Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 285471 285465 2026-07-29T13:49:01Z Funzioni di correlazione 24136 285471 wikitext text/x-wiki Di seguito trovi il testo in formato grezzo per Wikipedia, con **tutte le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ```wiki == Derivata della funzione == Si consideri la funzione <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>. Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` b0ggnmwxdyx9g4beywzw0a4pxjednk1 285473 285471 2026-07-29T14:24:38Z Funzioni di correlazione 24136 285473 wikitext text/x-wiki ```wiki == Derivata di <math>\ln(\cot x)</math> == Si vuole calcolare la derivata della funzione <math>y=\ln(\cot x)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` nl0fa07kuymzsyi6h9zx6u3ud30t5z6 285480 285473 2026-07-29T14:56:14Z Funzioni di correlazione 24136 285480 wikitext text/x-wiki ```wiki Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math> Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> === Somma dei risultati === Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>\boxed{f'(x)=\tan^5x}</math> ``` 1o02fzpvwh7kwszmhmoyyvzf30q0rcu 285481 285480 2026-07-29T14:57:31Z Funzioni di correlazione 24136 285481 wikitext text/x-wiki ```wiki Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math> Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> === Somma dei risultati === Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>\{f'(x)=\tan^5x}</math> ``` kx9869vglmak48n80i96tyrzedulwa6 285482 285481 2026-07-29T14:58:34Z Funzioni di correlazione 24136 285482 wikitext text/x-wiki ```wiki Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math> Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> === Somma dei risultati === Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> ``` 6ipdeezsd4eup7znnzrdjoa6iyvuiy6 285483 285482 2026-07-29T14:59:47Z Funzioni di correlazione 24136 285483 wikitext text/x-wiki Calcoliamo la derivata della funzione <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math> Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> === Somma dei risultati === Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> ``` nk8y9pyujlejbenydt6aw3rgbvugymz 285488 285483 2026-07-30T07:07:54Z Funzioni di correlazione 24136 285488 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazione degli algoritmi per la correlazione incrociata== Per esaminare gli effetti del disturbo sui processi di correlazione digitale iniziamo a riscrivere l’algoritmo studiato nelle lezioni precedenti relativo alla correlazione incrociata tra due segnali <math>f1(t) \ e \ f2(t)</math> : l'algoritmo citato, formulato per assenza di disturbi, è riportato nella 1): <math>C(\tau)x 1,2 = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> 1) La crva di <math> C( \tau)x1,2 </math> per i valori di : <math>F1 = 2000 \ Hz </math> <math>F1 = 6000 \ Hz </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] b8q484d1jssfrckmyaj5b9qb7ad9irm 285489 285488 2026-07-30T07:12:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazione degli algoritmi per la correlazione incrociata */ 285489 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>C(\tau)x 1,2 = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> 1) La crva di <math> C( \tau)x1,2 </math> per i valori di : <math>F1 = 2000 \ Hz </math> <math>F2 = 6000 \ Hz </math> DF = F2-F1 = 4000 <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] kc0ca9y2ii6h7r1o2aivxj8xvnpjanw 285490 285489 2026-07-30T07:13:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285490 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> La crva di <math> C( \tau)x1,2 </math> per i valori di : <math>F1 = 2000 \ Hz </math> <math>F2 = 6000 \ Hz </math> DF = F2-F1 = 4000 <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] fgkngn8tzmlwf6cwhvpjjwi3p0zdj3v 285491 285490 2026-07-30T07:15:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285491 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> La crva di <math> y(x)=</math> per i valori di : <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] c94iq6y612t4fifd7zfr72irer0ogb8 285492 285491 2026-07-30T07:18:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285492 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau = variabile indipendente </math> <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] 5msftz2rmhnckuixtyu8q08kj0uezr3 285493 285492 2026-07-30T07:19:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285493 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> = variabile indipendente in microsec.