Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 10122 285821 201302 2026-08-04T15:00:23Z JelenaDag 46844 285821 wikitext text/x-wiki {{S|MFN}} {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Biologia cellulare}} Esistono due tipi di cellule: quelle eucariotiche e quelle procariotiche. In tabella le principali differenze. {| class="wikitable" |- ! !! ''Eucarioti'' !! ''Procarioti'' |- | '''Organismi''' || Piante, funghi, animali || Batteri |- | '''Parete cellulare''' || Presente (solo in piante e funghi) || Presente |- | '''Ribosomi''' || Presenti || Presenti |- | '''Dimensione dei ribosomi citoplasmatici''' || 80S || 70S |- | '''Vacuoli''' || Presenti || Rari |- | '''Organuli circondati da membrana''' || Presenti || Assenti |- | '''Membrana nucleare''' || Presente || Assente |- | '''Cromosomi''' || Presenti (più di uno) || Presente (solo uno) |- | '''Dimensioni''' (in μm=10−6 m) || Tra 10 e 100 || Tra 1 e 10 |} == Differenze tra cellula procariote ed eucariote == Le cellule procariote e le cellule eucariote si differenziano per diverse caratteristiche strutturali e funzionali fondamentali. La '''cellula procariote''' è priva di un nucleo delimitato da membrana: il materiale genetico (DNA) è libero nel citoplasma, in una regione chiamata ''nucleoide''.<ref>{{cita libro |autore=Neil A. Campbell, Jane B. Reece |titolo=Biologia |editore=Pearson |anno=2018}}</ref> Le cellule procariote sono generalmente di dimensioni più piccole (1-10 micrometri) e prive di organelli membranosi interni, come mitocondri o reticolo endoplasmatico. La '''cellula eucariote''', invece, possiede un ''nucleo vero e proprio'', delimitato da una membrana nucleare, che racchiude il materiale genetico.<ref>{{cita libro |autore=Bruce Alberts et al. |titolo=Biologia molecolare della cellula |editore=Zanichelli |anno=2016}}</ref> Le cellule eucariote presentano inoltre numerosi organelli membranosi specializzati (mitocondri, apparato di Golgi, reticolo endoplasmatico) e sono generalmente di dimensioni maggiori (10-100 micrometri) rispetto alle cellule procariote. == Note == <ref>{{cita libro |autore=Neil A. Campbell, Jane B. Reece |titolo=Biologia |editore=Pearson |anno=2018 |pagine=45-47 |isbn=978-8891901234}}</ref> 9m8yio74jqa1opw0q4gamdxpuhb7rzl 0 15917 285822 235862 2026-08-04T22:08:48Z ~2026-43238-32 46845 /* */ 285822 wikitext text/x-wiki {{ordine delle lezioni|precedente1=Dislessia e disagio psicologico|materia1=Dislessia|successivo1=Percorsi terapeutici per la dislessia}}{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Dislessia}} I bambini dislessici ancora faticano a essere compresi e accettati a scuola dove la maggior parte degli apprendimenti passa ancora attraverso il codice scritto. Ma è l'ambiente scolastico che permette di riconoscere e rilevare precocemente gli impedimenti all'apprendimento e questo comporta anche la responsabilità degli insegnanti di riuscire a riconoscere e successivamente segnalare eventuali difficoltà. Spesso però gli alunni dislessici vengono definiti "pigri" e si deve partire proprio da questa pigrizia per capire che spesso è la spia di un disturbo che può portare alla specificità di un disturbo di apprendimento. Come dice G.Stella (psicologo e fondatore dell'Associazione Italiana Dislessia) "la pigrizia è solo l'effetto di una problematica più gola profonda". I primi passi concreti nella giusta strada erano stati fatti con la CM del 5 ottobre 2004 n. 4099/A/4 emanata dal [[Ministero della Pubblica Istruzione]] che raccomandava agli insegnanti di utilizzare strumenti compensativi e misure dispensative per agevolare l'apprendimento di bambini e ragazzi dislessici e di applicare con loro una valutazione specifica in tutte le fasi del percorso scolastico, compresi i momenti di valutazione finale. Nella stessa si specificava, altresì, che per adottare tali misure poteva essere sufficiente la diagnosi specialistica di disturbo specifico di apprendimento di lettura (o dislessia). Per bambini e ragazzi dislessici non si ritiene opportuno l'appoggio di un insegnante di sostegno. La Legge dell'8 ottobre 2010 n. 170<ref>Legge 170/2010, http://www.istruzione.it/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/34ca798c-2cac-4a6f-b360-13443c2ad456/legge170_10.pdf</ref> riconosce esplicitamente l'esistenza dei disturbi specifici di apprendimento (dislessia, discalculia, disortografia, disgrafia) come disturbi che possono limitare notevolmente l'apprendimento e che si manifestano in presenza di capacità cognitive adeguate, in assenza di patologie neurologiche e di deficit sensoriali. Nella stessa viene fatto obbligo alle scuole, previa comunicazione alla famiglia, di intervenire in caso di sospetto di DSA. L'unico ente accreditato a fornire diagnosi di DSA utilizzabile dalle scuole sono i [[Servizi sanitari nazionali]] (con qualche eccezione laddove il territorio non possieda le strutture adeguate). Ciò significa che qualsiasi altra diagnosi, senza la validazione dell'ASL, anche redatta da specialisti, non conta dal punto di vista legale per poter attivare ciò che la normativa scolastica prevede. In presenza di diagnosi di DSA da parte dei servizi la scuola è tenuta a garantire misure educative e didattiche di supporto quali: * L'utilizzo di provvedimenti compensativi e dispensativi inerenti alla flessibilità didattica * Una didattica individualizzata e personalizzata: il team docente, entro il primo trimestre scolastico, deve compilare un documento chiamato Piano Didattico Personalizzato (PDP) di cui si può trovare un esempio<ref>esempio di PDP, http://www.aiditalia.org/it/modello_di_richiesta_della_famiglia_alla_scuola_di_percorso_personalizzato_1.html</ref>nel sito dell'AID (Associazione Italiana Dislessia); * L'introduzione di strumenti compensativi quali ad esempio l'utilizzo di tecnologie informatiche (computer con videoscrittura e correttore, libri digitali, [[sintesi vocale]], ma anche semplici tabelle o formulari e la calcolatrice) * Strategie compensative (integrazione della comunicazione scritta con altri codici: grafici, mappe; potenziare la capacità di ascolto; rafforzare le relazioni sociali) * Misure dispensative riguardo a specifiche attività non essenziali ai fini dei concetti da apprendere e che quindi consentano a questi alunni di vivere in un clima più sereno e sicuro * Un monitoraggio continuo delle misure adottate * Adeguate forme di verifica e valutazione che oltre all'uso degli strumenti sopraelencati tengano in considerazione modalità anche solo orali o l'uso di mediatori durante le prove, interrogazioni programmate e inoltre la possibilità di usare un tempo maggiore per eseguire il tutto (anche nella prova [[INVALSI]] viene concesso del tempo maggiore rispetto alla classe) Ai familiari di alunni del primo ciclo di istruzione viene riconosciuto il diritto ad avere un orario di lavoro flessibile per poter assistere lo studio a casa laddove il contratto lo preveda. Importanti sono altresì le linee guida<ref>Linee guida all'applicazione della L170/2010, http://www.istruzione.it/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/76957d8d-4e63-4a21-bfef-0b41d6863c9a/linee_guida_sui_dsa_12luglio2011.pdf</ref> emanate con il decreto attuativo della L.170/10. Esse, oltre a dare numerose indicazioni su come realizzare interventi [[Apprendimento personalizzato|didattici personalizzati]] e sulle modalità di utilizzo delle misure dispensative e gli strumenti compensativi, delinea il livello essenziale delle prestazioni richieste alle istituzioni scolastiche per garantire il diritto allo studio degli studenti con DSA. === PDP === Nell'articolo 5 del DM del 12 luglio 2011 viene specificato che "la scuola garantisce ed esplicita nei confronti di alunni e studenti con DSA, interventi didattici individualizzati e personalizzati, anche attraverso la redazione di un Piano didattico personalizzato con l'indicazione degli strumenti compensativi e delle misure dispensative adottate". Nelle Linee Guida sempre di luglio 2011 si auspica che i vari Uffici Regionali predispongano delle procedure condivise sulla stesura di PDP da parte delle singole scuole ma fino a oggi non è stato definito un modello specifico a livello nazionale, anche se il MIUR e l'AID forniscono degli esempi. I vari CTI ( centri territoriali per l'integrazione) e i CTS (centri territoriali per il supporto informatico) però si stanno muovendo a livello provinciale per definire la stesura di schemi condivisi dai vari ordini di scuola. In tale documento, il PDP, che può essere modificato nel corso dell'anno scolastico, devono essere definite in primo luogo le difficoltà rilevate che si possono dedurre dalla diagnosi, successivamente, per ogni materia, devono essere specificate le strategie metodologiche e didattiche che si ritengono utili, le misure dispensative, gli strumenti compensativi usati e le modalità di verifica e valutazione. Esso poi deve essere sottoscritto dal consiglio di classe e condiviso con la famiglia o con lo stesso studente se maggiorenne. Questo documento sottolinea la presa in carico dello studente con DSA da tutto il team docente che si impegna ad attuare gli interventi didattici necessari per il successo scolastico dell'alunno senza delegare la stesura del PDP alla figura del "referente per i DSA", che il ministero auspica sia presente in ogni scuola, ma che, come specificato nel punto 6.3 delle "linee guida", ha in modo specifico il compito di orientamento, organizzazione, coordinamento