Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 19622 285613 266864 2026-07-31T11:38:38Z Avemundi 2081 Ortografia 285613 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Contorni (Cucina e alimentazione)|avanzamento=100%}} [[File:YellowOnions.jpg|miniatura|sinistra|Alcune cipolle gialle]] Le '''Cipolline in Agrodolce''' sono un piatto a base di cipolline. == Informazioni generali == === Allium cepa === [[File:Allium cepa 004.JPG|miniatura|destra|Pianta intera di ''Allium cepa'']] [[File:Onion flower.jpg|miniatura|destra|Infiorescenza di ''Allium cepa'']] La '''Cipolla''' ('''''Allium Cepa''''' Linneo - L.) è una pianta bulbosa tradizionalmente attribuita alla famiglia delle Liliaceae, secondo schemi tassonomici più recenti da inserire tra le Amaryllidaceae. È una pianta erbacea biennale il cui ciclo di vita, in coltivazione, viene interrotto a un anno al fine di destinarla al consumo. Ha radici superficiali, con foglie che si ingrossano nella porzione basale dando la parte commestibile. Forma un lungo stelo fiorale che porta un'infiorescenza a ombrella con fiori di colore bianco-giallastro. Il frutto è una capsula. Il suo utilizzo principale è quello di alimento e condimento, ma è anche adoperata a scopo terapeutico per le proprietà attribuitele dalla scienza e dalle tradizioni della medicina popolare. ==== Storia ==== Sembra che i bulbi di cipolla e di altre piante della famiglia siano stati usati come cibo già nell'antichità. Negli insediamenti cananei dell'età del bronzo, accanto a semi di fico e noccioli di dattero risalenti al 5000 a.C., sono stati ritrovati resti di cipolle, ma non è chiaro se esse fossero effettivamente coltivate a quell'epoca. Le testimonianze archeologiche e letterarie suggeriscono che la coltivazione potrebbe aver avuto inizio circa duemila anni dopo, in Egitto, insieme all'aglio e al porro. Sembra che le cipolle e i ravanelli facessero parte della dieta degli operai che costruirono le piramidi. La cipolla si propaga, si trasporta e si immagazzina facilmente. Gli antichi egizi ne fecero oggetto di culto, associando la sua forma sferica e i suoi anelli concentrici alla vita eterna. L'uso delle cipolle nelle sepolture è dimostrato dai resti di bulbi rinvenuti nelle orbite di Ramesse II. Gli egizi credevano che il forte aroma delle cipolle potesse ridonare il respiro ai morti. Nell'antica Grecia gli atleti mangiavano cipolle in grandi quantità, poiché si credeva che esse alleggerissero il sangue. I gladiatori romani si strofinavano il corpo con cipolle per rassodare i muscoli. Nel medioevo le cipolle avevano grande importanza come cibo, tanto che erano usate per pagare gli affitti e come doni. I medici prescrivevano le cipolle per alleviare il mal di capo, per curare i morsi di serpente e la perdita dei capelli. La cipolla fu introdotta in America da Cristoforo Colombo nel suo viaggio del 1493 a Haiti. Nel XVI secolo le cipolle erano inoltre prescritte come cura per l'infertilità, non solo nelle donne, ma anche negli animali domestici. ==== Caratteristiche chimiche ==== Le cipolle sono ricche di vitamine e sali minerali. Il caratteristico odore dei bulbi tagliati è dovuto all'abbondanza di solfossidi, in primis il trans-tiopropanal-S-ossido. Affettare le cipolle fa lacrimare gli occhi perché dei precursori presenti nel citoplasma, gli alchil o alchenil cisteina solfossidi (ACSO), dopo il taglio si combinano con la allinasi, un enzima che viene rilasciato dal vacuolo; la combinazione di questi elementi produce acidi solfenici, piruvato, e ammoniaca. L'acido sulfenico, se attaccato da un secondo enzima detto Fattore-lacrimogeno-sintasi produce sin-propanethial-S-ossido, una molecola volatile e idrosolubile, che è appunto il fattore lacrimogeno poiché, quando entra in contatto con l'umore acquoso presente sul bulbo oculare, si trasforma in acido solforico. Il contatto con l'acido solforico provoca una immediata reazione di difesa da parte dell'occhio, consistente nella produzione di lacrime; tuttavia la maggiore quantità di secreto acquoso sull'occhio non fa che trasformare una maggior quantità di propilenossido in acido solforico, in una reazione a catena. È proprio per ridurre la quantità di fattore lacrimogeno liberato che una delle soluzioni adottate per tagliare le cipolle senza lacrimare consiste nel farlo sotto l'acqua corrente: il composto è molto idrosolubile per cui se ne diminuisce la volatilità. ==== Varietà ==== [[File:Onions3.JPG|thumb|upright=1.4|Tre differenti varietà di cipolle]] Esistono molte varietà di cipolle, che prendono in genere il nome dalla zona di coltivazione, dalla forma, dal colore, dalle dimensioni del bulbo, dalla precocità o, più in generale, dal colore delle tuniche esterne (cioè la buccia che ricopre il globo interno). Tale buccia può essere bianca, giallo-dorata o rossa. ===== Varietà comuni in Italia ===== * cipolla rossa di Tropea, Calabria * cipolla rossa di Acquaviva delle Fonti, Puglia * cipolla rossa di Suasa, Marche * cipolla rossa di Certaldo, Toscana * cipolla ramata di Montoro, Campania * cipolla di Vatolla, Campania * cipolla di Sermide, Lombardia * cipolla borettana, Emilia-Romagna * cipolla di Brunate: piccola, bianca, ottima per la preparazione di sottaceti (zona del [[Lago di Como]]). * cipolla di Cannara, Umbria * cipolla dolce * cipolla di Banari, Sardegna * cipolla rossa di Cavasso Nuovo, Friuli-Venezia Giulia ==== Coltivazione ==== [[File:Starr 070313-5655 Allium cepa.jpg|thumb|upright=1.4|Coltivazione di cipolle]] Le cipolle vengono coltivate per i loro fusti verdi, detti scaglioni, e per i loro bulbi. Hanno bisogno di un terreno ricco e umido ma mai troppo inzuppato di acqua. Diversi tipi di cipolla richiedono diverse condizioni climatiche e diverse ore di sole ogni giorno. La coltivazione da seme avviene piantando i semi direttamente nel terreno a 1&nbsp;cm di profondità, lasciando circa 10&nbsp;cm di spazio da pianta a pianta. Una volta avvenuta la semina bisogna attendere dai 90 ai 120 giorni prima del raccolto. Nei climi miti la cipolla può essere coltivata anche in inverno, altrimenti la cipolla è una pianta tipicamente primaverile. ===== Avvicendamento ===== La cipolla è considerata una coltura da rinnovo che apre la rotazione. Essendo molto sensibile al fenomeno della stanchezza del terreno è indispensabile attuare una rotazione almeno triennale, facendola seguire a cereali, colture prative, carota, radicchio o insalata. Se si sono verificati problemi di malattie fungine (fusariosi in particolare) o nematodi, sarebbe opportuno non far ritornare la cipolla sullo stesso terreno prima di 7-8 anni. Per evitare cali di produzione e peggioramenti qualitativi è consigliabile evitare di farla seguire a cavolo, patata o barbabietola da zucchero in quanto caratterizzate da problemi fitosanitari simili a quelli della cipolla. ===== Preparazione del terreno ===== La corretta preparazione del terreno è un'operazione molto importante per la cipolla, in quanto si devono evitare condizioni che favoriscano ristagni idrici con conseguente sviluppo di marciumi dei bulbi. Tale fenomeno è grave in particolare nei terreni argillosi, nei quali un cattivo sgrondo delle acque favorisce gli attacchi da parte di ''Fusarium'' spp. In genere viene eseguita un'aratura a 30–40&nbsp;cm di profondità, con eventuale interramento di residui colturali. L'aratura può essere anche più superficiale se abbinata a una ripuntatura a 50–60&nbsp;cm; a questo scopo l'aratro ripuntatore garantisce una buona preparazione del terreno con un risparmio di tempo e di combustibile. L'interramento di letame deve evvenire solo se questo è ben maturo, per evitare di favorire lo sviluppo di malattie fungine. Successivamente viene effettuato l'amminutamento del terreno con fresatura o erpicatura a inizio agosto per le colture a ciclo estivo-autunnale o a fine inverno per le colture a ciclo primaverile-estivo. Le lavorazioni di affinamento sono particolarmente importanti se la coltura è seminata, mentre se si impiegano bulbi o se si effettua il trapianto è tollerabile una certa zollosità. Prima della semina può essere utile una rullatura per livellare il terreno, ripetuta dopo la semina stessa. Per piccole superfici è sufficiente una vangatura manuale o una zappettatura con interramento di letame ben maturo o compost in ragione di 20–30&nbsp;kg per 10&nbsp;m². Anche in questo caso è opportuno non eccedere con l'apporto di sostanza organica, ricordando che la cipolla si avvantaggia degli apporti organici effettuati alla coltura precedente. ===== Impianto ===== L'epoca di impianto dipende dalla destinazione d'uso del prodotto. Per le cipolle da consumo fresco la semina va da metà agosto a metà settembre oppure a febbraio; il trapianto viene invece eseguito da settembre a dicembre. Le cipolle da serbo sono seminate da gennaio ad aprile con raccolta estivo-autunnale, mentre le cipolline sono seminate direttamente in campo da febbraio ad aprile. Per gli orti famigliari, nei quali la produzione più frequente sono i bulbi da ingrossare, l'impianto avviene da fine inverno a inizio primavera. Le modalità di impianto della cipolla possono essere distinte in: * semina diretta * trapianto di piantine * messa a dimora di bulbi Generalmente su grandi superfici viene preferita la semina diretta, mentre per piccole estensioni e orti famigliari si preferisce il trapianto o l'impianto di bulbi. La semina è d'obbligo per le cipolline da industria data l'elevata densità d'impianto. ====== Semina ====== La semina della cipolla viene effettuata con seminatrici pneumatiche di precisione, impiegando seme nudo oppure avvolto con un rivestimento (seme confettato) che garantisce una miglior uniformità e precisione di semina. Un'ulteriore alternativa è l'utilizzo di seme posto su nastri di materiale biodegradabile, che si decompone a contatto con il terreno. Questo sistema permette un risparmio di semente e una riduzione delle successive operazioni di diradamento. Per valutare la distanza di semina opportuna è necessario considerare la destinazione finale del prodotto. Per le cipolle a bulbo grande le file devono essere distanti 15–20&nbsp;cm, mentre per le cipolle a bulbo piccolo sono sufficienti 10&nbsp;cm; tale distanza può scendere a 5–10&nbsp;cm per le cipolline da sottaceti, per le quali la semina può essere effettuata anche a spaglio. La distanza tra i semi sulla fila varia da 2–3&nbsp;cm per la cipolline a 15&nbsp;cm per le cipolle con bulbo più grande. La quantità di seme impiegato varierà quindi da 5–6&nbsp;kg per le cultivar a bulbo più grosso fino a 60–100&nbsp;kg per le cipolline. Il seme va posto a una profondità di 2–3&nbsp;cm, eseguendo una rullatura per permettere al terreno di aderire adeguatamente al seme. ====== Trapianto ====== Il trapianto viene effettuato a mano per piccole superfici o a macchina. Vengono impiegate piantine allevate in contenitore, ricordando che occorrono 40-80 giorni (a seconda delle condizioni ambientali) per ottenere piantine di 3-5 foglie pronte per il trapianto. Tali piantine vengono interrate per 4–5&nbsp;cm, con eventuale spuntatura delle radici; la spuntatura delle foglie provoca invece effetti negativi sulla produzione. Prima del trapianto le piantine possono essere immerse per 12 ore in una soluzione contenente 20&nbsp;ppm di acido indolacetico o naftalenacetico, al fine di provocare il precoce ingrossamento del bulbo. ====== Messa a dimora di bulbi ====== Se si opta per la messa a dimora dei bulbi o dei bulbilli formatisi sull'infiorescenza, si ottiene un accorciamento del ciclo colturale di circa 20 giorni e una forma più perfetta dei bulbi. È importante rispettare l'esatta posizione nel disporre i bulbi sul terreno in particolare per quelle di pezzatura grossa; rispetto alla posizione idonea (con il girello che poggia sul terreno) si riscontrano perdite di produzione dal 25% (se disposti orizzontalmente) fino all'80% (se disposti capovolti). I bulbi possono essere impiegati per l'impianto di cipolle da consumarsi fresche. Vengono interrati a inizio autunno in file distanti 35–40&nbsp;cm e a circa 15&nbsp;cm sulle file. Dopo 60-120 giorni si effettua la raccolta; le cipolle fresche ottenute con questa tecnica sono distinguibili da quelle provenienti da seme in quanto non hanno sezione circolare, bensì una forma schiacciata nella parte in cui sono a contatto con altri cipollotti. ===== Concimazione ===== Una corretta dotazione di elementi nutritivi nel terreno favorisce non solo la produttività ma anche la qualità e la conservabilità del prodotto. In genere la concimazione organica è sconsigliata perché può pregiudicare la conservabilità dei bulbi e favorire attacchi da parte di nematodi e patogeni fungini. Per le coltivazioni familiari e a livello hobbistico è opportuno che il letame o il compost apportati siano ben maturi. A livello professionale la concimazione organica fa fatta sulla coltura che precede la cipolla nella rotazione, apportando 40-50&nbsp;t/hm² di letame. I maggiori fabbisogni di azoto si hanno nel periodo che va dalla germinazione del seme alla bulbificazione. I fabbisogni per una produzione media di 30&nbsp;t/hm² si aggirano sui 100–150&nbsp;kg/hm² di azoto, che viene distribuito in parte prima del trapianto e in parte in copertura. Anche se la somministrazione di azoto provoca notevoli incrementi di produzione, apporti tardivi compromettono la conservabilità dei bulbi. Una carenza di azoto causa riduzione della taglia delle piante, foglie di consistenza rigida e di colore verde chiaro con apici gialli. L'azoto va distribuito in parte in presemina e parte in copertura con 2-3 interventi da 30–50&nbsp;kg/hm², il primo dei quali quando la pianta ha raggiunto un'altezza di 4–5&nbsp;cm. Le richieste di fosforo e di potassio sono maggiori nei 20 giorni che precedono la raccolta. La concimazione fosfopotassica viene effettuata prima del trapianto dei bulbi con 150–200&nbsp;kg/hm² di fosforo e 100-150 di potassio. Tali concimi vanno distribuiti in parte alla preparazione del terreno e in parte in presemina insieme all'azoto. Sono da prediligere concimi contenenti calcio come il nitrato di calcio e contenenti zolfo come il solfato di potassio e il perfosfato minerale semplice. La presenza di un'elevata quantità di zolfo nel terreno contribuisce ad aumentare le sostanze che conferiscono il classico sapore di cipolla e che sono responsabili del potere lacrimatorio. ===== Irrigazione ===== Il ridotto sviluppo dell'apparato radicale rende la cipolla molto sensibile agli stress idrici. Data l'elevata suscettibilità ai marciumi radicali, però, gli apporti idrici devono essere frequenti e di limitata entità. Durante le prime settimane di sviluppo sono consigliate irrigazioni di 100–200&nbsp;m³/hm², per poi passare a 300–400&nbsp;m³/hm² durante la fase di ingrossamento del bulbo. In totale, per l'intero ciclo vegetativo sono necessari 800–2500&nbsp;m³/hm² di acqua, a seconda dell'ambiente e del clima. In genere gli apporti idrici vengono effettuati per aspersione, sospendendoli 25-30 giorni prima della raccolta oppure quando il 20-25% dell'apparato fogliare si è adagiato spontaneamente sul terreno. Ulteriori apporti infatti, potrebbero danneggiare la conservabilità dei bulbi. ==== Impiego in cucina ==== [[File:Cooked onions in frying pan.JPG|thumb|upright=1.4|Cottura della cipolla]] La cipolla è uno degli aromi più usati nella cucina di tutti i paesi. Il suo gusto particolare dà alle preparazioni quel sapore che esalta gli altri ingredienti usati nei vari piatti della cucina nazionale e internazionale. Sarebbe molto lungo elencare tutte le preparazioni che ne fanno uso, ma si possono ricordare, a titolo di esempio, la peperonata, la frittata di cipolle e fra i piatti internazionali la ''soupe à l'oignon'' (la francese zuppa di cipolle). Molto diffusa, soprattutto negli Stati Uniti d'America, è la cipolla fritta (''onion rings'', nella cucina americana), in cui la cipolla viene sottoposta a frittura dopo essere stata immersa in pastella. Solitamente le cipolle sono tagliate a rondelle formando dei cerchi che gli conferiscono il nome comune, in inglese, di ''onion rings'' (anelli di cipolla). Essi sono spesso e volentieri serviti nei ''fast food'' in vaschette di carta, come delle comuni patatine fritte. Una preparazione tipica della cucina palermitana, in cui la cipolla interviene come condimento, è la pizza detta sfincione. Cruda, la cipolla viene usata nelle insalate, specie con il pomodoro o i fagioli, ed è molto usata soprattutto in estate. È uno dei 3 odori principali, insieme a sedano e carota, usati per il brodo di verdure. In Catalogna è uso gustare i germogli di cipolla nella calzotata. ==== Impiego terapeutico ==== Anche nel campo della medicina la cipolla riveste la sua importanza per le sue proprietà diuretiche. È inoltre utilizzata come principio attivo di alcune creme cicatrizzanti; è in grado di diminuire notevolmente lo spessore delle cicatrici provocate dalle smagliature. La cipolla contiene composti solforati (doti antibiotiche) e cromo, che contribuiscono a contenere la glicemia e i livelli ematici di colesterolo e trigliceridi, a prevenire l'aterosclerosi e le malattie cardiache. Contiene inoltre numerosi flavonoidi, tra cui la quercetina, che sembrano avere effetti anticancerogeni, e composti dotati di proprietà antinfiammatorie. == Ricetta == === Ingredienti === * Cipolline Borrettane. * Aceto. * Chicchi di pepe. * Ginepro. * Olio estravergine di oliva. === Preparazione === Lavare e togliere la pellicola delle cipolline Borrettane — piatte e piccole, mettere a bollire una parte di aceto con due parti di acqua, portare a ebollizione le cipolline per 5 minuti, poi mettere le cipolline su un canovaccio ad asciugare. Munirsi di barattolini con chiusura ermetica, mettere le cipolline all'interno con l'aggiunta di chicchi di pepe, ginepro, olio extravergine di oliva fino a coprire e chiudere. Sono pronte dopo un mese. === Consigli === Le cipolline in agrodolce possono servire da contorno a carni lessate, anche insieme a maionese e sottaceti vari. == Video Ricetta == '''Di seguito si fornisce il link ad una Video Ricetta presente su YouTube inerente alla Ricetta oggetto di Lezione:''' * {{YouTube|autore = GialloZafferano|CAJXvVTXtwQ|accesso = 10 luglio 2016|lingua=Italiano|titolo = Cipolline in Agrodolce, la ricetta di Giallozafferano}} iianqsqh2i608g1jvhtesxu2otyl92f 3 21026 285581 285430 2026-07-30T19:48:20Z MediaWiki message delivery 10486 /* This Month in Education: July 2026 */ nuova sezione 285581 wikitext text/x-wiki <!-- {{Wikipausa corta}} --> {{Titolo errato|Vuoi fare una pausa?}} {{Torna su}} <div class="plainlinks radius" style="border: solid 2px blue; padding: 10px;"> <div style="display: table; width: 100%;"> <!-- ## SFONDO INTRODUZIONE ## --><div align="center"><div style="width: 97%; margin-top: -10px; margin-bottom: 4px; border: 0; padding: 5px 15px; -moz-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); box-shadow: 0 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.35); -webkit-border-radius: 7px; border-radius: 7px; background: white; background: #fff; background: -webkit-gradient(linear, left top, left bottom, color-stop(75%,#fff), color-stop(100%,#F5F5F5)); background: -webkit-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -o-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: -ms-linear-gradient(top, #fff 75%,#F5F5F5 100%); background: linear-gradient(top, #fff 75%,#fff 100%);"><!-- ### INTRODUZIONE ### --><div class="it-collapsible it-collapsed"><div class="it-collapsible-toggle" style="padding: 5px; border: none; float: none;"><span style="font-family: Calibri, Georgia, Times, Times New Roman, Serif; font-size: 24px;">'''<span style="color: #000000; font-family: Mistral; font-size: 32px">Benvenuto</span>&nbsp;&nbsp; [[Utente:{{BASEPAGENAME}}|<span style="color: orange; font-family: Mistral; font-size: 24px">{{BASEPAGENAME}}]]</span>!</div> <div class="it-collapsible-content" style="padding: 10px; border: none;"> <span style="text-shadow: navy 0.1em 0.1em 0.8em; class=texhtml; font-family: Calibri, Georgia, Times, Times New Roman, Serif; font-size: 24px;"><span style="color: darkblue">''Con il tuo entusiasmo e la tua esperienza puoi far crescere Wikiversità.''</span></div></div></div></div><!-- ## GUIDA SINTETICA ## --> {| align="center" width="97%" cellspacing="8" |- | width="49%" style="box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; margin-bottom:8px; padding:1em; background-color:#fff8dc; border-radius:15px; min-height:90px;" | <!-- #### 1 #### sinistra -->[[File:Usuário Estilizado.png|40px|left|link=]] <big>'''Sei appena arrivato?'''</big><br /> '''[[Aiuto:Introduzione|Accoglienza dei nuovi arrivati]]''' | width="49%" style="margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#f5f4ab; border-radius:15px; min-height:90px;" |<!-- #### 2 #### destra -->[[File:Nuvola apps kmessedwords.png|40px|left|link=]] <div class="pulsantep pulsantep15 mw-customtoggle-myDivision4" style="margin-bottom: 13px;">[[##|Cosa vuol dire…?]]</div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-myDivision4"> '''[[Aiuto:Modifica|Modifica]]'''<br /> '''[[Aiuto:Pagina di discussione|Discussione]]'''<br /> '''[[Aiuto:Uso della firma|Uso della firma]]'''</div> |- | width="49%" style="margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#B0FFA0; border-radius:15px; min-height:90px;" | <!-- #### 3 #### sinistra -->[[File:Text-x-generic-highlight-yellow-pen.png|40px|left|link=]] <div class="pulsantep pulsantep23 mw-customtoggle-myDivision2" style="margin-bottom: 13px;">[[##|Vuoi contribuire?]]</div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-myDivision2"> '''[[Aiuto:Tutorial|Come iniziare una voce]]'''<br /> '''[[Aiuto:Lezione|Modello di voce]]'''</div> | width="49%" style="margin-bottom:8px; box-shadow: inset 0 0 10px #FBEAEA; padding: 1em; background-color:#fcbeeb; border-radius:15px;min-height:90px;" | <!-- #### 4 #### destra -->[[File:Postscript-viewer.svg|40px|left|link=]] <div class="pulsantep pulsantep9 mw-customtoggle-myDivision5" style="margin-bottom: 13px;">[[##|Vuoi approfondire?]]