</math> <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] 146ch7lcnqhxksgal26g7zwqk7lqtxb 285494 285493 2026-07-30T07:20:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285494 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> = variabile indipendente in microsec. <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> <math> \tau </math> variabile da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> è tracciata in figura 1: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| figura 1]] 8ivt43ll8hdjtyt165fy8trilbwzrd5 285495 285494 2026-07-30T07:24:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285495 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> = variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ] jmuershfjdzt232meboatrzmlgzn8cw 285496 285495 2026-07-30T07:25:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285496 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 </math> <math>F2 = 6000 </math> <math>DF = F2-F1 = 4000 </math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ] dblvw8l8h5kptze59ym1k8mlkvl8889 285497 285496 2026-07-30T07:27:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285497 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = F2-F1 = 4000 Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ] ikht33k7xt28zs1cuwj3frjvge2r4ca 285498 285497 2026-07-30T07:29:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285498 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = F2-F1 = 4000 Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] jzri90us0h475sw6pbt4pxk3kcshc42 285499 285498 2026-07-30T07:32:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285499 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = F2-F1 = 4000 Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] 130zjzih5vbhe56fn5cnnbzxtmdateo 285500 285499 2026-07-30T07:38:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285500 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = F2-F1 = 4000 Hz</math> <math>Fo = F1 + F2 / 2 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] bzjy0fqxlp1dlbjz6z8fyo9uizirf28 285501 285500 2026-07-30T07:40:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285501 wikitext text/x-wiki ==Rivisitazio== Studio della funzione: <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] 0zbhtpvcc0jcnxrz9u7nnqngwzh2t3i 285502 285501 2026-07-30T07:52:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* Rivisitazio */ 285502 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== Indicando [ \Delta\tau=\tau-\tau^*, ] la funzione può essere riscritta in forma più compatta come [ Y(\tau)=\frac{2}{\pi}\arcsin!\left( \frac{\sin(2\pi DF,\Delta\tau), \cos(2\pi F_o,\Delta\tau)} {2\pi DF,\Delta\tau} \right). ] Definiamo [ u(\tau)= \frac{\sin(2\pi DF,\Delta\tau), \cos(2\pi F_o,\Delta\tau)} {2\pi DF,\Delta\tau}. ] Poiché [ \frac{d}{d\tau}\arcsin(u)= \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, ] si ottiene immediatamente [ \boxed{ \frac{dY}{d\tau} ================ \frac{2}{\pi} , \frac{u'(\tau)} {\sqrt{1-u(\tau)^2}} } ] e rimane da calcolare (u'(\tau)). --- ### Derivata di (u(\tau)) Poniamo [ A=2\pi DF,\qquad B=2\pi F_o. ] Allora [ u(\tau)= \frac{\sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau)} {A\Delta\tau}. ] Applicando la regola del quoziente, [ u'(\tau)= \frac{ A\Delta\tau,\dfrac{d}{d\tau} \left[\sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau)\right] ----------------------------------------------- \sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau),A } {(A\Delta\tau)^2}. ] La derivata del numeratore è [ \frac{d}{d\tau} [\sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau)] ==================================== ## A\cos(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) B\sin(A\Delta\tau)\sin(B\Delta\tau). ] Pertanto [ \boxed{ u'(\tau)= \frac{ A\Delta\tau \left[ A\cos(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) ----------------------------------- B\sin(A\Delta\tau)\sin(B\Delta\tau) \right] ------- A\sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) } {(A\Delta\tau)^2} } ] oppure, raccogliendo (A), [ \boxed{ u'(\tau)= \frac{ \Delta\tau \left[ A\cos(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) ----------------------------------- B\sin(A\Delta\tau)\sin(B\Delta\tau) \right] ------- \sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) } {A(\Delta\tau)^2} }. ] --- ## Derivata finale Sostituendo nella formula iniziale, [ \boxed{ \frac{dY}{d\tau} ================ \frac{2}{\pi} , \frac{ \Delta\tau \left[ A\cos(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) ----------------------------------- B\sin(A\Delta\tau)\sin(B\Delta\tau) \right] ------- \sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau) } { A(\Delta\tau)^2 \sqrt{ 1- \left( \dfrac{\sin(A\Delta\tau)\cos(B\Delta\tau)} {A\Delta\tau} \right)^2 } } } ] dove [ A=2\pi DF,\qquad B=2\pi F_o. ] --- ## Con i valori numerici Poiché * (DF=2000\ \text{Hz}), * (F_o=4000\ \text{Hz}), * (\tau^*=200,\mu s), si ha [ A=4000\pi\ \text{rad/s}, \qquad B=8000\pi\ \text{rad/s}, ] e quindi [ \boxed{ \frac{dY}{d\tau} ================ \frac{2}{\pi} , \frac{ (\tau-200,\mu s) \left[ 4000\pi \cos!\bigl(4000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) \cos!\bigl(8000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) ---------------------------------------- 8000\pi \sin!\bigl(4000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) \sin!\bigl(8000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) \right] ------- \sin!\bigl(4000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) \cos!\bigl(8000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) } { 4000\pi(\tau-200,\mu s)^2 \sqrt{ 1- \left[ \dfrac{ \sin!\bigl(4000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) \cos!