e formazione. === L'importanza di uno screening precoce === Le Raccomandazioni per la pratica clinica per i Disturbi Specifici di Apprendimento (pubblicate nel 2009) affermano che non si possa fare una diagnosi certa di DSA se non al completamento del secondo anno della scuola primaria quando "si completa il ciclo dell'istruzione formale al codice scritto e si ha una riduzione significativa dell'elevata variabilità interindividuale nei tempi di acquisizione della lettura" e ciò permette quindi una certa attendibilità della eventuale diagnosi. Questo comporta che spesso non ci possa essere l'avvio di un intervento prima della fine terza o inizio quarta. Spesso ciò avviene addiruttura al passaggio alla scuola secondaria di primo grado o addirittura dalla classe prima alla seconda di questo grado. A questo punto il lavoro di una eventuale rieducazione logopedica tende a ridursi o a essere inutile visto che il periodo sensibile "Finestra evolutiva", dove l'attività di recupero ha la massima efficacia, è presente nelle prime fasi di acquisizione della lettura e scrittura. Successivamente diventa un inutile lavoro che non apporta nessun beneficio specifico e sposta di conseguenza l'intervento scolastico sull'uso di strumenti compensativi. La necessità quindi risulta essere la possibilità di individuare precocemente un alunno con DSA o meglio, una fascia a rischio. Si è infatti visto che nella scuola Primaria, dove si lavora sui prerequisiti all'acquisizione del codice scritto, non è possibile parlare di un riconoscimento riferito a un singolo soggetto ma di gruppi a rischio dove l'attenzione va posta su quelle competenze e funzioni che sono alla base comunque di questo codice. Verso questa direzione va il progetto "Non è mai troppo presto" dell'AID in collaborazione con Fondazione Telecom e MIUR, che si concluderà a luglio 2012 che, dopo 5 anni di attività di screening si propone di definire un nuovo protocollo di attività da effettuare a livello nazionale. Tale collaborazione e la successiva, si spera, formazione degli insegnanti permetterà la rilevazione sistematica delle variabili di rischio da segnalare già alla scuola primaria e quindi la possibilità per i soggetti segnalati di attivare un percorso utile, non certo a eliminare, ma almeno a ridurre alcune difficoltà o almeno a sfruttare completamente, dopo la segnalazione ai Servizi Sanitari competenti, il già detto periodo sensibile attraverso attività specifiche. [[Categoria:Strumenti per la didattica]] fri1emrm9kuio2v5tk44thh1zq895ej 285825 285822 2026-08-04T22:09:55Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-43238-32|~2026-43238-32]] ([[User talk:~2026-43238-32|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Mattruffoni|Mattruffoni]] 235862 wikitext text/x-wiki {{ordine delle lezioni|precedente1=Dislessia e disagio psicologico|materia1=Dislessia|successivo1=Percorsi terapeutici per la dislessia}}{{risorsa|tipo=lezione|materia1=Dislessia}} I bambini dislessici ancora faticano a essere compresi e accettati a scuola dove la maggior parte degli apprendimenti passa ancora attraverso il codice scritto. Ma è l'ambiente scolastico che permette di riconoscere e rilevare precocemente gli impedimenti all'apprendimento e questo comporta anche la responsabilità degli insegnanti di riuscire a riconoscere e successivamente segnalare eventuali difficoltà. Spesso però gli alunni dislessici vengono definiti "pigri" e si deve partire proprio da questa pigrizia per capire che spesso è la spia di un disturbo che può portare alla specificità di un disturbo di apprendimento. Come dice G.Stella (psicologo e fondatore dell'Associazione Italiana Dislessia) "la pigrizia è solo l'effetto di una problematica più profonda". I primi passi concreti nella giusta strada erano stati fatti con la CM del 5 ottobre 2004 n. 4099/A/4 emanata dal [[Ministero della Pubblica Istruzione]] che raccomandava agli insegnanti di utilizzare strumenti compensativi e misure dispensative per agevolare l'apprendimento di bambini e ragazzi dislessici e di applicare con loro una valutazione specifica in tutte le fasi del percorso scolastico, compresi i momenti di valutazione finale. Nella stessa si specificava, altresì, che per adottare tali misure poteva essere sufficiente la diagnosi specialistica di disturbo specifico di apprendimento di lettura (o dislessia). Per bambini e ragazzi dislessici non si ritiene opportuno l'appoggio di un insegnante di sostegno. La Legge dell'8 ottobre 2010 n. 170<ref>Legge 170/2010, http://www.istruzione.it/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/34ca798c-2cac-4a6f-b360-13443c2ad456/legge170_10.pdf</ref> riconosce esplicitamente l'esistenza dei disturbi specifici di apprendimento (dislessia, discalculia, disortografia, disgrafia) come disturbi che possono limitare notevolmente l'apprendimento e che si manifestano in presenza di capacità cognitive adeguate, in assenza di patologie neurologiche e di deficit sensoriali. Nella stessa viene fatto obbligo alle scuole, previa comunicazione alla famiglia, di intervenire in caso di sospetto di DSA. L'unico ente accreditato a fornire diagnosi di DSA utilizzabile dalle scuole sono i [[Servizi sanitari nazionali]] (con qualche eccezione laddove il territorio non possieda le strutture adeguate). Ciò significa che qualsiasi altra diagnosi, senza la validazione dell'ASL, anche redatta da specialisti, non conta dal punto di vista legale per poter attivare ciò che la normativa scolastica prevede. In presenza di diagnosi di DSA da parte dei servizi la scuola è tenuta a garantire misure educative e didattiche di supporto quali: * L'utilizzo di provvedimenti compensativi e dispensativi inerenti alla flessibilità didattica * Una didattica individualizzata e personalizzata: il team docente, entro il primo trimestre scolastico, deve compilare un documento chiamato Piano Didattico Personalizzato (PDP) di cui si può trovare un esempio<ref>esempio di PDP, http://www.aiditalia.org/it/modello_di_richiesta_della_famiglia_alla_scuola_di_percorso_personalizzato_1.html</ref>nel sito dell'AID (Associazione Italiana Dislessia); * L'introduzione di strumenti compensativi quali ad esempio l'utilizzo di tecnologie informatiche (computer con videoscrittura e correttore, libri digitali, [[sintesi vocale]], ma anche semplici tabelle o formulari e la calcolatrice) * Strategie compensative (integrazione della comunicazione scritta con altri codici: grafici, mappe; potenziare la capacità di ascolto; rafforzare le relazioni sociali) * Misure dispensative riguardo a specifiche attività non essenziali ai fini dei concetti da apprendere e che quindi consentano a questi alunni di vivere in un clima più sereno e sicuro * Un monitoraggio continuo delle misure adottate * Adeguate forme di verifica e valutazione che oltre all'uso degli strumenti sopraelencati tengano in considerazione modalità anche solo orali o l'uso di mediatori durante le prove, interrogazioni programmate e inoltre la possibilità di usare un tempo maggiore per eseguire il tutto (anche nella prova [[INVALSI]] viene concesso del tempo maggiore rispetto alla classe) Ai familiari di alunni del primo ciclo di istruzione viene riconosciuto il diritto ad avere un orario di lavoro flessibile per poter assistere lo studio a casa laddove il contratto lo preveda. Importanti sono altresì le linee guida<ref>Linee guida all'applicazione della L170/2010, http://www.istruzione.it/alfresco/d/d/workspace/SpacesStore/76957d8d-4e63-4a21-bfef-0b41d6863c9a/linee_guida_sui_dsa_12luglio2011.pdf</ref> emanate con il decreto attuativo della L.170/10. Esse, oltre a dare numerose indicazioni su come realizzare interventi [[Apprendimento personalizzato|didattici personalizzati]] e sulle modalità di utilizzo delle misure dispensative e gli strumenti compensativi, delinea il livello essenziale delle prestazioni richieste alle istituzioni scolastiche per garantire il diritto allo studio degli studenti con DSA. === PDP === Nell'articolo 5 del DM del 12 luglio 2011 viene specificato che "la scuola garantisce ed esplicita nei confronti di alunni e studenti con DSA, interventi didattici individualizzati e personalizzati, anche attraverso la redazione di un Piano didattico personalizzato con l'indicazione degli strumenti compensativi e delle misure dispensative adottate". Nelle Linee Guida sempre di luglio 2011 si auspica che i vari Uffici Regionali predispongano delle procedure condivise sulla stesura di PDP da parte delle singole scuole ma fino a oggi non è stato definito un modello specifico a livello nazionale, anche se il MIUR e l'AID forniscono degli esempi. I vari CTI ( centri territoriali per l'integrazione) e i CTS (centri territoriali per il supporto informatico) però si stanno muovendo a livello provinciale per definire la stesura di schemi condivisi dai vari ordini di scuola. In tale documento, il PDP, che può essere modificato nel corso dell'anno scolastico, devono essere definite in primo luogo le difficoltà rilevate che si possono dedurre dalla diagnosi, successivamente, per ogni materia, devono essere specificate le strategie metodologiche e didattiche che si ritengono utili, le misure dispensative, gli strumenti compensativi usati e le modalità di verifica e valutazione. Esso poi deve essere sottoscritto dal consiglio di classe e condiviso con la famiglia o con lo stesso studente se maggiorenne. Questo documento sottolinea la presa in carico dello studente