</div> <div class="mw-collapsible mw-collapsed" id="mw-customcollapsible-myDivision5"> '''[[Aiuto:Fonti|Cita le fonti]]'''<br /> '''[[Wikiversità:Punto di vista neutrale|Punto di vista neutrale]]'''<br /> '''[[Wikiversità:Wikiversità#Significativit.C3.A0|Copyright e Significatività]]'''</div> |- | width="49%" style="margin-bottom:8px; 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Puoi occupartene tu? --[[Utente:Ethn23|Ethn23]] ([[Discussioni utente:Ethn23|Discussione]]) 19:14, 24 mar 2025 (CET) :@[[Utente:Ethn23|Ethn23]] {{fatto}} Grazie per la segnalazione e scusa il ritardo [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 22:47, 22 mag 2025 (CEST) ::Buon wikilavoro anche a voi --[[Utente:Ethn23|Ethn23]] ([[Discussioni utente:Ethn23|Discussione]]) 07:46, 23 mag 2025 (CEST) == Bentornato == Non ti ho mai visto quindi probabilmente (anzi sicuramente) non mi conosci, però bentornato in questa comunità :-) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 14:20, 22 mag 2025 (CEST) :{{Ping|Smatteo499}} Ciao, grazie e piacere! Mi sto aggiornando di quanto successo negli ultimi periodi, nel frattempo grazie per aver aiutato a portato avanti Wikiversità in questi mesi :) --[[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 14:25, 22 mag 2025 (CEST) ::Ma grazie a te per quanto hai fatto in passato (anche come amministratore) e spero per quanto farai in futuro! [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 14:27, 22 mag 2025 (CEST) :::PS a quanto vedo sei stato un grande admin, io lo sono da poco: ha senso sbloccare gli IP bloccati da moltissimo tempo, a volte all'infinito? Grazie :) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 15:53, 22 mag 2025 (CEST) ::::{{ping|Smatteo499}} Ciao, si ha senso perché sarebbe da evitare di avere ip bloccati all'infinito. Se ne parlò un po' di anni fa qua [[Discussioni_Wikiversità:Politiche_di_blocco_degli_utenti#Sblocco_IP_bloccati]], [https://it.wikiversity.org/wiki/Speciale:Registri?type=block&user=Samuele2002&page=&wpdate=2018-02-06&tagfilter=&subtype=unblock&wpFormIdentifier=logeventslist iniziai il lavolo sbloccandone un po'] credo anche usando uno strumento grezzo di blocco massivo al contrario (ora non funziona più) ma non ho mai completato tale cosa. Ps. è una cosa utile ma non urgente da fare a tempo perso. Con l'occasione un consiglio su una cosa che notavo relativa alla protezione dalla creazione per "Titolo sicuramente errato". Anche per velocizzare le cancellazioni il blocco è preferibile farlo solo in quei casi di creazioni recidive a titoli vandalici (o pagine di spam) e in altri casi particolari. Non è necessario farlo in caso di titoli contenenti refusi o lievi errori. [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 16:19, 22 mag 2025 (CEST) :::::Ok, quello strumento non funziona più quindi? Peccato... Magari quando ho poco tempo lo faccio assegnandomi il flag di pseudobot! Per quanto riguarda le protezioni, grazie per il consiglio, non è necessario ma io sono abituato a richiederla (su Wikipedia) :) Comunque ci farò più attenzione (anche se ormai quelle che ho protetto le lascio così). Un saluto :D [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 16:22, 22 mag 2025 (CEST) ::::::Le talk di questi IP contengono l'avviso di blocco, va lasciato così o le pagine cancellate? [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 16:36, 22 mag 2025 (CEST) :::::::Potrebbe essere utile sostituire l'avviso con {{Tl|BenvenutoIP}}. [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 16:45, 22 mag 2025 (CEST) == Guerra fredda (scuola media) == Ciao! Sto pensando di applicare una protezione parziale temporanea (tipo 1/2 settimane) a questa pagina per ridurre alcuni vandalismi sporadici che si verificano di tanto in tanto, con l’intento di mantenere la pagina più stabile senza bloccare troppo la partecipazione. Vorrei avere anche il tuo parere prima di procedere. Cosa ne pensi? Grazie! [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 15:14, 28 mag 2025 (CEST) :@[[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ciao! Si mi trovi d'accordo ad una semiprotezione. Quella è una delle pochissime pagine che ciclicamente è soggetta a vandalismi. [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 17:17, 28 mag 2025 (CEST) ::Ok. Pensavo 2 settimane, per te va bene? Chiedo sono alle prime armi :) [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 18:18, 28 mag 2025 (CEST) :::@[[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ciao sì 2 settimane vanno bene data la peculiarità della pagina. [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 11:27, 29 mag 2025 (CEST) ::::Fatto 2 settimane. Tengo d'occhio la voce per vedere cosa le succede dopo la protezione (dopo si può riproteggere se necessario). Ciao [[Utente:Smatteo499|Smatteo499]] ([[Discussioni utente:Smatteo499|Discussione]]) 12:51, 29 mag 2025 (CEST) :::::Ottimo :) [[Utente:Samuele2002|<span style="color:#0080C0;">'''Samuele'''2002</span>]] <small>[[Discussioni utente:Samuele2002|'''<span style="color:#F50; font-family:Cursive">(Chiedi pure!)</span>''']]</small> 16:21, 2 giu 2025 (CEST) == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-03</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W03"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/03|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The Wikimedia Foundation has shared some guiding questions for the July 2026–June 2027 Annual Plan on [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027/Product & Technology OKRs|Meta]] and ''[[diffblog:2025/12/10/shaping-wikimedia-foundations-2026-2027-annual-goals-key-questions-for-the-wikimedia-movement/|Diff]]''. These focus on global trends, faster and healthier experimentation, better support for newcomers, strengthening editors and advanced users, improving collaboration across projects, and growing and retaining readership. Feedback and ideas are welcome on the [[m:Talk:Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027|talk page]]. '''Updates for editors''' * As part of the current work of Community Tech team on the [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W372|Multiple watchlists]] project, the display of [[Special:EditWatchlist|EditWatchlist]] will be updated as a first step towards multiple watchlists. Additionally, the pagination on [[Special:Search|Search]] will be updated too, as a part of the work on the [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W186|Revamp pagination / page navigation]] wish. [https://phabricator.wikimedia.org/T411596] * [[m:Special:GlobalWatchlist|The Global Watchlist]] is a MediaWiki [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] that lets you see your watchlists from different wikis on the same page. It was recently updated to look more like the regular [[Special:Watchlist|Watchlist]], such as preparing it for temporary accounts in IP masking (including rerouting user links to contributions pages), making page titles bold, and opening links in edit summaries and tags in new browser tabs. [https://phabricator.wikimedia.org/T398361][https://phabricator.wikimedia.org/T298919][https://phabricator.wikimedia.org/T273526][https://phabricator.wikimedia.org/T286309] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where global blocks did not have the option to disable sending emails, has now been fixed, and will be available for use in the week of January 13. [https://phabricator.wikimedia.org/T401293] '''Updates for technical contributors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Citation tool|VisualEditor citation tool]] and [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|Reference Previews]] now support "map" as a reference type. [https://phabricator.wikimedia.org/T411083] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.10|MediaWiki]]/[[mw:MediaWiki 1.46/wmf.11|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/03|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W03"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:33, 12 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=29907192 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-04</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W04"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/04|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The tray shown on [[Special:Diff|Special:Diff]] in mobile view has been redesigned. It is now collapsed by default, and incorporates a link to undo the edit being viewed, making it easier for mobile editors and reviewers to take action while keeping the interface uncluttered. [https://phabricator.wikimedia.org/T402297] * [[m:Special:GlobalWatchlist|The Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] continues to improve — it now automatically determines the text direction (ensuring correct display of sites with unusual domain names) and shows detailed descriptions for log actions. Later this week, a new permanent link for page creations and CSS classes for each entry element will be added. [https://phabricator.wikimedia.org/T412505][https://phabricator.wikimedia.org/T287929][https://phabricator.wikimedia.org/T262768][https://phabricator.wikimedia.org/T414135] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the previously observed issue in Vector 2022, where anchor link targets were obscured by the sticky header, has now been addressed. [https://phabricator.wikimedia.org/T406114] '''Updates for technical contributors''' * As mentioned in the [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2025/44|October 2025 deprecation announcement]], MediaWiki Interfaces team will begin sunsetting all transform endpoints containing a trailing slash from the MediaWiki REST API the week of January 26. Changes are expected to roll out to all wikis on or before January 30th. All API users currently calling them are encouraged to transition to the non-trailing slash versions. Both endpoint variations can be found, compared, and tested using the [https://test.wikipedia.org/wiki/Special:RestSandbox REST Sandbox]. If you have questions or encounter any problems, please file a ticket in Phabricator to the [https://phabricator.wikimedia.org/project/view/6931/ #MW-Interfaces-Team board]. * Interactive reference documentation for the [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia REST API|Wikimedia REST API]] has moved. Requests to API docs previously hosted through [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase|RESTBase]] (e.g.: <code dir=ltr>https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/</code>) are now redirected to the [[w:en:Special:RestSandbox|REST Sandbox]]. * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|WMF Wikidata Platform team]] (WDP) has published its [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|January 2026 newsletter]]. It includes updates on the legacy full-graph endpoint decommissioning, the User-Agent policy change, the monthly Blazegraph migration office hours, and efforts to reduce regressions caused by the legacy endpoint shutdown. As a reminder, you can [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/WDP team updates|subscribe to the WDP newsletter]]! * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.12|MediaWiki]] '''Meetings and events''' * The [[mw:Wikimedia Hackathon Northwestern Europe 2026|Wikimedia Hackathon Northwestern Europe 2026]] will take place on 13-14 March 2026 in Arnhem, the Netherlands. Applications opened mid-December and will close soon or when capacity is reached. It's a two-day, technically oriented hackathon bringing together Wikimedians from the region. Hope to see you there! '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/04|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W04"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 21:29, 19 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=29943403 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-05</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W05"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/05|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * Wikimedia Foundation invites comments on [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Year1 Reflections and Proposed Way Forward 2026 Update|proposed future]] of the [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Product and Technology Advisory Council]] until 28 February. * All users with registered accounts can now use passkeys for [[m:Special:MyLanguage/Help:Two-factor authentication|two-factor authentication]] (2FA). Passkeys are a simple way to log in without using a second device. They verify the user's identity using a fingerprint, face scan, or a PIN code. To set up a passkey, first set up a regular 2FA method. Currently, to log in with a passkey, users must also use a password. Later this quarter, passwordless login will allow users to log in with a single click and a passkey. Users with advanced rights will also be required to have 2FA enabled. This is part of the [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Account Security]] project. * Unregistered contributors on blocked IPs or blocked IP ranges can now interact on-wiki to appeal a block by creating a temporary account to appeal a block on the user talk page, unless the "prevent this user from editing their own talk page" is enabled. This solves the problem of logged-out users unable to use the default unblock process via user talk page. [https://phabricator.wikimedia.org/T398673] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:20}} community-submitted {{PLURAL:20|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the Two-Factor Authentication (2FA) methods description on the management page has been updated. It is now clearer and easier for users to understand and make use of. [https://phabricator.wikimedia.org/T332385] '''Updates for technical contributors''' * A new AbuseFilter variable, <code>account_type</code>, has been added to provide a reliable way to determine the account type being created in the <code>createaccount</code> and <code>autocreateaccount</code> actions. As part of this change, the variable <code>accountname</code> has been renamed to <code>account_name</code>, and <code>accountname</code> is now deprecated. Edit filter managers should update any filters that use hardcoded account type checks or the deprecated variable. [https://phabricator.wikimedia.org/T414049] * Image thumbnails that are requested in non-standard sizes, and using non-standard methods such as direct requests to <code dir=ltr><nowiki>upload.wikimedia.org/…</nowiki></code> will stop working in the near future. This change is to prevent ongoing external abuse by web-scrapers and bots. Some users with custom CSS/JS, Interface Admins who can fix gadgets and local skins, and Tool-authors, will need to update their code to use standard thumbnail sizes. [[phab:T414805|Details, search-links, and examples of how to fix them, are available in the task]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.13|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/05|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W05"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 22:17, 26 gen 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=29969530 --> == This Month in Education: January 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 1 • January 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto "25x25" llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28 gen 2026 (CET)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=29951116 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-06</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W06"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/06|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The "{{int:pageinfo-toolboxlink}}" feature, which gives validating information about a page ([{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=info}} example]), now automatically includes a table of contents. If there is a local [[{{ns:8}}:Pageinfo-header]] page created by individual users, it can now be removed. [https://phabricator.wikimedia.org/T363726] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, VisualEditor previously added bold or italic formatting inside link descriptions, making the wikicode complex. This has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T409669] '''Updates for technical contributors''' * There was no XML dump on 20 January. Additionally, from now on, dumps will be generated once per month only. [https://phabricator.wikimedia.org/T414389] * The MediaWiki Interfaces team removed support for all transform endpoints containing a trailing slash from the [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/API:REST%20API MediaWiki REST API]. All API users currently calling those endpoints are encouraged to transition to the non-trailing slash versions. If you have questions or encounter any problems, please file a ticket in phabricator to the [https://phabricator.wikimedia.org/project/view/6931/ #MW-Interfaces-Team board]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.14|MediaWiki]] '''Weekly highlight''' * Users are reminded that the Wikimedia Foundation has shared some guiding questions for the July 2026–June 2027 Annual Plan on [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027/Product & Technology OKRs|Meta]] and ''[[diffblog:2025/12/10/shaping-wikimedia-foundations-2026-2027-annual-goals-key-questions-for-the-wikimedia-movement/|Diff]]''. These focus on global trends, faster and healthier experimentation, better support for newcomers, strengthening editors and advanced users, improving collaboration across projects, and growing and retaining readership. Feedback and ideas are welcome on the [[m:Talk:Wikimedia Foundation Annual Plan/2026-2027|talk page]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/06|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W06"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18:43, 2 feb 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30000986 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-07</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W07"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] Logged-in contributors who manage large or complex watchlists can now organise and filter watched pages in ways that improve their workflows with the new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|Watchlist labels]] feature. By adding custom labels (for example: pages you created, pages being monitored for vandalism, or discussion pages) users can more quickly identify what needs attention, reduce cognitive load, and respond more efficiently. This improves watchlist usability, especially for highly active editors. * A new feature available on [[Special:Contributions|Special:Contributions]] shows [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts|temporary accounts]] that are likely operated by the same person, and so makes patrolling less time-consuming. Upon checking contributions of a temporary account, users with access to temporary account IP addresses can now see a view of contributions from the related temporary accounts. The feature looks up all the IPs associated with a given temporary account within the data retention period and shows all the contributions of all temporary accounts that have used these IPs. [[mw:Special:MyLanguage/Trust and Safety Product/Temporary Accounts#February 2026: Improvements to the patroller tooling|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T415674] * When editors preview a wikitext edit, the reminder box that they are only seeing a preview (which is shown at the top), now has a grey/neutral background instead of a yellow/warning background. This makes it easier to distinguish preview notes from actual warnings (for example, edit conflicts or problematic redirect targets), which will now be shown in separate warning or error boxes. [https://phabricator.wikimedia.org/T414742] * The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] continues to improve — it now properly supports more than one Wikibase site, for example both [[d:|Wikidata]] and [[testwikidata:|testwikidata]]. In addition, issues regarding text direction have been fixed for users who prefer Wikidata or other Wikibase sites in right-to-left (RTL) languages. [https://phabricator.wikimedia.org/T415440][https://phabricator.wikimedia.org/T415458] * The automatic "magic links" for ISBN, RFC, and PMID numbers have been [[mw:Special:MyLanguage/Help:Magic links|deprecated in wikitext since 2021]] due to inflexibility and difficulties with localization. Several wikis have successfully replaced RFC and PMID magic links with equivalent external links, but a template was often required to replace the functionality of the ISBN magic link. There is now a new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Magic words#isbn|built-in parser function]] <code dir=ltr><nowiki>{{#isbn}}</nowiki></code> available to replace the basic functionality of the ISBN magic link. This makes it easier for wikis who wish to migrate off of the deprecated magic link functionality to do so. [https://phabricator.wikimedia.org/T145604] * Two new wikis have been created: ** a {{int:project-localized-name-group-wikipedia}} in [[d:Q35401|Jju]] ([[w:kaj:|<code>w:kaj:</code>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T413283] ** a {{int:project-localized-name-group-wikipedia}} in [[d:Q1186896|Nawat]] ([[w:ppl:|<code>w:ppl:</code>]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T413273] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. '''Updates for technical contributors''' * A new global user group has been created: [[{{int:grouppage-local-bot}}|{{int:group-local-bot}}]]. It will be used internally by the software to allow community bots to bypass rate limits that are applied to abusive [[w:en:Web scraping|web scrapers]]. Accounts that are approved as bots on at least one Wikimedia wiki will be automatically added to this group. It will not change what user permissions the bot has. [https://phabricator.wikimedia.org/T415588] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.15|MediaWiki]] '''Meetings and events''' * The [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Users and Developers Conference Spring 2026|MediaWiki Users and Developers Conference, Spring 2026]] will be held March 25–27 in Salt Lake City, USA. This event is organized by and for the third-party MediaWiki community. You can propose sessions and register to attend. [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/AZBWVI46SDEB65PGR5J6E4TYOQQEZXM7/] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W07"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 00:30, 10 feb 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:Quiddity (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30026671 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-08</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W08"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/08|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Site Reliability Engineering|SRE Team]] will be performing a cleanup of Wikimedia's [[m:Special:MyLanguage/Etherpad|Etherpad]] instance, the web-based editor for real-time collaborative document editing. All pads will be permanently deleted after 30 April, 2026 – if there are still migration projects in progress at that point the team can revisit the date on a case by case basis. Please create local backups of any content you wish to keep, as deleted data cannot be recovered. This cleanup helps reduce database size and minimize infrastructure footprint. Etherpad will continue to support real-time collaboration, but long-term storage should not be expected. Additional cleanups may occur in the future without prior notice. [https://phabricator.wikimedia.org/T415237] '''Updates for editors''' * The Information Retrieval team will be launching an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information Retrieval/Phase 1|Android mobile app experiment]] that tests hybrid search capabilities which can handle both semantic and keyword queries. The improvement of on-platform search will enable readers to find what they’re looking for directly on Wikipedia more easily. The experiment will first be launched on Greek Wikipedia in late February, followed by English, French, and Portuguese in March. [https://diff.wikimedia.org/2026/01/08/semantic-search-making-it-easier-to-find-the-information-readers-want/ Read more] on Diff blog. [https://www.mediawiki.org/wiki/Readers/Information_Retrieval] * The Reader Growth team will run [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/WE3.10.2 Mobile Table of Contents|an experiment]] for