Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 285885 285881 2026-08-05T14:23:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285885 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki = Risoluzione di una disequazione di secondo grado = Si consideri la disequazione <math>x^2-5x+6>0</math> == 1. Risoluzione dell'equazione associata == Si risolve l'equazione <math>x^2-5x+6=0</math> Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> == 2. Studio del segno == La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> === Intervallo <math>x<2</math> === <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. === Intervallo <math>2<x<3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. === Intervallo <math>x>3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. == 3. Soluzione == L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` qq0i5m9aywgzsj98ln99p0wqf3tujyt 285886 285885 2026-08-05T14:24:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione di una disequazione di secondo grado */ 285886 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} Di seguito trovi un esempio completo in **wikitesto grezzo** pronto da copiare e incollare su Wikipedia. Ogni espressione matematica è racchiusa tra i tag `<math>...</math>`. ```wiki Si consideri la disequazione <math>x^2-5x+6>0</math> == 1. Risoluzione dell'equazione associata == Si risolve l'equazione <math>x^2-5x+6=0</math> Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> == 2. Studio del segno == La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> === Intervallo <math>x<2</math> === <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. === Intervallo <math>2<x<3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. === Intervallo <math>x>3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. == 3. Soluzione == L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` r2oqj5aa9j16kwkmifhm6nnu53nmgll 285887 285886 2026-08-05T14:26:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285887 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== == 1. Risoluzione dell'equazione associata == Si risolve l'equazione <math>x^2-5x+6=0</math> Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> == 2. Studio del segno == La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> === Intervallo <math>x<2</math> === <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. === Intervallo <math>2<x<3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. === Intervallo <math>x>3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. == 3. Soluzione == L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` f5lhzhd24z2ftifwebw5k50l944y4yp 285888 285887 2026-08-05T14:27:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1. Risoluzione dell'equazione associata */ 285888 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> == 2. Studio del segno == La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> === Intervallo <math>x<2</math> === <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. === Intervallo <math>2<x<3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. === Intervallo <math>x>3</math> === <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. == 3. Soluzione == L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` e5nhprnkw2p5ufb3wnvribqgo9woypf 285889 285888 2026-08-05T14:32:09Z Funzioni di correlazione 24136 285889 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` tqkbhvqdpgh4jp91ryf2jk31xbov3lq 0 37747 285890 285884 2026-08-05T14:34:47Z Funzioni di correlazione 24136 285890 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ``` hpq8pfx5ppjo1uqoqoif2q7slodnd9i 285891 285890 2026-08-05T14:35:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* 15° x^2-5x+6>0 */ 285891 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ``` mjuuebemjz0fquqsbstsaw0942k4bzu