con DSA da tutto il team docente che si impegna ad attuare gli interventi didattici necessari per il successo scolastico dell'alunno senza delegare la stesura del PDP alla figura del "referente per i DSA", che il ministero auspica sia presente in ogni scuola, ma che, come specificato nel punto 6.3 delle "linee guida", ha in modo specifico il compito di orientamento, organizzazione, coordinamento e formazione. === L'importanza di uno screening precoce === Le Raccomandazioni per la pratica clinica per i Disturbi Specifici di Apprendimento (pubblicate nel 2009) affermano che non si possa fare una diagnosi certa di DSA se non al completamento del secondo anno della scuola primaria quando "si completa il ciclo dell'istruzione formale al codice scritto e si ha una riduzione significativa dell'elevata variabilità interindividuale nei tempi di acquisizione della lettura" e ciò permette quindi una certa attendibilità della eventuale diagnosi. Questo comporta che spesso non ci possa essere l'avvio di un intervento prima della fine terza o inizio quarta. Spesso ciò avviene addiruttura al passaggio alla scuola secondaria di primo grado o addirittura dalla classe prima alla seconda di questo grado. A questo punto il lavoro di una eventuale rieducazione logopedica tende a ridursi o a essere inutile visto che il periodo sensibile "Finestra evolutiva", dove l'attività di recupero ha la massima efficacia, è presente nelle prime fasi di acquisizione della lettura e scrittura. Successivamente diventa un inutile lavoro che non apporta nessun beneficio specifico e sposta di conseguenza l'intervento scolastico sull'uso di strumenti compensativi. La necessità quindi risulta essere la possibilità di individuare precocemente un alunno con DSA o meglio, una fascia a rischio. Si è infatti visto che nella scuola Primaria, dove si lavora sui prerequisiti all'acquisizione del codice scritto, non è possibile parlare di un riconoscimento riferito a un singolo soggetto ma di gruppi a rischio dove l'attenzione va posta su quelle competenze e funzioni che sono alla base comunque di questo codice. Verso questa direzione va il progetto "Non è mai troppo presto" dell'AID in collaborazione con Fondazione Telecom e MIUR, che si concluderà a luglio 2012 che, dopo 5 anni di attività di screening si propone di definire un nuovo protocollo di attività da effettuare a livello nazionale. Tale collaborazione e la successiva, si spera, formazione degli insegnanti permetterà la rilevazione sistematica delle variabili di rischio da segnalare già alla scuola primaria e quindi la possibilità per i soggetti segnalati di attivare un percorso utile, non certo a eliminare, ma almeno a ridurre alcune difficoltà o almeno a sfruttare completamente, dopo la segnalazione ai Servizi Sanitari competenti, il già detto periodo sensibile attraverso attività specifiche. [[Categoria:Strumenti per la didattica]] qpw93e3ob0u4aqq6mjnuf7ks3i835w4 1 15918 285823 91447 2026-08-04T22:09:23Z ~2026-43238-32 46845 /* Dislessico */ nuova sezione 285823 wikitext text/x-wiki {{fonte|wikipedia|Dislessia}} == Dislessico == Sinonimo di Quinlan83 o Quinlano83 sala me plurimo di Wikipedia [[Speciale:Contributi/&#126;2026-43238-32|&#126;2026-43238-32]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-43238-32|discussione]]) 00:09, 5 ago 2026 (CEST) bwhoh3lx9qpcjxjtyohkjh57lyra4kz 285824 285823 2026-08-04T22:09:44Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-43238-32|~2026-43238-32]] ([[User talk:~2026-43238-32|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Mizardellorsa|Mizardellorsa]] 91447 wikitext text/x-wiki {{fonte|wikipedia|Dislessia}} igy9h0jci5e18j7r6e8qvyqr09i4dhy 104 20742 285799 282224 2026-08-04T13:15:53Z Mattruffoni 15088 aggiunto capitolo sulla calcolatrice 285799 wikitext text/x-wiki {{Incompleto|Scuole}} {{Materia|28 |dip=Scuole |ssd= |banner= |presentazione=Si è cercato di creare una serie di lezioni in un linguaggio adatto ai ragazzi della scuola media. |panoramica= La materia si prefigge d'insegnare la matematica, aritmetica e geometria, consolidando ed ampliando le basi del far di conto apprese durante gli anni della scuola primaria, e preparando gli allievi alla frequenza alle scuole superiori. |prerequisiti=Conoscenza della lingua italiana, capacità di contare e conoscenza delle quattro operazioni fondamentali. |obiettivi=Consolidare le capacità algebriche, arricchendosi delle operazioni di potenza e radice, e dell'insieme numerico dei razionali. Affinare le capacità di applicare metodi matematici e ragionamenti logici nella soluzione di problemi. |programma= '''Argomenti''' ARITMETICA * [[Contare con i numeri naturali (scuola media)]] * [[Le_quattro_operazioni_(scuola_media)|Le quattro operazioni (scuola media)]] * [[Sistema di numerazione posizionale (scuola media)]] * [[Sistema sessagesimale (scuola media)]] * [[Antichi sistemi di numerazione (scuola media)]] * [[Quantità più piccole: i numeri decimali (scuola media)]] * [[Le potenze (scuola media)]] * [[Divisibilità e fattorizzazione: mcm e MCD (scuola media)]] * [[La_frazione_(scuola_media)|La frazione (scuola media)]] * [[Frazioni e loro operazioni (scuola media)]] * [[I dati: raccoglierli e rappresentarli (scuola media)]] * [[La probabilità (scuola media)]] * [[Calcolo mentale e proprietà delle operazioni (scuola media)]] * [[Risolvere i problemi (scuola media)]] * [[Espressioni e parentesi (scuola media)]] * [[Fare i calcoli con la calcolatrice (scuola media)]] GEOMETRIA * [[Grandezze e misure (scuola media)]] * [[Grandezze fisiche del Sistema Internazionale di misura (scuola media)]] * [[Concetti primitivi ed introduzione alla geometria piana (scuola media)]] * [[I poligoni (scuola media)]] * [[Figure uguali: le isometrie (scuola media)]] * [[Angoli (scuola media)]] * [[Classificazione dei triangoli (scuola media)]] * [[Classificazione dei quadrilateri (scuola media)]] * [[Quiz poligoni]] * [[Coordinate nel Piano Cartesiano (scuola media)]] '''Matematica e Geometria con Scratch''' ''Scratch: Disegni geometrico'' *[[Disegno geometrico: triangolo (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: esagono (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: parallelogramma (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: parallelogramma con sprite (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: esagono con sprite (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: quadrati in successione (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: quadrato (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: quadrato nel piano cartesiano (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: rettangolo (scuola media)]] *[[Coordinate colorate (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: poligono regolare (scuola media)]] *[[Disegno geometrico: poligono stellato (scuola media)]] ''Scratch:matematica'' *[[Successivo-Precedente (scuola media)]] *[[Divisioni con il resto (scuola media)]] *[[Addizioni sessagesimali (scuola media)]] *[[Scomposizione in fattori primi (scuola media)]] *[[Numero primo? (scuola media)]] *[[Elevare a potenza (scuola media)]] *[[MCD divisioni successive (scuola media)]] *[[Mcm con scratch (scuola media)]] *[[Calcolatrice frazioni addizione (scuola media)]] ''Scratch:fisica'' *[[Moto circolare uniforme (scuola media)]] '''Approfondimenti''' *[[Consigli su come studiare la Matematica per la scuola]] *[[Formulario di Geometria per la scuola]] '''Strumenti per insegnanti''' *[[Costruire la matematica (scuola media)]] |risorse= Un grandissimo lavoro a favore dell'apprendimento delle matematica nelle scuole dell'obbligo è stato fatto in questi anni dal professor '''Ubaldo Pernigo''' che ha messo online i siti [http://www.ripmat.it/ Ripmat] e [http://www.ubimath.org/ UbiMath] ai quali nelle dispense dei diversi argomenti verrà fatto riferimento. }} 4b8ra850cjsm4dm47qpf1ypav234sxk 1 26085 285826 166050 2026-08-04T22:10:10Z ~2026-43238-32 46845 /* L'assetto */ nuova sezione 285826 wikitext text/x-wiki {{fonte|b|Archiviazione documenti cartacei/Assetto aziendale}} == L'assetto == del coolio della madre troja di Quinlan83 è indefinito [[Speciale:Contributi/&#126;2026-43238-32|&#126;2026-43238-32]] ([[Discussioni utente:&#126;2026-43238-32|discussione]]) 00:10, 5 ago 2026 (CEST) buqcgpt2wpnt08f5r19fsxz87jsstm3 285827 285826 2026-08-04T22:10:15Z Quinlan83 35690 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/~2026-43238-32|~2026-43238-32]] ([[User talk:~2026-43238-32|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Gius195|Gius195]] 166050 wikitext text/x-wiki {{fonte|b|Archiviazione documenti cartacei/Assetto aziendale}} n8mf3ybd0qsgvji130bvkyhslj10wbp 0 33419 285798 282674 2026-08-04T13:14:03Z Mattruffoni 15088 /* Moltiplicare per 10, 100, 1000 */ ortografia 285798 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo=lezione|materia1=Matematica per la scuola media 1|avanzamento = 25%}} Il calcolo mentale è indispensabile per procedere anche nel calcolo scritto, ovviamente può essere sostituito dal calcolo con la calcolatrice, che deve essere usata bene però.