\bigl(8000\pi(\tau-200,\mu s)\bigr) } { 4000\pi(\tau-200,\mu s) } \right]^2 } } } ] con (\tau) espresso in **secondi** (ad esempio (200,\mu s=2\times10^{-4},\text{s})). Questa è la derivata analitica completa della funzione. Se il tuo obiettivo è confrontarla con la curva mostrata in figura, posso anche ricavarne una forma più compatta usando le identità trigonometriche (ad esempio (\sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)])), che rende l'espressione più semplice da interpretare e da implementare numericamente. 3zk0prhnv7hzvh5zg1drytj0b929o59 285503 285502 2026-07-30T07:53:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata con IA */ 285503 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== 9v6n9go4tqrikfdcp45th0a5bwa7y1c 285504 285503 2026-07-30T07:54:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285504 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== lboug97mz205obv0njj51fuq064k4ew 285505 285504 2026-07-30T07:54:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzione */ 285505 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== pxn69vwb2ft53kgxicwozm537tgp4ob 285506 285505 2026-07-30T07:54:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285506 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== h9wvem0w49dm4f22hh9h8vajfaye11k 285507 285506 2026-07-30T07:55:14Z Funzioni di correlazione 24136 285507 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== cugke6cwv8s4caguyw6ze5bomjcj9yp 285508 285507 2026-07-30T07:55:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzione */ 285508 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== 6dg5ixx8iaa8afbqsii9ffuh2osnufj 285509 285508 2026-07-30T07:56:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285509 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== 42m4bwuf2yc9pw7vy4bknag7yjvkhdf 285510 285509 2026-07-30T07:56:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285510 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== lnxg57g7qyryft5in0vvx6jtthaepr7 285511 285510 2026-07-30T07:56:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285511 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== s25s9nevqj56ll3j40muqc80509z90j 285512 285511 2026-07-30T07:57:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285512 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== 7sky5bm4wz3hpt7n4bb58mcmti36d55 285513 285512 2026-07-30T08:01:34Z Funzioni di correlazione 24136 285513 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== Di seguito trovi la derivazione completa, scritta in formato **grezzo per Wikipedia**, con tutti i tag `<math>...</math>` già inseriti, pronta per il copia-incolla. --- ```wiki == Derivata della funzione == Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. r9dkk4o6bo5e46pmapv1grkpwrmpn1b 285514 285513 2026-07-30T08:02:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata con IA */ 285514 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|left|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== == Derivata della funzione == Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. 0aqlsmc6ow3gviw5ajfoai8pazlt5ce 285515 285514 2026-07-30T08:03:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285515 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== == Derivata della funzione == Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. l52ayvne0ndobb7m6kr9pgs7w6ngnal 285516 285515 2026-07-30T08:04:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata della funzione */ 285516 wikitext text/x-wiki ==Studio di funzione== ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. 8v8zeqnj6bnekhyv59m3kxj2qnlraho 285517 285516 2026-07-30T08:05:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzione */ 285517 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ===Esposizione della funzione con grafico=== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. jjq93qb5j3ja2wkxgnptorxv0jj45j7 285518 285517 2026-07-30T08:05:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285518 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ===Calcolo della derivata con IA=== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. 75h27uxfgkdod99evbd6n0x6pc53o0q 285519 285518 2026-07-30T08:06:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata con IA */ 285519 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> === Introduzione di una funzione ausiliaria === Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. 1jwirex2v3r5j0uoc8jphu9njamhhfw 285520 285519 2026-07-30T08:08:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* Introduzione di una funzione ausiliaria */ 285520 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. gnob60hf2sk8ztp61tjcce1e1rk1ah5 285521 285520 2026-07-30T08:09:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata finale */ 285521 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ``` Questo testo è già formattato nello stile di Wikipedia, con tutti i tag `<math>...</math>` e con tutti i passaggi della derivazione esplicitati. 