Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 285623 285622 2026-07-31T11:59:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285623 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|400px|center|]] glztq9gweuwefgvhwg26btie5r0kvzp 285624 285623 2026-07-31T12:02:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285624 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: <br> [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|400px|left|]] cgvswsnwusrmca5h867mhn6lhmtzw02 285625 285624 2026-07-31T12:10:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285625 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|right|y=x^2+x-2|300px|left|]] pm9sp9gaakwg4ppz4miaw0bpwaoumhv 285626 285625 2026-07-31T12:17:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285626 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] m3lvsb13hk1oewl8mcx9q68tf5wxg20 285627 285626 2026-07-31T13:55:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sui punti notevoli delle funzioni */ 285627 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] ==Analisi == Di seguito trovi un documento in formato **grezzo per Wikipedia**, con tutte le formule racchiuse nei tag `<math>...</math>`, pronto da copiare e incollare. --- ```text == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` 0j32bwfp6z9qv7f2s7k617a5chzerg9 285628 285627 2026-07-31T13:56:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* Analisi */ 285628 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] ==Analisi == == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` 1hnsmp9i0gjork76yjfc9k1af5qdhmr 285629 285628 2026-07-31T13:56:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Analisi */ 285629 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` 2nz9mlp3qrv6s9dv1kcgih92oqi7awj 285630 285629 2026-07-31T14:09:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzioni */ 285630 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` b28vcz6vofdyq5hd5e9oh5k6to5jo49 102 37619 285635 285467 2026-07-31T14:23:12Z Funzioni di correlazione 24136 285635 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 13 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} nmyv7d1nr4maedtg4c5d4tcmwth00ej 0 37636 285638 285487 2026-08-01T07:32:08Z Funzioni di correlazione 24136 285638 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>\sqrt{4x^3+6x^2-5}</math>== Calcolare la derivata della funzione <math>f(x)=\sqrt{4x^3+6x^2-5}</math> Scriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=\left(4x^3+6x^2-5\right)^{\frac12}</math> Applichiamo la regola della derivata della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left(u^{\frac12}\right)=\frac12u^{-\frac12}\cdot u'</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata dell'argomento: <math>u'=\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)</math> <math>u'=12x^2+12x</math> Sostituiamo nella formula della derivata: <math>f'(x)=\frac12(4x^3+6x^2-5)^{-\frac12}(12x^2+12x)</math> Semplifichiamo il fattore costante: <math>f'(x)=\frac{12x^2+12x}{2\sqrt{4x^3+6x^2-5}}</math> Raccogliamo <math>12x</math> al numeratore: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> Otteniamo: <math>f'(x)=\frac{12x(x+1)}{2\sqrt{4x^3+6x^2-5}}</math> Semplificando numeratore e denominatore per <math>2</math>: <math>\boxed{f'(x)=\frac{6x(x+1)}{\sqrt{4x^3+6x^2-5}}}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 1dqboiwg0ypv0lhd6fdwbu1a6f1kab2 285639 285638 2026-08-01T07:37:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ \sqrt{4x^3+6x^2-5} */ 285639 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>\sqrt{4x^3+6x^2-5}</math>== == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== cnzu0pa0m3hlor73w3zzorfsiw50pg2 285640 285639 2026-08-01T07:48:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ \sqrt{4x^3+6x^2-5} */ 285640 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>\sqrt{4x^3+6x^2-5}</math>== y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} Di seguito trovi il testo in formato **grezzo per Wikipedia**, con tutti i tag `<math>...</math>` già inseriti e pronto per il copia-incolla. ```wiki == Derivata della funzione == Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== tw2z5hy59yimt2abezcdni16g3jpnea 285641 285640 2026-08-01T07:51:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ \sqrt{4x^3+6x^2-5} */ 285641 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math></math>== y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} == Derivata della funzione == Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== nulreokuxl6v70sjf8oitw1dxvc8d11 285642 285641 2026-08-01T07:52:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ */ 285642 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} == Derivata della funzione == Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== hequfryck0rbduc81tzmvqm746kxkgg 285643 285642 2026-08-01T07:53:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} */ 285643 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== == Derivata della funzione == Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== oyimksvk7d9swhf33xlaxaspq4vncox 285644 285643 2026-08-01T07:54:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ y=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} */ 285644 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== == Derivata della funzione == Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 7bgxrqbjvzt4v1n1zyj89y1e3dk8day 285645 285644 