsinki. Questi corridoi non avevano unicamente la finalità di collegare gli stati tra loro ma anche quella di favorire un'integrazione, facendo nascere delle sinergie anche interne ai diversi paesi. Negli anni '90 nonostante gli stati non fossero ancora parte dell'Unione l'Europa ha elargito forti finanziamenti e contributi che hanno permesso di realizzare interventi concreti piuttosto interessanti. Per quanto riguarda l'ammodernamento della rete, tutti i paesi europei fanno delle proposte (34) tra le quali ne vengono selezionate 14 di cui 1 italiana (l'aeroporto internazionale di Malpensa). Dei 14 solo 3 progetti sono stati realmente realizzati negli anni previsti, tra i quali proprio quello italiano di Malpensa. Nel 1997 si è aggregato attraverso linee di sviluppo specifiche la questione portuale dando origine al libro verde sulle infrastrutture marittime, che definisce gli Hub portuali, tracciandone gli assi di sviluppo e le potenzialità (di grande interesse per Genova e la Liguria che presentano una situazione particolare in quanto l'Europa individua un unico hub ligure diviso a sua volta in sotto-hub). Dei 14 progetti quindi 3 sono stati ultimati nei tempi previsti 5 nel 2010 e gli altri sono ancora in fase realizzativa. Oltre ai 14 progetti sono stati presentate altre 100 proposte discusse del consiglio delle quali ne vengono accettate 30. Sono previsti inoltre incentivi particolari per le città che creeranno collegamenti interni e per coloro che lavoreranno sui corridoi europei in modo anche congiunto con le altre nazioni interessate dal tracciato. Questa rete di grandi collegamenti viene prevista e realizzata in quanto gli obbiettivi della comunità europea sono quelli di integrare il territorio e promuovere la competitività internazionale avvicinando le potenzialità dei diversi paesi e promuovendone anche sinergie. Si crea perciò una rete a maglie sovrapposte con corridoi preferenziali a più direttrici verticali e con una principale direttrice orizzontale (collegamenti dovuti alla morfologia dell'Europa). Il più grande di questi corridoi è il così detto "Corridoio V" che passa per l'Italia unendo con un grande diagonale l'Europa e che ricopre la massima importanza in quanto ad essa fanno riferimento tutte le direttrici verticali (ben comprensibile dai grafici). Il paese che riceve più benefici dal corridoio V è proprio l'Italia, infatti l'asse attraversa nella parte mediana la pianura padana (grande successo dell'Italia far passare la via di collegamento al di qua delle alpi). Tale collegamento crea però anche gravi problemi legati allo sviluppo durevole sostenibile. È infatti compito dei singoli stati con il supporto della comunità europea creare i collegamenti interni tra le varie città, già previsto e studiato in fase di progetto dell'asse. Devono essere però realizzati gli specifici progetti locali. Gli altri grandi corridoi sono: * il Berlino-Palermo che rappresenta il principale asse verticale (del quale fa parte il progetto del ponte sullo stretto di Messina); Tutti i corridoi hanno come terminali principali gli hub portuali, che richiamano l'attenzione finale della pianificazione di queste vie di collegamento. Sono quindi pensate vie di collegamento con sbocco al mare ai porti principali d'Europa, come: * Il corridoio dei due mari (Genova-Rotterdam-Anversa-Marsiglia), con i quali si cerca di creare una sinergia tra i vari porti del nord Europa in continua crescita anche se in competizione tra loro e la cui sommatoria di potenzialità raggiunge quella del porto di Honkong,e i porti del Mediterraneo. In particolare il corridoio principale è quello che vede il collegamento tra Rotterdam e Genova (promosso dall'Olanda) ancora incompleto in quanto si è arrestato appena prima delle alpi. Genova ricopre il 22° posto al mondo di importanza portuale. {{Nav urbanistica}} o5a26hhno41bqyouwph51277qqmcuhc 285104 285103 2026-07-18T09:06:36Z ~2026-40161-00 46798 285104 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Urbanistica}} Il settore dei trasporti interessa il livello internazionale, devono infatti essere rispettati diversi standard condivisi. Il settore dei trasporti rientra nelle competenze