Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.13 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento Discussioni utente:Revi C. 3 14496 285693 285670 2026-08-02T14:33:42Z Pathoschild 449 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 285693 wikitext text/x-wiki __NOINDEX__<div class="mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">[[File:Revi logo (pink).png|thumb|center|<span style="color:red">PLEASE DO NOT LEAVE MESSAGE HERE!</span>]] '''<span style="color:red"> BEFORE YOU BLOCK MY ACCOUNT: IF MY EDIT SUMMARY INCLUDE PREFIX </span>''(Script)''<span style="color:red">, DON'T BLOCK ME, JUST TELL ME TO SLOW DOWN AT COMMONS' TALK PAGE. 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Messages left on this page may be reverted or moved without any response.</div> 5b8qtz4dnjnrhc9ts3mku14m3gujbq8 Utente:Funzioni di correlazione/SandboxAnalisi 2 34010 285686 285678 2026-08-02T13:23:41Z Funzioni di correlazione 24136 285686 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>f(x)=x\sin x\cos x</math> Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> == Risultato finale == <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> ``` genui{"calculus_analysis_learning_block":{"type_id":"DERIVATIVE_AS_SECANT"}} ```wiki == Derivata di <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>y=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` f7izwnqstilwb4q2rzwihwb8l4m5dn5 285687 285686 2026-08-02T13:25:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20^f(x)=x\sin x\cos x */ 285687 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> == Risultato finale == <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> ``` genui{"calculus_analysis_learning_block":{"type_id":"DERIVATIVE_AS_SECANT"}} ```wiki == Derivata di <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>y=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` 2odfw6qh0tnmyahv11cjcsw3thlkubn 285688 285687 2026-08-02T13:26:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risultato finale */ 285688 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> Risultato finale <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> ``` genui{"calculus_analysis_learning_block":{"type_id":"DERIVATIVE_AS_SECANT"}} ```wiki == Derivata di <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> == Calcolare la derivata della funzione <math>y=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math> Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` =Studio di funzioni con IA= ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` g7jxst14es8i9s9yewrqf4hwyy50b7o 285697 285688 2026-08-03T06:49:12Z Funzioni di correlazione 24136 285697 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki == Risoluzione della disequazione == Determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>\boxed{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` nlr9ok6pltw80ap2o5y70gq4ua4i667 285698 285697 2026-08-03T06:50:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* Soluzione */ 285698 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki == Risoluzione della disequazione == Determinare l'insieme delle soluzioni della disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` gp3x4nbo7zxqz5sikc6czrp7wr930c4 285699 285698 2026-08-03T06:54:58Z Funzioni di correlazione 24136 285699 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXx Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` 0ifj2hbxnu4miwp1u5e5nyzzk56d8qv 285700 285699 2026-08-03T06:56:52Z Funzioni di correlazione 24136 285700 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio disequazioni|| avanzamento = %}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` 8kc9ifjvltcn0d7tw77lgj9ix89ol9w 285701 285700 2026-08-03T07:01:22Z Funzioni di correlazione 24136 285701 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio disequazioni|| avanzamento = %}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` myy7gzno0kdvqb4qblhurl3wownhxzn 285702 285701 2026-08-03T07:02:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* Le disequazioni computate con IA */ 285702 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio disequazioni|| avanzamento = %}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` ra66jcmn9lrsdf4h2i7qfj0zg6550y6 285703 285702 2026-08-03T07:04:10Z Funzioni di correlazione 24136 285703 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ``` 8x081x8ybfbrbr5mgu9fv521xzq8wvq 285704 285703 2026-08-03T07:14:04Z Funzioni di correlazione 24136 285704 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} Di seguito trovi il testo in formato grezzo per Wikipedia, con **tutte le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia e incolla. ```wiki == Risoluzione della disequazione == Si vuole risolvere la disequazione <math>2x^2-9>0</math> Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` eoaxp9ul3l09vlci9svdevxrrcjbnly 285705 285704 2026-08-03T07:15:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione della disequazione */ 285705 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} Di seguito trovi il testo in formato grezzo per Wikipedia, con **tutte le espressioni matematiche racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia e incolla. ```wiki ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` ih7q99i4apxu6wwvmg4yu8qu37uotvc 285706 285705 2026-08-03T07:17:01Z Funzioni di correlazione 24136 285706 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` gdwhaztn4h14usvkqi44z1gk8c52mxb 285707 285706 2026-08-03T07:17:57Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2^ 2x^2-9>0 */ 285707 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` h7osgkwz25yws9wf0nlvihwdchh8b8q 285708 285707 2026-08-03T07:28:33Z Funzioni di correlazione 24136 285708 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. 