Wikiversità itwikiversity https://it.wikiversity.org/wiki/Pagina_principale MediaWiki 1.47.0-wmf.15 first-letter Media Speciale Discussione Utente Discussioni utente Wikiversità Discussioni Wikiversità File Discussioni file MediaWiki Discussioni MediaWiki Template Discussioni template Aiuto Discussioni aiuto Categoria Discussioni categoria Area Discussioni area Corso Discussioni corso Materia Discussioni materia Dipartimento Discussioni dipartimento Education Program Education Program talk TimedText TimedText talk Modulo Discussioni modulo Evento Discussioni evento 102 3058 286200 258630 2026-08-13T08:07:26Z Cromenio 46857 286200 wikitext text/x-wiki {{Corso|20 |classe=L24 Classe delle lauree in scienze e tecniche psicologiche |cestor=http://www.cestor.it/atenei/l024.htm |banner=Psi2.svg |presentazione= [[Immagine:Psi2.svg|200px|left]] Questo corso propone agli studenti lo studio delle conoscenze di base caratterizzanti i diversi settori delle discipline psicologiche. Vengono inoltre proposte alcune materie che possono essere utili per la comprensione della realtà nella sua complessità, soprattutto nel campo biologico, sociale e antropologico. |base= #'''Fondamenti della psicologia''' #*[[Materia:Psicologia_generale|Psicologia generale]] #*[[Materia:Psicologia_dinamica|Psicologia dinamica]] #*[[Materia:Psicometria|Psicometria]]<!-- #*[[Materia:Psicobiologia_e_psicologia_fisiologica|Psicobiologia e psicologia fisiologica (M-PSI/02)]] #*[[Materia:Psicologia_del_lavoro_e_delle_organizzazioni|Psicologia del lavoro e delle organizzazioni (M-PSI/06)]]--> #'''Formazione interdisciplinare''' #*[[Materia:Logica_e_filosofia_della_scienza|Logica e filosofia della scienza]] #*[[Materia:Storia_della_filosofia|Storia della filosofia]] #*[[Materia:Storia_della_scienza|Storia della scienza]]<!-- #*[[Materia:Biologia_applicata|Biologia applicata (BIO/13)]] #*[[Materia:Discipline_demoentoantropologiche|Discipline demoentoantropologiche (M-DEA/01)]] #*[[Materia:Pedagogia_generale_e_sociale|Pedagogia generale e sociale (M-PED/01)]] #*[[Materia:Pedagogia_sperimentale|Pedagogia sperimentale (M-PED/04)]] #*[[Materia:Sociologia_generale|Sociologia generale (SPS/07)]] #*[[Materia:Sociologia_dei_processi_culturali_e_comunicativi|Sociologia dei processi culturali e comunicativi (SPS/08)]]--> |specializzazione= #'''Scientifico-tecnologico e dei metodi quantitativi''' #*[[Materia:Informatica|Informatica]] #*[[Materia:Sistemi_di_elaborazione_delle_informazioni|Sistemi di elaborazione delle informazioni]] #*[[Materia:Analisi_matematica|Analisi matematica]] #*[[Materia:Probabilità_e_statistica_matematica|Probabilità e statistica matematica]] #*[[Materia:Statistica|Statistica]] #*[[Materia:Psicologia ambientale|Psicologia ambientale]] #'''Scienze biologiche e mediche''' #*[[Materia:Anatomia umana|Anatomia umana]] #*[[Materia:Biochimica|Biochimica]] #*[[Materia:Fisiologia|Fisiologia]] #*[[Materia:Genetica|Genetica]] #*[[Materia:Neurologia|Neurologia]] #*[[Materia:Medicina_legale|Medicina legale]]<!-- #*[[Materia:Neuropsichiatria_infantile|Neuropsichiatria infantile (MED/39)]]--> #'''Discipline linguistiche, storiche, filosofiche e pedagogiche''' #*[[Materia:Filosofia_morale|Filosofia morale]] #*[[Materia:Storia_contemporanea|Storia contemporanea]]<!-- #*[[Materia:Glottogia_e_linguistica|Glottologia e linguistica (L-LIN/01)]] #*[[Materia:Filosofia_e_teoria_dei_linguaggi|Filosofia e teoria dei linguaggi (M-FIL/05)]] #*[[Materia:Didattica_e_pedagogia_speciale|Didattica e pedagogia speciale (M-PED/03)]]--> #'''Discipline economiche e sociologiche''' #*[[Materia:Economia_aziendale|Economia aziendale]] #*[[Materia:Organizzazione_aziendale|Organizzazione aziendale]]<!-- #*[[Materia:Statistica_sociale|Statistica sociale (SECS-S/05)]] #*[[Materia:Sociologia_giuridica_della_devianza_e_mutamento_sociale|Sociologia giuridica, della devianza e mutamento sociale (SPS/12)]]--> }} 1ev39k4ja6mwjn0gcte8z263pwvhst4 100 4125 286201 258596 2026-08-13T08:08:16Z Cromenio 46857 286201 wikitext text/x-wiki __NOEDITSECTION__ === Sociologia === ====Corsi Triennali==== scienze sociologiche {{elenco corsi |img1 = Logo sociology.svg |corso1 = Sociologia |descrizione1 = |img2 = Logo sociology.svg |corso2 = Servizio sociale |descrizione2 = }} ====Corsi Specialistici==== Scienze per le politiche sociali e del Terzo settore: {{elenco corsi |img1 |corso1 = Antropologia ed etnografia |descrizione1 = |img2 |corso2 = Lavoro sociale per la famiglia e la protezione dei minori |descrizione2 = |img3 |corso3 = Lavoro sociale di comunità e coordinamento dei servizi |descrizione3 = |img4 |corso4 = Scienze cognitive e processi decisionali |descrizione4 = }} Scienze sociali applicate: {{elenco corsi |img1 |corso1 = Analisi del lavoro e direzione d'impresa |descrizione1 = |img2 = SIG210-Morges.png |corso2 = Criminalità e sicurezza |descrizione2 = |img3 |corso3 = Ricerca sociale |descrizione3 = }} === Psicologia === {{elenco corsi |img1 = Psi2.svg |corso1 = Scienze e tecniche psicologiche |descrizione1 = Questo corso propone agli studenti lo studio delle conoscenze di base caratterizzanti i diversi settori delle discipline psicologiche. Vengono inoltre proposte alcune materie che possono essere utili per la comprensione della realtà nella sua complessità, soprattutto nel campo biologico, sociale e antropologico.}} === Scienze della Comunicazione === {{elenco corsi |img1 = Simple Comments.svg |corso1 = Scienze della comunicazione |descrizione1 =Il corso in Scienze della Comunicazione si pone l'obiettivo di fornire competenze di base e abilità specifiche nei diversi settori della comunicazione e dell'informazione. Lo sviluppo delle abilità necessarie alla produzione di testi informativi e comunicativi, unitamente alla conoscenza delle nuove tecnologie di elaborazione delle informazioni rappresentano le condizioni essenziali allo svolgimento di compiti professionali nei media, nella pubblica amministrazione, nei diversi apparati dell'industria culturale e nei settori specifici dell'industria privata. |img2 = Simple Comments.svg |corso2 = Comunicazione d'impresa |descrizione2 = |img3 |corso3 = Comunicazione pubblicitaria |descrizione3 = |img4 |corso4 = Diritto delle comunicazioni |descrizione4 = }} 9125hd4eu5qctzfb367jqxg0nl7f3pl 0 31334 286194 275580 2026-08-13T07:55:57Z Marco Ciaramella 14088 /* Risposte tipiche */ Frasi per smalltalk 286194 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche == * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! * Ja, aber... * Ich bin deiner Meinung, weil ... == Frasi per smalltalk di uso comune == === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) * Ich bin da. (wo, stato in luogo) {{nav linguated}} t3pfcothskhwofendwvs0sdpc3ktbeq 286195 286194 2026-08-13T07:56:32Z Marco Ciaramella 14088 /* Frasi per smalltalk di uso comune */ Significato. 286195 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche == * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! * Ja, aber... * Ich bin deiner Meinung, weil ... == Frasi per smalltalk di uso comune == === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là. * Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui. {{nav linguated}} oxuaijwerrentnrfipeibshfkvns1dp 286196 286195 2026-08-13T07:56:53Z Marco Ciaramella 14088 /* Frasi per smalltalk di uso comune */ No sezione separata 286196 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche == * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! * Ja, aber... * Ich bin deiner Meinung, weil ... === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là. * Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui. {{nav linguated}} cymzpinv12ftlag9xvz6k9y9ipnl21n 286197 286196 2026-08-13T07:59:20Z Marco Ciaramella 14088 /* Risposte tipiche */ Riorganizzazione delle sottosezione e sistematizzazione. 286197 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche a frasi o domande == === Assenso === * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! === Assenso con motivazione === * Ich bin deiner Meinung, weil ... = Sono (anch'io) della tua opinione, perché... === Assenso condizionato === * Ja, aber... = Sì, tuttavia... === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là. * Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui. {{nav linguated}} fawinptqnlytuhasykpozpmeth9m2o8 286198 286197 2026-08-13T08:03:35Z Marco Ciaramella 14088 /* Essere d'accordo */ Aggiunta significato mancante. 286198 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... = Sono d'accordo. Inoltre,... == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche a frasi o domande == === Assenso === * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! === Assenso con motivazione === * Ich bin deiner Meinung, weil ... = Sono (anch'io) della tua opinione, perché... === Assenso condizionato === * Ja, aber... = Sì, tuttavia... === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là. * Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui. {{nav linguated}} g3w2d6457cgydpzjgk8fhccg12d4zdz 286199 286198 2026-08-13T08:04:28Z Marco Ciaramella 14088 Piccolo riordino. 286199 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo = lezione|materia1 = lingua tedesca}} == Esprimere pensieri/opinioni == Formule per esprimere ''Gedanken''/''Meinungen'': * Ich finde/denke, dass ... * Meiner Auffassung/Ansicht/Meinung nach.... * In Bezug auf würde ich sagen, dass ... * Ich bin der festen Überzeugung, dass ... * Ich vertrete folgenden Standpunkt. * Ich bin [immer noch] der Meinung, dass ... == Essere d'accordo == * Du hast Recht = Hai ragione. * Ich teile deine Ansicht. = Condivido la tua opinione. * Ich bin ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo. ** Ich bin mir dir ganz einer Meinung = Sono totalmente d'accordo con te. (variante del precedente) * Sind wir alle einer Meinung, glaube ich = Credo che siamo tutti d'accordo. * Das sehe ich genauso. Außerdem... = Sono d'accordo. Inoltre,... * Stimmt! (colloquiale, adatto a contesti anche formali e.g. lavoro ma non troppo formali) = Esattamente, giusto! * Genau! (idem) = Esattamente, giusto! == Essere in disaccordo == * Ich bin ganz anderer Meinung als du = Sono totalmente in disaccordo con te. * Das stimmt zwar, aber ich glaube, dass... = È vero, ma credo che... == Risposte tipiche a frasi o domande == === Assenso con motivazione === * Ich bin deiner Meinung, weil ... = Sono (anch'io) della tua opinione, perché... === Assenso condizionato === * Ja, aber... = Sì, tuttavia... === Luogo === * Ich gehe dahin/dorthin. (wohin, moto a luogo) = Io vado là. * Ich bin da. (wo, stato in luogo) = Io sono qui. {{nav linguated}} 61bwfnt5inhent29w6hsgmbciyek4ja 102 37619 286193 286155 2026-08-13T07:46:36Z Funzioni di correlazione 24136 286193 wikitext text/x-wiki {{Corso|7 |banner=Lenovo G500s laptop-2905.jpg |dip=Scienze meccaniche e aerospaziali <!--Contenuto--> |presentazione= Il corso, a livello scuole medie superiori, è indirizzato a sudenti, tecnici, ingegneri e si propone due obiettivi: * Trasmettere una conoscenza di base sulle tecniche d'impiego dell'INTELLIGENZA ARTIFICIALE per l'apprendimento della matematica. * Mostrare una serie di applicazioni tecniche per i calcoli al Personal Computer sia con l'intelligenza artificiale sia con elaboratori sviluppati come file.exe . '''''Prerequisiti di base''''' Dato che il corso non ha la pretesa d'insegnare la matematica ma soltanto alcune tecniche di calcolo al P.C, per una migliore comprensione degli argomenti esposti durante il lavoro si consiglia la consultazione dei testi: *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova *Trigonometria piana" T. Vardanega- Soc. ed. Intern Torino *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) *La correlazione : testo liberamente scaricabile:[ht tp://www.sonar-info.info/p5/5pagina.html con il link]: * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli *The Fourier integral and its applications - A. Papoulis, Mc Graw-Hill, New York *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna La Spezia |base= '''''Il corso è costituito da un'introduzione e 16 materie di matematica con 190 esercizi completamente sviluppati:''''' *[[Introduzione all'impiego dell'intelligenza artificiale per applicazioni di matematica]] *[[Algebra con IA]] *[[Disequazioni con IA]] * [[Geometria piana]] * [[Applicazioni di geometria analitica]] * [[Calcolo dei limiti delle funzioni con IA]] * [[Le derivate: elenchi e calcoli]] * [[Le derivate delle funzioni di funzioni]] *[[ Studio di funzioni secondo IA]] *[[ Discussione dei problemi di secondo grado]] * [[Integrali definiti]] * [[Integrali indefiniti]] *[[ Teoria dei residui]] *[[Calcolatore della trasformata di Fourier]] * [[Calcolatore della serie di Fourier]] * [[Le funzioni di correlazione]] * [[Cenno sulle equazioni differenziali]] }} [[categoria: sonar]] btaa43g2u6qydchgdkv42erz89x8wlz 0 37623 286172 284730 2026-08-13T06:44:35Z Funzioni di correlazione 24136 286172 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 100% }} ,,,9 Esercizi... ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== Calcolare il limite di: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)+x}{x}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di y = (sin (x) + x ) / x ''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1L5iN5WKBwhT9c9JWRKcMQM8apc9PoAqF/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione logaritmica== Calcolo del limite di: <math>\lim_{x\to\infty} x^{a}\ln(x)</math> per a = costante trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente ad infinito di y = x^a * ln (x)''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1w6quZhXFFMAJTwVHaAhonoNa1QlhYdP-/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione esponenziale== Calcolo di: <math>\lim_{z \to \infty} z^a e^{-z} = 0</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic: '''calcola limite per z tendente ad infinito di y = z^a * e^-z''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1rZXbRfjqBIxASLr8FiS2joXod1zg_jx9/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== Calcola: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math> trascriviamo la funzione in Basic ottenendo: '''calcola il limite per x tendente a 0 di y = sin (x) / x''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1vwQsCwXaHy8InHLWNRQN0osFXvovg53G/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == Calcolare: <math> \lim_{x \to -1} (\arccos(x) + 2^x)</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a -1 di y = ( arccos( x) + 2^x)''' da inserire come testo su AI con il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/13DfWReLFjhR6W8k4_jwCyF231XKzaGAf/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Un limite complicato== Calcola: <math> lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di (e^x-1-x- x^2/2 )/x^3''' La soluzione molto complessa è: [[https://drive.google.com/file/d/1E7O4LcDZ5uSh6Qst1xE6JHuYS7QyWFfV/view?usp=drive_link]Soluzione] exmsvio79z7s8yk1q7qzn3nd5guwz1v 286173 286172 2026-08-13T06:45:16Z Funzioni di correlazione 24136 286173 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 100% }} ...9 Esercizi... ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== Calcolare il limite di: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)+x}{x}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di y = (sin (x) + x ) / x ''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1L5iN5WKBwhT9c9JWRKcMQM8apc9PoAqF/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione logaritmica== Calcolo del limite di: <math>\lim_{x\to\infty} x^{a}\ln(x)</math> per a = costante trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente ad infinito di y = x^a * ln (x)''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1w6quZhXFFMAJTwVHaAhonoNa1QlhYdP-/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione esponenziale== Calcolo di: <math>\lim_{z \to \infty} z^a e^{-z} = 0</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic: '''calcola limite per z tendente ad infinito di y = z^a * e^-z''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1rZXbRfjqBIxASLr8FiS2joXod1zg_jx9/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== Calcola: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math> trascriviamo la funzione in Basic ottenendo: '''calcola il limite per x tendente a 0 di y = sin (x) / x''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1vwQsCwXaHy8InHLWNRQN0osFXvovg53G/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == Calcolare: <math> \lim_{x \to -1} (\arccos(x) + 2^x)</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a -1 di y = ( arccos( x) + 2^x)''' da inserire come testo su AI con il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/13DfWReLFjhR6W8k4_jwCyF231XKzaGAf/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Un limite complicato== Calcola: <math> lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di (e^x-1-x- x^2/2 )/x^3''' La soluzione molto complessa è: [[https://drive.google.com/file/d/1E7O4LcDZ5uSh6Qst1xE6JHuYS7QyWFfV/view?usp=drive_link]Soluzione] pzkzuxilxjh9c4xcxqmnh51oz7kze46 286174 286173 2026-08-13T06:47:03Z Funzioni di correlazione 24136 286174 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 100% }} '''(9 Esercizi)... ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== Calcolare il limite di: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)+x}{x}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di y = (sin (x) + x ) / x ''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1L5iN5WKBwhT9c9JWRKcMQM8apc9PoAqF/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione logaritmica== Calcolo del limite di: <math>\lim_{x\to\infty} x^{a}\ln(x)</math> per a = costante trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente ad infinito di y = x^a * ln (x)''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1w6quZhXFFMAJTwVHaAhonoNa1QlhYdP-/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione esponenziale== Calcolo di: <math>\lim_{z \to \infty} z^a e^{-z} = 0</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic: '''calcola limite per z tendente ad infinito di y = z^a * e^-z''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1rZXbRfjqBIxASLr8FiS2joXod1zg_jx9/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== Calcola: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math> trascriviamo la funzione in Basic ottenendo: '''calcola il limite per x tendente a 0 di y = sin (x) / x''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1vwQsCwXaHy8InHLWNRQN0osFXvovg53G/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == Calcolare: <math> \lim_{x \to -1} (\arccos(x) + 2^x)</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a -1 di y = ( arccos( x) + 2^x)''' da inserire come testo su AI con il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/13DfWReLFjhR6W8k4_jwCyF231XKzaGAf/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Un limite complicato== Calcola: <math> lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di (e^x-1-x- x^2/2 )/x^3''' La soluzione molto complessa è: [[https://drive.google.com/file/d/1E7O4LcDZ5uSh6Qst1xE6JHuYS7QyWFfV/view?usp=drive_link]Soluzione] 8emy9nqoncyisf6fegtlzwkmj5c4dba 286175 286174 2026-08-13T06:47:27Z Funzioni di correlazione 24136 286175 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolo limiti di funzioni | avanzamento = 100% }} '''(9 Esercizi)''' ==Esempio di calcolo del limite di una funzione trascendente con IA e il basic== Calcola limite di y per x tendente a 5 di <math>y = \left( \frac {x-5} { {\sqrt{x}} - {\sqrt{5}} } \right) </math> trascriviamo la funzione in una stringa discorsiva e in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 5 di y =(x-5)/(sqr x -sqr 5''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1CFTgnexVX2e0OH7A1X39oI9G8oy8GZOF/view?usp=drive_link]Suluzione ==Calcolo del imite di una funzione razionale intera== <math>\lim_{x \to 2} (3x+1)</math> inseriamo la funzione direttamente su IA scrivendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = 3 x + 1 ''' da inserire come stringa su IA ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1zNJ8gwGXtX_cIytxO9ntW2ca04kzDqss/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti di funzioni razionale fratte== Con IA si calcoli il limite della funzione razionale fratta per x tendente a 2. <math>\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 2 di y = (x^2 - 4) / ( x^2 - 3 * x + 2 )''' da inserire come stringa su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1_m1TabgrS4AxzS0e7gDpVzyZvhnf68P3/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limiti delle funzioni elementari== Calcolare il limite di: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)+x}{x}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di y = (sin (x) + x ) / x ''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1L5iN5WKBwhT9c9JWRKcMQM8apc9PoAqF/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione logaritmica== Calcolo del limite di: <math>\lim_{x\to\infty} x^{a}\ln(x)</math> per a = costante trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente ad infinito di y = x^a * ln (x)''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1w6quZhXFFMAJTwVHaAhonoNa1QlhYdP-/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite della funzione esponenziale== Calcolo di: <math>\lim_{z \to \infty} z^a e^{-z} = 0</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic: '''calcola limite per z tendente ad infinito di y = z^a * e^-z''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1rZXbRfjqBIxASLr8FiS2joXod1zg_jx9/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni trigonometriche== Calcola: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math> trascriviamo la funzione in Basic ottenendo: '''calcola il limite per x tendente a 0 di y = sin (x) / x''' da inserire come testo su AI ottenendo il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/1vwQsCwXaHy8InHLWNRQN0osFXvovg53G/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Limite per una delle funzioni ciclometriche == Calcolare: <math> \lim_{x \to -1} (\arccos(x) + 2^x)</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a -1 di y = ( arccos( x) + 2^x)''' da inserire come testo su AI con il risultato: [[https://drive.google.com/file/d/13DfWReLFjhR6W8k4_jwCyF231XKzaGAf/view?usp=drive_link]Soluzione] ==Un limite complicato== Calcola: <math> lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}}{x^3}</math> trascriviamo la funzione in una stringa in Basic ottenendo: '''calcola limite per x tendente a 0 di (e^x-1-x- x^2/2 )/x^3''' La soluzione molto complessa è: [[https://drive.google.com/file/d/1E7O4LcDZ5uSh6Qst1xE6JHuYS7QyWFfV/view?usp=drive_link]Soluzione] d86465zjm9ds93v2xpeiphhghxglzw9 0 37624 286176 284819 2026-08-13T06:50:30Z Funzioni di correlazione 24136 /* Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard. */ 286176 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate | avanzamento = 100% }} ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== '''(9 Esercizi) ''' ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== [[https://drive.google.com/file/d/1cSCiu82mF26ZRJYYiZ98snZt2fZafxrl/view?usp=drive_link]Elenco da IA] ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> oq384hp8ewkfolyx2cbr1qyva3bpb3j 286177 286176 2026-08-13T06:53:17Z Funzioni di correlazione 24136 286177 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate | avanzamento = 100% }} ==Sulle derivate delle funzioni trascendenti in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== '''(8 Esercizi) ''' ==Prima delle derivate un elenco delle funzioni trascendenti== [[https://drive.google.com/file/d/1cSCiu82mF26ZRJYYiZ98snZt2fZafxrl/view?usp=drive_link]Elenco da IA] ==Elenco delle funzioni trigonometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni trigonometriche elementari: [[https://drive.google.com/file/d/1kcaMmfCZOUHznBR0vngdBob5rEU-6oNg/view?usp=drive_link] Elenco da IA] ==Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] ==Derivata di una funzione con le regole classiche== Data <math>f(x) = (x^2 + 1)\,e^{3x}\,\sin(x)</math> Sequenza di lavoro per il computo della derivata: Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto: '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x con le regole standard di derivazione''' (formulazione discorsiva e basic) La risposta di IA al link: [[https://drive.google.com/file/d/17lH7sg71Gp7bFsJ2v2q5HYLmXlnKUtnr/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate== Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ==Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ==Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ==Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ==Calcolo della derivata di una funzione logaritmica== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ==Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> 4drletktn4opj5k9jdty7ux7tclfxuz 0 37625 286178 284439 2026-08-13T06:57:35Z Funzioni di correlazione 24136 286178 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Integrali definiti | avanzamento = 100% }} '''(25 Esercizi) ''' ==Semplice routine di calcolo degli integrali definiti.