Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.14 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 0 11439 285954 268880 2026-08-08T06:58:25Z Buonsabatodaquinlan83 46846 285954 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Zoroastrismo}} Buon sabato da Quinlan83 il sal ame di Wikipedia Zoroastro era originario dell'[[w:Atropatene|Atropatene]], nell'odierno [[w:Azerbaigian|Azerbaigian]]. Dopo l'occupazione islamica i seguaci azeri hanno sofferto molto perché non accettavano la nuova religione, ma volevano mantenere le loro tradizioni religiose legate al fuoco sacro, preferivano morire piuttosto che convertirsi all'[[Islam]], allora i musulmani permisero ai seguaci dello zoroastrismo di rimanere nella loro fede solo pagando una "tassa dell'anima": si trattava di una tassa molto alta, al cui mancato pagamento, i soldati arabi portavano via tutti gli animali e proprietà della persona, poi schiavizzavano i figli e infine la persona stessa che perdeva la libertà totalmente. Ovviamente si potevano evitare tutte queste complicazioni diventando subito musulmani, ma molti azeri hanno preferito la resistenza fino all'ultimo e sono letteralmente stati forzati a diventare musulmani rimanendo costretti a scegliere tra la libertà dell'"anima" e la libertà di religione. Per questo gli [[arabi]] ai tempi soprannominarono gli azeri come «musulmani di spada», perché convertiti a forza di sangue e morte. Finora il popolo comunque mantiene molte tradizioni di culto zoroastriano come le feste principali in primavera che viene considerata come l'inizio del nuovo anno, della vita, la vittoria del bene sul male, della luce, cioè del sole (simbolo del Bene e di Dio) sulle tenebre. [[File:Yazd fire temple.jpg|Tempio zoroastriano a [[Yazd]] in Iran|thumb|upright=1.4]] Il giorno della festa è l'ultimo martedì prima dell'equinozio di primavera, cioè prima del 21 marzo. La notte di quel martedì viene considerata magica, e alcuni credono che possano accadere dei miracoli. Quel giorno bisogna fare pace con i nemici e chiedere perdono a coloro che si sono offesi. La gente si veste con indumenti belli e nuovi, secondo la tradizione, i bambini bussano alle porte lasciando davanti un sacco per qualche dono e poi si nascondono. Per la tradizione, quel giorno non si può mandare indietro nessuno senza un dono, anche se non si sa chi bussa alla porta. Poiché se fosse anche un nemico, deve ricevere solo del bene nel giorno sacro. Sul tavolo si mettono dei dolci a forma di sole (rotondo, giallo-rosso), stella (un rombo con quattro punte che sarebbero collegate attraverso un punto centrale il quale ricorda molto la croce, e forse per questo si suppone che i re magi fossero zoroastriani) e infine un dolce a forma di mezzaluna, quindi i corpi celesti su quale si basa il calcolo del giorno della festa. Inoltre mettono sul tavolo di festeggiamento delle uova colorate che sembrano anticipare di molto le uova di Pasqua decorate tipiche dei paesi cristiano-ortodossi. Si prepara il pesce, che secondo alcune fonti è simbolo di Ahura Mazda vincente. Tutti questi dettagli e anche il periodo di festeggiamento, sembrano dunque riproporsi nella Pasqua, che potrebbe avere qualche origine comune con la festa zoroastriana. Durante i festeggiamenti si salta sopra il fuoco che simboleggia la liberazione dai peccati, dal male, dalle malattie che vengono lasciate bruciare nel fuoco sacro. Questo rito prende origine dal credo zoroastriano circa il ponte per paradiso: dopo la morte l'anima passa sopra quel ponte sottile quanto un capello, se l'anima è innocente, passa senza problemi ed entra nel paradiso, altrimenti l'anima è appesantita dai peccati cade nel fuoco purgatorio dell'inferno che si trova sotto il ponte. Non casualmente il nome «Azerbaigian» ha un significato collegato al fuoco, letteralmente significa «terra di fuoco». Nella capitale [[Baku]] si trova un antico [[tempio del fuoco]] [[Ateshgah di Baku|Ateshgah]], meta di credenti provenienti fino dall'India attraverso la [[Via della Seta]], che giungevano qui per pregare e meditare davanti all'eterno fuoco sacro che esce dalla terra. Attualmente comunità zoroastriane si possono trovare soprattutto in India, Pakistan e Iran. La diaspora zoroastriana comprende due gruppi principali: i [[Parsi]] di ambiente sud-asiatico e gli zoroastriani dell'Iran. Questi ultimi sono sopravvissuti in Iran a secoli di persecuzioni, come altre minoranze religiose. Comunità zoroastriane esistono a Teheran, a Yazd e a Kerman, dove molti parlano ancora un dialetto diverso dalla lingua iranica. Essi chiamano la loro lingua Dari. [[File:Fire in Yazd Zoroastrian temple.jpg|Fuoco sacro perennemente acceso nel tempio di [[Yazd]]|thumb|upright=0.7]]I Parsi nell'Asia meridionale hanno goduto, invece, di una relativa tolleranza. I Parsi sono famosi per le attività svolte nel campo dell'educazione e sono diventati una specie di casta economicamente forte all'interno della società indiana. C'è inoltre un crescente interesse fra le popolazioni Curde, soprattutto quelle del Tagikistan e Kazakistan, per l'antica eredità zoroastriana. Infatti, l'[[UNESCO]] (su pressione del governo del Tagikistan) ha proclamato il 2003 anno della celebrazione del "3000º anniversario della cultura zoroastriana" con manifestazioni speciali in tutto il mondo. Piccole comunità zoroastriane esistono nei maggiori centri urbani degli [[Stati Uniti d'America|Stati Uniti]], [[Canada]], Gran Bretagna, Australia e in altri paesi. In Italia esiste da alcuni anni una minuscola diaspora, con alcune associazioni presenti sul territorio. La popolazione mondiale di zoroastriani è stimata tra le 300.000 e le 350.000 unità. Di questi 90.000 circa sono Parsi dell'India. {{Nav zoroastrismo}} n5p6pozev156u84138w0qwmnq3tzqqe 285985 285954 2026-08-08T07:37:19Z WikiBayer 26175 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/Buonsabatodaquinlan83|Buonsabatodaquinlan83]] ([[User talk:Buonsabatodaquinlan83|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Zaminex|Zaminex]] 268880 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Zoroastrismo}} Zoroastro era originario dell'[[w:Atropatene|Atropatene]], nell'odierno [[w:Azerbaigian|Azerbaigian]]. Dopo l'occupazione islamica i seguaci azeri hanno sofferto molto perché non accettavano la nuova religione, ma volevano mantenere le loro tradizioni religiose legate al fuoco sacro, preferivano morire piuttosto che convertirsi all'[[Islam]], allora i musulmani permisero ai seguaci dello zoroastrismo di rimanere nella loro fede solo pagando una "tassa dell'anima": si trattava di una tassa molto alta, al cui mancato pagamento, i soldati arabi portavano via tutti gli animali e proprietà della persona, poi schiavizzavano i figli e infine la persona stessa che perdeva la libertà totalmente. Ovviamente si potevano evitare tutte queste complicazioni diventando subito musulmani, ma molti azeri hanno preferito la resistenza fino all'ultimo e sono letteralmente stati forzati a diventare musulmani rimanendo costretti a scegliere tra la libertà dell'"anima" e la libertà di religione. Per questo gli [[arabi]] ai tempi soprannominarono gli azeri come «musulmani di spada», perché convertiti a forza di sangue e morte. Finora il popolo comunque mantiene molte tradizioni di culto zoroastriano come le feste principali in primavera che viene considerata come l'inizio del nuovo anno, della vita, la vittoria del bene sul male, della luce, cioè del sole (simbolo del Bene e di Dio) sulle tenebre. [[File:Yazd fire temple.jpg|Tempio zoroastriano a [[Yazd]] in Iran|thumb|upright=1.4]] Il giorno della festa è l'ultimo martedì prima dell'equinozio di primavera, cioè prima del 21 marzo. La notte di quel martedì viene considerata magica, e alcuni credono che possano accadere dei miracoli. Quel giorno bisogna fare pace con i nemici e chiedere perdono a coloro che si sono offesi. La gente si veste con indumenti belli e nuovi, secondo la tradizione, i bambini bussano alle porte lasciando davanti un sacco per qualche dono e poi si nascondono. Per la tradizione, quel giorno non si può mandare indietro nessuno senza un dono, anche se non si sa chi bussa alla porta. Poiché se fosse anche un nemico, deve ricevere solo del bene nel giorno sacro. Sul tavolo si mettono dei dolci a forma di sole (rotondo, giallo-rosso), stella (un rombo con quattro punte che sarebbero collegate attraverso un punto centrale il quale ricorda molto la croce, e forse per questo si suppone che i re magi fossero zoroastriani) e infine un dolce a forma di mezzaluna, quindi i corpi celesti su quale si basa il calcolo del giorno della festa. Inoltre mettono sul tavolo di festeggiamento delle uova colorate che sembrano anticipare di molto le uova di Pasqua decorate tipiche dei paesi cristiano-ortodossi. Si prepara il pesce, che secondo alcune fonti è simbolo di Ahura Mazda vincente. Tutti questi dettagli e anche il periodo di festeggiamento, sembrano dunque riproporsi nella Pasqua, che potrebbe avere qualche origine comune con la festa zoroastriana. Durante i festeggiamenti si salta sopra il fuoco che simboleggia la liberazione dai peccati, dal male, dalle malattie che vengono lasciate bruciare nel fuoco sacro. Questo rito prende origine dal credo zoroastriano circa il ponte per paradiso: dopo la morte l'anima passa sopra quel ponte sottile quanto un capello, se l'anima è innocente, passa senza problemi ed entra nel paradiso, altrimenti l'anima è appesantita dai peccati cade nel fuoco purgatorio dell'inferno che si trova sotto il ponte. Non casualmente il nome «Azerbaigian» ha un significato collegato al fuoco, letteralmente significa «terra di fuoco». Nella capitale [[Baku]] si trova un antico [[tempio del fuoco]] [[Ateshgah di Baku|Ateshgah]], meta di credenti provenienti fino dall'India attraverso la [[Via della Seta]], che giungevano qui per pregare e meditare davanti all'eterno fuoco sacro che esce dalla terra. Attualmente comunità zoroastriane si possono trovare soprattutto in India, Pakistan e Iran. La diaspora zoroastriana comprende due gruppi principali: i [[Parsi]] di ambiente sud-asiatico e gli zoroastriani dell'Iran. Questi ultimi sono sopravvissuti in Iran a secoli di persecuzioni, come altre minoranze religiose. Comunità zoroastriane esistono a Teheran, a Yazd e a Kerman, dove molti parlano ancora un dialetto diverso dalla lingua iranica. Essi chiamano la loro lingua Dari. [[File:Fire in Yazd Zoroastrian temple.jpg|Fuoco sacro perennemente acceso nel tempio di [[Yazd]]|thumb|upright=0.7]]I Parsi nell'Asia meridionale hanno goduto, invece, di una relativa tolleranza. I Parsi sono famosi per le attività svolte nel campo dell'educazione e sono diventati una specie di casta economicamente forte all'interno della società indiana. C'è inoltre un crescente interesse fra le popolazioni Curde, soprattutto quelle del Tagikistan e Kazakistan, per l'antica eredità zoroastriana. Infatti, l'[[UNESCO]] (su pressione del governo del Tagikistan) ha proclamato il 2003 anno della celebrazione del "3000º anniversario della cultura zoroastriana" con manifestazioni speciali in tutto il mondo. Piccole comunità zoroastriane esistono nei maggiori centri urbani degli [[Stati Uniti d'America|Stati Uniti]], [[Canada]], Gran Bretagna, Australia e in altri paesi. In Italia esiste da alcuni anni una minuscola diaspora, con alcune associazioni presenti sul territorio. La popolazione mondiale di zoroastriani è stimata tra le 300.000 e le 350.000 unità. Di questi 90.000 circa sono Parsi dell'India. {{Nav zoroastrismo}} 7rp4z8zfvhtpkstiur84a83kqkc3uwk 0 18810 285975 279241 2026-08-08T07:14:51Z Buonsabatodaquinlan83 46846 285975 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo = lezione|materia1 = Diritto del lavoro pubblico|avanzamento = 100%}} Come per il Lavoratore Privato anche il Lavoratore Pubblico ha degli Obblighi Legali verso la Pubblica Amministrazione di cui è dipendente. In Ambito Privato gli '''Obblighi del Lavoratore''' sono stabiliti dagli articoli 2104 e 2015 del Codice Civile (rispettivamente Obbligo di Diligenza e Obbedienza e Obbligo di Fedeltà) che vengono poi specificati nei Contratti Collettivi e se elusi sanzionati ai sensi dell'articolo 2106 del Quinl ano83 sal ame che in sostanza disciplina il Potere Disciplinare del Datore di Lavoro. Per i Pubblici Dipendenti valgono i medesimi Obblighi ? Diciamo che di base Si (tra l'altro lo possiamo ricavare dal fatto che è espressamente previsto l'applicazione dell'articolo 2106 del Codice Civile nell'articolo 55 comma 2 del D. Lgs. 165/01 e tale articolo richiama gli articoli 2104 e 2105 del Codice Civile) ma dalla presenza del Codice di Comportamento, che di seguito vedremo, essi non sono gli unici Obblighi (ci basta citare solo l'articolo 1 del Codice di Comportamento che al comma 1 impone l'Obbligo di: Diligenza, Lealta', Imparzialità e Buona Condotta). Il Lavoratore Pubblico, come il Privato, deve comportasi secondo '''Diligenza''' nel proprio lavoro (possiamo desumerlo chiaramente dall'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento che dispone proprio l'Obbligo di Diligenza). La Diligenza va ponderata anche qui alla Particolarità del Lavoro, agli Interessi dell'Impresa (del Datore) e all'Interesse Superiore della Nazione (anche se questo riferimento non è più considerato essendo un residuo del Sistema Corporativistico Fascista). Vi è però una particolarità in ambito Pubblico. Possiamo vedere infatti, ai sensi dell'articolo 3 comma 1 del Codice di Comportamento che la Diligenza del Lavoratore Pubblico deve perseguire non solo gli Interessi del Datore di lavoro ma anche rispettare la Costituzione, servendo la Nazione con disciplina ed onore e conformando la propria condotta ai principi di buon andamento e imparzialità dell'azione amministrativa. Il dipendente svolge i propri compiti nel rispetto della legge, perseguendo l'interesse pubblico senza abusare della posizione o dei poteri di cui è titolare. D'altronde l'essere alle dipendenze della Nazione è previsto anche dalla stessa Costituzione all'Articolo 98 Comma 1 (''"I pubblici impiegati sono al servizio esclusivo della Nazione."'') A differenza del Lavoratore Privato, poi, il Lavoratore Pubblico deve agire secondo determinati Principi che vanno ad specificare la Diligenza da tenere: agire secondo i principi di integrità, correttezza, buona fede, proporzionalità, obiettività, trasparenza (ribadito all'articolo 9 del Codice di Comportamento insieme alla Tracciabilità dei procedimenti decisionali che devono essere sempre registrati in documenti sempre replicabili), equità e ragionevolezza e agisce in posizione di indipendenza e imparzialità, astenendosi in caso di conflitto di interessi (tra l'altro la disciplina e l'astensione per conflitto di interesse è ribadita negli articoli 6 e 7 del Codice di Comportamento) (art. 3 c. 2). Deve poi operare sempre secondo economicità, efficienza ed efficacia. La gestione di risorse pubbliche ai fini dello svolgimento delle attività amministrative deve seguire una logica di contenimento dei costi, che non pregiudichi la qualità dei risultati (art. 3 c. 4). Devono poi in ultimo essere imparziali e non discriminare (sesso, nazionalità, origine etnica, caratteristiche genetiche, lingua, religione o credo, convinzioni personali o politiche, appartenenza a una minoranza nazionale, disabilità, condizioni sociali o di salute, eta' e orientamento sessuale o su altri diversi fattori) i destinatari dell'azione delle Pubblica Amministrazione (dettagliato all'articolo 12 del Codice di Comportamento) (art. 3 c. 5) e collaborare con le altre pubbliche amministrazioni (art. 3 c. 6). Alcuni Comportamenti Diligenti Concretamente da Tenere sono previsti espressamente all'articolo 11 del Condice di Comportamento Rubricato "Comportamenti in Servizio". Al comma 1 è previsto che ''"fermo restando il rispetto dei termini del procedimento amministrativo, il dipendente, salvo giustificato motivo, non ritarda ne' adotta comportamenti tali da far ricadere su altri dipendenti il compimento di attività o l'adozione di decisioni di propria spettanza."'' Al comma 2 è invece previsto che ''"il dipendente utilizza i permessi di astensione dal lavoro, comunque denominati, nel rispetto delle condizioni previste dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi."'' Al comma 3, infine, è previsto che ''"il dipendente utilizza il materiale o le attrezzature di cui dispone per ragioni di ufficio e i servizi telematici e telefonici dell'ufficio nel rispetto dei vincoli posti dall'amministrazione. Il dipendente utilizza i mezzi di trasporto dell'amministrazione a sua disposizione soltanto per lo svolgimento dei compiti d'ufficio, astenendosi dal trasportare terzi, se non per motivi d'ufficio."'' Per il Dirigente la Diligenza è imposta dall'articolo 13 comma 2 dovendo agire in base all'atto di conferimento dell'incarico, perseguendo gli obiettivi assegnatigli e adottando un comportamento organizzativo adeguato per l'assolvimento dell'incarico. Parimenti anche l' '''Obbligo di Obbedienza''' è pacificamente applicabile e dettagliato in maniera analoga ricordando che egli deve Obbedienza non solo al Dirigente (Datore) ma anche alla Costituzione e alla Nazione (per la quale agisce con onore). Possiamo dire qui che l'Obbligo di Obbedienza sia la base dell'Obbligo di Buona Condotta da Tenere durante il lavoro ai sensi dell'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento. Un discorso particolare va fatto per l' '''Obbligo di Fedeltà''' di cui all'articolo 2015 del Codice Civile. Il Lavoratore Privato non può compiere lavori in concorrenza con il Datore di Lavoro o rivelare Segreti Aziendali e Dati del Datore di Lavoro. Tali Norme sono chiaramente volte a tutelare da una parte il Lavoro stesso del Datore di Lavoro da una concorrenza "sleale" e dall'altra a tutelare la Segretezza dello Stesso. Queste Norme si Applicano anche allo stesso modo per il Pubblico Dipendente ? Pacificamente possiamo dire che esiste anche nel Settore Pubblico un Obbligo di Segretezza (che secondo la Dicitura del Codice di Comportamento all'articolo 1 è l'Obbligo di Lealtà). Lo possiamo ritrovare nell'articolo 3 comma 3 del Codice di Comportamento dove si dice "Il dipendente non usa a fini privati le informazioni di cui dispone per ragioni di ufficio, evita situazioni e comportamenti che possano ostacolare il corretto adempimento dei compiti o nuocere agli interessi o all'immagine della pubblica amministrazione. Prerogative e poteri pubblici sono esercitati unicamente per le finalità di interesse generale per le quali sono stati conferiti". Tra l'altro la segretezza è anche stabilità come limite all'abuso della posizione di dipendente pubblico, anche nelle relazioni extralavorative pubbliche ufficiali, non potendo il lavoratore sfrutta, né menziona la posizione che ricopre nell'amministrazione per ottenere utilità che non gli spettino e non assume nessun altro comportamento che possa nuocere all'immagine dell'amministrazione (art. 10 del Codice di Comportamento). Un discorso più complesso va fatto in relazione al Divieto di Concorrenza. Il Lavoratore Privato ha il Diritto di poter fare un altro lavoro, oltre quello con il Datore Principale, che non sia Concorrenziale e non Turbi il Corretto Svolgimento del Lavoro Principale. Un Operaio di una Fabbrica potrà legalmente svolgere la sera il lavoro di Barista (a meno che non gli renda difficoltà il Lavoro Principale, ad esempio costringendolo a turni notturni faticosi che lo destabilizzando per il lavoro mattutino da operaio). Un Lavoratore Pubblico è anche esso soggetto al Divieto di non Concorrenza ? In realtà è sostanzialmente difficile che un Lavoratore Pubblico Compia un Lavoro in Concorrenza con una Pubblica Amministrazione (si pensi ad esempio un Dipendente Comunale non potrà mai essere in Concorrenza con il Comune qualsiasi lavoro faccia). Ciò che però in ambito pubblico si può voler tutelare è la non contaminazione da parte di altri lavori del Lavoro Pubblico anche se ciò non è ribadito concretamente in nessuna norma come principio (in un certo senso solo l'articolo 3 comma 3 del Codice di Comportamento che dispone il non utilizzo delle informazioni conosciute nel lavoro come pubblico dipendente per fini privati, ergo una tutela della non Concorrenza a danno, potremmo dire, più che per la Pubblica Amministrazione, per la Comunità in generale affinché il Pubblico Dipendente non goda di una posizione di preminenza sulla stessa ma sia alla pari, si richiama qui l'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento quando parla di Obbligo di Imparzialità). Questa Aura di non contaminazione dell'Operato Pubblico si è trasmutato, nella Legislazione Storica, nel cosiddetto '''Principio della Esclusività''' del Lavoro Pubblico. Chi prestava servizio per un Pubblico Ufficio non poteva