della comunità europea. Esistono quindi decisioni prese a questo livello. A09 idiot Il settore dei trasporti è l'unico in assoluto che presenta un piano a livello nazionale. Si ha in particolare una pianificazione europea, una nazionale, una regionale e una locale. Si hanno quindi reti sovrapposte a maglie via via più fitte. Da tali livelli derivano assetti istituzionali diversi, responsabilità diverse e coinvolgimenti economici altrettanto diversi. L'unitarietà a livello europea per quanto concerne il tema dei trasporti si è evoluta di pari passo con i diversi trattati europei che hanno portato alla costituzione della Comunità Europea. Il processo ha inizio nel 1957 e vede nel 1992 un primo documento esclusivamente dedicato al tema dei trasporti, il libro bianco sui trasporti ("lo sviluppo futuro della politica comune dei trasporti"), nel quale oltre a evidenziare le criticità e individuare gli assi di sviluppo e gli obiettivi vi sono già contenute decisioni prese non più discutibili. I problemi e i propositi affrontati nel libro sono essenzialmente quelli di favorire la libera mobilità di merci e passeggeri creando una rete transeuropea che sia rispettosa della sostenibilità ambientale, promuovendo gli standard di sicurezza e che aiuti nel contempo le relazioni, i rapporti commerciali e culturali nei paesi terzi. In Italia si ha un omologo piano che si avvicina a tali concetti sviluppando un parallelismo tra sviluppo europeo e sviluppo italiano. A seguito del primo libro bianco del '92 se ne ha un secondo nel 2001 (frutto dell'agenda 2000), nel quale viene data per assodata l'individuazione della rete transeuropea (72.000 km strade, 22.000 di ferrovia ecc..), e nel quale viene trattato il tema del riequilibrio dei diversi tipi di traffico, promuovendo l'utilizzo della linea ferroviaria e del trasporto marittimo. Un aspetto che verrà riproposto nel PGTL (piano generale trasporti e della logistica) italiano, e che da una svolta a tutta la politica dei trasporti, è quello dell'intermodalità dei trasporti, ovvero la scelta di volta in volt più efficace e opportuno, nonché sostenibile, sulle diverse funzioni. Non di ha quindi un interesse a promuove un tipo di trasporto specifico, ma promuovere di volta in volta quello più adatto. Il soggetto delle politiche europee non è più il tipo di trasporto, ma il trasportato (merce o passeggero che sia). In Italia si hanno come visto diversi piani dei trasporti, che sono veri e proprio piani urbanistici: *Nazionali e regionali *Locali *Le politiche comunitarie ==Nazionali e regionali== ===PGT - piano regionale dei trasporti=== Il piano regionale dei trasporti anticipa il discorso europeo in quanto nasce nel 1984 ma ha subito grandi aggiornamenti a seguito della pubblicazione del libro bianco nel '92. La caratteristica ti questo piano è quella di essere la prima volta nella quale si mettono ad un tavolo gli amministratori e gli attori del trasporto. In questo caso quindi la funzione che si cerca di esperire è un'armonizzazione tra i vari programmi (i soggetti non sono ancora le merci e i passeggeri). Il PGT è il primo piano urbanistico che quindi si cala sulle regioni, imponendo l'obbligo alle regioni stesse di fornirsi di un proprio piano, il PRT, che era già possibile istituire nel 1981 su iniziativa regionale. ===PGTL - piano generale dei trasporti e della logistica=== Il piano generale dei trasporti e della logistica lo sviluppo sui trasporti se in Europa porta alla redazione del libro bianco nel 2001 produce in Italia una rivisitazione del PGT. In questa occasione viene anche definito quello che è lo SNIT (sistema nazionale integrato dei trasporti) ossia la definizione di tutta la rete che è di interesse nazionale. La rivisitazione del PGT entra nel merito dei contenuti sia del piano stesso che di quello regionale che cambia come quello nazionale dicitura venendosi a chiamare Piano Regionale dei Trasporti e della Logistica (PRTL). Aggiornandosi in base al libro bianco il soggetto diviene il trasportato, presentando però concetti nuovi. ==Locali== Il livello locale viene inoltre rivisitato in maniera sostanziale, affiancando al PUT (1992) il PUM nel 2001. ===PUT=== Il