== In questa sezione viene illustrato un software, redatto in Basic, per il calcolo dei valori sull'integrazione definita. Gli algoritmi implementati sono elaborati da diverse routine in Basic che, se d'interesse, il lettore potrà facilmente copiarle e sviluppare in Visual Basic. [[https://drive.google.com/file/d/1zQQyEhEV_4Ek_8b0bsdWbt22pVSyEhwK/view?usp=drive_link] Spiegazioni e listato del programma] ==Procedimento di calcolo con IA degli integrali definiti== Le modalità d'inserzione dei dati in IA sono discorsive secondo la stringa: Calcolare l'integrale definito della funzione y = Sin(x) Cos (x) nell'intervallo a = 0, b= 0.7 rad. [[https://drive.google.com/file/d/1ORsi660f0pK0qeLOSXK4onAC1DVZYP1P/view?usp=drive_lin] La risposta di IA] ==Calcolo degli integrali definiti su curve note== Per relazionarsi di più al significato d'integrale definito si propone un file.exe di calcolo, DEFINTEGRAL, con annessa spiegazione; con l'eseguibile si può interagire con le variabili in gioco per una migliore comprensione del loro peso nell'operazione d'integrazione. [[https://docs.google.com/document/d/1IMYMTBkFeoF0VwS7jgYCwwEFijRqlV0xYbbGkpazd54/edit?usp=drive_link]Spiegazione] [[https://drive.google.com/file/d/18GLz2dun4REOnQam1QOPgHVtr0Ek7XCN/view?usp=drive_link]File zip] == Calcolo degli integrali definiti da tabelle di indefiniti== Si propongono cinque flile eseguibili, contenuti in cinque cartelle zip, di una serie nominata INTEGRAMATH che svolge le seguenti operazioni: INTEGRAMATH(tr) (integrazione indefinita di funzioni trigonometriche) INTEGRAMATH(cic) (integrazione indefinita di funzioni ciclometriche) INTEGRAMATH(ipb) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche) INTEGRAMATH(ipb-inv) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche inverese) INTEGRAMATH(fi) (le funzioni integrali) ==Tabelle degli integrali indefiniti delle funzioni trigonometriche di INTEGRAMATH(tr) e computo degli integrali definiti selezionati== La spiegazione per l'impiego del cacolatore e il file operativo nei due link seguenti: [[https://drive.google.com/file/d/1podDEgERIDtpeP5zcEigLE9-nsqT1JzM/view?usp=drive_link] Spiegazione ] [[https://drive.google.com/file/d/1uFiYhtJi_lNaDIrmHdovR-r7V632AUKa/view?usp=drive_link]INTEGRAMATH(tr) zip] Per tutti gli integrali delle tabelle il procedimento di calcolo è analogo a quello ora mostrato nella spiegazione salvo INTEGRAMATH(fi) che si presenta con un pannello di comando con dei bottoni di selezione delle funzioni integrali da calcolare. L'elenco dei file zip per le tabelle restanti è sotto riportato: [[https://drive.google.com/file/d/1SAX6LrMjHSFnRMhWqQMgPu0S9c4BC1jH/viewusp=drive_link]INTEGRAMATH(cic)] [[https://drive.google.com/file/d/1IqQCqYRaUvWGKpct_hdPRfAWKvxNm8-h/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb)] [[https://drive.google.com/file/d/15b0k5PCyz9sQDD8U5O9hvkXW37ZBFMHU/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb-inv)] [[https://drive.google.com/file/d/1KaQhK03TmxlRh4rlGQUUt44DbD9kP-2z/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH( fi )] ==Integrali definiti particolari== Si tratta d'integrali studiati da noti matematici quali: Clausen Debye Sievert Nell'ordine i link per l'impiego dei file exe di calcolo con i quali si opera facilmente inserendo gli estremi d'integrazione voluti. [[https://drive.google.com/file/d/1Twy8vyTdG4TPSCoUW_Acj7nN7TO3oHOc/view?usp=drive_link] Discussione integrale di Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1FQN7_pMp_dLhfbC-CQnxRndbEueujaWY/view?usp=drive_link] Al file zip Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1gNJlXn_j6wLxyB4ojtY-dzPEYri1pXU5/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1yRmicLuFBKDNSBXe3VviERqSO1Iz2-fC/view?usp=drive_link] Al file zip di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1iRxOKTdZriNTDPxD9i2jeauYHKA_-JsQ/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Sievert] [[https://drive.google.com/file/d/1py-ARn15xE-1FwTPIJ1d7DQxcBZLX6FN/view?usp=drive_link] File zip di Sievert] ==Un integrale definito speciale== L'integrale in oggetto non fa parte della serie INTEGRALMATH ma impiega una machhina da calcolo diversa indicata come: ELLIPTIC I due link sotto indicati ne consentono la discussione e l'impiego: [[https://drive.google.com/file/d/1W1IB1vYfy6T22bqYiWiEis28caM9clyI/view?usp=drive_link]Discussione di ELLIPTIC] [[https://drive.google.com/file/d/1_XVFytGrUL0aS842F4GNcGsxY3uYBWtD/view?usp=drive_link] Al file zip per l'eseguibile di calcolo] jnjtu7svlswhx84k7gzcweem6h3xvpa 286179 286178 2026-08-13T07:00:45Z Funzioni di correlazione 24136 286179 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Integrali definiti | avanzamento = 100% }} '''(11 Esercizi) ''' ==Semplice routine di calcolo degli integrali definiti.== In questa sezione viene illustrato un software, redatto in Basic, per il calcolo dei valori sull'integrazione definita. Gli algoritmi implementati sono elaborati da diverse routine in Basic che, se d'interesse, il lettore potrà facilmente copiarle e sviluppare in Visual Basic. [[https://drive.google.com/file/d/1zQQyEhEV_4Ek_8b0bsdWbt22pVSyEhwK/view?usp=drive_link] Spiegazioni e listato del programma] ==Procedimento di calcolo con IA degli integrali definiti== Le modalità d'inserzione dei dati in IA sono discorsive secondo la stringa: Calcolare l'integrale definito della funzione y = Sin(x) Cos (x) nell'intervallo a = 0, b= 0.7 rad. [[https://drive.google.com/file/d/1ORsi660f0pK0qeLOSXK4onAC1DVZYP1P/view?usp=drive_lin] La risposta di IA] ==Calcolo degli integrali definiti su curve note== Per relazionarsi di più al significato d'integrale definito si propone un file.exe di calcolo, DEFINTEGRAL, con annessa spiegazione; con l'eseguibile si può interagire con le variabili in gioco per una migliore comprensione del loro peso nell'operazione d'integrazione. [[https://docs.google.com/document/d/1IMYMTBkFeoF0VwS7jgYCwwEFijRqlV0xYbbGkpazd54/edit?usp=drive_link]Spiegazione] [[https://drive.google.com/file/d/18GLz2dun4REOnQam1QOPgHVtr0Ek7XCN/view?usp=drive_link]File zip] == Calcolo degli integrali definiti da tabelle di indefiniti== Si propongono cinque flile eseguibili, contenuti in cinque cartelle zip, di una serie nominata INTEGRAMATH che svolge le seguenti operazioni: INTEGRAMATH(tr) (integrazione indefinita di funzioni trigonometriche) INTEGRAMATH(cic) (integrazione indefinita di funzioni ciclometriche) INTEGRAMATH(ipb) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche) INTEGRAMATH(ipb-inv) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche inverese) INTEGRAMATH(fi) (le funzioni integrali) ==Tabelle degli integrali indefiniti delle funzioni trigonometriche di INTEGRAMATH(tr) e computo degli integrali definiti selezionati== La spiegazione per l'impiego del cacolatore e il file operativo nei due link seguenti: [[https://drive.google.com/file/d/1podDEgERIDtpeP5zcEigLE9-nsqT1JzM/view?usp=drive_link] Spiegazione ] [[https://drive.google.com/file/d/1uFiYhtJi_lNaDIrmHdovR-r7V632AUKa/view?usp=drive_link]INTEGRAMATH(tr) zip] Per tutti gli integrali delle tabelle il procedimento di calcolo è analogo a quello ora mostrato nella spiegazione salvo INTEGRAMATH(fi) che si presenta con un pannello di comando con dei bottoni di selezione delle funzioni integrali da calcolare. L'elenco dei file zip per le tabelle restanti è sotto riportato: [[https://drive.google.com/file/d/1SAX6LrMjHSFnRMhWqQMgPu0S9c4BC1jH/viewusp=drive_link]INTEGRAMATH(cic)] [[https://drive.google.com/file/d/1IqQCqYRaUvWGKpct_hdPRfAWKvxNm8-h/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb)] [[https://drive.google.com/file/d/15b0k5PCyz9sQDD8U5O9hvkXW37ZBFMHU/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb-inv)] [[https://drive.google.com/file/d/1KaQhK03TmxlRh4rlGQUUt44DbD9kP-2z/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH( fi )] ==Integrali definiti particolari== Si tratta d'integrali studiati da noti matematici quali: Clausen Debye Sievert Nell'ordine i link per l'impiego dei file exe di calcolo con i quali si opera facilmente inserendo gli estremi d'integrazione voluti. [[https://drive.google.com/file/d/1Twy8vyTdG4TPSCoUW_Acj7nN7TO3oHOc/view?usp=drive_link] Discussione integrale di Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1FQN7_pMp_dLhfbC-CQnxRndbEueujaWY/view?usp=drive_link] Al file zip Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1gNJlXn_j6wLxyB4ojtY-dzPEYri1pXU5/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1yRmicLuFBKDNSBXe3VviERqSO1Iz2-fC/view?usp=drive_link] Al file zip di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1iRxOKTdZriNTDPxD9i2jeauYHKA_-JsQ/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Sievert] [[https://drive.google.com/file/d/1py-ARn15xE-1FwTPIJ1d7DQxcBZLX6FN/view?usp=drive_link] File zip di Sievert] ==Un integrale definito speciale== L'integrale in oggetto non fa parte della serie INTEGRALMATH ma impiega una machhina da calcolo diversa indicata come: ELLIPTIC I due link sotto indicati ne consentono la discussione e l'impiego: [[https://drive.google.com/file/d/1W1IB1vYfy6T22bqYiWiEis28caM9clyI/view?usp=drive_link]Discussione di ELLIPTIC] [[https://drive.google.com/file/d/1_XVFytGrUL0aS842F4GNcGsxY3uYBWtD/view?usp=drive_link] Al file zip per l'eseguibile di calcolo] dja0l58a51yb7an0vgv7cans35klv2c 286180 286179 2026-08-13T07:01:45Z Funzioni di correlazione 24136 286180 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Integrali definiti | avanzamento = 100% }} '''(13 Esercizi) ''' ==Semplice routine di calcolo degli integrali definiti.== In questa sezione viene illustrato un software, redatto in Basic, per il calcolo dei valori sull'integrazione definita. Gli algoritmi implementati sono elaborati da diverse routine in Basic che, se d'interesse, il lettore potrà facilmente copiarle e sviluppare in Visual Basic. [[https://drive.google.com/file/d/1zQQyEhEV_4Ek_8b0bsdWbt22pVSyEhwK/view?usp=drive_link] Spiegazioni e listato del programma] ==Procedimento di calcolo con IA degli integrali definiti== Le modalità d'inserzione dei dati in IA sono discorsive secondo la stringa: Calcolare l'integrale definito della funzione y = Sin(x) Cos (x) nell'intervallo a = 0, b= 0.7 rad. [[https://drive.google.com/file/d/1ORsi660f0pK0qeLOSXK4onAC1DVZYP1P/view?usp=drive_lin] La risposta di IA] ==Calcolo degli integrali definiti su curve note== Per relazionarsi di più al significato d'integrale definito si propone un file.exe di calcolo, DEFINTEGRAL, con annessa spiegazione; con l'eseguibile si può interagire con le variabili in gioco per una migliore comprensione del loro peso nell'operazione d'integrazione. [[https://docs.google.com/document/d/1IMYMTBkFeoF0VwS7jgYCwwEFijRqlV0xYbbGkpazd54/edit?usp=drive_link]Spiegazione] [[https://drive.google.com/file/d/18GLz2dun4REOnQam1QOPgHVtr0Ek7XCN/view?usp=drive_link]File zip] == Calcolo degli integrali definiti da tabelle di indefiniti== Si propongono cinque flile eseguibili, contenuti in cinque cartelle zip, di una serie nominata INTEGRAMATH che svolge le seguenti operazioni: INTEGRAMATH(tr) (integrazione indefinita di funzioni trigonometriche) INTEGRAMATH(cic) (integrazione indefinita di funzioni ciclometriche) INTEGRAMATH(ipb) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche) INTEGRAMATH(ipb-inv) (integrazione indefinita di funzioni iperboliche inverese) INTEGRAMATH(fi) (le funzioni integrali) ==Tabelle degli integrali indefiniti delle funzioni trigonometriche di INTEGRAMATH(tr) e computo degli integrali definiti selezionati== La spiegazione per l'impiego del cacolatore e il file operativo nei due link seguenti: [[https://drive.google.com/file/d/1podDEgERIDtpeP5zcEigLE9-nsqT1JzM/view?usp=drive_link] Spiegazione ] [[https://drive.google.com/file/d/1uFiYhtJi_lNaDIrmHdovR-r7V632AUKa/view?usp=drive_link]INTEGRAMATH(tr) zip] Per tutti gli integrali delle tabelle il procedimento di calcolo è analogo a quello ora mostrato nella spiegazione salvo INTEGRAMATH(fi) che si presenta con un pannello di comando con dei bottoni di selezione delle funzioni integrali da calcolare. L'elenco dei file zip per le tabelle restanti è sotto riportato: [[https://drive.google.com/file/d/1SAX6LrMjHSFnRMhWqQMgPu0S9c4BC1jH/viewusp=drive_link]INTEGRAMATH(cic)] [[https://drive.google.com/file/d/1IqQCqYRaUvWGKpct_hdPRfAWKvxNm8-h/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb)] [[https://drive.google.com/file/d/15b0k5PCyz9sQDD8U5O9hvkXW37ZBFMHU/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH(ipb-inv)] [[https://drive.google.com/file/d/1KaQhK03TmxlRh4rlGQUUt44DbD9kP-2z/view?usp=drive_link] INTEGRAMATH( fi )] ==Integrali definiti particolari== Si tratta d'integrali studiati da noti matematici quali: Clausen Debye Sievert Nell'ordine i link per l'impiego dei file exe di calcolo con i quali si opera facilmente inserendo gli estremi d'integrazione voluti. [[https://drive.google.com/file/d/1Twy8vyTdG4TPSCoUW_Acj7nN7TO3oHOc/view?usp=drive_link] Discussione integrale di Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1FQN7_pMp_dLhfbC-CQnxRndbEueujaWY/view?usp=drive_link] Al file zip Clausen] [[https://drive.google.com/file/d/1gNJlXn_j6wLxyB4ojtY-dzPEYri1pXU5/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1yRmicLuFBKDNSBXe3VviERqSO1Iz2-fC/view?usp=drive_link] Al file zip di Debye] [[https://drive.google.com/file/d/1iRxOKTdZriNTDPxD9i2jeauYHKA_-JsQ/view?usp=drive_link]Discussione integrale di Sievert] [[https://drive.google.com/file/d/1py-ARn15xE-1FwTPIJ1d7DQxcBZLX6FN/view?usp=drive_link] File zip di Sievert] ==Un integrale definito speciale== L'integrale in oggetto non fa parte della serie INTEGRALMATH ma impiega una machhina da calcolo diversa indicata come: ELLIPTIC I due link sotto indicati ne consentono la discussione e l'impiego: [[https://drive.google.com/file/d/1W1IB1vYfy6T22bqYiWiEis28caM9clyI/view?usp=drive_link]Discussione di ELLIPTIC] [[https://drive.google.com/file/d/1_XVFytGrUL0aS842F4GNcGsxY3uYBWtD/view?usp=drive_link] Al file zip per l'eseguibile di calcolo] bgq05b4uxky28jtt5og4wd0q7sorfgb 0 37626 286188 284633 2026-08-13T07:27:04Z Funzioni di correlazione 24136 286188 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = integrali indefinti | avanzamento = 100% }} '''(20 Esercizi)''' == Gli integrali indefiniti computati con IA== La soluzione degli integrali indefiniti può essere affrontata con successo con IA; in questo caso le informazioni da caricare sono generate da un insieme di dati scaturiti dalla funzione da integrare. I dati sono composti da un insieme d'istruzioni: Basic e periodi discorsivi. Un elenco di 20 integrali da calcolare, presentati in ordine crescente di difficoltà , sono disponibili a seguire.: == Elenco degli integrali indefiniti da esercitazione== 1) <math> y = \int_{}^{} \ x \ \ dx \ \ </math> 2) <math> y = \int_{}^{} \ 2 x \ \ dx \ \ </math> 3) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ \ dx \ \ </math> 4) <math> y = \int_{}^{} \ ( 3x + 1 ) \ \ dx \ \ </math> 5) <math> y = \int_{}^{} \ x^3 \ \ dx \ \ </math> 6) <math> y = \int_{}^{} \ {\sqrt{x}} \ \ dx \ \ </math> 7) <math> y = \int_{}^{} \ 1/x \ \ dx \ \ </math> 8) <math> y = \int_{}^{} \ e^x\ \ dx \ \ </math> 9) <math> y = \int_{}^{} sin \ x \ \ dx \ \ </math> 10) <math> y = \int_{}^{} cos \ x \ \ dx \ \ </math> 11) <math> y = \int_{}^{} \ x \ e^x\ \ dx \ \ </math> 12) <math> y = \int_{}^{} \ln x\ \ dx \ \ </math> 13) <math> y = \int_{}^{} x \ sin \ x \ \ dx \ \ </math> 14) <math> y = \int_{}^{} x \ cos \ x \ \ dx \ \ </math> 15) <math> y = \int_{}^{} \ 1 / ( 1 + x^2 ) \ \ dx \ \ </math> 16) <math> y = \int_{}^{} \ e^{2x} \ \ dx \ \ </math> 17) <math> y = \int_{}^{} \ x^2 \ e^x\ \ dx \ \ </math> 18) <math> y = \int_{}^{} sin^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 19) <math> y = \int_{}^{} cos^2 \ x \ \ dx \ \ </math> 20) <math> y = \int_{}^{} \ (ln \ x)^2\ \ dx \ \ </math> Per controllare egli esercizi che seguono si deve verificare che la prima funzione scritta in apertura su IA sia uguale alla funzione da calcolare presente in tabella. ==Soluzione dell'integrale numero 1== Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi: Calcola l'integrale indefinito di x ( da inserire nella finestra di IA) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1ZBuUmty1zYJiGMhBcBi0d5omAFu1JAzs/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 1] ==Soluzione dell'integrale numero 2== Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi: Calcola l'integrale indefinito di due x ( da inserire nella finestra di IA) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1t3mPpQ-P7xgC0iX_q74J6D5JRe4EwFvw/view?usp=drive_link] Soluzione dell'integrale n° 2] ==Soluzione dell'integrale numero 3== Data la semplicità dell'integrale la traduzione della funzione è in soli termini discorsivi: Calcola l'integrale indefinito di x al quadrato ( da inserire nella finestra di IA) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1vPFOaQ8mJgl75MG_h9ZBW2xk3xVyySlO/view?usp=drive_link]Soluzione dell'integrale n° 3] ==Soluzione dell'integrale numero 4== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di 3x + 1 ( da inserire nella finestra di IA) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1Hq9uo-d1LPxPOzKwPHRsZxmhV9jlC45k/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 4] ==Soluzione dell'integrale numero 5 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di x^3 ( da inserire nella finestra di IA) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1_hGyHrDO5AqkRyFAkKurHaheLMByyycd/view?usp=drive_link] Soluzione integrale n°5 ==Soluzione dell'integrale numero 6 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = SQR(x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/13SytgQf-NB8-EfdBPCd1iyHgs020aaCX/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 6] ==Soluzione dell'integrale numero 7 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = 1/x La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1IoZ9HllHSzQSSAK2Q10q6Qvn8IDW_qnD/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 7] ==Soluzione dell'integrale numero 8 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = e^x La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1WOjHdVyiEsTLpVyXPC5y5Q0P1gqWBCHy/view?usp=drive_link]Soluzione intgrale n° 8] ==Soluzione dell'integrale numero 9 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = sen x La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/10UzvcvsENSrAZowM0rHdst2n-ErH2tD4/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 9] ==Soluzione dell'integrale numero 10 == Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = cos x La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1p5ytC9HMLIseWrvP1F2KF0sD16LbVwXr/view?usp=drive_link]Soluzione ntegrale n° 10] ==Soluzione dell'integrale numero 11== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = x * e^x La risposta di IA:] [[https://drive.google.com/file/d/15neFn7RGG7RpDZj0ShgsEzAuOowie_Pf/view?usp=drive_link]Soluzione integrale numero 