Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 2 34010 285892 285889 2026-08-06T13:06:56Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285892 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki Risolviamo la disequazione <math>-x(x+2)>-2</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>-x^2-2x>-2</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>-1</math>, ricordando che il verso della disequazione si inverte: <math>x^2+2x-2<0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>x^2+2x-2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12</math> Le soluzioni dell'equazione sono: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> Semplificando: <math>x=\frac{-2\pm2\sqrt3}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione <math>x^2+2x-2<0</math> è verificata tra le due radici. Pertanto la soluzione è: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in(-1-\sqrt3,\,-1+\sqrt3)</math>. ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 1pga31qtt4qoktmplb840a1t4m8v52g 285893 285892 2026-08-06T13:19:41Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285893 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```wiki == Risoluzione del sistema di disequazioni == Sistema: <math> \begin{cases} x(x+2)>-2\\ \dfrac{x}{4}\le x-\dfrac{5-x}{2}+\dfrac52 \end{cases} </math> === Prima disequazione === <math> x(x+2)>-2 </math> Sviluppo: <math> x^2+2x>-2 </math> Porto tutto a sinistra: <math> x^2+2x+2>0 </math> Calcolo il discriminante: <math> \Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4 </math> Poiché <math> \Delta<0 </math> e il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math> x^2+2x+2>0 \qquad \forall x\in\mathbb{R} </math> Soluzione della prima disequazione: <math> S_1=\mathbb{R} </math> === Seconda disequazione === <math> \dfrac{x}{4}\le x-\dfrac{5-x}{2}+\dfrac52 </math> Sviluppo del secondo membro: <math> -\dfrac{5-x}{2}=-\dfrac52+\dfrac{x}{2} </math> Quindi: <math> x-\dfrac52+\dfrac{x}{2}+\dfrac52=x+\dfrac{x}{2} </math> Ottengo: <math> \dfrac{x}{4}\le x+\dfrac{x}{2} </math> Sommo i termini: <math> x+\dfrac{x}{2}=\dfrac{3x}{2} </math> Quindi: <math> \dfrac{x}{4}\le\dfrac{3x}{2} </math> Moltiplico entrambi i membri per 4: <math> x\le6x </math> Porto tutto a sinistra: <math> -5x\le0 </math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math> 5x\ge0 </math> Divido per 5: <math> x\ge0 </math> Soluzione della seconda disequazione: <math> S_2=[0,+\infty) </math> === Sistema === Intersezione delle soluzioni: <math> S=S_1\cap S_2 </math> <math> S=\mathbb{R}\cap[0,+\infty) </math> <math> \boxed{S=[0,+\infty)} </math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` m24oy5876wbbn9deczjwawwnh9ntpwi 285894 285893 2026-08-06T13:20:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione del sistema di disequazioni */ 285894 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° xxxxxxxxxxxxxxxx== ```wiki ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 3v5peveu0tqc3m0rihv20opqbt1gs32 285895 285894 2026-08-06T13:24:44Z Funzioni di correlazione 24136 /* 16° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285895 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Sistema: [ \begin{cases} -x(x+2) > -2\ \dfrac{x}{4}\le x-\dfrac{5-x}{2}+\dfrac52 \end{cases} ] Per la prima disequazione: Sistema: <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math> == Prima disequazione == <math>-x(x+2)>-2</math> Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> == Soluzione finale == <math>\boxed{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 25k8vdb7vtkpprw2ta7nvsf2bnxlfmb 285896 285895 2026-08-06T13:26:09Z Funzioni di correlazione 24136 285896 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: == Prima disequazione == <math>-x(x+2)>-2</math> Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> == Soluzione finale == <math>\boxed{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 2xr86ndrvfz8vuhk5qhxtdmk9ie9uub 285897 285896 2026-08-06T13:27:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Prima disequazione */ 285897 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> == Soluzione finale == <math>\boxed{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 8aodtsma1k0jgj5l031bdn8zjhd2eqf 285898 285897 2026-08-06T13:28:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* Soluzione finale */ 285898 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` ockorehk8c2375z3b3iejf7wy52mx72 285902 285898 2026-08-06T13:42:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285902 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki = Risoluzione della disequazione = Data la disequazione <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math> Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` qzh0ojimiqimibzuvh2aiu87026jenw 285903 285902 2026-08-06T13:44:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione della disequazione */ 285903 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` f91ei5zb0hb6vwa17o6tv9lsyf8x1ct 285904 285903 2026-08-06T13:45:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 17° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285904 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` tgwony444gfdt8mubbs2y2hk2n98y3e 285906 285904 2026-08-06T13:52:38Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285906 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` ==18° xxxxxxxxxxxxxxxx== genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"QUADRATIC_INEQUALITIES"}} ```wiki == Risoluzione della disequazione == <math>(3x-5)^2>12x-5</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` 9cqptoj1ytxpgwlut8g0psrzbj0c19i 285907 285906 2026-08-06T13:53:31Z Funzioni di correlazione 24136 /* 18° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285907 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == Risoluzione della disequazione == <math>(3x-5)^2>12x-5</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` gbvjbb0z46timsearnfg07val0vu8mq 285908 285907 2026-08-06T13:55:27Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione della disequazione */ 285908 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° xxxxxxxxxxxxxxxx== ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` cui8lgbr83e9h2iaipnp6n8fnup5fhz 285910 285908 2026-08-06T14:22:05Z Funzioni di correlazione 24136 /* 19° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285910 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== ``` ``` jt3ffgyj8vmnb5by10ub3p6de7dctov 285912 285910 2026-08-06T14:29:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285912 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> ==20° xxxxxxxxxxxxxxxx== Ecco un documento in formato grezzo, pronto per copia-incolla, con le espressioni matematiche racchiuse nei tag <math>...</math>. == Sistema di disequazioni di secondo grado con soluzioni reali == Consideriamo il seguente sistema di disequazioni di secondo grado: <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> Risolviamo separatamente le due disequazioni. === Prima disequazione === Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> === Seconda disequazione === Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> === Intersezione delle soluzioni === Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> Posso anche prepararlo in uno stile ancora più vicino a una voce Wikipedia (con sezioni tipo “Definizione”, “Procedimento”, “Risultato”) oppure in formato LaTeX puro per MediaWiki. ``` ``` oeibu0w41iadlcewf3gsylb602r2cwf 285913 285912 2026-08-06T14:30:15Z Funzioni di correlazione 24136 /* 20° xxxxxxxxxxxxxxxx */ 285913 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == Sistema di disequazioni di secondo grado con soluzioni reali == Consideriamo il seguente sistema di disequazioni di secondo grado: <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> Risolviamo separatamente le due disequazioni. === Prima disequazione === Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> === Seconda disequazione === Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> === Intersezione delle soluzioni === Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> Posso anche prepararlo in uno stile ancora più vicino a una voce Wikipedia (con sezioni tipo “Definizione”, “Procedimento”, “Risultato”) oppure in formato LaTeX puro per MediaWiki. ``` ``` d9k2ch5q9idibtupgl8mvxsg2iba1xw 285914 285913 2026-08-06T14:35:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema di disequazioni di secondo grado con soluzioni reali */ 285914 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> Posso anche prepararlo in uno stile ancora più vicino a una voce Wikipedia (con sezioni tipo “Definizione”, “Procedimento”, “Risultato”) oppure in formato LaTeX puro per MediaWiki. Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` njpnhfpsg82774ms3gvz5mr2tdolpcn 285915 285914 2026-08-06T14:36:09Z Funzioni di correlazione 24136 285915 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> Posso anche prepararlo in uno stile ancora più vicino a una voce Wikipedia (con sezioni tipo “Definizione”, “Procedimento”, “Risultato”) oppure in formato LaTeX puro per MediaWiki. Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` a937h9ckfttt5xwviwhw5afc10699t8 285916 285915 2026-08-06T14:37:12Z Funzioni di correlazione 24136 285916 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> Posso anche prepararlo in uno stile ancora più vicino a una voce Wikipedia (con sezioni tipo “Definizione”, “Procedimento”, “Risultato”) oppure in formato LaTeX puro per MediaWiki. Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` ikcgjp0671b9pqnxh7affbya60xyvjo 285917 285916 2026-08-06T14:38:51Z Funzioni di correlazione 24136 285917 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` 9md0o3l2scyzm4e9aphuqh0raii1r7a 285921 285917 2026-08-07T07:51:29Z Funzioni di correlazione 24136 285921 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi du secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` ns61lhb4kktbl1jps6of340dk93329m 285922 285921 2026-08-07T07:52:34Z Funzioni di correlazione 24136 285922 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo gradoda calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ``` ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Partiamo dalla disequazione: <math>3x - 5 > 7</math> Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> ``` == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ``` ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` 710ordpo33fprak3ng54fxp9sqsnayp 285923 285922 2026-08-07T08:06:58Z Funzioni di correlazione 24136 Pagina sostituita con ' {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi di secondo grado, quali ad esempio: Dato un triangolo equilatero di lato (l) determinare il rettangolo inscritto il cui perimetro sia k volte quello del triangolo dato, implica l'analisi delle radici di un'equazione del tipo xxxxxxxxxxx. In questa lezione sono illustrate...' 285923 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi di secondo grado, quali ad esempio: Dato un triangolo equilatero di lato (l) determinare il rettangolo inscritto il cui perimetro sia k volte quello del triangolo dato, implica l'analisi delle radici di un'equazione del tipo xxxxxxxxxxx. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni co parametro m 0hc2ou95wz27ul03dguo03gi2pgmysq 285924 285923 2026-08-07T08:09:26Z Funzioni di correlazione 24136 285924 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi di secondo grado, quali ad esempio: Dato un triangolo equilatero di lato (l) determinare il rettangolo inscritto il cui perimetro sia m volte quello del triangolo dato, implica l'analisi delle radici di un'equazione del tipo xxxxxxxxxxx. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. g2qbmvtbrct6uhpouv3hzhqgus1ynfg 285925 285924 2026-08-07T08:34:10Z Funzioni di correlazione 24136 285925 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi di secondo grado, quali ad esempio: Dato un triangolo equilatero di lato (l) determinare il rettangolo inscritto il cui perimetro sia m volte quello del triangolo dato, implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 - b m x + c m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. 1ghgoxzozk5zqlbancj1l7x1bmxbn0i 285926 285925 2026-08-07T08:36:31Z Funzioni di correlazione 24136 285926 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 - b m x + c m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. ssts3zm8v47kh9kda4itk4xgxmsdhjg 285927 285926 2026-08-07T08:37:30Z Funzioni di correlazione 24136 285927 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 - b \\ m x + c m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. dnzjxwmk7ciptoto63g8euj06cufzjd 285928 285927 2026-08-07T08:38:13Z Funzioni di correlazione 24136 285928 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 - b m x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. a8pnalobph3mz5n1ixkw8rg6lrgc7wy 285929 285928 2026-08-07T08:38:54Z Funzioni di correlazione 24136 285929 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 - b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. rjm0fq4xyfavzje0gjh999e3s14ize9 285930 285929 2026-08-07T08:40:40Z Funzioni di correlazione 24136 285930 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. noe4s4bvejyv2zi3ilj9w8sx1rkfyi9 285931 285930 2026-08-07T08:41:12Z Funzioni di correlazione 24136 285931 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. hgb4s1tb8w4391vssu5qt9s96hr4d8r 285932 285931 2026-08-07T08:41:45Z Funzioni di correlazione 24136 285932 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. 2w7wbafvqasnbuemmox8c94l7q94gbx 285933 285932 2026-08-07T08:58:18Z Funzioni di correlazione 24136 285933 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == ammetta radici reali. Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. 84smlvzdqgih8xzmaed645gsozjp1tk 285934 285933 2026-08-07T08:59:42Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1^ 9x^2+1=mx */ 285934 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. 7krkx8gaq1h8rin3lxyj50j0w4f9d7a 285935 285934 2026-08-07T09:01:39Z Funzioni di correlazione 24136 285935 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato di una equazione data, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. 6vu5qu5vkm82nsmlhqcxn3ylcxo5jas 285936 285935 2026-08-07T09:03:24Z Funzioni di correlazione 24136 285936 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ii2nl1ge3ikz8qhzk8m07y5b8g24fe8 102 37619 285920 285797 2026-08-06T14:52:24Z Funzioni di correlazione 24136 285920 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 15 materie di matematica con 150 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} rxfleyewnoi81mdxbp4862thg4zath7 0 37747 285899 285891 2026-08-06T13:32:07Z Funzioni di correlazione 24136 285899 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> == Seconda disequazione == <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ``` ``` ``` n58dy54qybinldjk1f9clk46p4acwxu 285900 285899 2026-08-06T13:33:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* Seconda disequazione */ 285900 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> == Sistema == Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ``` ``` ``` cq40o5zww8rmcbjybickf37qq95jnbe 285901 285900 2026-08-06T13:34:08Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sistema */ 285901 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ``` ``` ``` ``` d2mgn5kw3bz53pgrm78gt0mn7whx1ig 285905 285901 2026-08-06T13:48:59Z Funzioni di correlazione 24136 285905 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. ``` ``` ``` ``` ``` itaxsbd84nhrlt4hiuyu0hf8zdwhi8w 285909 285905 2026-08-06T13:58:00Z Funzioni di correlazione 24136 285909 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ``` ``` ``` ``` ``` tkeq12yq0zlmi5kx2psu5xqxktg0ppt 285911 285909 2026-08-06T14:25:39Z Funzioni di correlazione 24136 285911 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> ``` ``` ``` ``` ``` gfgy997tbm4pj1ki3fjcexb6i4e4bv1 285918 285911 2026-08-06T14:45:26Z Funzioni di correlazione 24136 285918 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 75%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` ``` ``` ``` ``` ``` 437wepmtyurihl0s89ttkca5z6mn2w9 285919 285918 2026-08-06T14:46:23Z Funzioni di correlazione 24136 285919 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` ``` ``` ``` ``` ``` hh00bs1s7yt1inh2e687vbah6jcbpm4 0 37749 285937 2026-08-07T09:05:37Z Funzioni di correlazione 24136 Creata pagina con " {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni..." 285937 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ii2nl1ge3ikz8qhzk8m07y5b8g24fe8 285938 285937 2026-08-07T09:09:10Z Funzioni di correlazione 24136 285938 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. 42mn8b9olmpunxhppnyvz1pzxyhkpgr 285939 285938 2026-08-07T09:09:49Z Funzioni di correlazione 24136 285939 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdotx^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ao5yft3dn2zzs65klhzzkh2k4snjpbs 285940 285939 2026-08-07T09:10:14Z Funzioni di correlazione 24136 285940 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. dbae7txz2rbeje5pw9j1qpg8wmk428b