svolgere altri lavori anche se essi non incidevano concretamente sul Lavoro Pubblico. Con il tempo però e con le varie modifiche attuate dal 1993 come sempre la Legislazione ha dovuto prendere atto della Realtà che spesso non tiene conto delle proibizioni. Era successo infatti che spesse volte si erano ripetuti casi dove dipendenti pubblici svolgevano anche altre attività (spesso a nero) oltre alle stesse. La Legislazione né ha preso atto e possiamo dire che oggi vige in sostanza un doppio Regime differente tra il Lavoro A Tempo Pieno e il Lavoro Part Time (A Tempo Definito). Nel Lavoro A Tempo Pieno vige ancora il Principio di Esclusività. Nel Part Time invece si può Svolgere un'altra attività collaterale. Ci sono però delle Attività on compatibili con il Lavoro di Dipendente Pubblico e tali attività sono regolate dall'articolo 53 della Legge 165/03. Il comma 1 del suddetto articolo ci dice che ci sono varie tipologie di incompatibilità (tra cui la non possibilità di lavorare per Altre Pubbliche Amministrazioni oppure che siano chiaramente incompatibile come un Insegnante non potrà mai fare la Escort o un Contabile un Usurai !!!). Solitamente per poter Svolgere queste Attività (in alcuni casi anche quando si è A Tempo Pieno) c'è bisogno di una Autorizzazione che il Lavoratore deve Chiedere alla Pubblica Amministrazione di cui è Dipendente la quale Verifica che non sia in Contrasto con l'Attività d'Ufficio. In caso che il Lavoratore Agisca in Regime di Incompatibilità è Sanzionato secondo un a Disciplina ben dettagliata. '''L'ARGOMENTO DELLA INCOMPATIBILITA' È COMUNQUE APPROFONDITO MEGLIO NELLA LEZIONE RIGUARDANTE IL LAVORATORE PUBBLICO.''' == Il Codice di Comportamento == Abbiamo più volte riferito, nel Paragrafo precedente, del Codice di Comportamento ed è ora giunto il Momento di dargli una rapida occhiata. Il '''Codice di Comportamento dei Dipendenti Pubblici''' o '''Codice di Condotta''' (o nella dicitura legale '''Decreto del Presidente della Repubblica 16 aprile 2013, n. 62 - Regolamento recante codice di comportamento dei dipendenti pubblici, a norma dell'articolo 54 del decreto legislativo 30 marzo 2001, n. 165''') nasce come un Codice di Valenza Etica. Era, ed è, diffusa la Prassi di realizzare dei Codici Etici nel Settore Pubblico degli Enti Pubblici i quali servono a dare delle norme, autoimposte, sull'operato dei propri dipendenti. L'importanza di questo Codice nasce dal fatto però, oltre ad essere valevole per tutti i Dipendenti Pubblici, che ha acquisito, nel Corso degli Anni, una valenza se non proprio Normativa, quasi Normativa. Questo è rinforzato dal Fatto che esso, oltre ad essere previsto da un Decreto del Presidente della Repubblica e quindi essere un Regolamento, è stato reso vincolante per i Dipendenti dal fatto di avere una espressa menzione nei Contratti Collettivi che lo innalzano quindi a Normativa Vigente tra le Parti e come parte stessa del Contratto (tra l'altro è solitamente Allegato allo stesso). Il Codice di Comportamento, pertanto, oggi si può benissimo ritenere un Codice che un Dipendente Pubblico deve conoscere e rispettare alla Pari della Costituzione, della Legge, del Contratto Collettivo, del Codice Disciplinare e dei Singoli Codici di Comportamento delle Singole Pubbliche Amministrazioni (previsti dall'articolo 1 comma 2 del Codice di Comportamento che integrano e specificano lo stesso e previsti anche dall'articolo 54, comma 5, del D.Lgs. n. 165/2001). Ai sensi dell'articolo 17 comma 3 questo Codice abroga il precedente Codice di Comportamento (Decreto del Ministro per la funzione pubblica in data 28 novembre 2000 recante "Codice di comportamento dei dipendenti delle pubbliche amministrazioni", pubblicato nella Gazzetta Ufficiale n. 84 del 10 aprile 2001). A chi si applica il Codice ? L'articolo 2 comma 1 ci dice che esso si applica a tutti i dipendenti pubblici (in sostanza a tutti quelli a cui si applica anche il D.Lgs 165/2009) (comma 2) anche delle Regioni a Statuto Speciale e alle Province Autonome di Trento e di Bolzano (comma 4) e le Pubbliche Amministrazioni devono estenderlo anche a chi opera in un rapporto di collaborazione e consulenza o servizio disponendo anche clausole di decadenza se violato il Codice di Comportamento (comma 3). Alcune norme del Codice Disciplinare le abbiamo già viste pertanto ora ci limiteremo ad analizzare solo alcune norme che si avvicinano all'ambito della Corruzione (per il quale il Codice Stesso potremmo dire nasce ed è principalmente rivolto) e le conseguenze della Violazione del Codice. L'articolo 8 è volto proprio alla Prevenzione dalla Corruzione. Il dipendente rispetta le misure necessarie alla prevenzione degli illeciti nell'amministrazione. In particolare, il dipendente rispetta le prescrizioni contenute nel piano per la prevenzione della corruzione, presta la sua collaborazione al responsabile della prevenzione della corruzione e, fermo restando l'obbligo di denuncia all'autorità giudiziaria, segnala al proprio superiore gerarchico eventuali situazioni di illecito nell'amministrazione di cui sia venuto a conoscenza. '''VEDREMO MEGLIO NELLA LEZIONE SUL POTERE DISCIPLINARE CHE IL DIPENDENTE PUBBLICO HA VARIE STRUMENTI DI DENUNCIA DELL'OPERATO CRIMINOSO DI ALTRI DIPENDENTI COME AD ESEMPIO I MODELLI PER LA SEGNALAZIONE DI CONDOTTE ILLECITE ED HA COMUNQUE UN OBBLIGO GENERALE DI COLLABORAZIONE RIBADITO ANCHE QUI.''' Interessante è come il Codice poi cerca di prevenire in concreto la Corruzione del Pubblico Impiegato facendolo con due norme. All'articolo 4 vi è una ampia e dettagliata disciplina sui Regali, i Compensi e Altre Utilità. ''"Il dipendente non chiede, ne' sollecita, per se' o per altri, regali o altre utilità."'' (comma 1). ''"Il dipendente non accetta, per se' o per altri, regali o altre utilità, salvo quelli d'uso di modico valore effettuati occasionalmente nell'ambito delle normali relazioni di cortesia e nell'ambito delle consuetudini internazionali. In ogni caso, indipendentemente dalla circostanza che il fatto costituisca reato, il dipendente non chiede, per se' o per altri, regali o altre utilità, neanche di modico valore a titolo di corrispettivo per compiere o per aver compiuto un atto del proprio ufficio da soggetti che possano trarre benefici da decisioni o attività inerenti all'ufficio, ne' da soggetti nei cui confronti è o sta per essere chiamato a svolgere o a esercitare attività o potesta' proprie dell'ufficio ricoperto."'' (comma 2). ''"Il dipendente non accetta, per se' o per altri, da un proprio subordinato, direttamente o indirettamente, regali o altre utilità, salvo quelli d'uso di modico valore. Il dipendente non offre, direttamente o indirettamente, regali o altre utilità a un proprio sovraordinato, salvo quelli d'uso di modico valore."'' (comma 3). ''"I regali e le altre utilità comunque ricevuti fuori dai casi consentiti dal presente articolo, a cura dello stesso dipendente cui siano pervenuti, sono immediatamente messi a disposizione dell'Amministrazione per la restituzione o per essere devoluti a fini istituzionali."'' (comma 4). ''''Ai fini del presente articolo, per regali o altre utilità di modico valore si intendono quelle di valore non superiore, in via orientativa, a 150 euro, anche sotto forma di sconto. I codici di comportamento adottati dalle singole amministrazioni possono prevedere limiti inferiori, anche fino all'esclusione della possibilità di riceverli, in relazione alle caratteristiche dell'ente e alla tipologia delle mansioni."'' (comma 5). ''"Il dipendente non accetta incarichi di collaborazione da soggetti privati che abbiano, o abbiano avuto nel biennio precedente, un interesse economico significativo in decisioni o attività inerenti all'ufficio di appartenenza."'' (comma 6). ''"Al fine di preservare il prestigio e l'imparzialità dell'amministrazione, il responsabile dell'ufficio vigila sulla corretta applicazione del presente articolo."'' (comma 7). All'articolo 14 invece vi è una ampia e dettagliata disciplina in materia di Contratti e altri Atti Negoziali. ''"Nella conclusione di accordi e negozi e nella stipulazione di contratti per conto dell'amministrazione, nonche' nella fase di esecuzione degli stessi, il dipendente non ricorre a mediazione di terzi, ne' corrisponde o promette ad alcuno utilità a titolo di intermediazione, ne' per facilitare o aver facilitato la conclusione o l'esecuzione del contratto. Il presente comma non si applica ai casi in cui l'amministrazione abbia deciso di ricorrere all'attività di intermediazione professionale."'' (comma 1). ''"Il dipendente non conclude, per conto dell'amministrazione, contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento o assicurazione con imprese con le quali abbia stipulato contratti a titolo privato o ricevuto altre utilità nel biennio precedente, ad eccezione di quelli conclusi ai sensi dell'articolo 1342 del codice civile'' (Contratto concluso mediante moduli o formulari)''. Nel caso in cui l'amministrazione concluda contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento o assicurazione, con imprese con le quali il dipendente abbia concluso contratti a titolo privato o ricevuto altre utilità nel biennio precedente, questi si astiene dal partecipare all'adozione delle decisioni ed alle attività relative all'esecuzione del contratto, redigendo verbale scritto di tale astensione da conservare agli atti dell'ufficio."'' (comma 2). ''"Il dipendente che conclude accordi o negozi ovvero stipula contratti a titolo privato, ad eccezione di quelli conclusi ai sensi dell'articolo 1342 del codice civile, con persone fisiche o giuridiche private con le quali abbia concluso, nel biennio precedente, contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento ed assicurazione, per conto dell'amministrazione, ne informa per iscritto il dirigente dell'ufficio."'' (comma 3). ''"Se nelle situazioni di cui ai commi 2 e 3 si trova il dirigente, questi informa per iscritto il dirigente apicale responsabile della gestione del personale."'' (comma 4). ''"Il dipendente che riceva, da persone fisiche o giuridiche partecipanti a procedure negoziali nelle quali sia parte l'amministrazione, rimostranze orali o scritte sull'operato dell'ufficio o su quello dei propri collaboratori, ne informa immediatamente, di regola per iscritto, il proprio superiore gerarchico o funzionale."'' (comma 5). Interessante è anche la normativa sulla Partecipazione ad associazioni e organizzazioni che ricalca la libertà di associarsi o meno che ha il Dipendente Privato tutelando però, allo stesso tempo, l'indipendenza funzionale della Pubblica Amministrazione (e in questo si differenzia dal Privato che può liberamente iscriversi dove vuole). L'articolo 5 dice: ''"Nel rispetto della disciplina vigente del diritto di associazione, il dipendente comunica tempestivamente al responsabile dell'ufficio di appartenenza la propria adesione o appartenenza ad associazioni od organizzazioni, a prescindere dal loro carattere riservato o meno, i cui ambiti di interessi possano interferire con lo svolgimento dell'attività dell'ufficio. Il presente comma non si applica all'adesione a partiti politici o a sindacati."'' (comma 1). ''"Il pubblico dipendente non costringe altri dipendenti ad aderire ad associazioni od organizzazioni, ne' esercita pressioni a tale fine, promettendo vantaggi o prospettando svantaggi di carriera."'' (comma 2). Per quanto riguarda la pubblicità di tale Codice l'articolo 17 dispone l'obbligo, in capo alle singole Pubbliche Amministrazione, di più ampia diffusione pubblicandolo sul proprio sito internet istituzionale e nella rete intranet, nonché trasmettendolo tramite e-mail a tutti i propri dipendenti e ai titolari di contratti di consulenza o collaborazione a qualsiasi titolo, anche professionale, ai titolari di organi e di incarichi negli uffici di diretta collaborazione dei vertici politici dell'amministrazione, nonché ai collaboratori a qualsiasi titolo, anche professionale, di imprese fornitrici di servizi in favore dell'amministrazione. L'amministrazione, contestualmente alla sottoscrizione del contratto di lavoro o, in mancanza, all'atto di conferimento dell'incarico, consegna e fa sottoscrivere ai nuovi assunti, con rapporti comunque denominati, copia del codice di comportamento (comma 1). Con le stesse modalità, le amministrazioni danno la più ampia diffusione ai codici di comportamento da ciascuna definiti ai sensi dell'articolo 54, comma 5, del D.Lgs. n. 165/2001 (comma 2). In conclusione va analizzato il sistema di controllo e sanzionatorio se viene violato. L'articolo 15 ci dice che il controllo sull'applicazione del Codice e dei Codici particolari di ogni Pubblica Amministrazione è dei dirigenti responsabili di ciascuna struttura, delle strutture di controllo interno e degli uffici etici e di disciplina (ai sensi dell'articolo 54, comma 6, del D.Lgs. n. 165/2001) (comma 1). Ci può essere la collaborazione dell'ufficio procedimenti disciplinari (istituito ai sensi dell'articolo 55-bis, comma 4, del D.Lgs. n. 165/2001) e i comitati o uffici etici eventualmente già istituiti (comma 2). Le attività dell'ufficio procedimenti disciplinari si conformano alle eventuali previsioni contenute nei piani di prevenzione della corruzione (adottati dalle amministrazioni ai sensi dell'articolo 1, comma 2, della L. n. 190/2012, n. 19) 0. L'ufficio procedimenti disciplinari, oltre alle funzioni disciplinari (di cui all'articolo 55-bis e seguenti del D.Lgs. n. 165/2001), cura l'aggiornamento del codice di comportamento dell'amministrazione, l'esame delle segnalazioni di violazione dei codici di comportamento, la raccolta delle condotte illecite accertate e sanzionate, assicurando le garanzie (di cui all'articolo 54-bis del D.Lgs. n. 165/2001). Il responsabile della prevenzione della corruzione cura la diffusione della conoscenza dei codici di comportamento nell'amministrazione, il monitoraggio annuale sulla loro attuazione (ai sensi dell'articolo 54, comma 7, del D.Lgs. n. 165/2001), la pubblicazione sul sito istituzionale e della comunicazione all'Autorità nazionale anticorruzione (di cui all'articolo 1, comma 2, della L. n. 190/2012), dei risultati del monitoraggio. Ai fini dello svolgimento delle attività, l'ufficio procedimenti disciplinari opera in raccordo con il responsabile della prevenzione (di cui all'articolo 1, comma 7, della L. n. 190/2012) (comma 3). Ai fini dell'attivazione del procedimento disciplinare per violazione dei codici di comportamento, l'ufficio procedimenti disciplinari può chiedere all'Autorità nazionale anticorruzione parere facoltativo (ai sensi dell'articolo 1, comma 2, lettera d), della L. n. 190/2012) (comma 4). Al personale delle pubbliche amministrazioni sono rivolte attività formative in materia di trasparenza e integrità, che consentano ai dipendenti di conseguire una piena conoscenza dei contenuti del codice di comportamento, nonché un aggiornamento annuale e sistematico sulle misure e sulle disposizioni applicabili in tali ambiti (comma 5). Le Regioni e gli enti locali, definiscono, nell'ambito della propria autonomia organizzativa, le linee guida necessarie per l'attuazione dei principi (comma 6). Dall'attuazione delle disposizioni dette non devono derivare nuovi o maggiori oneri a carico della finanza pubblica. Le amministrazioni provvedono agli adempimenti previsti nell'ambito delle risorse umane, finanziarie, e strumentali disponibili a legislazione vigente (comma 7). L'articolo 16, invece, la disciplina le conseguenze alla violazione del Codice. Se un lavoratore pubblico viola il Codice compie comportamenti che vanno contro i doveri d'ufficio. Oltre alla responsabilità penale, civile, amministrativa o contabile che il singolo comportamento può comportare, la violazione del Codice comporta anche responsabilità disciplinare nel rispetto dei principi di gradualità e proporzionalità delle sanzioni (comma 1). Per la determinazione del tipo e dell'entità della sanzione disciplinare bisogna valutare la violazione nel singolo caso con riguardo alla gravità del comportamento e all'entità del pregiudizio, anche morale, derivatone al decoro o al prestigio dell'amministrazione di appartenenza. Le sanzioni applicabili sono quelle previste dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi, incluse quelle espulsive anche se esclusivamente nei casi gravi di violazione delle disposizioni di cui agli articoli 4, qualora concorrano la non modicità del valore del regalo o delle altre utilità e l'immediata correlazione di questi ultimi con il compimento di un atto o di un'attività tipici dell'ufficio, 5, comma 2 (costrizione o proselitismo ad aderire ad associazioni o organizzazioni verso altri dipendenti), 14, comma 2, primo periodo (contratti o altri negozi con chi ha concluso contratti anche in privato) oltre che hai casi di recidiva negli illeciti di cui agli articoli 4, comma 6 (accettazione di incarichi con chi ha concluso un contratto), 6, comma 2 (conflitto d'interesse), esclusi i conflitti meramente potenziali, e 13, comma 9, primo periodo (la diffusione di notizie da parte del dirigente). I contratti collettivi possono prevedere ulteriori criteri di individuazione delle sanzioni applicabili (comma 2). Resta ferma la comminazione del licenziamento senza preavviso per i casi già previsti dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi (comma 3) e gli ulteriori obblighi e le conseguenti ipotesi di responsabilità disciplinare dei pubblici dipendenti previsti da norme di legge, di regolamento o dai contratti collettivi (comma 4). == Casistica e Giurisprudenza sul Obblighi del Lavoratore e il Codice di Comportamento == Analizzate le varie questioni dal Punto di Vista Normativo può essere interessante vedere come aggisce la Pubblica Amministrazione e la Giurisprudenza nei casi concreti di applicazione di queste norme. Analizzeremo quindi alcuni casi famosi e non, sulla questione. Un caso balzato agli onore della cronaca e che può farci vedere come una Pubblica Amministrazione (in questo Caso la Massima Amministrazione e cioè la Presidenza del Consiglio) operi in attuazione di un dettato del Codice di Comportamento è quello dei Cronografi "Rolex" regalati dai Sovrani Sauditi alla Delegazione Italiana durante una visita di Stato del Presidente del Consiglio Renzi l'8 Gennaio 2016 a Ryad. Dietro questa vicenda ci sono ancora vari misteri soprattutto perché si parla di una presunta rissa tra Delegazione e Guardie del Corpo per accaparrarsi questi Rolex quel che va detto è che in sostanza gioca qui l'articolo 4 del Codice di Comportamento. Secondo tale articolo sicuramente i dipendenti pubblici della delegazione non potevano prendere regali sicuramente di misura maggiore ai 150 euro (valgono sui 3.000-4.000 euro) (comma 5) neppure se proveniente da una consuetudine internazionale e quindi legittima (comma 3). L'attuazione dell'articolo 4, anche se mai esplicitata, sembra comunque essere avvenuta, almeno in modo implicito, dalla Presidenza del Consiglio che ha deciso di avocare a sé la disponibilità di tali regali attuando di fatto il comma 4 dell'articolo 4. Un altro caso, anche questo recente, si è verificato nel Marzo 2016 a Riccione dove una dipendente comunale alla prima di un film ha definito i ragazzi di una Associazione Onlus Persone Down come "mongoli". Il Comune ha subito intrapreso una azione disciplinare per violazione del dovere di non discriminazione che ogni dipendente pubblico ha (articolo 3 comma 5 del Codice di Comportamento). Il Procedimento sembrerebbe non aver ancora avuto una soluzione. Per quanto riguarda invece l'Obbligo di Fedeltà, un caso di Brindisi, avvenuto nel Febbraio 2016, può essere esplicativo. Dopo una ispezione dei Nas di Taranto in un poliambulatorio locale si è scoperto che alcuni medici di ospedali locali lavoravano nello stesso indebitamente. Un radiologo aveva svolto attività lavorativa in quel centro in giorni in cui era assente dall'ospedale per malattia. Le visite fiscali inviate dalla direzione dell'Asl erano state effettuate da un medico del dipartimento che effettuava anche attività lavorativa libero professionale nel medesimo centro privato in cui operava il radiologo (che aveva peraltro l'incarico di responsabile sanitario del centro), contravvenendo al codice di comportamento dei dipendenti pubblici in tema d'incompatibilità per conflitto d'interessi. Infine, un dermatologo e un'anestesista, invece è stato accertato che avevano svolto, arbitrariamente, visite mediche in libera professione nel poliambulatorio, nonostante avessero optato per un rapporto di esclusività con l'Asl. I medici hanno continuato a percepire indebitamente l'indennità mensile aggiuntiva dell'esclusività. Al di là del procedimento penale di cui si sta occupando la procura della Repubblica di Brindisi e della restituzione all'Asl le indennità indebitamente percepite ammontanti a diverse decine di migliaia di euro, i dipendenti pubblici hanno subito anche un procedimento disciplinare che ha comportato a diverse sanzioni. Per il radiologo è stato disposto il licenziamento, per l'anestesista e il medico del dipartimento di prevenzione la sospensione dal servizio senza retribuzioni fino a dodici giorni. Per il dermatologo è stato avviato il procedimento ma non è stata irrogata alcuna sanzione perché sta per andare in pensione. Interessante, come caso giurisprudenziale, in ultimo, è quello avvenuto ad un docente di una scuola secondaria di secondo grado di Milano al quale è stato conferito una pesante sanzione disciplinare, pari a sei mesi di sospensione. I fatti contestati riguardavano: * Uso di linguaggio volgare ed offensivo nei riguardi degli alunni. * Abuso di note disciplinari sul registro di classe. * Incapacità di relazionarsi con gli studenti e di gestire la disciplina. * Atteggiamenti scorretti nei confronti dei colleghi. * Grave turbativa nell'ambiente scolastico per forte disagio e malcontento suscitato negli allievi. * Pesante pregiudizio del rapporto fiduciario scuola famiglia. Tra le condotte contestate vi rientrano anche l'utilizzo improprio di Facebook. La Sentenza del 14 dicembre 2015 del Tribunale di Milano dice infatti: ''"Nemmeno il ricorrente ha negato di avere pubblicato su Facebook la frase "Nella scuola pubblica italiana va avanti solo il lecchinaggio, di gente che, per preservarsi la cattedra sul sostegno, lecca il fondo schiena al dirigente, per mettere il bastone tra le ruote al collega.VERGOGNA!!!!"''