11] ==Soluzione dell'integrale numero 12== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = ln (x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/135wgGw0-HP2bH0YijayyQEEwXVeEjbza/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 12] ==Soluzione dell'integrale numero 13== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = x * sin (x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1aJqcVPIa-15WQS_jkPPpmlPaDym-uDoR/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 13] ==Soluzione dell'integrale numero 14== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = x * cos (x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1bFJSfKFAFV7uQe0QNWqrNTpAn8kHWvPu/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 14] ==Soluzione dell'integrale numero 15== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = 1 / (1 + x ^2) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1bl5IzKEaitvWwvPVBWyA8gf6RzsL-vno/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 15] ==Soluzione dell'integrale numero 16== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = e ^ (2 * x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/15KMkmqaGCtt2C8YaoLx5rizvpwBrTdIH/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 16 ==Soluzione dell'integrale numero 17== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = x^2 * e ^ x La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1FO5Wb-zya2bKuTXARHmC2nqqUyaLGti8/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 17] ==Soluzione dell'integrale numero 18== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = sin^2 (x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1Mqa1rnor0eBJzMlz23-4zKdklFBA66hi/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 18] ==Soluzione dell'integrale numero 19== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = cos^2 (x) La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1fGPPrvdxwoTFRbAUjJPekiILQVWMJjH5/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 19] ==Soluzione dell'integrale numero 20== Date le caratteristiche dell'integrale la traduzione della funzione è in parte in termini discorsivi e in parte in Basic: Calcola l'integrale indefinito di y = ( ln(x))^2 La risposta di IA: [[https://drive.google.com/file/d/1Ti1kMzUA6NUvUXcjfRKSKHXt6tHjcDpX/view?usp=drive_link]Soluzione integrale n° 20] b3hlzdhqqsd4gzfuqkttmghu8pwz5x6 0 37627 286183 284567 2026-08-13T07:10:16Z Funzioni di correlazione 24136 286183 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Le funzioni di correlazione | avanzamento = 100% }} '''( 2 Esercizi)''' ==Cosa sono le funzioni di correlazione== Spiegazione di massima all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/corr1?authuser=0] Le funzioni di correlazione] ==In estrema sintesi come operano le funzioni di correlazione== L'operatività delle funzioni di correlazione in un caso particolare dei segnali elettrici è riportata all'indirizzo: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/cor3?authuser=0]Esempio d'operatività] ==La macchina da calcolo delle funzioni di correlazione== Al seguente indirizzo la spiegazione della macchina: [[https://sites.google.com/view/matematica-con-il-pc/157?authuser=0]] ==Esempio di calcolo al PC== Una schermata di calcolo e grafica prima dell'impiego del calcolatore: [[https://drive.google.com/file/d/1cGfA3O0Pmpp093u3sWO98EMhFrZkr0jA/view?usp=drive_link]Schermata] Il file di calcolo dell'eseguibile in zip all'indirizzo: [[https://drive.google.com/file/d/11Fg3_yERTf7FjK5-nE1_6nLQmvpl_9zB/view?usp=drive_link]Al file zip di calcolo] fl2fwr5hzg1taz2b7yiakvo92htzaui 0 37629 286182 284660 2026-08-13T07:08:20Z Funzioni di correlazione 24136 286182 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolatore | avanzamento = 100% }} '''(4 Esercizi) ''' -Processo di approssimazione per la determinazione dello spettro dei segnali periodici- ==La serie di Fourier con il supporto delle figure== Prima di descrivere il calcolatore della serie di Fourier, al quale è dedicato il paragrafo successivo, esaminiamo l'algoritmo omonimo mostrato in figura 1 :<math> \begin{align} F(x) &= a_0+\sum_{n=1}^\infin\left( a_n \cos nx + b_n \sin nx \right) \\ &\begin{cases} a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)dx \\ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\cos nx\ dx \\ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}f(x)\sin nx\ dx \end{cases} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 1) \end{align} </math> questo consente, per via esclusivamente analitica, lo studio dei fenomeni periodici funzioni del tempo per il computo del loro spettro in frequenza, spettro espresso in figura 1 con il simbolo <math> F(x)</math> ( dove <math> x = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot t )</math>. Generalmente la funzione <math> F(x)</math> è espressa con il simbolo <math> G(\omega)</math>. Un esempio di segnale periodico <math> f(t)</math>, onda rettangolare, espresso matematicamente è mostrato in figura 2a :<math>f(2\pi f_0 t) = \begin{cases} -E: & \text{per} \ (2k-1)\pi < 2 \pi f_0 t < 2k\pi \\ +E: & \text{per} \ 2k\pi < 2 \pi f_0 t < (2k+1)\pi \end{cases} \qquad\qquad 2a) </math> il cui andamento è tracciato in figura 2b [[File:trf2b.jpg|thumb|left|400px|figura 2b]] {{clear}} L'impiego della serie di Fourier porta alla determinazione dello spettro di frequenza a righe <math> G( \omega)</math>, dell'onda di figura 2b,così come mostrato in figura 3. [[File:trf3.jpg|thumb|left|400px|figura 3]] {{clear}} Se dell'onda periodica da analizzare non si conosce la legge <math> f(t)</math>, come ad esempio per la curva di figura 4: [[File:trf4.jpg|thumb|left|400px|figura 4]] {{clear}} la serie di Fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo di figura 5 che prevede la determinazione dello spettro mediante l'elaborazione dei coefficienti <math> An'</math> e <math> Bn' </math> da <math> n </math> campioni di <math> f(t) </math> , messi a calcolo, rilevati da grafici o da presentazioni su oscilloscopio: :<math>C'_n = A'_0 + \sum_{n=1}^{n=k}A'_n \cos (n 2 \pi f_0 t) + B'_n \sin (n 2 \pi f_0 t) \qquad\qquad\qquad 5)</math> Si osservi che: *Con il simbolo <math> C'n </math> s'intende l'ampiezza della n esima riga dello spettro di frequenza. * I coefficienti di figura 5 sono indicati con <math> A'n </math> e <math> B'n</math> per distinguerli da quelli diversi di figura 1. * <math> A'o, A'n, B'n </math> sono determinati con processo numerico iterativo implementando nel programma di calcolo le funzioni esposte in figura 5a dove, ad esempio, <math> 20 </math> campioni del periodo in analisi sono riportati, in apposita memoria del P.C, con i simboli <math> a(1).....a(20) </math> . :<math> \begin{align} & A'_0 = \frac{1}{2\pi} \left[ 0,5a(1) + a(2) + a(3) + \dots + a(19) + 0,5a(20) \right] \frac{2\pi}{19} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5a) \\ & A'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\cos(nwt_1) + a(2)\cos(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\cos(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & B'_n = \frac{1}{\pi} \left[ 0,5a(1)\sin(nwt_1) + a(2)\sin(nwt_2) + \dots + 0,5a(20)\sin(nwt_{20}) \right] \frac{2\pi}{19} \\ & C'_n = \left({A'_n}^2 + {B'_n}^2\right)^\frac{1}{2} \end{align} </math> * Il modulo della <math> n </math> esima riga dello spettro è indicato da <math> C'n</math> ; nel calcolatore l valori <math> C'n </math> sono valutati senza l'addizione di <math> A'o </math> che viene calcolato separatamente. Vedremo di seguito, in dettaglio, l'impiego degli algoritmi di figure 5 e 5a contestualmente all'esame del pannello operativo del calcolatore. == Il pannello operativo del calcolatore == Il pannello operativo, mostrato in figura 6, è generato da un file eseguibile disponibile all'indirizzo: [http://www.sonar-info.info/wikifourier/seriefourier.html wikiFourier ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova20/archive/main.zip seriefourier] Il file esguibile consente il calcolo e la presentazione grafica dello spettro dell'onda da analizzare. [[File:tfr6.jpg|thumb|left|1000px|figura 6]] {{clear}} In figura 6, con una serie di numeri in rosso, sono distinte le 5 sezioni funzionali: '''Sezione 1 (Variabili di calcolo)''' La sezione contiene il pulsante ingresso variabili e 4 textbox nelle quali inserire i seguenti dati: *Durata del periodo dell'onda da analizzare espressa con <math> T </math> in secondi. *Il numero <math> m = n </math> dei campioni da prelevare dal periodo dell'onda da analizzare. *Il numero <math> k </math> delle righe dello spettro che si vogliono calcolare. *L'incremento di calcolo <math> dm </math> dal quale dipendono sia la precisione che il tempo calcolo. Al lancio del programma la sezione è impostata, in via preliminare, con i valori: <math> T = 0.01 \ S </math>; <math> \quad m = n = 20 </math>; <math>\quad k = 10 </math>; <math> \quad dm = 0.01</math> . '''Sezione 2: (Campioni nel periodo)''' La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni ricavati dal periodo da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati;il pulsante presenta colore verde nella fase d'introduzione campioni, cambia colore in arancio una volta che i campioni dell'onda sono pari al valore impostato di <math> m = n </math> *Un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. '''Sezione 3: ( Presentazione spettro)''' La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo dello spettro" per l'avvio del programma di calcolo per la presentazione grafica del modulo delle righe dello spettro tracciate come visione indicativa dello stesso. *Un listato numerico delle frequenze e relative ampiezze normalizzate delle righe dello spettro. L'azione di questo comando provoca inoltre il tracciamento del periodo dell'onda inserito a campioni nella sezione 2 per un controllo della correttezza del suo profilo. '''Sezione 4: (Listato valori calcolati)''' Nel listato compaiono: *Le <math> n </math> coppie calcolate nella forma, ad esempio per una generica <math> 3^a </math> coppia, <math> F = 1300 \ Hz</math> <math> \ C'3 = 0.65432 </math> ; ciascuna coppia definisce una riga dello spettro sia in frequenza che in ampiezza normalizzata. *In alto, sopra il listato, il valore calcolato di <math>C'o</math> ( componente continua dell'onda ove sia presente ) '''Sezione 5: (Area di presentazione grafici)''' I grafici sono tracciati a solo scopo illustrativo dato che i valori che li generano sono già contenuti nei listati della sezione 4. *In alto lo spettro dell'onda con le <math> m = n </math> righe messe a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in frequenza *In basso il profilo del periodo dell'onda definito con tanti punti quanti sono gli <math> m = n </math> campioni messi a calcolo; le ascisse del tracciato non sono calibrate in tempo. ==Primo esempio di calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda rettangolare, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 7 che servirà come controllo dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{4}{\pi}E\left(\cos x - \frac{1}{3}\cos 3x + \frac{1}{5}\cos 5x - \frac{1}{7} \cos 7x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 7)</math> Come si vede la serie analitica è formata soltanto da addendi dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math> Cn </math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori preliminari assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 8 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|300px|figura 8]] {{clear}} Quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" (pulsante arancione), per lo spettro di un'onda rettangolare quale quella riportata in figura 2b, la seguente sequenza di campioni: <math>1;1;1;1;1;1;1;1;1;1; -1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1;-1 </math> relativa ad un periodo dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 9 che i grafici di figura 10 [[File:tfr9.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math> 1000 \ Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, la frequenza è <math>f = 1 / 0.001</math> = <math>1000 \ Hz </math>. [[File:tfr10.jpg|thumb|left|300px|figura 10]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 9 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze calcolate con l'espressione dello spettro teorico espresso in figura 7, che quelle del listato di figura 9: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,0012 | 0,3333 | 0,0012 | 0,2000 | 0,0012 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0 | 0,3333 | 0 | 0,2000 | 0 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math>C'n </math> per <math> n </math> dispari, praticamente coincidono, per <math> n </math> pari il calcolatore commette un errore presentando ampiezze pari a <math>0.002 </math> invece che <math> 0 </math> come da processo analitico. Gli errori si riducono ripetendo il computo con un passo di calcolo inferiore a <math>dm = 0.01 </math>, ad esempio <math>dm = 0.001</math>; naturalmente il processo di calcolo richiede un tempo superiore di sviluppo. ==Secondo esempio: calcolo della serie di Fourier con controllo analitico== Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda a dente di sega, si avvale di un riscontro analitico in quanto lo spettro dell'onda in esame è definito dalla caratteristica serie di figura 11 che servirà come controllo dei dati elaborati dal calcolatore: :<math>y=\frac{2}{\pi}E\left(\sin x - \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots \right) \qquad\qquad\qquad 11)</math> Come si vede la serie analitica è formata da addendi pari e dispari i cui coefficienti, espressi con frazioni, sono gli analoghi dei termini <math>Cn</math> elaborati dal calcolatore. Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 12 della sezione 1. [[File:tfr8.jpg|thumb|left|600px|figura 12]] {{clear}} quindi pigiamo il pulsante "Ingresso variabili". Impostiamo nella sezione 2, premendo " Ingresso campioni" ( pulsante giallo ), i campioni d'ampiezza di un'onda a dente di sega quale quella riportata in figura 13 [[File:tfr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} la seguente sequenza di campioni: <math> -1;-0.9;-0.8;-0.7;-0.6;-0.5;-0.4;-0.3;-0.2; 0.1;0;0.1;0.2;0.3;0.4;0.5;0.6;0.7:0.8:0.9 </math> relativa ad un periodo <math>T</math> dell'onda sopra citata fino a quando il pulsante stesso diventa arancione. Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 14 che i grafici di figura 15: [[File:tfr14.jpg|thumb|left|600px|figura 14]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 Hz </math> dato che, essendo <math>T = 0.001 \ S </math>, <math>f = 1/ 0.001 </math>= <math>1000 \ Hz</math>. [[File:tfr15.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} Procediamo ora al controllo della lista di figura 14 impostando una tabella che riporta, tanto le ampiezze dello spettro teorico espresso in figura 11 che quelle della lista nella figura citata: :{| class="wikitable" |- ! Righe> ! C'₁ ! C'₂ ! C'₃ ! C'₄ ! C'₅ ! C'₆ |- ! Con il calcolatore | 1,0000 | 0,5001 | 0,3335 | 0,2501 | 0,2001 | 0,1667 |- ! Per via analitica | 1,0000 | 0,5000 | 0,3333 | 0,2500 | 0,2000 | 0,1666 |} Come si vede in tabella di tavolo i valori di <math> C' </math> da calcolatore sono quasi coincidenti con dagli analoghi analitici; l'errore massimo è dell'ordine del <math>2 </math> per mille. == Terzo esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda generica == Questo esempio, che interessa l'analisi di un'onda generica, non si avvale alcun riscontro analitico. Il tracciato dell'onda sia quello riportato in figura 16: [[File:trf16.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} Si esegue la campionatura di un periodo con 21 campioni così come mostrato in figura 17: [[File:trf17.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} Si compila, in tavola, la lista delle ampiezze dei campioni ricavandola da rilievi geometrici su figura 17: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,40 |- | t₂ | 0,64 |- | t₃ | 0,75 |- | t₄ | 0,85 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,04 |- | t₇ | 0,86 |- | t₈ | 0,53 |- | t₉ | 0,21 |- | t₁₀ | 0,00 |- | t₁₁ | -0,02 |- | t₁₂ | -0,17 |- | t₁₃ | -0,38 |- | t₁₄ | -0,47 |- | t₁₅ | -0,40 |- | t₁₆ | -0,28 |- | t₁₇ | -0,26 |- | t₁₈ | -0,29 |- | t₁₉ | -0,22 |- | t₂₀ | -0,00 |} I dati di tavola s'inseriscono progressivamente in sezione 2 pigiando il pulsante "Ingresso campioni". Dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 19 che i grafici di figura 20: [[File:trf19.jpg|thumb|left|300px|figura 19]] {{clear}} La lista indica righe multiple di <math>1000 \ Hz</math> dato che, essendo <math> T = 0.001 \ S </math>, <math>\quad f = 1/ 0.001 </math> = <math> 1000 \ Hz. </math> [[File:trf20.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} == Quarto esempio: calcolo della serie di Fourier di un'onda precostruita== Per un controllo ulteriore del calcolatore analizziamo un'onda precostruita che è caratterizzata dalla presenza della sola <math> 4^a </math> armonica di ampiezza <math>C'4 = 0.3333.</math> L'onda in oggetto, generata da un'apposita funzione matematica, è riportata in figura 21: [[File:trf21.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} L'onda ha un periodo <math> T = 0.001 \ S </math> e quindi una frequenza di <math> 1000 \ Hz</math>; il periodo viene campionato con le stesse modalità relative al periodo dell'esercizio precedente; il risultato della campionatura è riportato in tavola: :{| class="wikitable" |- ! periodo ! ampiezza |- | t₀ | 0,00 |- | t₁ | 0,62 |- | t₂ | 0,78 |- | t₃ | 0,61 |- | t₄ | 0,63 |- | t₅ | 0,99 |- | t₆ | 1,26 |- | t₇ | 1,00 |- | t₈ | 0,39 |- | t₉ | -0,00 |- | t₁₀ | -0,00 |- | t₁₁ | 0,00 |- | t₁₂ | -0,38 |- | t₁₃ | -1,00 |- | t₁₄ | -1,26 |- | t₁₅ | -1,00 |- | t₁₆ | -0,63 |- | t₁₇ | -0,61 |- | t₁₈ | -0,78 |- | t₁₉ | -0,63 |- | t₂₀ | -0,00 |} Seguendo la procedura d'inserzione dati e campioni analoga a quella del paragrafo precedente, dopo la pressione del pulsante " Calcolo dello spettro ", si ha sia il listato dei valori così come riportato in figura 23 che i grafici di figura 24: [[File:trf23.jpg|thumb|left|600px|figura 23]] {{clear}} [[File:trf24.jpg|thumb|left|300px|figura 24]] {{clear}} L'esame dei dati, sia numerici ( riga <math>C'4</math> ) che grafici evidenziano, come era nelle aspettative, la presenza di una riga a <math>4000 \ Hz </math> di ampiezza <math>C'4 = 0.3133</math>. Le righe a livello molto basso presenti in figura 23, non visibili in figura 24, sono dovute all'approssimazione dell’algoritmo di calcolo. ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. [[Categoria:Lezioni di Sistemi di calcolo automatico per il sonar]] [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] e2x68kjmqjsa4jb6b75l5zvv4i92tcq 0 37630 286181 284663 2026-08-13T07:06:18Z Funzioni di correlazione 24136 286181 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Calcolatore trasformata di Fourier | avanzamento = 100% }} '''(4 Esercizi) ''' Il calcolatore della Trasformata Discreta di Fourier, (DFT), con algoritmi e figure. In questa lezione illustriamo un caratteristico file di calcolo in grado di computare e tracciare il modulo dello spettro di un impulso qualsiasi secondo l'algoritmo della DFT ( Discrete Fourier Transformer). Questa procedura è d'importanza fondamentale, ad esempio, nella determinazione della forma più adatta di un impulso sonar per generare uno spettro voluto per le applicazioni sui siluri. S'inizia con evidenziare l'algoritmo dell'integrale di Fourier dal quale la DFT discende. L'algoritmo dell'integrale di Fourier è mostrato nella figura seguente: :<math>G(w)=\int_{-\infin}^{+\infin}F(t)e^{-j\ wt}\ dt</math> consente, per via esclusivamente matematica, l'analisi dei fenomeni transitori di legge nota, F(t), funzioni del tempo, quali ad esempio l'impulso di sinusoidi di figura 2. [[File: wtr2.jpg|thumb|left|400px|figura 2]] {{clear}} mediante la determimazione del loro spettro di frequenza G ( w ) mostrato in figura 3. [[File: wtr3.jpg|thumb|left|300px|figura 3]] {{clear}} Se dell'impulso da analizzare non si conosce la legge F(t), come ad esempio per l'impulso casuale mostrato in figura 4: [[File: wtr4.jpg|thumb|left|600px|figura 4]] {{clear}} l'integrale di fourier non è applicabile; è sostituibile, con buona approssimazione, dall'algoritmo DFT ( Discrete Fourier Transform ) che computa il modulo dello spettro, secondo l'espressione di figura 5. :<math>\left\vert G(qf) \right\vert = \left[ \left( \sum_{p=1}^k S(p) \cos \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 + \sum_{p=1}^k S(p) \sin \left( \frac{2 \pi qp}{N} \right)^2 \right) \right]^{\frac{1}{2}}</math> per un numero finito di campioni prelevati dall'impulso, mostrati in rosso in figura 6a: [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 6a]] {{clear}} La DFT computa un numero finito di valori del modulo della G(w) così come riportato in figura 6b: [[File: wtr6b.jpg|thumb|left|300px|figura 6b]] {{clear}} ==Esempio d'impostazione delle variabili di calcolo== Siano da determinare le variabili da mettere a calcolo per la costruzione del modulo dello spettro dell'impulso mostrato in figura 7 dal quale si dovranno ricavare un certo numero di campioni <math> k </math>; da <math> p1 </math> a <math> pk </math>. [[File: wtr6a.jpg|thumb|left|300px|figura 7]] {{clear}} Le variabili da calcolare, sulla base dell'algoritmo di figura 5, sono: *<math>k = 2 \cdot T \cdot Fmax</math> numero dei campioni da prelevare dall'impulso *<math>N = 2 \cdot Fmax/DF</math> divisore nello sviluppo di calcolo *<math> q = Fmax/DF </math> numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro Le caratteristiche temporali dell'impulso siano: <math>T/2 = 0.005 \ S</math>. quindi <math>T = 0.01 \ S.