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Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==3^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` o9wrg2vnn97j5v2bovqtqnrvlfctn41 285709 285708 2026-08-03T07:30:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ x(x-4)>0 */ 285709 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. 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Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. 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Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` 1ygofwsvgdu6btgthdvsy5ikylovev9 285712 285709 2026-08-03T07:32:54Z Funzioni di correlazione 24136 285712 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==2^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` 96fcw2h1hceic7zszdmzti5jhpk1x7v 285742 285712 2026-08-03T07:42:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2^ 2x^2-9>0 */ 285742 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` 1ys5s31ho1idvvds9gi4hifusq5wa61 285745 285742 2026-08-03T07:44:19Z Funzioni di correlazione 24136 285745 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` kj7v3bn649gccyasexn07vvzy1y44zt 285751 285745 2026-08-03T07:50:02Z Funzioni di correlazione 24136 285751 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^ <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. 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Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1^) <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. 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Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` n418pavruacvcyix83fvq1emgzxlnfo 285753 285752 2026-08-03T07:52:14Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1^) \log_{10}(2x^2-7x+103)>2 */ 285753 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2^ <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` thfz1yl6ozgmf09a2is2pb05auf5wh3 285754 285753 2026-08-03T07:54:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2^ x(x-4)>0 */ 285754 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` i855i7gekfzqe2fttr34s5mmgwc1ffd 285755 285754 2026-08-03T07:55:38Z Funzioni di correlazione 24136 285755 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3^ <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` f4qvycll3y5js8ojma8zvsr695hjvv9 285757 285756 2026-08-03T07:58:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ 2x^2-9>0 */ 285757 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` kxl8303xg7ue184auxbqpvg4ocgzjyy 285760 285757 2026-08-03T08:12:44Z Funzioni di correlazione 24136 285760 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. 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Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==5° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==6° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` cb1utzoazzdwnkzo7cpv1jzzp7g788u Wikiversità:GUS2Wiki 4 35656 285695 285394 2026-08-02T15:12:34Z Alexis Jazz 33840 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 285695 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} I dati che seguono sono estratti da una copia ''cache'' del database, il cui ultimo aggiornamento risale al 2026-08-01T07:46:00Z. Un massimo di {{PLURAL:5000|un risultato è disponibile|5000 risultati è disponibile}} in cache. {| class="sortable wikitable" ! Accessorio !! data-sort-type="number" | Numero di utenti !! data-sort-type="number" | Utenti attivi |- |CatWatch || 13 || 0 |- |EDTitle || 11 || 0 |- |HotCat || 25 || 0 |- |NamespacePreload || 3 || 0 |- |Navpopup || 36 || 1 |- |Orologio || 19 || 1 |- |Purge || 23 || 1 |- |RcColor || 17 || 1 |- |RivelatoreDisambigua || 20 || 0 |- |RivelatoreRedirect || 21 || 1 |- |ScoredRevisions || 15 || 1 |- |Since || 10 || 0 |- |Spostamento || 16 || 1 |- |Toolbar || 24 || 0 |- |WikEd || 16 || 0 |- |WikidataInfo || 16 || 1 |- |lastedit || 15 || 1 |- |nav-sandbox || 35 || 1 |- |section0 || 9 || 1 |} * [[Speciale:GadgetUsage]] * [[m:Meta:GUS2Wiki/Script|GUS2Wiki]] <!