Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 8514 285660 172297 2026-08-01T17:43:15Z Avemundi 2081 Ortografia 285660 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=esercitazione|materia1=Scienza delle costruzioni}} Le azioni esterne (chiamate anche '''carichi''') agenti sulle costruzioni possono essere suddivise in due grandi categorie: *azioni esterne concentrate *azioni esterne distribuite A seconda dell'appartenenza delle azioni alla prima o alla seconda famiglia abbiamo diversi comportamenti interni della struttura (si veda la lezione relativa alle ''azioni interne''). ==Carichi concentrati== I carichi concentrati, chiamati anche carichi puntiformi, sono quei carichi agenti su una porzione ridotta di elemento strutturale (nei nostri casi il solido trave). Essi possono essere sostanzialmente di due tipi: *forze concentrate *momenti concentrati ===Forze concentrate=== Sono quelle forze, rappresentate con dei vettori, agenti in un punto preciso della struttura. Un esempio per comprendere quando si ha a che fare con un carico concentrato è rappresentato in figura: sulla trave orizzontale (rappresentata in giallo) grava il pilastro (le cui dimensioni si suppongono molto minori rispetto alla lunghezza della trave) rappresentato in rosso. [[Immagine:Load on a beam - 2.jpg|center|300px]] I carichi agenti sul pilastro (supponiamo valgano 500kN) si scaricano sulla trave in un punto ben preciso (il punto d'appoggio del pilastro rosso) interessandone quindi una porzione molto limitata. Se andiamo adesso a rappresentare la trave ed i pilastri tramite le sole linee d'asse sul piano bidimensionale otteniamo un disegno come quello rappresentato qui sotto: [[Immagine:Load on a beam.jpg|center|300px]] Se adesso volessimo andare a schematizzare il pilastro rosso otterremmo la situazione rappresentata qui sotto, dove il carico è stato sostituito con una forza di valore 500kN agente nella mezzeria (così viene chiamato in ingegneria il punto di mezzo della trave gialla). [[Immagine:Load on a beam - 4.jpg|center|300px]] Possiamo quindi notare come il carico del pilastro sia per la trave un carico concentrato. ===Momenti concentrati=== I momenti concentrati sono indicati con una freccia ricurva in modo del tutto analogo alla reazione vincolare '''M'''. ==Carichi distribuiti== Osserviamo ora la situazione rappresentata in figura, nella quale il pilastro dell'esempio precedente è sostituito con un muro di trasversali non più trascurabili. [[Immagine:Load on a beam - 3.jpg|center|300px]] In tal caso, il carico di 500kN visto nel caso precedente non può più essere visto come una forza concentrata agente in mezzeria, in quanto l'area sulla quale questa forza agisce non è più trascurabile. [[Immagine:Sdc_es2_sit5.jpg|center|300px]] Al contrario, indicata con '''l''' la lunghezza del muro (e facendo l'ipotesi di lavorare in due dimensioni!) possiamo dire che ogni unità di lunghezza di trave risente di un carico pari al rapporto tra il carico complessivo '''P''' e l'area (o nel nostro caso, la lunghezza) del tratto di trave sul quale questo carico agisce. <div style="text-align:center;"> <math>q=\frac{P}{l}</math> </div> La nuova grandezza '''q''' sarà quindi dimensionalmente uguale ad una forza divisa per una lunghezza (o per un'area), quindi avrà come unità di misura <math>\frac{N}{m}</math> oppure <math>\frac{N}{m^2}</math>. Nel caso più generale possiamo avere una situazione come quella rappresentata in figura, dove l'andamento del carico distribuito in funzione dell'ascissa ''x'' può essere agevolmente espresso attraverso una funzione <math>q\left(x\right)</math>. [[Immagine:Sdc_es2_cd1.jpg|center|300px]] Se vogliamo andare a calcolare il valore complessivo del carico '''P''' dobbiamo calcolare il vettore risultante di questa distribuzione di forze; dovremo quindi risolvere l'integrale <div style="text-align:center;"> <math>P=\int_{0}^{l} q\left(x\right) dx</math> </div> Rimane ora il problema di dove posizionare il vettore risultante. Si tratta di una composizione di forze equiverse (sono tutti vettori che hanno lo stesso verso) e quindi il vettore risultante starà all'interno del segmento di lunghezza ''l'' sul quale agisce il carico, ed in particolare passerà per il '''baricentro''' della figura piana individuata dall'andamento della funzione <math>q\left(x\right)</math> (la parte di piano che, nelle figure relative ai carichi distribuiti, erano interessate dalle frecce). Ne consegue un'ulteriore difficoltà relativa al calcolo del baricentro di una figura complessa come quella rappresentata nella figura sopra. Se però andiamo a considerare il fatto che, in ingegneria, difficilmente avremo situazioni limite come quella appena presa in esame ci rendiamo conto che il calcolo del punto di applicazione del vettore risultante di un carico distribuito non presenta particolari difficoltà di calcolo. Le situazioni ''tipiche'' che si presenteranno durante tutto il corso sono rappresentate in figura: [[Immagine:Sdc_es2_sit6.jpg|center|300px]] Nel primo caso, chiamato '''carico rettangolare''' il modulo del vettore risultante è uguale a <math>P=q\cdot l</math> ed il vettore è applicato a metà del '''segmento di carico''', ovvero di ''l''. Nel secondo caso invece il valore del carico complessivo sarà <math>P=\frac{q'\cdot l}{2}</math> applicato ad un terzo del segmento di carico partendo dal punto di massimo (punto nel quale è posizionato il baricentro del triangolo rettangolo). [[Immagine:Sdc_es2_sit7.jpg|center|500px]] [[Categoria:Esercitazioni|Azioni esterne]] acypdikwhegitpc3ocki05kp1pbb3sg 0 14287 285662 207044 2026-08-01T22:16:25Z ~2026-42730-31 46832 /* */ 285662 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=programma|materia1=Programmi scolastici italiani|materia2=Italiano nelle scuole superiori 1}} Quinlano83 sala me di Wikipedia == LINGUA E LETTERATURA ITALIANA == === LINEE GENERALI E COMPETENZE === ==== Lingua ==== La lingua italiana rappresenta un bene culturale nazionale, un elemento essenziale dell'identità di ogni studente e il preliminare mezzo di accesso alla conoscenza: la dimensione linguistica si trova infatti al crocevia fra la competenze comunicative, logico argomentative e culturali declinate dal Profilo educativo, culturale e professionale comune a tutti i percorsi liceali. Al termine del percorso liceale lo studente padroneggia la lingua italiana: è in grado di esprimersi, in forma scritta e orale, con chiarezza e proprietà, variando - a seconda dei diversi contesti e scopi - l'uso personale della lingua; di compiere operazioni fondamentali, quali riassumere e parafrasare un testo dato, organizzare e motivare un ragionamento; di illustrare e interpretare in termini essenziali un fenomeno storico, culturale, scientifico. L'osservazione sistematica delle strutture linguistiche consente allo studente di affrontare testi anche complessi, presenti in situazioni di studio o di lavoro. A questo scopo si serve anche di strumenti forniti da una riflessione metalinguistica basata sul ragionamento circa le funzioni dei diversi livelli (ortografico, interpuntivo, morfosintattico, lessicale-semantico, testuale) nella costruzione ordinata del discorso. Ha inoltre una complessiva coscienza della storicità della lingua italiana, maturata attraverso la lettura fin dal biennio di alcuni testi letterari distanti nel tempo, e approfondita poi da elementi di storia della lingua, delle sue caratteristiche sociolinguistiche e della presenza