mobile web users, that adds a table of contents and automatically expands all article sections, to learn more about navigation issues they face. The test will be available on Arabic, Chinese, English, French, Indonesian, and Vietnamese Wikipedias. * Previously, site notices ([[{{ns:8}}:Sitenotice]] and [[{{ns:8}}:Anonnotice]]) would only render on the desktop site. Now, they will render on all platforms. Users on mobile web will now see these notices and be informed. Site administrators should be prepared to test and fix notices on mobile devices to avoid interference with articles. To opt out, interface admins can add <code dir="ltr">#siteNotice { display: none; }</code> to [[{{ns:8}}:Minerva.css]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T138572][https://phabricator.wikimedia.org/T416644] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:19}} community-submitted {{PLURAL:19|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue on [[Special:RecentChanges|Special:RecentChanges]] has been fixed. Previously, clicking hide in the active filters caused the "view new changes since…" button to disappear, though it should have remained visible. The button now behaves as expected. [https://phabricator.wikimedia.org/T406339] '''Updates for technical contributors''' * New documentation is now available to help editors debug on-site search features. It supports troubleshooting when pages do not appear in results, when ranking seems unexpected, and when you need to inspect what content is being indexed, helping make search behavior easier to understand and analyze. [[mw:Help:CirrusSearch/Debug|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T411169] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.16|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/08|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W08"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:17, 16 feb 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30086330 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-09</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W09"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/09|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Reference Check|Reference Check]] has been deployed to English Wikipedia, completing its rollout across all Wikipedias. The feature prompts newcomers to add a citation before publishing new content, helping reduce common citation-related reverts and improve verifiability. In A/B testing, the impact was substantial: newcomers shown Reference Check were approximately 2.2 times more likely to include a reference on desktop and about 17.5 times more likely on mobile web. [https://analytics.wikimedia.org/published/reports/editing/reference_check_ab_test_report_final_2025.html] '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:InterwikiSorting|InterwikiSorting extension]], which allowed for the [[m:Special:MyLanguage/Interwiki sorting order|sorting of interwiki links]], has been undeployed from Wikipedia. As a result, editors who had enabled interwiki link sorting in non-compact mode (full list format) will now see links reordered. The links moving forward will be listed in the alphabetical order of language code. [https://phabricator.wikimedia.org/T253764] * Later this week, people who are editing a page-section using the mobile visual editor, will notice a new "Edit full page" button. When tapped, you will be able to edit the entire article. This helps when the change you want to make is outside the section you initially opened. [https://phabricator.wikimedia.org/T387175][https://phabricator.wikimedia.org/T409112] * [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|The Reader Experience team]] is inviting editors to assess whether dark mode should still be considered "beta" on their wiki, based on their experience of how well it functions on desktop and mobile. If the feature is deemed mature, editors can update the interface messages in <code dir=ltr>MediaWiki:skin-theme-description</code> and <code dir=ltr>MediaWiki:Vector-night-mode-beta-tag</code> to indicate that dark mode is ready and no longer considered beta. * The improved [[mw:Wikimedia_Apps/Team/iOS/Activity_Tab|Activity tab]] which displays user-insights is now available to all users of the Wikipedia iOS app (version 7.9.0 and later). Following earlier A/B testing that showed higher account creation among users with access to the feature, it has been rolled out to 100% of users along with some updates. The Activity tab now shows your edited articles in the timeline, offers editing impact insights like contribution counts and article view trends, and customization options to improve in-app experience for users. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, a bug that prevented [[mw:Special:MyLanguage/Extension:DiscussionTools|DiscussionTools]] from working on mobile has now been fixed, restoring full functionality. [https://phabricator.wikimedia.org/T415303] '''Updates for technical contributors''' * The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] lets you view your watchlists from multiple wikis on one page. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] that makes this possible continues to improve. The latest upgrade is the inclusion of a [[mw:Extension:GlobalWatchlist#hook|new hook]], <code dir=ltr>ext.globalwatchlist.rebuild</code>, which fires after each watchlist rebuild. This allows you to run gadgets and user scripts for the Special page. [https://phabricator.wikimedia.org/T275159] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.17|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/09|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W09"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:03, 23 feb 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30119102 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-10</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W10"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Wikipedia 25 [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments|Birthday mode]] is now live on Betawi, Breton, Chinese, Czech, Dutch, English, French, Gorontalo, Indonesian, Italian, Luxembourgish, Madurese, Sicilian, Spanish, Thai, and Vietnamese Wikipedias! This limited-time campaign feature celebrates 25 years of Wikipedia with a birthday mascot, Baby Globe. When turned on, Baby Globe is shown on [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments/article configuration|~2,500 articles]], waiting to be discovered by readers. Communities can choose to turn Birthday mode on by getting consensus from their community and asking an admin to enable the feature and customize it via [[m:Special:MyLanguage/Wikipedia 25/Easter egg experiments#Community Configuration Demo|community configuration]] on the local wiki. '''Updates for editors''' * [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]], a new feature to re-use references with different details has been released to Swedish Wikipedia, Polish Wikipedia and [[:phab:T418209|a couple of other wikis]]. You can [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#test|try the feature]] on these projects or on testwiki and [https://en.wikipedia.beta.wmcloud.org/wiki/Sub-referencing betawiki]. Learnings from the first pilot wiki German Wikipedia have been [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/Learnings|published in a report]]. Reach out to the Wikimedia Deutschland team if you are [[:m:Talk:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#Pilot wikis|interested in becoming a pilot wiki]]. * [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check#Paste check|Paste Check]] will become available at all Wikipedias this week. The feature prompts newcomers who are pasting text they are not likely to have written into VisualEditor to consider whether doing so risks a copyright violation. Paste Check [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Tags|tags]] all edits where it is shown for potential review. Local administrators can configure various aspects of the feature via [[{{#special:EditChecks}}]]. [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Paste Check#A/B Experiment|Research]] across 22 wikis found that Paste Check resulted in an 18% decrease in relative reverted-edits compared to the control group. Translators can [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-visualeditor-ve-mw-editcheck&filter=&optional=1&action=translate help to localize] this and related features. * The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] will be standardizing the user menu in the top right for all mobile users so that it is closer to the desktop experience. Currently this user menu is only visible to users with Advanced Mobile Controls (AMC) turned on. The only change is that a couple buttons previously in the left-side menu will move to the top right for users who do not have AMC turned on. This change is expected to go out March 9 and seeks to improve the user interface. [https://phabricator.wikimedia.org/T413912] * Starting in the week of March 2, the emails sent out when an email address was added, removed, or changed for an account will switch to a substantially nicer and clearer HTML email from the prior plaintext one. [https://phabricator.wikimedia.org/T410807] * Notifications are currently limited to 2,000 historic entries per user, and extend back to 2013 when the feature was released. This is going to be changed to only store Notifications from the last 5 years, but up to 10,000 of them. This will help with long-term infrastructure health and help to prevent more recent notifications from disappearing too soon. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948] * The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]] which lets you view your watchlists from multiple wikis on a single page continues to see improvements. The latest update improves label usage experience. The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:GlobalWatchlist|extension]] now allows activating the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Language#Fallback languages|language fallback system]] for Wikidata items without labels in the viewed language, and showing those labels in the user’s preferred Wikidata language if no <code dir=ltr>uselang=</code> URL parameter is provided. [https://phabricator.wikimedia.org/T373686][https://phabricator.wikimedia.org/T416111] * The Wikipedia Android team has started a beta test of [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information Retrieval/Phase 1|hybrid search]] on Greek Wikipedia. Hybrid search capabilities can handle both semantic and keyword queries enabling readers to find what they’re looking for directly on Wikipedia more easily. * For security reasons, members of certain user groups are [[m:Special:MyLanguage/Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights|required to have two-factor authentication]] (2FA) enabled. Currently, 2FA is required to use the group, but not to be a member of it. Given that this model still has some vulnerabilities, the situation will [[phab:T418580|gradually change in March]]. Members of these groups will be unable to disable last 2FA method on their account, and it will be impossible to add users without 2FA to these groups. Users will still be able to add new authentication methods or remove them, as long as at least one method is continuously enabled. In the second half of March, users without 2FA will be removed from these groups. This applies to: CentralNotice administrators, checkusers, interface administrators, suppressors, Wikidata staff, Wikifunctions staff, WMF Office IT and WMF Trust & Safety. Nothing will change for other users. See the linked task for deployment schedule. [https://phabricator.wikimedia.org/T418580] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue preventing users from creating an instance in [https://www.wikibase.cloud/ Wikibase.cloud] has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T416807] '''Updates for technical contributors''' * To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], over the next month the Wikimedia Foundation will implement global API rate limits across our APIs. In early March, stricter limits will be applied to unidentified requests from outside Toolforge/WMCS and API requests that are made from web browsers. In April, higher limits will be applied to identified traffic. These limits are intentionally set as high as possible to minimise impact on the community. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]]. * The Wikidata Query Service Linked Data Fragment (LDF) endpoint will be decommissioned in February. This endpoint served limited traffic, which was successfully migrated to other data access methods that were better suited to support existing use cases. The hardware used to support the LDF endpoint will be reallocated to support the ongoing backend migration efforts. [https://phabricator.wikimedia.org/T415696] * The new Parsoid parser [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser Unification/Updates|continues to be deployed to additional wikis]], improving platform sustainability and making it easier to introduce new reading and editing features. Parsoid is now the default parser on 488 WMF wikis (268 Wikipedias), now covering more than 10% of all Wikipedia page views. * The process and criteria for [[Special:MyLanguage/Wikimedia Enterprise#Access|requesting exceptional access]] to the high volume feed of the ''Wikimedia Enterprise'' APIs (at no cost for mission-aligned usecases), [[m:Talk:Wikimedia Enterprise#Exceptional access criteria|have now been published]]. This is to provide more thorough and clearer documentation for users. * [https://techblog.wikimedia.org/ Tech Blog], the blog dedicated to the Wikimedia technical community [https://techblog.wikimedia.org/2026/02/24/a-tech-blog-diff/ will be migrating] to [[diffblog:|Diff]], the community news and event blog. The migration should be complete in April 2026, after which new posts will be accepted for publishing. Readers will be able to access posts – old and new – on the landing page at https://diff.wikimedia.org/techblog. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.18|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/10|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W10"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18:51, 2 mar 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30137798 --> == This Month in Education: February 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 2 • February 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3 mar 2026 (CET)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30155806 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-11</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W11"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies. * Last week, all wikis had 2 hours of read-only time, and extended unavailability for user-scripts and gadgets. This was due to a security incident which has since been resolved. Work is ongoing to prevent re-occurrences. For current information please see the [[m:Steward's noticeboard#Statement on Meta about today's user script security incident|post on the Stewards' noticeboard]] ([[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Product and Technology/Product Safety and Integrity/March 2026 User Script Incident|translations]]). '''Updates for editors''' * Users facing multiple blocks on mobile will now see the reasons for each block separately, instead of a generic message. This helps them understand why they are blocked and what steps they can take to resolve the issue. For example, users affected for using common VPNs (such as [[Special:MyLanguage/Apple iCloud Private Relay|iCloud Private Relay]]) will receive clearer guidance on what they need to do to start editing again. [https://phabricator.wikimedia.org/T357118] * Later this week, [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] will become available as a beta feature within the visual editor at all Wikipedias. This feature proactively suggests various types of actions that people can consider taking to improve Wikipedia articles, and learn about related guidelines. The feature is locally configurable, and can also be locally expanded with custom Suggestions. Current settings can be seen at [[Special:EditChecks]] and there are [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators %E2%80%93 local customization|instructions for how administrators can customize]] the links to point to local guidelines. The feature is connected to [[mw:Special:MyLanguage/Help:Edit check|Edit check]] which suggests improvements while someone is writing new content. In the future, the Editing team plans to evaluate the feature's impact with newcomers through a controlled experiment. [https://phabricator.wikimedia.org/T404600] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where the cursor became misaligned during the use of CodeMirror’s syntax highlighting, which makes wikitext and code easier to read, has now been fixed. This problem specifically affected users who defined a font rule in a custom stylesheet while creating a new topic with DiscussionTools. [https://phabricator.wikimedia.org/T418793] '''Updates for technical contributors''' * API rate limiting update: To help ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]], global API rate limits will be applied this week to requests without a compliant User-Agent that originate from outside Toolforge/WMCS and to unauthenticated requests made from web browsers. Higher limits will be applied to identified traffic in April. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]]. * The new GraphQL API has been released. The API was developed as a flexible alternative to select features of the Wikidata Query Service (WDQS), to improve developer experience and foster adaptability, and efficient data access. Try it out and [[d:Wikidata:Wikibase GraphQL#Feedback and development|give feedback]]. You can also [https://greatquestion.co/wikimediadeutschland/GraphQLAPI/apply sign up for usability tests]. * The [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group|PTAC Unsupported Tools Working Group]] continued improvements to [[commons:Special:MyLanguage/Commons:Video2commons#|Video2Commons]] in February, with fixes addressing authentication errors, large-file handling, task queue visibility, and clearer upload behavior. Work is still ongoing in some areas, including changes related to deprecated server-side uploads. Read [[m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/Unsupported Tools Working Group#February 2026|this update]] to learn more. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.19|MediaWiki]] '''In depth''' * The Article Guidance team invites experienced Wikipedia editors from selected [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators#Collaborators|pilot wikis]] and interested contributors from other Wikipedias to fill out this questionnaire which is available in [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfmLeVWnxmsCbPoI_UF2jyRcn73WRGWCVPHzerXb4Cz97X_Ag/viewform English], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSd6rzr4XXQw8r4024fE3geTPFe13M_6w7Mitj-YJi0sOlWTAw/viewform?usp=header Arabic], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdok3-RfB18lcugYTUMGkpwmqG_8p760Wv4dCXitOXOszjUDw/viewform?usp=header Bengali], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfjTfYp4jEo0akA4B1e-Nfg3QZPCudUjhJzHzzDi6AHyAaMGA/viewform?usp=header Japanese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScteVoI29Aue4xc72dekk-6RYtvmMgQxzMI900UOawrFrSTWg/viewform?usp=header Portuguese], [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSetdxnYwL3ub2vqA7awCg5hJZPMIYcDPaiTe12rY9h0GYnVlw/viewform?usp=header Persian], and [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScNvfJF-Ot-4pzA4qAN771_0QDJ4Li19YcUsaTgSKW8Nc7U_Q/viewform?usp=header Turkish]. Your answers will help the team customize guidance for less experienced editors and help them learn community policies and practices while creating an article. Learn more [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|on the project page]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/11|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W11"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 19:53, 9 mar 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30213008 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-12</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W12"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature, also known as [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], has been used for wikitext syntax highlighting since November 2024. It will be promoted out of beta by May 2026 in order to bring improvements and new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Features|features]] to all editors who use the standard syntax highlighter. If you have any questions or concerns about promoting the feature out of beta, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|please share]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059] * Some changes to local user groups are performed by stewards on Meta-Wiki and logged there only. Now, interwiki rights changes will be logged both on Meta-Wiki and the wiki of the target user to make it easier to access a full record of user's rights changes on a local wiki. Past log entries for such changes will be backfilled in the coming weeks. [https://phabricator.wikimedia.org/T6055] * On wikis using [[m:Special:MyLanguage/Flagged Revisions|Flagged Revisions]], the number of pending changes shown on [[{{#Special:PendingChanges}}]] previously counted pages which were no longer pending review, because they have been removed from the system without being reviewed, e.g. due to being deleted, moved to a different namespace, or due to wiki configuration changes. The count will be correct now. On some wikis the number shown will be much smaller than before. There should be no change to the list of pages itself. [https://phabricator.wikimedia.org/T413016] * Wikifunctions composition language has been rewritten, resulting in a new version of the language. This change aims to increase service stability by reducing the orchestrator's memory consumption. This rewrite also enables substantial latency reduction, code simplification, and better abstractions, which will open the door to later feature additions. Read more about [[f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-11|the changes]]. * Users can now sort search results alphabetically by page title. The update gives an additional option to finding pages more easily and quickly. Previously, results could be sorted by Edit date, Creation date, or Relevance. To use the new option, open 'Advanced Search' on the search results page and select 'Alphabetically' under 'Sorting Order'. [https://phabricator.wikimedia.org/T403775] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented UploadWizard on Wikimedia Commons from importing files from Flickr has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419263] '''Updates for technical contributors''' * A new special page, [[{{#special:LintTemplateErrors}}]], has been created to list transcluded pages that are flagged as containing lint errors to help users discover