. Il Giudice così motivava ''"sono da solidi gravità tale da giustificare la sanzione conservativa della sospensione dall'attività per mesi sei, prevista dall'art. 495 D.Lgs. n. 297 del 1994 per gravi violazioni dei doveri, delle responsabilità e della correttezza inerenti alla funzione docente, poiché concretano condotte oggettivamente lesive della dignità degli alunni e dell'insegnante L., nonché dell'immagine dell'istituzione scolastica. Le condotte del ricorrente non possono ritenersi giustificate da reazioni indisciplinate degli alunni.'' ''Oltre a non essere risultato in causa alcuno specifico comportamento direttamente lesivo della dignità o della persona del Prof. A. posto in essere dagli alunni, è evidente come rientri tra i doveri inerenti al corretto svolgimento delle mansioni di docente esercitare il proprio controllo, anche disciplinare in maniera equilibrata e nei limiti della continenza verbale.'' ''L'irrogazione della sanzione nella misura massima risulta altresì giustificata dalla recidiva, specificamente contestata al ricorrente (sospensione dall'insegnamento per la durata di mesi tre (...). Vanno dunque rigettate le censure di sproporzione della sanzione svolte dalla parte ricorrente"''. {{Diritto del lavoro pubblico}} flt8vqqmr5x79n6j3y0ikfq7l5ws8kb 285983 285975 2026-08-08T07:37:18Z WikiBayer 26175 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/Buonsabatodaquinlan83|Buonsabatodaquinlan83]] ([[User talk:Buonsabatodaquinlan83|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Renamed user 4bcb89d69d36c56818ae7242857f95de|Renamed user 4bcb89d69d36c56818ae7242857f95de]] 279241 wikitext text/x-wiki {{risorsa|tipo = lezione|materia1 = Diritto del lavoro pubblico|avanzamento = 100%}} Come per il Lavoratore Privato anche il Lavoratore Pubblico ha degli Obblighi Legali verso la Pubblica Amministrazione di cui è dipendente. In Ambito Privato gli '''Obblighi del Lavoratore''' sono stabiliti dagli articoli 2104 e 2015 del Codice Civile (rispettivamente Obbligo di Diligenza e Obbedienza e Obbligo di Fedeltà) che vengono poi specificati nei Contratti Collettivi e se elusi sanzionati ai sensi dell'articolo 2106 del Codice Civile che in sostanza disciplina il Potere Disciplinare del Datore di Lavoro. Per i Pubblici Dipendenti valgono i medesimi Obblighi ? Diciamo che di base Si (tra l'altro lo possiamo ricavare dal fatto che è espressamente previsto l'applicazione dell'articolo 2106 del Codice Civile nell'articolo 55 comma 2 del D. Lgs. 165/01 e tale articolo richiama gli articoli 2104 e 2105 del Codice Civile) ma dalla presenza del Codice di Comportamento, che di seguito vedremo, essi non sono gli unici Obblighi (ci basta citare solo l'articolo 1 del Codice di Comportamento che al comma 1 impone l'Obbligo di: Diligenza, Lealta', Imparzialità e Buona Condotta). Il Lavoratore Pubblico, come il Privato, deve comportasi secondo '''Diligenza''' nel proprio lavoro (possiamo desumerlo chiaramente dall'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento che dispone proprio l'Obbligo di Diligenza). La Diligenza va ponderata anche qui alla Particolarità del Lavoro, agli Interessi dell'Impresa (del Datore) e all'Interesse Superiore della Nazione (anche se questo riferimento non è più considerato essendo un residuo del Sistema Corporativistico Fascista). Vi è però una particolarità in ambito Pubblico. Possiamo vedere infatti, ai sensi dell'articolo 3 comma 1 del Codice di Comportamento che la Diligenza del Lavoratore Pubblico deve perseguire non solo gli Interessi del Datore di lavoro ma anche rispettare la Costituzione, servendo la Nazione con disciplina ed onore e conformando la propria condotta ai principi di buon andamento e imparzialità dell'azione amministrativa. Il dipendente svolge i propri compiti nel rispetto della legge, perseguendo l'interesse pubblico senza abusare della posizione o dei poteri di cui è titolare. D'altronde l'essere alle dipendenze della Nazione è previsto anche dalla stessa Costituzione all'Articolo 98 Comma 1 (''"I pubblici impiegati sono al servizio esclusivo della Nazione."'') A differenza del Lavoratore Privato, poi, il Lavoratore Pubblico deve agire secondo determinati Principi che vanno ad specificare la Diligenza da tenere: agire secondo i principi di integrità, correttezza, buona fede, proporzionalità, obiettività, trasparenza (ribadito all'articolo 9 del Codice di Comportamento insieme alla Tracciabilità dei procedimenti decisionali che devono essere sempre registrati in documenti sempre replicabili), equità e ragionevolezza e agisce in posizione di indipendenza e imparzialità, astenendosi in caso di conflitto di interessi (tra l'altro la disciplina e l'astensione per conflitto di interesse è ribadita negli articoli 6 e 7 del Codice di Comportamento) (art. 3 c. 2). Deve poi operare sempre secondo economicità, efficienza ed efficacia. La gestione di risorse pubbliche ai fini dello svolgimento delle attività amministrative deve seguire una logica di contenimento dei costi, che non pregiudichi la qualità dei risultati (art. 3 c. 4). Devono poi in ultimo essere imparziali e non discriminare (sesso, nazionalità, origine etnica, caratteristiche genetiche, lingua, religione o credo, convinzioni personali o politiche, appartenenza a una minoranza nazionale, disabilità, condizioni sociali o di salute, eta' e orientamento sessuale o su altri diversi fattori) i destinatari dell'azione delle Pubblica Amministrazione (dettagliato all'articolo 12 del Codice di Comportamento) (art. 3 c. 5) e collaborare con le altre pubbliche amministrazioni (art. 3 c. 6). Alcuni Comportamenti Diligenti Concretamente da Tenere sono previsti espressamente all'articolo 11 del Condice di Comportamento Rubricato "Comportamenti in Servizio". Al comma 1 è previsto che ''"fermo restando il rispetto dei termini del procedimento amministrativo, il dipendente, salvo giustificato motivo, non ritarda ne' adotta comportamenti tali da far ricadere su altri dipendenti il compimento di attività o l'adozione di decisioni di propria spettanza."'' Al comma 2 è invece previsto che ''"il dipendente utilizza i permessi di astensione dal lavoro, comunque denominati, nel rispetto delle condizioni previste dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi."'' Al comma 3, infine, è previsto che ''"il dipendente utilizza il materiale o le attrezzature di cui dispone per ragioni di ufficio e i servizi telematici e telefonici dell'ufficio nel rispetto dei vincoli posti dall'amministrazione. Il dipendente utilizza i mezzi di trasporto dell'amministrazione a sua disposizione soltanto per lo svolgimento dei compiti d'ufficio, astenendosi dal trasportare terzi, se non per motivi d'ufficio."'' Per il Dirigente la Diligenza è imposta dall'articolo 13 comma 2 dovendo agire in base all'atto di conferimento dell'incarico, perseguendo gli obiettivi assegnatigli e adottando un comportamento organizzativo adeguato per l'assolvimento dell'incarico. Parimenti anche l' '''Obbligo di Obbedienza''' è pacificamente applicabile e dettagliato in maniera analoga ricordando che egli deve Obbedienza non solo al Dirigente (Datore) ma anche alla Costituzione e alla Nazione (per la quale agisce con onore). Possiamo dire qui che l'Obbligo di Obbedienza sia la base dell'Obbligo di Buona Condotta da Tenere durante il lavoro ai sensi dell'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento. Un discorso particolare va fatto per l' '''Obbligo di Fedeltà''' di cui all'articolo 2015 del Codice Civile. Il Lavoratore Privato non può compiere lavori in concorrenza con il Datore di Lavoro o rivelare Segreti Aziendali e Dati del Datore di Lavoro. Tali Norme sono chiaramente volte a tutelare da una parte il Lavoro stesso del Datore di Lavoro da una concorrenza "sleale" e dall'altra a tutelare la Segretezza dello Stesso. Queste Norme si Applicano anche allo stesso modo per il Pubblico Dipendente ? Pacificamente possiamo dire che esiste anche nel Settore Pubblico un Obbligo di Segretezza (che secondo la Dicitura del Codice di Comportamento all'articolo 1 è l'Obbligo di Lealtà). Lo possiamo ritrovare nell'articolo 3 comma 3 del Codice di Comportamento dove si dice "Il dipendente non usa a fini privati le informazioni di cui dispone per ragioni di ufficio, evita situazioni e comportamenti che possano ostacolare il corretto adempimento dei compiti o nuocere agli interessi o all'immagine della pubblica amministrazione. Prerogative e poteri pubblici sono esercitati unicamente per le finalità di interesse generale per le quali sono stati conferiti". Tra l'altro la segretezza è anche stabilità come limite all'abuso della posizione di dipendente pubblico, anche nelle relazioni extralavorative pubbliche ufficiali, non potendo il lavoratore sfrutta, né menziona la posizione che ricopre nell'amministrazione per ottenere utilità che non gli spettino e non assume nessun altro comportamento che possa nuocere all'immagine dell'amministrazione (art. 10 del Codice di Comportamento). Un discorso più complesso va fatto in relazione al Divieto di Concorrenza. Il Lavoratore Privato ha il Diritto di poter fare un altro lavoro, oltre quello con il Datore Principale, che non sia Concorrenziale e non Turbi il Corretto Svolgimento del Lavoro Principale. Un Operaio di una Fabbrica potrà legalmente svolgere la sera il lavoro di Barista (a meno che non gli renda difficoltà il Lavoro Principale, ad esempio costringendolo a turni notturni faticosi che lo destabilizzando per il lavoro mattutino da operaio). Un Lavoratore Pubblico è anche esso soggetto al Divieto di non Concorrenza ? In realtà è sostanzialmente difficile che un Lavoratore Pubblico Compia un Lavoro in Concorrenza con una Pubblica Amministrazione (si pensi ad esempio un Dipendente Comunale non potrà mai essere in Concorrenza con il Comune qualsiasi lavoro faccia). Ciò che però in ambito pubblico si può voler tutelare è la non contaminazione da parte di altri lavori del Lavoro Pubblico anche se ciò non è ribadito concretamente in nessuna norma come principio (in un certo senso solo l'articolo 3 comma 3 del Codice di Comportamento che dispone il non utilizzo delle informazioni conosciute nel lavoro come pubblico dipendente per fini privati, ergo una tutela della non Concorrenza a danno, potremmo dire, più che per la Pubblica Amministrazione, per la Comunità in generale affinché il Pubblico Dipendente non goda di una posizione di preminenza sulla stessa ma sia alla pari, si richiama qui l'articolo 1 comma 1 del Codice di Comportamento quando parla di Obbligo di Imparzialità). Questa Aura di non contaminazione dell'Operato Pubblico si è trasmutato, nella Legislazione Storica, nel cosiddetto '''Principio della Esclusività''' del Lavoro Pubblico. Chi prestava servizio per un Pubblico Ufficio non poteva svolgere altri lavori anche se essi non incidevano concretamente sul Lavoro Pubblico. Con il tempo però e con le varie modifiche attuate dal 1993 come sempre la Legislazione ha dovuto prendere atto della Realtà che spesso non tiene conto delle proibizioni. Era successo infatti che spesse volte si erano ripetuti casi dove dipendenti pubblici svolgevano anche altre attività (spesso a nero) oltre alle stesse. La Legislazione né ha preso atto e possiamo dire che oggi vige in sostanza un doppio Regime differente tra il Lavoro A Tempo Pieno e il Lavoro Part Time (A Tempo Definito). Nel Lavoro A Tempo Pieno vige ancora il Principio di Esclusività. Nel Part Time invece si può Svolgere un'altra attività collaterale. Ci sono però delle Attività on compatibili con il Lavoro di Dipendente Pubblico e tali attività sono regolate dall'articolo 53 della Legge 165/03. Il comma 1 del suddetto articolo ci dice che ci sono varie tipologie di incompatibilità (tra cui la non possibilità di lavorare per Altre Pubbliche Amministrazioni oppure che siano chiaramente incompatibile come un Insegnante non potrà mai fare la Escort o un Contabile un Usurai !!!). Solitamente per poter Svolgere queste Attività (in alcuni casi anche quando si è A Tempo Pieno) c'è bisogno di una Autorizzazione che il Lavoratore deve Chiedere alla Pubblica Amministrazione di cui è Dipendente la quale Verifica che non sia in Contrasto con l'Attività d'Ufficio. In caso che il Lavoratore Agisca in Regime di Incompatibilità è Sanzionato secondo un a Disciplina ben dettagliata. '''L'ARGOMENTO DELLA INCOMPATIBILITA' È COMUNQUE APPROFONDITO MEGLIO NELLA LEZIONE RIGUARDANTE IL LAVORATORE PUBBLICO.''' == Il Codice di Comportamento == Abbiamo più volte riferito, nel Paragrafo precedente, del Codice di Comportamento ed è ora giunto il Momento di dargli una rapida occhiata. Il '''Codice di Comportamento dei Dipendenti Pubblici''' o '''Codice di Condotta''' (o nella dicitura legale '''Decreto del Presidente della Repubblica 16 aprile 2013, n. 62 - Regolamento recante codice di comportamento dei dipendenti pubblici, a norma dell'articolo 54 del decreto legislativo 30 marzo 2001, n. 165''') nasce come un Codice di Valenza Etica. Era, ed è, diffusa la Prassi di realizzare dei Codici Etici nel Settore Pubblico degli Enti Pubblici i quali servono a dare delle norme, autoimposte, sull'operato dei propri dipendenti. L'importanza di questo Codice nasce dal fatto però, oltre ad essere valevole per tutti i Dipendenti Pubblici, che ha acquisito, nel Corso degli Anni, una valenza se non proprio Normativa, quasi Normativa. Questo è rinforzato dal Fatto che esso, oltre ad essere previsto da un Decreto del Presidente della Repubblica e quindi essere un Regolamento, è stato reso vincolante per i Dipendenti dal fatto di avere una espressa menzione nei Contratti Collettivi che lo innalzano quindi a Normativa Vigente tra le Parti e come parte stessa del Contratto (tra l'altro è solitamente Allegato allo stesso). Il Codice di Comportamento, pertanto, oggi si può benissimo ritenere un Codice che un Dipendente Pubblico deve conoscere e rispettare alla Pari della Costituzione, della Legge, del Contratto Collettivo, del Codice Disciplinare e dei Singoli Codici di Comportamento delle Singole Pubbliche Amministrazioni (previsti dall'articolo 1 comma 2 del Codice di Comportamento che integrano e specificano lo stesso e previsti anche dall'articolo 54, comma 5, del D.Lgs. n. 165/2001). Ai sensi dell'articolo 17 comma 3 questo Codice abroga il precedente Codice di Comportamento (Decreto del Ministro per la funzione pubblica in data 28 novembre 2000 recante "Codice di comportamento dei dipendenti delle pubbliche amministrazioni", pubblicato nella Gazzetta Ufficiale n. 84 del 10 aprile 2001). A chi si applica il Codice ? L'articolo 2 comma 1 ci dice che esso si applica a tutti i dipendenti pubblici (in sostanza a tutti quelli a cui si applica anche il D.Lgs 165/2009) (comma 2) anche delle Regioni a Statuto Speciale e alle Province Autonome di Trento e di Bolzano (comma 4) e le Pubbliche Amministrazioni devono estenderlo anche a chi opera in un rapporto di collaborazione e consulenza o servizio disponendo anche clausole di decadenza se violato il Codice di Comportamento (comma 3). Alcune norme del Codice Disciplinare le abbiamo già viste pertanto ora ci limiteremo ad analizzare solo alcune norme che si avvicinano all'ambito della Corruzione (per il quale il Codice Stesso potremmo dire nasce ed è principalmente rivolto) e le conseguenze della Violazione del Codice. L'articolo 8 è volto proprio alla Prevenzione dalla Corruzione. Il dipendente rispetta le misure necessarie alla prevenzione degli illeciti nell'amministrazione. In particolare, il dipendente rispetta le prescrizioni contenute nel piano per la prevenzione della corruzione, presta la sua collaborazione al responsabile della prevenzione della corruzione e, fermo restando l'obbligo di denuncia all'autorità giudiziaria, segnala al proprio superiore gerarchico eventuali situazioni di illecito nell'amministrazione di cui sia venuto a conoscenza. '''VEDREMO MEGLIO NELLA LEZIONE SUL POTERE DISCIPLINARE CHE IL DIPENDENTE PUBBLICO HA VARIE STRUMENTI DI DENUNCIA DELL'OPERATO CRIMINOSO DI ALTRI DIPENDENTI COME AD ESEMPIO I MODELLI PER LA SEGNALAZIONE DI CONDOTTE ILLECITE ED HA COMUNQUE UN OBBLIGO GENERALE DI COLLABORAZIONE RIBADITO ANCHE QUI.''' Interessante è come il Codice poi cerca di prevenire in concreto la Corruzione del Pubblico Impiegato facendolo con due norme. All'articolo 4 vi è una ampia e dettagliata disciplina sui Regali, i Compensi e Altre Utilità. ''"Il dipendente non chiede, ne' sollecita, per se' o per altri, regali o altre utilità."'' (comma 1). ''"Il dipendente non accetta, per se' o per altri, regali o altre utilità, salvo quelli d'uso di modico valore effettuati occasionalmente nell'ambito delle normali relazioni di cortesia e nell'ambito delle consuetudini internazionali. In ogni caso, indipendentemente dalla circostanza che il fatto costituisca reato, il dipendente non chiede, per se' o per altri, regali o altre utilità, neanche di modico valore a titolo di corrispettivo per compiere o per aver compiuto un atto del proprio ufficio da soggetti che possano trarre benefici da decisioni o attività inerenti all'ufficio, ne' da soggetti nei cui confronti è o sta per essere chiamato a svolgere o a esercitare attività o potesta' proprie dell'ufficio ricoperto."'' (comma 2). ''"Il dipendente non accetta, per se' o per altri, da un proprio subordinato, direttamente o indirettamente, regali o altre utilità, salvo quelli d'uso di modico valore. Il dipendente non offre, direttamente o indirettamente, regali o altre utilità a un proprio sovraordinato, salvo quelli d'uso di modico valore."'' (comma 3). ''"I regali e le altre utilità comunque ricevuti fuori dai casi consentiti dal presente articolo, a cura dello stesso dipendente cui siano pervenuti, sono immediatamente messi a disposizione dell'Amministrazione per la restituzione o per essere devoluti a fini istituzionali."'' (comma 4). ''''Ai fini del presente articolo, per regali o altre utilità di modico valore si intendono quelle di valore non superiore, in via orientativa, a 150 euro, anche sotto forma di sconto. I codici di comportamento adottati dalle singole amministrazioni possono prevedere limiti inferiori, anche fino all'esclusione della possibilità di riceverli, in relazione alle caratteristiche dell'ente e alla tipologia delle mansioni."'' (comma 5). ''"Il dipendente non accetta incarichi di collaborazione da soggetti privati che abbiano, o abbiano avuto nel biennio precedente, un interesse economico significativo in decisioni o attività inerenti all'ufficio di appartenenza."'' (comma 6). ''"Al fine di preservare il prestigio e l'imparzialità dell'amministrazione, il responsabile dell'ufficio vigila sulla corretta applicazione del presente articolo."'' (comma 7). All'articolo 14 invece vi è una ampia e dettagliata disciplina in materia di Contratti e altri Atti Negoziali. ''"Nella conclusione di accordi e negozi e nella stipulazione di contratti per conto dell'amministrazione, nonche' nella fase di esecuzione degli stessi, il dipendente non ricorre a mediazione di terzi, ne' corrisponde o promette ad alcuno utilità a titolo di intermediazione, ne' per facilitare o aver facilitato la conclusione o l'esecuzione del contratto. Il