dei dialetti, nel q&shy;ro complessivo dell'Italia odierna, caratterizzato dalle varietà d'uso dell'italiano stesso. ==== Letteratura ==== Il gusto per la lettura resta un obiettivo primario dell'intero percorso di istruzione, da non compromettere attraverso una indebita e astratta insistenza sulle griglie interpretative e sugli aspetti metodologici, la cui acquisizione avverrà progressivamente lungo l'intero quinquennio, sempre a contatto con i testi e con i problemi concretamente sollevati dalla loro esegesi. A descrivere il panorama letterario saranno altri autori e testi, oltre a quelli esplicitamente menzionati, scelti in autonomia dal docente, in ragione dei percorsi che riterrà più proficuo mettere in particolare rilievo e della specificità dei singoli indirizzi liceali. Al termine del percorso lo studente ha compreso il valore intrinseco della lettura, come risposta a un autonomo interesse e come fonte di paragone con altro da sé e di ampliamento dell'esperienza del mondo; ha inoltre acquisito stabile familiarità con la letteratura, con i suoi strumenti espressivi e con il metodo che essa richiede. È in grado di riconoscere l'interdipendenza fra le esperienze che vengono rappresentate (i temi, i sensi espliciti e impliciti, gli archetipi e le forme simboliche) nei testi e i modi della rappresentazione (l'uso estetico e retorico delle forme letterarie e la loro capacità di contribuire al senso). Lo studente acquisisce un metodo specifico di lavoro, impadronendosi via via degli strumenti indispensabili per l<nowiki>'</nowiki>interpretazione dei testi: l<nowiki>'</nowiki>analisi linguistica, stilistica, retorica; l<nowiki>'</nowiki>intertestualità e la relazione fra temi e generi letterari; l<nowiki>'</nowiki>incidenza della stratificazione di letture diverse nel tempo. Ha potuto osservare il processo creativo dell<nowiki>'</nowiki>opera letteraria, che spesso si compie attraverso stadi diversi di elaborazione. Nel corso del quinquennio matura un<nowiki>'</nowiki>autonoma capacità di interpretare e commentare testi in prosa e in versi, di porre loro domande personali e paragonare esperienze distanti con esperienze presenti nell<nowiki>'</nowiki>oggi. Lo studente ha inoltre una chiara cognizione del percorso storico della letteratura italiana dalle Origini ai nostri giorni: coglie la dimensione storica intesa come riferimento a un dato contesto; l<nowiki>'</nowiki>incidenza degli autori sul linguaggio e sulla codificazione letteraria (nel senso sia della continuità sia della rottura); il nesso con le domande storicamente presenti nelle diverse epoche. Ha approfondito poi la relazione fra letteratura ed altre espressioni culturali, anche grazie all<nowiki>'</nowiki>apporto sistematico delle altre discipline che si presentano sull<nowiki>'</nowiki>asse del tempo (storia, storia dell<nowiki>'</nowiki>arte, storia della filosofia). Ha una adeguata idea dei rapporti con le letterature di altri Paesi, affiancando la lettura di autori italiani a letture di autori stranieri, da concordare eventualmente con i docenti di Lingua e cultura straniera, e degli scambi reciproci fra la letteratura e le altre arti. Ha compiuto letture dirette dei testi (opere intere o porzioni significative di esse, in edizioni filologicamente corrette), ha preso familiarità con le caratteristiche della nostra lingua letteraria, formatasi in epoca antica con l<nowiki>'</nowiki>apparire delle opere di autori di primaria importanza, soprattutto di Dante. Ha una conoscenza consistente della Commedia dantesca, della quale ha colto il valore artistico e il significato per il costituirsi dell<nowiki>'</nowiki>intera cultura italiana. Nell<nowiki>'</nowiki>arco della storia letteraria italiana ha individuato i movimenti culturali, gli autori di maggiore importanza e le opere di cui si è avvertita una ricorrente presenza nel tempo, e ha colto altresi<nowiki>'</nowiki> la coesistenza, accanto alla produzione in italiano, della produzione in dialetto. La lettura di testi di valore letterario ha consentito allo studente un arricchimento anche linguistico, in particolare l<nowiki>'</nowiki>ampliamento del patrimonio lessicale e semantico, la capacità di adattare la sintassi alla costruzione del significato e di adeguare il registro e il tono ai diversi temi, l<nowiki>'</nowiki>attenzione all<nowiki>'</nowiki>efficacia stilistica, che sono presupposto della competenza di scrittura. === OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO === ==== Lingua ==== ===== PRIMO BIENNIO ===== Nel primo biennio, lo studente colma eventuali lacune e consolida e approfondisce le capacità linguistiche orali e scritte, mediante attività che promuovano un uso linguistico efficace e corretto, affiancate da una riflessione sulla lingua orientata ai dinamismi di coesione morfosintattica e coerenza logico-argomentativa del discorso, senza indulgere in minuziose tassonomie e riducendo gli aspetti nomenclatori. Le differenze generali nell<nowiki>'</nowiki>uso della lingua orale, scritta e trasmessa saranno oggetto di particolare osservazione, cosi<nowiki>'</nowiki> come attenzione sarà riservata alle diverse forme della videoscrittura e della comunicazione multimediale. Nell<nowiki>'</nowiki>ambito della produzione orale lo studente sarà abituato al rispetto dei turni verbali, all<nowiki>'</nowiki>ordine dei temi e all<nowiki>'</nowiki>efficacia espressiva. Nell<nowiki>'</nowiki>ambito della produzione scritta saprà controllare la costruzione del testo secondo progressioni tematiche coerenti, l<nowiki>'</nowiki>organizzazione logica entro e oltre la frase, l<nowiki>'</nowiki>uso dei connettivi (preposizioni, congiunzioni, avverbi e segnali di strutturazione del testo), dell<nowiki>'</nowiki>interpunzione, e saprà compiere adeguate scelte lessicali. Tali attività consentiranno di sviluppare la competenza testuale sia nella comprensione (individuare dati e informazioni, fare inferenze, comprendere le relazioni logiche interne) sia nella produzione (curare la dimensione testuale, ideativa e linguistica). Oltre alla pratica tradizionale dello scritto esteso, nelle sue varie tipologie, lo studente sarà in grado di comporre brevi scritti su consegne vincolate, paragrafare, riassumere cogliendo i tratti informativi salienti di un testo, titolare, parafrasare, relazionare, comporre testi variando i registri e i punti di vista. Questo percorso utilizzerà le opportunità offerte da tutte le discipline con i loro specifici linguaggi per facilitare l<nowiki>'</nowiki>arricchimento del lessico e sviluppare le capacità di interazione con diversi tipi di testo, compreso quello scientifico: la trasversalità dell<nowiki>'</nowiki>insegnamento della Lingua italiana impone che la collaborazione con le altre discipline sia effettiva e programmata. Al termine del primo biennio affronterà, in prospettiva storica, il tema della nascita, dalla matrice latina, dei volgari italiani e della diffusione del fiorentino letterario fino alla sua sostanziale affermazione come lingua italiana. ===== SECONDO BIENNIO E QUINTO ANNO ===== Nel secondo biennio e nell<nowiki>'</nowiki>anno finale lo studente consolida e sviluppa le proprie conoscenze e competenze linguistiche in tutte le occasioni adatte a riflettere ulteriormente sulla ricchezza e la flessibilità della lingua, considerata in una grande varietà di testi proposti allo studio. L<nowiki>'</nowiki>affinamento delle competenze di comprensione e produzione sarà perseguito