them easily. The list is sorted by the number of transclusions with errors. For example: [[{{#special:LintTemplateErrors}}/night-mode-unaware-background-color]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T170874] * Users of the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature have been using [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] for syntax highlighting when editing JavaScript, CSS, JSON, Vue and Lua content pages, for some time now. Along with promoting CodeMirror 6 out of beta, the plan is to replace CodeEditor as the standard editor for these content models by May 2026. [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror|Feedback or concerns are welcome]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332] * The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] JavaScript modules will soon be upgraded to CodeMirror 6. Leading up to the upgrade, loading the <code dir=ltr>ext.CodeMirror</code> or <code dir=ltr>ext.CodeMirror.lib</code> modules from gadgets and user scripts was deprecated in July 2025. The use of the <code dir=ltr>ext.CodeMirror.switch</code> hook was also deprecated in March 2025. Contributors can now make their scripts or gadgets compatible with CodeMirror 6. See the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror#Gadgets and user scripts|migration guide]] for more information. [https://phabricator.wikimedia.org/T373720] * The MediaWiki Interfaces team is expanding coverage of REST API module definitions to include [[mw:Special:MyLanguage/API:REST API/Extensions|extension APIs]]. REST API modules are groups of related endpoints that can be independently managed and versioned. Modules now exist for [https://phabricator.wikimedia.org/T414470 GrowthExperiments] and [https://phabricator.wikimedia.org/T419053 Wikifunctions] APIs. As we migrate extension APIs to this structure, documentation will move out of the main MediaWiki OpenAPI spec and REST Sandbox view, and will instead be accessible via module-specific options in the dropdown on the [https://test.wikipedia.org/wiki/Special:RestSandbox REST Sandbox] (i.e., [[{{#Special:RestSandbox}}]], available on all wiki projects). * The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto|Scribunto]] extension provides different pieces of information about the wiki where the module is being used via the [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual|mw.site]] library. Starting last week, the library also provides a [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Scribunto/Lua reference manual#mw.site.wikiId|way]] of accessing the [[mw:Special:MyLanguage/Manual:Wiki ID|wiki ID]] that can be used to facilitate cross-wiki module maintenance. [https://phabricator.wikimedia.org/T146616] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.20|MediaWiki]] '''In depth''' * The [[m:Special:MyLanguage/Coolest Tool Award|2026 Coolest Tool Award]] celebrating outstanding community tools, is now open for nominations! Nominate your favorite tool using the [https://wikimediafoundation.limesurvey.net/435684?lang=en nomination survey] form by 23 March 2026. For more information on privacy and data handling, please see the [[foundation:Special:MyLanguage/Legal:Coolest_Tool_Award_2026_Survey_Privacy_Statement|survey privacy statement]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/12|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W12"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:35, 16 mar 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30260505 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-13</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W13"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Wikimedia site users can now log in without a password using passkeys. This is a secure method supported by fingerprint, facial recognition, or PIN. With this change, all users who opt for passwordless login will find it easier, faster, and more secure to log in to their accounts using any device. The new passkey login option currently appears as an autofill suggestion in the username field. An additional [[phab:T417120|"Log in with passkey" button]] will soon be available for users who have already registered a passkey. This update will improve security and user experience. The [[c:File:Passwordless_login_screencast.webm|screen recording]] demonstrates the passwordless login process step by step. * [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|All wikis will be read-only]] for a few minutes on Wednesday, 25 March 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1774450800 15:00 UTC]. This is for the datacenter server switchover backup tests, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|which happen twice a year]]. During the switchover, all Wikimedia website traffic is shifted from one primary data center to the backup data center to test availability and prevent service disruption even in emergencies. '''Updates for editors''' * Wikimedia site users can now export their notifications older than 5 years using a [[toolforge:echo-chamber|new Toolforge tool]]. This will ensure that users retain their important notifications and avoid them being lost based on the planned change to delete notifications older than 5 years, as previously announced. [https://phabricator.wikimedia.org/T383948] * Wikipedia editors in Indonesian, Thai, Turkish, and Simple English now have access to Special:PersonalDashboard. This is an [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools/Dashboard|early version of an experience]] that introduces newer editors to patrolling workflows, making it easier for them to move from making edits to participating in more advanced moderation work on their project. [https://phabricator.wikimedia.org/T402647] * The [[Special:Block]] now has two minor interface changes. Administrators can now easily perform indefinite blocks through a dedicated radio button in the expiry section. Also, choosing an indefinite expiry provides a different set of common reasons to select from, which can be changed at: [[MediaWiki:Ipbreason-indef-dropdown]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T401823] * Mobile editors [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Logged-out|at several wikis]] can now see an improved logged-out edit warning, thanks to the recent updates from the Growth team. These changes released last week are part of ongoing efforts and tests to enhance [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|account creation experience on mobile]] and then increase participation. [https://phabricator.wikimedia.org/T408484] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:36}} community-submitted {{PLURAL:36|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the bug that prevented mobile web users from seeing the block information when affected by multiple blocks has been fixed. They can now see messages of all the blocks currently affecting them when they access Wikipedia. '''Updates for technical contributors''' * Images built using Toolforge will soon get the upgraded buildpacks version, bringing support for newer language versions and other upstream improvements and fixes. If you use Toolforge Build Service, review the recent [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/EMYTA32EV2V5SQ2JIEOD2CL66YFIZEKV/ cloud-announce email] and update your build configuration as necessary to ensure your tools are compatible. [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?title=Help:Toolforge/Building_container_images&oldid=2392097#Buildpack_environment_upgrade_process][https://phabricator.wikimedia.org/T380127] * The [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page API Portal] documentation wiki will shut down in June 2026. API keys created on the API Portal will continue to work normally. api.wikimedia.org endpoints will be deprecated gradually starting in July 2026. Documentation on the API Portal is moving to [[mw:Wikimedia APIs|mediawiki.org]]. Learn more on the [[wikitech:API Portal/Deprecation|project page]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.21|MediaWiki]] '''In depth''' * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] is considering improvements to [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names|automatically generated reference names in VisualEditor]]. Please check out the [[m:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Proposed solutions|proposed solutions]] and participate in the [[m:Talk:WMDE Technical Wishes/References/VisualEditor automatic reference names#Request for comment|request for comment]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/13|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W13"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17:51, 23 mar 2026 (CET) <!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30268305 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-14</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W14"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The Beta version of [[abstract:|Abstract Wikipedia]] a new Wikimedia project which is language-independent, was launched last week. The project allows communities to build Wikipedia articles in their native language, which can be readily accessed by other users in their own languages. The wiki is powered by instructions from Wikifunctions and also based on structured content from Wikidata. [[:f:Special:MyLanguage/Wikifunctions:Status updates/2026-03-26|Read more]]. '''Updates for editors''' * The Growth team is running an A/B test to evaluate a clearer, more user-friendly message that promotes account creation on wikis. Currently when logged-out mobile users begin editing, they see a jarring warning message that can feel abrupt and discouraging. This also presents temporary account editing as the default rather than encouraging account creation. The test is running on ten Wikipedias, including Arabic, French, Spanish and German. [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#2. Improve logged-out warning message (T415160)|Read more]]. * The Wikimedia Apps team is inviting feedback on [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|how editing should work on the Wikipedia mobile apps]]. The discussion focuses on improving how users access editing tools when they tap "Edit". This is part of a broader effort to convert readers who develop an interest in editing, to access a more user-friendly pathway to start contributing. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:45}} community-submitted {{PLURAL:45|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where citation fetching from the large newspaper archive [https://www.newspapers.com Newspapers.com] was no longer working, due to a block in [[mw:Special:MyLanguage/Citoid|Citoid]] requests, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419903] '''Updates for technical contributors''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.22|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/14|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W14"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 21:25, 30 mar 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30329462 --> == This Month in Education: March 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 3 • March 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia & Libraries: Building New Contributors|Wikipedia & Libraries: Building New Contributors]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1 apr 2026 (CEST)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30317659 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-15</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W15"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents|CampaignEvents extension]] now includes a new group goal-setting feature, enabling organizers to set and track event goals such as the number of articles created and participating contributors in real time. Similarly, participants can work toward shared targets and see their collective impact as the event unfolds. The feature is now available on all Wikimedia wikis. Learn more in [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Collaborative contributions#Goal setting|the documentation]]. * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] The new [[mw:Special:MyLanguage/Help:Watchlist labels|watchlist labels]] feature (announced in [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/07|Tech News 2026-07]]) is now available via VisualEditor, the source editor, and the 'watchstar' (or watch link, for skins that don't have a star icon). Previously it was only possible to assign labels via [[Special:EditWatchlist|EditWatchlist]]. In all three places it is a new field following the expiry field. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where talk pages on mobile with Parsoid are unusable after empty section headers, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T419171] '''Updates for technical contributors''' * The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|sub-referencing feature]], which lets editors add details to an existing reference without duplicating it, will be gradually rolled out to [[phab:T414094|more wikis]] later this year. Wikis using the [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]] gadget are encouraged to update their version (typically at [[m:MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js|MediaWiki:Gadget-ReferenceTooltips.js]] as shown [https://en.wikipedia.org/w/index.php?diff=1344408362 here]) to ensure compatibility. Other reference-related gadgets may also be affected. [https://phabricator.wikimedia.org/T416304] * All Wikinews editions will be closed and switched to read-only mode on 4 May 2026. Content will remain accessible, but no new edits or articles can be added. This closure was approved by the Board of Trustees of the Wikimedia Foundation following extended discussions. [[m:Wikimedia Foundation Board noticeboard#Board of Trustees Approves Closure of Wikinews|Read more]]. * The [[:mw:Special:MyLanguage/API:Action API|Action API]] has had several formats for requested output. One of them, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>format=php</nowiki></code></bdi>, is being removed soon. Please ensure your scripts or bots use the [[mw:Special:MyLanguage/API:Data formats#Output|JSON format]]. This removal should affect very few scripts and bots. [https://phabricator.wikimedia.org/T118538] * The [[Special:NamespaceInfo|Special:NamespaceInfo]] page now includes namespace aliases. For example "WP" for the "Project" ("Wikipedia") namespace on the German Wikipedia. [https://phabricator.wikimedia.org/T381455] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.23|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/15|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W15"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18:19, 6 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30362761 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-16</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W16"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Experienced editors are invited to [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Main_Page test] the [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] feature, designed to help less-experienced editors create well-structured, policy-compliant Wikipedia articles. Testing instructions are [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide|available]]. Also, after reviewing [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance the outlines], please provide feedback on the [[mw:Talk:Article guidance|project talk page]]. Based on your input, the feature will be refined and transferred to the pilot Wikipedias to translate and adapt. Check out [[c:File:Article Guidance workflow demo - April 2026.webm|the video]] explaining the feature. '''Updates for editors''' * On most wikis, all autoconfirmed users can now use [[Special:ChangeContentModel|Special:ChangeContentModel]] page to [[mw:Special:MyLanguage/Help:ChangeContentModel|create new pages with custom content models]], such as mass message lists, making custom page formats more accessible. Check [[Special:ListGroupRights|Special:ListGroupRights]] for the status of your wiki. [https://phabricator.wikimedia.org/T248294] * The Growth team has launched an [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account_Creation_Experiments|account creation experiment]] to evaluate whether adding an account creation button to the mobile web header increases new account registrations and encourages more mobile users to contribute to the wikis. The experiment is currently live on Hindi, Indonesian, Bengali, Thai, and Hebrew Wikipedia, and targets 10% of logged-out mobile web users. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where VisualEditor could get stuck loading on Windows devices with animations turned off, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T382856] '''Updates for technical contributors''' * Starting later this week, {{int:group-abusefilter}} who have the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]] beta feature enabled will have [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] as the editor at [[Special:AbuseFilter|Special:AbuseFilter]]. This is part of the broader effort to make the user experience more consistent across all editors. [https://phabricator.wikimedia.org/T399673][https://phabricator.wikimedia.org/T419332] * Tools and bots that access the [[mw:Special:MyLanguage/Notifications/API|Notifications API]] (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>action=query&meta=notifications</nowiki></code></bdi>) will need to update their OAuth or BotPassword grants to also include access to private notifications. [https://phabricator.wikimedia.org/T421991] * Due to a library upgrade, listings on category pages may be displayed out of order starting on Monday, 20th April. A migration script will be run to correct this, and will take hours to days depending on the size of the wiki (up to a week for English Wikipedia). [https://phabricator.wikimedia.org/T422544] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.24|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/16|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W16"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17:19, 13 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30380527 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-17</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W17"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * After two years of development, [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|{{int:codemirror-beta-feature-title}}]], also known as [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror 6]], is to be promoted out of beta on Tuesday, April 21. It brings better code and wikitext readability, reduction in typing errors, and other [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|benefits]] to all users of the standard syntax highlighter. A huge thank you to volunteer [https://phabricator.wikimedia.org/p/Bhsd/ Bhsd] who developed many of the new features, including [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Code folding|code folding]], [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Autocompletion|autocompletion]], and [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#Linting|linting]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T259059] * A major update to the Wikipedia app for iOS is now rolling out, redesigning the interface to align with Apple's latest "Liquid Glass" visual design. [https://apps.apple.com/us/app/wikipedia/id324715238 Download the latest version] and explore the update. '''Updates for editors''' * [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|Reading lists]] is a feature which allows readers to save articles to a list for reading later. This feature is now in beta on Arabic, French, Indonesian, Vietnamese, and Chinese Wikipedias and by default for all new accounts on all Wikipedias. * An experiment which explores extending [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews|Page Previews to mobile web]] will be launched in the week of April 20 on Arabic, English, French, Italian, Polish, and Vietnamese Wikipedias. Page Previews are pop-ups that display a thumbnail, lead paragraph, and a link to open the full article of a blue link, thereby improving content discovery. The feature is already available on desktop and in the apps. [[m:Special:MyLanguage/List of experiments in Product and Technology#Template|Read more about this experiment and others]]. * On several wikis, logged-in editors who haven't [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email confirmation|confirmed their email addresses]] can now see a banner encouraging them to do so. Having the email address confirmed allows a user to restore access to the account if they lose it. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security#Encouraging users to confirm their email addresses|Learn more]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T421366] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:15}} community-submitted {{PLURAL:15|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where editing very large wiki pages in the 2017 wikitext editor caused slow loading, preview and scrolling lag, and performance issues when selecting, cutting, or pasting content, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T184857] '''Updates for technical contributors''' * As part of the promotion of [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror]] from a beta feature, all users will use [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] instead of [[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeEditor|CodeEditor]] for syntax highlighting when editing JavaScript, CSS, JSON, Vue and Lua content pages. [https://phabricator.wikimedia.org/T419332] * The <code>mirrors.wikimedia.org</code> service for Debian and Ubuntu users will sunset and stop working on May 15. The resources for the service will be replaced with new and better options. Some users may need to switch to a different server which should take about a minute. [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/wikitech-l@lists.wikimedia.org/thread/LJYRIS4WB66HIRCAO4GIDTXCMDVZRBMA/ You can read more]. [https://phabricator.wikimedia.org/T416707] * The <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>image</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>oldimage</nowiki></code></bdi> table will be removed from [[wikitech:Help:Wiki Replicas|wikireplicas]]. If your tools or queries access <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>image</nowiki></code></bdi> or <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>oldimage</nowiki></code></bdi> directly, please update them to use the <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>file</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>filerevision</nowiki></code></bdi> table before 28 May. [https://phabricator.wikimedia.org/T28741] * Following the recent implementation of global API rate limits on unidentified traffic, the Wikimedia Foundation will continue efforts to ensure [[mw:Special:MyLanguage/MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]] by applying global limits to identified API traffic beginning the last week of April. These limits are intentionally set as high as possible to minimise impact on the community. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]] and [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|Frequently Asked Questions]]. * The [[mw:Special:MyLanguage/Attribution API|Attribution API]] is now available as a [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Stability policy|beta]]. The API fetches information for crediting Wikimedia articles and media files wherever they are used. Reference documentation is available through the REST Sandbox special page available on all Wikimedia wikis (such as the [https://en.wikipedia.org/w/index.php?api=attribution.v0-beta&title=Special%3ARestSandbox REST sandbox on English Wikipedia]). Share your feedback on the [[mw:Talk:Attribution API|project talk page]]. * There is no new MediaWiki version this week. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/17|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W17"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 17:00, 20 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30432763 --> == This Month in Education: April 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 4 • April 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27 apr 2026 (CEST)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30406002 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-18</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W18"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * There is a change in how new users are autoconfirmed that will improve anti-vandalism protection. Currently, users who have had an account for a few days and made a few edits are automatically added to the [[{{int:grouppage-autoconfirmed/{{CONTENTLANGUAGE}}}}|{{int:group-autoconfirmed}}]] group. This configuration tends to be exploited by some vandals, who create accounts and start to use them only after some time. To mitigate this, the configuration will be updated next week so that – for the purpose of becoming autoconfirmed – the account age will be counted from their first edit, instead of registration date. The numeric value of the age threshold will remain the same. This change will be deployed only to wikis which require at least one edit as part of the autoconfirmation conditions. [https://phabricator.wikimedia.org/T418484] * All Wikipedia users with new accounts and those who activated the "automatically enable most beta features" option in their preference can now use the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|reading lists]] beta feature to save articles for later reading. This helps organize reading interests in one place for convenient access. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the issue where infobox images have huge padding in Firefox, has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T423676] '''Updates for technical contributors''' * As a reminder, the global API rate limits will be applied this week to identified API traffic. This is to help ensure [[mw:MediaWiki Product Insights/Responsible Reuse|fair use of infrastructure]]. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki should not be affected for now. However, all developers are advised to follow updated best practices. For more information, including the actual rate limits, see [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|Wikimedia APIs/Rate limits]] and [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits/FAQ|Frequently Asked Questions]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.26|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/18|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W18"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:06, 27 apr 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30458046 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-19</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W19"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] team invites experienced editors of [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Pilot wikis and collaborators|pilot Wikipedias]]—Arabic, Bangla, Japanese, Portuguese, Persian, Turkish, Simple English, Spanish, and French—to help translate and adapt [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Category:Pages_using_article_guidance sample outlines]. These outlines will guide editors in creating clear, well-structured, and policy-compliant articles when using [https://b24e11a4f1.catalyst.wmcloud.org/wiki/Special:NewArticle the feature] once it is launched in May 2026. [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|Simple instructions]] on how to translate and adapt the outlines are available. '''Updates for editors''' * The [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council|Product and Technology Advisory Council]] has published [[:m:Special:MyLanguage/Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|draft recommendations]] on a model that affiliates can follow when contributing to the technical space. Community members are invited to provide feedback on the recommendation until May 8th [[:m:Talk:Product and Technology Advisory Council/May 2026 draft PTAC recommendation for feedback|on the talk page]]. * The number of available thumbnail size preferences in MediaWiki is being reduced to three standardized options—Small (180px), Regular (250px), and Large (400px), as part of ongoing efforts to improve performance and reduce strain on thumbnail services. As a result, existing preferences will be mapped to the nearest new size (for example, smaller selections like 120px or 150px will render at 180px, while larger ones like 300px or 360px will render at 400px). The preferences interface will soon be updated to reflect these changes, and users who wish to opt out or provide feedback can do so. [https://phabricator.wikimedia.org/T424909] * From now on, even when a permission expires automatically, users will receive an Echo notification similar to the standard notification for permission changes. There is a difference between this and [[m:Special:MyLanguage/Global reminder bot|Global reminder bot]] in that the latter reminds users a week ''before'' the rights are due to expire, so that they can renew the rights. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, the problem where the ULS language selector in [[m:Special:Translate|Special:Translate]] would scroll vertically when it shouldn't, has been resolved. Previously, when users opened the "Translate to English" dropdown and typed certain inputs, the dialog would scroll vertically by a few pixels even when there was enough space to display all results. The dropdown no longer shifts unnecessarily when filtering languages. [https://phabricator.wikimedia.org/T358864] * The [[m:Special:GlobalWatchlist|Global Watchlist]], which lets you view your watchlists from multiple wikis on a single page, continues to improve. For example, watchlists for Wikibase sites such as [[:d:|Wikidata]] now support [[mw:Special:MyLanguage/Extension:EntitySchema|EntitySchema]] elements for better tracking. The Live Updates mode now refreshes the special page every 60 seconds to comply with the updated [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|global API rate limits]] for improved real-time responsiveness. Additionally, a directionality bug that displayed links as "changes 3" instead of "3 changes" in mixed-direction lists has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T415450][https://phabricator.wikimedia.org/T424422][https://phabricator.wikimedia.org/T418091] '''Updates for technical contributors''' * The second phase of [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits|global API rate limits]] has been rolled out to reduce the [[diffblog:2026/03/26/quo-vadis-crawlers-progress-and-whats-next-on-safeguarding-our-infrastructure/|impact of AI crawlers]] and ensure fair, sustainable access to Wikimedia resources, prioritising human and mission-aligned traffic. [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia APIs/Rate limits#Limits|Limits]] have been shifted from per-hour to per-minute, producing smoother traffic patterns and more predictable API load. Community users are not expected to be affected, and no action is required. Early indications show some User-Agent-based requestors are adjusting behaviour, and around 64% of automated API traffic has been identified. Monitoring continues, and Wikimedia Enterprise remains available for commercial support. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.46/wmf.27|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/19|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W19"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 22:43, 4 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30498077 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-20</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W20"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Community Tech has published [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/How to write a good wish|new guidance]] explaining how wishes on Community Wishlist are triaged and prioritized. The documentation is intended to help contributors write stronger proposals by clarifying the factors that influence prioritization decisions. Beyond vote counts, the guidance highlights considerations such as potential impact on the community when determining which wishes move forward. '''Updates for editors''' * The Reader Growth team is launching an experiment to test a new [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Share_Card|Share Card feature]] that allows readers to create visually engaging cards from Wikipedia articles or selected article sections and share them online, with each card linking back to the original article to help expand readership and article discovery. The mobile-only A/B test will be available to a portion of readers on Arabic, Chinese, French, Vietnamese, and English Wikipedia to better understand reading and sharing habits, and is scheduled to begin the week of May 18 and run for four weeks. * The Android and iOS Wikipedia apps recently released the [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/25th_Birthday_Reading_Challenge|25-day reading challenge]] into Beta, as part of efforts to drive reader engagement by encouraging users to complete reading milestones. To track their reading streak during the challenge, App users can add a widget featuring Baby Globe to their home screen. The challenge officially begins May 11. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:17}} community-submitted {{PLURAL:17|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the global preference for enabling syntax highlighting in wikitext could unexpectedly disable itself after being turned on, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T425286] '''Updates for technical contributors''' * [[File:Octicons-tools.svg|12px|link=|alt=|Advanced item]] The ResourceLoader module <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mediawiki.ui.input</nowiki></code></bdi>, deprecated since [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2023/39|September 2023]], will be removed this week. There is a [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Migrating_from_MediaWiki_UI|guide for migrating from MediaWiki UI to Codex]] for any tools that use it. [https://phabricator.wikimedia.org/T420125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.2|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/20|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W20"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 21:20, 11 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30524429 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-21</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W21"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The Abstract Wikipedia team has identified five potential pilot wikis to assess their interest in adopting abstract articles on their wikis. The pilots are Malayalam, Bengali, Dagbani, Arabic, and Indonesian Wikipedia. The feedback period will be open until May 22. If your community is interested in becoming a pilot, [[m:Talk:Abstract Wikipedia|let us know on Meta]]. '''Updates for editors''' * An experiment to show [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists]] to logged-out readers on mobile web will launch on May 18 across German, Spanish, Italian, Portuguese, Polish, Dutch, Turkish, and Urdu Wikipedias, and will run for one month. The effort supports broader goals of helping readers save and organize articles for later reading, while encouraging habits that could lead to future Wikipedia contributions. * To support a bookmark button in the Reading List beta feature, the "Tools > Action" menu has been updated to display icons, including the watch star indicator that helps editors identify temporarily watched articles. The icons now also match those used on mobile, improving consistency across platforms. The change is currently limited to the actions menu and mainly affects editors with privileged user rights. [https://phabricator.wikimedia.org/T426008] * [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] was released as an [[w:en:A/B test|A/B test]] for newcomer editors on the mobile website at [[phab:T421189|~15 Wikipedias]]. The experiment will measure the impact that Suggestion Mode has on the proportion of newcomer mobile web edit sessions that result in constructive (un-reverted) article edits. The experiment will also evaluate the feature's impact on editor retention, and monitor changes in revert and block rates. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue in the Wikipedia Android app where images could sometimes fail to load after opening a recommended reading list notification, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T418231] '''Updates for technical contributors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikidata Platform|Wikidata Platform team]] has published its [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/Backend Replacement|backend replacement recommendation]] and accompanying [[wikitech:Wikidata Query Service/WDQS Architecture re-design|technical architecture]] for the migration of the Wikidata Query Service (WDQS) away from Blazegraph. Feedback is invited until May 25th 2026, especially on potential gaps and impacts on advanced use cases. Wikidata community members and WDQS users are also encouraged to help identify high-impact tools and workflows that may need attention on [[d:Wikidata:SPARQL query service/WDQS backend update/High-Impact Use Cases|this page]]. Feedback can be shared on the [[d:Wikidata talk:SPARQL query service/WDQS backend update|Migration talk page]] or during the [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Blazegraph Migration Office Hours|next office hour]]. See the [[d:Special:MyLanguage/Wikidata:Wikidata Platform team/Newsletter|WDP team newsletter]] for more details. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.3|MediaWiki]] '''In depth''' * On English, French, Japanese, and a few other Wikipedias, there was a [[diffblog:2025/09/02/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha/|trial of hCaptcha]], a third-party bot detection service. The trial showed that hCaptcha effectively detects and deters some bad-faith automated activity, on its own and by giving [[w:en:Wikipedia:Village pump (technical)/Archive 225#Introducing SuggestedInvestigations|checkusers and stewards]] signals to look into. Because the results were positive, hCaptcha will be rolled out across all wikis over the next few weeks. [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Anti-abuse signals/hCaptcha|See the hCaptcha project page]] for technical information about the implementation and privacy protections. [[diffblog:2026/05/04/better-detecting-bots-and-replacing-our-captcha-part-2/|Learn more]]. * The latest Community Tech update is now available, with progress across several Community Wishlist initiatives, including Reading Lists expansion from the mobile app to the website, new language support for "Who Wrote That" and the Personal Dashboard, improvements to 3D rendering and Charts, and upcoming work on talk page sorting, audio playback, and editing workflows. The update also shares current priorities, wishlist status trends, and opportunities for community feedback on future focus areas and the Wikimedia Foundation’s 2026–2027 Annual Plan. [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 13, 2026: Latest updates from the Community Tech team|Read the full newsletter for details]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/21|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W21"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 22:21, 18 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30539262 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-22</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W22"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/22|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Following a [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#LOWM|successful account creation experiment]], an improved logged-out edit warning message will be deployed to all Wikimedia wikis in the first week of June. The change will only affect logged-out users on mobile web who open an editing session. The updated experience is designed to encourage account creation more clearly, while still allowing users to edit with temporary accounts. Results from the experiment showed a significant increase in account creation, with a 27% relative lift among users shown the updated message. As expected, as more people funnel into account creation, temporary accounts decreased by a relative 16%. The experiment did not show any significant changes in constructive edit rates or other monitored contributor metrics. [https://phabricator.wikimedia.org/T424595] '''Updates for editors''' * For security reasons, members of certain user groups are [[m:Special:MyLanguage/Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights|required to have two-factor authentication]] (2FA) enabled. Members of these groups will be unable to disable the last 2FA method on their account, and it will be impossible to add users without 2FA to these groups. Users will still be able to add new authentication methods or remove them, as long as at least one method is continuously enabled. In the next few weeks, users without 2FA will be removed from these groups. Notably, this applies to bureaucrats. See the linked tasks for deployment schedules. [https://phabricator.wikimedia.org/T423119][https://phabricator.wikimedia.org/T423120] * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]] will run an [[w:en:A/B testing|A/B test]] on [[:phab:T415904|10 wikis]], testing [[m:WMDE Technical Wishes/References/Reference Previews|potential improvements for Reference Previews]]. The experiment will run for ~2 weeks at the end of May / beginning of June and will affect 10% of desktop readers on the participating wikis. * After two successful experiments, the Reader Growth team is rolling out an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|Image Browsing]] beta feature for all Wikipedias on mobile on May 25. This means that anyone who has all beta features on by default will start to see this feature, and others can check the box to turn it on in their preferences. The beta feature will include a carousel of all an article's images at the top of the article, with controls for editors to [[mw:Readers/Reader_Growth/Image_Browsing#Phase_2.1_beta_feature|exclude images from the article's carousel or to exclude an article from the feature entirely]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:30}} community-submitted {{PLURAL:30|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, three dimensional STL files were being rendered incorrectly by the media viewer 3D extension which is now fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T416723] '''Updates for technical contributors''' * The legacy CSS classes <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>tleft</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>tright</nowiki></code></bdi> have been replaced with <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>floatleft</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>floatright</nowiki></code></bdi> as the former do not work consistently across all MediaWiki platforms, notably mobile web and mobile apps. Projects relying on these classes are encouraged to review related usage and plan for migration. Please note that <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>floatleft</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>floatright</nowiki></code></bdi> may also be deprecated in future, although there are currently no plans to do so. [[phab:T426452|Read more]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.4|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/22|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W22"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23:52, 25 mag 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Quiddity (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30584502 --> == This Month in Education: May 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 5 • May 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities|Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania|Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Debating free license in Brazil|Debating free license in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India|Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects|Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges|Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem|Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria|Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia MKD's Education News & Activities|Wikimedia MKD's Education News & Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year|Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:53, 1 giu 2026 (CEST)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30604297 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-23</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W23"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|Reader Experience team]] is conducting an experiment to show the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|reading lists]] feature, which is still in development, to logged-out mobile readers to test whether it encourages account creation at a higher rate compared to the watchstar button. The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#Experiment timeline|experiment]] was launched on May 18th on German, Spanish, Italian, Portuguese, Polish, Dutch, Turkish, and Urdu wikis, and it will run for a month. * The Wikimedia Apps team released [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|Phase 1]] of the redesigned Home Feed to the Android Beta app. The new Home Feed includes a refreshed "Community" tab and a personalized "For You" tab featuring daily updated reading recommendations. The redesign is part of a broader effort to improve content discovery and create more engaging learning experiences in the Wikipedia apps. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:18}} community-submitted {{PLURAL:18|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where images could fail to load for some suggested edits on [[w:Special:Homepage|Special:Homepage]], leaving the thumbnail stuck in a loading state, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T424048] '''Updates for technical contributors''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.5|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/23|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W23"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23:08, 1 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30613639 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-24</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W24"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Wikimedia Enterprise has increased the free usage limits for its API offerings. The monthly request limit for the On-demand API has increased from 5,000 to 50,000 requests, while the Snapshot API limit has increased from 15 to 30 requests per month. In addition, Structured Contents snapshots are now available for free accounts. These changes expand access to Wikimedia Enterprise data for developers, researchers, and organizations using Wikimedia content. [https://enterprise.wikimedia.com/blog/enhanced-free-api] '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Explore Feed Refresh/Phase 1|refreshed Explore Feed]], now called the Home Feed, is rolling out to 50% of users of the Wikipedia Android app. The Home Feed helps readers discover relevant content through two new tabs: ''Community'' and ''For You''. The Community tab provides a scrollable feed of curated content and updates from the broader Wikimedia community and movement, while the ''For You'' tab offers a full-screen, swipeable experience that shows content tailored to a user's interests. The redesign is part of a broader effort to improve discovery and enhance the learning experience in the Wikipedia app. * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/iOS/"Which came first?" Game|Which came first?]] daily trivia game is now available in the beta version of the Wikipedia iOS app in English, German, French, Portuguese, Russian, Spanish, Arabic, Chinese, and Turkish. The game uses historical events from Wikipedia's "On This Day" content and challenges readers to guess which of two events happened first. The game was previously released on Android. Communities interested in making the game available in their languages can [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_Apps/Team/Games#Game availability by language|read the instructions and requirements]]. * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]], a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details, will begin rolling out to Wikimedia wikis following a successful pilot phase. Deployment will start on 8 June for most [[wikitech:Deployments/Train#Wednesday|Group 1 wikis]] and French Wikipedia, with additional Wikipedia language editions receiving the feature over the coming months. Communities are encouraged to prepare by checking for [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&group=ext-cite&language=en&action_source=search&filter=%21translated&optional=1&action=translate untranslated Cite extension messages] in their language and reviewing any use of [[mw:Special:MyLanguage/Reference Tooltips|Reference Tooltips]], which may require [[:phab:T416304#11668731|updates]] to support the new functionality. Wikis using [[mw:Special:MyLanguage/Help:Reference Previews|Reference Previews]] do not need to take any action. Communities may also wish to create the ''cite-tracking-category-ref-details'' [[Special:TrackingCategories|tracking category]] as a hidden category using <code><nowiki>__HIDDENCAT__</nowiki></code> (or a dedicated template), and connect it to the corresponding Wikidata item [[d:Q129764848]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T425662] * The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews#Experimentation|Page Previews experiment]] on mobile web has concluded. The team decided not to roll out the feature after the results showed no statistically significant impact on reader retention, as the primary success metric was retention improvement. Page Previews, which are already available on desktop and in the apps, display a thumbnail, lead paragraph, and link to the full article when readers tap a blue link. The experiment tested this experience on mobile web across six Wikipedias. * The [[mw:Special:MyLanguage/Codex/Design/Icons|user interface icon library]] will be [[phab:T399175|updated later this week or next week]]. Most of the ~300 icons have been slightly refined and ~30 new icons have been added. These changes improve the icons to make them more consistent and comprehensible, and provide more visual balance when they are used in groups. * The [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector|Universal Language Selector]] (ULS) interface in MediaWiki, which helps users select content in other languages, has been updated. The new version improves speed and accessibility, and users of Wikimedia projects can now pin languages for quicker language switching. The deployment to Wikimedia sites will happen gradually in the coming weeks. You can test it now as a beta feature by selecting [[Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|beta features]] in your profile preferences and share your feedback on [[mw:Special:MyLanguage/Universal Language Selector/New ULS|the project page]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:21}} community-submitted {{PLURAL:21|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the Pageviews Analysis dashboard on pageviews.wmcloud.org stopped updating graph data in May 2026, affecting all users, has been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T427171] '''Updates for technical contributors''' * The function signature for <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink()</nowiki></code></bdi> has been simplified. Developers can now pass a configuration object instead of a list of positional parameters when creating portlet links. The previous function signature remains supported for backwards compatibility. For example, instead of: <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', '#', 'Stub', 'ca-stubtag', 'Add a stub tag to this page');</nowiki></code></bdi> use <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>mw.util.addPortletLink('p-cactions', { href: '#', text: 'Stub', id: 'ca-stubtag', tooltip: 'Add a stub tag to this page' });</nowiki></code></bdi>. Script maintainers are encouraged to review existing uses of <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>addPortletLink()</nowiki></code></bdi> and update them where appropriate. This change will be available on all wikis from 11 June. Thanks to community volunteer Gerges for contributing this improvement. [https://phabricator.wikimedia.org/T427945] * '''Community Wishlist discussion''': Product & Technology [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates#May 20, 2026: Community Tech becomes a program|introduced changes]] meant to increase the number and complexity of wishes fulfilled, including the disbanding of the Community Tech team. They are [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|engaging in discussions]] about a [[m:Talk:Community Wishlist#Proposed direction for Wishlist|proposed direction for the wishlist]] from community members. Includes ways to structure annual voting, better tracking of wishes, removing focus areas, and [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Updates|staffing updates]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.6|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/24|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W24"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 23:30, 8 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30650573 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-25</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W25"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth|Reader Growth team]] has launched an [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|Image Browsing]] beta feature on the mobile web version of all Wikipedias. The feature shows an image carousel at the top of articles with 3 or more images. Editors can configure this feature with the following controls: to hide a specific image from a page, either use <code>class=notpageimage</code> excluding it from thumbnail previews, or <code>class=noviewer</code> excluding it from MediaViewer. The carousel can also be disabled from a page entirely, with the magic word <code><nowiki>__NOMEDIAVIEWERCAROUSEL__</nowiki></code>. To submit feedback or flag bugs, please visit the [[mw:Talk:Readers/Reader Growth/Image Browsing|project page]]. * [[mw:Special:MyLanguage/Help:Tables#class="wikitable"|Wikitables]] can now be [[mw:Special:MyLanguage/Help:Sortable tables#Forcing the initial sort direction|sorted in descending order]] on the first click by adding <code dir=ltr>data-sort-order="desc"</code> to the header cell. Previously, by default, clicking a column header for the first time sorts it in ascending order. This addition to a Wikitable gives it more control and flexibility, while the default behavior for subsequent clicks remains unchanged. [https://phabricator.wikimedia.org/T398416] '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Article guidance]] feature is currently being tested with some editors creating new articles on the Simple English, French, and Turkish Wikipedias. The experiment will soon begin on the Arabic and Bangla Wikipedias as well. [[w:simple:Special:NewArticle|This feature]] gives editors community-curated guidance to help them create articles that follow community standards. Experienced editors can continue creating or adapting outlines for specific article types that are commonly created by less experienced contributors. The outlines guide less experienced editors in creating high-quality articles. A quick guide to markups used in outlines can be found on [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Test feature guide#Markups in outlines|this page]]. [[w:simple:Wikipedia:Article Guidance|Example outlines]] that can be adapted and instructions for how to adapt them are on [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance#Adapting a sample outline in a Wikipedia|this section]] of the project page. * Wikis that wish to replace the "indefinitely" button in Special:Block for temporary accounts (for example, wikis that block temporary users only until account expiration) will be able to do so by creating [[MediaWiki:ipb-indefinite-expiry-temporary-account]] with the block duration they want. [https://phabricator.wikimedia.org/T427125] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:41}} community-submitted {{PLURAL:41|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. '''Updates for technical contributors''' * By the end of June, a valid user-agent string will be required for automated dumps downloads from the dumps.wikimedia.org website. Automated requests that provide a generic or empty user-agent will be blocked. This [[phab:T400119|extends enforcement]] of the long standing [[foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|user-agent policy]]. Access to dumps through Wikimedia Cloud Services will not change. * The roll out of global [[mw:Wikimedia APIs/Rate limits|API rate limits]] is now complete, with limits enforced across all APIs and at the documented levels for all groups. Bots running in Toolforge/WMCS or with the bot user right on any wiki remain exempt. All bots should continue to follow the documented best practices to avoid being rate limited. * The [https://api.wikimedia.org/wiki/Main_Page API Portal wiki] will be read only starting this week (June 15-18). The following week (June 22-25), all API Portal wiki URLs will redirect to [[mw:Wikimedia APIs|Wikimedia APIs on mediawiki.org]]. Learn more on the [[wikitech:API Portal/Deprecation|project page]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.7|MediaWiki]] '''Meetings and events''' * On June 17th at 6pm UTC the WMF will be holding Discord call focused on a code review. We've heard through the [[mw:Special:MyLanguage/Developer Satisfaction Survey/2026|Developer Satisfaction Survey]] that volunteers are struggling with code review and we'd like to discuss these experiences with the goal of surfacing workable solutions. You can join the call [https://discord.gg/wikipedia?event=1514727511102062664 via the Wikimedia Community Discord server]. * The [[m:Special:MyLanguage/Conferencia Wikimedia de América Latina 2026|Latin American Wikimedia Conference]] will host a regional hackathon that will bring together the Wikimedia movement’s technical community including developers, system administrators, data scientists, and users with extended rights. Interested technical contributors can [https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSf4osJzTHBJjQbYJk7TMVEJjTEQv7IgtsUDfP-o-qTgeRQQxw/viewform apply for a scholarship] to participate until June 21 at midnight (Bolivia time, UTC-4). * Sign up for Wikimania Team Challenges to join this special event. The Team challenges will take place online and in person from July 21 to 22, before Wikimania conference. Everyone is welcome, regardless of skills or Wikimania registration. Teams will work on 10 important challenges supporting the Wikimedia community. For details, visit [[wmania:Special:MyLanguage/2026:Team challenges|the Team Challenges page]] and [https://wikimedia.eventyay.com/wm/teamchallenges/ register there]. Registration closes on June 20th at 11pm UTC. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W25"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18:48, 15 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:UOzurumba (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30689604 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-26</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W26"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|Growth features]] are [[phab:T418115|now available at Wikidata]]. This update enables access to Mentorship ([[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship|if configured]]), Impact module, the Help Panel, and a simplified Newcomer Homepage (without Suggested Edits). Wikidata administrators are still configuring the features through Community Configuration. '''Updates for editors''' * The special page [[{{#special:RangeCalculator}}]] has been created. It allows users to find an IP range without needing to rely on external tools. Until now, this tool was only available to CheckUsers. [https://phabricator.wikimedia.org/T268429] * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]] is a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details. It will be deployed to most small and medium-sized Wikipedia language versions on June 23. The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] lists possible actions to take on your wiki to support the deployment. Check the [[:phab:T414094|rollout plan]] for the next deployment steps. [https://phabricator.wikimedia.org/T428902] * Starting next week, users will get a notification when they are blocked or unblocked from editing, or if this block changes. [https://phabricator.wikimedia.org/T100974] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:32}} community-submitted {{PLURAL:32|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. '''Updates for technical contributors''' * Starting next week, abuse filters that are set to "require CAPTCHA verification" will begin to also affect users with the <code>skipcaptcha</code> right, which includes most autoconfirmed users. Bots are exempted. This change only affects edits that trigger an abuse filter. The <code>skipcaptcha</code> right will continue to exempt users from having to solve CAPTCHAs in the ordinary course of using the wikis. [https://phabricator.wikimedia.org/T402595] * Reference documentation for the [[wikitech:Machine_Learning/LiftWing/API|Lift Wing API]] has moved from the API Portal to the interactive [https://wikitech.wikimedia.org/w/index.php?api=lift-wing&title=Special%3ARestSandbox REST Sandbox]. * The API Portal wiki is now closed. For API documentation, see [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia_APIs|Wikimedia APIs on mediawiki.org]]. All API Portal wiki URLs (https://api.wikimedia.org/wiki/) will redirect to the mediawiki.org page starting June 22. [https://phabricator.wikimedia.org/T427537] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.8|MediaWiki]] '''Meetings and events''' * Join an online call on 25 June at 2:30pm UTC to meet the current Wikimedia interns for [[mw:Google_Summer_of_Code/2026|Google Summer of Code]] and [[mw:Outreachy/Round_32|Outreachy]]. Interns will provide an overview of their projects and a brief demo of their work so far. Attendees are encouraged to [[mw:event:Google_Summer_of_Code/Summer_2026_June_Internship_open_session|share ideas and connections in their community]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/26|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W26"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15:05, 23 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:Trizek (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30722494 --> == This Month in Education: June 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 6 • June 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement|Wikipedia Editathon at Dinajpur Govt. College: Empowering Graduate Students in the Open Knowledge Movement]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026|Wikimedia Serbia prepares for Edu Wiki camp 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries|Wiki Digi-Youth Clubs pilot explores challenge-based learning across three countries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education|Why the EduWiki Hub Starter Kit Matters for the Future of Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite|Portuguese Universities adopt free knowledge tools: Wikipedia is the favorite]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo|Translating on Wikipedia used as extra – credit assignment in University of Prishtina, Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives|Strengthening Wikimedia Education Through Community Learning and Digital Literacy Initiatives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana|Small Group, Big Impact: Building Skills Through the Wikimedia Volunteer Focus Group in Botswana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina|"25x25 Project – Celebrating Wikipedia" in Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities|Mapping and gathering educational activities on Wiki in Brazilian universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026|Growing Wiki Education in the Philippines: Highlights from Bikol WikiConference 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program|From Mentee to Builder: Six Months in the EduWiki Hub Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter|EduWiki Hub publishes its first Community Newsletter]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography|Click, Capture, and Contribute: Scaling Open Knowledge Through Mobile Photography]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes|Education in Action: Limkokwing School Adoption Program 2026 and Wikimedia Learning Outcomes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2026/Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda|Impact of Wiki Digi youth Clubs initiative in education of Rwanda]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 06:15, 28 giu 2026 (CEST)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30725833 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-27</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W27"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * As part of the [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|Account Creation Experiments]], the Growth team tested adding a user account icon in the mobile web header for logged-out users, providing direct access to "Create account" and "Log in" actions. The experiment increased account creation by about 20% without negatively affecting edit quality or constructive edit rates. The feature will now be rolled out to all Wikimedia Foundation wikis on mobile web in the first week of July. [https://phabricator.wikimedia.org/T428220] * After a [[phab:T426248|successful experiment]], logged-in users who did not [[mw:Special:MyLanguage/Help:Email_confirmation|confirm their email address]] when their account was created see a new banner asking them to complete that process. This helps reduce the risk that users get locked out of their account, and makes account email addresses overall more reliable. This is part of the [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/Account Security|Account Security]] project. [https://phabricator.wikimedia.org/T428292] * An update to [[Special:Search|Search]] is refining how the <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> behaves when used to exclude results. Previously, using <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> with negation could unintentionally broaden search results by adding the namespaces included in the search scope, leading to confusing behavior for users expecting a straightforward exclusion filter. With the update, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>-prefix:</nowiki></code></bdi> will now strictly exclude matching page titles as intended and may display a warning if the relevant namespace has not been explicitly selected. The behavior of <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>prefix:</nowiki></code></bdi> without negation however remains unchanged. [https://phabricator.wikimedia.org/T427443] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:33}} community-submitted {{PLURAL:33|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where reviewers using the Page Curation toolbar were not automatically subscribed to talk page discussions they started has now been fixed. Reviewers will now receive notifications when someone replies to those discussions. [https://phabricator.wikimedia.org/T329346] '''Updates for technical contributors''' * Starting June 29th, automated downloads from the dumps.wikimedia.org website will be subject to the [[Foundation:Special:MyLanguage/Policy:Wikimedia Foundation User-Agent Policy|user-agent policy]]. Automated requests that provide a generic or empty user-agent will be blocked. Access to dumps through Wikimedia Cloud Services remains unaffected. This is a follow up to the announcement made in the [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/25|2026/25 issue of Tech News]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.9|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/27|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W27"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13:48, 29 giu 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30744833 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-28</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W28"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:34}} community-submitted {{PLURAL:34|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the search bar results on Wikidata, showed English results instead of using the correct language fallback for users of language variants, has now been fixed. Search suggestions will now follow the expected language fallback chain. [https://phabricator.wikimedia.org/T429769] '''Updates for technical contributors''' * In preparation for [[m:Special:MyLanguage/Event:Celebrate Women|Celebrate Women campaign]] planned for March 2027, the Wikimedia Foundation’s [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation/Advancement/Community Growth/Content Enablement|Content Enablement team]] has launched a 22-question survey to better understand technical contributions by women+ (anyone who identifies as a woman) across Wikimedia projects. The survey takes approximately 15–20 minutes to complete and will remain open until 20 July 2026. The [[m:Special:MyLanguage/Celebrate Women/Technical contributions survey|questions]] are also available on-wiki for review in advance. * The [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|Score extension]] now supports rendering music scores as SVG images in addition to PNG, addressing a long-standing [[:phab:T49578|feature request]] and resolving historical image quality issues. Both formats are now provided to clients, with PNG in the <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>src</nowiki></code></bdi> attribute and SVG in the <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>srcset</nowiki></code></bdi> attribute. * The new [[wikitech:Parsoid|Parsoid]] parser [[mw:Special:MyLanguage/Parsoid/Parser_Unification/Updates|continues to be deployed to additional wikis]], making it easier to introduce new reading and editing features. It was enabled on French Wikipedia, bringing total progress to covering 78.9% of Wikipedia page views. Rollout to English Wikipedia desktop will progress through this week. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.10|MediaWiki]] '''In depth''' * The Wikimedia Hackathon 2026 [[diffblog:2026/06/29/wikimedia-hackathon-2026-building-collaborating-and-shaping-the-future-together/|recap blog post]] is now live. It highlights the projects, sessions, and social activities from this year’s event, and shares initial plans for the 2027 Wikimedia Hackathon. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/28|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W28"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 15:57, 6 lug 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30773578 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-29</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W29"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone|Revise Tone]] helps newcomers identify passages in Wikipedia articles that may contain non-encyclopedic language and encourages them to consider revising the tone. The feature was [[w:en:A/B_testing|A/B tested]] on the Arabic, English, French, and Portuguese Wikipedias, where newcomer task completion rates [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise_Tone#Experiment_Results|increased by 38.7%]] compared to the default Copyedit task, with no decrease in edit quality. The test ended on July 9, and the feature is now available for everyone on these wikis, configurable via Community Configuration. [[phab:T426364|The plan]] is to release Revise Tone to more wikis. * The community configuration that allows [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|automatic removal of inactive mentors]] based on configurable criteria will be enabled on Thursday 16, [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Deployment|on some wikis]] to keep mentor lists up to date. Mentors are experienced contributors who opt in to help new users on-wiki through the [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Feature summary|Growth Features]]. Administrators can now prepare the settings via [[w:Special:CommunityConfiguration/Mentorship|Special:CommunityConfiguration/Mentorship]]; they will take effect starting Thursday. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:38}} community-submitted {{PLURAL:38|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where some users of the Wikipedia Android app were logged out immediately after signing in, preventing them from staying logged in and editing pages, has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T316916] '''Updates for technical contributors''' * Editing a page via user scripts or gadgets was causing watchlist labels that the user had assigned to that page to reset. This has now been fixed. [https://phabricator.wikimedia.org/T423778] * To work around a Safari bug (see [[phab:T425211]]), on Parsoid-enabled wikis, wikilink hrefs now use absolute urls instead of protocol-relative urls. REST API output remains unchanged and continue to use protocol-relative urls. Gadgets, user scripts, bots, and CSS might need to be adapted if they relied on the presence of protocol-relative urls in wikilink hrefs. [https://phabricator.wikimedia.org/T431358] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.11|MediaWiki]] '''In depth''' * The Wikimedia Foundation’s Experiment Platform Team has published a blog post reflecting on its first year of structured experimentation. It highlights successful experiments such as Paste Check, Reference Check, and Tone Check, which improved editing outcomes and have been rolled out to more users, as well as experiments that did not lead to product changes. [[diffblog:2026/07/07/moving-the-needle-how-we-test-new-ideas-across-wikimedia-projects|Read more]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/29|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W29"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 18:11, 13 lug 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30804401 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-30</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W30"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * The [[mw:Special:MyLanguage/Reader/Reader Experience|Reader Experience team]] has incorporated community feedback around the placement of watchstar and watchlist buttons for the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/WE3.3.4 Reading lists|Reading Lists beta feature]], which would allow for saving articles for later reading – a [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/W102|wishlist item]] to bring the functionality to web. Editors are invited to enable the beta feature to test it out and [[phab:T426453|share their thoughts]]. * [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion Mode|Suggestion Mode]] offers edit suggestions within the VisualEditor for improving Wikipedia articles. [[Special:EditChecks|All suggestions]] are [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#For administrators – local customization|community-configurable]]. The [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/TextMatch|TextMatch]] feature is a way for volunteers to create custom local suggestions. The feature searches in articles for strings of text, and now includes support for regular expressions. This gives volunteers greater precision and flexibility over the kinds of local suggestions they can create. Note: Suggestions [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/Configuration#:~:text=maximumEditcount|can be targeted]] based on the edit count of the person editing as well as other aspects of the page. You can [[mw:Special:MyLanguage/Help:Suggestion mode#Create custom local types of Suggestions|find examples from other communities]] for inspiration, including TextMatches that detect: typos, grammar-errors, potential advertisements, clichés, incorrect dash or hyphen usage, non-specific time keywords, outdated names, and more. Any [[mw:Special:MyLanguage/Talk:VisualEditor/Suggestion Mode|feedback]] is appreciated. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:27}} community-submitted {{PLURAL:27|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where the SVG Translate tool could use an outdated version of a file, causing existing translations to be overwritten when new ones were uploaded, has now [[phab:T430577|been fixed]]. Overall, in the last quarter from April – June 2026 about 337 community tasks were resolved by the Wikimedia Foundation. '''Updates for technical contributors''' * On Parsoid-enabled wikis, Parsoid now renders a maximum of 1,250 images per page. A new tracking category, "media-limit-reached", will be soon made available to identify pages where this limit is reached, making it easier to find content whose media output may have been restricted during rendering. See [[phab:T430854]] for more information and to provide feedback. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.12|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/30|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W30"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 07:46, 21 lug 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30836091 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-31</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W31"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/31|Translations]] are available. '''Updates for editors''' * [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Wishlist item]] [[mw:Special:MyLanguage/ContentTranslation|Content Translation]] now supports dark mode, fulfilling a [[m:Community Wishlist/W544|Community Wishlist request]]. This brings the tool in line with the accessibility features available in the Vector 2022 and Minerva skins, helping reduce visual fatigue for users translating content. [https://phabricator.wikimedia.org/T367077] * DiscussionTools' source mode and the 2017 wikitext editor will now offer autocomplete for links (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>[[</nowiki></code></bdi>), templates (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{{</nowiki></code></bdi>), HTML and parser tags (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki><</nowiki></code></bdi>), and magic words (<bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>__</nowiki></code></bdi>), making it quicker and easier to insert links, templates, and other wiki markup while editing. [https://phabricator.wikimedia.org/T432400] * The [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Mobile page previews|Readers Growth team]] has concluded its experiment with mobile page previews and will not roll out the feature. Page Previews are a pop-up bottom sheet that appears when readers tap a blue link, showing a thumbnail, lead paragraph, and an option to open the article. The experiment showed flat retention and negative indicator metrics, suggesting that mobile web readers preferred navigating directly to linked articles rather than using page previews. * The Reader Experience team has seen encouraging early results from the [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Reading Lists feature]], with 93% of participating users reporting that it was useful. Reading Lists help active readers save articles for future reading and support their learning goals on Wikimedia projects. The team plans further improvements before expanding the feature to more users. * The [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Explore Feed Refresh|Explore Feed Refresh]] initiative was tested with new and casual Wikipedia app readers. The refreshed feed helps readers discover new and relevant content. After a 10.5% increase in engagement with the feed, Wikimedia Apps team has decided to scale the Home Feed redesign to iOS with the learnings from the Android release applied. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:23}} community-submitted {{PLURAL:23|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where subject names in the Article Guidance feature were displayed with incorrect capitalization on French Wikipedia, has now been fixed. Subject names will now follow the correct capitalization rules for the language. [https://phabricator.wikimedia.org/T427201] '''Updates for technical contributors''' * After running several [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|Account Creation Experiments]] to improve registration completion rates, a new version of the username field on [[Special:CreateAccount|Create Account]] has been rolled out. It includes [[:c:File:Create account - July 2026 updates.png|a popover summarizing the username policy]] to provide clearer guidance during account creation. As part of this change, the messages <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>createacct-helpusername</nowiki></code></bdi> and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>createacct-username-help</nowiki></code></bdi> that several communities have configured will no longer be used. If communities want to customize the guidance shown in the new popover, they can instead edit the following messages: <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>createacct-username-policy-popover-bullet1</nowiki></code></bdi>, <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>createacct-username-policy-popover-bullet2</nowiki></code></bdi>, and <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>createacct-username-policy-popover-bullet3</nowiki></code></bdi>. [https://phabricator.wikimedia.org/T430604] * Later this week, the [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror syntax highlighter]] will offer [[w:en:Theme (computing)|themes]]. The themes can be picked from a dropdown menu in the full [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror#CodeMirror preferences|CodeMirror preferences]] dialog. For wikitext, available themes are default, colorblind-friendly (previously the colorblind preference option on [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing]]) and no-highlighting. For code languages (i.e., CSS/JavaScript/JSON/Vue/Lua), there are several themes available. These same themes will eventually be available for wikitext, too. [https://phabricator.wikimedia.org/T163533] * From now on, wikis can restrict editing in the "User" namespace to only the page owner and certain user groups. [[mw:Special:MyLanguage/Manual:$wgRestrictUserPageEditing|Read the configuration documentation]] to learn more. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.14|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/31|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W31"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 20:49, 27 lug 2026 (CEST) <!-- Messaggio inviato da User:STei (WMF)@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=30856308 --> == This Month in Education: July 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 7 • July 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia|Practical Wikipedia Training for Teachers Held in Tetovo, Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival|Wikimedia Ukraine at the Teachers of the Future Festival]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor|Six Months of Growth, Learning, and Impact: My Journey as an EduWiki Mentor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026|PhilWiki Community pays homage to Antoine de Saint-Exupéry at Wikimania Paris 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Google25 Expands Tamil Wikipedia Community|Google25 Expands Tamil Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge|Edu Wiki camp gathers Serbian youth around the topic of open knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere|Cátedra Glaciares: A Collaborative Experience for the Study and Conservation of Colombia’s Cryosphere]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Continuing Wiki education partnerships in Brazil|Continuing Wiki education partnerships in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects|Building EduWiki in Albania: From school outreach to student contributions in Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026|1Lib1Ref WUGN Kaduna, 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2026/We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM|We create the first master class on access to knowledge and open technology in collaboration with National Autonomous University of Mexico, UNAM]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 21:48, 30 lug 2026 (CEST)</div> </div> <!-- Messaggio inviato da User:ZI Jony@metawiki usando l'elenco su https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=30838310 --> hfjebwq0w4ndsme4o2pp5gm2nn9cve9 2 34010 285536 285535 2026-07-30T12:44:11Z Funzioni di correlazione 24136 285536 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione della funzione con grafico== Il grafico della funzione di correlazione incrociata, per grandezze definite in bande di frequenze comprese tra <math> 0 \ e \ F1 </math> sarà simile a quello della funzione di autocorrelazione, ma traslato nell'asse di <math> \tau *</math> con il massimo per <math> \tau * </math> e un profilo simmetrico per valori rispettivamente inferiori e superiore di <math> \tau *</math>, cosi come mostrato in figura 1 per <math> \tau* = 500 \ \mu s \ e \ F1 = 2500 \ Hz.</math> [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|figura 1]] {{clear}} Questo tipo di funzione è talvolta ricorrente nelle applicazioni tecniche dato che numerosi problemi comportano che il massimo della <math>C( \tau ) </math> non coincida con <math> \tau = 0 </math> ma generalmente con valori di <math> \tau </math> diversi da <math>0.</math> Molte volte, con la ricerca e la successiva determinazione di <math> \tau*</math>, si possono risolvere importanti problemi di varia natura. In questo caso la funzione di autocorrelazione: <math>C(\tau) = \left[ \frac { \sin \ ( 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot \tau) ) } { (2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot \tau) } \right] \ \ \ </math> si trasforma nella funzione di correlazione incrociata: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) 9hi1y40xgu6y9ddattg682lpqywwocy 285537 285536 2026-07-30T12:46:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285537 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Studio di una funzione== =Esposizione della funzione con grafico= [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|figura 1]] {{clear}} Questo tipo di funzione è talvolta ricorrente nelle applicazioni tecniche dato che numerosi problemi comportano che il massimo della <math>C( \tau ) </math> non coincida con <math> \tau = 0 </math> ma generalmente con valori di <math> \tau </math> diversi da <math>0.</math> Molte volte, con la ricerca e la successiva determinazione di <math> \tau*</math>, si possono risolvere importanti problemi di varia natura. In questo caso la funzione di autocorrelazione: <math>C(\tau) = \left[ \frac { \sin \ ( 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot \tau) ) } { (2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot \tau) } \right] \ \ \ </math> si trasforma nella funzione di correlazione incrociata: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) o219hmo5mzflhj871lfjf7pga2qesme 285538 285537 2026-07-30T12:49:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione della funzione con grafico */ 285538 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Studio di una funzione== ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} 8ej3ue6svdws2qkapfj1360yydxifpj 285539 285538 2026-07-30T12:50:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di una funzione */ 285539 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} q8hfssput0r2z9e2kuhs7l6tijsbgrc 285540 285539 2026-07-30T12:50:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285540 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} gayohf731h6lw0rdxaurqrjtfgzlvlm 285541 285540 2026-07-30T12:55:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285541 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) sono: dqzxy311iw7m1y3ae0u93n18ucw24dg 285542 285541 2026-07-30T13:01:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285542 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff, di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) hilcm1ovn7t57psp6zcwv0hj50lkwq2 285543 285542 2026-07-30T13:04:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285543 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|left|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struettura: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) qdnyc3nk00mr27quav4ticz5v29l0yv 285544 285543 2026-07-30T13:04:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285544 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struettura: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) mby6tx0eptv4a27f0vp5ed0r5xz3h4w 285545 285544 2026-07-30T13:06:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285545 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) b3ppabnl2fsw3tx2yxqygk4yr1lnbzx 285546 285545 2026-07-30T13:07:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285546 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) 7y0i37ceqdaceqwtaem2uu0x6otk03s 285547 285546 2026-07-30T13:08:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285547 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) rlj7qxi7fv86dh959ya6lb0a30qnn5k 285548 285547 2026-07-30T13:09:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285548 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau \\</math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) 8kk3j3exf5ta37nsr2x3u7i3e677l8v 285549 285548 2026-07-30T13:10:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzione */ 285549 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau /</math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) rrkv8pry39d75zs9960kh6q0jmgkx0v 285550 285549 2026-07-30T13:11:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285550 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) 25rcfhjg2ib740fg1j7z3zoopuo9dj6 285551 285550 2026-07-30T13:14:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285551 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== 0rgr23eurb5qxc1o3yo1nd4fowdu7gx 285552 285551 2026-07-30T13:22:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285552 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== 0uwc4pz2a0k54p9y0fewb09ywpiydte 285553 285552 2026-07-30T13:26:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata della 1) secondo IA */ 285553 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Di seguito trovi l'intero procedimento in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ```text Sia <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 9ew8orxeyj2kkc4hcc6h2lqn0tkkfi0 285554 285553 2026-07-30T13:27:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata della 1) secondo IA */ 285554 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 6hj0p9g0omg20xif1jtv9x24hurt1kj 285555 285554 2026-07-30T13:28:58Z Funzioni di correlazione 24136 285555 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa vdel massimo== 0vijdectyvadq3dbtrztcbge297r3tx 285556 285555 2026-07-30T13:29:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa vdel massimo */ 285556 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== c4bhhmvbuhk474cdfzrtdv61ztx122w 285557 285556 2026-07-30T13:37:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285557 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale) p5comyjjf0zkruaxnv6t2mrop15ipw9 285558 285557 2026-07-30T13:39:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285558 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) cem8sh31bjl6sjn1eds24cj7gtteatr 285559 285558 2026-07-30T13:42:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285559 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Ecco il testo in formato grezzo per Wikipedia, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ``` La funzione è <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> \boxed{\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> ``` **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> l5n25h7ktmh1ij22wxlqw2uuztrkbwq 285560 285559 2026-07-30T13:43:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285560 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> \boxed{\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> ``` **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> 9iwvbcek5o68iu2bnkncmtsoczvt6zv 285561 285560 2026-07-30T13:45:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285561 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> ``` **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> kzthg5jy98nq1syeo19afab1ca8ws96 285562 285561 2026-07-30T13:48:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285562 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> 5flzq1d62p3pecub6z0dzwc7b0xy3zo 285563 285562 2026-07-30T13:51:29Z Funzioni di correlazione 24136 285563 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) ==Dalla derivata determinare la primitiva== <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> 6t3nqfy390se2wb59bbrtu54y1l6wrn 285564 285563 2026-07-30T13:52:45Z Funzioni di correlazione 24136 285564 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) ==Dalla derivata determinare la primitiva== <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == qni1a837sz6a8waxm4d6b4v6licwyec 285565 285564 2026-07-30T13:53:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata determinare la primitiva */ 285565 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == 8kn3knp8hdspxw43d26fm15bbpvo6p2 285566 285565 2026-07-30T13:54:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esposizione di una funzione con grafico */ 285566 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == sejnwhnl7gi2a6isrpd8afy6fu7871z 285567 285566 2026-07-30T14:00:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285567 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione dell primitiva di una funzione. g6k8uj0rw8zu07qgqpz8t0n3x20712n 285568 285567 2026-07-30T14:09:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata della 1) secondo IA */ 285568 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione dell primitiva di una funzione. szo12ublwnu1553ye42tplo8qxvir8p 285569 285568 2026-07-30T14:21:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285569 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione dell primitiva di una funzione. Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 1llcwforna0pobh49kiyhcenkxeku2i 285570 285569 2026-07-30T14:24:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285570 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione: Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 7tz4roa212k8cpvqmc4iky70gntmcnm 285571 285570 2026-07-30T14:26:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285571 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione: <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. qdizthh17bk0yee1vneruafm5r0xf8q 285572 285571 2026-07-30T14:27:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285572 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione: <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ad5g4we0ih5mjtup5n44s2e9e3q9a04 285573 285572 2026-07-30T14:27:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285573 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione:<br> <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 052664g1svuinjtw7d7tjqn0092bfqn 285574 285573 2026-07-30T14:30:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata della 1) secondo IA */ 285574 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione:<br> <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. fi7o195n9bmswwxfcmsn6i4bw1osde0 285575 285574 2026-07-30T14:32:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285575 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva == A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 1g4blkeiq898fdjn46koavoo2ilqnkp 285576 285575 2026-07-30T14:33:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* Dalla derivata alla primitiva */ 285576 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. r9ih7mxc0z45bekyyryxwf7rbb07fhd 285577 285576 2026-07-30T14:34:50Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo dell'ascissa del massimo */ 285577 wikitext text/x-wiki =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 086gc7m85v7mj75zqml156bcsvsjun7 285578 285577 2026-07-30T14:41:33Z Funzioni di correlazione 24136 285578 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 2qusnl59jlemcehqxf6sao8eh4lzcli 285579 285578 2026-07-30T14:43:19Z Funzioni di correlazione 24136 285579 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzione= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 4119ec5qd73zvgvlwk1j6f0o5iqpetb 285580 285579 2026-07-30T14:43:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzione */ 285580 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. hbjsggpfj8ky1kfa5ruzdfusx6qyn2u 285582 285580 2026-07-31T06:01:24Z Funzioni di correlazione 24136 285582 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== Ecco un grafico **ASCII** approssimato di (y=\sin(x)) per (0 \le x \le 3) con punti ogni **0,1**. ```text 1.0 | ●●●●●● 0.9 | ●●● ●●● 0.8 | ●● ●● 0.7 | ●● ● 0.6 | ●● ●● 0.5 | ●● ● 0.4 | ● ● 0.3 | ●● ● 0.2 | ● ● 0.1 | ● ● 0.0 |●----------------------------------+---- -0.1 | +--------------------------------------- 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ``` Se invece vuoi vedere **tutti i 31 punti** (uno per ogni valore di (x=0,0.1,\ldots,3.0)) disegnati su una griglia di caratteri, posso produrre un grafico ASCII più dettagliato (circa 80 colonne). 9ufb3ckikli5zm43omu6jb2p2628ogh 285583 285582 2026-07-31T06:09:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285583 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== <math> x^3 + 2 x^2 - x - 2 </math> Se invece vuoi vedere **tutti i 31 punti** (uno per ogni valore di (x=0,0.1,\ldots,3.0)) disegnati su una griglia di caratteri, posso produrre un grafico ASCII più dettagliato (circa 80 colonne). lyf5g0lz7s7k7t2k3idgyv75wz4oucs 285584 285583 2026-07-31T06:09:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285584 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== <math>y = x^3 + 2 x^2 - x - 2 </math> Se invece vuoi vedere **tutti i 31 punti** (uno per ogni valore di (x=0,0.1,\ldots,3.0)) disegnati su una griglia di caratteri, posso produrre un grafico ASCII più dettagliato (circa 80 colonne). im59dcy7qvc0wjt9qzfea6ghiumy0zj 285585 285584 2026-07-31T06:12:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285585 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== <math>y = x^3 + 2 x^2 - x - 2 </math> Se invece vuoi vedere **tutti i 31 punti** (uno per ogni valore di (x=0,0.1,\ldots,3.0)) disegnati su una griglia di caratteri, posso produrre un grafico ASCII più dettagliato (circa 80 colonne). Ecco il grafico della funzione richiesto: [ y = x^3 + 2x^2 - x - 2 ] genui{"functions_sequences_graphs_learning_block":{"type_id":"GRAPHABLE_FUNCTION","content":"y=x^3+2x^2-x-2"}} Il grafico è tracciato come funzione continua; la visualizzazione corrisponde ai punti campionati nell'intervallo (x \in [0,10]) con passo (0{,}1). Per riferimento: * Intervallo: (0 \le x \le 10) * Passo di campionamento: (0{,}1) * Numero di punti: **101** La funzione si può anche fattorizzare come [ y=(x+2)(x+1)(x-1), ] quindi nell'intervallo richiesto interseca l'asse (x) in (x=1). Se desideri, posso anche fornirti la tabella completa dei 101 punti ((x,y)) oppure un file CSV/Excel con i valori. jduw7t3khj35w0qm8lnvugo9ep2ogus 285586 285585 2026-07-31T07:05:36Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285586 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg 8dz8tv5j5930sed67scc92spep3r0va 285587 285586 2026-07-31T07:07:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285587 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg [[File:[[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}}.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} mrpof8wrccjxzkviv6gyesqw5940ilh 285588 285587 2026-07-31T07:08:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285588 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==PRoVA== File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}}.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} 4de4bftqd5rw2gmdicdddn02h1ztel9 285589 285588 2026-07-31T07:14:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* PRoVA */ 285589 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==Sui punti notevoli delle funzioni== Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}}.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} ksfgkbzj5ex6lvyp7jt1qt972lyjuzr 285590 285589 2026-07-31T07:16:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285590 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. ==Sui punti notevoli delle funzioni== Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero: data la funzione [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} feiiecbwp3okl8pp1o96mmcrcfnf6n9 285591 285590 2026-07-31T07:16:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285591 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero: data la funzione [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} o90ey54ab39hmz6ahg53bx5dr8hyx16 285592 285591 2026-07-31T07:17:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285592 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero): data la funzione [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} 1xpbec1bqthp1xpbb4h4gs56zpub3au 285593 285592 2026-07-31T07:21:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285593 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y = e ^(5x-3x^2) - x^3/math> [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} qzc6g4hlw6o1njsmhtu1gfit3mhst9z 285594 285593 2026-07-31T07:21:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285594 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y = e ^(5x-3x^2) - x^3 </math> [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} np993017rcyizrez4ixfje39iblsmtl 285595 285594 2026-07-31T07:22:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285595 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. 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Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y = e^(5x-3x^2) - x^3 </math> [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} q1pmff11uqm6ccya82btnmul6bukfqf 285596 285595 2026-07-31T07:36:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285596 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: Di seguito trovi un documento in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. --- ```wiki = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} ew46i7sqfzq7l6olftwutso0qgt7v5p 285597 285596 2026-07-31T07:39:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285597 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} fmybf4gpb1cu6hieuyhj84kjklg729m 285598 285597 2026-07-31T07:40:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio della funzione */ 285598 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} 9rvf8dbu03w78ffnt2zlwm1m2peytow 285599 285598 2026-07-31T07:41:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285599 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} kat3esm41otrn6bu3bs6abun7s1yoxa 285600 285599 2026-07-31T07:42:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Riassunto */ 285600 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. lk7m4ethgceahimwylj8pwfn4jlfyap 285601 285600 2026-07-31T07:48:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285601 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. rmp7k8iftyxu4etqx69un543yws1t1e 285602 285601 2026-07-31T07:49:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio della funzione */ 285602 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. 5y7pt66bvrd57kti5jfd8mt56z42nki 285603 285602 2026-07-31T07:51:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio della funzione */ 285603 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'anali della funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero). data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. 4qby4w17nkmyylxg1f3u1skx683nbu1 285604 285603 2026-07-31T07:52:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285604 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA un'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. 72ui8xnz73lnge1e1dors9x0lltlwgi 285605 285604 2026-07-31T07:52:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285605 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA l'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. 27jpzemfwa3pg7tuls28txi95or6ld0 285606 285605 2026-07-31T07:55:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285606 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA l'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. cwoyskh6je3z7th7ofrbikpe4bruphn 285607 285606 2026-07-31T07:56:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285607 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. = Studio della funzione = Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ``` Questo testo è compatibile con il markup di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. reyjt6unv8f8zz558kypiauw809zsqt 285608 285607 2026-07-31T08:02:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio della funzione */ 285608 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Si risolve <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2=0. </math> L'equazione non è risolvibile in forma elementare. Le soluzioni si determinano numericamente. == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. 1paqdz2pidl5rf3er4qfh2pw9z2nt2b 285609 285608 2026-07-31T08:10:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* Punti stazionari */ 285609 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> == Punti stazionari == Di seguito trovi un testo in **grezzo per Wikipedia**, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>`, pronto da copiare e incollare. ```wiki = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. 4hwpsqyr3fodufia1n50ktl9qyt59xc 285610 285609 2026-07-31T08:10:24Z Funzioni di correlazione 24136 /* Punti stazionari */ 285610 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Non esistono asintoti. ek1qxyoo7ym5q11msyca0bra96q1b7q 285611 285610 2026-07-31T08:14:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* Riassunto */ 285611 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Studio di funzione (esempio con derive).jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. dsshinl7zi2rhx50810ai0ncxq2bicw 285612 285611 2026-07-31T11:31:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285612 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Polynomialdeg2.jpg|thumb|center|600px|]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. fquahsq8wnnzwz119rvw5yy47ky83wf 285614 285612 2026-07-31T11:45:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285614 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> se ne mostra il grafico: [[File:Polynomialdeg2.jpg|thumb|center|600px|]] [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2]] Determinate gli zeri del trinomio <math>x^2+x-2</math>.<br /><br /> == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. 7qy7j82tid1gfcr44sg819zctffc1bt 285615 285614 2026-07-31T11:49:03Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285615 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2]] == Studio della funzione == Si consideri la funzione <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. 2gx5sm4j5czsn3i6s162g7y3bmg8t83 285616 285615 2026-07-31T11:49:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio della funzione */ 285616 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2]] == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. 5uy6xovg62h1vqshn8ox2h6fiu41l0o 285617 285616 2026-07-31T11:50:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285617 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2]] == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. nvmldtzcej6cmcakdt5btbmigsoy84x 285618 285617 2026-07-31T11:51:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285618 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2]] == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. 18rypx6xpai8gko64pqv70a3eejgjia 285619 285618 2026-07-31T11:53:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285619 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|600px|]] == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. 1mp65aln2otck3kbpa1xz8tcxcde0jv 285620 285619 2026-07-31T11:53:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285620 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|400px|]] == Dominio == La funzione esponenziale è definita per ogni valore reale e anche il polinomio è definito su tutto <math>\mathbb{R}</math>. Pertanto <math> D=\mathbb{R}. </math> == Intersezioni con gli assi == === Asse y === Si pone <math> x=0. </math> Si ottiene <math> y(0)=e^0-0=1. </math> L'intersezione è quindi <math> (0,1). </math> === Asse x === Si risolve <math> e^{5x-3x^2}-x^3=0. </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}=x^3. </math> L'equazione non è risolvibile in forma chiusa e richiede metodi numerici. == Segno della funzione == La funzione è positiva quando <math> e^{5x-3x^2}>x^3 </math> ed è negativa quando <math> e^{5x-3x^2}<x^3. </math> == Limiti == === Per <math>x\to+\infty</math> === Poiché <math> 5x-3x^2\to-\infty, </math> segue che <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Inoltre <math> -x^3\to-\infty. </math> Quindi <math> \lim_{x\to+\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=-\infty. </math> === Per <math>x\to-\infty</math> === Anche in questo caso <math> 5x-3x^2\to-\infty </math> e quindi <math> e^{5x-3x^2}\to0. </math> Poiché <math> -x^3\to+\infty, </math> segue <math> \lim_{x\to-\infty}\left(e^{5x-3x^2}-x^3\right)=+\infty. </math> == Asintoti == Non esistono asintoti verticali poiché il dominio è tutto <math>\mathbb{R}</math>. Non esistono asintoti orizzontali poiché i limiti all'infinito sono infiniti. Non esistono asintoti obliqui poiché il termine dominante è <math> -x^3. </math> == Derivata prima == Si pone <math> u(x)=5x-3x^2. </math> La derivata dell'esponente è <math> u'(x)=5-6x. </math> Applicando la regola della derivata dell'esponenziale si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(e^{5x-3x^2}\right)=e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del termine polinomiale è <math> \frac{d}{dx}(-x^3)=-3x^2. </math> Pertanto <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> = Risoluzione dell'equazione = Si consideri l'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0.</math> L'equazione è equivalente a <math>e^{5x-3x^2}=x^3.</math> Poiché il membro sinistro è sempre positivo, <math>e^{5x-3x^2}>0,</math> segue che deve essere <math>x^3>0,</math> ossia <math>x>0.</math> Prendendo il logaritmo naturale di entrambi i membri si ottiene <math>\ln\left(e^{5x-3x^2}\right)=\ln(x^3).</math> Applicando le proprietà del logaritmo, <math>5x-3x^2=3\ln x.</math> Portando tutti i termini al primo membro, <math>-3x^2+5x-3\ln x=0.</math> Equivalentemente, <math>3x^2-5x+3\ln x=0.</math> Si definisce quindi la funzione <math>f(x)=3x^2-5x+3\ln x, \qquad x>0.</math> La derivata prima è <math>f'(x)=6x-5+\frac{3}{x}.</math> Moltiplicando per <math>x</math> si ottiene <math>x\,f'(x)=6x^2-5x+3.</math> Il discriminante del polinomio è <math>\Delta=(-5)^2-4\cdot6\cdot3=25-72=-47<0.</math> Poiché il coefficiente principale è positivo, <math>6x^2-5x+3>0</math> per ogni <math>x>0.</math> Pertanto <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x>0,</math> quindi la funzione è strettamente crescente. Si osserva inoltre che <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,</math> poiché <math>\ln x\to-\infty.</math> Inoltre <math>\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.</math> Essendo continua e strettamente crescente, l'equazione ammette una e una sola soluzione reale positiva. == Calcolo numerico == Si considera <math>g(x)=e^{5x-3x^2}-x^3.</math> Alcuni valori sono <math>g(1)=e^2-1\approx6.389056,</math> <math>g(2)=e^{-2}-8\approx-7.864665.</math> La radice appartiene quindi all'intervallo <math>(1,2).</math> Applicando il metodo di Newton <math>x_{n+1}=x_n-\frac{g(x_n)}{g'(x_n)},</math> dove <math>g'(x)=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2,</math> si ottiene la convergenza alla soluzione <math>x\approx1.280487.</math> Una verifica numerica fornisce <math>e^{5(1.280487)-3(1.280487)^2}\approx2.09922,</math> <math>(1.280487)^3\approx2.09922.</math> La differenza è trascurabile entro l'errore numerico. == Conclusione == L'equazione <math>e^{5x-3x^2}-x^3=0</math> possiede una sola soluzione reale, <math>x\approx1.280487.</math> ``` == Crescenza e decrescenza == La funzione è crescente quando <math> y'>0 </math> cioè <math> e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2>0. </math> È decrescente quando <math> y'<0. </math> == Derivata seconda == Si parte da <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Si applica la regola del prodotto. La derivata del primo fattore è <math> e^{5x-3x^2}(5-6x). </math> La derivata del secondo fattore è <math> -6. </math> Pertanto <math> \frac{d}{dx}\left[e^{5x-3x^2}(5-6x)\right] = e^{5x-3x^2}(5-6x)^2-6e^{5x-3x^2}. </math> La derivata del termine <math> -3x^2 </math> è <math> -6x. </math> Quindi <math> y''= e^{5x-3x^2}\left[(5-6x)^2-6\right]-6x. </math> Sviluppando il quadrato <math> (5-6x)^2 = 25-60x+36x^2. </math> Si ottiene <math> (5-6x)^2-6 = 19-60x+36x^2. </math> Pertanto <math> y'' = e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> == Concavità == La funzione è concava verso l'alto quando <math> y''>0. </math> È concava verso il basso quando <math> y''<0. </math> == Punti di flesso == I punti di flesso soddisfano <math> y''=0, </math> ossia <math> e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x=0. </math> Le soluzioni si determinano numericamente. == Riassunto == Funzione: <math> y=e^{5x-3x^2}-x^3. </math> Dominio: <math> \mathbb{R}. </math> Derivata prima: <math> y'=e^{5x-3x^2}(5-6x)-3x^2. </math> Derivata seconda: <math> y''=e^{5x-3x^2}(19-60x+36x^2)-6x. </math> Limiti: <math> \lim_{x\to+\infty}y=-\infty, </math> <math> \lim_{x\to-\infty}y=+\infty. </math> Passagi per lo zero: <math>x\approx1.280487.</math> Non esistono asintoti. n6womvg72a03nh6pqu9a07bjk1g3n1g 285621 285620 2026-07-31T11:56:24Z Funzioni di correlazione 24136 285621 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|400px|]] j8qsmy6luz4zxlkoq66s94i50jehdx7 285622 285621 2026-07-31T11:58:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285622 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|400px|center|]] s0ehsq0sps72puvvn8j58x9s1qgl2d7