PUT (piano urbano del traffico) nasce come strumento di regolazione del traffico e non è uno strumento forte ma che tuttora sta crescendo molto e contiene in se una serie di piani diversi. ===PUM=== Il PUM (piano urbano della mobilità) è invece un piano che cerca di confrontare le scelte strategiche dell'amministrazione con le possibilità e gli sviluppi del sistema infrastrutturale. ===Altri=== Esistono poi una serie di altri piani a livello locale, come il piano regolatore portuale (che è un piano emanato dall'alto, ovvero a livello nazionale, ma che si cala sul territorio confrontandosi in modo diretto con gli altri piani locali). ==Le politiche comunitarie== Negli anni '90 si hanno due linee principali, quali l'ammodernamento della rete (si è creata nel 1994 una commissione che ha avuto l'incarico di presentare alcuni progetti europei per l'ammodernamento della rete) e l'avvio del programma corridoi europei ovvero la rete di collegamenti con tutti i paesi europei che saranno poi entrati a far parte della comunità europea, favorendone proprio questo ingresso. In particolare per la definizione dei corridoi europei (10) sono state fatte nel tempo diverse conferenze quali quella di Praga, di Creta e di Helsinki. Questi corridoi non avevano unicamente la finalità di collegare gli stati tra loro ma anche quella di favorire un'integrazione, facendo nascere delle sinergie anche interne ai diversi paesi. Negli anni '90 nonostante gli stati non fossero ancora parte dell'Unione l'Europa ha elargito forti finanziamenti e contributi che hanno permesso di realizzare interventi concreti piuttosto interessanti. Per quanto riguarda l'ammodernamento della rete, tutti i paesi europei fanno delle proposte (34) tra le quali ne vengono selezionate 14 di cui 1 italiana (l'aeroporto internazionale di Malpensa). Dei 14 solo 3 progetti sono stati realmente realizzati negli anni previsti, tra i quali proprio quello italiano di Malpensa. Nel 1997 si è aggregato attraverso linee di sviluppo specifiche la questione portuale dando origine al libro verde sulle infrastrutture marittime, che definisce gli Hub portuali, tracciandone gli assi di sviluppo e le potenzialità (di grande interesse per Genova e la Liguria che presentano una situazione particolare in quanto l'Europa individua un unico hub ligure diviso a sua volta in sotto-hub). Dei 14 progetti quindi 3 sono stati ultimati nei tempi previsti 5 nel 2010 e gli altri sono ancora in fase realizzativa. Oltre ai 14 progetti sono stati presentate altre 100 proposte discusse del consiglio delle quali ne vengono accettate 30. Sono previsti inoltre incentivi particolari per le città che creeranno collegamenti interni e per coloro che lavoreranno sui corridoi europei in modo anche congiunto con le altre nazioni interessate dal tracciato. Questa rete di grandi collegamenti viene prevista e realizzata in quanto gli obbiettivi della comunità europea sono quelli di integrare il territorio e promuovere la competitività internazionale avvicinando le potenzialità dei diversi paesi e promuovendone anche sinergie. Si crea perciò una rete a maglie sovrapposte con corridoi preferenziali a più direttrici verticali e con una principale direttrice orizzontale (collegamenti dovuti alla morfologia dell'Europa). Il più grande di questi corridoi è il così detto "Corridoio V" che passa per l'Italia unendo con un grande diagonale l'Europa e che ricopre la massima importanza in quanto ad essa fanno riferimento tutte le direttrici verticali (ben comprensibile dai grafici). Il paese che riceve più benefici dal corridoio V è proprio l'Italia, infatti l'asse attraversa nella parte mediana la pianura padana (grande successo dell'Italia far passare la via di collegamento al di qua delle alpi). Tale collegamento crea però anche gravi problemi legati allo sviluppo durevole sostenibile. È infatti compito dei singoli stati con il supporto della comunità europea creare i collegamenti interni tra le varie città, già previsto e studiato in fase di progetto dell'asse. Devono essere però realizzati gli specifici progetti locali. Gli altri grandi corridoi sono: * il Berlino-Palermo che rappresenta il principale asse