sistematicamente, in collaborazione con le altre discipline che utilizzano testi, sia per lo studio e per la comprensione sia per la produzione (relazioni, verifiche scritte ecc.). In questa prospettiva, si avrà particolare riguardo al possesso dei lessici disciplinari, con particolare attenzione ai termini che passano dalle lingue speciali alla lingua comune o che sono dotati di diverse accezioni nei diversi ambiti di uso. Lo studente analizzerà i testi letterari anche sotto il profilo linguistico, praticando la spiegazione letterale per rilevare le peculiarità del lessico, della semantica e della sintassi e, nei testi poetici, l<nowiki>'</nowiki>incidenza del linguaggio figurato e della metrica. Essi, pur restando al centro dell<nowiki>'</nowiki>attenzione, andranno affiancati da testi di altro tipo, evidenziandone volta a volta i tratti peculiari; nella prosa saggistica, ad esempio, si metteranno in evidenza le tecniche dell<nowiki>'</nowiki>argomentazione. Nella prospettiva storica della lingua si metteranno in luce la decisiva codificazione cinquecentesca, la fortuna dell<nowiki>'</nowiki>italiano in Europa soprattutto in epoca rinascimentale, l<nowiki>'</nowiki>importanza della coscienza linguistica nelle generazioni del Risorgimento, la progressiva diffusione dell<nowiki>'</nowiki>italiano parlato nella comunità nazionale dall<nowiki>'</nowiki>Unità ad oggi. Saranno segnalate le tendenze evolutive più recenti per quanto riguarda la semplificazione delle strutture sintattiche, la coniazione di composti e derivati, l<nowiki>'</nowiki>accoglienza e il calco di dialettalismi e forestierismi. ==== Letteratura ==== ===== PRIMO BIENNIO ===== Nel corso del primo biennio lo studente incontra opere e autori significativi della classicità, da leggere in traduzione, al fine di individuare i caratteri principali della tradizione letteraria e culturale, con particolare attenzione a opere fondative per la civiltà occidentale e radicatesi - magari in modo inconsapevole - nell<nowiki>'</nowiki>immaginario collettivo, cosi<nowiki>'</nowiki> come è andato assestandosi nel corso dei secoli (i poemi omerici, la tragedia attica del V secolo, l<nowiki>'</nowiki>Eneide, qualche altro testo di primari autori greci e latini, specie nei Licei privi di discipline classiche, la Bibbia); accanto ad altre letture da autori di epoca moderna anche stranieri, leggerà i Promessi Sposi di Manzoni, quale opera che somma la qualità artistica, il contributo decisivo alla formazione dell<nowiki>'</nowiki>italiano moderno, l<nowiki>'</nowiki>esemplarità realizzativa della forma-romanzo, l<nowiki>'</nowiki>ampiezza e la varietà di temi e di prospettive sul mondo. Alla fine del primo biennio si accosterà, attraverso alcune letture di testi, alle prime espressioni della letteratura italiana: la poesia religiosa, i Siciliani, la poesia toscana prestilnovistica. Attraverso l<nowiki>'</nowiki>esercizio sui testi inizia ad acquisire le principali tecniche di analisi (generi letterari, metrica, retorica, ecc.). ===== SECONDO BIENNIO ===== Il disegno storico della letteratura italiana si estenderà dallo Stilnovo al Romanticismo. Il tracciato diacronico, essenziale alla comprensione della storicità di ogni fenomeno letterario, richiede di selezionare, lungo l<nowiki>'</nowiki>asse del tempo, i momenti più rilevanti della civiltà letteraria, gli scrittori e le opere che più hanno contribuito sia a definire la cultura del periodo cui appartengono, sia ad arricchire, in modo significativo e durevole, il sistema letterario italiano ed europeo, tanto nel merito della rappresentazione simbolica della realtà, quanto attraverso la codificazione e l<nowiki>'</nowiki>innovazione delle forme e degli istituti dei diversi generi. Su questi occorrerà, dunque, puntare, sottraendosi alla tentazione di un generico enciclopedismo. Il senso e l<nowiki>'</nowiki>ampiezza del contesto culturale, dentro cui la letteratura si situa con i mezzi espressivi che le sono propri, non possono essere ridotti a semplice sfondo narrativo sul quale si stampano autori e testi. Un panorama composito, che sappia dar conto delle strutture sociali e del loro rapporto con i gruppi intellettuali (la borghesia comunale, il clero, le corti, la città, le forme della committenza), dell<nowiki>'</nowiki>affermarsi di visioni del mondo (l<nowiki>'</nowiki>umanesimo, il rinascimento, il barocco, l<nowiki>'</nowiki>Illuminismo) e di nuovi paradigmi etici e conoscitivi (la nuova scienza, la secolarizzazione), non può non giovarsi dell<nowiki>'</nowiki>apporto di diversi domini disciplinari. E<nowiki>'</nowiki> dentro questo q&shy;ro, di descrizione e di analisi dei processi culturali - cui concorrerà lo studio della storia, della filosofia, della storia dell<nowiki>'</nowiki>arte, delle discipline scientifiche - che troveranno necessaria collocazione, oltre a Dante (la cui Commedia sarà letta nel corso degli ultimi tre anni, nella misura di almeno 25 canti complessivi), la vicenda plurisecolare della lirica (da Petrarca a Foscolo), la grande stagione della poesia narrativa cavalleresca (Ariosto, Tasso), le varie manifestazioni della prosa, dalla novella al romanzo (da Boccaccio a Manzoni), dal trattato politico a quello scientifico (Machiavelli, Galileo), l<nowiki>'</nowiki>affermarsi della tradizione teatrale (Goldoni, Alfieri). ===== QUINTO ANNO ===== In ragione delle risonanze novecentesche della sua opera e, insieme, della complessità della sua posizione nella letteratura europea del XIX secolo, Leopardi sarà studiato all<nowiki>'</nowiki>inizio dell<nowiki>'</nowiki>ultimo anno. Sempre facendo ricorso ad una reale programmazione multidisciplinare, il disegno storico, che andrà dall<nowiki>'</nowiki>Unità d<nowiki>'</nowiki>Italia ad oggi, prevede che lo studente sia in grado di comprendere la relazione del sistema letterario (generi, temi, stili, rapporto con il pubblico, nuovi mezzi espressivi) da un lato con il corso degli eventi che hanno modificato via via l<nowiki>'</nowiki>assetto sociale e politico italiano e dall<nowiki>'</nowiki>altro lato con i fenomeni che contrassegnano più generalmente la modernità e la postmodernità, osservate in un panorama sufficientemente ampio, europeo ed extraeuropeo. Al centro del percorso saranno gli autori e i testi che più hanno marcato l<nowiki>'</nowiki>innovazione profonda delle forme e dei generi, prodottasi nel passaggio cruciale fra Ottocento e Novecento, segnando le strade lungo le quali la poesia e la prosa ridefiniranno i propri statuti nel corso del XX secolo. Da questo profilo, le vicende della lirica, meno che mai riducibili ai confini nazionali, non potranno che muovere da Baudelaire e dalla ricezione italiana della stagione simbolista europea che da quello s<nowiki>'</nowiki>inaugura. L<nowiki>'</nowiki>incidenza lungo tutto il Novecento delle voci di Pascoli e d<nowiki>'</nowiki>Annunzio ne rende imprescindibile lo studio; cosi<nowiki>'</nowiki> come, sul versante della narrativa, la rappresentazione del "vero" in Verga e la scomposizione delle forme del romanzo in Pirandello e Svevo costituiscono altrettanti momenti non eludibili del costituirsi della "tradizione del Novecento". Dentro il secolo XX e fino alle soglie dell<nowiki>'</nowiki>attuale, il percorso della poesia, che esordirà con le esperienze decisive di Ungaretti, Saba e Montale, contemplerà un<nowiki>'</nowiki>adeguata conoscenza di testi scelti tra quelli di autori della lirica coeva e successiva (per esempio