-- data in CSV format: CatWatch,13,0 EDTitle,11,0 HotCat,25,0 NamespacePreload,3,0 Navpopup,36,1 Orologio,19,1 Purge,23,1 RcColor,17,1 RivelatoreDisambigua,20,0 RivelatoreRedirect,21,1 ScoredRevisions,15,1 Since,10,0 Spostamento,16,1 Toolbar,24,0 WikEd,16,0 WikidataInfo,16,1 lastedit,15,1 nav-sandbox,35,1 section0,9,1 --> cznfv3sp7h9ej9sdq5fehk3da00osd5 Discussioni utente:-revi 3 36789 285696 276245 2026-08-02T15:46:13Z Pathoschild 449 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 285696 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User talk:Revi C.]] o9z79lcc9a9pfmqmrod5w3eyk4q9i0o Utente:-revi 2 36790 285694 276246 2026-08-02T15:10:49Z Pathoschild 449 global user pages ([[m:Synchbot|requested by Revi C.]]) 285694 wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[User:Revi C.]] 88g0cv17whfgb1wkeh281mptujwtlut Corso:Esercizi di matematica al P.C. con l'ausilio dell'intelligenza artificiale 102 37619 285758 285635 2026-08-03T08:01:52Z Funzioni di correlazione 24136 285758 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una numerosa serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 14 materie di matematica:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} gapssmbkwdc5lbhbsw4qvo6fo6zzldl Applicazioni di geometria analitica 0 37622 285692 284870 2026-08-02T13:49:02Z Funzioni di correlazione 24136 285692 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Applicazioni di geometria analitica | avanzamento = 100% }} '''Tutte le applicazioni indicate sono svolte con file eseguibili in cartelle zip con nessun richiamo alla IA. ''' '''I singoli argomenti sono esplicitati con due lik; il primo è relativo alla spiegazione il secondo al file di calcolo e grafica''' '''I file zip devono esere richiamati e scaricati da questa pagina.''' '''Una volta scaricato il file zip lo si trova nella cartella down load del P.C. e deve essere aperto con " estrai tutto ".''' '''La cartella conseguente contiene il file eseguibile e la DLL associata da non aprire''' '''(27 esercizi)''' ==I punti e le rette== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1ZBuqAzeixTkkn6dfJ6fqzrGZuZ7txCcu/view?usp=drivdue filee_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/15epq-kHwOyAe9qrWVP8dSKSXo9T7vAlW/view?usp=drive_link] File zip] ==La circonferenza con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1-A1bV0U2cSt1t5u7zbMLVaR10s96UuGr/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1wepqJdsVRcYI2CtjT6b9AyYbIPZ3Qw8B/view?usp=drive_link]Il file zip] ==La circonferenza con centro su (Xc ; Yc) e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/13uxXgN_5xjbiSZvctPJ4FuwbUj1ah6wo/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1ye5vKA2HQ6DLQor8xN4aGI2yuj50Z3RX/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo punti di contatto tra due circonferenze: fissa e comunque disposta== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17Sbbll7FgUFW76gGuY6z9kECfLnhGj1m/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Hk8wfWZNM2qEQrGWdvBXac35ULIYnYFO/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti e una sua tangente== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Sn54YbjMQvdZn-RyCI25y55HW_IUBoWZ/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1k-xfBPHoC8AM7isyHXlMKjjJx8NF8m_E/view?usp=drive_link] File zip] ==Relazioni tra parabola e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1CXUPmdaInnp6CZyCRXNGPE0qr-anEn_d/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1x8pS63tlxE0RzGiljMUimmaeHxy_RWeL/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse verticale e punti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1QmGG8b00bCnsr9aX4097lZhxrdwMoZkX/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/14Ewt8NoVanU99nDVtgJHg92Pz0e-Vw94/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole con assi verticali== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/19uIXDJTi-u1-HqOrKKgE5XDMYiTDG-2s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1rn-pUbwVUwOVkNRT_rqDXb5txvJEGoeI/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole e circonferenze== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link] Al file zip] ==Relazioni tra parabola asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==L' ellisse con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1JIT_o98ACtb2mKnJq-0yHofR2vUuB7KN/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1nIXBKdVp2F_Oj62KwuMXuJ0UkEYWsjz4/view?usp=drive_link]File zip] ==Intersezioni tra l' ellisse e la circonferenza con centri nell'origine degli assi.== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link]Al file zi] ==Le tangenti all' ellisse con centro nell'origine degli assi == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1ayP2n6OGsmHkCPbLv3PksDDz5w7jVx7L/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/11-V9mjpsHsmnUCMTih4yhXVMibumungw/view?usp=drive_link]File zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse passante per due punti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1VIdFncPYS0qWUL0OZ0i7UCeT4ZRxfZWI/view?usp=drive_link]Testo esplcativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yJhMua4YFW942JxBGhOwFN7TSsyj-_Zt/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse traslata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kp5IgxtnPHfntkMD19-fqp4KefNSRMg9/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Z_GPHhiJdt1ZDcuvonWcyKAIF_IJjLF1/view?usp=drive_link]Al file] ==Le tangenti all'iperbole con centro