verticale (del quale fa parte il progetto del ponte sullo stretto di Messina); Tutti i corridoi hanno come terminali principali gli hub portuali, che richiamano l'attenzione finale della pianificazione di queste vie di collegamento. Sono quindi pensate vie di collegamento con sbocco al mare ai porti principali d'Europa, come: * Il corridoio dei due mari (Genova-Rotterdam-Anversa-Marsiglia), con i quali si cerca di creare una sinergia tra i vari porti del nord Europa in continua crescita anche se in competizione tra loro e la cui sommatoria di potenzialità raggiunge quella del porto di Honkong,e i porti del Mediterraneo. In particolare il corridoio principale è quello che vede il collegamento tra Rotterdam e Genova (promosso dall'Olanda) ancora incompleto in quanto si è arrestato appena prima delle alpi. Genova ricopre il 22° posto al mondo di importanza portuale. {{Nav urbanistica}} g5jz15t6lcbz1y2rohhkicqy47gr37z 285105 285104 2026-07-18T09:07:31Z A09 43189 Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-40161-00|~2026-40161-00]] ([[User talk:~2026-40161-00|talk]]) to last version by A09: reverting vandalism 276922 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=appunti|materia1=Urbanistica}} Il settore dei trasporti interessa il livello internazionale, devono infatti essere rispettati diversi standard condivisi. Il settore dei trasporti rientra nelle competenze della comunità europea. Esistono quindi decisioni prese a questo livello. Il settore dei trasporti è l'unico in assoluto che presenta un piano a livello nazionale. Si ha in particolare una pianificazione europea, una nazionale, una regionale e una locale. Si hanno quindi reti sovrapposte a maglie via via più fitte. Da tali livelli derivano assetti istituzionali diversi, responsabilità diverse e coinvolgimenti economici altrettanto diversi. L'unitarietà a livello europea per quanto concerne il tema dei trasporti si è evoluta di pari passo con i diversi trattati europei che hanno portato alla costituzione della Comunità Europea. Il processo ha inizio nel 1957 e vede nel 1992 un primo documento esclusivamente dedicato al tema dei trasporti, il libro bianco sui trasporti ("lo sviluppo futuro della politica comune dei trasporti"), nel quale oltre a evidenziare le criticità e individuare gli assi di sviluppo e gli obiettivi vi sono già contenute decisioni prese non più discutibili. I problemi e i propositi affrontati nel libro sono essenzialmente quelli di favorire la libera mobilità di merci e passeggeri creando una rete transeuropea che sia rispettosa della sostenibilità ambientale, promuovendo gli standard di sicurezza e che aiuti nel contempo le relazioni, i rapporti commerciali e culturali nei paesi terzi. In Italia si ha un omologo piano che si avvicina a tali concetti sviluppando un parallelismo tra sviluppo europeo e sviluppo italiano. A seguito del primo libro bianco del '92 se ne ha un secondo nel 2001 (frutto dell'agenda 2000), nel quale viene data per assodata l'individuazione della rete transeuropea (72.000 km strade, 22.000 di ferrovia ecc..), e nel quale viene trattato il tema del riequilibrio dei diversi tipi di traffico, promuovendo l'utilizzo della linea ferroviaria e del trasporto marittimo. Un aspetto che verrà riproposto nel PGTL (piano generale trasporti e della logistica) italiano, e che da una svolta a tutta la politica dei trasporti, è quello dell'intermodalità dei trasporti, ovvero la scelta di volta in volt più efficace e opportuno, nonché sostenibile, sulle diverse funzioni. Non di ha quindi un interesse a promuove un tipo di trasporto specifico, ma promuovere di volta in volta quello più adatto. Il soggetto delle politiche europee non è più il tipo di trasporto, ma il trasportato (merce o passeggero che sia). In Italia si hanno come visto diversi piani dei trasporti, che sono veri e proprio piani urbanistici: *Nazionali e regionali *Locali *Le politiche comunitarie ==Nazionali e regionali== ===PGT - piano regionale dei trasporti=== Il piano regionale dei trasporti anticipa il discorso europeo in quanto nasce nel 1984 ma ha subito grandi aggiornamenti a seguito della pubblicazione del libro bianco nel '92. La