Rebora, Campana, Luzi, Sereni, Caproni, Zanzotto, ...). Il percorso della narrativa, dalla stagione neorealistica ad oggi, comprenderà letture da autori significativi come Gadda, Fenoglio, Calvino, P. Levi e potrà essere integrato da altri autori (per esempio Pavese, Pasolini, Morante, Meneghello ... ). Raccomandabile infine la lettura di pagine della migliore prosa saggistica, giornalistica e memorialistica. [[Categoria:Programmi scolastici italiani del liceo artistico indirizzo audiovisivo]] 162z50l256ba0o51ftex50rjxnwruph 285663 285662 2026-08-01T22:17:25Z Morkoz 46747 Annullata la modifica [[Special:Diff/285662|285662]] di [[Special:Contributions/~2026-42730-31|~2026-42730-31]] ([[User talk:~2026-42730-31|discussione]]) 285663 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=programma|materia1=Programmi scolastici italiani|materia2=Italiano nelle scuole superiori 1}} == LINGUA E LETTERATURA ITALIANA == === LINEE GENERALI E COMPETENZE === ==== Lingua ==== La lingua italiana rappresenta un bene culturale nazionale, un elemento essenziale dell'identità di ogni studente e il preliminare mezzo di accesso alla conoscenza: la dimensione linguistica si trova infatti al crocevia fra la competenze comunicative, logico argomentative e culturali declinate dal Profilo educativo, culturale e professionale comune a tutti i percorsi liceali. Al termine del percorso liceale lo studente padroneggia la lingua italiana: è in grado di esprimersi, in forma scritta e orale, con chiarezza e proprietà, variando - a seconda dei diversi contesti e scopi - l'uso personale della lingua; di compiere operazioni fondamentali, quali riassumere e parafrasare un testo dato, organizzare e motivare un ragionamento; di illustrare e interpretare in termini essenziali un fenomeno storico, culturale, scientifico. L'osservazione sistematica delle strutture linguistiche consente allo studente di affrontare testi anche complessi, presenti in situazioni di studio o di lavoro. A questo scopo si serve anche di strumenti forniti da una riflessione metalinguistica basata sul ragionamento circa le funzioni dei diversi livelli (ortografico, interpuntivo, morfosintattico, lessicale-semantico, testuale) nella costruzione ordinata del discorso. Ha inoltre una complessiva coscienza della storicità della lingua italiana, maturata attraverso la lettura fin dal biennio di alcuni testi letterari distanti nel tempo, e approfondita poi da elementi di storia della lingua, delle sue caratteristiche sociolinguistiche e della presenza dei dialetti, nel q&shy;ro complessivo dell'Italia odierna, caratterizzato dalle varietà d'uso dell'italiano stesso. ==== Letteratura ==== Il gusto per la lettura resta un obiettivo primario dell'intero percorso di istruzione, da non compromettere attraverso una indebita e astratta insistenza sulle griglie interpretative e sugli aspetti metodologici, la cui acquisizione avverrà progressivamente lungo l'intero quinquennio, sempre a contatto con i testi e con i problemi concretamente sollevati dalla loro esegesi. A descrivere il panorama letterario saranno altri autori e testi, oltre a quelli esplicitamente menzionati, scelti in autonomia dal docente, in ragione dei percorsi che riterrà più proficuo mettere in particolare rilievo e della specificità dei singoli indirizzi liceali. Al termine del percorso lo studente ha compreso il valore intrinseco della lettura, come risposta a un autonomo interesse e come fonte di paragone con altro da sé e di ampliamento dell'esperienza del mondo; ha inoltre acquisito stabile familiarità con la letteratura, con i suoi strumenti espressivi e con il metodo che essa richiede. È in grado di riconoscere l'interdipendenza fra le esperienze che vengono rappresentate (i temi, i sensi espliciti e impliciti, gli archetipi e le forme simboliche) nei testi e i modi della rappresentazione (l'uso estetico e retorico delle forme letterarie e la loro capacità di contribuire al senso). Lo studente acquisisce un metodo specifico di lavoro, impadronendosi via via degli strumenti indispensabili per l<nowiki>'</nowiki>interpretazione dei testi: l<nowiki>'</nowiki>analisi linguistica, stilistica, retorica; l<nowiki>'</nowiki>intertestualità e la relazione fra temi e generi letterari; l<nowiki>'</nowiki>incidenza della stratificazione di letture diverse nel tempo. Ha potuto osservare il processo creativo dell<nowiki>'</nowiki>opera letteraria, che spesso si compie attraverso stadi diversi di elaborazione. Nel corso del quinquennio matura un<nowiki>'</nowiki>autonoma capacità di interpretare e commentare testi in prosa e in versi, di porre loro domande personali e paragonare esperienze distanti con esperienze presenti nell<nowiki>'</nowiki>oggi. Lo studente ha inoltre una chiara cognizione del percorso storico della letteratura italiana dalle Origini ai nostri giorni: coglie la dimensione storica intesa come riferimento a un dato contesto; l<nowiki>'</nowiki>incidenza degli autori sul linguaggio e sulla codificazione letteraria (nel senso sia della continuità sia della rottura); il nesso con le domande storicamente presenti nelle diverse epoche. Ha approfondito poi la relazione fra letteratura ed altre espressioni culturali, anche grazie all<nowiki>'</nowiki>apporto sistematico delle altre discipline che si presentano sull<nowiki>'</nowiki>asse del tempo (storia, storia dell<nowiki>'</nowiki>arte, storia della filosofia). Ha una adeguata idea dei rapporti con le letterature di altri Paesi, affiancando la lettura di autori italiani a letture di autori stranieri, da concordare eventualmente con i docenti di Lingua e cultura straniera, e degli scambi reciproci fra la letteratura e le altre arti. Ha compiuto letture dirette dei testi (opere intere o porzioni significative di esse, in edizioni filologicamente corrette), ha preso familiarità con le caratteristiche della nostra lingua letteraria, formatasi in epoca antica con l<nowiki>'</nowiki>apparire delle opere di autori di primaria importanza, soprattutto di Dante. Ha una conoscenza consistente della Commedia dantesca, della quale ha colto il valore artistico e il significato per il costituirsi dell<nowiki>'</nowiki>intera cultura italiana. Nell<nowiki>'</nowiki>arco della storia letteraria italiana ha individuato i movimenti culturali, gli autori di maggiore importanza e le opere di cui si è avvertita una ricorrente presenza nel tempo, e ha colto altresi<nowiki>'</nowiki> la coesistenza, accanto alla produzione in italiano, della produzione in dialetto. La lettura di testi di valore letterario ha consentito allo studente un arricchimento anche linguistico, in particolare l<nowiki>'</nowiki>ampliamento del patrimonio lessicale e semantico, la capacità di adattare la sintassi alla costruzione del significato e di adeguare il registro e il tono ai diversi temi, l<nowiki>'</nowiki>attenzione all<nowiki>'</nowiki>efficacia stilistica, che sono presupposto della competenza di scrittura. === OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO === ==== Lingua ==== ===== PRIMO BIENNIO ===== Nel primo biennio, lo studente colma eventuali lacune e consolida e approfondisce le capacità linguistiche orali e scritte, mediante attività che promuovano un uso linguistico efficace e corretto, affiancate da una riflessione sulla lingua orientata ai dinamismi di coesione morfosintattica e coerenza logico-argomentativa del discorso, senza indulgere in minuziose tassonomie e riducendo gli aspetti nomenclatori. Le