</math> Si voglia il campo di frequenza d'analisi compreso tra <math> 0 </math> e <math>1000 \ Hz</math>: quindi <math>Fmax = 1000 \ Hz</math> Si voglia una definizione d'analisi in frequenza a passi di <math> 25 \ Hz </math>, quindi <math> DF = 25 \ Hz </math> In base ai dati esposti si calcolano: Il numero dei campioni da prelevare dall'impulso: <math> k = 2 \cdot T \cdot Fmax </math > = <math> 2 \cdot 0.01 \ S. \cdot 1000 \ Hz = 20 </math> Il valore di <math> N:</math> <math> N = 2 \cdot</math> <math> Fmax/DF = 2 \cdot 1000 / 25 </math> = <math> 80 </math> Il numero dei campioni che rappresenteranno il modulo dello spettro: <math> q = Fmax/DF </math> = <math> 1000/25 = 40 </math> Da rilievi su figura 7 si annotano le ampiezze dei <math> k </math> valori dei campioni dell'impulso, da <math> p1 </math> a <math> p20 </math>, evidenziati con righe rosse; questi saranno inseriti a calcolo l'uno dopo l'altro. ==Il pannello operativo del calcolatore DFT== Al'avvio del file eseguibile [http://www.sonar-info.info/wikidft/DFT.html wikiDFT ] oppure [https://github.com/2021dtc/prova21/archive/main.zip DFT] sul P.C.si presenta il pannello operativo del calcolatore che riportiamin figura 8 con una serie di numeri in rosso per consentire l'identificazioni delle 5 sezioni funzionali: [[File: wtr9.jpg|thumb|left|500px|figura 8]] {{clear}} Sezione 1 (ingresso dati) : La sezione contiene 3 textbox nei quali inserire, l'una dopo l'altra, le seguenti variabili: *Durata dell'impulso da analizzare espressa con <math>T \ (S)</math> *Estremo della frequenza d'analisi espressa con <math> Fmax \ (Hz)</math> *Intervallo voluto tra due campioni dello spettro con <math> DF \ (Hz)</math> *Un pulsante " Dati a calcolo" per l'avvio delle computazioni *Due label per l'indicazione dei valori calcolati: <math>k </math>( numero dei campioni da ricavare dall'impulso) e <math>q </math>( numero dei campioni che definiranno il modulo dello spettro di frequenza) Al lancio del programma sono predisposti, in via provvisoria, i seguenti dati: <math>T = 0.01 \ S</math> ; <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> ; <math> DF = 1\ Hz</math> *Sezione 2: (ingresso campioni impulso) La sezione contiene: *Un label, a sinistra, che indica il numero progressivo dei campioni dell'impulso da analizzare e un textbox, a destra, per l'inserzione delle ampiezze dei diversi campioni dell'impulso. *Un pulsante "Ingresso campioni" per l'inserzione progressiva dei valori sopra citati ed un pulsante " Azzeramento memorie" per la ripetizione, se necessario, dell'inserzione dati. Sezione 3: ( presentazione spettro) La sezione contiene: *Il pulsante "Calcolo e presentazione spettro normalizzato " per l'avvio del programma di calcolo e presentazione grafica del modulo della DFT. Sezione 4: ( reticolo cartesiano per il tracciamento del modulo dello spettro) *In ascisse, la frequenza d'analisi <math> Fmax</math> divisa in <math>40</math> intervalli, con label indicativo dell'entità di ciascun intervallo in <math> Hz/Div</math>. *In ordinate l'ampiezza dello spettro, in forma normalizzata in <math>20</math> intervalli da <math>0.05/Div.</math> Il grafico dello spettro, rappresentando l'ampiezza del modulo, sarà sempre positivo. Sezione 5: (funzioni di controllo) Con due pulsanti distinti è possibile tracciare, ai fini del controllo dei calcoli, il modulo dello spettro di due impulsi caratteristici: *Impulso rettangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) *Impulso triangolare (ottenuto da calcolo per via analitica) Questa sezione è utile per prendere confidenza, come vedremo, con il sistema di calcolo. ==Primo esempio di calcolo: DFT di un impulso rettangolare con controllo analitico== Per iniziare è utile l'utilizzo dei valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1; con questi valori calcoleremo lo spettro di un impulso rettangoare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math> T = 0.01 \ S.</math> - <math>Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz </math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha : <math> k = 20 ; q = 1000 </math>; dal calcolo emerge che sono necessari <math> k = 20 </math> campioni dell'impulso Quindi: ampiezza <math> E = 1 </math>, durata <math> T = 0.01 \ S.</math>, <math> k = 20</math>. I campioni dell'impulso, tutti uguali ad <math> 1 </math>, sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math> 1 </math> e di seguito, lasciando tale valore inalterato, premendo il pulsante "ingresso campioni" , s'inseriscono tutti gli altri 19 fino a quando il pulsante citato diventa rosso; vedi figura 10 [[File: wtr11.jpg|thumb|left|600px|figura 10]] {{clear}} Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 11 con traccia in colore viola: [[File: wtr12.jpg|thumb|left|300px|figura 11]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 12 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso rettangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 12, [[File: wtr14a.jpg|thumb|left|300px|figura 12]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre, con buona approssimazione, alla curva viola così come mostra figura 13: [[File: wtr13.jpg|thumb|left|300px|figura 13]] {{clear}} ==Secondo esempio di calcolo: DFT di un impulso triangolare con controllo analitico== Utilizziamo sempre i valori di base assegnati al calcolatore al momento dell'avvio, come mostra la figura 9 della sezione 1, impostiamo in questo esempio il calcolo dello spettro di un impulso triangolare: [[File: wtr10.jpg|thumb|left|600px|figura 9]] {{clear}} per : <math>T = 0.01 \ S.</math> - <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> - <math> DF = 1 \ Hz</math>, dopo la pressione del pulsante "dati a calcolo", si ha :<math> k = 20</math> ;<math> q = 1000</math> . L'impulso triangolare che vogliamo analizzare, della durata <math>T = 0.01 \ S.</math> ha un profilo definito dalla seguente sequenza di <math> 20</math> valori: <math> 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1; 0.9; 0.8; 0.7; 0.6; 0.5; 0.4; 0.3; 0.2; 0.1; 0 </math> i campioni sono inseriti in sezione 2 digitando nel textbox il primo di ampiezza <math>0.1</math> ed in successione tutta la sequenza sopra scritta premendo il pulsante "ingresso campioni" fino a quando il pulsante citato diventa rosso. Con la successiva pressione del pulsante di sezione 3, si ha la presentazione del modulo dello spettro come riportato in figura 14 con traccia in color viola: [[File: wtr16.jpg|thumb|left|300px|figura 14]] {{clear}} Per controllare la correttezza del processo DFT che ha portato allo spettro di figura 14 si può agire sulla sezione 5; pulsante " Controllo per impulso triangolare" che consente, per la via puramente analitica mostrata in figura 15, [[File: wtr17.jpg|thumb|left|300px|figura 15]] {{clear}} il tracciamento di una nuova curva di colore verde che, se il processo DFT svolto sarà corretto, si dovrà sovrapporre alla curva viola così come mostra figura 16: [[File: wtr18.jpg|thumb|left|300px|figura 16]] {{clear}} ==Terzo esempio di calcolo: DFT senza controllo analitico== Sia dato l'impulso di figura 17, di forma non codificata, del quale valutare lo spettro di frequenza mediante DFT: [[File: wtr19.jpg|thumb|left|300px|figura 17]] {{clear}} I dati relativi all'impulso siano: Durata:<math> T = 0.0125 \ S.</math> Ampiezza massima:<math> E = 1</math> Massima frequenza voluta nella DFT: <math> Fmax = 1000 \ Hz</math> Intervallo tra i campioni dello spettro:<math> DF = 2 \ Hz </math> I valori calcolati di k e q sono riportati nella sezione 1, di figura 18: [[File: wtr20.jpg|thumb|left|400px|figura 18]] {{clear}} Dal calcolo emerge che sono necessari <math>k = 25 </math> campioni dell'impulso; questi, ricavati da figura 17 sono mostrati in figura 19: :{| class="wikitable" style="text-align:center;" |- | '''p''' || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 |- | '''S(p)''' || 0,10 || 0,14 || 0,20 || 0,27 || 0,36 || 0,46 || 0,56 || 0,67 || 0,77 || 0,86 || 0,93 || 0,98 || 1,00 || 0,98 || 0,93 || 0,86 || 0,77 || 0,67 || 0,56 || 0,46 || 0,36 || 0,27 || 0,20 || 0,14 || 0,10 |} Questi valori, messi a calcolo nella sezione 2, portano al modulo dello spettro di figura 20: [[File: wtr22.jpg|thumb|left|300px|figura 20]] {{clear}} ==Esempio di calcolo: DFT per impulso di segnale sinusoidale== Nel caso in cui l'impulso contenga una componente sinusoidale: <math>A\cdot Cos(6,28 \cdot fo \cdot t) </math>, come mostrato in figura 21 [[File: wtr22a.jpg|thumb|left|300px|figura 21]] {{clear}} il processo di calcolo della DFT è simile a quelli in precedenza illustrati salvo il fatto che la massima ampiezza dello spettro non sarà per <math>f = 0</math> ma per <math>f = fo </math> come mostra figura 21. Consideriamo ora un impulso del tipo riportato in figura 21 che abbia le seguenti caratteristiche: Durata: <math> T = 0.01 \ S.</math> Frequenza all'interno dell'impulso: <math>fo = 400 \ Hz</math> Frequenza massima dello spettro voluto:<math> Fmax = 1000 \ Hz </math> Intervallo tra i campioni dello spettro: <math>DF = 2 \ Hz </math> Nella sezione 1, per <math> T = 0.01 \ S</math>, <math>Fmax = 1000 \ Hz</math><math> DF = 2 \ Hz</math>, si ha <math> k = 20</math>: I <math> 20 </math> campioni richiesti si ottengono dalla funzione: :<math>Y = A \cdot Cos(6.28 \cdot fo \cdot t)</math> dove <math>A = 1</math>, <math>fo = 400 \ Hz</math>, <math>t = 0.5 \ mS</math>/campione così come mostra la tabella: :{| class="wikitable" style="text-align:right;" |- | 1,000 |- | 0,309 |- | -0,808 |- | -0,810 |- | 0,306 |- | 0,999 |- | 0,312 |- | -0,806 |- | -0,812 |- | 0,303 |- | 0,999 |- | 0,315 |- | -0,804 |- | -0,813 |- | 0,300 |- | 0,999 |- | 0,318 |- | -0,802 |- | -0,815 |- | 0,297 |} Lo spettro dell'impulso, calcolato tra <math> F = 0 </math> e <math> Fmax = 1000 \ Hz </math> si presenta come in figura 23 con il massimo in corrispondenza della frequenza <math> Fo = 400 \ Hz </math>: [[File: wtr25.jpg|thumb|left|300px|figura 23]] {{clear}} ==Bibliografia== *G. Moretti, ''Analisi matematica-vol.II -parte II'',Hoepli, Milano 1953. *A. Papoulis, ''The Fourier integral and its applications''Mc Graw-Hill, New York 1962. *Edit: Milton Abramowitz ..''Handbook of mathematical functios'', USA 1970. * C. Del Turco, ''La matematica con il personal computer'', Editrice MODERNA La Spezia 1998. <!-- [[Categoria:Lezioni di Sistemi di localizzazione subacquea]]--> [[Categoria:Calcolatori automatici per il sonar]] a5luunvimyzr9ap6ig0iegw5689li35 0 37634 286184 284883 2026-08-13T07:11:59Z Funzioni di correlazione 24136 286184 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Equazioni differenziali con IA | avanzamento = }} '''(Esercizio singolo)''' ==Scopo di questa pagina è di illustrare il processo di calcolo per la soluzione di una equazione differenziale proposta e risolta da IA== == Equazione differenziale non lineare == Si consideri la seguente equazione differenziale: <math> \frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=e^{-x} </math> Si tratta di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. === Soluzione dell'equazione omogenea === L'equazione omogenea associata è <math> \frac{d^2y}{dx^2}+3\frac{dy}{dx}+2y=0. </math> Si assume una soluzione della forma <math> y=e^{rx}. </math> Sostituendo nell'equazione si ottiene <math> r^2+3r+2=0. </math> La fattorizzazione fornisce <math> (r+1)(r+2)=0. </math> Le radici caratteristiche sono <math> r_1=-1,\qquad r_2=-2. </math> Pertanto la soluzione generale dell'equazione omogenea è <math> y_h=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}. </math> === Ricerca di una soluzione particolare === Poiché il termine noto è <math> e^{-x}, </math> ed è già presente nella soluzione omogenea, si cerca una soluzione particolare della forma <math> y_p=Ax e^{-x}. </math> Si calcola la derivata prima <math> \frac{dy_p}{dx}=A e^{-x}-Ax e^{-x} =A(1-x)e^{-x}. </math> La derivata seconda è <math> \frac{d^2y_p}{dx^2} =A(x-2)e^{-x}. </math> Sostituendo nell'equazione differenziale si ottiene <math> A(x-2)e^{-x} +3A(1-x)e^{-x} +2Ax e^{-x} =e^{-x}. </math> Raccogliendo il fattore comune <math> e^{-x} </math> si ha <math> A[(x-2)+3(1-x)+2x]e^{-x}=e^{-x}. </math> Poiché <math> (x-2)+3(1-x)+2x=1, </math> segue che <math> Ae^{-x}=e^{-x}, </math> da cui <math> A=1. </math> La soluzione particolare risulta quindi <math> y_p=xe^{-x}. </math> === Soluzione generale === La soluzione completa dell'equazione differenziale è <math> y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}. </math> === Verifica === Calcolando le derivate <math> y'=-C_1e^{-x}-2C_2e^{-2x}+(1-x)e^{-x}, </math> <math> y''=C_1e^{-x}+4C_2e^{-2x}+(x-2)e^{-x}, </math> e sostituendo nell'equazione <math> y''+3y'+2y, </math> si ottiene <math> e^{-x}, </math> che coincide con il termine noto. Pertanto la soluzione è corretta. === Risultato finale === <math> {y(x)=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+xe^{-x}} </math> narxhk3wifob2dp2myhy3pyuwh77nxd 0 37636 286186 285691 2026-08-13T07:22:03Z Funzioni di correlazione 24136 286186 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Derivate delle funzioni di funzioni | avanzamento = 100% }} '''(20 Esercizi)''' == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> ``` == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> == 13^ <math>f(x)=\sin x \cdot \cos x + x</math>.== Per calcolare la derivata si applica la regola di derivazione della somma: <math>\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x + x)=\frac{d}{dx}(\sin x \cdot \cos x)+\frac{d}{dx}(x)</math>. Per la derivata del prodotto si utilizza la formula <math>(uv)'=u'v+uv'</math>. Ponendo <math>u=\sin x</math> e <math>v=\cos x</math>, si ha <math>u'=\cos x</math> e <math>v'=-\sin x</math>. Quindi <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos x\cdot\cos x+\sin x\cdot(-\sin x)</math>. Semplificando, <math>\frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2x-\sin^2x</math>. Inoltre, <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math>. Pertanto, <math>f'(x)=\cos^2x-\sin^2x+1</math>. Applicando l'identità trigonometrica <math>\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x</math>, si può scrivere anche <math>f'(x)=\cos(2x)+1</math>. Questa è la forma semplificata della derivata della funzione. == 14^ <math> f(x)=\ln(\cot x)</math> == Applicando la regola della derivata del logaritmo naturale, <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> con <math>u=\cot x</math> si ottiene <math>y'=\frac{(\cot x)'}{\cot x}</math> La derivata della cotangente è <math>(\cot x)'=-\csc^2 x</math> Pertanto <math>y'=\frac{-\csc^2 x}{\cot x}</math> Sostituendo le definizioni trigonometriche <math>\csc x=\frac{1}{\sin x}</math> e <math>\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> si ha <math>y'=\frac{-\frac{1}{\sin^2 x}}{\frac{\cos x}{\sin x}}</math> Moltiplicando per il reciproco, <math>y'=-\frac{1}{\sin^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}</math> Semplificando un fattore <math>\sin x</math>, <math>y'=-\frac{1}{\sin x\cos x}</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> segue che <math>\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}</math> e quindi <math>y'=-\frac{1}{\frac{\sin 2x}{2}}</math> ossia <math>y'=-\frac{2}{\sin 2x}</math> Infine, usando la definizione della cosecante, <math>\csc 2x=\frac{1}{\sin 2x}</math> si ottiene anche la forma equivalente <math>y'=-2\,\csc 2x</math> Risultato finale <math>{\frac{d}{dx}\ln(\cot x)=-\frac{1}{\sin x\cos x}=-\frac{2}{\sin 2x}=-2\,\csc 2x}</math> `` ` == 15^ <math>f(x)=\frac{1}{4}\tan^4x-\frac{1}{2}\tan^2x-\ln(\cos x)</math>== Applicando la derivata della somma: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)-\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)</math> === Derivata del primo termine === Si applica la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\frac{1}{4}\cdot4\tan^3x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}\tan^4x\right)=\tan^3x\,\sec^2x</math> === Derivata del secondo termine === Applicando ancora la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\frac{1}{2}\cdot2\tan x\cdot\sec^2x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=\tan x\,\sec^2x</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno: <math>-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\tan^2x\right)=-\tan x\,\sec^2x</math> === Derivata del terzo termine === Si usa la derivata del logaritmo composto: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln(\cos x)\right)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x</math> Poiché nella funzione compare <math>-\ln(\cos x)</math> la sua derivata è <math>-\left(-\tan x\right)=\tan x</math> Somma dei risultati Si ottiene <math>f'(x)=\tan^3x\,\sec^2x-\tan x\,\sec^2x+\tan x</math> Raccogliendo <math>\tan x</math> si ha <math>f'(x)=\tan x\left(\tan^2x\,\sec^2x-\sec^2x+1\right)</math> Sostituendo <math>\sec^2x=1+\tan^2x</math> si ottiene <math>f'(x)=\tan x\left((1+\tan^2x)(\tan^2x-1)+1\right)</math> Sviluppando il prodotto: <math>(1+\tan^2x)(\tan^2x-1)=\tan^4x-1</math> quindi <math>f'(x)=\tan x(\tan^4x-1+1)</math> cioè <math>f'(x)=\tan x\cdot\tan^4x</math> Infine <math>{f'(x)=\tan^5x}</math> == 16^ <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}</math>== Data la funzione <math>f(x)=\sqrt[3]{4x^3+6x^2-5}=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> si vuole calcolare la derivata. Si applica la regola della derivata della funzione composta. Scriviamo la funzione nella forma di potenza: <math>f(x)=(4x^3+6x^2-5)^{\frac13}</math> La derivata della funzione esterna è: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac13})=\frac13u^{-\frac23}</math> dove <math>u=4x^3+6x^2-5</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(4x^3+6x^2-5)=12x^2+12x</math> Applicando la regola della catena si ottiene: <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}(12x^2+12x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>12x^2+12x=12x(x+1)</math> segue <math>f'(x)=\frac13(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}\cdot12x(x+1)</math> Semplificando: <math>\frac13\cdot12=4</math> si ottiene <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> Riscrivendo la potenza con esponente negativo come radicale: <math>(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}=\frac{1}{(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}}</math> e osservando che <math>(4x^3+6x^2-5)^{\frac23}=\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}</math> si ottiene la forma finale: <math>f'(x)=\frac{4x(x+1)}{\sqrt[3]{(4x^3+6x^2-5)^2}}</math> oppure, in forma equivalente, <math>f'(x)=4x(x+1)(4x^3+6x^2-5)^{-\frac23}</math> ``` == 17^<math> f(x)=\ln(\sin(\sqrt{x}))</math> == Per calcolare la derivata si applica la regola della derivata del logaritmo: <math> \frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} </math> dove <math> u=\sin(\sqrt{x}) </math> Pertanto <math> f'(x)=\frac{(\sin(\sqrt{x}))'}{\sin(\sqrt{x})} </math> Calcoliamo ora la derivata di <math> \sin(\sqrt{x}) </math> usando la regola della funzione composta: <math> \frac{d}{dx}\sin(v)=\cos(v)\cdot v' </math> con <math> v=\sqrt{x} </math> La derivata di <math> \sqrt{x} </math> è <math> \frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Quindi <math> (\sin(\sqrt{x}))'=\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} </math> Sostituendo nella formula della derivata del logaritmo si ottiene <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sin(\sqrt{x})} </math> Raccogliendo i fattori: <math> f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} </math> Poiché <math> \frac{\cos t}{\sin t}=\cot t </math> si può scrivere anche <math> f'(x)=\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} </math> === Risultato finale === <math> { f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}\,\sin(\sqrt{x})} =\frac{\cot(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} } </math> ``` == 18^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>y=(\sin(3x))^{\frac{1}{5}}</math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math>\frac{d}{dx}(u^{\frac15})=\frac15u^{-\frac45}\cdot u'</math> dove <math>u=\sin(3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin(3x))=\cos(3x)\cdot3</math> Sostituendo: <math>y'=\frac15(\sin(3x))^{-\frac45}\cdot3\cos(3x)</math> Moltiplichiamo i coefficienti: <math>y'=\frac35(\sin(3x))^{-\frac45}\cos(3x)</math> Riscriviamo eliminando l'esponente negativo: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}</math> Oppure usando la radice: <math>y'=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}</math> '''Risultato finale''' <math>{y'=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{\frac45}}=\frac{3\cos(3x)}{5\sqrt[5]{\sin^4(3x)}}}</math> ``` ==19^ <math> f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)</math>== Si applica la regola della catena. Poniamo <math>u(x)=\frac{1}{x}</math> Allora <math>f(x)=\sin(u)</math> La derivata della funzione seno è <math>\frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u)</math> La derivata della funzione interna è <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)</math> Applicando la regola di derivazione delle potenze si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}</math> cioè <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}</math> Applicando la regola della catena, <math>\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)</math> Pertanto <math>f'(x)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}</math> === Risultato finale === <math>{\frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right)=-\frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2}}</math> ``` == 20^<math>f(x)=x\sin x\cos x</math> == Si tratta del prodotto di tre fattori: <math>f(x)=x\cdot\sin x\cdot\cos x</math> Applichiamo la regola del prodotto: <math>(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'</math> Poniamo: <math>u=x</math> <math>v=\sin x</math> <math>w=\cos x</math> Calcoliamo le derivate dei singoli fattori: <math>u'=1</math> <math>v'=\cos x</math> <math>w'=-\sin x</math> Sostituendo nella formula: <math>f'(x)=1\cdot\sin x\cdot\cos x+x\cdot\cos x\cdot\cos x+x\cdot\sin x\cdot(-\sin x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos^2x-x\sin^2x</math> Raccogliendo il termine contenente <math>x</math>: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x(\cos^2x-\sin^2x)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>\cos^2x-\sin^2x=\cos 2x</math> si ottiene: <math>f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x</math> Poiché <math>\sin 2x=2\sin x\cos x</math> si può anche scrivere: <math>\sin x\cos x=\frac12\sin 2x</math> Pertanto una forma equivalente è: <math>f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x</math> Risultato finale <math>{f'(x)=\sin x\cos x+x\cos 2x}</math> oppure, in forma equivalente, <math>{f'(x)=\frac12\sin 2x+x\cos 2x}</math> s8jxrr2xnadyhynxu2ai32f7wz9k7r0 0 37638 286185 285226 2026-08-13T07:20:26Z Funzioni di correlazione 24136 286185 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Analisi matematica|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle derivate|corso1=}} '''(19 Esercizi)''' == Introduzione alle derivate di funzioni con IA == Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo: [[https://it.wikiversity.org/wiki/Funzioni_derivabili_e_derivata_di_una_funzione] Sulle derivate di funzioni] Spiegazione che inizia con: '''Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.''' Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate ottenuti mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testi in [[#Bibliografia|Bibliografia]] L'impiego di IA, con la tecnica di inserzione dati indicata di seguito, consente una rapidità di calcolo e di sviluppo per qualsiasi tipo di elaborazione matematica. ==Elenco delle funzioni trigonometriche in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.== [[#Seno|Seno]] [[#Coseno|Coseno]] [[#Tangente|Tangente]] [[#Cotangente|Cotangente]] [[#Secante|Secante]] [[#Cosecante|Cosecante]] [[#Tabella riassuntiva|Tabella riassuntiva]] ===Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale=== Calcolare <math>{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}</math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale''' (formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic) 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1Zvklg9SN6p90L3JFyLuXFveWZ4cz2s2H/view?usp=drive_link]Soluzione secondo IA] =Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate= Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari: <math> \begin{aligned} &\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ &\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccot}x=-\frac{1}{1+x^2}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\\ &\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc}x=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \end{aligned} </math> ===Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale=== Calcolo derivata di <math> y = \arcsin \ x </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1BP5KGnomazWW9X7SAUmiDIrE49Bn5qJc/view?usp=drive_link]] ==Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate== <math>\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> <math>\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> <math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}</math> <math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}</math> <math>\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}</math> <math>\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}</math> <math>\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x</math> <math>\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x</math> <math>\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{sech} x = -\operatorname{sech} x\,\tanh x</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{csch} x = -\operatorname{csch} x\,\coth x</math> ===Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale=== La funzione da integrare: <math> y = arctanh(x) </math> Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere:]] [[https://drive.google.com/file/d/1v6jyC--EMJS9zBmHqqXK-5yQHHahlmMT/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate== <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcoth} x = \frac{1}{1-x^2}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arsech} x = -\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}</math> <math>\frac{d}{dx}\operatorname{arcsch} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}</math> ===Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale=== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1K_ftEaH5cDqt7CiPezFuQncFsnQkKPNZ/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate== * Logaritmo naturale: <math>\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math>: <math>\frac{d}{dx}\log_a(x)=\frac{1}{x\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ x>0</math> * Logaritmo di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)>0</math> * Logaritmo in base <math>a</math> di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\log_a(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)\ln(a)}, \qquad a>0,\ a\neq1,\ f(x)>0</math> * Logaritmo del valore assoluto: <math>\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0</math> * Logaritmo del valore assoluto di una funzione: <math>\frac{d}{dx}\ln|f(x)|=\frac{f'(x)}{f(x)}, \qquad f(x)\neq0</math> ===Calcolo della derivata di una funzione logaritmica=== sequenza di lavoro: Data la funzione: <math> y = \ln x </math> 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1YymCq7gNrt5TeSKMd_NXaU5UyKVnjFfB/view?usp=drive_link]Risposta] ==Elenco funzioni esponenziali e loro derivate== * <math>f(x)=e^x</math> → <math>f'(x)=e^x</math> * <math>f(x)=e^{ax}</math> → <math>f'(x)=ae^{ax}</math> * <math>f(x)=e^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=g'(x)e^{g(x)}</math> * <math>f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1</math> → <math>f'(x)=a^x\ln(a)</math> * <math>f(x)=a^{g(x)}</math> → <math>f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)</math> * <math>f(x)=x^x,\quad x>0</math> → <math>f'(x)=x^x(\ln x+1)</math> * <math>f(x)=x^a</math> → <math>f'(x)=ax^{a-1}</math> * <math>f(x)=g(x)^{h(x)}</math> → <math>f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\right)</math> ===Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale=== Sequenza di lavoro: 1) Si copia la seguente scrittura in grassetto '''Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale''' 2) clk link AI in calce 3) clk su voce (Non effettuare l’accesso) 4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda) 5) clk Enter 6) attendere per la risposta di AI 7) il calcolo deve rendere: [[https://drive.google.com/file/d/1F02HpzFzyEb3AzUBzNJeiLRIVkocxWYG/view?usp=drive_link]Risposta] ==Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad == <math> \text{Sia } f(x)=x^3+2x^2-5x+7. </math> <math> \text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.} </math> <math> \frac{d}{dx}\left(x^3+2x^2-5x+7\right) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7) </math> <math> = 3x^2 + 2\cdot2x - 5\cdot1 + 0 </math> <math> = 3x^2+4x-5. </math> <math> {f'(x)=3x^2+4x-5} </math> == Le derivate delle funzioni di funzioni computate con IA== IA è impostato per lo sviluppo delle derivate secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 12 esercizi; in testa di ciascuno la funzione da derivare: ==1^ <math> f(x) = \ln(\cos x) + x\tan x </math>== Calcoliamo la derivata: <math> \begin{align} y &= \ln(\cos x) + x\tan x \\[4pt] y' &= \frac{d}{dx}\ln(\cos x) + \frac{d}{dx}(x\tan x) \\[4pt] &= -\tan x + \tan x + x\sec^2 x \\[4pt] &= x\sec^2 x \end{align} </math> ==2^ <math> f(x) = \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math>== Calcoliamo la derivata: Si consideri la funzione <math> f(x)=\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} </math> Scriviamo la radice come potenza: <math> f(x)=\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\frac12} </math> Applichiamo la regola della derivata della potenza composta: <math> f'(x)=\frac12\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) </math> Calcoliamo ora la derivata del quoziente. Poniamo <math> u(x)=1+\sin x </math> <math> v(x)=1-\sin x </math> Le derivate sono <math> u'(x)=\cos x </math> <math> v'(x)=-\cos x </math> Applicando la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2} </math> si ottiene <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) = \frac{\cos x(1-\sin x)-(1+\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^2} </math> Sviluppando il numeratore, <math> =\frac{\cos x-\sin x\cos x+\cos x+\sin x\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> I termini opposti si eliminano: <math> =\frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Sostituendo nella derivata, <math> f'(x) = \frac12 \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} \cdot \frac{2\cos x}{(1-\sin x)^2} </math> Semplificando il fattore <math>\frac12\cdot2</math>, <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} </math> Poiché <math> \left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{-\frac12} = \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> segue <math> f'(x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}} </math> Portando la radice al denominatore, <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}} </math> Poiché <math> (1-\sin x)(1+\sin x)=1-\sin^2x=\cos^2x </math> si ottiene <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)\sqrt{\cos^2x}} </math> Essendo <math> \sqrt{\cos^2x}=|\cos x| </math> segue la forma generale <math> f'(x) = \frac{\cos x} {(1-\sin x)|\cos x|} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x>0 </math> risulta <math> |\cos x|=\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=\frac{1}{1-\sin x} </math> Nei tratti in cui <math> \cos x<0 </math> risulta <math> |\cos x|=-\cos x </math> e quindi <math> f'(x)=-\frac{1}{1-\sin x} </math> == 3^ <math>f(x)=\log(\cos x)+x\tan x</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)+\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)</math> Derivata del primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x)</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\frac{\sin x}{\cos x}</math> <math>\frac{d}{dx}\left(\log(\cos x)\right)=-\tan x</math> Derivata del secondo termine (regola del prodotto): <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=x'\tan x+x(\tan x)' </math> Poiché <math>x'=1</math> e <math>(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\tan x\right)=\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Sommiamo i due contributi: <math>f'(x)=-\tan x+\tan x+\frac{x}{\cos^2 x}</math> Dato che termini opposti si eliminano possiamo infine scrivere la derivata: <math>f'(x)=\frac{x}{\cos^2 x}</math> ==4^ <math>f(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)</math>== Calcoliamo la derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)\right)</math> Applichiamo la linearità della derivata: <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{4}\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)</math> Deriviamo il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}</math> Per il secondo termine applichiamo la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left(\sin(2x)\right)=2\cos(2x)</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot2\cos(2x)</math> Semplificando: <math>f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)</math> Raccogliendo il fattore comune: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\left(1-\cos(2x)\right)</math> Applicando l'identità trigonometrica: <math>1-\cos(2x)=2\sin^2(x)</math> Si ottiene: <math>f'(x)=\frac{1}{2}\cdot2\sin^2(x)</math> Quindi: <math>f'(x)=\sin^2(x)</math> ==5^ <math>f(x)=\ln x+\sqrt{4+x^2}</math> == Calcoliamo la derivata usando la regola: <math>\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=x+\sqrt{4+x^2}</math> Deriviamo <math>u</math>: <math>u'=1+\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}</math> Applicando la regola della radice: <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2}}\cdot\frac{d}{dx}(4+x^2)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(4+x^2)=2x</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\sqrt{4+x^2}=\frac{2x}{2\sqrt{4+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Quindi <math>u'=1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Applicando ora la derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Portiamo il numeratore a denominatore comune: <math>1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}}=\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}</math> Pertanto <math>f'(x)=\frac{\frac{\sqrt{4+x^2}+x}{\sqrt{4+x^2}}}{x+\sqrt{4+x^2}}</math> Poiché <math>\sqrt{4+x^2}+x=x+\sqrt{4+x^2}</math> si semplifica il fattore comune con il risultato finale: <math>f'(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}</math> == 6^ <math>f(x)=\sin\!\left(\ln\sqrt{x}\right)</math>== Poiché <math>\ln\sqrt{x}=\ln\left(x^{1/2}\right)=\frac12\ln x</math> si può riscrivere la funzione come <math>f(x)=\sin\left(\frac12\ln x\right)</math> Applichiamo la regola della catena. Poniamo <math>u=\frac12\ln x</math> allora <math>f(x)=\sin u</math> La derivata della funzione esterna è <math>\frac{d}{dx}(\sin u)=\cos u\cdot u'</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>u'=\frac12\cdot\frac1x=\frac1{2x}</math> Sostituendo: <math>f'(x)=\cos\left(\frac12\ln x\right)\cdot\frac1{2x}</math> Equivalentemente, mantenendo l'espressione originale: <math>f'(x)=\frac{\cos(\ln\sqrt{x})}{2x}</math> ==7^ <math>f(x)=\ln(\sen x+\cos x)</math>== Applico la regola della derivata del logaritmo: <math>f'(x)=\dfrac{(\sen x+\cos x)}{\sen x+\cos x}</math> Calcolo la derivata dell'argomento: <math>(\sen x+\cos x)'=(\sen x)'+(\cos x)'=\cos x-\sen x</math> Sostituisco il risultato: <math>f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> Derivata finale: <math>\{f'(x)=\dfrac{\cos x-\sen x}{\sen x+\cos x}</math> ==8^ <math>f(x)=\sqrt[5]{\sin^2(x)+3x}+x^2\ln x</math>== Riscriviamo la radice come potenza: <math>f(x)=(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}+x^2\ln x</math> Deriviamo il primo termine usando la regola della funzione composta: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\cdot\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)</math> Calcoliamo la derivata della funzione interna: <math>\frac{d}{dx}(\sin^2(x)+3x)=2\sin(x)\cos(x)+3</math> Sostituendo: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin^2(x)+3x)^{\frac15}\right]=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)</math> Deriviamo ora il secondo termine usando la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=(2x)\ln x+x^2\cdot\frac1x</math> Semplificando: <math>\frac{d}{dx}(x^2\ln x)=2x\ln x+x</math> Sommiamo i risultati ottenuti: <math>f'(x)=\frac15(\sin^2(x)+3x)^{-\frac45}\left(2\sin(x)\cos(x)+3\right)+2x\ln x+x</math> Riscrivendo il primo termine con la radice: <math>f'(x)=\frac{2\sin(x)\cos(x)+3}{5\sqrt[5]{(\sin^2(x)+3x)^4}}+2x\ln x+x</math> == 9^ <math>f(x)=\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}+\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. <math>f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\!\left(x-\sqrt{x}\right)\right)</math> Per il primo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\ln\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right) =\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)</math> <math>=\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)</math> Calcoliamo la derivata del quoziente: <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right) =\frac{(x+1)\cdot1-(x-1)\cdot1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{2}{(x+1)^2}</math> Sostituendo: <math>\frac{1}{\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\cdot \frac{2}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{x+1}{x-1}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}</math> <math>=\frac{1}{(x-1)(x+1)}</math> <math>=\frac{1}{x^2-1}</math> Per il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(\cos(x-\sqrt{x})\right) =-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\frac{d}{dx}(x-\sqrt{x})</math> <math>=-\sin(x-\sqrt{x})\cdot\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> Infine: <math>f'(x)=\frac{1}{x^2-1}-\sin(x-\sqrt{x})\left(1-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)</math> ==10^ <math>f(x)=x\arctan(ax)-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)</math>== Deriviamo termine per termine. Per il primo termine si applica la regola del prodotto: <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\frac{d}{dx}(x)\,\arctan(ax)+x\,\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}(x)=1</math> e <math>\frac{d}{dx}\left(\arctan(ax)\right)=\frac{a}{1+a^2x^2}</math> si ottiene <math>\frac{d}{dx}\left(x\arctan(ax)\right)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Ora deriviamo il secondo termine: <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)\right)</math> Si usa la proprietà <math>\ln(\sqrt{u})=\frac12\ln(u)</math> quindi <math>-\frac{1}{a}\ln\!\left(\sqrt{1+a^2x^2}\right)=-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)</math> Applicando la regola della derivata del logaritmo: <math>\frac{d}{dx}\ln(1+a^2x^2)=\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> segue <math>\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2a}\ln(1+a^2x^2)\right)=-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}</math> Semplificando: <math>-\frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^2x}{1+a^2x^2}=-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> Sommiamo i contributi: <math>f'(x)=\arctan(ax)+\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}</math> I termini razionali si eliminano: <math>\frac{ax}{1+a^2x^2}-\frac{ax}{1+a^2x^2}=0</math> Pertanto <math>f'(x)=\arctan(ax)</math> == 11^ <math>f(x)=\ln\left(\tan^3(2x)\right)-\sqrt[5]{\sin(3x)}</math>== Calcoliamo la derivata. Per il primo termine utilizziamo la regola: <math>\frac{d}{dx}[\ln(u)]=\frac{u'}{u}</math> dove <math>u=\tan^3(2x)</math> Deriviamo <math>u</math> applicando la regola della potenza e la regola della catena: <math>u'=3\tan^2(2x)\cdot\frac{d}{dx}[\tan(2x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\tan(2x)]=2\sec^2(2x)</math> si ottiene <math>u'=6\tan^2(2x)\sec^2(2x)</math> Quindi <math>\frac{d}{dx}\left[\ln(\tan^3(2x))\right]=\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}</math> Semplificando: <math>\frac{6\tan^2(2x)\sec^2(2x)}{\tan^3(2x)}=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}</math> Per il secondo termine scriviamo: <math>\sqrt[5]{\sin(3x)}=(\sin(3x))^{1/5}</math> Applichiamo la regola della potenza e la regola della catena: <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{1}{5}(\sin(3x))^{-4/5}\cdot\frac{d}{dx}[\sin(3x)]</math> Poiché <math>\frac{d}{dx}[\sin(3x)]=3\cos(3x)</math> segue che <math>\frac{d}{dx}\left[(\sin(3x))^{1/5}\right]=\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Essendo il termine preceduto dal segno meno, la sua derivata è <math>-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Pertanto la derivata della funzione è <math>f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}</math> Risultato finale: <math>{f'(x)=\frac{6\sec^2(2x)}{\tan(2x)}-\frac{3\cos(3x)}{5(\sin(3x))^{4/5}}}</math> == 12^ <math>f(x)=\sin(\arccos x)</math>== Applicando la regola della catena si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=\cos(\arccos x)\cdot\frac{d}{dx}(\arccos x) </math> Si utilizza la formula della derivata dell'arcocoseno <math> \frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} </math> e inoltre <math> \cos(\arccos x)=x </math> Sostituendo si ottiene <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) </math> Semplificando <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> Verifica mediante identità trigonometrica Poiché <math> \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} </math> si può derivare direttamente <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x) </math> da cui <math> \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} </math> che coincide con il risultato ottenuto mediante la regola della catena. Risultato finale <math> \frac{d}{dx}\sin(\arccos x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math> ... == Seno == Funzione: <math>y=\sin x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> Dimostrazione: <math>y=\sin x</math> <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}</math> Usando la formula di addizione: <math>\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h</math> Sostituendo: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}</math> Separando: <math>\frac{dy}{dx}=\sin x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Poiché <math>\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0</math> e <math>\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sin x=\cos x</math> == Coseno == Funzione: <math>y=\cos x</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> Dimostrazione: <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}</math> Usando <math>\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h</math> si ottiene <math>\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}</math> Separando <math>\frac{dy}{dx}=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}</math> Applicando i limiti fondamentali <math>\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x</math> == Tangente == Funzione: <math>y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x}</math> Dimostrazione: <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> Applicando la regola del quoziente <math>\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}</math> con <math>u=\sin x</math> <math>v=\cos x</math> si ha <math>u'=\cos x</math> <math>v'=-\sin x</math> quindi <math>\frac{d}{dx}\tan x= \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math> Usando <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math> segue <math>\frac{d}{dx}\tan x=\frac1{\cos^2x}=\sec^2x</math> ---- == Cotangente == Funzione: <math>y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x=-\frac1{\sin^2x}</math> Dimostrazione: <math>\frac{d}{dx}\cot x= \frac{(-\sin x)\sin x-\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x= -\frac1{\sin^2x}</math> <math>\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2x</math> == Secante == Funzione: <math>y=\sec x=\frac1{\cos x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> Dimostrazione: <math>y=(\cos x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)</math> <math>\frac{dy}{dx} =\frac{\sin x}{\cos^2x}</math> Scrivendo <math>\frac1{\cos x}=\sec x</math> e <math>\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x</math> == Cosecante == Funzione: <math>y=\csc x=\frac1{\sin x}</math> Derivata: <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> Dimostrazione: <math>y=(\sin x)^{-1}</math> Applicando la regola della potenza <math>\frac{dy}{dx} =-1(\sin x)^{-2}\cos x</math> <math>\frac{dy}{dx} =-\frac{\cos x}{\sin^2x}</math> Poiché <math>\frac1{\sin x}=\csc x</math> e <math>\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x</math> segue <math>\frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x</math> == Tabella riassuntiva == {| class="wikitable" ! Funzione ! Derivata |- | <math>\sin x</math> | <math>\cos x</math> |- | <math>\cos x</math> | <math>-\sin x</math> |- | <math>\tan x</math> | <math>\sec^2x</math> |- | <math>\cot x</math> | <math>-\csc^2x</math> |- | <math>\sec x</math> | <math>\sec x\tan x</math> |- | <math>\csc x</math> | <math>-\csc x\cot x</math> |} ``` ==Bibliografia== *Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova 1973) *Handbook of mathematical function- M. Abramoswit - A. Stegun - (Dover 1964) * Analisi matematica 1°/2°/3° vol.