7arf6fuad9jzi0rv1o7agn9q9ytpefp 285522 285521 2026-07-30T08:10:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata finale */ 285522 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> \boxed{ \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. cp70do2izw65ogcbcr1kuiqt2y7i5s8 285523 285522 2026-07-30T08:11:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata finale */ 285523 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. nphjrwb9w7pnrsmvbl52fa44yjpjjza 285524 285523 2026-07-30T08:16:49Z Funzioni di correlazione 24136 285524 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo delle coordinate del massimo== Di seguito trovi un testo in formato **grezzo per Wikipedia**, con tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. --- Si consideri la funzione ```text <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> \boxed{\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> \boxed{Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> \boxed{\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. hvo86crz6gdu8gk5wfp5xwzgahp410g 285525 285524 2026-07-30T08:17:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle coordinate del massimo */ 285525 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo delle coordinate del massimo== Si consideri la funzione ```text <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> \boxed{\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> \boxed{Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> \boxed{\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. me1kjiqgwfdnhjlc8l0uxvi5bac8ni9 285526 285525 2026-07-30T08:18:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle coordinate del massimo */ 285526 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo delle coordinate del massimo== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> \boxed{\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> \boxed{Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> \boxed{\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. 0t165ct3b4iwuu8n32cleyztcwkpgpp 285527 285526 2026-07-30T08:20:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle coordinate del massimo */ 285527 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo delle coordinate del massimo== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> \boxed{\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> \boxed{Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. 1nrdwrxoyjg7q152vtcs29zww7whj60 285528 285527 2026-07-30T08:22:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle coordinate del massimo */ 285528 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo delle coordinate del massimo== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. dv6tholtyhch0llkpoum1hjj3amqpon 285529 285528 2026-07-30T08:26:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo delle coordinate del massimo */ 285529 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove ```text <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` ```text <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` ```text <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` ```text <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` ```text <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione ```text <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo ```text <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di ```text <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento ```text <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile ```text <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica ```text <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ```text <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché ```text <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e ```text <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene ```text <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata ```text <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché ```text <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue ```text <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi ```text <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue ```text <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché ```text <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione ```text <math> x=0 </math> ``` equivale a ```text <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è ```text <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è ```text <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni ```text <math> x\neq0 </math> ``` vale ```text <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre ```text <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha ```text <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto ```text <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. m3ykv5rk0gmukq73sa760fxc5p1e2n4 285530 285529 2026-07-30T08:31:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285530 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione <math> x=0 </math> ``` equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> ``` vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. 