presente comma non si applica ai casi in cui l'amministrazione abbia deciso di ricorrere all'attività di intermediazione professionale."'' (comma 1). ''"Il dipendente non conclude, per conto dell'amministrazione, contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento o assicurazione con imprese con le quali abbia stipulato contratti a titolo privato o ricevuto altre utilità nel biennio precedente, ad eccezione di quelli conclusi ai sensi dell'articolo 1342 del codice civile'' (Contratto concluso mediante moduli o formulari)''. Nel caso in cui l'amministrazione concluda contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento o assicurazione, con imprese con le quali il dipendente abbia concluso contratti a titolo privato o ricevuto altre utilità nel biennio precedente, questi si astiene dal partecipare all'adozione delle decisioni ed alle attività relative all'esecuzione del contratto, redigendo verbale scritto di tale astensione da conservare agli atti dell'ufficio."'' (comma 2). ''"Il dipendente che conclude accordi o negozi ovvero stipula contratti a titolo privato, ad eccezione di quelli conclusi ai sensi dell'articolo 1342 del codice civile, con persone fisiche o giuridiche private con le quali abbia concluso, nel biennio precedente, contratti di appalto, fornitura, servizio, finanziamento ed assicurazione, per conto dell'amministrazione, ne informa per iscritto il dirigente dell'ufficio."'' (comma 3). ''"Se nelle situazioni di cui ai commi 2 e 3 si trova il dirigente, questi informa per iscritto il dirigente apicale responsabile della gestione del personale."'' (comma 4). ''"Il dipendente che riceva, da persone fisiche o giuridiche partecipanti a procedure negoziali nelle quali sia parte l'amministrazione, rimostranze orali o scritte sull'operato dell'ufficio o su quello dei propri collaboratori, ne informa immediatamente, di regola per iscritto, il proprio superiore gerarchico o funzionale."'' (comma 5). Interessante è anche la normativa sulla Partecipazione ad associazioni e organizzazioni che ricalca la libertà di associarsi o meno che ha il Dipendente Privato tutelando però, allo stesso tempo, l'indipendenza funzionale della Pubblica Amministrazione (e in questo si differenzia dal Privato che può liberamente iscriversi dove vuole). L'articolo 5 dice: ''"Nel rispetto della disciplina vigente del diritto di associazione, il dipendente comunica tempestivamente al responsabile dell'ufficio di appartenenza la propria adesione o appartenenza ad associazioni od organizzazioni, a prescindere dal loro carattere riservato o meno, i cui ambiti di interessi possano interferire con lo svolgimento dell'attività dell'ufficio. Il presente comma non si applica all'adesione a partiti politici o a sindacati."'' (comma 1). ''"Il pubblico dipendente non costringe altri dipendenti ad aderire ad associazioni od organizzazioni, ne' esercita pressioni a tale fine, promettendo vantaggi o prospettando svantaggi di carriera."'' (comma 2). Per quanto riguarda la pubblicità di tale Codice l'articolo 17 dispone l'obbligo, in capo alle singole Pubbliche Amministrazione, di più ampia diffusione pubblicandolo sul proprio sito internet istituzionale e nella rete intranet, nonché trasmettendolo tramite e-mail a tutti i propri dipendenti e ai titolari di contratti di consulenza o collaborazione a qualsiasi titolo, anche professionale, ai titolari di organi e di incarichi negli uffici di diretta collaborazione dei vertici politici dell'amministrazione, nonché ai collaboratori a qualsiasi titolo, anche professionale, di imprese fornitrici di servizi in favore dell'amministrazione. L'amministrazione, contestualmente alla sottoscrizione del contratto di lavoro o, in mancanza, all'atto di conferimento dell'incarico, consegna e fa sottoscrivere ai nuovi assunti, con rapporti comunque denominati, copia del codice di comportamento (comma 1). Con le stesse modalità, le amministrazioni danno la più ampia diffusione ai codici di comportamento da ciascuna definiti ai sensi dell'articolo 54, comma 5, del D.Lgs. n. 165/2001 (comma 2). In conclusione va analizzato il sistema di controllo e sanzionatorio se viene violato. L'articolo 15 ci dice che il controllo sull'applicazione del Codice e dei Codici particolari di ogni Pubblica Amministrazione è dei dirigenti responsabili di ciascuna struttura, delle strutture di controllo interno e degli uffici etici e di disciplina (ai sensi dell'articolo 54, comma 6, del D.Lgs. n. 165/2001) (comma 1). Ci può essere la collaborazione dell'ufficio procedimenti disciplinari (istituito ai sensi dell'articolo 55-bis, comma 4, del D.Lgs. n. 165/2001) e i comitati o uffici etici eventualmente già istituiti (comma 2). Le attività dell'ufficio procedimenti disciplinari si conformano alle eventuali previsioni contenute nei piani di prevenzione della corruzione (adottati dalle amministrazioni ai sensi dell'articolo 1, comma 2, della L. n. 190/2012, n. 19) 0. L'ufficio procedimenti disciplinari, oltre alle funzioni disciplinari (di cui all'articolo 55-bis e seguenti del D.Lgs. n. 165/2001), cura l'aggiornamento del codice di comportamento dell'amministrazione, l'esame delle segnalazioni di violazione dei codici di comportamento, la raccolta delle condotte illecite accertate e sanzionate, assicurando le garanzie (di cui all'articolo 54-bis del D.Lgs. n. 165/2001). Il responsabile della prevenzione della corruzione cura la diffusione della conoscenza dei codici di comportamento nell'amministrazione, il monitoraggio annuale sulla loro attuazione (ai sensi dell'articolo 54, comma 7, del D.Lgs. n. 165/2001), la pubblicazione sul sito istituzionale e della comunicazione all'Autorità nazionale anticorruzione (di cui all'articolo 1, comma 2, della L. n. 190/2012), dei risultati del monitoraggio. Ai fini dello svolgimento delle attività, l'ufficio procedimenti disciplinari opera in raccordo con il responsabile della prevenzione (di cui all'articolo 1, comma 7, della L. n. 190/2012) (comma 3). Ai fini dell'attivazione del procedimento disciplinare per violazione dei codici di comportamento, l'ufficio procedimenti disciplinari può chiedere all'Autorità nazionale anticorruzione parere facoltativo (ai sensi dell'articolo 1, comma 2, lettera d), della L. n. 190/2012) (comma 4). Al personale delle pubbliche amministrazioni sono rivolte attività formative in materia di trasparenza e integrità, che consentano ai dipendenti di conseguire una piena conoscenza dei contenuti del codice di comportamento, nonché un aggiornamento annuale e sistematico sulle misure e sulle disposizioni applicabili in tali ambiti (comma 5). Le Regioni e gli enti locali, definiscono, nell'ambito della propria autonomia organizzativa, le linee guida necessarie per l'attuazione dei principi (comma 6). Dall'attuazione delle disposizioni dette non devono derivare nuovi o maggiori oneri a carico della finanza pubblica. Le amministrazioni provvedono agli adempimenti previsti nell'ambito delle risorse umane, finanziarie, e strumentali disponibili a legislazione vigente (comma 7). L'articolo 16, invece, la disciplina le conseguenze alla violazione del Codice. Se un lavoratore pubblico viola il Codice compie comportamenti che vanno contro i doveri d'ufficio. Oltre alla responsabilità penale, civile, amministrativa o contabile che il singolo comportamento può comportare, la violazione del Codice comporta anche responsabilità disciplinare nel rispetto dei principi di gradualità e proporzionalità delle sanzioni (comma 1). Per la determinazione del tipo e dell'entità della sanzione disciplinare bisogna valutare la violazione nel singolo caso con riguardo alla gravità del comportamento e all'entità del pregiudizio, anche morale, derivatone al decoro o al prestigio dell'amministrazione di appartenenza. Le sanzioni applicabili sono quelle previste dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi, incluse quelle espulsive anche se esclusivamente nei casi gravi di violazione delle disposizioni di cui agli articoli 4, qualora concorrano la non modicità del valore del regalo o delle altre utilità e l'immediata correlazione di questi ultimi con il compimento di un atto o di un'attività tipici dell'ufficio, 5, comma 2 (costrizione o proselitismo ad aderire ad associazioni o organizzazioni verso altri dipendenti), 14, comma 2, primo periodo (contratti o altri negozi con chi ha concluso contratti anche in privato) oltre che hai casi di recidiva negli illeciti di cui agli articoli 4, comma 6 (accettazione di incarichi con chi ha concluso un contratto), 6, comma 2 (conflitto d'interesse), esclusi i conflitti meramente potenziali, e 13, comma 9, primo periodo (la diffusione di notizie da parte del dirigente). I contratti collettivi possono prevedere ulteriori criteri di individuazione delle sanzioni applicabili (comma 2). Resta ferma la comminazione del licenziamento senza preavviso per i casi già previsti dalla legge, dai regolamenti e dai contratti collettivi (comma 3) e gli ulteriori obblighi e le conseguenti ipotesi di responsabilità disciplinare dei pubblici dipendenti previsti da norme di legge, di regolamento o dai contratti collettivi (comma 4). == Casistica e Giurisprudenza sul Obblighi del Lavoratore e il Codice di Comportamento == Analizzate le varie questioni dal Punto di Vista Normativo può essere interessante vedere come aggisce la Pubblica Amministrazione e la Giurisprudenza nei casi concreti di applicazione di queste norme. Analizzeremo quindi alcuni casi famosi e non, sulla questione. Un caso balzato agli onore della cronaca e che può farci vedere come una Pubblica Amministrazione (in questo Caso la Massima Amministrazione e cioè la Presidenza del Consiglio) operi in attuazione di un dettato del Codice di Comportamento è quello dei Cronografi "Rolex" regalati dai Sovrani Sauditi alla Delegazione Italiana durante una visita di Stato del Presidente del Consiglio Renzi l'8 Gennaio 2016 a Ryad. Dietro questa vicenda ci sono ancora vari misteri soprattutto perché si parla di una presunta rissa tra Delegazione e Guardie del Corpo per accaparrarsi questi Rolex quel che va detto è che in sostanza gioca qui l'articolo 4 del Codice di Comportamento. Secondo tale articolo sicuramente i dipendenti pubblici della delegazione non potevano prendere regali sicuramente di misura maggiore ai 150 euro (valgono sui 3.000-4.000 euro) (comma 5) neppure se proveniente da una consuetudine internazionale e quindi legittima (comma 3). L'attuazione dell'articolo 4, anche se mai esplicitata, sembra comunque essere avvenuta, almeno in modo implicito, dalla Presidenza del Consiglio che ha deciso di avocare a sé la disponibilità di tali regali attuando di fatto il comma 4 dell'articolo 4. Un altro caso, anche questo recente, si è verificato nel Marzo 2016 a Riccione dove una dipendente comunale alla prima di un film ha definito i ragazzi di una Associazione Onlus Persone Down come "mongoli". Il Comune ha subito intrapreso una azione disciplinare per violazione del dovere di non discriminazione che ogni dipendente pubblico ha (articolo 3 comma 5 del Codice di Comportamento). Il Procedimento sembrerebbe non aver ancora avuto una soluzione. Per quanto riguarda invece l'Obbligo di Fedeltà, un caso di Brindisi, avvenuto nel Febbraio 2016, può essere esplicativo. Dopo una ispezione dei Nas di Taranto in un poliambulatorio locale si è scoperto che alcuni medici di ospedali locali lavoravano nello stesso indebitamente. Un radiologo aveva svolto attività lavorativa in quel centro in giorni in cui era assente dall'ospedale per malattia. Le visite fiscali inviate dalla direzione dell'Asl erano state effettuate da un medico del dipartimento che effettuava anche attività lavorativa libero professionale nel medesimo centro privato in cui operava il radiologo (che aveva peraltro l'incarico di responsabile sanitario del centro), contravvenendo al codice di comportamento dei dipendenti pubblici in tema d'incompatibilità per conflitto d'interessi. Infine, un dermatologo e un'anestesista, invece è stato accertato che avevano svolto, arbitrariamente, visite mediche in libera professione nel poliambulatorio, nonostante avessero optato per un rapporto di esclusività con l'Asl. I medici hanno continuato a percepire indebitamente l'indennità mensile aggiuntiva dell'esclusività. Al di là del procedimento penale di cui si sta occupando la procura della Repubblica di Brindisi e della restituzione all'Asl le indennità indebitamente percepite ammontanti a diverse decine di migliaia di euro, i dipendenti pubblici hanno subito anche un procedimento disciplinare che ha comportato a diverse sanzioni. Per il radiologo è stato disposto il licenziamento, per l'anestesista e il medico del dipartimento di prevenzione la sospensione dal servizio senza retribuzioni fino a dodici giorni. Per il dermatologo è stato avviato il procedimento ma non è stata irrogata alcuna sanzione perché sta per andare in pensione. Interessante, come caso giurisprudenziale, in ultimo, è quello avvenuto ad un docente di una scuola secondaria di secondo grado di Milano al quale è stato conferito una pesante sanzione disciplinare, pari a sei mesi di sospensione. I fatti contestati riguardavano: * Uso di linguaggio volgare ed offensivo nei riguardi degli alunni. * Abuso di note disciplinari sul registro di classe. * Incapacità di relazionarsi con gli studenti e di gestire la disciplina. * Atteggiamenti scorretti nei confronti dei colleghi. * Grave turbativa nell'ambiente scolastico per forte disagio e malcontento suscitato negli allievi. * Pesante pregiudizio del rapporto fiduciario scuola famiglia. Tra le condotte contestate vi rientrano anche l'utilizzo improprio di Facebook. La Sentenza del 14 dicembre 2015 del Tribunale di Milano dice infatti: ''"Nemmeno il ricorrente ha negato di avere pubblicato su Facebook la frase "Nella scuola pubblica italiana va avanti solo il lecchinaggio, di gente che, per preservarsi la cattedra sul sostegno, lecca il fondo schiena al dirigente, per mettere il bastone tra le ruote al collega.VERGOGNA!!!!"''. Il Giudice così motivava ''"sono da solidi gravità tale da giustificare la sanzione conservativa della sospensione dall'attività per mesi sei, prevista dall'art. 495 D.Lgs. n. 297 del 1994 per gravi violazioni dei doveri, delle responsabilità e della correttezza inerenti alla funzione docente, poiché concretano condotte oggettivamente lesive della dignità degli alunni e dell'insegnante L., nonché dell'immagine dell'istituzione scolastica. Le condotte del ricorrente non possono ritenersi giustificate da reazioni indisciplinate degli alunni.'' ''Oltre a non essere risultato in causa alcuno specifico comportamento direttamente lesivo della dignità o della persona del Prof. A. posto in essere dagli alunni, è evidente come rientri tra i doveri inerenti al corretto svolgimento delle mansioni di docente esercitare il proprio controllo, anche disciplinare in maniera equilibrata e nei limiti della continenza verbale.'' ''L'irrogazione della sanzione nella misura massima risulta altresì giustificata dalla recidiva, specificamente contestata al ricorrente (sospensione dall'insegnamento per la durata di mesi tre (...). Vanno dunque rigettate le censure di sproporzione della sanzione svolte dalla parte ricorrente"''. {{Diritto del lavoro pubblico}} 0ilodhbx6rq71byqqm6jp4c5gg8ni5y 0 18866 285974 120162 2026-08-08T07:14:32Z Buonsabatodaquinlan83 46846 285974 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Antipasti (Cucina e alimentazione)|avanzamento=100%}} La '''Fonduta al Quinlan83 sal ame''', analogamente alla fonduta al raschera è un ottimo piatto consumato così com'è, ma in realtà si tratta di un semilavorato. Questa fonduta dal sapore salato e molto profumato è perfetta come condimento degli gnocchi. Nel cuneese gli gnocchi al castelmagno sono un piatto tipico e il modo migliore per realizzare questo connubio è proprio quello di fare una fonduta. Il castelmagno è un formaggio di malga molto raro perché prodotto solo nei dintorni dell'alpe Chaslar a 1.800 metri nella valle omonima, non lontana dal capoluogo (Cuneo). Si presenta sempre in una forma stagionata ed ha la caratteristica di sbriciolarsi facilmente. == Informazioni Generali == === Castelmagno === [[File:Castelmagno (formaggio).jpg|miniatura|sinistra|Il Castelmagno]] Il '''Castelmagno''' è un formaggio italiano a denominazione di origine protetta, prodotto nel territorio dei comuni di Castelmagno, Pradleves e Monterosso Grana. ==== Descrizione ==== Si tratta di un formaggio a pasta semidura, erborinata, prodotto in forme cilindriche con diametro fra i quindici ed i venticinque centimetri, scalzo fra i dodici ed i venti e peso compreso tra i due ed i sette chilogrammi. La crosta, piuttosto fine, è giallo-brunastra, con varianti più scure a seconda della stagionatura, mentre la pasta è bianca o tendente al giallognolo, giallo oro se stagionata, con rare venature verdi dovute all'erborinatura. ==== Produzione ==== [[File:Castelmagno with truffle honey.jpg|miniatura|destra|Castelmagno con miele]] È prodotto principalmente con latte vaccino prodotto di due mungiture consecutive (serale e mattutina), talvolta addizionato con latte caprino od ovino in percentuali che non superano mai il 20%. Il latte, dopo l'addizione di caglio di vitello, viene portato ad una temperatura variabile tra i 35 °C ed i 38 °C. Dopo la rottura della cagliata, si procede alla pressatura della forma ed al suo avvolgimento in un telo asciutto, viene appesa ed infine posta in contenitori appositi. Terminata questa prima fase, si procede nuovamente alla rottura delle forme, che vengono salate, poste in fascere cilindriche e pressate. La stagionatura avviene in locali freschi ed asciutti, oppure in grotte che presentino naturalmente queste caratteristiche. ==== Consumo ==== Il Castelmagno è utilizzato nella cucina piemontese per la preparazione di diversi piatti, primi fra tutti gli gnocchi di patate, conditi con formaggio Castelmagno fuso. È anche spesso gustato come formaggio da tavola, puro o con miele. ==== Storia ==== Il primo documento in cui viene citato esplicitamente è una sentenza arbitrale del 1277 con la quale si imponeva al comune di Castelmagno il pagamento di un canone annuale al marchese di Saluzzo, da effettuarsi in forme di formaggio Castelmagno anziché denaro. Altro documento storico in cui viene citato il pregiato formaggio è un decreto di re Vittorio Amedeo II che ordinava, nel 1722, la fornitura di forme di Castelmagno al feudatario locale. Al di là delle citazioni documentali, si ipotizza che la produzione del Castelmagno nella sua forma attuale sia iniziata intorno all'anno mille[2], anche se non si possono avere prove certe in questo senso. == Ricetta == === Ingredienti === Per 4 persone: * 100 grammi castelmagno. * 100 grammi di panna. * 1 rosso d'uovo. === Preparazione === # Grattugiare finemente il formaggio per facilitarne la fusione con la panna, mettere in un piccolo tegame (14 cm.) dai fianchi alti e ricoprire di panna. # Porre il tegame sul fuoco a bagnomaria e mescolare fino a che è completamente fuso e la miscela ha incorporato un poco di aria (si sente il rumore caratteristico scuotendo il cucchiaio). # Quando la miscela è perfettamente omogenea spegnere il fuoco ed aggiungere il rosso d'uovo sbattuto con un goccino d'acqua, continuando a mescolare e rimettere per circa un minuto nel bagnomaria. # A questo punto la fonduta è pronta per l'utilizzo che deve avvenire nei primi minuti immediatamente successivi, perché raffreddandosi tende rapidamente a raddensare. === Consigli e regolazioni === Se la fonduta appare troppo liquida è possibile aggiungere poca farina (1/2 cucchiaino) o un po' d'olio per raddensare. it4jmiwb2zqm9dad1krirgxfvw7iyvx 285984 285974 2026-08-08T07:37:19Z WikiBayer 26175 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/Buonsabatodaquinlan83|Buonsabatodaquinlan83]] ([[User talk:Buonsabatodaquinlan83|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Gius195|Gius195]] 120162 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Antipasti (Cucina e alimentazione)|avanzamento=100%}} La '''Fonduta al Castelmagno''', analogamente alla fonduta al raschera è un ottimo piatto consumato così com'è, ma in realtà si tratta di un semilavorato. Questa fonduta dal sapore salato e molto profumato è perfetta come condimento degli gnocchi. Nel cuneese gli gnocchi al castelmagno sono un piatto tipico e il modo migliore per realizzare questo connubio è proprio quello di fare una fonduta. Il castelmagno è un formaggio di malga molto raro perché prodotto solo nei dintorni dell'alpe Chaslar a 1.800 metri nella valle omonima, non lontana dal capoluogo (Cuneo). Si presenta sempre in una forma stagionata ed ha la caratteristica di sbriciolarsi facilmente. == Informazioni Generali == === Castelmagno === [[File:Castelmagno (formaggio).jpg|miniatura|sinistra|Il Castelmagno]] Il '''Castelmagno''' è un formaggio italiano a denominazione di origine protetta, prodotto nel territorio dei comuni di Castelmagno, Pradleves e Monterosso Grana. ==== Descrizione ==== Si tratta di un formaggio a pasta semidura, erborinata, prodotto in forme cilindriche con diametro fra i quindici ed i venticinque centimetri, scalzo fra i dodici ed i venti e peso compreso tra i due ed i sette chilogrammi. La crosta, piuttosto fine, è giallo-brunastra, con varianti più scure a seconda della stagionatura, mentre la pasta è bianca o tendente al giallognolo, giallo oro se stagionata, con rare venature verdi dovute all'erborinatura. ==== Produzione ==== [[File:Castelmagno with truffle honey.jpg|miniatura|destra|Castelmagno con miele]] È prodotto principalmente con latte vaccino prodotto di due mungiture consecutive (serale e mattutina), talvolta addizionato con latte caprino od ovino in percentuali che non superano mai il 20%. Il latte, dopo l'addizione di caglio di vitello, viene portato ad una temperatura variabile tra i 35 °C ed i 38 °C. Dopo la rottura della cagliata, si procede alla pressatura della forma ed al suo avvolgimento in un telo asciutto, viene appesa ed infine posta in contenitori appositi. Terminata questa prima fase, si procede nuovamente alla rottura delle forme, che vengono salate, poste in fascere cilindriche e pressate. La stagionatura avviene in locali freschi ed asciutti, oppure in grotte che presentino naturalmente queste caratteristiche. ==== Consumo ==== Il Castelmagno è utilizzato nella cucina piemontese per la preparazione di diversi piatti, primi fra tutti gli gnocchi di patate, conditi con formaggio Castelmagno fuso. È anche spesso gustato come formaggio da tavola, puro o con miele. ==== Storia ==== Il primo documento in cui viene citato esplicitamente è una sentenza arbitrale del 1277 con la quale si imponeva al comune di Castelmagno il pagamento di un canone annuale al marchese di Saluzzo, da effettuarsi in forme di formaggio Castelmagno anziché denaro. Altro documento storico in cui viene citato il pregiato formaggio è un decreto di re Vittorio Amedeo II che ordinava, nel 1722, la fornitura di forme di Castelmagno al feudatario locale. Al di là delle citazioni documentali, si ipotizza che la produzione del Castelmagno nella sua forma attuale sia iniziata intorno all'anno mille[2], anche se non si possono avere prove certe in questo senso. == Ricetta == === Ingredienti === Per 4 persone: * 100 grammi castelmagno. * 100 grammi di panna. * 1 rosso d'uovo. === Preparazione === # Grattugiare finemente il formaggio per facilitarne la fusione con la panna, mettere in un piccolo tegame (14 cm.) dai fianchi alti e ricoprire di panna. # Porre il tegame sul fuoco a bagnomaria e mescolare fino a che è completamente fuso e la miscela ha incorporato un poco di aria (si sente il rumore caratteristico scuotendo il cucchiaio). # Quando la miscela è perfettamente omogenea spegnere il fuoco ed aggiungere il rosso d'uovo sbattuto con un goccino d'acqua, continuando a mescolare e rimettere per circa un minuto nel bagnomaria. # A questo punto la fonduta è pronta per l'utilizzo che deve avvenire nei primi minuti immediatamente successivi, perché raffreddandosi tende rapidamente a raddensare. === Consigli e regolazioni === Se la fonduta appare troppo liquida è possibile aggiungere poca farina (1/2 cucchiaino) o un po' d'olio per raddensare. aeywrim0tph5r134d6ghj5x3xf662aa 0 25860 285949 283980 2026-08-07T15:25:32Z Dette886 46734 /* Bibliografia */ 285949 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Storia della musica|avanzamento=100%}} [[File:Porrectus.svg|alt=|sinistra|miniatura|Neuma plurisonico]] La riforma gregoriana sostituì lo studio dei testi alla trasmissione orale delle scuole di canto delle origini, sacrificando, oltre alle particolarità regionali (alcune delle quali, specialmente quelle di derivazione mozarabica, particolarmente ricche) e all'intonazione microtonale (che esisteva ancora nel rito vetero-romano) anche il ruolo dell'improvvisazione. Allo stesso tempo si creò la necessità di "annotare" i testi scritti in modo da aiutare i cantori ad eseguire le musiche sempre nello stesso modo, con una linea melodica che indicava la sua direzione, ascensionale o discensionale. Quest'esigenza fece nascere segni particolari (i neumi, pare nati dai gesti del direttore del coro) che, annotati tra le righe dei codici, rappresentavano l'andamento della melodia, come già detto (ma lasciando liberi intonazione e ritmo). La scrittura neumatica divenne così la prima forma di "notazione" - da cui poi la "nota" musicale moderna. ==Notazione sangallese== [[Immagine:Tu es deus.jpg|thumb|upright=1.6|sinistra|Il Graduale ''Tu es Deus'' del ''Cantatorium'' Codex Sangallensis 359]] [[Immagine:GTAlleluia.JPG|thumb|upright=1.6|L'Alleluia ''Laudate pueri'' tratto dal Graduale Triplex. Sotto la notazione quadrata, in rosso, la notazione sangallese.]] La '''notazione sangallese''' è una maniera di annotare il canto gregoriano. È la notazione più antica, più conosciuta e più studiata per chi affronta lo studio della musica antica. Si è sviluppata nell'Abbazia di San Gallo in Svizzera e si è diffusa nell'ambiente germanico e più in generale nell'Europa centrale. La tradizione leggendaria però, anche se non sembra avere fondamento, vuole che la fonte dei neumi dell'abbazia fondata nel 725, sia stata Roma stessa attraverso l'opera del cantore Romanus. La notazione sangallese è una notazione di tipo adiastematico: i neumi sono scritti in campo aperto senza il riferimento del rigo musicale e resta tra le più ricche di indicazioni preziose per l'interpretazione del canto gregoriano ed il suo studio s'impone a chiunque voglia conoscere a fondo il canto gregoriano.<br/> Il codice più antico, il codice C St. Gallen 359, è un ''cantatorium'' che risale all'inizio del X secolo.<br/> Il ''Graduale Triplex'' riporta in inchiostro rosso, sempre sotto la notazione quadrata e sotto la notazione metense in nero i neumi della scuola di san Gallo, permettendo la lettura sinottica. ==Notazione metense== [[Immagine:GTAlleluia.JPG |thumb|upright=1.6|L'Alleluia ''Laudate pueri'' tratto dal Graduale Triplex. Sopra la notazione quadrata, in nero, la notazione metense.]] La '''notazione metense''' o '''lorenese''' o '''di Laon''' è una maniera di annotare il canto gregoriano. Si è sviluppata nella Francia settentrionale e ha preso il nome dalla città di Metz, anche se l'aggettivo ''metense'' risulta inappropriato: infatti a Metz non è mai esistita una scuola scrittoria. La regione in cui è nata nel IX secolo e si diffuse è la Lorena meridionale ed il codice più importante pervenutoci, il manoscritto 239 ('''L''') conservato nella ''Bibliothèque Municipale'' di Laon e risalente all'anno 930 circa, proviene da Laon, per questo la notazione è detta anche ''di Laon''.<br/> La notazione metense si diffuse anche in territori lontano dalla Lorena: in Italia la troviamo a Como e a Vercelli. La caratteristica principale di questa notazione, sta nell'ondulazione del tratto. Significativo rappresentante è il neuma monosonico detto ''uncinus'' ([[Immagine:Bivirga Laon.png]]), la cui dimensione è variabile a seconda del valore della nota cui corrisponde. Riducendo le dimensioni si ottiene la semplice forma del punctum, il cui valore sarà estremamente ridotto.<br/> Questa notazione è ''adiastematica'', cioè non dà informazioni sull'altezza melodica dei suoni, ma nella grafia è presente una certa diastemazia, seppur relativa e solo accennata, che non potrà essere considerata determinante nell'interpretazione, ma che comunque può aiutare a risolvere problemi interpretativi.<br/> Un'altra caratteristica è l'assenza di episema, contrariamente alla notazione sangallese, ma abbondante è l'uso delle litterae significativae. Il ''Graduale Triplex'' riporta in inchiostro nero, sempre sopra la notazione quadrata e sotto la notazione sangallese in rosso, indicato con la lettera L, i neumi del codice 239, permettendo la lettura sinottica.<br/> I neumi monosonici in questa notazione hanno una tipica forma all'uncino, detti appunto ''uncinus'', spesso con grandezza proporzionale all'intensità sonora con cui vanno intonati. '''Neumi:''' * Punctum * Uncinus * Pes * Clivis * Torculus * Porrectus * Pes quassus '''Lettere Significative:''' * ''t'' * ''a'' * ''c'' ==Notazione quadrata== [[Immagine:Diast.jpg|thumb|Rigo musicale a due linee della scuola beneventana.]] [[Immagine:Graduale Aboense.jpg|thumb|Neuma quadrato su tetragramma del codice Alboense, XIV secolo.]] [[File:Liber Responsorialis 1895 p054.jpg|thumb|La notazione quadrata del ''Liber Responsorialis'', 1895.]] La '''notazione quadrata''', detta anche '''notazione vaticana''', è una maniera di annotare il canto gregoriano. È la notazione più recente, apparsa nell'XI secolo ed impropriamente attribuita a Guido d'Arezzo. È anche la più conosciuta, anche se oggi si preferisce avvalersi anche di altri sistemi di notazione, sia la metense e la sangallese in modo particolare come avviene nel Graduale Triplex, per un confronto ed un approfondimento dal punto di vista semiologico. I più antichi sistemi di annotazione erano detti ''adiastematici'': i neumi erano scritti in campo aperto e non veniva riportata nessuna indicazione per quanto riguarda la posizione melodica delle note. Tuttavia, a poco a poco, si manifestò una ricerca di ''diastemazia'', ossia di precisione nella notazione degli intervalli. I neumi, ancora in campo aperto, furono disposti su differenti livelli poi fissati in modo rigoroso attorno ad una linea tracciata con punta secca. Questa linea, riservata prima solo all'orientamento del notatore, fu presto colorata, poi si videro apparire righi a due o tre linee prima che il numero fosse definitivamente fissato a quattro. ===Il tetragramma=== [[Immagine:Deus in adjutorium.png|center]] Il rigo della notazione quadrata è composto da quattro linee e tre spazi interlineari e prende il nome di tetragramma. Sia le linee che gli spazi si contano dal basso verso l'alto.<br/> Generalmente l'ambitus delle melodie gregoriano è assai poco sviluppato e perciò quattro linee sono sufficienti. Se la melodia supera l'ambito delimitato dal tetragramma, si può aggiungere una linea supplementare al di sopra oppure al di sotto del tetragramma, oppure si sposta o si cambia la chiave. ===Le chiavi=== {|align=center border= |- |[[Immagine:c clef neume.gif]] || || [[Immagine:f clef neume.gif]] |- |<u>Chiave di DO</u> || || <u>Chiave di FA</u> |} Le chiavi di lettura delle note sono due: quella di DO e quella di FA, raffigurate con una stilizzazione grafica delle lettere C ed F, secondo l'antico uso di indicare le note. La posizione delle chiavi sul tetragramma non è fissa. La chiave di DO si può trovare raramente sulla seconda linea, indifferentemente sulla terza o sulla quarta, mai sulla prima. La chiave di FA la si trova sulla terza linea, una volta sulla quarta, nell'offertorio ''Veritas mea'', mai sulla prima e sulla seconda. {|align=center border= |- |[[Immagine:Clef Ut 3ème ligne.png]] || || || || [[Immagine:Clef Fa 4ème ligne.png]] |} ===Le alterazioni=== Nel canto gregoriano viene utilizzata una sola alterazione, il bemolle e solo davanti al SI. [[Immagine:Flat neume.gif|center]] L'effetto del bemolle persiste: fino a che non intervenga un bequadro, un qualsiasi tipo di stanghetta, un'altra parola. ===La guida=== [[File:Custos.gif |center]] La guida o ''custos'' è un segno che annuncia la posizione della nota seguente. Viene utilizzata in due casi: alla fine del rigo, come annuncio in anticipo della prima nota del rigo seguente, oppure nel corso del rigo quando viene cambiata la chiave.<br/> In entrambi i casi non deve essere cantata. ===Le stanghette=== {|align=center border= |- |[[File:StQuarto.jpg]] || || [[File:StMezza.jpg]] || || [[File:StIntera.jpg]] || || [[File:StDoppia.jpg]] |- |<u>Quarto di stanghetta</u> || || <u>Mezza stanghetta</u> || || <u>Stanghetta intera</u> || || <u>Doppia stanghetta</u> |} Le stanghette sono utilizzate per punteggiare le frasi melodico-verbali, indicando la gerarchia in cui le frasi stesse si trovano. Non hanno quindi valore ritmico o mensurale. *Il '''Quarto di stanghetta''' o '''Divisio minima''' all'interno del periodo musicale, delimita un inciso. *La '''Mezza stanghetta''' o '''Divisio minor''' delimita un membro, costituito da più incisi. *La '''Stanghetta intera''' o '''Divisio maior''' chiude un periodo musicale che spesso coincide con la conclusione di una frase letteraria. *La '''Doppia stanghetta''' o '''Divisio finalis''' stabilisce la conclusione del pezzo oppure l'alternarsi di un coro con un altro o del coro col solista. ===L'asterisco e la crocetta=== L'asterisco ( '''*''' ) lo si incontra dopo l'intonazione dei pezzi e sta ad indicare il momento della melodia in cui il coro si unisce al solista che intona.<br/> Nella salmodia serve per delimitare due emistichi di un versetto indicando la cadenza mediana. Lo si trova infine anche nell'ultimo ''eleison'' del Kyrie quando l'ultima invocazione è formata da due incisi. Il doppio asterisco ( '''**''' ) lo si incontra solo nell'ultima invocazione del Kyrie ed indica il momento in cui i due semicori si uniscono. La crocetta ( '''†''' ) sta ad indicare la cesura minima o ''flexa'' all'interno del primo emistichio di un versetto salmodico. ==Bibliografia== Marco Rosin, ''[https://www.iltamnsy.net/Score-1/breve-storia-della-semiografia-musicale_marco_rosin.html Breve storia della semiografia musicale in occidente]'', Nuove Musiche, 2026. oht3us08i537xf41gy183o7bdizro14 0 31823 285977 269604 2026-08-08T07:16:15Z Buonsabatodaquinlan83 46846 285977 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva | avanzamento = salumiere }} La cifra di merito del sonar, indicata con la sigla <math>CM </math>, rappresenta il massimo valore della perdita di trasmissione che consente la scoperta di una sorgente acustica, d'intensità prefissata, con le desiderate probabilità di rivelazione <math>(Priv.)</math> e di falso allarme <math>(Pfa.)</math>; maggiore sarà il valore di <math>CM</math> migliori saranno le prestazioni del sonar. == Algoritmi per il calcolo della CM di un sonar passivo == ===Definizione degli algoritmi=== In termini logaritmici (deciBel) la <math> CM </math> di un sonar passivo è definita dall'espressione: <math> CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> dove: *<math> SL' = </math> livello di pressione emesso dalla [[Rumore delle navi|sorgente acustica]] ricevuta, espresso in banda <math>BW</math><ref> Il livello<math> LS'</math>, espresso in banda <math> BW </math>, è indicato con l'apostrofo per distinguerlo dal valore spettrale <math> LS </math> espresso invece in banda di <math>1 Hz </math>. </ref> *<math> DI =</math> [[Base idrofonica|guadagno di direttività]] della base acustica del sonar. *<math> DT = </math> [[Impostazione della soglia di rivelazione del sonar|soglia di rivelazione]] impostata nel [[Ricevitore in correlazione|ricevitore del sonar]]. *<math> NL = </math> livello spettrale del rumore ambiente generato dalla somma del [[stato del mare|rumore del mare]] <math> Nm </math> e del rumore proprio del battello <math> Np</math>, che raggiunge la [[Base idrofonica|base ricevente]] attraverso il fissaggio di quest'ultima alla piattaforma; si scrive: <math> NL = Nm\ + \ Np </math> Parte di questa espressione, il termine <math> (NL - DI) </math>, viene utilizzata per il controllo della funzionalità del sonar e della piattaforma, secondo l'impostazione di una particolare funzione di progetto indicata con la lettera <math> k = f(NL \ ; \ DI) </math> ===Analogie=== Prima di addentrarci nei calcoli è utile rimarcare che l'algoritmo del <math> CM</math> è l'analogo della seconda equazione del sistema trascendente impiegato per il calcolo della portata di un sonar passivo: <math>\begin{cases} TL = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> Infatti con l'equazione menzionata si calcola l'attenuazione massima <math> TL</math> consentita al segnale del bersaglio sotto particolari condizioni, così come con il calcolo del <math> CM</math>. Le due equazioni sono identiche salvo l'indicazione del livello della sorgente che nel sistema è indicato in <math> SL \ : \ \mu Pa / {\sqrt{Hz}} /1 \ m </math> <ref> indica il livello spettrale</ref> dato che il peso della banda del segnale, <math> 10 \ \log_{10}{ BW }</math>, è aggiunto come somma, mentre per il <math> CM</math> si indica con <math> SL' \ : \ \mu Pa / BW /1 \ m </math> comprensivo del peso della banda. == Comportamento della CM in funzione delle sue variabili == La cifra di merito del sonar passivo s'incrementa, ad esempio, quando il livello della sorgente <math> SL' </math> cresce; infatti se la sorgente acustica emette più rumore, maggiore potrà essere la perdita di trasmissione accettata dal sonar con conseguente incremento della portata di scoperta. La <math>CM </math> decresce invece con il decremento dell'indice di direttività <math>DI</math>; ciò per il fatto che, se il <math>DI</math> diminuisce, aumenta il rumore captato dalla base con la conseguenza di un peggioramento delle prestazioni di scoperta. Analogamente un incremento del rumore <math> NL = Nm\ + \ Np </math> ( sia di <math> Nm </math> che di <math> Np </math>) o un aumento voluto della soglia di rivelazione <math>DT</math> portano ad una diminuzione della <math> CM </math>, con la conseguenza di una riduzione della portata di scoperta. Dato che un incremento del rumore proprio <math> Np, </math> che giunge alla base ricevente tramite il fissaggio a scafo di quest'ultima, provoca una riduzione della portata di scoperta, il controllo periodico dell'addendo della cifra di merito, <math> (NL - DI)</math>, è utile affinché le prestazioni del sonar non si degradino all'insaputa dell'operatore. Il controllo di <math> ( NL - DI )</math> consente inoltre la verifica dell'integrità della base ricevente che, se alterata da guasti parziali ed imprevisti, con il conseguente decremento del <math>DI</math>, può a sua volta provocare una riduzione delle prestazioni del sonar. ==Considerazioni numeriche sulla CM <ref>Le procedure per le computazioni delle [[Portata di scoperta del sonar|portate di scoperta]] fanno riferimento alle seguenti variabili: f1 = 4000 Hz; f2 = 6000 Hz; BW = 2000 Hz; d * = 1; Priv. = 50%; Pfa. = 20% ; propagazione sferico-cilindrica </ref> == ===Sonar passivo installato su di un battello ideale=== Un battello ideale <ref>Condizione presa a modello per evidenziare le variazioni della <math>CM</math> </ref> non trasmette rumore alla base ricevente; in questo caso la variabile <math>NL</math> è dovuta soltanto al rumore del mare <math> Nm </math>; se in tali condizioni assumiamo ad esempio: *<math>SL' = + 150 \ dB/\mu Pa / BW / 1 \ m</math> *<math>DI = 20 \ dB </math> *<math>DT = 15 \ dB</math> *<math>NL = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz </math> (soltanto rumore del mare) si ha: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> = <math> 150 - (55 - 20) - 15 </math> = <math>100 \ dB</math>. Con questo valore di <math>CM</math> il sonar può contare su di un notevole margine di attenuazione del rumore emesso dal bersaglio; tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] di <math>R = 67 \ km</math> ; risultato ottenuto con la soluzione del sistema trascendente visto all'inizio. ===Sonar passivo installato su di un battello reale=== Un battello reale trasmette rumore alla base ricevente; in questo caso la variabile <math>NL</math> è dovuta alla somma del rumore del mare <math> Nm </math> e del rumore del battello <math> Np</math>. Supponiamo che siano: *<math>Nm = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz </math> *<math>Np = + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math> *<math> SL' = + 150 \ dB/\mu Pa/BW / 1 \ m</math> *<math>DI = 20 \ dB </math> *<math>DT = 15 \ dB</math> sarà: <math> NL = Nm + Np </math> = <math> + 55 \ dB/\mu Pa/Hz + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math> = <math>( 55 + 10 ) = 65 \ dB /\mu Pa/Hz </math> da cui: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT</math> = <math> 150 - (65 - 20) - 15 = 90 \ dB </math> Con questo valore di <math>CM</math> il sonar può contare ancora su di un discreto margine di attenuazione; tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] di <math>R = 43 \ km.