nell'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17UdpjLupGCOplWND-PJFE2TecOLztryM/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1F8NSzPqsMMkO98b6K6jvOBuX8VVCK1l7/view?usp=drive_lAl file zip] ==Punti di contatto tra ellisse e iperbole con centri all'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Bb0NlQI5LOAxwF7F8v8jbw9-ClWnn7ek/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1NORc7pizsbMYZayc0vX4UZWpxrYiObtN/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'iperbole traslata== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1XQBFFNOxdEyqjTfMXKI8C_Zba3b0WL_s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1tis0tjYo9E05qT0A9vwy0rQrV9i8BjiZ/view?usp=drive_link]Al file zip] == Relazioni tra iperbole traslata e rette tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1OFJPdldN0cy2TaonFhw6b_EYzX908-US/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yVSlqylxhwCTVSEikIHpJ3hv1EjMcFXB/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Equazione dell'iperbole con vertice v(Xvo=a: Yvo=0) e tangente alla retta rt == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1asN9nyCOGrVl_cB2R3S74G6D3DllMypS/view?usp=drive_link]Testo illustrativo] [[https://drive.google.com/file/d/1z01WmOK80YSqxcVE3QRg3fJ0L8EchxYL/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera e i suoi asintoti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1qLIAnv1QepAI5-T4U-kst_7uWNYxDIq-/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1aOmEO6vpPduhhUeDSUVdphclo3_xXOg6/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera ruotata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kxySurbN-uafm0yx_n1wGeJti6Ro-MRk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Jo6yhHJFGqpLRrwkwolH_Hzw1cxa21Fh/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Intersezioni tra iperbole equilatera ruotata e circonferenza== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1og3JLMC__zXW2wCa3ZgPe0aQFjpXtiIi/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1IdIjKgzzPUXaosdOFM1zx54_RSVjWPBK/view?usp=drive_link]Al file zip] jlsn2tnjn3qu5k23sha6vbtn7yrm7fi Le derivate delle funzioni di funzioni 0 37636 285681 285680 2026-08-02T13:10:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19^ f(x)= */ 285681 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== La derivata si calcola applicando la **regola della catena**. genui{"calculus_analysis_learning_block":{"type_id":"DERIVATIVE_AS_SECANT"}} Di seguito trovi il testo in formato grezzo per Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. ```wiki == Calcolo della derivata di <math>\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> == Si consideri la funzione <math>f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^ <math>f(x)= </math>== d84ozzrs3qxm2enilna4wiut6cmte3q 285682 285681 2026-08-02T13:13:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19^ f(x)= */ 285682 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== == Calcolo della derivata di <math>\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> == Si consideri la funzione <math>f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^ <math>f(x)= </math>== c0c6khgn6j3wex4s9hvaxi6m7l26lmy 285683 285682 2026-08-02T13:15:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Calcolo della derivata di \sin\left(\frac{1}{x}\right) */ 285683 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` == 19^ <math>f(x)= </math>== 19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math> Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^ <math>f(x)= </math>== i6qtgst3w67lq8zrf13w6jy7aly6ipq 285684 285683 2026-08-02T13:17:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19^ f(x)= */ 285684 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^ <math>f(x)= </math>== sdc7r6m5v3ffl7wzzo4vz8ae0lkgdh4 285685 285684 2026-08-02T13:18:39Z Funzioni di correlazione 24136 285685 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^ <math>f(x)= </math>== 36xl8y0a0rqt1ahr0uysqeaumtdfpl8 285689 285685 2026-08-02T13:37:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20^ f(x)= */ 285689 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 75% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> Risultato finale <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> ``` 35w7elrlv30ku50wl5cp7gys5jl47sn 285690 285689 2026-08-02T13:37:57Z Funzioni di correlazione 24136 285690 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 100% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> Risultato finale <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> ``` mfbfjssdypdnn7zhum0gcyt1j7ld4if 285691 285690 2026-08-02T13:39:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20^f(x)=x\sin x\cos x */ 285691 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 100% }} == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> Risultato finale <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> n4bz63lqnjgnly7uio6hv92ln9aldib Disequazioni con IA 0 37747 285759 2026-08-03T08:04:17Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l..." 285759 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ``` ``` kxl8303xg7ue184auxbqpvg4ocgzjyy