caratteristica ti questo piano è quella di essere la prima volta nella quale si mettono ad un tavolo gli amministratori e gli attori del trasporto. In questo caso quindi la funzione che si cerca di esperire è un'armonizzazione tra i vari programmi (i soggetti non sono ancora le merci e i passeggeri). Il PGT è il primo piano urbanistico che quindi si cala sulle regioni, imponendo l'obbligo alle regioni stesse di fornirsi di un proprio piano, il PRT, che era già possibile istituire nel 1981 su iniziativa regionale. ===PGTL - piano generale dei trasporti e della logistica=== Il piano generale dei trasporti e della logistica lo sviluppo sui trasporti se in Europa porta alla redazione del libro bianco nel 2001 produce in Italia una rivisitazione del PGT. In questa occasione viene anche definito quello che è lo SNIT (sistema nazionale integrato dei trasporti) ossia la definizione di tutta la rete che è di interesse nazionale. La rivisitazione del PGT entra nel merito dei contenuti sia del piano stesso che di quello regionale che cambia come quello nazionale dicitura venendosi a chiamare Piano Regionale dei Trasporti e della Logistica (PRTL). Aggiornandosi in base al libro bianco il soggetto diviene il trasportato, presentando però concetti nuovi. ==Locali== Il livello locale viene inoltre rivisitato in maniera sostanziale, affiancando al PUT (1992) il PUM nel 2001. ===PUT=== Il PUT (piano urbano del traffico) nasce come strumento di regolazione del traffico e non è uno strumento forte ma che tuttora sta crescendo molto e contiene in se una serie di piani diversi. ===PUM=== Il PUM (piano urbano della mobilità) è invece un piano che cerca di confrontare le scelte strategiche dell'amministrazione con le possibilità e gli sviluppi del sistema infrastrutturale. ===Altri=== Esistono poi una serie di altri piani a livello locale, come il piano regolatore portuale (che è un piano emanato dall'alto, ovvero a livello nazionale, ma che si cala sul territorio confrontandosi in modo diretto con gli altri piani locali). ==Le politiche comunitarie== Negli anni '90 si hanno due linee principali, quali l'ammodernamento della rete (si è creata nel 1994 una commissione che ha avuto l'incarico di presentare alcuni progetti europei per l'ammodernamento della rete) e l'avvio del programma corridoi europei ovvero la rete di collegamenti con tutti i paesi europei che saranno poi entrati a far parte della comunità europea, favorendone proprio questo ingresso. In particolare per la definizione dei corridoi europei (10) sono state fatte nel tempo diverse conferenze quali quella di Praga, di Creta e di Helsinki. Questi corridoi non avevano unicamente la finalità di collegare gli stati tra loro ma anche quella di favorire un'integrazione, facendo nascere delle sinergie anche interne ai diversi paesi. Negli anni '90 nonostante gli stati non fossero ancora parte dell'Unione l'Europa ha elargito forti finanziamenti e contributi che hanno permesso di realizzare interventi concreti piuttosto interessanti. Per quanto riguarda l'ammodernamento della rete, tutti i paesi europei fanno delle proposte (34) tra le quali ne vengono selezionate 14 di cui 1 italiana (l'aeroporto internazionale di Malpensa). Dei 14 solo 3 progetti sono stati realmente realizzati negli anni previsti, tra i quali proprio quello italiano di Malpensa. Nel 1997 si è aggregato attraverso linee di sviluppo specifiche la questione portuale dando origine al libro verde sulle infrastrutture marittime, che definisce gli Hub portuali, tracciandone gli assi di sviluppo e le potenzialità (di grande interesse per Genova e la Liguria che presentano una situazione particolare in quanto l'Europa individua un unico hub ligure diviso a sua volta in sotto-hub). Dei 14 progetti quindi 3 sono stati ultimati nei tempi previsti 5 nel 2010 e gli altri sono ancora in fase realizzativa. Oltre ai 14 progetti sono stati presentate altre 100 proposte discusse del consiglio delle quali ne vengono accettate 30. Sono previsti inoltre incentivi particolari per le città che creeranno collegamenti interni e per coloro che lavoreranno sui corridoi europei in modo anche congiunto con le altre nazioni interessate