</math> ; anche in questo esempio con la soluzione del sistema trascendente visto all'inizio. ===Battello reale con base ricevente avente alcuni sensori in avaria=== Se un guasto alla base del sonar riduce il <math> DI </math> da <math> 20 \ dB</math> a <math>18 \ dB </math>, ferme restando le variabili esposte in precedenza, si ha: <math> SL' = + 150 \ dB/\mu Pa/BW / 1 \ m</math> <math> DI = 18 \ dB </math> <math>DT = 15 \ dB </math> <math> NL = Nm + Np </math> = <math>+55 \ dB/\mu Pa/Hz + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math>= <math> 65 \ dB </math> da cui: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> = <math> 150 - (65 - 18) - 15 </math> = <math> 88 \ dB </math> Con questo valore di <math>CM</math> il sonar ha un margine di attenuazione del rumore emesso dal bersaglio sensibilmente inferiore rispetto ai due valori precedenti. Tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] <math>R = 39 \ km</math> ; risultato ottenuto come in precedenza. Gli esempi numerici mostrano come, con il degrado della <math> CM </math>, la portata di scoperta del sonar si riduce da <math>R = 67 \ km</math> ad un minimo di <math> R = 39 \ km </math>. == Osservazioni sul binomio ( NL-DI ) == Le computazioni condotte in precedenza mostrano come il degrado della <math>CM </math>, in qualsiasi condizione ambientale, dipenda dall'alterazione del binomio <math> (NL - DI) </math>. Per mettere in evidenza le variabili oggetto del decadimento del <math>CM </math> è utile separare quelle che dipendono dal battello e dalla sua base acustica da quella dovuta al rumore del mare; si può scrivere: <math> (NL - DI) = (Nm + Np - DI) </math> = <math> Nm + (Np - DI) </math> isolando la variabile <math> Nm </math> da quella relativa al binomio <math> (Np \ - \ DI) </math>. Queste variabili dipendono rispettivamente dalla piattaforma e dalla base acustica del sonar e sono legate tra loro tramite la seguente funzione indicata con il simbolo <math> k</math>: <math> k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> Nm - (Nm + Np - DI) </math> = <math> DI - Np </math>. Come vedremo la funzione <math> k </math> è strutturata per essere facilmente calcolata dopo opportuni rilievi acustici in mare. ==Sui valori della funzione k == Il valore di <math> k </math> è fissato in sede di progetto del sonar in base a studi accurati e misure su <math> Np </math>. Valori inferiori a quelli di progetto indicheranno un degrado della <math>CM </math>. Le misure di <math> Np </math> sono eseguite con accelerometri disposti a scafo e le misure del <math>DI </math> sono eseguite in ambiente controllato. Supponiamo ora che in un progetto sia stato calcolato <math> k = 14 \ dB </math> per <math> Np = 8 \ dB </math> e <math> DI = 22 \ dB </math> e che si debba controllarlo sul campo su di un sottomarino '''varato di recente '''. Il controllo del '''valore nominale di progetto''' <math> k </math> dopo la messa a punto integrale della piattaforma e del sonar segue questa procedura: Si misura <math> Nm </math> in una zona di mare priva di rumori, trovando ad esempio: <math> Nm = + 40 \ dB /\mu Pa/Hz </math> Si misura in modo appropriato in mare <ref>Vedremo in seguito tale misura.</ref> <math> (NL - DI) = ( Nm + Np - DI) </math> = <math> 26 \ dB </math> Si computa <math> k </math> come differenza tra i due valori: <math>k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> 40 \ dB - 26 \ dB = 14 \ dB </math> ; Il valore di <math> k </math> ottenuto da rilievi in mare e computazioni indica che l'obiettivo del '''valore nominale di progetto''' è stato raggiunto. Supponiamo ora che il battello venga controllato periodicamente e che, durante un controllo, con mare a livello <math> Nm = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz, </math> il <math>DI</math> sia sceso da <math> 22 \ dB</math> a <math> 19 \ dB </math> a causa di un'anomalia alla base ricevente. In queste condizioni il valore di <math> (NL - DI) </math> risulterà: <math> (NL - DI) </math> = <math> ( Nm + Np - DI) = (55 + 8 - 19) </math> = <math>44 \ dB </math> e di conseguenza il valore di <math> k </math> sarà: <math> k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> 55 - 44 = 11 \ dB </math> Il controllo mette in evidenza che <math>k</math> ha subito un decremento di <math> -3 \ dB </math>, è quindi inferiore al '''valore nominale <math>k = 14 \ dB </math>''' controllato in sede di messe a punto; ne consegue una riduzione della portata di scoperta. Il controllo eseguito non individua se il decadimento di <math>k</math> dipende dal <math> DI </math> o da un incremento anomalo di<math> Np </math> , in ogni caso pone il problema di una verifica accurata su entrambi i valori. == Sistema di misura per Nm ; (NL - DI) e calcolo di k== Abbiamo visto come con le misure di <math> Nm </math> e <math> (NL - DI) </math> e il successivo calcolo di <math> k </math> sia possibile avere un riscontro sulla costanza delle prestazioni offerte dalla CM. Iniziamo ora l'illustrazione del metodo adottato per la misura sulla piattaforma delle variabili citate facendo riferimento alla figura 1: [[File:secondacm10.jpg|thumb|left|upright=1.6|500px| figura 1 Struttura d'insieme misuratore del <math> k</math> ]] {{clear}} Il rilievo di <math> Nm </math> si esegue tramite l'idrofono omnidirezionale trCm fissato allo scafo tramite idoneo ammortizzatore<ref>In virtù dell'ammortizzatore il segnale in uscita da trCm dipende soltanto da <math>Nm</math> e non da <math>Np</math> </ref> in grado di tagliare tutte le vibrazioni provocate dalla piattaforma. I segnali ricevuti da trCm sono applicati all'amplificatore con filtro di banda Am1 e da questo all'elaboratore Elb che, dopo conversione A/D, mette a calcolo <math> Nm (dB) </math>. All'uscita di un fascio direttivo del sonar, sia preformato che a collimazione manuale, viene prelevato il segnale <math> (NL - DI) </math> da inviare a sua volta all'elaboratore Elb, il segnale dopo conversione A/D viene messo a calcolo in forma logaritmica <math> (NL - DI) \ dB </math>. L’elaboratore esegue l’operazione : <math> k </math> = <math> Nm </math> – <math>( NL - DI) </math> restituendo su apposito indicatore numerico il valore di <math> k </math> == Procedura di misura del k in mare == *Ormeggio del battello in una zona priva di sorgenti idrofoniche; l'idrofono trCm capta il rumore del mare <math> Nm </math> che viene trasformato in segnale elettrico S1 e successivamente amplificato e filtrato nella banda stabilita per le misure sull'elaboratore Elb. *Puntamento di un fascio direttivo del sonar verso un arco di mare privo di segnali acustici; questa operazione porta alla captazione del rumore del mare <math> Nm </math> e del rumore proprio <math> Np </math><ref> Np è captato dalla base idrofonica del sonar, perché questa è estesa lungo un ampio settore del battello</ref> in forma di segnale S2 secondo l'espressione: <math> Nm + Np - DI </math> *Invio in modo automatico delle variabili <math> S1 = Nm </math> e <math> S2 = (Nm + Np - DI) </math> all'elaboratore per il calcolo: <math> k = Nm - (Nm + Np - DI) </math> = <math> ( DI - Np ) </math> Il calcolo di <math>k</math> è preceduto da una regolazione automatica dei livelli dei segnali S1 e S2 per compensare le differenze di guadagno insite nei due sensori; i calcoli vengono eseguiti in termini logaritmici in modo da fornire il valore <math> k </math> in <math>dB</math>. == Cenni storici == Si è mostrato come si possa tenere sotto controllo la parte degradabile della <math> CM </math> di un sonar passivo affinché la <math>CM</math> stessa garantisca sempre la massima portata di scoperta in base alle condizioni ambientali e tattiche del momento. Il sistema illustrato in questa pagina è simile a quello progettato e successivamente costruito, negli anni 70, dalla Soc. USEA con la sigla <math> CM10 </math>. Con il <math> CM10 </math> si sorvegliava la stabilità nel tempo del valore di <math>k</math> iniziale (sottomarino e sonar a punto) con la garanzia di poter eseguire rapidi interventi, in porto, volti a ripristinare i dati originali sul campo. L'apparato, studiato per i sottomarini classe Sauro, è stato implementato nella struttura del sonar IP70/74. Il piccolo apparato ha dato prova di essere un sistema "robusto" e fondamentalmente semplice, in grado di assicurare in mare le prestazioni richieste dalla MMI. == Note == <references/> == Bibliografia == *Robert J. Urick, ''Principles of underwater sound'', Mc Graw – hill, 3ª ed. 1968 *V.O.Knudsen, ''Ambient Noise'', Rep. n.3 Survey of Underwater Sound ( O.S.D.R. Rep. 433 Norc Rep-6-1-1848 P8 31021, 1944. *Giuseppe Pazienza, ''Fondamenti della localizzazione marina'', Studio grafico Restani La Spezia, 1970 [[Categoria:Lezioni di Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva]] *{{Cita libro|autore= Del Turco|titolo=''Sonar- Principi - Tecnologie – Applicazioni'' |editore=Tip. Moderna La Spezia|anno=1992|cid=Del Turco}} tb6sko4yin733qjdkyykff328y6jti6 285982 285977 2026-08-08T07:37:16Z WikiBayer 26175 Annullata la modifica di [[Special:Contributions/Buonsabatodaquinlan83|Buonsabatodaquinlan83]] ([[User talk:Buonsabatodaquinlan83|discussione]]), riportata alla versione precedente di [[User:Funzioni di correlazione|Funzioni di correlazione]] 269604 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva | avanzamento = 100% }} La cifra di merito del sonar, indicata con la sigla <math>CM </math>, rappresenta il massimo valore della perdita di trasmissione che consente la scoperta di una sorgente acustica, d'intensità prefissata, con le desiderate probabilità di rivelazione <math>(Priv.)</math> e di falso allarme <math>(Pfa.)</math>; maggiore sarà il valore di <math>CM</math> migliori saranno le prestazioni del sonar. == Algoritmi per il calcolo della CM di un sonar passivo == ===Definizione degli algoritmi=== In termini logaritmici (deciBel) la <math> CM </math> di un sonar passivo è definita dall'espressione: <math> CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> dove: *<math> SL' = </math> livello di pressione emesso dalla [[Rumore delle navi|sorgente acustica]] ricevuta, espresso in banda <math>BW</math><ref> Il livello<math> LS'</math>, espresso in banda <math> BW </math>, è indicato con l'apostrofo per distinguerlo dal valore spettrale <math> LS </math> espresso invece in banda di <math>1 Hz </math>. </ref> *<math> DI =</math> [[Base idrofonica|guadagno di direttività]] della base acustica del sonar. *<math> DT = </math> [[Impostazione della soglia di rivelazione del sonar|soglia di rivelazione]] impostata nel [[Ricevitore in correlazione|ricevitore del sonar]]. *<math> NL = </math> livello spettrale del rumore ambiente generato dalla somma del [[stato del mare|rumore del mare]] <math> Nm </math> e del rumore proprio del battello <math> Np</math>, che raggiunge la [[Base idrofonica|base ricevente]] attraverso il fissaggio di quest'ultima alla piattaforma; si scrive: <math> NL = Nm\ + \ Np </math> Parte di questa espressione, il termine <math> (NL - DI) </math>, viene utilizzata per il controllo della funzionalità del sonar e della piattaforma, secondo l'impostazione di una particolare funzione di progetto indicata con la lettera <math> k = f(NL \ ; \ DI) </math> ===Analogie=== Prima di addentrarci nei calcoli è utile rimarcare che l'algoritmo del <math> CM</math> è l'analogo della seconda equazione del sistema trascendente impiegato per il calcolo della portata di un sonar passivo: <math>\begin{cases} TL = 60 + 20 \cdot \log_{10}{ R } + \alpha \cdot R\\ TL = SL + DI - NL - DT + 10 \cdot \log_{10}{ BW } \end{cases}</math> Infatti con l'equazione menzionata si calcola l'attenuazione massima <math> TL</math> consentita al segnale del bersaglio sotto particolari condizioni, così come con il calcolo del <math> CM</math>. Le due equazioni sono identiche salvo l'indicazione del livello della sorgente che nel sistema è indicato in <math> SL \ : \ \mu Pa / {\sqrt{Hz}} /1 \ m </math> <ref> indica il livello spettrale</ref> dato che il peso della banda del segnale, <math> 10 \ \log_{10}{ BW }</math>, è aggiunto come somma, mentre per il <math> CM</math> si indica con <math> SL' \ : \ \mu Pa / BW /1 \ m </math> comprensivo del peso della banda. == Comportamento della CM in funzione delle sue variabili == La cifra di merito del sonar passivo s'incrementa, ad esempio, quando il livello della sorgente <math> SL' </math> cresce; infatti se la sorgente acustica emette più rumore, maggiore potrà essere la perdita di trasmissione accettata dal sonar con conseguente incremento della portata di scoperta. La <math>CM </math> decresce invece con il decremento dell'indice di direttività <math>DI</math>; ciò per il fatto che, se il <math>DI</math> diminuisce, aumenta il rumore captato dalla base con la conseguenza di un peggioramento delle prestazioni di scoperta. Analogamente un incremento del rumore <math> NL = Nm\ + \ Np </math> ( sia di <math> Nm </math> che di <math> Np </math>) o un aumento voluto della soglia di rivelazione <math>DT</math> portano ad una diminuzione della <math> CM </math>, con la conseguenza di una riduzione della portata di scoperta. Dato che un incremento del rumore proprio <math> Np, </math> che giunge alla base ricevente tramite il fissaggio a scafo di quest'ultima, provoca una riduzione della portata di scoperta, il controllo periodico dell'addendo della cifra di merito, <math> (NL - DI)</math>, è utile affinché le prestazioni del sonar non si degradino all'insaputa dell'operatore. Il controllo di <math> ( NL - DI )</math> consente inoltre la verifica dell'integrità della base ricevente che, se alterata da guasti parziali ed imprevisti, con il conseguente decremento del <math>DI</math>, può a sua volta provocare una riduzione delle prestazioni del sonar. ==Considerazioni numeriche sulla CM <ref>Le procedure per le computazioni delle [[Portata di scoperta del sonar|portate di scoperta]] fanno riferimento alle seguenti variabili: f1 = 4000 Hz; f2 = 6000 Hz; BW = 2000 Hz; d * = 1; Priv. = 50%; Pfa. = 20% ; propagazione sferico-cilindrica </ref> == ===Sonar passivo installato su di un battello ideale=== Un battello ideale <ref>Condizione presa a modello per evidenziare le variazioni della <math>CM</math> </ref> non trasmette rumore alla base ricevente; in questo caso la variabile <math>NL</math> è dovuta soltanto al rumore del mare <math> Nm </math>; se in tali condizioni assumiamo ad esempio: *<math>SL' = + 150 \ dB/\mu Pa / BW / 1 \ m</math> *<math>DI = 20 \ dB </math> *<math>DT = 15 \ dB</math> *<math>NL = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz </math> (soltanto rumore del mare) si ha: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> = <math> 150 - (55 - 20) - 15 </math> = <math>100 \ dB</math>. Con questo valore di <math>CM</math> il sonar può contare su di un notevole margine di attenuazione del rumore emesso dal bersaglio; tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] di <math>R = 67 \ km</math> ; risultato ottenuto con la soluzione del sistema trascendente visto all'inizio. ===Sonar passivo installato su di un battello reale=== Un battello reale trasmette rumore alla base ricevente; in questo caso la variabile <math>NL</math> è dovuta alla somma del rumore del mare <math> Nm </math> e del rumore del battello <math> Np</math>. Supponiamo che siano: *<math>Nm = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz </math> *<math>Np = + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math> *<math> SL' = + 150 \ dB/\mu Pa/BW / 1 \ m</math> *<math>DI = 20 \ dB </math> *<math>DT = 15 \ dB</math> sarà: <math> NL = Nm + Np </math> = <math> + 55 \ dB/\mu Pa/Hz + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math> = <math>( 55 + 10 ) = 65 \ dB /\mu Pa/Hz </math> da cui: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT</math> = <math> 150 - (65 - 20) - 15 = 90 \ dB </math> Con questo valore di <math>CM</math> il sonar può contare ancora su di un discreto margine di attenuazione; tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] di <math>R = 43 \ km.</math> ; anche in questo esempio con la soluzione del sistema trascendente visto all'inizio. ===Battello reale con base ricevente avente alcuni sensori in avaria=== Se un guasto alla base del sonar riduce il <math> DI </math> da <math> 20 \ dB</math> a <math>18 \ dB </math>, ferme restando le variabili esposte in precedenza, si ha: <math> SL' = + 150 \ dB/\mu Pa/BW / 1 \ m</math> <math> DI = 18 \ dB </math> <math>DT = 15 \ dB </math> <math> NL = Nm + Np </math> = <math>+55 \ dB/\mu Pa/Hz + 10 \ dB/\mu Pa/Hz </math>= <math> 65 \ dB </math> da cui: <math>CM = SL' - (NL - DI) - DT </math> = <math> 150 - (65 - 18) - 15 </math> = <math> 88 \ dB </math> Con questo valore di <math>CM</math> il sonar ha un margine di attenuazione del rumore emesso dal bersaglio sensibilmente inferiore rispetto ai due valori precedenti. Tale attenuazione consente una [[Portata di scoperta del sonar|portata di scoperta]] <math>R = 39 \ km</math> ; risultato ottenuto come in precedenza. Gli esempi numerici mostrano come, con il degrado della <math> CM </math>, la portata di scoperta del sonar si riduce da <math>R = 67 \ km</math> ad un minimo di <math> R = 39 \ km </math>. == Osservazioni sul binomio ( NL-DI ) == Le computazioni condotte in precedenza mostrano come il degrado della <math>CM </math>, in qualsiasi condizione ambientale, dipenda dall'alterazione del binomio <math> (NL - DI) </math>. Per mettere in evidenza le variabili oggetto del decadimento del <math>CM </math> è utile separare quelle che dipendono dal battello e dalla sua base acustica da quella dovuta al rumore del mare; si può scrivere: <math> (NL - DI) = (Nm + Np - DI) </math> = <math> Nm + (Np - DI) </math> isolando la variabile <math> Nm </math> da quella relativa al binomio <math> (Np \ - \ DI) </math>. Queste variabili dipendono rispettivamente dalla piattaforma e dalla base acustica del sonar e sono legate tra loro tramite la seguente funzione indicata con il simbolo <math> k</math>: <math> k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> Nm - (Nm + Np - DI) </math> = <math> DI - Np </math>. Come vedremo la funzione <math> k </math> è strutturata per essere facilmente calcolata dopo opportuni rilievi acustici in mare. ==Sui valori della funzione k == Il valore di <math> k </math> è fissato in sede di progetto del sonar in base a studi accurati e misure su <math> Np </math>. Valori inferiori a quelli di progetto indicheranno un degrado della <math>CM </math>. Le misure di <math> Np </math> sono eseguite con accelerometri disposti a scafo e le misure del <math>DI </math> sono eseguite in ambiente controllato. Supponiamo ora che in un progetto sia stato calcolato <math> k = 14 \ dB </math> per <math> Np = 8 \ dB </math> e <math> DI = 22 \ dB </math> e che si debba controllarlo sul campo su di un sottomarino '''varato di recente '''. Il controllo del '''valore nominale di progetto''' <math> k </math> dopo la messa a punto integrale della piattaforma e del sonar segue questa procedura: Si misura <math> Nm </math> in una zona di mare priva di rumori, trovando ad esempio: <math> Nm = + 40 \ dB /\mu Pa/Hz </math> Si misura in modo appropriato in mare <ref>Vedremo in seguito tale misura.