792wyq43juksj4yck19w29zob7j8vda 285531 285530 2026-07-30T08:31:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285531 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> ``` dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> ``` <math> F_1=2000\;Hz </math> ``` <math> F_2=6000\;Hz </math> ``` <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> ``` <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> ``` <math> \tau^*=200\;\mu s </math> ``` Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> ``` è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> ``` Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> ``` si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> ``` Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> ``` si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> ``` segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> ``` Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> ``` e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> ``` si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> ``` Nel punto ```text <math> x=0 </math> ``` si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> ``` Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> ``` segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> ``` Quindi <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione <math> x=0 </math> ``` equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> ``` Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> ``` Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> ``` vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> ``` e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> ``` si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> ``` per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> ``` Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. nx575y1jbwrdzy4m6mac5jqup78z41l 285532 285531 2026-07-30T08:35:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285532 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in termini generali) Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> Nel punto <math> x=0 </math> si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> Quindi <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione <math> x=0 </math> equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. iq61moq73ehrcfay5jsn78znpz2jtfq 285533 285532 2026-07-30T08:38:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285533 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in termini generali secondo la teoria dei massimi e minimi) Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> ``` Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> Nel punto <math> x=0 </math> si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> Quindi <math> g(0)=1. </math> ``` Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> ``` Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> ``` la condizione <math> x=0 </math> equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> ``` Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. au5vofymfgvdaraippuegms1pdhcfbt 285534 285533 2026-07-30T08:48:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285534 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in termini generali secondo la teoria dei massimi e minimi) Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } </math> Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> Nel punto <math> x=0 </math> si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> Quindi <math> g(0)=1. </math> Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> la condizione <math> x=0 </math> equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. ekj8q5gpb5huzhxq36j8e60hyc0o3ec 285535 285534 2026-07-30T09:31:42Z Funzioni di correlazione 24136 285535 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== <br> <math>Y = (2 / \pi ) \arcsin \left \{ \frac { \sin \ [ 2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] \cdot \cos \ [2 \cdot \pi \cdot Fo \cdot ( \tau - \tau * ) ] } { [2 \cdot \pi \cdot DF \cdot ( \tau - \tau * ) ] } \right \} \ \ \ </math> Dove: <math>\tau =</math> variabile indipendente da <math>0 \ a \ 1000 \ \mu s </math> <math>F1 = 2000 Hz</math> <math>F2 = 6000 Hz</math> <math>DF = (F2-F1)/2 = 2000 Hz</math> <math>Fo = (F1 + F2 )/ 2 = 4000 )Hz</math> <math> \tau * = 200 \ \mu s </math> La curva di <math> y = f (\tau </math> è tracciata in figura: [[File:sndigdtcx1.jpg|thumb|center|400px| ]] ==Calcolo della derivata con IA== Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right] </math> dove <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> e la variabile indipendente è <math> 0\le \tau \le1000\;\mu s. </math> == Introduzione di una funzione ausiliaria == Si definisce <math> x=\tau-\tau^* </math> e <math> u(x)= \frac{ \sin(2\pi DF x) \cos(2\pi Fo x) } { 2\pi DF x }. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin(u(x)). </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}, </math> segue <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^* </math> si ha <math> \frac{dx}{d\tau}=1, </math> quindi <math> \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u(x)^2}}. </math> == Calcolo della derivata di <math>u(x)</math> == Scriviamo <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)} </math> con <math> N(x)= \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) </math> e <math> D(x)=2\pi DFx. </math> La derivata del denominatore è <math> D'(x)=2\pi DF. </math> === Derivata del numeratore === Applicando la regola del prodotto, <math> N'(x)= \frac{d}{dx} \left[ \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right]. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx} \sin(2\pi DFx) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx), </math> e <math> \frac{d}{dx} \cos(2\pi Fox) = -2\pi Fo \sin(2\pi Fox), </math> si ottiene <math> N'(x) = 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox). </math> === Regola del quoziente === Applicando <math> \left(\frac{N}{D}\right)' = \frac{N'D-ND'}{D^2}, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] (2\pi DFx) - (2\pi DF) \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> 2\pi DF, </math> si ottiene <math> u'(x)= \frac{ (2\pi DF) \left\{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) \right\} } { (2\pi DFx)^2 }. </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi DF, </math> segue <math> u'(x)= \frac{ x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) - 2\pi Fo \sin(2\pi DFx) \sin(2\pi Fox) \right] - \sin(2\pi DFx) \cos(2\pi Fox) } { 2\pi DF\,x^2 }. </math> == Derivata finale == Sostituendo nella derivata della funzione principale, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ u'(\tau-\tau^*) } { \sqrt{ 1- u(\tau-\tau^*)^2 } } } </math> dove <math> u(\tau-\tau^*) = \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) }. </math> Esplicitando completamente, <math> { \frac{dY}{d\tau} = \frac{2}{\pi} \, \frac{ \displaystyle \frac{ (\tau-\tau^*) \left[ 2\pi DF \cos\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) - 2\pi Fo \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \sin\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) \right] - \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*)^2 } } { \sqrt{ 1- \left[ \frac{ \sin\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]^2 } } } </math> Questa è la derivata analitica completa della funzione rispetto alla variabile <math>\tau</math>. ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in termini generali secondo la teoria dei massimi e minimi) Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left\{ \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right\} </math> dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s </math> Per determinare l'ascissa del massimo si osserva che la funzione <math> \arcsin(x) </math> è strettamente crescente nell'intervallo <math> -1\le x\le 1. </math> Pertanto il massimo di <math> Y(\tau) </math> si ottiene nello stesso punto in cui è massimo il suo argomento <math> g(\tau)= \frac{ \sin\!\left[2\pi DF(\tau-\tau^*)\right] \cos\!\left[2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right] }{ 2\pi DF(\tau-\tau^*) } </math> Introducendo la variabile <math> x=\tau-\tau^* </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi DF\,x)\, \cos(2\pi Fo\,x) }{ 2\pi DF\,x }. </math> Applicando l'identità trigonometrica <math> \sin A\cos B= \frac12 \left[ \sin(A+B)+ \sin(A-B) \right] </math> segue ` <math> g(x)= \frac{ \sin\!\left[2\pi(Fo+DF)x\right] +\sin\!\left[2\pi(DF-Fo)x\right] }{ 4\pi DF\,x }. </math> Poiché <math> Fo+DF=6000\;Hz </math> e <math> DF-Fo=-2000\;Hz, </math> si ottiene <math> g(x)= \frac{ \sin(2\pi\cdot6000\,x) - \sin(2\pi\cdot2000\,x) }{ 4\pi\cdot2000\,x }. </math> Nel punto <math> x=0 </math> si presenta la forma indeterminata <math> \frac00. </math> Si calcola quindi il limite. Poiché <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}=a, </math> segue <math> \lim_{x\to0}g(x) = \frac{ 2\pi\cdot6000- 2\pi\cdot2000 }{ 4\pi\cdot2000 } = 1. </math> Quindi <math> g(0)=1. </math> Ne consegue <math> Y_{max} = \frac2\pi\arcsin(1) = \frac2\pi\cdot\frac\pi2 = 1. </math> Poiché <math> x=\tau-\tau^*, </math> la condizione <math> x=0 </math> equivale a <math> \tau=\tau^*=200\;\mu s. </math> Pertanto l'ascissa del massimo è <math> {\tau_{max}=200\;\mu s.} </math> Il valore massimo della funzione è <math> {Y_{max}=1.} </math> Poiché per ogni <math> x\neq0 </math> vale <math> \left| \frac{\sin(2\pi DF\,x)}{2\pi DF\,x} \right|<1 </math> e inoltre <math> |\cos(2\pi Fo\,x)|\le1, </math> si ha <math> g(x)<1 \qquad \forall x\neq0, </math> per cui il massimo assoluto della funzione è unico ed è raggiunto nel punto <math> {\tau=200\;\mu s.} </math> Questo risultato coincide con il picco centrale mostrato nella figura della funzione. == Calcolo massi e minimi co derivate = 0== Di seguito trovi un testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>`. Il calcolo è svolto fino all'equazione degli zeri della derivata. Va però precisato un punto matematico importante: * la derivata della funzione contiene sia funzioni trigonometriche sia il termine `<math>\arcsin</math>`; * l'equazione `<math>\frac{dy}{d\tau}=0</math>` **non è risolvibile in forma chiusa**; * gli zeri della derivata (e quindi le ascisse dei massimi e minimi) si ottengono **numericamente**. Ecco il testo. ```wiki == Calcolo dell'ascissa del massimo mediante gli zeri della derivata == Si consideri la funzione <math> Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ \frac{ \sin\!\left(2\pi DF(\tau-\tau^*)\right) \cos\!