dal tracciato. Questa rete di grandi collegamenti viene prevista e realizzata in quanto gli obbiettivi della comunità europea sono quelli di integrare il territorio e promuovere la competitività internazionale avvicinando le potenzialità dei diversi paesi e promuovendone anche sinergie. Si crea perciò una rete a maglie sovrapposte con corridoi preferenziali a più direttrici verticali e con una principale direttrice orizzontale (collegamenti dovuti alla morfologia dell'Europa). Il più grande di questi corridoi è il così detto "Corridoio V" che passa per l'Italia unendo con un grande diagonale l'Europa e che ricopre la massima importanza in quanto ad essa fanno riferimento tutte le direttrici verticali (ben comprensibile dai grafici). Il paese che riceve più benefici dal corridoio V è proprio l'Italia, infatti l'asse attraversa nella parte mediana la pianura padana (grande successo dell'Italia far passare la via di collegamento al di qua delle alpi). Tale collegamento crea però anche gravi problemi legati allo sviluppo durevole sostenibile. È infatti compito dei singoli stati con il supporto della comunità europea creare i collegamenti interni tra le varie città, già previsto e studiato in fase di progetto dell'asse. Devono essere però realizzati gli specifici progetti locali. Gli altri grandi corridoi sono: * il Berlino-Palermo che rappresenta il principale asse verticale (del quale fa parte il progetto del ponte sullo stretto di Messina); Tutti i corridoi hanno come terminali principali gli hub portuali, che richiamano l'attenzione finale della pianificazione di queste vie di collegamento. Sono quindi pensate vie di collegamento con sbocco al mare ai porti principali d'Europa, come: * Il corridoio dei due mari (Genova-Rotterdam-Anversa-Marsiglia), con i quali si cerca di creare una sinergia tra i vari porti del nord Europa in continua crescita anche se in competizione tra loro e la cui sommatoria di potenzialità raggiunge quella del porto di Honkong,e i porti del Mediterraneo. In particolare il corridoio principale è quello che vede il collegamento tra Rotterdam e Genova (promosso dall'Olanda) ancora incompleto in quanto si è arrestato appena prima delle alpi. Genova ricopre il 22° posto al mondo di importanza portuale. {{Nav urbanistica}} o5a26hhno41bqyouwph51277qqmcuhc 2 34010 285085 285082 2026-07-18T05:44:21Z Funzioni di correlazione 24136 285085 wikitext text/x-wiki Di seguito trovi il testo in formato wiki, con ogni formula racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. --- ```wiki == Derivata di <math>\sin(\arccos x)</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math> Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> === Verifica mediante identità trigonometrica === Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. === Risultato finale === <math> \{\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}} </math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> s5bwi13djtxuk1yi7u3wz00fz5k5o8a 285086 285085 2026-07-18T05:45:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285086 wikitext text/x-wiki Di seguito trovi il testo in formato wiki, con ogni formula racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. --- ```wiki == Derivata di <math>\sin(\arccos x)</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math> Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> === Verifica mediante identità trigonometrica === Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. === Risultato finale === <math> \{\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 3gr0jzzahn2dhk4fgtyuwiq0arkk1mc 285087 285086 2026-07-18T05:46:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285087 wikitext text/x-wiki Di seguito trovi il testo in formato wiki, con ogni formula racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. --- ```wiki == Derivata di <math>\sin(\arccos x)</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math> Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> === Verifica mediante identità trigonometrica === Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \{\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> s0jb6yxhvq96d9g7o2545syfz5ow492 