differenze generali nell<nowiki>'</nowiki>uso della lingua orale, scritta e trasmessa saranno oggetto di particolare osservazione, cosi<nowiki>'</nowiki> come attenzione sarà riservata alle diverse forme della videoscrittura e della comunicazione multimediale. Nell<nowiki>'</nowiki>ambito della produzione orale lo studente sarà abituato al rispetto dei turni verbali, all<nowiki>'</nowiki>ordine dei temi e all<nowiki>'</nowiki>efficacia espressiva. Nell<nowiki>'</nowiki>ambito della produzione scritta saprà controllare la costruzione del testo secondo progressioni tematiche coerenti, l<nowiki>'</nowiki>organizzazione logica entro e oltre la frase, l<nowiki>'</nowiki>uso dei connettivi (preposizioni, congiunzioni, avverbi e segnali di strutturazione del testo), dell<nowiki>'</nowiki>interpunzione, e saprà compiere adeguate scelte lessicali. Tali attività consentiranno di sviluppare la competenza testuale sia nella comprensione (individuare dati e informazioni, fare inferenze, comprendere le relazioni logiche interne) sia nella produzione (curare la dimensione testuale, ideativa e linguistica). Oltre alla pratica tradizionale dello scritto esteso, nelle sue varie tipologie, lo studente sarà in grado di comporre brevi scritti su consegne vincolate, paragrafare, riassumere cogliendo i tratti informativi salienti di un testo, titolare, parafrasare, relazionare, comporre testi variando i registri e i punti di vista. Questo percorso utilizzerà le opportunità offerte da tutte le discipline con i loro specifici linguaggi per facilitare l<nowiki>'</nowiki>arricchimento del lessico e sviluppare le capacità di interazione con diversi tipi di testo, compreso quello scientifico: la trasversalità dell<nowiki>'</nowiki>insegnamento della Lingua italiana impone che la collaborazione con le altre discipline sia effettiva e programmata. Al termine del primo biennio affronterà, in prospettiva storica, il tema della nascita, dalla matrice latina, dei volgari italiani e della diffusione del fiorentino letterario fino alla sua sostanziale affermazione come lingua italiana. ===== SECONDO BIENNIO E QUINTO ANNO ===== Nel secondo biennio e nell<nowiki>'</nowiki>anno finale lo studente consolida e sviluppa le proprie conoscenze e competenze linguistiche in tutte le occasioni adatte a riflettere ulteriormente sulla ricchezza e la flessibilità della lingua, considerata in una grande varietà di testi proposti allo studio. L<nowiki>'</nowiki>affinamento delle competenze di comprensione e produzione sarà perseguito sistematicamente, in collaborazione con le altre discipline che utilizzano testi, sia per lo studio e per la comprensione sia per la produzione (relazioni, verifiche scritte ecc.). In questa prospettiva, si avrà particolare riguardo al possesso dei lessici disciplinari, con particolare attenzione ai termini che passano dalle lingue speciali alla lingua comune o che sono dotati di diverse accezioni nei diversi ambiti di uso. Lo studente analizzerà i testi letterari anche sotto il profilo linguistico, praticando la spiegazione letterale per rilevare le peculiarità del lessico, della semantica e della sintassi e, nei testi poetici, l<nowiki>'</nowiki>incidenza del linguaggio figurato e della metrica. Essi, pur restando al centro dell<nowiki>'</nowiki>attenzione, andranno affiancati da testi di altro tipo, evidenziandone volta a volta i tratti peculiari; nella prosa saggistica, ad esempio, si metteranno in evidenza le tecniche dell<nowiki>'</nowiki>argomentazione. Nella prospettiva storica della lingua si metteranno in luce la decisiva codificazione cinquecentesca, la fortuna dell<nowiki>'</nowiki>italiano in Europa soprattutto in epoca rinascimentale, l<nowiki>'</nowiki>importanza della coscienza linguistica nelle generazioni del Risorgimento, la progressiva diffusione dell<nowiki>'</nowiki>italiano parlato nella comunità nazionale dall<nowiki>'</nowiki>Unità ad oggi. Saranno segnalate le tendenze evolutive più recenti per quanto riguarda la semplificazione delle strutture sintattiche, la coniazione di composti e derivati, l<nowiki>'</nowiki>accoglienza e il calco di dialettalismi e forestierismi. ==== Letteratura ==== ===== PRIMO BIENNIO ===== Nel corso del primo biennio lo studente incontra opere e autori significativi della classicità, da leggere in traduzione, al fine di individuare i caratteri principali della tradizione letteraria e culturale, con particolare attenzione a opere fondative per la civiltà occidentale e radicatesi - magari in modo inconsapevole - nell<nowiki>'</nowiki>immaginario collettivo, cosi<nowiki>'</nowiki> come è andato assestandosi nel corso dei secoli (i poemi omerici, la tragedia attica del V secolo, l<nowiki>'</nowiki>Eneide, qualche altro testo di primari autori greci e latini, specie nei Licei privi di discipline classiche, la Bibbia); accanto ad altre letture da autori di epoca moderna anche stranieri, leggerà i Promessi Sposi di Manzoni, quale opera che somma la qualità artistica, il contributo decisivo alla formazione dell<nowiki>'</nowiki>italiano moderno, l<nowiki>'</nowiki>esemplarità realizzativa della forma-romanzo, l<nowiki>'</nowiki>ampiezza e la varietà di temi e di prospettive sul mondo. Alla fine del primo biennio si accosterà, attraverso alcune letture di testi, alle prime espressioni della letteratura italiana: la poesia religiosa, i Siciliani, la poesia toscana prestilnovistica. Attraverso l<nowiki>'</nowiki>esercizio sui testi inizia ad acquisire le principali tecniche di analisi (generi letterari, metrica, retorica, ecc.). ===== SECONDO BIENNIO ===== Il disegno storico della letteratura italiana si estenderà dallo Stilnovo al Romanticismo. Il tracciato diacronico, essenziale alla comprensione della storicità di ogni fenomeno letterario, richiede di selezionare, lungo l<nowiki>'</nowiki>asse del tempo, i momenti più rilevanti della civiltà letteraria, gli scrittori e le opere che più hanno contribuito sia a definire la cultura del periodo cui appartengono, sia ad arricchire, in modo significativo e durevole, il sistema letterario italiano ed europeo, tanto nel merito della rappresentazione simbolica della realtà, quanto attraverso la codificazione e l<nowiki>'</nowiki>innovazione delle forme e degli istituti dei diversi generi. Su questi occorrerà, dunque, puntare, sottraendosi alla tentazione di un generico enciclopedismo. Il senso e l<nowiki>'</nowiki>ampiezza del contesto culturale, dentro cui la letteratura si situa con i mezzi espressivi che le sono propri, non possono essere ridotti a semplice sfondo narrativo sul quale si stampano autori e testi. Un panorama composito, che sappia dar conto delle strutture sociali e del loro rapporto con i gruppi intellettuali (la borghesia comunale, il clero, le corti, la città, le forme della committenza), dell<nowiki>'</nowiki>affermarsi di visioni del mondo (l<nowiki>'</nowiki>umanesimo, il rinascimento, il barocco, l<nowiki>'</nowiki>Illuminismo) e di nuovi paradigmi etici e conoscitivi (la nuova scienza, la secolarizzazione), non può non giovarsi dell<nowiki>'</nowiki>apporto di diversi domini disciplinari. E<nowiki>'</nowiki> dentro questo q&shy;ro, di descrizione e di analisi dei processi culturali - cui concorrerà lo studio della storia, della filosofia, della storia dell<nowiki>'</nowiki>arte, delle discipline scientifiche - che troveranno necessaria collocazione, oltre a Dante (la cui Commedia sarà letta nel corso degli ultimi tre anni, nella misura di almeno 25 