2026-08-01T07:54:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata della funzione */ 285645 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Derivata della funzione Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 9wi96x6bjwr8zptuioa9o74cjxv5w03 285646 285645 2026-08-01T07:55:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5} */ 285646 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= </math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 97qk5efrqn3igsz48ali4ci2gdf88fo 285647 285646 2026-08-01T08:04:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17^ f(x)= */ 285647 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= \frac{\tan(2x)}{\tan(x)} </math>== Calcolare la derivata della funzione <math> f(x)=\frac{\tan(2x)}{\tan(x)} </math> Si applica la regola di derivazione del quoziente: <math> \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> dove <math> u=\tan(2x) </math> e <math> v=\tan(x). </math> ### Derivata del numeratore Poiché <math> \frac{d}{dx}\tan(u)=\sec^2(u)\,u', </math> si ha <math> u'=\frac{d}{dx}\tan(2x) =\sec^2(2x)\cdot2 =2\sec^2(2x). </math> ### Derivata del denominatore Analogamente, <math> v'=\frac{d}{dx}\tan(x) =\sec^2(x). </math> ### Applicazione della regola del quoziente Sostituendo nella formula, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)-\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> ### Sviluppo del numeratore Separando i termini, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)} {\tan^2(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> Semplificando il primo termine, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)} {\tan(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> ### Risultato finale La derivata della funzione è <math> \boxed{ f'(x)= \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)-\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)} } </math> oppure, in forma equivalente, <math> \boxed{ f'(x)= \frac{2\sec^2(2x)} {\tan(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== da5pouyihds9d3wrytk1bo3ntilecd6 285648 285647 2026-08-01T08:05:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17^ f(x)= \frac{\tan(2x)}{\tan(x)} */ 285648 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math>f(x)= \frac{\tan(2x)}{\tan(x)} </math>== Calcolare la derivata della funzione <math> f(x)=\frac{\tan(2x)}{\tan(x)} </math> Si applica la regola di derivazione del quoziente: <math> \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> dove <math> u=\tan(2x) </math> e <math> v=\tan(x). </math> ### Derivata del numeratore Poiché <math> \frac{d}{dx}\tan(u)=\sec^2(u)\,u', </math> si ha <math> u'=\frac{d}{dx}\tan(2x) =\sec^2(2x)\cdot2 =2\sec^2(2x). </math> ### Derivata del denominatore Analogamente, <math> v'=\frac{d}{dx}\tan(x) =\sec^2(x). </math> ### Applicazione della regola del quoziente Sostituendo nella formula, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)-\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> ### Sviluppo del numeratore Separando i termini, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)} {\tan^2(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> Semplificando il primo termine, <math> f'(x) = \frac{2\sec^2(2x)} {\tan(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)}. </math> ### Risultato finale La derivata della funzione è <math> { f'(x)= \frac{2\sec^2(2x)\tan(x)-\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)} } </math> oppure, in forma equivalente, <math> { f'(x)= \frac{2\sec^2(2x)} {\tan(x)} - \frac{\tan(2x)\sec^2(x)} {\tan^2(x)} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 1m6b1c29u5eqbb74qgo8q989urj8xrz 285649 285648 2026-08-01T08:25:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17^ f(x)= \frac{\tan(2x)}{\tan(x)} */ 285649 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math></math>== == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== r63zhbacgzcmesif71l6sp5lud2nj2b 285650 285649 2026-08-01T08:27:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17^ */ 285650 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math></math>== Di seguito trovi il testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ```wiki == Derivata di <math>\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Si consideri la funzione <math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x})) </math> Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> \boxed{ f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== tg8by32o83b0gs89yncctl9u82l0dhu 285651 285650 2026-08-01T08:28:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285651 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math></math>== Di seguito trovi il testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ```wiki == Derivata di <math>\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Si consideri la funzione <math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x})) </math> Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 2w8io1itrunxsmlbfm9kb6vp3r4wrn7 285652 285651 2026-08-01T08:30:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Derivata di \ln(\sin(\sqrt{x})) */ 285652 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math></math>== Di seguito trovi il testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ```wiki == 16^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 4qe4yv7t9ryh5jlvq3br840rahqca43 285653 285652 2026-08-01T08:30:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16^ f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x})) */ 285653 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^ <math></math>== Di seguito trovi il testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`, pronto per il copia-incolla. ```wiki == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== p6ywzc3ppov3wdhdvhagwj4zjmxmd17 285654 285653 2026-08-01T08:33:13Z Funzioni di correlazione 24136 285654 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== gpje71ss50syte53j36e99me3pk0j5j 285655 285654 2026-08-01T08:34:55Z Funzioni di correlazione 24136 285655 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)= </math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== ot76lfg9zocuidgp4itbg3z0tjs955e 285656 285655 2026-08-01T08:43:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18^ f(x)= */ 285656 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\frac{2\tan x+1}{\tan x+2}</math>== poniamo <math> u(x)=2\tan x+1 </math> e <math> v(x)=\tan x+2. </math> Le derivate del numeratore e del denominatore sono <math> u'(x)=2\sec^2 x </math> e <math> v'(x)=\sec^2 x. </math> Applicando la regola di derivazione del quoziente <math> \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, </math> si ottiene <math> f'(x)= \frac{2\sec^2 x(\tan x+2)-(2\tan x+1)\sec^2 x} {(\tan x+2)^2}. </math> Si raccoglie il fattore comune <math>\sec^2 x</math>: <math> f'(x)= \frac{\sec^2 x\left[2(\tan x+2)-(2\tan x+1)\right]} {(\tan x+2)^2}. </math> Si semplifica l'espressione tra parentesi: <math> 2(\tan x+2)-(2\tan x+1) = 2\tan x+4-2\tan x-1 = 3. </math> Pertanto <math> f'(x)= \frac{3\sec^2 x}{(\tan x+2)^2}. </math> Poiché <math> \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}, </math> si può anche scrivere <math> f'(x)= \frac{3}{\cos^2 x\,(\tan x+2)^2}. </math> Infine, osservando che <math> \tan x+2= \frac{\sin x+2\cos x}{\cos x}, </math> si ha <math> (\tan x+2)^2= \frac{(\sin x+2\cos x)^2}{\cos^2 x}, </math> e quindi <math> \cos^2 x(\tan x+2)^2 = (\sin x+2\cos x)^2. </math> La derivata può quindi essere espressa anche nella forma <math> f'(x)= \frac{3}{(\sin x+2\cos x)^2}. </math> == Risultato finale == <math> \boxed{ f'(x)= \frac{3\sec^2 x}{(\tan x+2)^2} = \frac{3}{(\sin x+2\cos x)^2} } </math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== b545topkhd37mu2e67qe3g1s1wjp7fi 285657 285656 2026-08-01T08:44:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285657 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\frac{2\tan x+1}{\tan x+2}</math>== poniamo <math> u(x)=2\tan x+1 </math> e <math> v(x)=\tan x+2. </math> Le derivate del numeratore e del denominatore sono <math> u'(x)=2\sec^2 x </math> e <math> v'(x)=\sec^2 x. </math> Applicando la regola di derivazione del quoziente <math> \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, </math> si ottiene <math> f'(x)= \frac{2\sec^2 x(\tan x+2)-(2\tan x+1)\sec^2 x} {(\tan x+2)^2}. </math> Si raccoglie il fattore comune <math>\sec^2 x</math>: <math> f'(x)= \frac{\sec^2 x\left[2(\tan x+2)-(2\tan x+1)\right]} {(\tan x+2)^2}. </math> Si semplifica l'espressione tra parentesi: <math> 2(\tan x+2)-(2\tan x+1) = 2\tan x+4-2\tan x-1 = 3. </math> Pertanto <math> f'(x)= \frac{3\sec^2 x}{(\tan x+2)^2}. </math> Poiché <math> \sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}, </math> si può anche scrivere <math> f'(x)= \frac{3}{\cos^2 x\,(\tan x+2)^2}. </math> Infine, osservando che <math> \tan x+2= \frac{\sin x+2\cos x}{\cos x}, </math> si ha <math> (\tan x+2)^2= \frac{(\sin x+2\cos x)^2}{\cos^2 x}, </math> e quindi <math> \cos^2 x(\tan x+2)^2 = (\sin x+2\cos x)^2. </math> La derivata può quindi essere espressa anche nella forma <math> f'(x)= \frac{3}{(\sin x+2\cos x)^2}. </math> Risultato finale : <math> { f'(x)= \frac{3\sec^2 x}{(\tan x+2)^2} = \frac{3}{(\sin x+2\cos x)^2} } </math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== adul6m9gs1hyfcgm6j0cnzu4ie4mo6q 285658 285657 2026-08-01T08:53:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18^ f(x)=\frac{2\tan x+1}{\tan x+2} */ 285658 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)</math>== == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== a5frc05z6v19j6vcoot0qp68dxxbe1g 0 37720 285631 2026-07-31T14:11:47Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con "=Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <..." 285631 wikitext text/x-wiki =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. fss0xa1ey3o3q10kcr8a22s6p5r5qej 285632 285631 2026-07-31T14:12:20Z Funzioni di correlazione 24136 285632 wikitext text/x-wiki ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. mv9zgmrp5z0de0wsypfekzw7l60gs3s 285633 285632 2026-07-31T14:15:26Z Funzioni di correlazione 24136 285633 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Studio di funzioni|corso1=}} ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. 9dsfy2wc7mssses4cbex1bs2jnojjns 285634 285633 2026-07-31T14:16:36Z Funzioni di correlazione 24136 285634 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Studio di funzioni|corso1=}} ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. hy5ce1stbl3bwksjkjik6kdmr544qtg 285636 285634 2026-07-31T14:30:05Z Funzioni di correlazione 24136 285636 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` b28vcz6vofdyq5hd5e9oh5k6to5jo49 285637 285636 2026-07-31T14:31:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Studio di funzioni con IA */ 285637 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` p16y0xv6q1dmm86eyp6wltbknb4vn4k