</ref> <math> (NL - DI) = ( Nm + Np - DI) </math> = <math> 26 \ dB </math> Si computa <math> k </math> come differenza tra i due valori: <math>k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> 40 \ dB - 26 \ dB = 14 \ dB </math> ; Il valore di <math> k </math> ottenuto da rilievi in mare e computazioni indica che l'obiettivo del '''valore nominale di progetto''' è stato raggiunto. Supponiamo ora che il battello venga controllato periodicamente e che, durante un controllo, con mare a livello <math> Nm = + 55 \ dB/\mu Pa/Hz, </math> il <math>DI</math> sia sceso da <math> 22 \ dB</math> a <math> 19 \ dB </math> a causa di un'anomalia alla base ricevente. In queste condizioni il valore di <math> (NL - DI) </math> risulterà: <math> (NL - DI) </math> = <math> ( Nm + Np - DI) = (55 + 8 - 19) </math> = <math>44 \ dB </math> e di conseguenza il valore di <math> k </math> sarà: <math> k = Nm - (NL - DI) </math> = <math> 55 - 44 = 11 \ dB </math> Il controllo mette in evidenza che <math>k</math> ha subito un decremento di <math> -3 \ dB </math>, è quindi inferiore al '''valore nominale <math>k = 14 \ dB </math>''' controllato in sede di messe a punto; ne consegue una riduzione della portata di scoperta. Il controllo eseguito non individua se il decadimento di <math>k</math> dipende dal <math> DI </math> o da un incremento anomalo di<math> Np </math> , in ogni caso pone il problema di una verifica accurata su entrambi i valori. == Sistema di misura per Nm ; (NL - DI) e calcolo di k== Abbiamo visto come con le misure di <math> Nm </math> e <math> (NL - DI) </math> e il successivo calcolo di <math> k </math> sia possibile avere un riscontro sulla costanza delle prestazioni offerte dalla CM. Iniziamo ora l'illustrazione del metodo adottato per la misura sulla piattaforma delle variabili citate facendo riferimento alla figura 1: [[File:secondacm10.jpg|thumb|left|upright=1.6|500px| figura 1 Struttura d'insieme misuratore del <math> k</math> ]] {{clear}} Il rilievo di <math> Nm </math> si esegue tramite l'idrofono omnidirezionale trCm fissato allo scafo tramite idoneo ammortizzatore<ref>In virtù dell'ammortizzatore il segnale in uscita da trCm dipende soltanto da <math>Nm</math> e non da <math>Np</math> </ref> in grado di tagliare tutte le vibrazioni provocate dalla piattaforma. I segnali ricevuti da trCm sono applicati all'amplificatore con filtro di banda Am1 e da questo all'elaboratore Elb che, dopo conversione A/D, mette a calcolo <math> Nm (dB) </math>. All'uscita di un fascio direttivo del sonar, sia preformato che a collimazione manuale, viene prelevato il segnale <math> (NL - DI) </math> da inviare a sua volta all'elaboratore Elb, il segnale dopo conversione A/D viene messo a calcolo in forma logaritmica <math> (NL - DI) \ dB </math>. L’elaboratore esegue l’operazione : <math> k </math> = <math> Nm </math> – <math>( NL - DI) </math> restituendo su apposito indicatore numerico il valore di <math> k </math> == Procedura di misura del k in mare == *Ormeggio del battello in una zona priva di sorgenti idrofoniche; l'idrofono trCm capta il rumore del mare <math> Nm </math> che viene trasformato in segnale elettrico S1 e successivamente amplificato e filtrato nella banda stabilita per le misure sull'elaboratore Elb. *Puntamento di un fascio direttivo del sonar verso un arco di mare privo di segnali acustici; questa operazione porta alla captazione del rumore del mare <math> Nm </math> e del rumore proprio <math> Np </math><ref> Np è captato dalla base idrofonica del sonar, perché questa è estesa lungo un ampio settore del battello</ref> in forma di segnale S2 secondo l'espressione: <math> Nm + Np - DI </math> *Invio in modo automatico delle variabili <math> S1 = Nm </math> e <math> S2 = (Nm + Np - DI) </math> all'elaboratore per il calcolo: <math> k = Nm - (Nm + Np - DI) </math> = <math> ( DI - Np ) </math> Il calcolo di <math>k</math> è preceduto da una regolazione automatica dei livelli dei segnali S1 e S2 per compensare le differenze di guadagno insite nei due sensori; i calcoli vengono eseguiti in termini logaritmici in modo da fornire il valore <math> k </math> in <math>dB</math>. == Cenni storici == Si è mostrato come si possa tenere sotto controllo la parte degradabile della <math> CM </math> di un sonar passivo affinché la <math>CM</math> stessa garantisca sempre la massima portata di scoperta in base alle condizioni ambientali e tattiche del momento. Il sistema illustrato in questa pagina è simile a quello progettato e successivamente costruito, negli anni 70, dalla Soc. USEA con la sigla <math> CM10 </math>. Con il <math> CM10 </math> si sorvegliava la stabilità nel tempo del valore di <math>k</math> iniziale (sottomarino e sonar a punto) con la garanzia di poter eseguire rapidi interventi, in porto, volti a ripristinare i dati originali sul campo. L'apparato, studiato per i sottomarini classe Sauro, è stato implementato nella struttura del sonar IP70/74. Il piccolo apparato ha dato prova di essere un sistema "robusto" e fondamentalmente semplice, in grado di assicurare in mare le prestazioni richieste dalla MMI. == Note == <references/> == Bibliografia == *Robert J. Urick, ''Principles of underwater sound'', Mc Graw – hill, 3ª ed. 1968 *V.O.Knudsen, ''Ambient Noise'', Rep. n.3 Survey of Underwater Sound ( O.S.D.R. Rep. 433 Norc Rep-6-1-1848 P8 31021, 1944. *Giuseppe Pazienza, ''Fondamenti della localizzazione marina'', Studio grafico Restani La Spezia, 1970 [[Categoria:Lezioni di Principi, sistemi e metodologie per la localizzazione subacquea passiva]] *{{Cita libro|autore= Del Turco|titolo=''Sonar- Principi - Tecnologie – Applicazioni'' |editore=Tip. Moderna La Spezia|anno=1992|cid=Del Turco}} qj9jrzsosborjyqqpfoz1zu2221rt5w 2 34010 285941 285936 2026-08-07T13:47:55Z Funzioni di correlazione 24136 285941 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. == Esercizio == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali. == Svolgimento == Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> == Risposta == L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ``` oik9a3y7yk80powunu3l41p8l43oc43 285942 285941 2026-08-07T13:49:52Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risposta */ 285942 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. == Esercizio == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali. == Svolgimento == Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. 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In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. == Svolgimento == Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ``` m7ocsvosygg47jyamy26tvd8wpfzs4z 285944 285943 2026-08-07T13:53:25Z Funzioni di correlazione 24136 285944 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ``` 1aoflp6or98ixpzze040jai3it9x8gh 285945 285944 2026-08-07T13:58:48Z Funzioni di correlazione 24136 285945 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ``` hqefnruka6le3x3tpp8vhxz3d21q0ld 285948 285945 2026-08-07T14:22:23Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1^ 9x^2+1=mx */ 285948 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ``` ph2x82lk3fmg0qvql8i4wudjaknseuc 285950 285948 2026-08-08T06:48:50Z Funzioni di correlazione 24136 285950 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ==3^ <math>3Rx^2-4m^2x+R^3=0</math>== Assumo <math>R,m\in\mathbb{R}</math> e distinguo il caso <math>R=0</math>. Si considera l'equazione come equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>. Per <math>R\ne0</math>, i coefficienti sono <math>a=3R</math> <math>b=-4m^2</math> <math>c=R^3</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-4m^2)^2-4(3R)(R^3)</math> <math>\Delta=16m^4-12R^4</math> La condizione per avere radici reali è quindi <math>16m^4-12R^4\geq0</math> Dividendo per <math>4</math>: <math>4m^4-3R^4\geq0</math> ovvero <math>4m^4\geq3R^4</math> e quindi <math>m^4\geq\frac{3}{4}R^4</math> Poiché <math>m^4\geq0</math> e <math>R^4\geq0</math>, prendendo la radice quarta si ottiene <math>|m|\geq\sqrt[4]{\frac{3}{4}},|R|</math> Poiché <math>\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}</math> la condizione finale è <math>|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Equivalentemente, <math>m\leq-\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Per tali valori di <math>m</math>, le radici reali sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm\sqrt{16m^4-12R^4}}{6R}</math> Semplificando la radice: <math>\sqrt{16m^4-12R^4}=2\sqrt{4m^4-3R^4}</math> pertanto <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm2\sqrt{4m^4-3R^4}}{6R}</math> e quindi <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Le due radici coincidono quando <math>\Delta=0</math> cioè quando <math>16m^4-12R^4=0</math> da cui <math>m^4=\frac{3}{4}R^4</math> e quindi <math>|m|=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> In conclusione, per <math>R\ne0</math>, l'equazione ha radici reali se e solo se <math>\boxed{|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|}</math> e in tal caso le radici sono <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Caso particolare <math>R=0</math>: <math>-4m^2x=0</math> Se <math>m\ne0</math>, si ottiene <math>x=0</math> Se invece <math>R=0</math> e <math>m=0</math>, l'equazione diventa <math>0=0</math> e quindi ogni <math>x\in\mathbb{R}</math> è soluzione. ``` or0tykr22ku5yhh8thzmi0ezi9hpq05 285951 285950 2026-08-08T06:50:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ 3Rx^2-4m^2x+R^3=0 */ 285951 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ==3^ <math>3Rx^2-4m^2x+R^3=0</math>== Assumo <math>R,m\in\mathbb{R}</math> e distinguo il caso <math>R=0</math>. Si considera l'equazione come equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>. Per <math>R\ne0</math>, i coefficienti sono <math>a=3R</math> <math>b=-4m^2</math> <math>c=R^3</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-4m^2)^2-4(3R)(R^3)</math> <math>\Delta=16m^4-12R^4</math> La condizione per avere radici reali è quindi <math>16m^4-12R^4\geq0</math> Dividendo per <math>4</math>: <math>4m^4-3R^4\geq0</math> ovvero <math>4m^4\geq3R^4</math> e quindi <math>m^4\geq\frac{3}{4}R^4</math> Poiché <math>m^4\geq0</math> e <math>R^4\geq0</math>, prendendo la radice quarta si ottiene <math>|m|\geq\sqrt[4]{\frac{3}{4}},|R|</math> Poiché <math>\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}</math> la condizione finale è <math>|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Equivalentemente, <math>m\leq-\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Per tali valori di <math>m</math>, le radici reali sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm\sqrt{16m^4-12R^4}}{6R}</math> Semplificando la radice: <math>\sqrt{16m^4-12R^4}=2\sqrt{4m^4-3R^4}</math> pertanto <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm2\sqrt{4m^4-3R^4}}{6R}</math> e quindi <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Le due radici coincidono quando <math>\Delta=0</math> cioè quando <math>16m^4-12R^4=0</math> da cui <math>m^4=\frac{3}{4}R^4</math> e quindi <math>|m|=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> In conclusione, per <math>R\ne0</math>, l'equazione ha radici reali se e solo se <math>\boxed{|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|}</math> e in tal caso le radici sono <math>{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Caso particolare <math>R=0</math>: <math>-4m^2x=0</math> Se <math>m\ne0</math>, si ottiene <math>x=0</math> Se invece <math>R=0</math> e <math>m=0</math>, l'equazione diventa <math>0=0</math> e quindi ogni <math>x\in\mathbb{R}</math> è soluzione. ``` saonkuamqxa5lawbtydv3w4tf4bx8n4 285952 285951 2026-08-08T06:51:57Z Funzioni di correlazione 24136 285952 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> ==3^ <math>3Rx^2-4m^2x+R^3=0</math>== Assumo <math>R,m\in\mathbb{R}</math> e distinguo il caso <math>R=0</math>. Si considera l'equazione come equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>. Per <math>R\ne0</math>, i coefficienti sono <math>a=3R</math> <math>b=-4m^2</math> <math>c=R^3</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-4m^2)^2-4(3R)(R^3)</math> <math>\Delta=16m^4-12R^4</math> La condizione per avere radici reali è quindi <math>16m^4-12R^4\geq0</math> Dividendo per <math>4</math>: <math>4m^4-3R^4\geq0</math> ovvero <math>4m^4\geq3R^4</math> e quindi <math>m^4\geq\frac{3}{4}R^4</math> Poiché <math>m^4\geq0</math> e <math>R^4\geq0</math>, prendendo la radice quarta si ottiene <math>|m|\geq\sqrt[4]{\frac{3}{4}},|R|</math> Poiché <math>\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}</math> la condizione finale è <math>|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Equivalentemente, <math>m\leq-\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> Per tali valori di <math>m</math>, le radici reali sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm\sqrt{16m^4-12R^4}}{6R}</math> Semplificando la radice: <math>\sqrt{16m^4-12R^4}=2\sqrt{4m^4-3R^4}</math> pertanto <math>x_{1,2}=\frac{4m^2\pm2\sqrt{4m^4-3R^4}}{6R}</math> e quindi <math>{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Le due radici coincidono quando <math>\Delta=0</math> cioè quando <math>16m^4-12R^4=0</math> da cui <math>m^4=\frac{3}{4}R^4</math> e quindi <math>|m|=\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|</math> In conclusione, per <math>R\ne0</math>, l'equazione ha radici reali se e solo se <math>{|m|\geq\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}|R|}</math> e in tal caso le radici sono <math>{x_{1,2}=\frac{2m^2\pm\sqrt{4m^4-3R^4}}{3R}}</math> Caso particolare <math>R=0</math>: <math>-4m^2x=0</math> Se <math>m\ne0</math>, si ottiene <math>x=0</math> Se invece <math>R=0</math> e <math>m=0</math>, l'equazione diventa <math>0=0</math> e quindi ogni <math>x\in\mathbb{R}</math> è soluzione. ``` 1j6sau0l3fcj48vc29yccbjy2u94r2d 285953 285952 2026-08-08T06:56:35Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ 3Rx^2-4m^2x+R^3=0 */ 285953 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == 8is8a1pji5o5w0ego1pueumssv4d4ak 285962 285953 2026-08-08T07:07:34Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ */ 285962 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Certo. Ecco tutto il procedimento in un unico blocco, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica. == Risoluzione in funzione di ''m'' == Consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>: <math>11x^2-6mx+m^2(1-m)=0</math> I coefficienti sono: <math>a=11</math> <math>b=-6m</math> <math>c=m^2(1-m)</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-6m)^2-4\cdot11\cdot m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2+44m^3</math> <math>\Delta=44m^3-8m^2</math> Raccogliendo <math>4m^2</math>: <math>\Delta=4m^2(11m-2)</math> La condizione per avere radici reali è quindi: <math>4m^2(11m-2)\geq0</math> Poiché <math>4m^2\geq0</math> per ogni valore reale di <math>m</math>, bisogna distinguere il caso <math>m=0</math> e il caso <math>m\neq0</math>. Se <math>m=0</math>, si ha: <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una radice reale doppia. Se invece <math>m\neq0</math>, allora <math>m^2>0</math> e deve essere: <math>11m-2\geq0</math> da cui: <math>m\geq\frac{2}{11}</math> Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione ammette radici reali sono: <math>\boxed{m=0\ \lor\ m\geq\frac{2}{11}}</math> Per determinare le radici utilizziamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=\frac{6m\pm\sqrt{4m^2(11m-2)}}{22}</math> Poiché: <math>\sqrt{4m^2(11m-2)}=2|m|\sqrt{11m-2}</math> si ottiene: <math>x=\frac{6m\pm2|m|\sqrt{11m-2}}{22}</math> ovvero: <math>x=\frac{3m\pm|m|\sqrt{11m-2}}{11}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> si ha <math>m>0</math>, quindi <math>|m|=m</math>. Le due radici sono dunque: <math>\boxed{x_1=\frac{m(3-\sqrt{11m-2})}{11}}</math> <math>\boxed{x_2=\frac{m(3+\sqrt{11m-2})}{11}}</math> Nel caso particolare <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>11x^2=0</math> e quindi: <math>\boxed{x_1=x_2=0}</math> In conclusione, l'equazione ammette radici reali se e solo se: <math>\boxed{m\in\left{0\right}\cup\left[\frac{2}{11},+\infty\right)}</math> Per <math>m=0</math> la radice è doppia: <math>\boxed{x=0}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> le radici sono: <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{m\left(3\pm\sqrt{11m-2}\right)}{11}}</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione **ancora più “Wikipedia pura”**, con `==`, `===`, `<math>`, `'''...'''` e senza alcuna frase superflua. 8ul27lxp25vlwb68y7j3fj1shd3pod7 285965 285962 2026-08-08T07:09:28Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione in funzione di m */ 285965 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Certo. Ecco tutto il procedimento in un unico blocco, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica. == Risoluzione in funzione di ''m'' == Consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>: <math>11x^2-6mx+m^2(1-m)=0</math> I coefficienti sono: <math>a=11</math> <math>b=-6m</math> <math>c=m^2(1-m)</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-6m)^2-4\cdot11\cdot m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2+44m^3</math> <math>\Delta=44m^3-8m^2</math> Raccogliendo <math>4m^2</math>: <math>\Delta=4m^2(11m-2)</math> La condizione per avere radici reali è quindi: <math>4m^2(11m-2)\geq0</math> Poiché <math>4m^2\geq0</math> per ogni valore reale di <math>m</math>, bisogna distinguere il caso <math>m=0</math> e il caso <math>m\neq0</math>. Se <math>m=0</math>, si ha: <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una radice reale doppia. Se invece <math>m\neq0</math>, allora <math>m^2>0</math> e deve essere: <math>11m-2\geq0</math> da cui: <math>m\geq\frac{2}{11}</math> Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione ammette radici reali sono: <math>{m=0\ \lor\ m\geq\frac{2}{11}}</math> Per determinare le radici utilizziamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=\frac{6m\pm\sqrt{4m^2(11m-2)}}{22}</math> Poiché: <math>\sqrt{4m^2(11m-2)}=2|m|\sqrt{11m-2}</math> si ottiene: <math>x=\frac{6m\pm2|m|\sqrt{11m-2}}{22}</math> ovvero: <math>x=\frac{3m\pm|m|\sqrt{11m-2}}{11}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> si ha <math>m>0</math>, quindi <math>|m|=m</math>. Le due radici sono dunque: <math>\boxed{x_1=\frac{m(3-\sqrt{11m-2})}{11}}</math> <math>{x_2=\frac{m(3+\sqrt{11m-2})}{11}}</math> Nel caso particolare <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>11x^2=0</math> e quindi: <math>{x_1=x_2=0}</math> In conclusione, l'equazione ammette radici reali se e solo se: <math>{m\in\left{0\right}\cup\left[\frac{2}{11},+\infty\right)}</math> Per <math>m=0</math> la radice è doppia: <math>{x=0}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> le radici sono: <math>{x_{1,2}=\frac{m\left(3\pm\sqrt{11m-2}\right)}{11}}</math> Se vuoi, posso anche trasformarlo in una versione **ancora più “Wikipedia pura”**, con `==`, `===`, `<math>`, `'''...'''` e senza alcuna frase superflua. 1vvvr98j2e0iqjoxlcfbm45v0nmotvo 285968 285965 2026-08-08T07:10:47Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione in funzione di m */ 285968 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Certo. Ecco tutto il procedimento in un unico blocco, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica. == Risoluzione in funzione di ''m'' == Consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>: <math>11x^2-6mx+m^2(1-m)=0</math> I coefficienti sono: <math>a=11</math> <math>b=-6m</math> <math>c=m^2(1-m)</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-6m)^2-4\cdot11\cdot m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2+44m^3</math> <math>\Delta=44m^3-8m^2</math> Raccogliendo <math>4m^2</math>: <math>\Delta=4m^2(11m-2)</math> La condizione per avere radici reali è quindi: <math>4m^2(11m-2)\geq0</math> Poiché <math>4m^2\geq0</math> per ogni valore reale di <math>m</math>, bisogna distinguere il caso <math>m=0</math> e il caso <math>m\neq0</math>. Se <math>m=0</math>, si ha: <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una radice reale doppia. Se invece <math>m\neq0</math>, allora <math>m^2>0</math> e deve essere: <math>11m-2\geq0</math> da cui: <math>m\geq\frac{2}{11}</math> Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione ammette radici reali sono: <math>{m=0\ \lor\ m\geq\frac{2}{11}}</math> Per determinare le radici utilizziamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=\frac{6m\pm\sqrt{4m^2(11m-2)}}{22}</math> Poiché: <math>\sqrt{4m^2(11m-2)}=2|m|\sqrt{11m-2}</math> si ottiene: <math>x=\frac{6m\pm2|m|\sqrt{11m-2}}{22}</math> ovvero: <math>x=\frac{3m\pm|m|\sqrt{11m-2}}{11}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> si ha <math>m>0</math>, quindi <math>|m|=m</math>. 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In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Certo. Ecco tutto il procedimento in un unico blocco, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con i tag `<math>...</math>` per ogni espressione matematica. == Risoluzione in funzione di ''m'' == Consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>: <math>11x^2-6mx+m^2(1-m)=0</math> I coefficienti sono: <math>a=11</math> <math>b=-6m</math> <math>c=m^2(1-m)</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-6m)^2-4\cdot11\cdot m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2+44m^3</math> <math>\Delta=44m^3-8m^2</math> Raccogliendo <math>4m^2</math>: <math>\Delta=4m^2(11m-2)</math> La condizione per avere radici reali è quindi: <math>4m^2(11m-2)\geq0</math> Poiché <math>4m^2\geq0</math> per ogni valore reale di <math>m</math>, bisogna distinguere il caso <math>m=0</math> e il caso <math>m\neq0</math>. 