canti complessivi), la vicenda plurisecolare della lirica (da Petrarca a Foscolo), la grande stagione della poesia narrativa cavalleresca (Ariosto, Tasso), le varie manifestazioni della prosa, dalla novella al romanzo (da Boccaccio a Manzoni), dal trattato politico a quello scientifico (Machiavelli, Galileo), l<nowiki>'</nowiki>affermarsi della tradizione teatrale (Goldoni, Alfieri). ===== QUINTO ANNO ===== In ragione delle risonanze novecentesche della sua opera e, insieme, della complessità della sua posizione nella letteratura europea del XIX secolo, Leopardi sarà studiato all<nowiki>'</nowiki>inizio dell<nowiki>'</nowiki>ultimo anno. Sempre facendo ricorso ad una reale programmazione multidisciplinare, il disegno storico, che andrà dall<nowiki>'</nowiki>Unità d<nowiki>'</nowiki>Italia ad oggi, prevede che lo studente sia in grado di comprendere la relazione del sistema letterario (generi, temi, stili, rapporto con il pubblico, nuovi mezzi espressivi) da un lato con il corso degli eventi che hanno modificato via via l<nowiki>'</nowiki>assetto sociale e politico italiano e dall<nowiki>'</nowiki>altro lato con i fenomeni che contrassegnano più generalmente la modernità e la postmodernità, osservate in un panorama sufficientemente ampio, europeo ed extraeuropeo. Al centro del percorso saranno gli autori e i testi che più hanno marcato l<nowiki>'</nowiki>innovazione profonda delle forme e dei generi, prodottasi nel passaggio cruciale fra Ottocento e Novecento, segnando le strade lungo le quali la poesia e la prosa ridefiniranno i propri statuti nel corso del XX secolo. Da questo profilo, le vicende della lirica, meno che mai riducibili ai confini nazionali, non potranno che muovere da Baudelaire e dalla ricezione italiana della stagione simbolista europea che da quello s<nowiki>'</nowiki>inaugura. L<nowiki>'</nowiki>incidenza lungo tutto il Novecento delle voci di Pascoli e d<nowiki>'</nowiki>Annunzio ne rende imprescindibile lo studio; cosi<nowiki>'</nowiki> come, sul versante della narrativa, la rappresentazione del "vero" in Verga e la scomposizione delle forme del romanzo in Pirandello e Svevo costituiscono altrettanti momenti non eludibili del costituirsi della "tradizione del Novecento". Dentro il secolo XX e fino alle soglie dell<nowiki>'</nowiki>attuale, il percorso della poesia, che esordirà con le esperienze decisive di Ungaretti, Saba e Montale, contemplerà un<nowiki>'</nowiki>adeguata conoscenza di testi scelti tra quelli di autori della lirica coeva e successiva (per esempio Rebora, Campana, Luzi, Sereni, Caproni, Zanzotto, ...). Il percorso della narrativa, dalla stagione neorealistica ad oggi, comprenderà letture da autori significativi come Gadda, Fenoglio, Calvino, P. Levi e potrà essere integrato da altri autori (per esempio Pavese, Pasolini, Morante, Meneghello ... ). Raccomandabile infine la lettura di pagine della migliore prosa saggistica, giornalistica e memorialistica. [[Categoria:Programmi scolastici italiani del liceo artistico indirizzo audiovisivo]] 1n8qsoeyk0eqrbf76szbv7dy0fklxq2 2 14495 285671 276243 2026-08-02T00:02:22Z Pathoschild 449 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 285671 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">{{#babel:ko|en-3|it-0}} [[File:Revi wikimedia image.jpg|thumb|center|middle|If you are here to talk about CommonsDelinker removing a deleted image, please [[:c:User talk:Revi C.|go here]].]] Hello! I am [[:m:User:Revi C.|revi]]. 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Nell'opera, scritta di getto in tre giorni dopo aver appreso dalla Gazzetta di Milano del 16 luglio 1821 le circostanze della morte di Napoleone, Manzoni mette in risalto le battaglie e le imprese dell'ex imperatore, nonché la fragilità umana e la misericordia di Dio. ==L'Autore== [[File:Manzoni 1805.jpg|miniatura|destra|Anonimo inglese, ''Alessandro Manzoni nel 1805'', olio su tela, attualmente nella Casa Manzoni di via del Morone, Milano.]] Alessandro Manzoni, nome completo Alessandro Francesco Tommaso Antonio Manzoni (Milano, 7 marzo 1785 – Milano, 22 maggio 1873), è stato uno scrittore, poeta e drammaturgo italiano. Considerato uno dei maggiori romanzieri italiani di tutti i tempi per il suo celebre romanzo I promessi sposi, caposaldo della letteratura italiana, Manzoni ebbe il merito principale di aver gettato le basi per il romanzo moderno e di aver così patrocinato l'unità linguistica italiana, sulla scia di quella letteratura moralmente e civilmente impegnata propria dell'Illuminismo italiano. Passato dalla temperie neoclassica a quella romantica, il Manzoni, divenuto fervente cattolico dalle tendenze liberali, lasciò un segno indelebile anche nella storia del teatro italiano (per aver rotto le tre unità aristoteliche) e in quella poetica (nascita del pluralismo vocale con gli Inni Sacri e della poesia civile). Il successo e i numerosi riconoscimenti pubblici e accademici (fu senatore del Regno d'Italia) si affiancarono a una serie di problemi di salute (nevrosi, agorafobia) e famigliari (i numerosi lutti che afflissero la vita domestica dello scrittore) che lo ridussero in un progressivo isolamento esistenziale. Nonostante quest'isolamento, Manzoni fu in contatto epistolare con la migliore cultura intellettuale francese, con Goethe, con intellettuali di primo ordine come Antonio Rosmini e, seppur indirettamente, con le novità estetiche romantiche britanniche (influsso di Walter Scott per il genere del romanzo). ==Il Testo== ''Ei fu. Siccome immobile,''<br> ''Dato il mortal sospiro,''<br> Stette la spoglia immemore''<br> ''Orba di tanto spiro,''<br> ''Così percossa, attonita'' '''5'''<br> ''La terra al nunzio sta,'' ''Muta pensando all’ultima''<br> ''Ora dell’uom fatale;''<br> ''Nè sa quando una simile''<br> ''Orma di piè mortale'' '''10'''<br> ''La sua cruenta polvere''<br> ''A calpestar verrà.'' ''Lui folgorante in solio''<br> ''Vide il mio genio e tacque;''<br> ''Quando, con vece assidua,'' '''15'''<br> ''Cadde, risorse e giacque,''<br> ''Di mille voci al sonito''<br> ''Mista la sua non ha:'' Vergin di servo encomio''<br> E di codardo oltraggio,'' '''20'''<br> ''Sorge or commosso al subito''<br> ''Sparir di tanto raggio:''<br> ''E scioglie all’urna un cantico''<br> ''Che forse non morrà.'' ''Dall’Alpi alle Piramidi,'' '''25'''<br> ''Dal Manzanarre al Reno,''<br> ''Di quel securo il fulmine''<br> ''Tenea dietro al baleno;''<br> ''Scoppiò da Scilla al Tanai,''<br> ''Dall’uno all’altro mar.'' '''30''' ''Fu vera gloria? Ai posteri''<br> ''L’ardua sentenza: nui''<br> ''Chiniam la fronte al Massimo''<br> ''Fattor, che volle in lui''<br> ''Del creator suo spirito'' '''35'''<br> ''Più vasta orma stampar.'' ''La procellosa e trepida''<br> ''Gioia d’un gran disegno,''<br> ''L’ansia d’un cor che indocile''<br> ''Serve, pensando al regno;'' '''40'''<br> ''E il giunge, e tiene un premio''<br> ''Ch’era follia sperar;'' ''Tutto ei provò: la gloria''<br> ''Maggior dopo il periglio,''<br> ''La fuga e la vittoria,'' '''45'''<br> ''La reggia e il tristo esiglio:''<br> ''Due volte nella polvere,''<br> ''Due volte sull’altar.'' ''Ei si nomò: due secoli,''<br> ''L’un contro l’altro armato,'' '''50'''<br> ''Sommessi a lui si volsero,''<br> ''Come aspettando il fato;''<br> ''Ei fe’ silenzio, ed arbitro''<br> ''S’assise in mezzo a lor.'' ''E sparve, e i dì nell’ozio'' '''55'''<br> ''Chiuse in sì breve sponda,''<br> ''Segno d’immensa invidia''<br> ''E di pietà profonda,''<br> ''D’inestinguibil odio''<br> ''E d’indomato amor.'' '''60''' ''Come sul capo al naufrago''<br> ''L’onda s’avvolve e pesa,''<br> ''L’onda su cui del misero,''<br> ''Alta pur dianzi e tesa,''<br> ''Scorrea la vista a scernere'' '''65'''<br> ''Prode remote invan;'' ''Tal su quell’alma il cumulo''<br> ''Delle memorie scese!''