- G. Moretti Hoepli (1953) *La matematica con il Personal Computer-C. DelTurco- La Moderna (La Spezia 1997) nei3ghm483wwavs010nmztzdr0kfh0z 0 37719 286189 285466 2026-08-13T07:31:28Z Funzioni di correlazione 24136 286189 wikitext text/x-wiki {{Risorsa | tipo = lezione | materia1 = Teoria dei residui | avanzamento = 100% }} ('''8 Esercizi''') == In quali applicazioni è utilizzata la teoria dei residui == * calcolo di integrali complessi; * valutazione di alcuni integrali reali mediante il teorema dei residui; * studio deelle singolarità delle funzioni meromorfe; * risoluzione di problemi di fisica matematica, elettromagnetismo e meccanica quantistica Il testo a seguire espone un breve accenno alla teoria dei residui con l'impiego dell'intelligenza artificiae (IA) = Residui (analisi complessa) = In matematica, e in particolare nell'analisi complessa, il '''residuo''' di una funzione meromorfa in una singolarità isolata è il coefficiente del termine <math>\frac{1}{z-z_0}</math> nello sviluppo in serie di Laurent della funzione attorno al punto <math>z_0</math>. I residui sono uno strumento fondamentale per il calcolo degli integrali complessi grazie al teorema dei residui. == Teorema dei residui == Se una funzione meromorfa possiede singolarità isolate <math> z_1,z_2,\ldots,z_n </math> all'interno di una curva chiusa orientata positivamente <math> \Gamma </math> allora la soluzione dell'integrale dato è: <math> \oint_{\Gamma}f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f,z_k) </math> Questo risultato costituisce uno dei teoremi fondamentali dell'analisi complessa e permette di trasformare il calcolo di un integrale complesso nella somma dei residui delle singolarità interne al contorno. == Definizione == Sia <math>f(z)</math> una funzione meromorfa con una singolarità isolata nel punto <math>z_0</math>. Lo sviluppo di Laurent della funzione è: <math> f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n </math> Il residuo di <math>f</math> nel punto <math>z_0</math> è definito come: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1} </math> cioè il coefficiente del termine: <math> \frac{1}{z-z_0} </math> == Calcolo del residuo nel caso di polo semplice == Se <math>z_0</math> è un polo semplice, il residuo si ottiene mediante la formula: <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) </math> == Esempio completo == Calcolare il residuo della funzione <math> f(z)=\frac{z+2}{(z-1)(z+3)} </math> nel punto <math> z=1 </math> === Passo 1 === Si osserva che <math> z=1 </math> è un polo semplice. Si applica quindi la formula <math> \operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z+2}{(z-1)(z+3)} </math> === Passo 2 === Si semplifica il fattore comune <math> (z-1) </math> ottenendo <math> \operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to1}\frac{z+2}{z+3} </math> === Passo 3 === Si sostituisce <math> z=1 </math> <math> \operatorname{Res}(f,1)=\frac{1+2}{1+3} </math> === Passo 4 === Si eseguono le somme <math> \operatorname{Res}(f,1)=\frac{3}{4} </math> === Risultato === Il residuo della funzione nel punto <math> z=1 </math> è <math> {\operatorname{Res}(f,1)=\frac{3}{4}} </math> == Verifica mediante sviluppo di Laurent == Si può anche scomporre la funzione in frazioni semplici. Si pone <math> \frac{z+2}{(z-1)(z+3)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z+3} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math> (z-1)(z+3) </math> si ottiene <math> z+2=A(z+3)+B(z-1) </math> Ponendo <math> z=1 </math> segue <math> 3=4A </math> e quindi <math> A=\frac34 </math> Ponendo <math> z=-3 </math> segue <math> -1=-4B </math> quindi <math> B=\frac14 </math> La funzione diventa <math> f(z)=\frac{3}{4(z-1)}+\frac{1}{4(z+3)} </math> Il coefficiente del termine <math> \frac{1}{z-1} </math> è <math> \frac34 </math> perciò <math> \operatorname{Res}(f,1)=\frac34 </math> =Esempio di calcolo di un integrale complesso mediante la teoria dei residui= Si vuole calcolare l'integrale reale <math> I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}. </math> Questo è uno degli esempi classici di applicazione del teorema dei residui. ## Estensione al piano complesso Si considera la funzione olomorfa <math> f(z)=\frac{1}{z^2+1}. </math> Essa può essere fattorizzata come <math> z^2+1=(z-i)(z+i). </math> Pertanto <math> f(z)=\frac{1}{(z-i)(z+i)}. </math> ## Individuazione dei poli La funzione possiede due poli semplici: <math> z=i, </math> e <math> z=-i. </math> Si sceglie un contorno formato dall'asse reale e da una semicirconferenza di raggio <math> R </math> nel semipiano superiore. All'interno del contorno è presente solamente il polo <math> z=i. </math> ## Calcolo del residuo Per un polo semplice vale la formula <math> \operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z). </math> Applicandola nel punto <math> z=i </math> si ottiene <math> \operatorname{Res}(f,i) =\lim_{z\to i}\frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. </math> Semplificando, <math> \operatorname{Res}(f,i) =\lim_{z\to i}\frac{1}{z+i}. </math> Sostituendo <math> z=i </math> segue <math> \operatorname{Res}(f,i) =\frac{1}{2i}. </math> ## Applicazione del teorema dei residui Il teorema dei residui afferma che <math> \oint_\Gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum\operatorname{Res}(f,z_k). </math> Poiché all'interno del contorno è presente un solo polo, <math> \oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1} = 2\pi i\cdot\frac{1}{2i}. </math> Semplificando, <math> \oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1} =\pi. </math> ## Contributo dell'arco Sia <math> C_R </math> la semicirconferenza di raggio <math> R. </math> Si dimostra mediante il lemma di Jordan (oppure con una stima diretta) che <math> \lim_{R\to\infty} \int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}=0. </math> Pertanto <math> \oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1} = \int_{-R}^{R}\frac{dx}{x^2+1} + \int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}. </math> Facendo tendere <math> R\to\infty </math> si ottiene <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1} = \oint_\Gamma\frac{dz}{z^2+1}. </math> Poiché il contributo dell'arco è nullo, <math> \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1} = \pi. </math> ## Risultato finale L'integrale richiesto vale <math> { \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\pi} </math> ## Osservazioni L'esempio mostra il procedimento generale del metodo dei residui: * si estende l'integrando al piano complesso; * si individuano i poli della funzione; * si sceglie un contorno opportuno; * si calcolano i residui dei poli interni al contorno; * si applica il teorema dei residui; * si dimostra che il contributo dell'arco tende a zero; * si ricava il valore dell'integrale reale come somma dei residui moltiplicata per <math>2\pi i</math>. = = Serie di esempi per il cacolo degli integrali da parte di IA= <math>\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\pi</math> <math>\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^4+1}=\frac{\pi}{\sqrt2}</math> <math>\displaystyle\int_{-\infty}^{+\ infty}\frac{\cos(ax)}{x^2+1},dx=\pi e^{-|a|}</math> <math>\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{iax}}{x^2+1},dx=\pi e^{-|a|}</math> <math>\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4}=\frac{\pi}{2\sqrt2}</math> Esempio per il calcolo del secondo integrale, nella finestra di IA digitare: '''Calcola l'integrale tra - infinito e + infinito di: 1/(x^4 +1) con la teoria dei residui (mostra tutti i passaggi)''' 8lbbk5tb54twd630be6anorg24mufih 0 37720 286190 285637 2026-08-13T07:34:37Z Funzioni di correlazione 24136 286190 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} '''(5 Esercizi)''' ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` p7i44a1ytnnq8rl2t1rs3ingzmvhkee 286191 286190 2026-08-13T07:35:05Z Funzioni di correlazione 24136 286191 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Studio di funzioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} '''(5 Esercizi)''' ==Esposizione di una funzione con grafico== Il grafico di figura è generato dalla funzione: <math>C(\tau)1,2 = \left[ \frac { \sin \ \{ 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) \} } { 2 \cdot \pi \cdot F1 \cdot ( \tau - \tau*) } \right] \ \ \ </math> 1) [[File:corincrociata1.jpg|thumb|center|600px|]] {{clear}} I simboli nella 1) che ne determinano la struttura sono: <math> \tau </math> (variabile indipendente) <math> \tau * </math> (coeff. di posizione) <math> F1 </math> (parametro di profilo) ==Calcolo della derivata della 1) secondo IA== Data <math> C(\tau)_{1,2}= \frac{\sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F1(\tau-\tau^*)} </math> Definiamo la variabile ausiliaria <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> Allora <math> C(\tau)_{1,2}=\frac{\sin x}{x} </math> e <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F1 </math> Applicando la regola della catena, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{dx}{d\tau} </math> Calcoliamo la derivata della funzione sinc mediante la regola del quoziente. Poniamo <math> u=\sin x </math> <math> v=x </math> Allora <math> u'=\cos x </math> <math> v'=1 </math> Per la regola del quoziente, <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Pertanto, <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> \frac{dC}{d\tau} = 2\pi F1 \, \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } {\left[2\pi F1(\tau-\tau^*)\right]^2} </math> Semplificando un fattore <math> 2\pi F1 </math> tra numeratore e denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } </math> oppure, lasciando completamente sviluppato il denominatore, <math> \frac{dC}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { (2\pi F1)^2(\tau-\tau^*)^2 } \cdot 2\pi F1 </math> Forma finale compatta <math> { \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> 2) ==Calcolo dell'ascissa del massimo secondo IA== (Nota: già dalla figura si evince il valore dell'ascissa del massimo, la ricerca analitica consente però di sudiare il metodo di calcolo in generale e in alta precisione) Data la funzione: <math> C_{1,2}(\tau)= \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)}. </math> Si vuole determinare l'ascissa del massimo della funzione. Introduciamo la variabile adimensionale <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*). </math> La funzione diventa <math> C_{1,2}(\tau)=\frac{\sin x}{x}. </math> Per trovare i punti stazionari si calcola la derivata rispetto a <math>\tau</math>. Per la regola della catena <math> \frac{dx}{d\tau}=2\pi F_1. </math> La derivata della funzione sinc è <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC_{1,2}}{d\tau} = 2\pi F_1 \, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Poiché <math> 2\pi F_1>0, </math> i punti stazionari soddisfano <math> x\cos x-\sin x=0. </math> Equivalentemente, <math> x=\tan x. </math> Questa equazione possiede infinite soluzioni. Tuttavia il massimo principale della funzione sinc si trova nel punto centrale. Infatti, per <math> x=0 </math> la precedente espressione è formalmente indeterminata, ma il limite è <math> \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. </math> Lo sviluppo di Taylor della funzione è <math> \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} +\frac{x^4}{120} -\cdots </math> e quindi <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = -\frac{x}{3} +\frac{x^3}{30} -\cdots </math> Inoltre, <math> \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{\sin x}{x}\right)\Bigg|_{x=0} = -\frac13<0, </math> per cui <math> x=0 </math> è un massimo locale. Poiché <math> \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le1 </math> per ogni <math> x, </math> esso è anche il massimo assoluto della funzione. Ritornando alla variabile originale, <math> x=2\pi F_1(\tau-\tau^*)=0, </math> da cui <math> \tau-\tau^*=0. </math> Quindi l'ascissa del massimo è <math> {\tau=\tau^*.} </math> Nel punto di massimo il valore della funzione è <math> C_{1,2}(\tau^*) = \lim_{\tau\to\tau^*} \frac{\sin\left(2\pi F_1(\tau-\tau^*)\right)} {2\pi F_1(\tau-\tau^*)} =1. </math> **Risultato finale** <math>\tau_{\max}=\tau^*</math> con valore massimo <math>C_{1,2}(\tau^*)=1.</math> == Dalla derivata alla primitiva secondo IA== A scopo d'esercizio mostriamo il processo per la determinazione della primitiva della funzione espressa con la 2): <math> { \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1\,(\tau-\tau^*)^2 } } </math> Poniamo <math> x = 2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> allora <math> \tau-\tau^*=\frac{x}{2\pi F1}, </math> e <math> dx = 2\pi F1\,d\tau, </math> cioè <math> d\tau=\frac{dx}{2\pi F1}. </math> La derivata da integrare è <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }. </math> Sostituendo <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*) </math> si ottiene <math> (\tau-\tau^*)^2=\frac{x^2}{(2\pi F1)^2}. </math> Pertanto <math> \frac{dC(\tau)_{1,2}}{d\tau} = \frac{ x\cos x-\sin x } { 2\pi F1\left(\dfrac{x^2}{(2\pi F1)^2}\right) } = (2\pi F1)\, \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> La primitiva diventa <math> C(\tau)_{1,2} = \int (2\pi F1) \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \frac{dx}{2\pi F1}. </math> I fattori <math> 2\pi F1 </math> si semplificano: <math> C(\tau)_{1,2} = \int \frac{x\cos x-\sin x}{x^2} \,dx. </math> Osserviamo ora che <math> \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}. </math> Quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{\sin x}{x}+K, </math> dove <math> K </math> è la costante di integrazione. Infine si torna alla variabile originale: <math> x=2\pi F1(\tau-\tau^*). </math> Si ottiene quindi <math> C(\tau)_{1,2} = \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } + K. </math> Poiché <math> \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin x}{x}, </math> la stessa primitiva può essere scritta nella forma compatta <math> C(\tau)_{1,2} = \operatorname{sinc}\!\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) + K. </math> Verifica finale: <math> \frac{d}{d\tau} \left[ \frac{ \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*) } \right] = \frac{ 2\pi F1(\tau-\tau^*) \cos\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) - \sin\left(2\pi F1(\tau-\tau^*)\right) } { 2\pi F1(\tau-\tau^*)^2 }, </math> che coincide con l'espressione assegnata. =Sui punti notevoli delle funzioni= Secondo IA esempio d'analisi di una funzione per la ricerca dei punti notevoli (massimi, minimi, passaggi per lo zero, asintoti, flessi.) data la funzione: <math>y = x^2+x-2</math> se ne mostra il grafico: [[File:Algebra2 diseq2 fig009 prbl.svg|center|y=x^2+x-2|300px|left|]] == Studio della parabola == Data la funzione: <math>y=x^2+x-2</math> === 1. Intersezioni con l'asse x === Per trovare i punti di contatto con l'asse <math>x</math> si pone: <math>y=0</math> quindi: <math>x^2+x-2=0</math> Scomponiamo il trinomio: <math>(x+2)(x-1)=0</math> Le soluzioni sono: <math>x_1=-2</math> <math>x_2=1</math> I punti di intersezione con l'asse <math>x</math> sono quindi: <math>A=(-2,0)</math> <math>B=(1,0)</math> === 2. Derivata prima === Calcoliamo la derivata della funzione: <math>y=x^2+x-2</math> La derivata è: <math>y'=2x+1</math> === 3. Ricerca dei punti stazionari === I punti stazionari si ottengono imponendo: <math>y'=0</math> cioè: <math>2x+1=0</math> Da cui: <math>x=-\frac12</math> Calcoliamo l'ordinata sostituendo nella funzione: <math>y=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac12-2</math> <math>y=\frac14-\frac24-\frac84</math> <math>y=-\frac94</math> Il punto stazionario è quindi: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 4. Derivata seconda === Calcoliamo la derivata seconda: <math>y''=2</math> Poiché: <math>y''=2>0</math> il punto stazionario è un punto di minimo. === 5. Massimo e minimo === La parabola ha concavità rivolta verso l'alto poiché: <math>a=1>0</math> Quindi: * non esiste alcun punto di massimo; * esiste un punto di minimo nel vertice. Coordinate del minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> === 6. Asse di simmetria === L'asse della parabola è: <math>x=-\frac{b}{2a}</math> Sostituendo: <math>x=-\frac1{2\cdot1}</math> <math>x=-\frac12</math> === 7. Intersezione con l'asse y === Ponendo: <math>x=0</math> si ottiene: <math>y=0^2+0-2=-2</math> Il punto di intersezione con l'asse <math>y</math> è: <math>(0,-2)</math> === 8. Riassunto === Funzione: <math>y=x^2+x-2</math> Derivata prima: <math>y'=2x+1</math> Derivata seconda: <math>y''=2</math> Ascisse dei punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>x=-2</math> <math>x=1</math> Punti di intersezione con l'asse <math>x</math>: <math>(-2,0)</math> <math>(1,0)</math> Intersezione con l'asse <math>y</math>: <math>(0,-2)</math> Asse di simmetria: <math>x=-\frac12</math> Vertice (punto di minimo): <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> Massimo: non esiste. Minimo: <math>V\left(-\frac12,-\frac94\right)</math> ``` kymklf025ul1wsotxmifqxpw415konx 0 37747 286187 285919 2026-08-13T07:23:34Z Funzioni di correlazione 24136 286187 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Disequazioni|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} '''( 20 Esercizi)''' = Le disequazioni computate con IA= IA è impostato per lo sviluppo delle disequazioni secondo le regole standard; esegue i calcoli mostrando tutti i passaggi necessari per ottenere il risultato. Una serie di 20 esercizi; in testa di ciascuno la disequazione di primo o secondo grado o di sistemi da calcolare: == 1° <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math>== Determinare l'insieme delle soluzioni === 1. Condizione di esistenza === L'argomento del logaritmo deve essere positivo: <math>2x^2-7x+103>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot103=49-824=-775<0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo e il discriminante è negativo, il trinomio è sempre positivo. Quindi: <math>2x^2-7x+103>0\qquad\forall x\in\mathbb{R}</math> Il dominio è quindi <math>\mathbb{R}</math> === 2. Proprietà del logaritmo === Poiché la funzione <math>\log_{10}(x)</math> è strettamente crescente, la disequazione <math>\log_{10}(2x^2-7x+103)>2</math> è equivalente a <math>2x^2-7x+103>10^2</math> cioè <math>2x^2-7x+103>100</math> === 3. Riduzione === Portando tutto al primo membro: <math>2x^2-7x+3>0</math> === 4. Calcolo delle radici === Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=49-24=25</math> Le radici sono: <math>x=\frac{7\pm\sqrt{25}}{4}</math> <math>x=\frac{7\pm5}{4}</math> quindi <math>x=\frac12</math> e <math>x=3</math> === 5. Studio del segno === Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è positivo all'esterno delle radici e negativo all'interno. Pertanto: <math>2x^2-7x+3>0</math> per <math>x<\frac12</math> oppure <math>x>3</math> === Soluzione === L'insieme soluzione è <math>{(-\infty,\frac12)\cup(3,+\infty)}</math> ==2° <math>x(x-4)>0</math> == === Sviluppo del prodotto === Sviluppando il prodotto si ottiene <math>x^2-4x>0</math> === Ricerca degli zeri === Si risolve l'equazione associata <math>x(x-4)=0</math> Applicando la legge di annullamento del prodotto: <math>x=0</math> oppure <math>x-4=0</math> da cui <math>x=4</math> Gli zeri della parabola sono quindi <math>x=0</math> e <math>x=4</math> === Studio del segno === Poiché il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Si studia il segno del prodotto: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-4</math> ! <math>x(x-4)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<4</math> | + | − | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-4)>0</math> quindi il prodotto deve essere positivo. === Soluzione === La soluzione è <math>x<0 \;\text{oppure}\; x>4</math> In forma di intervalli: <math>(-\infty,0)\cup(4,+\infty)</math> ``` ==3° <math>2x^2-9>0</math>== Portiamo il termine noto al secondo membro: <math>2x^2>9</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>2</math> (numero positivo, quindi il verso della disequazione non cambia): <math>x^2>\frac{9}{2}</math> Prendiamo la radice quadrata di entrambi i membri: <math>|x|>\sqrt{\frac{9}{2}}</math> Semplifichiamo la radice: <math>\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Otteniamo quindi: <math>|x|>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> Ciò equivale alle due disequazioni: <math>x<-\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> oppure <math>x>\frac{3\sqrt{2}}{2}</math> === Insieme soluzione === <math>S=\left(-\infty,-\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\cup\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},+\infty\right)</math> ==4° <math>\frac{\left(\frac13+2x\right)}{3}-\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}>-\frac23</math>== si sviluppano i due termini. Primo termine: <math>\frac{\frac13+2x}{3}=\frac19+\frac23x</math> Secondo termine: <math>\frac{3\left(\frac13+x\right)}{2}=\frac12+\frac32x</math> La disequazione diventa <math>\frac19+\frac23x-\frac12-\frac32x>-\frac23</math> Raggruppando i termini simili: <math>\left(\frac19-\frac12\right)+\left(\frac23-\frac32\right)x>-\frac23</math> Calcolo dei coefficienti: <math>\frac19-\frac12=\frac{2-9}{18}=-\frac7{18}</math> <math>\frac23-\frac32=\frac{4-9}{6}=-\frac56</math> Quindi <math>-\frac7{18}-\frac56x>-\frac23</math> Sommiamo <math>\frac7{18}</math> a entrambi i membri: <math>-\frac56x>-\frac23+\frac7{18}</math> Riduzione allo stesso denominatore: <math>-\frac23+\frac7{18}=-\frac{12}{18}+\frac7{18}=-\frac5{18}</math> Otteniamo <math>-\frac56x>-\frac5{18}</math> Dividendo entrambi i membri per <math>-\frac56</math>, il verso della disequazione si inverte: <math>x<\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}</math> Calcolo del rapporto: <math>\frac{-\frac5{18}}{-\frac56}=\frac5{18}\cdot\frac65=\frac{30}{90}=\frac13</math> Pertanto la soluzione è <math>x<\frac13</math> ==5° <math>x(3-x)>0</math>== === Sviluppo del prodotto === Si sviluppa il prodotto: <math>x(3-x)=3x-x^2</math> Pertanto la disequazione diventa <math>3x-x^2>0</math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>-1</math> (invertendo il verso della disequazione) si ottiene <math>x^2-3x<0</math> === Scomposizione === Si raccoglie il fattore comune <math>x</math>: <math>x(x-3)<0</math> === Studio del segno === Gli zeri del prodotto sono <math>x=0</math> e <math>x=3</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<0</math> * <math>0<x<3</math> * <math>x>3</math> Tabella dei segni: {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x</math> ! <math>x-3</math> ! <math>x(x-3)</math> |- | <math>x<0</math> | − | − | + |- | <math>0<x<3</math> | + | − | − |- | <math>x>3</math> | + | + | + |} La disequazione richiede <math>x(x-3)<0</math> che è verificata soltanto nell'intervallo <math>0<x<3</math> === Soluzione === La soluzione della disequazione <math>x(3-x)>0</math> è <math>x\in(0,3)</math>. ==6° <math>(x-4)(2x+5)>0</math>== si determinano gli zeri dei due fattori. Dal primo fattore: <math>x-4=0</math> <math>x=4</math> Dal secondo fattore: <math>2x+5=0</math> <math>x=-\frac{5}{2}</math> I punti critici sono quindi <math>x=-\frac{5}{2}</math> e <math>x=4</math>. Si studia il segno del prodotto. {| class="wikitable" style="text-align:center" ! Intervallo ! <math>x-4</math> ! <math>2x+5</math> ! <math>(x-4)(2x+5)</math> |- | <math>x<-\frac52</math> | − | − | + |- | <math>-\frac52<x<4</math> | − | + | − |- | <math>x>4</math> | + | + | + |} Poiché la disequazione richiede <math>(x-4)(2x+5)>0</math> si scelgono gli intervalli in cui il prodotto è positivo. Pertanto <math>x<-\frac52</math> oppure <math>x>4</math>. La soluzione finale è <math>{(-\infty,-\frac52)\cup(4,+\infty)}</math>. ==7° <math>\frac{2x-5}{3}+\frac{3-x}{5}\ge\frac{34}{15}</math>== Si riducono le frazioni allo stesso denominatore, che è <math>15</math>. <math>\frac{5(2x-5)}{15}+\frac{3(3-x)}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sviluppano i prodotti al numeratore. <math>\frac{10x-25}{15}+\frac{9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si sommano le due frazioni. <math>\frac{10x-25+9-3x}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Si semplifica il numeratore. <math>\frac{7x-16}{15}\ge\frac{34}{15}</math> Poiché i denominatori sono uguali e positivi, si confrontano i numeratori. <math>7x-16\ge34</math> Si aggiunge <math>16</math> a entrambi i membri. <math>7x\ge50</math> Si divide entrambi i membri per <math>7</math>, numero positivo. <math>x\ge\frac{50}{7}</math> Pertanto, l'insieme soluzione è <math>{x\ge\frac{50}{7}}</math>. ==8° <math>3x^2 < 4x + 7</math>== <math>3x^2 < 4x + 7</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x^2 - 4x - 7 < 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7)</math> <math>\Delta = 16 + 84 = 100</math> Calcoliamo le radici dell'equazione associata: <math>x=\frac{4\pm\sqrt{100}}{2\cdot3}</math> <math>x=\frac{4\pm10}{6}</math> Prima radice: <math>x_1=\frac{4-10}{6}=\frac{-6}{6}=-1</math> Seconda radice: <math>x_2=\frac{4+10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo (<math>3>0</math>), la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto il trinomio è negativo tra le due radici. Soluzione della disequazione: <math>-1<x<\frac{7}{3}</math> In forma di intervallo: <math>\left(-1,\frac{7}{3}\right)</math> ==9° <math>(x-2)^2-2<8-(x+1)^2</math>== Sviluppiamo i quadrati: <math>(x-2)^2=x^2-4x+4</math> <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> Sostituendo nella disequazione si ottiene <math>x^2-4x+4-2<8-(x^2+2x+1)</math> Semplificando: <math>x^2-4x+2<7-x^2-2x</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>x^2-4x+2-7+x^2+2x<0</math> Riduciamo i termini simili: <math>2x^2-2x-5<0</math> Per trovare gli zeri del trinomio risolviamo l'equazione associata: <math>2x^2-2x-5=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-2)^2-4\cdot2\cdot(-5)=4+40=44</math> Le soluzioni sono <math>x=\frac{2\pm\sqrt{44}}{4}</math> Poiché <math>\sqrt{44}=2\sqrt{11}</math> segue che <math>x=\frac{2\pm2\sqrt{11}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{11}}{2}</math> Gli zeri del trinomio sono quindi <math>x_1=\frac{1-\sqrt{11}}{2}</math> <math>x_2=\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, il trinomio è negativo tra le due radici. Pertanto la soluzione della disequazione è <math>\frac{1-\sqrt{11}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{11}}{2}</math> oppure, in forma di intervallo, <math>x\in\left(\frac{1-\sqrt{11}}{2},\frac{1+\sqrt{11}}{2}\right)</math>. ==10° <math>3x - 5 > 7</math>== === Svolgimento === Sommiamo <math>5</math> ad entrambi i membri: <math>3x - 5 + 5 > 7 + 5</math> Semplificando otteniamo: <math>3x > 12</math> Dividiamo entrambi i membri per <math>3</math>, numero positivo; pertanto il verso della disequazione non cambia: <math>\frac{3x}{3} > \frac{12}{3}</math> Semplificando: <math>x > 4</math> === Soluzione === L'insieme delle soluzioni è: <math>x > 4</math> oppure, in forma di intervallo: <math>(4,+\infty)</math> === Verifica === Scegliamo un valore della soluzione, ad esempio: <math>x=5</math> Sostituiamo nella disequazione iniziale: <math>3\cdot5-5>7</math> Calcolando: <math>15-5>7</math> <math>10>7</math> La proposizione è vera, quindi: <math>x=5</math> è una soluzione della disequazione. == 11° <math>\begin{cases} 2x-3 > 5 \\ 3x + 6 < 30 { } \\ x - 4 > 2 \end{cases}</math> == === Svolgimento === '''Prima disequazione''' <math>2x-3>5</math> <math>2x>8</math> <math>x>4</math> --- '''Seconda disequazione''' <math>3x+6<30</math> <math>3x<24</math> <math>x<8</math> --- '''Terza disequazione''' <math>x-4\ge2</math> <math>x\ge6</math> --- === Intersezione delle soluzioni === <math>x>4</math> <math>x<8</math> <math>x\ge6</math> Quindi: <math>x\ge6 ;\cap; x<8</math> La soluzione del sistema è: <math>6\le x<8</math> === Insieme soluzione === <math>S={x\in\mathbb{R}\mid 6\le x<8}</math> == 12°<math> \begin{cases} 2(5x^2-9)<6x^2+63\\ 3x-2\le 5-\frac{x}{2} \end{cases} </math>== === Prima disequazione === <math> 2(5x^2-9)<6x^2+63 </math> Sviluppo del primo membro: <math> 10x^2-18<6x^2+63 </math> Portando tutti i termini al primo membro: <math> 10x^2-6x^2-18-63<0 </math> Semplificando: <math> 4x^2-81<0 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 4x^2<81 </math> Dividendo per <math>4</math>: <math> x^2<\frac{81}{4} </math> Prendendo la radice: <math> -\frac{9}{2}<x<\frac{9}{2} </math> Quindi la soluzione della prima disequazione è <math> S_1=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right) </math> === Seconda disequazione === <math> 3x-2\le 5-\frac{x}{2} </math> Moltiplicando entrambi i membri per <math>2</math>: <math> 6x-4\le 10-x </math> Portando i termini con <math>x</math> al primo membro: <math> 7x-4\le 10 </math> Portando il termine noto al secondo membro: <math> 7x\le 14 </math> Dividendo per <math>7</math>: <math> x\le 2 </math> Quindi la soluzione della seconda disequazione è <math> S_2=(-\infty,2] </math> === Intersezione delle soluzioni === Occorre intersecare gli insiemi soluzione: <math> S=S_1\cap S_2 </math> cioè <math> S=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2}\right)\cap(-\infty,2) </math> L'intersezione è <math> S=\left(-\frac{9}{2},2\right) </math> === Soluzione finale === <math> {S=\left(-\frac{9}{2},\,2\right)} </math> == 13° <math>x(9-2x)\leq 0</math>== sviluppando si ha: <math>x(-2x+9)\leq 0</math> <math>x\left(9-2x\right)\leq 0</math> <math>x=0</math> <math>9-2x=0</math> <math>-2x=-9</math> <math>x=\frac{9}{2}</math> <math>x_1=0,\qquad x_2=\frac{9}{2}</math> <math>x\left(9-2x\right)</math> <math>\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,0) & (0,\frac{9}{2}) & (\frac{9}{2},+\infty)\\ \hline x & - & + & +\\ 9-2x & + & + & -\\ x(9-2x) & - & + & - \end{array}</math> <math>x(9-2x)\leq0</math> <math>x\in(-\infty,0)\cup\left(\frac{9}{2},+\infty\right)</math> <math>{x\leq0\ \lor\ x\geq\frac{9}{2}}</math> ==14° <math>x^3 > x^2+2x</math>== si risolve: <math>x^3-x^2-2x>0</math> <math>x(x^2-x-2)>0</math> <math>x((x-2)(x+1))>0</math> <math>x(x-2)(x+1)>0</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\text{Gli zeri del prodotto sono: } x=-1,\ x=0,\ x=2</math> <math>\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\ \hline x+1 & - & 0 & + & + & + & + & +\\ x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ x-2 & - & - & - & - & - & 0 & +\\ \hline x(x+1)(x-2) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}</math> <math>x(x+1)(x-2)>0</math> <math>\Rightarrow x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)</math> <math>{x\in(-1,0)\cup(2,+\infty)}</math> ==15° <math>x^2-5x+6>0</math>== Si scompone il trinomio: <math>x^2-5x+6=(x-2)(x-3)</math> Pertanto <math>(x-2)(x-3)=0</math> Le soluzioni sono <math>x=2</math> e <math>x=3</math> 2. Studio del segno La disequazione diventa <math>(x-2)(x-3)>0</math> Si considerano gli intervalli determinati dagli zeri: * <math>x<2</math> * <math>2<x<3</math> * <math>x>3</math> Intervallo <math>x<2</math> <math>x-2<0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(-)\cdot(-)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. Intervallo <math>2<x<3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3<0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(-)=(-)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)<0</math> La disequazione non è verificata. Intervallo <math>x>3</math> <math>x-2>0</math> <math>x-3>0</math> Il prodotto è <math>(+)\cdot(+)=(+)</math> quindi <math>(x-2)(x-3)>0</math> La disequazione è verificata. 3. Soluzione L'insieme soluzione è <math>x<2 \;\; \text{oppure} \;\; x>3</math> In notazione per intervalli <math>(-\infty,2)\cup(3,+\infty)</math> Poiché la disequazione è stretta <math>x^2-5x+6>0</math> i punti <math>x=2</math> e <math>x=3</math> non appartengono alla soluzione. ``` ==16° <math>\begin{cases} -x(x+2)>-2\\ \frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52 \end{cases}</math>== Per la prima disequazione: Sviluppo: <math>-x^2-2x>-2</math> Porto tutto a sinistra: <math>-x^2-2x+2>0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>x^2+2x-2<0</math> Calcolo delle radici: <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math> <math>x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}</math> <math>x=-1\pm\sqrt3</math> Poiché la parabola è rivolta verso l'alto, la disequazione è verificata tra le radici. Soluzione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> Seconda disequazione <math>\frac{x}{4}\le x-\frac{5-x}{2}+\frac52</math> Semplifico il secondo membro: <math>-\frac{5-x}{2}=-\frac52+\frac{x}{2}</math> Quindi: <math>\frac{x}{4}\le x-\frac52+\frac{x}{2}+\frac52</math> <math>\frac{x}{4}\le x+\frac{x}{2}</math> <math>\frac{x}{4}\le\frac{3x}{2}</math> Moltiplico per <math>4</math>: <math>x\le6x</math> Porto tutto a sinistra: <math>-5x\le0</math> Moltiplico per <math>-1</math> invertendo il verso: <math>5x\ge0</math> <math>x\ge0</math> Sistema Intersezione: <math>-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3</math> con <math>x\ge0</math> Poiché <math>-1+\sqrt3\approx0.732</math> la soluzione del sistema è <math>0\le x<-1+\sqrt3</math> Soluzione finale <math>{\,0\le x<-1+\sqrt3\,}</math> ==17° <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}\le \frac{4x}{3a}</math>== Condizione di esistenza: <math>a\neq 0</math> Portiamo tutto al primo membro: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Scomponiamo la prima frazione: <math>\frac{x^2-a^2}{a^2}=\frac{x^2}{a^2}-1</math> Otteniamo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x+a}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sviluppiamo la seconda frazione: <math>\frac{x+a}{a}=\frac{x}{a}+1</math> Sostituendo: <math>\frac{x^2}{a^2}-1-\frac{x}{a}-1-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Sommiamo i termini noti: <math>\frac{x^2}{a^2}-2-\frac{x}{a}-\frac{4x}{3a}\le 0</math> Riduciamo i termini in <math>x</math>: <math>\frac{x}{a}+\frac{4x}{3a}=\frac{7x}{3a}</math> Quindi: <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{7x}{3a}-2\le 0</math> Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>3a^2</math> (positivo perché <math>a^2>0</math>): <math>3x^2-7ax-6a^2\le 0</math> Risolviamo l'equazione associata: <math>3x^2-7ax-6a^2=0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-7a)^2-4\cdot3\cdot(-6a^2)</math> <math>\Delta=49a^2+72a^2</math> <math>\Delta=121a^2</math> <math>\sqrt{\Delta}=11|a|</math> Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{7a\pm11|a|}{6}</math> Poiché le radici possono essere scritte direttamente in funzione di <math>a</math>: <math>x_1=-\frac{2a}{3}</math> <math>x_2=3a</math> La disequazione è <math>3x^2-7ax-6a^2\le0</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto. Pertanto la soluzione è compresa tra le due radici. Soluzione finale: <math>-\frac{2a}{3}\le x\le 3a</math> con la condizione <math>a\neq0</math>. == 18° <math>(3x-5)^2>12x-5</math>== Sviluppiamo il quadrato: <math>(3x-5)^2=9x^2-30x+25</math> Otteniamo: <math>9x^2-30x+25>12x-5</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>9x^2-30x-12x+25+5>0</math> Riduciamo i termini simili: <math>9x^2-42x+30>0</math> Raccogliamo il fattore comune <math>3</math>: <math>3(3x^2-14x+10)>0</math> Poiché <math>3>0</math>, possiamo dividere entrambi i membri per <math>3</math>: <math>3x^2-14x+10>0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(-14)^2-4\cdot3\cdot10</math> <math>\Delta=196-120=76</math> Le radici sono: <math>x=\frac{14\pm\sqrt{76}}{6}</math> Semplificando: <math>\sqrt{76}=2\sqrt{19}</math> <math>x=\frac{14\pm2\sqrt{19}}{6}</math> <math>x=\frac{7\pm\sqrt{19}}{3}</math> Poiché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo, la parabola è rivolta verso l'alto; quindi la disequazione è verificata all'esterno delle radici. Soluzione: <math>x<\frac{7-\sqrt{19}}{3}\quad\text{oppure}\quad x>\frac{7+\sqrt{19}}{3}</math> In forma di intervalli: <math>\left(-\infty,\frac{7-\sqrt{19}}{3}\right)\cup\left(\frac{7+\sqrt{19}}{3},+\infty\right)</math> ==19° <math> 9x^2-25<0 </math>== <math> 9x^2-25=(3x)^2-5^2 </math> <math> a^2-b^2=(a-b)(a+b) </math> <math> (3x)^2-5^2=(3x-5)(3x+5) </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> 3x-5=0 </math> <math> 3x=5 </math> <math> x=\frac{5}{3} </math> <math> 3x+5=0 </math> <math> 3x=-5 </math> <math> x=-\frac{5}{3} </math> <math> x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=\frac{5}{3} </math> <math> \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-\frac{5}{3}) & (-\frac{5}{3},\frac{5}{3}) & (\frac{5}{3},+\infty)\\ \hline 3x-5 & - & - & +\\ 3x+5 & - & + & +\\ (3x-5)(3x+5) & + & - & + \end{array} </math> <math> (3x-5)(3x+5)<0 </math> <math> -\frac{5}{3}<x<\frac{5}{3} </math> <math> S=\left(-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right) </math> == 20° <math> \begin{cases} x^2-5x+6 \geq 0 \\ x^2-4 < 0 \end{cases} </math> == Risolviamo separatamente le due disequazioni. Prima disequazione Abbiamo: <math> x^2-5x+6 \geq 0 </math> Scomponiamo il trinomio: <math> x^2-5x+6=(x-2)(x-3) </math> Quindi dobbiamo risolvere: <math> (x-2)(x-3)\geq0 </math> Troviamo gli zeri del prodotto: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x-3=0 \Rightarrow x=3 </math> La parabola ha concavità verso l'alto perché il coefficiente di <math>x^2</math> è positivo. Il prodotto è positivo o nullo per valori esterni agli zeri, quindi: <math> x\leq2 \quad \text{oppure} \quad x\geq3 </math> La soluzione della prima disequazione è: <math> S_1=(-\infty,2]\cup[3,+\infty) </math> Seconda disequazione Abbiamo: <math> x^2-4<0 </math> Scomponiamo come differenza di quadrati: <math> x^2-4=(x-2)(x+2) </math> Quindi: <math> (x-2)(x+2)<0 </math> Gli zeri sono: <math> x-2=0 \Rightarrow x=2 </math> <math> x+2=0 \Rightarrow x=-2 </math> La parabola ha concavità verso l'alto, quindi il prodotto è negativo tra gli zeri: <math> -2<x<2 </math> La soluzione della seconda disequazione è: <math> S_2=(-2,2) </math> Intersezione delle soluzioni Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate contemporaneamente: <math> S=S_1\cap S_2 </math> Sostituiamo gli insiemi trovati: <math> S=\left((-\infty,2]\cup[3,+\infty)\right)\cap(-2,2) </math> Consideriamo i due intervalli: <math> (-\infty,2]\cap(-2,2)=(-2,2) </math> e: <math> [3,+\infty)\cap(-2,2)=\varnothing </math> Quindi la soluzione finale del sistema è: <math> S=(-2,2) </math> Il sistema di disequazioni di secondo grado possiede quindi infinite soluzioni reali comprese nell'intervallo: <math> -2<x<2 </math> ``` ``` ``` ``` ``` ``` ``` ae182hr0q60qbk7hi1hzbhhysii2tdf 0 37749 286192 286147 2026-08-13T07:40:06Z Funzioni di correlazione 24136 286192 wikitext text/x-wiki {{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Discussioni dei problemi di secondo grado|| avanzamento = 100%}} {{Navigazione lezione|materia1=Esercizi sulle funzioni|corso1=}} '''(13 Esercizi)''' ==Esercizi sui problemi di secondo grado con IA== La discussione dei problemi geometrici di secondo grado implica l'analisi delle radici di un'equazione parametrica in m, con m comunque disposto, come ad esempio nel tipo: <math>\,\,(mx+1)(x-2)+m=0</math> dove il parametro m deve essere valutato affinchè l'equazione abbia radici reali. In questa lezione sono illustrate le soluzioni di 10 equazioni con parametro m diversamente posizionato, l'equazione da valutare è scritta nel titolo di ciascun esercizio. Nell'insieme degli esercizi sono stati sviluppati e discussi da IA alcuni classici problemi di geometria piana. ==1^ <math>\,\,9x^2+1= mx</math> == risolvere in m affinche ammetta radici reali Svolgimento Portiamo l'equazione nella forma canonica: <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado con: <math>a=9</math> <math>b=-m</math> <math>c=1</math> Affinché le radici siano reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta \ge 0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> <math>\Delta=m^2-36</math> Imponiamo la condizione: <math>m^2-36\ge0</math> <math>m^2\ge36</math> Estraendo la radice: <math>|m|\ge6</math> Otteniamo quindi: <math>m\le-6</math> oppure <math>m\ge6</math> Risultato L'equazione <math>9x^2+1=mx</math> ha radici reali se e solo se <math>m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)</math>. ==2^ <math>\,\,8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> == Determinare per quali valori di <math>m</math> l'equazione ammette soluzioni reali. Svolgimento Poiché si tratta di un'equazione di secondo grado, essa ammette soluzioni reali se e solo se il discriminante è maggiore o uguale a zero. I coefficienti sono: <math>a=8</math> <math>b=-(m-1)=1-m</math> <math>c=m-7</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(1-m)^2-4\cdot8\cdot(m-7)</math> <math>\Delta=(1-m)^2-32(m-7)</math> Sviluppiamo il quadrato: <math>(1-m)^2=m^2-2m+1</math> Quindi: <math>\Delta=m^2-2m+1-32m+224</math> <math>\Delta=m^2-34m+225</math> Affinché l'equazione abbia soluzioni reali deve risultare: <math>m^2-34m+225\ge0</math> Studiamo il trinomio. Calcoliamo il discriminante dell'equazione associata: <math>\Delta'=(-34)^2-4\cdot1\cdot225</math> <math>\Delta'=1156-900</math> <math>\Delta'=256</math> <math>\sqrt{256}=16</math> Le radici sono: <math>m=\frac{34-16}{2}=9</math> <math>m=\frac{34+16}{2}=25</math> Pertanto: <math>m^2-34m+225=(m-9)(m-25)</math> Si deve quindi risolvere la disequazione: <math>(m-9)(m-25)\ge0</math> Con il metodo dei segni si ottiene: * <math>m\le9</math> * <math>9\le m\le25</math> il prodotto è negativo. * <math>m\ge25</math> Pertanto la soluzione è: <math>m\le9 \;\; \text{oppure} \;\; m\ge25</math> Risposta L'equazione <math>8x^2-(m-1)x+m-7=0</math> ammette soluzioni reali se e solo se <math>m\le9 \quad \text{oppure} \quad m\ge25.