<br/> Il calcolo mentale segue regole che non sono così ''meccaniche e ripetitive'' come quelle del calcolo scritto e richiede come prerequisito quello di conoscere bene la rappresentazione decimale dei numeri, le quattro le operazioni e di saper applicare in modo ''intelligente'' le proprietà delle stesse operazioni. {{clear|both}} ==Proprietà delle operazioni nei numeri naturali== ===Addizione e moltiplicazioni sono commutative e associative=== Le operazioni più ''ricche'' di proprietà sono l'addizione e la moltiplicazione entrambe godono della proprietà commutativa <math> a + b = b + a \ e \ a \cdot b = b \cdot a </math> e associativa <math> \left(a + b \right) + c = a + \left(b + c \right) \ e \ \left(a \cdot b \right) \cdot c = a \cdot \left(b \cdot c \right) </math> la prima proprietà è ''evidente'' e non servono esempi numerici, per la proprietà associativa possiamo mostrare come <math> \left(3 + 6 \right) + 4 = 3 + \left(6 + 4 \right) = 3 + 10 = 13 \ e \ \left(3 \cdot 2 \right) \cdot 5 = 3 \cdot \left(2 \cdot 5 \right) = 3 \cdot 10 = 30</math> dove associando diversamente gli addendi o i fattori si ritrova il 10 da sommare o da moltiplicare, cosa che rende piuttosto semplici le operazioni.<br/> ====Sommare 10 o più decine==== Infatti sommare 10 ad un numero minore di 10 da come risultato il numero che è semplicemente la giustapposizione di 1 davanti al secondo addendo <math> 10 + 3 = 13 </math> si ottiene scrivendo 1, che rappresenta una decina, davanti al 3 <math> \left(10 + 3 \right) \rightarrow \left(1 \leftarrow 3 \right) \rightarrow \left(13 \right) </math>.<br/> ====Moltiplicare per 10, 100, 1000==== La moltiplicazione per 10 segue regole simili all'addizione che si poggiano sulla rappresentazione decimale.<br/> La moltiplicazione oper 10 si ottiene aggiungendo uno 0 cosa che ha il significato di spostare le dcifre di un posto verso sinistra, cioè di far diventare la cifra delle unità cifra delle decine, quella delle decine divanta quella delle centinaia e così via.<br/> Anche in questo caso l'operazione si svolge facilemente a mente. <math> 3 \cdot 10 = 30 </math> infatti <math> \left(3 \cdot 10 \right) \rightarrow \left(3 \leftarrow 0 \right) \rightarrow \left( 30 \right)</math> ===La proprietà invariantiva per la sottrazione e la divisione=== ==Operazioni che si possono fare a mente== Non tutte le operazioni si possono fare a mente, ma tenuto conto del fatto che è in uso un sistema di numerazione decimale posizionale è possibile ''stimare'' i risultati di qualsiasi operazione utilizzando numeri vicini a quelli usati nelle operazioni.<br/> Per fare le operazioni a mente si devono sfruttare in modo ''creativo'' le proprietà delle operazioni, spesso in combinazione tra loro. {{-}} ==L'addizione a mente== L'addizione gode di due proprietà: associativa e commutativa, in genere per fare i calcoli a mente le due proprietà vengono usate insieme. Ad esempio nell'operazione <math> 3 + 5 + 7 = </math> la nostra mente procede molto velocemente ''commutando ed associando'' <math> 3 + 5 + 7 = \left(3+7 \right) + 5 = 10+5=15</math> grazie agli esercizi che le nostre maestre ci hanno fatto fare con gli ''amici del 10''. ===Esercizi per capire l'addizione a mente=== <quiz display=simple> </quiz> ===Esercizi per imparare l'addizione a mente=== Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni. ==La sottrazione a mente== ===Esercizi per capire l'addizione a mente=== <quiz display=simple> </quiz> ===Esercizi per imparare l'addizione a mente=== Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni. ==La moltiplicazione a mente== ===Esercizi per capire La moltiplicazione a mente=== <quiz display=simple> </quiz> ===Esercizi per imparare La moltiplicazione a mente=== Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni. ==La divisione a mente== ===Esercizi per capire La divisione a mente=== <quiz display=simple> </quiz> ===Esercizi per imparare La divisione a mente=== Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni. ===Divisibilità e divisioni=== == Note == <references/> == Bibliografia == * == Voci correlate == == Altri progetti == == Collegamenti esterni == dhb6b4btf7naexk4v4g0xw6611bay7b 2 34010 285801 285788 2026-08-04T13:41:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285801 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} Di seguito trovi il testo in **formato grezzo per Wikipedia**, con tutti i tag `<math>...</math>` già inseriti, pronto per il copia-incolla. ```wiki == Risoluzione della disequazione == Data la disequazione <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` p7glftkoga5ymr3de9a2lh49g9nve45 285802 285801 2026-08-04T13:45:33Z Funzioni di correlazione 24136 /* 6° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285802 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° xxxxxxxxxxxxxxxx== == Risoluzione della disequazione == Data la disequazione <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 72pff8w9efqijmly150qyz1e8vnz1sz 285803 285802 2026-08-04T13:46:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione della disequazione */ 285803 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. 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Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6 <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` qb4ckzctusfuveka52fv9zxdpcasm7z 285805 285804 2026-08-04T13:50:29Z Funzioni di correlazione 24136 285805 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6 <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 4meepsxdufnjaznzgzv7yg64rkrsdz6 285806 285805 2026-08-04T13:53:16Z Funzioni di correlazione 24136 285806 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 59a418wdtnpx2iy72g6wn4uxx57umiv 285809 285807 2026-08-04T14:17:22Z Funzioni di correlazione 24136 285809 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ``` ==8° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` nqtkeiicchotwe6a9mu8gunm9tzjt0p 285810 285809 2026-08-04T14:18:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 7° \frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15} */ 285810 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ``` ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ing3e6ecypc4i6wthfedwud29k2tpom 285812 285811 2026-08-04T14:34:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285812 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ``` ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi il testo in **wikitesto grezzo**, pronto per il **copia-incolla** in Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki == Risoluzione della disequazione == Data la disequazione <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math> Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ``` ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` qeaw4ulcjsldvuecdt8ynhgcsr6oems 285813 285812 2026-08-04T14:34:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione della disequazione */ 285813 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ``` ==9° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi il testo in **wikitesto grezzo**, pronto per il **copia-incolla** in Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math> Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ``` ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` h1z0apvaj6lig7lviqqkbgyolhqqtb5 285814 285813 2026-08-04T14:35:45Z Funzioni di correlazione 24136 /* 9° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285814 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ``` ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. 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Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ``` ==10° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 5b82ir1oeahwqyuhn0vrd93t9zqa010 285816 285815 2026-08-04T14:42:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 10° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285816 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ``` ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ki5vanpkcx1jw02lw1df44v3wwdambe 285817 285816 2026-08-04T14:44:07Z Funzioni di correlazione 24136 285817 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` lwvn0aitbpngj1ayz15pnr89nvsssm4 285830 285817 2026-08-05T05:58:29Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285830 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== [ \begin{cases} 2x+3>7\ x-1\le 4 \end{cases} ] Si risolve così: 1. Prima disequazione: [ 2x+3>7 ] [ 2x>4 ] [ x>2 ] 2. Seconda disequazione: [ x-1\le4 ] [ x\le5 ] 3. Intersezione delle soluzioni: [ x>2 \quad \text{e} \quad x\le5 ] **Risultato:** [ \boxed{2<x\le5} ] Scrivimi il tuo sistema di disequazioni (oppure invia una foto) e lo calcolo. ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` m1drnivi5wvudnsnn1ch02406w88vzz 285831 285830 2026-08-05T05:59:01Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285831 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Se intendi **calcolare un sistema di disequazioni di primo grado**, inviami il testo completo e lo risolvo passo per passo. Ad esempio: [ \begin{cases} 2x+3>7\ x-1\le 4 \end{cases} ] Si risolve così: 1. Prima disequazione: [ 2x+3>7 ] [ 2x>4 ] [ x>2 ] 2. Seconda disequazione: [ x-1\le4 ] [ x\le5 ] 3. Intersezione delle soluzioni: [ x>2 \quad \text{e} \quad x\le5 ] **Risultato:** [ \boxed{2<x\le5} ] Scrivimi il tuo sistema di disequazioni (oppure invia una foto) e lo calcolo. ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` glqtcjorbcq2r9ol8a23hgspmi36iwv 285832 285831 2026-08-05T06:01:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285832 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 018r0i4n25i48kpjqndd06gfkop73e9 285833 285832 2026-08-05T06:06:48Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285833 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Sistema di disequazioni di primo grado == Si consideri il seguente sistema di disequazioni: <math> \begin{cases} 2x-3>5\\ 3x+4\leq 10 \end{cases} </math> === Risoluzione della prima disequazione === Disequazione iniziale: <math>2x-3>5</math> Sommiamo <math>3</math> a entrambi i membri: <math>2x>8</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>x>4</math> === Risoluzione della seconda disequazione === Disequazione iniziale: <math>3x+4\leq10</math> Sottraiamo <math>4</math> da entrambi i membri: <math>3x\leq6</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>: <math>x\leq2</math> === Intersezione delle soluzioni === Le soluzioni ottenute sono: <math>x>4</math> e <math>x\leq2</math> L'intersezione è: <math>\varnothing</math> === Soluzione del sistema === Il sistema non ammette soluzioni. <math>\boxed{\varnothing}</math> ``` Questo formato è compatibile con il wikitesto di Wikipedia e contiene l'intero percorso di calcolo in un unico documento. ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 9buab5uwexlvj7dz7id6izgkihordkf 285834 285833 2026-08-05T06:22:22Z Funzioni di correlazione 24136 /* Soluzione del sistema */ 285834 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Sistema di disequazioni di primo grado == Si consideri il seguente sistema di disequazioni: <math> \begin{cases} 2x-3>5\\ 3x+4\leq 10 \end{cases} </math> === Risoluzione della prima disequazione === Disequazione iniziale: <math>2x-3>5</math> Sommiamo <math>3</math> a entrambi i membri: <math>2x>8</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>x>4</math> === Risoluzione della seconda disequazione === Disequazione iniziale: <math>3x+4\leq10</math> Sottraiamo <math>4</math> da entrambi i membri: <math>3x\leq6</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>: <math>x\leq2</math> === Intersezione delle soluzioni === Le soluzioni ottenute sono: <math>x>4</math> e <math>x\leq2</math> L'intersezione è: <math>\varnothing</math> === Soluzione del sistema === Il sistema non ammette soluzioni. <math>{\varnothing}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 033x63le0irzbzc08yair4m6rr5sk5g 285835 285834 2026-08-05T06:52:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni di primo grado */ 285835 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. 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Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Sistema di disequazioni di primo grado == Consideriamo il seguente sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6\le 18\ x-4\ge -2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> Sommiamo <math>3</math> a entrambi i membri: <math>2x>8</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6\le18</math> Sottraiamo <math>6</math> a entrambi i membri: <math>3x\le12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>: <math>x\le4</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge-2</math> Sommiamo <math>4</math> a entrambi i membri: <math>x\ge2</math> --- === Intersezione delle soluzioni === Dalla prima disequazione: <math>x>4</math> Dalla seconda disequazione: <math>x\le4</math> Dalla terza disequazione: <math>x\ge2</math> L'intersezione è: <math>x>4 ;\cap; x\le4 ;\cap; x\ge2=\varnothing</math> === Conclusione === Il sistema è '''impossibile''' perché non esiste alcun valore di <math>x</math> che soddisfi contemporaneamente tutte le disequazioni. <math>S=\varnothing</math> --- == Esempio di sistema con soluzione certa == Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` co0zlqchx4sjcz447qie3hwz8b3kyb2 285836 285835 2026-08-05T06:53:13Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni di primo grado */ 285836 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Sistema di disequazioni di primo grado == Consideriamo il seguente sistema: <math>{cases} 2x-3>5\ 3x+6\le 18\ x-4\ge -2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> Sommiamo <math>3</math> a entrambi i membri: <math>2x>8</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6\le18</math> Sottraiamo <math>6</math> a entrambi i membri: <math>3x\le12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>: <math>x\le4</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge-2</math> Sommiamo <math>4</math> a entrambi i membri: <math>x\ge2</math> --- === Intersezione delle soluzioni === Dalla prima disequazione: <math>x>4</math> Dalla seconda disequazione: <math>x\le4</math> Dalla terza disequazione: <math>x\ge2</math> L'intersezione è: <math>x>4 ;\cap; x\le4 ;\cap; x\ge2=\varnothing</math> === Conclusione === Il sistema è '''impossibile''' perché non esiste alcun valore di <math>x</math> che soddisfi contemporaneamente tutte le disequazioni. <math>S=\varnothing</math> --- == Esempio di sistema con soluzione certa == Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` l5w4yuxzh2t3g03kqldwmv4e78el5dp 285837 285836 2026-08-05T06:54:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni di primo grado */ 285837 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Sistema di disequazioni di primo grado == Consideriamo il seguente sistema: <math> 2x-3>5\ 3x+6\le 18\ x-4\ge -2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> Sommiamo <math>3</math> a entrambi i membri: <math>2x>8</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math>: <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6\le18</math> Sottraiamo <math>6</math> a entrambi i membri: <math>3x\le12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>: <math>x\le4</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge-2</math> Sommiamo <math>4</math> a entrambi i membri: <math>x\ge2</math> --- === Intersezione delle soluzioni === Dalla prima disequazione: <math>x>4</math> Dalla seconda disequazione: <math>x\le4</math> Dalla terza disequazione: <math>x\ge2</math> L'intersezione è: <math>x>4 ;\cap; x\le4 ;\cap; x\ge2=\varnothing</math> === Conclusione === Il sistema è '''impossibile''' perché non esiste alcun valore di <math>x</math> che soddisfi contemporaneamente tutte le disequazioni. <math>S=\varnothing</math> --- == Esempio di sistema con soluzione certa == Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 7fzmb9fv3ta191a4e38dfvxwxrzdrwc 285838 285837 2026-08-05T06:55:12Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni di primo grado */ 285838 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** per Wikipedia, con **tutte le espressioni racchiuse nei tag `<math>...</math>`**, pronto per il copia-incolla. ``` == Esempio di sistema con soluzione certa == Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` mkwzf80a7ktpri929d8zuvcbhr0pgxc 285839 285838 2026-08-05T06:55:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285839 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== == Esempio di sistema con soluzione certa == Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 86z1ndmf5pg1gajv6h34jpxbuokzpyy 285840 285839 2026-08-05T07:08:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* Esempio di sistema con soluzione certa */ 285840 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== Consideriamo il sistema: <math>\begin{cases} 2x-3>5\ 3x+6<30\ x-4\ge2 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 359umab0zbarlevhbu9tiy8g9j1fqux 285841 285840 2026-08-05T07:10:11Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285841 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. 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Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} TL = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` am0v54j0fl7ukh0n7ouwx9n9u0gm1ss 285842 285841 2026-08-05T07:11:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285842 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2 x -3 > 5 TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 5m7oibc39n4wwbuswh03eu64x0zja10 285843 285842 2026-08-05T07:12:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285843 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2 x -3 > 5 \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 4jqz7czhdut6z2m8b7oupa0f37izj97 285844 285843 2026-08-05T07:13:51Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285844 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ 3 x + 6 < 30= SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` h4h23jkdh8ei0qfsc0a3fqezjzz77b8 285845 285844 2026-08-05T07:14:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285845 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > cdot R\\ 3 x + 6 < 30= SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ltllnqa0arienetarqo02xwnvfgqhyw 285846 285845 2026-08-05T07:15:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285846 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! 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Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3 x + 6 < 30= SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` tfhtwnqxliuybici6iqlunc77pk7pla 285847 285846 2026-08-05T07:15:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285847 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3 x + 6 < 30 BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 2vz9eodfs7s5fftmfjh3ykpmmulnpsx 285848 285847 2026-08-05T07:16:53Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285848 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2 x - 3 > 5 } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` s7hv6l91ftljti2m629fogy8avl5xyk 285849 285848 2026-08-05T07:18:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285849 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` kbnz3g19ump4ehcksun0gri81cj5hyc 285850 285849 2026-08-05T07:18:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285850 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` cl1yqne7n332z31kcr7u9uuo7fzgjvz 285851 285850 2026-08-05T07:19:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285851 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. 