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In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Ecco il percorso completo, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Consideriamo l'equazione <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> con la condizione di esistenza <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>\boxed{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>\boxed{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. == Risoluzione in funzione di ''m'' == Consideriamo l'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>: <math>11x^2-6mx+m^2(1-m)=0</math> I coefficienti sono: <math>a=11</math> <math>b=-6m</math> <math>c=m^2(1-m)</math> Affinché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-6m)^2-4\cdot11\cdot m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2(1-m)</math> <math>\Delta=36m^2-44m^2+44m^3</math> <math>\Delta=44m^3-8m^2</math> Raccogliendo <math>4m^2</math>: <math>\Delta=4m^2(11m-2)</math> La condizione per avere radici reali è quindi: <math>4m^2(11m-2)\geq0</math> Poiché <math>4m^2\geq0</math> per ogni valore reale di <math>m</math>, bisogna distinguere il caso <math>m=0</math> e il caso <math>m\neq0</math>. Se <math>m=0</math>, si ha: <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una radice reale doppia. Se invece <math>m\neq0</math>, allora <math>m^2>0</math> e deve essere: <math>11m-2\geq0</math> da cui: <math>m\geq\frac{2}{11}</math> Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione ammette radici reali sono: <math>{m=0\ \lor\ m\geq\frac{2}{11}}</math> Per determinare le radici utilizziamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=\frac{6m\pm\sqrt{4m^2(11m-2)}}{22}</math> Poiché: <math>\sqrt{4m^2(11m-2)}=2|m|\sqrt{11m-2}</math> si ottiene: <math>x=\frac{6m\pm2|m|\sqrt{11m-2}}{22}</math> ovvero: <math>x=\frac{3m\pm|m|\sqrt{11m-2}}{11}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> si ha <math>m>0</math>, quindi <math>|m|=m</math>. Le due radici sono dunque: <math>{x_1=\frac{m(3-\sqrt{11m-2})}{11}}</math> <math>{x_2=\frac{m(3+\sqrt{11m-2})}{11}}</math> Nel caso particolare <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>11x^2=0</math> e quindi: <math>{x_1=x_2=0}</math> In conclusione, l'equazione ammette radici reali se e solo se: <math>{m\in\left{0\right}\cup\left[\frac{2}{11}]+\infty\right)}</math> Per <math>m=0</math> la radice è doppia: <math>{x=0}</math> Per <math>m\geq\frac{2}{11}</math> le radici sono: <math>{x_{1,2}=\frac{m\left(3\pm\sqrt{11m-2}\right)}{11}}</math> 4bl7oj7ydc68p6uj52d1809ohcrhucu 285980 285979 2026-08-08T07:24:54Z Funzioni di correlazione 24136 /* Risoluzione in funzione di m */ 285980 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Ecco il percorso completo, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Consideriamo l'equazione <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> con la condizione di esistenza <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>\boxed{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>\boxed{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. 02v0k455cpdt7isfl8nckzufqjn81no 285981 285980 2026-08-08T07:28:02Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ */ 285981 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Ecco il percorso completo, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Consideriamo l'equazione <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> con la condizione di esistenza <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ryd9iqa0i7wtxuh6einn73kukzqeaon 285986 285981 2026-08-08T07:41:07Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ */ 285986 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ == Ecco il percorso completo, in formato grezzo copiabile su Wikipedia, con ogni espressione matematica racchiusa nei tag `<math>...</math>`. Consideriamo l'equazione <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> con la condizione di esistenza <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. 3b9hpatvrr3rervqdbt7dofwuaq2w14 285987 285986 2026-08-08T07:44:09Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ */ 285987 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> 3^ == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. k3riw6ktd2gpjix16kdpq98xc85u1z0 285989 285987 2026-08-08T07:56:41Z Funzioni di correlazione 24136 285989 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> 3^ == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ ==Ecco il percorso completo, in formato grezzo per Wikipedia e pronto da copiare. genui{"algebra_expressions_equations_learning_block":{"type_id":"DISCRIMINANT","locale_override":"it-IT"}} <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>\boxed{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: <math>\boxed{x=3}</math> Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>\boxed{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. tpbiu58n7n2u128ldn4hb7dcti7hns6 285990 285989 2026-08-08T08:01:35Z Funzioni di correlazione 24136 285990 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> 3^ == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>\boxed{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: <math>\boxed{x=3}</math> Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>\boxed{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 1ibby1so34pcdfch5vkpmqh4r42wb8b 285991 285990 2026-08-08T08:03:19Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4^ (mx+1)(x-2)+m=0 */ 285991 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> 3^ == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: <math> Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 7ufrzcxkdo5oiikdqlor3zlrqtcixcw 285992 285991 2026-08-08T08:04:00Z Funzioni di correlazione 24136 /* \frac{3x+m}{2x+3}=x-m 3^ */ 285992 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: <math> Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. tftb4q2d45xa33014vswpvfswizmzxe 285993 285992 2026-08-08T08:04:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* \frac{3x+m}{2x+3}=x-m == */ 285993 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: <math> Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 3xdysmokdu98qioqm7apl5eq2xikyh8 285994 285993 2026-08-08T08:08:20Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4^ (mx+1)(x-2)+m=0 */ 285994 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. 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Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 8qotb4yeazvv6l3nxwsq8z9mgkffsqu 285996 285994 2026-08-08T08:22:53Z Funzioni di correlazione 24136 285996 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math>.== Per determinare i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali, distinguiamo innanzitutto il caso in cui il coefficiente di <math>x^2</math> sia nullo. Se <math>m-1=0</math> si ha <math>m=1</math>. Per <math>m=1</math> l'equazione diventa <math>-2(1-2)x-(7\cdot1+1)=0</math> cioè <math>2x-8=0</math>, da cui <math>x=4</math>. Quindi per <math>m=1</math> l'equazione è di primo grado e ammette la radice reale <math>x=4</math>. Consideriamo ora <math>m\ne1</math>. In questo caso l'equazione è di secondo grado e poniamo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math>, <math>c=-(7m+1)</math>. Affinché l'equazione di secondo grado abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math>. Sostituendo i coefficienti otteniamo <math>\Delta=[-2(m-2)]^2-4(m-1)[-(7m+1)]</math>. Quindi <math>\Delta=4(m-2)^2+4(m-1)(7m+1)</math>. Raccogliendo <math>4</math>: <math>\Delta=4\left[(m-2)^2+(m-1)(7m+1)\right]</math>. Sviluppiamo i prodotti: <math>(m-2)^2=m^2-4m+4</math> e <math>(m-1)(7m+1)=7m^2-6m-1</math>. Pertanto <math>\Delta=4\left[m^2-4m+4+7m^2-6m-1\right]</math>, cioè <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>. La condizione per avere radici reali diventa quindi <math>4(8m^2-10m+3)\geq0</math>. Poiché <math>4>0</math>, è equivalente a <math>8m^2-10m+3\geq0</math>. Risolviamo l'equazione associata <math>8m^2-10m+3=0</math>. Il discriminante rispetto a <math>m</math> è <math>\Delta_m=(-10)^2-4\cdot8\cdot3</math> <math>\Delta_m=100-96=4</math>. Le due soluzioni sono <math>m=\frac{10\pm\sqrt{4}}{16}</math>, quindi <math>m=\frac{10\pm2}{16}</math>. Otteniamo <math>m_1=\frac{8}{16}=\frac12</math> e <math>m_2=\frac{12}{16}=\frac34</math>. Poiché il coefficiente di <math>m^2</math> è positivo, il trinomio <math>8m^2-10m+3</math> è non negativo esternamente all'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto <math>8m^2-10m+3\geq0\iff m\leq\frac12\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac34</math>. Dunque i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale sono <math>\boxed{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per completezza, per <math>m\ne1</math> le radici si ottengono con la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. Sostituendo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math> e <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>: <math>x=\frac{2(m-2)\pm\sqrt{4(8m^2-10m+3)}}{2(m-1)}</math>. Poiché <math>\sqrt{4(8m^2-10m+3)}=2\sqrt{8m^2-10m+3}</math>, si ottiene <math>x=\frac{2(m-2)\pm2\sqrt{8m^2-10m+3}}{2(m-1)}</math>, e quindi <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, con <math>m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right),\quad m\ne1</math>. Nel caso particolare <math>m=1</math>, già analizzato separatamente, l'equazione non è di secondo grado e la soluzione è <math>\boxed{x=4}</math>. In conclusione, l'equazione <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math> ammette radici reali per <math>\boxed{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per <math>m\ne1</math> le radici sono <math>\boxed{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, mentre per <math>m=1</math> l'unica soluzione reale è <math>\boxed{x=4}</math>. rib26g9h6wlkb8i8pkf6b6457zjdmgj 285997 285996 2026-08-08T08:28:43Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ (m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0. */ 285997 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math>.== Per determinare i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali, distinguiamo innanzitutto il caso in cui il coefficiente di <math>x^2</math> sia nullo. Se <math>m-1=0</math> si ha <math>m=1</math>. Per <math>m=1</math> l'equazione diventa <math>-2(1-2)x-(7\cdot1+1)=0</math> cioè <math>2x-8=0</math>, da cui <math>x=4</math>. Quindi per <math>m=1</math> l'equazione è di primo grado e ammette la radice reale <math>x=4</math>. Consideriamo ora <math>m\ne1</math>. In questo caso l'equazione è di secondo grado e poniamo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math>, <math>c=-(7m+1)</math>. Affinché l'equazione di secondo grado abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math>. Sostituendo i coefficienti otteniamo <math>\Delta=[-2(m-2)]^2-4(m-1)[-(7m+1)]</math>. Quindi <math>\Delta=4(m-2)^2+4(m-1)(7m+1)</math>. Raccogliendo <math>4</math>: <math>\Delta=4\left[(m-2)^2+(m-1)(7m+1)\right]</math>. Sviluppiamo i prodotti: <math>(m-2)^2=m^2-4m+4</math> e <math>(m-1)(7m+1)=7m^2-6m-1</math>. Pertanto <math>\Delta=4\left[m^2-4m+4+7m^2-6m-1\right]</math>, cioè <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>. La condizione per avere radici reali diventa quindi <math>4(8m^2-10m+3)\geq0</math>. Poiché <math>4>0</math>, è equivalente a <math>8m^2-10m+3\geq0</math>. Risolviamo l'equazione associata <math>8m^2-10m+3=0</math>. Il discriminante rispetto a <math>m</math> è <math>\Delta_m=(-10)^2-4\cdot8\cdot3</math> <math>\Delta_m=100-96=4</math>. Le due soluzioni sono <math>m=\frac{10\pm\sqrt{4}}{16}</math>, quindi <math>m=\frac{10\pm2}{16}</math>. Otteniamo <math>m_1=\frac{8}{16}=\frac12</math> e <math>m_2=\frac{12}{16}=\frac34</math>. Poiché il coefficiente di <math>m^2</math> è positivo, il trinomio <math>8m^2-10m+3</math> è non negativo esternamente all'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto <math>8m^2-10m+3\geq0\iff m\leq\frac12\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac34</math>. Dunque i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale sono <math>{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per completezza, per <math>m\ne1</math> le radici si ottengono con la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. Sostituendo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math> e <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>: <math>x=\frac{2(m-2)\pm\sqrt{4(8m^2-10m+3)}}{2(m-1)}</math>. Poiché <math>\sqrt{4(8m^2-10m+3)}=2\sqrt{8m^2-10m+3}</math>, si ottiene <math>x=\frac{2(m-2)\pm2\sqrt{8m^2-10m+3}}{2(m-1)}</math>, e quindi <math>{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, con <math>m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right),\quad m\ne1</math>. Nel caso particolare <math>m=1</math>, già analizzato separatamente, l'equazione non è di secondo grado e la soluzione è <math>{x=4}</math>. In conclusione, l'equazione <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math> ammette radici reali per <math>{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per <math>m\ne1</math> le radici sono <math>{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, mentre per <math>m=1</math> l'unica soluzione reale è <math>{x=4}</math>. cxfhdfeeav84tamnircht9m9la3005s 285998 285997 2026-08-08T08:52:22Z Funzioni di correlazione 24136 285998 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math>.== Per determinare i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali, distinguiamo innanzitutto il caso in cui il coefficiente di <math>x^2</math> sia nullo. Se <math>m-1=0</math> si ha <math>m=1</math>. Per <math>m=1</math> l'equazione diventa <math>-2(1-2)x-(7\cdot1+1)=0</math> cioè <math>2x-8=0</math>, da cui <math>x=4</math>. Quindi per <math>m=1</math> l'equazione è di primo grado e ammette la radice reale <math>x=4</math>. Consideriamo ora <math>m\ne1</math>. In questo caso l'equazione è di secondo grado e poniamo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math>, <math>c=-(7m+1)</math>. Affinché l'equazione di secondo grado abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac\geq0</math>. Sostituendo i coefficienti otteniamo <math>\Delta=[-2(m-2)]^2-4(m-1)[-(7m+1)]</math>. Quindi <math>\Delta=4(m-2)^2+4(m-1)(7m+1)</math>. Raccogliendo <math>4</math>: <math>\Delta=4\left[(m-2)^2+(m-1)(7m+1)\right]</math>. Sviluppiamo i prodotti: <math>(m-2)^2=m^2-4m+4</math> e <math>(m-1)(7m+1)=7m^2-6m-1</math>. Pertanto <math>\Delta=4\left[m^2-4m+4+7m^2-6m-1\right]</math>, cioè <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>. La condizione per avere radici reali diventa quindi <math>4(8m^2-10m+3)\geq0</math>. Poiché <math>4>0</math>, è equivalente a <math>8m^2-10m+3\geq0</math>. Risolviamo l'equazione associata <math>8m^2-10m+3=0</math>. Il discriminante rispetto a <math>m</math> è <math>\Delta_m=(-10)^2-4\cdot8\cdot3</math> <math>\Delta_m=100-96=4</math>. Le due soluzioni sono <math>m=\frac{10\pm\sqrt{4}}{16}</math>, quindi <math>m=\frac{10\pm2}{16}</math>. Otteniamo <math>m_1=\frac{8}{16}=\frac12</math> e <math>m_2=\frac{12}{16}=\frac34</math>. Poiché il coefficiente di <math>m^2</math> è positivo, il trinomio <math>8m^2-10m+3</math> è non negativo esternamente all'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto <math>8m^2-10m+3\geq0\iff m\leq\frac12\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac34</math>. Dunque i valori di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale sono <math>{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per completezza, per <math>m\ne1</math> le radici si ottengono con la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>. Sostituendo <math>a=m-1</math>, <math>b=-2(m-2)</math> e <math>\Delta=4(8m^2-10m+3)</math>: <math>x=\frac{2(m-2)\pm\sqrt{4(8m^2-10m+3)}}{2(m-1)}</math>. Poiché <math>\sqrt{4(8m^2-10m+3)}=2\sqrt{8m^2-10m+3}</math>, si ottiene <math>x=\frac{2(m-2)\pm2\sqrt{8m^2-10m+3}}{2(m-1)}</math>, e quindi <math>{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, con <math>m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right),\quad m\ne1</math>. Nel caso particolare <math>m=1</math>, già analizzato separatamente, l'equazione non è di secondo grado e la soluzione è <math>{x=4}</math>. In conclusione, l'equazione <math>(m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0</math> ammette radici reali per <math>{m\in\left(-\infty,\frac12\right]\cup\left[\frac34,+\infty\right)}</math>. Per <math>m\ne1</math> le radici sono <math>{x_{1,2}=\frac{m-2\pm\sqrt{8m^2-10m+3}}{m-1}}</math>, mentre per <math>m=1</math> l'unica soluzione reale è <math>{x=4}</math>. Ecco il testo completo in formato grezzo per Wikipedia, senza `box` o istruzioni non riconosciute. Consideriamo l'equazione <math>9x^2+1=mx</math> Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>\boxed{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> gu6dmxh5apfliy27d0wcf4x1o7b9714 285999 285998 2026-08-08T08:53:25Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ (m-1)x^2-2(m-2)x-(7m+1)=0. */ 285999 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 8qotb4yeazvv6l3nxwsq8z9mgkffsqu 286000 285999 2026-08-08T08:54:19Z Funzioni di correlazione 24136 286000 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. Ecco il testo completo in formato grezzo per Wikipedia, senza `box` o istruzioni non riconosciute. Consideriamo l'equazione <math>9x^2+1=mx</math> Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>\boxed{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> athqf8blixdxrfkzbs214z2cdofunof 286001 286000 2026-08-08T08:57:17Z Funzioni di correlazione 24136 286001 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>\boxed{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> car261b2wvjfg70zk6tbruaboyetvsy 286002 286001 2026-08-08T08:58:26Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ 9x^2+1=mx */ 286002 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> m3cpmaw9r17irbshpdpyoeobud5fgcf 286003 286002 2026-08-08T08:59:18Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ 9x^2+1=mx */ 286003 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. 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Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math>\\ 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 4s3j5vv90cn2xru97swdbsp5euk81ln 286004 286003 2026-08-08T09:00:32Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ \\ 9x^2+1=mx */ 286004 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 9qhezthzrm4cl0hhwi9s4xavynjiab1 286005 286004 2026-08-08T09:03:39Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1^ 9x^2+1=mx */ 286005 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 59cixia8wk7ejfe9qonk9ihga69du59 286006 286005 2026-08-08T09:04:17Z Funzioni di correlazione 24136 /* 1^ \,9x^2+1=mx */ 286006 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 19dj04xsgk8ylp0p1v4jr2avfeey1bg 286007 286006 2026-08-08T09:05:06Z Funzioni di correlazione 24136 /* 5^ 9x^2+1=mx */ 286007 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m del tipo <math> a x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\, \, 9x^2+1=mx</math> == <math>0<m\le\frac18</math> risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> nzr90jzwghdgjqogn03sj15l04q8634 0 37749 285946 285940 2026-08-07T14:02:05Z Funzioni di correlazione 24136 285946 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. taqwjsk33qtfq8eq0om3oce3o67p04q 285947 285946 2026-08-07T14:07:18Z Funzioni di correlazione 24136 285947 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> 6kjy0vycw8xoakb6y084rmzv3rtcvsq 285988 285947 2026-08-08T07:50:39Z Funzioni di correlazione 24136 285988 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. dh0y5vuu0ihjddizy70c6yj3vssnl76 285995 285988 2026-08-08T08:15:29Z Funzioni di correlazione 24136 285995 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>9x^2+1=mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. smr5wwkxp49rktxpc2mnvlnqvj4d23h 286008 285995 2026-08-08T09:10:51Z Funzioni di correlazione 24136 286008 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. rs1q21fzyvlf4ashjtni4d229a3jhzy 286009 286008 2026-08-08T09:11:16Z Funzioni di correlazione 24136 /* 2^ 8x^2-(m-1)x+m-7=0 */ 286009 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. l7rvlahidmmasdtqnbq9rim2zcj6vn2 286010 286009 2026-08-08T09:11:49Z Funzioni di correlazione 24136 /* 3^ \frac{3x+m}{2x+3}=x-m */ 286010 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. 99ocuxy8v5m4qee9rxi5r0nfn0po38d 286011 286010 2026-08-08T09:12:40Z Funzioni di correlazione 24136 /* 4^ (mx+1)(x-2)+m=0 */ 286011 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. 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Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>\,\,(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. cnexx8auuvwb9z723f69i0ep2c7ut0d 286012 286011 2026-08-08T09:15:04Z Funzioni di correlazione 24136 286012 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 0%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>\,\,(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 8gtw7f1xvdlz4chjnukmhocwm7mx8dx 286013 286012 2026-08-08T09:16:58Z Funzioni di correlazione 24136 286013 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 25%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} ==Esercizi sui problemi di secodo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, del tipo <math> m \cdot a \cdot x^2 + b \cdot m \cdot x + c \cdot m </math> dove i coefficienti a, b, c sono noti e il parametro m deve essere valutato. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 20 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>\,\,(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> 0cupo2o1i1dsadzj8873iwedpa6a4kt