</math> == 3^ <math>\,\,\frac{3x+m}{2x+3}=x-m</math> == Consideriamo l'equazione con la condizione di esistenza: <math>2x+3\ne0</math> da cui <math>x\ne-\frac32</math>. Moltiplichiamo entrambi i membri per <math>2x+3</math>: <math>3x+m=(x-m)(2x+3)</math> Sviluppiamo il prodotto: <math>3x+m=2x^2+3x-2mx-3m</math> Portiamo tutti i termini al primo membro: <math>3x+m-2x^2-3x+2mx+3m=0</math> Semplificando: <math>-2x^2+2mx+4m=0</math> e, moltiplicando per <math>-1</math> e dividendo per <math>2</math>: <math>x^2-mx-2m=0</math>. Abbiamo quindi un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con <math>a=1,\qquad b=-m,\qquad c=-2m</math>. Perché l'equazione abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia non negativo: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=(-m)^2-4(1)(-2m)</math> <math>\Delta=m^2+8m</math> <math>\Delta=m(m+8)</math>. Imponiamo quindi <math>m(m+8)\ge0</math>. Il prodotto è non negativo per <math>m\le-8\qquad\text{oppure}\qquad m\ge0</math>. Pertanto i valori reali del parametro per i quali l'equazione possiede radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-8]\cup[0,+\infty)}</math>. Le radici, quando sono reali, sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> <math>x=\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}</math>. Quindi <math>x_{1,2}={-\frac{m\pm\sqrt{m^2+8m}}{2}}</math>. Per <math>m=-8</math> si ha una radice doppia: <math>x=\frac{-8}{2}=-4</math>. Per <math>m=0</math> si ha una radice doppia: <math>x=0</math>. Occorre inoltre verificare la condizione di esistenza <math>x\ne-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> si verifica quando <math>\left(-\frac32\right)^2-m\left(-\frac32\right)-2m=0</math> <math>\frac94+\frac32m-2m=0</math> <math>\frac94-\frac12m=0</math> <math>m=\frac92</math>. Per <math>m=\frac92</math>, infatti, le due radici dell'equazione di secondo grado sono <math>x_1=6,\qquad x_2=-\frac32</math>. La radice <math>x=-\frac32</math> non è ammessa nell'equazione iniziale, mentre <math>x=6</math> è valida. Conclusione: <math>{m\le-8\quad\text{oppure}\quad m\ge0}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale valida. Se con “radici reali” intendi invece **due radici reali distinte e entrambe ammissibili**, la condizione va precisata e cambia leggermente. ==4^ <math>\,\,(mx+1)(x-2)+m=0</math> == Sviluppiamo i prodotti: <math>mx^2-2mx+x-2+m=0</math> Raccogliamo i termini rispetto a <math>x</math>: <math>mx^2+(1-2m)x+(m-2)=0</math> Per <math>m\neq0</math> si tratta di un'equazione di secondo grado, con: <math>a=m</math> <math>b=1-2m</math> <math>c=m-2</math> Affinché l'equazione abbia radici reali deve essere: <math>\Delta\geq0</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=(1-2m)^2-4m(m-2)</math> <math>\Delta=1-4m+4m^2-4m^2+8m</math> <math>\Delta=1+4m</math> Imponiamo quindi: <math>1+4m\geq0</math> <math>4m\geq-1</math> <math>m\geq-\frac14</math> Dobbiamo però distinguere il caso <math>m=0</math>, perché in questo caso l'equazione non è di secondo grado. Se <math>m=0</math>, l'equazione diventa: <math>(0x+1)(x-2)+0=0</math> <math>x-2=0</math> quindi: <math>x=2</math> Pertanto <math>m=0</math> ammette comunque una radice reale. Per <math>m\neq0</math>, quando <math>m\geq-\frac14</math>, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x_{1,2}=\frac{-(1-2m)\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> cioè: <math>x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}</math> Nel caso limite <math>m=-\frac14</math> il discriminante è nullo: <math>\Delta=1+4\left(-\frac14\right)=0</math> quindi esiste una radice reale doppia: <math>x=\frac{2\left(-\frac14\right)-1}{2\left(-\frac14\right)}=3</math> Conclusione: <math>{m\geq-\frac14}</math> sono esattamente i valori del parametro per i quali l'equazione ammette almeno una radice reale. Per <math>m>-\frac14</math> e <math>m\neq0</math> ci sono due radici reali distinte: <math>{x_{1,2}=\frac{2m-1\pm\sqrt{1+4m}}{2m}}</math> Per <math>m=-\frac14</math> c'è una radice reale doppia: Per <math>m=0</math> l'equazione diventa lineare e ha la radice: <math>{x=2}</math> Per <math>m<-\frac14</math> non ci sono radici reali. == 5^ <math> \, \, 9x^2+1=mx</math>== Portando tutti i termini al primo membro si ottiene <math>9x^2-mx+1=0</math> Si tratta di un'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, con coefficienti <math>a=9,\qquad b=-m,\qquad c=1</math> Affinché l'equazione abbia radici reali, il discriminante deve essere maggiore o uguale a zero: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=(-m)^2-4\cdot9\cdot1</math> quindi <math>\Delta=m^2-36</math> La condizione per avere radici reali è dunque <math>m^2-36\geq0</math> ossia <math>m^2\geq36</math> Da cui <math>|m|\geq6</math> e quindi <math>m\leq-6\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto, i valori reali di <math>m</math> per i quali l'equazione ammette radici reali sono <math>{m\in(-\infty,-6]\cup[6,+\infty)}</math> Per completezza, le radici sono date dalla formula risolutiva: <math>x_{1,2}=\frac{m\pm\sqrt{m^2-36}}{18}</math> Per <math>m=-6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=-\frac{1}{3}</math> Per <math>m=6</math> si ha una radice reale doppia: <math>x_1=x_2=\frac{1}{3}</math> == Pr1. Problema di geometria risolto e discusso da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: Dato un triangolo equilatero di lato <math>l</math>, si vuole determinare il rettangolo inscritto nel triangolo il cui perimetro sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo. A seguire la risposta di IA: === Impostazione === Il perimetro del triangolo equilatero è <math>P_T=3l.</math> Il perimetro richiesto per il rettangolo è quindi <math>P_R=mP_T=3ml.</math> Indichiamo con <math>x</math> la base del rettangolo e con <math>y</math> la sua altezza. Consideriamo il triangolo equilatero e il rettangolo con la base del rettangolo coincidente con una parte della base del triangolo. La distanza tra i due lati obliqui del triangolo, alla quota <math>y</math>, determina una base disponibile per il rettangolo. Per similitudine dei triangoli, si ha <math>\frac{x}{l} = 1-\frac{2y}{\sqrt{3}l}.</math> Da cui <math>x=l-\frac{2y}{\sqrt{3}}.</math> Equivalentemente, <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x).</math> === Condizione sul perimetro === Il perimetro del rettangolo è <math>P_R=2(x+y).</math> Imponendo che esso sia <math>m</math> volte il perimetro del triangolo, si ottiene <math>2(x+y)=3ml.</math> Sostituendo l'espressione dell'altezza, <math>2\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)\right)=3ml.</math> Sviluppando, <math>2x+\sqrt{3}l-\sqrt{3}x=3ml.</math> Raccogliendo <math>x</math>, <math>(2-\sqrt{3})x=3ml-\sqrt{3}l.</math> Pertanto la base del rettangolo è <math>x=\frac{3ml-\sqrt{3}l}{2-\sqrt{3}}.</math> Raccogliendo <math>l</math>, <math>x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando il denominatore, <math>x=l(3m-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).</math> Sviluppando, <math>x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right).</math> Quindi <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}.</math> === Determinazione dell'altezza === Dalla relazione <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}(l-x)</math> si ottiene <math>y=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[l-l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}\right].</math> Semplificando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-\sqrt{3}-3m+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}.</math> Quindi <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}.</math> Razionalizzando, <math>y=\frac{\sqrt{3}l}{2}(2-3m)(2+\sqrt{3}).</math> Poiché <math>\sqrt{3}(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3,</math> si ha <math>y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3}).</math> Pertanto <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> === Condizioni di esistenza === Perché il rettangolo sia non degenere devono essere soddisfatte le condizioni <math>x>0</math> e <math>y>0.</math> Dalla condizione <math>y>0</math> segue <math>2-3m>0,</math> ossia <math>m<\frac{2}{3}.</math> Dalla condizione <math>x>0</math> segue <math>3m-\sqrt{3}>0,</math> ossia <math>m>\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> Pertanto il rettangolo non degenere esiste per <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> Agli estremi si ottengono rettangoli degeneri. Infatti, per <math>m=\frac{\sqrt{3}}{3}</math> si ha <math>x=0</math> e, per <math>m=\frac{2}{3}</math> si ha <math>y=0.</math> === Risultato === Il rettangolo inscritto ha dimensioni <math>{x=l\frac{3m-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}</math> e <math>{y=\frac{\sqrt{3}l}{2}\frac{2-3m}{2-\sqrt{3}}}.</math> Equivalentemente, <math>{x=l\left(6m+3\sqrt{3}m-2\sqrt{3}-3\right)}</math> e <math>{y=\frac{l}{2}(2-3m)(3+2\sqrt{3})}.</math> Le dimensioni sono positive se e solo se <math>{\frac{\sqrt{3}}{3}<m<\frac{2}{3}}.</math> == Pr2. Problema di geometria risolto e discusso da IA == === Il testo === Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un trapezio rettangolo la misura della base minore è (a) e la misura del lato obliquo è (2a). Il perimetro del trapezio è espresso da [(m+4 ) a] dove (m) è un numero positivo. Determinare la differenza (x) della base è l’altezza (y). A seguire la risposta di IA: Essendo <math>a</math> la base minore, <math>b</math> la base maggiore, <math>x</math> la differenza delle basi e <math>y</math> l'altezza. Poiché la differenza delle basi e l'altezza sono i cateti del triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato obliquo, si ha: <math>x=b-a</math> <math>x^2+y^2=(2a)^2=4a^2</math> Il perimetro è: <math>a+b+2a+y=(m+4)a</math> da cui: <math>b+y=(m+1)a</math> Sostituendo <math>b=a+x</math>: <math>a+x+y=(m+1)a</math> quindi: <math>x+y=ma</math> Abbiamo dunque il sistema: <math>\begin{cases}x+y=ma \\ x^2 y^2=4a^2\end{cases}</math> Elevando al quadrato la prima equazione: <math>(x+y)^2=m^2a^2</math> <math>x^2+2xy+y^2=m^2a^2</math> Poiché <math>x^2+y^2=4a^2</math>, si ottiene: <math>4a^2+2xy=m^2a^2</math> e quindi: <math>xy=\frac{m^2-4}{2}a^2</math> A questo punto <math>x</math> e <math>y</math> sono le radici dell'equazione di secondo grado: <math>t^2-(x+y)t+xy=0</math> cioè: <math>t^2-mat+\frac{m^2-4}{2}a^2=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>t=\frac{ma\pm\sqrt{m^2a^2-2(m^2-4)a^2}}{2}</math> <math>t=\frac{ma\pm a\sqrt{8-m^2}}{2}</math> Pertanto: <math>x=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)</math> e <math>y=\frac{a}{2}\left(m\mp\sqrt{8-m^2}\right)</math> Le due quantità <math>x</math> e <math>y</math> possono essere scambiate, perché dal testo non è specificato quale dei due cateti del triangolo rettangolo sia maggiore. Perché il trapezio esista con entrambe le quantità positive deve essere: <math>2<m\leq2\sqrt2</math> Quindi, a meno di stabilire quale tra differenza delle basi e altezza sia maggiore, il risultato è: <math>{x,y=\frac{a}{2}\left(m\pm\sqrt{8-m^2}\right)}</math> ==6^ <math>\, \,x^2-2(2m+1)x+m^2-m+3=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ottiene <math>a=1</math> <math>b=-2(2m+1)</math> <math>c=m^2-m+3</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> <math>\Delta=[-2(2m+1)]^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4(2m+1)^2-4(m^2-m+3)</math> <math>\Delta=4[(2m+1)^2-(m^2-m+3)]</math> Sviluppando i quadrati: <math>\Delta=4[4m^2+4m+1-m^2+m-3]</math> <math>\Delta=4(3m^2+5m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(3m-1)(m+2)</math> Per avere soluzioni reali deve essere <math>\Delta\geq0</math> quindi <math>4(3m-1)(m+2)\geq0</math> Essendo <math>4>0</math>, si ha <math>(3m-1)(m+2)\geq0</math> da cui <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math> Pertanto l'equazione ha soluzioni reali per <math>m\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac13,+\infty\right)</math> Per tali valori di <math>m</math>, applichiamo la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i coefficienti: <math>x=\frac{2(2m+1)\pm\sqrt{4(3m^2+5m-2)}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{4(3m^2+5m-2)}=2\sqrt{3m^2+5m-2}</math> si ottiene <math>x=2m+1\pm\sqrt{3m^2+5m-2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=2m+1+\sqrt{3m^2+5m-2}</math> <math>x_2=2m+1-\sqrt{3m^2+5m-2}</math> con <math>m\leq-2\quad\text{oppure}\quad m\geq\frac13</math>. Nei casi in cui il discriminante è nullo si ha una soluzione doppia. Per <math>m=-2</math>: <math>x=2(-2)+1=-3</math> quindi <math>x_1=x_2=-3</math> Per <math>m=\frac13</math>: <math>x=2\left(\frac13\right)+1=\frac53</math> quindi <math>x_1=x_2=\frac53</math> In conclusione: <math>m<-2\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> <math>m=-2\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=-3</math> <math>-2<m<\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{nessuna soluzione reale}</math> <math>m=\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{una soluzione reale doppia }x=\frac53</math> <math>m>\frac13\quad\Rightarrow\quad\text{due soluzioni reali distinte}</math> ==7^ <math>\,\,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Consideriamo l'equazione con parametro reale <math>m</math>. I coefficienti dell'equazione sono <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti: <math>\Delta=[-(m+2)]^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono date dalla formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per determinare quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> cioè <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui si ottiene <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali distinte; * se <math>m=2</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> * se <math>m=6</math>, il discriminante è nullo e si ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> * se <math>2<m<6</math>, il discriminante è negativo e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione, le soluzioni sono <math>{x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math>. == 8^ <math>\,\,4 x^2-(m+1)x+2-m=0</math>== Confrontiamo l'equazione data con la forma generale <math>ax^2+bx+c=0</math> si ha <math>a=4</math> <math>b=-(m+1)</math> <math>c=2-m</math> Il discriminante è <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i valori di <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>: <math>\Delta=(-(m+1))^2-4\cdot4\cdot(2-m)</math> <math>\Delta=(m+1)^2-16(2-m)</math> Sviluppando: <math>\Delta=m^2+2m+1-32+16m</math> quindi <math>\Delta=m^2+18m-31</math> La formula risolutiva dell'equazione di secondo grado è <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo i valori trovati: <math>x=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Pertanto le soluzioni, quando sono reali, sono <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>m^2+18m-31\geq0</math> Troviamo gli zeri del trinomio: <math>m^2+18m-31=0</math> Applicando la formula risolutiva: <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{18^2-4\cdot1\cdot(-31)}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{324+124}}{2}</math> <math>m=\frac{-18\pm\sqrt{448}}{2}</math> Poiché <math>\sqrt{448}=8\sqrt{7}</math> si ottiene <math>m=\frac{-18\pm8\sqrt{7}}{2}</math> e quindi <math>m=-9\pm4\sqrt{7}</math> Essendo il coefficiente di <math>m^2</math> positivo, la disequazione è verificata all'esterno dell'intervallo delimitato dalle due radici. Pertanto: <math>\Delta>0</math> per <math>m<-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m>-9+4\sqrt{7}</math> In questi casi l'equazione ha due soluzioni reali distinte: <math>x_1=\frac{m+1+\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> <math>x_2=\frac{m+1-\sqrt{m^2+18m-31}}{8}</math> Per <math>m=-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m=-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta=0</math> e quindi l'equazione ha una soluzione reale doppia: <math>x=\frac{m+1}{8}</math> Infine, per <math>-9-4\sqrt{7}<m<-9+4\sqrt{7}</math> si ha <math>\Delta<0</math> e l'equazione non ha soluzioni reali. In conclusione: <math>{x_{1,2}=\frac{m+1\pm\sqrt{m^2+18m-31}}{8}}</math> con soluzioni reali se e solo se <math>m\leq-9-4\sqrt{7}</math> oppure <math>m\geq-9+4\sqrt{7}</math>. == 9 ^ <math>\, \,x^2-(m+2)x+3m-2=0</math>== Data l'equazione di secondo grado nella variabile <math>x</math>, i coefficienti sono: <math>a=1</math> <math>b=-(m+2)</math> <math>c=3m-2</math> Calcoliamo il discriminante: <math>\Delta=b^2-4ac</math> Sostituendo i coefficienti si ottiene <math>\Delta=(-(m+2))^2-4(1)(3m-2)</math> <math>\Delta=(m+2)^2-4(3m-2)</math> Sviluppando i calcoli: <math>\Delta=m^2+4m+4-12m+8</math> <math>\Delta=m^2-8m+12</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=(m-2)(m-6)</math> Le soluzioni dell'equazione si ottengono mediante la formula risolutiva: <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> Sostituendo <math>a</math>, <math>b</math> e <math>\Delta</math>: <math>x=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Quindi le due soluzioni, quando sono reali e distinte, sono <math>x_1=\frac{m+2+\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> <math>x_2=\frac{m+2-\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> Per stabilire quando le soluzioni sono reali, imponiamo <math>\Delta\geq0</math> ossia <math>(m-2)(m-6)\geq0</math> Da cui <math>m\leq2\quad\text{oppure}\quad m\geq6</math> Pertanto: * se <math>m<2</math> oppure <math>m>6</math>, l'equazione ha due soluzioni reali e distinte; * se <math>m=2</math> oppure <math>m=6</math>, l'equazione ha una soluzione reale doppia; * se <math>2<m<6</math>, l'equazione non ha soluzioni reali. Per <math>m=2</math> si ha <math>x=\frac{2+2}{2}=2</math> quindi la soluzione doppia è <math>x=2</math> Per <math>m=6</math> si ha <math>x=\frac{6+2}{2}=4</math> quindi la soluzione doppia è <math>x=4</math> In conclusione, le soluzioni reali dell'equazione sono <math>x_{1,2}=\frac{m+2\pm\sqrt{(m-2)(m-6)}}{2}</math> con condizione di realtà <math>m\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)</math> == 10 ^ <math> \, \, x^2-2mx+m+2=0</math>== Perché l'equazione data abbia radici reali è necessario e sufficiente che il discriminante sia maggiore o uguale a zero: <math>\Delta\geq0</math> Il discriminante dell'equazione è: <math>\Delta=(-2m)^2-4(m+2)</math> <math>\Delta=4m^2-4m-8</math> Raccogliendo <math>4</math>: <math>\Delta=4(m^2-m-2)</math> Scomponendo il trinomio: <math>\Delta=4(m-2)(m+1)</math> Imponiamo quindi: <math>4(m-2)(m+1)\geq0</math> Poiché <math>4>0</math>, è sufficiente risolvere: <math>(m-2)(m+1)\geq0</math> Gli zeri sono: <math>m=2</math> e <math>m=-1</math> Lo studio del segno dà: <math>m\leq-1\quad\lor\quad m\geq2</math> Pertanto l'equazione ha radici reali per: <math>m\in(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)</math> Per <math>m=-1</math> e <math>m=2</math> il discriminante è nullo e quindi l'equazione ha una radice reale doppia. Per <math>m<-1</math> oppure <math>m>2</math> il discriminante è positivo e quindi l'equazione ha due radici reali distinte. Per <math>-1<m<2</math> il discriminante è negativo e quindi l'equazione non ha radici reali. ==Pr3 Problema di geometria risolto e discusso da IA== '''Il testo''' Soltanto il testo sotto digitato è stato inserito in IA per lo sviluppo del problema: In un triangolo rettangolo è data la somma (l) dei due cateti e l’altezza (m) relativa all’ipotenusa. Calcolare i due lati del triangolo mettendo in evidenza il campo di variabilità di (m) affinché il problema ammetta soluzioni Siano <math>a</math> e <math>b</math> i due cateti e <math>c</math> l'ipotenusa. Sono noti la somma dei cateti <math>l</math> e l'altezza <math>m</math> relativa all'ipotenusa. Si ha quindi <math>a+b=l</math> e, per il teorema di Pitagora, <math>c^2=a^2+b^2</math>. Poiché <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>, segue che <math>l^2=c^2+2ab</math> e quindi <math>c^2=l^2-2ab</math>. L'area del triangolo può essere espressa in due modi: <math>A=\frac{ab}{2}</math> e <math>A=\frac{cm}{2}</math>. Uguagliando le due espressioni si ottiene <math>ab=cm</math>. Elevando al quadrato: <math>a^2b^2=c^2m^2</math>. Ponendo <math>x=ab</math>, e sostituendo <math>c^2=l^2-2ab=l^2-2x</math>, si ha <math>x^2=m^2(l^2-2x)</math>. Sviluppando: <math>x^2+2m^2x-m^2l^2=0</math>. Questa è un'equazione di secondo grado nell'incognita <math>x</math>. Applicando la formula risolutiva: <math>x=\frac{-2m^2\pm\sqrt{4m^4+4m^2l^2}}{2}</math>. Pertanto <math>x=-m^2\pm m\sqrt{m^2+l^2}</math>. Poiché <math>x=ab>0</math>, si deve scegliere il segno positivo: <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math>. A questo punto i cateti sono le soluzioni dell'equazione <math>t^2-lt+ab=0</math>. Sostituendo il valore trovato per <math>ab</math>: <math>t^2-lt+m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)=0</math>. Le due soluzioni sono quindi <math>t=\frac{l\pm\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Pertanto i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. Le due formule differiscono soltanto per lo scambio dei cateti. Per determinare il campo di variabilità di <math>m</math>, il radicando deve essere non negativo: <math>l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)\geq0</math>. Equivalentemente, poiché <math>ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}</math>, si ha <math>ab\leq\frac{l^2}{4}</math>. Dalla relazione <math>ab=m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)</math> si ottiene il valore massimo di <math>m</math> quando i due cateti sono uguali, cioè <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. In questo caso l'ipotenusa vale <math>c=\frac{l}{\sqrt{2}}</math> e quindi l'altezza relativa all'ipotenusa è <math>m=\frac{ab}{c}=\frac{l^2/4}{l/\sqrt{2}}=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Poiché <math>m>0</math>, il campo di variabilità è <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>. Per <math>m=\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ha un'unica soluzione geometrica, con i due cateti uguali: <math>a=b=\frac{l}{2}</math>. Per <math>0<m<\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> si ottengono invece due valori distinti per i cateti, che corrispondono allo stesso triangolo a meno dello scambio dei due cateti. Per <math>m>\frac{l}{2\sqrt{2}}</math> il problema non ammette soluzioni reali. In conclusione, il problema ammette soluzioni se e solo se <math>0<m\leq\frac{l}{2\sqrt{2}}</math>, e, in tale intervallo, i due cateti sono <math>a=\frac{l+\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math> e <math>b=\frac{l-\sqrt{l^2-4m\left(\sqrt{l^2+m^2}-m\right)}}{2}</math>. aqudxr12yva0t7thdsstge2wmxs49fj