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Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 2z3j8ru9lg1lzv5ssjceun3sqnhso57 285852 285851 2026-08-05T07:19:37Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285852 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` oolsvqyx53iyrtc7ds3xc3vikz5a3vf 285853 285852 2026-08-05T07:20:04Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285853 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` su1fqngaq3i46cli0iszn1rpl7m6e81 285854 285853 2026-08-05T07:20:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285854 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ktak7jn4vyaxqnq5xslwbuapon21drd 285855 285854 2026-08-05T07:21:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285855 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 91j9676a2hbjcnzos31883wbbllzk7r 285856 285855 2026-08-05T07:21:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285856 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 \log_{10}{ } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 0p40f55t40zp7x9pe59k7t5rnwm10l6 285857 285856 2026-08-05T07:22:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285857 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ==11° xxxxxxxxxxxxxxxx== <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \end{cases}</math> === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` j3snlbi2m7713wqr16gho82m8h2lium 285858 285857 2026-08-05T07:23:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 11° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285858 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 7sjzdt8zfo7h5fzzb4ojne0wj7y1eaa 285859 285858 2026-08-05T07:26:00Z Funzioni di correlazione 24136 285859 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` j9mnox2ri1ftyqf1db8g20u5x0g54aj 285862 285859 2026-08-05T07:44:49Z Funzioni di correlazione 24136 285862 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 2e0kiekwy2dh76d8nevoim1jxxdxlvn 285863 285862 2026-08-05T07:45:49Z Funzioni di correlazione 24136 285863 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` emq0h1qc07iu0vlgbcp3r3q50pgdr07 285865 285863 2026-08-05T08:07:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 12° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285865 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```text == Sistema di disequazioni == Si vuole risolvere il sistema <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math> === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2] </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right] </math> === Soluzione finale === <math> \boxed{S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right]} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` owqr3ql9p3tchvuxh0usk6huh4lskjb 285866 285865 2026-08-05T08:08:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* Soluzione finale */ 285866 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```text == Sistema di disequazioni == Si vuole risolvere il sistema <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math> === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2] </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right] </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right]} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` gwv0pbqr7umk1g3jnqh10xe898c4f8p 285867 285866 2026-08-05T08:09:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Soluzione finale */ 285867 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```text == Sistema di disequazioni == Si vuole risolvere il sistema <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math> === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2] </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right] </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` eb71m9sfatasrveu50lvuq866i9u2op 285868 285867 2026-08-05T08:12:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* Intersezione delle soluzioni */ 285868 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```text == Sistema di disequazioni == Si vuole risolvere il sistema <math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math> === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 6pw6n62lrcigxqoanaddjzamwupv17n 285869 285868 2026-08-05T08:13:21Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni */ 285869 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ==12° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```text == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` s6zy0tvuelxkez04rl8ekbxozuy8lws 285870 285869 2026-08-05T08:13:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 12° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285870 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 8jy1ddot8z8izbbzcftkoe15wqg5br9 285872 285870 2026-08-05T08:25:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285872 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ==13° xxxxxxxxxxxxxxxx== Ecco il percorso completo in formato grezzo per Wikipedia, pronto da copiare e incollare, con ogni espressione racchiusa nei tag `<math>...</math>`. ```html <math>x(9-2x)\leq 0</math> <math>9x-2x^2\leq 0</math> <math>-2x^2+9x\leq 0</math> <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0]\cup\left[\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>\boxed{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 8xq80yg9xojb2m9d6eelv3i84jkqjia 285873 285872 2026-08-05T08:28:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285873 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== <math>-2x^2+9x\leq 0</math> <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0]\cup\left[\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>\boxed{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` bq82oha178qw5oyxfescfgw5xfbtiww 285874 285873 2026-08-05T08:28:58Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° x(9-2x)\leq 0 */ 285874 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== <math>-2x^2+9x\leq 0</math> <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0]\cup\left[\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` bv0wduilzgio904azh21teaqts5h9gz 285875 285874 2026-08-05T08:30:10Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° x(9-2x)\leq 0 */ 285875 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0]\cup\left[\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` pc3rcru08idwq2ex6l1rz53ucp532nn 285876 285875 2026-08-05T08:31:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° x(9-2x)\leq 0 */ 285876 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0]\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` hadw2ai3nqm94ogmzreh0h191rcxoew 285877 285876 2026-08-05T08:33:55Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° x(9-2x)\leq 0 */ 285877 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 89b4x7u3bfjp9ry5un5gusa33izw5mj 285879 285877 2026-08-05T08:46:59Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285879 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```html <math>x^3 > x^2+2x</math> <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>\boxed{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ``` ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ivttfjpn6yk3dlx3q1r2xprtecvbc3o 285880 285879 2026-08-05T08:48:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285880 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```html <math>x^3 > x^2+2x</math> <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` t34dje24bnsh2aolsct29nnfyomy5rl 285881 285880 2026-08-05T08:49:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 14° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285881 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 7c4282yemqv6qjeax2rwkabedao9q5y 0 37622 285828 285796 2026-08-05T05:41:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* I punti e le rette */ 285828 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Applicazioni di geometria analitica | avanzamento = 100% }} '''Tutte le applicazioni indicate sono svolte con file eseguibili in cartelle zip con nessun richiamo alla IA. ''' '''I singoli argomenti sono esplicitati con due lik; il primo è relativo alla spiegazione il secondo al file di calcolo e grafica''' '''I file zip devono esere richiamati e scaricati da questa pagina.''' '''Una volta scaricato il file zip lo si trova nella cartella down load del P.C. e deve essere aperto con " estrai tutto ".''' '''La cartella conseguente contiene il file eseguibile e la DLL associata da non aprire''' '''(27 esercizi)''' ==I punti e le rette== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1ZBuqAzeixTkkn6dfJ6fqzrGZuZ7txCcu/view?usp=drivdue filee_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/15epq-kHwOyAe9qrWVP8dSKSXo9T7vAlW/view?usp=drive_link] File zip] ==La circonferenza con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1-A1bV0U2cSt1t5u7zbMLVaR10s96UuGr/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1wepqJdsVRcYI2CtjT6b9AyYbIPZ3Qw8B/view?usp=drive_link]Il