<br> ''Oh quante volte ai posteri''<br> ''Narrar se stesso imprese,'' '''70'''<br> ''E sull’eterne pagine''<br> ''Cadde la stanca man!'' ''Oh quante volte, al tacito''<br> ''Morir d’un giorno inerte,''<br> ''Chinati i rai fulminei,'' '''75'''<br> ''Le braccia al sen conserte,''<br> ''Stette, e dei dì che furono''<br> ''L’assalse il sovvenir!'' ''E ripensò le mobili''<br> ''Tende, e i percossi valli,'' '''80'''<br> ''E il lampo de’ manipoli,''<br> ''E l’onda dei cavalli,''<br> ''E il concitato imperio,''<br> ''E il celere ubbidir.'' ''Ahi! forse a tanto strazio'' '''85'''<br> ''Cadde lo spirto anelo,''<br> ''E disperò: ma valida''<br> ''Venne una man dal cielo,''<br> ''E in più spirabil aere''<br> ''Pietosa il trasportò;'' '''90''' ''E l’avviò, pei floridi''<br> ''Sentier della speranza,''<br> ''Ai campi eterni, al premio''<br> ''Che i desidéri avanza,''<br> ''Dov’è silenzio e tenebre'' '''95'''<br> ''La gloria che passò.'' ''Bella Immortal! benefica''<br> ''Fede ai trionfi avvezza!''<br> ''Scrivi ancor questo, allegrati;''<br> ''Chè più superba altezza'' '''100'''<br> ''Al disonor del Golgota''<br> ''Giammai non si chinò.'' ''Tu dalle stanche ceneri''<br> ''Sperdi ogni ria parola:''<br> ''Il Dio che atterra e suscita,'' '''105'''<br> ''Che affanna e che consola,''<br> ''Sulla deserta coltrice''<br> ''Accanto a lui posò.'' '''108''' == Il Contenuto del Testo == Manzoni, con la stesura de ''Il cinque maggio'', non intendeva né glorificare la figura di Napoleone, né muovere a pietà il lettore per il suo trapasso, bensì illustrare il ruolo salvifico della Grazia divina, offrendo al contempo uno spaccato esistenziale della vita di Napoleone. === Versi 1-30 === [[File:Empire français 1811.png|miniatura|L'impero di Napoleone al suo apogeo nel 1811, tra paesi vassalli, alleati e lo stesso territorio francese. {{citazione|Dall'Alpi alle Piramidi / dal Manzanarre al Reno / di quel securo il fulmine / tenea dietro il baleno; / scoppiò da Scilla al Tanai, dall'uno all'altro mar|vv. 25-30}}]] ''Il cinque maggio'' ha inizio con un esordio severo ed ineluttabile, ''Ei fu'', con il quale Manzoni annuncia al lettore che Napoleone non è più vivo. Per riferirsi al defunto imperatore il poeta ricorre a un pronome personale di gusto solenne e letterario, ''Ei'', che sottolinea la fama di Napoleone, talmente conosciuto che non ha bisogno di introduzioni. La scelta del passato remoto in ''fu'', invece, allontana nel tempo l'epopea napoleonica, che in questo modo viene segnalata come un evento definitivamente concluso, sprofondato nel magma del passato, con una chiara allusione all'inesorabilità dello scorrere del tempo, alla caducità della vita, e alla natura effimera della gloria terrena. Dopo quest'esordio così pregnante e conciso, Manzoni passa a descrivere l'immobile stupore dell'intera popolazione umana, rimasta ''percossa'', ''attonita'' all'annunzio della morte del condottiero. Dell'''uom fatale'', talmente potente da poter decidere il destino del mondo, ormai non rimane che una ''spoglia immemore'', e niente in essa serba memoria della gloria passata; né si sa quando vi sarà il passo di un uomo che ''la sua cruenta polvere / a calpestar verrà''. Nei versi successivi si fanno alcuni cenni alle ultime vicende militari napoleoniche: la sconfitta di Lipsia del 1813, il periodo dei cento giorni e la disfatta definitiva a Waterloo, nel 1815. Manzoni coglie quest'occasione per sottolineare che lui è ''vergin di servo encomio e di codardo oltraggio'': il poeta, infatti, critica chi si profonde in lodi sperticate per i trionfi imperiali napoleonici in quanto sintomo di un gretto utilitarismo (condanna già presente ne ''Il Conte di Carmagnola'', dove viene accusato colui che «s'innalza sul vinto»); altrettanto vergognoso, tuttavia, è il comportamento di coloro che lo denigrarono caduto, quando Napoleone - persa ogni autorità - non aveva possibilità di difendersi. Pertanto, potendo vantare un «plettro immacolato» (cfr. ''In morte di Carlo Imbonati''), Manzoni può legittimamente commuoversi allo ''sparir di tanto raggio'', ed eternare la memoria del defunto imperatore con un cantico che ''forse non morrà''. La strofa successiva presenta un tono perentorio ed indica il quadro geografico nel quale si sono svolte le gesta napoleoniche. Sono citate le due campagne d'Italia (1796 e 1800); la campagna egiziana (1798-99); vengono poi menzionati due fiumi, il Manzanarre e il Reno, in riferimento rispettivamente alla campagna di Spagna del 1806 (il Manzanarre scorre vicino a Madrid) e ai diversi interventi militari in Germania, ove fluisce il Reno (si pensi alle battaglie di Ulm e di Jena). Le vittorie di Napoleone coinvolgono un territorio che si estende dall'Italia meridionale (la punta di Scilla è in [[Calabria]]) alla Russia, dove scorre il fiume Don, anche noto come Tanai, dal Mediterraneo all'Atlantico (''dall'uno all'altro mar''). === Versi 31-84=== Segue una profonda e ansiosa pausa meditativa: {{citazione|Fu vera gloria? Ai posteri / L’ardua sentenza: nui / Chiniam la fronte al Massimo / Fattor, che volle in lui / Del creator suo spirito / Più vasta orma stampar}} Quella all'inizio si tratta di un'interrogativa retorica, in quanto al Manzoni cattolico non interessano le glorie terrene di Napoleone, bensì le sue vittorie spirituali, che riconosce essere l'unico mezzo per raggiungere una gloria vera e autentica: convertendosi prima di morire, infatti, il condottiero corso ha dato un'ulteriore prova della grandezza di Dio, che si è servito di lui per imprimere sulla Terra un sigillo più forte della sua potenza creatrice. Questa meditabonda riflessione è accompagnata da un elenco dei sentimenti che hanno tempestato l'animo di Napoleone durante la sua ascesa al potere: la gioia ansiosa e trepidante che si dispiega nell'animo alla realizzazione di un grande progetto, l'insofferenza di un animo ribelle che, non domato, si sottopone agli altri, ma che pensa al potere, e l'esultanza che sostenne il suo trionfo imperiale, che era quasi folle ritenere possibile. ''Tutto ei provò'' (la strofa precedente è retta da questa proposizione): la gloria della vittoria, ma anche l'umiliante fuga dopo la sconfitta (in riferimento alla campagna di Russia del 1812 e alle successive di Lipsia e Waterloo), l'esultanza della ritornata vittoria, e infine l'esilio a Sant'Elena. [[File:Napoleon sainthelene.jpg|thumb|Manzoni scruta dentro l'animo del Napoleone esule a Sant'Elena, riconoscendovi un uomo fiaccato dal cumulo dei ricordi. {{citazione|Oh quante volte, al tacito / morir d'un giorno inerte / chinati i rai fulminei / le braccia al sen conserte, / stette, e dei dì che furono / l'assalse il sovvenir!