285088 285087 2026-07-18T05:48:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata di \sin(\arccos x) */ 285088 wikitext text/x-wiki Di seguito trovi il testo in formato wiki, con ogni formula racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. --- ```wiki == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math> Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> === Verifica mediante identità trigonometrica === Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \{\frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 22663dcc0fa8234j74cxt9k420tpzea 285089 285088 2026-07-18T05:51:46Z Funzioni di correlazione 24136 285089 wikitext text/x-wiki == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> === Verifica mediante identità trigonometrica === Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> gjgk7r87wdiduhxpkkbwbya728t55fn 285090 285089 2026-07-18T05:52:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Verifica mediante identità trigonometrica */ 285090 wikitext text/x-wiki == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 1t6lhkgshn9kyr3rmb7kyvav8k1dosg 285091 285090 2026-07-18T05:53:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11^ f(x)=\sin(\arccos x) */ 285091 wikitext text/x-wiki == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> dqhvurqdukl9ipspxxf3k2p1por865f 285093 285091 2026-07-18T06:06:06Z Funzioni di correlazione 24136 285093 wikitext text/x-wiki ==12^ <math>f(x)=\ln(\tan^3(2x))-\sqrt{\sin(3x)}</math>== si deriva separatamente ciascun termine. Primo termine <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]</math> Si applica la regola <math>\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{u'}{u}</math> ponendo <math>u=\tan^3(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right] =\frac{(\tan^3(2x))'}{\tan^3(2x)}</math> Ora si deriva <math>\tan^3(2x)</math> usando la regola della potenza: <math>(\tan^3(2x))' =3\tan^2(2x)\cdot(\tan(2x))'</math> La derivata della tangente è <math>(\tan(2x))' =\sec^2(2x)\cdot2</math> per la regola della catena. Quindi <math>(\tan^3(2x))' =3\tan^2(2x)\cdot2\sec^2(2x) =6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Sostituendo, <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)} {\tan^3(2x)}</math> Semplificando, <math>\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> == Secondo termine == <math>\frac{d}{dx}\left[-\sqrt{\sin(3x)}\right]</math> Si applica la regola <math>\frac{d}{dx}(\sqrt{u}) =\frac{u'}{2\sqrt{u}}</math> con <math>u=\sin(3x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[-\sqrt{\sin(3x)}\right] =-\frac{(\sin(3x))'} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> La derivata del seno è <math>(\sin(3x))' =\cos(3x)\cdot3</math> Pertanto <math>-\frac{3\cos(3x)} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> Derivata finale Sommandone i contributi si ottiene <math>f'(x) =\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)} -\frac{3\cos(3x)} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> j0901oa5cm2tv29fbwy62tpyumg0a0y 285094 285093 2026-07-18T06:06:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Secondo termine */ 285094 wikitext text/x-wiki ==12^ <math>f(x)=\ln(\tan^3(2x))-\sqrt{\sin(3x)}</math>== si deriva separatamente ciascun termine. Primo termine <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]</math> Si applica la regola <math>\frac{d}{dx}(\ln u)=\frac{u'}{u}</math> ponendo <math>u=\tan^3(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right] =\frac{(\tan^3(2x))'}{\tan^3(2x)}</math> Ora si deriva <math>\tan^3(2x)</math> usando la regola della potenza: <math>(\tan^3(2x))' =3\tan^2(2x)\cdot(\tan(2x))'</math> La derivata della tangente è <math>(\tan(2x))' =\sec^2(2x)\cdot2</math> per la regola della catena. Quindi <math>(\tan^3(2x))' =3\tan^2(2x)\cdot2\sec^2(2x) =6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Sostituendo, <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)} {\tan^3(2x)}</math> Semplificando, <math>\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Secondo termine <math>\frac{d}{dx}\left[-\sqrt{\sin(3x)}\right]</math> Si applica la regola <math>\frac{d}{dx}(\sqrt{u}) =\frac{u'}{2\sqrt{u}}</math> con <math>u=\sin(3x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[-\sqrt{\sin(3x)}\right] =-\frac{(\sin(3x))'} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> La derivata del seno è <math>(\sin(3x))' =\cos(3x)\cdot3</math> Pertanto <math>-\frac{3\cos(3x)} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> Derivata finale Sommandone i contributi si ottiene <math>f'(x) =\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)} -\frac{3\cos(3x)} {2\sqrt{\sin(3x)}}</math> == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> bqimncba6jxjejsz6nzsrp8f1bb4pmo 285095 285094 2026-07-18T06:17:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 12^ f(x)=\ln(\tan^3(2x))-\sqrt{\sin(3x)} */ 285095 wikitext text/x-wiki ==12^ <math>f(x)=\ln(\tan^3(2x))-\sqrt{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 8oobice7rqdd4nh52hpe9hky045ykq7 285096 285095 2026-07-18T06:18:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 12^ f(x)=\ln(\tan^3(2x))-\sqrt{\sin(3x)} */ 285096 wikitext text/x-wiki == 12^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> cyy7ed6qu88kgn1zr3o5t4aa2880ngw 285097 285096 2026-07-18T06:19:31Z Funzioni di correlazione 24136 285097 wikitext text/x-wiki == 12^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> gdo2h8v48icmh5q39u9z9bnnjddgm3x 285101 285097 2026-07-18T07:03:27Z Funzioni di correlazione 24136 285101 wikitext text/x-wiki Se intendi **come creare un grafico in Microsoft Excel utilizzando una funzione**, ecco un esempio semplice. ### Esempio: grafico della funzione (y = x^2) Puoi visualizzare la funzione qui: genui{"functions_sequences_graphs_learning_block":{"type_id":"GRAPHABLE_FUNCTION","content":"y=x^2"}} Per realizzarla in Excel: 1. Apri un nuovo foglio di lavoro. 2. Nella colonna **A** inserisci i valori di **x**: * A2 = -5 * A3 = -4 * Continua fino a 5 (oppure usa una serie automatica). 3. Nella cella **B2** inserisci la formula: ```excel =A2^2 ``` 4. Trascina la formula verso il basso per calcolare tutti i valori di **y**. 5. Seleziona le colonne **A** e **B**. 6. Vai su **Inserisci → Grafici → Dispersione (XY)** oppure **Grafico a linee**. Otterrai il grafico della funzione (y=x^2). ### Esempio con un'altra funzione Per la funzione (y = 2x + 3), nella colonna B inserisci: ```excel =2*A2+3 ``` Poi crea il grafico seguendo gli stessi passaggi. Se invece intendevi **implementare una funzione VBA che crea automaticamente un grafico in Excel**, dimmelo e ti mostrerò il codice. == 12^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ``` xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. ==1^== data: <math> y = \ln(\cos x) + x\tan x </math>; Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^== data: <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^== Sia la funzione: <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math> Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^== La funzione è: <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math> Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^== La funzione è: ```text ==5^ - Derivata di <math>\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> ==6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> `` ==7^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> 5x6koppr3m6m27u8ya6zch12oye4994 0 37636 285092 285084 2026-07-18T05:56:35Z Funzioni di correlazione 24136 285092 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> 1svam0yt3r66q1x0zgb94rpqltc6efi 285098 285092 2026-07-18T06:28:28Z Funzioni di correlazione 24136 285098 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 12^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> qyrn0ql4sb0hzbz4mh6bu0zhopkxwt3 285099 285098 2026-07-18T06:30:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 12^ f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)} */ 285099 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 11^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> k4f6nakqkapydcivttmr3gwqt00x1wr 285100 285099 2026-07-18T06:32:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11^ f(x)=\sin(\arccos x) */ 285100 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> 0c40i0y9sf239tmqqw7ox8rczq1gheh