file zip] ==La circonferenza con centro su (Xc ; Yc) e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/13uxXgN_5xjbiSZvctPJ4FuwbUj1ah6wo/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1ye5vKA2HQ6DLQor8xN4aGI2yuj50Z3RX/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo punti di contatto tra due circonferenze: fissa e comunque disposta== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17Sbbll7FgUFW76gGuY6z9kECfLnhGj1m/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Hk8wfWZNM2qEQrGWdvBXac35ULIYnYFO/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti e una sua tangente== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Sn54YbjMQvdZn-RyCI25y55HW_IUBoWZ/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1k-xfBPHoC8AM7isyHXlMKjjJx8NF8m_E/view?usp=drive_link] File zip] ==Relazioni tra parabola e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1CXUPmdaInnp6CZyCRXNGPE0qr-anEn_d/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1x8pS63tlxE0RzGiljMUimmaeHxy_RWeL/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse verticale e punti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1QmGG8b00bCnsr9aX4097lZhxrdwMoZkX/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/14Ewt8NoVanU99nDVtgJHg92Pz0e-Vw94/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole con assi verticali== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/19uIXDJTi-u1-HqOrKKgE5XDMYiTDG-2s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1rn-pUbwVUwOVkNRT_rqDXb5txvJEGoeI/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole e circonferenze== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link] Al file zip] ==Relazioni tra parabola asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==L' ellisse con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1JIT_o98ACtb2mKnJq-0yHofR2vUuB7KN/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1nIXBKdVp2F_Oj62KwuMXuJ0UkEYWsjz4/view?usp=drive_link]File zip] ==Intersezioni tra l' ellisse e la circonferenza con centri nell'origine degli assi.== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link]Al file zi] ==Le tangenti all' ellisse con centro nell'origine degli assi == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1ayP2n6OGsmHkCPbLv3PksDDz5w7jVx7L/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/11-V9mjpsHsmnUCMTih4yhXVMibumungw/view?usp=drive_link]File zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse passante per due punti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1VIdFncPYS0qWUL0OZ0i7UCeT4ZRxfZWI/view?usp=drive_link]Testo esplcativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yJhMua4YFW942JxBGhOwFN7TSsyj-_Zt/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse traslata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kp5IgxtnPHfntkMD19-fqp4KefNSRMg9/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Z_GPHhiJdt1ZDcuvonWcyKAIF_IJjLF1/view?usp=drive_link]Al file] ==Le tangenti all'iperbole con centro nell'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17UdpjLupGCOplWND-PJFE2TecOLztryM/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1F8NSzPqsMMkO98b6K6jvOBuX8VVCK1l7/view?usp=drive_lAl file zip] ==Punti di contatto tra ellisse e iperbole con centri all'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Bb0NlQI5LOAxwF7F8v8jbw9-ClWnn7ek/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1NORc7pizsbMYZayc0vX4UZWpxrYiObtN/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'iperbole traslata== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1XQBFFNOxdEyqjTfMXKI8C_Zba3b0WL_s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1tis0tjYo9E05qT0A9vwy0rQrV9i8BjiZ/view?usp=drive_link]Al file zip] == Relazioni tra iperbole traslata e rette tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1OFJPdldN0cy2TaonFhw6b_EYzX908-US/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yVSlqylxhwCTVSEikIHpJ3hv1EjMcFXB/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Equazione dell'iperbole con vertice v(Xvo=a: Yvo=0) e tangente alla retta rt == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1asN9nyCOGrVl_cB2R3S74G6D3DllMypS/view?usp=drive_link]Testo illustrativo] [[https://drive.google.com/file/d/1z01WmOK80YSqxcVE3QRg3fJ0L8EchxYL/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera e i suoi asintoti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1qLIAnv1QepAI5-T4U-kst_7uWNYxDIq-/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1aOmEO6vpPduhhUeDSUVdphclo3_xXOg6/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera ruotata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kxySurbN-uafm0yx_n1wGeJti6Ro-MRk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Jo6yhHJFGqpLRrwkwolH_Hzw1cxa21Fh/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Intersezioni tra iperbole equilatera ruotata e circonferenza== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1og3JLMC__zXW2wCa3ZgPe0aQFjpXtiIi/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1IdIjKgzzPUXaosdOFM1zx54_RSVjWPBK/view?usp=drive_link]Al file zip] 89bq7zxrbss4o7kxj6vxb47u7ksy9tx 285829 285828 2026-08-05T05:42:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* I punti e le rette */ 285829 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Applicazioni di geometria analitica | avanzamento = 100% }} '''Tutte le applicazioni indicate sono svolte con file eseguibili in cartelle zip con nessun richiamo alla IA. ''' '''I singoli argomenti sono esplicitati con due lik; il primo è relativo alla spiegazione il secondo al file di calcolo e grafica''' '''I file zip devono esere richiamati e scaricati da questa pagina.''' '''Una volta scaricato il file zip lo si trova nella cartella down load del P.C. e deve essere aperto con " estrai tutto ".''' '''La cartella conseguente contiene il file eseguibile e la DLL associata da non aprire''' '''(27 esercizi)''' ==I punti e le rette== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1ZBuqAzeixTkkn6dfJ6fqzrGZuZ7txCcu/view?usp=drivdue filee_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/15epq-kHwOyAe9qrWVP8dSKSXo9T7vAlW/view?usp=drive_link] File zip] ==La circonferenza con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1-A1bV0U2cSt1t5u7zbMLVaR10s96UuGr/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1wepqJdsVRcYI2CtjT6b9AyYbIPZ3Qw8B/view?usp=drive_link]Il file zip] ==La circonferenza con centro su (Xc ; Yc) e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/13uxXgN_5xjbiSZvctPJ4FuwbUj1ah6wo/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1ye5vKA2HQ6DLQor8xN4aGI2yuj50Z3RX/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo punti di contatto tra due circonferenze: fissa e comunque disposta== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17Sbbll7FgUFW76gGuY6z9kECfLnhGj1m/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Hk8wfWZNM2qEQrGWdvBXac35ULIYnYFO/view?usp=drive_link]File zip] ==Calcolo dell'equazione di una circonferenza passante per tre punti e una sua tangente== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Sn54YbjMQvdZn-RyCI25y55HW_IUBoWZ/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1k-xfBPHoC8AM7isyHXlMKjjJx8NF8m_E/view?usp=drive_link] File zip] ==Relazioni tra parabola e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1CXUPmdaInnp6CZyCRXNGPE0qr-anEn_d/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1x8pS63tlxE0RzGiljMUimmaeHxy_RWeL/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse verticale e punti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1QmGG8b00bCnsr9aX4097lZhxrdwMoZkX/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/14Ewt8NoVanU99nDVtgJHg92Pz0e-Vw94/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabola con asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole con assi verticali== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/19uIXDJTi-u1-HqOrKKgE5XDMYiTDG-2s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1rn-pUbwVUwOVkNRT_rqDXb5txvJEGoeI/view?usp=drive_link]File zip] ==Relazioni tra parabole e circonferenze== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link] Al file zip] ==Relazioni tra parabola asse orizzontale e rette== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17DQdct6c6n_IPQwF5500Qm5ZfD5Sx9qk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Xwgkw4ClC-Qk-jNAckPvABrX2X4c3aLt/view?usp=drive_link]File zip] ==L' ellisse con centro nell'origine degli assi e le sue tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1JIT_o98ACtb2mKnJq-0yHofR2vUuB7KN/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1nIXBKdVp2F_Oj62KwuMXuJ0UkEYWsjz4/view?usp=drive_link]File zip] ==Intersezioni tra l' ellisse e la circonferenza con centri nell'origine degli assi.