|vv. 73-78}}]] La successione di glorie e sconfitte napoleoniche è seguita da quella che, a detta del Momigliani, è la strofa «più importante dell'ode per conoscere il giudizio del Manzoni storico su Napoleone». {{citazione|Il giudizio poetico del Manzoni qui finisce per coincidere con il giudizio storico, con la sentenza dei posteri, i quali riconoscono in Napoleone l'uomo che diffuse in Europa i principi della rivoluzione, addomesticandoli alla civiltà anteriore e guidandola a un fine}} In questa strofa, che sempre secondo Momigliani «artisticamente è fra le più notevoli [...] dell'ode», Napoleone appare infatti come un titanico dominatore. ''Ei si nomò'', ovvero si impose da sé il titolo di imperatore (strappando la corona dalle mani di papa Pio VII per porla da solo sulla sua testa), e fu artefice del proprio destino; si erse inoltre a giudice fra due secoli, il Settecento e l'Ottocento, vale a dire la Rivoluzione Francese e la Restaurazione. Napoleone, tuttavia, è pur sempre un uomo, e in quanto tale anch'egli è soggiogato alle dinamiche che regolano gli accadimenti umani. Come sottolineato dall'attacco (realizzato con la congiunzione «E»), gli atti napoleonici si susseguono tumultuosamente: dopo la sua ascesa fulminea, infatti, egli sparì dalla scena del mondo, costretto all'esilio e all'ozio forzato in una piccola isola sperduta nell'Oceano Atlantico, Sant'Elena. Qui Napoleone è travolto dalle contrastanti emozioni che egli stesso aveva suscitato durante la sua vita: immensa invidia e rispetto, odio inestinguibile e amore invincibile. I grandi eroi, secondo Manzoni, sono amati o odiati, non mediocremente sopportati. Segue, come osservato da Francesco De Sanctis, una strofa in cui «l'immaginazione del poeta si riposa. Napoleone è finito e rimane ozioso, è costretto a ricordare». Per suggerire l'idea di un Napoleone oppresso dal peso straziante dei ricordi, infatti, Manzoni ricorre alla pregnante similitudine di un naufrago che, mentre tende lo sguardo verso lontani approdi, viene travolto da quei marosi che prima egli stesso dominava. Manzoni indaga impietosamente la profonda crisi interiore di Napoleone, uomo condannato a una vita inoperosa pur essendo ancora energico e vitale (come suggerito dai ''rai fulminei''; si noti come anche nella poesia manzoniana gli occhi rappresentino lo specchio dell'anima). È per questo che il condottiero, investito dall'assalto dei ricordi, ripensa alle tende degli accampamenti militari, alle trincee battute dal fuoco dell'artiglieria, al fulminar delle spade dei suoi soldati, all'incalzare della cavalleria, agli ordini concitati e perentori e alla loro fulminea esecuzione. === Versi 85-108 === Il ricordo del passato per Napoleone è soffocante, avvilente, e presagisce la disperazione, come suggerito dalla tronca ''e disperò'', che a mo' di rintocco sembra concludere inesorabilmente la parabola terrena del generalissimo. I suoi tormenti, tuttavia, vengono allietati dalla provvidenziale mano divina che, discesa ''valida'' dal cielo, lo eleva a un'atmosfera più serena («più spirabil aere») e alla contemplazione della vita ultraterrena. Nella penultima strofa, impiegando una perifrasi desunta dalla tradizione religiosa (già Paolo di Tarso parlava di ''improperium Christi''), Manzoni ricorda al lettore che «giammai una più superba altezza non si chinò al disonore del Golgota»: Napoleone, in questo modo, viene interpretato come un uomo dalla personalità grandiosa e dallo straordinario ingegno bellico che, nei suoi ultimi frangenti di vita, seppe rinnegare il proprio orgoglio e chinarsi al legno del Golgota, abbracciando in questo modo la professione cristiana. ==L'Analisi del Testo== === La Struttura Metrico-Stilistica === ''Il cinque maggio'' risponde alla forma metrica dell'ode. Il testo si compone di 108 versi raggruppati in strofe da sei settenari. Il primo, il terzo ed il quinto settenario sono sdruccioli, ovvero pongono l'accento sulla terzultima sillaba, e non sono rimati; il secondo e il quarto sono rimati fra loro e terminano con una parola piana, mentre il sesto e ultimo settenario è tronco e rima con l'ultimo verso della strofa successiva. Complessivamente, i settenari sono rimati secondo lo schema ABCBDE, FGHGIE. Il poema può essere suddiviso in tre parti: nella prima, composta da quattro strofe (vv. 1-24), viene presentato il tema; nella seconda di dieci strofe (vv. 25-84) si ripercorre l'epopea napoleonica, mentre le ultime quattro strofe traggono le conclusioni e pertanto le riserve morali e religiose. La seconda parte, tra l'altro, si presta a un'ulteriore bipartizione: nel primo momento (vv. 25-54) si raccontano i momenti salienti del Napoleone condottiero e imperatore, mentre il secondo (55-84) è dedicato all'esilio finale a Sant'Elena. === Le Figure Retoriche === ''Il cinque maggio'' è accompagnato da: * due similitudini: «Siccome immobile ... così percossa» (vv. 1-5); «Come sul capo / tal su quell.alma!» (vv. 61-73); * numerosissime metafore: «orba» (v. 4); «tanto raggio» (v. 21); «il fulmine / tenea dietro al baleno» (vv. 27-28); «nella polvere ... sull'altar» (vv. 47-48); «rai fulminei» (v. 75); * diversi enjambement: «ultima / ora» (vv. 6-7); «simile / orma» (vv. 9-10); «subito / sparir» (vv. 21-22); «Massimo / Fattore» (vv. 33-34); «la procellosa e trepida / gioia» (vv. 37-38); «tacito / morir» (vv. 73-74); «mobili / tende» (vv. 79-80); «benefica / fede» (vv. 97-98); * anastrofi: «a calpestar verrà» (v. 17); «di mille voci al sonito» (v. 17); «mista la sua non ha» (v. 18); «di quel securo il fulmine» (v. 27); «del creator suo spirito» (v. 35); * quattro iperbati: «lui folgorante in solio / vide il mio genio e tacque» (vv. 13-14); «tal su quell’alma il cumulo / delle memorie scese» (vv. 67-68); «e dei dì che furono l’assalse il sovvenir» (vv. 77-78); «e in più spirabil aere / pietosa il trasportò» (vv. 89-90); * tre anafore: «dall'Alpi alle Piramidi, / dal Manzanarre al Reno […], da Scilla al Tanai, dall'uno all’altro mar» (vv. 25 ss); «due volte ... due volte» (vv. 47-48) ; «l'onda ... l'onda» (vv. 62-63); * un'antonomasia ai vv. 33-34: «Massimo Fattore»; * due sineddochi, al v. 10 («orma di pie’ mortale») e al v. 56 («breve sponda»); * alcuni polisindeti: «e sparve e i dì nell'ozio ...» (v. 55); «e ripensò … e i percossi … e il lampo … e l’onda … e il concitato … e il celere» (vv. 79-84); * due apostrofi: «Bella Immortal!….Scrivi ancor questo…» (vv. 97-99); «tu dalle stanche ceneri…» (v. 103); * un ossimoro al v. 57: «la procellosa e trepida / gioia d’un gran disegno»; * un'antitesi: «immensa invidia…/ pietà profonda… / inestinguibil odio… / indomato amor» (vv. 57 ss); * tre perifrasi: «dell’uom fatale» (v. 8); «di quel securo» (v. 27); «al disonor del Golgota» (v. 101); * personificazioni: «percossa, attonita / la terra ... / muta» (vv. 5-7). c9hfhb68wztoftka1k7i1c7e40innnm 2 34010 285678 285630 2026-08-02T08:52:18Z Funzioni di correlazione 24136 285678 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX genui{"calculus_analysis_learning_block":{"type_id":"DERIVATIVE_AS_SECANT"}} ```wiki == Derivata di <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>y=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` gdx80v2ul9lroj6qdfdcqgu2lqa7h93 0 37636 285679 285658 2026-08-02T08:55:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18^ f(x) */ 285679 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== 34c8x13yh8di3ke38i4ioxn5f4tzj6c 285680 285679 2026-08-02T08:58:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18^ \sqrt[5]{\sin(3x)} */ 285680 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== == 20^ <math>f(x)= </math>== qd0yqv6bnx7sokgslwca1pmthki4rs5 2 37721 285661 2026-08-01T20:26:04Z Prof.jake333 46831 Creata pagina con "Insegno nella scuola pubblica statale e vorrei usare Wikiversità per scopi didattici." 285661 wikitext text/x-wiki Insegno nella scuola pubblica statale e vorrei usare Wikiversità per scopi didattici. 3ad7m4fx1yy3q0qr25pzdofd7ptlybb