\left(2\pi Fo(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi DF(\tau-\tau^*) } \right]. </math> dove <math> 0\le \tau \le 1000\;\mu s </math> e <math> F_1=2000\;Hz </math> <math> F_2=6000\;Hz </math> <math> DF=\frac{F_2-F_1}{2}=2000\;Hz </math> <math> Fo=\frac{F_1+F_2}{2}=4000\;Hz </math> <math> \tau^*=200\;\mu s. </math> Per semplicità si introduce la variabile <math> x=\tau-\tau^*. </math> La funzione diventa <math> Y(x)= \frac{2}{\pi} \arcsin \left[ u(x) \right] </math> con <math> u(x)= \frac {\sin(2\pi DF\,x)\cos(2\pi Fo\,x)} {2\pi DF\,x}. </math> Poiché <math> \frac{d}{dx}\arcsin(u)= \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u^2(x)}}, </math> si ottiene <math> \frac{dY}{dx} = \frac{2}{\pi} \frac{u'(x)} {\sqrt{1-u^2(x)}}. </math> Gli zeri della derivata sono quindi determinati da <math> u'(x)=0. </math> Si pone <math> N(x)= \sin(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) </math> e <math> D(x)=2\pi DF\,x. </math> Poiché <math> u(x)=\frac{N(x)}{D(x)}, </math> la derivata del rapporto è <math> u'(x)= \frac {N'(x)D(x)-N(x)D'(x)} {D^2(x)}. </math> Poiché <math> D'(x)=2\pi DF, </math> rimane da calcolare <math> N'(x). </math> Applicando la regola del prodotto <math> N'(x)= 2\pi DF \cos(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) - 2\pi Fo \sin(2\pi DF\,x) \sin(2\pi Fo\,x). </math> Pertanto <math> u'(x)= \frac { \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) - 2\pi Fo \sin(2\pi DF\,x) \sin(2\pi Fo\,x) \right] (2\pi DF\,x) - (2\pi DF) \sin(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) } { (2\pi DF\,x)^2 }. </math> Gli zeri della derivata soddisfano quindi <math> \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) - 2\pi Fo \sin(2\pi DF\,x) \sin(2\pi Fo\,x) \right] (2\pi DF\,x) - (2\pi DF) \sin(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) =0. </math> Dividendo entrambi i membri per <math>2\pi DF</math> si ottiene <math> x \left[ 2\pi DF \cos(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) - 2\pi Fo \sin(2\pi DF\,x) \sin(2\pi Fo\,x) \right] - \sin(2\pi DF\,x) \cos(2\pi Fo\,x) =0. </math> Sostituendo <math> DF=2000\;Hz </math> e <math> Fo=4000\;Hz </math> segue <math> x \left[ 4000\pi \cos(4000\pi x) \cos(8000\pi x) - 8000\pi \sin(4000\pi x) \sin(8000\pi x) \right] - \sin(4000\pi x) \cos(8000\pi x) =0. </math> Infine <math> \tau=x+\tau^*=x+200\;\mu s. </math> L'equazione trascendente precedente non ammette soluzione analitica in forma chiusa; le ascisse dei massimi e dei minimi della funzione si determinano mediante risoluzione numerica degli zeri della derivata. ``` Questo è il percorso matematico completo fino all'equazione degli zeri della derivata, pronto per essere copiato in una pagina Wikipedia. kj2vpon7xxyxv7ikod3xyn0hce4m5a1 0 37636 285472 285470 2026-07-29T14:11:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13^ f(x)= */ 285472 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` == 14^ <math>f(x)= </math>== == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 0jl4vabio93mar0s90a3d1mzab1s1nf 285474 285472 2026-07-29T14:29:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14^ f(x)= */ 285474 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` == 14^ <math>y=\ln(\cot x)<math>== Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 66de6m4jzjhvmsfbd63rx6sxbrqbb4s 285475 285474 2026-07-29T14:35:43Z Funzioni di correlazione 24136 285475 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` == 14^ <math> y=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== rwy63mlab7zcm6spfw6mis234xgsvjx 285476 285475 2026-07-29T14:36:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285476 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` == 14^ <math> y=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 0gxnx425mts26jrw5o234raxuh1or8b 285477 285476 2026-07-29T14:37:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14^ y=\ln(\cot x) */ 285477 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. ``` == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== jgi5u2a68yaf5ki973jst4dkamwbl6b 285478 285477 2026-07-29T14:39:15Z Funzioni di correlazione 24136 285478 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 8er8l6i26vkxebhloxl53lbo674dt6s 285479 285478 2026-07-29T14:44:54Z Funzioni di correlazione 24136 285479 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)= </math>== == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== ms2thfoc72447wbfgrl9quoctbczzmu 285484 285479 2026-07-29T15:03:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15^ f(x)= */ 285484 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== b7wbw3q4dmdkr67b9o4x6juvixeo795 285485 285484 2026-07-29T15:04:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata del terzo termine */ 285485 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> ``` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 1bunw1whj9sv1a5551y6g5t7xfz5krm 285486 285485 2026-07-29T15:06:08Z Funzioni di correlazione 24136 285486 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 50% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== na140yrutbmnzkq9vftm9rkapj94p40 285487 285486 2026-07-29T15:07:23Z Funzioni di correlazione 24136 285487 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)= </math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 65cqm90yls2cpv5r939fnne0pe8tsu6