== I file di lavoro [[https://drive.google.com/file/d/1obW1EOX5Smy83LjSP9eD9dbVZR2H6DzV/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yhXdF5ofuU2T-K13EQPBlkfdk-TlOCpe/view?usp=drive_link]Al file zi] ==Le tangenti all' ellisse con centro nell'origine degli assi == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1ayP2n6OGsmHkCPbLv3PksDDz5w7jVx7L/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/11-V9mjpsHsmnUCMTih4yhXVMibumungw/view?usp=drive_link]File zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse passante per due punti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1VIdFncPYS0qWUL0OZ0i7UCeT4ZRxfZWI/view?usp=drive_link]Testo esplcativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yJhMua4YFW942JxBGhOwFN7TSsyj-_Zt/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'ellisse traslata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kp5IgxtnPHfntkMD19-fqp4KefNSRMg9/view?usp=drive_link] Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Z_GPHhiJdt1ZDcuvonWcyKAIF_IJjLF1/view?usp=drive_link]Al file] ==Le tangenti all'iperbole con centro nell'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/17UdpjLupGCOplWND-PJFE2TecOLztryM/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1F8NSzPqsMMkO98b6K6jvOBuX8VVCK1l7/view?usp=drive_lAl file zip] ==Punti di contatto tra ellisse e iperbole con centri all'origine degli assi== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1Bb0NlQI5LOAxwF7F8v8jbw9-ClWnn7ek/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1NORc7pizsbMYZayc0vX4UZWpxrYiObtN/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Grafica ed equazione dell'iperbole traslata== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1XQBFFNOxdEyqjTfMXKI8C_Zba3b0WL_s/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1tis0tjYo9E05qT0A9vwy0rQrV9i8BjiZ/view?usp=drive_link]Al file zip] == Relazioni tra iperbole traslata e rette tangenti== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1OFJPdldN0cy2TaonFhw6b_EYzX908-US/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1yVSlqylxhwCTVSEikIHpJ3hv1EjMcFXB/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Equazione dell'iperbole con vertice v(Xvo=a: Yvo=0) e tangente alla retta rt == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1asN9nyCOGrVl_cB2R3S74G6D3DllMypS/view?usp=drive_link]Testo illustrativo] [[https://drive.google.com/file/d/1z01WmOK80YSqxcVE3QRg3fJ0L8EchxYL/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera e i suoi asintoti == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1qLIAnv1QepAI5-T4U-kst_7uWNYxDIq-/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1aOmEO6vpPduhhUeDSUVdphclo3_xXOg6/view?usp=drive_link]Al file zip] ==L'iperbole equilatera ruotata == I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1kxySurbN-uafm0yx_n1wGeJti6Ro-MRk/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1Jo6yhHJFGqpLRrwkwolH_Hzw1cxa21Fh/view?usp=drive_link]Al file zip] ==Intersezioni tra iperbole equilatera ruotata e circonferenza== I file di lavoro: [[https://drive.google.com/file/d/1og3JLMC__zXW2wCa3ZgPe0aQFjpXtiIi/view?usp=drive_link]Testo esplicativo] [[https://drive.google.com/file/d/1IdIjKgzzPUXaosdOFM1zx54_RSVjWPBK/view?usp=drive_link]Al file zip] jlsn2tnjn3qu5k23sha6vbtn7yrm7fi 0 37747 285818 285790 2026-08-04T14:49:11Z Funzioni di correlazione 24136 285818 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ``` ``` 2813mrphmaco53983pusf5pzur9j9c7 285819 285818 2026-08-04T14:50:46Z Funzioni di correlazione 24136 285819 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ``` ``` 3mwbr9yygdqkchzbyet1ka0xmx01ux1 285820 285819 2026-08-04T14:52:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* Svolgimento */ 285820 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. 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Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. ``` ``` 55u32z8ww6gmncr9oge6g2cjlkbezlp 285861 285860 2026-08-05T07:31:01Z Funzioni di correlazione 24136 285861 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ``` ``` 4lnhhm780mya1srnibj2nu707zppo12 285864 285861 2026-08-05T07:50:45Z Funzioni di correlazione 24136 285864 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> ``` ``` iynmnpmhwlcgko0hk0d6q3sorrgidsw 285871 285864 2026-08-05T08:18:00Z Funzioni di correlazione 24136 285871 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` ``` h5pltqhrkoac2ltt4ga47bsw1xoky4h 285878 285871 2026-08-05T08:36:58Z Funzioni di correlazione 24136 285878 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ``` ``` ddh7d8i3hv98yqg81q91s0r8m5pk4wd 285882 285878 2026-08-05T08:51:45Z Funzioni di correlazione 24136 285882 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ``` ``` oxfdz4xcmfwasr8f8ehp8uehtne1a3f 285883 285882 2026-08-05T08:54:31Z Funzioni di correlazione 24136 285883 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ``` ``` ``` a3tqpf69ii09j1o7pbx1ttkfy3h9q28 285884 285883 2026-08-05T08:56:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 13° x(9-2x)\leq 0 */ 285884 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 50%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ``` ``` ``` q5t584j8d3e2e9cn4csn1msktjhhzbc 0 37748 285800 2026-08-04T13:23:41Z Mattruffoni 15088 inizio scrittura pagina 285800 wikitext text/x-wiki == Calcolo automatico semplice == {{clear|both}} ===Esercizi per capire calcolo automatico semplice=== <quiz display=simple> {Calcola <math> 43 + 18 </math> in meno di 5 secondi |type="()"} + 61 - 51 - 63 - 71 </quiz> ===Esercizi per imparare il calcolo automatico semplice=== == Calcolo automatico un po' di ordine == {{clear|both}} ===Esercizi per imparare il calcolo automatico ordinato=== == Note == <references/> == Bibliografia == * {{cita libro| autore= Brian Butterworth | titolo= Intelligenza matematica | anno = 1999 | editore = Rizzoli | città = Milano | ISBN = 88-17-86094-8 }} * {{cita libro| autore= Anna Cerasoli | titolo= Sono il numero 1 | anno = 2008 | editore = Feltrinelli | città = Milano | ISBN = 978-88-07-92127-8 }} * {{cita libro| autore= Cesare Zavattini | titolo= Parliamo tanto di me | anno = 2003 | editore = Bompiani | città = Milano | ISBN = 9788845255434 }} == Voci correlate == == Altri progetti == * [https://www.ubimath.org Ubimath di Ubaldo Pernigo ] == Collegamenti esterni == ==Quiz== <quiz> {Quanti sono i numeri Naturali? |type="()"} + infiniti - più di mille - 9 - 10 {Il simbolo a > b indica che? |type="()"} + Il numero a è maggiore del numero b - Il numero a è minore del numero b - a assomiglia a b - a si trova nella direzione di b {Scegliendo due numeri diversi a caso tra i Naturali |type="()"} + Uno sarà sempre più grande dell'altro - Potrebbe non essere possibile decidere quale è il più grande - Non si possono scegliere numeri a caso - Non ho capito {Il sistema di numerazione decimale, posizionale, usa |type="()"} + 10 cifre - 9 cifre - poche cifre - infinite cifre {n > 5 significa |type="()"} + Tutti i numeri maggiori di 5 - n = 6 - n ? - Numeri molto vicini a 5 </quiz> ==Esercizi== {{Nav_matmedia1}} esd87i74qzndl8ry7rf4yq7cryld8gv 285808 285800 2026-08-04T13:58:26Z Mattruffoni 15088 incipit e links 285808 wikitext text/x-wiki L'entusiasmante arrivo delle calcolatrici tascabili, avvenuta nei primi anni del 1980, potrebbe aver illuso a riguardo del fatto che non fosse più necessario conoscere regole per fare i calcoli. Bastava copiare il calcolo nel display usando i tasti corretti della calcolatrice, premere il tasto '''=''' e la calcolatrice avrebbe calcolato per noi il risultato, esatto.<br/> Una opinione vera a metà, è indubbio che le calcolatrice permettono di fare calcoli velocemente e senza dover applicare ''noiosi'' algoritmi, regole di calcolo, altrettanto vero però che questa estrema velocizzazione riguarda solo alcuni calcoli diretti, anche complicati come le divisioni, ma con la presenza di solo dividendo e divisore, o moltiplicazioni a due fattori. In tutti i casi è però importante che chi utilizza la calcolatrice conosca una stima del risultato, onde evitare risultati insensati.<br/> LA velocità di calcolo però poi rallenta, e necessita di maggior attenzione quando si devono affrontare calcoli un po' più complessi come ad esempio una espressione. == Calcolo automatico semplice == {{clear|both}} ===Esercizi per capire calcolo automatico semplice=== <quiz display=simple> {Calcola <math> 43 + 18 </math> in meno di 5 secondi |type="()"} + 61 - 51 - 63 - 71 </quiz> ===Esercizi per imparare il calcolo automatico semplice=== == Calcolo automatico un po' di ordine == {{clear|both}} ===Esercizi per imparare il calcolo automatico ordinato=== == Note == <references/> == Bibliografia == * {{cita libro| autore= Brian Butterworth | titolo= Intelligenza matematica | anno = 1999 | editore = Rizzoli | città = Milano | ISBN = 88-17-86094-8 }} * {{cita libro| autore= Anna Cerasoli | titolo= Sono il numero 1 | anno = 2008 | editore = Feltrinelli | città = Milano | ISBN = 978-88-07-92127-8 }} * {{cita libro| autore= Cesare Zavattini | titolo= Parliamo tanto di me | anno = 2003 | editore = Bompiani | città = Milano | ISBN = 9788845255434 }} == Voci correlate == == Altri progetti == * [https://www.ubimath.org Ubimath di Ubaldo Pernigo ] == Collegamenti esterni == *[https://www.elledecor.com/it/tech/a41574685/storia-della-calcolatrice-tascabile-bizzarro-status-symbol-degli-anni-70/ Elledecor - Storia delle calcolatrici tascabili] *[https://it.wikipedia.org/wiki/Calcolatrice Wikipedia - Calcolatrice] ==Quiz== <quiz> {Quanti sono i numeri Naturali? |type="()"} + infiniti - più di mille - 9 - 10 {Il simbolo a > b indica che? |type="()"} + Il numero a è maggiore del numero b - Il numero a è minore del numero b - a assomiglia a b - a si trova nella direzione di b {Scegliendo due numeri diversi a caso tra i Naturali |type="()"} + Uno sarà sempre più grande dell'altro - Potrebbe non essere possibile decidere quale è il più grande - Non si possono scegliere numeri a caso - Non ho capito {Il sistema di numerazione decimale, posizionale, usa |type="()"} + 10 cifre - 9 cifre - poche cifre - infinite cifre {n > 5 significa |type="()"} + Tutti i numeri maggiori di 5 - n = 6 - n ? - Numeri molto vicini a 5 </quiz> ==Esercizi== {{Nav_matmedia1}} rea1yv2qndf7qyox5vryhyx02carxnh